Vicerrectoría Académica Proyecto P.A.V. Plataforma de Aprendizaje Virtual
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MÓDULO VIRTUAL GEOMETRÍA EUCLIDIANA
ALFONSO JAIMES
VICERRECTORÍA ACADÉMICA PROYECTO P.A.V. PLATAFORMA DE APRENDIZAJE VIRTUAL
TECNOLÓGICO DE ANTIOQUIA INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA MEDELLÍN 2008
Realización
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Vicerrector Académico John Harvey Garavito Londoño Docente (Autor) Alfonso Jaimes Equipo Técnico P.A.V. Nubia Amparo Giraldo García Jhonatan Arroyave Jaramillo Giselle Andrea Tamayo Mármol
Tecnológico de Antioquia Institución Universitaria Plataforma de Aprendizaje Virtual Proyecto P.A.V. 2008
Unidad 1
Generalidades La geometría es una de las ciencias más antiguas de las que se conocen; se basa en “verdades – axiomas” que se aceptan sin demostración alguna, en postulados teoremas, para llegar al estudio de propiedades y relaciones que hay en “figuras y cuerpos geométricos”. Su conocimiento y estudio es imprescindible para la humanidad entera. • Geometría • Geometría plana • Geometrías no euclideas • Axiomas • Postulados • Teoremas • Corolario
1. Antecedentes Históricos 1.1. Antecedentes Históricos
Los primeros antecedentes históricos geométricos o se conocen datos de diferentes civilizaciones, tan antiguas como el mismo hombre, todas estas fueron aportando reglas que más tarde consolidaron a la geometría como una ciencia. Los babilonios aportaron estudios sobre la circunferencia, fueron los creadores del sistema sexagesimal, conocían como hallar el área de un trapecio rectángulo. Los egipcios tenían grandes conocimientos geométricos y los utilizaron para: la parcelación de las tierras de cultivo, la construcción de pirámides (esto demuestra los grandes avances que tenían de astronomía y geometría). Eran capaces de resolver diversos problemas geométricos; como hallar el área del circulo, el área de triangulo isósceles, etc. (esto lo sabemos por los hallazgos de diferentes papiros). Luego los griegos tomaron todo este conjunto de reglas prácticas en geometría, amasaron y le dan el carácter verdadero de ciencia. Tales de Mileto (S` VII A. C.) considerado uno de los siete sabios de Grecia, es uno de los fundadores de la geometría como ciencia; Pitágoras de Samos (S. VI A. C.) fundador de la escuela pitagórica, se le atribuye el teorema que lleva su nombre para un triangulo rectángulo; Euclides (S. IV A. C.) autor de un tratado de geometría llamado “Los elementos” y en honor a él, a la geometría plana, se le denomina “Geometría Euclidiana”. Que ha sobrevivido hasta nuestros días; Platón (S` IV A.C.) también aporto a esa ciencia, igualmente otros como Arquímedes de Siracusa (S III A.C.) Heron de Alejandría (S` II A.C.) Erastostenes, Zenón Heleas, Anaxágoras, Arquitas, Eudoxio, Apolonio, Hiparco. Luego después de Cristo hubo grandes aportes a la geometría, pero apenas mencionaremos de muchos a algunos como Ptolomeo (S`XII D.C.), Euler, Lagranje, Eauss; los intentos de buscar otros caminos para la solución de ciertos tipos de problemas dieron lugar a otras geometrías que se conocen con el nombre de geometrías no Euclidianas como las geometrías Lobatchevskianas; en honor a Lobatchevski (1793-1856), y las geometrías Riemannianas en honor a Riemann (1826-1866). Hoy en día (S` XX) muchos han aportado a la geometría como el gran H.S.M. Coxeter. Además, en un interesante trabajo de Joseph (Malkevitch, 1991) se ha realizado en primer lugar una revisión de los diferentes apartados que hoy se ha realizado en primer lugar una revisión de los diferentes apartados que hoy pueden considerarse ligados a la geometría. En el siguiente cuadro listamos las cincuenta denominaciones principales.
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1.2. Apartados Matemáticos Geométricos
1. Geometría euclídea 2. Geometrías no euclídeas 3. Geometría proyectiva 4. Geometría descriptiva 5. geometría analítica 6. Geometría integral 7. Transformaciones geométricas 8. Teoría de la simetría 9. Teoría de mosaico. 10. problemas en retículos 11. Teorías de grafos 12. Convexidad 13. Geometría discreta 14. Geometría de superficies 15. Poliedros 16. Teoría de la disección 17. Geometría diferencial 18. Geometría computacional 19. Teorías de empaquetamientos 20. Teorías de la rigidez estructural 21. Geometría digital 22. Teorías de nudos 23. problemas isoperimétricos 24. juegos geométricos 25. Curvas planas.
