Costruire e Misurare. I libro - Misure: Logica della Mediazione by Mauro Moriconi

COSTRUIRE E MISURARE Dottorato di ricerca in Problemi di metodo nella Progettazione architettonica - VIII ciclo

Mauro

Moriconi

Università degli Studi di Genova Facoltà di Architettura

I LIBRO - MISURE: LOGICA DELLA MEDIAZIONE

COSTRUIRE E MISURARE tre libri intorno al problema

Mauro

della geollletria nell'architettura

Moriconi

Dottorato di ricerca in Problemi di metodo nella Progettazione Architcuonica - VIII ciclo ~

'\Wl

UniversitĂ degli S.'tudi di Genova FacoltĂ di Architettura

Ringrazio: il Collegio dei Docenti del Corso di Dottorato in Problemi di metodo nella Progettazione di Genova, che ha seguito questo lavoro; in particolare il professor Luciano Grossi Bianchi e il professor Guido Campodonico, che hanno entrambi seguito lo sviluppo della ricerca; in particolare il professor Aldo De Poli per i suggerimenti preziosi;

Architettonica della Facoltà di Architettura

il profcssor Giancarlo De Carlo e il profcssor Francesco COllOqUIche sono stati di stimolo a riflessioni determinanti;

Venezia

con cui ho avuto dei

la professoressa Orietta Pedemonte che gentilmente ha prestato interrogativi riguardo gli aspetti matematici che Le ho posto, aiutandomi

attenzione a risolverli;

agli

la signora Iolanda Morando e la Segreteria dell'Istituto di Progettazione della Facoltà di Architettura di Genova; la Direzione ed il personale della Biblioteca Carboneri della Facoltà di Architettura di Genova; le Direzioni della Biblioteca Centrale del Politecnico di Milano, della Biblioteca del Politecnico di Torino, della Biblioteca della Facoltà di Architettura di Firenze e della Biblioteca Nazionale di Firenze che hanno mostrato grande disponibilità ad agevolare tempi stretti per consultare i testi.

1lI

PREMESSA

Questa tesi di Dottorato nasce nella convinzione che non sia possibile, per l'architetto, isolare un tema di ricerca e che ogni studio egli intraprenda coinvolga necessariamente la totalità dei suoi interessi. È forse possibile una specializzazione nel campo della storia delì 'archi tettura, così come nell'ambito della sperimentazione tecnologica oppure nella messa a punto di strumenti di pianificazione. Ma l'oggetto di tali forme di sapere è ben diverso da quello dell'architettura, la quale deve avere un orizzonte più ampio. La delimitazione, quindi, di un campo specifico di indagine (in quanto ramo specialistico), non soltantanto non è mai stato l'obiettivo di questa ricerca, ma è stato considerato fin dall'inizio un pericolo da evitare con la massima attenzione. La questione della misura, che rappresenta il fulcro di questo studio, è particolarmente insidiata da tale pericolo. Ogni qual volta si cerca di separarla dalle altre questioni la si incanala in un vicolo cieco che conduce ad un gretto accademismo. Nel passato si era consci di questo rischio e sebbene le riflessioni sulla proporzione, sulle misure dell'architettura, fossero al centro di gran parte delle elaborazioni teoriche, queste non diedero luogo allo specialista della materia. Non è un caso che solo nel diciannovesimo sia apparso un tale personaggio. Ciò conduce inevitabilmente ad una seconda questione: per un architetto la ricerca non è dissociabile dalle sue intenzioni. Quando Robert Venturi propone un tentativo di fare della critica architettonica che sia al tempo stesso un 'eapologia», una spiegazione del suo lavoro, egli intende affermare che in quanto architetto egli si deve inevitabilmente compromettere, deve mettersi in gioco. Se manca la tensione verso questo fine la ricerca rischia di precludersi l'accesso alla costruzione. Rischia di allontanarsi dalla pubblica piazza.

Gli effetti di un tale atteggiamento sono devastanti. Da una parte le teorie perdono la possibilità di verifica, dall'altra le prassi diventano routines agnostiche. Gli architetti teorici che, per uno strano paradosso, riescono a costruire, vanno incontro a creare oggetti alienati dal mondo concreto. Il professionismo pragmatico, invece, accetta senza riserve le incongruenze e procede senza una strada e senza nemmeno un sentiero. Il mondo che ne deriva appare sempre più evanescente. Il titolo scelto per questa tesi di Dottorato - Costruire e misuraretestimonia quindi lo sforzo di evitare questi rischi. Si obbietterà, certo, che il problema della misura è quanto di più etereo si possa immaginare. Che sia improponibile parlarne fuori dalla ristretta cerchia degli specialisti, e che nessun'altra ricerca sarebbe meno indicata ad ottenere un risultato pratico. La tesi sostenuta in questo studio nasce dal rifiuto di un atteggiamento che veda il problema sotto questa luce, sebbene si sia coscienti che esso rappresenta il pensiero egemone. L'architettura giunge infatti alla misura solo in quanto diventa un metro per appropriarsi dello spazio, per misurare la terra: una geo-metria. Essa cerca un legame tra le misure significativo in sé, a prescindere dalle contingenze sempre in divenire, perché nasce dall'idea che il costruire sia in sé stesso un atto dotato di senso, un abitare. Se l'architettura perde la capacità di ottenere questo obiettivo rischia di smarrire la sua ragione di esistenza. Allora, come avviene nel mondo contemporaneo, il senso della misura svanisce.

INDICE

COMMENTATO

11testo che costituisce la tesi di Dottorato si articola in tre parti, che sono state chiamate libri perché, nonostante costituiscano un insieme unitario e si completino vicendevolmente, posseggono una loro forte autonomia. I tre libri rappresenteranno tre approcci differenti ad uno stesso problema. Essi ruotano attorno al concetto di misura, cercando di dargli un orizzonte abbastanza ampio da coglierne le molteplici angolazioni. In termini semplificati si può dire che il primo libro cerca di stabilirne il che cosa, il secondo il come e il terzo il perché del problema della misura in architettura.

I LIBRO - MISURE:

LOGICA DELLA MEDIAZIONE.

Il primo libro rappresenta il tentativo di definire una base logica del problema per ridurre le possibilità di equivoco prodotte dalle ambiguità dei termini e dei concetti. Il punto di partenza è riflessione intorno alla differenza tra le misure. Tale differenza può essere isolata prendendo in considerazione due sole misure per estendere, in seguito, il problema. L'idea, già espressa per nel Timeo di Platone, è quella di trovare in un terzo la mediazione di quella differenza essenziale che altrimenti diverrebbe abissale. Partendo da questo principio elementare si cerca di chiarire il concetto di proporzione, definendo una teoria generale che comprenda sistemi apparentemente distanti. INDICE:

Premessa terminologica

] tre medi del Timeo di Platone

I tre medi e il quadrato

4 4.1 4.2 4.3 4.4

Proporzioni notevoli La sezione aurea La diagonale del quadrato La radice di tre Le proporzioni musicali

23 27 35 39 43

Conclusioni

VII

II LIBRO - VIAGGIO DELL'ARCHITETTURA.

ALLA

RICERCA

DELLE

MISURE

L'obbiettivo del secondo libro non è quello di un'analisi storica. Non si ricercano rapporti di causa ed effetto né di continuità e discontinuità tra periodi storici, né si vuole essere esaustivi per ogni momento storico trattato. Si propone invece un viaggio attraverso le idee, seguendo una traccia fornita dal problema della misura, cercando delle stazioni per riflettere sui problemi che esse implicano. Anche se le forme di controllo della geometria hanno assunto differenti aspetti nel tempo, non si può parlare di un pensiero in evoluzione. Ogni forma - il canone, il tracciato, la scala di numeri, etc ... - mantiene un valore indipendente dal progresso tecnologico in divenire. Analizzando i resti di teorie e di edifici si ricerca un filo di Arianna, un eterno presente che leghi tra loro architetture per altri versi lontane. INDICE:

Pietre senza parole

Vitruvio

Art de jometrie

Harmonia

Le trame di Viollet-le-Duc

La simmetria di Le Corbusier

Epilogo

117

111 LIBRO - MISURA E MISURE. Il terzo libro si pone l'obiettivo di osservare le misure dell'architetto del costruire dal punto di vista complesso dell' attualità. I sistemi di controllo che il mondo contemporaneo propone (che vanno dal sistema metrico, alla normativa, all'ingegneria) sono in un certo senso in antagonismo con la tradizione dell'architettura, in quanto ne mettono in discussione gli strumenti. Ma se la tecnica contemporanea riesce a risolvere problemi circoscritti, essa non produce una unità del costruire ma una frammentazione sempre più pareellizata. Si vuole quindi dimostrare come la confusione ed il disinteresse sul significato della misura sia un aspetto determinante della crisi nella disciplina. Ci sono due possibili strade: rinunciare al controllo, al disegno, delle misure e ad un principio di unità, oppure battersi per ribadire, sempre e di nuovo, l'unità del progetto attraverso la resistenza al caos. La scelta tra queste due strade è forse ancora aperta.

INDICE:

VIII

Misura

Metro

Calcolo

Dimensione

Norma

Spazio

Geometria

I Appendice proporzione II Appendice

Nota

bibliografica

sul

problema

della

- Calcoli relativi al I libro

COSTRUIRE E MISURARE

I libro

MISURE: LOGICA DELLA MEDIAZIONE

Mauro Moriconi

INDICE:

Premessa terminologica

I tre medi del Timeo di Platone

I tre medi e il quadrato

Proporzioni notevoli

4.1

La sezione aurea

4.2

La diagonale del quadrato

4.3

La radice di tre

4.4

Le proporzioni musicali

Conclusioni

Note

1 PREMESSA TERMINOLOGICA

… DIFFICILESQUE SYMMETRIARUM QUAESTIONES GEOMETRICIS INVENITUR.

