AÐALNÁMSKRÁ GRUNNSKÓLA – ALMENNUR HLUTI 2011 – GREINASVIÐ 2013
25
STÆRÐFRÆÐI
Gerð er grein fyrir menntagildi og megintilgangi stærðfræðinnar í þessum kafla. Tekið er mið af þeim sex grunnþáttum sem fjallað er um í 2. kafla, áhersluþáttum í námi sem fjallað er um í 6. kafla og lykilhæfni sem skilgreind er í kafla 9.4 og 18. kafla. Sett eru fram hæfniviðmið við lok 4., 7. og 10. bekkjar. Í framhaldi er fjallað um kennsluhætti og námsmat, tekur sú umfjöllun mið af þeim áherslum sem birtast í hæfniviðmiðunum. Á grundvelli hæfniviðmiða eru kennsluaðferðir, námsefni og matsaðferðir valdar og skal gera grein fyrir þeim í skólanámskrá viðkomandi skóla. Í lok kaflans eru sett fram matsviðmið sem nýtt skulu, eftir því sem við á, til að lýsa hæfni nemanda við lok grunnskóla.
25.1
Menntagildi og megintilgangur stærðfræði
Stærðfræðin hefur frá því sögur hófust verið mikilvægur hluti menningarinnar. Verkefni stærðfræðinnar eru að finna, skapa, tjá og útskýra hvers kyns regluleika, lögmál, kerfi og mynstur. Hún er þannig ein af mikilvægum leiðum mannsins til að skapa merkingu og skilja náttúru og samfélag. Hún er jafnframt tæki til að hafa áhrif á hvoru tveggja. Í aldanna rás hafa hugtök og táknmál um stærðir, rými og reglur þróast í stöðugri viðleitni mannsins til að ná meiri stjórn á aðstæðum sínum og auka getu sína til aðgerða. Við notum til dæmis tölur og reikniaðgerðir til að eiga í samskiptum, skipuleggja, draga ályktanir og taka skynsamlegar ákvarðanir um framleiðslu og neyslu. Við getum þannig reynt að stuðla að sjálfbærni. Einnig rannsökum við í stærðfræði eðli talna, reikniaðgerða, forma, breytinga og lögmála, án tilvísunar í efnisheiminn. Við skipulagningu stærðfræði skulu öll hæfniviðmið höfð í huga og sá rammi sem námssviðinu er markaður í viðmiðunarstundaskrá í almennum hluta aðalnámskrár.
208
Mennta- og menningarmálaráðuneyti
Stærðfræði hjálpar okkur að lýsa aðstæðum af nákvæmni og útskýra orsakasamhengi innan þeirra. Túlka gögn, og segja fyrir um og hafa áhrif á framvindu. Samfélag okkar og nýsköpun innan þess einkennist af kerfum, sem byggjast á nýtingu stærðfræðinnar. Þar má nefna kosningakerfi, kóðun upplýsinga á Netinu, staðsetningarkerfi, farsíma, veðurspár, tölvuleiki, teiknimyndir, gagnagrunna og hvers kyns tölfræðilega úrvinnslu upplýsinga. Raunvísindi og margar aðrar fræðigreinar nýta sér í ríkum mæli hugtök, niðurstöður og aðferðir stærðfræðinnar. Hæfni í stærðfræði er þannig forsenda læsis og sköpunar á flestum sviðum tækni, fræða og verkmenningar. Auk þess styður hún fólk til að taka ígrundaðar ákvarðanir í daglegu lífi, sem hafa áhrif á heilbrigði og velferð og að taka virkan þátt í lýðræðissamfélagi, í stöðugri þróun. Stærðfræði er óhlutbundin fræðigrein þar sem allar niðurstöður eru staðfestar með röksemdafærslum. Hún hefur við aldalanga iðkun, orðið að alþjóðlegu tungumáli og verkfæri til að miðla upplýsingum og hugmyndum og vinna úr þeim. Stærðfræðin hefur líka sína eigin fagurfræði, sem nemendur þurfa að fá tækifæri til að kynnast, með því að fást við stærðfræðileg mynstur, form, tengsl og röksemdafærslur frá ólíkum sjónarhornum. Megintilgangur náms í stærðfræði er að nemendur öðlist alhliða hæfni til að nota stærðfræði sem lifandi verkfæri í fjölbreyttum tilgangi og við ólíkar aðstæður. Í stærðfræðinámi þurfa nemendur að þróa með sér hæfni til að setja fram og leysa viðfangsefni, ígrunda ólíkar aðferðir og líkön sem nýtast við lausnir þeirra og leggja mat á niðurstöður. Stærðfræðikennsla í grunnskóla þarf að stuðla að því að nemendur: s tileinki sér það viðhorf að það sé gagnlegt að hafa stærðfræði á valdi sínu og með ástundun geti þeir náð tökum á henni, s öðlist hæfni í að setja fram og leysa þrautir með hjálp stærðfræðinnar og leggja mat á eigin lausnaleiðir og annarra, s öðlist hæfni í að nota stærðfræðileg hugtök og greina tengsl þeirra, s öðlist hæfni í að nota tungumál stærðfræðinnar til að ræða um, færa rök fyrir og útskýra eigin tilgátur og annarra, útreikninga og niðurstöður, s öðlist hæfni í að nýta stærðfræði sem tæki til að leysa viðfangsefni og greina hvaða aðferðir henta best hverju sinni. Hæfni í stærðfræði felst í að hafa ljósan skilning á stærðfræði, geta spurt og svarað með henni og notað tungumál og verkfæri hennar. Til þess að öðlast þessa hæfni þurfa nemendur að þróa með sér jákvætt viðhorf til stærðfræði, trú á eigin getu og rækta með sér það viðhorf að stærðfræði sé skynsamleg og nytsamleg Í því felst að geta leitað lausna og sett stærðfræðileg viðfangsefni fram á fjölbreyttan hátt, með því
209
AÐALNÁMSKRÁ GRUNNSKÓLA – ALMENNUR HLUTI 2011 – GREINASVIÐ 2013
