LECTURA 5.1 NÚMEROS FRACCIONARIOS Y SUS OPERACIONES. Objetivo: Recordar el concepto de fracción, reconocer dos fracciones equivalentes, revisar las operaciones básicas con fracciones y su jerarquización de operaciones. Ahora plantearemos el problema de dividir la unidad en partes. Queremos expresar qué parte de la tableta de chocolate representa cada una de las doce pastillas que la componen; o bien qué porción de un pastel se ha comido cada uno de los niños después de haberlo partido en 5 partes iguales. Los números enteros no nos sirven, de manera directa, para expresar cada una de las 12 partes de la tableta de chocolate o cada pedazo de pastel. Para representar este tipo de cantidades se utilizan los números fraccionarios.
FRACCIÓN, es cada una de las partes en que dividimos una determinada cantidad que tomamos como unidad.
Para escribir las fracciones utilizamos un par de números enteros puestos uno encima del otro y separados por una rayita horizontal. El número situado debajo de la rayita indica el número de partes en que hemos dividido la unidad y se llama denominador, ya que da el nombre a la fracción. El número de arriba indica cuántas partes consideramos y se llama numerador de la fracción.
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Cuando el número de partes que tomamos no supera el número de partes en que hemos dividido a la unidad, es decir, cuando el numerador es menor que el denominador , entonces se trata de una fracción propia. Son fracciones propias:
7 3 19 1 328 , , , , 12 5 20 100 506
Cuando el numerador en mayor que el denominador entonces la fracción es impropia. Una fracción impropia contiene siempre un número entero de veces a la unidad;
en el caso de los
7 de litro de refresco, la unidad esta contenida dos veces y una 3
tercera parte más de otra. En general toda fracción impropia se puede descomponer en la suma de un número entero más una fracción propia, que recibe el nombre de fracción mixta. Una fracción cuyo numerador y denominador es igual se denomina fracción unitaria.
Algunas afirmaciones que podemos hacer con respecto a las fracciones son: 1) Toda fracción propia es menor que la unidad 2) Toda fracción impropia es mayor que la unidad,
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3) Toda fracción unitaria es igual a la unidad 4) De varias fracciones que tengan igual denominador es mayor la que tenga mayor denominador 5) De varias fracciones que tengan el mismo numerador es mayor la que tenga menor denominador 6) Si a los 2 términos de una fracción propia (numerador y denominador) se les suma un mismo número, la fracción nueva es mayor que la primera 7) Si el numerador o el denominador de una fracción es multiplicado por cierto número, la nueva fracción queda multiplicada por dicho número y en caso que se divida, queda dividida. 8) Si los 2 términos de una fracción se multiplican o dividen por un mismo número, la fracción no varía 9) Si a los 2 términos de una fracción propia se le resta un mismo número, la nueva fracción es menor que la primera 10) Si a los dos términos de la fracción impropia se les suma el mismo número, la fracción resultante es menor que la anterior, sin embargo, si se les resta un mismo número la nueva fracción será mayor que su antecesora.
2.2.1. EQUIVALENCIA Y ORDEN DE FRACCIONES Dos ó más fracciones son equivalentes cuando tienen diferente forma de presentación pero sin alterar su valor.
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1 , es equivalente a 2
3 6
2 , es equivalente a 4
Observando el ejemplo anterior puede concluirse que para obtener fracciones equivalentes, se multiplica o divide simultáneamente el numerador y el denominador de una fracción dada por un mismo número. Del ejemplo anterior:
2 1 1 , es equivalente a porque el numerador y denominador de se multiplicó 4 2 2 por DOS. Al igual que:
3 1 , es equivalente a porque esta fracción se multiplicó por TRES. 6 2 Con este procedimiento podemos encontrar un número muy grande de fracciones equivalentes.
Si nosotros quisiéramos saber si dos fracciones son equivalentes el procedimiento más adecuado y sencillo es el siguiente: Analicemos si las siguientes fracciones son equivalentes:
2 8 = 3 12 Multipliquemos el numerador de una fracción por el denominador de la otra, y observemos si los productos son iguales:
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2 × 12 = 24
3 × 8 = 24
y
Orden de fracciones. Para poder establecer el orden entre fracciones debemos considerar lo siguiente: a) Si el denominador de las fracciones comparadas es el mismo, entonces el numerador es quien determinará cual de ellas es mayor. b) Cuando se presentan fracciones de diferente denominador debemos tener cuidado para no tener errores de apreciación en el cálculo. Ejemplo:
3 4
,
2 3
Primero.- Se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda:
3× 3 = 9 Segundo.- Multiplicamos el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda:
4× 2 = 8
Tercero.- Se comparan los productos obtenidos, si el primero es mayor que el segundo, la primera fracción es mayor que la segunda. Pero si es menor, entonces la segunda será mayor que la primera. Por lo tanto del ejemplo tenemos que:
3 2 > 4 3 OPERACIONES CON FRACCIONES.
