F O R M U L A R I O
M A T E M Á T I C O
TEORÍA DE CONJUNTOS
i) A = {a, b, c, d}
CONCEPTOS BÁSICOS
ii) = {… ; -3; -2; -1; -0; 1; 2; … }
DEFINICIÓN DE CONJUNTO Se entiende por conjunto a la colección, agrupación o reunión de un todo único de objetos definidos, distinguiles por nuestra percepción o nuestro pensamiento y a los cuales se les llama elementos. Ejemplo: los muebles de una casa. Los muebles son los elementos que forma el conjunto.
b) Por comprensión.- Cuando los elementos del conjunto pueden expresarse por una propiedad común a todos ellos. También se le llama forma simbólica. Ejemplos: i) M = {x/x = vocal } Se lee: “M es el conjunto de las x, donde x es una vocal”.
FORMAS DE EXPRESAR UN CONJUNTO
ii) B = {x e / -2 < x < 3}
a) Por extensión.- Cuando el conjunto indica explícitamente los elementos del conjunto. También se llama forma constructiva.
Se lee: “B es el conjunto de las x que pertenecen a los números enteros, donde x es mayor que -2 pero menor que 3”.
Ejemplos:
P R I N C I PA L E S S Í M B O L O S Símbolo
Lectura
Símbolo
Lectura
∈
… pertenece…
∉
… no pertenece…
existe un … sólo un …
φ
Conjunto vacío
∃ ∃! ∃/
≡
… equivalente…
η
cardinal de…
≠
… diferente…
implica; entonces…
⊂
… está incluido
⇒ ⇔
⊆
… está incluido estrictamente
conjunto de partes de…
⊄
… no está incluido…
potencial del …
∪ ∩
… unión…
P ∧ ∨
… intersección… … tal que …
A’
o…o…
/ ∼
… es coordinable…
… no es coordinable…
Conjunto Universal
∆ ∀
existe…
no existe
… si y sólo si…
…y… …o…
Complemento de A con Respecto al conjunto Universal
<
… es menor que …
>
… es mayor que …
… diferencia simétrica…
≤
… es menor o igual que …
Para todo
≥
… es mayor o igual que …
- 19 -
NOTACIÓN DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS
{
}
5 ; –– 7 ; -8; +3; - –– 6 ;... = ...; –– 8 2 5
: Conjunto de los números naturales
: Conjunto de números irracionales (decimales infinitos no periódicos)
= {0; 1; 2; 3; 4;… }
= ´ = {x/x es número no racional} __ __ __ = …; √30 ; √2 ; √3 ; + e ; π;...
: Conjunto de los números entero = {…; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}
{
+ : Conjunto de los números enteros positivos
: Conjunto de los números reales = {x/x ∈ ∨ x ∈ } __ __ 8 4 5 ;... = …; –– ; - ––– ; √5 ; 3; - –– 3 13 4
- : Conjunto de los números enteros negativos
{
*: Conjunto de los números enteros no nulos : Conjunto de los números racionales (decimales finitos o infinitos periódicos)
{
}
√
}
: Conjunto de los números complejos = { ∧ ~ } __ __ 5 ;... = …; -8; √7 ; 3; 5i; i√3 ; - –– 9
}
a ;a∈ ∧b∈ ∧b≠0 = x/x = –– b
{
}
LA RECTA REAL El conjunto de los números reales está formado por todos los conjuntos numéricos. Todos los números:
y desde cero a - ∞ . A esta recta se le llama “Recta real” o “Recta numérica”.
Naturales, Enteros, Racionales e Irracionales se pueden representar sobre una recta, desde el cero a + ∞
Cualquier número real se puede representar sobre un punto de la Recta Real, porque tiene infinitos puntos.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-∞
+∞ ↑
↑
-π -2,8
↑
__
-√2
↑ 1 - –– 3
↑ 0,5
- 20 -
↑
↑
√3
π
__
F O R M U L A R I O
M A T E M Á T I C O
M = {3} ; Q = {0}
CARACTERÍSTICAS DE LOS CONJUNTOS
X = {y/2y = 4 }
1) PERTENENCIA ∈ Y NO PERTENENCIA “∉”
6) CONJUNTO UNIVERSAL
Sea : A = {a, b, c, d, e }
Es el conjunto que contiene a todos los elementos de otro conjunto.
: B = {a, b, c } : C = {m, n, q, r, s }
= {todas las vocales}
Entonces: B ∈ A, se lee:
A = { e; i ; o }
“B pertenece a A”
Entonces es el conjunto universal de A.
C ∉ A, se lee: “C no pertenece a A”
7) SUBCONJUNTO A = { m; n; p }
2) CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS Finitos:
B = { q; m; n; r; p}
Cuando los elementos del conjunto se puede contar.