að beita skapandi hugsun, ígrundun og röksemdum og setja fram stærðfræðileg líkön. Einnig þurfa nemendur að öðlast skilning á stærðfræðilegum hugtökum, aðgerðum og venslum. Ráða yfir sveigjanlegum, áhrifaríkum, nákvæmum og viðeigandi aðferðum til lausna á hvers kyns viðfangsefnum. Þeir þurfa hæfni til að setja fram, tákna og leysa stærðfræðileg vandamál og nýta hjálpartæki til stærðfræðilegra verka, þar með talin tölvutækni. Hæfni í stærðfræði felur í sér að geta tjáð sig með stærðfræði, útskýrt hugsun sína um hana fyrir öðrum, rökrætt um lausnaleiðir og sannreynt lausnir sínar og annarra. Í lýðræðissamfélagi byggist upplýst opinber umræða um álitamál á því að fólk geti rökrætt um og vísað til tölfræðilegra gagna og fræðilegra lögmála sem iðulega eru á máli stærðfræðinnar. Námið á að leiða til þess að nemendur þrói með sér hæfni til að rökstyðja og leggja mat á rökstuðning annarra með hjálp stærðfræðinnar. Stærðfræðikennsla, sem byggir á menningarlegum margbreytileika, tekur tillit til þess að stærðfræði hefur mótast af þörf fólks fyrir að leysa þau verkefni sem upp koma í ólíkum samfélögum. Nemendur þurfa að kynnast sögu stærðfræðinnar, hvernig hugtök og aðferðir, sem mikilvægt er að hafa á valdi sínu, hafa þróast í aldanna rás. Þeir þurfa að fá tækifæri til að hugleiða mikilvægi, notagildi og takmörk stærðfræðinnar í daglegu lífi, öðrum námsgreinum og í sögulegu samhengi til að skilja gildi hennar og áhrif á menningu okkar, tækni og samfélagsskipan. Kennslunni þarf að haga þannig að nemendur fái áhuga á stærðfræði, að þeim áhuga sé viðhaldið og að nemendur öðlist tiltrú á eigin hæfni til að beita henni við margvíslegar aðstæður og leysa fjölbreytt viðfangsefni. Kennslan þarf að byggjast á virðingu fyrir hugsun nemenda, margbreytileika þeirra og miða að því að stærðfræðin verði þeim öllum uppspretta merkingar. Þannig getur stærðfræði orðið þeim tæki til að skoða eigin aðstæður og samfélagið með gagnrýnum hætti og stuðlað að jafnrétti. Einnig getur stærðfræði stuðlað að gagnrýnni hugsun og aukinni ábyrgð nemenda í daglegu lífi, m.a. hvað varðar ákvarðanir um eigin fjármál og neyslu.
25.2
Hæfniviðmið fyrir stærðfræði
Hæfniviðmiðin eru sett fram í sjö flokkum. Fyrstu þrír flokkarnir eru almenn viðmið um stærðfræðilega hæfni og fjórir flokkar snúa að hæfni á ólíkum sviðum stærðfræðinnar. Þó viðmiðin séu flokkuð á þennan hátt er mikilvægt að líta á þau sem samfellda heild. Þegar sjónum er beint sérstaklega að einu viðmiði þarf að hafa í huga að nám er samfellt ferli og skapandi athöfn, fremur en söfnun afmarkaðrar þekkingar og þjálfun í tiltekinni leikni.
210
Mennta- og menningarmálaráðuneyti
Að geta spurt og svarað með stærðfræði Við lok 4. bekkjar getur nemandi: tjáð sig um stærðfræði, útskýrt hugsun sína um hana fyrir öðrum, leitað lausna og sett þær fram á fjölbreyttan hátt með því að beita skapandi hugsun, ígrundun og rökstuðningi og fylgt rökstuðningi jafningja.
Við lok 7. bekkjar getur nemandi: tjáð sig um stærðfræði, útskýrt hugsun sína um hana fyrir öðrum, leitað lausna og sett stærðfræðileg viðfangsefni fram á fjölbreyttan hátt með því að beita skapandi hugsun, ígrundun, óformlegri og einfaldri, formlegri röksemdafærslu, fylgt og metið rökstuðning annarra.
Við lok 10. bekkjar getur nemandi: tjáð sig um stærðfræðileg efni og um veruleikann með tungumáli stærðfræðinnar, útskýrt hugsun sína um hana fyrir öðrum, leitað lausna og sett viðfangsefni fram á fjölbreyttan stærðfræðilegan hátt með því að beita skapandi hugsun, ígrundun og röksemdafærslu,sett fram, greint, túlkað og metið stærðfræðileg líkön.
s tekið þátt í samræðum um spurningar og svör sem eru einkennandi fyrir stærðfræði,
s spurt, tjáð sig munnlega og s greint á milli skilgreininga og skriflega um spurningar og setninga, milli einstakra tilvika svör sem eru einkennandi fyrir og alhæfinga. Getur nýtt þá stærðfræði og hefur innsýn í þekkingu til að kanna og ræða hvers konar svara má vænta, um stærðfræðileg hugtök, um tilgang og takmörk þeirra,
s leyst stærðfræðiþrautir sem gefa tækifæri til að beita innsæi, notað áþreifanlega hluti og eigin skýringamyndir,
s leyst stærðfræðiþrautir um viðfangsefni sem gefa tækifæri til að beita innsæi, eigin túlkun og framsetningu, byggða á fyrri reynslu og þekkingu,
s fundið, sett fram og afmarkað stærðfræðiþrautir bæði í tengslum við daglegt líf og viðfangsefni stærðfræðinnar, lagt mat á lausnirnar, m.a. með það að markmiði að alhæfa út frá þeim,
s sett fram, meðhöndlað og túlkað einföld reiknilíkön, talnalínur, teikningar og myndrit sem tengjast umhverfi hans og daglegu lífi,
s sett fram, meðhöndlað, túlkað og greint einföld reiknilíkön, teikningar og myndrit sem tengjast umhverfi hans og daglegu lífi,
s sett upp, túlkað og gagnrýnt stærðfræðilegt líkan af raunverulegum aðstæðum. Það getur m.a. falið í sér reikning, teikningar, myndrit, jöfnur og föll,
s rökrætt af innsæi um stærðfræðiverkefni sem tengjast eigin reynsluheimi, rökstutt niðurstöður sínar, val á lausnaleiðum og fylgt röksemdafærslu annarra.
s sett fram óformleg og einföld, s fundið rök fyrir og rætt um formleg stærðfræðileg rök, fullyrðingar um stærðfræði, skilið og metið munnlegar skilið og metið röksemdir sem og skriflegar röksemdir sem settar eru fram af öðrum og settar eru fram af öðrum. unnið með einfaldar sannanir.
