Teorema de Pitágoras

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Teorema de Pitรกgoras


Índice 1. Teorema de Pitágoras; 2. Determinação da hipotenusa; 3. Determinação do cateto; 4. Aplicações do teorema de Pitágoras; 5. Diagonal de um paralelepípedo e de um cone; 6. Teorema de Pitágoras e áreas; 7. Teorema de Pitágoras e área de um trapézio; 8. Decomposição de figuras e áreas; 9. Triângulos semelhantes; 10.Critérios de semelhança de triângulos; 11. Relação entre perímetros e áreas de triângulos semelhantes; 12.Semelhança de triângulos e Teorema de Pitágoras


Teorema de Pitágoras • Cálculo de áreas

A área do quadrado maior é igual áreas dos outros dois quadrados


Teorema de Pitágoras • Um teorema é uma afirmação que para ser aceite tem que ser demonstrada Hipotenusa Cateto

Cateto

Num triângulo rectângulo a hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos h2 = c2 +c2


Demonstração

Temos dois quadrados iguais de lado a+b. Todos os triângulos rectângulos marcados em ambos os quadrados são iguais (a e b são os seus catetos e c a hipotenusa). O primeiro quadrado é formado por quatro triângulos e por um quadrado de lado c, pelo que a sua área é c2 + 4(ab/2) = c2 + 2ab. O segundo quadrado é formado por dois quadrados de lados a e b e por quatro triângulos. Logo, a sua área é dada por a2 + b2 + 4(ab/2) = a2 + b2 + 2ab. Igualando ambas as expressões, temos c2 + 2ab = a2 + b2 + 2ab ou seja, a2

+ b2 = c2.


Determinação da hipotenusa • Como calcular a hipotenusa conhecendo o comprimento dos catetos?

c ?

b

2

2

2

c =a +b ⇔ 2

a

⇔c=± a +b

2

Nota: rejeita-se a solução negativa porque estamos a trabalhar com comprimentos


Aplicações do teorema de Pitágoras • Como verificar se um triângulo é triângulo rectângulo?

2

8cm

5cm

3cm

2

2

5 +3 =8 25 + 9 = 64 34 = 64

Falso, logo o triângulo não é rectângulo


Aplicações do teorema de Pitágoras • Qual o comprimento de uma diagonal de um quadrado de lado 5cm?

x 2 = 52 + 52 ⇔ 5cm

x

⇔ x 2 = 25 + 25 ⇔ ⇔ x 2 = 50 ⇔

5cm

⇔ x = ± 50 ⇔ ⇔ x = 7.07cm Valor aproximado a 2c.d

Valor exacto


Determinação de um cateto • Observa: a

2

2

2

a +b =c ⇔ b c

2

2

2

⇔ a =c −b ⇔ 2

⇔ a = ± c −b

2


Exemplo prático • Qual o desnível da estrada?

x 2 + 102 = 122 ⇔ ⇔ x 2 = 122 − 102 ⇔

x?

12m 10m

⇔ x 2 = 44 ⇔ ⇔ x = ± 44 ⇔ ⇔ x = 6,63m


Exemplo prático • Considera um triângulo equilátero com 6 cm de lado.

6cm

6cm

x 3cm 6cm

Qual é a altura do triângulo?

x 2 + 32 = 62 ⇔ ⇔ x 2 = 62 − 32 ⇔ ⇔ x 2 = 36 − 9 ⇔ ⇔ x 2 = 27 ⇔ ⇔ x = ± 27 ⇔ ⇔ x = 5.20cm


Aplicações do teorema de Pitágoras • Exemplo 1 (manual)

x 2 + 1.22 = 1.52 ⇔ x

⇔ x 2 = 1.52 − 1.22 ⇔ 2

2

⇔ x = 1.5 − 1.2 ⇔ ⇔ x = 0. 9 m

2 × 0,9 + 4 × 0.1 + 2 × 1.2 + 1.5 = 6.1m


Aplicações do teorema de Pitágoras • Exemplo 2 (manual)

3cm 4cm

P = 12 + 5 + 15 + 4 = 36cm


Resolução de problemas usando o teorema de Pitágoras • Diagonal de um paralelepípedo

x 2 = 82 + 32 ⇔ 2

⇔ x = 73 ⇔ 5cm

D?

x 8cm

3cm

⇔ x = 73 2

2

D = 73 + 52 ⇔ ⇔ D 2 = 73 + 25 ⇔ ⇔ D 2 = 98 ⇔ ⇔ D = 98 = 9.9cm


Resolução de problemas usando o teorema de Pitágoras • Diagonal de um paralelepípedo

D?

