Página 1 de 9
6. Conjuntos 6.1 Conjuntos
6.4 Desigualdades Cuadráticas
6.2 Desigualdades Lineales de una variable
6.5 Problemas de aplicación
6.3 Problemas de aplicación
Conjuntos e Intervalos Los números reales distintos de cero se dividen en dos clases, los positivos y los negativos. Escribimos a>0 (a es mayor que cero) para indicar que a es positivo y a<0 para indicar que es negativo. La suma de a+b y el producto a*b de dos números reales positivos son ambos positivos. Si a es positivo, -a es negativo. Si a y b son dos números reales distintos, escribimos a>b si la diferencia a-b es positiva y a<b si a-b es negativa. Por ejemplo 5>2 porque 5-2=3 es positiva y 2<8 dado que 2-8=-6 es negativo. Geométricamente
Hay un símbolo más que se usa para señalar que a<b o que a=b que es a b. Cuando un número b está entre los números a y c escribimos a<b<c que es una doble desigualdad para indicar que a<b y b<c.
6.1 Conjuntos Toda colección de objetos bien definida se llama conjunto. Los objetos de que consta un conjunto se llaman miembros o elementos del conjunto.
Página 2 de 9
Bien definida quiere decir que dado cualquier objeto, podemos decir sin ambigüedad alguna si pertenece o no a la colección. Un conjunto puede especificarse en dos formas, haciendo una lista de todos sus elementos estableciendo una regla que caracterice a los elementos del conjunto. Examinemos estos dos métodos uno por uno. Método del Listado. Si es posible especificar todos los elementos de un conjunto, el conjunto puede describirse listando todos los elementos y encerrando la lista entre llaves. Por ejemplo: {1,2,5} denota el conjunto que consta de los tres números 1, 2 y 5 y {p,q} simboliza el conjunto cuyos únicos elementos son las letras p y q. Cuando el conjunto tiene un gran número de elementos es posible emplear a menudo lo que llamaremos una lista parcial. Por ejemplo {2,4,6,...,100} denota el conjunto de todos los enteros pares desde 2 hasta 100. Por ejemplo {1,3,5,...} denota todos los números naturales impares. Método de la regla. Hay conjuntos en los que no es posible o que sería inconveniente listar todos los elementos de un conjunto determinado. En tales casos el conjunto puede especificarse estableciendo una regla de pertenencia. Por ejemplo todas las personas que viven en México en este momento. Dar este conjunto listando cada elemento es una tarea prodigiosa. Por eso se puede hacer de la manera siguiente: {x/x es una persona que actualmente vive en México}. El símbolo / significa tal que, de modo que la expresión se lee: El conjunto de todas las x tales que x es una persona que actualmente vive en México. {x/x es un punto de esta página}. Lo cual denota el conjunto de todos los puntos de esta página. Este es un ejemplo de un conjunto que no puede especificarse mediante el método del listado aún si deseáramos hacerlo así. Si N denota el conjunto de los enteros de -2 a +3, entonces N={1,2,3,....} ={k/k es un número natural}. Si P denota el conjunto de los enteros de -2 a 3, entonces P={-2,-1,0,1,2,3} ={x/x es un entero -2
x
3}
Q={1,4,7,...,40} ={x/x=3k+1, k es un entero, 0
k
13}
Subconjuntos: Un conjunto se dice que es subconjunto de otro conjunto B si cada elemento de A también es un elemento de B que si está en A y se escribe: A B, es un subconjunto propio si al menos un elemento de B no está en A y
Página 3 de 9
se escribe A
B.
a) Sea A={2,4,6} y B={1,2,3,4,5,6,7,8} entonces A B. b) Si N es el conjunto de los números naturales, I el conjunto de todos los enteros, Q el conjunto de todos los racionales y R es el conjunto de todos los números reales, entonces N I Q R c) El conjunto de todas las estudiantes de la U.P.A.E.P. es un subconjunto de todos los estudiantes de esta universidad. d) Todo conjunto es un subconjunto de si mismo A A, sin embargo ---A A no es válida. e) Un conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto A. El conjunto A y B son iguales si A
ByB
A. En tal caso, escribimos A=B.
a) Si A={x / x2=1} y B={-1, 1} entonces A=B. b) Si A={y / y2-3y+2=0} y B=1,2} entonces A=B. Sean a y b dos números reales tales que a<b entonces el intervalo abierto de a a b, denotado por (a,b) es el conjunto de todos los números reales x situados entre a y b. Así, (a,b)={x/x es un número real y a<x<b}
De manera similar el intervalo cerrado de a a b, denotado por [a,b] es el conjunto de todos los números reales entre a y b incluyendo a estos [a,b]={x/x es un número real y a
(a,b]={x/a<x
b}
[a,b)={x/a
x
b}
x<b}
Use el método de listado para describir los conjuntos siguientes: 1.- El conjunto de todos los enteros menores que 5 y mayores que -2 2.- El conjunto de los números primos menores que 20 Use el método de la regla para describir los conjuntos siguientes: 3.- El conjunto de los pares menores que 100.