211
AÐALNÁMSKRÁ GRUNNSKÓLA – ALMENNUR HLUTI 2011 – GREINASVIÐ 2013
Að kunna að fara með tungumál og verkfæri stærðfræðinnar Við lok 4. bekkjar getur nemandi: notað hugtök og táknmál úr stærðfræði og hentug verkfæri, þar með talin hlutbundin gögn, reiknirit, talnalínu, vasareikna og tölvur til rannsókna og samræðu um stærðfræðileg viðfangsefni,
s notað myndmál, frásögn og texta jafnhliða táknmáli stærðfræðinnar og unnið með innbyrðis tengsl þeirra,
Við lok 7. bekkjar getur nemandi: notað hugtök og táknmál stærðfræðinnar og hentug verkfæri, þar með talin hlutbundin gögn, reiknirit, talnalínu, vasareikna og tölvur til rannsókna á stærðfræðilegum viðfangsefnum og tjáð sig bæði munnlega og skriflega um lausnir stærðfræðiverkefna, s notað óformlega framsetningu annars vegar og táknmál stærðfræðinnar hins vegar og sýnt að hann skilur innbyrðis tengsl þeirra,
Við lok 10. bekkjar getur nemandi: notað hugtök og táknmál stærðfræðinnar til að setja fram, tákna og leysa hversdagsleg og fræðileg vandamál, rætt um lausnir og nýtt margvísleg hjálpartæki til stærðfræðilegra verka, þar með talin tölvutækni,
s sett fram og notað mismunandi framsetningu sama fyrirbæris, hvort sem um er að ræða hlutbundna, myndræna, munnlega eða algebrulega framsetningu eða með töflu og grafi,
s lesið úr táknmáli stærðfræðs túlkað og notað einföld s túlkað og notað einföld innar, notað það á merkingarstærðfræðitákn, þar með talið stærðfræðitákn, þar með talið bæran hátt, t.d. þýtt af tölur og aðgerðamerki og breytur og einfaldar formúlur, daglegu máli yfir á táknmál tengt þau við daglegt mál, túlkað milli táknmáls og stærðfræðinnar og skilið þær daglegs máls, leikreglur sem gilda um meðferð þess, s tekið þátt í samræðum um stærðfræðileg verkefni,
s sett sig inn í og tjáð sig, bæði munnlega og skriflega, um ólíkar leiðir við lausnir stærðfræðiverkefna,
s tjáð sig um stærðfræðileg efni munnlega, skriflega og myndrænt, af nákvæmni og túlkað framsetningu annarra á stærðfræðilegu efni,
s valið og notað margvísleg s notað hentug verkfæri, s valið og notað hentug verkverkfæri, þar með talin þar með talin hlutbundin færi, þar með talin hlutbundin tölvutækni, gert sér grein gögn, reiknirit, talnalínu, gögn, reiknirit, talnalínu, fyrir möguleikum þeirra og vasareikna og tölvur, til vasareikna og tölvur, til ranntakmörkunum, notað þau rannsókna á stærðfræðilegum sókna á stærðfræðilegum markvisst til að rannsaka viðfangsefnum. viðfangsefnum. stærðfræðileg efni og setja fram niðurstöður sínar.
212
Mennta- og menningarmálaráðuneyti
Vinnubrögð og beiting stærðfræðinnar Við lok 4. bekkjar getur nemandi:
Við lok 7. bekkjar getur nemandi:
unnið einn og í samvinnu við aðra að því að rannsaka, greina, túlka, setja fram tilgátur og finna lausnir á viðfangsefnum, sem tengjast daglegu lífi með fjölbreyttum aðferðum og kynnt niðurstöður sínar, lesið og lagt mat á einfaldan stærðfræðitexta,
unnið einn og í samvinnu við aðra að því að rannsaka, greina, túlka, setja fram tilgátur og finna lausnir á viðfangsefnum, sem tengjast samfélagi og umhverfi með fjölbreyttum aðferðum og kynnt niðurstöður sínar, lesið og lagt mat á stærðfræðitexta,
unnið skipulega einn og í samvinnu við aðra að því að rannsaka, greina, túlka, setja fram tilgátur og finna lausnir, alhæfa um hvers kyns viðfangsefni með hjálp stærðfræðinnar, lesið og lagt mat á stærðfræðitexta, notað viðeigandi verkfæri s.s. tölvur og kynnt niðurstöður sínar,
s tekið þátt í að þróa fjöls tekið þátt í að þróa fjölbreyttar lausnaleiðir, með því breyttar lausnaleiðir, með því m.a. að nota hlutbundin gögn m.a. að nota skráningu með og teikningar, tölum, texta og teikningum,
s tekið þátt í að þróa skipulega fjölbreyttar lausnaleiðir, m.a. með notkun upplýsingatækni,
s kannað og rannsakað með því s rannsakað, sett fram á að setja fram tilgátur og gera skipulegan hátt og rökrætt tilraunir með áþreifanlegum stærðfræðilega, með því gögnum, m.a. að nota hlutbundin gögn, skráningu og upplýsingatækni,
s rannsakað, sett fram á skipulegan hátt og rökrætt með það að markmiði að alhæfa um stærðfræðileg efni,
s lesið og rætt um einfaldar upplýsingar, þar sem stærðfræðihugtök eru notuð,
s lesið einfaldan, fræðilegan texta og notað upplýsingar, þar sem stærðfræðihugtök koma fyrir,
s undirbúið og flutt munnlegar kynningar og skrifað texta um eigin vinnu með stærðfræði, m.a. með því að nota upplýsingatækni,
s undirbúið og flutt stuttar kynningar á eigin vinnu með stærðfræði,
s undirbúið og flutt kynningar á s unnið í samvinnu við aðra að lausnum stórra og smárra eigin vinnu með stærðfræði, tærðfræðiverkefna og gefið öðrum viðbrögð, m.a. með því að spyrja markvisst,
s unnið í samvinnu við aðra að lausnum stærðfræðiverkefna, þar sem byggt er á hugmyndum nemenda,
s unnið í samvinnu við aðra að lausnum stærðfræðiverkefna, þar sem byggt er á ólíkum forsendum og hugmyndum nemenda,
s tekist á við verkefni úr umhverfinu eða samfélaginu, þar sem þarf að afla upplýsinga og meta þær, finna lausnir, m.a. í tengslum við ábyrgð á eigin fjármálum, neyslu og þróun samfélagsins,
s notað stærðfræði til að finna lausnir á verkefnum sem takast þarf á við í daglegu lífi og gerir sér grein fyrir verðgildi peninga,
s þekki helstu hugtök um fjármál og geti tekist á við verkefni úr umhverfinu eða samfélaginu, þar sem þarf að afla upplýsinga, vinna úr þeim og finna lausn,
s nýtt möguleika stærðfræðinnar til að lýsa veruleikanum og líkt eftir raunverulegum fyrirbrigðum, m.a. með notkun tölvutækni og gert sér grein fyrir hvenær slíkt er gagnlegt og við hæfi,
s borið skynbragð á hvaða möguleikar og takmörk stærðfræðinnar eru til að lýsa veruleikanum.
s áttað sig á möguleikum og s lesið stærðfræðilegan texta, takmörkum stærðfræðinnar til skilið og tekið afstöðu til að lýsa veruleikanum. upplýsinga sem settar eru fram á táknmáli stærðfræðinnar.