D 2 = 82 + 32 + 52 ⇔ 5cm 3cm

8cm

⇔ D 2 = 98 ⇔ ⇔ D = 98 ⇔ ⇔ D = 9.9cm


Resolução de problemas usando o teorema de Pitágoras • Volume de um cone recto Para calcular o volume temos de calcular o raio

10cm

8cm r

1 V = Ab × h 3

r 2 = 102 − 82 r 2 = 36

Área da base

Altura

1 V = × Π × 62 × 10 3

r = 36 = 6cm V = 1130.98cm3


Cálculo de áreas • determina a área do triângulo 1º determina-se a altura do triângulo 10cm

10cm h 16cm

8cm

2º determinar a área do triângulo

h 2 = 102 − 82 ⇔ ⇔ h 2 = 36 ⇔ ⇔ h = ± 36 ⇔ ⇔h=6

base × altura A= 2 16 × 6 A= = 48m 2 2


Cálculo de áreas • determina a área do triângulo isósceles 1º determina-se a altura do triângulo

h 2 = 52 − 32 ⇔ 5cm

⇔ h 2 = 16 ⇔

h

3cm

5cm

2º determinar a área do triângulo

⇔ h = ± 16 ⇔ ⇔h=4

8× 4 A= = 16cm2 2


Cรกlculo de รกreas โ ข determina a รกrea da figura


Teorema de Pitágoras e área de um trapézio • Observa a figura e determina a sua área 3cm

13cm

3cm 5cm

5cm 7cm 13-7=6 6:2=3cm

x 2 + 32 = 5 2 x 2 = 5 2 − 32 x 2 = 16 x = ± 16 x = 4cm

1º PASSO – decompor a figuras em 2 triângulos e num rectângulo 2º PASSO – determinar a altura dos 2 triângulos 3º PASSO – calcular as áreas

A

 3×4 3×4  trapézio = + + 7×4  2  2  2

A = 40cm


Teorema de Pitágoras e área de um trapézio • Observa a figura e determina a sua área 3cm

13cm

3cm 5cm

5cm 7cm 13-7=6 6:2=3cm

x 2 + 32 = 52 x 2 = 52 − 32 x 2 = 16 x = ± 16 x = 4cm

1º PASSO – determinar a altura do trapézio 2º PASSO – calcular a área aplicando a fórmula

Área do trapézio

B+b A= ×h 2

Base grande

Base pequena

13 + 7 A= × 4 = 40cm2 2


Decomposição de figuras A = A1 + A2

• Área de um terreno:

7 × 24 A1 = = 84m 2 2

D A

2

2

BD = 7 + 24 2

BD = 625 BD = ± 625 BD = 25m

A1

A2

15 × 20 A2 = = 150m 2 2

C

2

2

BC + 20 = 25

2 B

2

2

BC = 252 − 202 2

BC = 225 BC = ± 225 BC = 15m

A = 150 + 84 = 234m 2


Casos de semelhanças de um triângulo 2. Dois triângulos são semelhantes se têm dois ângulos iguais

a

b

a

b


Casos de semelhanças de um triângulo 1.

Dois triângulos são semelhantes se têm os três lados proporcionais C

AB AC BC = = DE DF EF

F

A

B

D

E


Casos de semelhanças de um triângulo 3. Dois triângulos são semelhantes se têm

um ângulo igual e os lados proporcionais C

AB AC = DE DF

F

a A

a B

D

E


Problemas resolvidos • Observa a figura. Qual a largura do rio? 1º Passo – Verificar se os triângulos são semelhantes Critério aplicado - dois ângulos iguais nos dois triângulo: Ângulos verticalmente opostos

CBˆ A = CPˆ B = 90 º

ACˆ B = PCˆ J

2º Passo – Aplicar as proporções

20 5 x = ⇔ 3 x = 20 ⇔ x = = 6,7(1c.d .) 3 3 4

R: a largura do rio é aproximadamente 6,7 metros


Problemas resolvidos

• Qual o diâmetro do lago? M e N são os pontos médios dos respectivos segmentos 1º Passo – Verificar se os triângulos são semelhantes Critério aplicado - dois lados proporcionais e o ângulo por eles formado igual:

Ângulo igual e os lados que formam este ângulo são proporcionais

CBˆ A = NBˆ A BC = 2 × NB AB = 2 × MB 2º Passo – Aplicar as proporções

AC 15 = ⇔ 7,5 AC = 75 ⇔ AC = 10 5 7,5 R: O LAGO TEM 10 METROS DE DIÂMETRO


Razão de semelhança • Observa os seguinte triângulos 3

A 4

5

6

10 B

15 9

C

8

Qual a relação entre o triângulo A e o B?

12

Qual a relação entre o triângulo A e o C?

Facilmente se concluí que os comprimentos do triângulo B foram multiplicados por 2 e os do triângulo C foram multiplicados por 3. O que acontece à relação entre os perímetros?

PB 24 = =2=r PA 12

PC 36 = =3=r PA 12

A razão entre os perímetros é de A e B é r


Razão de semelhança • Observa os seguinte triângulos

3

A

5

6

10 B

4

9

C

8

Qual a relação entre as áreas dos triângulo A e o B?

AA =

15

3× 4 = 6cm2 2

AB =

12

Qual a relação entre as áreas triângulo A e o C?

6×8 = 24cm2 2

AB 24 = = 4 = r2 AA 6

AC =

12 × 9 = 54cm2 2

AC 54 = = 9 = r2 AA 6

A razão entre os Áreas é de A e B é r2


• Um problema dois processos para resolver. O triângulo A é rectângulo? e o triângulo B? 1,5cm

2cm

A

4,5cm

B

6cm

2,5cm 7,5cm

2.52 = 22 + 1,52

Conclusão, triângulo A é rectângulo.

6.25 = 6.25

E o triângulo B? será rectângulo? Aplicar novamente o teorema de Pitágoras

2

2

7.5 = 6 + 4,5 56.25 = 56.25

2 Conclusão

Utilizar um critério de semelhança (L.L.L)

O triângulo B é rectângulo

7.5 6 4.5 = = 2.5 2 1.5 3=3=3


Teorema de Pitรกgoras

FIM


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