ESPACIOVOLUMENORGANIZACION2

ESPACIOVOLUMENORGANIZACION 2

Depósito Legal, If 81-2705

© 1979, Monte Avila Editores, C.A. Portada: Vera, Mancilla y Auerbach Impresión / Editorial Arte, Caracas Printed in Venezuela

ESPACIOVOLUMENORGANIZACION 2

MONTE AVILA EDITORES

PRESENTACIÓN Los trabajos que aquí se publican constituyen una extensión de lo tratado en un seminario que dicté en el Instituto de Diseño Fundación Neumann-lnce, Caracas, sobre Espacio, Volumen y Organización. Al concluir ese seminario, los alumnos Leonel Vera y Pedro Mancilla me propusieron reunir en una publicación el resultado de nuestras investigaciones en el campo del análisis del espacio organizado, partiendo del tetraedro regular, como volumen más simple, hasta el más complejo volumen semirregular. La publicación fue editada, en 1976, por el mismo Instituto, bajo el título de “ESPACIOVOLUMEN ORGANIZACION”.

Una vez graduados, los diseñadores Vera, Mancilla y Auerbach continuaron por si solos el estudio de almacenamiento, investigándolo por la limitación a redes cúbicas y a redes derivadas de la red cúbica, por medio de líneas generadas sistemáticamente dentro del cubo. El producto de ese trabajo es el que ahora se publica. El interés de sus autores ha sido, primordialmente, el de la visualización y proyección gráfica de los resultados de su investigación; por ello hay poco texto.

Pienso que esta publicación, junto con la hecha en 1976, servirá de estímulo y aporte al desarrollo consciente del diseño tridimensional en el campo de la ordenación sistemática.

Caracas, 1979

Gego V

PRÓLOGO El espacio ha constituido, desde los albores de la Historia, tema de fascinación permanente para la humanidad. Sus secretos yacen en los arcanos de la naturaleza, en ese territorio misterioso que se extiende entre la realidad y la abstracción, accesible tan sólo a la paciente vigilia del estudioso, a la llama de su voraz curiosidad, revelándose gradualmente ante la luz de su intelecto.

Invisible compañero del hombre, el espacio se ha doblegado obediente ante su ímpetu arrollador, concediendo sus caprichos y sus errores, participando en sus aciertos y éxitos, incomprendido y restringido en la plena interpretación de su vasto y silencioso potencial. Y, sin embargo, toda la evolución del hombre sobre el planeta ha sido cimentada con la materia prima del espacio. El arte, la ciencia y la filosofía, le rinden indirecto homenaje. Por mil caminos diferentes se ha buscado comprender íntegramente su significado, establecer su naturaleza, capturar su esencia. Desde los incipientes, pero admirables esfuerzos de los primeros filósofos griegos hasta las osadas teorías relativistas del espacio-tiempo y más allá, el espacio ha venido siendo analizado permanentemente con miras a su comprensión total... y nunca completamente descifrado.

Pero no ha bastado con indagar únicamente sobre su naturaleza y comportamiento. El avance de la civilización ha exigido, paralelamente, la habilitación de medios para

su aprovechamiento. Ha sido necesario “domesticarlo”.

Aprender a controlarlo, a manipularlo, a orientar su utilización.

Así, nacen las geometrías para conocer el espacio, para sectorizarlo, describirlo y medirlo; formidables en su poder de visualización; paradójicas en la circunstancia de que encierran dentro de sí el germen de sus propias limitaciones; peligrosas y condicionantes de no entenderse que sólo constituyen una ventana para enmarcar aspectos de la totalidad, no aprehensibles, de la realidad. Para los modeladores del espacio físico —llámense arquitectos o ingenieros, diseñadores, artistas, científicos o filósofos— la necesidad de disponer de medios de consulta y referencia a las estructuras geométricas básicas del espacio resulta de vital importancia. La progresiva complejidad derivada del incremento y variedad de las actividades cumplidas por el hombre contemporáneo y de su interacción con el medio ambiente, han exigido resultados cada vez más incapaces de producir una respuesta satisfactoria a los problemas planteados. Apremiantes necesidades de la humanidad están siendo enfrentadas con enfoques caracterizados, en general, por una convencionalidad que refleja, entre otras cosas, un limitado conocimiento de las potencialidades de regionalización, demarcación y articulación del espacio.

De allí que el incremento progresivo de las complejidades VII

derivadas de la civilización no parece marchar acorde con la evolución en el conocimiento del espacio físico y de los medios para su utilización.

Se evidencia cada vez más la necesidad del establecimiento de medios de comunicación que permitan la acumulación, organización y difusión sistemática de los distintos esfuerzos que vienen siendo realizados en el área. Es necesario detectar nuevas avenidas para la investigación, sintetizando a la vez los conocimientos existentes, esfuerzo no despreciable, si se considera que los conocimientos básicos que podrían enriquecer el campo provienen en la actualidad de áreas tan variadas como la química, la geografía, la computación gráfica, la cristalografía, el diseño industrial, gráfico, arquitectónico y otros. Consecuente con las ideas anteriormente expresadas, en el laboratorio de Técnicas Avanzadas en Diseño dela Facultad de Arquitectura y Urbanismo de la Universidad Central de Venezuela venimos, desde hace varios años, intentando contribuir con el desarrollo de nuevos recursos y su aplicación como instrumento de experimentación e investigación en diseño.

AI respecto, una de las áreas en las cuales hemos venido incursionando con interés se refiere a la comprensión y visualización del estado físico, desde un punto de vista geométrico y topológico, utilizando para ello

herramientas tales como la computación gráfica.

Identificados con el principio de que el espacio constituye —como decía Lazlo Moholy-Nagy— “la raíz de la arquitectura”— buscamos aportar a la obtención de un cuerpo de conocimientos sistemáticamente acumulados en el área.

Estos esfuerzos, aun cuando restringidos en su alcance, han evidenciado cierta proyección (véase referencia hecha por Martin Gardner, en la revista Scientific American, agosto 1978, página 14), hallándose descritos en varias publicaciones internas del Laboratorio, entre ellas: “Espacio-Aspectos Físicos”, “La Cinta Mobius: Recuento e Investigación” y la serie titulada “Experiencias en Computación Gráfica”.

Creemos que todos los esfuerzos que puedan ser hechos en el sentido de generar, agrupar u ordenar sistemáticamente conocimientos en el área del espacio, contribuirán a la evolución de conocimientos en la modelación de dicho espacio y podría conducir, a la larga, a la transformación de nuestra visión convencional del mismo y de sus limitaciones actuales.

Es por las razones anteriormente expuestas que considero la iniciativa de Leonel Vera, Pedro Mancilla y Ruth Auerbach, de publicar un libro sobre la temática geométrica del espacio y de los volúmenes que el mismo aloja, de especial interés tanto para el público en general

como para las personas directamente relacionadas con el manejo y representación del espacio, no sólo por el análisis cuidadoso, estructurado y metódico de las diversas familias de sólidos geométricos contenidos por el espacio tridimensional, sino también, porque la claridad perceptual aportada por su excelente presentación gráfica, sugiere evidentes potenciales de aplicación a partir de las diversas variaciones morfológicas expuestas.

El documento en sí tiene por objeto exponer, mediante una secuencia sistemática gráfica, un número de recursos metodológicos utilizados para la descripción y generación de la forma geométrica, y ha sido estructurada en tres partes, iniciándose con las diversas alternativas de redes planas y tridimensionales cuadradas, triangulares y rómbicas, regulares alternadas y progresivas, incluyendo recomendaciones para su construcción geométrica. A continuación, se procederá a una descripción de los denominados “sólidos almacenables”, que constituyen la segunda parte.

Estos sólidos revisten especial interés para el diseñador de espacios humanos, debido a que sus características le permiten un grado de compactación máxima, sin dejar intersticios entre ellos, es decir, que su grado de compacidad es máximo.

Para cada familia de sólidos se incluye el tipo de red geométrica a partir de la cual puede generarse.

Cabe aquí destacar el recurso de representación gráfica señalado como “fraccionamiento”, el cual permite la visualización espacial de situaciones de difícil o imposible interpretación por otros medios.

Es interesante destacar asimismo, el uso de las técnicas de secuencias de giro que inducen en el observador una ilusión de desplazamiento secuencial a partir de imágenes estáticas.

Esta segunda parte presenta un recuento pormenorizado de sólidos geométricos almacenables, con ilustraciones, gráficas y comentarios, desde el prisma triangular hasta el tri-rombododecaedro. Se incluye como orientación del proceso constructivo de los mismos, información básica sobre aspectos tales como: número de caras, aristas, vértices y ángulos en las caras y entre caras.

La tercera parte del trabajo denominada “gráficos comparativos” presenta una visión de los sólidos almacenables en conjunto, dentro de la red que les dio origen, a diferencia de la segunda parte, donde el sólido se analizó individualmente.

