Teorema de Pitágoras by nescalda escalda

Teorema de Pitรกgoras

Índice 1. Teorema de Pitágoras; 2. Determinação da hipotenusa; 3. Determinação do cateto; 4. Aplicações do teorema de Pitágoras; 5. Diagonal de um paralelepípedo e de um cone; 6. Teorema de Pitágoras e áreas; 7. Teorema de Pitágoras e área de um trapézio; 8. Decomposição de figuras e áreas; 9. Triângulos semelhantes; 10.Critérios de semelhança de triângulos; 11. Relação entre perímetros e áreas de triângulos semelhantes; 12.Semelhança de triângulos e Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras • Cálculo de áreas

A área do quadrado maior é igual áreas dos outros dois quadrados

Teorema de Pitágoras • Um teorema é uma afirmação que para ser aceite tem que ser demonstrada Hipotenusa Cateto

Cateto

Num triângulo rectângulo a hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos h2 = c2 +c2

Demonstração

Temos dois quadrados iguais de lado a+b. Todos os triângulos rectângulos marcados em ambos os quadrados são iguais (a e b são os seus catetos e c a hipotenusa). O primeiro quadrado é formado por quatro triângulos e por um quadrado de lado c, pelo que a sua área é c2 + 4(ab/2) = c2 + 2ab. O segundo quadrado é formado por dois quadrados de lados a e b e por quatro triângulos. Logo, a sua área é dada por a2 + b2 + 4(ab/2) = a2 + b2 + 2ab. Igualando ambas as expressões, temos c2 + 2ab = a2 + b2 + 2ab ou seja, a2

+ b2 = c2.

Determinação da hipotenusa • Como calcular a hipotenusa conhecendo o comprimento dos catetos?

c ?

c =a +b ⇔ 2

⇔c=± a +b

Nota: rejeita-se a solução negativa porque estamos a trabalhar com comprimentos

Aplicações do teorema de Pitágoras • Como verificar se um triângulo é triângulo rectângulo?

8cm

5cm

3cm

5 +3 =8 25 + 9 = 64 34 = 64

Falso, logo o triângulo não é rectângulo

Aplicações do teorema de Pitágoras • Qual o comprimento de uma diagonal de um quadrado de lado 5cm?

x 2 = 52 + 52 ⇔ 5cm

⇔ x 2 = 25 + 25 ⇔ ⇔ x 2 = 50 ⇔

5cm

⇔ x = ± 50 ⇔ ⇔ x = 7.07cm Valor aproximado a 2c.d

Valor exacto

Determinação de um cateto • Observa: a

a +b =c ⇔ b c

⇔ a =c −b ⇔ 2

⇔ a = ± c −b

Exemplo prático • Qual o desnível da estrada?

x 2 + 102 = 122 ⇔ ⇔ x 2 = 122 − 102 ⇔

12m 10m

⇔ x 2 = 44 ⇔ ⇔ x = ± 44 ⇔ ⇔ x = 6,63m

Exemplo prático • Considera um triângulo equilátero com 6 cm de lado.

6cm

x 3cm 6cm

Qual é a altura do triângulo?

x 2 + 32 = 62 ⇔ ⇔ x 2 = 62 − 32 ⇔ ⇔ x 2 = 36 − 9 ⇔ ⇔ x 2 = 27 ⇔ ⇔ x = ± 27 ⇔ ⇔ x = 5.20cm

Aplicações do teorema de Pitágoras • Exemplo 1 (manual)

x 2 + 1.22 = 1.52 ⇔ x

⇔ x 2 = 1.52 − 1.22 ⇔ 2

⇔ x = 1.5 − 1.2 ⇔ ⇔ x = 0. 9 m

2 × 0,9 + 4 × 0.1 + 2 × 1.2 + 1.5 = 6.1m

Aplicações do teorema de Pitágoras • Exemplo 2 (manual)

3cm 4cm

P = 12 + 5 + 15 + 4 = 36cm

Resolução de problemas usando o teorema de Pitágoras • Diagonal de um paralelepípedo

x 2 = 82 + 32 ⇔ 2

⇔ x = 73 ⇔ 5cm

x 8cm

3cm

⇔ x = 73 2

D = 73 + 52 ⇔ ⇔ D 2 = 73 + 25 ⇔ ⇔ D 2 = 98 ⇔ ⇔ D = 98 = 9.9cm

Resolução de problemas usando o teorema de Pitágoras • Diagonal de um paralelepípedo

D 2 = 82 + 32 + 52 ⇔ 5cm 3cm

8cm

⇔ D 2 = 98 ⇔ ⇔ D = 98 ⇔ ⇔ D = 9.9cm

Resolução de problemas usando o teorema de Pitágoras • Volume de um cone recto Para calcular o volume temos de calcular o raio

10cm

8cm r

1 V = Ab × h 3

r 2 = 102 − 82 r 2 = 36

Área da base

Altura

1 V = × Π × 62 × 10 3

r = 36 = 6cm V = 1130.98cm3

Cálculo de áreas • determina a área do triângulo 1º determina-se a altura do triângulo 10cm

