Ainda os Números 8º Ano Matemática
Índice
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Mínimo múltiplo comum Máximo divisor comum Regras da multiplicação Escrita de um numero sob a forma de potencia Operações com potencias Potencias de expoente inteiro Expressões com potencias Escrita de números grandes usando potencias de 10 Escrita de números pequenos usando potencias de 10 Notação cientifica Notação cientifica e calculo mental
Mínimo Múltiplo Comum (m.m.c.) • O ciclista A gasta 8 minutos para dar uma volta à pista e o ciclista B gasta 12 minutos. Se partiram às 9 horas do mesmo ponto da pista, a que horas se voltam a encontrar nesse local. 1ª volta A B
8 min 12 min
2ª volta
16 min
24 min
24 min
1ª volta
R: Encontravam-se às 9horas e 24 minutos
Mínimo Múltiplo Comum (m.m.c.) • O ressonar dos porquinhos. A mãe “porquinha ressona de 5 em 5 segundos. O filho “porquinho” ressona de 3 em 3 segundos. Se num determinado momento ressonam ao mesmo tempo, quanto tempo terá de decorrer de modo a ressonarem outra vez simultaneamente M3 =
M5 =
3
5
6
10
9
15
12
20
15
25
18
30
21
35
24
27
30
15 é o mínimo múltiplo comum
R: ressonavam outra vez ao mesmo tempo passados 15 segundos e passados 30 segundos
Decompor úmero em Decompor um um nnúmero em factores factores primos primos Para decompor um número utilizamos os critérios de divisibilidade: Exemplo: decompor o número 84
:2 84
:2
DIVISORES 2
3
5
7
2
3
5
7
2
3
5
7
7
2
3
5
7
1
2
3
5
7
42 21
:3 :7
Como calcular o m.m.c. O m.m.c de dois números é o menor múltiplo desses números
• Pode-se calcular o m.m.c. usando a decomposição em factores primos: • Exemplo: determina o m.m.c (12, 18) 12
2
18
2
6
2
3
3
3
9 3
1 12 = 22 x 3
1
3
18 = 2 x 32 m.m.c (12, 18) = 22X 32
Regra: o m.m.c é igual ao produto dos factores comuns e não comuns elevados cada um ao maior expoente
Como determinar o máximo divisor comum m.d.c • Na promoção de um concerto vão oferecer 30 CD e 25 fotografias autenticadas. Se todos os prémios forem iguais, quantas pessoas poderão receber o prémio tendo em conta que o prémio é igual para todos. • Resolução 1 5 25 • Divisores de 25 = • Divisores de 30 =
1
2
3
5
6
10
15
30
O m.d.c (25, 30) = 5 --- nº máximo de pessoas que podem ganhar O que ganha cada uma ? 25 : 5 = 5 fotografias autenticadas 30 : 5 = 6 CD(s)
Determinação do m.d.c utilizando a decomposição em factores primos • Vamos considerar o problema anterior 25
5
30
2
5
5
15
3
5
5
1
1 25 = 52
25 = 2 x 3 x 5
m.d.c (25,30) = 5 Nota: Se o máximo divisor comum entre dois números é 1, diz-se que os números são primos entre si
Regra: produto dos factores comuns elevados ao menor expoente
Escrita de um número sob a forma de potência
• a4
Potência expoente base
Potencias que representam um número muito pequeno. Ex: a luz percorre 1Km em 3.3 x 10 -6 s Potencias que representam um número muito pequeno. Ex: O número de pulsações durante 70 anos a uma média de 60 pulsações por minuto 2,2 x 109
Exercícios resolvidos •
Calcular:
1)
5,7 x 104 = 57000 a vírgula desloca-se 4 casa para a direita. 2)
2
52 25 5 = 2= 9 3 3
2 5 25 3) = 3 3
Regras - Multiplicação • Potências com a mesma Base: dá-se a mesma base e somam-se os expoentes 5
5+ 2
2
1 1 1 × = 3 3 3
1 = 3
7
• Potências com o mesmo Expoente: dá-se o mesmo expoente e multiplicam-se as bases 7
7
3 5 15 × = 2 4 8
7
Divisão de Potências • Divisão de Potências com o mesmo expoente: Regra – Dá-se o mesmo expoente e dividem-se as bases. 6
6
7 3 : = 2 5
6
7 5 35 × = 2 3 6
6
• Divisão de Potências com a mesma base: Regra – Dá-se a mesma base e subtraem-se os expoentes.
8
6
8− 6
5 5 5 : = 8 8 8
5 = 8
2
Potência de Potência • A base fica igual e multiplicam-se os expoentes 32
3×2 6 4 4 4 = = 5 5 5
Potência de expoente nulo
(3)0 = 1 0
6 =1 7
Qualquer potência elevado a zero é igual a 1
Resumo
Divisão
Multiplicação
a m : a n = a m−n
a m × a n = a m+ n a × b = (a × b ) m
m
m
PotênciaDePotência
(a ) = am×n mn
m m a a :b = b
m
ExpoenteNulo a0 = 1
Potências de expoente inteiro negativo 2
8
5 :5 = 5
−6
Dá-se a mesma base e subtraem-se os expoentes
Conclusão
ou
52
5× 5 1 = = 8 5× 5× 5× 5× 5×5×5× 5 5 56
5
−6
=
Regra: inverte-se o número e troca-se o sinal do expoente
1 56
Exercícios resolvidos 2 3
−3
3− 2 5
−4
3 = 2
=
54 2
3
3
3 4− 2
4.5 × 10
= 3 × 42
−3
=
4.5 103
= 0.0045
A vírgula deslocou-se 3 casas para a esquerda
Expressões com potências • No cálculo de expressões 1º calcula-se as potências (
pode-se aplicar as regras) e em seguida efectua-se os restantes cálculos.
