materials didàctics d ela programació de matemàtiques curs 2008-2009

MATERIALS DIDÀCTICS PROGAMACIÓ MATEMÀTIQUES CURS 2008-20909 IES JOAN PUIG I FERRATER

EQUACIONS DE SEGON GRAU EXAMEN

MATEMÀTIQUES: equacions de segon grau.

I Alumne: __________________________________________ Data: ___________ Curs: ___________ Exercici 1. Resol la següent equació: 3x2 + 4x + 1 = 0. [21 punts]

Exercici 2. Resol la següent equació: x2 – 2x – 3 = 0. [22 punts]

2

Exercici 3. Resol la següent equació: 2x + x – 10 = 0. [21 punts]

Exercici 4. Resol la següent equació: x2 – x = 0. [21 punts]

2

Exercici 5. Resol la següent equació: 5x – 245 = 0. [21 punts]

RESOLUCIÓ

Resolució d’equacions de segon grau.

Una equació de segon grau és una equació del següent tipus:

a x2

b x c

0

Per resoldre-la (recorda que resoldre una equació vol dir esbrinar el valor de la x), hem d’aplicar la següent fórmula: b2 4 a c 2 a

b

x

Sembla complicada, oi? Doncs ja veuràs com no ho és tant. En primer lloc, dividirem aquesta fórmula en quatre blocs de colors. Després, només hauràs de seguir una sèrie de passos bastant senzills. Te’ls mostrarem de seguida mitjançant un exemple.

b

x

b 4 a c 2 a 2

Imagina que vols resoldre l’equació 3 x 2 4 x 7 0 . Abans d’iniciar el procés de resolució, observa-la bé i compara-la amb la forma general. Un cop fet això, pots afrontar el primer dels passos.

Pas 1. Determina els valors de les lletres a, b i c.

a 3 b 4 c 7 Pas 2. Troba el resultat de cadascun dels quatre blocs (blau, verd, vermell i taronja) per

separat. Tingues en compte que, quan multipliques nombres amb diferent signe, has de fer servir la regla dels signes. b

4

b2 2 a

+·+ = +

4 4 16

4 a c

4 3 2 3

Regla dels signes

7

+·

84

6

·+ =

· Pas 3. Substitueix els resultats obtinguts per a cada bloc a la fórmula.

4

x

16 6

84

Pas 4. Si resulta que tens algun parell de signes junts, també hauràs d’aplicar la regla

dels signes per tal convertir-los en un de sol.

16

84

=

16

84

16 84

Pas 5. Torna a escriure la fórmula tal i com ha de quedar després d’aplicar el pas 4.

= +

x

4

16 84 6

Pas 6. Calcula el resultat de l’arrel quadrada.

16 84

100

10

Pas 7. Torna a escriure la fórmula substituint l’arrel pel valor que acabes de calcular al

pas 6.

4 10 6

x

Pas 8. Ara ja només has de realitzar els pocs càlculs que et queden i podràs resoldre

l’equació. Potser, però, encara trobes que no ho pots fer perquè no saps què vol dir el signe ±. Significa que els nombres s’han de sumar? Significa que s’han de restar? Doncs significa tant una cosa com l’altra, perquè el signe ± indica que els càlculs s’han de fer dues vegades, una sumant i l’altra restant.

Això vol dir, és clar, que obtindràs dos resultats, i és normal, perquè una de les característiques principals de les equacions de segon grau és que tenen dues solucions. x b

x

b

b2 4 a c 2 a

b

b2 4 a c 2 a

b2 4 a c 2 a x

Sabent tot això, ara sí que pots realitzar els càlculs que et queden i obtenir-ne els resultats. Ves amb compte, perquè pot ser que, quan hagis de fer la divisió, si algun dels signes és negatiu (o tots dos), hauràs d’aplicar la regla dels signes.

x

4 10 6

x

4 10 6

6 6

1

4 10 6

x

14 6

 2,3

Pas 9. Torna a escriure l’equació que volies resoldre junt amb les dues solucions que has

trobat i hauràs finalitzat el procés.