26. Geometría métrica 27. Diseño VLSI 28. Teoría de códigos 29. Autómatas celulares 30. Cartografía 31. Robótica 32. Cristalografía 33. Sistemas dinámicos 34. Geometría algebraica 35. Programación lineal 36. Cónicas y cuádricas 37. Geometría n- dimensional 38. Geometría del espacio-tiempo 39. Visión computacional 40. Teorías de redes neuronales 41. Teoría fractal 42. Desigualdades geométricas 43. Geometría de inversión 44. Geometría de complejos 45. Visualización de datos 46. Construcciones geométricas 47. Modelización de sólidos 48. Origami Teoría de catástrofes 50. Historia de la geometría
En el siguiente cuadro podremos apreciar a grandes rasgos (y sin que el orden de la relación tenga significado alguno) cómo pueden encontrarse ejemplos actuales de aplicaciones geométricas. Ejemplos de aplicaciones geométricas 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
Aplicaciones a la modelización matemática del mundo físico. Geodesia y triangulación Aplicaciones en astronomía mecánica celeste. Cartografía (aérea, satélite, temática…). Cálculos de medidas (áreas, superficies, volúmenes). Problemas comerciales (envasado, empaquetado, tallas, patrones,…) Estructuras en ingeniería y arquitectura. Clasificación de nudos. Digitalización y manipulación de imágenes.
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10. Grafos e investigación operativa. 11. Formas y transformaciones al servicio de la creación artística. 12. Aplicaciones a la computación y gráficos por ordenador. 13. Visualización de datos estadísticos. 14. Procesamiento de imágenes, comprensión y registro. 15. Teoría de barras y engranajes. 16. Aplicaciones en óptica, fotografía y cine. 17. Elementos multimedia inter-activos. 18. Codificación, descodificación y criptografía. 19. Robótica: movimientos, visión, tareas automáticas. 20. Descripciones cristalografías estáticas y de conocimiento. 21. Modelización de procesos dinámicos y caóticos. 22. Doblado de papel, origami y empaquetado.
A la vista de todos estos datos se imponen, al menos, unas conclusiones a retener: • •
La palabra “Geometría” esconde multitud de apartados de enorme interés matemático. Las aplicaciones “geométricas” son cada vez más amplias y versátiles.
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2. AXIOMAS Y POSTULADOS
2.1. AXIOMAS En matemáticas no todo es demostrable y hay entes matemáticos, de los cuales tenemos la idea, como son el punto, la línea, el plano; a estos los llamamos (en particular en la geometría euclidia, axiomas, que son verdades que no tienen demostración).
2.2. POSTULADOS Los postulados son proposiciones que se aceptan sin demostración y son proporciones verdaderas.
2.3. POSTULADOS ALGEBRAICOS.
1. Postulado transitivo. Objetos iguales a sí mismos o a otros objetos iguales son iguales entre sí; si a = b ^ c=b entonces a=c 2. Postulado de sustitución. Una cantidad puede sustituirse por su equivalente en cualquier expresión o ecuación. Así, si X=2 y Y=X+9 podemos sustituir 2 donde aparece X y encontrar que Y = 2+9=11. 3. Postulado de partición. El todo (total) es igual a la suma de sus partes. 4. Postulado de reflexión o de identidad. Una cantidad es igual a sí misma. Así, X=X, 11=11, m< =AB=AB 5. Postulado de adición, si objetos iguales se sumas a objetos iguales, las sumas son iguales; si, a=b ^ c=d, entonces a+c= b+d 6. Postulado de sustracción: Si objetos iguales se restan de objetos, sus diferencias son iguales; si a=b ^ c=d, entonces a-c=b-d. 7. Postulado de la Multiplicación: Si objetos iguales se multiplican por objetos iguales, sus productos son iguales; a=b ^c=d, entonces a.c=b.d. 8. Postulado de la división: Si objetos iguales son divididos por objetos iguales, los cocientes son iguales; si a=b ^ c=d, entonces a/c = b/d, donde c, d # 0 9. Postulado de la Potencia. Cantidades iguales elevadas a si a=b entonces an =bn 10. Postulado de la radicación, raíces iguales de cantidades iguales son iguales; si a=b entonces
, recordar que
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2.4. POSTULADOS GEOMÉTRICOS 11. Entre dos puntos cualesquiera, puede trazarse una y solo una línea recta. Por lo tanto,
es la única línea que puede trazase entre los puntos A y B de la figura.
12. Dos líneas se intersectan en uno y sólo un punto. En la figura o es el único punto de intersección de
13. La longitud de un segmento de recta es la distancia más corta entre dos puntos. Así es la distancia más corta que las líneas curvas y quebradas entre los puntos A y B de la figura:
14. Una y sólo una circunferencia puede dibujarse dados un punto como centro y un segmento de recta como radio O como centro y
como radio.
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15. Cualquier figura geométrica puede cambiarse de lugar sin modificar su forma o tamaño. 16. Un segmento de recta tiene uno y sólo un punto medio. 17. Un ángulo tiene una y sólo una bisectriz 18. A través de cualquier punto de una línea recta puede lanzarse una y sólo una perpendicular a ella.
1. A través de cualquier punto exterior (o fuera) de una línea recta puede trazarse una y sólo una perpendicular a esa línea recta.
