Timeo o la proporzione / Timaeus or proportion

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Spazio & Società Anno XX - n. 82,1998 Aprile-Giugno 1Aprii-lune Trimestrale 1Quarterly Edito da 1published by Maggioli Editore Casella Postale 290 47900 Rimini Te!. 0541/626777 Divisione Periodici Te!. 0541/628666 Fax 0541/624457 Registrazione presso il Tribunale di Milano - n. 208 del 10 maggio 1978 Direttore responsabile Giancarlo De Carlo Direzione e Redazione Via Pier Capponi, 13 - 20145 Milano E-mail: spaziosocieta@tin.it Te!. 02/435582 Fax 02/48194667 Prezzo di un numero: Lit. 18.000 Abbonamento annuol Yearly subscriptions: Italia: Lit: 60.000 Estero: Lit. 120.000 Da versare con carta di credito o sul clc postale n. 12162475 intestato a Maggioli Editore Divisione Periodici - Rimini Amministrazione e Diffusione Maggioli Editore - Casella Postale 290 47900 Rimini - teI. 0541/628666 E-mail: periodici@iper.net Pubblicità Publimaggioli Divisione pubblicità di Maggioli Editore s.p.a.

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RIVISTA INTERNAZIONALE

DI ARCHITETTURA

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Progetto

grafico/Graphic

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Grafica/Graphics Mauro Manfrin Roberta Sironi

Design Traduzioni/Translations Giovanna Glauber Richard Sadleir Stephen Thorne Editing

IIIE MAGGIOLI EDITORE

A:

A.N.E.S. ASSOCIAZIONE NAZIONALE EDITORIA PERIODICA SPECIALIZZATA

Questo numero è pubblicato

Board

Paolo Ferrario Mauro Manfrin

Giorgio Bigatti

ASSOCIATO

Editor

grazie anche al contributo

della San Marco Laterizi

Aprile-Giugno!

April-June 1998

In copertina Gabinete Ecologico, Curitiba, progetto <li Domingos Bongestabs

G.D.C.

Note di viaggio

Traveller's Notes

10

Le Corbusier

Il teatro spontaneo

Spontaneous Theatre

22

Guido Zordan

Dentro uno spazio storico.

Piazza Ferretto, Mestre

Piazza Ferretto, Mestre

40

HugoSegawa

Gabinete ecologico, Curitiba

Alternative Bureaucracy in Curitib

52

RubenPesci

Il caso del colera al confine Argentina-Bolivia

Preventing Cholera: a Holistic Approach

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DOCUMENTI/DOCUMENTS

62

Lucia Paola Lucca

Il Parco delle Nazioni San Luis

Parque de las Naciones, San Luis

70

Juhani Pallasmaa in collaborazione con Dan Hoffman

L'arrivo a Cranbrook

Cranbrook Community: Point or Arrivai

78 88 96

Benedetta Masi, Giovannq, Latis

Le architetture

Emergency Architecture

Monica Mazzolani, Cristina Negro

La danza e l'architettura

Dance and Architecture

Mauro Moriconi

Timeo o la proporzione

Timaeus or Proportion

di emergenza

RECENSIONI/REVIEWS

Francesco de Agostini, Heres Jedece

DOCUMENTI/DOCUMENTS

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Dialogo occasionale tra Timeo di Locri e un architetto d'oggi

Mauro Moriconi

Architetto - Ciao Timeo, ho dato una scorsa al libretto che mi hai prestato ma non capisco bene, con i mille problemi che ho, che fare di questi gingilli matematici.

Timeo - Questi gingilli, come li chiami tu, hanno una qualche utilità per l'architettura esclusivamente se si è persuasi che l'unità dell'opera sia ~n bene e che questo sia raggiungibile attraverso il controllo razionale delle misure. Oggi questa idea, che fmo all'illuminismo nessuno metteva in discussione, è condivisa da pochi e non compresa da molti. Alcuni di questi ritengono poi che le misure si possano determinare con un altro gioco, molto simile allo Shanghai. Ma spero converrai

che questo altro gioco è ben più frivolo di quello che ti propongo.

Architetto - on c'è dubbio, ma non vedo perché debbo giocare. lo controllo le misure attraverso la luce delle scienze sperimentali, utilizzando le molte ingegnerie che essa sostanzia. lo sono razionale mentre ho il dubbio che dietro le tue misure ci sia una mistica del numero. Per difendere quella tua idea non vorrai mica ripropormi la solfa del paradiso perduto del passato?

