6 EP MAT SANT

124603 _ 0001-0039.indd 1

6/7/09 16:39:24

La Guía didáctica de Matemáticas 6, para sexto curso de Educación Primaria, es una obra colectiva concebida, creada y realizada en el Departamento de Primaria de Santillana Educación S. L. bajo la dirección de José Tomás Henao.

Texto de la Guía didáctica: José A. Almodóvar, José J. García, M.ª del Mar de la Mata y Magdalena Rodríguez. Edición: José A. Almodóvar y M.ª José Rey

124603 _ 0001-0039.indd 2

9/7/09 12:41:33

Introducción La Casa del Saber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV Educación Primaria. Finalidad y objetivos . . . . . . . . . . . VI Las competencias básicas en el currículo . . . . . . . . . . VII Recursos para el quinto curso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII Recursos para el sexto curso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X Contenidos de Matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XII Las competencias básicas en el área de Matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIV Programa de Estudio Eficaz

......................

XVIII

El libro del alumno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX La guía didáctica

...............................

XXVIII

Guía didáctica PRIMER TRIMESTRE Unidad 1. Números naturales. Operaciones . . . . . . . . . . 6 Unidad 2. Potencias y raíz cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Unidad 3. Números enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Unidad 4. Múltiplos y divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

14 13 12 11 0 21 22

Unidad 5. Ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

SEGUNDO TRIMESTRE Unidad 6. Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Unidad 7. Operaciones con fracciones

.............

92

Unidad 8. Números decimales. Operaciones . . . . . . 106 Unidad 9. División de números decimales . . . . . . . . . 120 Unidad 10. Figuras planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

TERCER TRIMESTRE Unidad 11. Proporcionalidad y porcentajes . . . . . . . . 152 Unidad 12. Longitud, capacidad, masa y superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Unidad 13. Área de figuras planas

................ .......

196

............................

208

Unidad 14. Cuerpos geométricos. Volumen Unidad 15. Estadística

124603 _ 0001-0039.indd 3

180

6/7/09 16:39:26

L

e

d

Un proyecto bien fundamentado

Una casa para todos

L

La Casa del Saber persigue una educación de calidad que facilite el éxito escolar de los alumnos. Es fruto de un largo proceso de investigación y debate. En su diseño han participado profesores, pedagogos, psicólogos, editores, diseñadores, ilustradores y muchos otros profesionales que han aportado su buen hacer y sus conocimientos. Su trabajo y la larga experiencia de Santillana fundamentan la solidez de este proyecto.

La Casa del Saber persigue la equidad en la educación, de manera que todos los alumnos encuentren una respuesta apropiada a su ritmo de aprendizaje y a sus condiciones personales.

L

Los profesores, los alumnos y los padres pueden depositar su confianza en La Casa del Saber.

Para lograr la equidad, el proyecto plantea una auténtica educación en valores, con especial atención a la convivencia, el cuidado del medio ambiente y otros valores que promueven la construcción de un mundo mejor para todos. Este proyecto pretende también que los alumnos reconozcan y valoren la diversidad cultural de la sociedad en la que vivimos. La Casa del Saber es un espacio en el que cabemos todos: alumnos, profesores, padres…

IV 124603 _ 0001-0039.indd 4

•

6/7/09 16:39:26

•

La Casa del Saber, el nuevo proyecto de Santillana, es un espacio educativo en el que los alumnos pueden adquirir las capacidades que necesitan para su desarrollo personal y social.

Los pilares del proyecto

• Contribuir al desarrollo de las competencias básicas que deben adquirir los alumnos. Todas las áreas favorecen el desarrollo de las competencias que los alumnos necesitan para desenvolverse en la sociedad actual: Competencia en comunicación lingüística Competencia matemática

n e

a c-

s a -

La Casa del Saber se apoya en tres principios: • Promover un aprendizaje eficaz que permita al alumno desarrollar satisfactoriamente las habilidades que ha de adquirir en el tercer ciclo de la Educación Primaria. Para lograrlo, además de una elaboración rigurosa de los libros del alumno, apoyamos el proceso de enseñanza con múltiples recursos para explicar, repasar, reforzar, complementar y evaluar los contenidos fundamentales. • Aplicar el conocimiento a la vida cotidiana, de modo que los niños y niñas puedan actuar satisfactoriamente en su vida diaria. Así, pretendemos que los alumnos se desenvuelvan en las situaciones comunicativas en las que se ven inmersos, utilicen sus conocimientos matemáticos para resolver problemas de su vida diaria y se valgan de los contenidos aprendidos para comprender y tomar decisiones sobre su entorno natural y social.

Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico Tratamiento de la información y competencia digital Competencia social y ciudadana Competencia cultural y artística Competencia para aprender a aprender Autonomía e iniciativa personal Adelante, este es vuestro proyecto. Es vuestra casa. Es la casa de todos.

V 124603 _ 0001-0039.indd 5

6/7/09 16:39:26

Educación Primaria

L

FINALIDAD Y OBJETIVOS

E

Según la Ley Orgánica de Educación, la finalidad de la Educación Primaria es proporcionar a todos los niños y niñas una educación que permita afianzar su desarrollo personal y su propio bienestar, adquirir las habilidades culturales básicas relativas a la expresión y comprensión oral, a la lectura, a la escritura y al cálculo, así como desarrollar las habilidades sociales, los hábitos de trabajo y estudio, el sentido artístico, la creatividad y la afectividad.

f) Adquirir en, al menos, una lengua extranjera la competencia comunicativa básica que les permita expresar y comprender mensajes sencillos y desenvolverse en situaciones cotidianas.

En el apartado en que se enumeran los objetivos de la etapa, la ley expone lo siguiente:

g) Desarrollar las competencias matemáticas básicas e iniciarse en la resolución de problemas que requieran la realización de operaciones elementales de cálculo, conocimientos geométricos y estimaciones, así como ser capaces de aplicarlos a las situaciones de su vida cotidiana.

«La Educación Primaria contribuirá a desarrollar en los niños y niñas las capacidades que les permitan:

h) Conocer y valorar su entorno natural, social y cultural, así como las posibilidades de acción y cuidado del mismo.

a) Conocer y apreciar los valores y las normas de convivencia, aprender a obrar de acuerdo con ellas, prepararse para el ejercicio activo de la ciudadanía y respetar los derechos humanos, así como el pluralismo propio de una sociedad democrática.

i) Iniciarse en la utilización, para el aprendizaje, de las tecnologías de la información y la comunicación desarrollando un espíritu crítico ante los mensajes que reciben y elaboran.

b) Desarrollar hábitos de trabajo individual y de equipo, de esfuerzo y responsabilidad en el estudio, así como actitudes de confianza en sí mismo, sentido crítico, iniciativa personal, curiosidad, interés y creatividad en el aprendizaje. c) Adquirir habilidades para la prevención y para la resolución pacífica de conflictos, que les permitan desenvolverse con autonomía en el ámbito familiar y doméstico, así como en los grupos sociales con los que se relacionan. d) Conocer, comprender y respetar las diferentes culturas y las diferencias entre las personas, la igualdad de derechos y oportunidades de hombres y mujeres y la no discriminación de personas con discapacidad. e) Conocer y utilizar de manera apropiada la lengua castellana y, si la hubiere, la lengua cooficial de la Comunidad Autónoma y desarrollar hábitos de lectura.

j) Utilizar diferentes representaciones y expresiones artísticas e iniciarse en la construcción de propuestas visuales. k) Valorar la higiene y la salud, aceptar el propio cuerpo y el de los otros, respetar las diferencias y utilizar la educación física y el deporte como medios para favorecer el desarrollo personal y social. l) Conocer y valorar los animales más próximos al ser humano y adoptar modos de comportamiento que favorezcan su cuidado. m) Desarrollar sus capacidades afectivas en todos los ámbitos de la personalidad y en sus relaciones con los demás, así como una actitud contraria a la violencia, a los prejuicios de cualquier tipo y a los estereotipos sexistas. n) Fomentar la educación vial y actitudes de respeto que incidan en la prevención de los accidentes de tráfico.»

VI 124603 _ 0001-0039.indd 6

6/7/09 16:39:26

Las competencias básicas EN EL CURRÍCULO

La Ley Orgánica de Educación presenta una importante novedad: la incorporación de las competencias básicas al currículo. Así, en el texto legal se afirma que «con las áreas y materias del currículo se pretende que los alumnos y las alumnas alcancen los objetivos educativos y, consecuentemente, también que adquieran las competencias básicas. Sin embargo, no existe una relación unívoca entre la enseñanza de determinadas áreas o materias y el desarrollo de ciertas competencias. Cada una de las áreas contribuye al desarrollo de diferentes competencias y, a su vez, cada una de las competencias básicas se alcanzará como consecuencia del trabajo en varias áreas o materias». Y, sobre el mismo asunto, la ley añade lo siguiente: «El currículo se estructura en torno a áreas de conocimiento, es en ellas en las que han de buscarse los referentes que permitirán el desarrollo de las competencias en esta etapa. Así pues, en cada área se incluyen referencias explícitas acerca de su contribución a aquellas competencias básicas a las que se orienta en mayor medida. Por otro lado, tanto los objetivos como la propia selección de los contenidos buscan asegurar el desarrollo de todas ellas».

Qué se entiende por competencia básica Se entiende por competencia la capacidad de poner en práctica de una forma integrada, en contextos y situaciones diferentes, los conocimientos, las habilidades y las actitudes personales adquiridas. El concepto de competencia incluye tanto los conocimientos teóricos como las habilidades o conocimientos prácticos y las actitudes. Va más allá del saber y del saber hacer o aplicar, porque incluye también el saber ser o estar.

Las competencias básicas o clave tienen las siguientes características: • Promueven el desarrollo de capacidades más que la asimilación de contenidos, aunque estos siempre están presentes a la hora de concretarse los aprendizajes. • Tienen en cuenta el carácter aplicativo de los aprendizajes, ya que se entiende que una persona «competente» es aquella capaz de resolver los problemas propios de su ámbito de actuación. • Se fundamentan en su carácter dinámico, ya que se desarrollan de manera progresiva y pueden ser adquiridas en situaciones e instituciones formativas diferentes. • Tienen un carácter interdisciplinar y transversal, ya que integran aprendizajes procedentes de diversas disciplinas académicas. • Son un punto de encuentro entre la calidad y la equidad. Por una parte, con ellas se intenta garantizar una educación que dé respuesta a las necesidades reales de la época en la que vivimos (calidad). Por otra parte, se pretende que sean asumidas por todo el alumnado, de manera que sirvan de base común a todos los ciudadanos y ciudadanas (equidad). Las competencias clave o básicas son, pues, aquellos conocimientos, destrezas y actitudes que todos los individuos necesitan para su realización y desarrollo personal, para su inclusión en la sociedad y para su incorporación al mundo del empleo. Las competencias deberían haberse adquirido al final de la enseñanza obligatoria, y tendrían que constituir la base de un continuo aprendizaje a lo largo de toda la vida.

VII 124603 _ 0001-0039.indd 7

6/7/09 16:39:26

Recursos para el quinto curso RECURSOS PARA LOS ALUMNOS

RECURSOS PARA EL PROFESOR

Libros

Guías didácticas

• Lengua castellana 5

• Guía didáctica Lengua castellana 5 – Incluye CD para el programa de Comunicación oral

•

• Conocimiento del medio 5

• Guía didáctica Matemáticas 5

•

• Educación para la ciudadanía

• Guía didáctica Conocimiento del medio 5

•

• Música 5

• Guía didáctica Educación para la ciudadanía

•

• Educación plástica 5

• Guía didáctica Música 5 – Incluye CD con canciones, ejercicios y audiciones

• Matemáticas 5

• Religión católica 5

•

• New Science 5 • Drawing and painting 5 • Lecturas 5 • Diccionario escolar

Recursos para el aula

R

Mapas mudos interactivos

•

• Mapas murales de España, de Europa y del mundo, con nombres de quitar y poner

•

Material manipulable para Matemáticas

•

Cuadernos

• Cuerpos geométricos: conos, prismas, cilindros, esfera, cubo, pirámides...

• Lengua 5 Primer trimestre

• Desarrollos de los cuerpos geométricos

• Lengua 5 Segundo trimestre

• Panel para trabajar fracciones

• Lengua 5 Tercer trimestre

• Figuras planas

•

• Matemáticas 5 Primer trimestre

• Instrumentos para la pizarra: regla, compás, transportador, escuadra y cartabón

• Matemáticas 5 Segundo trimestre

• Billetes y monedas

•

• Matemáticas 5 Tercer trimestre

Láminas de Matemáticas

• Ortografía

• Clases de cuadriláteros, clases de triángulos, cuerpos geométricos, polígonos, círculo y circunferencia, ángulos

• Números y operaciones

R a

Láminas de Conocimiento del medio

• Actividades con mapas

• Láminas para trabajar el cuerpo humano, mapas de la Comunidad Autónoma, de España, de Europa…

• Cálculo mental

Láminas de Lengua • Modelos de las conjugaciones verbales

VIII 124603 _ 0001-0039.indd 8

•

•

• Problemas de Matemáticas • Tareas de Ciencias Naturales

•

6/7/09 16:39:26

•

•

Recursos digitales

D

• Guía didáctica Educación plástica 5

• CD Recursos didácticos

• Guía didáctica Religión católica 5

• CD Documentos curriculares

• Teacher’s Book New Science 5 • Teacher’s Book Drawing and Painting 5

Programa de Estudio Eficaz

• Guía del diccionario escolar

• Manual para profesores

Recursos para evaluar • Recursos para la evaluación. Lengua castellana 5 • Recursos para la evaluación. Matemáticas 5 ,

• Recursos para la evaluación. Conocimiento del medio 5

Recursos para atender a la diversidad • Fichas de refuerzo y ampliación. Lengua castellana 5 • Fichas de refuerzo y ampliación. Matemáticas 5 • Fichas de refuerzo y ampliación. Conocimiento del medio 5 • Más Recursos. Lengua castellana 5 • Más recursos. Matemáticas 5 • Más recursos. Conocimiento del medio 5 • Trabajar con mapas

Recursos para trabajar las competencias • 100 propuestas para mejorar la competencia en comunicación lingüística • 100 propuestas para mejorar la competencia matemática • 100 propuestas para mejorar la competencia en el conocimiento e interacción con el mundo físico

IX 124603 _ 0001-0039.indd 9

6/7/09 16:39:26

Recursos para el sexto curso RECURSOS PARA LOS ALUMNOS

RECURSOS PARA EL PROFESOR

Libros

Guías didácticas

• Lengua castellana 6

• Guía didáctica Lengua castellana 6 – Incluye CD para el programa de Comunicación oral

•

• Conocimiento del medio 6

• Guía didáctica Matemáticas 6

•

• Educación para la ciudadanía

• Guía didáctica Conocimiento del medio 6

•

• Música 6

• Guía didáctica Educación para la ciudadanía

•

• Educación plástica 6

• Guía didáctica Música 6 – Incluye CD con canciones, ejercicios y audiciones

• Matemáticas 6

• Religión católica 6

•

• New Sciences 6 • Drawing and Painting 6 • Lecturas 6 • Diccionario escolar

Recursos para el aula

R

Mapas mudos interactivos

•

• Mapas murales de España, de Europa y del mundo, con nombres de quitar y poner

•

Material manipulable para Matemáticas

•

Cuadernos

• Cuerpos geométricos: conos, prismas, cilindros, esfera, cubo, pirámides...

• Lengua 6 Primer trimestre

• Desarrollos de los cuerpos geométricos

• Lengua 6 Segundo trimestre

• Panel para trabajar fracciones

• Lengua 6 Tercer trimestre

• Figuras planas

•

• Matemáticas 6 Primer trimestre

• Instrumentos para la pizarra: regla, compás, transportador, escuadra y cartabón

• Matemáticas 6 Segundo trimestre

• Billetes y monedas

•

• Matemáticas 6 Tercer trimestre

Láminas de Matemáticas

• Ortografía

• Clases de cuadriláteros, clases de triángulos, cuerpos geométricos, polígonos, círculo y circunferencia, ángulos

• Números y operaciones • Problemas de Matemáticas • Actividades con mapas • Tareas de Ciencias Naturales • Cálculo mental

R a

•

•

Láminas de Conocimiento del medio • Láminas para trabajar el cuerpo humano, mapas de la Comunidad Autónoma, de España, de Europa… Láminas de Lengua • Modelos de las conjugaciones verbales

X 124603 _ 0001-0039.indd 10

•

6/7/09 16:39:27

•

•

Recursos digitales

D

• Guía didáctica Educación plástica 6

• CD Recursos didácticos

• Guía didáctica Religión católica 6

• CD Documentos curriculares

• Teacher’s Book New Science 6 • Teacher’s Book Drawing and Painting 6

Programa de Estudio Eficaz

• Guía del diccionario escolar

• Manual para profesores • Esquemas de Lengua castellana, Matemáticas y Conocimiento del medio

Recursos para evaluar • Recursos para la evaluación. Lengua castellana 6 • Recursos para la evaluación. Matemáticas 6 ,

• Recursos para la evaluación. Conocimiento del medio 6

Recursos para atender a la diversidad • Fichas de refuerzo y ampliación. Lengua castellana 6 • Fichas de refuerzo y ampliación. Matemáticas 6 • Fichas de refuerzo y ampliación. Conocimiento del medio 6 • Más Recursos. Lengua castellana 6 • Más recursos. Matemáticas 6 • Más recursos. Conocimiento del medio 6 • Trabajar con mapas

Recursos para trabajar las competencias • 100 propuestas para mejorar la competencia en comunicación lingüística • 100 propuestas para mejorar la competencia matemática • 100 propuestas para mejorar la competencia en el conocimiento e interacción con el mundo físico

XI 124603 _ 0001-0039.indd 11

6/7/09 16:39:27

Contenidos NÚMEROS Y OPERACIONES

UNIDAD

QUINTO CURSO GEOMETRÍA Y MEDIDA

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y GRÁFICOS

1

Números de siete cifras Números de más de siete cifras Números romanos

Pasos para resolver un problema

2

Multiplicación por números de dos o más cifras Propiedad distributiva de la multiplicación Operaciones combinadas Estimaciones

Buscar datos en un texto y un gráfico

Divisiones con divisor de dos o de tres cifras Cambios en los términos de la división Problemas de dos o más operaciones

Buscar datos en una tabla y un gráfico Gráficos de barras de tres características

Fracciones Fracción de un número Fracción como reparto Comparación de fracciones Comparación de fracciones con la unidad

Ensayo y error

Suma y resta de fracciones de igual denominador Fracciones equivalentes a un número natural Fracciones equivalentes

Representar gráficamente la situación

Unidades decimales Números decimales Comparación de números decimales

Empezar por el final

Fracciones decimales Porcentajes Problemas de porcentajes

Representar los datos gráficamente

Suma y resta de decimales Multiplicación de decimal por natural División por la unidad seguida de ceros

Buscar una regla Gráficos lineales de dos características

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Medida y trazado de ángulos Ángulos consecutivos y adyacentes Ángulos y giros de 90º Mediatriz y bisectriz

Hacer un dibujo

Polígonos. El círculo Clasificación de triángulos, cuadriláteros y paralelogramos Simetría y traslación Introducción a la semejanza

Imaginar el problema resuelto

Múltiplos del metro Submúltiplos del metro Unidades de longitud. Relaciones

Representar gráficamente la situación

Unidades de capacidad. Relaciones Unidades de masa. Relaciones Problemas con unidades de medida

Hacer una tabla

Unidades de superficie Área del cuadrado y el rectángulo Área de figuras compuestas

Reducir el problema a otro conocido Pictogramas

El reloj Horas, minutos y segundos Problemas con dinero

Anticipar una solución aproximada

Más probable y menos probable Probabilidad Media

Hacer un diagrama de árbol

XII 124603 _ 0001-0039.indd 12

6/7/09 16:39:27

O

SEXTO CURSO NÚMEROS Y OPERACIONES

UNIDAD

GEOMETRÍA, MEDIDA Y ESTADÍSTICA

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y GRÁFICOS

Números de hasta nueve cifras Operaciones combinadas Problemas de varias operaciones

Pasos para resolver un problema

Potencias. Cuadrado y cubo Potencias de base 10 Expresión polinómica Raíz cuadrada

Buscar datos en varios gráficos

3

Números enteros Problemas con números enteros La recta entera. Comparación de enteros Coordenadas cartesianas

Buscar datos en varios textos o gráficos Gráficos lineales de tres características Hacer una tabla

4

Múltiplos de un número. El m.c.m. Divisores de un número Criterios de divisibilidad Cálculo de divisores. Números primos y compuestos El m.c.d.

1 2

Unidades de medida de ángulos Suma y resta de ángulos Ángulos complementarios y suplementarios Ángulos de más de 180°

5 6 7 8 9

Fracciones y números mixtos Fracciones equivalentes Reducción a común denominador Comparación de fracciones

Ensayo y error

Suma, resta, multiplicación y división de fracciones

Representar la situación

Suma, resta y multiplicación de decimales Aproximaciones Estimaciones

Anticipar una solución aproximada Histogramas

División de decimales Obtención de cifras decimales en el cociente Problemas con decimales

Representar datos con dibujos Base y altura Suma de los ángulos El número p y la longitud de la circunferencia Figuras circulares. Posiciones de rectas y circunferencias

10 11

Hacer un dibujo

Proporcionalidad Problemas con porcentajes Escalas: planos y mapas

12 13 14 15

Imaginar el problema resuelto

Empezar por el final

Unidades Unidades Unidades Unidades Unidades

de longitud. Relaciones de capacidad. Relaciones de masa. Relaciones de superficie. Relaciones agrarias

Representar gráficamente la situación

Área de figuras planas Área de figuras compuestas

Reducir el problema a otro conocido Gráficos de sectores

Poliedros. Poliedros regulares Volumen con cubo unidad Volumen y capacidad Unidades de volumen

Empezar con problemas más sencillos

Variables estadísticas. Frecuencias Media, moda, mediana y rango

Hacer un diagrama de árbol

XIII 124603 _ 0001-0039.indd 13

6/7/09 16:39:27

Las competencias básicas en el área de Matemáticas

S l y r p y

DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA Para lograr la adquisición de esta competencia, el alumno debe:

Ser capaz de conocer y valorar la presencia de las informaciones numéricas en la vida cotidiana, manejar los números en sus diferentes contextos y emplearlos con distintas finalidades.

En el tercer ciclo el alumno aprenderá los números naturales de hasta 9 cifras, las fracciones, los números decimales y los números enteros, así como los múltiples usos de todos ellos. Trabajará con las distintas situaciones cotidianas donde aparecen, y manejará las diferentes formas en las que se pueden presentar. También realizará su representación de diferentes maneras y trabajará su lectura, escritura y descomposición a partir de los distintos órdenes de unidades, así como la comparación.

Ser capaz de realizar cálculos y estimaciones con números, identificando situaciones donde sean necesarios y expresando el proceso seguido.

Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división constituyen una parte sustancial de los contenidos del tercer ciclo. También se trabajarán los porcentajes y la proporcionalidad, y las aproximaciones y estimaciones. Durante todo el ciclo asociará las operaciones con situaciones reales en las que las aplicará. El cálculo mental lo trabajará también de forma sistemática.

Ser capaz de utilizar distintas unidades de medida, estimar medidas de magnitudes y expresar los resultados en la unidad adecuada.

El alumno, a lo largo de este ciclo, trabajará con todas las unidades de medida de las magnitudes más importantes (longitud, capacidad, masa y superficie) y las utilizará en contextos reales variados, expresando los resultados en la unidad adecuada. También se dedicará especial atención a la estimación de magnitudes y al trabajo con tiempo y dinero.

XIV 124603 _ 0001-0039.indd 14

6/7/09 16:39:27

S e p e u o

S e q l f m

S y e l y e

Ser capaz de reconocer la presencia de líneas, formas y cuerpos geométricos en la realidad, aplicar sus características para describir situaciones y utilizarlas con distintos fines.

En lo referente al plano, el alumno trabajará los distintos tipos de figuras planas (polígonos y círculos), sus elementos, clasificación y trazado; los ángulos, sus elementos y clasificación, medida y trazado. También aprenderá a calcular el perímetro y el área de un polígono y un círculo. El trabajo con el espacio se concretará en el estudio de los cuerpos geométricos (prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas) y sus elementos y se trabajará el cálculo del volumen de ortoedros y cubos.

Ser capaz de utilizar y elaborar estrategias de resolución de problemas, elegir la más adecuada en cada caso y aplicarla siguiendo un proceso de resolución ordenado.

Durante todo el ciclo, el alumno reconocerá y resolverá diferentes tipos de problemas, todos ellos con dos o más operaciones y enfocados a situaciones cotidianas. Los alumnos aprenderán a seguir un proceso ordenado de resolución y conocerán y utilizarán diferentes estrategias para resolver los problemas, teniendo también la oportunidad de inventar problemas propios.

. -

Ser capaz de recoger datos e informaciones del entorno que le rodea, representar la información en distintas formas, interpretarla y producir mensajes con ella.

Durante el tercer ciclo los alumnos aprenderán a interpretar y representar gráficos de barras, gráficos lineales, pictogramas, histogramas y gráficos de sectores. A partir de ellos, extraerán información que les permitirá contestar preguntas y resolver problemas. También trabajarán la probabilidad y el cálculo de medidas estadísticas (media, mediana, moda y rango).

s rs s y

Ser capaz de reconocer la presencia y el papel de las Matemáticas en nuestro mundo, valorar la importancia de la creatividad y el rigor al utilizarlas y confiar en sus propias habilidades.

Los alumnos llegarán a reconocer y apreciar la utilidad de las Matemáticas en su vida cotidiana, al realizar actividades de distintos tipos centradas siempre en contextos reales. El trabajo sistemático y organizado les permitirá tomar conciencia de la importancia de ser ordenados y cuidadosos.

s s s í

XV 124603 _ 0001-0039.indd 15

6/7/09 16:39:27

CONTRIBUCIÓN DEL ÁREA DE MATEMÁTICAS AL DESARROLLO DE OTRAS COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia en comunicación lingüística

Competencia en el conocimiento e interacción con el mundo físico

C y

Para desarrollar esta competencia, al trabajar las Matemáticas los alumnos deben poner especial atención en la incorporación de los términos matemáticos al lenguaje usual y su uso correcto, en la descripción verbal de los procesos y en la comprensión de los textos que se les ofrecen (en especial, los problemas). Es necesario que los alumnos hablen, escriban, escuchen y expliquen el proceso seguido en su trabajo matemático.

El área de Matemáticas permite a los alumnos comprender, describir e interactuar con el entorno físico que les rodea. El trabajo con las posiciones en el espacio, las figuras y cuerpos geométricos, la simetría… les capacitará para ser competentes en el empleo de planos, mapas, rutas… De la misma manera, los contenidos de números, operaciones y medida les ayudan a comprender la realidad, y a interactuar con ella. Con el estudio de los gráficos entienden y producen informaciones sobre el entorno.

Tratamiento de la información y competencia digital

Esta área contribuye a la adquisición de esta competencia de varias formas. Por un lado, aporta destrezas como la comparación de números, la aproximación, las distintas formas de expresar y de usar los números…; y por otro, trabaja la recogida y tabulación de datos, y la interpretación y representación de tablas de doble entrada y de los tipos de gráficos más comunes.

Competencia social y ciudadana

Valores como el rigor, el cuidado, la perseverancia están asociados al trabajo matemático. De la misma manera, el trabajo en equipo y la consideración y reflexión sobre las opiniones y puntos de vista de los otros (por ejemplo, al resolver problemas) contribuyen al desarrollo de esta competencia.

XVI 124603 _ 0001-0039.indd 16

6/7/09 16:39:27

C a

A e

s l , a n s n

s o s a n a y .

a a y n e

a sn e -

Competencia cultural y artística

El saber matemático es parte fundamental del conocimiento de la humanidad, y contenidos como los tratados en Geometría permiten al alumno comprender, de manera más efectiva, las manifestaciones artísticas, y ser capaz de utilizarlos para crear obras propias.

Competencia para aprender a aprender

El desarrollo de nociones matemáticas firmes y el manejo diestro de la información son instrumentos que facilitan posteriores aprendizajes. De igual manera, actitudes como la autonomía y el esfuerzo se potencian al abordar situaciones complejas de manera sistemática. La verbalización de los procesos seguidos ayuda también a la reflexión sobre lo aprendido y la consecución de un aprendizaje efectivo.

Autonomía e iniciativa personal

Las Matemáticas contribuyen a la consecución de esta competencia desde los contenidos asociados a la resolución de problemas, que es uno de los ejes fundamentales del área. La contribución a esta competencia se realiza desde tres vertientes principales: la planificación, la gestión de los recursos y la valoración de los resultados. La resolución de situaciones abiertas fomenta la confianza en las propias capacidades.

UNIDADES

COMPETENCIAS BÁSICAS EN MATEMÁTICAS 6

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Competencia lingüística

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

Interacción con el mundo físico

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

Tratamiento de la información

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

Competencia social y ciudadana

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

Competencia cultural y artística

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

Aprender a aprender

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

Autonomía e iniciativa personal

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

XVII 124603 _ 0001-0039.indd 17

6/7/09 16:39:28

Programa de Estudio Eficaz El proyecto La Casa del Saber pretende, en tercer ciclo de Primaria, preparar a los alumnos para que afronten con éxito la ESO. El programa de Estudio Eficaz es una herramienta para lograrlo. Con este programa se puede entrenar a los alumnos en el uso de técnicas y habilidades que serán de gran utilidad en su vida académica.

Recursos para el profesorado

PRIMARIA

PROGRAMA DE ESTUDIO EFICAZ

Manual para profesores Reflexiones, estrategias y actividades para trabajar las técnicas de estudio, la preparación de evaluaciones y la presentación de trabajos

Este programa tiene cuatro componentes:

1. Manual para profesores

Santillana

Contiene reflexiones, estrategias, sugerencias didácticas y fichas fotocopiables. Comprende tres grandes apartados: técnicas de estudio, preparación de evaluaciones escolares y presentación de trabajos. 173835_C.indd 1

Técnicas de estudio

Técnicas de estudio

Técnicas de estudio

Subrayar Subrayar desarrolla: La atención. La concentración. La capacidad de análisis.

Este apartado incluye las siguientes habilidades, que permiten a los alumnos consolidar el aprendizaje de los contenidos, a medida que van estudiando un tema:

1. En qué consiste subrayar Subrayar implica detectar aquello que resulta importante dentro de un texto. ¿Pero nos importa siempre lo mismo? Dependiendo de qué objetivos persigamos, podemos realizar distintos tipos de subrayado. Es posible que solo pretendamos localizar unos datos; tal vez busquemos la idea esencial y las ideas secundarias; o puede ser que queramos examinar el texto de manera pormenorizada. Según el objetivo que nos planteemos, resultará pertinente subrayar más o menos cantidad de texto.

2. Para qué subrayamos Subrayamos palabras clave para generar marcadores mentales. Este tipo de subrayado resulta de especial utilidad para aprender conceptos y para explicar después su significado.

En la digestión participan varias partes del aparato digestivo: En la boca, los alimentos se desmenuzan con los dientes y se mezclan con la saliva, producida por las glándulas salivales. Así se forma el bolo alimenticio.

boca Digestión

Preparación de evaluaciones escolares

Aproveche este tipo de subrayado para elaborar esquemas.

dientes glándulas salivales

bolo alimenticio

… …

Preparación de evaluaciones

Subrayamos partes del texto para identificar las ideas principales.

Repasar procedimientos

Este tipo de subrayado resulta útil para estudiar un tema y luego desarrollarlo. En la digestión participan varias partes del aparato digestivo: En la boca, los alimentos se desmenuzan con los dientes y se mezclan con la saliva, producida por las glándulas salivales. Así se forma el bolo alimenticio.

El material necesario Un libro en el que no importe marcar (o una fotocopia). Un lápiz y un borrador, para poder rectificar.

1. En qué consiste repasar procedimientos Repasar Aproveche este tipo de procedimientos subrayado para redactarEl alto contenido procedimental del área de Matemáticas justifica que se dedique un garantiza: apartado específico para reflexionar sobre las estrategias y las técnicas que son resúmenes. Comprender lo que se está haciendo. Establecer rutinas de autocontrol. Verbalizar procesos mentales. Tomar conciencia de los procesos de aprendizaje.

Los alumnos con pocas habilidades estratégicas no repasan un procedimiento de manera espontánea. Es importante tomar conciencia de este hecho para planificar 7 iniciativas didácticas que se emprendan. las Si un procedimiento tiene éxito, el niño no va a plantearse si lo ha hecho bien o mal. Le basta con el resultado. Si un procedimiento fracasa, el niño lo repetirá mecánicamente; y si sigue fracasando, tal vez desista, tal vez pruebe otro procedimiento y..., vuelta a empezar.

2. Para qué repasamos procedimientos El objetivo último de repasar procedimientos es tener la certeza de que una tarea está bien hecha. En el terreno práctico, esto se traduce en una doble seguridad: Presentación de trabajos Estar seguros de que no se han cometido errores. Estar seguros de que se ha empleado el mejor procedimiento posible.

Para qué repasamos los procedimientos

No da por terminada una división hasta que hace la prueba (cociente 3 divisor 1 resto).

detectar errores Buscar información es una tarea planificada que Para va encaminada a un fin.

En clase, durante la corrección de una serie de porcentajes, ve que tiene mal un cálculo. En lugar de limitarse a copiar el resultado correcto, lo recalcula sobre la marcha y lo anota bien.

Para detectar errores en el proceso

A su compañera le sale otro resultado distinto en el problema y compara los pasos que han seguido uno y otra.

¿Qué busco? Para mejorar procedimientos

Para calcular 2/3 de 150 antes realizaba todas las operaciones (150 : 3 y 50 3 2). Cuando ha automatizado el procedimiento, lo calcula mentalmente y anota el resultado.

2.º Sopesar cuál es la fuente más idónea.

¿Dónde lo buscaré?

3.º Aplicar la estrategia más eficaz.

¿Cómo lo buscaré?

2. Para qué buscamos información 53

Los alumnos buscan informaciones puntuales para: Resolver actividades concretas que les han encargado. Resolver dudas y adquirir conocimientos por los que se preguntan, ya sea de forma espontánea o por encargo.

Preparar y elaborar un trabajo escrito. Preparar y presentar una exposición oral.

3. Estrategias: Elegir buenas fuentes de información Los alumnos de Primaria aún no disponen de capacidad plena para distinguir entre información y opinión. Tampoco pueden discernir de manera autónoma las informaciones veraces y contrastadas de las que no lo son. Para elegir correctamente las fuentes de información, es necesario tener en cuenta tres variables:

Imprecisión, intención tendenciosa o recreación subjetiva Ficción

En un libro de texto encontramos la información bien diferenciada de todo lo que no lo es.

En un documental televisivo, sobre todo si está avalado por una firma de prestigio, solemos encontrar veracidad.

Repasar procedimientos Reflexionar sobre el propio aprendizaje

Presentación de trabajos

Buscar la información

Opinión e interpretación

Veracidad Realidad

El segundo apartado del programa está dedicado a trabajar las siguientes habilidades, que los alumnos necesitan para preparar sus evaluaciones:

En este apartado se incluyen las siguientes habilidades, necesarias para planificar y elaborar de forma organizada trabajos escritos y exposiciones orales:

Además, en el tercer ciclo de Primaria, los alumnos se inician en la búsqueda de información sobre un tema monográfico para:

Información

Preparación de evaluaciones escolares

Ejemplos de situaciones matemáticas en las que el alumno repasa procedimientos

Para comprobar resultados 1. En qué consiste buscar información

1.º Saber bien lo que se busca.

Técnicas para sintetizar la información • Resumir. • Organizar gráficamente la información: esquemas y tablas.

Repasar contenidos

Buscar información

en el resultado

Técnicas para seleccionar la información • Subrayar. • Inferir las ideas principales. • Detectar ideas antes de leer.

propias de esta área. No obstante, algunas de las sugerencias que se incluyen son igualmente válidas en otras áreas de aprendizaje.

Por lo tanto, la acción docente debe dirigirse a inculcar en los alumnos hábitos de reflexión y actitudes de interés por el trabajo bien hecho, para que tomen conciencia de los procesos de aprendizaje de los que son protagonistas.

Antes de comenzar a buscar información, hace falta:

5/2/09 08:23:28

Elaborar trabajos escritos En una novela encontramos ficción, aunque puede ser una ficción verosímil.

73

Presentación de trabajos

Presentar exposiciones orales

XVIII 124603 _ 0001-0039.indd 18

6/7/09 16:39:28

3 g

E e n p a s

4 C y

E p f

1. DescompĂłn cada nĂşmero y escribe cĂłmo se lee.

5.

9. Resuelve cada problema de dos formas

ESTUDIO EFICAZ. Copia y completa el

esquema.

â—?

70.421

â—?

39.210.008

â—?

682.093

â—?

265.074.300

â—?

2.407.516

â—?

823.609.050

Cuarenta y cinco millones treinta mil doscientos siete.

2.º ‌ 3.º ‌

Sin parĂŠntesis Con parĂŠntesis

Tres millones quinientos catorce mil ochenta.

â—?

20 2 (8 1 5)

â—?

16 2 7 1 (9 2 3)

Seiscientos veintisiete millones ciento sesenta y tres mil.

â—?

6 1 3 3 10

â—?

3372832

â—?

(15 2 3) : 4

â—?

(5 1 4) 3 (6 2 1)

â—?

Trescientos millones dos mil cien.

â—?

10 3 6 : 5

â—?

14 2 4 3 3 1 7

â—?

Setenta y nueve millones trescientos mil cuatrocientos noventa y uno.

â—?

18 : (7 1 2)

â—?

9 2 (5 1 13) : 6

â—?

53826

â—?

20 : 4 3 3 1 8

MoscĂş (Rusia)

11.300.000 hab.

â–ś

Sin parĂŠntesis

â–ś â–ś

â—?

Loreto tenĂ­a guardadas en su ordenador 13.062 fotografĂ­as. Hoy ha borrado 297 y ha metido 451 nuevas. DespuĂŠs ha copiado las fotos en varios CD, grabando 275 en cada uno. ÂżCuĂĄntos CD ha necesitado? ÂżCuĂĄntas fotos ha copiado en el CD incompleto?

â—?

RomĂĄn y Pilar se han ido este verano de viaje. El aviĂłn de ida y vuelta les ha costado 145 a cada uno y la estancia en el hotel en habitaciĂłn doble, 87 al dĂ­a. En total han tenido que pagar 1.073 . ÂżCuĂĄntos dĂ­as han estado de viaje?

‌ ‌

Un tren sale de la estaciĂłn con 186 viajeros. En el trayecto hace dos paradas: en la primera, bajan 64 personas y suben 59, y en la segunda parada bajan 39 y suben 78. ÂżCuĂĄntos viajeros hay en el tren al final del trayecto?

Con parĂŠntesis

Un camiĂłn puede cargar un mĂĄximo de 19.000 kg. Se han cargado en ĂŠl 98 cajas de 70 kg y 25 cajas de 105 kg. ÂżCuĂĄntos kilos mĂĄs pueden cargarse aĂşn en el camiĂłn?

‌ ‌

Saber cuĂĄndo es rentable un abono

ERES CAPAZ DE‌ a.

2

1

d.

2(

1

)

b.

3

1

e.

3(

1

)

c.

:

f.

:(

2

2

En el polideportivo municipal han abierto una piscina. Se puede ir a nadar pagando cada dĂ­a una entrada diaria, pero las personas que van a menudo tienen otras opciones mĂĄs baratas como sacar bonos de 10 dĂ­as, sacar abonos mensuales o sacar un abono anual.

)

â—?

A 15 le resto la suma de 6 y 4. ▜ d. 15 2 (6 1 4) 5 ‌

â—?

A 7 le resto 2 y luego le sumo 5.

â—?

Multiplico 10 por la suma de 5 y 2.

â—?

Divido 12 entre la diferencia de 7 y 4.

â—?

Al doble de 8 le sumo 3.

â—?

A la mitad de 14 le resto 5.

â—?

Precios: – Entrada diaria ▜ 3 . – Bono de 10 días ▜ 25 . – Abono mensual ▜ 37 . – Abono anual ▜ 185 .

Observa los precios de cada opción y calcula: – ¿Cuåntos días hay que ir como mínimo para que resulte mås barato sacar un bono de 10 días que sacar entradas diarias? – ¿Y para que resulte mås barato sacar un abono mensual que entradas diarias? ¿Y para que resulte mås barato sacar un abono anual?

8. Escribe los nĂşmeros en su lugar para que las Buenos Aires (Argentina)

Shanghai (China)

11.920.000 hab.

13.300.000 hab. 2

â—?

â—?

3 5

ÂżCuĂĄl de estas ciudades es la mĂĄs poblada? ÂżY la menos poblada? ÂżCuĂĄntos habitantes tiene Bombay mĂĄs que Buenos Aires?

â—?

dos expresiones sean ciertas.

1

4 6

2 4

7 3

5

6

â—?

2(

â—?

2

â—?

3(

â—?

1

1 1 2 3

Explica quĂŠ opciĂłn aconsejarĂ­as a cada persona:

)52

– Raquel va a ir a la piscina 8 días.

55

– Fran quiere ir 15 días este mes.

1

Operaciones combinadas

– Juancho piensa ir 2 veces a la semana durante todo el aùo.

) 5 15

Objetivos

5 12

14

3. Coloca los parĂŠntesis necesarios para que las igualdades sean ciertas.

UNIDAD

â—?

9 2 4 3

â—?

8 6:2 7

â—?

10 2 4 3 1

â—?

3 5 6 48

â—?

9 7 4 6

â—?

5 7 3 8 28

Al resolver operaciones combinadas, es necesario seguir este orden al operar:

r Calcular operaciones combinadas, respetando la jerarquĂ­a de las operaciones.

1.Âş Calcula las operaciones que hay dentro de los parĂŠntesis.

r Reconocer la expresiĂłn numĂŠrica correspondiente a una frase y hallar su valor.

Por ejemplo:

4. Calcula cada operaciĂłn combinada y relaciĂłnala con su frase correspondiente.

2.Âş Calcula las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen.

5 6 : 3

8 (5 2)

36 : 4 3 2 8 9 3 2 8

5 2

9 6 8

7

3 8

Sugerencias didĂĄcticas

â—?

ÂżQuĂŠ operaciĂłn realizo primero?

â—?

ÂżQuĂŠ le resto a 8: un nĂşmero o el resultado de una operaciĂłn?

8 5 2 1 â–ś A 8 le resto 5 y al resultado le resto 2. 8 (5 2) 5 â–ś A 8 le resto la diferencia de 5 y 2.

11

Para empezar r Recuerde a los alumnos la jerarquĂ­a de las operaciones: parĂŠntesis, multiplicaciones y divisiones y, por Ăşltimo, sumas y restas. SeĂąale la importancia de seguir un proceso ordenado.

Piensa:

8 5 2

15

5 6 : (7 4)

â—?

8 5 2

â—?

A 8 le resto la suma de 5 y 2.

â—?

8 (5 2)

â—?

A 8 le resto 5 y al resultado le sumo 2.

2. 10 – 8 5 2; 6 3 2 5 12 35 : 7 5 5; 7 1 2 5 9 516:2551358 5 1 8 – 1 5 13 – 1 5 12 9–816511657 7 3 4 1 6 5 28 1 6 5 34 8 1 3 5 11 23356 2 3 15 5 30 24 – 2 3 10 5 24 – 20 5 4 6 1 18 : 6 5 6 1 3 5 9 4 1 5 3 8 5 4 1 40 5 44 118–759–752 9 1 2 – 4 5 11 – 4 5 7 6 3 5 1 2 5 30 1 2 5 32

5 6 : (7 4) 5 6 : 3 5 2 7 36 : 4 3 2 8 9 3 2 8 9 6 8 3 8 11

â—?

8 5 2

â—?

A 8 le sumo 5 y el resultado lo multiplico por 2.

â—?

(8 5) 2

â—?

A 8 le sumo el producto de 5 y 2.

â—?

Al hacer operaciones combinadas, primero calculamos los parĂŠntesis, despuĂŠs las multiplicaciones y divisiones y por Ăşltimo las sumas y restas.

â—?

8 5 2

â—?

Multiplico 8 por 5 y al resultado le resto 2.

8 (5 2)

â—?

Multiplico 8 por la diferencia de 5 y 2.

5. Resuelve estos problemas. DespuĂŠs, escribe en una sola expresiĂłn

Para explicar

todas las operaciones que hayas hecho.

r Resuelva paso a paso en la pizarra los ejemplos propuestos. Comente a los alumnos que deben resolver una operaciĂłn en cada paso y operar ordenadamente, sin prisas, analizando todas las operaciones de las expresiones sucesivas para ver cuĂĄl hay que hacer primero. Muestre la relaciĂłn entre las operaciones combinadas y sus expresiones escritas y cĂłmo la prioridad de las operaciones se refleja tambiĂŠn en esas frases.

3. Sugerencias en las guĂ­as para el profesor Estas sugerencias son el puente natural entre el Manual para profesores y los libros del alumno. En ellas se hacen propuestas concretas para utilizar el Manual a lo largo del libro del alumno. Se encuentran en las columnas de sugerencias didĂĄcticas de cada unidad.

Para reforzar r Escriba en la pizarra operaciones combinadas mal resueltas y pida a los alumnos que detecten los errores y las corrijan, siguiendo las pautas que ofrece el manual de ESTUDIO EFICAZ en la pĂĄgina 58.