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3. Teoremas 3.1. Teoremas
Un teorema es una proposición que puede demostrarse. Existen dos partes en el enunciado de todo teorema: 1. Hipótesis 2. Tésis La hipótesis es lo que se supone y la tesis lo que se quiere demostrar. Ejemplo: En el teorema: “La suma de los ángulos consecutivos alrededor de un punto, vale cuatro ángulos rectos”. La hipótesis es: < A, < B y < C ángulos consecutivos alrededor de un punto. La tesis es: < A + < B + < C = 4 < R
3.2. Corolario El corolario es una proposición que se deduce a partir de un teorema y que es una consecuencia de la misma. Ejemplo: En el postulado de Euclides se plantea: “Por un punto exterior a una recta pasa una sola paralela a dicha recta” de esto se deduce que: “Si una recta corta a otra, corta también a las paralelas de éstas” que es uno de los corolarios de dicho postulado.
3.3. Teorema recíproco En el teorema recíproco la hipótesis y la tesis son, respectivamente, la tesis y la hipótesis de otro teorema que recibe el nombre de teorema directo. Todo teorema tiene su proposición reciproca.
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Ejemplo:
Sea teorema “LA suma de los ángulos interiores de un triángulo vale 180º”; su reciproco será: “Si la suma de los ángulos interiores de un polígono vale 180º, el polígono es un triángulo”. Nota: la proposición recíproca puede o no ser verdadera. Ejemplo: sea la proposición: “si dos números son positivos su producto también lo es”. El reciproco de esta proposición sería: “si el producto de dos números es positivo, los números también lo son “. Este recíproco no se cumple ya que:
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Unidad 2
Líneas y ángulosperpendicularidad y paralelismo Los puntos, las líneas y los planos, son los elementos básicos de la Geometría. Esta ideas vistas en el capítulo anterior, nos dan pie para hablar de clases de rectas y posiciones relativas de dos rectas( secantes oblicuas y no secantes), aquí definiremos perpendicularidad y paralelismo.
1. Líneas Y Ángulos Podemos concebir la línea como la huella que deja un punto en movimiento. La línea tiene una sola dimensión: su longitud. Entre las líneas más notables tenemos:
1. La línea recta. 2. La línea curva. 3. La línea quebrada. La recta se puede designar por dos Ejemplo:
de sus puntos con el símbolo ßà encima.
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La semirrecta es el conjunto de puntos formado por un punto señalado sobre una recta y el origen (o el extremo) de la recta se representa por el símbolo Ejemplo:
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1.1. Segmento. Se llama segmento al conjunto de puntos comprendidos entre dos puntos señalados sobre una recta. Generalmente los segmentos se designan por las letras de sus extremos con un trazo encima. Ejemplo:
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POSTULADO La distancia entre dos puntos es el segmento que los une.
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1.2. Plano El plano, se define como un conjunto parcial de infinitos puntos, La idea de plano, por ejemplo, nos la da la superficie del pizarrón, de una pared, etc.
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A los planos se les acostumbra a representar por un paralelogramo y a nombrárseles por una letra griega o por tres de sus puntos no alineados; por ejemplo, el plano de la figura se le nombra plano alfa ( ) o plano ABC.
POSTULADO Por tres puntos no alineados pasa un plano y solamente uno. Ver figura.
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Figura: por dos puntos pasan infinitos planos; por tres sólo uno. Operaciones con segmentos.
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Se puede operar gráficamente con segmentos realizando las siguientes operaciones: 1. Sumar segmentos. 2. Restar segmentos. 3. Multiplicar un segmento por un número real.
1.3. Suma de Segmentos. Para sumar segmentos se coloca uno a continuación del otro de tal manera que los dos estén sobre la misma recta (ver figura) y el segmento suma tiene su origen en el origen del primer segmento y su extremo en el extremo del último. Ejemplo: Sean los segmentos AB, CD, EF; el segmento suma es el segmento AF, que tiene su origen en el origen del primer segmento y su extremo en el extremo del último.
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1.4. Resta de segmentos Para restar segmentos se lleva el segmento sustraendo minuendo de forma que sus orígenes coinciden, el segmento que queda del extremo del sustraendo al extremo del minuendo representa la diferencia. Ejemplo:
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1.5. Multiplicación de segmento por número Multiplicar un segmento por número real significa llevar sobre una recta el segmento tantas veces como valor tenga el número real. Ejemplo:
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2. Ángulos Se llama ángulo a la abertura formada por dos semirrectas que tiene un mismo origen al que se llama vértice (ver figura). Se presenta por el símbolo
Figura: ángulos.
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Se designa a los ángulos de diversas formas, bien con letra griega: a (alfa), B (beta), Y (gamma), etc., o por medio de 3 letras de forma que la del medio corresponde al vértice (AOB), o por medio de números (<1,<2,<3,etc). Para medir los ángulos se utiliza un instrumento llamado transportador como el que muestra en la figura.