Es interesante señalar, en esta tercera parte, la aparición de patrones gráficos en estudios de cortes y vistas, de una bella y articulada coherencia geométrica. También se procede a la combinación de diversos grupos de cuerpos geométricos, constituidos por sólidos con sus homólogos, por pares y tríos. También, esta tercera parte, contiene el IX

desarrollo bidimensional de las caras de los sólidos para completar la visualización de su construcción. Por último, se incluyen cuadros de comparación entre sólidos de volúmenes equivalentes, así como la identificación de las familias de sólidos que se obtienen por fraccionamiento del cubo, incluyendo el análisis de sus relaciones de volumen.

Un importante aporte lo constituye el glosario de términos utilizados en la publicación, ilustrados gráficamente con definiciones sucintas.

Finalmente, se da fe de la bibliografía consultada para la elaboración de la obra.

El documento, por la esencialidad de su contenido y la magnífica valoración gráfica del mismo, debe constituirse en una obra básica de consulta para las personas vinculadas al tema.

Ha de ser motivo de gran satisfacción para Gego el presenciar como, bajo su sabia orientación, sus colaboradores de ayer han evolucionado al calor de las ideas y del afecto compartido, para emerger como investigadores con derecho propio en la realización de este interesante esfuerzo, cuya continuidad constituye en esencia la base sustentante de toda evolución de conocimientos.

Caracas, Marzo de 1982.

Gonzalo Vélez Jahn

CONTENIDO 1 11 14 18 22 26 30 34 38 42 48 53 73

REDES PLANAS Y TRIDIMENSIONALES SÓLIDOS ALMACENABLES PRISMA TRIANGULAR CUBO HEXAEDRO RÓMB|CO OCTAEDRO TRUNCADO ROMBODODECAEDRO ROMBODODECAEDRO TRUNCADO ROMBODODECAEDRO ALARGADO ROMBODODECAEDRO GIRADO ROMBODODECAEDRO ACHATADO Y TRI-ROMBODODECAEDRO GRÁFICOS COMPARATIVOS GLOSARIO

XI

REDES PLANAS Y TRIDIMENSIONALES

INTRODUCCIÓN A LAS REDES PLANAS Y TRIDIMENSIONALES

Un punto, siempre que esté en relación con otro, determina una posición en el espacio.

La trayectoria de un punto que se desplaza en una dirección nos determina una dimensión: la línea.

La trayectoria de un punto que se desplaza (línea), cortando a otra, determina dos dimensiones.

La trayectoria de un punto que se desplaza (línea), penetrando al plano, determina tres dimensiones.

Para poder definir el espacio hay que limitarlo y ordenarlo. Varios puntos que se desplazan en el espacio van determinando una, dos y tres dimensiones (la cuarta dimensión, el tiempo, está implícita en el movimiento).

Las redes tridimensionales son el resultado de la ordenación de estos puntos. En este estudio se analizan las redes formadas por infinitos puntos, todos con la misma jerarquía (exceptuando las redes alterna y progresiva), por presentar como característica la repetición, condición que ayuda a simplificar el proceso de diseño. Se citan otros tipos de redes (alterna y progresiva) como modelo de las diferentes posibilidades de redes.

Se utiliza la red cúbica como ejemplo de formación de una red tridimensional por ser la más conocida y de fácil visualización.

Una red tridimensional implica el almacenamiento de sólidos.

Deformando (estirando o ensanchando) cualquier red tridimensional regular, podemos obtener múltiples posibilidades para el almacenamiento de sólidos con sus homólogos.

Crecimiento de la red cúbica 3

REDES PLANAS Se originan de la agrupación de planos iguales o complementarios y poseen regularidad.

Para que se forme una retícula plana es necesario que en cada punto, la suma de los ángulos que concurran sea de 360º.

109º28’ 60º 180º

120º

90º

70º 32’

180º

180º

240º 270º 289º 28’ 300º

360º

360º

360º

Red cuadrada Se origina de la agrupación de planos cuadrados (ángulos de 90º y cuatro lados iguales).

Así, tenemos una retícula de puntos, los cuales están determinados por la intersección de dos rectas, en donde siempre se encuentran cuatro planos.

Red triangular Se origina de la agrupación de planos triangulares equiláteros (ángulos de 60º y tres lados iguales).

Así, tenemos una retícula de puntos, los cuales están determinados por la intersección de tres rectas, en donde siempre se encuentran seis planos triangulares.

Red rómbica Se origina de la agrupación de planos rómbicos (ángulos de 109º 28’, 70º 32’ y cuatro lados iguales).

Así, tenemos una retícula de puntos, los cuales están determinados por la intersección de dos rectas, en donde siempre se encuentran cuatro planos rómbicos, agrupándose dos por sus vértices agudos y dos por sus vértices obtusos opuestos entre sí.

Se muestra esta forma como modelo de las múltiples posibilidades de redes planas.

Red regular Se origina de la agrupación de planos iguales de manera constante, repitiéndose sus características en cualquier zona de la red infinita.

Red alterna Se origina de la agrupación de dos tipos de planos, uno de los cuales tiene una variación con respecto al anterior de manera alterna, repitiéndose sus características de la misma manera.

Ejemplificado aquí por un cuadrado y un rectángulo, este último mantiene un lado igual al del cuadrado y el otro igual a la diagonal del cuadrado. La variación se verifica en una sola dirección: una vez un cuadrado y otra vez un rectángulo de manera infinita.

Red progresiva Se origina de la agrupación de planos, cada uno de los cuales tiene un crecimiento progresivo y constante con respecto al anterior.

Ejemplificado aquí por un cuadrado que crece diagonalmente, cada cuadrado tiene el lado igual a la diagonal del anterior.

Este crecimiento se verifica diagonalmente de manera constante y ortogonalmente variando las dos dimensiones de una manera también constante e infinita.

5

REDES TRIDIMENSIONALES Son la versión en tres dimensiones de las redes planas. Se originan de la agrupación de sólidos iguales o complementarios y guardan regularidad entre sí.

Red cúbica Se obtiene por sobreposición de redes planas. Colocando una red plana sobre otra a la misma distancia del lado del cuadrado, se forma una retícula tridimensional donde en cada punto o cruce de direcciones lineales, se encuentran los vértices de ocho cubos (prismas cuadrados) y cuya suma de ángulos en todas las direcciones es de 360º.

Red triangular Se obtiene por sobreposición de redes planas triangulares.

Colocando una red plana sobre otra a la misma distancia del lado del triángulo, se forma una retícula tridimensional donde en cada punto se encuentran doce prismas triangulares y cuya suma de ángulos en todas las direcciones es de 360º.

Red rómbica Se obtiene por sobreposición de redes planas. Colocando una red plana sobre otra a la misma distancia del lado del rombo, se forma una retícula tridimensional donde en cada punto se encuentran ocho prismas rómbicos, cuya suma de ángulos en todas direcciones es de 360º.

Se utiliza la red rómbica como ejemplo de las múltiples posibilidades de redes, formadas a partir de mosaicos con planos iguales o complementarios.

Red cúbica Se forma a partir de la agrupación de cubos.

Red de diagonales menores de los cubos Se forma utilizando las diagonales menores del cubo (diagonales de cara) en la red cúbica, originando una red de tetraedros y octaedros regulares, que va a tener todas las características de la red cúbica.

Red de diagonales mayores de los cubos Se forma utilizando diagonales mayores del cubo en la red cúbica, originando una red de octaedros irregulares, que va a tener todas las características de la red cúbica.

7

Red regular Se obtiene por sobreposición de redes planas, colocando una red plana sobre otra a la misma distancia del lado del cuadrado.

Red alterna

Red alterna Se obtiene por sobreposición de redes alternas, colocando una red plana sobre otra a la misma distancia del lado menor (lado del cuadrado).

Red progresiva Se forma a partir del crecimiento en dirección diagonal de la diagonal mayor del cubo origen de la progresión; siendo la arista del nuevo cubo la diagonal mayor anterior.

Red progresiva

Se muestran estas dos redes como ejemplo de las múltiples posibilidades de formación de redes tridimensionales.

9

SÓLIDOS ALMACENABLES

GUÍA PARA LOS SOLIDOS ALMACENABLES ANALIZADOS

En este estudio el prisma triangular y el cubo son los puntos de partida, por ser origen de sólidos que se pueden almacenar sin dejar espacios vacíos entre si.

Todas las medidas de los sólidos resultantes están relacionadas con el cubo de arista igual a 1.

El estudio de cada sólido está referido en los siguiente aspectos: Origen en la red

Proyecciones con cortes

Todos los sólidos por su naturaleza almacenable, se originan en una red.

Se analiza en la red triangular el prisma triangular como ejemplo de las múltiples posibilidades de prismas almacenables.

Para explicar el origen de algunos sólidos se modifica la red cúbica por alargamientos (rombododecaedro alargado), cortes y giros (rombododecaedro girado y tri-rombododecaedro), y achatamientos (rombododecaedro achatado.)

Cada sólido tiene tres proyecciones indicando sus ejes de simetría y cortes perpendiculares a éstos, que pasan por el centro del sólido.

Cuando se utiliza como señalización de ejes: II, III y IV, se está refiriendo a ejes de simetría; en otro caso se indicará lo contrario.

Fraccionamiento Cada sólido se divide en tres partes iguales o inversamente iguales, que son a su vez almacenables, utilizando cortes según los ejes de simetría.

Datos acerca del sólido Número de caras.