1. Subraya la operaciĂłn que tienes que hacer primero. DespuĂŠs, calcula. â—?

â—?

9 6 3 ‌ ‌ ‌

â—?

7 8 5 ‌

â—?

20 12 : 4 ‌

â—?

2 9:3 ‌

â—?

‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌

15 (7 2) ‌ (9 4) 6 ‌

1.Âş ParĂŠntesis. 2.Âş Multiplicaciones y divisiones. 3.Âş Sumas y restas.

8 12 : 4

â—?

AndrĂŠs comprĂł un pantalĂłn por 18 y una sudadera por 14 . PagĂł con un billete de 50 . ÂżCuĂĄnto dinero le devolvieron?

â—?

RocĂ­o tiene una bandeja con 35 pasteles de crema y 61 de chocolate. Quiere repartirlos en partes iguales en 8 platos. ÂżCuĂĄntos pasteles pondrĂĄ en cada plato?

‌ ‌

10 : (2 3) ‌

‌ ‌

(18 4) : 2 ‌

‌ ‌

10 4 2

5 (8 2) : 2

(10 4) 2

5 8 2:2

35 : (5 2)

9 2 4 6

35 : 5 2

(9 2) 4 6

24 2 (7 3)

Un camiĂłn llevaba 168 kg de fruta. En un mercado descargĂł 24 cajas de 3 kg de fruta cada una. ÂżCuĂĄntos kilos de fruta lleva ahora el camiĂłn?

‌ ‌

â—? â—?

2. Calcula. RECUERDA

â—?

6.

(10 4) 18 : 6

9 8 : 4 (1 3)

12 : 3 5 8

(4 2) 5 (8 6)

Calculas el doble de un nĂşmero y despuĂŠs le sumas otro nĂşmero. â—?

Calculas el doble de la suma de esos dos nĂşmeros.

Pon un ejemplo que explique tu respuesta.

10

11

Otras actividades

Otras actividades

r Escriba en la pizarra distintas operaciones combinadas en las que aparezcan los mismos nĂşmeros. Pida a los alumnos que las calculen y comparen sus resultados. Por ejemplo:

Competencias bĂĄsicas

25 – 9 – 5 25 – (9 – 5) (25 – 9) – 5

Tratamiento de la informaciĂłn Muestre cĂłmo una misma informaciĂłn puede venir expresada en forma numĂŠrica (operaciĂłn combinada) o con palabras (expresiĂłn escrita). SeĂąale la importancia de entender ambas y saber pasar de una a otra.

3. r 9 – (2 1 4) 5 3 r (3 1 5) 3 6 5 48 r (8 1 6) : 2 5 7 r 9 – (7 – 4) 5 6 r (10 – 2) – (4 1 3) 5 1 r 5 3 (7 – 3) 1 8 5 28

RAZONAMIENTO. Piensa e indica si obtienes o no el mismo resultado.

6 5 4 2 7

10 : 5 3 2 (6 9)

8–332 833–2 8 3 (3 – 2)

6 3 (4 – 1) 634–1 6 – (4 3 1)

r Puede trabajar, si lo cree conveniente, el paso directo de frase escrita a operaciĂłn combinada. Dicte a sus alumnos estas frases para que ellos las expresen de forma numĂŠrica en su cuaderno:

12 : 2 1 1 12 : (2 1 1) (12 : 2) 1 1

– Multiplico 7 por 3 y al resultado le resto 5. – Multiplico 2 por la diferencia de 15 y 9. – Al producto de 8 y 5 le sumo 10.

Insista una vez mĂĄs en que es imprescindible aplicar correctamente el orden establecido en la realizaciĂłn de las operaciones para obtener el resultado correcto. PĂ­dales que planteen ejemplos similares por sĂ­ mismos.

– Divido entre 5 la suma de 25 y 20. – Al doble de 6 le resto 7 y le sumo 4. Verifique las respuestas en la pizarra. En caso de respuestas erróneas, seùale cómo se expresarían por escrito esas expresiones numÊricas para despejar las dudas que existan.

1

Soluciones 1. r 9 – 6 1 3 5 3 1 3 5 6 r 7 1 8 3 5 5 7 1 40 5 47 r 20 – 12 : 4 5 20 – 3 5 17 r 2 3 9 : 3 5 18 : 3 5 6 r 15 – (7 1 2) 5 15 – 9 5 6 r (9 – 4) 3 6 5 5 3 6 5 30 r 10 : (2 1 3) 5 10 : 5 5 2 r (18 – 4) : 2 5 14 : 2 5 7

HAZLO ASĂ?

3.Âş Calcula las sumas y restas en el orden en que aparecen.

09 08:23:28

e s

En los libros del alumno se proponen actividades –identificadas con la etiqueta ESTUDIO EFICAZ– en las que se trabajan estrategias para estudiar y repasar los contenidos båsicos. Ademås, en las guías para el profesor, al inicio de cada unidad se ofrece la relación de estas actividades y de las estrategias a las que hacen referencia.

numĂŠricamente cada frase y calcula.

ciudades y contesta.

Bombay (India)

â—?

â–ś

â—?

7. Elige una de las siguientes opciones, expresa

4. Observa el nĂşmero de habitantes de estas

12.600.000 hab.

En una panaderĂ­a han cocido por la maĂąana 268 barras y han vendido 195. Por la tarde, han cocido 120 y han vendido 87. ÂżCuĂĄntas barras cocidas han quedado sin vender?

6. Calcula.

â—?

cada nĂşmero de la actividad 2.

â—?

1.º Calcular los‌

â—?

3. Escribe el valor en unidades de la cifra 3 en

10. Resuelve.

distintas. Escribe todas las operaciones en una sola expresiĂłn.

ORDEN EN LAS OPERACIONES COMBINADAS

2. Escribe con cifras estos nĂşmeros. â—?

2. Actividades en los libros del alumno

1

Actividades

4. r 8 – 5 1 2. A 8 le resto 5 y al resultado le sumo 2. r 8 – (5 1 2). A 8 le resto la suma de 5 y 2. r 8 1 5 3 2. A 8 le sumo el producto de 5 y 2. r (8 1 5) 3 2. A 8 le sumo 5 y el resultado lo multiplico por 2. r 8 3 5 – 2. Multiplico 8 por 5 y al resultado le resto 2. r 8 3 (5 – 2). Multiplico 8 por la diferencia de 5 y 2. 5. r 168 – 24 3 3 5 96 Lleva 96 kg de fruta. r 50 – (18 1 14) 5 18 Le devolvieron 18 . r (35 1 61) : 8 5 12 Pondrå 12 pasteles. 6. No se obtiene el mismo resultado en los dos casos. r R. M. 2 3 3 1 5 5 11 2 3 (3 1 5) 5 16

11

10

y

Recursos para el profesorado

PRIMARIA

PROGRAMA DE ESTUDIO EFICAZ

Estos materiales recogen los contenidos imprescindibles de la Primaria presentados en forma de esquemas.

a Prueb orial editara p en exam

Esquemas de MatemĂĄticas Los contenidos imprescindibles de la Primaria resumidos en 28 esquemas

La versiĂłn definitiva de este material didĂĄctico se entregarĂĄ gratuitamente en CD

PROGRAMA DE ESTUDIO EFICAZ

Recursos para el profesorado

ar-

La versiĂłn definitiva de este material didĂĄctico se entregarĂĄ gratuitamente en CD

174067_C.indd 1

PROGRAMA DE ESTUDIO EFICAZ

174034_C.indd 1

5/2/09 08:39:01

PRIMARIA

a Prueb orial editara p en exam

Santillana

Esquemas de Conocimiento del medio

Recursos para el profesorado

PRIMARIA

ae-

4. Esquemas de Lengua, Conocimiento del medio y MatemĂĄticas

Los contenidos imprescindibles de la Primaria resumidos en 30 esquemas

a Prueb orial editara p en exam

La versiĂłn definitiva de este material didĂĄctico se entregarĂĄ gratuitamente en CD

Santillana

5/2/09 08:48:57

174019_C.indd 1

Esquemas de Lengua castellana Los contenidos imprescindibles de la Primaria resumidos en 19 esquemas

Santillana

5/2/09 08:33:16

XIX 124603 _ 0001-0039.indd 19

6/7/09 16:39:28

El libro del alumno

A

CÓMO ESTÁ ORGANIZADO EL LIBRO El libro de Matemáticas cuenta con quince unidades, organizadas en tres trimestres de cinco unidades. Al final de cada uno aparecen cuatro páginas de repaso trimestral. Cada unidad tiene las siguientes partes:

Páginas iniciales 1

Números naturales. Operaciones

Cada unidad comienza con una doble página de introducción a los contenidos y repaso.

RECUERDA LO QUE SABES Operaciones con números naturales Suma 5 8 0 6 12 4 7 9 8 2 8 5

Resta

Multiplicación 2 3 7 .1 4 7 4 1 4 8 1

4 6 3 2 5

5 7 0 3 7 1 0 7 1

minuendo sustraendo diferencia

9 4 2 3 27 5 6 1 1 8 6 2

sumando sumando suma o total

En la página izquierda se ofrecen a los alumnos una fotografía, con una situación real y próxima a ellos, y se les plantean una serie de preguntas. De esta forma, relacionan la imagen con sus experiencias vitales y con los contenidos necesarios para la unidad.

División

factor factor

dividendo

4 6 9 5 7 43 divisor 3 9 5 1092 cociente 0 8 7 resto 0 1

producto

Estimación de operaciones ●

●

Estimación de sumas ▼

●

Estimación de restas

4.297 1 1.835

7.492 2 318

▼

▼

4.000 1 2.000 5 6.000

Estimación de productos 5.761 3 2

▼

▼

7.500 2 300 5 7.200

▼

6.000 3 2 5 12.000

S

1. Calcula. Después, haz la prueba de las restas y las divisiones. ● ●

La Tierra gira alrededor del Sol. En cada vuelta recorre unos 930 millones de kilómetros. Tarda en dar una vuelta 365 días y 6 horas y viaja a una gran velocidad. Cada hora recorre 106.000 km. La Tierra no siempre está a la misma distancia del Sol. La distancia media entre ambos es 1 UA (unidad astronómica), que equivale a 149.675.000 km.

●

8.329 1 4.516 1 738

4.261 2 569

●

20.347 2 865

316 3 273

●

782 3 450

●

695 3 908

●

5.928 : 38

●

22.863 : 56

●

64.456 : 179

Escribe con cifras los kilómetros que recorre la Tierra al dar una vuelta alrededor del Sol. ¿Cuántas cifras tiene el número? ¿Cuántas de ellas son ceros?

●

¿Qué es 1 UA? ¿Cuántos kilómetros son? La distancia media entre el Sol y Marte es casi doscientos veintiocho millones de kilómetros. ¿Qué planeta está más lejos del Sol, la Tierra o Marte?

62.734 1

●

5 68.251

584 3

● ●

29.035 2

●

5 179.288

●

3 260 5 103.220

●

A leer, escribir, descomponer y comparar números de hasta 9 cifras.

●

A calcular operaciones combinadas con y sin paréntesis y expresarlas con una frase.

●

A resolver problemas de varias operaciones.

5 4.187

: 143 5 572 5 637

132.496 :

3. Estima las siguientes operaciones.

¿Cuántos kilómetros recorre la Tierra en una hora? ¿Y en un día?

●

2 5.397 5 8.406

●

1 49.018 5 73.542

●

●

5.129 1 6.308

●

9.175 2 2.830

●

637 3 5

●

8.392 1 764

●

7.238 2 91

●

3.729 3 8

En la página derecha, se ofrecen un resumen y actividades de trabajo sobre contenidos previos necesarios para abordar con éxito la unidad. También se explica al alumno qué va a aprender durante la unidad.

VAS A APRENDER

2. Calcula el término que falta en cada operación.

●

●

759 1 3.824

●

6

7

Páginas de contenidos El trabajo con los contenidos de la unidad se realiza, en general, mediante dobles páginas. Comienzan con una explicación clara y concisa del contenido presentada mediante una situación real. La explicación se cierra con un resumen que enmarca las ideas clave.

1

Números de hasta nueve cifras ●

4. Escribe el número anterior y el posterior. ●

...

◀

1.000.000 ▶ ...

●

...

◀

30.000.000 ▶ ...

●

...

◀

599.999.999

▶ ...

●

...

◀

9.386.999 ▶ ...

●

...

◀

99.999.999 ▶ ...

●

...

◀

900.000.000

▶ ...

Observa los nueve primeros órdenes de unidades.

5. En cada número, escribe el valor en unidades de las cifras 2. Centena Decena Unidad de Centena Decena Unidad Centena de millón de millón millón de millar de millar de millar

Decena

Unidad

●

●

U D 5 10 U C 5 10 D 5 100 U UM 5 10 C 5 1.000 U DM 5 10 UM 5 10.000 U CM 5 10 DM 5 100.000 U U. de millón 5 10 CM 5 1.000.000 U D. de millón 5 10 U. de millón 5 10.000.000 U C. de millón 5 10 D. de millón 5 100.000.000 U

De 10

●

502.382.142

250.226.000

2.496.551

2.473.890

9.720.346

10.302.615

347.000.500

346.993.600

18.396.522

18.397.282

621.950.384

73.692.184

56.076.328

58.029.460

en 10

7. Escribe con cifras los números y ordénalos de mayor a menor. Después, contesta.

¿Cuándo vivieron?

Fíjate cómo se descompone y se lee el número 502.816.030.

Triceratops ▶ Hace 70 millones de años.

502.816.030 5 5 C. de millón 1 2 U. de millón 1 8 CM 1 1 DM 1 6 UM 1 3 D 5 500.000.000 1 2.000.000 1 800.000 1 10.000 1 6.000 1 30

Iguanodón ▶ Hace 130 millones de años. Pteranodonte ▶ Hace 85 millones de años.

502.816.030 se lee quinientos dos millones ochocientos dieciséis mil treinta.

Stegosaurus ▶ Hace 155 millones de años.

En el sistema decimal, 10 unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior. Por ejemplo, 10 unidades forman 1 decena y 10 centenas de millar 1 millón.

1. Descompón los siguientes números. 3.970.205

24.508.960

302.750.681

540.309.027

8.016.043

70.435.009

897.060.100

900.286.415

●

¿Qué dinosaurio vivió hace más tiempo: el Stegosaurus o el Iguanodón?

●

¿Qué dinosaurios vivieron hace menos de 100.000.000 de años?

●

¿Cuántos años vivió el Pteranodonte antes que el Triceratops?

8. Escribe dos números que cumplan cada condición.

2. Escribe cómo se lee cada número de la actividad 1. 3. Escribe los siguientes números.

●

Mayores que 259.700.000 y menores que doscientos sesenta millones.

●

Sus cifras 5 valen 50.000.000, 500.000, 5.000 y 50 unidades.

CÁLCULO MENTAL ●

PRESTA ATENCIÓN

Seiscientos cuarenta mil noventa y cinco.

● ●

1

Calcula sumas y restas sin paréntesis 3. Coloca los paréntesis necesarios para que las igualdades sean ciertas. 51623 10 1 70 2 20 300 1 600 2 200 ● 9 2 2 1 4 5 3 ● 8 1 6 : 2 5 7 ● 10 2 2 2 4 1 3 5 1 41719 90 2 30 2 40 700 2 500 2 100 6 2 2 1 1 5 4●1 ● 9 2 7 2 4 5 6 ● 5 3 7 2 3 1 8 5 28 31 15 55 3 6 5 48 82126 40 1 50 1 60 900 2 200 2 600

Operaciones combinadas Cuatro millones veintitrés mil setecientos uno.

En un número, el primer punto por la derecha indica los millares, y el segundo punto los millones.

Setenta y tres millones quinientos diez mil.

●

Ochocientos nueve millones cien mil seis. Al resolver operaciones combinadas, es necesario seguir este orden al operar:

4. Calcula cada operación combinada y relaciónala con su frase correspondiente.

1.º Calcula las operaciones que hay dentro de los paréntesis.

8

●

728.301.299

6. Compara los números y escribe el signo correspondiente.

Recuerda que nuestro sistema de numeración es decimal, es decir, 10 unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior. 1 1 1 1 1 1 1 1 1

●

109.245.720

2.º Calcula las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen.

Piensa:

82522

Por ejemplo: 5 1 6 : (7 2 4)

Sin paréntesis.

Con paréntesis.

516 : 3

8 2 (5 2 2)

36 : 4 2 3 3 2 1 8 9 2 3 32 18

512

9 2 6 18

7

318

●

¿Qué operación realizo primero?

●

¿Qué le resto a 8: un número o el resultado de una operación?

8 2 5 2 2 5 1 ▶ A 8 le resto 5 y al resultado le resto 2. 8 2 (5 2 2) 5 5 ▶ A 8 le resto la diferencia de 5 y 2.

11 5 1 6 : (7 2 4) 5 5 1 6 : 3 5 5 1 2 5 7 36 : 4 2 3 3 2 1 8 5 9 2 3 3 2 1 8 5 9 2 6 1 8 5 3 1 8 5 11

Al hacer operaciones combinadas, primero calculamos los paréntesis, después las multiplicaciones y divisiones y por último las sumas y restas.

●

82512

●

A 8 le resto la suma de 5 y 2.

●

8 2 (5 1 2)

●

A 8 le resto 5 y al resultado le sumo 2.

●

81532

●

A 8 le sumo 5 y el resultado lo multiplico por 2.

●

(8 1 5) 3 2

●

A 8 le sumo el producto de 5 y 2.

●

83522

●

Multiplico 8 por 5 y al resultado le resto 2.

●

8 3 (5 2 2)

●

Multiplico 8 por la diferencia de 5 y 2.

G

A continuación, se ofrecen al alumno una serie de actividades graduadas por nivel de dificultad para trabajar de forma intensiva el contenido visto. Se comienza con una actividad encaminada a comprobar la comprensión del contenido visto y se finaliza con una actividad de aplicación real. Se ofrecen al alumno numerosos ejemplos de respuesta para facilitar su trabajo autónomo y su comprensión eficaz, y se incluyen también numerosos programas de apoyo al aprendizaje como Recuerda, Presta atención y Hazlo así.

9

HAZLO ASÍ

3.º Calcula las sumas y restas en el orden en que aparecen.

A

5. Resuelve estos problemas. Después, escribe en una sola expresión todas las operaciones que hayas hecho.

1. Subraya la operación que tienes que hacer primero. Después, calcula. ● ●

926135…1…5… 718355…

●

20 2 12 : 4 5 …

●

239:35…

●

…5…

15 2 (7 1 2) 5 …

…5…

10 : (2 1 3) 5 …

…5…

●

(18 2 4) : 2 5 …

…5…

2. Calcula. RECUERDA 1.º Paréntesis. 2.º Multiplicaciones y divisiones. 3.º Sumas y restas.

10 2 4 3 2

●

Andrés compró un pantalón por 18 y una sudadera por 14 . Pagó con un billete de 50 . ¿Cuánto dinero le devolvieron?

●

Rocío tiene una bandeja con 35 pasteles de crema y 61 de chocolate. Quiere repartirlos en partes iguales en 8 platos. ¿Cuántos pasteles pondrá en cada plato?

5 1 (8 2 2) : 2

(10 2 4) 3 2

51822:2

35 : (5 1 2)

9223416

35 : 5 1 2

(9 2 2) 3 4 1 6

8 1 12 : 4

24 2 2 3 (7 1 3)

625143227

10 : 5 3 3

(10 2 4) 1 18 : 6

9 1 8 : 4 2 (1 1 3)

2 3 (6 1 9)

12 : 3 1 5 3 8

(4 1 2) 3 5 1 (8 2 6)

10

Un camión llevaba 168 kg de fruta. En un mercado descargó 24 cajas de 3 kg de fruta cada una. ¿Cuántos kilos de fruta lleva ahora el camión?

…5…

(9 2 4) 3 6 5 …

●

●

…5… …5…

●

6.

La doble página termina siempre con actividades de Cálculo mental (dos por unidad) o Razonamiento (una por unidad). Con ellas se trata de que el alumno potencie su capacidad de manejo de las operaciones y trabaje la lógica matemática.

RAZONAMIENTO. Piensa e indica si obtienes o no el mismo resultado.

Calculas el doble de un número y después le sumas otro número. ●

Calculas el doble de la suma de esos dos números.

Pon un ejemplo que explique tu respuesta.

11

XX 124603 _ 0001-0039.indd 20

6/7/09 16:39:29

S d p g y

Actividades 1

Actividades 1. Descompón cada número y escribe

5.

cómo se lee.

9. Resuelve cada problema de dos formas

ESTUDIO EFICAZ. Copia y completa el

esquema.

●

70.421

●

39.210.008

●

682.093

●

265.074.300

●

2.407.516

●

823.609.050

ORDEN EN LAS OPERACIONES COMBINADAS

●

1.º Calcular los… 2.º …

2. Escribe con cifras estos números.

En una panadería han cocido por la mañana 268 barras y han vendido 195. Por la tarde, han cocido 120 y han vendido 87. ¿Cuántas barras cocidas han quedado sin vender?

3.º …

●

Cuarenta y cinco millones treinta mil doscientos siete.

●

Tres millones quinientos catorce mil ochenta.

●

20 2 (8 1 5)

●

16 2 7 1 (9 2 3)

●

Seiscientos veintisiete millones ciento sesenta y tres mil.

●

6 1 3 3 10

●

3372832

●

(15 2 3) : 4

●

(5 1 4) 3 (6 2 1)

●

Trescientos millones dos mil cien.

●

10 3 6 : 5

●

14 2 4 3 3 1 7

●

Setenta y nueve millones trescientos mil cuatrocientos noventa y uno.

●

18 : (7 1 2)

●

9 2 (5 1 13) : 6

Sin paréntesis

▶ ▶

Con paréntesis

6. Calcula.

●

10. Resuelve.

distintas. Escribe todas las operaciones en una sola expresión.

53826

●

Sin paréntesis

20 : 4 3 3 1 8

●

Con paréntesis

3. Escribe el valor en unidades de la cifra 3 en

▶

Un camión puede cargar un máximo de 19.000 kg. Se han cargado en él 98 cajas de 70 kg y 25 cajas de 105 kg. ¿Cuántos kilos más pueden cargarse aún en el camión?

●

Loreto tenía guardadas en su ordenador 13.062 fotografías. Hoy ha borrado 297 y ha metido 451 nuevas. Después ha copiado las fotos en varios CD, grabando 275 en cada uno. ¿Cuántos CD ha necesitado? ¿Cuántas fotos ha copiado en el CD incompleto?

●

Román y Pilar se han ido este verano de viaje. El avión de ida y vuelta les ha costado 145 a cada uno y la estancia en el hotel en habitación doble, 87 al día. En total han tenido que pagar 1.073 . ¿Cuántos días han estado de viaje?

… …

Un tren sale de la estación con 186 viajeros. En el trayecto hace dos paradas: en la primera, bajan 64 personas y suben 59, y en la segunda parada bajan 39 y suben 78. ¿Cuántos viajeros hay en el tren al final del trayecto? ▶

●

… …

En la página derecha aparece el programa Eres capaz de… Con él, los alumnos se enfrentan a situaciones de la vida diaria que deben resolver con los conocimientos adquiridos en la unidad, y aprecian la utilidad de las Matemáticas.

7. Elige una de las siguientes opciones, expresa

cada número de la actividad 2.

numéricamente cada frase y calcula.

Saber cuándo es rentable un abono

ERES CAPAZ DE…

4. Observa el número de habitantes de estas

2

a.

ciudades y contesta.

Bombay (India)

Moscú (Rusia)

12.600.000 hab.

11.300.000 hab.

b.

3

c.

:

1

d.

1

e.

3(

f.

:(

2

2(

1

)

1 2

En el polideportivo municipal han abierto una piscina. Se puede ir a nadar pagando cada día una entrada diaria, pero las personas que van a menudo tienen otras opciones más baratas como sacar bonos de 10 días, sacar abonos mensuales o sacar un abono anual.

) )

●

A 15 le resto la suma de 6 y 4. ▶ d. 15 2 (6 1 4) 5 …

●

A 7 le resto 2 y luego le sumo 5.

●

●

Multiplico 10 por la suma de 5 y 2.

●

Divido 12 entre la diferencia de 7 y 4.

●

Al doble de 8 le sumo 3.

●

A la mitad de 14 le resto 5.

En esta doble página se trabajan todos los contenidos tratados en la unidad, mediante actividades variadas y graduadas, con el objetivo de llevar a cabo una práctica intensiva.

Precios: – Entrada diaria ▶ 3 . – Bono de 10 días ▶ 25 . – Abono mensual ▶ 37 . – Abono anual ▶ 185 .

Observa los precios de cada opción y calcula: – ¿Cuántos días hay que ir como mínimo para que resulte más barato sacar un bono de 10 días que sacar entradas diarias? – ¿Y para que resulte más barato sacar un abono mensual que entradas diarias? ¿Y para que resulte más barato sacar un abono anual?

8. Escribe los números en su lugar para que las Shanghai (China)

11.920.000 hab.

13.300.000 hab. 2

3 5

¿Cuál de estas ciudades es la más poblada? ¿Y la menos poblada?

●

●

dos expresiones sean ciertas.

Buenos Aires (Argentina)

●

1

¿Cuántos habitantes tiene Bombay más que Buenos Aires?

4 6

2 4

7 3

5

6

●

2(

●

2

●

3(

●

1

1 1 2

– Raquel va a ir a la piscina 8 días. – Fran quiere ir 15 días este mes. – Juancho piensa ir 2 veces a la semana durante todo el año.

) 5 15

3

Explica qué opción aconsejarías a cada persona:

)52 55

5 12

14

15

c-

sms ,

e a oy

EJERCICIOS

Resuelve siempre los problemas siguiendo estos pasos.

PROBLEMAS

1. Descompón estos números. Pedro compró una lavadora que costaba 579 . Pagó con dos billetes de 200 , uno de 100 y cinco billetes de 20 . ¿Cuánto le devolvieron? ●

▶

Pregunta Datos ●

●

39.126.545

●

160.302.090

●

8.057.021

●

802.004.600

plazas de clase turista y 4 vagones iguales de primera clase. ¿Cuántas plazas tiene cada vagón de primera clase?

2 el kilo. Al ir a venderlas, tiró 17 kg que estaban estropeados y vendió el resto a 10 el kilo. ¿Cuánto dinero ganó en la venta?

actividad anterior.

¿Cuánto le devolvieron?

3. Escribe con cifras. ●

Cuatrocientos mil novecientos setenta y ocho.

1.º Hay que hallar cuánto dinero entregó Pedro. Multiplicamos el valor de cada billete por el número de ellos que entregó y sumamos. 2.º Hay que hallar el dinero que le devolvieron. Restamos al dinero entregado el precio de la lavadora.

●

Dos millones ciento seis mil cuatro.

●

Cinco millones setenta y seis.

●

Veintinueve millones cuatrocientos treinta y dos mil.

●

Ochenta millones diez mil trece.

CALCULA.

●

Quinientos seis millones doscientos seis mil noventa y ocho.

●

Seiscientos millones cien mil dos.

PIENSA.

1.º 2 3 200 1 1 3 100 1 5 3 20 5 400 1 100 1 100 5 600 2.º 600 2 579 5 21 Solución: Le devolvieron 21 . ●

●

1.700.902

9. Marcos compró 150 kg de manzanas a

La lavadora costaba 579 . Pagó con 2 billetes de 200 , 1 de 100 y 5 de 20 .

▶

540.123

●

2. Escribe cómo se lee cada número de la

COMPRENDE.

●

▶

10. Luisa ha conseguido en un videojuego 3 varitas mágicas y José ha conseguido 4 cofres y 5 coronas.

El precio de la lavadora más las vueltas da el dinero entregado.

1. En un concesionario de coches, los todoterrenos valían 26.500 y las furgonetas

176.765 1 29.106 1 8.394

●

47.912 – 6.965

12. Un grupo de 28 amigos quiere cruzar

276.091 – 9.876

un lago. La mitad lo harán en barcas de 2 plazas y el resto en barcas de 5 plazas. ¿Cuántas barcas necesitarán?

5. Multiplica.

19.750 . Tras rebajar el precio de cada vehículo 2.150 , vendieron en una semana dos todoterrenos y una furgoneta. ¿Cuánto obtuvieron por esa venta?

●

375 3 189

●

1.689 3 470

●

286 3 305

●

2.741 3 900

2. Una empresa llevó a comer a sus 12 empleados en un minibús. En alquilar el minibús gastó 300 y en la comida gastó 420 más que en el transporte. ¿Cuánto pagó la empresa por cada empleado en total?

13. Félix fue al banco a cambiar dinero. Entregó 4 billetes de 50 y 2 de 20 y le dieron 40 monedas de 1 y el resto en monedas de 2 . ¿Cuántas monedas de 2 le dieron?

6. Divide.

3. Juan tiene 5 años, su padre tiene 24 años más que él y su abuelo tiene el doble de

●

9.760 : 36

●

4.711 : 314

●

3.420 : 38

●

38.304 : 126

7.

de refresco de naranja y 780 ¬ de limón en botellas de 2 litros. ¿Cuántas botellas llenan en 8 horas de trabajo?

ESTUDIO EFICAZ. Revisa las divisiones que

has hecho en la actividad 6. ¿Coinciden tus resultados con los de tu compañero?

siguiendo los cuatro pasos.

En la página derecha se presentan ejercicios y problemas de unidades o cursos anteriores, para que el alumno tenga siempre presentes, y trabaje sistemáticamente, los contenidos más importantes del curso.

14. En una fábrica envasan cada hora 520 ¬

años que su padre. ¿Cuántos años tiene su abuelo?

4. INVENTA. Escribe un problema y pide a tu compañero que lo resuelva

180 puntos

agencia de viajes. Pagó 603 en total por los billetes y por la gestión. Cada billete costaba 150 . ¿Cuánto pagó Elena por la gestión?

25.089 1 23.658

●

●

415 puntos

150 puntos

En la página izquierda se recuerda el proceso razonado de resolución y se trabajan, a lo largo del curso, las estrategias de resolución más comunes. También se dedica espacio a la invención de problemas.

¿Quién ha conseguido más puntos? ¿Cuántos más?

11. Elena compró 4 billetes de avión en una

4. Calcula.

COMPRUEBA. 579 1 21 = 600

La unidad termina con una doble página titulada Solución de problemas y Repasa.

8. En un tren caben 305 pasajeros. Hay 225

●

16

17

Además, en el libro se ofrecen:

Gráficos

Repasos trimestrales

Tratamiento de la información

Repaso trimestral

3. Lee la información. Luego copia y completa la tabla y el gráfico.

Gráficos lineales de tres características

1. Descompón cada número.

ENERO ▶ 70 flanes, 80 yogures y 90 piezas de fruta.

En una pescadería han anotado las ventas semanales de sardina, boquerón y merluza.

FEBRERO ▶ 80 flanes, 40 yogures y 90 piezas de fruta.

Están representadas en el siguiente gráfico lineal.

MARZO ▶ 60 flanes, 50 yogures y 90 piezas de fruta. Sardina

Boquerón

Merluza

●

¿Qué día se vendieron los mismos kilos de boquerón que de merluza? ¿Cuántos kilos fueron?

●

¿Aumentó o disminuyó la venta de sardina de lunes a jueves?

25

15 10

ABRIL ▶ 50 flanes, 60 yogures y 70 piezas de fruta.

La venta aumentó.

Flan

Yogur

Fruta

Enero

70

80

90

Febrero

80

Marzo 0

M

X

J

V

9.805.071

●

304.080.150

●

786.000.903

●

40.062.500

●

460.128.007

●

936.410.020

Abril

Día

Mayo Junio

En un gráfico lineal se utilizan puntos y una línea que los une.

Con letras Yogur

Fruta

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

27.560.000

●

Doscientos nueve millones cincuenta mil seiscientos treinta y uno.

●

168.051.200

●

Cuatrocientos ochenta y siete millones ciento noventa y seis.

●

594.307.085

●

Seiscientos millones quinientos quince mil trescientos setenta.

●

903.062.040

●

Novecientos veinticuatro millones sesenta y ocho mil dos.

¿Qué pescado se vendió más el jueves? ¿Cuál se vendió menos el miércoles?

●

¿En qué días disminuyó la venta de merluza respecto al día anterior?

F

M

A

M

J

2. En el gráfico se han representado los puntos obtenidos por tres amigos en cuatro tiradas con arco consecutivas. Obsérvalo y contesta.

28.109.200

179.536.048

179.507.960

●

De menor a mayor: 341.287.000

348.095.068

341.576.048

39.100.289

Luis Ana

40

Lunes

0

2ª

3ª

4ª

Tirada

●

¿Cuántos puntos obtuvo cada uno en la tercera tirada?

●

¿En qué tiradas disminuyó el número de puntos de Luis respecto a la tirada anterior? ¿En qué tirada aumentó?

●

¿Qué tirador mejoró sus resultados con las sucesivas tiradas?

44

¿Es 18 un número primo?

1 57.693 5 130.263 280.714 2

5 7.958

2 9.825 5 94.367

●

2.418 3 305 5

●

154.253 : 379 5

●

96 3

●

121.626 :

●

5 61.728

3 524 5 109.516

●

5 58

: 860 5 492

53535

●

737

●

6363636363636

●

3333333

●

939393939

●

83838383838

●

2 3 (6 1 9)

●

30 2 10 : 5

LUNES ▶ 12 azules, 10 rojos y 8 verdes.

●

85.473

●

4.007.952

●

280.560.370

MARTES ▶ 10 azules, 6 rojos y 4 verdes.

●

320.609

●

76.803.041

●

906.047.158

35

73

16

27

92

●

(3 1 4) 3 2 2 5

●

8:21337

●

45 : 9 2 (7 2 6)

●

20 2 5 3 (12 : 4)

43

105

83

Ï9

Ï1

Ï64

●

(4 1 5) 3 (8 2 2)

●

9 1 16 : 2 2 3 3 5

54

62

Ï4

Ï16

Ï81

Ï25 Ï100

Ï49 Ï36

4. Escribe. 6. Dibuja una recta entera y representa estos números. Después, completa. 13 24 0 12 21 15

●

Los seis primeros múltiplos de 8.

●

A la izquierda de 0 se encuentran los números...

●

Cinco múltiplos de 9 mayores que 70 y menores que 130.

●

A la derecha de 0 se encuentran los números...

●

Cuatro divisores de 20 y cinco de 30.

●

Todos los divisores de 15 y de 24.

7. Expresa con números enteros. Azules

1ª

¿Es 13 un número primo?

¿Es 5 divisor de 84?

●

●

SÁBADO ▶ 12 azules, 10 rojos y 10 verdes.

20 10

¿Es 2 divisor de 72?

¿Es 153 múltiplo de 9?

3. Calcula.

Sergio

30

¿Es 40 múltiplo de 6?

OPERACIONES

2. Calcula.

VIERNES ▶ 10 azules, 8 rojos y 8 verdes.

70

21)

279.250.800

5. Escribe la expresión polinómica de cada número.

JUEVES ▶ 12 azules, 8 rojos y 6 verdes.

80

▶ (13,

1. Calcula el término que falta.

MIÉRCOLES ▶ 8 azules, 6 rojos y 10 verdes.

50

H ▶ (24, 12)

●

De mayor a menor: 29.650.792

Mes

Mónica ha anotado los bolígrafos de cada color que vendió cada día de la semana pasada.

60

G

F ▶ (12, 11)

▶ (11,

Representa un punto J sobre el eje vertical y otro punto K sobre el eje horizontal. Escribe las coordenadas de ambos puntos.

●

●

4. Expresa cada producto en forma de potencia y escribe cómo se lee.

¿Cuántos kilos de boquerón vendieron el miércoles menos que el lunes?

●

E ▶ (23, 24)

22)

Con cifras

●

3. Ordena cada grupo de números como se indica.

4. Copia y completa la tabla y el gráfico con los datos del texto.

●

C ▶ (14, 11) D

●

10. Contesta y explica por qué.

2. Escribe.

E

1. Observa el gráfico de arriba y contesta.

A ▶ (21, 13) B ▶ (22, 22)

MAYO ▶ 70 flanes, 60 yogures y 90 piezas de fruta.

Flan

5

L

●

JUNIO ▶ 80 flanes, 70 yogures y 80 piezas de fruta.

Fue el martes. Se vendieron 10 kg de cada tipo de pescado.

20

9. Dibuja unos ejes de coordenadas cartesianas y representa estos puntos.

NÚMEROS

María está revisando los postres de cada tipo que ha servido en los últimos meses.

Número de postres

r n n e

Pasos para resolver un problema

Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado

Rojos

Verdes

Azules Número de bolígrafos

n a a a

1

Repasa

Solución de problemas

Número de puntos

as l

Solución de problemas / Repasa

Número de kios

a e , n

Rojos

Verdes

14 12 10 8 6 4 2 0

●

La cuarta planta de un edificio y el segundo sótano subterráneo.

●

El nivel del mar y una profundidad de 200 metros.

●

Una temperatura de 30 ºC y otra de 5 ºC bajo cero.

5. Calcula.

8. Compara y escribe el signo > o <. L

M

X

J

V

S

Día

45

Se incluyen tres dobles páginas dedicadas a los tipos de gráficos más comunes. Se trabaja primero la interpretación y después la representación de cada tipo de gráfico. El trabajo se realiza de forma guiada primero, y de manera autónoma después.

74

●

El mínimo común múltiplo:

●

El máximo común divisor:

m.c.m. (4 y 10)

m.c.m. (5 y 15)

m.c.m. (3 y 7)

m.c.m. (12 y 20)

m.c.m. (6, 9 y 12)

m.c.d. (8 y 20)

m.c.d. (4, 6 y 8)

m.c.d. (15 y 25)

m.c.d. (9, 12 y 15)

●

14

17

●

0

22

●

21

11

●

13

25

m.c.d. (5 y 9)

●

23

26

●

0

11

●

18

28

●

24

12

m.c.d. (4 y 16)

m.c.m. (3, 4 y 8)

75

Después de cada trimestre se incluyen cuatro páginas de repaso de todos los contenidos trabajados. Aparecen agrupados por bloques temáticos y se incluyen también Cálculo mental y Problemas.

XXI 124603 _ 0001-0039.indd 21

6/7/09 16:39:30

CÓMO SE DESARROLLA UNA UNIDAD Doble página inicial

P Contenidos previos necesarios

Número y título de la unidad

1

Números naturales. Operaciones

RECUERDA LO QUE SABES Operaciones con números naturales Suma 5 8 0 6 12 4 7 9 8 2 8 5

Resta

Multiplicación 2 4 3 6 7 3 .1 4 7 4 2 1 4 8 1 5

5 0 7 0 7

7 3 1

minuendo sustraendo diferencia

9 4 2 3 27 5 6 1 1 8 6 2

sumando sumando suma o total

P d

División

factor factor

dividendo

4 6 9 5 7 43 divisor 3 9 5 1092 cociente 0 8 7 0 1

resto

1

producto

Estimación de operaciones ●

Imagen

●

Estimación de sumas

Estimación de restas

4.297 1 1.835 ▼

7.492 2 318

▼

▼

4.000 1 2.000 5 6.000

●

Estimación de productos 5.761 3 2

▼

▼

7.500 2 300 5 7.200

▼

6.000 3 2 5 12.000

1. Calcula. Después, haz la prueba de las restas y las divisiones. 759 1 3.824

●

8.329 1 4.516 1 738

●

4.261 2 569

●

20.347 2 865

●

316 3 273

●

782 3 450

●

695 3 908

●

5.928 : 38

●

22.863 : 56

●

64.456 : 179

●

La Tierra gira alrededor del Sol. En cada vuelta recorre unos 930 millones de kilómetros. Tarda en dar una vuelta 365 días y 6 horas y viaja a una gran velocidad. Cada hora recorre 106.000 km.

Texto y preguntas de explotación didáctica

La Tierra no siempre está a la misma distancia del Sol. La distancia media entre ambos es 1 UA (unidad astronómica), que equivale a 149.675.000 km.

2. Calcula el término que falta en cada operación.

●

Escribe con cifras los kilómetros que recorre la Tierra al dar una vuelta alrededor del Sol. ¿Cuántas cifras tiene el número? ¿Cuántas de ellas son ceros?

●

¿Qué es 1 UA? ¿Cuántos kilómetros son? La distancia media entre el Sol y Marte es casi doscientos veintiocho millones de kilómetros. ¿Qué planeta está más lejos del Sol, la Tierra o Marte?

●

¿Cuántos kilómetros recorre la Tierra en una hora? ¿Y en un día?

6

● ● ● ●

62.734 1

5 68.251

1 49.018 5 73.542 584 3

●

5 179.288

●

3 260 5 103.220

●

●

A leer, escribir, descomponer y comparar números de hasta 9 cifras.

●

A calcular operaciones combinadas con y sin paréntesis y expresarlas con una frase.

●

A resolver problemas de varias operaciones.

2 5.397 5 8.406

●

29.035 2

5 4.187

: 143 5 572 5 637

132.496 :

3. Estima las siguientes operaciones. ●

5.129 1 6.308

●

9.175 2 2.830

●

637 3 5

●

8.392 1 764

●

7.238 2 91

●

3.729 3 8

Actividades de práctica

VAS A APRENDER

Presentación de los contenidos de la unidad

• Desarrollar la lectura de imágenes. • Explorar los conocimientos previos de los alumnos. • Presentar los contenidos de la unidad.

Ideas para la clase 1. Anuncie a los alumnos que comienzan a estudiar una nueva unidad y pídales que lean el título. Pregúnteles de qué piensan que puede tratar. 2. Pídales que observen y describan la fotografía que aparece. Establezca una puesta en común para responder a las preguntas propuestas para ella. Aproveche para detectar los conocimientos previos de los alumnos sobre los contenidos de la unidad que se va a trabajar y, si existen, corrija las posibles ideas erróneas. Puede plantear también otras preguntas para explotar didácticamente aún más la fotografía.

P los con otros contenidos ya vistos y con hechos o experiencias reales, a fin de propiciar un aprendizaje significativo. 4. Valore la conveniencia de realizar en común algunas de las actividades (si el contenido es complicado) o bien pida a los alumnos que realicen todas por sí mismos, para potenciar su autonomía. Luego corríjalas en común en la pizarra. Es importante que los alumnos que tengan respuestas incorrectas sepan en qué se han equivocado, ya que los contenidos de esta sección son importantes para una comprensión correcta de la unidad. En caso de apreciar especiales dificultades por parte de los alumnos, puede plantear más actividades similares antes de comenzar la unidad. 5. Puede hacer uso también de las sugerencias y recursos que aportamos en esta guía si desea comenzar la unidad de otras formas.

3. Exponga a la clase cada uno de los contenidos de Recuerda lo que sabes, recordándoles los conceptos o procedimientos que se trabajan en él. Relacióne-

XXII 124603 _ 0001-0039.indd 22

A a

7

Propósitos • Presentar las Matemáticas en contextos reales relacionados con la unidad.

Id

6/7/09 16:39:31

•

•

•

I

1

2

s a

n s s d

o e

s o í as n e n e -

rr

Páginas de contenidos Título del contenido 1

Números de hasta nueve cifras ●

4. Escribe el número anterior y el posterior. ●

...

1.000.000 ▶ ...

●

... ◀ 30.000.000

▶ ...

●

...

◀

599.999.999 ▶ ...

●

... ◀ 9.386.999 ▶ ...

◀

●

... ◀ 99.999.999

▶ ...

●

...

◀

900.000.000 ▶ ...

Observa los nueve primeros órdenes de unidades.

Actividades de práctica

5. En cada número, escribe el valor en unidades de las cifras 2. Centena Decena Unidad de Centena Decena Unidad Centena de millón de millón millón de millar de millar de millar

Decena

Unidad

1U 1 D 5 10 U 1 C 5 10 D 5 100 U 1 UM 5 10 C 5 1.000 U 1 DM 5 10 UM 5 10.000 U 1 CM 5 10 DM 5 100.000 U 1 U. de millón 5 10 CM 5 1.000.000 U 1 D. de millón 5 10 U. de millón 5 10.000.000 U 1 C. de millón 5 10 D. de millón 5 100.000.000 U ●

De

502.382.142

●

250.226.000

2.496.551

2.473.890 10.302.615

347.000.500

346.993.600

18.397.282

621.950.384

73.692.184

56.076.328

58.029.460

10 en 10

7. Escribe con cifras los números y ordénalos de mayor a menor. Después, contesta.

¿Cuándo vivieron? Triceratops ▶ Hace 70 millones de años. Iguanodón ▶ Hace 130 millones de años. Pteranodonte ▶ Hace 85 millones de años.

502.816.030 se lee quinientos dos millones ochocientos dieciséis mil treinta.

Stegosaurus ▶ Hace 155 millones de años.

En el sistema decimal, 10 unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior. Por ejemplo, 10 unidades forman 1 decena y 10 centenas de millar 1 millón.

Ideas clave 1. Descompón los siguientes números. 3.970.205

24.508.960

302.750.681

540.309.027

8.016.043

70.435.009

897.060.100

900.286.415

2. Escribe cómo se lee cada número de la actividad 1. 3. Escribe los siguientes números. PRESTA ATENCIÓN

●

9.720.346

Fíjate cómo se descompone y se lee el número 502.816.030.

En un número, el primer punto por la derecha indica los millares, y el segundo punto los millones.

728.301.299

18.396.522

502.816.030 5 5 C. de millón 1 2 U. de millón 1 8 CM 1 1 DM 1 6 UM 1 3 D 5 500.000.000 1 2.000.000 1 800.000 1 10.000 1 6.000 1 30

Apoyos al aprendizaje

●

109.245.720

6. Compara los números y escribe el signo correspondiente.

Recuerda que nuestro sistema de numeración es decimal, es decir, 10 unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior.