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Nota: en muchas ocasiones resulta conveniente definir el lado inicial y final del ángulo indicando con una saeta el sentido en que se mide. El origen de la saeta indica el lado inicial y la punta el lado final (ver figura).
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2.1. Medida ángulos Para medir un ángulo se le compara con otro que se toma como unidad. Existen tres sistemas para medir los ángulos: 1. Sexagesimal 2. Centesimal 3. Circular
2.2. Sistema sexagesimal El sistema más antiguo de todos y el más utilizado. En este sistema se divide la circunferencia en 360 partes llamadas grados, por lo que cada cuadrante tiene 90º (ver figura). Cada grado se divide en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. Los si9mbolos de las unidades en este sistema: grado º Minuto ` Segundo ``
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2.3. Tipos de ángulos Los ángulos se clasifican de acuerdo a su amplitud en: 1. 2. 3. 4. 5.
agudos, si miden menos de 90º rectos, si miden 90º obtusos, si miden más de 90º y menos de 180º llanos si miden 180º cóncavos si miden 180º
La representación de los mismos lo encontramos en la figura. Nótese que la abertura del ángulo recto se indica en forma de escuadra
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2.4. Ángulos adyacentes Ángulos adyacentes que tienen un lado común y los otros dos lados están en la misma recta (ver figura).
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2.5. Ángulos complementarios Se llaman ángulos complementarios a dos ángulos cuya suma sea un ángulo recto, es decir, 90º (ver figura).
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2.6. Ángulos suplementarios Se llaman ángulos suplementarios a dos ángulos cuya suma sea 180º, o sea, 2 rectos (ver figura).
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Teorema: “Dos ángulos adyacentes son suplementarios”.
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2.7. Ángulos opuestos por el vértice Se llaman ángulos opuestos por el vértice a dos ángulos tales que los lados de uno de ellos son las prolongaciones del otro (ver figura).
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2.8. Ángulos consecutivos Reciben el nombre de ángulos consecutivos aquellos que tienen un lado común (ver Figura).
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Se puede demostrar los siguientes teoremas acerca de los ángulos consecutivos. Teorema
1. “Los ángulos consecutivos situados al lado de una recta suman 180º”
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Teorema:
2. “La suma de los ángulos consecutivos alrededor de un punto vale 360º “.
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2.9. Bisectriz de un ángulo La bisectriz de un ángulo es una semirrecta con origen en el vértice que divide al ángulo en dos ángulos iguales.
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3. Rectas perpendiculares Dos rectas son perpendiculares si al cortarse forman cuatro ángulos rectos (ver figura).
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La recta AB es perpendicular a la recta CD lo que se simboliza como: POSTULADO: Por un punto exterior a una recta en un plano pasa una perpendicular a dicha recta y sólo una.
3.1. Rectas oblicuas Dos rectas son oblicuas si al cortarse no son perpendiculares (ver Figura)
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3.2. Distancia de un punto a una recta Se toma como una distancia de un punto a una recta a la longitud del segmento perpendicular trazado desde el punto a la recta (ver figura).
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4. Rectas Paralelas Dos rectas paralelas que estén situadas en el mismo plano son paralelas si al prolongarse no tienen ningún punto común (ver figura). Todo recta es paralela a sí misma.
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Teorema “Dos rectas situadas en el mimos plano, perpendicularmente a una tercera, son paralelas entre sí”.
4.1. POSTULADO DE EUCLIDES “ Por un punto exterior a una recta, pasa una sola paralela a dicha recta” Este postulado tiene tres corolarios:
4.1.1. Corolario 1. “Dos rectas paralelas a una tercera son paralelas entre sí” (ver figura).
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4.1.2. Corolario 2 “Si se cumple que una recta corta a otra, cortará también a las paralelas de ésta”. (Ver figura). Si la recta MN corta a la recta AB, cortará también a las rectas CD y EF paralelas a la recta AB.
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4.1.3. Corolario 3 “Si se cumple que una recta es perpendicular a otra, serán también perpendicular a toda paralela a la misma”. (ver figura)
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4.2. Rectas paralelas cortadas por una secante Sean las rectas paralelas AB y CD cortadas por la secante MN y el siguiente postulado (ver figura). Postulado: “Toda secante a dos paralelas forma ángulos correspondientes iguales”.
De acuerdo a esto se puede plantear:
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Postulado: “Si se cumple que una secante forma con dos rectas de un plano ángulos correspondientes iguales, dichas rectas son paralelas.”
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Teorema “Toda secante a dos paralelas forma ángulos alternos internos iguales”. Teorema “Toda secante a dos rectas paralelas forma con las mismas ángulos alternos externos iguales”. Teorema “Los ángulos conjugados internos, entre paralelas, son suplementarios”. Teorema “Los ángulos conjugados externos, entre paralelas, son suplementarios”. Teorema “Los ángulos conjugados externos, entre paralelas, son suplementarios”.
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Unidad 3
Triángulos Se trata de estudiar y comprender una de las figuras planas más importantes que hay como es el triángulo; de él estudiamos cuando es congruente a otro triángulo. Estudiaremos las más importantes relaciones métricas que generan sus líneas notables y abordaremos el importantísimo teorema de Pitágoras.
