Exponenciación

EXPONENCIACIÓN Y RADICACIÓN Exponentes Potenciación, es la operación que resulta de multiplicar un mismo número llamado base, tantas veces como lo indique otro número llamado exponente.

23 = 2 × 2 × 2

34 = 3 × 3 × 3 × 3

El número de veces que se repite el mismo factor, se indica con un número pequeño ( exponente) En la parte superior derecha del número factor ( base) Observemos: Exponente

Base → 23 =

2 × 2 ×2 

= 8 → Potencia

Potenciaci ón Considerando el ejemplo anterior podemos establecer las relaciones existentes entre los tres elementos que componen la potenciación.

Exponente Base

3 2 =

8

es la tercera

Potencia Otra característica que podemos ver en el esquema anterior es el grado de la potencia.

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De este modo tenemos: 25 es la segunda potencia de 5

52 = 25

1000 es la tercera potencia de 10

103 = 1000 25 = 32

32 es la quinta potencia de 2

ab = c

c es la b-ésima potencia de a

px = r

r es la x-ésima potencia de p

Producto de potencias de la misma base: Este producto de potencias esta fundamentado en la multiplicación de factores iguales y de acuerdo a ésta tenemos: “ El producto de potencias de la misma base ( distinta de cero), es igual a la base, elevada a la suma de sus exponentes” 23 × 24 = ( 2 × 2 × 2 ) × ( 2 × 2 × 2 × 2 ) = 27 Por lo tanto : 23 × 24 = 23+ 4 = 27 Potencia de potencias.

Observemos los siguientes casos: Sabemos que:

( )

2 2 × 2 2 × 2 2 = 2 2+ 2+ 2 = 2 2

3

= 26

Leyes de los exponentes

I . a m a n = a m+ n am IV . n = a m − n a 1 VI . a = n a −n

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II . ( a m ) = a m× n

III . ( ab ) = a m b m

n

m

a≠ 0

V . a0 = 1 n

an  a VII .   = n b  b

b≠ 0

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Aplica las leyes de los exponentes a las siguientes expresiones:

b)  22   

a) 45 × 42

( 1 2 )( 12 )

j)  b5   

c) ( 3 × 4 ) 5

2  5 e)    7

d) a0 × a0 x a0

g)

3

2 3 f )  a 2   a 2   a 2      

2 h)  2a 2 ⋅ 3b3   

2

k)

2 23

3  m3   i)   2  n 

l)

x4 x4

RADICACIÓN. Radicación: Es la operación inversa a la potenciación y consiste en. Dado un número llamado radicando se debe calcular un número que multiplicado por si mismo tantas veces como lo indique el grado de la raíz, dé como resultado el número radicando.

Ejemplo: Indice de la raíz

2 100 10

Raíz

Radical

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Radicando

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Una forma sencilla para obtener la raíz de un número es descomponerlo en sus factores primos y simplificarlo de acuerdo a las leyes de los exponentes ésta se fundamenta en que la definición de radicación, de tal manera que la radicación es también una potenciación solo que los exponentes no son enteros sino fraccionarios.

Ejemplo: 2

2

4=

2⋅ 2 =

2 2

2 =

1 2 2 2 =

( )

 1 2  2  2

=

2 22

= 2

Como pudimos observar si tenemos un radical este lo podemos representar de la siguiente manera como un exponente fraccionario:

n

a a m

m n

=

Ejercicios: 1. Expresa con exponentes positivos las siguientes expresiones y simplifica. a)

−3  x− 2   b)   y3   

(a b )

3 2 −3

3  8− 1 a − 2b − 3   d)   4− 2 c − 1b   

g)

x y− 1

+

y x− 1

e)

h)

3− 2 + 2− 3 3

−1

 x0   c)   y2   

−3

f ) 3y− 1 −

2 y

x − 2 − y− 2x − 1 y − 1x − 2 − y − 2

2. Exprese con exponente fraccionario las siguientes expresiones: a)

3

d)

3 6 xy3 z 4

b4

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b)

a

c)

4

x 3 4 y5

5 e) 5 x 6 5 y6

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3. Expresar en forma de raíz las siguientes potencias con exponentes fraccionarios.

a)

2 a3

d) x

1 3

1 ab 2

b)

y

1 3

z

1 3

c)

1

( xy) 3

1

e) ( 5c ) 2

4. Simplifique las siguientes expresiones: a) 4 25

d)

g)

j)

b)

3 6 9 x 2 y4

6

125a 6

d) 4 81x 2 y2

e) 6 9

h)

2 3 2 3 27x 2 y5 3x

k)

4

f)

3

x2

16b 2

i)

32

1 4 16a4c 3

l)

40ab 2

5. Introduce al radical el valor exterior: 2 3 2 a) 3 2 b) a 3

c) 2a 2b 5

6. Racionaliza el denominador de cada expresión:

a)

5 y

b)

d)

a 3b

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3− 5 5− 1

c)

e)

x− x+

x+ y x

y y

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