RATIONIBUS

METHODIS

… e con calcolo e metodo geometrico si risolvono i difficili problemi della symmetria. Marcus Vitruvius Pollio

Il termine proporzione, che sarà centrale in questo studio, presenta un certo grado di ambiguità nel linguaggio contemporaneo. Non è un gioco fine a se stesso cercare di chiarirne le angolazioni prima di addentrarsi negli argomenti. Proporzione deriva dal latino pro portio2 (letteralmente: davanti a / a favore di – porzione) che sembrerebbe riferirsi, in maniera generalissima, a qualcosa in grado di creare un'unità tra singole porzioni, le singole parti di un tutto. Il termine è già usato da Varrone e da Cicerone,3 ma è Vitruvio a tramandarci il significato legato alle arti figurative, in particolare all'architettura: egli lo usa con un significato affine sia al greco αναλογια che a συµµετρια. Infatti Vitruvio afferma che proporzione è sinonimo del primo: AEDIUM COMPOSITIO CONSTAT EX SYMMETRIA, CUIUS RATIONEM DILIGENTISSIME ARCHITECTI TENERE DEBENT, EA AUTEM PARITUR A PROPORTIONE, QUAE GRAECE αναλογια DICITUR. La composizione del tempio è una symmetria; il cui calcolo gli architetti debbono scrupolosamente conoscere ed applicare. La symmetria nasce dalla proporzione, in greco αναλογια.

E poco dopo egli fornisce una definizione ove proporzione non sembra distinguibile da symmetria: PROPORTIO EST RATAE PARTIS MEMBRORUM IN OMNI OPER TOTOQUE COMMODULATIO, EX QUA RATIO EFFICITUR SYMMETRIARUM. NAMQUE NON POTES AEDIS ULLA SINE SYMMETRIA ATQUE PROPORTIONE RATIONEM HABERE COMPOSITIONIS, NISI UTI AD HOMINIS BENE FIGURATI MEMBRORUM HABUERIT EXACTAM RATIONEM. La proporzione è la commensurabilità di ogni singolo membro dell'opera e di tutti i membri nell'insieme dell'opera. E' infatti chiaro che nessun tempio potrebbe presentare un sistema di costruzione senza symmetria e senza proporzione; se cioè non abbia avuto un esatto calcolo delle sue membra, come nel caso di un uomo ben fatto.4

Il vocabolo greco συµµετρια ha, come è noto, un significato molto più ampio del corrispondente da esso derivato nelle lingue moderne.5 Erone, infatti, definisce delle quantità symmetriche quando sono misurabili con una misura unica, a-symmetriche quelle che non ammettono una misura comune.6 Come indica l'etimologia, sim-metria significa originariamente commisurazione, un principio unitario che rende confrontabili grandezze differenti. Una αναλογια, indica una similitudine tra due rettangoli mentre una συµµετρια indica una sistema di similitudini tra rettangoli. Premessa terminologica

La distanza tra i due termini è effettivamente strettissima. Proporzione, termine latino, è servito, di fatto a tradurre tutti e due i termini greci ma quando è associato alle arti figurative è il secondo significato quello più importante. Euclide7 quando definisce quello che in matematica intendiamo oggi come proporzione dice αναλογια. In maniera generalissima una proporzione matematica è una eguaglianza di due rapporti. Entrano in gioco quattro termini: a:b=c:d Questa relazione stabilisce una eguaglianza tra due rapporti. Tale problema ha una grande rilevanza nello sviluppo della matematica ma per l'architettura e le arti figurative, svia l'attenzione dal vero problema che è creare una συµµετρια. Platone fornisce una definizione diversa che, come si vedrà dettagliatamente più avanti, sposta leggermente i termini della questione: date due grandezze differenti si può trovarne una terza che le congiunga, instaurando tra le tre grandezze delle relazioni geometriche che conducano ad una qualche similitudine. In altre parole presi a e c (a > c) si deve cercare un valore b (a > b > c) tale per cui i 6 valori: a ; b ; c e a - c; b - c ; a - b creino rettangoli simili. A partire da alcune soluzioni di questo problema si possono elaborare delle successioni di grandezze collegate tra loro in maniera che qualsiasi valore sia relazionato ad altri due. Una differenza iniziale tra due entità sarà quindi mediata e ricondotta ad una nuova unità. Nelle arti figurative, e in particolare nell'architettura, l'obiettivo è la com-posizione di misure. Com-posizione significa, nel significato antico, una disposizione di tante misure in modo che ogni elemento trovi una precisa posizione rispetto ad un insieme.8 La proporzione è il veicolo per raggiungere questo obiettivo, è la strada razionale della mediazione delle differenze. In pratica la proporzione si configura allora come un metodo, intellegibile, che, in sintesi, si pone i seguenti obbiettivi convergenti: I. Facilitare la ripetizione, alle diverse scale dell'insieme, di un numero limitato di rapporti (rettangoli). La ripetizione è un concetto comune in ogni campo artistico, perché serve a dare unità ad un insieme. La metrica nella poesia o le leggi dell'armonia nella musica. Nell'architettura la ripetizione ha anche un significato pratico perché riduce al minimo indispensabile la quantità delle misure da usare economizzando il processo della costruzione. II.

Facilitare una composizione in cui siano assenti forme residue.

Per forme residue si intendono forme che nascono da misure prive di relazioni con l'insieme. Per intendersi, se all'interno di un rettangolo viene inserito un rettangolo simile più piccolo, la figura che avanza è una forma residua solo se non è controllata da alcuna legge, se è totalmente casuale. La proporzione aiuta ad ottenere una composizione senza resti. III. Creare, quindi, un sistema abbastanza flessibile da permettere una quantità infinita di variazioni per adattarsi a situazioni sempre differenti. Fare architettura ripetendo un solo elemento non è possibile. 6

Costruire e misurare: I libro

Si può avere l'illusione di farlo, riducendo tutto ad un unica figura che abbia il valore di minimo comun multiplo. Ciò permetterà di misurare delle lunghezze (dire ad es. che un rettangolo è 3 x 4) ma non servirà a misurare i rapporti. La differenza è ineliminabile. Una stanza cubica avrà finestre e porte che partiscono le pareti, in maniera differente a seconda di come è collocata all'interno di una casa. La relazione tra le parti non può essere stabilita una volta per tutte. Per questo un sistema proporzionale deve avere in sé la capacità di mediare situazioni imprevedibili, deve essere flessibile. Un sistema di misure determinato con questi intenti potrà essere accordato alle dimensioni umane. Il canone umano è il punto di contatto tra il campo della proporzione e quello della dimensione fissando delle misure fondamentali di riferimento. Una porta sarà larga quanto un braccio, alta quanto un uomo con un braccio alzato. Il rapporto tra le due misure potrà essere regolato da una data proporzione che si relazionerà con le altre. Questo approccio alla questione è in contrasto con una comune convinzione. La proporzione non è tanto una relazione tra due elementi che ha valore estetico di per sé. Può essere vero – anche se non sembra esistano argomentazioni solide – che il rapporto tra due grandezze venga riconosciuto dall'osservatore come più piacevole o rassicurante di altri, ma ciò non dice nulla riguardo il valore di una porzione rispetto ad un tutto.9 La proporzione assume valenza estetica in quanto mette in gioco un insieme di relazioni. Per chiarire questa affermazione si consideri, a titolo di esempio, due termini in rapporto aureo. Se si assume come presupposto che un rettangolo con quel rapporto abbia un forma equilibrata e abbia un valore estetico di per sé, diventa difficile stabilire in quale misura l'occhio sia in grado di riconoscerlo. Da una tale tesi nascono una serie di equivoci che conducono infine al fraintendimento del concetto di proporzione. Ciò che rende il rapporto aureo importante è invece il sistema di relazioni. Si possono approssimare i valori ma se si cambia concettualmente un solo elemento i conti non tornano più, e l'unità dell'insieme viene compromessa. Il significato originario di proporzione era ben compreso e usato, nel campo dell'architettura, almeno fino alla stagione del rinascimento. In seguito, con un lento processo di slittamenti, il termine ha assunto altri significati che prima, è bene rilevarlo, non esistevano. Proporzione oggi è un vocabolo spesso usato in riferimento alla funzionalità di un oggetto. Se si dice un tavolo ben proporzionato, una porta sproporzionata o anche, nel linguaggio quotidiano un pacco di grosse proporzioni, ci si riferisce a delle dimensioni ideali di un oggetto adeguate all'uso che si vuol fare dello stesso. Se poi si parla di una pilastro di sottile proporzione si intende che esso è sottile relativamente ai pilastri di quel tipo. Oltre a ciò proporzione indica oggi una qualità di un oggetto, indecifrabile e appartenente al mondo dell'irrazionale. Una qualità che è ottenuta attraverso la sensibilità individuale dell'artista, l'occhio che congiunge misure ottenendo un risultato estetico di equilibrio. È difficile e forse inutile sciogliere tutte le ambiguità di questo vocabolo. Ad ogni modo quando lo si userà in questo studio, a meno che non sia esplicitamente specificato, si farà riferimento al significato antico che esso aveva nell'architettura. Quanto segue è una riflessione sulle conseguenze che produce la semplice definizione di proporzione data da Platone. Anche se si è deliberatamente evitata l'analisi di oggetti costruiti deve essere chiaro che lo spazio di cui ci si occuperà è comunque lo spazio materiale dell'arte, mai quello astratto della matematica.

Premessa terminologica

I TRE MEDI DEL TIMEO DI PLATONE

Il concetto di medio sta alla base di qualsiasi sistema di misura, di qualsiasi sistema, cioè, che renda possibile uno sviluppo di dimensioni la cui differenza sia intellegibile. Platone nel VII dialogo del Timeo definisce con chiarezza il significato di tale termine. Forse per la prima volta egli mette per iscritto il risultato di una conoscenza molto antica, probabilmente anche più antica di Pitagora e della cultura greca.10 A questo testo si sono riferiti tutti quelli che in seguito hanno trattato l'argomento, da Alberti a Ghyka. Ripercorrendone un passo fondamentale è forse possibile ripartire dalla radice del problema. Platone enuncia un postulato: … non è possibile che due cose si compongano bene senza una terza: bisogna che in mezzo vi sia un legame che le congiunga entrambe.11

Il medio è, in termini generalissimi, una terza cosa che rende possibile il confronto di altre due, che le mette in comunicazione. Senza questa terza cosa le altre due sarebbero due mondi incomunicanti, inconciliabili. In altre parole il medio permette alle due cose di essere misurate, ne è il metro. Se, per essere espliciti, prendiamo in considerazione due lunghezze a, c il medio è rappresentato da una terza lunghezza b per la quale ha senso instaurare una qualche relazione. Ad esempio si può dire che a : b come c : b giungendo così all'affermazione elementare che a e c sono eguali. La lunghezza b è ciò che permette il confronto di a e c. Ora, dando per acquisito tutto ciò, Platone prosegue definendo il primo, quello che egli reputa più importante, tra i medi proporzionali: E il più bello dei legami è quello che faccia, per quanto è possibile, un cosa sola di sé e delle cose legate: ora la symmetria compie questo in modo bellissimo. Perché quando di tre numeri o masse o potenze quali si vogliano, il medio sta all'ultimo come il primo sta al medio, e d'altra parte ancora il medio sta al primo, come l'ultimo sta al medio…

