Ecuaciones cuadráticas

ECUACIONES CUADRÁTICASCON UNA INCÓGNITA Asignatura: MATEMÁTICAS 0 PARA NEGOCIOS Departamento: ÁREA DE MATEMÁTICAS Profesor: Mtra. Judith Aguila Mendoza

Ley de la tricotomia:

â&#x20AC;˘ Dadas dos cantidades cualesquiera a y b entre ellas puede existir Ăşnicamente una de las siguientes relaciones: a = b Igualdades a >b Desigualdades a < b Mtra. Judith Aguila Mendoza

Igualdades

â&#x20AC;˘ Las igualdades son expresiones que nos permiten comparar dos cantidades y definen que estas son iguales.

Ejemplo: a = b 44= 2(22) 8= 16/2 Mtra. Judith Aguila Mendoza

Elementos â&#x20AC;˘ La igualdades estan conformadas por los siguientes elementos: Primer miembro= Segundo miembro a) Podemos representar las igualdades mediante dos cantidades conocidas. â&#x20AC;˘ Ejemplo: 4= 2(2) b) Podemos expresar una igualdad mediante cantidades desconocidas o bien conocidas y desconocidas.

Por ejemplo: x= y o bien, x= 5 Mtra. Judith Aguila Mendoza

Elementos: • Cuando las cantidades son desconocidas las denominamos incógnitas y representan la cantidad de nuestro interés en la solución del problema que estamos aplicando.

Por ejemplo: El número de sillas en el salón es 25, lo expresamos: X=25 Donde x es el número de sillas Mtra. Judith Aguila Mendoza

Clasificación: • La igualdades pueden clasificarse en dos tipos: Identidades: Son igualdades que se cumplen para cualquier valor de la incógnita Ejemplo:

x − 4 = ( x + 2 )( x − 2) 2

Si sustituimos x por el valor de 5, tendríamos 25-4= (7)(3)

Mtra. Judith Aguila Mendoza

ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA definición Es una igualdad que se cumple para algunos valores de la incógnita

Lineales ax + b = 0

Solución Es el valor o los valores que hacen verdadera la igualdad

Ejemplos

Clasificación

Racionales a c + = 0 x+ b x+ d M é t o d o

Aplicando la propiedad uniforme de las igualdades de manera directa

Ejemplos

Mtra. Judith Aguila Mendoza

d e

Definiendo el dominio de la ecuación, para definir la solución •Definiendo el mcd de la expresión racional •Multiplicando los dos extremos de la igualdad por el mcd, para simplificar •Resolver la ecuación, tomando en cuenta el dominio Ejemplos

Cuadráticas

Con radical

ax 2 + bx + c = 0

nx+ b = 0

s o l u c i ó n

Por factorización Completando el cuadrado Por fórmula cuadrática

Ejemplos

Ejemplos

Ecuación

4x + 5 = 0 x 2 − 5 = 4x

Mtra. Judith Aguila Mendoza

Solución x=- 5/4 X=5 y X=1

Comprobación  5 4 −  + 5 = 0  4 − 5+ 5= 0 0= 0

( 5 ) 2 − 5 = 4( 5 ) 20 = 20

( − 1) 2 − 5 = − 4= −4

4( − 1)

Ejemplo de solución de ecuación lineal 2x − 5 = 9 − x Los términos con la incógnita en un sólo extremo :

2x + x = 9 + 5 Reduciendo los términos semejantes :

3x = 14 La solución de la ecuación es : 14 x= 3 Mtra. Judith Aguila Mendoza

Ejemplo 2 5x x − 2 9 1  2x − 1  − = −  x−  3 4 4 2 3  Obtenemos el mínimo común denominador y multiplicamos los extremos de la ecuación por 12:

 9 1 2x − 1    5x x − 2  12  − = 12 − x −  4 2 4  3    3   Resolviendo:

2x − 1   4 (5x ) − 3 ( x − 2) = 3 (9) − 6  x −  3  

20x − 3x + 6 = 27 − 6x + 2 ( 2x − 1) Mtra. Judith Aguila Mendoza

Efectuando las operaciones indicadas:

17 x + 6 = 27 − 6 x + 4 x − 2 Reduciendo términos semejantes

17x + 6 = 25 - 2x Los términos con x al primer miembro y los independientes al segundo

17x + 2x = 25 - 6 Al resolver :

15x = 19 x=

19 15

Mtra. Judith Aguila Mendoza

Ejemplo de solución de ecuación racional 5 6 = x− 4 x− 3 Observamos, que la incógnita esta en el denominador, por lo que es necesario definir el dominio de la ecuación.

“El dominio de la ecuación es el conjunto de valores de la incógnita que tienen sentido, en el caso de ecuaciones racionales, aquellos que no hacen el denominador igual a cero” Tomando en cuenta lo anterior tenemos:

x− 4≠ 0 x≠ 4

x− 3≠ 0 x≠ 3

Por lo que: “El dominio de la ecuación son todos los números reales excepto el 3 y el 4”

Mtra. Judith Aguila Mendoza

Ahora buscamos el mcd.

5 6 = x− 4 x− 3 Encontramos que es (x-4) (x-3) y multiplicamos la ecuación en sus dos extremos por el:

( x − 3)( x − 4)

5 6 = ( x − 3)( x − 4) x− 4 x− 3

Simplificando tenemos:

( x − 3)( x − 4)

5 6 = ( x − 3)( x − 4) x− 4 x− 3

quedándonos

( x − 3) 5 = ( x − 4 ) 6 Mtra. Judith Aguila Mendoza

5 x − 15 = 6 x − 24 Que podemos observar se redujo a una ecuación lineal, por lo que para resolverla tenemos que colocar los términos con la incógnita en uno de los extremos de la igualdad:

5 x − 6 x = − 24 + 15 Reduciendo términos semejantes:

− x= −9 La solución de la ecuación es:

x= 9 Mtra. Judith Aguila Mendoza

Factorizando un trinomio de la forma x2+bx+c=0

x2 + 6x − 7 = 0 Factorizamos el primer miembro :

( x + 6) ( x − 1) =

0

Para cumplir la igualdad :

( x + 6) =

( x − 1) =

0

Por lo tanto : x= −6 Mtra. Judith Aguila Mendoza

x= 1

0

Por Fórmula Cuadrática:

x=

6x2 + 7x + 1 = 0 a = 6, b = 7, c = 1 Sustituyendo en la fórmula: x=

-7±

( 7 ) 2 − 4( 6)(1) 2( 6 )

Realizando operaciones 49 − 24 12 - 7 ± 25 − 7 ± 5 x= = 12 12 x=

-7±

Con lo que concluimos que:

x=

−2 1 = − 12 6

y

x=

Son los valores que solucionan la ecuación Mtra. Judith Aguila Mendoza

− 12 = −1 12

− b±

b 2 − 4ac 2a

Solución de ecuaciones que contienen radicales: x+ 2 +

x+ 4 = 7

Despejamos un radical a cada extremo para simplificar

x+ 2 = 7−

x+ 4

Elevamos al cuadrado cada miembro

(

x+ 2

) = (7 − 2

x+ 4

)

2

Desarrollando

x + 2 = 49 - 14 x + 4 + x + 4 Dejamos el término con radical en un solo extremo

x + 2 - 49 - x - 4 = 14 x + 4 Mtra. Judith Aguila Mendoza

Simplificando

- 51 = 14 x + 4 Elevamos al cuadrado cada miembro:

2601 = 196( x + 4 ) Despejando x

2601 x= â&#x2C6;&#x2019; 4 196 1817 x= 196 Mtra. Judith Aguila Mendoza