Número de aristas.

Número de vértices. Ángulo entre los lados de una misma cara. Ángulo entre caras.

Cada sólido tiene un estudio de volumen en relación con un cubo de arista igual a 1, utilizando fraccionamientos.

Símbolos utilizados Eje binario Eje terciario Eje cuaternario Secuencia Arista grande Arista

Red triangular Hacia la izquierda, sólidos resultantes: 1 Prisma triangular, sólido básico.

Resultante por agrupación de prismas triangulares: 2 Prisma hexagonal.

1

Volumen

Las superficies adyacentes a cada dibujo de los sólidos almacenables indican la forma de la cara o caras combinadas en cada sólido, producidas por su forma de origen.

4

5

2

6

3

7

Red cúbica Hacia la derecha, sólidos resultantes: 3 Cubo, volumen básico Resultantes directos de la red cúbica: 4 Hexaedro rómbico.

5 Octaedro truncado (mecon) 6 Rombododecaedro (rombhi) Resultantes de la red cúbica a partir del rombododecaedro: 7 Rombododecaedro truncado (snub) 8 Rombododecaedro alargado (rombhex) 9 Rombododecaedro girado (twist) 10 Rombododecaedro achatado 11 Tri-rombododecaedro

8

9 11 10 13

PRISMA TRIANGULAR

Un punto Una dirección

Dos direcciones

Tres direcciones

Cuatro direcciones

Crecimiento

Prisma triangular en la red

III

DATOS El prisma triangular tiene su origen en la red triangular.

La red triangular aparece como resultado del almacenamiento de prismas triangulares, de manera que coincidan doce prismas en cada punto.

II

II

EJES DE SIMETRÍA

Eje de simetría binario con su corte perpendicular.

El sólido tiene tres ejes II, que cruzan cada uno de un centro de arista al centro de la cara opuesta y tres cortes perpendiculares a cada eje II que pasan por el centro del sólido.

Eje de simetría binario con su corte perpendicular.

El sólido tiene tres ejes II, que cruzan cada uno de un centro de arista al centro de la cara opuesta y tres cortes perpendiculares a cada eje II que pasan por el centro del sólido.

Eje de simetría terciario con su corte perpendicular.

El sólido tiene tres ejes III, que cruza por el centro de las dos caras triangulares opuestas y un corte perpendicular al eje III que pasa por el centro del sólido.

CARAS ARISTAS VÉRTICES ÁNGULOS EN LAS CARAS cuadradas triangulares ÁNGULOS ENTRE CARAS cuadradas cuadradas y triangulares

5 9 6 90º 60º 60º 90º

1

1

PROYECCIONES

2/3

CORTES

Corte perpendicular al eje de simetría binario.

Se forma con cuatro lados de dos tamaños: arista y línea que cruza la cara triangular pasando por una tercera parte de las aristas.

2/3

Corte perpendicular al eje de simetría binario.

Se forma con cuatro lados de dos tamaños: arista y línea que cruza la cara triangular pasando por una tercera parte de las aristas.

1

Corte perpendicular al eje de simetría terciario.

Se forma con tres lados de un tamaño (triángulo equilátero): arista del prisma.

15

FRACCIONAMIENTO 1/2

1/6

Utilizando un corte perpendicular al eje III se divide el sólido en dos partes iguales, cada una de éstas, a su vez, se puede dividir en tres partes iguales.

1/2

1/6

1/12

Utilizando un corte perpendicular al eje III se divide el sólido en dos partes iguales, cada una de éstas se puede dividir en tres partes que a su vez se fragmentan cada una en dos partes.

1/2

1/16

1/8

Utilizando un corte perpendicular al eje III se divide el sólido en dos partes iguales, cada una de éstas se puede dividir en cuatro y ocho partes iguales.

VOLUMEN De la agrupación de prismas triangulares surgen varias posibilidades de nuevos prismas, cuyo volumen será igual al del prisma triangular multiplicado por la cantidad de prismas agrupados.

Lo mismo se cumple para todos los sólidos almacenables.

17

CUBO

Un punto

Una dirección

Dos direcciones

Tres direcciones

Cubo en la red cúbica

Crecimiento

IV

DATOS

II

III

El cubo es el punto de partida de una gran mayoría de los sólidos almacenables.

La red cúbica aparece como resultado del almacenamiento de cubos, de manera que coincidan en un punto ocho cubos.

EJES DE SIMETRÍA

Eje de simetría binario con su corte perpendicular.

El sólido tiene seis ejes II, que cruzan cada uno por los centros de dos arista opuestas y seis cortes perpendiculares a cada eje II que pasan por el centro del sólido.

Eje de simetría terciario con su corte perpendicular.

El sólido tiene cuatro ejes III que cruzan cada uno por los vértices opuestos, coincidiendo con las diagonales mayores del cubo y cuatro cortes perpendiculares a cada eje III que pasan por el centro del sólido.

Eje de simetría cuaternario con su corte perpendicular.

El sólido tiene tres ejes IV, que cruza cada uno por los centros de dos caras opuestas y tres cortes perpendiculares a cada eje IV que pasan por el centro del sólido.

CARAS ARISTAS VÉRTICES ÁNGULOS EN LAS CARAS cuadradas ÁNGULOS ENTRE CARAS cuadradas

6 12 8 90º 90º

1

PROYECCIONES

CORTES

2

12 2

Corte perpendicular al eje de simetría binario.

Se forma con cuatro lados de dos tamaños: arista y diagonal de cara del cubo.

Corte perpendicular al eje de simetría terciario.

Se forma con seis lados de un tamaño (hexágono regular) igual a la mitad de la diagonal menor del cubo.

1

Corte perpendicular al eje de simetría cuaternario.

Se forma con cuatro lados de un tamaño (cuadrado) igual a la arista del cubo.

19

FRACCIONAMIENTO 1/2

1/8

1/4

1/16

Utilizando un corte perpendicular al eje IV se divide el sólido en dos partes iguales; cada una de éstas se puede dividir en dos utilizando un corte perpendicular al plano anterior y en ocho con un plano paralelo a dos diagonales de cara del cubo.

1/2

1/6

1/2

Utilizando un corte perpendicular al eje III se divide el sólido en dos partes iguales; cada una de éstas se puede dividir en tres partes iguales de manera que todas coincidan en el centro del sólido y en seis por un corte perpendicular al eje II.

1/6

El sólido se divide en seis pirámides de base cuadrada, de manera que sus bases sean las caras del cubo y los vértices opuestos concurran al centro del sólido.

1/12

1/24

1/12

1/24

Utilizando el mismo método de fraccionamiento anterior, cada una de estas pirámides se pueden dividir en dos y cuatro pirámides irregulares iguales, usando planos perpendiculares a los ejes IV o II.

1/2

1/4

Utilizando un corte que contenga al eje III y que pase por los centros de dos aristas opuestas, se divide el sólido en dos partes iguales; cada una de éstas se puede dividir en dos partes con un corte perpendicular al anterior.

SIMETRÍA II

III

Secuencias de giro de un plano sobre los ejes de simetría binario, terciario y cuaternario, que en cualquier posición divide al cubo en dos partes iguales. Lo mismo se cumple para todos los sólidos con ejes de simetría.

Proyección del cubo perpendicular a un eje de simetría binario, indicando los diferentes planos.

IV

Proyección del cubo perpendicular a un eje de simetría terciario, indicando los diferentes planos.

Proyección del cubo perpendicular a un eje de simetría cuaternario, indicando los diferentes planos.

21

HEXAEDRO RÓMBICO

Un tetraedro

Un tetraedro y un octaedro

Un octaedro y dos tetraedros

Hexaedro rómbico en la red cúbica

III

II

DATOS El hexaedro rómbico se obtiene a partir de la red formada por las diagonales de cara del cu o, d. . 2.

Esta red está integrada por tetraedros y octaedros regulares.

El hexágono rómbico contiene dos tetraedros y un octaedro.

EJES DE SIMETRÍA

Eje de simetría binario con su corte perpendicular.

El sólido tiene tres ejes II, que cruzan cada uno por los centros de dos arista opuestas y tres cortes perpendiculares a cada eje II que pasan por el centro del sólido.

Eje de simetría terciario con su corte perpendicular.

El sólido tiene un eje III que cruza por dos vértices opuestos donde concurren tres caras rómbicas por el menor ángulo y un solo corte perpendicular al eje III que pasa por el centro del sólido.

Eje no simétrico con su corte perpendicular.

El sólido tiene tres ejes no simétricos que cruzan cada uno por dos vértices opuestos donde concurren tres caras; dos por su ángulo mayor, y una por su ángulo menor y tres cortes perpendiculares a cada eje no simétrico que pasan por el centro del sólido.

CARAS ARISTAS VÉRTICES ÁNGULOS EN LAS CARAS rómbicas

ÁNGULOS ENTRE CARAS rómbicas

6 12 8 60º 120º

70º32’ 109º28’

2

3

2

PROYECCIONES

12 2

2

2

CORTES

Corte perpendicular al eje de simetría binario.

Se forma con cuatro lados de dos tamaños: arista y diagonal mayor del rombo.

Corte perpendicular al eje de simetría terciario.