In altre parole Platone definisce il medio geometrico. Infatti si abbiano a, c (a > c ), medio è quella misura b per cui si verifica l'analogia: (1)

a:b=b:c

è chiaro che è valida anche l'analogia inversa:

b:a=c:b

Per calcolare il medio geometrico bisogna far intervenire la nozione matematica della radice quadrata: (2)

b = a xc

Questo modo di esprimersi con notazione algebrica non era noto ai greci. A volte il valore di tale equazione è un numero intero, ma generalmente esso è un numero incommensurabile, o come i greci dicevano è un αλογον, ciò su cui non si può dire.12 Nonostante questo fatto essi avevano chiarissimo il concetto che tale medio è un'entità, una misura tangibile. I tre medi del Timeo

fig. 1

Tale lunghezza, inesprimibile a parole, era quindi esprimibile geometricamente: il medio proporzionale si può costruire in tanti modi (ad esempio, in modo essenziale,13 come in fig. 1). La descrizione verbale è ridondante ma la costruzione è immediata ed essenziale. Platone prosegue dicendo: … allora il medio divenendo primo e ultimo, e l'ultimo e il primo divenendo a loro volta medi ambedue, sì di necessità accadrà che tutti siano gli stessi, e divenuti gli stessi fra loro, saranno tutti una cosa sola.14

Che cosa intende dire? Se si costruisce un rettangolo con lati a e b, ABB'A' (fig. 2), tracciando una diagonale A'B, si traccia da B' la perpendicolare ad A'B in modo da incontrare AB in C, si hanno gli elementi per costruire il rettangolo CBB'C'.

B c a

fig. 2 10

Costruire e misurare: I libro

I due rettangoli così ottenuti (ABB'A' e CBB'C') sono due rettangoli simili. E' evidente che la lunghezza C'B' ha il valore di c della (1). La lunghezza b è quindi medio geometrico tra a e c. Come dice Platone essa è primo e ultimo: il lato piccolo del primo rettangolo coincide con il lato grande del secondo. La sequenza a ; b ; c, se a : b = b : c = x, costituisce un frammento di una progressione geometrica. Ciò risulta evidente se esso viene scritto in questi termini: b a = b x; b; c = x Tale successione può proseguire nell'infinitamente grande e nell'infinitamente piccolo (fig. 3). Allora a e c divengono15 a loro volta medi ambedue rispetto ad altri due termini.

fig. 3

Tutti i termini della successione sono il medesimo perché, anche se differenti ed incommensurabili, sono legati da un'unica relazione. E' la relazione da cui dipendono i vari termini, in questo caso una proporzionalità geometrica, che conduce la differenza ad una nuova unità. Platone, più avanti, dà la definizione di altri due medi. Il primo è definito come una misura che: … avanzi e fosse avanzato dallo stesso numero… I tre medi del Timeo

l'altro una misura che: … avanzi un estremo e fosse avanzato dall'altro della stessa frazione.16

Il primo caso definisce un medio b tra due lunghezze a ; c ( a > c ) tale da superare c di una lunghezza eguale a quella di cui è superato da a ; vale a dire: (3)

b = a+c 2

Questo è il medio aritmetico (ciò che nel linguaggio comune viene indicato come la media di due numeri). Questo medio si costruisce in maniera semplicissima: si divide in due la somma delle due lunghezze (fig. 4).

fig. 4

Il secondo caso rappresenta il più complicato e, apparentemente, il più incomprensibile dei medi platonici. Il medio b tra due lunghezze a ; c ( a > c ) è tale da superarec di una lunghezza che, rapportata a c produce un valore uguale a quello ottenuto rapportando ad a la misura del quale è superato da a. In realtà per avere una definizione più sintetica di quella data da Platone bisogna passare al calcolo letterale: b-c a-c c = a

(4) da cui si ottiene: (5)

2a c b = a+c Costruire e misurare: I libro

Questa misura si chiama medio armonico. Più avanti si cercherà di chiarire il significato geometrico di tale misura. Per ora si osservi una costruzione assai efficace, anche se un po' complicata, suggerita dal Palladio ne I quattro libri dell'architettura.17

m at (a,c) E

a A

B c

C D b

fig. 5 Date le due lunghezze AB e BC (fig. 5) si costruisce il rettangolo ABCD. Riportando sulla retta AB il medio aritmetico AE delle due, si disegna la retta ED. Il punto di incontro F di tale retta con la retta BC fornisce la lunghezza CF cercata. Questi tre medi stanno alla base di ogni συµµετρια.

I tre medi del Timeo

I TRE MEDI E IL QUADRATO

Che cosa significa concretamente una relazione tra due lunghezze? Si definisce rapporto, ratio, tra due lunghezze a e c la loro comparazione quantitativa: a c =x

Due rapporti eguali formano una proporzione (αναλογια), mentre la proporzionalità con modulo x è data dall'insieme dei rapporti eguali. Le due lunghezze a e c individuano anche un'area: S = a c. Euclide, infatti, dice nel I libro degli Elementi : "una superficie ha posizione, e ha lunghezza e larghezza, ma non spessore." Una superficie può avere qualsiasi forma ma quella più semplice, associata a due lunghezze, è il rettangolo. Nel linguaggio comune questo fatto è molto chiaro infatti se si indicano due misure (ad esempio 100 x 70 cm.) immediatamente si evoca la figura del rettangolo. Un rettangolo e non un parallelogramma, né un triangolo né alcun'altra figura. Per cui da un punto di vista geometrico una relazione tra due lunghezze è rappresentata dal rettangolo che esse formano, mentre una proporzionalità è data dall'insieme dei rettangoli che hanno quello stesso rapporto.

fig.6

Una singola proporzione (αναλογια) si concretizza allora, in primo luogo, in un rettangolo. Partendo da questa constatazione si potrà analizzare il problema facendo sempre riferimento ad una situazione geometrica. Si considerino due lunghezze a e c. I tre medi e il quadrato

In primo luogo se le due misure a e c fossero uguali, il problema della mediazione non si porrebbe. Il rettangolo ottenuto da a e c sarebbe allora un quadrato. Il quadrato è dato dall'assenza di differenza tra due termini che lo connotano; per questo esso è stato identificato come una forma perfetta. Ma il quadrato isolato rappresenta anche l'assenza di composizione, esso è un unità senza porzioni. Il quadrato sarà allora un termine di riferimento costante per indicare l'unità. Il problema di una differenza si pone, però, quando si introduce un elemento altro, non identificabile con il primo. Ammettiamo, ad esempio, che a > c. L'altezza AB = a del quadrato sia il termine maggiore e una qualsiasi porzione della base AC = c sia il termine minore. a (a - c) Si potranno valutare due rapporti: c e il complementare18 a (fig. 7-I) .

a C" A

c I

fig. 7 In fig. 7-II sono rappresentate, poi, tutte le altre relazioni che possono stabilirsi tra le due lunghezze casuali a > c. Ora si consideri una terza misura b (a > b > c). Si potranno valutare 6 valori (fig. 8): i tre di partenza a ; b ; c, e le tre differenze positive a- c ; b - c ; a - b. Le tre relazioni di similitudine, più semplici, tra questi 6 valori sono quelle appena viste: a b a-b b-c a-b b-c a-b b-c b = c ; a = a ovvero b = b ovvero a-b = b-c ; a = c Queste equivalenze sono risolte con valori di b corrispondenti ai tre medi proporzionali tra a e c. 16

Costruire e misurare: I libro

a b

C" A

fig. 8 In termini geometrici i tre medi produrranno una terza lunghezza b tale che almeno due dei rettangoli distinguibili in fig. 8 siano simili. Questo problema sta alla base di qualsiasi sistema di proporzioni perché risolve ogni possibile rapporto di similitudine. Il problema può essere però generalizzato: ci si potrebbe porre l'obiettivo di trovare tutti i valori di b per cui si verifichi una analogia (una proporzione matematica) tra quattro qualsiasi di quelle 6 valori. I rettangoli (o i rapporti) che si possono formare con quei 6 valori sono ben 36:

c c

c b

c a

c a-c

c b-c

c a-b

b c

b b

b a

b a-c

b b-c

b a-b

a c

a b

a a

a a-c

a b-c

a a-b

a-c c

a-c b

a-c a

a-c a-c

a-c b-c

a-c a-b

b-c c

b-c b

b-c a

b-c a-c

b-c b-c

b-c a-b

a-b c

a-b b

a-b a

a-b a-c

a-b b-c

a-b a-b

Le similitudini (equivalenze di rapporti) che si possono ipotizzare tra questi sono moltissime. Il numero può spaventare ma in realtà le soluzioni valide geometricamente sono relativamente poche.19 Dall'analisi di queste equivalenze20 risulta poi un dato che aggiunge significato alla descrizione data da Platone: i tre medi, sebbene non siano le uniche soluzioni a questo problema, sono quelle che ricorrono più volte dando luogo ad un maggior numero di corrispondenze, oltre ad essere le uniche praticabili da un punto di vista operativo (costruibili facilmente). I tre medi e il quadrato

Anche da questo punto di vista risulta chiaro il perché sia stata data tanta importanza a queste tre funzioni, perché Platone parli di tre medi e non di altri. A questo punto si osserveranno gli effetti dell'introduzione dei tre medi. Si ribadisce che, in questa fase del discorso, si avrà a che fare con due lunghezze stabilite arbitrariamente, non relazionate a priori in alcun modo, quindi i rapporti tra le figure nei disegni saranno del tutto ipotetici, ma saranno validi per qualsiasi a e c. Soltanto in una seconda fase si cercherà di individuare delle lunghezze di partenza che offrano particolari possibilità di sviluppi. * * * * Per costruire il medio geometrico tra a e c partendo dal quadrato di a, si può procedere come segue. Si tracci il semicerchio con diametro AB (interno al quadrato). Si dimostra che la distanza tra A e M' (intersezione tra il semicerchio e la retta per C'', parallea a A A') è il medio geometrico tra AB e AC. Riportando, ora, la lunghezza mg = AM' sul lato AB si ottiene il punto M1 (fig. 9).