3 x2

4 x 7

Solució 1: x 1

0

Solució 2: x

 2,3

Finalment, per tal d’ajudar-te a acabar d’assimilar el procediment per a la resolució d’equacions de segon grau que t’acabem de presentar, resoldrem una altra equació, seguint tots els passos, encara que sense detenir-nos-en tant.

Resoldrem l’equació

x2

5 x 14

0.

Pas 1. Determinem els valors de les lletres a, b i c.

a b

1 5

c 14

Pas 2. Fent servir la regla dels signes, trobem el resultat de cadascun dels quatre blocs

(blau, verd, vermell i taronja) per separat. b b

5 2

5

4 a c 2 a

5

4 2

25

1 14 1

56

2

Pas 3. Substituïm els resultats obtinguts per a cada bloc a la fórmula.

5

x

25 2

56

Pas 4. Apliquem la regla dels signes per tal de convertir cada parell de signes que tenim

junts, en un de sol.

5 5 25

56

25 56

Pas 5. Tornem a escriure la fórmula tal i com ha de quedar després d’aplicar el pas 4.

5

x

25 56 2

Pas 6. Calculem el resultat de l’arrel quadrada.

25 56

81

9

Pas 7. Tornem a escriure la fórmula substituint l’arrel pel valor que acabem de calcular al

pas 6. x

5 9 2

Pas 8. Aplicant la regla dels signes, realitzem els càlculs que ens queden per tal de resoldre

l’equació.

x

x

5 9 2

14 2

x

5 9 2

4 2

7

5 9 2

2

Pas 9. Torna a escriure l’equació que volies resoldre junt amb les dues solucions que has

trobat i hauràs finalitzat el procés.

x2

5 x 14

0

Solució 1: x

7

Solució 2: x 2

ESCALES : PRÀCTICA EXÀMEN MODEL D’EXÀMEN

Escales.

Pràctica. Representació a escala d’un espai de l’institut.

▪ Després de prendre les mesures que creguis oportunes, fes una representació esquemàtica

a

escala

1:20

d’una

de

les

parades

de

l’hort

de

l’institut.

▪ Després de prendre les mesures que creguis oportunes, fes una representació esquemàtica a escala 1:25 d’una de les parades de l’hort de l’institut.

MATEMÀTIQUES: escales.

I Alumne: __________________________________________ Data: ___________ Curs: ___________ Exercici 1. La distància real en línia recta entre Madrid i Tarragona és de 432 km. Tenint en compte aquesta dada, calcula l’escala del mapa que es mostra a continuació. [11 punts]

Exercici 2. Una pastera ha sortit des d’un punt de la costa marroquina (marcat amb una creu al mapa) per tal d’intentar arribar a les costes de Tarifa. Quina distància real en línia recta haurà de recórrer? [9 punts]

×

Escala 1:2500000

Exercici 3. La distància real en línia recta entre Prades i Vilanova de Prades és de 4,9 km.

Quina de les tres localitats sense nom assenyalades al mapa és Vilanova de Prades?

Justifica amb algun càlcul numèric la teva resposta. [10 punts]

Escala 1:350000

Exercici 4. Observa amb deteniment els mapes i escull l’opció correcta.

▪ La distància real en línia recta entre Batea i Gandesa... [2 punts; si t’equivoques perdràs 1 punt] a) És de 7 km, aproximadament. b) És de 3,2 cm, aproximadament. c) És de 11 km, aproximadament. d) És de 20 km, aproximadament.

0

3,5

7 km

▪ La distància real en línia recta entre Tortosa i Morella... [2 punts; si t’equivoques perdràs 1 punt] a) És de 55 km, aproximadament. b) És de 25 km, aproximadament. c) És de 3,3 km, aproximadament. d) És de 3,3 cm, aproximadament.