Timeo - Non voglio. Sono convinto che le scienze moderne abbiano migliorato la condizione dell'uomo e che, come dice un filosofo del XX secolo, bisogna essere "privi di illusioni nei confronti dell'epoca e ciò nonostante pronunciarsi senza riserve per essa". Il fatto è che quando si ha uno strumento nuovo si tende a buttare via quello vecchio, anche quando questo funziona meglio per certe cose. Le scienze contemporanee ci permettono certamente di gestire un complesso di questioni che nel passato non erano nemmeno immaginabi-

Timeo O la • proporzione Timaeus or Proportion

Dialogue between Timaeus of Locri and an architect oftoday Architect - Hello, Timaeus. I had a look at the book you lent me but I don't quite see, with the thousands of problems l've got, what these mathematical trifles have to do with me.

Timaeus - These trifles, as you cali them, have some utility for architecture only if one is convinced that the unity of the work is an asset and can be attained through rational control of measurements. Today this idea, unquestioned till the Enlightenment, is shared by few and misunderstood by many. Some of the latter think that the measurements can be determined by another game, rather like fiddlesticks. But I hope you'lI agree that this other game is much

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more frivolous than the one l'm suggesting.

Architect - No doubt, but I don't see why I ought to play. I control measurements in the light of the experimental sciences, using the many engineering methods it embodies. I am rational, while I have misgivings that behind your measurements tbere's some number mysticism. You're not going to defend your idea by bringing up the old story about some past paradise lost?

Timaeus - Not at ali. l'm convinced that modern sciences have improved the human condition and, as a 20th century philosopher says, we need to be "devoid of illusions about our age and ali the same declare ourse/ves unreservedly in favour of it", The fact is that when you have a new instrument you tend to throw away the old, even when it works better for some purposes. Contemporary sciences definite/y enab/e us to cope with a comp/ex set

li. Ma esse non dicono nulla circa quell'unità dell'edificio di cui parlavo prima.

Le misure che provengono dalle diverse discipline scientifiche per l'architetto sono un coacervo contraddittorio e a volte si precisano solo grazie a convenzioni arbitrarie. Le misure che ti propongo sono invece basate sul ragionamento e oggi sono in antitesi a ogni atteggiamento mistico, se mai questo fosse verifica bile nel passato.

Architetto - Ammesso e non concesso che ciò sia vero, non mi pare che quell'unità di cui parli sia mai stata ottenuta attraverso le misure.

Timeo - on dico che quella fosse l'unica strada, ma certamente era una delle principali. Se no perché chiunque ha scritto di architettura, da Vitruvio ad Alberti, si è sforzato di affermarlo? Nel passato la contingenza di prevedere misure per abitare, compito primario dell'architetto, era sublimata nella necessità esistenziale di disporre con ordine.

Mi spiego meglio - costruire una stanza che abbia l'area minima di 14 mq

of questions that were quite unimaginable in the past. But they don't tell us anything about that unity of the building I was speaking about earlier. The measurements that come from the various scientific disciplines are a contradictory jumble for the architect and sometimes order can be imposed only through some arbitrary conventions. The measurements l'm proposing are based instead on reasoning and today they are in antithesis to any kind of mysticism, supposing that it was ever true in the past.

Architect - Granting this for the sake of argument, I don't believe the kind of unity you mentioned has ever been achieved through measurements.

Timaeus - I don': say it was the only way, but certainly one of the main ones. Otherwise why should everyone who wrote about architecture from Vitruvius to Alberti strive to assert it? In the past, the contingent need to

per rispettare lo standard del cubo d'aria è senza dubbio un buon risultato.

L'architettura si pone però un compito più alto, in qualche modo spirituale. Orbene, tra tutte le cose che può fare, la cosa più economica è precisare quella misura in modo che nessun'altra, in quella circostanza, possa sostituirla. Ciò viene ottenuto dando una forma geometrica a quella mera necessità, armonizzandola con le altre forme che costituiscono l'edificio. Così pensava l'architetto antico e non c'è motivo perché così non faccia quello contemporaneo.

Ti è chiara l'idea?