Se forma con seis lados de un tamaño: mitad de la diagonal menor.

Corte perpendicular al eje no simétrico.

Se forma con cuatro lados de un tamaño: diagonal menor del cubo.

23

FRACCIONAMIENTO 1/2

1/4

Utilizando un corte que contiene al eje II se divide el sólido en dos partes iguales, cada una de éstas se puede subdividir en dos partes iguales, utilizando un corte que contiene al eje III.

1/2

1/4

1/8

Utilizando un corte que contiene al eje II se divide el sólido en dos partes iguales, cada una de éstas se puede dividir en dos y cuatro partes iguales, utilizando cortes iguales al anterior.

1/2

1/6

1/12

Utilizando un corte perpendicular al eje III se divide el sólido en dos partes iguales, cada una de éstas se puede dividir en tres y seis partes iguales, utilizando cortes que contienen al eje III.

1/6

El sólido se divide en seis pirámides de base rómbica cuyos vértices opuestos a dicha base coinciden con el centro del sólido.

VOLUMEN

1/3

2

2

Un cubo de a=1 se puede dividir en un tetraedro regular y cuatro pirámides; con ocho de estas pirámides podemos formar un octaedro de a 2 si a este s lido le agregamos dos tetraedros regulares, resultantes de una división como la anterior, obtendremos un hexaedro rómbico; por consiguiente, el volumen de un hexaedro r ico de a 2 es igual al de dos cubos de a=1.

tetraedro de a 2 se puede dividir en 11 tetraedros y cuatro octaedros de a 13 2

25

OCTAEDRO TRUNCADO

Ocho cubos almacenados

Octaedro truncado en la red, resultado de un corte hexagonal de cada uno de los ocho cubos

Octaedro truncado en la red

DATOS

II

Corte hexagonal de un cubo

III

IV

EJES DE SIMETRÍA

Eje de simetría binario con su corte perpendicular.

El sólido tiene seis ejes II, que cruzan cada uno por los centros de dos aristas opuestas y seis cortes perpendiculares a cada eje II que pasan por el centro del sólido.

Eje de simetría terciario con su corte perpendicular.

El sólido tiene cuatro ejes III que cruzan cada uno por los centro de las caras hexagonales y cuatro cortes perpendiculares a cada eje III que pasan por el centro del sólido.

Eje de simetría cuaternario con su corte perpendicular.

El sólido tiene tres ejes IV que cruzan cada uno por los centros de dos caras cuadradas opuestas y tres cortes perpendiculares a cada eje IV que pasan por el centro del sólido.

El octaedro truncado se origina a partir de cortes e ago ales 1 2 2) e los cubos de la red.

CARAS ARISTAS VÉRTICES ÁNGULOS EN LAS CARAS hexagonales cuadradas ÁNGULOS ENTRE CARAS hexagonales cuadradas y hexagonales

14 36 24 120º 90º 109º28’ 12 º1 ’

PROYECCIONES

2 1

2

3

CORTES

Corte perpendicular al eje de simetría binario.

Se forma con seis lados de dos tamaños: altura del hexágono y arista del octaedro truncado.

2

1

12 2

1/

2

Corte perpendicular al eje de simetría terciario.

Se forma con seis lados de un tamaño: hexágono regular.

Corte perpendicular al eje de simetría cuaternario.

Se forma con ocho lados de dos tamaños: arista del octaedro truncado y diagonal del cuadrado.

27

FRACCIONAMIENTO

1/2

1/4

1/8

1/6

Utilizando un corte perpendicular al eje IV se divide el sólido en dos partes iguales, haciendo cortes perpendiculares al anterior se puede dividir en dos y cuatro partes iguales.

1/2

Utilizando un corte perpendicular al eje III se divide el sólido en dos partes iguales, cada una de éstas se puede subdividir en tres partes iguales, cuyos cortes son parte del corte perpendicular al eje II.

1/4

1/12

El sólido se divide en cuatro partes; cada una de éstas se puede subdividir en tres partes iguales.

1/2

1/4

1/8

Utilizando un corte perpendicular al eje II se divide el sólido en dos partes iguales; cada una de éstas se puede subdividir a su vez en dos y cuatro partes utilizando cortes perpendiculares al plano anterior.

VOLUMEN

Un octaedro truncado se puede dividir en treinta y dos partes iguales de manera que cada una de éstas corresponda a medio hexaedro rómbico, obtenido por un corte cuadrado (ver pág. 27).

12

2

12 2

1/2

Un octaedro truncado se puede dividir en ocho partes iguales de manera que cada una de éstas corresponda a medio cubo, obtenido por un corte hexagonal, que a su vez corresponda a una cara hexagonal del octaedro truncado; por consiguiente, el volumen de un octaedro tru cado de a 1 2 2 es igual al volumen de cuatro cubos de a=1.

29

ROMBODODECAEDRO

Cubo con diagonales ayores, d. . 3

Cubo con una pirámide formada por cuatro medias diagonales mayores y cuatro aristas

Seis pirámides alrededor de un cubo central conforman el rombododecaedro

El rombododecaedro en la red cúbica

IV

DATOS

III

II

El rombododecaedro se origina a partir de las mitades de las diagonales mayores del cubo en la red cúbica.

Eje de simetría binario con su corte perpendicular.

El sólido tiene seis ejes II, que cruzan cada uno por los centros de dos caras opuestas y seis cortes perpendiculares a cada eje II, que pasan por el centro del sólido.

EJES DE SIMETRÍA

Eje de simetría terciario con su corte perpendicular.

El sólido tiene cuatro ejes III que cruzan cada uno por dos vértices opuestos donde se encuentran tres caras y cuatro cortes perpendiculares a cada eje III, que pasan por el centro del sólido.

Eje de simetría cuaternario con su corte perpendicular.

El sólido tiene tres ejes IV que cruzan cada uno por dos vértices opuestos donde se encuentran cuatro caras y tres cortes perpendiculares a cada eje IV que pasan por el centro del sólido.

CARAS ARISTAS VÉRTICES ÁNGULOS EN LAS CARAS rómbicas ÁNGULOS ENTRE CARAS rómbicas

12 24 14 70º32’ 109º28’ 120º

1

2

13

3

PROYECCIONES

1

CORTES

Corte perpendicular al eje de simetría binario.

Se forma con seis lados de dos tamaños: diagonal menor del rombo y arista del rombododecaedro.

2

Corte perpendicular al eje de simetría terciario.

Se forma con seis lados de un tamaño (hexágono regular).

Corte perpendicular al eje de simetría cuaternario.

Se forma con cuatro lados de un tamaño: la diagonal mayor del rombo.

31

FRACCIONAMIENTO 12

1/4

1/8

Utilizando un corte perpendicular al eje II de simetría se divide el sólido en dos partes iguales; cada una de éstas se puede dividir en dos y cuatro partes iguales con cortes perpendiculares al eje IV y II, respectivamente.

12

1/4

Utilizando un corte perpendicular al eje III se divide el sólido en dos partes iguales; cada una de éstas se puede dividir en dos partes inversamente iguales provenientes de un corte perpendicular al eje II.

1/4

1/8

El sólido se divide en cuatro partes iguales que concurren al centro del mismo; cada una de estas partes se puede subdividir en dos, utilizando un corte hexagonal.

1/6

Utilizando cortes que pasen por la diagonal menor de las caras rómbicas se divide el sólido en seis bi-pirámides.

1 12

El sólido se divide en doce pirámides de base rómbica de manera que sus bases sean las caras del rombododecaedro y los vértices opuestos concurran al centro del volumen.

VOLUMEN

Si sobre cada una de las ocho caras de un octaedro de a 2, se coloca u a pirámide igual a un cuarto de u tetraedro de a 2, se obtiene un rombododecaedro de a 1 2 3.

Si se divide un cubo en seis pirámides de base cuadrada y luego se coloca sobre cada una de las seis caras del cubo una de estas pirámides se obtiene el rombododecaedro; por consiguiente, el volumen de un rombododecaedro de a 1 2 3 es igual al de dos cubos de a=1.

33

ROMBODODECAEDRO TRUNCADO

Secciones del rombododecaedro

Rombododecaedro truncado dentro del rombododecaedro

Ambos en la red cúbica

Rombododecaedro truncado en la red cúbica

II

DATOS III

III

El rombododecaedro truncado se obtiene a partir de cuatro cortes perpendiculares a los ejes terciarios del rombododecaedro.

EJES DE SIMETRÍA

Eje de simetría binario con su corte perpendicular.

El sólido tiene tres ejes II, que cruzan cada uno por los centros de dos aristas opuestas y tres cortes perpendiculares a cada uno de los ejes II que pasan por el centro del sólido.

Eje de simetría terciario con su corte perpendicular.

El sólido tiene cuatro ejes III que van del centro de la cara al vértice opuesto y cuatro cortes perpendiculares a cada uno de los ejes II que pasan por el centro del sólido.

Eje de simetría terciario con su corte perpendicular.

El sólido tiene tres ejes III que van del centro de la cara al vértice opuesto y cuatro cortes perpendiculares a cada uno de los ejes III que pasan por el centro del sólido.

Corte perpendicular al eje de simetría terciario.