C" A

m g (a,c)

fig.9 Il medio geometrico realizza le seguenti equivalenze:

b a = c b

b a-b = c b-c

a-c b-c = a b

b-c a-b = c b

Costruire e misurare: I libro

III

fig.10

CiĂ˛ significa che all'interno del quadrato di lato a si verificano le similitudini tra i rettangoli indicate in fig. 10. * * * * Costruire il medio aritmetico partendo dal quadrato di a Ă¨ sempre semplicissimo: si biseca A"B, trovando M2 ( fig.11).

m at (a,c)

fig.11 Il medio aritmetico innesta un sistema di relazioni di istantanea comprensione. Esso compie la mediazione attraversando il principio di specularitĂ . I tre medi e il quadrato

Tale funzione realizza le seguenti eguaglianze di rapporti:

b-c a-b a = a

b-c a-b b = b

b-c a-b a-c = a-c

b-c a-b c = c

III

fig. 12

Come si intuisce dalla fig.12, dalla prima relazione di similitudine derivano le altre. Per quanto ciĂ˛ possa sembrare banale, va rilevato come solo questo valore di b produce ben 5 similitudini (che sono anche eguaglianze). * * * * Anche la costruzione del medio armonico puĂ˛ essere eseguita proficuamente sfruttando il quadrato di a. Si trovi il baricentro del quadrato21 C"B', si congiunga tale punto con A" intersecando la C'C in Y: la lunghezza YC Ă¨ quella cercata (fig.13). 20

Costruire e misurare: I libro

Y M3 A"

m am (a,c) A

fig.13 Le eguaglianze che si producono dando a b il valore della media armonica sono le seguenti (fig.14): a a-b c = b-c

b-c a-b c = a

fig. 14 Il medio armonico genera corrispondenze articolate. In generale esso rappresenta certamente il più complicato dei tre mezzi platonici, anche se, in casi particolari, come si vedrà più avanti, darà luogo a rapporti semplici. È stato detto che la media armonica rappresenta l'insieme delle due precedenti. Il quadrato di a e quello di c sono particolarmente utili per capire il significato di questa funzione. In parole povere, e un po' imprecise, si può dire che esso produce una similitudine per differenza rispetto ad a e per somma rispetto a c (fig. 15).

fig. 15 I tre medi e il quadrato

PROPORZIONI NOTEVOLI

Fino a questo punto si sono considerate due lunghezze generiche. L'obbiettivo di partenza, però, è quello di produrre una composizione ordinata. La questione che si pone, allora, è la seguente: scegliere due misure iniziali affinché le possibilità di rispondenze siano ulteriormente incrementate. I tre medi danno luogo a tre tipi di sequenze di misure in cui ogni termine è medio tra quello precedente e quello successivo. La successione geometrica è quella che in maniera più diretta crea delle relazioni di similitudine. Si chiama progressione geometrica una successione del tipo: k k k … ; xn ; … ; x2 ; x1 ; k ; k x1 ; k x2 ; … ; k xn ; …

esprimendo tale progressione in funzione di n abbiamo: f (n) = k xn

(6)

ove k e x sono costanti, mentre n è un numero naturale ( …, -2, -1, 0, 1, 2, … ) variabile. Abbiamo già visto il significato geometrico di questa progressione. La serie di rettangoli simili mostrati nella fig. 3 potrebbe essere proseguita verso l'infinitamente piccolo come verso l'infinitamente grande. Se associamo ad ogni lato di quei rettangoli un termine della progressione risulta che la forma dei rettangoli dipende esclusivamente dalla costante x, la quale viene chiamata rapporto o ragione, ratio oppure modulo del rettangolo. La costante k e la variabile n ne determinano solo la dimensione. Si considerino, allora, tre termini della progressione a > b > c tali che: a = k x;

b = k;

k c= x ;

( x≠ 0 ; k ≥ 1)

Con tre valori di questo tipo le rispondenze aumenterebbero. Ma quale x scegliere? Il problema posto poco innanzi si semplifica: non si tratta più di determinare due lunghezze ma, piuttosto, di porre una condizione per determinare la sola misura x, che diventa la variabile del problema. Tale valore sarà il modulo di una particolare proporzione.

Proporzioni notevoli

Si potranno, allora, porre delle condizioni tali da avere una o pi첫 rispondenze tra le misure determinate dall'introduzione dei tre medi. Stabilire quindi quali proporzioni rispettano quelle condizioni e osservarne gli effetti. Le seguenti equazioni ad una incognita rappresentano tutte le rispondenze semplici tra tre termini di una proporzione geometrica ed i due medi, mat e mam : (7)

a-b = c

(8) (9) (10) (11)

a - mat(b,a) = c a - mat(b,a) = b a - mam(b,a) = c a - mam(b,a) = b

(12) (13) (14) (15)

a - mat(c,b) = b a - mat(c,b) = c a - mam(c,b) = b a - mam(c,b) = c

(16) (17) (18) (19)

a - mat(b,a) = mat(c,b) a - mam(b,a) = mam(c,b) a - mat(b,a) = mam(c,b) a - mam(b,a) = mat(c,b)

Ebbene, le soluzioni22 praticabili di queste equazioni, appartengono tutte a soli quattro gruppi di proporzioni. Nei paragrafi seguenti saranno analizzati sinteticamente ad uno ad uno. Ancora una considerazione: dati due termini b e a, mat (b,a) e mam (b,a) formano con essi due rettangoli che hanno un rapporto di similitudine. Infatti si verificano le seguenti eguaglianza: mat (b,a) a = m (b,a) b am

(20) e, ovviamente, anche la:

mat (b,a) b = a mam (b,a) che determinano due similitudini molto ricorrenti, quando si verificano intrecci tra le due funzioni. 24

Costruire e misurare: I libro

Proporzioni notevoli

4.1

LA SEZIONE AUREA

La sezione aurea, detta anche proporzione Φ,23 permette una composizione di lunghezze differenti avvalendosi solo di rettangoli simili e di quadrati. Questa proporzione è stata oggetto di una vasta quantità di studi. Le sue peculiarità possono essere descritte in modo sintetico come segue: - Costruire un rettangolo con modulo Φ è veramente semplice.

a 2 a

b b

b I

fig. 16 Se si parte dal lato lungo (a) il lato corto è eguale alla diagonale del suo a a semiquadrato (a ÷ 2 ) meno la metà del segmento di partenza ( 2 ) (fig.16-I). b Se si parte dal lato corto si può trovare il lato lungo sommando alla sua metà (2 ) b la diagonale del suo semiquadrato (b ÷ 2 ) - vedi fig. 16-II. Anche qui la costruzione è più semplice della spiegazione. - Data una lunghezza generica la sua sezione aurea è il medio geometrico tra l'intera lunghezza e la parte restante. Cioè: a : x = x : (a - x) - In altre parole, riferendosi alla (7) risulta la seguente relazione (porremo da qui in avanti, per semplicità, a = 1) : 1

Φ +1=Φ La sezione aurea

Generalizzando si può affermare che in una progressione con modulo Φ ogni termine è costituito dalla somma dei due precedenti. Una tal successione è chiamata progressione di Fibonacci. Naturalmente esistono infinite successioni del genere. Ad es. la successione 1, 2, 3, 5, 8, … è una di queste. Ma la successione Φ è l'unica progressione di Fibonacci che è anche progressione geometrica. Due proprietà riunite in unica formula.

fig. 17 Ciò, in pratica, significa che un rettangolo con modulo Φ è tale da avere come gnomone24 un quadrato: esso è composto da un quadrato giustapposto ad un altro rettangolo Φ. Hambidge chiama tale rettangolo il rettangolo dei quadrati vorticosi ( the rectangle of the whirling squares ) perché in esso è possibile inserire una spirale di quadrati avendo sempre come resto un rettangolo simile a quello di partenza (fig. 17-I). Specularmente (fig. 17-II) considerando la fuga di rettangoli reciproci si ottiene come resto un quadrato.

1 Φ Φ

fig. 18 Tutto ciò offre la possibilità di una serie infinita di combinazioni (fig.18-II). - La proporzione con modulo 5 è strettamente legata alla proporzione Φ, come già Luca Pacioli aveva messo in luce. Esse quindi verranno considerate come facenti parte di un unico insieme. 28

Costruire e misurare: I libro

Anche costruire un rettangolo 5 è un'operazione immediata.

III

fig. 19 Partendo dal lato maggiore (a) si può procedere come mostrato25 in fig. 19-I. Partendo dal lato minore (b) il lato maggiore è eguale alla diagonale del suo doppio quadrato 26 (fig. 19-II). Oppure, in maniera quasi speculare, si può ottenere lo stesso risultato raddoppiando la diagonale del suo semiquadrato (fig. 19-III).

Φ √5

fig. 20 Quest'ultima costruzione mette in evidenza una relazione tra la proporzione 5 e Φ. Infatti è evidente che un rettangolo 5 può essere anche visto come un quadrato giustapposto a due rettangoli aurei (fig.20-I), oppure come la somma di due rettangoli aurei (fig.20-II). La proporzione aurea, si è visto, ha modulo: Φ=

1+ 5 1 5 2 =2 + 2 La sezione aurea

Ciò significa, seguendo l'espressione algebrica alla lettera, che un rettangolo aureo può essere pensato come la somma di un semiquadrato più due rettangoli 5

√5

fig. 21 (fig.21). Infatti un rettangolo che abbia modulo eguale a 5 : 2 è suddivisibile in due rettangoli 5 accostati per il lato maggiore. Dal risultato della (7) si potrebbe concludere che gli altri due medi non aggiungano nulla alla proporzione Φ. Invece sfruttando le loro proprietà si possono ottenere ulteriori possibilità combinatorie. Si verifica una singolare symmetria: il mam tra due termini di una progressione aurea è uguale al doppio del termine immediatamente inferiore, mentre il mat degli stessi due termini è uguale alla metà del termine immediatamente superiore (ovviamente questa regola vale per ogni successione di Fibonacci). 1 Φ2

1 Φ m am 1

2 Φ

fig. 22 30

Costruire e misurare: I libro

Per chiarire le idee si consideri una progressione Φ : … , 1/Φ, 1 , Φ , Φ2 , … Il medio armonico tra due lunghezze di una progressione Φ è dato da (fig. 22-I): 1 mam(1,Φ) = Φ − Φ2 .