Architetto - Si, mi è chiara. Ma se ciò viene raggiunto attraverso delle peripezie intellettuali allora credo che la contemporaneità abbia fatto bene a liberarsi di questo compito ingombrante. A me pare che ogni tentativo di attualizzare quella strada perduta sia fallito miseramente. Guarda il Modular di Le Corbusier. Ma ti immagini andare da un operaio e chiedere di usare, al posto di un metro, una radice quadrata?

pro vide measurements for dwellings, the architect's primary task, was sublimated into the essential need to arrange with order. I shall try to be clearer. Building a room to the minimum size of 14 sq m to respect the standard cubic metres of air is no doubt an excellent result. But architecture sets itself a higher task, in some sense a spiritual one. Now, of ali the things it can do, the most economic is to state that measurement in such a form that none other, in that circumstance, can replace it. This can be done by giving a geometrical form to that simple necessity, harmonising it with the other forms that constitute the building. This was the way the architect in ancient times went about it, and there's no reason why a modern shouldn't do the same. Is that clear?

Arch itect - Ouite clear. But if it is achieved in such a roundabout intellectual way, contemporary architects do rightly to free

Timeo - Il Modular come sistema per la standardizzazione è certamente fallito. Ma ciò non significa che esso sia stato un disastro per l'architettura. Esso è stato infatti l'unico riferimento per quegli architetti, e ce ne sono molti bravi, che hanno voluto continuare a praticare la proporzione. Credo invece che le critiche alla praticità della proporzione derivino più da preconcetti che da altro. In primo luogo l'approssimazione di una misura è sempre un compromesso. Dire 2.00 metri è tanto lontano dalla realtà come dire 2.26. Se hai eseguito un rilievo di un edificio mi capisci. In secondo luogo, cornplementarmente, proprio oggi che si possono gestire, attraverso il computer, misure complesse utilizzando un'approssimazione automatica non si dovrebbe sollevare una tale questione. Infine il concetto di proporzione non esclude l'uso di misure piene (vedi le cosiddette proporzioni musicali).

Architetto non sarebbe

- Senti, per dare unità più facile disegnare un

themselves from such a tedious task.

I feel that any attempt to update this approach is sure to fail miserably. Look at Le Corbusier's Modular. Imagine going up' to a workman and asking him to use a square root instead of a ruler!

Timaeus - The Modular as a system of standardisation has certainly failed. But that does not mean it was a disaster far architecture.

It was actually the only scale of reference far those architects - including some very fine ones - who wanted to continue to work with proportions. Instead I believe that criticisms of the practical use of proportion are based on preconceptions. Firstly the approximation to a measurement is always a compromise. Saying 2.00 metres is just as far from reality as saying 2.26. If you have ever surveyed a building you'lI understand me. Secondly and complementarily, today we can use computers to carry out complex measurements using an automatic

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DOCUMENTI/DOCUMENTS

reticolo, magari quadrato, e su questo posizionare i pilastri e i muri? Con il reticolo vedo la migliore realizzazione della ripetizione, della compiutezza e variazione. Vedo un metodo facile e chiaro.

Timeo - Il reticolo carte siano funziona benissimo quando devo ripetere un oggetto n volte secondo assi ortogonali. Per esempio una piastrella 10xiO. Ma la realtà è fatta di differenze. È vero che il reticolo rapporta tutte le misure a un minimo comun denominatore, ma lascia del tutto indeterminata la scelta delle misure stesse. Ciò che esso fornisce è solo un sistema di approssimazione che lascia tanto più indeterminate le misure quanto più il modulo è piccolo, e risulta tanto più impraticabile quanto più il modulo è ampio. In altre parole: se definisco una stanza con 19x29 ottengo un risultato che è molto vicino al caos dello Shanghai. Certamente è diverso se dico 20x30 (cioè due terzi), ma allora intervengono delle ragioni che sono al di là del reticolo: le ragioni della proporzione.

Architetto - Ma allora tutti gli architetti contemporanei che hanno usato il modulo quadrato avrebbero sbagliato?

Che ne devo fare degli edifici costruiti da Mies van der Rohe o Wright? Debbo buttarli via? Preferisco buttare via il tuo passato.