Página 4 de 9
4.- {...,-4,-2,0,2,4,6,...} Demuestre que el conjunto {x/x2-x-2} no es un subconjunto del intervalo [0, ).
6.2 Desigualdades Lineales de una Variable En esta sección, consideramos desigualdades que requieren una sola variable. El ejemplo siguiente se refiere a un sencillo problema de negocios que conduce a una de tales desigualdades. Sea el costo total de producción x unidades de cierto artículo dado por C=3100+25x y cada unidad se vende a $37. El fabricante quiere saber cuantas unidades deberá producir y vender para tener una utilidad de al menos $2000. Supongamos que se producen y venden x unidades. El ingreso I obtenido por vender x unidades en $37 cada una es I=37x. La utilidad U obtenida por producir y vender x unidades está dada entonces por las ecuaciones siguientes: Utilidad = Ingresos - Costos U = 37x-(3100+25x) U=12x-3100 Dado que la utilidad requerida debe ser de $2000 o más, debemos tener que 12x-3100 2000 Esta es una desigualdad en la variable x. Las desigualdades pueden ser < o >, desigualdad estricta y débil.
o
desigualdad
3-x 2x+4 es una desigualdad lineal débil en la variable x. (1/9)z+3>5-(1/3)z es una desigualdad lineal estricta en la variable z. La solución de una desigualdad en una variable es el conjunto de todos los valores de la variable para los cuales la desigualdad es una proposición verdadera.. Regla 1. Cuando el mismo número real se suma o resta a ambos lados de una desigualdad, el sentido de la desigualdad no se altera. En símbolos a>b 8>5
a+c>b+c a-c>b-c 8+4>5+4 8-7>5-7 12>9 1>-2 8>5+2 entonces 8-2>5 2x-1<x+4 2x-
Página 5 de 9
2<4+1
ó
x<5
Regla 2. El sentido de la desigualdad se preserva si ambos lados se multiplican (o dividen) por el mismo positivo y se invierten cuando se multiplican (o dividen) por el mismo número negativo. En símbolos
Si a>b y c es cualquier número positivo, entonces ac>bc y Si a>b y c es cualquier número negativo, entonces ac<bc y 4>-1 4>-1
por 2 por -2
8>-2 -8<2.
Si 2x£4 (2x/2)£(4/2) ó x£ 2 Si -3x<12 (-3x/-3)>(12/-3) ó x>4 Encontrar todos los números reales que satisfacen la desigualdad. 3x+7>5x-1 3x-5x>-1-7 -2x>-8 (-2x/-2)<(-8/-2) x<4 Por lo tanto la solución consta del conjunto de números reales en el intervalo (- ,4) Resuelva la desigualdad
Por lo tanto la solución consta del conjunto de números reales en el intervalo [5/8, ]. Resuelva la doble desigualdad en x. 8-3x
2x-7< x-13
Esta es equivalente a las dos desigualdades siguientes: 8-3x
2x-7 y 2x-7< x-13
Página 6 de 9
Resolviendo estas desigualdades por separado tenemos: -5x -15 x 3
x<-13+7 x<-6
Ambas desigualdades deben ser satisfechas por x. Pero es imposible que x sea igual o mayor que 3 y menor que -6 simultáneamente, por lo tanto no hay solución, ningún número real satisface la doble desigualdad.