Passando poi al medio aritmetico tra due termini, esso è uguale alla metà della loro Φ2

somma (il termine immediatamente maggiore), cioè mat(1,Φ) = 2 ( fig. 23-I). 1 2Φ

Φ2

m at

1 I

Φ Φ

fig. 23 I due medi, quindi, sono misure che sono componibili con quelle di partenza. Raffrontando le fig.22-II e 23-II, ove sono mostrati i rettangoli che essi producono, si ha un'idea chiara della symmetria. I rettangoli sono suddivisibili in rettangoli Φ e quadrati. Φ

Se si confrontano una successione Φ con una successione 2 (fig. 24) si comprende come ogni termine della seconda è medio aritmetico di due della prima, mentre ogni termine della prima è medio armonico di due della seconda. La sezione aurea

m at

m am

Φ2

Φ4

Φ3 2

fig. 24 Naturalmente si ha una situazione simile confrontando una successione Φ con una successione 2 Φ. Questa proprietà sta alla base delle due scale (rouge e bleue) del Modulor di Le Corbusier. Una scoperta che Le Corbusier ha fatto attraverso l'esperienza della composizione trova qui una spiegazione sistematica. Si può dire di più. Se si riempiono gli intervalli di una serie con i valori della serie dimezzata e raddoppiata (fig. 25) si ottiene una sequenza in cui ogni valore è medio aritmetico, armonico e, naturalmente, geometrico di altri due termini.

m am m am

Φ 2

Φ2

Φ3 2

m at m at

fig. 25 Ancora: l'equazione (18) assicura che 5 - mat(1, 5 ) = mam(1/ 5 , 1) Nella fig. 26-I è mostrata questa corrispondenza. 32

Costruire e misurare: I libro

Φ2

m am (1,

1 ) √5

Φ m at (√5,1)

1 1

Φ 1

III

fig. 26

E' evidente che mat taglia, per così dire, il rettangolo rettangoli aurei (fig.26-II).

5 in maniera da formare due

1 Φ2

m at(√5,1) m am(√5,1) 1 1 Φ

1 √5

1 Φ

fig.27

Se si costruisce il mam del rettangolo 5 (fig. 27-I) si verifica che esso ha il valore della sezione aurea del lato maggiore. Le possibilità compositive sono sconfinate. Per questo motivo la fantasia può spaziare in ogni direzione… La sezione aurea

4.2

LA DIAGONALE DEL QUADRATO

Le equazioni (11) e (12) sono verificate per un valore della variabile dato dalla somma dell'unità più la radice di due. Si chiamerà27 questa proporzione θ = 1 + 2 .

Area = 2 U

Area = U

fig. 28

Il termine con cui si indica il numero irrazionale 2 indica chiaramente il significato geometrico che esso doveva avere in origine28: radice di due è la lunghezza che genera un'area di valore 2, un quadrato che possiede l'area doppia di un altro quadrato. Tale quadrato ha per lato la diagonale del quadrato unità (fig. 28). Quindi qualsiasi proporzione che ha un rapporto ove appare diagonale di un quadrato.

2 mette in campo la

fig. 29 Il rettangolo con modulo 2 è, senza dubbio, il più immediato da costruire tra i rettangoli irrazionali: richiede una sola rotazione. La diagonale del quadrato

Il lato maggiore (fig. 29-I) si ottiene ribaltando la diagonale del quadrato del lato minore. Partendo dal lato maggiore basta riportare un lato sulla diagonale e proiettare ortogonalmente questo segmento sul lato stesso (fig. 29-II).

√2 √2

√2

1 √2 1

θ 1 √2

θ √2

III

fig. 30 Il rettangolo 2 ha una straordinaria, ben nota, proprietà : esso può essere pensato come la giustapposizione di due rettangoli 2 eguali (fig. 30-I). Questo è il motivo per cui un foglio in formato UNI ha proporzione 2 . Esso può essere infinitamente bipartito ottenendo sempre rettangoli eguali. Naturalmente questa è l'unica proporzione che permette ciò, non ne esistono altre. Esiste uno stretto legame tra le proporzioni θ e 2 . Se si applica un quadrato al lato minore di un rettangolo 2 (fig. 30-II) si ottiene, come resto, un rettangolo θ (questo può essere visto come la somma di due rettangoli 2 + un quadrato). Se, inversamente, si applica al lato maggiore dello stesso un rettangolo θ (fig. 30-III) si ottiene, come resto, un rettangolo somma di un quadrato più un rettangolo θ . θ √2

θ √2

1 θ 1

III

fig. 31 Per costruire un rettangolo θ si attuano procedimenti analoghi a quelli visti prima. Ad esempio come29 in fig. 31-I. In fig. 31-II e 31-III sono mostrate30 diverse scomposizioni del quadrato rispetto a tale rettangolo. Se, poi, si considera la progressione … ; θ n-1 ; θ n ; θ n+1 ; … risulta : θ n+1 = 2 θ n + θ n-1 36

Costruire e misurare: I libro

Questo tipo di progressione si chiama successione di Pell e fornisce alla nostra proporzione evidenti proprietà additive. L'equazione (11) dice che 1 - mam(1,1/θ) = 1/θ.

1 1

θ m am 1

θ √2 θ

√2

fig. 32 L'equazione (12) afferma che 1 - mat(1,1/θ) = mat(1/θ,1/θ 2).

m at (1,

1 ) θ √2

√2 √2

m at (θ ,1) 1

fig.33 L'equivalenza (20) è costituita da elementi consonanti con la proporzione θ (fig. 32-II e 33-II): i rettangoli hanno moduli 2 e 1+1/ 2 (quest'ultima grandezza, come s'è visto, è complementare di θ) . Le proporzioni derivanti dalla diagonale del quadrato offrono anch'esse, come quelle derivanti dalla sezione aurea, una moltitudine di possibilità. Forse la maggiore semplicità costruttiva rispetto alla sezione aurea ha fatto sì che essa fosse esplicitamente citata anche in un periodo come il rinascimento poco incline all'uso di proporzioni irrazionali.

La diagonale del quadrato

4.3

LA RADICE DI TRE

L'equazione (14) si verifica solo con una proporzione con modulo x =

Se si considerano due cerchi uguali passanti l'uno per il centro dell'altro, il rapporto tra il raggio di tali cerchi e la distanza dei due punti d'intersezione è anch'esso uguale a 3 . La figura intersezione dei due cerchi era chiamata, nel medioevo, vescica piscis e rappresenta forse l'immagine più immediata di questa proporzione.

fig. 34 La costruzione geometrica di un rettangolo con ratio 3 è un'operazione non molto complicata (in fig. 35 si mostrano diversi modi31).

III

fig. 35 Il rettangolo radice di tre ha anch'esso sue esclusive singolarità.

La radice di tre

Naturalmente è l'unico rettangolo suddivisibile in tre rettangoli uguali ad esso simili (fig. 36-I).

fig. 36 Inoltre se viene quadripartito regolarmente produce quattro rettangoli ognuno dei quali è costituito da due rettangoli con modulo 3 posti come si vede in fig. 36-II. Ciò dipende dal fatto che 3 è medio geometrico tra 1 e 3. Queste due proprietà fanno sì che questa proporzione possa essere associata fruttuosamente sia a tripartizioni che a quadripartizioni.

a c mam (c,b)

fig. 37 La (14) afferma che a - mam(c,b) = b, ovvero mam(c,b) = a - b. Questa proprietà produce delle rispondenze difficili da individuare ad una prima occhiata che, tuttavia, hanno un certo valore compositivo (come è mostrato in fig. 37).

Costruire e misurare: I libro

fig. 38 Sebbene la proporzione 3 non offra una quantità di rispondenze ampia come quella dei due gruppi visti precedentemente, è stata spesso usata sfruttando una proprietà geometrica che ne rende molto facile l'uso: essa è strettamente connessa con il triangolo equilatero. Infatti il rapporto tra la metà della base e l'altezza di un tale triangolo vale proprio 3 . Inoltre il baricentro di quel triangolo è posto ad un terzo dell'altezza.

fig. 39 Una composizione di rettangoli impostata su un reticolo di triangoli equilateri sfrutta tutte le proprietà della proporzione 3 in modo semplice ed immediato. Questo è probabilmente il motivo principale per cui, nell'architettura, si trovano così spesso tracciati regolatori basati su questa figura.

La radice di tre

4.4

LE PROPORZIONI MUSICALI

Le soluzioni delle equazioni (8), (9), (13) e (18) danno luogo a delle proporzioni con modulo razionale : la proporzione doppia e quella tripla. Queste due proporzioni stanno alla base del sistema cosmologico-proporzionale enunciato da Platone nel Timeo e sono, in seguito, diventate il fondamento delle cosiddette proporzioni musicali che hanno avuto grande sviluppo nel rinascimento.32 Di seguito si analizzeranno le proprietà geometriche che hanno dato la possibilità di stabilire tale fondamento, usando la stessa metodica con cui si sono trattate le altre. La convinzione che vi sia una sorta di contrapposizione tra le proporzioni razionali e quelle irrazionali, appare generata da un falso problema: il fatto che le prime sarebbero di una natura diversa dalle seconde. La semplicità di linguaggio con cui si può trattare la proporzione doppia o tripla ha forse influito sulla fortuna del sistema musicale, ma non rappresenta l'essenza del concetto di proporzione.

fig. 40 La proporzione con modulo 2 ha delle caratteristiche comprensibili intuitivamente. Costruire un rettangolo con modulo 2 è elementare: un doppio quadrato oppure un semiquadrato. Il doppio quadrato è l'unico rettangolo che ha il complementare eguale a sé stesso. Il quadrato di fig. 7-II viene partito in quattro quadrati eguali. L'equazione (8) assicura che una progressione con ratio 2 è l'unica ove il mat tra due 1 4 1

diapente

diatesseron

3 m at

Le 'proporzioni musicali'

fig. 41 termini sottratto al termine maggiore produce il termine immediatamente inferiore (fig. 41-I). I quattro rettangoli costruibili con due termini in proporzione doppia ed i loro mat e mam hanno i rapporti: 1/1,

1/2,

2/3 e 3/4.