Timeo - Lungi da me l'idea di gettare via gli autori che hai citato. Qui è in discussione il metodo non il singolo risultato. Per spiegare l'approccio di Wright o di Mies avrei bisogno di un po' di tempo, ne parliamo un'altra volta. Ciò che ti deve essere chiaro è che non si può scambiare lo strumento per il fine. Nelle loro mani il reticolo è stato uno strumento fruttuoso perché il loro fine era la proporzione. Oggi si rischia .di credere che il fine è l'unificazione del modulo e ciò è un errore fatale.

approximation that should not raise such questions. Final/y, the concept of proportion does not exclude the use of fuI/ measurements (see the so-cal/ed musical proportions).

other words, if I define a room as 19 x 29 I obtain a result that is very c/ose to the chaos of fiddlesticks. Natural/y it's different if I say 20 x 30 (i.e. two-thirds), but that brings in considerations that go beyond a grid: the reasons of proportion.

Architect - Look, to confer unity wouldn't it be easier to draw a grid, perhaps a square, and pIace the wal/s and pillars on this? On a grid I can see how to make the most of repetition, composition and variation. I see a clear and simple method.

Timaeus - The Cartesian grid works wel/ when I have to repeat an object n times on orthogonal exes, like tiles measuring 70 x 70.

But reality is made up of differences. It's true that the grid relates the measures to a lowest common denominator but it leaves the choice of the measures themselves whol/y indefinite.

What it supplies is just a system of approximation which leaves the measurements ali the more indefinite the smaller the grid, and ali the more impracticable the bigger the grido In

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Architetto - Ma scusa, che cosa intendi esattamente quando dici proporzione?

Timeo - Il termine proporzione presenta un ampio margine di ambiguità nella lingua contemporanea. L'etìmo-

Architect - So then contemporary architects who have used the square are supposed to be wrong? What shall we do with the buildings by Mies van der Rohe or Wright? 5crap them? I prefer to scrap this past of yours.

Timaeus - Far be it from me to scrap the architects just mentioned.

Here we're discussing the method, not the individuaI result. l'd need some time to explain Wright or Mies' approach, we can go into that another time.

What I want you to see clearly is that you csn't mistake the instrument for the end. In their hands, the grid was a fruitful instrument because their end was proportion.

The etymology - pro portio - signifies something

logia - pro portio - indica qualcosa in grado di creare un'unità tra singole porzioni di un tutto. Il termine è affine sia al concetto greco di analogia che a quello di summetria. Euclide quando definisce quello che in matematica intendiamo oggi come proporzione dice analogia e si riferisce a una eguaglianza di due rapporti: a:b=c:d

Tale problema ha una grande rilevanza nello sviluppo della matematica ma, per l'architettura e le arti figurative, svia l'attenzione dal vero problema che è creare una summetria. La summetria risponde alla seguente questione essenziale: date due grandezze differenti si può trovarne una terza che instauri delle relazioni geometriche di similitudine. A partire da alcune soluzioni di questo problema si possono elaborare delle successioni di grandezze collegate tra loro. In altre parole la proporzione si configura come un metodo, intellegibile, che si pone i seguenti obbiettivi convergenti:

capable of creating a unity between the separate portions of a single whole. The term has affinities with both the Greek concept of analogia and that of summetria. When Euclid defines what we mean in mathematics by proportion today he uses analogia, and refers to equality between two ratios: a : b = c : d This problem is of great improtance in the development of mathematics bui, in architecture and the figurative arts it distracts attention from the true problem, which is to create a summetria. The summetria responds to the fol/owing essential question: given two different magnitudes you can find a third which belongs to the geometrica I relationships of similarity. 5tarting from certa in solutions of this problem you can work out successions 01 magnitude linked to each other.

In other words proportion presents itself as an intelligible method that adopts the following convergent objectives: - the repetition of a limited number 01

- la ripetizione di un numero limitato di misure, quindi la somiglianza delle forme che ne derivano; - la conseguente compiutezza dell'insieme e, reciprocamente, l'assenza di misure residue; -la possibilità, entro i suddetti limiti, di variazioni infinite.

Tutto ciò è la proporzione di cui si parla nel libretto che ti ho dato. Proporzione possiede oggi significati secondi che ai miei tempi non esistevano. Se si dice un tavolo ben proporzionato, ci si riferisce alle dimensioni ideali dell'oggetto adeguate all'uso che se ne vuol fare. Inoltre proporzione indica oggi una qualità di un oggetto, indecifrabile e appartenente al mondo dell'irrazionale. In qualche modo invece di indicare una causa del godimento estetico lo si usa per descriverne l'effetto. Il libretto non parla affatto di questi altri significati che ci porterebbero lontano.