213
Við lok 10. bekkjar getur nemandi:
AÐALNÁMSKRÁ GRUNNSKÓLA – ALMENNUR HLUTI 2011 – GREINASVIÐ 2013
Tölur og reikningur Við lok 4. bekkjar getur nemandi: skráð fjölda og reiknað með náttúrlegum tölum, tekið þátt í að þróa lausnaleiðir við útreikninga og skráð svör sín með tugakerfisrithætti,
Við lok 7. bekkjar getur nemandi:
Við lok 10. bekkjar getur nemandi:
tjáð stærðir og hlutföll, reiknað með ræðum tölum, tekið þátt í að þróa lausnaleiðir við útreikninga, skráð svör sín með tugakerfisrithætti, nýtt sér samhengi og tengsl reikniaðgerðanna,
notað rauntölur og reiknað með ræðum tölum, greint samhengi milli talna í ólíkum talnamengjum, tekið þátt í að þróa lausnaleiðir, nýtt sér samhengi og tengsl reikniaðgerðanna og notað þá þekkingu við útreikninga og mat á þeim,
s notað náttúrlegar tölur, raðað þeim og borið saman,
s notað ræðar tölur, raðað þeim s notað rauntölur og greint og borið saman, samhengi milli talna í ólíkum talnamengjum,
s notað tugakerfisrithátt,
s notað tugakerfisrithátt og sýnt að hann skilur sætiskerfi,
s notað sætiskerfisrithátt og sýnt að hann skilur þær reglur sem gilda um hann,
s reiknað með náttúrlegum tölum á hlutbundinn og óhlutbundinn hátt,
s skráð hlutföll og brot á ólíka vegu og sýnt fram á að hann skilur sambandið milli almennra brota, tugabrota og prósenta,
s gefið dæmi um mismunandi framsetningu hlutfalla og brota, skýrt sambandið milli almennra brota, tugabrota og prósenta,
s tekið þátt í að þróa hentugar aðferðir sem byggja á eigin skilningi við að reikna samlagningar-, frádráttar-, margföldunar- og deilingardæmi,
s reiknað á hlutbundinn og óhlutbundinn hátt með ræðum tölum,
s leyst viðfangsefni sem sprottin eru úr daglegu lífi og umhverfi, með hugarreikningi, vasareikni, tölvuforritum og skriflegum útreikningum,
s leyst viðfangsefni sem s tekið þátt í að þróa hentugar sprottin eru úr daglegu lífi og aðferðir við reikning með umhverfi, með hugarreikningi, ræðum tölum sem byggja á vasareikni, tölvuforritum og eigin skilningi, skriflegum útreikningum, s gefið dæmi um og sýnt hvernig einföld brot og hlutföll eru notuð í daglegu lífi.
s tekið þátt í að þróa hentugar aðferðir við reikning með ræðum tölum sem byggja á eigin skilningi , nýtt vasareikni og tölvur í þeim tilgangi,
s leyst viðfangsefni sem s reiknað með ræðum tölum, sprottin eru úr daglegu lífi og m.a. við lausnir á jöfnum og umhverfi, með hugarreikningi, öðrum viðfangsefnum algebru, vasareikni, tölvuforritum og skriflegum útreikningum, s notað almenn brot, tugabrot s notað almenn brot, tugabrot og prósentur við útreikninga á og prósentur við útreikninga á daglegum viðfangsefnum, daglegum viðfangsefnum, s nýtt sér samhengi og tengsl reikniaðgerðanna og notað algengar reiknireglur, s.s. víxlreglu, tengireglu og dreifireglu.
214
s nýtt sér samhengi og tengsl reikniaðgerðanna og notað þá þekkingu við útreikninga og mat á þeim.
Mennta- og menningarmálaráðuneyti
Algebra Við lok 4. bekkjar getur nemandi: kannað, búið til og tjáð sig um reglur í mynstrum á fjölbreyttan hátt og leyst einfaldar jöfnur,
Við lok 7. bekkjar getur nemandi: rannsakað mynstur, notað bókstafi fyrir óþekktar stærðir, fundið lausnir á jöfnum með óformlegum aðferðum og notað reglur algebrunnar við reikning,
Við lok 10. bekkjar getur nemandi: rannsakað mynstur og alhæft um þau, leyst jöfnur, notað breytistærðir og lýst sambandi þeirra með stæðum og föllum,
s kannað, búið til og tjáð sig um reglur í talnamynstrum og öðrum mynstrum á fjölbreyttan hátt og spáð fyrir um framhald mynsturs, t.d. með því að nota líkön og hluti,
s rannsakað og sett fram talnamynstur á skipulegan hátt og unnið með regluleika í rúmfræði, lýst mynstrum og venslum með tölum, myndum, orðum og á táknmáli algebrunnar,
s unnið með talnarunur og rúmfræðimynstur til að rannsaka, koma skipulagi á og alhæfa um það á táknmáli algebrunnar og sett fram stæður með breytistærðum,
s notað táknmál stærðfræðinnar til að meta sanngildi og tjá vensl eins og jöfnuð og röð,
s notað bókstafi fyrir óþekktar stærðir í einföldum stæðum og jöfnum,
s leyst jöfnur og einfaldar ójöfnur, leyst saman jöfnur með fleiri en einni óþekktri stærð,
s fundið lausnir á jöfnum með óformlegum aðferðum og rökstutt lausnir sínar, t.d. með því að nota áþreifanlega hluti.
s fundið lausnir á jöfnum og ójöfnum með óformlegum aðferðum, þ.e. notað víxlreglu, tengireglu og dreifireglu við reikning, bæði í huga og á blaði.
s ákvarðað lausnir á jöfnum og jöfnuhneppum með myndritum og lýst sambandi breytistærða með föllum.