6.3 Problemas de aplicación El fabricante de un producto lo puede vender a $60 cada pieza, gasta $40 en materia prima y mano de obra para producirlo y tiene costos fijos de $3000 a la semana en la operación de la planta. Encuentre el número de unidades que debería producir y vender para obtener una utilidad de al menos $1000 por semana. Utilidad = Ingresos-Costos. Utilidad = 60x-(40x+3000)=20x-3000 Utilidad 1000 20x-3000 1000 20x 4000 x 200 El fabricante debe producir y vender al menos 200 unidades cada semana. Se desea decidir si se deben fabricar sus propios empaques una empresa que los ha estado adquiriendo de proveedores externos a $11 cada uno. La fabricación de los empaques incrementaría los costos generales en $8000 al mes y el costo de materiales y mano de obra será de $6 por empaque. ¿Cuántos empaques deberá usar la empresa al mes para justificar su fabricación? Costos mensuales de fabricación 6x+800 Costo de adquisición > Costo de fabricación. 11x>6x+8000 5x>8000 x>1600 Se deberán utilizar al menos 1501 empaques al mes para justificar su fabricación. Resuelva las desigualdades siguientes: 1.- 5+3x<11 2.- 3(2x-1)>4+5(x-1)
Página 7 de 9
3.4.- 5< 2x+7< 13 5.- 3x+7>5-2x>5-2x 13-6x 6.- 3x-5< 1+x< 2x+3 7.- Un fabricante puede vender todas las radios que produce a $300 c/u. Tiene costos fijos de $120000 al mes y le cuesta $200 producir cada artículo. ¿Cuántas unidades debe producir y vender al mes la compañía para obtener utilidades? 8.- El costo de publicación de cada ejemplar de la revista semanal "El chupetón" es de $3.50, los ingresos por ventas de distribución son de $3.00 por ejemplar, y los ingresos por publicidad del 20% sobre los ingresos obtenidos por ventas más allá de los 2000 ejemplares. ¿Cuántos ejemplares se deberán publicar y venderse cada semana para obtener ingresos semanales de al menos $1000?
6.4 Desigualdades Cuadráticas Una desigualdad cuadrática de una variable, tal como x, es una desigualdad de las formas ax²+bx+c >0 (o bien < 0) ax²+bx+c 0 (o bien 0) En donde a, b y c son constantes determinadas (a
0).
Buscamos el conjunto de las x que vuelven verdadera la desigualdad. Resolver la desigualdad Factorizando
x²+3x<4 x²+3x-4<0 (x-1)(x+4)<0
Para que esto sea cierto, el producto debe ser negativo, de modo que uno de los factores debe ser positivo y el otro negativo. Por lo tanto, es claro que debemos examinar los signos de estos dos factores. x-1 es positivo cuando x>1 y negativo si x<1. x+4 es positivo cuando x>-4 y negativo si x<-4. x-1 x+4
--------+++++ ---++++++++++
Por lo que los valores válidos son de (-4 a +1) pues los demás harán productos
Página 8 de 9
positivos mayores que 0. Resolver la desigualdad
Factorizando
5x 2(x²-6) 5x-2x²+12 0 2x²-5x-12 0 (2x+3)(x-4) 0
Para que esto sea cierto el producto debe ser positivo o cero. por lo tanto los factores deben tener el mismo signo. 2x+3 es positivo o cero cuando x -3/2 x-4 es positivo o cero cuando x 4 2x+3 x-4
----++++++++++ ----------++++
Por lo que los valores válidos son de Las ventas mensuales x de cierto artículo cuando su precio es p dólares están dadas por p=200-3x. El costo de producir x unidades del mismo artículo es c= (650+5x) dólares. ¿Cuántas unidades deben producirse y venderse de modo que la utilidad mensual sea por lo menos de 2500 dólares? I=xp
I=x(200-3x)=200x-3x² U=200x-3x²-(650+5x) U=195x-3x²-650 195x-3x²-650 2500 195x-3x²-3150 0 3x²-195x+3150 0 x2-65x+1050 0 (x-30)(x-35) 0 30 x 35 Se deben fabricar de 30 a 35 unidades mensuales para obtener estas utilidades. Resuelva las desigualdades siguientes: 1.- (x-2)(x-5)< 0 2.- (x+1)(x-3) 0 3.- x²-7x+12 0 4.- y(2y+1)>6 5.- x² 4 6.- x²+2x+1>0 7.- Al precio de $p por unidad, x unidades de cierto artículo pueden venderse al mes en el mercado, con p=600-5x ¿Cuántas unidades deberán venderse cada mes con objeto de obtener ingresos por lo menos de $18000? 8.- Un comerciante puede vender todas las unidades de su
Página 9 de 9
producto a $25 cada una. El costo de producir x unidades está dado por c=3000+20x-0.1x² ¿Cuántas unidades deberán producirse y venderse para obtener alguna utilidad? 9.- Un accionista invierte $100 a un interés anual de R por ciento y otros $100 al 2R por ciento. Si el valor de las dos inversiones de al menos $224.80 después de 2 años, ¿Qué restricciones deberán establecerse sobre R?