Presentación del contenido

●

●

¿Qué dinosaurio vivió hace más tiempo: el Stegosaurus o el Iguanodón?

●

¿Qué dinosaurios vivieron hace menos de 100.000.000 de años?

●

¿Cuántos años vivió el Pteranodonte antes que el Triceratops?

8. Escribe dos números que cumplan cada condición. ●

Mayores que 259.700.000 y menores que doscientos sesenta millones.

●

Sus cifras 5 valen 50.000.000, 500.000, 5.000 y 50 unidades.

CÁLCULO MENTAL ●

Seiscientos cuarenta mil noventa y cinco.

●

Cuatro millones veintitrés mil setecientos uno.

●

Setenta y tres millones quinientos diez mil.

●

Ochocientos nueve millones cien mil seis.

8

Calcula sumas y restas sin paréntesis

62211541155

51623

10 1 70 2 20

300 1 600 2 200

41719

90 2 30 2 40

700 2 500 2 100

82126

40 1 50 1 60

900 2 200 2 600

Cálculo mental o Razonamiento

9

Propósitos • Exponer contenidos fundamentales a partir de una situación real y trabajarlos con distintas actividades, ofreciendo al alumno elementos de apoyo al aprendizaje.

3. Las ideas clave aparecen resaltadas en color. Puede pedir a los alumnos que las lean en voz alta y las copien en sus cuadernos, para favorecer su retención.

• Trabajar de forma eficaz mediante la graduación de las actividades.

4. Es conveniente realizar en común la primera actividad para comprobar que se ha comprendido bien el contenido expuesto. Es una actividad especialmente diseñada para analizar el nivel de comprensión de los alumnos. Puede realizarla de forma oral o escrita y si lo estima más pertinente, puede pedir a los alumnos que la hagan de manera individual. Los apoyos al aprendizaje (Ejemplos, Hazlo así, Recuerda, Presta atención) permiten a los alumnos un trabajo autónomo. Dígales que los tengan siempre en cuenta a la hora de realizar las actividades. Si lo estima oportuno, puede trabajar en común la actividad resuelta en los apartados Hazlo así antes de que los alumnos realicen por sí solos las otras actividades propuestas.

• Realizar actividades de Cálculo mental o de Razonamiento.

Ideas para la clase 1. Anuncie a los alumnos que van a estudiar un nuevo contenido y pídales que lean el título. Déjeles que comenten libremente de qué piensan que puede tratar. 2. Realice la exposición del contenido. Ayúdese, si lo estima pertinente y adecuado a lo tratado, del material de aula. Relacione el contenido con otros contenidos similares tratados en unidades o cursos anteriores, y haga preguntas a los alumnos para comprobar que siguen el razonamiento empleado. Es interesante, al finalizar la exposición, pedir a algunos alumnos que verbalicen con sus propias palabras lo que han aprendido. De esta forma, es sencillo detectar y corregir posibles errores de comprensión.

5. Al final de cada doble página, siguiendo una programación global, se ofrecen actividades de Cálculo mental o de Razonamiento. Con ellas se pretende desarrollar, por un lado, las habilidades de cálculo y por otro, la aplicación de la lógica a los contenidos aprendidos por parte de los alumnos.

XXIII 124603 _ 0001-0039.indd 23

6/7/09 16:39:32

Actividades de la unidad

S Actividad de ESTUDIO EFICAZ

1

Actividades 1. Descompón cada número y escribe cómo se lee.

5. ESTUDIO EFICAZ. Copia y completa el

70.421

●

39.210.008

●

682.093

●

265.074.300

●

2.407.516

●

823.609.050

2.º …

●

Tres millones quinientos catorce mil ochenta.

●

20 2 (8 1 5)

●

16 2 7 1 (9 2 3)

●

Seiscientos veintisiete millones ciento sesenta y tres mil.

●

6 1 3 3 10

●

3372832

●

(15 2 3) : 4

●

(5 1 4) 3 (6 2 1)

●

Trescientos millones dos mil cien.

●

10 3 6 : 5

●

14 2 4 3 3 1 7

●

Setenta y nueve millones trescientos mil cuatrocientos noventa y uno.

●

18 : (7 1 2)

●

9 2 (5 1 13) : 6

●

53826

●

20 : 4 3 3 1 8

Moscú (Rusia)

11.300.000 hab.

Con paréntesis ●

▶ ▶

Sin paréntesis

▶ ▶

Un camión puede cargar un máximo de 19.000 kg. Se han cargado en él 98 cajas de 70 kg y 25 cajas de 105 kg. ¿Cuántos kilos más pueden cargarse aún en el camión?

●

Loreto tenía guardadas en su ordenador 13.062 fotografías. Hoy ha borrado 297 y ha metido 451 nuevas. Después ha copiado las fotos en varios CD, grabando 275 en cada uno. ¿Cuántos CD ha necesitado? ¿Cuántas fotos ha copiado en el CD incompleto?

●

Román y Pilar se han ido este verano de viaje. El avión de ida y vuelta les ha costado 145 a cada uno y la estancia en el hotel en habitación doble, 87 al día. En total han tenido que pagar 1.073 . ¿Cuántos días han estado de viaje?

… …

Un tren sale de la estación con 186 viajeros. En el trayecto hace dos paradas: en la primera, bajan 64 personas y suben 59, y en la segunda parada bajan 39 y suben 78. ¿Cuántos viajeros hay en el tren al final del trayecto?

Con paréntesis

●

… …

Shanghai (China)

11.920.000 hab.

13.300.000 hab.

ERES CAPAZ DE… a.

2

1

d.

2(

1

)

b.

3

1

e.

3(

1

)

c.

:

f.

:(

2

2

Saber cuándo es rentable un abono

En el polideportivo municipal han abierto una piscina. Se puede ir a nadar pagando cada día una entrada diaria, pero las personas que van a menudo tienen otras opciones más baratas como sacar bonos de 10 días, sacar abonos mensuales o sacar un abono anual.

)

●

A 15 le resto la suma de 6 y 4. ▶ d. 15 2 (6 1 4) 5 …

●

A 7 le resto 2 y luego le sumo 5.

●

Multiplico 10 por la suma de 5 y 2.

●

Divido 12 entre la diferencia de 7 y 4.

●

Al doble de 8 le sumo 3.

●

A la mitad de 14 le resto 5.

●

Precios: – Entrada diaria ▶ 3 . – Bono de 10 días ▶ 25 . – Abono mensual ▶ 37 . – Abono anual ▶ 185 .

Eres capaz de… Aplicación de los contenidos a situaciones reales

Observa los precios de cada opción y calcula: – ¿Cuántos días hay que ir como mínimo para que resulte más barato sacar un bono de 10 días que sacar entradas diarias? – ¿Y para que resulte más barato sacar un abono mensual que entradas diarias? ¿Y para que resulte más barato sacar un abono anual?

●

3 5

¿Cuál de estas ciudades es la más poblada? ¿Y la menos poblada? ¿Cuántos habitantes tiene Bombay más que Buenos Aires?

●

dos expresiones sean ciertas. 2

●

E r

numéricamente cada frase y calcula.

8. Escribe los números en su lugar para que las Buenos Aires (Argentina)

E o t

7. Elige una de las siguientes opciones, expresa

ciudades y contesta.

Bombay (India)

Sin paréntesis

6. Calcula.

4. Observa el número de habitantes de estas

12.600.000 hab.

En una panadería han cocido por la mañana 268 barras y han vendido 195. Por la tarde, han cocido 120 y han vendido 87. ¿Cuántas barras cocidas han quedado sin vender?

3.º …

Cuarenta y cinco millones treinta mil doscientos siete.

cada número de la actividad 2.

●

1.º Calcular los…

●

3. Escribe el valor en unidades de la cifra 3 en

10. Resuelve.

distintas. Escribe todas las operaciones en una sola expresión.

ORDEN EN LAS OPERACIONES COMBINADAS

2. Escribe con cifras estos números.

Actividades de trabajo de los contenidos

9. Resuelve cada problema de dos formas

esquema.

●

1

4 6

2 4

7 3

5

6

●

2(

●

2

●

3(

●

1

1 1 2 3

Explica qué opción aconsejarías a cada persona:

)52

– Raquel va a ir a la piscina 8 días.

55

– Fran quiere ir 15 días este mes.

) 5 15

A p

– Juancho piensa ir 2 veces a la semana durante todo el año.

5 12

14

15

Propósitos • Trabajar los contenidos fundamentales de la unidad. • Utilizar las Matemáticas para resolver situaciones reales y desarrollar la autonomía y las capacidades de los alumnos.

Ideas para la clase 1. Antes de trabajar con esta doble página, puede pedir a los alumnos que verbalicen, con su ayuda, los conocimientos más importantes que se han trabajado en la unidad. Permítales que se expresen libremente y aproveche para fomentar la reflexión de los alumnos sobre su propio aprendizaje. Hágales ver cómo van progresando y aprendiendo más cosas, y relaciónelas si es posible con lo que aprendieron en otras unidades o cursos anteriores. 2. A la hora de trabajar las actividades, puede optar porque los alumnos realicen un trabajo autónomo desde el comienzo, agruparlos en pequeños grupos o parejas, o bien realizar algunas actividades, las más complejas, en común. Es importante, en el caso de que las realicen ellos mismos, proceder de manera sistemática a una comprobación común para despe-

P jar posibles ideas erróneas y permitir que los alumnos evalúen su propio desempeño. 3. El trabajo con la actividad de ESTUDIO EFICAZ puede abordarlo de distintas maneras, bien realizando un comentario en común para que los alumnos la realicen después por sí solos, o dejando que ellos la resuelvan y comentándola después. Siempre es interesante, ya sea en uno u otro momento, una reflexión de toda la clase para asentar bien los conocimientos que se trabajan en ella. 4. Si estima necesaria una mayor práctica con alguno de los contenidos, puede proponer a los alumnos la realización de otras actividades, o también trabajar con los Cuadernos de práctica trimestrales o los materiales de Santillana Cuadernos. 5. El programa Eres capaz de… se presta especialmente al trabajo en grupo. También resulta de gran interés un debate común de la clase sobre él, para consolidar los aprendizajes y comentar la aplicación de lo trabajado en situaciones reales. Haga ver a los alumnos cómo van aumentando sus capacidades y anímeles a trabajar con ilusión y esfuerzo.

XXIV 124603 _ 0001-0039.indd 24

6/7/09 16:39:32

•

•

I

1

Solución de problemas / Repasa Repaso de ejercicios 1

Repasa

Solución de problemas Pasos para resolver un problema

Estrategia o técnica trabajada

Resuelve siempre los problemas siguiendo estos pasos.

Pedro compró una lavadora que costaba 579 . Pagó con dos billetes de 200 , uno de 100 y cinco billetes de 20 . ¿Cuánto le devolvieron?

Datos ●

●

▶

▶

540.123

●

39.126.545

●

1.700.902

●

160.302.090

●

8.057.021

●

802.004.600

La lavadora costaba 579 . Pagó con 2 billetes de 200 , 1 de 100 y 5 de 20 .

3. Escribe con cifras. ●

Cuatrocientos mil novecientos setenta y ocho.

1.º Hay que hallar cuánto dinero entregó Pedro. Multiplicamos el valor de cada billete por el número de ellos que entregó y sumamos. 2.º Hay que hallar el dinero que le devolvieron. Restamos al dinero entregado el precio de la lavadora.

●

Dos millones ciento seis mil cuatro.

●

Cinco millones setenta y seis.

●

Veintinueve millones cuatrocientos treinta y dos mil.

●

Ochenta millones diez mil trece.

CALCULA.

●

Quinientos seis millones doscientos seis mil noventa y ocho.

PIENSA.

Solución: Le devolvieron 21 .

●

▶

El precio de la lavadora más las vueltas da el dinero entregado.

1. En un concesionario de coches, los todoterrenos valían 26.500 y las furgonetas 19.750 . Tras rebajar el precio de cada vehículo 2.150 , vendieron en una semana dos todoterrenos y una furgoneta. ¿Cuánto obtuvieron por esa venta?

25.089 1 23.658

●

176.765 1 29.106 1 8.394

●

47.912 – 6.965

●

276.091 – 9.876

Actividades propuestas

●

375 3 189

●

1.689 3 470

●

286 3 305

●

2.741 3 900

6. Divide. ●

9.760 : 36

●

4.711 : 314

●

3.420 : 38

●

38.304 : 126

4. INVENTA. Escribe un problema y pide a tu compañero que lo resuelva siguiendo los cuatro pasos.

16

3 varitas mágicas y José ha conseguido 4 cofres y 5 coronas.

150 puntos

415 puntos

Repaso de problemas

180 puntos

¿Quién ha conseguido más puntos? ¿Cuántos más?

agencia de viajes. Pagó 603 en total por los billetes y por la gestión. Cada billete costaba 150 . ¿Cuánto pagó Elena por la gestión?

un lago. La mitad lo harán en barcas de 2 plazas y el resto en barcas de 5 plazas. ¿Cuántas barcas necesitarán?

13. Félix fue al banco a cambiar dinero. Entregó 4 billetes de 50 y 2 de 20 y le dieron 40 monedas de 1 y el resto en monedas de 2 . ¿Cuántas monedas de 2 le dieron?

14. En una fábrica envasan cada hora 520 ¬

años que su padre. ¿Cuántos años tiene su abuelo?

7.

10. Luisa ha conseguido en un videojuego

12. Un grupo de 28 amigos quiere cruzar

5. Multiplica.

3. Juan tiene 5 años, su padre tiene 24 años más que él y su abuelo tiene el doble de

2 el kilo. Al ir a venderlas, tiró 17 kg que estaban estropeados y vendió el resto a 10 el kilo. ¿Cuánto dinero ganó en la venta?

11. Elena compró 4 billetes de avión en una

●

2. Una empresa llevó a comer a sus 12 empleados en un minibús. En alquilar el minibús gastó 300 y en la comida gastó 420 más que en el transporte. ¿Cuánto pagó la empresa por cada empleado en total?

Seiscientos millones cien mil dos.

4. Calcula.

COMPRUEBA. 579 1 21 = 600

plazas de clase turista y 4 vagones iguales de primera clase. ¿Cuántas plazas tiene cada vagón de primera clase?

9. Marcos compró 150 kg de manzanas a actividad anterior.

¿Cuánto le devolvieron?

1.º 2 3 200 1 1 3 100 1 5 3 20 5 400 1 100 1 100 5 600 2.º 600 2 579 5 21

●

8. En un tren caben 305 pasajeros. Hay 225

●

2. Escribe cómo se lee cada número de la

COMPRENDE. Pregunta

… e s s s

PROBLEMAS

1. Descompón estos números.

●

Ejemplo resuelto

EJERCICIOS

ESTUDIO EFICAZ. Revisa las divisiones que

has hecho en la actividad 6. ¿Coinciden tus resultados con los de tu compañero?

de refresco de naranja y 780 ¬ de limón en botellas de 2 litros. ¿Cuántas botellas llenan en 8 horas de trabajo?

17

Actividad de ESTUDIO EFICAZ

Propósitos -

e n een s

o a r a-

a n s y

• Resolver problemas, trabajar las estrategias más importantes e inventar algunos que se resuelvan con cada estrategia trabajada. • Repasar los contenidos clave trabajados en unidades anteriores.

Ideas para la clase 1. En Solución de problemas, en la primera unidad, se recuerda a los alumnos los pasos que deben seguir en la resolución de todo problema. Pídales que los lleven a cabo siempre como guía efectiva para una resolución eficaz. En el resto de unidades se trabajan las estrategias de resolución de problemas más comunes (búsqueda de información, ensayo y error, resolver problemas más sencillos, representar la situación, hacer una tabla o un diagrama de árbol…) ofreciendo a los alumnos un ejemplo resuelto de cada estrategia y distintas actividades propuestas para practicarla. Trabaje en común el ejemplo resuelto, dejando clara la forma de aplicar la estrategia y mostrando la utilidad de esta. En cada unidad hemos ofrecido una

estrategia útil para los contenidos trabajados en ella, aunque su aplicación es múltiple en muchas otras situaciones . Proponga a los alumnos el resto de problemas y pídales que los resuelvan utilizando la estrategia trabajada. Coméntelos en común, despejando las posibles dudas en la aplicación de la estrategia y corrigiendo los errores, si los hay, en la resolución. 2. El apartado Inventa resulta de gran interés para comprobar si los alumnos han interiorizado bien la estrategia trabajada. Una vez que hayan planteado por sí mismos, o en pequeños grupos, distintos problemas, realice una puesta en común para comentar y resolver algunos de ellos. La creación de problemas suele ser motivadora para los alumnos. 3. En Repasa se busca materializar el aprendizaje cíclico de las Matemáticas. Se plantean al alumno actividades de práctica de los contenidos clave de unidades anteriores para que tenga siempre presentes los saberes más importantes. Estas actividades se presentan tanto en forma de ejercicios como en forma de problemas.

XXV 124603 _ 0001-0039.indd 25

6/7/09 16:39:32

OTRAS PÁGINAS

O

Tratamiento de la información (Gráficos)

R

Tratamiento de la información

3. Lee la información. Luego copia y completa la tabla y el gráfico.

Gráficos lineales de tres características

Tipo de gráfico trabajado

María está revisando los postres de cada tipo que ha servido en los últimos meses.

B t t

ENERO ▶ 70 flanes, 80 yogures y 90 piezas de fruta.

En una pescadería han anotado las ventas semanales de sardina, boquerón y merluza.

FEBRERO ▶ 80 flanes, 40 yogures y 90 piezas de fruta.

Están representadas en el siguiente gráfico lineal.

MARZO ▶ 60 flanes, 50 yogures y 90 piezas de fruta. Boquerón

●

Merluza

Número de kios

15

●

10

ABRIL ▶ 50 flanes, 60 yogures y 70 piezas de fruta. MAYO ▶ 70 flanes, 60 yogures y 90 piezas de fruta. JUNIO ▶ 80 flanes, 70 yogures y 80 piezas de fruta.

Fue el martes. Se vendieron 10 kg de cada tipo de pescado.

20

Presentación e interpretación del gráfico

¿Qué día se vendieron los mismos kilos de boquerón que de merluza? ¿Cuántos kilos fueron?

Flan

¿Aumentó o disminuyó la venta de sardina de lunes a jueves?

La venta aumentó. 5

Flan

Yogur

Fruta

Enero

70

80

90

Febrero

80

Marzo 0

L

M

X

J

V

Abril

Día

Mayo Junio

En un gráfico lineal se utilizan puntos y una línea que los une.

Número de postres

Sardina 25

F

M

A

M

J

A

Mes

4. Copia y completa la tabla y el gráfico con los datos del texto.

1. Observa el gráfico de arriba y contesta. ●

¿Cuántos kilos de boquerón vendieron el miércoles menos que el lunes?

●

¿Qué pescado se vendió más el jueves? ¿Cuál se vendió menos el miércoles?

●

¿En qué días disminuyó la venta de merluza respecto al día anterior?

Mónica ha anotado los bolígrafos de cada color que vendió cada día de la semana pasada. LUNES ▶ 12 azules, 10 rojos y 8 verdes. MARTES ▶ 10 azules, 6 rojos y 4 verdes.

2. En el gráfico se han representado los puntos obtenidos por tres amigos en cuatro tiradas con arco consecutivas. Obsérvalo y contesta.

MIÉRCOLES ▶ 8 azules, 6 rojos y 10 verdes.

80

JUEVES ▶ 12 azules, 8 rojos y 6 verdes.

70

VIERNES ▶ 10 azules, 8 rojos y 8 verdes.

60

Luis

50

Ana

40

SÁBADO ▶ 12 azules, 10 rojos y 10 verdes.

Sergio

30 20

Azules

10

Lunes

0

1ª

2ª

3ª

4ª

Tirada

●

¿Cuántos puntos obtuvo cada uno en la tercera tirada?

●

¿En qué tiradas disminuyó el número de puntos de Luis respecto a la tirada anterior? ¿En qué tirada aumentó?

●

¿Qué tirador mejoró sus resultados con las sucesivas tiradas?

44

Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado

Rojos

Verdes

Azules Número de bolígrafos

Número de puntos

Fruta

Representación guiada E

Trabajo con la interpretación

Yogur

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Rojos

Verdes

14 12 10 8 6 4 2 0

L

M

X

J

V

S

Día

Trabajo con la representación

45

Propósitos • Trabajar la interpretación y representación de los tipos de gráficos más comunes.

Ideas para la clase 1. El tratamiento de la información es de gran importancia en la sociedad actual. Con estas páginas se realiza un trabajo intensivo de interpretación y representación de los tipos de gráficos más comunes. Comience exponiendo en primer lugar a toda la clase el tipo de gráfico trabajado, mostrando los contextos en los que se aplica, sus características y cómo se interpreta. Explique los ejemplos de interpretación propuestos y haga otras preguntas similares para verificar que los alumnos saben cómo extraer la información de dicho gráfico. Pida después a los alumnos que realicen por sí mismos la actividad siguiente en la que tienen que interpretar un gráfico por sí mismos, de manera autónoma, y corrija los resultados en común.

queña guía para la representación) o bien realizar, de manera colectiva, la representación de la tercera actividad, realizando preguntas a los alumnos y dejando claro el proceso que se debe seguir. Una vez realizada esta actividad, es interesante volver a realizar preguntas sobre el gráfico obtenido para volver a trabajar la interpretación.

•

I

1

3. La última actividad de representación es conveniente que la realicen de manera autónoma, para comprobar que han comprendido la técnica de representación. Corríjala en común y realice preguntas (o pida a los alumnos que lo hagan) sobre el gráfico obtenido para trabajar, una vez más, la interpretación.

2

2. A la hora de trabajar la representación del gráfico puede dejar que los alumnos trabajen de manera autónoma (los gráficos se dan iniciados como una pe-

XXVI 124603 _ 0001-0039.indd 26

P

6/7/09 16:39:33

OTRAS PÁGINAS Repasos trimestrales

Repaso trimestral

Bloque temático trabajado

1. Descompón cada número. 9.805.071

●

304.080.150

●

786.000.903

●

40.062.500

●

460.128.007

●

936.410.020

A ▶ (21, 13)

C ▶ (14, 11)

E ▶ (23, 24)

G

B ▶ (22, 22)

D

22)

F ▶ (12, 11)

H ▶ (24, 12)

●

Con cifras

●

27.560.000

●

Doscientos nueve millones cincuenta mil seiscientos treinta y uno.

▶ (13,

21)

●

168.051.200

●

Cuatrocientos ochenta y siete millones ciento noventa y seis.

●

594.307.085

●

Seiscientos millones quinientos quince mil trescientos setenta.

●

903.062.040

●

Novecientos veinticuatro millones sesenta y ocho mil dos.

¿Es 40 múltiplo de 6?

¿Es 2 divisor de 72?

¿Es 13 un número primo?

¿Es 153 múltiplo de 9?

¿Es 5 divisor de 84?

¿Es 18 un número primo?

OPERACIONES

3. Ordena cada grupo de números como se indica.

●

●

De mayor a menor: 29.650.792

28.109.200

179.536.048

179.507.960

●

De menor a mayor: 341.287.000

348.095.068

341.576.048

39.100.289

Actividades

1. Calcula el término que falta. ●

Actividades

▶ (11,

Representa un punto J sobre el eje vertical y otro punto K sobre el eje horizontal. Escribe las coordenadas de ambos puntos.

10. Contesta y explica por qué.

Con letras

●

1 57.693 5 130.263 280.714 2

5 7.958

2 9.825 5 94.367

●

2.418 3 305 5

●

154.253 : 379 5

●

96 3

●

121.626 :

●

5 61.728

3 524 5 109.516

5 58

●

: 860 5 492

279.250.800

2. Calcula. 4. Expresa cada producto en forma de potencia y escribe cómo se lee. ●

53535

●

737

●

6363636363636

●

3333333

●

939393939

●

83838383838

●

2 3 (6 1 9)

●

(3 1 4) 3 2 2 5

●

8:21337

●

(4 1 5) 3 (8 2 2)

●

30 2 10 : 5

●

45 : 9 2 (7 2 6)

●

20 2 5 3 (12 : 4)

●

9 1 16 : 2 2 3 3 5

3. Calcula. 5. Escribe la expresión polinómica de cada número. ● ●

85.473

●

320.609

●

4.007.952

●

280.560.370

76.803.041

●

906.047.158

35

73

92

105

83

16

27

43

54

62

Ï9 Ï4

Ï1 Ï16

Ï64 Ï81

Ï25 Ï100

Ï49 Ï36

4. Escribe. 6. Dibuja una recta entera y representa estos números. Después, completa. 13 24 0 12 21 15

●

Los seis primeros múltiplos de 8.

●

A la izquierda de 0 se encuentran los números...

●

Cinco múltiplos de 9 mayores que 70 y menores que 130.

●

A la derecha de 0 se encuentran los números...

●

Cuatro divisores de 20 y cinco de 30.

●

Todos los divisores de 15 y de 24.

7. Expresa con números enteros. ●

La cuarta planta de un edificio y el segundo sótano subterráneo.

●

El nivel del mar y una profundidad de 200 metros.

●

Una temperatura de 30 ºC y otra de 5 ºC bajo cero.

5. Calcula.

8. Compara y escribe el signo > o <.

a n

e oa o

●

2. Escribe.

n a

e car a-

9. Dibuja unos ejes de coordenadas cartesianas y representa estos puntos.

NÚMEROS

●

El mínimo común múltiplo:

●

El máximo común divisor:

m.c.m. (4 y 10)

m.c.m. (5 y 15)

m.c.m. (3 y 7)

m.c.m. (12 y 20)

m.c.m. (3, 4 y 8) m.c.m. (6, 9 y 12)

●

14

17

●

0

22

●

21

11

●

13

25

m.c.d. (5 y 9)

m.c.d. (8 y 20)

m.c.d. (4, 6 y 8)

●

23

26

●

0

11

●

18

28

●

24

12

m.c.d. (4 y 16)

m.c.d. (15 y 25)

m.c.d. (9, 12 y 15)

74

75

Propósitos • Repasar los contenidos más importantes trabajados en cada trimestre.

Ideas para la clase

Las actividades recogen lo esencial del trimestre, aunque si aprecia necesario un trabajo más intensivo en algún contenido puede utilizar nuestros cuadernos. Anime a sus alumnos a seguir progresando y valore sus logros.

1. En estas páginas se presentan, agrupadas según los grandes bloques de las Matemáticas (Números, Operaciones, Geometría, Medida, Estadística), numerosas actividades de práctica de los contenidos más importantes vistos durante el trimestre. Se recuerdan también las estrategias de Cálculo mental y se dedica una página completa, por su gran importancia, al trabajo con problemas. Puede utilizar también estas páginas como banco de actividades extra al trabajar cada una de las unidades (si estima necesaria una mayor práctica), o como mecanismo de comprobación y repaso de lo aprendido. 2. La realización de las actividades puede llevarse a cabo de forma individual, en parejas o bien a nivel de toda la clase, según el nivel alcanzado por los alumnos o las necesidades específicas que usted aprecie para el grupo.

XXVII 124603 _ 0001-0039.indd 27

6/7/09 16:39:33

La guía didáctica La guía está organizada en quince guiones didácticos, correspondientes a las quince unidades del libro. Cada uno consta de una doble página introductoria, y a continuación, la reproducción de las páginas del libro con las soluciones y las sugerencias para su explotación didáctica.

Programación, esquema, recursos y temporalización

1

Números naturales. Operaciones

Esq

Programación Objetivos

Objetivos

r Leer, escribir y descomponer números de hasta nueve cifras.

Se presentan los objetivos de aprendizaje que se persiguen en esta unidad.

r Identificar el valor posicional de cada una de las cifras en números de hasta nueve cifras. r Comparar y ordenar números de hasta nueve cifras. r Conocer la jerarquía de las operaciones y calcular operaciones combinadas con y sin paréntesis. r Reconocer la expresión numérica correspondiente a una frase y calcular su valor. r Resolver problemas de varias operaciones. r Resolver problemas siguiendo unos pasos ordenados.

Aparecen los criterios para efectuar la evaluación de lo aprendido por el alumno.

r Lectura, escritura y descomposición de números de hasta nueve cifras.

Recur

r Identificación del valor posicional de las cifras.

r r r r

r Comparación y ordenación de números de hasta nueve cifras. r Cálculo de operaciones combinadas con y sin paréntesis.

Criterios de evaluación

Criterios de evaluación

Contenidos

Estra

r Elabo

r Lee, escribe, descompone, compara y ordena números de hasta nueve cifras.

r Reconocimiento y cálculo de la expresión numérica asociada a una frase.

r Conoce la jerarquía de las operaciones y calcula operaciones combinadas con y sin paréntesis.

r Resolución de problemas de varias operaciones.

P

r Reconoce y escribe la expresión numérica correspondiente a una frase y calcula su valor.

r Aplicación de los pasos precisos para resolver un problema.

A p

r Resuelve problemas de varias operaciones.

r Repa

r

r Identifica y aplica los pasos a seguir para resolver un problema.

Competencias básicas

Competencias básicas

Además de desarrollar la Competencia matemática, en esta unidad se contribuye al desarrollo de las siguientes competencias: Competencia lingüística, Aprender a aprender, Interacción con el mundo físico, Competencia cultural y artística, Tratamiento de la información, Competencia social y ciudadana y Autonomía e iniciativa personal.

Se indica, por orden de aparición en la unidad, las competencias básicas trabajadas (aparte de la competencia matemática).

r Valoración de la utilidad de los números y sus operaciones en la vida cotidiana.

r

r Interés por la resolución clara y ordenada de los problemas y actividades.

r

Durante Recurso

6A

Contenidos Se muestran todos los contenidos trabajados en la unidad.

XXVIII 124603 _ 0001-0039.indd 28

Lámi Mate Cuad Manu

6/7/09 16:39:33

s.

Esquema de la unidad UNIDAD 1. NÚMEROS NATURALES. OPERACIONES

Esquema de la unidad Números de hasta nueve cifras

Operaciones combinadas

Se presenta un esquema que puede ofrecer a los alumnos para que lo copien y sepan qué van a aprender.

Problemas de varias operaciones

Actividades

Eres capaz de...

Solución de problemas

Repasa

Recursos r r r r

Láminas de aula. Material de aula. Cuaderno de práctica. Primer trimestre. Manual de ESTUDIO EFICAZ.

r 100 propuestas para mejorar la competencia matemática. r Refuerzo y ampliación. r Recursos para la evaluación.

Recursos Se ofrece un listado de todos los recursos disponibles para trabajar la unidad.

Estrategias del programa de ESTUDIO EFICAZ r Elaborar esquemas: actividad 5, pág. 14.

Estudio eficaz

r Repasar procedimientos: actividad 7, pág. 17.

Previsión de dificultades A lo largo de la unidad algunos alumnos pueden presentar dificultades en los siguientes aspectos: r La lectura, escritura y comparación de números con ceros intermedios, especialmente a partir de seis cifras. Trabaje con los alumnos las actividades necesarias, tanto escritas como orales, para asegurar su comprensión. r La aplicación de la jerarquía de las operaciones para resolver operaciones combinadas con y sin paréntesis. Insista en la necesidad de realizar las operaciones en el orden correcto, trabajando de forma razonada para evitar errores. r La resolución de problemas con varias operaciones. Resalte la importancia de seguir los pasos que ya conocen.

Aparecen las estrategias del manual de ESTUDIO EFICAZ trabajadas en la unidad.

Sugerencia de temporalización Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Enero Febrero

Temporalización

Marzo

Le proporcionamos una propuesta temporal (referida al calendario escolar) para tratar esta unidad.

Abril Mayo Junio

Durante las dos primeras semanas del curso escolar puede utilizar la evaluación inicial incluida en el cuaderno Recursos para la evaluación.

6B

Previsión de dificultades Se comentan las dificultades más comunes que los alumnos suelen encontrar y se ofrecen consejos para subsanarlas.

XXIX 124603 _ 0001-0039.indd 29

6/7/09 16:39:33

PĂĄginas de contenidos y actividades

Operaciones combinadas Objetivos Se presentan los objetivos que se persiguen con la doble pĂĄgina.

Objetivos

3. Coloca l â—?

9 2

â—?

3 5

Al resolver operaciones combinadas, es necesario seguir este orden al operar:

r Calcular operaciones combinadas, respetando la jerarquĂ­a de las operaciones.

1.Âş Calcula las operaciones que hay dentro de los parĂŠntesis.

r Reconocer la expresiĂłn numĂŠrica correspondiente a una frase y hallar su valor.

Por ejemplo:

4. Calcula

2.Âş Calcula las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen. 3.Âş Calcula las sumas y restas en el orden en que aparecen.

8 5 6 : (7 4)

5 6 : 3

36 : 4 3 2 8 9 3 2 8

5 2

9 6 8

7

3 8

Sugerencias didĂĄcticas

11

Para empezar r Recuerde a los alumnos la jerarquĂ­a de las operaciones: parĂŠntesis, multiplicaciones y divisiones y, por Ăşltimo, sumas y restas. SeĂąale la importancia de seguir un proceso ordenado.

â—?

8 5

â—?

8 (5

â—?

8 5

â—?

(8 5

â—?

8 5

â—?

8 (5

5 6 : (7 4) 5 6 : 3 5 2 7 36 : 4 3 2 8 9 3 2 8 9 6 8 3 8 11

Al hacer operaciones combinadas, primero calculamos los parĂŠntesis, despuĂŠs las multiplicaciones y divisiones y por Ăşltimo las sumas y restas.

5. Resuelve

Sugerencias didĂĄcticas Se proporcionan una serie de sugerencias y/o actividades para las distintas fases del trabajo en clase: Para empezar, Para explicar, Para reforzar. Entre ellas se incluyen sugerencias de aplicaciĂłn del manual de ESTUDIO EFICAZ en distintas actividades y momentos.

Para explicar r Resuelva paso a paso en la pizarra los ejemplos propuestos. Comente a los alumnos que deben resolver una operaciĂłn en cada paso y operar ordenadamente, sin prisas, analizando todas las operaciones de las expresiones sucesivas para ver cuĂĄl hay que hacer primero. Muestre la relaciĂłn entre las operaciones combinadas y sus expresiones escritas y cĂłmo la prioridad de las operaciones se refleja tambiĂŠn en esas frases. Para reforzar r Escriba en la pizarra operaciones combinadas mal resueltas y pida a los alumnos que detecten los errores y las corrijan, siguiendo las pautas que ofrece el manual de ESTUDIO EFICAZ en la pĂĄgina 58.

Competencias bĂĄsicas Tratamiento de la informaciĂłn Muestre cĂłmo una misma informaciĂłn puede venir expresada en forma numĂŠrica (operaciĂłn combinada) o con palabras (expresiĂłn escrita). SeĂąale la importancia de entender ambas y saber pasar de una a otra.

todas la

1. Subraya la operaciĂłn que tienes que hacer primero. DespuĂŠs, calcula. â—?

9 6 3 ‌ ‌ ‌

â—?

15 (7 2) ‌

â—?

7 8 5 ‌

â—?

(9 4) 6 ‌

‌ ‌

â—?

10 : (2 3) ‌

‌ ‌

â—?

(18 4) : 2 ‌

‌ ‌

â—?

20 12 : 4 ‌

â—?

2 9:3 ‌

‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌

2. Calcula. RECUERDA 1.Âş ParĂŠntesis. 2.Âş Multiplicaciones y divisiones. 3.Âş Sumas y restas.

10 4 2

5 (8 2) : 2

(10 4) 2

5 8 2:2

35 : (5 2)

9 2 4 6

35 : 5 2

(9 2) 4 6

8 12 : 4

24 2 (7 3)

6 5 4 2 7

10 : 5 3

(10 4) 18 : 6

9 8 : 4 (1 3)

2 (6 9)

12 : 3 5 8

(4 2) 5 (8 6)

Un ca En un de fru lleva a

â—?

AndrĂŠ y una de 50

â—?

RocĂ­o de cre en pa paste

6. RAZONA

C y â—?

Pon u

10

Otras actividades

Otr

r Escriba en la pizarra distintas operaciones combinadas en las que aparezcan los mismos nĂşmeros. Pida a los alumnos que las calculen y comparen sus resultados. Por ejemplo:

r P cr pa

25 – 9 – 5 25 – (9 – 5) (25 – 9) – 5

8–332 833–2 8 3 (3 – 2)

6 3 (4 – 1) 634–1 6 – (4 3 1)

12 : 2 1 1 12 : (2 1 1) (12 : 2) 1 1

Insista una vez mĂĄs en que es imprescindible aplicar correctamente el orden establecido en la realizaciĂłn de las operaciones para obtener el resultado correcto. PĂ­dales que planteen ejemplos similares por sĂ­ mismos.

10

Competencias Se indican las competencias trabajadas de manera especial en la doble pĂĄgina, se muestra cĂłmo se realiza ese trabajo, y/o se sugieren actividades para potenciar su adquisiciĂłn.

XXX 124603 _ 0001-0039.indd 30

â—?

‌ ‌

6/7/09 16:39:34

– – – – –

Ve ne nu

1 3. Coloca los paréntesis necesarios para que las igualdades sean ciertas.

UNIDAD

●

9 2 4 3

●

8 6:2 7

●

10 2 4 3 1

●

3 5 6 48

●

9 7 4 6

●

5 7 3 8 28

4. Calcula cada operación combinada y relaciónala con su frase correspondiente.

Piensa:

8 (5 2)

8

8

●

¿Qué operación realizo primero?

●

¿Qué le resto a 8: un número o el resultado de una operación?

8 5 2 1 ▶ A 8 le resto 5 y al resultado le resto 2. 8 (5 2) 5 ▶ A 8 le resto la diferencia de 5 y 2. ●

8 5 2

●

A 8 le resto la suma de 5 y 2.

●

8 (5 2)

●

A 8 le resto 5 y al resultado le sumo 2.

●

8 5 2

●

A 8 le sumo 5 y el resultado lo multiplico por 2.

●

(8 5) 2

●

A 8 le sumo el producto de 5 y 2.

●

8 5 2

●

Multiplico 8 por 5 y al resultado le resto 2.

●

8 (5 2)

●

Multiplico 8 por la diferencia de 5 y 2.

2. 10 – 8 5 2; 6 3 2 5 12 35 : 7 5 5; 7 1 2 5 9 516:2551358 5 1 8 – 1 5 13 – 1 5 12 9–816511657 7 3 4 1 6 5 28 1 6 5 34 8 1 3 5 11 23356 2 3 15 5 30 24 – 2 3 10 5 24 – 20 5 4 6 1 18 : 6 5 6 1 3 5 9 4 1 5 3 8 5 4 1 40 5 44 118–759–752 9 1 2 – 4 5 11 – 4 5 7 6 3 5 1 2 5 30 1 2 5 32

5. Resuelve estos problemas. Después, escribe en una sola expresión todas las operaciones que hayas hecho. ●

Un camión llevaba 168 kg de fruta. En un mercado descargó 24 cajas de 3 kg de fruta cada una. ¿Cuántos kilos de fruta lleva ahora el camión?

●

Andrés compró un pantalón por 18 y una sudadera por 14 . Pagó con un billete de 50 . ¿Cuánto dinero le devolvieron?

●

Rocío tiene una bandeja con 35 pasteles de crema y 61 de chocolate. Quiere repartirlos en partes iguales en 8 platos. ¿Cuántos pasteles pondrá en cada plato?

… …

… …

… …

… …

2) : 2

2:2

4 6 4 6

Calculas el doble de un número y después le sumas otro número.

Calculas el doble de la suma de esos dos números.

3)

8 6)

que alcu-

●

Pon un ejemplo que explique tu respuesta.

11

Otras actividades r Puede trabajar, si lo cree conveniente, el paso directo de frase escrita a operación combinada. Dicte a sus alumnos estas frases para que ellos las expresen de forma numérica en su cuaderno:

1 1) 1

– Multiplico 7 por 3 y al resultado le resto 5.

menpara simi-

– Divido entre 5 la suma de 25 y 20.

al o,

– Multiplico 2 por la diferencia de 15 y 9. – Al producto de 8 y 5 le sumo 10. – Al doble de 6 le resto 7 y le sumo 4. Verifique las respuestas en la pizarra. En caso de respuestas erróneas, señale cómo se expresarían por escrito esas expresiones numéricas para despejar las dudas que existan.

Soluciones Se ofrecen las soluciones de todas las actividades planteadas a los alumnos.

3. r 9 – (2 1 4) 5 3 r (3 1 5) 3 6 5 48 r (8 1 6) : 2 5 7 r 9 – (7 – 4) 5 6 r (10 – 2) – (4 1 3) 5 1 r 5 3 (7 – 3) 1 8 5 28

6. RAZONAMIENTO. Piensa e indica si obtienes o no el mismo resultado.

7

Soluciones 1. r 9 –613531356 r 7 1 8 3 5 5 7 1 40 5 47 r 20 – 12 : 4 5 20 – 3 5 17 r 2 3 9 : 3 5 18 : 3 5 6 r 15 – (7 1 2) 5 15 – 9 5 6 r (9 – 4) 3 6 5 5 3 6 5 30 r 10 : (2 1 3) 5 10 : 5 5 2 r (18 – 4) : 2 5 14 : 2 5 7

HAZLO ASÍ 8 5 2

1

4. r 8 – 5 1 2. A 8 le resto 5 y al resultado le sumo 2. r 8 – (5 1 2). A 8 le resto la suma de 5 y 2. r 8 1 5 3 2. A 8 le sumo el producto de 5 y 2. r (8 1 5) 3 2. A 8 le sumo 5 y el resultado lo multiplico por 2. r 8 3 5 – 2. Multiplico 8 por 5 y al resultado le resto 2. r 8 3 (5 – 2). Multiplico 8 por la diferencia de 5 y 2. 5. r 168 – 24 3 3 5 96 Lleva 96 kg de fruta. r 50 – (18 1 14) 5 18 Le devolvieron 18 . r (35 1 61) : 8 5 12 Pondrá 12 pasteles. 6. No se obtiene el mismo resultado en los dos casos. r R. M. 2 3 3 1 5 5 11 2 3 (3 1 5) 5 16

11

Otras actividades Aparecen diferentes actividades para trabajar los contenidos expuestos en la doble página. Son muy variadas: de refuerzo, de profundización, individuales, en equipo, con material, sin material...

XXXI 124603 _ 0001-0039.indd 31

6/7/09 16:39:34

Páginas de Solución de problemas y Repasa

Solución de problemas Pasos para resolver un problema

Objetivos Se presentan los objetivos que se persiguen con la página.

Objetivos r Resolver problemas matemáticos siguiendo unos pasos.

Sugerencias didácticas

Sugerencias didácticas Se proporcionan una serie de sugerencias y/o actividades para trabajar la Solución de problemas.

Se indican las competencias trabajadas y se sugieren actividades para potenciar su adquisición.

Pedro compró una lavadora que costaba 579 . Pagó con dos billetes de 200 , uno de 100 y cinco billetes de 20 . ¿Cuánto le devolvieron? ●

Pregunta

●

r Comente el ejemplo resuelto y explíquelo paso a paso en la pizarra asegurándose de la comprensión de cada paso. Señale la importancia de pensar cuidadosamente antes de ponerse a hacer operaciones.

Aprender a aprender Motive a sus alumnos para que pongan en práctica todos aquellos conocimientos de los que ya disponen para resolver los problemas matemáticos. Señale que su capacidad se ha ido desarrollando a base de práctica y que ya tienen capacidad suficiente para resolver problemas muy complejos.

▶

▶

1.70

●

8.05

3. Escribe ●

Cuatr y och

●

Dos m

●

Cinco

●

Veint treint

PIENSA.

●

Oche

CALCULA.

●

1.º 2 200 1 100 5 20 400 100 100 600 2.º 600 579 21

Quini mil n

●

Seisc

Solución: Le devolvieron 21 . ●

540.

●

activida

¿Cuánto le devolvieron?

La lavadora costaba 579 . Pagó con 2 billetes de 200 , 1 de 100 y 5 de 20 .

1.º Hay que hallar cuánto dinero entregó Pedro. Multiplicamos el valor de cada billete por el número de ellos que entregó y sumamos. 2.º Hay que hallar el dinero que le devolvieron. Restamos al dinero entregado el precio de la lavadora. ●

●

2. Escribe

COMPRENDE.

Datos

Para explicar

Competencias básicas

Competencias básicas

1. Descom

Para empezar r Entable una conversación con sus alumnos y hágales ver la necesidad de seguir un método organizado a la hora de resolver problemas.

EJERCICIO

Resuelve siempre los problemas siguiendo estos pasos.

4. Calcula

COMPRUEBA. 579 21 = 600

●

▶

El precio de la lavadora más las vueltas da el dinero entregado.

1. En un concesionario de coches, los todoterrenos valían 26.500 y las furgonetas

25.0

●

176.

●

47.9

●

276.

5. Multipli

19.750 . Tras rebajar el precio de cada vehículo 2.150 , vendieron en una semana dos todoterrenos y una furgoneta. ¿Cuánto obtuvieron por esa venta?

●

375

●

286

2. Una empresa llevó a comer a sus 12 empleados en un minibús. En alquilar el minibús gastó 300 y en la comida gastó 420 más que en el transporte. ¿Cuánto pagó la empresa por cada empleado en total?

6. Divide.

3. Juan tiene 5 años, su padre tiene 24 años más que él y su abuelo tiene el doble de

●

9.76

●

3.42

años que su padre. ¿Cuántos años tiene su abuelo?

