Ejercicios de aplicación

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USO DE COMPUERTAS LĂ“GICAS PARA REPRESENTAR FĂ“RMULAS PROPOSICIONALES. A nivel de hardware bĂĄsico, la memoria del ordenador tiene dos estados, que son identificados como los dos valores lĂłgicos o valores booleanos de T y F. Las operaciones del ordenador son considerados como operaciones compuestas sobre estos valores booleanos y, por tanto, como las operaciones de la lĂłgica proposicional. Dispositivos fĂ­sicos especiales, llamados compuertas, implementan las operaciones ∧ ,∨ y ~. Un conjunto de compuertas para representar un circuito se denomina circuito combinatorio o red combinatoria. Piense en una compuerta como la representaciĂłn de una operaciĂłn y en los cables que van en las puertas como representantes de sus operandos. Por ejemplo, una compuerta ∧ permitirĂĄ el flujo de corriente si y sĂłlo si ambos operandos (es decir, los dos cables que entran) llevan la corriente. NotaciĂłn de estas puertas se muestra en la siguiente figura:

Tipo de RepresentaciĂłn SimbĂłlica Compuerta NOT AND

OR

AcciĂłn

Entrada Salida

đ?‘? V F

Entrada

đ?‘? V V F F

đ?‘ž V F V F

Entrada

đ?‘? V V F F

đ?‘ž V F V F

~đ?‘? F V

Salida

đ?‘?∧đ?‘ž V F F F

Salida

đ?‘?∨đ?‘ž V V V F

EJERCICIOS 1. CuĂĄles de los siguientes enunciados son proposiciones? a. La tierra es plana. b. Toronto es la capital de CanadĂĄ. c. ÂĄQuĂŠ hermoso dĂ­a! d. Pase, por favor. e. -1 es un nĂşmero entero. f. Si đ?œ‹ > 0, entonces calcular √đ?œ‹. g. 1 + 2 + 3 = 5. h. 15 es nĂşmero par. i. QuĂŠ hora es? 2.

PĂĄgina

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Construir una tabla de verdad para cada una de las siguientes proposiciones moleculares, donde đ?‘?, đ?‘ž, đ?‘&#x; son proposiciones simples. a. ~(đ?‘? ∨ ~đ?‘ž) → ~đ?‘? b. đ?‘? → (đ?‘ž → đ?‘&#x;) c. (đ?‘? → đ?‘ž) → đ?‘&#x; d. (đ?‘? → đ?‘ž) → (đ?‘ž → đ?‘?) e. [đ?‘? ∧ (đ?‘? → đ?‘ž)] → đ?‘ž f. [(đ?‘? → đ?‘ž) ∧ (đ?‘ž → đ?‘&#x;)] → (đ?‘? → đ?‘&#x;)

3. CuĂĄles de las proposiciones moleculares del ejercicio anterior es una tautologĂ­a. 4. Verificar que tautologĂ­a.

[đ?‘? → (đ?‘ž → đ?‘&#x;)] → [(đ?‘? → đ?‘ž) → (đ?‘? → đ?‘&#x;)]

5. Verificar que âˆź (âˆź đ?‘?) ↔ đ?‘? es una tautologĂ­a. 6. Verificar que đ?‘? ∧ đ?‘ž ↔ đ?‘ž ∨ đ?‘? no es una tautologĂ­a. 7. Verificar que đ?‘? ∨ đ?‘ž ↔ đ?‘ž ∨ đ?‘? es una tautologĂ­a.

es

una

8. Los operadores lĂłgicos NAND (not and) y NOR (not or) son definidos como: đ?‘? đ???đ??€đ???đ??ƒ đ?‘ž ≥ ~(đ?‘? ∧ đ?‘ž) đ?‘? đ???đ??Žđ??‘ đ?‘ž ≥ ~(đ?‘? ∨ đ?‘ž) Construir una tabla de verdad para cada una de las proposiciones a. đ?‘? đ???đ??€đ???đ??ƒ đ?‘ž b. đ?‘? đ???đ??Žđ??‘ đ?‘ž