Questi rapporti erano chiamati nel rinascimento, con analogia musicale, rispettivamente: unison, diapason, diapente e diatesseron (gli ultimi corrispondenti, nel pentagramma, ad un intervallo di quinta e di quarta). In questo paragrafo si userà, per comodità, la stessa terminologia rinascimentale. La cosiddetta analogia musicale nasce da una realtà fisica che lega i rapporti numerici alle vibrazioni sonore.33 Al di là di ciò, va detto con assoluta chiarezza che i rapporti del rinascimento possono fare a meno del linguaggio musicale e funzionare lo stesso. Quindi ogni rapporto sarà valutato in senso strettamente geometrico.

m am (1/2,1/4)

diatesseron

diapente

m am (1,1/2)

fig. 42 La soluzione dell'equazione (17) dimostra come il medio armonico di due termini di una progressione doppia sottratto al termine maggiore dia un resto che è congruente al medio armonico tra il termine minore e il termine inferiore della stessa successione (fig. 42-I).

diapason

= diapente

fig. 43 44

Costruire e misurare: I libro

diapente

= diatesseron

CiĂ˛ significa che un rettangolo al diapason puĂ˛ essere pensato sia come un diapente piĂš un diapason, sia come un diatesseron piĂš un diapente (fig. 43).

diapente

diatesseron = diatesseron

diatesseron

diapente = diapente

fig. 44 Si dimostra che per la proporzione doppia e solo per essa vale la seguente relazione (fig. 44-I) : mat (b,a) = 2 b

mat(b,a) a

e inversamente (fig. 44-II) : mam (b,a) = 2 b

mam (b,a) a

Le 'proporzioni musicali'

fig. 45

Da ciò nascono fruttuose possibilità compositive. La proporzione con modulo 3 è anch'essa un concetto assai intuitivo. Si costruisce semplicemente triplicando una misura (fig. 45-II), oppure dal quadrato, con un procedimento suggerito dal Serlio34 (fig. 45-I), utilizzando l'intersezione della diagonale del quadrato con una diagonale di un semiquadrato.

diapente

diapason

m am (1,1/3)

fig. 46

Il risultato dell'equazione (9) assicura che il medio aritmetico tra due termini di una proporzione tripla sottratto al termine maggiore dà come resto il termine minore (fig. 46-I). Esso forma con i due termini un rettangolo diapason e uno diapente (si verifica la situazione in cui mat (b,c) è il doppio di c ).

Costruire e misurare: I libro

diapente

diapason

m at (1,1/3)

fig.47

diatesseron

diapason

diapente

diatesseron

unison

diapente

Il mam (b,a) della proporzione 3 Ă¨ la metĂ di b (fig. 47-I).

III

fig. 48 Nella progressione 3, e solo in essa, si verifica la seguente eguaglianza (fig. 48-I e 48II): 2

a mam (b,a)

= 2

mam (b,a) a

a b

Si aggiunga che lo gnomone di un rettangolo 3 Ă¨ costituito da due diatesseron (fig.48III). 3 Infine la successione con ragione (due elementi della quale formano un diapente) 2 risolve l'equazione (13): a - mat (c,b) = c

Le 'proporzioni musicali'

a b

m at (c,b)

fig. 49 3 La media aritmetica tra due termini di una successione 2 Ă¨ una misura che si compone 4 con le altre. Tale media forma con i due termini due rettangoli di ratio 5 e Errore.che possono essere scomposti secondo i quattro rettangoli di base. Questi sono i motivi strutturali del successo dei rapporti musicali: le possibilitĂ combinatorie, anche in questo caso, sono tali da permettere una quantitĂ di variazioni illimitata. diapason

tripla

diapente

diapason

diapente

II diatesseron

diapason

diapente

diatesseron

diapente

III

IV fig. 50

Costruire e misurare: I libro

Solo grazie a ragioni naturali si verificano delle coincidenze che favoriscono un comporsi armonioso delle parti. Ciò avviene anche quando le relazioni non vengono trattate nel loro aspetto geometrico ma usando un linguaggio aritmetico o musicale. Ad esempio affermare che una proporzione tripla sia scomponibile in un diapason et diapente36 (9:27 si scompone in 9:18 e 18:27) significa riferirsi implicitamente ad una serie di relazioni che si instaurano tra i due termini di partenza e quello intermedio (fig. 50-I). Allo stesso modo si può affermare che la proporzione tripla è scomponibile in un diapente più un diapason (fig. 50-II), oppure un diapason può intendersi come un diatesseron e un diapente(fig. 50III) o viceversa (fig. 50-IV). Questa base geometrica permette le costruzioni di rispondenze e rimandi che, ad esempio negli edifici palladiani, facilita la composizione di rettangoli simili che si ritrovano a diverse scale dimensionali. VI

VIII

VIIII 12 2 XVI XVIII 24 4 XXXII XXXVI 48 8

6 8 VIIII

XII 18 XXVII XXXVI 9 94 LXXXI CVIII 27 162

9 12 16 18 24 27 32 36 48 54 81 108 162

fig. 51 La lambda platonico-pitagorica acquista un senso geometrico pregnante (in fig. 51 è riportato lo schema di Francesco Giorgi37): essa rappresenta una scala di misure che produce un numero molto ampio di combinazioni. Per chi usa questa scala non sarà necessario comprendere, ogni volta, tutte le relazioni messe in gioco. L'importante è però capire che questa scala non è una formula magica che dona chissà quale insondabile incantesimo, si tratta invece di uno strumento di lavoro.

fig. 52 Le 'proporzioni musicali'

CONCLUSIONI

Il punto di partenza e quello di arrivo di questo studio è, come s'è detto, l'architettura. L'architettura non è attuabile senza il controllo delle misure. Ciò che fa la differenza tra un qualsiasi operatore edile ed un architetto è che il primo mira ai fini immediati della risposta alle esigenze, le quali sono sempre approssimative, mentre il secondo cerca la precisione della perfezione. Costruire una stanza che abbia l'area minima di 14 mq per rispettare un vincolo del regolamento edilizio, è fornire una soluzione forse necessaria ma vuota dal punto di vista esistenziale. Essa risponde ad un'esigenza esteriore, che appartiene al mutevole, ma non ha alcuna esigenza interiore. L'architettura dovrebbe trovare un tale comportamento insopportabile. La composizione architettonica nasce, infatti, dalla: armonia tra tutte le membra, nell'unità di cui fan parte, fondata sopra una legge precisa, per modo che non si possa aggiungere o togliere o cambiare nulla se non in peggio.38

In poche parole, i motivi della proporzione stanno in questo semplice e, ad un tempo, difficile obiettivo. Scopo di questo studio è chiarire la natura dello spazio proporzionale. Per far ciò si sono isolate due misure differenti, si è analizzata in vitro la mediazione di questa differenza attraverso il ricorso ad una terza misura. Operare in architettura significa però mettere in gioco non due ma un esercito di misure. Le relazioni che si vengono a creare sono infinite. Spiegare ogni volta il complesso articolarsi di queste relazioni sarebbe un lavoro dispersivo. L'Unité d'abitation di Marsiglia è fatta con pochissime misure di base, ma le relazioni che si creano sono molte e superano le previsioni di chi ha progettato l'edificio. Ciò è possibile perché quelle poche misure sono scelte in maniera da offrire una grande possibilità di combinazioni senza forme residue. Analizzare la differenza tra due sole misure non è quindi un gioco fine a sé stesso, ma significa cercare un inizio, un seme che possa produrre tutte le misure necessarie al progetto. Da un punto di vista interno al dibattito sulla proporzione questo studio vuole affermare almeno due cose: I Le infinite relazioni tra misure possono essere comprese partendo da tre sole nozioni fondamentali: i tre medi proporzionali enunciati da Timeo di Locri. Normalmente, nei manuali sulla proporzione se ne fornisce una definizione matematica per poi dimenticarla e passare alla descrizione di una particolare proporzionalità. Qui si é data una spiegazione geometrica del loro ruolo nella com-posizione. Ma perché proprio quei tre medi e non altri? Si è cercata una risposta a questa domanda: i tre medi sono le funzioni più semplici che danno più opportunità per risolvere il problema iniziale. Essi stringono con lacci saldi due misure: questo, e non altro, è il motivo della loro fortuna. II

Chi si occupa di proporzioni sa che i numeri delle proporzioni sono pochi. Conclusioni

Partendo da una progressione geometrica generica e considerando le relazioni di similitudine che il medio aritmetico e armonico possono generare, si è giunti a definire delle proporzioni notevoli. Queste proporzioni sono raggruppabili in soli quattro gruppi. Quattro gruppi coprono il campo delle proporzioni più studiate nel passato: la proporzione aurea, la diagonale del quadrato, la radice di tre, le proporzioni musicali. Le proporzioni notevoli non sono tali perché sono piacevoli alla vista. E' vero il contrario: esse sono armoniose per le proprietà combinatorie che possiedono. A questo punto sorge una domanda. Quando si progetta si deve scegliere un sistema coerente; che criteri si devono usare? Qual'è la proporzione migliore? Dei quattro gruppi uno impiega lunghezze commensurabili tra loro, gli altri invece si basano su rapporti non commensurabili. In questo secolo c'é chi si è schierato a favore delle proporzioni con modulo irrazionale in quanto queste sarebbero più potenti di quelle con modulo razionale,39 di natura differente. Dall'analisi fatta ciò non sembra vero. C'é un unico concetto di proporzione che può avere sviluppi differenti e ogni sviluppo fornisce peculiari possibilità combinatorie. D'altra parte attaccare i rapporti incommensurabili perché più difficili da gestire dal punto di vista pratico di quelli commensurabili sembra, parimenti, infruttuoso. Nel rinascimento si usava l'analogia musicale probabilmente perché il linguaggio algebrico era poco sviluppato40 e quello geometrico era arduo da spiegare. Se si legge il trattato di Luca Pacioli sulla Divina Proporzione ci si rende immediatamente conto di ciò: quali complicati giri di parole. Detto ciò bisogna però ammettere che il livello matematico necessario per capire i concetti della proporzione è inferiore a quello che si apprende oggi nella scuola secondaria superiore. Non dovrebbe spaventare un architetto che ha studiato l'algebra differenziale. Le costruzioni geometriche con cui si possono controllare le proporzioni sono poi assai semplici e tradurle in misure è un'operazione abbastanza facile. E' convinzione comune che un numero irrazionale richieda una approssimazione al momento della sua messa in opera mentre il numero razionale è più adatto alla pratica. Tale idea, se viene indagata a fondo, appare poco realistica. Infatti un sistema concettuale di rapporti subisce sempre, nel momento di concretizzazione in un'opera, un processo di approssimazione. Il livello di tale approssimazione dipende dalla tecnica di esecuzione. Ad esempio in architettura una esecuzione in acciaio avrà un'approssimazione minore che una in muratura. Poco importa se una misura di partenza ha dei decimali o no, l'esecuzione avrà sempre una soglia di approssimazione. Il sistema di proporzioni sarà come un direttore d'orchestra che dirige vari elementi ognuno dei quali ha una tendenza eversiva, dovuta ad imponderabili contingenze, rispetto alla regola generale. Quindi se l'alternativa tra proporzioni razionali e irrazionali è una falsa alternativa viene a mancare l'unico criterio di scelta. È possibile una grammatica della proporzione, così come nella musica c'è stata, ed in certa misura c'è ancora, una grammatica dell'armonia? La risposta è più semplice di quello che sembra. Perché ciò sia possibile è necessario fare delle scelte, stabilire delle priorità, istituire un codice.