Se forma con nueve lados de dos tamaños.

Corte perpendicular al eje de simetría terciario.

Se forma con nueve lados de dos tamaños.

CARAS ARISTAS VÉRTICES ÁNGULOS EN LAS CARAS hexagonales triangulares ÁNGULOS ENTRE CARAS triangulares hexagonales triang. y hexag.

16 30 16 120º 3 º1 ’ y 109º28’ 120º 70º32’ 1 º ’

PROYECCIONES

3

CORTES

2

Corte perpendicular al eje de simetría binario.

Se forma con cuatro lados de un tamaño (cuadrado) de una mitad de arista a otra sobre la cara hexagonal.

35

FRACCIONAMIENTO 1/4

1/4

Utilizando un corte perpendicular al eje de simetría II se divide el sólido en dos partes iguales; cada una de éstas se puede dividir en dos partes iguales, usando un corte que sea perpendicular al anterior y contenga al eje II.

1/4

1/12

El sólido se divide en cuatro partes iguales de manera que tres de sus aristas sean parte de tres ejes III; cada una de éstas se puede subdividir en otras tres iguales entre sí.

1/12

1/4

El sólido se divide en cuatro partes iguales, de manera que los cortes concurran al centro del volumen siguiendo la dirección de los cortes que contienen los ejes II, cada una de estas se puede subdividir en otras tres iguales entre sí.

VOLUMEN

1

3

2

Si se truncan los vértices de un tetraedro por la tercera parte de la arista y se dividen estos pequeños tetraedros en cuatro partes, colocando cada una de éstas sobre el tetraedro truncado, se obtiene el rombododecaedro truncado.

1 3

Si se divide un rombododecaedro en cuatro partes iguales (rombododecaedro achatado) y a su vez éste se divide en dos partes, con cuatro de éstas podemos formar un rombododecaedro truncado; por consiguiente, si el volumen de un rombododecaedro de a 1 2 3 es igual al de dos cubos de a=1, el volumen de un rombododecaedro truncado de arista grande igual a 1 2 2, e ui ale al de un cubo de a=1.

37

ROMBODODECAEDRO ALARGADO

Rombododecaedro

Se reparan los vértices medios del rombododecaedro a u a dista cia de 1 2 3

La red se separa junto con el sólido

Se forma una red alterna compuesta de cubos de a=1 y paralelepípedos de a 1 2 1 y a 1 2 3 1, ue origi a al rombododecaedro alargado

IV

El rombododecaedro alargado proviene del rombododecaedro por transformación regular de la red cúbica. (Ver red alterna.)

II II

EJES DE SIMETRÍA

Eje de simetría binario con su corte perpendicular.

El sólido tiene dos ejes II, que cruzan cada uno por los centros de dos aristas opuestas (entre caras hexagonales) y dos cortes perpendiculares a cada uno de los ejes II que pasan por el centro del sólido.

Eje de simetría binario con su corte perpendicular.

El sólido tiene dos ejes II que cruzan cada uno por los centros de dos caras hexagonales opuestas y dos cortes perpendiculares a cada uno de los ejes II que pasan por el centro del sólido.

DATOS

Eje de simetría cuaternario con su corte perpendicular.

El sólido tiene un eje IV que cruza por los vértices opuestos donde se encuentran cuatro caras rómbicas y un corte perpendicular al eje IV que pasa por el centro del sólido.

CARAS ARISTAS VÉRTICES ÁNGULOS EN LAS CARAS rómbicas hexagonales ÁNGULOS ENTRE CARAS rómbicas hexagonales rómbicas y hexagonales

12 28 18 70º32’ y 109º28’ 12 º1 ’ y 109º28’ 120º 90º 120º

PROYECCIONES

12

3

12 3 2

1

32 2

CORTES

Corte perpendicular al eje de simetría binario.

Se forma con seis lados de dos tamaños: arista y diagonal mayor del hexágono.

Corte perpendicular al eje de simetría binario.

Se forma con seis lados de dos tamaños: arista y diagonal mayor del rombo.

Corte perpendicular al eje de simetría cuaternario.

Se forma con cuatro lados de un tamaño (cuadrado) igual a la altura del hexágono.

39

FRACCIONAMIENTO 1/8

1/4

1/2

Utilizando un corte perpendicular al eje II se se divide el sólido en dos partes iguales; cada una de éstas se puede subdividir en dos y cuatro partes iguales, haciendo cortes perpendiculares a los ejes II y IV respectivamente.

1/8

1/4

1/2

Utilizando un corte perpendicular al eje II se se divide el sólido en dos partes iguales; cada una de éstas se puede subdividir en dos y cuatro partes iguales, cuyos cortes son perpendiculares a los ejes II y IV respectivamente.

VOLUMEN Fraccionamiento 1

Fraccionamiento 2

Seccionando un rombododecaedro alargado, de manera que se produzca un rombododecaedro interno, se obtienen dos formas iguales, complementarias que son almacenables entre si.

Seccionando el sólido con dos cortes perpendiculares al eje IV, pasando por las caras hexagonales, se producen dos mitades de un rombododecaedro y un paralelepípedo.

2

3 2

1

3

12 3

1

El volumen de la suma de las dos formas de a1 1 3 y a2 1 2 3 o te idas e la primera truncación, es igual al volumen del paralelepípedo de a1 2 y a2 1 2 3 o te ido e la segunda truncación.

41

ROMBODODECAEDRO GIRADO

Rombododecaedro con un corte perpendicular al eje III

El sólido en la red cúbica seccionada por la prolongación del corte perpendicular al eje III

Nueva red originada por el giro de la parte inferior en 60º alrededor del eje, o ambas partes en 30º en sentido opuesto

II

Rombododecaedro

II

DATOS III

EJES DE SIMETRÍA

Eje de simetría binario con su corte perpendicular.

El sólido tiene tres ejes II, que cruzan cada uno por los centros de una arista corta y una larga de las caras trapezoidales opuestas entre si; y tres cortes perpendiculares a cada eje II que pasan por el centro del sólido.

Eje de simetría binario con su corte perpendicular.

El sólido tiene tres ejes II, que cruzan cada uno por los centros de una arista corta y una larga de las caras trapezoidales opuestas entre si; y tres cortes perpendiculares a cada eje II que pasa por el centro del sólido.

El rombododecaedro girado proviene del rombododecaedro por transformación regular de la red cúbica. (Ver red girada.)

Eje de simetría terciario con su corte perpendicular.

El sólido tiene un eje III que cruza por los vértices opuestos donde se encuentran tres caras rómbicas y un corte perpendicular al eje III que pasa por el centro del sólido.

CARAS ARISTAS VÉRTICES ÁNGULOS EN LAS CARAS rómbicas trapezoidales ÁNGULOS ENTRE CARAS rómbicas triangulares rómb. y trapez.

12 24 14 70º32’ 109º28’ 70º32’ 109º28’ 120º 120º 120º

PROYECCIONES

11

11 1

CORTES

Corte perpendicular al eje de simetría binario.

Se forma con seis lados de dos tamaños: una línea que atraviesa la cara rómbica y otra la cara trapezoidal, pasando por el centro de arista y vértice.

12 3

12 3

13

1

Corte perpendicular al eje de simetría binario.

Se forma con seis lados de dos tamaños: una línea que atraviesa la cara rómbica y otra la cara trapezoidal, pasando por el centro de arista y vértice.

Corte perpendicular al eje de simetría terciario.

Se forma con seis lados de un tamaño (hexágono regular): línea perpendicular a los lados paralelos en el trapecio, pasando por el centro de la arista.

43

RED CÚBICA GIRADA

Giro de la parte inferior en 60º o ambas partes 30º en sentido opuesto.

En la parte inferior derecha de la red en transparencia, se observan dos cubos cuya interrelación conforma la red.

Esta nueva red, formada por giros alternos, presenta ortogonalidad en los puntos donde se cruzan tres direcciones.

Sin embargo, no es una red cúbica.

Crecimiento 45

FRACCIONAMIENTO 1/2

1/4

1/6

tili a do u corte ue co te ga al e e se divide el sólido en dos partes iguales; cada una de éstas se puede dividir en dos partes iguales combinando el corte anterior con uno hexagonal.

1/12

1/2

adie do a los cortes a teriores otros ue contengan al eje III, se divide el sólido en doce partes inversamente iguales.

VOLUMEN

1

3

3

1

1

3

2

3

3

2

3

3

Si se divide un rombododecaedro en dos partes iguales, utilizando un corte perpendicular al eje III pasando por el centro del sólido y se hace girar en 60º sobre este eje a una de las partes, o ambas en 30º en direcciones opuestas, se forma el rombododecaedro girado (twist).

Por consiguiente, el volumen del rombododecaedro girado de arista gra de 2 3 3 es igual al del rombododecaedro de a 1 2 3 y e ui ale te a dos veces el volumen del cubo de a=1.

47

ROMBODODECAEDRO ACHATADO

TRI-ROMBODODECAEDRO

El rombododecaedro achatado se obtiene a partir del rombododecaedro por achatamiento de éste, por consiguiente, proviene también de la red cúbica.

