Unidade 3 Equações 8º ano
Resumo Equações 8º Ano
Monómios e polinómios O Pedro leva na mão 1 livro e não sabe quantos livros leva na mochila. Que expressão pode representara situação? Vamos designar por n o número de livros que estão dentro da mochila. A expressão n + 1 representa a totalidade de livros que o Pedro transporta, sendo n a variável. Nesta situação podemos ter várias hipóteses, então vamos utilizar uma tabela para organizar os dados n
0
1
2
3
n+1
1
2
3
4
Monómios e polinómios O que é um monómio? É uma expressão constituída por um número ou uma letra, ou por um produto de números e letra Exemplos: 3; 5n; Num monómio existe um coeficiente e uma parte literal
O que é um Polinómio? É a soma de vários monómios x + 3 ; 5x +2y +3; 3x2 + 8x + 4
Coeficiente parte literal e grau de um monómio Número que está pegado à letra
Grau de um monómio é a soma dos expoentes das variáveis
A Parte literal é a letra
Monómio
Coeficiente
Parte literal
Grau
xy2
1
xy
3
x − 2
-1/2
x
1
-5
-5
Não tem
0
Monómios e polinómios •
Monómios semelhantes: têm a mesma parte literal
•
Exemplos: 5x e 6x;
•
Monómios simétricos: São monómios semelhantes com coeficientes simétricos
•
Exemplos:
4y2 e 6y2
5x e -5x
Notas: Num monómio não há adições nem subtracções
h b
b× h 2
Expressão que representa a área de um triângulo
Adição de monómios e polinómios •
Observa a figura: as distâncias estão em metros
A
x
B
2x
C
x e 2x são monómios. Nos monómios os números representam letra Se x = 4 então a distância de A até C é 4 + 2x4 = 12m Simplificação da expressão: x + 2x = 3x ( adiciona-se os coeficientes (1 + 2))
Lê-se 1 x
Nota: Só se podem adicionar monómios semelhantes (com a mesma parte literal)
Adição de monómios e polinómios •
Como fazer: No problema anterior podia-se simplificar 1º a expressão: x + 2x = 3x se x = 4 então 3 x 4 = 12m
•
Como fazer: simplifica a seguinte expressão:
x + 3y + 2 + 3x – y – 5 = = 4x + 2y -3
1º passo – identificar os monómios semelhantes 2º passo – adicionar os monómios semelhantes
Adição de monómios e polinómios Comutativa:
a+b=b+a ab = ba
Associativa:
Propriedades
(a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc)
Distributiva da multiplicação em relação à adição: Elemento neutro da adição: Elemento absorvente da Multiplicação:
a( b + c ) = ab + ac
a+0=0+a=a
ax0=0xa=0
Simplificações de expressões com parênteses
Sinal + antes do
Sinal - antes do
Sinal x antes do
Parênteses
Parênteses
Parênteses.
Mantêm-se os sinais dos termos que estão dentro do parênteses
Trocam-se os sinais dos termos que estão dentro do parênteses
Multiplica-se os termos que estão dentro do parêntese
Como fazer Sinal + antes do Parênteses Mantêm-se os sinais dos termos que estão dentro do parênteses 3 + ( x - 3y + 2 ) = 3 + x – 3y + 2 = x – 3y + 5 Sinal - antes do Parênteses Trocam-se os sinais dos termos que estão dentro do parênteses 3 - ( x - 3y + 2 ) = 3 – x + 3y – 2 = - x + 3y + 1 Sinal x antes do Parênteses. Multiplica-se os termos que estão dentro do parêntese 3( x - 3y + 2 ) = 3x – 9y + 6
Produto de um monómio por um polinómio
Observa a figura:
3
y
2y
Qual a área da figura? A = 2y( 3 + y) = 6y + 2y2
Como fazer:
41)( 8a − 3) = 32a − 12 1 5 1 1 b( 5 − b ) = b − b 2 = b − b 2 2) 5 5 5 5
Multiplicação de polinómios •
Um polinómio é a soma de vários monómios:
Qual a área da figura?
c
a ac
b bc
d
ad
bd
Como fazer
A = ac + bc + ad + bd
1)
( a + b ) ( c + d ) = ac + ad + bc + bd
2)
(3x -1 )(x + 7) = 3x2 +21x –x -7= = 3x2 + 20x -7
Operações com polinómios •
Observa as figuras:
Operações com polinómios • •
Em alguns problemas temos de efectuar operações com polinómios. Observa o seguinte exemplo: Qual é o volume do cubo?
V = a3 V = ( 3 x + 2 ) 3 = (3 x + 2)(3 x + 2)(3 x + 2) ⇔ 3x + 2
⇔ V = (9 x 2 + 6 x + 6 x + 4)(3 x + 2) ⇔ ⇔ V = (9 x 2 + 12 x + 4)(3 x + 2) ⇔ ⇔ V = 27 x3 + 36 x 2 + 12 x + 18 x 2 + 24 x + 8 ⇔ ⇔ V = 27 x3 + 54 x 2 + 36 x + 8
Quadrado do binómio ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
Quadrado do 1º
Como fazer
( x − 3) 1)
2)
3)
O dobro do 1º pelo 2º
2
Quadrado do 2º
2
= x − 6x + 9
( 5 x + 4) 2 = 25 x 2 + 40 x + 16 2
1 1 2 2 1 1 − x − = x + x + = 2 9 6 4 3 1 2 1 1 x + x+ 9 3 4
Equações
Expressões
Quantos livros existem na mochila se ao todo são 15?