Costruire e misurare: I libro

Per chiarire le idee se si scegliessero le due serie di Le Corbusier e ci si ponesse l'obiettivo di formare, ove possibile, rettangoli simili e quadrati si arriverebbe facilmente a determinare delle regole. Si potrebbe, ad esempio, pensare ad una composizione in Φ rosso, cioè una composizione in cui c'è una tendenza a far prevalere i rettangoli con modulo Φ della serie rossa, come si parla di una composizione in do maggiore. Si potrebbe cercare di sistematizzare queste scelte e creare delle regole, un canone. In qualche maniera ciò, nel passato, è già stato fatto: la scienza della proporzione si trasmetteva attraverso le regole del mestiere, attraverso un canone o attraverso operazioni codificate. Facendo una di queste scelte, scegliendo una proporzione come proprio stendardo, si guadagnerebbe un codice. Ma se ci si chiedesse in base a quale ragione si è fatto quella scelta, si rimarrebbe imbarazzati. Forse l'idea di scegliere una volte per tutte un sistema è un falso problema. Il pensiero contemporaneo va alla ricerca delle leggi dei fenomeni e non accetta più l'imposizione di una regola di cui non si possono rintracciare le origini. Allo stesso modo una concezione contemporanea della proporzione potrebbe essere indirizzata verso una scienza razionale. Paradossalmente, i tre medi del Timeo indicano una strada che va verso un chiarimento del problema, indicano le basi per una teoria generale della proporzione. Questo studio cerca di seguire quella strada. Esso può essere visto come uno strumento di lavoro che faciliti l'accesso, da differenti angolazioni, al problema. Esso permette una lettura più ampia dei sistemi proporzionali del passato, traducendoli in un linguaggio moderno. Inoltre, sulla base delle sintesi fatte, esso potrebbe essere uno strumento operativo. Per questo motivo questo studio non è volto ad indicare alcun sistema. Il suo obiettivo è esporre, in modo più lineare possibile, quello che sta alla base di ogni sistema: il concetto di συµµετρια.

Conclusioni

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NOTE

. Premessa terminologica

1 Vitruvio, De Architectura, Lib. I, I, 4 (trad. it. a cura di Silvio Ferri, Roma, ed. Palombi, 1960, pp. 3637). 2 Giacomo Devoto, Avviamento alla etimologia italiana, Firenze, Le Monnier, 1968, voce proporzione. 3 PROPORTIO QUOD DICITU αναλογον (Varrone); QUAE GRAECE ANALOGIA LATINE (…) HAEC A PRIMO NOBIS NOVANTUR - COMPARATIO PROPORTIONE DICIT POTEST (Cicero). Dall'Enciclopedia dell'Arte Antica, Roma, Istituto Poligrafico dello Stato, 1965, voce Proportio curata da Silvio Ferri. 4 Marco Vitruvio Pollione, De Architectura, Lib. III, I, 2 (trad. it. a cura di S. Ferri, op cit., pag. 94-95) Si è coscienti che i problemi etimologici sono, visti da vicino, piuttosto complicati. Non è chiaro se Vitruvio usi questa gran quantità di vocaboli per sua confusione, come alcuni sostengono, oppure perché le distinzioni sottintese risultino oggi, mancando i testi di riferimento, completamente oscure. Sta di fatto che sulla differenza di significato di questi termini si sono accumulati pareri discordanti. In questa sede sembra inadeguato tentare di sciogliere dei nodi che spettano alla filologia, e che forse sono allo stato delle cose irresolubili. Ci si accontenterà, quindi, di una visione d'assieme. 5 Simmetria in italiano, simmetry in inglese o symétrie in francese. 6 Da una nota di S. Ferri al De Architectura di Vitruvio, op. cit., pag. 57. 7 Il termine proporzione ha ricevuto una definizione matematica precisa nella geometria di Euclide rivestendo un ruolo fondamentale nel suo trattato. Nel V libro egli dice: "I. Una grandezza è parte (µεροσ) di una grandezza, la minore di quella maggiore, quando essa misuri la maggiore. II. La grandezza maggiore è multipla di quella minore, quando sia misurata dalla minore. III. Rapporto (λογοσ) fra due grandezze omogenee è un certo modo di comportarsi rispetto alla quantità. IV. Si dice che hanno fra loro rapporto le grandezze le quali possono, se moltiplicate, superarsi reciprocamente. V. Si dice che quattro grandezze sono nello stesso rapporto, una prima rispetto ad una seconda ed una terza rispetto ad una quarta, quando risulti che equimultipli della prima e della terza (presi) secondo un multiplo qualsiasi, ed equimultipli della seconda e della quarta (presi) secondo un multiplo qualsiasi, sono gli uni degli altri, cioè ciascuno dei due primi del suo corrispondente fra i due secondi, o tutti e due maggiori, o tutti e due eguali, o tutti e due minori, se considerati appunto nell'ordine rispettivo. VI. Grandezze che hanno lo stesso rapporto si chiamano proporzionali (αναλογον). VIII. Una proporzione che consta di tre termini è la minore possibile. IX. Quando tre grandezze sono proporzionali, si dice che la prima ha con la terza rapporto duplicato rispetto a quello che ha con la seconda." (da Gli elementi di Euclide, Libro V, a cura di Attilio Frajese e Lamberto Maccioni, Unione Tipografica Torinese, Torino, 1970, pag. 297-303) 8 Vitruvio dice AEDIUM COMPOSITIO CONSTAT EX SYMMETRIA, CUIUS RATIONEM DILIGENTISSIME ARCHITECTI TENERE DEBENT (La composizione del tempio è una symmetria; il cui calcolo gli architetti debbono scrupolosamente conoscere ed applicare), fornendo un significato del termine che implica imprescindibilmente la proporzione, De Architectura, Lib. III, I, 1, op. cit., pp. 9293.

Una convinzione del genere, è molto radicata. Sembra, infatti, naturale parlare della proporzione di una parte di un edificio, ad esempio una porta, senza mettere in gioco, in alcun modo, l'intero complesso a cui essa appartiene. In realtà (come si illustrerà ampiamente nel secondo libro di questa Tesi) dall'antichità fino al rinascimento una tale accezione del termine proporzione non era nemmeno pensabile. Vitruvio, che per molti versi lascia spazi ad interpretazioni, è da questo punto di vista limpido. Egli afferma: ITEM SYMMETRIA EST EX IPSIUS OPERIS MEMBRIS CONVENIENS CONSENSUS EX PARTIBUSQUE SEPARATIS AD UNIVERSAE FIGURAE SPECIEM RATAE PARTIS RESPONSUS (La symmetria è il

conveniente accordo fra i singoli membri dell'edificio e la loro corrispondenza proporzionale con la figura globale ), Lib. I, II 4, trad. it. tratta dalle traduzioni di Silvio Ferri op. cit., pp. 56-57, e da Giovanni Florian Vitruvio, Dell'architettura, Pisa, Giardini, 1978, pag. 15. La definizione data mille cinquecento anni dopo dall'Alberti, il quale, per molti versi contesta Vitruvio, non muta concezione di fondo. Ancora la definizione laconica di Palladio insiste sull'accezione compositiva della proporzione: La bellezza risulterà dalla bella forma, e dalla corrispondenza del tutto e delle parti, delle parti fra loro, e di quelle al tutto, in Andrea Palladio, I quattro libri dell'architettura, Venezia, Domenico de' Franceschi, 1570 (rist. an. Milano, Hoepli, 1980) Lib. I, Cap. I, pag. 6. Solo dal Settecento in poi nasce l'idea che la proporzione sia qualcosa di esteriore, legato alla percezione dell'oggetto e non alla sua natura. Sostenere, come fa ad esempio Miloutine Borissalìevich (Le nombre d'or, Paris, 1952), che il problema della proporzione nell'architettura sia equivalente a quello della 'forma equilibrata' non era, fino ad allora, proponibile. Per far ciò quest'autore pone una dicotomia tra la rigorosità della matematica e la approssimazione, lo scarto individuale dell'arte. Gli esperimenti di Theodor Fechner nel 1876 sulla forma equilibrata dei rettangoli, sono in quest'ottica. Egli sottopose a un numero sufficientemente ampio di soggetti dei rettangoli chiedendogli di scegliere quello che ritenevano più rassicurante. Le percentuali di scelte registrarono una punta in quelle relative al rettangolo con rapporto 34/21= 1,618 (molto vicino, quindi, al rettangolo aureo). La validità scientifica di questi esperimenti è difficile da dimostrare. Wittkower sostiene che questi sono da tempo screditati (Rudolph Wittkower, The Changing Concept of Proportion, in Daedalus - winter 1960, trad. it. in Immagine e idea, Einaudi, Torino, 1992, pag. 209). Ma questi non sono che un indice di uno slittamento concettuale di un problema. Ciò che si vuole affermare è, semplicemente, che analisi del genere non riguardano la composizione, nel senso antico del termine. 10 Sono state avanzate ipotesi di un ruolo sacro della geometria nella costruzione dei templi su tutte le epoche arcaiche, senza peraltro giungere a certezze definitive sulla sua consistenza. I matematici Jarolimek (1850) e Kepplisch (1921), basandosi su rilievi piuttosto accurati, hanno sostenuto la tesi di una geometria piuttosto avanzata per la piramide di Cheope. Se ciò fosse vero la scienza della mediazione, attribuita ai pitagorici, sarebbe più antica di almeno duemila anni. Appare comunque un fatto consolidato che i greci abbiano un debito da questo punto di vista con l'Egitto (Cesare Bairati, La simmetria dinamica - scienza ed arte nell'architettura classica, Milano, Libreria Editrice Politecnica Tamburini, 1952, pp. 10-16).