Architetto - Ma come posso progettare con quegli schemi complicati ... non credo proprio che nemmeno gli antichi

measurements, hence the resemblance of the forms that derive from them; - the consequent completeness of the whole, and reciprocal/y, the absence of residua I measurements; - the possibility of infinite variations within the above limits.

Ali this is proportion as IdeaI with it in the book I gave you. Today Proportion posseses meanings that did not exist in my time. If you say "a well-proportioned table" you refer to the ideaI dimensions of the object adapted to the use to be made of it. And proportion today signifies a quality of an object, indecipherable and belonging to the sphere of the irrational. In a certain way, instead of indicating a cause of aesthetic pleasure, it is used to describe the effect. The book does not go into these other meanings which would take us out of our way.

Architect - But how can I design these complicated schemes? I don't believe that even

utilizzassero una simile attrezzatura. E se anche così fosse, chi mai se ne accorgerebbe? Quelle sono misure che non si vedono.

Timeo - Quanto alla complicazione degli schemi penso che ti sottovaluti. Dici di utilizzare le ingegnerie, che applicano la matematica differenziale e ti spaventi di fronte a qualche proiezione piana! Il fatto è che né io né il libretto ti abbiamo convinto delle ragioni della proporzione. Se no dovrebbe esserti chiaro che la proporzione non si vede in singole misure ma nell'insieme! Le dimensioni di una porta sono quelle che servono, l'ingombro di un uomo un po' ingrandito. Il problema della proporzione è far si che le misure di una porta siano in relazione con quelle della scala, della stanza, della finestra ecc. Quello che può provocare il godimento estetico non è il particolare rettangolo della porta ma l'armonia di tutta la casa, dal dettaglio all'insieme.

Gli schemi del libretto non sono né un'analisi storica dei metodi utilizzati dagli antichi, che erano invero più em-

pirici, né una ricetta da applicare al progetto. Essi giungono a due sintesi. Primo: le infinite rispondenze che posso creare tra le misure (proporzioni o similitudini tra rettangoli) possono essere comprese partendo da tre sole nozioni fondamentali. Perché non sono trentanove? Questo non lo so, ma la matematica si basa sempre su un numero limitato di principi. Secondo: le proporzioni sono raggruppabili in soli quattro gruppi. Quattro gruppi coprono il campo delle proporzioni più studiate nel passato. Il libretto non dà alcuna ricetta, non dice nemmeno se c'è la proporzione migliore (e credo che questo sia un falso problema definitivamente superato). Il libretto fornisce una legge, sarai tu a trovare il sistema più appropriato al tuo particolarissimo modo di affrontare i problemi. E credo che questo metodo dia spazio alla fantasia, come in un gioco intelligente, senza costringere a inventare forme astruse. Ciò ti convince?

the ancients used equipment of this kind. And if I did, who would notice?

Those are measurements that can't be seen.

Tlmaeus - As for the complication of the schemes I think you underrate yourself. You say you use engineering systems that apply differential mathematics and you feel inadequate to deal with pIane projections!

The fact is that neither I nor the book have convinced you of the reasons for proportion.

Otherwise it should be clear to you that what is needed is the volume of a man on a slight/y larger scale. The problem of proportion is to enable the measurements to be related to that of a staircase, a room, a window, etc. What gives aesthetic pleasure is not the particular rectangle of the door but the entire house, from the detail to the whole. The schemes in the book are neither a historical analysis of the methods used by the ancients, who were actually empirical, nor a recipe to be applied to the designo They attain two syntheses. First: the

infinite correspondences that can be created between measurements (proportions or similarities between rectangles! can be understood starting from just three fundamental concepts. Why not thirty-nine? this I don't know, but mathematics is always based on a limited number of principles. Second: proportions can be arranged into just four groups.

Four groups cover the field of proportions most studied in the past.

The book does not give a recipe, it doesn't even say if there's a best proportion (and this, I think, is a false problem, definitively superseded!.

The book provides a rules: it's up to you to find the most appropria te system for your particular way of tackling problems. And I believe that this method provides scope for the imagination, as in an intelligent game, without forcing anyone to invent abstruse forms. Does that convince you?

Architetto - Ma ... non so. Devo andare ma ne riparliamo ...

Archtiect - Well ... I don 't know. I must be off - but we'lI talk about it again. D

~OCUMENTI/DOCUMENTS

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B

I TRE MEDI DEL TlMEO Platone nel VII dialogo del Timeo definisce con chiarezza il significato di medio.

