PROPOSICIONES LĂ“GICAS.
DisyunciĂłn
a. Proposiciones simples o atĂłmicas Es una proposiciĂłn que no contiene ningĂşn conectivo lĂłgico. Ejemplos: i. 6 es un nĂşmero par. ii. 2 + 5 = 7 iii. iv.
Condicional material
Bicondicional Tablas de verdad
Son elementos que sirven de enlace entre las proposiciones, para formar otra, denominada proposiciĂłn molecular. Ejemplos: 2 es mayor -2 o -2 es mayor a -4 3 es impar y 6 es un nĂşmero impar
NegaciĂłn
ConjunciĂłn
no y
Ejemplo No estĂĄ lloviendo.
EstĂĄ lloviendo y estĂĄ nublado.
si y sĂłlo si
Si estĂĄ soleado, entonces es de dĂa. EstĂĄ nublado si y sĂłlo si hay nubes visibles.
∨
→
↔ Pågina
Sus valores pueden ser V (verdadero) o F (falso), 1 (encendido) o 0 (apagado), para saber cuĂĄntas filas deben utilizarse se aplica la formula đ?&#x;?đ?’? donde “đ?&#x;?â€? representa los dos posibles valores que puede tomar y “đ?’?â€? es el nĂşmero de proposiciones de la formula.
CONECTIVOS LĂ“GICOS.
Conectivo
si... entonces
EstĂĄ lloviendo o estĂĄ soleado.
Son un instrumento empleado en la lĂłgica proposicional, para indicar las diferentes interpretaciones de una fĂłrmula y el resultado de las mismas. Representan de manera grĂĄfica todas las posibles combinaciones de los valores de verdad que se formen de las proposiciones.
b. Proposiciones compuestas o moleculares Es una proposiciĂłn que contiene al menos un conectivo lĂłgico. Ejemplos: i. 6 es un nĂşmero par y 3 es un nĂşmero impar. ii. 2 + 5 = 7 o 3 + 4 = 7 iii. iv.
ExpresiĂłn en el lenguaje natural
o
Ejemplo:
SĂmbolo ~ ∧
1
DefiniciĂłn 1. Sea đ?‘? una proposiciĂłn. La negaciĂłn de đ?‘?, denotada por ~đ?‘?, es la proposiciĂłn “No es el caso que đ?‘?â€?. La proposiciĂłn ~đ?‘? se lee: “no đ?‘?â€?. El valor verdad de la negaciĂłn de đ?‘?, ~đ?‘?, es el opuesto del valor de verdad de đ?‘?. Ejemplo 1.- Hallar la negaciĂłn de la proposiciĂłn “Dos es un nĂşmero parâ€?. SoluciĂłn
Ejemplo 2.- Hallar la negaciĂłn de la proposiciĂłn “Hoy es Lunesâ€?. SoluciĂłn Ejemplo 3.- Hallar la negaciĂłn de la proposiciĂłn “Dos no es un nĂşmero imparâ€?. SoluciĂłn Ejemplo 4.- Hallar la negaciĂłn de la proposiciĂłn ““Hoy no es unesâ€?. SoluciĂłn
Tabla de verdad para la negaciĂłn de una proposiciĂłn đ?’‘ ~đ?’‘ V F
F V
LA CONJUNCIĂ“N DefiniciĂłn 2. Sean đ?‘? đ?‘Ś đ?‘ž proposiciones. La conjunciĂłn de đ?‘? đ?‘Ś đ?‘ž , denotado por đ?‘? ∧ đ?‘ž, es la proposiciĂłn “đ?‘? đ?‘Ś đ?‘žâ€?. Ejemplo 1.- Sean las proposiciones: đ?‘? = đ?‘‘đ?‘œđ?‘ đ?‘’đ?‘ đ?‘˘đ?‘› đ?‘›Ăşđ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;, đ?‘ž = 6 đ?‘’đ?‘ đ?‘˘đ?‘› đ?‘›Ăşđ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘–đ?‘šđ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x; A partir de estas proposiciones simples obtenemos la nueva proposiciĂłn uniĂŠndolas mediante la conjunciĂłn “ đ?‘Ś â€?. đ?‘&#x; = đ?‘‘đ?‘œđ?‘ đ?‘’đ?‘ đ?‘˘đ?‘› đ?‘›Ăşđ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ś 6 đ?‘’đ?‘ đ?‘˘đ?‘› đ?‘›Ăşđ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘–đ?‘šđ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;