7. 4. INVENTA. Escribe un problema y pide a tu compañero que lo resuelva

ESTUD

has hec resultad

siguiendo los cuatro pasos.

16

Soluciones 1. (26.500 – 2.150) 3 2 5 48.700 19.750 2 2.150 5 17.600 48.700 1 17.600 5 66.300 Obtuvieron 66.300 . 2. (300 1 300 1 420) : 12 5 85 Pagó 85 por cada empleado. 3. (24 1 5) 3 2 5 58 Su abuelo tiene 58 años. 4. R. M. Laura recorre para ir al trabajo 38 km los lunes y miércoles. El resto de días recorre 5 km más. ¿Cuántos kilómetros recorre a la semana?

Otras actividades

Rep

r Plantee a sus alumnos problemas como los que se proponen a continuación para afianzar la resolución de problemas paso a paso:

r Di pa lin re ca op go gr ca

– En una biblioteca hay registrados 679 libros infantiles; de literatura juvenil hay 315 más que infantiles, y de historia 123 menos que juveniles. ¿Cuántos libros hay en total? – En un concierto se gastaron 6.200 en iluminación y sonido. Por la venta de entradas se recaudaron 6.500 y se vendieron 80 camisetas a 13 cada una. ¿Cuánto se obtuvo de beneficio?

16

Otras actividades Aparecen diferentes actividades para trabajar de manera más intensiva la Solución de problemas. Ofrecen la posibilidad de una mayor práctica en caso de dificultades, o sirven para profundizar.

XXXII 124603 _ 0001-0039.indd 32

6/7/09 16:39:34

cono:

eranos

ido. eron nefi-

1

Repasa

UNIDAD

EJERCICIOS

Soluciones

PROBLEMAS

1. Descompón estos números.

8. En un tren caben 305 pasajeros. Hay 225

●

540.123

●

39.126.545

●

1.700.902

●

160.302.090

●

8.057.021

●

802.004.600

plazas de clase turista y 4 vagones iguales de primera clase. ¿Cuántas plazas tiene cada vagón de primera clase?

9. Marcos compró 150 kg de manzanas a 2 el kilo. Al ir a venderlas, tiró 17 kg que estaban estropeados y vendió el resto a 10 el kilo. ¿Cuánto dinero ganó en la venta?

2. Escribe cómo se lee cada número de la actividad anterior.

3. Escribe con cifras. ●

Cuatrocientos mil novecientos setenta y ocho.

●

Dos millones ciento seis mil cuatro.

●

Cinco millones setenta y seis.

●

Veintinueve millones cuatrocientos treinta y dos mil.

●

Ochenta millones diez mil trece.

●

Quinientos seis millones doscientos seis mil noventa y ocho.

●

10. Luisa ha conseguido en un videojuego 3 varitas mágicas y José ha conseguido 4 cofres y 5 coronas.

150 puntos

180 puntos

11. Elena compró 4 billetes de avión en una

4. Calcula. ●

25.089 23.658

●

176.765 29.106 8.394

●

47.912 – 6.965

●

276.091 – 9.876

agencia de viajes. Pagó 603 en total por los billetes y por la gestión. Cada billete costaba 150 . ¿Cuánto pagó Elena por la gestión?

12. Un grupo de 28 amigos quiere cruzar un lago. La mitad lo harán en barcas de 2 plazas y el resto en barcas de 5 plazas. ¿Cuántas barcas necesitarán?

5. Multiplica. ●

375 189

●

1.689 470

●

286 305

●

2.741 900

13. Félix fue al banco a cambiar dinero. Entregó 4 billetes de 50 y 2 de 20 y le dieron 40 monedas de 1 y el resto en monedas de 2 . ¿Cuántas monedas de 2 le dieron?

6. Divide.

7.

415 puntos

¿Quién ha conseguido más puntos? ¿Cuántos más?

Seiscientos millones cien mil dos.

●

9.760 : 36

●

4.711 : 314

●

3.420 : 38

●

38.304 : 126

14. En una fábrica envasan cada hora 520 ¬ ESTUDIO EFICAZ. Revisa las divisiones que

has hecho en la actividad 6. ¿Coinciden tus resultados con los de tu compañero?

1

de refresco de naranja y 780 ¬ de limón en botellas de 2 litros. ¿Cuántas botellas llenan en 8 horas de trabajo?

17

1. r 5 CM 1 4 DM 1 1 C 1 12D13U r 1 U. de millón 1 7 CM 1 19C12U r 8 U. de millón 1 5 DM 1 1 7 UM 1 2 D 1 1 U r 3 D. de millón 1 9 U. de millón 1 1 CM 1 2 DM 1 1 6 UM 1 5 C 1 4 D 1 15U r 1 C. de millón 1 6 D. de millón 1 3 CM 1 2 UM 1 19D r 8 C. de millón 1 2 U. de millón 1 4 UM 1 6 C

Soluciones Se ofrecen las soluciones de todas las actividades planteadas a los alumnos.

2. Quinientos cuarenta mil ciento veintitrés. Un millón setecientos mil novecientos dos. Ocho millones cincuenta y siete mil veintiuno. Treinta y nueve millones ciento veintiséis mil quinientos cuarenta y cinco. Ciento sesenta millones trescientos dos mil noventa. Ochocientos dos millones cuatro mil seiscientos. 3. 400.978, 2.106.004, 5.000.076, 29.432.000, 80.010.013, 506.206.098, 600.100.002 4. r 48.747 r 214.265

r 40.947 r 266.215

5. r 70.875 r 87.230

r 793.830 r 2.466.900

6. r c 5 271; r 5 4 r c 5 15; r 5 1 r c 5 90 r c 5 304 7. R. L.

Repaso en común r Divida la clase en varios grupos y anime a cada uno de los grupos para que ideen un juego de mesa que dibujarán sobre una cartulina grande. Pídales que escriban las reglas del juego y tracen un recorrido con casillas donde se tendrán que superar pruebas como calcular operaciones con números naturales, hallar el valor de una operación combinada, resolver un problema correctamente … Luego podrán jugar con su propio juego o intercambiarlo con los otros grupos. También se puede fijar un límite temporal para realizar cada una de las pruebas de las casillas.

8. (305 – 225) : 4 5 20 Cada vagón tiene 20 plazas. 9. (150 2 17) 3 10 – 300 5 5 1.030 ganó en la venta. 10. José; 225 puntos más. 11. 603 – 150 3 4 5 3 pagó. 12. 14 : 5 ▶ c 5 2; r 5 4 7 1 3 5 10 barcas. 13. 50 3 4 1 2 3 20 – 40 5 200; 200 : 2 5 100. Le dieron 100 monedas. 14. (520 1 780) : 2 5 650 650 3 8 5 5.200 Llenan 5.200 botellas.

17

Repaso en común Se ofrecen sugerencias para repasar los contenidos de otras formas. Generalmente son actividades de trabajo en equipo y muy participativas, buscando la toma de conciencia del propio aprendizaje por parte de los alumnos.

XXXIII 124603 _ 0001-0039.indd 33

6/7/09 16:39:35

124603 _ 0001-0039.indd 34

6/7/09 16:39:36

Matemรกticas 6 PRIMARIA

Santillana 124603 _ 0001-0039.indd 35

6/7/09 16:39:36

El libro Matemáticas 6, para sexto curso de Educación Primaria, es una obra colectiva concebida, creada y realizada en el Departamento de Primaria de Santillana Educación S. L. bajo la dirección de José Tomás Henao.

Texto: José A. Almodóvar y Magdalena Rodríguez. Ilustración: Esther Gómez y José M.ª Valera. Edición: José A. Almodóvar y Magdalena Rodríguez.

Las actividades de este libro deben ser realizadas por el alumno en un cuaderno. En ningún caso deben realizarse en el mismo libro.

124603 _ 0001-0039.indd 36

6/7/09 16:39:36

Presentación Este libro forma parte del proyecto LA CASA DEL SABER, que es un espacio educativo en el que los alumnos pueden adquirir las capacidades necesarias para su desarrollo personal y social. Para lograrlo, los libros de Matemáticas pretenden que los alumnos alcancen los siguientes objetivos: r Prepararse para el paso a la Educación Secundaria. Para ello, desarrollamos un Programa de Estudio Eficaz que ayuda a consolidar los conocimientos fundamentales y que promueve la autonomía de los alumnos respecto a su trabajo escolar. r Aplicar lo que se aprende a la vida cotidiana. La aplicación de las Matemáticas en situaciones reales es el hilo conductor de este libro. Las numerosas actividades planteadas, el programa de Solución de problemas y el programa Eres capaz de... permiten que los alumnos utilicen los conocimientos adquiridos en situaciones reales. r Trabajar las Matemáticas eficazmente y de forma global. Los libros ofrecen numerosos ejemplos de respuesta para que los alumnos tengan claro qué deben hacer y cómo responder, facilitando así una práctica eficaz. Los programas Razonamiento, Gráficos, Cálculo mental y Taller de Geometría contribuyen a una práctica global de todos los aspectos de las Matemáticas. r Consolidar los aprendizajes fundamentales. Para garantizar el aprendizaje, en cada unidad se recogen los contenidos de los cursos o unidades anteriores que están relacionados con lo que se va a aprender. Además, se plantean actividades de repaso acumulativo en cada unidad, y en cada trimestre. LA CASA DEL SABER es un proyecto en el que cabemos todos. Pretende que los alumnos reconozcan y valoren la diversidad cultural de la sociedad en la que viven y contribuye de forma eficaz a la educación en valores.

124603 _ 0001-0039.indd 37

6/7/09 16:39:36

UNIDAD

1 2

INFORMACIÓN Y ACTIVIDADES ●

Números naturales. Operaciones

● ●

6 ●

Potencias y raíz cuadrada

● ●

18

●

3

●

Números enteros

4

●

●

30 ●

Múltiplos y divisores

● ●

46

● ●

5

●

Ángulos

●

60

Números de hasta nueve cifras Operaciones combinadas Problemas de varias operaciones Potencias. Cuadrado y cubo Potencias de base 10 Expresión polinómica de un número Raíz cuadrada Los números enteros Problemas con números enteros La recta entera. Comparación de números enteros

●

Coordenadas cartesianas

Múltiplos de un número Mínimo común múltiplo Divisores de un número Criterios de divisibilidad por 2, 3 y 5

●

Cálculo de todos los divisores de un número Números primos y compuestos Máximo común divisor

Unidades de medida de ángulos Suma de ángulos Resta de ángulos

● ●

Ángulos complementarios y suplementarios Ángulos de más de 180º

Fracciones y números mixtos Fracciones equivalentes Obtención de fracciones equivalentes Reducción a común denominador

●

Comparación de fracciones

División de un decimal entre un natural División de un natural entre un decimal División de un decimal entre un decimal

●

Obtención de cifras decimales en el cociente Problemas con decimales

Base y altura de triángulos y paralelogramos Suma de los ángulos de triángulos y cuadriláteros La circunferencia. Elementos

●

● ●

REPASO TRIMESTRAL ●

6

●

Fracciones

7 8 9

●

78

● ●

Operaciones con fracciones

● ●

92

● ●

Números decimales Operaciones

● ●

106

● ●

División de números decimales

● ●

122 ●

10

●

Figuras planas

134

●

Suma de fracciones Resta de fracciones Multiplicación de fracciones División de fracciones Suma y resta de números decimales Multiplicación de números decimales Aproximación de números decimales Estimaciones

●

● ●

El número π y la longitud de la circunferencia Figuras circulares Posiciones de rectas y circunferencias

REPASO TRIMESTRAL

11 12 13 14

●

Proporcionalidad y porcentajes Longitud, capacidad, masa y superficie

● ●

152 ● ● ●

164

● ●

Área de figuras planas Cuerpos geométricos. Volumen

● ●

180

● ● ● ●

196

● ●

15

●

Estadística

208

●

Proporcionalidad. Problemas. Problemas con porcentajes Escalas: planos y mapas Unidades de longitud. Relaciones Unidades de capacidad. Relaciones Unidades de masa. Relaciones Unidades de superficie

●

Área del cuadrado y del rectángulo Área del rombo Área del romboide Área del triángulo

●

●

● ●

Relaciones entre unidades de superficie Unidades agrarias

Área de polígonos regulares Área del círculo Área de figuras planas

Poliedros. Poliedros regulares Volumen con un cubo unidad Volumen y capacidad Unidades de volumen Variables estadísticas Frecuencia absoluta y frecuencia relativa Media y moda

● ●

Mediana Rango

REPASO TRIMESTRAL

4 124603 _ 0001-0039.indd 38

6/7/09 16:39:36

CÁLCULO MENTAL ● ●

● ●

● ●

● ●

● ●

● ●

● ●

● ●

● ●

● ●

●

● ●

● ●

● ●

● ●

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Calcular sumas y restas sin paréntesis Calcular sumas y restas con paréntesis

Pasos para resolver un problema

Calcular operaciones combinadas sin paréntesis Calcular operaciones combinadas con paréntesis

Buscar datos en varios gráficos

Sumar 1.001, 2.001, 3.001… a números de 3 cifras Sumar 999, 1.999, 2.999.. a números de 3 cifras

Buscar datos en varios textos o gráficos

Restar 1.001, 2.001, 3.001… a números de 3 cifras Restar 999, 1.999, 2.999.. a números de 3 cifras

Hacer una tabla

Dividir un número natural entre decenas y centenas Calcular la fracción de un número

Hacer un dibujo

Sumar por compensación: sumar y restar el mismo número Sumar por compensación: restar y sumar el mismo número

Ensayo y error

Restar por compensación: sumar el mismo número Restar por compensación: restar el mismo número

Representar la situación

Multiplicar un número natural por 2 Multiplicar un número natural por 5

Anticipar una solución aproximada

Multiplicar un número natural por 11 Multiplicar un número natural por 9

Representar datos con dibujos

Multiplicar un número natural por 101 Multiplicar un número natural por 99

Imaginar el problema resuelto

Estimar sumas y restas de decimales aproximando a las unidades

Resolver un problema empezando por el final

Sumar un número natural y un decimal Restar un número natural a un decimal

Representar gráficamente la situación

GRÁFICOS

REPASA ● ●

● ● ●

Gráficos lineales de tres características

● ● ●

● ● ● ● ● ● ●

● ● ●

Estimar productos de un número decimal por un natural Multiplicar un número decimal por decenas y centenas

Reducir el problema a otro problema conocido

Calcular el 10% de un número Calcular el 50% de un número

Empezar con problemas más sencillos

Calcular el 20 % de un número Calcular el 25 % de un número

Hacer un diagrama de árbol

● ● ●

●

Histogramas

● ●

● ●

● ●

● ● ● ● ● ●

Gráficos de sectores

● ● ●

● ● ●

● ● ●

Números naturales Operaciones Números naturales Operaciones Operaciones combinadas Operaciones Operaciones combinadas Potencias y raíz cuadrada Operaciones combinadas Potencias y raíz cuadrada Números enteros Números naturales Potencias y raíz cuadrada Números enteros Divisibilidad

Números enteros Divisibilidad Ángulos Operaciones Operaciones combinadas Fracciones Divisibilidad Fracciones Suma y resta de fracciones Números naturales Operaciones con fracciones y decimales Fracciones y decimales Operaciones con fracciones y decimales

Decimales Operaciones con decimales Figuras planas Números enteros Operaciones con fracciones y decimales Proporcionalidad Números naturales Proporcionalidad Longitud, capacidad y masa Operaciones Área de figuras planas Superficie Números naturales Fracciones y decimales Volumen

5 124603 _ 0001-0039.indd 39

6/7/09 16:39:36

1

E

Números naturales. Operaciones

Programación Objetivos • Leer, escribir y descomponer números de hasta nueve cifras. • Identificar el valor posicional de cada una de las cifras en números de hasta nueve cifras. • Comparar y ordenar números de hasta nueve cifras. • Conocer la jerarquía de las operaciones y calcular operaciones combinadas con y sin paréntesis. • Reconocer la expresión numérica correspondiente a una frase y calcular su valor. • Resolver problemas de varias operaciones. • Resolver problemas siguiendo unos pasos ordenados.

Contenidos • Lectura, escritura y descomposición de números de hasta nueve cifras.

R

• Identificación del valor posicional de las cifras.

• • • •

• Comparación y ordenación de números de hasta nueve cifras. • Cálculo de operaciones combinadas con y sin paréntesis.

E

• Lee, escribe, descompone, compara y ordena números de hasta nueve cifras.

• Reconocimiento y cálculo de la expresión numérica asociada a una frase.

•

• Conoce la jerarquía de las operaciones y calcula operaciones combinadas con y sin paréntesis.

• Resolución de problemas de varias operaciones.

• Reconoce y escribe la expresión numérica correspondiente a una frase y calcula su valor.

• Aplicación de los pasos precisos para resolver un problema.

Criterios de evaluación

• Resuelve problemas de varias operaciones.

•

• Identifica y aplica los pasos a seguir para resolver un problema.

Competencias básicas Además de desarrollar la Competencia matemática, en esta unidad se contribuye al desarrollo de las siguientes competencias: Competencia lingüística, Aprender a aprender, Interacción con el mundo físico, Competencia cultural y artística, Tratamiento de la información, Competencia social y ciudadana y Autonomía e iniciativa personal.

• Valoración de la utilidad de los números y sus operaciones en la vida cotidiana. • Interés por la resolución clara y ordenada de los problemas y actividades.

D R

6A 124603 _ 0040-0053.indd

40

6/7/09

16:37:16

Esquema de la unidad UNIDAD 1. NÚMEROS NATURALES. OPERACIONES

Números de hasta nueve cifras

Operaciones combinadas

Problemas de varias operaciones

Actividades

Eres capaz de...

Solución de problemas

Repasa

Recursos • • • •

Láminas de aula. Material de aula. Cuaderno de práctica. Primer trimestre. Manual de ESTUDIO EFICAZ.

• 100 propuestas para mejorar la competencia matemática. • Refuerzo y ampliación. • Recursos para la evaluación.

Estrategias del programa de ESTUDIO EFICAZ • Elaborar esquemas: actividad 5, pág. 14. • Repasar procedimientos: actividad 7, pág. 17.

Previsión de dificultades A lo largo de la unidad algunos alumnos pueden presentar dificultades en los siguientes aspectos: • La lectura, escritura y comparación de números con ceros intermedios, especialmente a partir de seis cifras. Trabaje con los alumnos las actividades necesarias, tanto escritas como orales, para asegurar su comprensión. • La aplicación de la jerarquía de las operaciones para resolver operaciones combinadas con y sin paréntesis. Insista en la necesidad de realizar las operaciones en el orden correcto, trabajando de forma razonada para evitar errores. • La resolución de problemas con varias operaciones. Resalte la importancia de seguir los pasos que ya conocen.

Sugerencia de temporalización Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio

Durante las dos primeras semanas del curso escolar puede utilizar la evaluación inicial incluida en el cuaderno Recursos para la evaluación.

6B 124603 _ 0040-0053.indd

41

6/7/09

16:37:16

1 Objetivos

Números naturales. Operaciones

RE

O

• Recordar los conceptos básicos necesarios para el desarrollo de la unidad. • Reconocer situaciones reales donde aparecen números de hasta nueve cifras.

Sugerencias didácticas • Dialogue con sus alumnos sobre la gran cantidad de ocasiones de la vida real en las que aparecen los números y sobre lo necesarios que son para resolver las situaciones que se nos presentan cotidianamente. Pídales que comenten la fotografía y lo que ven en ella y resuelva las preguntas en común. • En Recuerda lo que sabes aproveche para comprobar si los alumnos realizan correctamente operaciones con números naturales y repase con ellos la prueba de la resta y de la división. Trabaje también las aproximaciones y estimaciones, recordando la necesidad de aproximar primero para poder estimar.

Competencias básicas Competencia lingüística Al recordar el vocabulario asociado a las operaciones (sumando, minuendo, factor, dividendo…) haga hincapié en la necesidad de utilizarlo de manera adecuada. Aprender a aprender Dialogue con sus alumnos sobre la importancia que tienen los conocimientos ya aprendidos para poder avanzar. Muestre la necesidad de fundamentar bien lo que aprendemos. Interacción con el mundo físico Señale la importancia de los números como instrumento para comprender la realidad y de esa manera poder desenvolverse en ella más adecuadamente.

E

●

1.

La Tierra gira alrededor del Sol. En cada vuelta recorre unos 930 millones de kilómetros. Tarda en dar una vuelta 365 días y 6 horas y viaja a una gran velocidad. Cada hora recorre 106.000 km. La Tierra no siempre está a la misma distancia del Sol. La distancia media entre ambos es 1 UA (unidad astronómica), que equivale a 149.675.000 km.

2.

●

Escribe con cifras los kilómetros que recorre la Tierra al dar una vuelta alrededor del Sol. ¿Cuántas cifras tiene el número? ¿Cuántas de ellas son ceros?

●

¿Qué es 1 UA? ¿Cuántos kilómetros son? La distancia media entre el Sol y Marte es casi doscientos veintiocho millones de kilómetros. ¿Qué planeta está más lejos del Sol, la Tierra o Marte?

●

3.

¿Cuántos kilómetros recorre la Tierra en una hora? ¿Y en un día?

6

Otras formas de empezar • Inicie una conversación con sus alumnos sobre las operaciones que conocen y qué signos utilizan para expresar cada una de ellas. Escriba en la pizarra las operaciones que vayan nombrando y pídales que digan todo lo relacionado con ellas (nombres de los términos, características de los signos utilizados para expresarlas, propiedades, pruebas…). Anímeles a que entre todos obtengan conclusiones sobre en qué momentos las operaciones con números naturales nos resultan de gran utilidad para poder resolver situaciones que se nos presentan.

6 124603 _ 0040-0053.indd

42

6/7/09

16:37:16

e

a

RECUERDA LO QUE SABES

UNIDAD

Operaciones con números naturales

1

Soluciones

Suma

Resta

Página inicial 5 8 0 6 12 4 7 9 8 2 8 5

Multiplicación 2 3 7 .1 4 7 4 1 4 8 1

4 6 3 2 5

5 0 7 0 7

minuendo sustraendo diferencia

9 4 2 3 27 5 6 1 1 8 6 2

sumando sumando suma o total

• 930.000.000 km. Tiene nueve cifras. Siete de ellas son ceros. • Una unidad astronómica. Son 149.675.000 km. Marte está más lejos del Sol que la Tierra. • La Tierra recorre en una hora 106.000 km. En un día recorre 2.544.000 km.

División

7 3 1

factor factor

1

producto

dividendo

4 6 9 5 7 43 divisor 3 9 5 1092 cociente 0 8 7 resto 0 1

Recuerda lo que sabes

Estimación de operaciones ●

●

Estimación de sumas

Estimación de restas

4.297 1 1.835 ▼

7.492 2 318

▼

▼

4.000 1 2.000 5 6.000

●

1. • • • • • •

Estimación de productos 5.761 3 2

▼

▼

7.500 2 300 5 7.200

▼

6.000 3 2 5 12.000

1. Calcula. Después, haz la prueba de las restas y las divisiones. ●

759 1 3.824

●

8.329 1 4.516 1 738

●

4.261 2 569

●

20.347 2 865

●

316 3 273

●

782 3 450

●

695 3 908

5.928 : 38

●

22.863 : 56

●

64.456 : 179

●

2. Calcula el término que falta en cada operación. ● ● ● ●

62.734 1

5 68.251

●

1 49.018 5 73.542

●

584 3

5 179.288

●

3 260 5 103.220

●

• •

VAS A APRENDER ●

A leer, escribir, descomponer y comparar números de hasta 9 cifras.

●

A calcular operaciones combinadas con y sin paréntesis y expresarlas con una frase.

●

A resolver problemas de varias operaciones.

2 5.397 5 8.406 29.035 2

5 4.187

: 143 5 572 5 637

132.496 :

3. Estima las siguientes operaciones. ●

5.129 1 6.308

●

9.175 2 2.830

●

637 3 5

●

8.392 1 764

●

7.238 2 91

●

3.729 3 8

• •

7

Vocabulario de la unidad • Unidad, decena, centena, unidad de millar, decena de millar, centena de millar, unidad de millón, decena de millón, centena de millón

2. • • • • • • • • 3. • • • • • •

4.583 3.692; 3.692 1 569 5 4.261 86.268 c 5 156; 156 3 38 5 5.928 13.583 19.482; 19.482 1 865 5 5 20.347 351.900 c 5 408; r 5 15 408 3 56 1 15 5 22.863 631.060 c 5 360; r 5 16 360 3 179 1 16 5 64.456 5 5.517 5 24.524 5 307 5 397 5 3.009 5 24.848 5 81.796 5 208 5.000 1 6.000 5 11.000 8.400 1 800 5 9.200 9.000 – 3.000 5 6.000 7.240 – 90 5 7.150 600 3 5 5 3.000 4.000 3 8 5 32.000

• Paréntesis • Operaciones combinadas • Expresión numérica

7 124603 _ 0040-0053.indd

43

6/7/09

16:37:17

Números de hasta nueve cifras Objetivos

●

4.

Observa los nueve primeros órdenes de unidades.

5.

• Conocer los distintos órdenes de unidades hasta la centena de millón y sus equivalencias.

Centena Decena Unidad de Centena Decena Unidad Centena de millón de millón millón de millar de millar de millar

Decena

Unidad

6.

Recuerda que nuestro sistema de numeración es decimal, es decir, 10 unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior.

• Leer, escribir, descomponer y comparar números de hasta nueve cifras.

1U 1 D 5 10 U 1 C 5 10 D 5 100 U 1 UM 5 10 C 5 1.000 U 1 DM 5 10 UM 5 10.000 U 1 CM 5 10 DM 5 100.000 U 1 U. de millón 5 10 CM 5 1.000.000 U 1 D. de millón 5 10 U. de millón 5 10.000.000 U 1 C. de millón 5 10 D. de millón 5 100.000.000 U

Sugerencias didácticas Para reforzar • Pida a los alumnos que planteen a sus compañeros actividades como las trabajadas en esta página. Corrija después alguna de ellas en común.

●

De 10

en 10

7.

Fíjate cómo se descompone y se lee el número 502.816.030. 502.816.030 5 5 C. de millón 1 2 U. de millón 1 8 CM 1 1 DM 1 6 UM 1 3 D 5 500.000.000 1 2.000.000 1 800.000 1 10.000 1 6.000 1 30 502.816.030 se lee quinientos dos millones ochocientos dieciséis mil treinta.

Competencias básicas Competencia cultural y artística Solicite a los alumnos que hagan una representación gráfica propia de los nueve órdenes de unidades y sus equivalencias.

En el sistema decimal, 10 unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior. Por ejemplo, 10 unidades forman 1 decena y 10 centenas de millar 1 millón.

1. Descompón los siguientes números. 3.970.205

24.508.960

302.750.681

540.309.027

8.016.043

70.435.009

897.060.100

900.286.415

8.

2. Escribe cómo se lee cada número de la actividad 1.

Soluciones 1. • 3 U. de millón 1 9 CM 1 1 7 DM 1 2 C 1 5 U • 8 U. de millón 1 1 DM 1 1 6 UM 1 4 D 1 3 U • 2 D. de millón 1 4 U. de millón 1 5 CM 1 8 UM 1 9 C 1 16D • 7 D. de millón 1 4 CM 1 1 3 DM 1 5 UM 1 9 U • 3 C. de millón 1 2 U. de millón 1 7 CM 1 5 DM 1 6 C 1 18D11U • 8 C. de millón 1 9 D. de millón 1 7 U. de millón 1 1 6 DM 1 1 C • 5 C. de millón 1 4 D. de millón 1 3 CM 1 9 UM 1 12D17U • 9 C. de millón 1 2 CM 1 1 8 DM 1 6 UM 1 4 C 1 11D15U 2. • Tres millones novecientos setenta mil doscientos cinco. • Ocho millones dieciséis mil cuarenta y tres.

3. Escribe los siguientes números. PRESTA ATENCIÓN En un número, el primer punto por la derecha indica los millares, y el segundo punto los millones.

CÁ ●

Seiscientos cuarenta mil noventa y cinco.

●

Cuatro millones veintitrés mil setecientos uno.

●

Setenta y tres millones quinientos diez mil.

●

Ochocientos nueve millones cien mil seis.

Cal

8

Otras actividades • Proponga a sus alumnos distintas actividades para que practiquen la lectura y escritura de números de hasta 9 cifras. Por ejemplo: – Escriba números parecidos variando la cantidad de ceros intermedios, y haga que los alumnos los lean y descompongan para que aprecien la diferencia entre unos y otros. 344.000.123

344.120.300

123.044.000

– Haga un dictado de números. – Proponga a los alumnos que escriban (y después lean) números que cumplan unas condiciones determinadas. Por ejemplo: un número de 9 cifras con 5 ceros; un número de 8 cifras en el que la cifra de las decenas de millón sea mayor que la de las unidades de millar; un número de 6 cifras con 3 ceros intermedios…

8 124603 _ 0040-0053.indd

44

6/7/09

16:37:17

27

15

1 4. Escribe el número anterior y el posterior.

UNIDAD

●

...

◀

1.000.000 ▶ ...

●

... ◀ 30.000.000 ▶ ...

●

...

◀

599.999.999 ▶ ...

●

...

◀

9.386.999 ▶ ...

●

... ◀ 99.999.999 ▶ ...

●

...

◀

900.000.000 ▶ ...

5. En cada número, escribe el valor en unidades de las cifras 2. ●

●

109.245.720

728.301.299

●

502.382.142

●

250.226.000

6. Compara los números y escribe el signo correspondiente. 2.496.551

2.473.890

9.720.346

10.302.615

347.000.500

346.993.600

18.396.522

18.397.282

621.950.384

73.692.184

56.076.328

58.029.460

7. Escribe con cifras los números y ordénalos de mayor a menor. Después, contesta.

¿Cuándo vivieron? Triceratops ▶ Hace 70 millones de años. Iguanodón ▶ Hace 130 millones de años. Stegosaurus ▶ Hace 155 millones de años.

●

¿Qué dinosaurio vivió hace más tiempo: el Stegosaurus o el Iguanodón?

●

¿Qué dinosaurios vivieron hace menos de 100.000.000 de años?

●

¿Cuántos años vivió el Pteranodonte antes que el Triceratops?

●

Mayores que 259.700.000 y menores que doscientos sesenta millones.

●

Sus cifras 5 valen 50.000.000, 500.000, 5.000 y 50 unidades.

640.095 4.023.701 73.510.000 809.100.006

4. • • • • •

999.999 y 1.000.001 9.386.998 y 9.387.000 29.999.999 y 30.000.001 99.999.998 y 100.000.000 599.999.998 y 600.000.000 • 899.999.999 y 900.000.001

8. Escribe dos números que cumplan cada condición.

CÁLCULO MENTAL Calcula sumas y restas sin paréntesis

62211541155

• Veinticuatro millones quinientos ocho mil novecientos sesenta. • Setenta millones cuatrocientos treinta y cinco mil nueve. • Trescientos dos millones setecientos cincuenta mil seiscientos ochenta y uno. • Ochocientos noventa y siete millones sesenta mil cien. • Quinientos cuarenta millones trescientos nueve mil veintisiete. • Novecientos millones doscientos ochenta y seis mil cuatrocientos quince. 3. • • • •

Pteranodonte ▶ Hace 85 millones de años.

1

51623

10 1 70 2 20

300 1 600 2 200

41719

90 2 30 2 40

700 2 500 2 100

82126

40 1 50 1 60

900 2 200 2 600

9

Otras actividades • Lleve a clase o pida a sus alumnos que traigan periódicos o revistas donde hayan encontrado artículos o noticias en los que aparezcan números de hasta nueve cifras. Pida a cada uno que lea en voz alta el número que haya encontrado y para qué lo han utilizado en el artículo. Luego proponga a sus alumnos que escriban en su cuaderno cómo se lee ese número y también su descomposición (tanto en sus órdenes de unidades como en forma de suma). Finalmente escriba algunos de ellos en la pizarra y pídales que los ordenen de mayor a menor, que escriban el número anterior y posterior, etc.

5. • • • •

200.000 U 20.000.000 U y 200 U 2.000.000 U, 2.000 U y 2 U 200.000.000 U, 200.000 U y 20.000 U

6. 2.496.551 . 2.473.890 9.720.346 , 10.302.615 18.396.522 , 18.397.282 56.076.328 , 58.029.460 347.000.500 . 346.993.600 621.950.384 . 73.692.184 7. 155.000.000 . 130.000.000 . . 85.000.000 . 70.000.000 • El Stegosaurus. • Triceratops y Pteranodonte. • Quince millones de años. 8. • R. M. 259.756.098, 259.879.032 • R. M. 58.575.350, 51.585.053

Cálculo mental • 8 20 1

60 20 150

700 100 100

9 124603 _ 0040-0053.indd

45

6/7/09

16:37:17

Operaciones combinadas Objetivos

3.

Al resolver operaciones combinadas, es necesario seguir este orden al operar:

• Calcular operaciones combinadas, respetando la jerarquía de las operaciones.

1.º Calcula las operaciones que hay dentro de los paréntesis.

• Reconocer la expresión numérica correspondiente a una frase y hallar su valor.

Por ejemplo:

4.

2.º Calcula las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen. 3.º Calcula las sumas y restas en el orden en que aparecen.

5 1 6 : (7 2 4)

Sin paréntesis.

Con paréntesis.

516 : 3

36 : 4 2 3 3 2 1 8 9 2 3 32 18

512

9 2 6 18

7

318

Sugerencias didácticas

11

Para empezar • Recuerde a los alumnos la jerarquía de las operaciones: paréntesis, multiplicaciones y divisiones y, por último, sumas y restas. Señale la importancia de seguir un proceso ordenado.

5 1 6 : (7 2 4) 5 5 1 6 : 3 5 5 1 2 5 7 36 : 4 2 3 3 2 1 8 5 9 2 3 3 2 1 8 5 9 2 6 1 8 5 3 1 8 5 11

Al hacer operaciones combinadas, primero calculamos los paréntesis, después las multiplicaciones y divisiones y por último las sumas y restas.

5.

Para explicar • Resuelva paso a paso en la pizarra los ejemplos propuestos. Comente a los alumnos que deben resolver una operación en cada paso y operar ordenadamente, sin prisas, analizando todas las operaciones de las expresiones sucesivas para ver cuál hay que hacer primero. Muestre la relación entre las operaciones combinadas y sus expresiones escritas y cómo la prioridad de las operaciones se refleja también en esas frases. Para reforzar • Escriba en la pizarra operaciones combinadas mal resueltas y pida a los alumnos que detecten los errores y las corrijan, siguiendo las pautas que ofrece el manual de ESTUDIO EFICAZ en la página 58.

Competencias básicas Tratamiento de la información Muestre cómo una misma información puede venir expresada en forma numérica (operación combinada) o con palabras (expresión escrita). Señale la importancia de entender ambas y saber pasar de una a otra.

1. Subraya la operación que tienes que hacer primero. Después, calcula. ●

926135…1…5…

●

15 2 (7 1 2) 5 …

●

718355…

●

(9 2 4) 3 6 5 …

…5…

●

20 2 12 : 4 5 …

●

10 : (2 1 3) 5 …

…5…

●

239:35…

●

(18 2 4) : 2 5 …

…5…

…5… …5… …5…

…5…

2. Calcula. RECUERDA 1.º Paréntesis. 2.º Multiplicaciones y divisiones. 3.º Sumas y restas.

10 2 4 3 2

5 1 (8 2 2) : 2

(10 2 4) 3 2

51822:2

35 : (5 1 2)

9223416

35 : 5 1 2

(9 2 2) 3 4 1 6

8 1 12 : 4

24 2 2 3 (7 1 3)

625143227

10 : 5 3 3

(10 2 4) 1 18 : 6

9 1 8 : 4 2 (1 1 3)

2 3 (6 1 9)

12 : 3 1 5 3 8

(4 1 2) 3 5 1 (8 2 6)

6.

10

Otras actividades • Escriba en la pizarra distintas operaciones combinadas en las que aparezcan los mismos números. Pida a los alumnos que las calculen y comparen sus resultados. Por ejemplo: 25 – 9 – 5 25 – (9 – 5) (25 – 9) – 5

8–332 833–2 8 3 (3 – 2)

6 3 (4 – 1) 634–1 6 – (4 3 1)

12 : 2 1 1 12 : (2 1 1) (12 : 2) 1 1

Insista una vez más en que es imprescindible aplicar correctamente el orden establecido en la realización de las operaciones para obtener el resultado correcto. Pídales que planteen ejemplos similares por sí mismos.

10 124603 _ 0040-0053.indd

46

6/7/09

16:37:18

1 3. Coloca los paréntesis necesarios para que las igualdades sean ciertas.

UNIDAD

●

9221453

●

816:257

●

10 2 2 2 4 1 3 5 1

●

3 1 5 3 6 5 48

●

9272456

●

5 3 7 2 3 1 8 5 28

4. Calcula cada operación combinada y relaciónala con su frase correspondiente.

Piensa:

82522 8 2 (5 2 2)

●

¿Qué operación realizo primero?

●

¿Qué le resto a 8: un número o el resultado de una operación?

8 2 5 2 2 5 1 ▶ A 8 le resto 5 y al resultado le resto 2. 8 2 (5 2 2) 5 5 ▶ A 8 le resto la diferencia de 5 y 2. ●

82512

●

A 8 le resto la suma de 5 y 2.

●

8 2 (5 1 2)

●

A 8 le resto 5 y al resultado le sumo 2.

●

81532

●

A 8 le sumo 5 y el resultado lo multiplico por 2.

●

(8 1 5) 3 2

●

A 8 le sumo el producto de 5 y 2.

●

83522

●

Multiplico 8 por 5 y al resultado le resto 2.

●

8 3 (5 2 2)

●

Multiplico 8 por la diferencia de 5 y 2.

todas las operaciones que hayas hecho. Un camión llevaba 168 kg de fruta. En un mercado descargó 24 cajas de 3 kg de fruta cada una. ¿Cuántos kilos de fruta lleva ahora el camión?

●

Andrés compró un pantalón por 18 y una sudadera por 14 . Pagó con un billete de 50 . ¿Cuánto dinero le devolvieron?

●

Rocío tiene una bandeja con 35 pasteles de crema y 61 de chocolate. Quiere repartirlos en partes iguales en 8 platos. ¿Cuántos pasteles pondrá en cada plato?

3. • • • • • •

6. RAZONAMIENTO. Piensa e indica si obtienes o no el mismo resultado.

6 Calculas el doble de un número y después le sumas otro número. ●

Calculas el doble de la suma de esos dos números.

Pon un ejemplo que explique tu respuesta.

11

Otras actividades • Puede trabajar, si lo cree conveniente, el paso directo de frase escrita a operación combinada. Dicte a sus alumnos estas frases para que ellos las expresen de forma numérica en su cuaderno: – Multiplico 7 por 3 y al resultado le resto 5. – Multiplico 2 por la diferencia de 15 y 9. – Al producto de 8 y 5 le sumo 10. – Divido entre 5 la suma de 25 y 20. – Al doble de 6 le resto 7 y le sumo 4. Verifique las respuestas en la pizarra. En caso de respuestas erróneas, señale cómo se expresarían por escrito esas expresiones numéricas para despejar las dudas que existan.

9–613531356 7 1 8 3 5 5 7 1 40 5 47 20 – 12 : 4 5 20 – 3 5 17 2 3 9 : 3 5 18 : 3 5 6 15 – (7 1 2) 5 15 – 9 5 6 (9 – 4) 3 6 5 5 3 6 5 30 10 : (2 1 3) 5 10 : 5 5 2 (18 – 4) : 2 5 14 : 2 5 7

2. 10 – 8 5 2; 6 3 2 5 12 35 : 7 5 5; 7 1 2 5 9 516:2551358 5 1 8 – 1 5 13 – 1 5 12 9–816511657 7 3 4 1 6 5 28 1 6 5 34 8 1 3 5 11 23356 2 3 15 5 30 24 – 2 3 10 5 24 – 20 5 4 6 1 18 : 6 5 6 1 3 5 9 4 1 5 3 8 5 4 1 40 5 44 118–759–752 9 1 2 – 4 5 11 – 4 5 7 6 3 5 1 2 5 30 1 2 5 32

5. Resuelve estos problemas. Después, escribe en una sola expresión ●

Soluciones 1. • • • • • • • •

HAZLO ASÍ

1

9 – (2 1 4) 5 3 (3 1 5) 3 6 5 48 (8 1 6) : 2 5 7 9 – (7 – 4) 5 6 (10 – 2) – (4 1 3) 5 1 5 3 (7 – 3) 1 8 5 28

4. • 8 – 5 1 2. A 8 le resto 5 y al resultado le sumo 2. • 8 – (5 1 2). A 8 le resto la suma de 5 y 2. • 8 1 5 3 2. A 8 le sumo el producto de 5 y 2. • (8 1 5) 3 2. A 8 le sumo 5 y el resultado lo multiplico por 2. • 8 3 5 – 2. Multiplico 8 por 5 y al resultado le resto 2. • 8 3 (5 – 2). Multiplico 8 por la diferencia de 5 y 2. 5. • 168 – 24 3 3 5 96 Lleva 96 kg de fruta. • 50 – (18 1 14) 5 18 Le devolvieron 18 €. • (35 1 61) : 8 5 12 Pondrá 12 pasteles. 6. No se obtiene el mismo resultado en los dos casos. • R. M. 2 3 3 1 5 5 11 2 3 (3 1 5) 5 16

11 124603 _ 0040-0053.indd

47

6/7/09

16:37:18

Problemas de varias operaciones Objetivos

Patricia va con su familia a un espectáculo de luz y sonido. Ha sacado 3 entradas infantiles a 12 cada una y 4 entradas de adulto. Ha entregado para pagar 150 y le han devuelto 22 . ¿Cuánto le ha costado cada entrada de adulto?

• Resolver problemas de dos o más operaciones.

Sugerencias didácticas Para empezar • Converse con sus alumnos sobre cómo los problemas matemáticos constituyen un ejemplo más de la utilidad y la necesidad de las operaciones con números naturales. Recuérdeles los pasos que se deben seguir al resolver problemas y la importancia de no pasar por alto ninguno de ellos. Para explicar • Haga que los alumnos lean despacio el problema propuesto en el ejemplo y, después, resuélvalo colectivamente. Destaque la importancia de seguir un proceso ordenado. Comente la necesidad de indicar por escrito la solución de los problemas, y no limitarse a dar un número por respuesta. Indique que en los problemas de varias operaciones es necesario determinar las «cuestiones intermedias» que debemos responder antes de poder contestar a la pregunta del problema. Para reforzar • Recomiende a los alumnos que reflexionen sobre las dificultades que tengan al resolver problemas. Aproveche la estrategia de detectar las propias dificultades de la página 60 del manual de ESTUDIO EFICAZ.

Competencias básicas Competencia social y ciudadana Al resolver el primer problema de la actividad 3, comente la importancia de adoptar comportamientos adecuados en sociedad. Pregúnteles sobre sus preferencias en las salidas en grupo del colegio (teatro, música…)

3.

Patricia averigua cuánto dinero le han costado las siguientes entradas: 1.º Todas las entradas en total.

▶

150 2 22 5 128

2.º Las 3 entradas infantiles.

▶

3 3 12 5 36

3.º Las 4 entradas de adulto.

▶

128 2 36 5 92

4.º Cada entrada de adulto.

▶

92 : 4 5 23

Cada entrada de adulto le ha costado 23 .

4.

1. Lee y explica qué pasos tienes que seguir para resolver el problema. María tiene 12 años. Su hermano Diego tiene 3 años más que ella; su padre tiene el triple de años que Diego y su madre tiene 5 años menos que su padre. ¿Cuántos años tiene la madre de María? ●

Escribe las operaciones calculadas en una sola expresión. (… 1 …) 3 … 2 … 5 …

2. Observa el gráfico y resuelve. En este pictograma se ha representado el número de helados que ha vendido un puesto desde el lunes hasta el viernes de una semana. ▶ 30 helados

▶ 15 helados

●

¿Cuántos helados vendió el puesto esa semana?

●

La mitad de los helados que vendieron el martes y un tercio de los que vendieron el miércoles eran de chocolate. ¿Cuántos helados de chocolate vendieron en total el martes y el miércoles?

Lunes ▶ Martes ▶ Miércoles ▶

Viernes ▶

Cal

●

Cada helado cuesta 2 . ¿Cuánto dinero recaudaron el viernes más que el jueves?

●

El sábado vendieron el doble que el lunes y el miércoles juntos. ¿Cuántos helados vendieron el sábado?

Jueves ▶

CÁ

12

Otras actividades • Escriba en la pizarra varias expresiones numéricas y pida a los alumnos que elijan una de ellas e inventen el enunciado de un problema que se resuelva con esas operaciones. Por ejemplo: 100 – (25 1 18)

95 1 (6 3 3)

(30 1 19) : 7

Finalmente, realice una puesta en común con los distintos problemas que aporten los alumnos y compruebe si son correctos. También puede pedirles que intercambien los problemas entre ellos y los resuelvan.

12 124603 _ 0040-0053.indd

48

6/7/09

16:37:18

1 3. Resuelve.

UNIDAD

●

Una exposición de arte abre al público 290 días al año. Cada día, la visitan 15 grupos de 27 personas cada uno. ¿Cuántas personas visitan al año la exposición?

●

En una carrera se reparte un total de 2.130 en premios. El ganador del primer premio recibe la mitad de dicha cantidad, el del segundo gana un tercio del total y el del tercero se lleva el resto. ¿Cuánto dinero recibe el ganador del tercer premio?