Platone enuncia un postulato: "non è possibile che due cose si compongano bene senza una terza: bisogna che in mezzo vi sia un legame che le congiunga entrambe".

Senza questa terza cosa le altre due sarebbero due mondi inconciliabili. Platone prosegue definendo il primo, quello che egli reputa più importante, tra i medi proporzionali: "E il più bello dei legami è quello che faccia, per quanto è possibile, un cosa sola di sé e delle cose legate: ora la symmetria compie questo in modo bellissimo. Perché quando di tre numeri o masse o potenze quali si vogliano, il medio sta all'ultimo come il primo sta al medio, e d'altra parte ancora il medio sta al primo, come l'ultimo sta al medio [in altre parole Platone definisce ciò che oggi viene chiamato il medio geometrico. cioè misura b per cui si verifica: a:b = b:c] allora il medio divenendo primo e ultimo, e l'ultimo e il primo divenendo a loro volta medi ambedue, sì di necessità accadrà che tutti siano i medesimi, e divenuti medesimi fra loro, saranno tutti una cosa sola."

Che cosa intende dire?

Se si costruisce un rettangolo con lati a e b, ABB'A' (fig. 1), tracciando una diagonale A'B, e tracciando da B' la perpendicolare ad A'B in modo da incontrare AB in C, si hanno gli elementi per costruire il rettangolo CBB'C'.

B'

D

A

A'

fig. :3

fig. 2

La sequenza a ; b ; c , se a : b = b : c = x, costituisce un frammento di una progressione geometrica.

Una tale successione può proseguire nell'infinitamente grande e nell'ìnfìnìtamente piccolo (fig. 2). Allora a e c divengono "a loro volta medi ambedue".

Tutti i termini della successione sono il "medesimo", poiché, anche se differenti, sono legati da un'unica relazione.

Più avanti, si trova la definizione di altri due medi.

Il primo è defmito come una misura che "avanzi e fosse avanzato dallo stesso numero", vale a dire dati a ; c (a > c): b=

a+c

--

2 Questo è il medio aritmetico (comunemente indicato come la media di due numeri).

Il secondo una misura che "avanzi un estremo e fosse avanzato dall'altro della stessa frazione", cioè: 2a c b=--

Se invece le due misure sono differenti, ad es. a > c , si consideri una terza misura AX=b (a> b > c). Si potranno valutare 6 misure: i tre di partenza a ; b ; c, e le tre differenze positive a-c; b-c ; a-b. (fig. 4) I rapporti (rettangoli) che si possono formare con quei 6 valori sono 36 (fig. 5).

B

C

B'

B

C

B'

A

c

A'

A

C

A'

o

DJ 'iJ

fig. 4

Le equivalenze di rapporti (similitudini tra rettangoli) che si possono ipotizzare tra questi sono molte. Orbene, risulta che i tre medi del Timeo sono quei valori di b per cui si ottiene il maggior numero di equivalenze tra i rapporti di quelle 6 misure (similitudini tra i rettangoli di fig. 5).

b-c

a-b

a+c A·

C'

B·

Questo è il medio armonico che, con una certa approssimazione concettuale, risulta da una unione dei due precedenti in quanto coniuga rapporti e differenze.

A

c

B

PERCHÉ I TRE MEDI fig. 1 I due rettangoli così ottenuti (ABB'A' e CBB'C') sono simili. La lunghezza CB ha il valore c della eguaglianza prima esposta. La lunghezza b è quindi medio geometrico tra a e c. Essa è "primo e ultimo": il lato piccolo del primo rettangolo e il lato grande del secondo.

00

Perché Platone definisce solo tre medi e non altro?

Riprendiamo il problema dall'inizio. Si considerino due lunghezze a e c. Se le due misure fossero uguali, il problema della mediazione non si porre bbe nemmeno. Il rettangolo ottenuto da a e c sarebbe un quadrato: la quintessenza dell'unità.

~[]ITJ DDDD1=======9i=====l DDDD~:==

DDDD DDDDF==~i=====l

Oc:=Jc:=::JDL---lL-_----' fig. 5

I

I tre medi di Platone, sebbene non siano le uniche soluzioni al problema, sono le più vantaggiose. Questo è il motivo per cui la ouuuetptn greca prendeva in considerazione quelle tre funzioni e non altre: era la migliore soluzione di un problema. b

LE PROPORZIONI Fino a questo punto si è considerata la relazione tra due misure qualsiasi.