10cm h 16cm

8cm

2º determinar a área do triângulo

h 2 = 102 − 82 ⇔ ⇔ h 2 = 36 ⇔ ⇔ h = ± 36 ⇔ ⇔h=6

base × altura A= 2 16 × 6 A= = 48m 2 2

Cálculo de áreas • determina a área do triângulo isósceles 1º determina-se a altura do triângulo

h 2 = 52 − 32 ⇔ 5cm

⇔ h 2 = 16 ⇔

3cm

5cm

2º determinar a área do triângulo

⇔ h = ± 16 ⇔ ⇔h=4

8× 4 A= = 16cm2 2

Cรกlculo de รกreas โ ข determina a รกrea da figura

Teorema de Pitágoras e área de um trapézio • Observa a figura e determina a sua área 3cm

13cm

3cm 5cm

5cm 7cm 13-7=6 6:2=3cm

x 2 + 32 = 5 2 x 2 = 5 2 − 32 x 2 = 16 x = ± 16 x = 4cm

1º PASSO – decompor a figuras em 2 triângulos e num rectângulo 2º PASSO – determinar a altura dos 2 triângulos 3º PASSO – calcular as áreas

 3×4 3×4  trapézio = + + 7×4  2  2  2

A = 40cm

Teorema de Pitágoras e área de um trapézio • Observa a figura e determina a sua área 3cm

13cm

3cm 5cm

5cm 7cm 13-7=6 6:2=3cm

x 2 + 32 = 52 x 2 = 52 − 32 x 2 = 16 x = ± 16 x = 4cm

1º PASSO – determinar a altura do trapézio 2º PASSO – calcular a área aplicando a fórmula

Área do trapézio

B+b A= ×h 2

Base grande

Base pequena

13 + 7 A= × 4 = 40cm2 2

Decomposição de figuras A = A1 + A2

• Área de um terreno:

7 × 24 A1 = = 84m 2 2

D A

BD = 7 + 24 2

BD = 625 BD = ± 625 BD = 25m

15 × 20 A2 = = 150m 2 2

BC + 20 = 25

2 B

BC = 252 − 202 2

BC = 225 BC = ± 225 BC = 15m

A = 150 + 84 = 234m 2

Casos de semelhanças de um triângulo 2. Dois triângulos são semelhantes se têm dois ângulos iguais

Casos de semelhanças de um triângulo 1.

Dois triângulos são semelhantes se têm os três lados proporcionais C

AB AC BC = = DE DF EF

Casos de semelhanças de um triângulo 3. Dois triângulos são semelhantes se têm

um ângulo igual e os lados proporcionais C

AB AC = DE DF

a A

a B

Problemas resolvidos • Observa a figura. Qual a largura do rio? 1º Passo – Verificar se os triângulos são semelhantes Critério aplicado - dois ângulos iguais nos dois triângulo: Ângulos verticalmente opostos

CBˆ A = CPˆ B = 90 º

ACˆ B = PCˆ J

2º Passo – Aplicar as proporções

20 5 x = ⇔ 3 x = 20 ⇔ x = = 6,7(1c.d .) 3 3 4

R: a largura do rio é aproximadamente 6,7 metros

Problemas resolvidos

• Qual o diâmetro do lago? M e N são os pontos médios dos respectivos segmentos 1º Passo – Verificar se os triângulos são semelhantes Critério aplicado - dois lados proporcionais e o ângulo por eles formado igual:

Ângulo igual e os lados que formam este ângulo são proporcionais

CBˆ A = NBˆ A BC = 2 × NB AB = 2 × MB 2º Passo – Aplicar as proporções

AC 15 = ⇔ 7,5 AC = 75 ⇔ AC = 10 5 7,5 R: O LAGO TEM 10 METROS DE DIÂMETRO

Razão de semelhança • Observa os seguinte triângulos 3

A 4

10 B

15 9

Qual a relação entre o triângulo A e o B?

Qual a relação entre o triângulo A e o C?

Facilmente se concluí que os comprimentos do triângulo B foram multiplicados por 2 e os do triângulo C foram multiplicados por 3. O que acontece à relação entre os perímetros?

PB 24 = =2=r PA 12

PC 36 = =3=r PA 12

A razão entre os perímetros é de A e B é r

Razão de semelhança • Observa os seguinte triângulos

10 B

Qual a relação entre as áreas dos triângulo A e o B?

AA =

3× 4 = 6cm2 2

AB =

Qual a relação entre as áreas triângulo A e o C?

6×8 = 24cm2 2

AB 24 = = 4 = r2 AA 6

AC =

12 × 9 = 54cm2 2

AC 54 = = 9 = r2 AA 6

A razão entre os Áreas é de A e B é r2

• Um problema dois processos para resolver. O triângulo A é rectângulo? e o triângulo B? 1,5cm

2cm

4,5cm

6cm

2,5cm 7,5cm

2.52 = 22 + 1,52

Conclusão, triângulo A é rectângulo.

6.25 = 6.25

E o triângulo B? será rectângulo? Aplicar novamente o teorema de Pitágoras

7.5 = 6 + 4,5 56.25 = 56.25

2 Conclusão

Utilizar um critério de semelhança (L.L.L)

O triângulo B é rectângulo

7.5 6 4.5 = = 2.5 2 1.5 3=3=3

Teorema de Pitรกgoras

FIM