Se lee “ A es subconjunto de B” o “A está incluido en B”.
A = {m, n, q, r }; Son 4 elementos.
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
Infinitos:
CONJUNTO DE CONJUNTO O CONJUNTO DE PARTES
Cuando los elementos del conjunto son tantos que no se puede contar. M = {estrellas del firmamento}; son infinitas
Es el conjunto formado por la totalidad de subconjuntos que se puede formar a partir de un conjunto dado. Sea el conjunto:
N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; …; ∞};Infinitos números
M = { m; n; p } 3) CONJUNTOS IGUALES
El conjunto de partes es:
Dos conjuntos son iguales cuando tienen exactamente los mismos elementos aunque no estén en el mismo orden. A = {4; 5; 6; 7; 8} B = {5; 6; 4; 8; 7} Entonces: A = B
(M) = {φ ,{m}, {n}, {p}, {m, n}, {m, p}, {n, p}, {m, n, p}} POTENCIA DE UN CONJUNTO Expresa el número de subconjuntos que se puede formar con los elementos de un conjunto. En otras palabras, es el número de elementos de un conjunto de partes.
4) CONJUNTO VACÍO
P (M) = 2n
Es el conjunto que carece de elementos. A=φ ; A={} ;
N = número de elementos del conjunto M.
A=0
Para el ejemplo anterior: n = 3, luego:
5) CONJUNTO UNITARIO Es el conjunto que tiene un solo elemento.
P (M) = 23 = 8
- 21 -
Sean: A = { 1; 2; 3; 4; 5 }
DIAGRAMAS DE VENN
B = { 1; 3; 5; 7 }
Son gráficos, generalmente círculos, que sirven para encerrar y representar conjuntos: A
B 4 .a
1
.b
3 5
2
.c
A
A = {a, b, c} Conjunto A
A⊂B “A está incluído en B”
7
A ∩ B = { 1; 3; 5 } Se lee: “A intersección B”. La intersección de varios conjuntos:
A⊄B “A no está incluido en B”
Sean: A = { 1; 2; 3; 4; 5 } B = { 1; 2; 4; 7}
OPERACIONES CON CONJUNTOS C = { 4; 5; 9; 10 } 1) UNIÓN DE CONJUNTOS
La unión de dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por todos los elementos de los conjuntos A y B.
A 2 1
Sean: A = { a, b, c }
3
B = { c, d, e, f }
7
B
4 5 10
A
9
B a b
c d e
C f A ∩ B ∩ C = {4} Se lee “A intersección B intersección C”. 3) DIFERENCIA DE CONJUNTOS
A ∪ B = { a, b, c, d, f }
La diferencia de dos conjuntos, A menos B, es el conjunto formado por elementos de A que no pertenezcan a B.
Se lee: “A unión B”. 2) INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS La intersección de los conjuntos A y B, es el conjunto que contiene elementos comunes a los conjuntos A y B.
- 22 -
Sean:
A = { a, b, c, d, e } B = { d, e, f, g, h }
F O R M U L A R I O
M A T E M Á T I C O
A
A
B
B
b
6
a
f
d e c
5
2 8
g
7
4 10
h
9
A ∆ B = { 5; 6; 7; 8; 9; 10 }
A - B = { a, b, c } Se lee: “El conjunto A menos el conjunto B, es el conjunto a, b, c”. 4) COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO Sean los conjuntos A y universal . El complemento del conjunto A es la parte del conjunto universal que no pertenece al conjunto A.
Se lee: “A diferencia simétrica B”
PRODUCTO CARTESIANO DE DOS CONJUNTOS Dados dos conjuntos A y B, se llama producto cartesiano A . B, al conjunto de “pares ordenados” formados por todos los elementos de A, como primeros componentes, asociados a todos los elementos de B como segundos elementos.
Sean:
Sean: A = { vocales }
A = { a, b }
= { el alfabeto }
M = { m, n, p } A.M (a, m) A
A’
M a b
A
.
m n p
(a, n) (a, p) (b, m) (b, n) (b, p)
=
A . M = { (a, m), (a, n), (a, p),
A’ = - A = { las consonantes }
(b, m), (b, n), (b, p)} Se lee: “A’ es el complemento de A”.
Simbólicamente: A . M = {(x, y)/x ∈ A ∧ y ∈ M}
5) DIFERENCIA SIMÉTRICA Es el conjunto formado por la parte no común de dos conjuntos. A = { 2; 4; 6; 8; 10 }
Nota: A . M ≠ M . A (no es conmutativo)
RELACIONES DEFINICIÓN
B = { 2; 4; 5; 7; 9 } A ∆ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)
Relación es un subconjunto de pares ordenados de dos conjuntos A y B que obedecen a una proposición establecida.
- 23 -