2. I tre medi del Timeo 11

Platone, Opere complete, vol.6, Timeo (trad. it di F. Sartori e C. Giarratano, Roma-Bari, Laterza, 1966, VII ed., pag. 371). 12 Sul significato nella Grecia antica dei numeri incommensurabili si veda: Cesare Bairati, La simmetria dinamica…, op. cit. 13 Nella costruzione indicata in fig. 1, l'altezza rispetto all'ipotenusa di un triangolo rettangolo è il medio geometrico tra le due parti di esso sezionate dall'ipotenusa stessa. Tale costruzione è la stessa indicata da Andrea Palladio in I quattro libri…, op. cit. , Lib. I, Cap. XXIII, pag. 53. 14 Platone, Timeo, op. cit., pag. 375.

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Se si divide c per x e si moltiplica a per x si ottengono i termini inferiore e superiore della progressione. Geometricamente se si prolungano le diagonali in modo da costruire un rettangolo con lato inferiore A'B' e diagonale B'C, ed uno con lato maggiore CB e diagonale C"B, si ottengono due nuovi rettangoli, simili a quello di partenza, ove a e c divengono a loro volta medi ambedue. 16 Platone, Timeo, op. cit., pag. 375. 17 Andrea Palladio, I quattro libri…, op. cit., Lib. I, Cap. XXIII, pag. 54. 18 Jay Hambidge definisce «complementare di una forma quell'area che rappresenta la differenza tra la figura scelta e l'unità». L'unità è costituita appunto, dal quadrato (Jay Hambidge, The elements of dynamic symmetry, New Haven, Yale UP, 1920, reprint, New York, Dover, 1967, pag. 72, trad. it. dell'autore).

3. I tre medi ed il quadrato 19

Tra queste bisogna scartare quelle impossibili, verificabili, cioè, solo per valori di b ≤ c o ≥ a (ad b a esempio l'eguaglianza c = c è verificabile solo per b = a, e ciò è impossibile), o con soluzioni negative o complesse. Inoltre sono da scartare tutti quei rapporti ove b non compare affatto (un altro rapporto) e quelli in cui non sono presenti valori di a oppure di c. Si scarteranno poi quelle soluzioni valide solo con limitazioni di a o di c, dove, cioè, non si possa scegliere un ∀ c < a (a, c∀ ∈ R). Infine si scarteranno quelle soluzioni valide ma molto complicate da gestire geometricamente perché sono difficili da costruire. 20 L'analisi completa di tali soluzioni viene riportata in appendice.

4. Proporzioni notevoli 21 22

Si userà, per sinteticità, indicare un ret angolo nominando la diagonale. Tali equazioni hanno le seguenti soluzioni ragionevoli (i calcoli sono riportati in appendice):

la ( 7) si verifica solo con una proporzione con modulo x =

1+ 5 =Φ; 2

la ( 8) si verifica solo con una proporzione con modulo x = 2 ; la ( 9) si verifica solo con una proporzione con modulo x = 3 ; la (10) si verifica solo con una proporzione con modulo x = 1+ 2 ; 3 la (13) si verifica solo con una proporzioni con modulo x = 2 ; la (14) si verifica solo con una proporzione con modulo x =

3 ;

la (16) si verifica solo con una proporzione con modulo x = 1+

2 ;

note

la (17) si verifica solo con una proporzione con modulo x = 2; la (18) si verifica solo con una proporzione con modulo x = 5 . A prima vista si potrebbe rilevare la mancanza di coerenza di queste soluzioni. In realtà queste nove soluzioni sono raggruppabili in quattro tipi di proporzioni che rappresentano bene la totalità dei sistemi sviluppati nella storia dell'architettura. E' necessario, quindi, analizzarne le proprietà proporzionali utilizzando costruzioni geometriche e rendendo visibili le relazioni. 23 Il simbolo Φ è stato coniato da Mark Baar ed è utilizzato generalmente per indicare il rapporto aureo (P. H. Scholfield, The theory of proportion in architecture, Cambridge, Cambridge University Press, 1958, pag. 114). 24 Gnomome è, in termini generali, "ogni figura che, aggiunta ad una figura qualsiasi forma una figura simile alla precedente", Erone citato da Cesare Bairati, La simmetria dinamica…, op. cit., pag. 31. Euclide dà una definizione generale riferita ai parallelogrammi. Egli afferma che si chiami gnomone, in ogni parallelogramma, uno qualsiasi dei parallelogrammi posti intorno ad una sua diagonale insieme con i due complementi" (da Gli elementi di Euclide, Libro II def. II, op. cit.). In pratica lo gnomone è una qualsiasi figura che aggiunta, o sottratta, ad un parallelogramma fornisce un parallelogramma simile (vedi figura). La sua forma sarà generalmente una squadra (da qui, probabilmente, l'accezione comune del termine come stilo della meridiana).

In un rettangolo uno ed un solo gnomone ha la forma di un rettangolo (vale a dire ha uno solo dei due complementi).

Nel testo quando si parla di gnomone si fa riferimento a quest'ultimo significato ristretto, come del resto, hanno fatto altri autori che hanno dato grande importanza a questa nozione geometrica (Si veda, ad es. Jay Hambidge, op. cit.; Matila Ghyka , Le nombre d'or, rites et ritmes pithagoriciens, Paris, Gallimard, 1931; Cesare Bairati , La simmetria dinamica… , op. cit.). a 25 Si costruisce un quadrato di lato a, lo si divide in due rettangoli eguali (di lati a e 2 ). Si traccia poi la diagonale di uno di questi due rettangoli e facendo centro in un vertice del rettangolo considerato si traccia un arco fino ad incontrare la diagonale. La distanza tra il punto trovato ed il lato corto del a rettangolo è la lunghezza cercata: x = φ . 26 Quando si parlerà di un doppio quadrato di un lato si intenderà un rettangolo in cui il lato piccolo è costituito dal segmento in questione mentre il lato grande è costituito dal doppio dello stesso. Quando invece si parlerà di semiquadrato si parlerà di un rettangolo simile al precedente in cui il lato maggiore è costituito dal lato in questione. 27 Questo simbolo è stato usato per indicare la stessa proporzione, anche se raggiunta per vie completamente differenti, da Scholfield, The theory of proportion …, op. cit., pp. 10-11. Sembra pratico utilizzare qui lo stesso simbolo. 28 Il problema pratico della duplicazione di un quadrato introduce necessariamente il problema dei numeri irrazionali.

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Platone usa il termine δυναµιζ per indicare e la radice e la potenza di un numero. Platone nel Teeteto definisce le potenze come grandezze "non commensurabili (con quelle razionali) ma invece commensurabili con le superfici che esse potenziano" (C. Bairati, La simmetria dinamica…, op. cit., pp. 36-38). Quindi il termine radice indica all'origine la lunghezza che produce un superficie. 29

Avendo costruito il rettangolo 2 (come in fig 29-II) , si determina il punto intersezione tra la sua diagonale e la diagonale del quadrato. Con tale punto si può costruire un quadrato giustapposto ad un rettangolo 2 la cui somma dà il rettangolo cercato. 30 Il complementare del rettangolo θ (fig. 31-II) è costituito da un quadrato più un rettangolo 1/ 2 , mentre il suo gnomone (fig. 31-III) è un doppio quadrato. 31 Partendo dal lato piccolo si può ottenere il lato grande ribaltando la diagonale del rettangolo 2 (fig. 35-I) , oppure costruendo un doppio quadrato e ribaltando il lato lungo su quello opposto (fig. 35-II). Partendo dal lato grande si può operare, sempre facendo riferimento al quadrato di tale segmento, costruendo un punto attraverso cui passa la diagonale del rettangolo 3 in esso inscritto. In fig. 35-III e 35-IV si mostrano due modi per ottenere ciò. 32 Si veda, naturalmente, il famoso saggio di Rudolph Wittkower, Architectural Principles in the Age of Humanism, London, Academy Editions, 1952 (trad. it. di Renato Pedio, Principi architettonici dell'età dell'umanesimo, Torino, Einaudi, 1964), In special modo la Parte quarta, Il problema della proporzione armonica in architettura e le appendici. 33 Le armonie musicali sono basate su rapporti metrici che determinano vibrazioni sonore. La base di tale teoria è tradizionalmente attribuita a Pitagora, anche se sembra possibile che sia più antica. Se si fa riferimento ad un corda tesa, come quella di una chitarra, la vibrazione prodotta pizzicandola, ha intensità inversamente proporzionale alla lunghezza della corda stessa. 1 L'ottava musicale (diapason) è una differenza prodotta da due corde eguali l'una lunga 2 dell'altra, 3 l'intervallo di quarta (diatesseron) è la differenza prodotta da una corda lunga 4 dell'altra; allo stesso 2 modo l'intervallo di quinta (diapente) è regolato dal rapporto di 3 .

ottava quinta quarta

Mi Si La

Il tono, l'unità di misura della scala diatonica, è prodotto da una corda che è lunga la metà tra un diatesseron ed il relativo diapason. Da ciò si sviluppa una teoria molto complessa che è la base per la musica occidentale (tali idee sono spiegate ampiamente in molti testi; si veda ad es. R. Wittkower, Principi architettonici dell'età dell'umanesimo, op. cit., anche Robert Lawor, Sacred Geometry, London, Thames and Hudson, 1982, pp. 80-83). 34 Serlio, Regole generali di architettura, 1573, Lib. I (si tratta dello schema per disegnare una porta dentro un quadrato ottenendo delle partizioni musicali). 35 Rudolf Wittkower, Principi architettonici dell'età dell'umanesimo…, op. cit. pp. 128-129. 36 Ibid., pp. 112-113. 37 Ibid., fig. 107, Diagramma delle conoscenze armoniche da De Harmonia Mundi tutius di Francesco Giorgi, Venezia, 1525.

note

5. Conclusioni 38

Leon Battista Alberti, De Re Aedificatoria, libro VI cap. II (trad. it. di G. Orlandi, ed. Il Polifilo, Milano, 1966, pp. 446-447): UT SIT PULCHRITUDO QUIDEM CERTA CUM RATIONE CONCINNITAS UNIVERSARUM PARTIUM IN EO, CUIUS SINT, ITA UT ADDI AUT DIMINUI AUT IMMUTARI POSSIT NIHIL, QUIN IMPROBABILIUS REDDATUR. 39 Quest'ipotesi proviene probabilmente dalle teorie di J. Hambidge ed ha avuto molti seguaci. 40 Una tesi sostenuta da Scholfield, The theory of proportionâ&#x20AC;Ś, op. cit. (in particolare si vedano i cap. III e VI).

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