Podemos observar que đ?‘Ł(đ?‘?) = đ?‘‰ y đ?‘Ł(đ?‘ž) = đ??š, đ?‘Ł(đ?‘&#x;) = đ??š ya que la conjunciĂłn đ?‘Ś exige el cumplimiento de ambas componentes, sin excepciĂłn. En consecuencia la regla prĂĄctica para la conjunciĂłn es:
La proposiciĂłn conjuntiva es verdadera Ăşnicamente cuando las dos proposiciones simples đ?‘? y đ?‘ž son verdaderas, en cualquier otro caso es falsa. Esta caracterĂstica es vĂĄlida para toda conjunciĂłn “y“ se puede resumir en la siguiente tabla de verdad. đ?’‘ đ?’’ đ?’‘∧đ?’’ đ?‘‰ đ?‘‰ đ?‘‰ đ?‘‰ đ??š đ??š đ??š đ?‘‰ đ??š đ??š đ??š đ??š Ejemplo 2.- Determinar el valor de verdad de la proposiciĂłn: đ?‘&#x; = "2 + 3 + 5 = 11 đ?‘Ś 4 + 8 > 11". SoluciĂłn
PĂĄgina
2
Ejemplo 3.- Determinar el valor de verdad de la proposiciĂłn: đ?‘&#x; = "7 đ?‘’đ?‘ nuĚ mero đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘Ś đ?‘›đ?‘œ đ?‘’đ?‘ đ?‘šđ?‘Žđ?‘Śđ?‘œđ?‘&#x; đ?‘žđ?‘˘đ?‘’ 5". SoluciĂłn
Ejemplo 4.- Determinar el valor de verdad de la proposiciĂłn: đ?‘&#x; = "15 đ?‘’đ?‘ đ?‘šđ?‘˘đ?‘™đ?‘Ąđ?‘–đ?‘?đ?‘™đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’ 3, đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ 5 đ?‘›đ?‘œ đ?‘’đ?‘ đ?‘šđ?‘Žđ?‘Śđ?‘œđ?‘&#x; đ?‘žđ?‘˘đ?‘’ 7 ". SoluciĂłn Ejemplo 5.- Determinar el valor de verdad de la proposiciĂłn: đ?‘&#x; = "15 đ?‘’đ?‘ đ?‘šđ?‘˘đ?‘™đ?‘Ąđ?‘–đ?‘?đ?‘™đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’ 3, đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ 5 đ?‘›đ?‘œ đ?‘’đ?‘ đ?‘šđ?‘Žđ?‘Śđ?‘œđ?‘&#x; đ?‘žđ?‘˘đ?‘’ 7 ". SoluciĂłn NOTA. Hay palabras como “peroâ€?, “a la vezâ€?, “sin embargoâ€?, “ademĂĄsâ€?, “aunqueâ€?, “no obstanteâ€?, etc. que tambiĂŠn unen proposiciones conjuntivamente y se pueden simbolizar por el conectivo ∧. LA DISYUNCIĂ“N DefiniciĂłn 3. Sean đ?‘? đ?‘Ś đ?‘ž proposiciones. La disyunciĂłn de đ?‘? đ?‘Ś đ?‘ž , denotado por đ?‘? ∨ đ?‘ž, es la proposiciĂłn “đ?‘? đ?‘œ đ?‘žâ€?. Ejemplo 1 Sean las proposiciones: đ?‘? = đ??żđ?‘˘đ?‘–đ?‘ đ?‘’đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘–đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ, đ?‘ž = đ??żđ?‘˘đ?‘–đ?‘ đ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘“đ?‘’đ?‘ đ?‘œđ?‘&#x; A partir de estas proposiciones simples obtenemos la nueva proposiciĂłn uniĂŠndolas mediante la disyunciĂłn “ đ?‘œ â€?. đ?‘&#x; = đ??żđ?‘˘đ?‘–đ?‘ đ?‘’đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘–đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘œ đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘“đ?‘’đ?‘ đ?‘œđ?‘&#x;
En consecuencia la regla prĂĄctica para la conjunciĂłn es:
La disyunciĂłn (inclusiva) de dos proposiciones es verdadera si y sĂłlo si por lo menos una de las proposiciones es verdadera, resultando falsa solamente cuando las dos son falsas.