(− 2)2 + (− 1)0 − (− 5)−3 : (− 5)− 2 = = (− 2 )2 + (− 1)0 − (− 5)−3−( −2) = = (− 2 )2 + (− 1)0 − (− 5)−1 = 1 = 4 +1− = −5 1 =5+ = 5 25 1 26 = + = 5 5 5
Escrita de números grandes Número
Escrita normal
Potência De 10
dez
10
101
cem
100
102
mil
1 000
103
Nota: o expoente é igual ao nº de zeros
Dez mil
10000
104
Cem mil
100000
105
Um milhão
1000000
106
Dez milhões
10000000
107
Potência de potência 1 milhão
106
1 bilião
(106)2
1 trilião
(106)3
Nota: o nosso sistema é um sistema decimal ou de base 10. Qualquer nº pode ser escrito usando potências de base 10
Exercícios resolvidos Escreve o nº 138 e o nº 42 765 usando potência de base 10. 138 = 1 x 102 + 3 x 10 + 8 42 765 = 4 x 104 + 2 x 103 + 7 x 102 + 6 x 10 + 5 Nota: Multiplicar e dividir por 10, 100, 1000… é o mesmo que multiplicar ou dividir por 10, 102, 103 Quantas gramas são 1 mg? 1mg = 0,001g =
1 1 g= g = 10−3 g 1000 103
Escrita de números pequenos Número
Escrita normal
Potência De 10
um
1
100
Uma décima
0,1
10-1
Uma centésima
0,01
10-2
Nota: o expoente é igual ao nº de zeros Uma milésima
0,001
10-3
Uma décima de milésima
0,0001
10-4
Uma centésima de milésima
0.00001
10-5
Uma milésima de milésima
0,000001
10-6
Exercícios resolvidos 2
5,76 ÷ 100 = 5,76 ÷ 10 = 0,0576 A vírgula desloca-se para a esquerda 2 casas
5,76 ÷ 0,01 = 5,76 ÷ 10− 2 = 576 A vírgula desloca-se para a direita 2 casas
Notação científica Quando os números são muito grandes utiliza-se a notação científica: Exemplos: A massa da Lua é: 73 000 000 000 000 000 000 000kg = 7,3 x 1022kg A massa de um átomo de hidrogénio é: 0, 000 000 000 000 000 000 000 02 66 g = 2,66 x 10-23 Qualquer número inteiro ou decimal pode ser escrito em notação científica, temos de ter em conta a seguinte regra: A vírgula encontra-se no 1º algarismo
Exercícios resolvidos
35700 = 3,57 x 104
0.0042 = 4,2 x 10-3
Regra: a vírgula desloca-se para o 1º número inteiro, O expoente é positivo se a deslocação da vírgula foi para a esquerda. O expoente é negativo se a deslocação foi para a direita
35,6 x 10 -5 = 3,56 x 10-5 x 101 = 3,56 x 10-4 0.0042 x 107 = 4.2 x 107 x 10-3 = 4,2 x 104
Notação científica e cálculo mental Exercícios resolvidos: (apresentar o resultado em notação científica) 1) Um grão de sal pesa 2 x 10-5 gramas. Quantos grãos de sal há num pacote de 1kg? 1 kg = 1000g 1 (grão) ---------2 x 10 -5 (gramas) X --------------- 1000 (gramas)
1000 1×103 1 103 = × −5 = −5 −5 2 ×10 2 ×10 2 10 1 = ×103−( −5) = 0,5 × 108 = 2 = 5 ×10 −1 ×108 = 5 ×107
1º transformar 1000 em potência. 2º aplicar as regras. 3º apresentar o resultado em notação científica
Notação científica e cálculo mental Exercícios resolvidos: (apresentar o resultado em notação científica) 2) Calcular: (8.1 x 105) x (2 x 104) = = 8.1 x 2 x 105 x 104 = = 16.2 x 109 = = 1.62 x 1010
1º escreve-se os números e depois os expoentes. 2º calcular o produto dos números e aplicar as regras das potências. 3º apresentar o resultado em notação científica
3) Calcular: (1,5 x 104 ) + (3,5 x 105)=
1º escrever a potência com o mesmo expoente.
= (1.5 x 104 ) + (3,5 x 101x104)=
2º colocar em evidência
= 104 (1,5 + 35) =
3º efectuar os cálculos
= 104 x 36,5=
4º apresentar o resultado em notação científica
=3,65 x 101x104 = 3,65 x 105
FIM
• Professor: Nelson Escalda