MATEMÀTIQUES: escales.

I Alumne: __________________________________________ Data: ___________ Curs: ___________ Exercici 1. La distància real en línia recta entre Madrid i Salamanca és de 176 km. Tenint en compte aquesta dada, calcula l’escala del mapa que es mostra a continuació. [11 punts]

Exercici 2. Una pastera ha sortit des d’un punt de la costa marroquina (marcat amb una creu al mapa) per tal d’intentar arribar a les costes de Tarifa. Quina distància real en línia recta haurà de recórrer? [9 punts]

×

Escala 1:2500000

Exercici 3. La distància real en línia recta entre Prades i Mont-Ral és de 9,1 km. Quina de les tres localitats sense nom assenyalades al mapa és Mont-Ral? Justifica amb algun càlcul numèric la teva resposta. [10 punts]

Escala 1:350000

Exercici 4. Observa amb deteniment els mapes i escull l’opció correcta.

▪ La distància real en línia recta entre Ascó i Gandesa... [2 punts; si t’equivoques perdràs 1 punt] e) És de 17 km, aproximadament. f) És de 40 km, aproximadament. g) És de 7 km, aproximadament. h) És de 5 cm, aproximadament.

0

3,5

7 km

▪ La distància real en línia recta entre Calanda i Morella... [2 punts; si t’equivoques perdràs 1 punt] e) És de 2,2 km, aproximadament. f) És de 2,2 cm, aproximadament. g) És de 12 km, aproximadament. h) És de 37 km, aproximadament.

ENQUESTES ENQUESTA EXÀMEN EXÀMEN PER PARACTICAR

▪ Curs: 1r ▪ Sexe:

D

2n

3r

4t

H

▪ T’agrada venir a l’institut?

Sí

No

▪ Quina nota li posaries, en general, al nostre centre?

▪ Quina nota els posaries només als professors?

(De 0 a 10)

(De 0 a 10)

▪ Què és el que t’agrada més de ....................................................................................................................

l’institut?

▪ I el que t’agrada ....................................................................................................................

menys?

▪ Curs: 1r ▪ Sexe:

D

2n

3r

4t

H

▪ T’agrada venir a l’institut?

Sí

No

▪ Quina nota li posaries, en general, al nostre centre?

▪ Quina nota els posaries només als professors?

(De 0 a 10)

(De 0 a 10)

▪ Què és el que t’agrada més de ....................................................................................................................

l’institut?

▪ I el que t’agrada ....................................................................................................................

menys?

▪ Curs: 1r ▪ Sexe:

D

2n

3r

4t

H

▪ T’agrada venir a l’institut?

Sí

No

▪ Quina nota li posaries, en general, al nostre centre?

▪ Quina nota els posaries només als professors?

(De 0 a 10)

(De 0 a 10)

▪ Què és el que t’agrada més de ....................................................................................................................

l’institut?

▪ I el que t’agrada ....................................................................................................................

menys?

▪ Curs: 1r ▪ Sexe:

D

2n H

3r

4t

▪ T’agrada venir a l’institut?

Sí

No

▪ Quina nota li posaries, en general, al nostre centre?

▪ Quina nota els posaries només als professors?

(De 0 a 10)

(De 0 a 10)

▪ Què és el que t’agrada més de ....................................................................................................................

l’institut?

▪ I el que t’agrada ....................................................................................................................

menys?

▪ Curs: 1r ▪ Sexe:

D

2n

3r

4t

H

▪ T’agrada venir a l’institut?

Sí

No

▪ Quina nota li posaries, en general, al nostre centre?

▪ Quina nota els posaries només als professors?

(De 0 a 10)

(De 0 a 10)

▪ Què és el que t’agrada més de ....................................................................................................................

l’institut?

▪ I el que t’agrada ....................................................................................................................

menys?