●

En una granja tienen que envasar 5.934 huevos. Utilizan 280 cajas de 12 huevos cada una y el resto lo envasan en cajas de 24 huevos. ¿Cuántas cajas de 24 huevos llenan y cuántos huevos les sobran?

●

Nicolás trabaja en una obra colocando azulejos. Para las paredes de una cocina, tenía 21 cajas con 24 azulejos blancos cada una y 9 cajas con 6 azulejos de flores y 8 de hojas. Al final, le han sobrado 34. ¿Cuántos azulejos ha utilizado?

Soluciones 1. (12 1 3) 3 3 – 5 5 40 La madre de María tiene 40 años.

4. Busca los datos necesarios en la tabla y resuelve. En la tienda de Joaquín han recibido hoy un lote con material. Había en tienda

Han recibido

Han vendido

Precio de venta

Camisetas

87

432

53

12

Pantalones

53

207

29

30

Vestidos

26

180

13

45

●

¿Cuántas camisetas y pantalones quedan en total en la tienda al cerrar por la tarde?

●

¿Cuánto dinero ha obtenido hoy Joaquín por la venta de los vestidos? ¿Cuánto podría haber obtenido si hubiera vendido todos los vestidos que tenía?

●

El lote recibido consistía en cajas de 36 camisetas, cajas de 23 pantalones y cajas de 18 vestidos. ¿Cuántas cajas contenía en total el lote?

●

Un cliente compra 5 pantalones y varias camisetas. Ha pagado 390 . ¿Cuántas camisetas ha comprado?

CÁLCULO MENTAL Calcula sumas y restas con paréntesis

6 2 (2 1 1) 5 6 2 3 5 3

7 2 (8 2 3)

80 2 (50 1 10)

(700 2 300) 1 200

4 1 (7 1 2)

(90 2 40) 2 20

600 2 (200 2 100)

(9 2 1) 2 5

1

40 1 (50 1 60)

(800 1 400) 1 600

13

Otras actividades • Según el nivel de la clase, puede proponer a los alumnos problemas de mayor dificultad, tanto por el número de operaciones que haya que realizar para resolverlo como por el número de fuentes en las que tengan que buscar los datos (en unidades posteriores se trabaja esa búsqueda de información). Por ejemplo: Lara salió de compras y se gastó 37 euros en un pantalón vaquero, 15 euros en una camiseta y 22 euros en un bolso. Al pagar le hicieron un descuento de 12 euros en total. Si pagó con dos billetes de 50 euros, ¿cuánto dinero le devolvieron?

2. • 30 3 17 1 15 3 3 5 555 Vendieron 555 helados. • 120 : 2 1 75 : 3 5 85 Vendieron en total 85 helados de chocolate. • 165 3 2 – 90 3 2 5 150 El viernes recaudaron 150 € más que el jueves. • 105 1 75 3 2 5 360 Vendieron 360 helados. 3. • 15 3 27 3 290 5 117.450 Al año visitan la exposición 117.450 personas. • 2.130 : 2 5 1.065 2.130 : 3 5 710 2.130 – 1.065 – 710 5 355 El ganador del tercer premio recibe 355 €. • 5.934 – 280 3 12 5 2.574 2.574 : 24 ▶ c 5107; r 5 6 Llenan 107 cajas de 24 huevos y les sobran 6. • 21 3 24 1 9 3 (6 1 8) 5 630 630 – 34 5 596 Ha utilizado 596 azulejos. 4. • 87 1 432 2 53 5 466 53 1 207 2 29 5 231 4661 231 5 697 Había 697 camisetas y pantalones al cerrar. • 13 3 45 5 585 Joaquín ha obtenido hoy 585 € por la venta de los vestidos. 26 3 45 5 1.170 Habría obtenido 1.170 €. • 432 : 36 1 207 : 23 1 1 180 : 18 5 31 El lote contenía 31 cajas. • 390 – 30 3 5 5 240 240 : 12 5 20 El cliente ha comprado 20 camisetas.

Cálculo mental • 2 13 3

20 30 150

600 500 1.800

13 124603 _ 0040-0053.indd

49

6/7/09

16:37:18

Actividades 1. Descompón cada número y escribe cómo se lee.

Objetivos • Repasar los contenidos básicos de la unidad. • Aplicar las Matemáticas en distintos contextos.

5. ESTUDIO EFICAZ. Copia y completa el

●

70.421

●

39.210.008

●

682.093

●

265.074.300

●

2.407.516

●

823.609.050

ORDEN EN LAS OPERACIONES COMBINADAS

1.º Calcular los… 2.º …

2. Escribe con cifras estos números. ●

Cuarenta y cinco millones treinta mil doscientos siete.

Competencias básicas

●

Tres millones quinientos catorce mil ochenta.

Autonomía e iniciativa personal Al trabajar el apartado Eres capaz de... comente a sus alumnos la importancia de confiar en sí mismos a la hora de resolver problemas. Anímeles a progresar y valore sus logros.

●

3.º …

6. Calcula. ●

20 2 (8 1 5)

●

16 2 7 1 (9 2 3)

Seiscientos veintisiete millones ciento sesenta y tres mil.

●

6 1 3 3 10

●

3372832

●

(15 2 3) : 4

●

(5 1 4) 3 (6 2 1)

●

Trescientos millones dos mil cien.

●

10 3 6 : 5

●

14 2 4 3 3 1 7

●

Setenta y nueve millones trescientos mil cuatrocientos noventa y uno.

●

18 : (7 1 2)

●

9 2 (5 1 13) : 6

●

53826

●

20 : 4 3 3 1 8

3. Escribe el valor en unidades de la cifra 3 en cada número de la actividad 2.

7. Elige una de las siguientes opciones, expresa numéricamente cada frase y calcula.

ER

4. Observa el número de habitantes de estas

Soluciones

2. 45.030.207, 3.514.080, 627.163.000, 300.002.100, 79.300.491

Bombay (India)

Moscú (Rusia)

12.600.000 hab.

11.300.000 hab.

2

a.

ciudades y contesta.

1. • 7 DM 1 4 C 1 2 D 1 1 U. Setenta mil cuatrocientos veintiuno. • 6 CM 1 8 DM 1 2 UM 1 9 D 1 3 U. Seiscientos ochenta y dos mil noventa y tres. • 2 U. de millón 1 4 CM 1 1 7 UM 1 5 C 1 1 D 1 6 U. Dos millones cuatrocientos siete mil quinientos dieciséis. • 3 D. de millón1 9 U. de millón 1 2 CM 1 1 DM 1 8 U. Treinta y nueve millones doscientos diez mil ocho. • 2 C. de millón 1 6 D. de millón 1 5 U. de millón 1 1 7 DM 1 4 UM 1 3 C. Doscientos sesenta y cinco millones setenta y cuatro mil trescientos. • 8 C. de millón 1 2 D. de millón 1 3 U. de millón 1 1 6 CM 1 9 UM 1 5 D. Ochocientos veintitrés millones seiscientos nueve mil cincuenta.

9.

esquema.

b.

3

c.

:

1

d.

1

e.

3(

f.

:(

2

2(

1

)

1 2

) )

●

A 15 le resto la suma de 6 y 4. ▶ d. 15 2 (6 1 4) 5 …

●

A 7 le resto 2 y luego le sumo 5.

●

Multiplico 10 por la suma de 5 y 2.

●

Divido 12 entre la diferencia de 7 y 4.

●

Al doble de 8 le sumo 3.

●

A la mitad de 14 le resto 5.

8. Escribe los números en su lugar para que las Buenos Aires (Argentina)

Shanghai (China)

11.920.000 hab.

13.300.000 hab.

dos expresiones sean ciertas. 2

●

¿Cuál de estas ciudades es la más poblada? ¿Y la menos poblada?

●

¿Cuántos habitantes tiene Bombay más que Buenos Aires?

3 5

1

4 6

2 4

7 3

5

6

●

2(

●

2

●

3(

●

1

1 1 2 3

)52 55 ) 5 15 5 12

14

Otras actividades • Prepare tarjetas iguales numeradas del 0 al 9. Extraiga sucesivamente algunas o todas las tarjetas. Pida a los alumnos que anoten las cifras obtenidas y hallen la descomposición del número que se forma, y escriban cómo se lee. También pueden escribir el número anterior o posterior, comparar los números sucesivos que se obtengan… • Proponga actividades de comparación de dos números en las que estos estén expresados de forma diferente uno del otro (con letras, con cifras, descompuestos…)

3. 30.000 U; 3.000.000 U; 3.000 U; 300.000.000 U; 300.000 U

14 124603 _ 0040-0053.indd

50

6/7/09

16:37:19

3)

1 UNIDAD

9. Resuelve cada problema de dos formas

10. Resuelve.

distintas. Escribe todas las operaciones en una sola expresión. ●

En una panadería han cocido por la mañana 268 barras y han vendido 195. Por la tarde, han cocido 120 y han vendido 87. ¿Cuántas barras cocidas han quedado sin vender? Sin paréntesis

▶ ▶

Con paréntesis ●

1)

7

6

▶

Con paréntesis

▶

●

Un camión puede cargar un máximo de 19.000 kg. Se han cargado en él 98 cajas de 70 kg y 25 cajas de 105 kg. ¿Cuántos kilos más pueden cargarse aún en el camión?

●

Loreto tenía guardadas en su ordenador 13.062 fotografías. Hoy ha borrado 297 y ha metido 451 nuevas. Después ha copiado las fotos en varios CD, grabando 275 en cada uno. ¿Cuántos CD ha necesitado? ¿Cuántas fotos ha copiado en el CD incompleto?

… …

Un tren sale de la estación con 186 viajeros. En el trayecto hace dos paradas: en la primera, bajan 64 personas y suben 59, y en la segunda parada bajan 39 y suben 78. ¿Cuántos viajeros hay en el tren al final del trayecto? Sin paréntesis

●

… …

Román y Pilar se han ido este verano de viaje. El avión de ida y vuelta les ha costado 145 a cada uno y la estancia en el hotel en habitación doble, 87 al día. En total han tenido que pagar 1.073 . ¿Cuántos días han estado de viaje?

a

ERES CAPAZ DE…

Saber cuándo es rentable un abono

En el polideportivo municipal han abierto una piscina. Se puede ir a nadar pagando cada día una entrada diaria, pero las personas que van a menudo tienen otras opciones más baratas como sacar bonos de 10 días, sacar abonos mensuales o sacar un abono anual. ●

Precios: – Bono de 10 días ▶ 25 . – Abono mensual ▶ 37 . – Abono anual ▶ 185 .

Observa los precios de cada opción y calcula:

15

5. 1.º Paréntesis. 2.º Multiplicaciones y divisiones. 3.º Sumas y restas. 6. • 7, 36, 3, 12, 2, 34 • 15, 5, 45, 9, 6, 23 7. d. 15 – (6 1 4) 5 5 a. 7 – 2 1 5 5 10 e. 10 3 (5 1 2) 5 70 f. 12 : (7 – 4) 5 4 b. 2 3 8 1 3 5 19 c. 14 : 2 – 5 5 2 – (3 1 2) 5 2 –51455 3 (4 – 1) 5 15 1 2 3 3 5 12

9. • 268 – 195 1 120 – 87 5 106 (268 1 120) – (195 1 1 87) 5 106 Quedan sin vender 106 barras. • 186 – 64 1 59 2 39 1 1 78 5 220 186 1 (59 1 78) – (64 1 1 39) 5 220 Al final de trayecto hay 220 pasajeros.

– ¿Y para que resulte más barato sacar un abono mensual que entradas diarias? ¿Y para que resulte más barato sacar un abono anual?

s

2

4. • La ciudad más poblada es Shanghai (China). La menos poblada es Moscú (Rusia). • Bombay tiene 680.000 habitantes más que Buenos Aires.

8. • 7 6 • 5 6

– Entrada diaria ▶ 3 .

– ¿Cuántos días hay que ir como mínimo para que resulte más barato sacar un bono de 10 días que sacar entradas diarias?

●

1

Explica qué opción aconsejarías a cada persona: – Raquel va a ir a la piscina 8 días. – Fran quiere ir 15 días este mes. – Juancho piensa ir 2 veces a la semana durante todo el año.

15

Programa de ESTUDIO EFICAZ Al terminar la unidad, haga que sus alumnos reflexionen sobre lo que han aprendido. Complete con ellos o pídales que completen una tabla como esta: Unidad 1 Números naturales. Operaciones Lo que he aprendido

Lo que he aprendido a hacer

10. • 19.000 2 98 3 70 1 1 25 3 105 5 9.515 Aún pueden cargarse 9.515 kg más en el camión. • 13.062 – 297 1 451 5 5 13.216 13.216 : 275 ▶ c 5 48; r 5 16 Ha necesitado 49 CD y ha copiado 16 fotos en el CD incompleto. • 1.073 – 145 3 2 5783 783 : 875 9 Han estado de viaje 9 días.

Números de hasta nueve cifras

Eres capaz de...

Operaciones combinadas

• 9 días. 13 días. 62 días. • A Raquel: entradas diarias. A Fran: el bono mensual. A Juancho: el bono anual.

Problemas de varias operaciones

15 124603 _ 0040-0053.indd

51

6/7/09

16:37:19

Solución de problemas Pasos para resolver un problema Objetivos

EJE

Resuelve siempre los problemas siguiendo estos pasos.

1.

• Resolver problemas matemáticos siguiendo unos pasos.

Pedro compró una lavadora que costaba 579 . Pagó con dos billetes de 200 , uno de 100 y cinco billetes de 20 . ¿Cuánto le devolvieron?

Sugerencias didácticas

●

Para empezar

Pregunta

• Entable una conversación con sus alumnos y hágales ver la necesidad de seguir un método organizado a la hora de resolver problemas.

Datos ●

• Comente el ejemplo resuelto y explíquelo paso a paso en la pizarra asegurándose de la comprensión de cada paso. Señale la importancia de pensar cuidadosamente antes de ponerse a hacer operaciones.

Aprender a aprender Motive a sus alumnos para que pongan en práctica todos aquellos conocimientos de los que ya disponen para resolver los problemas matemáticos. Señale que su capacidad se ha ido desarrollando a base de práctica y que ya tienen capacidad suficiente para resolver problemas muy complejos.

▶

▶

¿Cuánto le devolvieron?

La lavadora costaba 579 . Pagó con 2 billetes de 200 , 1 de 100 y 5 de 20 .

3.

PIENSA. 1.º Hay que hallar cuánto dinero entregó Pedro. Multiplicamos el valor de cada billete por el número de ellos que entregó y sumamos. 2.º Hay que hallar el dinero que le devolvieron. Restamos al dinero entregado el precio de la lavadora.

Para explicar

Competencias básicas

2.

COMPRENDE.

●

CALCULA. 1.º 2 3 200 1 1 3 100 1 5 3 20 5 400 1 100 1 100 5 600 2.º 600 2 579 5 21 Solución: Le devolvieron 21 .

●

4.

COMPRUEBA. 579 1 21 = 600

▶

El precio de la lavadora más las vueltas da el dinero entregado.

1. En un concesionario de coches, los todoterrenos valían 26.500 y las furgonetas

5.

19.750 . Tras rebajar el precio de cada vehículo 2.150 , vendieron en una semana dos todoterrenos y una furgoneta. ¿Cuánto obtuvieron por esa venta?

2. Una empresa llevó a comer a sus 12 empleados en un minibús. En alquilar el minibús gastó 300 y en la comida gastó 420 más que en el transporte. ¿Cuánto pagó la empresa por cada empleado en total?

6.

3. Juan tiene 5 años, su padre tiene 24 años más que él y su abuelo tiene el doble de años que su padre. ¿Cuántos años tiene su abuelo?

7. 4.

INVENTA. Escribe un problema y pide a tu compañero que lo resuelva

siguiendo los cuatro pasos.

16

Soluciones 1. (26.500 – 2.150) 3 2 5 48.700 19.750 2 2.150 5 17.600 48.700 1 17.600 5 66.300 Obtuvieron 66.300 €. 2. (300 1 300 1 420) : 12 5 85 Pagó 85 € por cada empleado. 3. (24 1 5) 3 2 5 58 Su abuelo tiene 58 años. 4. R. M. Laura recorre para ir al trabajo 38 km los lunes y miércoles. El resto de días recorre 5 km más. ¿Cuántos kilómetros recorre a la semana?

Otras actividades • Plantee a sus alumnos problemas como los que se proponen a continuación para afianzar la resolución de problemas paso a paso: – En una biblioteca hay registrados 679 libros infantiles; de literatura juvenil hay 315 más que infantiles, y de historia 123 menos que juveniles. ¿Cuántos libros hay en total? – En un concierto se gastaron 6.200 € en iluminación y sonido. Por la venta de entradas se recaudaron 6.500 € y se vendieron 80 camisetas a 13 € cada una. ¿Cuánto se obtuvo de beneficio?

16 124603 _ 0040-0053.indd

52

6/7/09

16:37:19

1

Repasa

UNIDAD

EJERCICIOS

Soluciones

PROBLEMAS

1. Descompón estos números.

8. En un tren caben 305 pasajeros. Hay 225

●

540.123

●

39.126.545

●

1.700.902

●

160.302.090

●

8.057.021

●

802.004.600

plazas de clase turista y 4 vagones iguales de primera clase. ¿Cuántas plazas tiene cada vagón de primera clase?

9. Marcos compró 150 kg de manzanas a 2. Escribe cómo se lee cada número de la actividad anterior.

3. Escribe con cifras. ●

Cuatrocientos mil novecientos setenta y ocho.

●

Dos millones ciento seis mil cuatro.

●

Cinco millones setenta y seis.

●

Veintinueve millones cuatrocientos treinta y dos mil.

●

Ochenta millones diez mil trece.

●

Quinientos seis millones doscientos seis mil noventa y ocho.

●

Seiscientos millones cien mil dos.

2 el kilo. Al ir a venderlas, tiró 17 kg que estaban estropeados y vendió el resto a 10 el kilo. ¿Cuánto dinero ganó en la venta?

10. Luisa ha conseguido en un videojuego 3 varitas mágicas y José ha conseguido 4 cofres y 5 coronas.

150 puntos

415 puntos

180 puntos

¿Quién ha conseguido más puntos? ¿Cuántos más?

11. Elena compró 4 billetes de avión en una

4. Calcula. ●

25.089 1 23.658

●

176.765 1 29.106 1 8.394

●

47.912 – 6.965

●

276.091 – 9.876

agencia de viajes. Pagó 603 en total por los billetes y por la gestión. Cada billete costaba 150 . ¿Cuánto pagó Elena por la gestión?

12. Un grupo de 28 amigos quiere cruzar

5. Multiplica. ●

375 3 189

●

1.689 3 470

●

286 3 305

●

2.741 3 900

6. Divide. ●

9.760 : 36

●

4.711 : 314

●

3.420 : 38

●

38.304 : 126

7. ESTUDIO EFICAZ. Revisa las divisiones que has hecho en la actividad 6. ¿Coinciden tus resultados con los de tu compañero?

1

un lago. La mitad lo harán en barcas de 2 plazas y el resto en barcas de 5 plazas. ¿Cuántas barcas necesitarán?

13. Félix fue al banco a cambiar dinero. Entregó 4 billetes de 50 y 2 de 20 y le dieron 40 monedas de 1 y el resto en monedas de 2 . ¿Cuántas monedas de 2 le dieron?

14. En una fábrica envasan cada hora 520 ¬

de refresco de naranja y 780 ¬ de limón en botellas de 2 litros. ¿Cuántas botellas llenan en 8 horas de trabajo?

17

1. • 5 CM 1 4 DM 1 1 C 1 12D13U • 1 U. de millón 1 7 CM 1 19C12U • 8 U. de millón 1 5 DM 1 1 7 UM 1 2 D 1 1 U • 3 D. de millón 1 9 U. de millón 1 1 CM 1 2 DM 1 1 6 UM 1 5 C 1 4 D 1 15U • 1 C. de millón 1 6 D. de millón 1 3 CM 1 2 UM 1 19D • 8 C. de millón 1 2 U. de millón 1 4 UM 1 6 C 2. Quinientos cuarenta mil ciento veintitrés. Un millón setecientos mil novecientos dos. Ocho millones cincuenta y siete mil veintiuno. Treinta y nueve millones ciento veintiséis mil quinientos cuarenta y cinco. Ciento sesenta millones trescientos dos mil noventa. Ochocientos dos millones cuatro mil seiscientos. 3. 400.978, 2.106.004, 5.000.076, 29.432.000, 80.010.013, 506.206.098, 600.100.002 4. • 48.747 • 214.265

• 40.947 • 266.215

5. • 70.875 • 87.230

• 793.830 • 2.466.900

6. • c 5 271; r 5 4 • c 5 15; r 5 1 • c 5 90 • c 5 304 7. R. L.

Repaso en común • Divida la clase en varios grupos y anime a cada uno de los grupos para que ideen un juego de mesa que dibujarán sobre una cartulina grande. Pídales que escriban las reglas del juego y tracen un recorrido con casillas donde se tendrán que superar pruebas como calcular operaciones con números naturales, hallar el valor de una operación combinada, resolver un problema correctamente … Luego podrán jugar con su propio juego o intercambiarlo con los otros grupos. También se puede fijar un límite temporal para realizar cada una de las pruebas de las casillas.

8. (305 – 225) : 4 5 20 Cada vagón tiene 20 plazas. 9. (150 2 17) 3 10 – 300 5 5 1.030 € ganó en la venta. 10. José; 225 puntos más. 11. 603 – 150 3 4 5 3 € pagó. 12. 14 : 5 ▶ c 5 2; r 5 4 7 1 3 5 10 barcas. 13. 50 3 4 1 2 3 20 – 40 5 200 200 : 2 5 100 Le dieron 100 monedas. 14. (520 1 780) : 2 5 650 650 3 8 5 5.200 Llenan 5.200 botellas.

17 124603 _ 0040-0053.indd

53

6/7/09

16:37:20

2

E

Potencias y raíz cuadrada

Programación Objetivos • • • • • • • •

Escribir productos de factores iguales en forma de potencia. Reconocer la base y el exponente de una potencia. Leer, escribir y calcular potencias. Conocer y calcular el valor de las potencias de base 10. Desarrollar la expresión polinómica de un número. Escribir números a partir de su expresión polinómica. Calcular raíces cuadradas sencillas. Aplicar el cálculo de potencias y raíces cuadradas a la resolución de problemas. • Buscar datos en varios gráficos para resolver un problema.

Criterios de evaluación • Escribe productos de factores iguales en forma de potencia. • • • •

Reconoce la base y el exponente de una potencia. Lee, escribe y calcula potencias. Conoce y calcula el valor de las potencias de base 10. Desarrolla la expresión polinómica de un número y escribe números a partir de la misma. • Calcula raíces cuadradas. • Resuelve problemas aplicando el cálculo de potencias y raíces cuadradas. • Busca datos en varios gráficos para resolver problemas.

Competencias básicas Además de desarrollar la Competencia matemática, en esta unidad se contribuye al desarrollo de las siguientes competencias: Aprender a aprender, Competencia lingüística, Autonomía e iniciativa personal, Tratamiento de la información, Interacción con el mundo físico, Competencia cultural y artística y Competencia social y ciudadana.

Contenidos • Escritura de productos de factores iguales en forma de potencia. • Reconocimiento de la base y el exponente de una potencia.

R

• Lectura, escritura y cálculo de potencias. • Desarrollo de la expresión polinómica de un número.

• • • •

• Escritura de números a partir de su expresión polinómica.

E

• Cálculo de la raíz cuadrada de un número.

•

•

• Resolución de problemas aplicando potencias y raíces cuadradas. • Búsqueda de datos en varios gráficos para resolver problemas.

• Valoración de la utilidad de los números y sus operaciones en situaciones cotidianas. • Interés por resolver las actividades de forma clara y ordenada.

18 A 124603 _ 0054-0067.indd 54

6/7/09 16:41:43

Esquema de la unidad UNIDAD 2. POTENCIAS Y RAÍZ CUADRADA

Potencias

Potencias de base 10

Expresión polinómica de un número

Actividades

Eres capaz de...

Solución de problemas

Repasa

Raíz cuadrada

Recursos • • • •

Láminas de aula. Material de aula. Cuaderno de práctica. Primer trimestre. Manual de ESTUDIO EFICAZ.

• 100 propuestas para mejorar la competencia matemática. • Refuerzo y ampliación. • Recursos para la evaluación.

Estrategias del programa de ESTUDIO EFICAZ • Reconocer lo que se ha aprendido: actividad 2, pág. 26. • Releer y explicar procedimientos: actividad 6, pág. 29.

Previsión de dificultades • A la hora de trabajar con potencias, los alumnos a veces cometen errores como multiplicar la base por el exponente o confundir el cuadrado y el cubo de un número con su doble o su triple. Para evitarlos insista en la relación entre productos de factores iguales y sus correspondientes potencias. • También puede resultar complejo el trabajo con la expresión polinómica de un número, sobre todo si no se han entendido bien las potencias de base 10 y su cálculo. Fundamente bien ese cálculo y recuerde la descomposición de un número. • Finalmente, la comprensión del concepto de raíz cuadrada también puede plantear dificultades. Insista en la relación entre el cuadrado de un número y la raíz cuadrada, trabajando ambos de manera simultánea.

Sugerencia de temporalización Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio

18 B 124603 _ 0054-0067.indd 55

6/7/09 16:41:44

2

Potencias y raíz cuadrada

RE

P

Objetivos • Recordar los conceptos básicos necesarios para el desarrollo de la unidad.

Silvia envía este mensaje a 3 personas en 1 minuto:

• Mostrar situaciones donde aparezcan productos de factores iguales.

C

Reunión en el parque del barrio para pedir un centro cultural. ¡Pásalo a 3 amigos!

¿

Sugerencias didácticas • Dialogue con sus alumnos sobre la situación real propuesta. Comente cómo van surgiendo productos con todos sus factores iguales. Pregúnteles qué producto expresaría el número de personas al cabo de 10 minutos.

Cada persona que recibe el mensaje lo reenvía a otras 3 personas distintas en 1 minuto. ¡Fíjate a cuántas personas llega el mensaje!

• En Recuerda lo que sabes compruebe que los alumnos conocen los términos de una multiplicación. Señale que sería muy interesante tener una forma de expresar los productos de factores iguales de manera abreviada.

Competencias básicas Aprender a aprender Recuerde a sus alumnos cómo una vez más, las destrezas y conocimientos adquiridos previamente (productos, factores…) nos van a permitir aprender en esta unidad operaciones que hasta el momento desconocíamos, pero que se basan en las ya estudiadas. Competencia lingüística Señale la impor tancia de una correcta expresión lingüística al construir y comunicar conocimientos, y la necesidad de usar los términos del lenguaje matemático con corrección. Autonomía e iniciativa personal Anime a sus alumnos a tener iniciativa y emplear su creatividad a la hora de resolver situaciones de la vida cotidiana como la que se muestra en la página.

2.

●

Calcula cuántas personas reciben el mensaje cada minuto. 1.er minuto ▼ 3

2.º minuto ▼ 3335…

3.er minuto ▼ 333335…

4.º minuto ▼ …

5.º minuto ▼ …

●

Calcula cuántas personas conocen el mensaje al cabo de 5 minutos.

●

Piensa y opina. ¿Te parece que Silvia consiguió trasmitir el mensaje a muchas personas en poco tiempo? ¿Se te ocurre otra forma de hacerlo?

18

Otras formas de empezar • Anime a sus alumnos a que piensen situaciones similares a la propuesta en la página inicial en las que sea necesaria la multiplicación de un factor por sí mismo varias veces. • Pida a los alumnos que aporten ideas para expresar de manera abreviada productos de factores iguales. Deberán también añadir las ventajas e inconvenientes del sistema de expresión que cada uno proponga.

18 124603 _ 0054-0067.indd 56

1.

6/7/09 16:41:44

RECUERDA LO QUE SABES

UNIDAD

Producto de factores iguales

Soluciones

factores producto

factores

8 3 8 5 64

producto

Página inicial

8 3 8 3 8 5 512 64

• 2.º minuto 5 9 personas. 3.er minuto 5 27 personas. 4.º minuto 5 3 3 3 3 3 3 3 5 5 81 personas. 5.º minuto 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5 243 personas.

Cuadrados y cubos ¿Cuántos cuadrados hay?

¿Cuántos cubos hay?

33359 3

2

3 3 3 3 3 5 27

3

Hay 9 cuadrados.

3

• 1 1 3 1 9 1 27 1 81 1 243 5 5 364 Lo conocen 364 personas.

Hay 27 cubos.

3

• R. L.

3

as

Recuerda lo que sabes 1. Completa la tabla. Producto

1. Resultado

Factor que se repite

232 23232

Veces que se repite

●

A escribir productos de factores iguales en forma de potencia.

●

A leer, escribir y calcular el valor de una potencia.

636 10 3 10 3 10 10 3 10 3 10 3 10 ●

2. Calcula cuántos cuadrados o cubos hay. …3…5…

●

… cuadrados

●

…3…3…5… … cubos

Factor que se repite

Veces que se repite

4

2

2

8

2

3

16

2

4

36

6

2

216

6

3

1.000

10

3

10.000

10

4

VAS A APRENDER

2323232 63636

Resultado

A escribir e interpretar la expresión polinómica de un número. A calcular la raíz cuadrada del cuadrado de un número hasta el 10.

2. 5 7 4 5

A resolver problemas calculando una potencia o una raíz cuadrada exacta.

3 3 3 3

55 75 43 53

25 cuadrados. 49 cuadrados. 4 5 64 cubos. 5 5 125 cubos.

19

Vocabulario de la unidad • Potencia • Base y exponente • Cuadrado y cubo • Potencias de base 10 • Expresión polinómica • Raíz cuadrada

19 124603 _ 0054-0067.indd 57

6/7/09 16:41:44

Potencias Objetivos

Andrés está envasando los dulces. En cada bandeja pone 3 filas de 3 dulces cada una. En cada caja pone 3 bandejas y después hace paquetes de 3 cajas. ¿Cuántos dulces habrá en cada paquete?

• Escribir productos de factores iguales en forma de potencia. • Reconocer la base y el exponente de una potencia.

Número de dulces en cada bandeja Número de dulces en cada caja Número de dulces en cada paquete

• Leer, escribir y calcular potencias.

3 3 3 5 32

Tratamiento de la información Muestre cómo una misma información puede ser expresada de dos formas diferentes (como producto de factores iguales y en forma de potencia). Señale la importancia de manejar ambas formas y de saber pasar de una a otra.

Exponente: número de veces que se repite el factor. Base: factor que se repite.

3 3 3 3 3 5 33

6.

3 3 3 3 3 3 3 5 34

Las potencias anteriores se leen así: 32 ▶ 3 al cuadrado o 3 elevado a 2.

33 ▶ 3 al cubo o 3 elevado a 3.

34

▶

3 a la cuarta o 3 elevado a 4.

Una potencia es un producto de factores iguales.

7.

El factor que se repite se llama base y el número de veces que se repite se llama exponente.

1. Escribe cada producto en forma de potencia y contesta. 636

43434

7373737

23232323232

939

83838

333333333

5353535353535

●

¿Cuál es la base de la potencia? ¿Y el exponente?

●

¿Cómo se lee la potencia?

CÁ

Cal

2. Escribe en forma de producto y calcula su valor. ▶ Ejemplo: 8 5 8 3 8 3 8 3 8 5 4.096 4

Para reforzar

Competencias básicas

5.

Potencia

• Muestre cómo para la situación planteada tenemos que hallar sucesivos productos de un mismo factor.

• Pida a dos alumnos que digan dos números del 1 al 10. Otro alumno saldrá y escribirá la potencia formada con esos dos números (el primero será la base) y su expresión como producto de factores iguales. Después, dirá como se lee.

▶

33359 3 3 3 3 3 5 27 3 3 3 3 3 3 3 5 81

Fíjate: los productos anteriores tienen todos los factores iguales. Estos productos se pueden escribir en forma de potencia. Las potencias están formadas por una base y un exponente.

Para explicar

• Trabaje la lectura y escritura de potencias haciendo hincapié en el caso especial de cuadrados y cubos. Muestre su relación con los términos geométricos del mismo nombre.

▶ ▶

4.

En cada paquete habrá 81 dulces.

Sugerencias didácticas

• Caracterice las potencias como una forma de expresar productos de factores iguales. Muestre la importancia de no confundir la base y el exponente (a la hora de expresar los productos como potencias) y de calcular correctamente el valor de la potencia (no multiplicar base por exponente).

3.

●

42

●

2

7

●

53

●

3

9

●

64

●

36

●

5

●

17

2

20

Otras actividades • Prepare tarjetas numeradas del 1 al 10, dos tarjetas con cada número. Extraiga dos de ellas y levántelas, una en cada mano. Los alumnos deberán escribir la potencia correspondiente (tomando como base el número de la mano que usted indique), su expresión en forma de producto, su lectura y su valor numérico. • Escriba en la pizarra los cuadrados de los números 1, 11, 111 y 1.111 ▶ 12 5 1; 112 5 121; 1112 5 12.321; 1.1112 5 1.234.321. Posteriormente, pida a sus alumnos que intenten descubrir la regla que siguen los cuadrados de esta serie de números, y que a continuación, sin realizar ningún tipo de operación, escriban en sus cuadernos los cuadrados de los números 11.111, 111.111 y 1.111.111.

20 124603 _ 0054-0067.indd 58

6/7/09 16:41:45

2 3. Escribe la potencia con cifras y calcula su valor. ●

Ocho al cuadrado

●

Siete al cubo

▶

▶

82 5 …

…

UNIDAD ●

Cinco a la cuarta

▶

…

●

Diez elevado a 5

▶

…

Soluciones

4. Escribe en forma de potencia y calcula. ¿Cuántos cuadrados tiene cada figura?

¿Cuántos cubos tiene cada figura?

5. Calcula el valor del cuadrado y el cubo de los números hasta el 10. Cuadrados

12

22

32

42

52

62

72

82

92

102

Cubos

13

23

33

43

53

63

73

83

93

103

En una juguetería hay 6 cajas. En cada caja hay 6 bolsas, con 6 marionetas en cada bolsa. ¿Cuántas marionetas hay en total en la juguetería?

●

En una pastelería hay 2 mostradores con 2 bandejas en cada mostrador. En cada bandeja hay 2 bizcochos, partidos en 2 trozos cada uno. Cada trozo de bizcocho tiene 2 fresas. ¿Cuántas fresas hay en total?

●

De un almacén han salido 4 furgonetas, con 4 percheros cada una. Cada perchero tiene 4 perchas y en cada percha hay 4 pantalones. ¿Cuántos pantalones han salido en total del almacén?

42 5 4 3 4 5 16 72 5 7 3 7 5 49 53 5 5 3 5 3 5 5 125 93 5 9 3 9 3 9 5 729 64 5 6 3 6 3 6 3 6 5 1.296 • 25 5 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 32 • 36 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5 729 • 17 5 1 3 1 3 1 3 1 3 1 313151

7. Piensa y contesta. ●

¿Es lo mismo 25 que 52?

●

¿Cuál es el valor de una potencia de base 1? ¿Y de una potencia de base 0?

●

¿Cuál es el valor de una potencia cuyo exponente es 1?

3. • • • •

51 ▶ el 5 una vez 51 5 5

35

Calcula operaciones combinadas sin paréntesis

1

7

2 1 3 3 5 5 2 1 15 5 17

92234

80 1 9 : 3

40 : 20 3 7

82125

4 3 20 2 30

70 2 3 3 20

334:6

70 2 30 2 5

80 1 10 2 50

21

Otras actividades • Escriba en la pizarra expresiones numéricas similares a las propuestas y pida a los alumnos que relacionen en su cuaderno los correspondientes términos de las diferentes columnas: 313

32

12

43434

433

64

5151515

534

625

41414

4

5353535

332

333

5 5 3 3

82 5 64 73 5 343 54 5 625 105 5 100.000

4. • 32 5 9; 62 5 36 • 23 5 8; 33 5 27

CÁLCULO MENTAL

36

1. 62, 92, 43, 83, 74, 35, 26, 57. • Bases: 6, 9, 4, 8, 7, 3, 2 y 5. • Exponentes: 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6 y 7. • Lecturas: 6 al cuadrado, 9 al cuadrado, 4 al cubo, 8 al cubo, 7 a la cuarta, 3 a la quinta, 2 a la sexta y 5 a la séptima. 2. • • • • •

6. Escribe la operación en forma de potencia y resuelve. ●

2

5

3

4

6

5. Cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 y 100. Cubos: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729 y 1.000. 6. • 63 5 216. Hay 216 marionetas en total. • 25 5 32. Hay 32 fresas en total. • 44 5 256. Han salido 256 pantalones en total. 7. • No es lo mismo, porque 25 es igual a 32 y 52 es igual a 25. • Toda potencia de base 1 es igual a 1. Toda potencia de base 0 es igual a 0. • El valor es el número de la base.

9 20

Compruebe posteriormente que ha quedado claro el concepto de potencia y su cálculo.

Cálculo mental • 1 2 2

83 50 35

14 10 40

21 124603 _ 0054-0067.indd 59

6/7/09 16:41:45

Potencias de base 10 Objetivos

E

Paloma ha calculado varias potencias de base 10.

• Reconocer y calcular potencias de base 10.

101 5 10 102 5 10 3 10 = 100

• Hallar la expresión polinómica de un número.

103 5 10 3 10 3 10 5 1.000 104 5 10 3 10 3 10 3 10 5 10.000

¡El exponente coincide con el número de ceros!

• Escribir números a partir de su expresión polinómica.

Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente.

Sugerencias didácticas Para explicar • Deje clara en las potencias de base 10 la relación entre exponente y número de ceros que siguen a la unidad. Señale sus aplicaciones para expresar grandes cantidades y para obtener la expresión polinómica de un número. Muestre la relación entre la descomposición como suma, que ya conocían, y la expresión polinómica. • Pida a los alumnos la elaboración de un esquema con lo aprendido sobre las potencias, siguiendo las pautas de la página 21 del manual de ESTUDIO EFICAZ.

102

104

3. • 8 3 101; 6 3 102; 2 3 103; 9 3 104; 4 3 105; 3 3 106 • 64 3 101; 27 3 102; 91 3 103; 392 3 103; 458 3 104; 563 3 105 4. 10.814 3 10.000 5 5 10.814 3 104 1.495 3 100.000 5 5 1.495 3 105 2.279 3 100.000 5 5 2.279 3 105 7.783 3 100.000 5 5 7.783 3 105

101

¿Cuál es el exponente de la potencia?

●

¿Cuántos ceros tienes que escribir tras el 1?

103

106

2. Escribe cada número como una potencia de base 10.

2.

1.000

100.000

10

10.000.000

1.000.000

100

10.000

100.000.000

3. Escribe cada número utilizando una potencia de base 10. ▶ Ejemplo: 7.000 5 7 3 1.000 5 7 3 103

▶ Ejemplo: 5.300 5 53 3 100 5 53 3 102

80

90.000

640

392.000

600

400.000

2.700

4.580.000

2.000

3.000.000

91.000

56.300.000

3.

4. Observa el ejemplo y completa la tabla escribiendo la distancia media de cada planeta al Sol utilizando potencias de base 10. Planeta

Soluciones pág. 22

2. 103 105 101 107 106 102 104 108

105

●

Mercurio

1. • Exponentes: 2, 4, 5, 1, 3 y 6. • Tantos ceros como indica el exponente. 100, 10.000, 100.000, 10, 1.000 y 1.000.000.

1.

1. Observa cada potencia y responde. Después, escribe su valor.

Distancia media al Sol en kilómetros 57.870.000

Venus

108.140.000

Tierra

149.500.000

Marte

227.900.000

Júpiter

778.300.000

Distancia utilizando potencias de base 10 5.787 3 10.000 5 5.787 3 104

22

Otras actividades • Explique a los alumnos que en ocasiones es muy útil expresar cantidades mediante potencias de base 10. Proporcióneles ejemplos como la masa de la luna (7 3 1022 kg), el número de estrellas de la Vía Láctea (2 3 1011), la edad del sol (5 3 109 años), la superficie aproximada de los océanos (4 3 1014 m2), los glóbulos rojos en 1 litro de sangre (5 3 1012)... Puede ser interesante pedirles que expresen algunos de ellos con todas sus cifras para que aprecien mejor la utilidad de las potencias en estos casos.

22 124603 _ 0054-0067.indd 60

6/7/09 16:41:45

2

2

Expresión polinómica de un número

UNIDAD

Soluciones pág. 23

Miguel ha escrito el número 34.285 utilizando potencias de base 10.

Esta forma de escribirlo se llama expresión polinómica del número 34.285. 34.285 5

1

30.000

4.000

▼

1

▼

1

200 ▼

5 2 8 3 4 .

15

80 ▼

▼

34.285 5 3 3 10.000 1 4 3 1.000 1 2 3 100 1 8 3 10 1 5 ▼

▼

34.285 5 3 3 104

▼

▼

▼

1 4 3 103 1 2 3 102 1 8 3 10 1 5

1. Descompón cada número y escribe su expresión polinómica. ▶ Ejemplo: 7.406 5 7.000 1 400 1 6 5 7 3 103 1 4 3 102 1 6 ●

564

●

60.342

●

3.090.800

●

3.798

●

89.071

●

70.250.230

●

8.250

●

209.506

●

901.600.000

2. Escribe cada número. ●

6 3 105 1 2 3 104 1 9 3 102 1 3 3 10 1 7 ▼

▼

600.000 1

▼

1

…

●

5 3 103 1 7 3 102 1 8

●

▼

1

…

…

▼

1…5… ●

7 3 106 1 8 3 105 1 3 3 102 1 9

3 3 10 1 2 3 10 1 6 3 10

●

3 3 107 1 7 3 106 1 105 1 9 3 103

●

4 3 10 1 9 3 10 1 10

●

4 3 108 1 8 3 107 1 7 3 106 1 3 3 104

●

2 3 106 1 5 3 104 1 8 3 103 1 4

●

2 3 108 1 107 1 5 3 105 1 9 3 103

4

3

5

4

2

2

3. RAZONAMIENTO. Responde sin calcular: ¿cuál de los dos números de cada pareja es mayor? ¿Por qué? 6 3 104

4 3 106

3 3 105

●

9 3 103

2

15 3 103

103 1 2 3 102 1 7 3 10 1 8

Ahora escribe los números, compáralos y comprueba tus respuestas.

23

Otras actividades • Prepare tarjetas numeradas del 0 al 9, y otras de distinto color en las que aparezcan las potencias 101, 102, 103... hasta 109. Extraiga varias tarjetas numeradas y anote en la pizarra los números en el orden en que han salido. Saque después la misma cantidad de tarjetas con las potencias de base 10 y pida a los alumnos que escriban la expresión polinómica correspondiente. Después indíqueles que escriban el número asociado. • También puede realizar la actividad inversa, es decir, sacar tarjetas numeradas y que los alumnos escriban la descomposición polinómica del número formado por las tarjetas.

1. • 564 5 500 1 60 1 4 5 5 5 3 102 1 6 3 101 1 4 • 3.798 5 3.000 1 700 1 1 90 1 8 5 3 3 103 1 1 7 3 102 1 9 3 101 1 8 • 8.250 5 8.000 1 200 1 1 50 5 8 3 103 1 1 2 3 102 1 5 3 101 • 60.342 5 60.000 1 300 1 1 40 1 2 5 6 3 104 1 1 3 3 102 1 4 3 101 1 2 • 89.071 5 80.000 1 9.000 1 1 70 1 1 5 8 3 104 1 1 9 3 103 1 7 3 101 1 1 • 209.506 5 200.000 1 1 9.000 1 500 1 6 5 1 2 3 105 1 9 3 103 1 1 5 3 102 1 6 • 3.090.800 5 3.000.000 1 1 90.000 1 800 5 5 3 3 106 1 9 3 104 1 1 8 3 102 • 70.250.230 5 70.000.000 1 1 200.000 1 50.000 1 1 200 1 30 5 7 3 107 1 1 2 3 105 1 5 3 104 1 1 2 3 102 1 3 3 101 • 901.600.000 5 5 900.000.000 1 1 1.000.000 1 600.000 5 5 9 3 108 1 1 3 106 1 1 6 3 105 2. • • • • • • • •

5.708 32.600 490.100 2.058.004 7.800.309 37.109.000 487.030.000 210.509.000

3. Será mayor el número que tenga mayor exponente en la potencia de base 10 y si tienen el mismo exponente el que tenga mayor el número que multiplica a la potencia. • 60.000 , 4.000.000 • 9.000 , 15.000 • 300.000 . 1.278

23 124603 _ 0054-0067.indd 61

6/7/09 16:41:45

Raíz cuadrada Objetivos

Alberto y Raquel han hecho un tablero para jugar a tres en raya. Han dividido un cuadrado en 9 casillas iguales. ¿Cuántas casillas tiene cada lado?

• Relacionar cuadrado y raíz cuadrada de un número.

Como el cuadrado tiene el mismo número de casillas en cada lado, han buscado el número que multiplicado por sí mismo da 9, es decir, el número cuyo cuadrado es 9.

• Calcular raíces cuadradas sencillas.

Este número se llama raíz cuadrada de 9 y se escribe Ï9.

• Resolver problemas aplicando el cálculo de cuadrados o raíces cuadradas.