1. Triángulos Definición y características de un triángulo. Se entiende por triángulo una porción de plano limitada por tres rectas que se cortan dos a dos. Se representa por el símbolo
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Todo triángulo está compuesto por los siguientes elementos: 1. 3 lados (a, b, c) 2. 3 ángulos (BAC, ACB, CBA) 3. 3 vértices (A, B, C
1.1. Clasificación de los triángulos. Los triángulos se clasifican atendiendo a sus ángulos y atendiendo a sus lados. Clasificación atendiendo a sus triángulos: a. Acutángulo: si tiene sus 3 ángulos agudos. b. Rectángulo: Si tiene un ángulo recto. c. Obtusángulo: Si tiene un ángulo obtuso.
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1.2. Clasificación atendiendo a sus lados. a. Equilátero: Si tiene sus tres lados guales. b. Isósceles: si tiene dos lados iguales. c. Escaleno: Si tiene sus tres lados diferentes.
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1.3. Alturas de un triángulo. La altura es la perpendicular trazada desde un vértice hasta el lado opuesto (o su prolongación. Al punto donde se cortan las alturas se le llama ortocentro.
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1.4. Medianas de un triángulo. La mediana es el segmento trazado desde uno de los vértices hasta el punto medio del lado opuesto. Al punto O de intersección de las tres medianas se le llama baricentro.
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1.5. Mediatrices de un triángulo. La mediatriz es la perpendicular trazada desde el punto medio de cada lado.
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Al punto O donde se interceptan las tres mediatrices se le denomina circuncentro.
1.6. Bisectrices de un triángulo En todo triángulo existen tres bisectrices (una para cada ángulo interior). Como se sabe la bisectriz divide el ángulo en dos partes iguales:
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Al punto O donde se interceptan las bisectrices se le denomina incentro.
1.7. Teorema. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180o Hipótesis:
ABC.
< A, <B y C ángulos interiores Tesis: <A + <B +C= 180º Construcción auxiliar: Por el vértice B se traza una paralela a AC de forma que AC II PQ. Se forman los ángulos 1 y 2.
1.8. Demostración:
1.9. Corolario. En todo triángulo rectángulo se cumple que la suma de los ángulos agudos es igual a 90º.
1.10. Teorema La suma de los ángulos exteriore4s a un triángulo es igual a 360º.
1.11. Teorema: Todo ángulo exterior a un triángulo es igual a la suma de dos ángulos interiores no adyacentes a él.
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2. Igualdad y semejanza de triángulos Igualdad de dos triángulos: Se puede establecer que dos triángulos son iguales congruentes si al superponerlos coinciden.
o
Existen tres casos de igualdad o congruencia:
2.1. Primer caso de igualdad de triángulos. Postulado: Dos triángulos son iguales o congruentes si sus tres lados son respectivamente iguales.
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2.2. Segundo caso de igualdad de triángulos Postulado: Dos triángulos son iguales o congruentes si dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos son respectivamente iguales.
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2.3. Tercer caso de igualdad de triángulos (A.L.A.) Postulado: “Dos triángulos son iguales o congruentes si tienen uno de sus lados y los dos ángulos adyacentes a ese lado respectivamente iguale4s”.
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3. Igualdad de triángulos rectángulos Podemos considerar cuatro casos: a. b. c. d.
La hipotenusa y un cateto iguales. Dos catetos iguales. La hipotenusa y un ángulo agudo iguales. Un cateto y un ángulo agudo iguales.
Razón y proporción Se llama razón al cociente que resulta de dos números. Al primero se le llama antecedente y al segundo consecuente: 6: 3 o 6 antecedente 3 consecuente Proporción. Es la igualdad que existe entre dos razones. En toda proporción se cumple lo siguiente: El producto de los medios es igual al producto de los extremos. Sea la proporción:
Razón de dos segmentos Se llama razón de dos segmentos al cociente de sus medidas (referidas a la misma unidad). Si los segmentos AB y CD de la figura miden 3y 6 unidades respectivamente su razón es:
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Segmentos proporcionales Son proporcionales los segmentos si cumplen la condición de que a los segmentos AB y CD corresponden os segmentos EF y GH, de forma que:
Teorema: Si varias paralelas cortan a dos transversales y determinan segmentos iguales en una de ellas, determinarán también los segmentos iguales en la otra. Hipótesis: AB II CD II EF II GH, KL Y MN transversales y AC = CD = EG Tesis: BD = DF = FH Construcción auxiliar: Se trazan los segmentos AO, CP y EQ paralelos a MN en los puntos A, C y E.
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Teorema de tales: Si se tienen varias paralelas que cortan a dos transversales, se cumple que determinan en ellas segmentos correspondientes proporcionales.