▪ Curs: 1r ▪ Sexe:

D

2n

3r

4t

H

▪ T’agrada venir a l’institut?

Sí

No

▪ Quina nota li posaries, en general, al nostre centre?

▪ Quina nota els posaries només als professors?

(De 0 a 10)

(De 0 a 10)

▪ Què és el que t’agrada més de ....................................................................................................................

l’institut?

▪ I el que t’agrada ....................................................................................................................

menys?

▪ Curs: 1r ▪ Sexe:

D

2n

3r

4t

H

▪ T’agrada venir a l’institut?

Sí

No

▪ Quina nota li posaries, en general, al nostre centre?

▪ Quina nota els posaries només als professors?

(De 0 a 10)

(De 0 a 10)

▪ Què és el que t’agrada més de ....................................................................................................................

l’institut?

▪ I el que t’agrada ....................................................................................................................

menys?

▪ Curs: 1r ▪ Sexe:

D

2n

3r

4t

H

▪ T’agrada venir a l’institut?

Sí

No

▪ Quina nota li posaries, en general, al nostre centre?

▪ Quina nota els posaries només als professors?

(De 0 a 10)

(De 0 a 10)

▪ Què és el que t’agrada més de ....................................................................................................................

l’institut?

▪ I el que t’agrada ....................................................................................................................

menys?

▪ Curs: 1r ▪ Sexe:

D

2n

3r

4t

H

▪ T’agrada venir a l’institut?

Sí

No

▪ Quina nota li posaries, en general, al nostre centre?

▪ Quina nota els posaries només als professors?

(De 0 a 10)

(De 0 a 10)

▪ Què és el que t’agrada més de ....................................................................................................................

l’institut?

▪ I el que t’agrada ....................................................................................................................

menys?

▪ Curs: 1r ▪ Sexe:

D

2n

3r

4t

H

▪ T’agrada venir a l’institut?

Sí

No

▪ Quina nota li posaries, en general, al nostre centre?

▪ Quina nota els posaries només als professors?

(De 0 a 10)

(De 0 a 10)

▪ Què és el que t’agrada més de ....................................................................................................................

▪ I el que t’agrada menys? .........................................

l’institut?

MATEMÀTIQUES: estadística.

I Alumne: __________________________________________ Data: ___________ Curs: ___________ Exercici 1. A continuació tens un llistat de les seleccions que han guanyat la Copa del Món al llarg de la Història. Amb aquestes dades, elabora una taula de freqüències. Després, respon a les preguntes que se’t plantegen. [32 punts] Uruguai

Itàlia

Itàlia

Uruguai

Alemanya

Brasil

Brasil

Anglaterra

Brasil

Alemanya

Argentina

Itàlia

Argentina

Alemanya

Brasil

França

Brasil

Itàlia

a) Quin percentatge de campionats han guanyat seleccions americanes? [3 punts]

b) Quin percentatge de campionats no ha guanyat Brasil? [3 punts]

Exercici 2. A continuació tens un llistat que recull el nombre de germans de cadascun dels divuit alumnes d’una classe de 4t d’ESO. Construeix-ne una taula de freqüències i respon a les preguntes que se’t plantegen més avall. [24 punts] 4

1

0

3

2

1

0

2

2

1

2

1

1

1

2

1

1

2

a) Quin percentatge d’alumnes tenen algun germà? [3 punts]

b) Quin percentatge d’alumnes tenen més de dos germans? [3 punts]

c) Quina és la mitjana de germans dels alumnes d’aquesta classe? [4 punts]

Exercici 3. A continuació tens un llistat que recull el consum elèctric mensual d’una llar familiar durant els darrers dos anys.

987

892

700

650

581

602

324

297

578

525

648

803

999

867

698

694

602

576

401

531

602

597

706

888

a) Amb les dades de què disposes, construeix una taula de freqüències. [24 punts]

b) Quina és la mitjana de consum elèctric mensual d’aquesta llar? [4 punts]

MATEMÀTIQUES: estadística.