215
AÐALNÁMSKRÁ GRUNNSKÓLA – ALMENNUR HLUTI 2011 – GREINASVIÐ 2013
Rúmfræði og mælingar Við lok 4. bekkjar getur nemandi: notað og rannsakað hugtök úr rúmfræði, unnið með rúmfræðilegar færslur, búið til líkön og teiknað skýringarmyndir, áætlað og mælt ólíka mælieiginleika með stöðluðum og óstöðluðum mælieiningum,
Við lok 7. bekkjar getur nemandi: notað undirstöðuhugtök rúmfræðinnar og unnið með rúmfræðilegar færslur, einslögun og mælikvarða, búið til líkön og teiknað skýringarmyndir, áætlað og mælt horn, þyngd, tíma og hitastig með viðeigandi mælikvarða, áætlað og mælt lengd, flöt og rými og nýtt hnitakerfi, hlutbundin gögn og tölvur til þessara hluta,
Við lok 10. bekkjar getur nemandi: notað undirstöðuhugtök rúmfræðinnar, nýtt einslögun, hornareglur og hnitakerfi til að teikna og greina rúmfræðilega hluti, sett fram einföld rúmfræðileg rök, mælt og reiknað lengd, flöt og rými og nýtt tölvur til þessara hluta,
s notað hugtök úr rúmfræði, s.s. um form, stærðir og staðsetningu til að tala um hluti og fyrirbrigði í daglegu lífi og umhverfi sínu,
s notað hugtök og aðferðir rúmfræðinnar til að útskýra hversdagsleg og fræðileg fyrirbrigði
s gert óformlegar rannsóknir á tví- og þrívíðum formum, teiknað skýringarmyndir af þeim og hlutum í umhverfi sínu,
s rannsakað og greint tvívíð og s teiknað skýringarmyndir og unnið með teikningar annarra þrívið form, teiknað einfaldar út frá gefnum forsendum, flatar- og þrívíddarmyndir, rannsakað, lýst og metið speglað, snúið og hliðrað samband milli hlutar og flatarmyndum við rannsóknir teikningar af honum, á mynstrum sem þekja flötinn
s unnið með mælikvarða og lögun,
s notað mælikvarða og einslögun í tengslum við teikningar, áætlað ummál, flatarmál og rúmmál í raunverulegum aðstæðum, rannsakað aðferðir til að reikna það,
s notað mælikvarða og unnið með einslaga form, útskýrt setningu Pýþagórasar og reglu um hornasummu í marghyrningi og beitt henni í margvíslegu samhengi. Einnig gert rannsóknir á rétthyrndum þríhyrningum og reiknað hliðarlengdir og horn út frá þekktum eiginleikum,
s áætlað og mælt ólíka mælieiginleika, s.s. lengd, flöt, rými, þyngd, tíma og hitastig með óstöðluðum og stöðluðum mælitækjum og notað viðeigandi mælikvarða,
s áætlað og mælt horn, þyngd, tíma og hitastig með viðeigandi mælikvarða og dregið ályktanir af mælingunum,
s mælt ummál, flöt og rými, reiknað stærð þeirra og útskýrt hvað felst í mælihugtakinu,
s rannsakað og gert tilraunir með rúmfræði á einfaldan hátt með því að nota tölvur og hlutbundin gögn,
s rannsakað og gert tilraunir í rúmfræði með því að nota tölvur og hlutbundin gögn,
s nýtt tölvur til að teikna, rannsaka og setja fram rök um rúmfræðilegar teikningar,
216
s notað undirstöðuhugtök rúmfræðinnar þar með talin hugtök um stærðarhlutföll, innbyrðis afstöðu lína, færslur og fræðilega eiginleika tví- og þrívíðra forma,
Mennta- og menningarmálaráðuneyti
s speglað og hliðrað flatarmyndum við rannsóknir á mynstrum sem þekja flötinn,
s notað hnitakerfi til að tjá og leysa rúmfræðileg verkefni,
s sett fram einföld rúmfræðileg rök og sannanir og túlkað táknmál algebru með rúmfræði,
s borið saman niðurstöður mismunandi mælinga og túlkað niðurstöður sínar.
s tengt tölur og útreikninga við flatarmyndir og þrívíða hluti.
s túlkað jöfnur í hnitakerfi og notað teikningar í hnitakerfi til að leysa þær.
Við lok 7. bekkjar getur nemandi:
Við lok 10. bekkjar getur nemandi:
Tölfræði og líkindi Við lok 4. bekkjar getur nemandi: gert rannsóknir á umhverfi sínu, unnið og lesið úr niðurstöðum sínum, sett upp í einföld myndrit, tekið þátt í umræðum um gagnasöfnun, tilviljanir og líkur og gert einfaldar tilraunir með líkur,
framkvæmt einfaldar tölfræðirannsóknir, unnið og lesið úr niðurstöðum sínum, sett upp í einföld myndrit, tekið þátt í umræðum um gögn og upplýsingar, dregið ályktanir um líkur og reiknað út líkur í einföldum tilvikum,
notað tölfræðihugtök til að skipuleggja, framkvæma og túlka tölfræðirannsóknir, framkvæmt og dregið ályktanir af tilraunum, þar sem líkur og tilviljun koma við sögu, notað einföld líkindahugtök og talningar til að reikna og túlka líkur á atburðum,
s safnað gögnum í umhverfi sínu og um eigið áhugasvið,
s safnað og unnið úr gögnum, miðlað upplýsingum um þau, m.a. með töflum og myndritum,
s notað tölfræðihugtök til að setja fram, lýsa, skýra og túlka gögn,
s talið, flokkað og skráð, lesið úr niðurstöðum sínum og sett upp í einföld myndrit,
s gert einfaldar tölfræðirannsóknir og dregið einfaldar ályktanir af þeim,
s skipulagt og framkvæmt einfaldar tölfræðikannanir og dregið ályktanir af þeim,
s tekið þátt í umræðum um gagnasöfnun og myndrit, bæði eigin og annarra,
s sótt gögn í gagnabanka, lesið, s lesið, skilið og lagt mat á útskýrt og túlkað gögn og upplýsingar um líkindi sem upplýsingar sem gefnar eru í birtar eru á formi tölfræði, t.d. töflum og myndritum, í fjölmiðlum,
s dregið ályktanir um líkur út s tekið þátt í umræðum um frá eigin tilraunum og borið tilviljanir og líkur, s.s. hvað er saman við fræðilegar líkur, líklegt að muni gerast og hvað er tilviljunum háð, s reiknað út líkur í einföldum s gert einfaldar tilraunir með tilvikum. líkur og borið skynbragð á áhrif þeirra í spilum.