Si possono scegliere misure che aumentino le possibilità di corrispondenze?

Sì. Consideriamo, per cominciare, una progressione geometrica (esprimibile come] (n) = le z") ovvero, in altre parole, un insieme di rettangoli simili come quelli della fig. 2. Questa è già una buona scelta. Immaginiamo di imporre a tre termini di una progressione geometrica generica ulteriori condizioni tali da produrre altre similitudini. Immaginiamo di far ciò utilizzando le funzioni dei tre medi platonici prima descritti. Ebbene, le soluzioni a tali ipotesi (quelle che non implicano calcoli troppo elaborati o numeri complessi) appartengono tutte a soli quattro gruppi di proporzioni, quattro gruppi che già conoscevamo dai testi antichi e dalle analisi fatte dagli storici dell'arte.

Di seguito si passeranno rapidamente in rassegna questi quattro gruppi, con l'intento di offrire un rapido strumento di consultazione.

Avvertenze: - ogni gruppo sarà introdotto spiegando la costruzione e le proprietà note di un gruppo di proporzioni; - queste proprietà non verranno ricondotte alle nozioni dei tre medi, sebbene ciò sia possibile; -le equazioni che realizzano le similitudini tra i rettangoli di fig. 5 verranno spiegate attraverso uno schema geometrico (si adotteranno le seguenti notazioni: mat (a ,b) - media aritmetica, mam(a,b) - media armonica).

a. Sezione aurea • Costruire un rettangolo con modulo <I>è semplice. Si può partire dal lato grande a (fig.6-I) oppure da quello piccolo b (fig. 6-II).

il

fig. 6

fig. 8

• Data una lunghezza generica a la sua sezione aurea è il medio geometrico tra l'intera lunghezza e la parte restante.

Cioè: a : x = x: (a - x)=<1> • In altre parole, risulta la seguente relazione:

• Si verifica che il mam tra due termini di una progressione aurea è uguale al doppio del termine immediatamente inferiore, mentre il mat degli stessi due termini è uguale alla metà del termine immediatamente superiore (fig. 9).

1 -+ 1 =<1> <1> Quindi in una progressione <1> ogni termine è costituito dalla somma dei due precedenti. Una tal successione è chiamata progressione di Fibonacci. Naturalmente esistono infinite successioni del genere, ad es. 1,2,3,5,8, .... Ma la successione <1> è l'unica progressione di Fibonacci che è anche progressione geometrica.

1

~ 1

<I>

M>

<1>'

2

<1>'

-;-

T

1

iO

~

~

fig. 9 • Quindi se si confronta una successio<1> ne <1> con una successione - (fig. 10) 2

fig. 7

Ciò, in pratica, significa che un rettangolo con modulo <1> può essere scomposto in un quadrato e un altro rettangolo <1> e così all'infinito (fig. 7).

• In fig. 8, sono illustrati due modi per costruire un rettangolo -v5 . Dal confronto della fig. 6-I1 con la fig. 8-I1 risulta evidente che la proporzione con modulo -v5,è strettamente legata alla proporzione <1>.

Esse, quindi, possono essere considerate come facenti parte di un unico insieme.

si comprende che ogni termine della seconda è medio aritmetico di due della prima, mentre ogni termine della prima è medio armonico di due della seconda.

o

'\ 1

<I>

'""'1'-'

m"'t

Ir-Ir\

k1Y~~

I~' 2

fig. 10

Questa proprietà rende possibile la connessione tra le due scale (rouge e bleue) del Modulor di Le Corbusier (fig. 10).

CUMENTI/DOCUMENTS

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• Ancora: -v5- mal (1, -v5)= mam (1/-V5 1) , fig. 11-1. Si può verificare che il mal seziona il rettangolo -is in maniera da formare due rettangoli aurei (fig.

11-II).

~l

• Due costruzioni di un rettangolo mato UNI (A4, A3, ecc.) ha proporzione -V2.Ovviamente questa è l'unica prosono mostrate in fig. 17. porzione che permette ciò. a • Una proporzione legata a -v2è lapro"2 porzione di Pell denominata 6 = 1 + -V2.

Essa infatti può essere intesa letteralmente come la somma di un rettangolo -V2più un quadrato (fig. 14II).