El tri-rombododecaedro se obtiene a partir del rombododecaedro por corte y giro de éste, por consiguiente, también proviene de la red cúbica.

Se eliminan las aristas intermedias del rombododecaedro.

Rombododecaedro.

Se gira la parte inferior del sólido en 60º sobre el eje III o ambas partes 30º en direcciones opuestas, juntándose luego ambas partes.

Se eliminan las aristas intermedias y se juntan las caras restantes.

Tri-rombododecaedro en la nueva red.

Rombododecaedro achatado en la red cúbica.

DATOS

DATOS III

II

III

II

DE SIMETRÍA

Eje de simetría binario con su corte perpendicular. El sólido tiene tres ejes II que cruzan cada uno por los centros de dos aristas opuestas y tres cortes perpendiculares a cada uno de los ejes II que pasan por el centro del sólido.

Eje de simetría terciario con su corte perpendicular. El sólido tiene un eje III que cruza por dos vértices opuestos y un corte perpendicular al eje III que pasa por el centro del sólido.

EJES DE SIMETRÍA

Eje de simetría binario con su corte perpendicular. El sólido tiene tres ejes II que cruzan cada uno del centro de una arista pequeña al vértice opuesto y tres cortes perpendiculares a cada eje II que pasan por el centro del sólido.

Eje de simetría terciario con su corte perpendicular. El sólido tiene un eje III que cruza por dos vértices opuestos y un corte perpendicular al eje III que pasa por el centro del sólido.

PROYECCIONES

1

12 2

PROYECCIONES

13

EJES

1

3

1

12 3

CORTES

11

Corte perpendicular al eje de simetría binario.

Se forma con cuatro lados de dos tamaños: arista y diagonal menor de la cara rómbica.

CARAS ARISTAS VÉRTICES ÁNGULOS EN LAS CARAS rómbicas ÁNGULOS ENTRE CARAS rómbicas

6 12 8 70º32’ 109º28’

Corte perpendicular al eje de simetrâ terciario.

Se forma con seis lados de un tamaño (hexágono regular): de centro a centro de arista.

CORTES

Corte perpendicular al eje de simetría binario.

Se forma con seis lados de dos tamaños: una línea que cruza la cara rómbica y otra la cara triangular.

CARAS ARISTAS VÉRTICES ÁNGULOS EN LAS CARAS rómbicas triangulares

60º 120º

ÁNGULOS ENTRE CARAS rómbicas triangulares rómb. y triang.

Corte perpendicular al eje de simetrâ terciario.

Se forma con seis lados de un tamaño (hexágono regular): altura de la cara triangular.

12 21 11 70º32’ 109º28’ 38º ’ 70º32’ 120º 120º 120º 49

FRACCIONAMIENTO

1/2

1/2

1/4

1/2

Utilizando un corte que pase por dos aristas y por diago ales ayores de las caras r icas, se divide el sólido en dos partes iguales; cada una de stas se uede su di idir e dos artes iguales, co u corte er e dicular al a terior.

tili a do u corte aralelo a dos de las caras, se divide el sólido en dos partes iguales; cada una de éstas se puede subdividir en dos partes iguales usa do u corte er e dicular al e e .

1/6

1/12

Utilizando un corte perpendicular al eje III se divide el sólido en dos partes iguales; cada una de éstas se puede dividir en tres partes iguales a artir de cortes ue co te ga al e e .

23 3

Si se divide un rombododecaedro de manera que la mitad del eje III corresponda a las aristas de estos ue os ol e es, se obtienen cuatro rombododecaedros ac atados.

VOLUMEN

Si se divide un rombododecaedro girado de arista gra de igual a 2 3 3, utilizando dos cortes perpendiculares al eje III que pasan por los vértices donde concurren las aristas e ue as, se o tie e dos mitades del tri-rombododecaedro y un prisma hexagonal de a 1 3 3.

13 3

3

1/2

Utilizando un corte perpendicular al eje III se divide el sólido en dos partes iguales; cada una de stas se uede di idir e tres y seis artes iguales, usando cortes perpendiculares al plano de corte a terior.

VOLUMEN

12

1/6

12

3

13 3

1/4

FRACCIONAMIENTO

51

GRÁFICOS COMPARATIVOS

SÓLIDOS ALMACENADOS CON SUS HOMÓLOGOS Sólidos almacenables con sus homólogos. Proyecciones perpendiculares a los ejes de simetría de la red cúbica con los sólidos almacenados, con excepción del prisma triangular (red triangular).

PRISMA TRIANGULAR

II

III

PRISMA HEXAGONAL

II

III

CUBO

II

III

IV

55

HEXAEDRO RÓMBICO

II

III

IV

OCTAEDRO TRUNCADO

II

III

IV

ROMBODODECAEDRO

II

III

IV

ROMBODODECAEDRO TRUNCADO

II

III

IV

57

ROMBODODECAEDRO ALARGADO

II

III

ROMBODODECAEDRO GIRADO

II

III

ROMBODODECAEDRO ACHATADO

II

III

II

III

IV

TRI-ROMBODODECAEDRO

59

ORIGEN DE LOS SÓLIDOS A PARTIR DEL CUBO (Convertido del desplegable original, para esta presentación digital) Sólidos que parten de un cubo de arista =1, analizando sus interrelaciones.

2

13

3

3

12

2

1

TRI-ROMBODODECAEDRO

OCTAEDRO TRUNCADO

1

2

3

2

3

3

12

2

2

1

3

3 ROMBODODECAEDRO GIRADO

ZUECO IRREGULAR

1

2

3

3

12

3

2

1

2

1

CUBO

OCTAEDRO

ROMBODODECAEDRO

2

ROMBODODECAEDRO ALARGADO

2

1

2

3

ROMBODODECAEDRO ACHATADO

2

HEXAEDRO RÓMBICO

3 TETRAEDRO

12 2

1

ROMBODODECAEDRO TRUNCADO

DESARROLLOS PLANOS PRISMA TRIANGULAR

2 CARAS TRIANGULARES 3 CARAS CUADRADAS

PRISMA HEXAGONAL

2 CARAS HEXAGONALES 6 CARAS CUADRADAS

CUBO

HEXAEDRO RÓMBICO

6 CARAS RÓMBICAS

OCTAEDRO TRUNCADO

6 CARAS CUADRADAS 6 CARAS CUADRADAS 8 CARAS HEXAGONALES

ROMBODODECAEDRO

12 CARAS RÓMBICAS

ROMBODODECAEDRO GIRADO

6 CARAS TRAPEZOIDALES 6 CARAS RÓMBICAS

ROMBODODECAEDRO ACHATADO

6 CARAS RÓMBICAS

ROMBODODECAEDRO TRUNCADO

4 CARAS HEXAGONALES 12 CARAS TRIANGULARES

ROMBODODECAEDRO ALARGADO

4 CARAS HEXAGONALES 8 CARAS RÓMBICAS

TRIROMBODODECAEDRO

6 CARAS TRIANGULARES 6 CARAS RÓMBICAS

63

CUBO DE ARISTAS TRUNCADAS

OCTAEDRO

8 CARAS TRIANGULARES 6 CARAS CUADRADAS 12 CARAS HEXAGONALES

ROMBICUBOCTAEDRO

CUBO TRUNCADO

18 CARAS CUADRADAS 8 CARAS TRIANGULARES

TETRAEDRO TRUNCADO

6 CARAS OCTOGONALES 8 CARACS TRIANGULARES

4 CARAS TRIANGULARES 4 CARAS HEXAGONALES

PRISMA DODECAGONAL

TETRAEDRO

12 CARAS CUADRADAS 2 CARAS DODECAGONALES 4 CARAS TRIANGULARES

PRISMA OCTOGONAL

CUBOCTAEDRO TRUNCADO

2 CARAS OCTOGONALES 8 CARAS CUADRADAS

CUBOCTAEDRO

6 CARAS OCTOGONALES 12 CARAS CUADRADAS 8 CARAS HEXAGONALES

6 CARAS CUADRADAS 8 CARAS TRIANGULARES

65

EQUIVALENCIAS EN VOLUMEN

1 OCTAEDRO TRUNCADO a 12 2

2 ROMBODODECAEDROS a 12 3

2 ROMBODODECAEDROS GIRADOS 23 3

2 HEXAEDROS Rร MBICOS a 2

4 ROMBODODECAEDROS TRUNCADOS 12 2

4 CUBOS a=1

8 ROMBODODECAEDROS ACHATADOS a 12 3

Todas las equivalencia estรกn dadas entre sรณlidos originados de un cubo cuya arista es igual a 1

67

SÓLIDOS ALMACENABLES (PARTE 1) (Convertido del desplegable original, para esta presentación digital) Sólidos almacenados según el siguiente orden: 1. sólidos con sus homólogos.

2. dos sólidos diferentes complementarios.

3. tres sólidos diferentes complementarios.

Se indica el ángulo entre caras estando almacenadas alrededor de una arista común, cuya suma de ángulos concurrentes es de 360º.