217
s framkvæmt tilraunir þar sem líkur og tilviljun koma við sögu og túlkað niðurstöður sínar, s notað hugtök eins og skilyrtar líkur og óháðir atburðir, notað einfaldar talningar til að reikna og túlka líkur á atburðum.
AÐALNÁMSKRÁ GRUNNSKÓLA – ALMENNUR HLUTI 2011 – GREINASVIÐ 2013
25.3
Kennsluhættir og námsmat í stærðfræði
Hlutverk stærðfræðikennarans er að stuðla að því að nemendur öðlist hæfni í stærðfræði og skapa þeim aðstæður til merkingarbærs stærðfræðináms, þar sem nemendur eru virkir þátttakendur í að rannsaka, setja fram og sannreyna tilgátur. Stærðfræðikennarinn þarf að taka ríkan þátt í vinnu nemenda, skiptast á skoðunum við þá um verkefnin og vera þeim fyrirmynd í notkun stærðfræðilegs tungumáls og röksemda. Kennarinn þarf að velja viðfangsefni sem eru þannig að nemendur geti notað þá þekkingu sem þeir búa yfir til að þróa aðferðir við að leysa þau. Verkefnin þurfa vera verðug og áhugaverð fyrir nemendur. Þau ættu þannig að skapa þörf til að smíða, þróa eða kynnast stærðfræði sem mikilvægt er að hafa vald á og hefur merkingu og gildi fyrir þá þegar þeir leysa þau. Nemendur þurfa að fá tækifæri til íhugunar og samskipta með því að bregðast við hugmyndum skólasystkina sinna og kennara um verkefnin. Einnig er mikilvægt að kennarinn stuðli að því, að lausnir nemenda uppfylli kröfur stærðfræðinnar um skýrleika og nákvæmni í hugtakanotkun og rökstuðningi. Það er á ábyrgð stærðfræðikennarans að skapa aðstæður sem hvetja til náms, þar sem hugmyndir allra nemenda eru metnar að verðleikum. Í skólastofu, þar sem markmiðið er að nemendur öðlist skilning á stærðfræði, vinna þeir saman og greina, meta og byggja á framlagi hvers annars. Viðbrögð kennarans við hugmyndum nemenda og ólíkum lausnaleiðum þeirra hafa afgerandi áhrif á menninguna í skólastofunni og virðingu nemenda fyrir framlagi allra til að skapa öflugt námssamfélag. Mistök skapa nemendum tækifæri til að læra af þeim, greina hvað fór úrskeiðis og styrkja þannig skilning sinn á stærðfræði. Í stærðfræðinámi þurfa nemendur að fá að nota fjölbreytt verkfæri sem hjálpa þeim til að öðlast skilning á vinnubrögðum, hugtökum og reglum stærðfræðinnar. Áþreifanleg verkfæri og hvers kyns líkön auðvelda nemendum að skilja stærðfræðina ef þeir fá að handleika þau og nota til að leysa verkefni. Lestur stærðfræðitexta og frásagnir nemenda, bæði munnlegar og skriflegar, eru verkfæri þeirra til að skerpa skilning sinn og öðlast hæfni í að nýta stærðfræði sem tæki til lausna. Í skólastofu, þar sem komnir eru saman nemendur með ólíkar forsendur til náms, gefur kennarinn til kynna að virða beri alla með því að hlusta vandlega á þær hugmyndir sem hver og einn hefur fram að færa. Það er öflug leið til að stuðla að jafnrétti. Kennarar og nemendur fá þá tækifæri til að kynnast hugmyndum ólíkra einstaklinga og þær ber að meta að verðleikum. Erfitt er að sjá fyrir hvers konar þekkingu verður mikilvægt að hafa vald á þegar börn, sem eru að byrja í skóla, verða fullorðin. Við vitum þó að þeir sem hafa stærðfræði á valdi sínu geta beitt henni til athafna, áhrifa og nýsköpunar við fjölbreytilegar aðstæður og nýtt hana til hagnýtingar í daglegu lífi, t.d. til að taka ábyrgð á eigin fjármálum og
218
Mennta- og menningarmálaráðuneyti
neyslu . Nemendur í grunnskóla þurfa að læra stærðfræði sér til skilnings og að hún hafi merkingu í huga þeirra. Kennsluhættir skulu taka mið af því að stærðfræði er skapandi grein og öflugt tæki til röksemdafærslu og gagnrýninnar hugsunar. Nemendur þurfa að vera virkir þátttakendur í merkingarsköpun, deila hugmyndum sínum með öðrum og læra á uppbyggjandi hátt af eigin framlagi og annarra. Megintilgangur námsmats í stærðfræði er að leiðbeina nemendum um námið og hvernig þeir geti náð settum markmiðum. Fylgst er með hvernig nemendum tekst að ná þeim hæfniviðmiðum sem sett eru fram fyrir stærðfræði og nemendur eru örvaðir til framfara. Mat á hæfni og framförum nemenda er reglubundinn þáttur í skólastarfi og órjúfanlegur frá námi og kennslu. Námsmat veitir upplýsingar um námsgengi nemenda, hæfni þeirra, vinnubrögð og framfarir og gefur kennurum mikilvægar upplýsingar við skipulag kennslu og mótun náms. Við mat á námi skal leitast við að finna hvað nemandinn getur og matsverkefni þarf að setja þannig fram að hann geti sýnt þekkingu sína. Kennarar þurfa að hjálpa nemendum til raunhæfs sjálfsmats, gera þeim grein fyrir markmiðum stærðfræðináms og hvernig miðar í átt að þeim. Leggja skal áherslu á leiðsagnarmat, sem byggist á því að nemendur velti reglulega fyrir sér námi sínu með kennurum sínum, til að nálgast eigin markmið og ákveða hvert skal stefna. Leiðsagnarmat miðar ekki að því að fella dóm um frammistöðu, heldur að hjálpa nemanda að bæta sig, með uppbyggjandi endurgjöf og leiðsögn. Leiðsagnarmat aðstoðar kennara við að fylgjast með þroska nemanda og námsframvindu. Nemendum þurfa að vera ljósar forsendur fyrir matinu, það þarf að vera samræmi milli þess og hæfniviðmiða og áherslu í kennslu. Skilgreina þarf námsmarkmið og vægi námsþátta í upphafi námstímabils, svo að nemendum sé fullljóst að hverju beri að stefna, hvað eigi að mæla og hvernig verði metið. Meta þarf fjölbreytta hæfni nemenda og sérstaklega ber að gæta þess að einstakir námsþættir fái ekki óeðlilega mikið vægi. Form námsmatsverkefna þarf að vera fjölbreytt og í samræmi við kennslutilhögun. Þannig séu metin munnleg, verkleg og skrifleg verkefni, stuttar afmarkaðar æfingar og dýpri athuganir, einstaklingsverkefni og hópverkefni. Jafnframt verkefni sem unnin eru heima og í skóla. Í heimaverkefnum er æskilegt að nýta fjölbreytta möguleika á heimili nemenda til að leysa ýmis verkefni í samráði við heimilin, t.d. hvað varðar þætti sem snerta fjámál og neyslu. Til að sýna hæfni í stærðfræði ættu nemendur að fást við heildstæð verkefni, þar sem þeir leita upplýsinga, rannsaka, vinna úr gögnum og túlka niðurstöður sínar. Verkefnum geta nemendur skilað með kynningum og sýningum á niðurstöðum sínum, fyrirlestrum og greinargerðum, þar sem tölvu- og upplýsingatækni nýtist sem miðill. Verkefnin þarf að meta á eigin forsendum og gefa eðlilegt vægi í heildarmati.