I Alumne: __________________________________________ Data: ___________ Curs: ___________ Exercici 1. A continuació tens un llistat dels equips que han guanyat la lliga espanyola durant els últims 20 anys. Amb aquestes dades, elabora una taula de freqüències. Després, respon a les preguntes que se’t plantegen. [24 punts] Real Madrid C.F.

Real Madrid C.F.

F.C. Barcelona

F.C. Barcelona

Valencia C.F.

Real Madrid C.F.

Valencia C.F.

Real Madrid C. F.

R.C.D. La Coruña

F.C. Barcelona

F.C. Barcelona

Real Madrid C.F.

At. Madrid

Real Madrid C.F.

F.C. Barcelona

F.C. Barcelona

F.C. Barcelona

F.C. Barcelona

Real Madrid C.F.

Real Madrid C.F.

c) Quin percentatge de campionats han guanyat equips madrilenys? [3 punts]

d) Quin percentatge de campionats no ha guanyat el F.C. Barcelona? [3 punts]

Exercici 2. A continuació tens un llistat que recull el nombre d’ordinadors que hi ha a casa de cadascun dels divuit alumnes d’una classe de 1r d’ESO. Construeix-ne una taula de freqüències i respon a les preguntes que se’t plantegen més avall. [24 punts] 2

1

0

3

2

1

1

2

1

1

2

1

2

4

2

1

1

2

d) Quin percentatge d’alumnes tenen algun ordinador a casa seva? [3 punts]

e) Quin percentatge d’alumnes tenen més de dos ordinadors a casa? [3 punts]

f) Quina és la mitjana d’ordinadors que hi ha a casa dels alumnes d’aquesta classe? [4 punts]

Exercici 3. A continuació tens un llistat que recull el consum d’aigua mensual d’una llar familiar durant els darrers dos anys.

98

89

70

65

58

62

34

27

58

55

64

83

99

87

68

69

61

56

41

53

65

59

76

88

c) Amb les dades de què disposes, construeix una taula de freqüències. [24 punts]

d) Quina és la mitjana de consum d’aigua mensual d’aquesta llar? [4 punts]

NOTACIÓ CIENTÍFICA EXÀMEN EXÀMEN PER PRACTICAR

MATEMÀTIQUES: notació científica.

I Alumne: __________________________________________ Data: ___________ Curs: ___________

Exercici 1. Expressa en notació científica les següents quantitats. [ 6 punts] a) 36970000000000 = b) 0,0000000006 = c) 4000= d) 0,00000000000058116 = e) 612590 = f) 0,45896 = Exercici 2. Expressa en notació estàndard les següents quantitats. [ 6 punts] a) 6,24 · 10-6 = b) 3,558 · 109 = c) 9,1578 · 10-3 = 10

d) 1,56 · 10 = e) 3 · 10-11 = 5

f) 7 · 10 = Exercici 3. Calcula, sense fer servir la calculadora, el resultat de les següents operacions. [ 6 punts] a) 5 · 106 x 1 · 105 = b) 8 · 103 2

2 · 105 = -7

c) 3 · 10 x 2 · 10 = d) 8 · 10-3

4 · 109 =

e) 1 · 10-9 x 7 · 107 = f) 2 · 10-8 x 4 · 10-3 = Exercici 4. Calcula, fent servir la calculadora, el resultat de les següents operacions. [ 2 punts]

a) 3,897 · 107 x 1,2 · 108 = -6

4

b) 7,5 · 10

9,9856247 · 10 =

MATEMÀTIQUES: notació científica.