La DisyunciĂłn “o“ se puede resumir en la siguiente tabla de verdad. đ?’‘ đ?‘‰ đ?‘‰ đ??š đ??š
đ?’’ đ?‘‰ đ??š đ?‘‰ đ??š
đ?’‘∨đ?’’ đ?‘‰ đ?‘‰ đ?‘‰ đ??š
Ejemplo 2.- Determinar el valor de verdad de la proposiciĂłn: đ?‘&#x; = "2 + 3 + 5 = 11 đ?‘œ 4 + 8 > 5 + 6". SoluciĂłn Ejemplo 3.- Determinar el valor de verdad de la proposiciĂłn: đ?‘&#x; = "25 đ?‘’đ?‘ nuĚ mero đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘œ đ?‘’đ?‘ đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘œđ?‘&#x; đ?‘žđ?‘˘đ?‘’ 5". SoluciĂłn Ejemplo 4.- Determinar el valor de verdad de la proposiciĂłn: đ?‘&#x; = "15 đ?‘’đ?‘ đ?‘šđ?‘˘đ?‘™đ?‘Ąđ?‘–đ?‘?đ?‘™đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’ 5 đ?‘œ 5 đ?‘›đ?‘œ đ?‘’đ?‘ đ?‘šđ?‘Žđ?‘Śđ?‘œđ?‘&#x; đ?‘žđ?‘˘đ?‘’ 7 ". SoluciĂłn
PĂĄgina
3
“ đ?’‘ es suficiente para đ?’’â€? Ejemplo 5.- Determinar el valor de verdad de la proposiciĂłn: đ?‘&#x; = "3 + 5 = 8 đ?‘œ 5 − 3 = 4 ". SoluciĂłn Ejemplo 6.- Determinar el valor de verdad de la proposiciĂłn: đ?‘&#x; = "3 + 8 = 11 đ?‘œ 7 − 4 > 1 ". SoluciĂłn
PROPOSICIĂ“N CONDICIONAL DefiniciĂłn 4. Sean đ?‘? đ?‘Ś đ?‘ž proposiciones. La proposiciĂłn condicional đ?‘? → đ?‘ž es la proposiciĂłn “si đ?‘?, entonces đ?‘žâ€?. La proposiciĂłn condicional đ?‘? → đ?‘ž es falso cuando đ?‘? es verdadero y đ?‘ž es falso, y verdadero en cualquier otro caso. En la proposiciĂłn condicional đ?‘? → đ?‘ž, đ?‘? se llama hipĂłtesis (o antecedente o premisa), y đ?‘ž se llama conclusiĂłn (o consecuencia).
Puesto que las proposiciones condicionales desempeĂąan un rol esencial en el razonamiento matemĂĄtico, una variedad de terminologĂa se usa para expresar đ?‘? → đ?‘ž. Por ejemplo: “Si đ?’‘, entonces đ?’’â€? “Si đ?’‘, đ?’’â€?
“đ?’‘ implica đ?’’â€?
“đ?’‘ solamente si đ?’’â€?
“đ?’’ simepre que đ?’‘â€?
“Una condiciĂłn suficiente para đ?’’ es đ?’‘â€? “đ?’’ si đ?’‘â€?
“đ?’’ cuando đ?’‘â€?
“đ?’’ es necesario para đ?’‘â€?
“Una condiciĂłn necesaria para đ?’‘ es đ?’’â€? “đ?’’ a menos que đ?’‘â€?
PĂĄgina
Tabla de verdad para la proposiciĂłn condicional
đ?‘? V V F F
đ?‘ž V F V F
đ?‘?→đ?‘ž V F V V
Por ejemplo, cuando decimos:
Mi automĂłvil funciona, si hay gasolina en el tanque.
Este enunciado es equivalente a expresarlo de las siguientes maneras: a) Si hay gasolina en el tanque, entonces mi automĂłvil funciona. Observa que en este caso la proposiciĂłn condicional es del caso: “Si p, entonces qâ€?. b) Mi automĂłvil sĂłlo funciona si hay gasolina en el tanque. En este caso la proposiciĂłn condicional es del caso: “p solamente si qâ€?. c)
d)
4