9. ÂżCuĂĄntas filas se necesitan para la tabla de verdad de la siguiente (đ?‘? ∨ ~đ?‘ž) ↔ [(~đ?‘&#x; ∨ đ?‘ ) → đ?‘Ą], proposiciĂłn compuesta: donde đ?‘?, đ?‘ž, đ?‘&#x;, đ?‘ y đ?‘Ą son proposiciones simples? 10. Sean đ?‘?1 , đ?‘?2 , đ?‘?3 , ‌ , đ?‘?đ?‘› , đ?‘› proposiciones atĂłmicas. Sea đ?’‘ una proposiciĂłn molecular que estĂĄ compuesta por las đ?‘› proposiciones atĂłmicas anteriores. ÂżCuĂĄntas filas se necesitan para construir la tabla de verdad de đ?’‘ ?

11. Usar una tabla de verdad para verificar las equivalencias lĂłgicas de: a. đ?‘? ∧ đ?‘ž ≥ đ?‘ž ∧ đ?‘?

b. (đ?‘? ∧ đ?‘ž) ∧ đ?‘&#x; ≥ đ?‘? ∧ (đ?‘ž ∧ đ?‘&#x;)

c. đ?‘? ∧ (đ?‘ž ∨ đ?‘&#x;) ≥ (đ?‘? ∧ đ?‘ž) ∨ (đ?‘? ∧ đ?‘&#x;) d. âˆź (đ?‘? ∨ đ?‘ž) â‰Ąâˆź đ?‘? âˆ§âˆź đ?‘ž e. âˆź (đ?‘? ∧ đ?‘ž) â‰Ąâˆź đ?‘? âˆ¨âˆź đ?‘ž f. đ?‘? → đ?‘ž ≥ ~đ?‘? ∨ đ?‘ž

g. đ?‘? → đ?‘ž ≥ ~đ?‘ž → ~đ?‘?

h. đ?‘? â&#x;ˇ đ?‘ž ≥ (đ?‘? → đ?‘ž) ∧ (đ?‘ž → đ?‘?) i.

đ?‘? â&#x;ˇ đ?‘ž ≥ ~đ?‘? â&#x;ˇ ~đ?‘ž

12. Sean đ?‘š y đ?‘› variables enteras. ÂżCuĂĄles son los valores de đ?‘š, đ?‘› despuĂŠs de que cada una de estas declaraciones es ejecutada?. a. đ?‘š = 3 y đ?‘› = 8 if đ?‘› − đ?‘š = 5 then đ?’? ≔ đ?‘› − 2 b. đ?‘š = 3 y đ?‘› = 6 if ďż˝(2 ∗ đ?‘š = đ?‘›) đ?’‚đ?’?đ?’… (đ?‘š + 1 = 4)ďż˝ then đ?’?: = 4 ∗ đ?‘š − 3

PĂĄgina

c. đ?‘š = 3 y đ?‘› = 9 if ďż˝(đ?‘› < 8) đ?’?đ?’“ (đ?‘š − 1 = 4)ďż˝ then đ?’?: = 4 ∗ đ?‘š − 3 else đ?’Ž: = 2 ∗ đ?‘› d. đ?‘š = 18 y đ?‘› = 9

đ?‘š

if ďż˝(đ?‘š < 20) đ?’‚đ?’?đ?’… ( đ?‘› < 3)ďż˝ then đ?’Ž: = đ?‘š − đ?‘› − 5

e. đ?‘š = 4 y đ?‘› = 9

đ?‘š

if ďż˝(đ?‘› = 2 ∗ đ?‘š) đ?’?đ?’“ ( đ?‘› = 2)ďż˝ then đ?’Ž: = đ?‘š + 2

13. Sean đ?‘?(đ?‘Ľ), đ?‘ž(đ?‘Ľ) enunciados abiertos, donde đ?‘?(đ?‘Ľ): đ?‘Ľ ≤ 3 y đ?‘ž(đ?‘Ľ): đ?‘Ľ + 1 đ?‘’đ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;. Si el conjunto donde estĂĄn definidos es enunciados abiertos es el de los nĂşmeros enteros, cuĂĄles son los valores de verdad de las siguientes proposiciones: a. đ?‘ž(1) b. ~đ?‘?(3) c. đ?‘?(7) ∨ đ?‘ž(7) d. đ?‘?(3) ∧ đ?‘ž(4) e. ~(đ?‘?(−4) ∨ đ?‘ž(−3)) f. ~đ?‘?(−4) ∧ ~đ?‘ž(−3)