13151 51 2 3 2 5 22 5 4

Sugerencias didácticas

Competencias básicas Interacción con el mundo físico Muestre a sus alumnos cómo, una vez más, los cálculos matemáticos nos permiten la comprensión de la realidad. Señale la importancia de contar con instrumentos que nos permitan resolver problemas del mundo real.

▶

Ï9 = 3

La raíz cuadrada de 9 es 3.

Para empezar • Recuerde el cálculo del cuadrado de un número y su expresión en forma de potencia. Comente que van a aprender una operación inversa a calcular el cuadrado de un número.

Para reforzar • Pida a varios alumnos que salgan a la pizarra y calculen el cuadrado de varios números. Después, obtenga en común la raíz de los cuadrados obtenidos dejando clara la relación entre la raíz y el cuadrado. Pídales que la verbalicen: «La raíz de … es … porque el cuadrado de … es …».

5.

2

3 3 3 5 32 5 9

Para explicar • Comente con sus alumnos el ejemplo propuesto. Caracterice la raíz cuadrada como la operación inversa a hallar el cuadrado y muestre que la raíz es siempre menor que el número, mientras que el cuadrado no lo es. Señale que no todos los números tienen raíz cuadrada exacta, sólo aquellos que se obtienen al calcular el cuadrado de los números naturales.

4.

El cuadrado tiene 9 casillas. Cada lado tiene 3 casillas.

La raíz cuadrada de un número es otro número que, elevado al cuadrado, es igual al primero.

6.

1. Observa y completa para cada cuadrado. ●

Cada lado tiene … casillas. En total hay … casillas. ▼

●

El cuadrado de … es … La raíz cuadrada de … es … …2 5 …

▶

Ï… 5 …

2. Calcula los cuadrados y completa las raíces. 52 5 … 9 5… 2

▶

Ï25 5 …

72 5 …

▶

Ï… 5 …

10 5 … 2

▶ ▶

Ï… 5 …

82 5 …

Ï… 5 …

11 5 …

▶

2

▶

Ï… 5 … Ï… 5 …

Ca

3. Calcula y explica por qué. Ï16 5 … porque 42 es 16.

Ï36 5 … porque … es …

Ï1 5 … porque … es …

Ï49 5 … porque … es …

Ï64 5 … porque … es …

Ï100 5 … porque … es …

24

Otras actividades • Agrupe a los alumnos por parejas. Pídales que preparen 20 tarjetas iguales y que rotulen en ellas estos números (uno en cada tarjeta): 32, 25, 4, 3, √25, 7, 9, 64, 72, 16, 8, √16, 42,√9, 5, √64, 49, 82, 52 y √49. Tras mezclar las tarjetas y colocarlas en un montón, uno de los alumnos de la pareja sacará dos tarjetas al azar; si representan el mismo número se quedará con ellas, y si no, las mezclará otra vez en el montón, pasando el turno al otro jugador. La partida finalizará cuando ya no queden tarjetas.

24 124603 _ 0054-0067.indd 62

CÁ

6/7/09 16:41:46

2 4. Resuelve.

UNIDAD

●

Ana está haciendo un mosaico cuadrado con 25 azulejos cuadrados iguales. ¿Cuántos azulejos pondrá en cada lado del mosaico?

●

Roberto tiene una caja con 16 bombones, colocados formando un cuadrado. ¿Cuántas filas de bombones hay? ¿Y cuántos bombones tiene cada fila?

●

Cristina y Sergio juegan a los barcos dibujando en una hoja cuadriculada un cuadrado de 49 casillas. ¿Cuántas casillas tiene cada lado del cuadrado?

●

Los tableros de ajedrez son cuadrados y tienen 64 casillas iguales. ¿Cuántas casillas hay en cada fila? ¿Y en cada columna?

Soluciones 1. • Cada lado tiene 2 casillas. En total hay 4 casillas. • El cuadrado de 2 es 4. La raíz cuadrada de 4 es 2. 22 5 4; √4 5 2 • Cada lado tiene 4 casillas. En total hay 16 casillas. • El cuadrado de 4 es 16. La raíz cuadrada de 16 es 4. 42 5 16; √16 5 4 • Cada lado tiene 6 casillas. En total hay 36 casillas. • El cuadrado de 6 es 36. La raíz cuadrada de 36 es 6. 62 5 36; √36 5 6

5. La raíz cuadrada de los siguientes números no es exacta. Calcula entre qué dos números consecutivos está.

HAZLO ASÍ

Ï30

▶

No hay ningún número que elevado al cuadrado sea 30. 52 5 25 ; 25 , 30 62 5 36 ; 36 . 30

52 , 30 , 62

La raíz cuadrada de 30 es mayor que 5 y menor que 6. 5 , Ï30 , 6

… , Ï10 , …

… , Ï24 , …

… , Ï45 , …

… , Ï50 , …

… , Ï75 , …

… , Ï90 , …

2. 52 5 25 ▶ √25 5 5 92 5 81 ▶ √81 5 9 72 5 49 ▶ √49 5 7 102 5 100 ▶ √100 5 10 82 5 64 ▶ √64 5 8 112 5 121 ▶ √121 5 11

6. Piensa si tienes que calcular el cuadrado o la raíz cuadrada y contesta. Paula y Antonio tienen que enlosar dos patios con baldosas cuadradas. Los dos patios son cuadrados. ●

Paula pone 9 baldosas en cada lado del patio. ¿Cuántas baldosas necesita para cubrir todo el suelo?

●

Antonio pone en total 36 baldosas. ¿Cuántas baldosas ha puesto en cada fila? ¿Cuántas filas ha hecho?

3.

CÁLCULO MENTAL Calcula operaciones combinadas con paréntesis

9 2 2 3 (3 1 1) 5 9 2 2 3 4 5 9 2 8 5 1

2

9 3 (2 1 5)

(30 1 50) : 10

7 2 (6 2 4)

2 3 (40 2 20)

(8 2 2) 3 9

70 : (60 2 50)

25

Otras actividades • Escriba en la pizarra los números del 1 al 10 y debajo sus cuadrados (12, 22, 32, …, 92, 102). Pida a un alumno que diga un número del 1 al 100. Uno de sus compañeros deberá decir si tiene raíz cuadrada exacta o no. Después, otro dirá el valor de la raíz cuadrada de ese número (si es exacta, qué número es, y si es entera, entre qué dos números está comprendida). Vaya escribiendo en la pizarra las distintas raíces y muestre cómo entre cada dos cuadrados podemos encontrar las raíces de varios números.

√16 5 4 porque 42 5 16 √1 5 1 porque 12 5 1 √64 5 8 porque 82 5 64 √36 5 6 porque 62 5 36 √49 5 7 porque 72 5 49 √100 5 10 porque 102 5 100

4. •

√25 5 5. Pondrá 5 azulejos

en cada lado. • √16 5 4. Hay 4 filas de bombones y 4 bombones en cada fila. • √49 5 7. Tiene 7 casillas cada lado del cuadrado. • √64 5 8. Hay 8 casillas en cada fila y en cada columna. 5. 3 , √10 , 4 7 , √50 , 8 4 , √24 , 5

8 , √75 , 91 6 , √45 , 71 9 , √90 , 10

6. • 92 5 81. Necesita 81 baldosas. • √36 5 6. Ha puesto 6 baldosas en cada una de las 6 filas.

Cálculo mental • 63 5 54

8 40 7

25 124603 _ 0054-0067.indd

63

9/7/09

12:39:21

Actividades 1. Copia y relaciona.

Objetivos

23232 333

94; 9 elevado a 4. 36; 3 elevado a 6. 102; 10 al cuadrado. 65; 6 elevado a 5. 83; 8 al cubo. 47; 4 elevado a 7. 58; 5 elevado a 8.

4. 121, 729, 216, 1, 128, 10.000, 1.024, 100.000.000 5. • • • • • • •

92 5 81 83 5 512 26 5 64 35 5 243 54 5 625 18 5 1 107 5 10.000.000

6. • 103, 104, 107, 108 • 102, 103, 105, 106 • 7 3 102, 5 3 105, 4 3 106 68 3 103, 3.405 3 102, 912 3 104

8

2

1.000 10.000

10.000.000 100.000.000

●

Cien Mil

Cien mil Un millón

●

700 500.000 4.000.000

68.000 340.500 9.120.000

9

ESTUDIO EFICAZ. Contesta y pon un ●

¿Qué es una potencia?

●

¿Qué indica la base de una potencia? ¿Y el exponente?

●

7. Escribe la expresión polinómica de cada número.

¿Cómo se llaman las potencias cuyo exponente es 2? ¿Y las potencias cuyo exponente es 3?

13

●

4.385

●

3.051.400

●

72.930

●

60.209.000

290.601

●

854.007.003

●

8. Escribe el número.

3. Expresa cada producto en forma de potencia y escribe cómo se lee.

Soluciones

3. • • • • • • •

233

●

ejemplo.

Competencias básicas

2. • Una potencia es un producto de factores iguales. • La base de una potencia indica el factor que se repite, y el exponente el número de veces que se repite. • Si el exponente es 2, se llaman cuadrados, y si es 3, cubos.

6

313

2.

1. 2 1 2 1 2 5 2 3 3 5 6 2 3 2 3 2 5 23 5 8 3 3 3 5 32 5 9 313523356

32

3

• Aplicar las Matemáticas en distintos contextos.

12

una potencia de base 10.

21212

• Repasar los contenidos básicos de la unidad.

Competencia cultural y artística A la hora de realizar representaciones gráficas de cuadrados y cubos, muestre la importancia de llevarlas a cabo correctamente.

6. Expresa cada número utilizando

●

5 3 104 1 2 3 103 1 7 3 102 1 10 1 6

●

9393939

●

3 3 105 1 9 3 104 1 8 3 102 1 5 3 10

●

33333333333

●

4 3 106 1 105 1 6 3 103 1 9 3 102

●

10 3 10

●

10 1 2 3 10 1 5 3 10 1 2 3 10

●

636363636

●

83838

●

4343434343434

●

535353535353535

8

7

6

5

9. Observa cada dibujo y completa.

4. Calcula. ●

112

●

6

3

●

63

●

9

● ●

1

27 4

10

●

45

●

108

5. Escribe la potencia y calcula. ●

Nueve al cuadrado

●

Ocho al cubo

●

Dos a la sexta

●

Tres a la quinta

●

Cinco elevado a 4

● ●

●

El cuadrado de … es …

●

La raíz cuadrada de … es …

10. Calcula y explica por qué. ● ●

Ï9 Ï49

● ●

Ï64 Ï81

● ●

Ï1 Ï4

● ●

Ï25 Ï100

11. Calcula entre qué dos números está la raíz cuadrada de cada número.

Uno elevado a 8

●

… , Ï12 , …

●

… , Ï56 , …

Diez elevado a 7

●

… , Ï30 , …

●

… , Ï70 , …

26

Otras actividades • Proponga actividades en las que se trabajen simultáneamente las potencias, las raíces y la comparación de números. Pueden ser similares a las siguientes. 93 ◯ 84 23 ◯

√36

105 ◯ 103 103 1 3 3 1021 8 3 10 ◯ 104

• Pida a los alumnos que completen los huecos en las siguientes desigualdades. 3□ , 23

42 . 4□

√□ , 2

26 124603 _ 0054-0067.indd 64

6/7/09 16:41:46

ER

2 UNIDAD

12. Escribe 4 términos más de cada serie.

14. Resuelve.

Después, escribe cada término en forma de potencia. ●

●

Ester se ha inventado una sopa de letras con 9 filas de 9 letras cada una. ¿Cuántas letras ha escrito en total Ester?

●

En el despacho de un cerrajero hay un armario que tiene 7 filas con 7 llaveros en cada fila. Cada llavero tiene 7 llaves. ¿Cuántas llaves hay en el armario?

●

Un edificio tiene 4 pisos. En cada piso hay 4 casas, con 4 ventanas a la calle en cada una. Cada ventana tiene 4 macetas con 4 flores cada una. ¿Cuántas flores hay en total en las ventanas del edificio?

●

Elsa ha hecho un rompecabezas de 36 piezas, formando un cuadrado. ¿Cuántas piezas ha colocado Elsa en cada lado del cuadrado?

Multiplica por 2 cada vez: 2, 4,

8, …, …, …

▼

▼

▼

▼

▼

▼

21, 22, …, …, …, … ●

Multiplica por 5 cada vez: 5, 25, …, …, …, … ▼

▼

▼

▼

▼

▼

51, 52, …, …, …, …

13. Piensa y contesta. Pablo tiene 8 dados iguales. Quiere formar con ellos un cuadrado o un cubo, de manera que no le sobren ni le falten dados. ¿Puede formar un cuadrado? ¿Y un cubo?

16

Elegir una caja

ERES CAPAZ DE…

Y yo, 25.

Cajas cuadradas para minerales Hay 3 tamaños: – Pequeña: 4 huecos en cada lado. – Mediana: 5 huecos en cada lado.

Alex

…

– Grande: 6 huecos en cada lado.

Santi

●

¿Quiénes pueden comprar una caja y llenarla sin que les sobre ningún mineral? ¿Qué caja comprará cada uno de ellos?

●

¿Qué caja comprará Inés? ¿Cuántos huecos vacíos le quedarán?

●

Si tú tuvieras 32 minerales, ¿qué caja comprarías? ¿Cuántos minerales más podrías guardar en ella?

0

z

Inés

• 4 3 103 1 3 3 102 1 1 8 3 101 1 5 • 7 3 104 1 2 3 103 1 1 9 3 102 1 3 3 101 • 2 3 105 1 9 3 104 1 1 6 3 102 1 1 • 3 3 106 1 5 3 104 1 1 1 3 103 1 4 3 102 • 6 3 107 1 2 3 105 1 1 9 3 103 • 8 3 108 1 5 3 107 1 1 4 3 106 1 7 3 103 1 3

9. • El cuadrado de 6 es 36. • La raíz cuadrada de 16 es 4. 10. • • • • • • • •

Alex, Inés y Santi coleccionan minerales. Quieren comprar una caja para guardarlos. ¿Qué tamaño de caja elegirá cada uno? Yo tengo 20.

7.

8. • 52.716 • 4.106.900 • 390.850 • 125.200.000

10

Tengo 16 minerales.

2

11. • •

√9 5 3 porque 32 5 9 √49 5 7 porque 72 5 49 √64 5 8 porque 82 5 64 √81 5 9 porque 92 5 81 √1 5 1 porque 12 5 1 √4 5 2 porque 22 5 4 √25 5 5 porque 52 5 25 √100 5 10 porque 102 5

5 100

√12 ▶ 3 y 4 √56 ▶ 7 y 8 √30 ▶ 5 y 6 √70 ▶ 8 y 9

12. • 2, 4, 8, 16, 32, 64 21, 22, 23, 24, 25, 26 • 5, 25, 125, 625, 3.125, 15.625 51, 52, 53, 54, 55, 56

…

27

Programa de ESTUDIO EFICAZ Al terminar la unidad, haga que sus alumnos reflexionen sobre lo que han aprendido. Complete con ellos o pídales que completen una tabla como esta:

13. No puede formar un cuadrado. Puede formar un cubo. 14. • 92 5 81. Ha escrito 81 letras. • 73 5 343. Hay 343 llaves. • 45 5 1.024. Hay 1.024 flores. • √36 5 6. Ha colocado 6 piezas.

Unidad 2 Potencias y raíz cuadrada Lo que he aprendido Potencias Potencias de base 10 Expresión polinómica Raíz cuadrada

Lo que he aprendido a hacer

Eres capaz de... • Alex y Santi pueden comprar una caja y llenarla. Alex comprará la pequeña y Santi la mediana. • Inés comprará la mediana. Le quedarán 5 huecos vacíos. • R. M. Compraría la grande. Podría guardar 4 minerales más.

27 124603 _ 0054-0067.indd 65

6/7/09 16:41:47

Solución de problemas Buscar datos en varios gráficos Objetivos • Buscar datos en varios gráficos para resolver problemas.

Sugerencias didácticas

EJE

Busca los datos necesarios en los gráficos y resuelve.

1. El agua es un recurso muy escaso que debemos aprovechar. En el gráfico lineal se presenta la cantidad de agua en litros que ha consumido Miguel en un año. En el gráfico de barras aparecen los litros consumidos en algunas actividades cotidianas.

Para empezar • Recuerde a los alumnos los diferentes tipos de gráficos que podemos encontrarnos y cómo todos ellos nos ofrecen información útil a la hora de resolver problemas.

2.

CONSUMO POR TRIMESTRE

Litros de agua

60.000 50.000 40.000 30.000 20.000 10.000 0

1.er trim. 2.º trim. 3.er trim. 4.º trim.

3.

Para explicar • Resuelva conjuntamente en la pizarra el primer ejercicio, indicando en qué gráfico debemos buscar la información. Insista en que cada uno de ellos facilita informaciones diferentes.

▶ Litros en el segundo semestre: ...

a

ra

ch Du

Ba

Solución: Gastó ...

La

va

do

la jil va

ño

Diferencia de litros: ...

va

Competencia social y ciudadana Plantee a sus alumnos la necesidad que tenemos de ahorrar agua. Indique que entre todos debemos hacer un esfuerzo para que no se agoten los recursos de los que disponemos.

4.

Litros en el primer semestre: ...

La

Competencias básicas

1. ¿Cuántos litros de agua gastó Miguel en el segundo semestre del año más que en el primer semestre?

s

Litros de agua

CONSUMO POR ACTIVIDAD 240 210 180 150 120 90 60 30 0

5.

2. ¿Cuánto gastó Miguel cada mes suponiendo que todos los meses gastó los mismos litros de agua?

3. Durante una semana Miguel se duchó 5 veces y se bañó 2 veces. La semana siguiente se duchó 4 veces y se bañó 3 veces. ¿Qué semana gastó más agua? ¿Cuántos litros más?

4. En el segundo trimestre del año Miguel puso el lavavajillas 60 veces y la lavadora

6.

65 veces. ¿Cuántos litros de agua gastó en el resto de actividades?

5.

INVENTA. Escribe y resuelve un problema en el que uses algunos

de los datos de los gráficos.

Soluciones 1. 50.000 1 30.000 5 80.000 30.000 1 40.000 5 70.000 80.000 – 70.000 5 10.000 Gastó 10.000 ℓ mas. 2. (30.000 1 40.000 1 50.000 1 1 30.000) : 12 5 12.500 Gastó 12.500 ℓ. 3. 5 3 60 1 2 3 210 5 720 4 3 60 1 3 3 210 5 870 870 2 720 5 150 La segunda semana. Gastó 150 ℓ más. 4. 60 3 30 1 65 3 90 5 7.650 40.000 2 7.650 5 32.350 Gastó 32.350 ℓ.

28

Otras actividades • Pida a los alumnos que busquen noticias en periódicos o revistas en las que aparezcan tipos diferentes de gráficos y las traigan a la clase para plantear en común distintos problemas con informaciones extraídas de ellos. • Puede pedirles también que inventen una situación en la que aparezcan dos gráficos y planteen preguntas similares a las de la unidad. Por ejemplo: un gráfico lineal que se refiera a los gastos de alimentación de una casa en un año, y un gráfico de barras con cuatro o cinco grupos de alimentos y el dinero gastado en cada uno de ellos.

5. R. L.

28 124603 _ 0054-0067.indd 66

6/7/09 16:41:47

2

Repasa

UNIDAD

Soluciones

7. Calcula.

EJERCICIOS

1. Escribe el valor posicional de

●

6322714

●

7 2 (6 2 2) 2 1

las cifras 5 de cada número.

●

9 2 (2 1 1) 3 3

●

3143529

●

5.005.306

●

3.500.508

●

7332832

●

15 2 7 2 (2 3 3)

●

32.154.675

●

50.090.352

●

529:314

●

8 : (7 2 3) 2 1

●

527.885.030

●

556.368.297

PROBLEMAS

2. Escribe. ●

El mayor número de siete cifras cuya cifra 7 valga 7.000.000 U.

●

El menor número de ocho cifras cuya cifra 9 valga 90.000.000 U.

●

El mayor número de nueve cifras cuya cifra 4 valga 40.000.000 U.

8. Una furgoneta transporta 30 cajas de naranjas. En 8 de las cajas lleva 20 kg en cada una y en el resto lleva 25 kg en cada una. ¿Cuántos kilos de naranjas transporta la furgoneta?

2.019.704, 2.108.800, 2.020.101, 1.999.989, 2.200.006

●

35.300.000, 35.125.348, 35.125.900, 34.989.586, 36.086.187

4. Escribe. ●

El mayor número par de siete cifras.

●

El menor número impar de ocho cifras.

●

Un número de nueve cifras mayor que novecientos noventa millones doscientos treinta mil.

Su hermano Lucas tiene 2 años más que ella y su padre el triple que su hermano. ¿Cuántos años le lleva su padre a Marta?

10. En un colegio han comprado para el equipo

●

607.839 1 198.704

●

675 3 340

de fútbol 15 pantalones por 180 . Cada camiseta ha costado 3 más que un pantalón. ¿Cuánto ha costado el equipo de cada jugador?

●

385.126 1 43.089

●

521 3 609

11. María ha entregado para pagar una factura

●

675.203 2 176.889

●

2.368 : 27

●

502.093 2 50.209

●

26.752 : 128

5. Calcula.

6. ESTUDIO EFICAZ. Explica en qué orden hay que hacer las operaciones de estas expresiones. ●

4123321

●

5 3 2 2 (4 2 1)

7 billetes de 50 y 4 de 20 . Le han devuelto 3 monedas de 2 . ¿Cuál era el precio de la factura? 82 eran mujeres y el resto hombres. De los hombres, un tercio eran mayores de 65 años. ¿Cuántos hombres menores de 65 años fueron a la charla?

En cada uno de los cuatro murales deberán aparecer con claridad los conceptos y procedimientos estudiados con ejemplos que los ilustren, y alguna actividad propuesta y resuelta para exponer al resto de los compañeros. Cada grupo explicará a la clase uno de los cuatro murales, el que usted estime más pertinente. Aproveche para resolver posibles dudas o dificultades que se presenten.

4. • 1.000.000 • 99.999.999 • R.M. 990.240.000 5. • • • •

806.543 428.215 498.314 451.884

• • • •

229.500 317.289 c 5 87; r 5 19 c 5 209

6. • Multiplicación y después suma y resta. • Paréntesis, después multiplicación y resta.

8. 30 – 8 5 22 8 3 20 1 22 3 25 5 710 Transporta 710 kg de naranjas. 29

• Divida a los alumnos de su clase en grupos. Cada uno de ellos realizará un mural sobre los diferentes aspectos trabajados en la unidad: potencias, potencias de base 10, expresión polinómica de un número y raíz cuadrada.

2. • 7.999.999 • 90.000.000 • 499.999.999

7. • 9, 0, 5, 6 • 2, 14, 2, 1

12. De los 130 asistentes a una charla,

Repaso en común

1. 5.000.000 U y 5.000 U; 50.000 U y 5 U; 500.0000 U y 5.000 U; 500.000 U y 500 U; 50.000.000 U y 50 U; 500.000.000 U y 50.000.000 U.

3. • 1.999.989 , 2.019.704 , , 2.020.101 , 2.108.800 , , 2.200.006 • 34.989.586 , 35.125.348 , , 35.125.900 , 35.300.000 , 36.086.187

9. Marta cumple hoy los años.

3. Ordena de menor a mayor cada grupo. ●

2

9. Lucas: 14 años. Padre: 14 3 3 5 42 años. 42 – 12 5 30 El padre le lleva 30 años. 10. 180 : 15 5 12 12 1 3 5 15 12 1 15 5 27 El equipo ha costado 27 €. 11. 7 3 50 1 4 3 20 5 430 430 – 6 5 424 El precio era 424 €. 12. 130 – 82 5 48 48 : 3 = 16 48 – 16 = 32 Eran menores de 65 años 32 hombres en la charla.

29 124603 _ 0054-0067.indd 67

6/7/09 16:41:48

3

E

Números enteros

Programación Objetivos • Reconocer y utilizar los números enteros en situaciones cotidianas. • Identificar números en la recta entera. • Representar números en la recta entera. • Comparar y ordenar números enteros. • Identificar las coordenadas cartesianas de puntos. • Representar un punto a partir de sus coordenadas. • Resolver problemas buscando datos en varios textos o gráficos.

Criterios de evaluación • Reconoce y utiliza los números enteros en situaciones cotidianas. • Identifica números en la recta entera. • Representa números en la recta entera. • Compara y ordena números enteros. • Identifica las coordenadas cartesianas de puntos.

Contenidos • Utilización de los números enteros en situaciones de la vida cotidiana. • Resolución de problemas con números enteros.

R

• Representación de números en la recta entera.

• • • •

• Comparación y ordenación de números enteros. • Identificación de las coordenadas de puntos en ejes cartesianos.

E

• Representación de puntos a partir de sus coordenadas cartesianas.

•

•

• Resolución de problemas buscando datos en varios textos o gráficos.

• Representa un punto a partir de sus coordenadas. • Resuelve problemas buscando datos en varios textos o gráficos.

Competencias básicas Además de desarrollar la Competencia matemática, en esta unidad se contribuye al desarrollo de las siguientes competencias: Aprender a aprender, Competencia cultural y artística, Autonomía e iniciativa personal, Competencia lingüística, Competencia social y ciudadana, Tratamiento de la información e Interacción con el mundo físico.

• Valoración de la utilidad de los números enteros en situaciones de la vida diaria. • Disposición favorable a la interpretación de información presentada de forma gráfica.

30 A 124603 _ 0068-0085.indd

68

6/7/09

16:40:15

Esquema de la unidad UNIDAD 3. NÚMEROS ENTEROS

Los números enteros

Problemas con números enteros

La recta entera. Comparación de números enteros

Coordenadas cartesianas

Actividades

Eres capaz de...

Solución de problemas

Repasa

Recursos • • • •

Láminas de aula. Material de aula. Cuaderno de práctica. Primer trimestre. Manual de ESTUDIO EFICAZ.

• 100 propuestas para mejorar la competencia matemática. • Refuerzo y ampliación. • Recursos para la evaluación.

Estrategias del programa de ESTUDIO EFICAZ • Reelaborar la información fundamental: actividad 11, pág. 41. • Reconocer lo que se ha aprendido: actividad 3, pág. 43.

Previsión de dificultades A lo largo de la unidad algunos alumnos pueden presentar dificultades en los siguientes aspectos:

Sugerencia de temporalización Septiembre

• Comprender el concepto de número negativo. Plantee situaciones a los alumnos en las que vean la necesidad de utilizar otros números diferentes a los positivos.

Octubre

• Comparar números negativos. Realice ejercicios variados apoyándose en el uso de la recta entera lo que sea necesario hasta que los alumnos interioricen la situación de los enteros.

Enero

• Representar puntos a partir de sus coordenadas. Trabaje casos diferentes, prestando especial atención a los puntos con coordenadas negativas que suelen suscitar mayor dificultad.

Abril

Noviembre Diciembre

Febrero Marzo

Mayo Junio

30 B 124603 _ 0068-0085.indd

69

6/7/09

16:40:15

3

Números enteros

RE

R

Objetivos

●

• Recordar los conceptos básicos necesarios para el desarrollo de la unidad. • Reconocer situaciones reales donde aparecen los números enteros.

●

Sugerencias didácticas

C

• Comente la situación propuesta y el dibujo que aparece. Muestre como hay altitudes (por encima del cero o nivel del mar) y profundidades (por debajo de ese nivel). Señale que en la unidad van a aprender los números negativos y comente que podríamos expresar las profundidades como «altitudes negativas». • En Recuerda lo que sabes aproveche para comprobar si los alumnos representan correctamente los números naturales y decimales en la recta numérica. Trabaje también el reconocimiento de las coordenadas de un punto así como su representación. Haga hincapié en la importancia del orden, primero la coordenada horizontal y luego la coordenada vertical.

S e c l

1. Leire está haciendo un trabajo sobre dos animales: el yak y el calamar gigante.

6.000 m 5.000 m 4.000 m 3.000 m 2.000 m 1.000 m 0m

Uno de los datos que ha encontrado sobre estos animales es el lugar donde viven: nivel del mar 1.000 m 2.000 m

2.

– El yak habita en las montañas del Tíbet, a unos 5.000 metros de altitud. – El calamar gigante vive en el mar, a más de 1.000 metros de profundidad.

3. ●

Observa el esquema. Un animal que vive a 2.000 m de altitud, ¿vive por encima o por debajo del nivel del mar? ¿Y un animal que vive a 200 m de profundidad?

●

Localiza en el esquema dónde vive cada animal y contesta. – ¿Qué animal vive más cerca del nivel del mar, el yak o el calamar gigante? – La vicuña vive en las mesetas de Sudamérica entre los 3.000 m y 4.500 m de altitud. ¿Vive la vicuña más cerca o más lejos del nivel del mar que el yak?

4.

– El pez espada vive en mares tropicales entre los 200 m y 800 m de profundidad. ¿Vive el pez espada más cerca o más lejos del nivel del mar que el calamar gigante?

Competencias básicas

30

Aprender a aprender Indique a los alumnos que van a aprender un nuevo tipo de números, y que algunas cosas que ya sabían (representación en la recta, representación de puntos por sus coordenadas) les van a ser útiles ahora.

Competencia cultural y artística Señale la importancia de llevar a cabo, de forma cuidadosa y correcta, las representaciones gráficas en Matemáticas. Indique la conveniencia de respetar los espacios entre marcas y de colocar correctamente los puntos.

Otras formas de empezar • Plantee a los alumnos preguntas sobre situaciones en las que solemos utilizar números negativos (sin explicarles aún que son números enteros negativos). Por ejemplo: – Cuando estamos en un centro comercial: ¿cómo expresamos las plantas de aparcamiento? ¿Cómo se indican estas plantas en los botones del ascensor? – Cuando en invierno hace mucho frío, o la temperatura baja de los cero grados: ¿cómo expresamos dicha temperatura? ¿Cómo se indica en el termómetro?

30 124603 _ 0068-0085.indd

70

6/7/09

16:40:16

RECUERDA LO QUE SABES

UNIDAD

Representación de números en la recta ●

Soluciones

Representación de números naturales. 2 0

●

3

10

15

10

15

5

28 20

30

25

Página inicial

41 40

35

• Por encima del nivel del mar. Por debajo del nivel del mar.

50

45

• El calamar gigante. La vicuña vive más cerca del nivel del mar que el yak. El pez espada vive más cerca del nivel del mar que el calamar gigante.

Representación de números decimales. 0,6 0

1,3 1

0,5

2,4 2

1,5

3,9 3

2,5

4,7

4

3,5

5

4,5

Coordenadas de un punto 5 4 3 2 1

Se escriben, separadas por una coma y entre paréntesis, primero la coordenada correspondiente al eje horizontal y luego la correspondiente al eje vertical.

A C B D

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9

A

▶

(2, 4)

B

▶

(4, 2)

C

▶

(6, 3)

D

▶

(8, 1)

Recuerda lo que sabes 1. Verde: 1. Azul: 2,5. Rojo: 3,7. Morado: 5,3. Amarillo: 7.

1. Escribe los números representados en esta recta.

2. 0

2 ▶

▶

…

3

4 ▶

…

5 ▶

…

6

VAS A APRENDER ▶

…

…

A reconocer los números enteros positivos y negativos y a utilizarlos en situaciones cotidianas.

●

A resolver problemas sencillos con números enteros.

los siguientes números. A

▶

2

E

▶

5

I

▶

0,5

▶

O

3. Escribe las coordenadas

5 4 3 2 1 0

de cada punto. A C

▶ ▶

(…, …) (…, …)

B D

▶ ▶

(…, …) (…, …)

4,2

▶

U

6,8

A B C

▶

(1, 3)

(3, 1)

▶

A representar y comparar números enteros.

●

A identificar coordenadas y representar puntos en ejes cartesianos.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

los siguientes puntos. ▶

●

D

4. Dibuja unos ejes de coordenadas y representa (5, 4)

▶

0

●

2. Copia la recta de la actividad 1 y representa en ella

I

A 1

2

O 3

4

E 5

U 6

7

3. A (3, 4) B (8, 3) C (1, 2) D (5, 1) 4.

5 4 3 2 1 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9

(7, 2)

31

Vocabulario de la unidad • Números enteros • Números negativos • Coordenadas cartesianas • Ejes cartesianos • Cuadrante

31 124603 _ 0068-0085.indd

71

6/7/09

16:40:16

Los números enteros Objetivos

Lucía vive en el segundo piso. Sube a su casa en ascensor.

• Conocer los números enteros positivos y negativos.

Fíjate con qué número está indicado cada piso en el panel del ascensor: – La planta baja donde está el portal está indicada con el número 0.

• Utilizar los números enteros en situaciones cotidianas.

Para reforzar • Pida a los alumnos que planteen otras preguntas propias similares a las actividades trabajadas en esta doble página y corríjalas en común. • Aproveche la estrategia de detectar las propias dificultades de la página 60 del manual de ESTUDIO EFICAZ y pida a los alumnos que expresen en qué tienen más dificultades.

Competencias básicas Autonomía e iniciativa personal Potencie en sus alumnos una actitud positiva ante los nuevos contenidos para así conseguir que se involucren de forma activa y que su aprendizaje sea significativo y su rendimiento mayor.

22

4.

– Debajo de la planta baja hay 2 plantas sótano, indicadas con los números 21 y 22. Todos estos números se llaman números enteros.

Para empezar • Pida a los alumnos que digan cómo están expresados los pisos en los ascensores que ellos conocen y que comenten por qué creen que se expresan así.

●

5.

Los números 11, 12, 13 y 14 son números enteros positivos. A veces se presentan sin el signo 1 (1, 2, 3…).

●

Los números 21 y 22 son números enteros negativos.

●

El número 0 es un número entero, pero no es positivo ni negativo.

Los números enteros pueden ser positivos (11, 12, 13, 14, 1 5…), negativos (21, 22, 23, 24, 25…) o cero.

Qué botón debes pulsar

A dónde vas

15

●

Para ir a una oficina del tercer piso.

●

Para ir a la segunda planta de garaje.

●

Para ir a la planta baja.

●

Si pulsas el botón 0.

●

Si pulsas el botón 21.

0

●

Si pulsas el botón 14.

21

2. Observa el esquema de la actividad 1 y contesta. ●

¿Qué número indica la planta baja?

●

Si estás en la planta baja y subes:

14 13 12

6. Oficinas

1. Observa el esquema de los botones de un ascensor y explica.

11

22 23

Garajes

• Deje clara la clasificación de los enteros en números enteros positivos (que se corresponden con los números naturales), números enteros negativos, y el cero.

14 13 12 11 0 21

– Encima de la planta baja hay 4 plantas de viviendas, indicadas con los números 11, 12, 13 y 14.

Sugerencias didácticas

Para explicar • Indique los números que representan los pisos: el 0, los números con el signo 1 y los números con el signo 2. Explique que en este caso los signos representan «por encima» y «por debajo» de cero (en este caso, de la planta baja).

3.

CÁ Su

– ¿A qué zona del edificio irás? ¿A qué pisos puedes ir? – ¿Qué tipo de números indican las plantas superiores a la planta 0? ●

Si estás en la planta baja y bajas: – ¿A qué zona del edificio irás? ¿A qué pisos puedes ir? – ¿Qué tipo de números indican las plantas inferiores a la planta 0?

32

Otras actividades • Forme varios grupos de alumnos, y pida a cada grupo que haga uno de los siguientes esquemas sobre cartulina. Después, pueden utilizarse como apoyo gráfico para actividades colectivas. – Panel de botones del ascensor de un edificio con la planta baja marcada (tendrá 6 plantas por encima de la planta baja y 3 por debajo). Pídales que rotulen los botones adecuadamente. – Dibujo de un termómetro con la marca del cero más gruesa. Pídales que rotulen la escala de las temperaturas. – Dibujo de una mina donde se vean galerías por encima y por debajo de la entrada. Pídales que rotulen las altitudes de cada galería.

32 124603 _ 0068-0085.indd

72

6/7/09

16:40:16

3 3. Observa el dibujo de los termómetros y completa.

UNIDAD

Los termómetros marcan la temperatura que hizo en una ciudad en dos momentos del día.

●

A las 11 de la mañana, el termómetro marcaba …º C. La temperatura era de … grados.

●

A las 11 de la noche, el termómetro marcaba …º C. La temperatura era de … grados bajo cero.

120

115

115

15

4. Observa los termómetros y responde. ●

¿Con qué tipo de números se indican las temperaturas por encima de 0 grados?

●

¿Y las temperaturas por debajo de 0 grados?

120 110

Soluciones 1. • • • • • •

110 Cº

15

0

0

25

25

210

210

Cº

1300 m

●

¿Con qué número se indica el nivel del mar?

●

¿A cuántos metros sobre el nivel del mar vuela la avioneta? ¿Con qué tipo de números se indica una altitud?

●

¿A cuántos metros bajo el nivel del mar está el barco hundido? ¿Con qué tipo de números se indica una profundidad?

1200 m 1100 m 0m 2100 m 2200 m

6. Piensa y contesta. ●

Un ascensor estaba en el piso 21 y fue al piso 13. ¿Subió o bajó?

●

Hace tres horas, la temperatura era de 12 ºC y ahora es de 22 ºC. ¿Ha subido o ha bajado la temperatura?

●

Un submarino navegaba a 2200 m y una hora después estaba a 2100 m. ¿Qué hizo el submarino, ascender o descender?

5. • El 0. • A 300 m sobre el nivel del mar. Con números enteros positivos. • A 100 m bajo el nivel del mar. Con números enteros negativos.

Suma 1.001, 2.001, 3.001...

1.475

3.475

1 2.000

●

3.476 11

3. • 7º C. La temperatura era de 7 grados. • 25º C. La temperatura era de 5 grados bajo cero. 4. • Números enteros positivos. • Números enteros negativos.

CÁLCULO MENTAL

1 2.001

13 22 0 Planta baja. 1.ª planta del garaje. Oficina del 4.º piso.

2. • El 0 • A las oficinas. Al 1.º, 2.º, 3.º, 4.º o 5.º. Números enteros positivos. • A los garajes. Al 21, 22 ó 23. Números enteros negativos.

5. Observa el dibujo y contesta. 1400 m

3

1.264 1 1.001

4.382 1 4.001

8.463 1 2.001

2.845 1 3.001

3.913 1 5.001

7.529 1 6.001

6. • Subió cuatro pisos. • Ha bajado cuatro grados. • Ascendió 100 m.

¿Cómo sumarías 1.002? ¿Y 1.003? ¿Cómo sumarías 4.005? ¿Y 5.006?

Cálculo mental 33

Otras actividades • Proponga el juego de la oca de enteros. Forme grupos de cuatro alumnos y entregue a cada uno el tablero del juego (los números de una parte de la recta entera colocados de menor a mayor) y dos dados. Coloque en las caras de uno de los dados tres pegatinas con el signo 1 y otras tres con el signo 2. El juego consiste en llegar a la casilla 15 partiendo de la 28 (pueden ser más números). Cada jugador tira en su turno ambos dados y avanza o retrocede tantas casillas como indiquen los dados (2 y 5, retrocede 5 casillas). Si tiene que retroceder más atrás de la casilla 28, deja su ficha en esa casilla y espera al turno siguiente. 28 27 26 25 24 23 22 21

0

• 2.265 5.846

8.383 8.914

10.464 13.530

• Sumando 1.000 y después 2. Sumando 1.000 y después 3. Sumando 4.000 y después 5. Sumando 5.000 y después 6.

11 12 13 14 15

33 124603 _ 0068-0085.indd

73

6/7/09

16:40:17

Problemas con números enteros Objetivos

3.

Sara, Rafa, Pedro y Eva han cogido el ascensor. ¿A qué piso llega cada uno?

• Resolver problemas sencillos utilizando números enteros.

13

Sugerencias didácticas

12

Para empezar • Dibuje en la pizarra el esquema del panel del ascensor. Señale un botón primero y después otro (por ejemplo, el 22 y el 3). Pregúnteles si para ir del primero al segundo tienen que subir o bajar y cuántos “saltos” deben llevar a cabo para hacerlo.

0

Para explicar • Trabaje cada uno de los casos del ascensor mostrando la manera de expresar la variación o el paso del piso inicial al final. Muestre en cada caso si se sube (1) o se baja (2) y cuántos pisos se sube o se baja para ir de uno a otro. Hemos optado por trabajar los problemas de manera intuitiva, sin recurrir a operaciones matemáticas (suma y resta) con enteros que pensamos pertenecen a cursos superiores.

Competencias básicas

Inicio

Variación

11

11 Sara

Final

12

Inicio

13

23 Rafa

Llega al tercer piso.

Variación

14

Final

4.

11

Llega al primer piso.

21 22

Estaba en el segundo piso y baja 3 pisos.

23

Estaba en el primer sótano y baja 1 piso.

Inicio

Variación

Final

Inicio

12

23

21

21

Llega al primer sótano.

Pedro

Variación

21

Final

22

Llega al segundo sótano.

Eva

1. Observa el termómetro y completa en tu cuaderno. ●

El termómetro marcaba 110 ºC y la temperatura subió 2 grados.

●

El termómetro marcaba 24 ºC y la temperatura subió 8 grados.

120 Inicio

Variación

Final

Inicio

Variación

Final

…

…

115

110

1…

…

Ahora marca … ºC. ●

24

110

Ahora marca … ºC.

15

El termómetro marcaba 13 ºC y la temperatura bajó 10 grados.

Cº

●

0

El termómetro marcaba 21 ºC y la temperatura bajó 5 grados.

25 Inicio

Variación

Final

Inicio

Variación

Final

…

…

210

…

2…

…

…

Ahora marca … ºC.

Ahora marca … ºC.

5. 2. Piensa y contesta.

• Lleve a cabo en común la actividad 1 del termómetro mostrando las similitudes con el ejemplo del ascensor.

Para reforzar • Escriba en la pizarra dos números enteros (por ejemplo, 12 y 24). Los alumnos, fijándose en el panel del ascensor, deberán traducir esos números a una situación real, calculando el piso final al que llegan: «Estoy en el piso 12, bajo 4 pisos, llego a la planta 22».

Estaba en el tercer sótano y sube 4 pisos.

Estaba en el primer piso y sube 2 pisos.

14

Un barco echó el ancla por la borda. El ancla estaba a 1 m sobre el nivel del mar y al tirarla bajó 6 m. ¿A qué profundidad se paró?

Inicio

…

Variación

Final

…

…

34

Otras actividades • Pida a cada alumno que invente un problema similar a los trabajados en esta página: subir o bajar en un ascensor, aumentar o disminuir la temperatura de un lugar, subir o bajar niveles en una mina… Cada uno planteará su problema al resto de la clase, para que lo resuelvan mentalmente y, después, dirá la solución. Si lo cree conveniente, dibuje en la pizarra el esquema de un ascensor, un termómetro o una mina para corregir cada problema propuesto.

Competencia lingüística Muestre cómo las Matemáticas tienen un lenguaje propio. Señale la importancia de saber «traducir» las situaciones reales al lenguaje matemático.

34 124603 _ 0068-0085.indd

74

6/7/09

16:40:17

3 3. Resuelve. Después, escribe con qué número entero expresarías la solución. ●

Andrea vive en el quinto piso y baja 3 pisos para ir a casa de su amiga Lucía. ¿En qué piso vive Lucía?

●

A medianoche el termómetro marcaba 4 grados bajo cero y al mediodía siguiente había subido la temperatura 15 grados. ¿Qué temperatura marcaba el termómetro al mediodía?

●

UNIDAD

Soluciones 1. • 110, 12, 112 Ahora marca 12º C. • 13, 210, 27 Ahora marca –7º C. • 24, 18, 14 Ahora marca 4º C. • 21, 25, 26 Ahora marca 26º C.

Un pez nadaba a 4 metros bajo el nivel del mar y subió 1 metro. ¿A cuántos metros por debajo del nivel del mar está ahora el pez?

4. Expresa con un número entero. Después, piensa y contesta. ●

Jorge deja el coche en la segunda planta de aparcamiento del edificio donde trabaja y sube a su oficina que está en la quinta planta. Planta donde deja el coche ▶ … Planta donde está su oficina ▶ … ¿Cuántos pisos sube Jorge?

●

2. • 11, 26, 25 A 5 m de profundidad.

María trabaja en la tercera planta de un edificio. Hoy ha tenido que recoger una caja del almacén que está en el primer sótano.

3. • Andrea vive en el 2.º piso. • Al mediodía el termómetro marcaba 11º C. • El pez está a 3 m por debajo del nivel del mar.

Planta donde trabaja ▶ … Planta donde está el almacén ▶ … ¿Cuántos pisos ha bajado María? ●

s.

A las 10 de la mañana, el termómetro marcaba 5 grados y a las 10 de la noche, 2 grados bajo cero.

4. • Planta –2. Planta 5. Jorge sube 7 pisos. • Planta 3. Planta – 1. María ha bajado 4 pisos.

Temperatura a las 10 : 00 ▶ … Temperatura a las 22 : 00 ▶ … ¿Cuántos grados bajó la temperatura? ●

• T.ª a las 10:00 ▶ 5º C T.ª a las 22:00 ▶ 22º C La temperatura bajó 7º C.

A las 3 de la madrugada, el termómetro marcaba 4 grados bajo cero y a las 9 de la mañana, 1 grado bajo cero.

• T.ª a las 03:00 ▶ 24º C T.ª a las 09:00 ▶ 21º C La temperatura subió 3º C.

Temperatura a las 03 : 00 ▶ … Temperatura a las 09 : 00 ▶ … ¿Cuántos grados subió la temperatura?

5. • El pez está más cerca. Hay 5 m entre ambos animales. • Sara está más cerca de la planta baja.