90º

60º

90º

90º

60º 60º

90º

60º

120º

60º

120º

60º

120º

60º

60º

60º

60º

90º

90º

150º

60º

120º

60º

150º

60º

1

º

’

1

º

’

70º32’

60º

1. sólidos con sus homólogos (página 1)

PRISMA HEXAGONAL

PRISMA TRIANGULAR

90º

CUBO

90º

60º

OCTAEDRO TRUNCADO

HEXAEDRO RÓMBICO

90º

109º28’

ROMBODODECAEDRO

12 º1 ’

70º32’ 109º28’

120º

120º

2. dos sólidos diferentes complementarios (página 1)

TETRAEDRO Y OCTAEDRO

109º28’

OCTAEDRO Y CUBOCTAEDRO

TETRAEDRO Y TETRAEDRO TRUNCADO

12 º1 ’

70º32’

109º28’

CUBO Y CUBO DE ARISTAS TRUNCADAS

CUBO Y PRISMA TRIANGULAR

135º

70º32’

109º28’

90º

PRISMA TRIANGULAR Y PRISMA HEXAGONAL

90º

60º

90º

60º

120º

120º

90º

3. dos sólidos diferentes complementarios (página 1) CUBO, TETRAEDRO Y ROMBICUBOCTAEDRO

135º 135º

90º

1 70º32’

º

CUBO, ROMBICUBOCTAEDRO Y CUBOCTAEDRO

’

1

135º 90º

12 º1 ’

º 90º

CUBO, OCTAEDRO TRUNCADO Y CUBOCTAEDRO TRUNCADO

’

1 12 º1 ’

º

’

135º

CUBOCTAEDRO, TETRAEDRO TRUNCADO Y OCTAEDRO TRUNCADO

109º28’

12 º1 ’

70º32’

CUBO TRUNCADO, TETRAEDRO TRUNCADO Y CUBOCTAEDRO TRUNCADO

135º

109º28’ 90º

90º

12 º1 ’ 109º28’

90º

SÓLIDOS ALMACENABLES (PARTE 2) (Convertido del desplegable original, para esta presentación digital) Sólidos almacenados según el siguiente orden: 1. sólidos con sus homólogos.

2. dos sólidos diferentes complementarios.

3. dos sólidos diferentes complementarios.

Se indica el ángulo entre caras estando almacenadas alrededor de una arista común, cuya suma de ángulos concurrentes es de 360º.

109º28’

12 º1 ’

70º32’

70º32’

109º28’

150º

135º

109º28’

135º

12 º1 ’

90º

120º

150º

90º

60º

60º

90º

90º

60º

1

120º 12 º1 ’

90º

1. sólidos con sus homólogos (página 2)

ROMBODODECAEDRO TRUNCADO

1

º

’

ROMBODODECAEDRO ALARGADO

ROMBODODECAEDRO GIRADO

ROMBODODECAEDRO ACHATADO

TRI-ROMBODODECAEDRO

120º

120º

120º

CUBOCTAEDRO TRUNCADO Y PRISMA OCTOGONAL

OCTAEDRO Y CUBO TRUNCADO

90º

70º32’

120º

2. dos sólidos diferentes complementarios (página 2)

CUBO Y PRISMA OCTOGONAL

DODECAPRISMA Y PRISMA TRIANGULAR

135º

90º

1

150º

90º 60º

90º

12 º1 ’ 150º

º

’

109º28’

3. dos sólidos diferentes complementarios (página 2) CUBO PRISMA TIRANGULAR Y HEXAGONAL

90º

90º

120º

CUBO, DODECAPRISMA Y PRISMA HEXAGONAL

150º

90º 120º

60º

90º

12 º1 ’

90º

90º

CUBO, DODECAPRISMA Y PRISMA TRIANGULAR

90º

150º

60º 90º

º 90º

’

RELACIONES GEOMÉTRICAS 2

2

3

2

1/2

3

1

1

3

2

1

Proyección binaria del cubo.

Corte perpendicular al eje de simetría binario.

1

2

1

3

1/2

1

1 2 2

1

1

12

3

Triángulo correspondiente al corte formado por una arista y dos alturas del triángulo del tetraedro.

2

2

3

2,2

3

1

2

,2

1

11

1

8,2

Cara rómbica del rombododecaedro.

2 1 12 2

3

2,2 3

3

3

2 ,2 4

3

3

1

11

3 1

1

8,2 11 7

1

1 ,2 18

La cantidad sub-radical va creciendo alternativamente según números pares e impares.

1

3

1/2

Rombo formado por dos triángulos equiláteros

8

1/3

12 3

1/2 2/3

1 1/2

1/2

13 3

1

1/3

3

Triángulo equilátero

1/3

1

3

2/3

13 3

Hexágono regular

1/12

12 3

12

13

3

23

3

3

3 1

Superposición de dos rombos Hexágono regular

Cara trapezoidal del rombododecaedro girado. La cara triangular del tri-rombododecaedro equivale a 1/3 del área del trapecio.

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GLOSARIO

A ALMACENAMIENTO Posibilidad de agrupar planos o sólidos sin perder espacio entre ellos.

ÁNGULO EN LAS CARAS Aberturas entre dos lados consecutivos de las caras.

ARISTA Intersección de dos caras en un sólido.

ÁNGULO Abertura formada por dos líneas que parten de un mismo punto.

ÁNGULO ENTRE CARAS Abertura formada por dos caras que parten de una misma arista (las líneas que conforman el ángulo son perpendiculares a la arista).

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE Ángulos con un vértice común y dirección de abertura opuesta.

ÁNGULOS CONCURRENTES Aberturas distintas o iguales que llegan a un mismo punto.

B BASE Línea o superficie sobre la cual supuestamente se apoya una figura.

BI-PIRÁMIDE Sólido determinado por dos pirámides unidas por la base.

C CARA Cada una de las superficies que forman o limitan un sólido.

CUADRADO Figura plana cerrada por cuatro líneas iguales que forman cuatro ángulos rectos y dos diagonales iguales y perpendiculares entre sí.

CENTRO Punto de intersección de todas las diagonales de un polígono o de un sólido.

CUBO O HEXAEDRO Sólido platónico de seis caras cuadradas; uno de los cinco regulares.

Principio de la red cúbica.

Almacenable con sus homólogos.

CÍRCULO Plano limitado por la circunferencia.

CIRCUNFERENCIA Sucesión de puntos equidistantes de uno central, que forman una curva cerrada en un mismo plano.

CORTE O SECCIÓN PLANA Intersección de una superficie y de un sólido.

CUBO TRUNCADO Sólido arquimediano de seis caras octogonales y ocho caras triangulares; uno de los seis semirregulares que proviene de la interrelación cubo-octaedro.

Almacenable en combinación con diferentes sólidos de igual arista.

CUBO DE ARISTAS TRUNCADAS ACHATADO Poliedro de dos caras cuadradas, cuatro rómbicas y ocho hexagonales irregulares.

Sólido proveniente del cubo de aristas truncadas y originado por eliminación de algunas aristas y aproximación de las restantes. Almacenable con sus homólogos.

CUBOCTAEDRO (DYMAXION) Sólido arquimediano de seis caras cuadradas y ocho triangulares; uno de los seis semirregulares que proviene de la interrelación cubo-octaedro.

Almacenable en combinación con diferentes sólidos de igual arista.

CUBO DE ARISTAS TRUNCADAS Poliedro de seis caras cuadradas y doce caras hexagonales irregulares.

Sólido proveniente de truncar un cubo por las aristas. Almacenable en combinación con diferentes sólidos de igual arista.

CUBOCTAEDRO TRUNCADO (DYMAXION TRUNCADO) Sólido arquimediano de seis caras octogonales, ocho caras hexagonales y doce caras cuadradas, uno de los seis semirregulares que proviene de la interrelación cubo-octaedro.

Almacenable en combinación con diferentes sólidos de igual arista.

DESARROLLO PLANO Disposición de las caras de un poliedro de manera que formen una sola figura continua, de modo que al armarse se construya el poliedro.

DIÁMETRO Línea recta que une los puntos extremos de una circunferencia dividiéndola en dos partes iguales.

DUALIDAD Condición establecida entre dos sólidos cuyas aristas se cruzan en ángulo recto y son tangenciales a la esfera interescrita de ambos.

DIAGONAL Línea recta que une dos vértices no inmediatos de un polígono o sólido pasando por el centro.

DIRECCIÓN Línea de orientación.

D

E EJE DE SIMETRÍA Recta sobre la cual una figura gira de manera que se superponga consigo misma.

II Eje de simetría binario: giro de 180º III Eje de simetría terciario: giro de 120 IV Eje de simetría cuaternario: giro de 90º

ESFERA Sólido limitado por una superficie curva cuyos puntos equidistan de uno interior llamado centro.

F FRACCIONAMIENTO División de un poliedro a partir de cortes o secciones planas.

FIGURA Espacios cerrados por líneas o superficies.

75

G GIRO Movimiento de un sólido alrededor de un eje.

H HEXÁGONO Polígono regular de seis lados.

HEXÁEDRO RÓMBICO Poliedro de seis caras rómbicas (formadas por dos triángulos equiláteros). Sólido procedente de la red cúbica formado por el almacenamiento de dos tetraedros y un octaedro. Almacenable con sus homólogos.

HOMÓLOGO Término que se refiere a sólidos iguales.