I Alumne: __________________________________________ Data: ___________ Curs: ___________

Exercici 1. Expressa en notació científica les següents quantitats. [ 6 punts] g) 415000000000 = h) 0,000000009 = i) 400= j) 0,000000000002255 = k) 1250 = l) 0,789 = Exercici 2. Expressa en notació estàndard les següents quantitats. [ 6 punts] -5

g) 4,65 · 10 = 6

h) 9,338 · 10 = i) 1,5617 · 10-4 = j) 2,15 · 109 = -12

k) 2 · 10

2

=

l) 8 · 10 =

Exercici 3. Calcula, sense fer servir la calculadora, el resultat de les següents operacions. [ 6 punts] 2

4

a) 3 · 10 x 2 · 10 = b) 6 · 105

2 · 107 =

5

-8

c) 2 · 10 x 4 · 10 = -4

d) 9 · 10

6

3 · 10 =

-8

5

e) 1 · 10 x 5 · 10 = f) 3 · 10-7 x 3 · 10-2 = Exercici 4. Calcula, fent servir la calculadora, el resultat de les següents operacions. [ 2 punts] 6

7

a) 4,558 · 10 x 4,9 · 10 = b) 6,9 · 10-7

7,26895713 · 104 =

TRIANGLES EXÀMEN EXÀMEN PER PRACTICAR

MATEMÀTIQUES: triangles.

I Alumne: __________________________________________ Data: ___________ Curs: ___________ Exercici 1. Assenyala quins dels següents triangles són rectangles i marca’n l’angle recte. [2 punts]

Exercici 2. Identifica els catets i la hipotenusa de cadascun dels següents triangles rectangles.

[6 punts]

Exercici 3. Mesura amb transportador els següents angles. [3 punts]

A

A

Exercici 4. Mesura amb transportador els angles del següent triangle. [4 punts]

Exercici 5. Amb el transportador, dibuixa un angle de 75º i un altre de 120º. [2 punts]

Exercici 6. Dibuixa un triangle que té un costat de 4 cm, un angle de 45º i un altre costat de 3,5 cm. [ 4 punts]

Exercici 7. Hem recolzat una escala contra un mur. L’alçada del mur és de 1,5 m i els peus de l’escala es troben a 1 m de la base del mur. Calcula quina és la longitud de l’escala. [ 10 punts]

2m

Exercici 8. Un edifici produeix una ombra de 6 m. A la mateixa hora, un llistó de fusta de 4 m de longitud produeix una ombra d’1,5 m. Calcula l’alçada de l’edifici. [ 8 punts]

Exercici 9. Sense fer servir el transportador, indica el valor dels angles assenyalats. [ 5 punts]

A B

50º C

Exercici 10. Sense fer servir el transportador, indica el valor dels angles assenyalats. [ 4 punts] A 25º

Triangles (repàs).

▪ Exercici 1. Assenyala quins dels següents triangles són rectangles i marca’n l’angle recte.

▪ Exercici 2. Assenyala quins són els catets i la hipotenusa de cadascun dels següents triangles.

▪ Exercici 3. Sense fer servir el transportador, indica el valor dels angles assenyalats.

A

45º

A

A

B

70º

50º

A

30º

C

▪ Exercici 4. Sense fer servir el transportador, indica el valor dels angles assenyalats.

A

A A

A

30º

60º

45º

60º

36º

50º

▪ Exercici 5. Mesura amb transportador els següents angles.

A

A

A

A

▪ Exercici 6. Mesura amb transportador els angles dels següents triangles.

▪ Exercici 7. Amb el transportador, dibuixa un angle de 45º i un altre de 160º.

▪ Exercici 8. Dibuixa un triangle amb un costat de 4,2 cm, un angle de 60º i un altre costat de 5 cm.

▪ Exercici 9. Calcula el valor de la diagonal d’una taula de billar de 1,1 m d’amplada per 2,2 m de llargada.

1,1 m

2,2 m

▪ Exercici 10. Un edifici de 54 m d’altura produeix una ombra de 15 m. A la mateixa hora, un altre edifici en produeix una de 25 m. Quina és l’altura del segon edifici?

54 m

15 m

25 m