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14. Sea đ??´ = {1, 2, 3, 4,5}. Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones: a. (∃ đ?‘Ľ ∈ đ??´)/ (đ?‘Ľ + 3 = 10) b. ∃ đ?‘Ľ ∈ đ??´/đ?‘Ľ + 3 < 5 c. (∀ đ?‘Ľ ∈ đ??´) , (đ?‘Ľ + 3 < 10) d. ∀ đ?‘Ľ ∈ đ??´ , đ?‘Ľ + 3 ≤ 7

15. Escribir cada proposiciĂłn simbĂłlicamente, donde đ??´ es el conjunto de los nĂşmeros naturales. a. Para todos los enteros positivos đ?‘›, se tiene que đ?‘› + 2 > 8. b. Existe un nĂşmero entero positivo đ?‘› talque đ?‘› + 2 ≯ 8. c. Existe una persona (en vida) tal que tiene 150 aĂąos de edad. d. Cada persona que vive no es de 150 aĂąos de edad.

Teorema 1. (DeMorgan): . ~ďż˝âˆ€ đ?’™ ∈ đ?‘¨ďż˝ , đ?’‘(đ?’™) ≥ (∃ đ?’™ ∈ đ?‘¨)/~đ?’‘(đ?’™) Teorema 2. (DeMorgan): . ~(∃ đ?’™ ∈ đ?‘¨)/đ?’‘(đ?’™) ≥ ďż˝âˆ€ đ?’™ ∈ đ?‘¨ďż˝ , ~đ?’‘(đ?’™) 16. La negaciĂłn de “Para todos los enteros positivos đ?‘›, se tiene que đ?‘› + 2 > 8â€? es: a. No existe un entero positivo đ?‘› tal que đ?‘› + 2 > 8. b. Existe un nĂşmero entero positivo đ?‘› talque đ?‘› + 2 > 8. c. Existe un nĂşmero entero positivo đ?‘› talque đ?‘› + 2 ≯ 8.

17. La negaciĂłn de “Existe una persona (en vida) que tiene 150 aĂąos de edadâ€?

a. Cada persona que vive tiene mas de 150 aĂąos de edad. b. Cada persona que vive no es de 150 aĂąos de edad. c. Existe una persona (en vida) tal que tiene 150 aĂąos de edad.

18. Negar cada una de las siguientes afirmaciones: a. Todos los estudiantes viven en los dormitorios. b. Algunos estudiantes tienen 25 aĂąos o mĂĄs. c. Todos los estudiantes miden mĂĄs de 1.80 m. e. Existen estudiantes que pesan mĂĄs de 80 kg.

19. Determinar los circuitos lĂłgicos que representan a las siguientes proposiciones moleculares: PĂĄgina a. (~đ?‘? ∨ ~đ?‘ž) ∧ (đ?‘? ∨ đ?‘ž) 19 b. (~đ?‘? ∧ ~đ?‘ž) ∨ (đ?‘? ∧ đ?‘ž) c. (đ?‘? ∨ đ?‘ž) ∧ (đ?‘? ∨ đ?‘&#x;) d. (đ?‘? ∧ đ?‘ž) ∨ (đ?‘? ∧ đ?‘&#x;) 20. Describir simbĂłlicamente el circuito. a.

b.

c.

d.

e.

21. Indicar la salida de los circuitos se muestran a continuación para las señales de entrada dadas.

Señales de entrada: P=F y Q=V

a. Señales de Página entrada: P=1 , Q=0 y 20 R=1

b. f.

22. Describir simbólicamente los siguientes circuitos: a.

b. g.

c.

d. g. e.

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