5. RAZONAMIENTO. Piensa y contesta. Un pájaro vuela a 3 m sobre el mar y, debajo de él, un pez nada a 2 m bajo el nivel del mar. ¿Qué animal está más cerca de la superficie del agua? ¿Cuántos metros hay entre ambos animales?

3

Iván, Sara y Nacho han ido a unos grandes almacenes. Iván está en el segundo piso del edificio, Sara está en el primer sótano y Nacho está en el segundo sótano. ¿Quién está más cerca de la planta baja?

35

Otras actividades • Recorte de un periódico la tabla con las temperaturas máximas y mínimas del día anterior en distintas ciudades del mundo, y entregue una copia a cada alumno. Explique el significado de temperatura máxima y temperatura mínima y plantee problemas para calcular la variación de temperatura en una ciudad, encontrar la ciudad que tuvo más variación de temperatura, averiguar la diferencia entre las temperaturas máximas (o mínimas) de dos ciudades dadas, etc.

35 124603 _ 0068-0085.indd

75

6/7/09

16:40:17

La recta entera. Comparación de números enteros

4.

Objetivos • Identificar y representar números enteros en la recta entera.

Gonzalo ha anotado la temperatura mínima de ayer en dos localidades y ha representado los dos números en la recta entera.

• Comparar y ordenar números enteros.

5.

Fíjate en el número 0 de la recta: ● ●

Sugerencias didácticas

6.

A la izquierda de 0 se representan los números enteros negativos. A la derecha de 0 se representan los números enteros positivos. Números enteros negativos

Para empezar • Dibuje una recta en la pizarra y represente en ella los números naturales hasta el 10. Haga observar a los alumnos que, dados varios números, es mayor el que se encuentra más a la derecha en la recta. Para explicar • Pida a los alumnos que observen la recta y comente cómo están situados los números enteros: desde cero, hacia la derecha, los positivos, y hacia la izquierda, los negativos. Señale que al igual que ocurría con los naturales, un número es mayor que otro si está más a la derecha que él en la recta numérica. Comente que en los números negativos hay que ser cuidadosos, ya que cuanto mayor es el número que sigue al signo 2, menor es dicho número entero (en este aspecto suelen cometer errores los alumnos).

Vallesol ▶ 22 ºC Tejar ▶ 14 ºC

Números enteros positivos

26 25 24 23 22 21

11 12 13 14 15 16 17 18

0

¿Qué localidad tuvo la menor temperatura mínima? ¿Y la mayor?

Para comparar las dos temperaturas, mira la posición de los puntos en la recta entera. ● ●

El número menor es el que está más a la izquierda: 22 El número mayor es el que está más a la derecha: 14

22 , 14

Vallesol tuvo la menor temperatura y Tejar la mayor.

7.

1. Observa la recta entera anterior y contesta. ●

¿Dónde está cada número, a la derecha o a la izquierda de 0? ¿Por qué? 13

●

21

17

24

23 ●

¿Qué número está más a la izquierda en la recta? ¿Cuál es menor? 1 1 o 23

24 o 0

12

22 o 25

15

25

¿Qué número está más a la derecha en la recta? ¿Cuál es mayor? 12 o 25

23 o 0

8.

21 o 24

2. Copia la recta entera y completa los números que faltan. 28 … 26 25 …

… 22

…

0

11 … 13

…

… 16 17 … 19

9.

3. Escribe el número anterior y el posterior. ●

...

◀

●

...

◀

11 ▶ ...

●

...

14 ▶ ...

●

...

23 ▶ ...

●

...

▶ ...

●

... ◀ 22 ▶ ...

●

... ◀ 13 ▶ ...

●

... ◀ 21 ▶ ...

0

◀

◀

◀

25 ▶ ...

36

Para reforzar • Pida a un alumno que diga un número entero en voz alta. Diga usted otro (o pida a otro compañero que lo haga). El primer alumno deberá decir si el número dicho por él es mayor o menor que el enunciado por la otra persona.

Competencias básicas Competencia social y ciudadana Indique que el error es una fuente de aprendizaje y potencie en los alumnos la colaboración y el respeto mutuos.

Otras actividades • Prepare tantas tarjetas como alumnos haya, y escriba en cada tarjeta un número entero (por ejemplo, si hay 25 niños, escriba desde 212 hasta 112). Entregue una tarjeta a cada alumno, al azar, y realice las siguientes actividades: – Pida a los alumnos que formen una fila, colocándose cada uno en el lugar correspondiente para formar una recta entera. – Pida a un alumno que enseñe su número, e indique que se levanten los niños que tengan el número anterior y posterior. – Diga un número y pida que se levanten los alumnos que tengan un número mayor o menor que él (o los que estén entre dos números dados).

36 124603 _ 0068-0085.indd

76

6/7/09

16:40:17

3 4. Busca los dos números en la recta y escribe el mayor.

UNIDAD 11 y 14

●

21 y 24

●

13 y 0

●

23 y 0

●

12 y 25

●

22 y 15

●

26 25 24 23 22 21 0 11 12 13 14 15 16

12

15

●

●

23

22

●

11

23

●

14

0

●

22

12

0

24

●

25

11

●

21

26

6. Ordena los siguientes números enteros. HAZLO ASÍ ●

Ordena de mayor a menor: 21, 12 y 23. Imagina los números en la recta entera y escríbelos tal como están colocados de derecha a izquierda: primero escribe 12, después 21 y al final 23.

2. –7, 24, 23, 21, 12, 14, 15, 18

12 . 21 . 23 ●

De mayor a menor

22, 14, 21

●

13, 0, 22, 11

●

25, 21, 0, 12

De menor a mayor

●

13, 22, 12

●

11, 23, 24, 0

●

12, 0, 21, 13

7. Piensa y escribe en cada caso tres números enteros. ●

Mayores que 22.

●

Menores que 21.

●

Mayores que 23, que no sean negativos.

●

Mayores que 25 y menores que 0.

●

Mayores que 24 y menores que 14.

●

Menores que 21 y mayores que 26.

8. Piensa y escribe el signo de cada número para que la desigualdad sea cierta. Si hay varias posibilidades, escríbelas todas. ●

1,

●

5,

●

3, 0

1

●

3.

2

●

1.

●

6.0

Soluciones 1. • Derecha, izquierda, derecha, izquierda, izquierda, derecha, derecha, izquierda. Porque los números negativos están situados a la izquierda del 0 y los positivos a la derecha. • 23, 24, 25 • 12, 0, 21

5. Piensa dónde está cada número en la recta y escribe el signo > o <. ●

3

3

●

2,

4

4

●

6.

3

●

1,

5

9. RAZONAMIENTO. Piensa y completa cada oración con mayor o menor para que sea cierta. ●

Cualquier número entero positivo es … que 0.

●

Cualquier número entero negativo es … que 0.

.

●

Cualquier número entero negativo es … que cualquier número entero positivo.

.

●

Cualquier número entero positivo es … que cualquier número entero negativo.

37

Otras actividades • Entregue a sus alumnos tarjetas de tamaño octavilla y propóngales que cada uno escriba en una cara de la tarjeta un número entero positivo o negativo y en el anverso de esa cara una letra de manera que al ordenar correctamente los números que hayan escrito de mayor a menor se forme una palabra con sentido. Por ejemplo: «Ordena de mayor a menor para formar el nombre de una ciudad europea». A

O

M

R

24

0

22

13

3. • • • •

0, 11, 12 21, 0, 11 13, 14, 15 23, 22, 21

• • • •

24, 23, 22 12, 13, 14 26, 25, 24 22, 21, 0

4. • 14 • 13 • 12

• 21 • 0 • 15

5. • • • •

12 , 15 23 , 22 11 . 23 0 . 24

• • • •

6. • • • • • •

14 . 21 . 22 13 . 11 . 0 . 22 12 . 0 . 21 . 25 22 , 12 , 13 24 , 23 , 0 , 11 21 , 0 , 12 , 13

7. • • • • • •

R. M. – 1, 0, 11 R. M. – 2, 23, 24 R. M. 0, 11, 12 R. M. 24, 23, 22 R. M. 22, 0, 12 R. M. 22, 23, 24

8. • • • • • • • • •

21 , 11 25 , 12 23 , 0 1 3 . 23 1 1 . 24; 21 . 24 16.0 22 , 1 4; 1 2 , 1 4 1 6 . 1 3; 1 6 . 23 21 , 1 5; 1 1 , 1 5

9. • • • •

Mayor. Menor. Menor. Mayor.

14 . 0 25 , 11 22 , 12 21 . 26

Una vez elaboradas estas tarjetas se puede jugar colectivamente o por equipos.

37 124603 _ 0068-0085.indd

77

6/7/09

16:40:18

Coordenadas cartesianas Objetivos

3.

Diego ha representado varios puntos en los ejes de coordenadas cartesianas.

• Identificar coordenadas de puntos representados en ejes cartesianos.

Observa los dos ejes:

• Representar puntos en ejes cartesianos.

Segundo cuadrante

●

Se numeran como la recta entera.

●

Son perpendiculares y se cortan en el 0.

●

Dividen la cuadrícula en cuatro partes llamadas cuadrantes.

13 12

Las coordenadas cartesianas de los puntos son:

Sugerencias didácticas Para empezar • Dibuje en la pizarra dos ejes de coordenadas y escriba en ellos el 0 y los números positivos. Comente con los alumnos que podemos prolongar los ejes hacia la izquierda y hacia abajo, añadiendo los números negativos a los que ya teníamos. Se trata de «extender» la representación de puntos que ya conocían colocando dos rectas enteras perpendiculares. Para explicar • Indique los cuatro cuadrantes o partes que se forman. Recuerde cómo determinar las coordenadas de un punto (trazando una línea imaginaria desde el punto hacia el eje horizontal y luego hacia el vertical) y señale que ahora pueden ser enteros negativos una de ellas o las dos. • Pregunte a los alumnos cuál será el signo de las coordenadas de un punto del primer, segundo, tercer o cuarto cuadrante. Déjeles razonar por sí mismos y comente después en común las conclusiones.

Para reforzar • Dibuje otros puntos para que los alumnos digan las coordenadas de cada uno. Después puede hacerlo a la inversa.

Competencias básicas Tratamiento de la información Señale la relación entre la información numérica de las coordenadas y la información gráfica de su representación.

Primer cuadrante 14

11 0 11 12 13 14

24 23 22 21

▶

(13, 12)

▶

(22, 13)

22

▶

(21, 23)

23

▶

(13, 22)

4.

21

24

Tercer cuadrante

Cuarto cuadrante

5.

Fíjate en que las coordenadas de cada punto son positivas o negativas según el cuadrante en el que se encuentre.

1. Observa las coordenadas de los puntos anteriores y explica. ●

¿Cómo se busca la primera coordenada de cada punto?

●

¿Qué puntos tienen la primera coordenada positiva? ¿En qué cuadrantes están? ¿Y cuáles la tienen negativa? ¿En qué cuadrantes están?

●

¿Cómo se busca la segunda coordenada de cada punto?

●

¿Qué puntos tienen la segunda coordenada positiva? ¿En qué cuadrantes están? ¿Y cuáles la tienen negativa? ¿En qué cuadrantes están?

2. Escribe las coordenadas de cada punto en tu cuaderno.

6.

16

B

15

RECUERDA

14 13

Escribe primero el número entero del eje horizontal y después, el del eje vertical.

26 25 24 23 22 21

A

▶

(1…, 1…)

E

▶

(…, …)

B

▶

(2…, 1…)

F

▶

(…, …)

C

▶

(2…, 2…)

G

▶

(…, …)

D

▶

(1…, 2…)

H

▶

(…, …)

CÁ

E

12

F

A 11 0 11 12 13 14 15 16 21

Sum

22

C

23 G

H

24 25

D

26

38

Otras actividades • Dibuje en una cartulina una cuadrícula grande y trace los ejes cartesianos. Coloque la cartulina en el corcho para hacer, de forma colectiva, las siguientes actividades: – Ponga varias chinchetas en puntos de la cuadrícula para que los alumnos digan sus coordenadas y en qué cuadrante se encuentran. – Diga coordenadas de puntos y pida a los alumnos que claven una chincheta en su lugar. – Pida a los alumnos que coloquen chinchetas en puntos que cumplan una determinada condición. Por ejemplo: que tengan igual la primera coordenada, que la segunda sea 0, que sus dos coordenadas sean negativas…

38 124603 _ 0068-0085.indd

78

6/7/09

16:40:18

3 3. Escribe las coordenadas de cada punto.

UNIDAD

Después, contesta.

3

13 12

PRESTA ATENCIÓN Los cuatro puntos están en uno de los ejes: una de sus coordenadas es 0.

24 23 22 21

11 0 11 12 13 14 21 22 23

●

¿Qué puntos están sobre el eje vertical? ¿Cuál es su primera coordenada?

●

¿Qué puntos están sobre el eje horizontal? ¿Cuál es su segunda coordenada?

▶

(0, …)

Soluciones

▶

(…, 0)

▶

(…, …)

▶

(…, …)

1. • Fijándote si es positiva o negativa en el eje horizontal. • Azul y amarillo. Primer y cuarto cuadrante. Rojo y verde. Segundo y tercer cuadrante. • Fijándote si es positiva o negativa en el eje vertical. • Azul y rojo. Primer y segundo cuadrante. Verde y amarillo. Tercer y cuarto cuadrante.

4. Dibuja en una cuadrícula unos ejes de coordenadas cartesianas y representa estos puntos. ▶

(14, 12)

▶

(22, 23)

▶

(13, 0)

▶

(23, 15)

▶

(11, 24)

▶

(0, 22)

5. Observa los puntos representados en la actividad 4 y escribe. Después, contesta. ●

Las coordenadas de dos puntos que se encuentren en la misma línea vertical que el punto azul. ▶

(14, 12)

A ▶ (…, …)

2. A (15, 11) B (24, 15) C (25, 22) D (12, 25)

B ▶ (…, …)

¿Qué coordenada coincide en los tres puntos? ●

Las coordenadas de dos puntos que se encuentren en la misma línea horizontal que el punto verde. ▶

(11, 24)

C ▶ (…, …)

3. Azul (0, 12) Verde (23, 0) Rojo (12, 0) Amarillo ( 0, 21) • El azul y el amarillo. Su primera coordenada es 0. • El rojo y el verde. Su segunda coordenada es 0.

D ▶ (…, …)

¿Qué coordenada coincide en los tres puntos?

6. Traza en una cuadrícula unos ejes de coordenadas y dibuja. ●

Un triángulo cuyos vértices son los puntos (12, 14); (23, 13) y (22, 0).

●

Un cuadrilátero cuyos vértices son los puntos (13, 11); (23, 21); (0, 23) y (13, 23).

E (13, 13) F (23, 12) G (21, 24) H (14, 23)

4.

CÁLCULO MENTAL Suma 999, 1.999, 2.999... 1 1.999

5.986

1 2.000

●

7.986

21

7.985

1.264 1 999

6.142 1 3.999

5.821 1 5.999

3.756 1 2.999

4.475 1 4.999

8.720 1 6.999

¿Cómo sumarías 998? ¿Y 996? ¿Cómo sumarías 2.997? ¿Y 4.995?

39

Otras actividades • Dibuje en una hoja de papel esta figura y entregue una copia a cada alumno. Se trata de que averigüen cómo se puede dibujar la figura sin levantar el lápiz del papel y sin pasar dos veces por la misma línea. Los alumnos deberán escribir por orden los coordenadas de los puntos por los que han ido pasando.

5. • A (14, 21), B (14, 15). Coincide en los tres la primera coordenada, 14. • C (13, 24), D (26, 24). Coincide en los tres la segunda coordenada, 24. 6.

Cálculo mental • 2.263 10.141 11.820 5.755 9.474 15.719 • Sumando 1.000 y restando 2. Sumando 1.000 y restando 4. Sumando 3.000 y restando 3. Sumando 5.000 y restando 5.

39 124603 _ 0068-0085.indd

79

6/7/09

16:40:18

Actividades 7. Piensa y escribe.

1. Escribe con qué tipo de número entero expresarías cada posición.

Objetivos • Repasar los contenidos básicos de la unidad. • Aplicar las Matemáticas en distintos contextos.

Competencias básicas

●

La tercera planta de un edificio.

●

Los números negativos mayores que 24.

●

Una temperatura de 3 ºC bajo cero.

●

●

El nivel del mar.

Los números mayores que 21 y menores que 13.

●

El segundo sótano.

●

●

La altura a la que vuela un avión.

Los números menores que 23 y mayores que 27.

●

La planta baja.

●

La planta 21 de un edificio.

●

Un puerto de montaña que está a 12.000 m.

●

Una temperatura de 28 ºC.

●

Un submarinista que bucea a 260 m.

●

Una temperatura de 110 ºC.

●

La planta 0 de un hotel.

¿Quién está más cerca de la planta baja? ●

Aurora está en el primer aparcamiento subterráneo y David está en el tercero.

●

Antonio está en la cuarta planta y Concha está en el segundo sótano.

¿Dónde hace más calor?

3. Representa en la recta entera los siguientes 0

14

21

12

23

24

11

¿Cómo son los números situados a la izquierda de 0? ¿Y a su derecha?

Soluciones 4.

Número positivo. 13. Número negativo. –3. El número 0. Número negativo. –2. Número positivo. El número 0.

●

En la ciudad A hay 0 ºC y en la ciudad B hay 6 grados bajo cero.

●

En la ciudad C hay 3 grados bajo cero y en la ciudad D hay 3 grados.

●

5. Escribe en cada caso el número mayor y el menor. ●

15, 13

●

●

0, 22

●

12, 22, 21, 11

●

14, 21, 11

●

24, 13, 23, 12, 0

●

23, 12, 24

●

15, 25, 22, 14, 26

23, 0, 14, 25

6. Ordena de menor a mayor los números de cada hoja. 15

13 21 26

22

24 12

14

23 22 0 25

ER

y

¿Quién está más cerca de la superficie del mar?

ESTUDIO EFICAZ. Explica cómo comparas

dos números enteros.

2. • Una planta menos que la planta baja. • Que está a 2.000 m por encima del nivel del mar. • Que hay una temperatura de 8º bajo cero. • Que el submarinista bucea a 60 m de profundidad. • Que hay una temperatura de 10º C. • Que es la planta baja.

11

8. Piensa y contesta.

números y contesta.

1. • • • • • •

Los números anterior y posterior a 0.

●

2. Expresa qué indica cada número entero.

Interacción con el mundo físico Al trabajar el apartado Eres capaz de.... haga ver a sus alumnos que a partir de los conocimientos matemáticos podemos comprender mejor la realidad y resolver problemas que se nos presenten en ella.

10

Sara está en lo alto de un acantilado a 5 m de altura y Luis está haciendo fotos submarinas a 8 m de profundidad.

9. Escribe las coordenadas de los tres puntos de cada recta y contesta. Recta roja

Recta verde

▼

▼

(…, …) (…, …)

(…, …) (…, …)

(…, …)

(…, …)

¿Cómo son las coordenadas de cada punto de la recta roja? ¿Y las de cada punto de la recta verde?

40

3. 24 23

21 0

11 12

14

Los números situados a la izquierda de 0 son números negativos y los situados a su derecha, positivos. 4. R. L. 5. • • • • • • • •

Mayor: 15, menor: 13 Mayor: 0, menor: 2 2 Mayor: 14, menor: 21 Mayor: 12, menor: 24 Mayor: 14, menor: 25 Mayor: 12, menor: 22 Mayor: 13, menor: 24 Mayor: 15, menor: 26

Otras actividades • Proponga a sus alumnos que sobre una hoja cuadriculada, inventen un dibujo sencillo (figura geométrica) sin levantar el lápiz del papel, teniendo todos sus vértices en puntos de la cuadrícula. Después, deben trazar dos ejes de coordenadas. Entregarán la figura a su compañero que averiguará como pintarla y escribirá por orden las coordenadas de los puntos por los que va pasando al trazarla. También puede pedirles después que ordenen de menor a mayor las primeras (o segundas) coordenadas de todos los puntos por los que hayan pasado.

40 124603 _ 0068-0085.indd

80

6/7/09

16:40:18

3 UNIDAD

10. Representa en unos ejes de coordenadas cartesianas los siguientes puntos. A

.

de

o

(13, 24)

D

▶

12. Resuelve. ●

Un submarino está a 250 m bajo el nivel del mar y desciende 100 m más. ¿A qué profundidad se encuentra ahora?

●

Miguel llega al portal de su casa y baja un piso para dejar la bici en el trastero. Después, sube 5 pisos para ir a su casa. ¿En qué piso vive Miguel?

(12, 14)

B

▶

(21, 23)

E

▶

(23, 0)

C

▶

(0, 12)

F

▶

(22, 14)

11. ESTUDIO EFICAZ. Completa las oraciones. ●

Los números enteros pueden ser positivos, … o …

●

En la recta entera, los números enteros negativos están todos situados …

●

De dos números enteros, el menor es el situado más a la … en la recta entera.

●

La segunda coordenada cartesiana de un punto del eje horizontal es siempre …

a

os

▶

●

●

• 26 , 22 , 15 • 24 , 21 , 12 , 13 • 25 , 23 , 22 , 0 , 14

6.

7. • • • •

21, 11 23, 22, 21 0, 11, 12 24, 25, 26

8. • • • • •

Aurora está más cerca. Concha está más cerca. En la ciudad A. En la ciudad D. Sara está más cerca.

Alberto y Jaime están jugando a las cartas. Alberto tenía 15 puntos y en la última baza ha sacado 27 puntos. ¿Cuántos puntos tiene ahora? Jaime tenía 22 puntos y ha sacado 110 puntos. ¿Cuántos tiene ahora? Emilio sacó del congelador un caldo que estaba a 2 grados bajo cero y lo puso a calentar. Quiere que el caldo llegue a 140 ºC. ¿Cuántos grados tiene que subir la temperatura del caldo?

9. Roja: (12, 12), (21, 21), (22,22). Verde: (21, 11), (11, 21), (12, 22).

Comprender un directorio

ERES CAPAZ DE…

• Las dos coordenadas son iguales.

En un gran almacén, las personas suben y bajan varios pisos para visitar las distintas plantas.

• El número de las coordenadas es el mismo pero los signos son contrarios.

En los directorios se indica la planta en la que se encuentra cada sección. Fíjate en que se ha suprimido el signo 1 de los números positivos. ●

3

10.

Averigua cuántos pisos tiene que subir o bajar cada una de las siguientes personas:

D

F C

– Ana está en la planta de señoras y quiere comprar una raqueta de tenis.

E

Directorio 5 4 3 2 1 0 –1 –2 –3

– Pablo está en la planta de caballeros y quiere mirar los equipos de música. – Elsa está en la planta baja y quiere tomarse un refresco. – David ha dejado el coche en el aparcamiento y va a hacer la compra. – Luisa está en la planta de niños y va a mirar los mp3.

Cafetería Deportes Niños y jóvenes Caballeros Señoras Complementos Supermercado Imagen y sonido Aparcamiento

B A

11. • • • • 41

Positivos, negativos o cero. A la izquierda de cero. Izquierda. Cero.

12. • Se encuentra a 350 m de profundidad. • Miguel vive en el 4.º piso. • Alberto tiene 22 puntos. Jaime tiene 8 puntos.

Programa de ESTUDIO EFICAZ

• Tiene que subir 42 grados.

Al terminar la unidad, pida a sus alumnos que completen una tabla como esta: Unidad 3 Números enteros Lo que he aprendido Números enteros Problemas con números enteros

Lo que he aprendido a hacer

Eres capaz de... • • • • •

Ana tiene que subir 3 plantas. Pablo tiene que bajar 4 plantas. Elsa tiene que subir 5 plantas. David tiene que subir 2 plantas. Luisa tiene que bajar 5 plantas.

La recta entera. Comparación de números enteros Coordenadas cartesianas

41 124603 _ 0068-0085.indd

81

6/7/09

16:40:19

Solución de problemas Buscar datos en varios textos o gráficos Objetivos

EJE

Busca los datos necesarios en los textos o el gráfico y resuelve.

1.

• Resolver problemas buscando los datos en textos o gráficos.

AVANZANDO AÑO TRAS AÑO El número de proyectos llevados a cabo por nuestra ONG Mundo común ha crecido mucho. En 2005 se realizaron 75 proyectos, en 2006 72 proyectos, y en 2007, 2008 y 2009 se hicieron 15 proyectos más que el año anterior.

Sugerencias didácticas Para empezar • Muestre a los alumnos por qué obtener información de textos y gráficos es útil a la hora de resolver problemas.

COOPERANTES POR AÑO

La contribución de nuestros socios es esencial. En el año 2005 contábamos con 800 socios que pagaban una cuota de 30 anuales. En cada uno de los años sucesivos, el número de socios aumentó en 25 personas y cada año la cuota fue 8 mayor que el año anterior.

N.º de cooperantes

QUEDA MUCHO POR HACER

Para explicar • Trabaje en común la búsqueda de datos en los textos y el gráfico del ejemplo propuesto. Insista en la necesidad de realizar la lectura y la observación de los mismos con atención. Para reforzar • Resuelva los problemas propuestos en común. Pida a algunos alumnos que indiquen cómo buscan los datos y qué operaciones van a realizar.

2.

220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0

3.

4. 05

06

07

08

09

Año

1. ¿Cuántos proyectos realizó en total la ONG entre 2007 y 2008? ▶ Proyectos realizados en 2008: … Proyectos realizados en total en 2007 y 2008: ...

F

Solución: Realizó …

5.

2. ¿Cuántos proyectos realizó la ONG en 2009?

Competencias básicas

6.

3. ¿Cuántos cooperantes tuvo en total los tres primeros años? ¿Tuvo más o menos que en los dos últimos?

Aprender a aprender Señale a los alumnos que el trabajo que han realizado con gráficos a lo largo de cursos anteriores les capacita para resolver problemas como los propuestos.

4. ¿Cuántos socios tuvo la ONG en el año 2007? ¿Cuánto recaudó en total? 7. 5.

INVENTA. Escribe y resuelve: ●

Un problema en el que uses algunos de los datos de los textos.

●

Un problema en el que uses algunos de los datos del gráfico.

42

Soluciones 1. 72 1 15 1 72 1 15 1 15 5 189. Realizó 189 proyectos en total. 2. 72 1 3 3 15 5 117. Realizó 117 proyectos en 2009. 3. 140 1 160 1 140 5 440 Tuvo 440 cooperantes. 180 1 200 5 380 Tuvo más cooperantes en los tres primeros años. 4. 800 1 25 1 25 5 850 850 3 (30 1 8 1 8) 5 39.100 Tuvo 850 socios y recaudó 39.100 €.

Otras actividades • Pida a sus alumnos que a partir del ejemplo propuesto inventen un texto y un gráfico, y basándose en los datos que aporten, redacten preguntas similares a las de las actividades de la página y que posteriormente las resuelvan. Por ejemplo, en vez de hablar de una ONG puede sugerirles que sea una empresa, un estadio de fútbol, un colegio… Insista en la importancia de redactar el texto y de dibujar el gráfico de forma clara y bien presentada para que pueda ser fácilmente comprendido por otras personas. • También puede pedirles que busquen textos y gráficos en distintos medios de comunicación y planteen preguntas a partir de ellos.

5. R. L.

42 124603 _ 0068-0085.indd

82

6/7/09

16:40:19

3

Repasa

UNIDAD

EJERCICIOS

Soluciones

PROBLEMAS

1. Calcula.

8. En un pueblo hay siete casas; cada casa

●

302.568 1 664.259

●

345 3 726

●

742.053 1 85.067

●

713 3 580

●

899.087 2 123.999

●

8.100 : 36

●

630.120 2 24.986

●

41.109 : 576

2. Calcula. ●

9 : (6 2 3) 2 2

●

3352918

●

8 2 (9 2 7) 3 4

●

20 2 (4 1 2) 3 3

●

1173628

●

5332433

●

728:411

●

9 2 (8 2 6) 2 5

3. ESTUDIO EFICAZ. Explica cuáles son los términos de una potencia y qué significa cada uno de ellos.

tiene siete gatos; cada gato persigue a siete ratones y cada ratón come siete granos de trigo. ¿Cuántos gatos, ratones y granos de trigo hay?

9. Marta compró para su restaurante 35 kg de filetes a 18 el kilo. Más tarde, vio que en otro almacén el kilo era 2 más caro. ¿Cuánto le habría costado la compra en ese almacén? ¿Cuánto se ahorró?

10. Hoy, un cuarto de los 300 visitantes de un museo han sido adultos y el resto niños. Los adultos han pagado 3 cada uno y los niños han entrado gratis. ¿Cuánto se ha recaudado hoy en el museo?

11. Juan tiene 18 canicas, Jorge 7 canicas 4. Expresa como una potencia y escribe cómo se lee. ●

838

●

73737

●

232323232

●

3333333

●

53535353535

y Magdalena 11. Las han juntado todas y las han colocado formando un cuadrado. ¿Cuántas canicas hay en cada lado del cuadrado?

12. El año pasado en un campamento hubo 8 turnos de 125 campistas cada uno. Este año harán 2 turnos más y todos los turnos tendrán 5 campistas más cada uno. ¿Cuántos campistas habrá este año?

5. Escribe y calcula. ● ●

Cinco al cuadrado.

●

Dos a la sexta.

Cuatro al cubo.

●

Tres a la quinta.

de base 10.

300

10.000

5.000

1.000

700.000

1.000.000 20.000.000

7. Escribe la expresión polinómica de cada número. ● ●

3.576

●

206.120

12.093

●

4.150.032

1. • • • • • • • •

966.827 827.120 775.088 605.134 250.470 413.540 c 5 225 c 5 71; r 5 213

2. • • • •

1 0 35 6

• • • •

14 2 3 2

3. Base: número que se repite. Exponente: número de veces que se repite la base. 4. • • • • •

82. Se lee ocho al cuadrado. 73. Se lee siete al cubo. 25. Se lee dos a la quinta. 34. Se lee tres a la cuarta. 56. Se lee cinco a la sexta.

5. • 52 5 25 • 43 5 64

• 26 5 64 • 35 5 125

6. 105, 104, 103, 107 3 3 102, 5 3 103, 7 3 105, 2 3 107

6. Expresa cada número usando una potencia 100.000

3

13. María compró 3 blusas iguales por 51 . Compró también 2 pantalones iguales que costaban cada uno 3 menos que una blusa. ¿Cuánto pagó en total?

43

Repaso en común • Pida a sus alumnos que inventen tres actividades que correspondan a contenidos trabajados en las tres primeras unidades. Si lo estima pertinente, puede darles una guía asignando contenidos a cada alumno o cada grupo. Una vez terminadas, se las entregarán para que usted pueda diseñar un cuadernillo de trabajo que se entregará a todos para reforzar los contenidos aprendidos. Incluya en cada una de las páginas del cuadernillo un pequeño registro de autoevaluación que los alumnos completarán una vez corregidas las actividades. Así serán más conscientes de sus aprendizajes y del nivel de su progreso.

7. • 3 3 103 1 5 3 102 1 1 7 3 10 1 6 • 1 3 104 1 2 3 103 1 1 9 3 10 1 3 • 2 3 105 1 6 3 103 1 1 1 3 102 1 2 3 10 • 4 3 106 1 1 3 105 1 1 5 3 104 1 3 3 10 1 2 8. Gatos: 725 49. Ratones: 73 5 343. Granos de trigo: 74 5 2.401. 9. 35 3 20 – 35 3 18 5 70 Marta se ahorró 70 €. 10. 300 : 4 3 3 5 225 Se han recaudado 225 €. 11. 18 1 7 1 11 5 36; √36 5 6 En cada lado hay 6 canicas. 12. (8 1 2) 3 (125 1 5) 5 1.300 Este año habrá 1.300 campistas. 13. 51 : 3 5 17; 17 – 3 5 14 51 1 2 3 14 5 79 María pagó 79 € en total.

43 124603 _ 0068-0085.indd

83

6/7/09

16:40:19

Tratamiento de la información

3. L

Gráficos lineales de tres características Objetivos • Interpretar y representar gráficos lineales de tres características.

En una pescadería han anotado las ventas semanales de sardina, boquerón y merluza. Están representadas en el siguiente gráfico lineal. Sardina

Sugerencias didácticas

• Trabaje con toda la clase (o pida a los alumnos que lo hagan de manera individual) la representación del gráfico de la actividad 3.

●

Merluza

25

Para empezar • Haga hincapié en la presencia de la información gráfica en nuestra sociedad. Señale algunas de las formas que puede adoptar y que los alumnos ya conocen (gráficos de barras, lineales, pictogramas…). Recuérdeles que ya trabajaron los gráficos lineales en el curso anterior.

Número de kios

¿Qué día se vendieron los mismos kilos de boquerón que de merluza? ¿Cuántos kilos fueron?

Fue el martes. Se vendieron 10 kg de cada tipo de pescado.

20 15

●

10

¿Aumentó o disminuyó la venta de sardina de lunes a jueves?

La venta aumentó. 5 0

L

M

X

J

V

Día

En un gráfico lineal se utilizan puntos y una línea que los une.

4. C

1. Observa el gráfico de arriba y contesta. ●

¿Cuántos kilos de boquerón vendieron el miércoles menos que el lunes?

●

¿Qué pescado se vendió más el jueves? ¿Cuál se vendió menos el miércoles?

●

¿En qué días disminuyó la venta de merluza respecto al día anterior?

2. En el gráfico se han representado los puntos obtenidos por tres amigos en cuatro tiradas con arco consecutivas. Obsérvalo y contesta. 80

Número de puntos

Para explicar • Comente que este tipo de gráficos tiene especial utilidad para representar datos que varían con el tiempo y poder estudiar su tendencia (en qué período bajan, entre qué días suben, cuándo se mantienen constantes los valores…) Indique que cada punto es un valor de una característica y que al unirlos formamos el gráfico. Corrija en común las respuestas a las actividades 1 y 2. Plantee (o pida a los alumnos que lo hagan) otras preguntas para trabajar la interpretación.

Boquerón

70 60

Luis

50

Ana

40

Sergio

30 20 10 0

1ª

2ª

3ª

4ª

Tirada

●

¿Cuántos puntos obtuvo cada uno en la tercera tirada?

●

¿En qué tiradas disminuyó el número de puntos de Luis respecto a la tirada anterior? ¿En qué tirada aumentó?

●

¿Qué tirador mejoró sus resultados con las sucesivas tiradas?

44

• Realice de nuevo actividades de interpretación una vez obtenidos y corregidos los gráficos de las actividades 3 y 4.

Competencias básicas Tratamiento de la información Fomente en los alumnos la valoración de los gráficos como una forma de sintetizar y expresar mucho más claramente la información que con los simples datos numéricos.

44 84 124603 _ 0068-0085.indd

84

6/7/09

16:40:20

3. Lee la información. Luego copia y completa la tabla y el gráfico. María está revisando los postres de cada tipo que ha servido en los últimos meses.

Soluciones

ENERO ▶ 70 flanes, 80 yogures y 90 piezas de fruta.

1. • Vendieron 10 kg menos. • Sardina. Boquerón. • Martes, jueves y viernes.

FEBRERO ▶ 80 flanes, 40 yogures y 90 piezas de fruta. MARZO ▶ 60 flanes, 50 yogures y 90 piezas de fruta. ABRIL ▶ 50 flanes, 60 yogures y 70 piezas de fruta. MAYO ▶ 70 flanes, 60 yogures y 90 piezas de fruta.

2. • Luis: 70. Sergio: 50. Ana: 30. • Disminuyó en las tiradas segunda y cuarta. Aumentó en la tercera tirada. • Sergio.

JUNIO ▶ 80 flanes, 70 yogures y 80 piezas de fruta.

Yogur

Fruta

Enero

70

80

90

Febrero

80

Marzo Abril Mayo Junio

Número de postres

Flan Flan

Yogur

Fruta

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

3.

E

F

M

A

M

J

Flan

Yogur

Fruta

E

70

80

90

F

80

40

90

M

60

50

90

Mes

4. Copia y completa la tabla y el gráfico con los datos del texto. Mónica ha anotado los bolígrafos de cada color que vendió cada día de la semana pasada. LUNES ▶ 12 azules, 10 rojos y 8 verdes.

A

50

60

70

M

70

60

90

J

80

70

80

100 80 60 40 20

MARTES ▶ 10 azules, 6 rojos y 4 verdes. MIÉRCOLES ▶ 8 azules, 6 rojos y 10 verdes. JUEVES ▶ 12 azules, 8 rojos y 6 verdes. VIERNES ▶ 10 azules, 8 rojos y 8 verdes. SÁBADO ▶ 12 azules, 10 rojos y 10 verdes.

E

F

M

A

M

J

gio

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado

Rojos

4.

Verdes

Azules Número de bolígrafos

Azules

Rojos

Azules

Verdes

14 12 10 8 6 4 2 0

L

M

X

J

V

S

Día

Rojos

Verdes

L

12

10

8

M

10

6

4

X

8

6

10

J

12

8

6

V

10

8

8

S

12

10

10

45 12 8 4 L

M

X

J

V

S

85 45 124603 _ 0068-0085.indd 85

9/7/09 12:45:19

4

E

Múltiplos y divisores

Programación Objetivos • Reconocer y obtener múltiplos de un número. • Calcular el mínimo común múltiplo de dos o más números. • Reconocer si un número es divisor de otro.

Contenidos • Múltiplos de un número.

• Reconocer si un número es divisible por 2, 3 o 5.

• Cálculo del mínimo común múltiplo.

• Hallar todos los divisores de un número.

• Divisores de un número.

• Diferenciar números primos y compuestos.

• Criterios de divisibilidad por 2, 3 o 5.

• Calcular el máximo común divisor de dos o más números. • Resolver problemas de m.c.m. y de m.c.d. • Hacer una tabla que recoja los números que cumplen ciertas condiciones, para resolver problemas.

Criterios de evaluación • Reconoce si un número es múltiplo de otro. • Calcula el mínimo común múltiplo de dos o más números. • Reconoce si un número es divisor de otro. • Reconoce si un número es divisible por 2, 3 o 5. • Halla todos los divisores de un número.

R

• Cálculo de todos los divisores de un número.

• • • •

• Números primos y compuestos. • Cálculo del máximo común divisor.

E

• Resolución de problemas de m.c.m. y de m.c.d.

•

•

• Construcción de una tabla cuyos números cumplen ciertas condiciones, para resolver problemas.

• Determina si un número es primo o compuesto. • Calcula el máximo común divisor de dos o más números. • Resuelve problemas de m.c.m. y de m.c.d. • Construye una tabla para resolver problemas.

Competencias básicas

• Interés por conocer las relaciones entre los números. • Valoración de la utilidad de las Matemáticas para resolver cuestiones prácticas en la vida diaria.

Además de desarrollar la Competencia matemática, en esta unidad se contribuye al desarrollo de las siguientes competencias: Interacción con el mundo físico, Competencia social y ciudadana, Aprender a aprender, Tratamiento de la información, Competencia cultural y artística, Autonomía e iniciativa personal y Competencia lingüística.

46 A 124603 _ 0086-0101.indd 86

6/7/09 16:43:34

Esquema de la unidad UNIDAD 4. MÚLTIPLOS Y DIVISORES

Múltiplos de un número

Divisores de un número

Mínimo común múltiplo

Cálculo de todos los divisores de un número

Números primos y compuestos

Criterios de divisibilidad por 2, 3 y 5

Máximo común divisor

Actividades

Eres capaz de...

Solución de problemas

Repasa

Recursos • • • •

Láminas de aula. Material de aula. Cuaderno de práctica. Primer trimestre. Manual de ESTUDIO EFICAZ.

• 100 propuestas para mejorar la competencia matemática. • Refuerzo y ampliación. • Recursos para la evaluación.

Estrategias del programa de ESTUDIO EFICAZ • Reelaborar la información fundamental: actividad 1, pág. 56. • Elaborar esquemas: actividad 3, pág. 59.

Previsión de dificultades • El confundir los conceptos de múltiplo y divisor. Trabaje muchos ejemplos de la relación entre ellos.

Sugerencia de temporalización Septiembre

• Al hallar todos los divisores de un número, olvidar alguno. Insista en el orden al calcular las divisiones y en el reconocimiento de los divisores en los términos de las divisiones exactas.

Octubre

• El cálculo del m.c.m. y del m.c.d. Pida a los alumnos que expliquen los pasos seguidos, para favorecer la sistematización del proceso.

Enero

• La elección del cálculo del m.c.m. o del m.c.d. al resolver un problema. El explicar el enunciado con sus propias palabras puede ayudarles a comprender qué buscan.

Noviembre Diciembre

Febrero Marzo Abril Mayo Junio

46 B 124603 _ 0086-0101.indd 87

6/7/09 16:43:34

4

Múltiplos y divisores

RE

Objetivos • Reconocer situaciones reales donde aparecen múltiplos y divisores de un número. • Recordar conceptos necesarios para el desarrollo de la unidad.

Sugerencias didácticas • Dialogue con los alumnos sobre la fotografía presentada, nombrando ejemplos de situaciones cotidianas donde calculamos multiplicaciones y divisiones para obtener el número de objetos que deseamos. • Lea y realice en común las actividades propuestas. Después, escriba en la pizarra otros ejemplos de productos que se adquieran en grupos de varias unidades y pida a los alumnos que inventen nuevas preguntas para contestar en común. • En Recuerda lo que sabes, repase con los alumnos los dos tipos de divisiones (exacta y entera) y las relaciones que se cumplen entre sus términos. Llame en especial la atención sobre la prueba de la resta y la relación entre la multiplicación y la división exacta.

1.

2.

3.

En los supermercados puedes encontrar dos tipos de productos: los que se venden por unidades y los que solo se venden en cajas, bolsas o paquetes de varias unidades juntas. Estos productos solo los puedes comprar de 2 en 2, de 3 en 3, de 10 en 10… ●

Di 5 productos que se suelan comprar por unidades sueltas y otros 5 productos que se vendan en cajas, bolsas, paquetes… de varias unidades.

●

Observa la fotografía y contesta.

4.

– Si compras 5 packs de zumos, ¿cuántos zumos tendrás? Y si compras 8 cajas de burritos, ¿cuántos burritos tendrás? – ¿Puedes comprar 20 burritos? ¿Cuántos paquetes de burritos son? ¿Puedes comprar 17 burritos? ¿Por qué? – Si necesitas 50 bombones para una fiesta, ¿cuántas cajas de bombones tendrás que comprar? ¿Cuántos te sobrarán?

46

Competencias básicas Interacción con el mundo físico Aproveche el diálogo sobre la situación presentada en la fotografía para que los alumnos tomen conciencia de la necesidad de realizar cálculos matemáticos en muchas actividades cotidianas. Competencia social y ciudadana Comente con los alumnos la importancia de decidir qué necesitamos y queremos antes de comprarlo, fomentando el consumo responsable.

Otras formas de empezar • Muestre una bolsa o una caja y explique que tiene en ella una o varias monedas (o billetes) todos iguales. Plantee con esta situación las siguientes cuestiones, para resolver en común: – En la bolsa hay monedas de 2 €. ¿Cuánto dinero puede haber? – En la bolsa hay billetes de 5 €. En total hay más de 20 € y menos de 80 €. ¿Cuánto dinero puede haber? – En la bolsa hay 46 €. ¿Puede ser en monedas de 2 €? ¿Y en billetes de 10 €? – En la bolsa hay 30 €. ¿En qué monedas puede ser? ¿Y en qué billetes? Cambie después las cantidades de dinero, o el valor de las monedas y billetes, para realizar otros ejercicios similares.

46 124603 _ 0086-0101.indd 88

6/7/09 16:43:34

RECUERDA LO QUE SABES

UNIDAD

División exacta y división entera ●

Soluciones

Una división es exacta si su resto es 0. En una división exacta se cumple que: D=d3c

●

Una división es entera si su resto es distinto de 0. En una división entera se cumple que: r,d

258 18 0

6 43

341 21 5

8 42

258 = 6 3 43

Página inicial

5,8 341 = 8 3 42 1 5

• R. M. Barra de pan, cuaderno, periódico, maceta y raqueta. Galletas, yogures, lápices de colores, pelotas de ping-pong y cromos.

D=d3c1r

• 5 3 3 5 15. Tendré 15 zumos. 8 3 2 5 16. Tendré 16 burritos. 20 : 2 5 10. Sí puedo. Son 10 paquetes. 17 : 2 es entera. No puedo. 50 : 14 ▶ c 5 3, r 5 8 14 3 4 5 56; 56 2 50 5 6 Tengo que comprar 4 cajas y sobrarán 6 bombones.

1. Calcula las siguientes divisiones y haz la prueba. Escribe debajo si es una división exacta o entera. ●

91 : 7

●

569 : 8

●

2.951 : 26

●

82 : 4

●

3.654 : 9

●

3.570 : 35

2. Escribe con los tres números de cada recuadro una multiplicación y dos divisiones. 35 5

9

8

7

20

15

80 4

72

6

90

VAS A APRENDER ●

3. Calcula en cada caso el número que falta. ●

63

5 42

●

3 5 5 90

●

30 3 60 5

●

63 :

59

●

: 4 5 32

●

400 : 25 5

37 36 35

31

A reconocer si un número es divisor de otro, y a obtener todos los divisores de un número.

●

A calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de dos o más números.

32

10 34

33

●

A reconocer si un número es primo o compuesto.

: 30 :1

: 15 : 10

30

:6 :5

:2 :3

A reconocer si un número es múltiplo de otro, y a obtener múltiplos de un número.