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SUMA Y RESTA. a) Fracciones con igual denominador. En este caso sólo sumamos los numeradores, quedando el mismo denominador de la suma. Reflexiona y explica brevemente por qué? Ejemplo:
2 4 3 14 2 + 4 + 3 + 14 23 + + + = = 5 5 5 5 5 5 b) Fracciones con diferente denominador. Cuando en una adición de fracciones sus denominadores no son iguales, hay que convertirlos en fracciones equivalentes y posteriormente efectuar la suma. Por ejemplo:
1 2 + = 2 3 Hay que convertirlas a fracciones que tengan un denominador común, esto se logra si multiplicamos y dividimos la primera por 3 y la segunda por 2, así tenemos:
1× 3 3 = 2× 3 6
y
2× 2 4 = 3× 2 6
de esta forma:
3 4 3+ 4 7 + = = 6 6 6 6 El procedimiento anterior se convierte en formal cuando efectuamos el siguiente procedimiento: 1°. Se calcula el mcm, de los denominadores.
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2°. El mcm se divide por cada denominador, y el cociente obtenido se multiplica por el numerador. 3°. Este último valor es el nuevo numerador. Ejemplo:
2 5 3 + + = 3 6 4
Obtenemos el mcm de los denominadores: 3 3 4 2 6 1 2 2 3 1 1
22
1× 3
2 3
2× 3
mcm = 2 2 × 3 = 12
4× 2 + 2× 5 + 3× 3 2 5 3 + + = 3 6 4 12
=
8 + 10 + 9 27 = 12 12
Para poder efectuar una resta con fracciones sólo es necesario considerar el signo ( -), con el mismo procedimiento de la suma. Multiplicación y división. Para la multiplicación, el proceso es multiplicar el numerador por el numerador y el denominador por el denominador. El significado de la multiplicación de fracciones se puede representar con el siguiente ejemplo:
2 2 2× 2 4 × = = 3 7 3 × 7 21
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significa :
2 2 de 3 7
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es decir, tomamos dos terceras partes de dos séptimos. La división , por ser inversa de la multiplicación, se resuelve de la siguiente manera: “el dividendo se multiplica por el inverso o recíproco del divisor”. El inverso de una fracción se obtiene cuando el numerador y el denominador intercambian lugares. Ejemplo:
3 4 = 3 ÷ 2 = 3 × 5 = 3 × 5 = 15 2 4 5 4 2 4× 2 8 5 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES. Simplificar una fracción es convertirla en una fracción equivalente, dividiendo el numerador y el denominador, por el mismo divisor tantas veces como sea permitido hasta obtener la a fracción en forma más simple. Ejemplo:
16 8 16 8 2 2 = 4 = = = = 24 12 24 12 6 2 2
4
2 = 2 6 3 2
por lo tan to
16 2 = 24 3
Comúnmente el procedimiento se da en el siguiente orden: extraer MITAD, TERCERA, o cualquier otra fracción en forma alternada al numerador y denominador. El procedimiento termina cuando el numerador y denominador no son divisibles entre el mismo número
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Ejercicios propuestos: 1)
1 6 2 + + = 7 7 7
5)
3 1 7 5 − + − = 30 45 90 120
9)
11 4 × = 5 5
13) 13 ÷
2 = 5
2)
5 12 22 + + = 21 7 42
3) 9 +
3 5 7 6) + − = 4 6 8
7)
1 4 31 10) 8 × 2 × 1 = 9 73 50 14)
1 1 2 1 3 12 17) + − × ÷ − = 7 4 6 8 19 15
11)
19 = 3
5 3 1 − + = 7 5 10 2 8 ÷ = 5 9
1 3 1 7 + − ×3 5 8 24 13 19) = 2 5− 3
3 2 18) 5 + ÷ 3 − = 8 11
21) Jorge prestó $ 195, ya le pagaron
17 4 13 − − = 22 10 88
8)
15 2 ÷ = 17 51
12)
3 3 5 15) + × 70 × 46 5 7
19 ÷ 19 = 23
1 3 − = 3 10
4)
2 3 5 16) ÷ ÷ = 3 4 12 1 8 + 2− 2 1 1 4 = 20) 4 5 6 3÷ × 6 5
2 de la deuda, ¿Cuánto dinero le deben 3
todavía?
5 del día. ¿Qué fracción del día descansa? 12 2 3 23) El Sr. Martínez vende de su terreno, alquila y dona lo restante a una 5 7 22) Un oficinista trabaja
asociación de beneficencia. ¿Qué porción de la finca donó? 24) Celia compra un televisor en $ 4,200. Paga la mitad en efectivo y el resto lo pagará en tres mensualidades; ¿Cuánto pagó en efectivo y cuánto tiene que pagar cada mes? 25) Comprueba si las siguientes parejas de fracciones son equivalentes:
1 2 , 3 5
2 6 , 5 15
2 1 , 4 8
4 5 , 9 11
3 9 , 10 30
3 12 , 4 16
1 4 , 8 32
2 3 , 3 4
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