219
AÐALNÁMSKRÁ GRUNNSKÓLA – ALMENNUR HLUTI 2011 – GREINASVIÐ 2013
Sjálfsmat, bæði einstaklinga og hópa, og jafningjamat er eðlilegur hluti af námsmati. Viðtöl kennara við nemendur eru gagnleg leið til að fá upplýsingar um þekkingu þeirra og skilning á stærðfræði. Mappa, t.d. rafræn, eða vinnubók, þar sem nemandi safnar saman verkefnum og úrlausnum, getur hentað vel til að fá yfirsýn yfir framfarir hans. Námsmat þarf að taka tillit til sérþarfa nemenda og sértækra námsörðugleika þeirra, m.a. með lengri tíma til að leysa verkefni, notkun sérstakra hjálpargagna, aðstoð og munnlegu námsmati. Viðhorf nemenda má kanna með viðtölum og spurningalistum um stærðfræðilega hæfni, einstaka námsþætti, vinnuaðferðir og til námsins í heild. Enn fremur getur skipuleg athugun með gátlistum gefið vísbendingu um viðhorf nemenda og framfarir. Mappa, þar sem nemandi safnar bestu verkefnunum sínum, gæti stuðlað að jákvæðu sjálfsmati, auknu sjálfstrausti og verið vitnisburður um viðhorf nemandans. Mikilvægt er að virkja foreldra til þátttöku í stærðfræðináminu, að þeir styðji sem best við námið og fái reglulega upplýsingar um kennsluna og námsmat.
25.4
Matsviðmið fyrir stærðfræði við lok grunnskóla
Í aðalnámskrá eru matsviðmið við lok grunnskóla sett fram bæði fyrir námsgreinar, námssvið og lykilhæfni. Matsviðmið eru lýsing á, hversu vel nemandi hefur skilgreinda hæfni, á valdi sínu. Matsviðmiðin eiga einungis við um 10. bekk, til að styðja við námsmat, við lok grunnskóla. Gert er ráð fyrir að skólar setji matsviðmið fyrir aðra árganga og geri grein fyrir þeim í skólanámskrá. Matsviðmiðin við lok 10. bekkjar lýsa hæfni á kvarða sem birtur er í aðalnámskrá: Notaður er kvarðinn A, B, C, D, þar sem A lýsir framúrskarandi hæfni, B lýsir góðri hæfni, C sæmilegri hæfni og D hæfni sem nær ekki viðmiðum sem lýst er í C. Matsviðmið í flokki B eru byggð á hæfniviðmiðum fyrir 10. bekk og framsetning þeirra er með þeim hætti, að gera má ráð fyrir að þorri nemenda nái þeirri hæfni sem þar er tilgreind. A fá þeir sem sýna framúrskarandi hæfni og C fá þeir sem ekki standast fyllilega þær kröfur sem gerðar eru í B viðmiðum. Ekki eru sett viðmið fyrir D, því sá vitnisburður er notaður þegar nemandi uppfyllir ekki kröfur sem gerðar eru í C viðmiðum. Skóli gerir þá sérstaka grein fyrir hæfni viðkomandi nemanda. Hvert matsviðmið er almenn lýsing á hæfni nemanda. Við lokamat skiptir mestu að kennarar meti það sem til var ætlast samkvæmt hæfniviðmiðum, fullvissi sig um að matsniðurstöður séu byggðar á traustum gögnum og noti fjölbreyttar aðferðir við söfnun gagna til þess að veita nemendum, foreldrum þeirra og skólanum sem gleggstar upplýsingar um stöðu þeirra. Kennarar geta þannig fengið betri innsýn í nám hvers nemanda. Til að fá nákvæma niðurstöðu, svo sem úr samræðum eða vettvangsathugun, getur skipt máli að kennarar vinni saman við að skoða matsgögn nemenda og hafi til þess skýr viðmið.
220
Mennta- og menningarmálaráðuneyti
Þennan matskvarða er skólum skylt að nota við brautskráningu nemenda úr 10. bekk. Skólar ákveða, að öðru leyti, hvernig þeir haga námsmati og einkunnagjöf eða vitnisburði nemenda í öðrum árgöngum. Vitnisburður við lok 10. bekkjar er hafður til hliðsjónar við innritun nemenda í framhaldsskóla og val á námsbrautum. Eftirfarandi atriði geta komið að góðum notum til að auka áreiðanleika og réttmæti í mati. s Setja skýr viðmið eða gera grein fyrir því hvað á að meta. s Velja matsþætti sem hæfa vel hæfniviðmiðum, námsefni og kennsluaðferðum. s Undirbúa lýsingu á því sem á að meta eða sýna dæmi um vel unnin verkefni. s Huga vel að því að verkefni séu í samræmi við viðmið. s Vera vakandi yfir atriðum sem geta skekkt niðurstöður. s Hafa skýrar leiðbeiningar um matsaðferðir, úrvinnslu og túlkun gagna.