Quantos livros são ao todo?
x+4
x + 4 = 15
Nas expressões x representa um número desconhecido. Nas equações x representa um número desconhecido mas determinado, o número 11
Balanças em equilíbrio
Resolução de Equações com parêntese Como fazer 3(x + 1) – (x -3 ) = 12⇔
⇔ 3x + 3 – x + 3 = 12⇔ ⇔ 3x – x = 12 -3 -3 ⇔ ⇔ 2x = 6 ⇔ ⇔x=
• tirar os parênteses • Passar para um membro os termos com incógnitas e para o outro os termos independentes • simplificar, resolvendo em ordem a x
6 ⇔ 2
• Obter o valor da incógnita
⇔x=3
c.s = { 3}
• Indicar a solução
Equações com fracções Como fazer:
Colocar com o mesmo denominador
x +1 2 x + 3 5 x +1 2x + 3 − = ⇔ − =5⇔ 3 2(3) 1(6) ( 2) 3 2
Cuidado com o sinal
2 x + 2 6 x + 9 30 ⇔ − = ⇔ 2 x + 2 − 6 x − 9 = 30 ⇔ 6 6 6 ⇔ 2 x − 6 x = 30 − 2 + 9 ⇔ − 4x = 37 ⇔ 37 ⇔ x=− 4
Indicar a solução
37 c.s = − 4
Problemas com fracções A soma de metade de um número com 2 é 3. Qual é esse número? Como Fazer
Dados: seja x o número x/2 é a sua metade
c.s = { 2}
x + 2= 3⇔ 2 x 2 3 ⇔ + = ⇔ 2 1( 2) 1( 2)
⇔ x+4=6⇔ ⇔ x =6−4⇔ ⇔ x=2
Resolução de Problemas e equações O Pedro foi às compras. Na primeira compra gastou a quarta parte do dinheiro que tinha e na segunda compra gastou metade do restante. Verificou que lhe sobraram 45 euros. Quanto dinheiro tinha o Pedro? Como fazer:
Resolução:
x = dinheiro do Pedro
x/4 = quarta parte do dinheiro que tinha = metade do restante
1 x x − 2 4 R: O Pedro tinha 120 euros
x 1 x − x − = 45 ⇔ 4 2 4 x x 1 x 45 ⇔ − − x+ = ⇔ 1(8) 4( 2) 2( 4) 8(1) 1(8) x−
8 x − 2 x − 4 x + x = 360 ⇔ 360 ⇔ 3 x = 360 ⇔ x = ⇔ 3 ⇔ x = 120
Lei do Anulamento do Produto A lei do anulamento do produto aplica-se a equações de grau 2 ou superior Lei do anulamento do produto: Se um produto de dois factores é zero então pelo menos um dos factores é zero ab = 0 ⇔ a = 0 v b =0
Como Fazer:
x ( x − 2) = 0 ⇔ ⇔ x =0∨ x−2=0⇔ ⇔ x =0∨ x = 2
( x + 5) ( x − 2) = 0 ⇔ ⇔ x+ 5= 0∨ x− 2= 0⇔ ⇔ x = −5 ∨ x = 2
Equações do 2º grau Lei do Anulamento do Produto A figura representa um lago quadrado de área 36m2. Qual o comprimento de cada lado
x?
36 m2
Resolução
x × x = 36 ⇔
⇔ x 2 = 36 ⇔
⇔ x 2 = 36 ⇔
⇔ x 2 − 36 = 0 ⇔
⇔ x = ± 36 ⇔
⇔ x 2 − 62 = 0 ⇔ ⇔ ( x − 6 )( x + 6) = 0 ⇔ ⇔ x−6=0∨ x+6=0⇔ ⇔ x = 6 ∨ x = −6
⇔ x = 6 ∨ x = −6
Equações do 2º grau e Decomposição em factores
Equação completa
Equação do 2º grau
Equação incompleta, falta o termo independente
x2 − 4 x + 4 = 0 ⇔ ⇔ ( x − 2) 2 = 0 ⇔ ( x − 2)( x − 2) = 0 ⇔ ⇔ x−2= 0∨ x−2= 0⇔ ⇔ x = 2∨ x = 2
x 2 = −5 x ⇔ x 2 + 5 x = 0 ⇔
⇔ x( x + 5) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x + 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 0 ∨ x = −5
x 2 = 9 ⇔ x = ± 9 ⇔ x = −3 ∨ x = 3 Equação incompleta, falta o termo em x
x 2 = 9 ⇔ x 2 − 9 = 0 ⇔ x 2 − 32 = 0 ⇔ ( x − 3)( x + 3) = 0 ⇔ ⇔ x − 3 = 0 ∨ x + 3 = 0 ⇔ x = 3 ∨ x = −3
Equação literal •
Chama-se equação literal a todo as equações que têm mais de uma variável. • Como resolver uma equação em ordem a uma variável
e v= t
Resolver em ordem a t
e e v = ⇔ v× t = e ⇔ t = t v
Resolver em ordem a e
e v = ⇔e = vt t
Equação simplificada da velocidade de um móvel V= velocidade; e = espaço percorrido; t = tempo
Fim
Bom trabalho
Professor: Nelson Escalda