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Hipótesis: AB II CD II EF II; MN y OP trasversales. Tésis:
Teorema. Toda paralela a un lado de un triángulo divide a los otros dos lados en segmentos proporcionales:
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Recíproco. Si una recta a dos lados de un triángulo y los divide en segmentos proporcionales, se cumple que dicha recta es paralela al tercer lado. Hipótesis:
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Tesis: DE II AB Corolario. El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es igual a la mitad del tercer lado y paralelo al mismo.
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D y E puntos medios de AB y CD DE II AC
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Teorema La bisectriz de un triángulo interior de un triángulo divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados:
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4. Semejanzas de triángulos Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos respectivamente iguales y sus lados proporcionales. La semejanza de triángulos se establece mediante el signo ~.
4.1. Teorema fundamental. Toda paralela a un lado de un triángulo forma con los otros dos lados un triángulo semejante al primero.
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4.2. Casos de semejanza de triángulos. Teorema: “Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente iguales”. Teorema: Si dos triángulos tienen dos lados proporcionales e igual al ángulo comprendido entre los mismos son semejantes. Teorema:
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Si dos triángulos tienen proporcionales sus tres lados son semejantes. Semejanza de triángulos rectángulos. Para demostrar la semejanza de triángulos rectángulos se parte de la base que los mismos tienen un ángulo igual (el ángulo recto). Podemos afirmar que dos triángulos rectángulos son semejantes si: a. Tienen un ángulo agudo igual. b. Tienen los catetos proporcionales. c. Tienen la hipotenusa y un cateto proporcionales.
4.3. Relaciones métricas en los triángulos. Se explicarán algunas relaciones que se cumplen en los triángulos que por su importancia y aplicación en diferentes disciplinas científicas y técnicas es necesario destacar. Teorema: Si dos lados de un triángulo son iguales, los ángulos opuestos a ellos también lo son.
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Corolario. Todo triangulo equilátero es equiángulo. Corolario. Todo triangulo equiángulo es equilátero. Teorema. La bisectriz del ángulo vértice de un triángulo isósceles es la mediana correspondiente a la base.
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Teorema 1. Si por el punto medio de uno de los lados de un triangulo se traza una paralela a un segundo lado, dicha paralela pasa por el punto medio del tercer lado.
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Corolario. El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado e igual a la mitad de éste. Teorema 2. Las medianas de un triángulo se cortan en un punto que se encuentra a los dos tercios de la distancia comprendida entre un vértice y el punto medio del lado opuesto. Teorema. Si se traza la altura correspondiente a la hipotenusa en un triángulo rectángulo se cumple que: a. Los triángulos rectángulos que resultan son semejantes entre sí y semejantes al triangulo original. b. La altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos en que divide a ésta. c. La altura correspondiente a la hipotenusa es cuarta proporcional entre la hipotenusa y los catetos. d. Cada cateto del triángulo original es medio proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. e. La razón de los cuadrados de los catetos del triangulo original es igual a la razón de sus proyecciones sobre la hipotenusa.
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Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Hipótesis. El es rectángulo, con un ángulo recto en A. Los catetos son b y c. La hipotenusa es a. Tesis: a² = b²+c²
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Construcción auxiliar: Se traza la altura h correspondiente a la hipotenusa. Demostración:
Corolario primero del teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo se cumple que la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos: Tenemos:
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Corolario segundo del teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo se cumple que la cada cateto es igual a la raíz cuadrada del cuadrado de la hipotenusa menos el cuadrado del otro cateto. Tenemos:
Por otra parte:
Nota: Obsérvese que estos corolarios no son más que despejes algebraicos de la ecuación del teorema de Pitágoras.
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Generalización del teorema de Pitágoras. En todo triángulo se cumple que el cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados, menos el doble del producto de uno de estos lados por la proyección del otro sobre él.
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Unidad 4
Geometría En este capítulo se recopila todo el conocimiento anterior para hacer una gran diferenciación y qué relación tienen: los diferentes polígonos, la circunferencia y el círculo. Se hará un análisis de cómo hallar el área: de diferentes polígonos como el cuadrado, el romboide, el triángulo y el área del círculo, del sector circular, del segmento circular, etc.
1. Polígono La palabra polígono viene del griego y su significado es muchos ángulos. El polígono es una figura plana cerrada, limitada por segmentos de recta.
Los polígonos pueden ser regulares o irregulares. Un polígono es regular si tiene los lados y los ángulos iguales, es decir, si el polígono es equilátero y equiángulo.
1.1. Nombre de los polígonos de acuerdo al número de lados. Los polígonos reciben diferentes nombres de acuerdo al número de lados que posean. En el cuadro adjunto se muestran estos nombres.
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Suma de los ángulos internos de un polígono. Si en un polígono cualquiera se trazan las diagonales que unen un vértice con los restantes, el polígono queda dividido en triángulos. Si = (n-2) 180º
Ya que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º y se forma un número de triángulos igual al número de lados del polígono menos 2. Donde: Si = suma de los ángulos interiores del polígono. n = número de lados del polígono. Suma de los ángulos exteriores de un polígono. Se = 360º
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2. Cuadriláteros El cuadrilátero como ya se sebe es un polígono de cuatro lados. En todo cuadrilátero se pueden trazar dos diagonales y desde un vértice sólo una.