I INVERSAMENTE IGUALES Planos o sólidos que tienen sus elementos homólogos iguales pero organizados de tal forma que no se pueden superponer.

L LADO Cada una de las líneas que forman el contorno de una figura.

LÍNEA Secuencia de puntos. Trayectoria de un punto que se desplaza en una dirección.

O OCTAEDRO TRUNCADO Sólido arquimediano, uno de los seis semirregulares provenientes de la interrelación cubo-octaedro.

Poliedro de seis caras cuadradas y ocho hexagonales. Almacenable con sus homólogos.

ORTOGONAL En ángulo recto.

PARALELO Líneas o planos equidistantes entre sí que no tienen punto común.

PERÍMETRO Medida del contorno de una figura plana.

POLÍGONO Superficie limitada por no menos de tres lados, no necesariamente iguales.

PARALELEPÍPEDO Sólido determinado por seis paralelogramos iguales y paralelos dos a dos.

PERPENDICULAR Línea o plano que corta en ángulo recto a otra línea o plano.

OCTAEDRO Sólido platónico formado por ocho triángulos equiláteros; uno de los cinco regulares. Almacenable en combinación con diferentes sólidos de igual arista.

P

PARALELOGRAMO Cuadrilátero cuyos lados opuestos entre sí son paralelos.

POLIEDRO Sólido determinado por superficies planas.

PRISMA Sólido que tiene por bases dos polígonos y por caras laterales paralelogramos.

PUNTO Señal que determina una posición en el espacio.

R RADIO Segmento que va del centro a cualquier punto del contorno de una figura.

RECTÁNGULO Cuadrilátero cuyos lados opuestos entre si son paralelos.

RED PLANA Combinación plana de formas iguales o distintas sin espacios libres, cuya suma de ángulos concurrentes es de 360º.

RED TRIDIMENSIONAL Es el resultado de la ordenación de puntos en el espacio.

Combinación de sólidos iguales o complementarios que guardan regularidad, cuya suma de ángulos alrededor de una arista común es de 360º.

ROMBO Figura plana de cuatro lados iguales que tiene los ángulos opuestos iguales. Está formado por dos triángulos unidos por la base.

ROMBICUBOCTAEDRO Sólido arquimediano formado por ocho triángulos equiláteros y dieciocho cuadrados; uno de los seis semirregulares provenientes de la interrelación cubo-octaedro.

Almacenable en combinación con diferentes sólidos de igual arista.

ROMBODODECAEDRO Poliedro de doce caras rómbicas.

Sólido procedente de la red cúbica, formado por la intersección de las diagonales mayores del cubo.

Almacenable con sus homólogos.

ROMBODODECAEDRO ACHATADO Poliedro de seis caras rómbicas.

Sólido procedente de la red cúbica, formado por fraccionamiento del rombododecaedro. Almacenable con sus homólogos.

ROMBODODECAEDRO ALARGADO (ROMBHEX) Poliedro de cuatro caras hexagonales irregulares y ocho rómbicas. Sólido proveniente de la red cúbica.

Originado por el distanciamiento y la adición de nueve aristas en el rombododecaedro. Almacenable con sus homólogos.

ROMBODODECAEDRO GIRADO Poliedro de seis caras trapezoidales y seis rómbicas. Sólido procedente de la red cúbica originado por sección y giro del rombododecaedro.

Almacenable con sus homólogos.

ROMBODODECAEDRO TRUNCADO Poliedro de cuatro caras hexagonales y doce triangulares.

Sólido procedente de la red cúbica, originado al truncar el rombododecaedro. Almacenable con sus homólogos.

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S SIMETRÍA Está dada por la relación de una parte con otra y de las partes con el todo y se exterioriza en la repetición (espacial temporal) de elementos.

SÓLIDOS ARQUIMEDIANOS Los trece sólidos semirregulares, provenientes de la interrelación tetraedro-tetraedro, cubo-octaedro, dodecaedro-icosaedro.

SÓLIDOS PLATÓNICOS Los cinco sólidos regulares: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

TRI-ROMBODODECAEDRO Poliedro de seis caras triangulares y seis caras rómbicas. Sólido procedente de la red cúbica, originado por eliminación de algunas aristas y aproximación de las restantes del rombododecaedro girado. Almacenable con sus homólogos.

TETRAEDRO TRUNCADO Poliedro de cuatro caras triangulares y cuatro caras hexagonales. Sólido arquimediano, único producido en la interrelación tetraedro-tetraedro.

Almacenable en combinación con otros sólidos de igual arista.

SECUENCIA Sucesión de etapas de una manera gradual.

SÓLIDO, POLIEDRO O FIGURA Conjunto o combinación tridimensional de superficies iguales o distintas que encierran un espacio.

T TRAPECIO Cuadrilátero que tiene dos lados desiguales y paralelos llamados bases.

TETRAEDRO Sólido platónico formado por cuatro triángulos equiláteros; uno de los cinco regulares. Sólido que encierra un espacio con la menor cantidad de planos. Almacenable en combinación con diferentes sólidos de igual arista.

TRAYECTORIA Línea recorrida por un móvil.

V VÉRTICE Punto donde se unen dos lados de un polígono o tres o mas planos de un poliedro.

VOLUMEN Porción de espacio contenido en un cuerpo.

78

79

BIBLIOGRAFÍA CRITHLOW, Keith

GEGO y los autores

LEOZ, Rafael

Order in space The Viking Press, New York 1970 ESPACIOVOLUMENORGANIZACIÓN Instituto de Diseño Fundación Neumann-INCE Caracas 1976 Redes y Ritmos Espaciales Editorial Blume, Barcelona 1969

Mc-HALE, John

WOLF, K.L. y KUHN, D.

R. Buckminster Fuller Editorial Hermes, México 1966 Forma y Simetría Editorial Universitaria, Buenos Aires 1969

81

Investigación, estudio, diseño gráfico, dibujo descriptivo y diagramación

Leonel Vera Pedro Mancilla Ruth Auerbach

Artes de los dibujos

Mariana García Lisa Rivas

Prólogo

Arq. Gonzalo Vélez Jahn Coordinador del Laboratorio de Técnicas Avanzadas en Diseño, Universidad Central de Venezuela, Facultad de Arquitectura y Urbanismo

Colaboración

Prof. Hanni Ossott Prof. Federico Cortés Los estudiantes del Seminario de Relaciones Espaciales dictado por Gego

Fotocomposición Impresión

Sarria Editorial Arte

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Esta reproducción digital del libro ESPACIOVOLUMENORGANIZACIÓN2, ha sido realizada por Arquitectura y Diseño Mobius, en marzo de 2017.

Leonel Vera y George Dunia, quienes participaron en el seminario de relaciones espaciales, dictado por la arquitecto y artista GEGO, integran hoy Arquitectura y Diseño Mobius, C.A., y por este medio permiten el acceso de todos los interesados, a esta publicación1.

La vectorización de las líneas de los dibujos, para una mejor visualización computarizada del dibujo técnico, fue revisada para su adecuada presentación gráfica.

1Los artes de los dibujos originales fueron realizados por

Mariana García y Lisa Rivas. Para esta reproducción digital, los textos y las ilustraciones fueron realizados y digitalizados por George Dunia, y los textos revisados por su co-autor Leonel Vera.

MONTEAVILA EDITORES CARACAS

Este libro es una extensión de lo tratado en el Seminario de Relaciones Espaciales, dictado en el Instituto de Diseño por la profesora Gego, en el que se desarrolló una diversidad de temas teniendo como base el espacio.

La intensión de esta serie de publicaciones es presentar, a las personas directamente relacionadas con el manejo del espacio - diseñadores, arquitectos, ingenieros, científicos, filósofos métodos para el análisis del espacio organizado. “Herramientas” de trabajo para los campos del diseño.

En esta publicación se desarrolla el tema Almacenamiento de Sólidos, continuando la serie comenzada en el primer libro “ESPACIOVOLUMENORGANIZACION 1” en el que se analizaron los volúmenes regulares y semirregulares.

Es un libro ampliamente ilustrado, donde el texto es un complemento para su mejor comprensión.

Leonel Vera. Diseñador gráfico y tridimensional, egresado del Instituto de Diseño Fundación Neumann, Caracas, 1975.

Asistente de la profesora Gego en el seminario de Relaciones Espaciales. Co-autor del libro “ESPACIOVOLUMENORGANIZACION 1”. Actualmente finaliza estudios de arquitectura en la Facultad de Arquitectura y Urbanismo de la Universidad Central de Venezuela.

Pedro Mancilla. Diseñador gráfico y tridimensional. Egresado del Instituto de Diseño Fundación Neumann, Caracas, 1976.

Profesor de Composición Tridimensional del mismo Instituto.

Co-autor del libro “ESPACIOVOLUMENORGANIZACION 1”.

Actualmente se desempeña como diseñador gráfico del Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Tecnológicas (CONICIT).

Ruth Auerbach. Diseñadora gráfica y tridimensional. Egresada del Instituto de Diseño Fundación Neumann, Caracas, 1975.

Actualmente cursa estudios en la Escuela de Arte de la Universidad Central de Venezuela y se desempeña como museólogo en la Galería de Arte Nacional, Caracas.