-V3

fig. 17 fig. 11 111

b. Diagonale

del quadrato fig. 14

• Il termine con cui si indica il numero irrazionale -V2ricorda chiaramente il significato geometrico che esso doveva avere in origine: "radice" di due è la lunghezza che genera un'area di valore 2, un quadrato che possiede l'area doppia di un altro quadrato. Tale quadrato ha per lato la diagonale del quadrato unità (fig. 12).

• Il rettangolo -V3è l'unico rettangolo suddivisibile in tre rettangoli uguali ad esso simili (fig. 18-1). Inoltre quadripartendo tale rettangolo si producono quattro coppie di rettangoli con modulo -V3(fig. 18-11).

• Si dimostra che: 1 - mam(1,1/6) = 1/6, (fig. 15-1),e 1- mal(1,1/6) = mal(1/6,1/62), fig. 15-11.

l

a

fig. 18

fig.15

• Si verifica che: -V3- mam(l, li -V3)=1come è mostrato in fig. 19.

fig. 12 • Il rettangolo -V2si costruisce con una sola rotazione (fig. 13).

c. Radice di tre • Se si considerano due cerchi uguali passanti l'uno per il centro dell'altro (fig. 16), il rapporto tra il raggio di tali cerchi e la distanza dei due punti d'intersezione è uguale a -V3). La figura intersezione dei due cerchi era chiamata, nel medioevo, vescica piscis.

fig. 13

fig. 19

• Il rettangolo -V2può essere pensato come la giustapposizione di due rettangoli -V2eguali (fig. 14-1), quindi può essere infinitamente bipartito ottenendo sempre rettangoli eguali. Questo è il motivo per cui un foglio in for-

• Sebbene la proporzione -V3non offra una quantità di rispondenze ampia come quella degli altri gruppi, essa è stata spesso usata sfruttando la stretta connessione con il triangolo equilatero (fig.

fig. 16

20), figura la cui costruzione è facilmente eseguibile con una semplice corda tripartita.

fig. 20

d. "Proporzioni musicali" • Nel Timeo di Platone si trova enunciato un sistema che chiameremo, per convenzione, le proporzioni musicali. Esso si basa su due proporzioni semplicissime: la proporzione doppia e quella tripla (fig. 21).

Questi rapporti erano chiamati, con analogia musicale: unison, diapason, diapente e diatesseron (unisono, quarta, quinta e ottava). La similitudine tra i rapporti numerici e le vibrazioni sonore, nasce da una realtà fisica. Alla base di tale teoria, tradizionalmente attribuita a Pitagora, si fa riferimento ad un corda tesa, come quella di una chitarra, la cui vibrazione ha intensità inversamente proporzionale alla lunghezza della corda stessa (fig. 22). Detto ciò bisogna anche affermare che il nostro interesse verso queste proporzioni non dipende dall'analogia musicale ma dalle 'proprietà combinatorie che tali proporzioni hanno.

• Una progressione con ratio 2 è l'unica ove il mal tra due termini sottratto al termine maggiore produce il termine immediatamente inferiore, ovvero amaJl,1/2) = b, fig. 23-1.

diapente

diatesseron

I I I diatesseron

I I I

diatesseron

diapente

fig. 25

• Per quanto riguarda la proporzione 3 si verifica: a-mat(1,1/3) = b (fig. 26).

El§

'g,,", fig. 21

• I quattro rettangoli costruibili con due termini in proporzione doppia ed i loro mate mam hanno i rapporti di 1/1,2/3, 3/4 e 1/2.

fig. 23

fig. 26

• Inoltre si dimostra come (fig. 23-11): 1 - mam(1,112) = mam(1/2,1/4).

• Ciò significa che un rettangolo diapason può essere pensato sia come un diapente più un diapason, sia come un diatesseron più un diapente (fig. 24).

Per questa proprietà, anche un rettangolo triplo può essere scomposto in una molteplicità di modi (fig. 27).

ottava --qUinta'

• I

~

nf3F1 Mi

quarta • .~

Witt\ SiLa

R fig. 22

diapason diapente

EJ

diapente

diatesseron

§.

diapente

unison

iapason diapeme

m

fig. 27 fig. 24 • Si dimostra, poi, che per la proporzione doppia e solo per essa si verificano le relazioni mostrate in fig. 25 .

Questi sono i motivi razionali del successo dei rapporti musicali: le possibilità combinatorie, anche in questo caso, sono tali da permettere una quantità di variazioni illimitata.