2.1. Clasificación de los cuadriláteros. La clasificación de los cuadriláteros se hace atendiendo al paralelismo de los lados opuestos. Por lo que se llaman: Paralelogramos: si los lados opuestos símbolo
son paralelos dos a dos. Se representan por el
1. Trapecios: si sólo existe paralelismo en un par de lados opuestos. 2. Trapezoide: si no existe paralelismo entre sus lados. Los paralelogramos se clasifican en:
1. Rectángulos: si tiene sus cuatro ángulos iguales. 2. Rombos: Si tienen sus lados iguales. 3. Cuadrados: si tienen los cuatro ángulos y los cuatro lados iguales. Puede considerarse como un caso especial de rectángulo y rombo.
4. Romboides: si tienen los ángulos y lados contiguos desiguales. Por otra parte se clasifican en:
1. Rectángulos: si tienen dos ángulos rectos 2. Isósceles: si tienen los lados no paralelos iguales. 3. Escálenos: si no son rectángulos ni isósceles.
Los trapezoides se clasifican en: Simétricos: si tienen dos pares de lados consecutivos iguales, pero estos pares de lados son diferentes entre sí. También se cumple que las diagonales son perpendiculares entre sí y que la que une los vértices formados por los lados iguales es bisectriz y eje de simetría. Figura 6 Asimétricos: si no son simétricos. Figura 6.
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Trapezoides
2.2. Características Cuadriláteros
Y
Propiedades
De
Los
Paralelogramos Teorema: en todo paralelogramo se cumplen las siguientes propiedades:
1. Tienen iguales sus lados opuestos. 2. Tienen iguales sus ángulos opuestos. 3. Dos ángulos consecutivos cualesquiera son suplementarios.
Rectángulo Corolario: en el rectángulo además de cumplirse las propiedades generales de los paralelogramos se cumple también que:
1. Sus ángulos interiores y exteriores valen 90º. 2. Sus diagonales son iguales. Rombo
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Corolario: el rombo también tiene propiedades particulares amén de las que le son comunes a todos los paralelogramos, éstas son:
1. Sus diagonales son perpendiculares entre sí. 2. Sus diagonales son bisectrices de los ángulos cuyos vértices tocan. Cuadrado. Corolario: el cuadrado al ser paralelogramo, rectángulo y rombo tienen las propiedades del paralelogramo, el rectángulo y el rombo.
1. Sus ángulos interiores y exteriores valen 90º. 2. Sus diagonales son iguales y perpendiculares entre sí. 3. Sus diagonales son bisectrices de los ángulos cuyos vértices tocan. Trapecio. Antes de mencionar las propiedades particulares del trapecio indicaremos el nombre de sus elementos. Los lados paralelos reciben el nombre de bases (base mayor y base menor) y a la distancia entre las mismas (una recta perpendicular a ambas) se le denominan altura. Por último, al segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos se le llama base media. De acuerdo a esto en la figura tenemos que:
Como propiedad particular podemos señalar que la base media (EF) es:
1. Paralela a las bases. 2. Igual a la semisuma de las bases.
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3. La Circunferencia Y El Círculo Se llama circunferencia a la curva cuyos puntos pertenecen todos al mismo plano y equidistan (a igual distancia) de otro fijo llamado centro Figura a). Su símbolo es El círculo es el conjunto de los puntos de la circunferencia y de los interiores a la misma (Figura b).
Figura.
1. Circunferencia 2. Circulo Ángulo inscrito: es aquel que tiene su vértice en la circunferencia y cuyos lados son secantes de la misma. El ángulo BAC de la figura a. es inscrito.
Ángulo semi-inscrito: es aquel que tiene un vértice en la circunferencia y sus lados son respectivamente una tangente y una secante de la misma. El ángulo KLM de la Figura b. es semi –inscrito.
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Ángulo interior: es aquel cuyo vértice es un punto interior de la circunferencia. El ángulo PQR de la Figura c es interior.
Ángulo exterior: es aquel cuyo vértice es un punto exterior de la circunferencia. El ángulo XYZ de la figura d es exterior.
ELEMENTOS DEL CÍRCULO Sector circular: se llama así a la parte que está limitada por dos radios y el arco comprendido entre ellos. El área sombreada de la figura a representa un sector circular. Segmento circular: es la parte del círculo limitada por una cuerda y su arco. La parte sombreada de la figura b. corresponde a un segmento circular.
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Trapecio circular: recibe este nombre la porción de plano, limitada por dos circunferencias concéntricas y dos radios. El área sombreada de la figura c representa un trapecio circular.
Corona circular: es la porción de plano limitada por dos circunferencias concéntricas. La parte sombreada de la Figura d muestra una corona circular.
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4. Posiciones Relativas De Dos Circunferencias De acuerdo a las posiciones relativas que ocupan en un plano, dos circunferencias, reciben diferentes denominaciones: Circunferencias exteriores: cuando todos los puntos que forman cada una de ellas, son exteriores a la otra. Figura a. Circunferencia interior: cuando todos los puntos que forman una de ellas, son interiores a la otra. Figura b.