Matsviðmið Nemandi getur tjáð sig á skýran og fjölbreyttan hátt um stærðfræðileg efni og um veruleikann með tungumáli stærðfræðinnar. Útskýrt hugsun sína fyrir öðrum á greinagóðan hátt, leitað lausna og sett viðfangsefni fram á fjölbreyttan og nákvæman stærðfræðilegan hátt með því að beita skapandi hugsun, ígrundun og röksemdafærslu. Sett fram, greint, túlkað og metið stærðfræðileg líkön af öryggi á gagnrýninn og skýran hátt. Notað af öryggi hugtök og táknmál stærðfræðinnar til að setja fram, tákna og leysa hversdagsleg og fræðileg verkefni og rætt gagnrýnið um lausnir, valið og nýtt ólík hjálpatæki til stærðfræðilegra verka, þar með talin tölvutækni. Unnið sjálfstætt og skipulega við að rannsaka, greina, túlka, setja fram tilgátur, finna lausnir og alhæfa um hvers kyns viðfangsefni með hjálp stærðfræðinnar. Lesið og lagt gagnrýnið mat á stærðfræðitexta. Valið og notað viðeigandi verkfæri, s.s. tölvur og kynnt niðurstöður sínar á skýran og greinagóðan hátt. Notað rauntölur og reiknað af öryggi með ræðum tölum, greint af öryggi samhengi milli talna í ólíkum talnamengjum. Verið leiðandi í að þróa lausnaleiðir, nýtt sér samhengi og tengsl reikniaðgerðanna og notað þá þekkingu af sveigjanleika við útreikninga og mat á þeim. Rannsakað skipulega mynstur og alhæft um þau, leyst jöfnur af öryggi, notað breytistærðir á sveigjanlegan hátt og lýst sambandi þeirra með stæðum og föllum.
221
A
AÐALNÁMSKRÁ GRUNNSKÓLA – ALMENNUR HLUTI 2011 – GREINASVIÐ 2013
Notað undirstöðuhugtök rúmfræðinnar af öryggi og á fjölbreyttan hátt. Nýtt einslögun, hornareglur og hnitakerfi til að teikna, greina og skapa rúmfræðilega hluti. Sett fram nákvæm rúmfræðileg rök, mælt og reiknað lengd, flöt og rými af öryggi og nýtt tölvur til þessara hluta. Notað tölfræðihugtök af öryggi við að skipuleggja, framkvæma og túlka tölfræðirannsóknir. Framkvæmt og dregið ályktanir á sjálfstæðan og gagnrýninn hátt af tilraunum, þar sem líkur og tilviljun koma við sögu. Notað líkindahugtök og talningar af öryggi til að reikna og túlka líkur á atburðum.
B
Nemandi getur tjáð sig á skýran hátt um stærðfræðileg efni og um veruleikann með tungumáli stærðfræðinnar. Útskýrt hugsun sína fyrir öðrum, leitað lausna og sett viðfangsefni fram á fjölbreyttan stærðfræðilegan hátt, með því að beita skapandi hugsun, ígrundun og röksemdafærslu. Sett fram, greint, túlkað og metið stærðfræðileg líkön á skýran hátt. Notað hugtök og táknmál stærðfræðinnar til að setja fram, tákna og leysa hversdagsleg og fræðileg verkefni og rætt um lausnir og nýtt ólík hjálpatæki til stærðfræðilegra verka, þ.m.t. tölvutækni. Unnið skipulega að því að rannsaka, greina, túlka, setja fram tilgátur, finna lausnir og alhæfa um hvers kyns viðfangsefni með hjálp stærðfræðinnar. Lesið og lagt mat á stærðfræðitexta, notað viðeigandi verkfæri s.s. tölvur og kynnt niðurstöður sínar á skýran hátt. Notað rauntölur og reiknað með ræðum tölum, greint samhengi milli talna í ólíkum talnamengjum. Tekið þátt í að þróa eigin lausnaleiðir, nýtt sér samhengi og tengsl reikniaðgerðanna og notað þá þekkingu við útreikninga og mat á þeim. Rannsakað mynstur og alhæft um þau, leyst jöfnur,notað breytistærðir og lýst sambandi þeirra með stæðum og föllum. Notað undirstöðuhugtök rúmfræðinnar á fjölbreyttan hátt. Nýtt einslögun, hornareglur og hnitakerfi til að teikna, greina og skapa rúmfræðilega hluti. Sett fram einföld rúmfræðileg rök, mælt og reiknað lengd, flöt og rými og nýtt tölvur til þessara hluta. Notað tölfræðihugtök til að skipuleggja, framkvæma og túlka tölfræðirannsóknir. Framkvæmt og dregið ályktanir af tilraunum, þar sem líkur og tilviljun koma við sögu. Notað líkindahugtök og talningar til að reikna og túlka líkur á atburðum.
222
Mennta- og menningarmálaráðuneyti
Nemandi getur tjáð sig að nokkuð vel um stærðfræðileg efni og um veruleikann með tungumáli stærðfræðinnar. Útskýrt hugsun sína fyrir öðrum, leitað lausna og sett stærðfræðileg viðfangsefni fram, með því að beita skapandi hugsun, ígrundun og einfaldri röksemdafærslu. Fylgt og sett fram, greint, túlkað og metið stærðfræðileg líkön á einfaldan hátt. Notað að vissu marki hugtök og táknmál stærðfræðinnar til að setja fram, tákna og leysa einföld hversdagsleg verkefni og rætt um lausnir og nýtt ólík hjálpatæki til stærðfræðilegra verka, þ.m.t. tölvutækni. Getur að vissu marki unnið að því að rannsaka, greina, túlka, setja fram tilgátur og finna lausnir með hjálp stærðfræðinnar. Lesið og lagt að vissu marki mat á stærðfræðitexta, notað verkfæri s.s. tölvur og kynnt niðurstöður sínar á viðeigandi hátt. Notað rauntölur og reiknað með ræðum tölum, skráð svör sín með tugakerfisrithætti og tekið þátt í að þróa eigin lausnaleiðir. Nýtt sér samhengi og tengsl reikniaðgerðanna og notað algengar reiknireglur. Rannsakað mynstur, leyst einfaldar jöfnur, reiknað með breytistærðum og notað reglur algebrunnar við reikning. Notað undirstöðuhugtök rúmfræðinnar á að vissu marki. Nýtt einslögun, hornareglur og hnitakerfi til að teikna, greina og skapa rúmfræðilega hluti. Sett fram einföld rúmfræðileg rök undir leiðsögn, mælt og reiknað lengd, flöt og rými og nýtt tölvur til þessara hluta. Notað tölfræðihugtök við að skipuleggja, framkvæma og túlka tölfræðirannsóknir undir leiðsögn. Framkvæmt og dregið ályktanir af tilraunum, þar sem líkur og tilviljun koma við sögu. Notað einföld líkindahugtök og talningar til að reikna og túlka líkur á atburðum.
223
C