Circunferencias tangentes exteriormente: se caracterizan por tener un punto común (el punto de tangencia), y los demás puntos de cada una exteriores a la otra (Figura c.) Circunferencias tangentes interiormente: se caracterizan por tener un punto común (el punto de tangencia) y todos los puntos de una de ellas interiores a la otra (Figura d.)
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Circunferencias secantes: Cuando tienen dos puntos comunes (figura e)
Circunferencias concéntricas: Contienen un centro en común (figura f)
Medida de los ángulos de circunferencia Teorema. “La medida del ángulo central es igual a la del arco que intercepta “. O sea, en la Figura a. se cumple que
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Teorema: “La medida del ángulo inscrito es igual a la medida del arco que intercepta. Teorema: “La medida del ángulo semi- inscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados”. Teorema “La medida del ángulo interior es igual a la semisuma de los arcos comprendidos por sus lados y por sus prolongaciones”. Teorema: “La medida del ángulo es igual a la semi-diferencia de los arcos comprendidos entre sus lados”.
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5. Áreas Se denomina área a la medida de una superficie. Cómo unidad de medida se toma la unidad cuadrada que es la superficie. Como unidad de medida se toma la unidad cuadrada que es la superficie que encierra un cuadrado de lado igual a la unidad (de longitud). En la figura se muestra la unidad llamada centímetro cuadrado (cm2), como puede apreciarse es un cuadrado de 1 cm de lado. En la figura b puede observarse un cuadrado de 4 cm2 de superficie.
El cálculo del área de las diferentes figuras geométricas se efectúa en la práctica por métodos indirectos, es decir, mediante fórmulas que interrelacionan la longitud de determinados elementos de la figura.
•
Área del rectángulo
Teorema: “El área de un rectángulo es igual al producto de su altura”. Figura.
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A= b.h A = área b = base h = altura •
Área del cuadrado
Corolario: “El área del cuadrado es igual al cuadrado de su lado”. A = l2 Como el cuadrado es a su vez rectángulo podemos plantear que: A= b . h A= l . l Sustituyendo
A = l2
Corolario: “El área de un cuadrado es igual a la mitad del cuadrado de la diagonal” Por lo que:
Figura del área del cuadrado.
•
Área del paralelogramo
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Teorema. “El área de un paralelogramo es igual al producto de su base por su altura”.
•
Área del triangulo
Teorema: “El área de un triangulo es igual a la mitad del producto de su base por la altura correspondiente a la base”.
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Área del Triángulo en función de sus lados. Conocemos recordando que se llama perímetro (P) a la suma de los lados de cualquier figura geométrica. El semiperímetro (p) es igual a la semisuma de los lados de la figura, es decir, es igual al perímetro dividido por dos:
Donde: p = semiperímetro y P =perímetro EL ÁREA DE UN TRIÁNGULO EN FUNCIÓN DE SUS LADOS ESTÁ DADA POR LA FÓRMULA
Donde: A = área p = semiperímetro a,b,c = lados del triángulo Esta fórmula recibe el nombre de fórmula de Herón.
Área del Rombo Teorema: “El área del rombo es igual a la mitad del producto de sus diagonales”. Tesis:
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Área del trapecio Teorema: “El área del trapecio es igual a la semisuma de las bases multiplicadas por la altura”. B = base mayor b = base menor h = altura
Corolario: “El área de un trapecio es igual a la base media por la altura”
Donde: A = área
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bm = base media h = altura •
Área de un polígono regular
Se llama apotema a la perpendicular trazada desde el centro de un polígono regular a cualquiera de sus lados. Teorema: “El área de un polígono regular es igual al producto de su semiperímetro por su apotema “
A= p . a Donde
•
A = área p= semiperímetro a = apotema Área del círculo
Teorema: “El área del círculo es igual al producto ce la constante Л por el cuadrado del radio”.
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Teorema: “El área de un sector circular es igual a la mitad del producto de la longitud de su arco por el radio”.
Teorema: El área del sector circular también puede calcularse por la expresión:
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•
Área de una corona circular
Teorema: “El área de una corona circular es igual al producto de Л por la diferencia de los cuadrados de los radios que la forman”.
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•
Área de un trapecio circular
Teorema: “El área de un trapecio circular es igual al producto de Л por la medida del ángulo central que forman los radios que lo limitan, por la diferencia de los cuadrados de dichos radios, dividiendo todo por 360º”.
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Nota: el área de un trapecio circular es equivalente a la de un trapecio rectilíneo cuyas bases sean los arcos rectificados que limitan al trapecio circular y su altura la diferencia de los radios.
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•
Área de un segmento circular
•
Resumen de Fórmulas
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Bibliografía
Bibliografía
1. HEMMERLING. Edwin M. Geometría Elemental. México. Limusa, 1971. 498 p. 2. RICH. Barnett. Geometría. México. Mc Grawhill, 1993.395 p.