●

4. Copia y completa.

30

4

Recuerda lo que sabes 1. c c c c c c

5 5 5 5 5 5

2. • 5 3 7 5 35 35 : 5 5 7 35 : 7 5 5 • 20 3 4 5 80 80 : 4 5 20 80 : 20 5 4 5 5 5 5 5 5

42 : 6 5 7 63 : 9 5 7 90 : 5 5 18 32 3 4 5 128 30 3 60 5 1.800 400 : 25 5 16

4. 10 10 10 10 10 10 10 10

3 3 3 3 3 3 3 3

05 15 25 35 45 55 65 75

Vocabulario de la unidad • Divisor • Ser divisible por • Mínimo común múltiplo (m.c.m.) • Máximo común divisor (m.c.d.) • Número primo y número compuesto

• 8 3 9 5 72 72 : 8 5 9 72 : 9 5 8 • 15 3 6 5 90 • 90 : 6 5 15 • 90 : 15 5 6

3. 47

• Múltiplo

13; r 5 0. Exacta. 20; r 5 2. Entera. 71; r 5 1. Entera. 406; r 5 0. Exacta. 113; r 5 13. Entera. 102; r 5 0. Exacta.

0 10 20 30 40 50 60 70

30 30 30 30 30 30 30 30

: : : : : : : :

30 5 1 1 5 30 2 5 15 3 5 10 556 655 10 5 3 15 5 2

47 124603 _ 0086-0101.indd 89

6/7/09 16:43:35

M

Múltiplos de un número Objetivos

Quique hace una colección de naves extraterrestres que venden en el kiosco. En cada bolsita hay 3 naves. ¿Puede comprar 12 naves? ¿Y 14 naves?

• Hallar múltiplos de un número. • Averiguar si un número es o no múltiplo de un número.

Según el número de bolsitas que compre, Quique puede tener estas naves: N.º de bolsitas N.º de naves

Sugerencias didácticas

Aprender a aprender Haga observar a los alumnos que los múltiplos de 3 hallados coinciden con los primeros números de la tabla del 3. Anímeles así a relacionar los contenidos nuevos que van aprendiendo con conceptos ya conocidos.

2

3

4

5

332 6

333 9

334 12

335 15

Fíjate: ●

Quique puede no comprar ninguna nave o comprar 3, 6, 9, 12, 15… Los números 0, 3, 6, 9, 12, 15… son múltiplos de 3.

●

Quique no puede comprar 14 naves. El número 14 no es múltiplo de 3.

Para comprobar si un número es o no múltiplo de otro, hacemos una división. ¿Es 14 múltiplo de 3?

¿Es 12 múltiplo de 3? 12 0

3 4

14 2

La división es exacta. 12 5 3 3 4

3 4

La división es entera. 14 5 3 3 4 1 2 14 no es múltiplo de 3.

12 sí es múltiplo de 3.

●

Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando dicho número por los números naturales: 0, 1, 2, 3, 4…

●

Un número a es múltiplo de otro b si la división a : b es exacta.

●

Los seis primeros múltiplos de 2. ▶ 0, 2…

●

Los ocho primeros múltiplos de 6.

Los siete primeros múltiplos de 5.

●

Los diez primeros múltiplos de 9.

CÁ

2. Haz la división y contesta. Razona tu respuesta. ●

¿Es 42 múltiplo de 7?

●

¿Es 54 múltiplo de 4?

●

¿Es 156 múltiplo de 12?

●

¿Es 60 múltiplo de 8?

●

¿Es 135 múltiplo de 5?

●

¿Es 378 múltiplo de 16?

Natalia compra las latas de refresco en paquetes de 6. ¿Puede comprar 72 latas? ¿Y 82 latas?

48

Otras actividades

1. • • • •

• Escriba en la pizarra series cuyo criterio de formación sea sumar siempre el mismo número, para que los alumnos las calculen mentalmente y uno de ellos escriba los términos en la pizarra. Repita cada criterio en dos series, una comenzando por un múltiplo del número que se va a sumar y otra en la que no lo sea. Por ejemplo:

2. Sí. 42 : 7 es exacta. No. 60 : 8 es entera. No. 54 : 4 es entera. Sí. 135 : 5 es exacta. Sí. 156 : 12 es exacta. No. 378 : 16 es entera. 3. 72 : 6 es exacta. Sí puede. 82 : 6 es entera. No puede.

Res

3. Resuelve.

Soluciones 0, 2, 4, 6, 8 y 10 0, 5, 10, 15, 20, 25 y 30 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36 y 42 0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 y 81

1.

1. Calcula y explica cómo lo has hecho. ●

Competencias básicas

1 331 3

Quique puede comprar 12 naves, pero no 14.

Para explicar • Comente con los alumnos cómo se halla cuántas naves puede comprar Quique. Explique, a partir de los productos obtenidos, el concepto de múltiplo y recuérdeles que el primer múltiplo siempre es 0. Luego, explique cómo podemos saber si un número es múltiplo o no de otro, según sea la división de ambos exacta o entera. Para reforzar • Relacione la situación planteada con la fotografía de la página inicial y ponga ejemplos de múltiplos con algunos productos nombrados.

0 330 0

– Suma 2 cada vez: 46, 48… – Suma 2 cada vez: 35, 37…

– Suma 5 cada vez: 60, 65… – Suma 5 cada vez: 72, 77…

En cada pareja de series, pregunte a los alumnos si el primer término es múltiplo o no del número que se suma y si creen que el resto de los términos serán o no múltiplos de él, y pídales que lo comprueben.

48 124603 _ 0086-0101.indd 90

6/7/09 16:43:35

4

Mínimo común múltiplo

UNIDAD

Objetivos

Ángela compra siempre los zumos en paquetes de 2 y los batidos en paquetes de 3. Hoy ha comprado el mismo número de zumos que de batidos y el menor número posible de ellos. ¿Cuántos zumos y cuántos batidos ha comprado hoy? ●

Compra paquetes de 2 zumos y de 3 batidos. 1.º Calcula los primeros múltiplos de cada número.

●

Compra tantos zumos como batidos. 2.º Busca los múltiplos comunes de ambos números.

●

Compra el menor número posible de zumos y de batidos. 3.º Busca el menor múltiplo común, distinto de cero.

▶ ▶

▶

• Calcular el mínimo común múltiplo de dos o más números. • Resolver problemas de m.c.m.

Múltiplos de 2 ▶ 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12… Múltiplos de 3 ▶ 0, 3, 6, 9, 12, 15…

Sugerencias didácticas

Múltiplos comunes ▶ 0, 6, 12…

Para explicar • Trabaje con los alumnos el problema frase a frase, razonando su significado y el cálculo matemático que deben realizar. Escriba en la pizarra los múltiplos de ambos números, rodee los comunes y pida a los alumnos que busquen el menor multiplo distinto de cero. Explique que este es el mínimo común múltiplo de 2 y 3 y escríbalo de forma abreviada.

El menor distinto de cero ▶ 6

Ángela ha comprado hoy 6 zumos y 6 batidos.

Este número se llama mínimo común múltiplo de 2 y 3, y se escribe m.c.m. (2 y 3). El mínimo común múltiplo de 2 y 3 es 6. ▶ m.c.m. (2 y 3) 5 6

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor múltiplo común, distinto de cero, de dichos números.

1. Calcula y explica cómo lo has hecho.

2. Resuelve.

●

Los ocho primeros múltiplos de 4 y de 6. Los múltiplos comunes de 4 y 6. El mínimo común múltiplo de 4 y 6.

●

m.c.m. (2 y 5)

●

m.c.m. (8 y 10)

m.c.m. (3 y 9)

●

m.c.m. (9 y 12)

●

Fran y Raquel van a patinar a la misma pista. Fran va cada 4 días y Raquel, cada 5 días. Hoy han ido los dos. ¿Dentro de cuántos días volverán a coincidir por primera vez en la pista de patinaje?

CÁLCULO MENTAL Resta 1.001, 2.001, 3.001... 2 2.001

3.875

2 2.000

1.875

21

1.874

3.256 2 1.001

4.513 2 4.001

7.998 2 6.001

5.748 2 3.001

7.912 2 5.001

9.031 2 8.001

●

¿Cómo restarías 1.002? ¿Y 1.003? ¿Y 1.004?

●

¿Cómo restarías 4.002? ¿Y 5.003?

Otras actividades • Proponga a los alumnos actividades de cálculo del m.c.m. de tres o más números. Señale que el proceso a seguir es el mismo que ya conocen para dos números: 1.º Escribir los primeros múltiplos de cada número. 2.º Seleccionar los múltiplos comunes a todos ellos. 3.º Elegir el menor múltiplo común distinto de cero.

m.c.m. (6, 10 y 12) m.c.m. (10, 20 y 50)

Para reforzar • Aproveche la estrategia sobre releer y explicar un procedimiento que aparece en la página 54 del manual de ESTUDIO EFICAZ, y escriba en la pizarra el título del epígrafe de esta página para que los alumnos, señalando las palabras de derecha a izquierda, expliquen los tres pasos trabajados.

Soluciones 49

Por ejemplo: m.c.m. (2, 3 y 5) m.c.m. (4, 6 y 9)

4

1. • 4 ▶ 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24 y 28 6 ▶ 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36 y 42 Comunes: 0, 12 y 24 m.c.m. (4 y 6) 5 12 • m.c.m. (2 y 5) 5 10 • m.c.m. (3 y 9) 5 9 • m.c.m. (8 y 10) 5 40 • m.c.m. (9 y 12) 5 36 2. m.c.m. (4 y 5) 5 20. Volverán a coincidir dentro de 20 días.

Cálculo mental • 2.255 512 1.997 2.747 2.911 1.030 • Primero resto 1.000 y después 2, 3 o 4, respectivamente. • Resto 4.000 y después 2. Resto 5.000 y después 3.

49 124603 _ 0086-0101.indd 91

6/7/09 16:43:36

C

Divisores de un número Objetivos

Marta va a pegar 21 fotografías en su álbum. Quiere poner en cada hoja el mismo número de fotos y que no le sobre ninguna. ¿Puede poner 3 fotos en cada hoja? ¿Y 4 fotos?

• Reconocer si un número es o no divisor de otro. • Reconocer y aplicar la relación múltiplo-divisor.

●

21 0

Sugerencias didácticas

●

Para explicar • Resuelva en común el problema y, a partir de la solución, explique el concepto de divisor. • Muestre que, en una división exacta, tanto el divisor como el cociente son divisores del dividendo y este es múltiplo de ambos. Verbalice siempre las dos relaciones: … es múltiplo de … y … es divisor de …

Competencias básicas

Si pone 3 fotos en cada hoja: 3 7

No le sobra ninguna foto. La división es exacta.

▶

Sí puede poner 3 fotos en cada hoja. El número 3 es divisor de 21.

▶

No puede poner 4 fotos en cada hoja. El número 4 no es divisor de 21.

Si pone 4 fotos en cada hoja: 21 1

4 5

Le sobra 1 foto. La división es entera.

Fíjate: 21 es múltiplo de 3. 3 es divisor de 21.

La división 21 : 3 es exacta.

●

Un número b es divisor de otro a si la división a : b es exacta.

●

Si b es divisor de a, a es múltiplo de b, y si a es múltiplo de b, b es divisor de a.

1. 1. Haz cada división y contesta. Razona tu respuesta. ●

¿Es 6 divisor de 46?

●

¿Es 5 divisor de 80?

●

¿Es 17 divisor de 544?

●

¿Es 9 divisor de 72?

●

¿Es 8 divisor de 186?

●

¿Es 24 divisor de 456?

2. Observa los términos de cada división exacta y completa.

Tratamiento de la información Insista en la relación múltiplo-divisor, comentando que la expresión de una relación entre dos números nos informa también de la relación inversa.

2.

30 : 5 5 6

56 : 8 5 7

28 : 7 5 4

45 : 9 5 5

30 es … de 5. 5 es … de 30.

56 es … de 8. 8 es … de 56.

… es múltiplo de … … es divisor de …

… es múltiplo de … … es divisor de …

54 : 6 5 9 y 54 : 9 5 6

▶

3.

… es múltiplo de … y de … … y … son divisores de …

3. Resuelve.

Soluciones 1. No. 46 : 6 es entera. Sí. 72 : 9 es exacta. Sí. 80 : 5 es exacta. No. 186 : 8 es entera. Sí. 544 : 17 es exacta. Sí. 456 : 24 es exacta. 2. • 30 es múltiplo de 5. 5 es divisor de 30. • 56 es múltiplo de 8. 8 es divisor de 56. • 28 es múltiplo de 7. 7 es divisor de 28. • 45 es múltiplo de 9. 9 es divisor de 45. • 54 es múltiplo de 6 y de 9. 6 y 9 son divisores de 54.

4.

Rafa ha hecho 40 croquetas. ¿Puede repartirlas en partes iguales en 8 platos sin que le sobre ninguna? ¿Y en 9 platos?

50

Otras actividades • Pida a los alumnos que completen las siguientes frases, para trabajar la relación múltiplo-divisor: – El número 20 (24, 30, 42…) es múltiplo de … – El número 3 (4, 5, 10…) es divisor de … Razone con ellos que para completar las frases del primer tipo, han hallado un divisor del número dado, y que para completar las frases del segundo tipo han calculado un múltiplo del número.

3. • 40 : 8 5 5. Sí puede repartirlas en 8 platos. • 40 : 9 es entera. No puede repartirlas en 9 platos.

50 124603 _ 0086-0101.indd 92

6/7/09 16:43:36

4

Criterios de divisibilidad por 2, 3 y 5 Jorge quiere saber si los números 42 y 65 son divisibles por 2, 3 o 5, es decir, si 42 y 65 son múltiplos de 2, de 3 o de 5. Puede hacer la división pero, en estos casos, es más fácil aplicar estas reglas. ●

▶

sí es par

●

Para explicar • Comente que los criterios de divisibilidad solo son reglas que facilitan el cálculo. Explique los tres y ponga varios ejemplos para resolver colectivamente.

no es par

Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3. 42 ▶ 42 sí es divisible por 3.

65 ▶ 65 no es divisible por 3.

4 1 2 5 6; 6 sí es múltiplo de 3

6 1 5 5 11; 11 no es múltiplo de 3

Un número es divisible por 5 si su última cifra es 0 o 5. 42 ▶ 42 no es divisible por 5.

65 ▶ 65 sí es divisible por 5.

no es 0 ni 5

sí es 5

• Lea el bocadillo de la ilustración y explique que las tres expresiones indican lo mismo. Trabájelas con distintos números.

1. Escribe y comprueba. 4? 6?

●

Escribe diez múltiplos de 2. ¿Son pares todos los números que obtienes?

●

Escribe diez múltiplos de 3. Suma las cifras de cada número. ¿Es siempre la suma un múltiplo de 3?

●

Escribe diez múltiplos de 5. ¿Terminan todos los números en 0 o en 5?

Para reforzar • Aproveche los ejemplos de inferencias que aparecen en la página 12 del manual de ESTUDIO EFICAZ y plantee la actividad 3 para que los alumnos descubran y verbalicen el criterio de divisibilidad por 10.

2. Observa los números del recuadro y contesta. Explica por qué. 45 70

81 125

… …

52 94 231

●

¿Qué números son múltiplos de 2?

●

¿Qué números son divisibles por 3?

●

¿De qué números es 5 un divisor?

3. Calcula y contesta.

Soluciones

Escribe los doce primeros múltiplos de 10 y subraya la última cifra de cada uno. ¿Cómo puedes saber si un número es múltiplo de 10?

4. RAZONAMIENTO. Piensa y contesta. Pon un ejemplo que explique cada respuesta. ●

¿Es 0 múltiplo de todos los números?

●

¿Es 1 divisor de todos los números?

●

¿Es cualquier número múltiplo de sí mismo?

●

¿Es cualquier número divisor de sí mismo?

51

Otras actividades • Plantee a los alumnos la siguiente pregunta para que razonen y expliquen la respuesta: El número 2 es un número primo. ¿Existe otro número par que sea primo? ¿Por qué? • Plantee a los alumnos las siguientes preguntas para que descubran el criterio de divisibilidad por 6. Después, pídales que escriban los números 42, 54, 60, 87, 96, 108… y lo comprueben. – El número 6 es divisible por 2 y también es divisible por 3. – ¿Serán todos los múltiplos de 6 divisibles por 2 y también por 3? – ¿Podemos afirmar que si un número es divisible por 2 y por 3, también es divisible por 6?

• Reconocer si un número es divisible por 2, por 3 o por 5.

Sugerencias didácticas

65 ▶ 65 no es divisible por 2.

42 sí es divisible por 2.

4

Objetivos 6 es múltiplo de 2. 6 es divisible por 2. 2 es divisor de 6.

Un número es divisible por 2 si es un número par. 42

●

UNIDAD

1. • 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20. Sí, todos los números son pares. • 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30. Sí, la suma de las cifras es un múltiplo de 3. • 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50. Sí, todos los números terminan en 0 o en 5. 2. • Son múltiplos de 2: 52, 70 y 94, porque son pares. • Son divisibles por 3: 45, 81 y 231, porque la suma de sus cifras es un múltiplo de 3. • 5 es un divisor de: 45, 70 y 125, porque terminan en 0 o en 5. 3. • 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110. Un número es múltiplo de 10 si su última cifra es 0. 4. • • • •

Sí. 0 5 a 3 0 Sí. a 5 a 3 1 Sí. a : 1 5 a Sí. a : a 5 1

51 124603 _ 0086-0101.indd 93

6/7/09 16:43:36

Cálculo de todos los divisores de un número Objetivos

N

Roberto tiene 8 f lores para colocar en jarrones. Quiere poner en cada jarrón el mismo número de f lores y que no le sobre ninguna. ¿Cuántas f lores puede poner en cada jarrón?

• Calcular todos los divisores de un número.

Calcula todos los divisores de 8 de la siguiente manera:

Sugerencias didácticas

1.º Divide 8 entre los números naturales: 1, 2, 3… De cada división exacta, obtienes dos divisores: el divisor y el cociente.

Para explicar • Lea el problema propuesto y resuélvalo en la pizarra como aplicación del concepto de divisor trabajado en la página 50. Haga especial hincapié en el orden para no olvidar ninguno y en la obtención de dos divisores de cada división exacta.

2.º Deja de dividir cuando el cociente sea igual o menor que el divisor.

8 0 Divisores:

1 8

8 0

2 4

8 2

3 2

▼

▼

▼

1y8

2y4

no

→ 2 , 3, deja de dividir.

Los divisores de 8 son: 1, 2, 4 y 8. Puede poner 1, 2, 4 u 8 f lores en cada jarrón.

1.

1. Calcula todos los divisores de cada número. Explica cómo lo haces.

Competencias básicas Competencia cultural y artística Ponga ejemplos de ocasiones en las que la obtención de los divisores de un número es útil para presentar de forma ordenada y estética el resultado de nuestro trabajo.

● ●

De 6: 1, 2, 3 y 6. De 7: 1 y 7. De 9: 1, 3 y 9. De 10: 1, 2, 5 y 10. De 12: 1, 2, 3, 4, 6 y 12. De 15: 1, 3, 5 y 15. De 17: 1 y 17. De 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. • De 35: 1, 5, 7 y 35. • De 42: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 y 42.

2. • Divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30. En cada bolsita puede poner 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 o 30 caramelos. • Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20. Cada grupo puede ser de 1, 2, 4, 5, 10 o 20 alumnos. • Divisores de 27: 1, 3, 9 y 27. En cada paquete pueden poner 1, 3, 9 o 27 libros.

●

De 7

●

De 9

●

De 10

●

De 12

●

De 15

●

De 17

●

De 35

De 24

●

De 42

2.

2. Resuelve. ●

Eva tiene 30 caramelos. Los quiere repartir en bolsitas, todas con el mismo número de caramelos, de forma que no le sobre ninguno. ¿Cuántos caramelos puede poner en cada bolsita?

●

El profesor de Javier quiere hacer equipos con los 20 alumnos que hay en la clase, todos con el mismo número de niños y sin que quede ninguno solo. ¿De cuántos alumnos puede formar cada grupo?

●

En una biblioteca quieren hacer paquetes con 27 libros, de manera que haya el mismo número de libros en cada paquete y no sobre ningún libro. ¿Cuántos libros pueden poner en cada paquete?

Soluciones 1. • • • • • • • •

De 6

CÁ

Res

3. Piensa y contesta. ●

¿Puedes escribir todos los múltiplos de un número? ¿Y todos los divisores de un número?

●

¿Cuántos divisores tiene como mínimo un número? ¿Cuáles son?

52

Otras actividades • Comente a los alumnos que en la antigüedad los griegos fueron grandes aficionados a los números y que descubrieron muchas curiosidades sobre ellos. Por ejemplo, sumaban todos los divisores de un número menos él mismo. Si sumaban más que el número decían que ese número era «abundante»; si sumaban menos, decían que era «deficiente», y si sumaban igual, era «perfecto». Escriba en la pizarra los números 12, 10 y 6 y compruebe en común que son un número abundante, uno deficiente y uno perfecto, respectivamente. Después, anímelos a que busquen otros ejemplos de cada tipo de número.

3. • No. Sí. • Dos divisores: 1 y él mismo.

52 124603 _ 0086-0101.indd 94

6/7/09 16:43:36

o

4

Números primos y compuestos

UNIDAD

Objetivos

Marcos tiene 13 cartas y Rocío, 14. Cada uno quiere repartir sus cartas en montones, de forma que cada montón tenga el mismo número de cartas y no sobre ninguna. ¿Cuántas cartas puede poner Marcos en cada montón? ¿Y Rocío?

• Reconocer si un número es primo o compuesto.

Calcula los divisores de 13.

Calcula los divisores de 14.

Divisores de 13 ▶ 1 y 13

Divisores de 14 ▶ 1, 2, 7 y 14

Marcos solo puede hacer los montones de dos formas: poniendo 1 o 13 cartas en cada montón.

Rocío puede hacer los montones de cuatro formas distintas: poniendo 1, 2, 7 o 14 cartas en cada montón.

El número 13 solo tiene dos divisores. Por eso se llama número primo.

El número 14 tiene más de dos divisores. Por eso se llama número compuesto.

Sugerencias didácticas Para explicar • Lea el problema propuesto y calcule en común los divisores de cada número. Indique, con los números 13 y 14, cuándo un número es primo o compuesto y ponga otros ejemplos para clasificar colectivamente.

Un número es primo si solo tiene dos divisores: 1 y él mismo. Un número es compuesto si tiene más de dos divisores.

• Comente que todo número es primo o compuesto porque todo número tiene como mínimo los divisores 1 y él mismo.

1. Calcula todos los divisores de cada número e indica si es primo o compuesto. 8

10

12

17

21

23

24

25

29

2. Escribe los números del 2 al 30 y sigue estos pasos para hallar los que son primos.

2

3

4

5

6

1.º El 2 es primo, rodéalo. Desde 2, cuenta de 2 en 2 y tacha los múltiplos de 2.

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

2.º El 3 es primo, rodéalo. Desde 3, cuenta de 3 en 3 y tacha los múltiplos de 3 que no estén ya tachados. 3.º El 5 es primo, rodéalo. Desde 5, cuenta de 5 en 5 y tacha los múltiplos de 5 que no estén ya tachados.

4

• En la actividad 2 se realiza la criba de Eratóstenes, para obtener los primeros números primos. Anime a los alumnos a fijarse en ellos pues les resultará muy práctico al trabajar contenidos posteriores.

4.º Los números no tachados son primos. Rodéalos.

CÁLCULO MENTAL

Soluciones

Resta 999, 1.999, 2.999... 2 1.999

3.875

2 2.000

1.875

11

1.876

2.417 2 999

6.268 2 3.999

8.145 2 6.999

5.832 2 2.999

8.613 2 4.999

9.279 2 7.999

●

¿Cómo restarías 998? ¿Y 997? ¿Y 996?

●

¿Cómo restarías 1.998? ¿Y 2.997?

53

Otras actividades • Explique los pasos para escribir un número en forma de producto de números primos; por ejemplo, el número 30: 1.º Divide el número entre un número primo, empezando por 2 hasta que la división sea exacta. 2.º Toma el cociente obtenido como dividendo y repite el 1.er paso, empezando con el mismo divisor que el de la última división. 3.º Repite el 2.º paso hasta que el cociente sea 1. 4.º Escribe el número como un producto en el que los factores son los divisores de las divisiones exactas. 30 : 2 5 15 ▶ 15 : 2 15 : 3 5 5 ▶ 5 : 3 5 : 5 5 1 ▶ 30 5 2 3 3 3 5

1. • 8 ▶ 1, 2, 4 y 8. Compuesto. • 10 ▶ 1, 2, 5 y 10. Compuesto. • 12 ▶ 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Compuesto. • 17 ▶ 1 y 17. Primo. • 21 ▶ 1, 3, 7 y 21. Compuesto. • 23 ▶ 1 y 23. Primo. • 24 ▶ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. Compuesto. • 25 ▶ 1, 5 y 25. Compuesto. • 29 ▶ 1 y 29. Primo. 2. • Los números primos del 2 al 30 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29.

Cálculo mental • 1.418 2.269 1.146 2.833 3.614 1.280 • Resto 1.000 y después sumo 2, 3 o 4, respectivamente. • Resto 2.000 y sumo 2. Resto 3.000 y sumo 3.

53 124603 _ 0086-0101.indd 95

6/7/09 16:43:37

Máximo común divisor Objetivos

Para hacer un juego con tarjetas, Alex quiere cortar una cartulina de 16 cm de largo y 12 cm de ancho en cuadrados iguales, de forma que sean lo más grandes posible y que no le sobre ningún trozo de cartulina. ¿Cuánto medirá el lado de cada cuadrado?

• Calcular el máximo común divisor de dos o más números. • Resolver problemas de m.c.d.

●

Sugerencias didácticas

No quiere que le sobre ningún trozo de cartulina, ni de largo ni de ancho. 1.º Calcula los divisores de cada número.

Para empezar • Escriba en la pizarra «mínimo común múltiplo de dos números» y recuerde que es el menor de los múltiplos comunes de ambos números, sin contar el cero. A continuación, escriba debajo «máximo común divisor de dos números» y anime a los alumnos a definirlo de manera similar: es el mayor de los divisores comunes de ambos números. Para explicar • Explique y trabaje el máximo común divisor de forma similar a como se hizo con el mínimo común múltiplo. Comente colectivamente el enunciado, frase a frase, y escriba en la pizarra los divisores de ambos números, rodee aquellos divisores que son comunes y pida a los alumnos que busquen el divisor mayor.

4.

●

Quiere hacer cuadrados, por lo que el largo tiene que ser igual que el ancho. Quiere hacer cuadrados lo más grandes posible. 3.º Busca el mayor de los divisores comunes.

▶ ▶

1, 2, 4, 8 y 16 1, 2, 3, 4, 6 y 12

▶ Divisores comunes

2.º Busca los divisores comunes de ambos números. ●

Divisores de 16 ▶ Divisores de 12

▶

1, 2 y 4

▶ El mayor divisor común

▶

4

5.

El lado de cada cuadrado medirá 4 cm.

Este número se llama máximo común divisor de 16 y 12, y se escribe m.c.d. (16 y 12). El máximo común divisor de 16 y 12 es 4. ▶ m.c.d. (16 y 12) 5 4

El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor divisor común de dichos números.

1. Calcula y explica cómo lo has hecho. ●

Los divisores de 20 y de 30. Los divisores comunes de 20 y 30. El máximo común divisor de 20 y 30.

●

m.c.d. (4 y 12)

●

m.c.d. (18 y 27)

●

m.c.d. (9 y 14)

●

m.c.d. (24 y 32)

2. Resuelve. Laura tiene una cuerda roja de 6 m y otra azul de 8 m. Quiere cortarlas en trozos, todos de la misma longitud y lo más largos posible, de manera que no le sobre ningún trozo de cuerda. ¿Cuánto medirá cada trozo de cuerda?

6.

3. Calcula el m.c.m. y el m.c.d. de cada pareja de números. RECUERDA

10 y 15

m.c.m. ▶ menor múltiplo común distinto de 0. m.c.d.

▶

mayor divisor común.

m.c.m. (10 y 15) 5 … m.c.d. (10 y 15) 5 … m.c.m. (12 y 20) 5 …

12 y 20

m.c.d. (12 y 20) 5 …

Competencias básicas Autonomía e iniciativa personal Al trabajar los problemas propuestos fomente en los alumnos la lectura comprensiva y la iniciativa para elegir el cálculo del m.c.m. o el m.c.d., así como la autonomía en el procedimiento a seguir. Competencia lingüística Fomente en los alumnos la expresión oral, pidiéndoles que expliquen con sus palabras el enunciado de cada problema, justifiquen la elección del cálculo realizado y expliquen el procedimiento de resolución de forma ordenada y utilizando con rigor el vocabulario matemático correspondiente.

54

Otras actividades • Proponga a los alumnos actividades de cálculo del m.c.d. de tres o más números. Señale que el proceso que deben seguir es el mismo que ya conocen para dos números: 1.º Determinar todos los divisores de cada número. 2.º Seleccionar los divisores comunes a todos ellos. 3.º Elegir el mayor divisor común. Por ejemplo: m.c.d. (4, 6 y 10) m.c.d. (12, 30 y 45)

m.c.d. (18, 30 y 50) m.c.d. (24, 30 y 42)

54 124603 _ 0086-0101.indd 96

6/7/09 16:43:37

4 4. Piensa si tienes que calcular el m.c.m. o el m.c.d. y resuelve. ●

Toma las medicinas cada 8 o 12 horas. ¿Calculo múltiplos o divisores?

●

UNIDAD

Luis está enfermo. El médico le ha mandado tomar un jarabe cada 8 horas y una pastilla cada 12 horas. Acaba de tomar las dos medicinas juntas. ¿Dentro de cuántas horas volverá a tomar por primera vez las dos medicinas juntas?

Soluciones 1. • De 20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20 De 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30 Comunes: 1, 2, 5 y 10 m.c.d. (20 y 30) 5 10 • m.c.d. (4 y 12) 5 4 • m.c.d. (9 y 14) 5 1 • m.c.d. (18 y 27) 5 9 • m.c.d. (24 y 32) 5 8

Preguntan por la primera vez que coinciden. ¿Calculo el máximo o el mínimo?

En una frutería tienen 20 kg de peras y 16 kg de manzanas. Preparan unas cajas con manzanas y otras con peras, todas del mismo peso, lo más grandes posible y sin que sobre fruta. ¿Cuánto pesa cada caja? – Cajas iguales sin que sobre fruta. ▶ ¿Calculo múltiplos o divisores? – Las cajas son lo más grandes posible. ▶ ¿Calculo el máximo o el mínimo?

2. • m.c.d. (6 y 8) 5 2 Cada trozo medirá 2 m.

5. Calcula el m.c.m. o el m.c.d. y contesta. ●

4

●

Óscar tiene un bidón con 10 litros de agua y otro con 8 litros de naranjada. Echa el líquido de cada bidón en varias botellas, todas iguales, y no le sobra nada de agua ni de naranjada en los bidones. ¿Qué capacidad tendrán, como máximo, las botellas?

En un juego de ordenador, Tomás dispara a los globos rojos, que valen 6 puntos, y Nieves a los globos azules, que valen 4 puntos. Los dos niños han obtenido al final la misma puntuación. ¿Cuál es el menor número de puntos que han podido sacar?

3. • m.c.m. (10 y 15) 5 30 m.c.d. (10 y 15) 5 5 • m.c.m. (12 y 20) 5 60 m.c.d. (12 y 20) 5 4 4. • m.c.m. (8 y 12) 5 24 Dentro de 24 horas. • m.c.d. (20 y 16) 5 4 Cada caja pesa 4 kg.

●

o

Maite ha regado hoy los geranios y los cactus de la terraza. Riega los geranios cada 3 días y los cactus cada 9 días. ¿Cuántos días tienen que pasar como mínimo hasta que Maite vuelva a regar las dos plantas el mismo día?

6. RAZONAMIENTO. Calcula y completa. Después, contesta.

●

20 es … de 4

6 es … de 18

m.c.d. (20 y 4) 5 …

m.c.d. (6 y 18) 5 …

m.c.m. (20 y 4) 5 …

m.c.m. (6 y 18) 5 …

Si un número es múltiplo o divisor

otro, ¿cuál es el m.c.d. de ambos ▶ denúmeros? ¿Y el m.c.m.?

Pon tres ejemplos de un número múltiplo de otro y comprueba tu respuesta.

55

Otras actividades • Escriba en la pizarra los números 10 y 21 e indique a los alumnos que calculen los divisores de cada número y rodeen los comunes. Divisores de 10: 1 , 2, 5 y 10

Divisores de 21: 1 , 3, 7 y 21

Comente que el número 10 no es primo y el número 21 tampoco, pero solo tienen en común el divisor 1. Explique que a estos números se les llama primos entre sí (sean o no primos).

5. • m.c.d. (8 y 10) 5 2 Las botellas tendrán, como máximo, 2 litros de capacidad. • m.c.m. (6 y 4) 5 12 El menor número de puntos que han podido sacar es 12. • m.c.m. (3 y 9) 5 9 Como mínimo tienen que pasar 9 días. 6. • 20 es múltiplo de 4. m.c.d. (20 y 4) 5 4 m.c.m. (20 y 4) 5 20 • 6 es divisor de 18. m.c.d. (6 y 18) 5 6 m.c.m. (6 y 18) 5 18 Si un número es múltiplo o divisor de otro, el m.c.d. de ambos es el divisor y el m.c.m. es el múltiplo. • R.L. Compruebe en común algunos de los ejemplos aportados.

A continuación, escriba en la pizarra varias parejas de números, por ejemplo: 6 y 7, 9 y 15, 5 y 11, 8 y 25… Pídales que averigüen en cada caso si son o no primos entre sí y, después, calculen el m.c.d. y el m.c.m. de cada pareja. Hágales observar que el m.c.d. es siempre 1 y el m.c.m. es el producto de ambos.

55 124603 _ 0086-0101.indd 97

6/7/09 16:43:37

Actividades 1. ESTUDIO EFICAZ. Explica qué son el m.c.m. y el m.c.d., y cómo se hallan.

Objetivos • Repasar los contenidos básicos de la unidad.

Aprender a aprender La resolución de estas actividades favorece en el alumno la capacidad de autoevaluar sus progresos en el aprendizaje, potenciando la responsabilidad y el afán de superación.

●

2. Escribe los diez primeros múltiplos de cada 6

15

12 ●

m.c.m. (8 y 12)

m.c.d. (8, 12 y 16) 5 …

●

m.c.m. (6 y 10)

●

m.c.m. (12 y 15)

m.c.d. (15, 18 y 24) 5 …

8. Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de cada pareja

3. Calcula y contesta. ●

¿Es 138 múltiplo de 6? ¿Y de 8?

●

¿Es 8 divisor de 132? ¿Y de 216?

3. • • • • •

Sí. No. No. Sí. Sí. Sí. No.

(6 y 8) 5 24 (6 y 10) 5 30 (8 y 12) 5 24 (12 y 15) 5 60

de números primos. Después, contesta. 2y3

¿Es 96 divisible por 2?

●

¿Es 174 divisible por 3?

●

¿Es 381 divisible por 5?

19

36

28

●

¿Cuáles de estos números son números primos? ¿Por qué?

●

¿Cuáles de estos números son números compuestos? ¿Por qué?

5. Halla todos los divisores y calcula. ● ●

m.c.d. (12 y 15)

●

m.c.d. (16 y 40)

m.c.d. (30 y 50)

●

m.c.d. (48 y 72)

8 es múltiplo de 2. ●

¿Son todos los múltiplos de 8 también múltiplos de 2?

●

¿Son todos los múltiplos de 2 también múltiplos de 8? 6 es divisor de 12.

●

¿Son todos los divisores de 6 también divisores de 12?

●

¿Son todos los divisores de 12 también divisores de 6?

10. Averigua y escribe. ●

Los números menores que 70 que son múltiplos de 3 y de 5.

●

Los divisores de 24 que no son divisores de 8.

●

Un número mayor que 20 y menor que 30. Dos de sus divisores son 2 y 3.

●

Un número mayor que 10 y menor que 40. Es múltiplo de 6. No es múltiplo de 4 ni de 9.

6. Completa. 3 y 18

3 y 11

9. Piensa y contesta.

4. Halla todos los divisores de cada número.

23

5y7

4 y 32

… es múltiplo de …

… es divisor de …

m.c.d. (3 y 18) 5 …

m.c.d. (4 y 32) 5 …

m.c.m. (3 y 18) 5 …

m.c.m. (4 y 32) 5 …

56

4. • 18 ▶ 1, 2, 3, 6, 9 y 18 19 ▶ 1 y 19 23 ▶ 1 y 23 28 ▶ 1, 2, 4, 7, 14 y 28 36 ▶ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36 • Son primos los números 19 y 23, porque solo tienen dos divisores: el 1 y ellos mismos. • Son compuestos los números 18, 28 y 36, porque tienen más de dos divisores. 5. • • • •

m.c.d. m.c.d. m.c.d. m.c.d.

(12 (30 (16 (48

y y y y

15) 5 50) 5 40) 5 72) 5

3 10 8 24

Otras actividades • Indique a los alumnos que escriban en una hoja los diez primeros múltiplos de los números 3, 4, 6 y 8, y en otra hoja todos los divisores de los números 10, 12, 15 y 20. Después, pídales que, mirando la hoja correspondiente, digan cuál es el m.c.m. y el m.c.d. de cada pareja y de cada trío de números. El m.c.m. de: 3y4 3y6 3y8

4y6 4y8 6y8

3, 4 y 6 3, 4 y 8 3, 6 y 8 4, 6 y 8

El m.c.d. de: 10 y 12 10 y 15 10 y 20

12 y 15 12 y 20 15 y 20

10, 12 y 15 10, 12 y 20 10, 15 y 20 12, 15 y 20

56 124603 _ 0086-0101.indd 98

12

¿Cuál es el m.c.d. de dos números primos? ¿Y el m.c.m.?

●

Soluciones

m.c.m. m.c.m. m.c.m. m.c.m.

El máximo común divisor de tres números es …

m.c.m. (6 y 8)

18

2. • • • •

●

●

Después, contesta.

1. • El m.c.m. de dos o más números es el menor múltiplo común, distinto de cero, de dichos números. • El m.c.d. de dos o más números es el mayor divisor común de dichos números.

El mínimo común múltiplo de tres números es … m.c.m. (2, 4 y 5) 5 …

10

8

11

m.c.m. (3, 6 y 8) 5 …

número. Después, calcula.

• Aplicar las Matemáticas en distintos contextos.

Competencias básicas

7. Completa y calcula.

6/7/09 16:43:37

ER

A

ja

4 UNIDAD

11. Observa cuántas unidades tiene cada paquete y contesta.

3 cromos

●

Luis quiere repartir 28 bolígrafos azules y 20 rojos en botes, de manera que en cada bote haya el mismo número de bolígrafos, todos del mismo color, y que no sobre ninguno. ¿Cuántos bolígrafos como máximo puede meter en cada bote?

●

De una estación salen dos líneas de autocares. Los autocares de la línea A salen cada 4 horas y los de la línea B cada 6 horas. A las 7 de la mañana sale un autocar de cada línea. ¿Cuánto tiempo pasa hasta que vuelven a salir los dos a la misma hora? ¿A qué hora es?

24 tizas

●

¿Se pueden comprar 10 cromos? ¿Y 40 pilas? ¿Y 96 tizas?

●

¿Cuántos cromos, pilas y tizas se pueden comprar? Escribe dos posibles cantidades de cada producto.

Toni tiene que envasar 45 rosquillas en cajas iguales. ¿Qué caja puede utilizar para que no sobre ninguna rosquilla? 8

10

15

¿Puede meter otro número de rosquillas en cada caja? ¿Cuántas?

●

Carmen tiene una finca rectangular de 12 m de largo y 8 m de ancho. Quiere dividirla en parcelas cuadradas iguales lo más grandes posible. ¿Cuántos metros medirá el lado de cada parcela?

Hacer grupos iguales

ERES CAPAZ DE… Alba está organizando un fin de semana de juegos en el campo. ● Piensa hacer grupos de 3 personas para jugar a la carretilla, de 4 para las carreras de relevos y de 5 para un juego de pistas. Quiere llevar al menor número de personas de forma que al hacer los grupos nadie se quede sin jugar. ¿A cuántas personas llevará Alba?

n

40.

13. Resuelve.

12. Observa y resuelve.

s?

30.

8 pilas

●

57

Programa de ESTUDIO EFICAZ Al terminar la unidad, pida a sus alumnos que completen esta tabla: Unidad 4. Múltiplos y divisores Lo que he aprendido

Criterios de divisibilidad Números primos y compuestos Máximo común divisor

8. • m.c.d. (2 y 3) 5 1 m.c.m. (2 y 3) 5 6 • m.c.d. (5 y 7) 5 1 m.c.m. (5 y 7) 5 35 • m.c.d. (3 y 11) 5 1 m.c.m. (3 y 11) 5 33 El m.c.d. de dos números primos es 1 y el m.c.m. es el producto de ambos. • No. • No. • 24 • 30

11. • 10 cromos: no. 40 pilas: sí. 96 tizas: sí. • R. M. 6 y 9 cromos, 16 y 32 pilas, y 48 y 72 tizas.

– Si Alba decide llevar el menor número posible de tiendas, ¿cuántas tiendas llevará y cuántas personas dormirán en cada tienda?

Divisores de un número

7. • Es el menor múltiplo común, distinto de cero de dichos números. m.c.m. (3, 6 y 8) 5 24 m.c.m. (2, 4 y 5) 5 20 • Es el mayor divisor común de dichos números. m.c.d. (8, 12 y 16) 5 4 m.c.d. (15, 18 y 24) 5 3

10. • 0, 15, 30, 45 y 60 • 3, 6, 12 y 24

– ¿Cuántas personas pueden dormir en cada tienda, de manera que en todas las tiendas haya el mismo número de personas?

Mínimo común múltiplo

6. • 18 es múltiplo de 3. m.c.d. (3 y 18) 5 3 m.c.m. (3 y 18) 5 18 • 4 es divisor de 32. m.c.d. (4 y 32) 5 4 m.c.m. (4 y 32) 5 32

9. • Sí. • Sí.

Para dormir, va a llevar tiendas de campaña, todas iguales. Debe elegir entre varios tamaños de tienda: las hay de 4, 5, 6… hasta 10 personas.

Múltiplos de un número

4

Lo que he aprendido a hacer

12. • Las cajas de 15 rosquillas. También puede utilizar cajas de 1, 3, 5, 9 y 45 rosquillas. 13. • m.c.d. (28 y 20) 5 4 Puede meter 4 bolígrafos. • m.c.m. (4 y 6) 5 12 Pasan 12 horas. A las 7 de la tarde. • m.c.d. (12 y 8) 5 4 El lado medirá 4 m.

Eres capaz de… • m.c.m. (3, 4 y 5) 5 60 Alba llevará a 60 personas. • Divisores de 60 entre 4 y 10: 4, 5, 6 y 10. Pueden dormir 4, 5, 6 o 10 en cada tienda. 60 : 10 5 6. Llevará 6 tiendas y dormirán 10 personas en cada tienda.

57 124603 _ 0086-0101.indd 99

6/7/09 16:43:38

Solución de problemas Hacer una tabla Objetivos • Hacer una tabla que recoja los números que cumplen las condiciones del enunciado de un problema para resolverlo.

Sugerencias didácticas Para explicar • Lea el problema resuelto y plantee posibles soluciones para que los alumnos razonen si son válidas o no. Aproveche para comentar las condiciones del problema, plantearlas matemáticamente y construir la tabla en la pizarra. Razone colectivamente la solución, a partir de los números de la tabla. Corrija en común las actividades propuestas.

EJE

En algunos problemas, es útil hacer una tabla que recoja los números que cumplen ciertas condiciones. Resuelve estos problemas de esa manera.

1.

Lourdes colecciona muñecas. Tiene menos de 40. Al agruparlas de 6 en 6 sobra 1 muñeca, y al agruparlas de 7 en 7 sobran 2 muñecas. ¿Cuántas muñecas tiene Lourdes?

▶ Vamos a hacer una tabla en la que pondremos los números que cumplen cada condición del enunciado del problema.

2.

Los números que cumplen la primera condición se forman al multiplicar 6 por 1, 2, 3… y sumar 1 al resultado. Los anotamos en la primera fila de la tabla.

3.

De la misma forma, los números que cumplen la segunda condición se forman al multiplicar 7 por 1, 2, 3… y sumar 2 al producto. Los anotamos en la segunda fila de la tabla. De 6 en 6 sobra 1

63111

63211

63311

63411

63511

7

13

19

25

31

63611 37

De 7 en 7 sobran 2

73112

73212

73312

73412

73512

73612

9

16

23

30

37

44

El número de muñecas que tiene Lourdes es el número que está en ambas filas, ya que cumple las dos condiciones del enunciado. Es el número 37.

4.

Solución: Lourdes tiene 37 muñecas.

Competencias básicas Tratamiento de la información La organización de datos o expresión numérica de condiciones en tablas fomenta en los alumnos el orden y la sistematización en la obtención y manejo de información.

1. Pedro tiene menos de 60 canciones en su mp3. Si las agrupa de 7 en 7, le sobran 3, y si las agrupa de 8 en 8, le quedan 4. ¿Cuántas canciones tiene Pedro en su mp3?

5. 2. En una cesta hay huevos. Son menos de 60. Al agruparlos en docenas sobran 7, mientras que al agruparlos de 5 en 5 no sobra ninguno. ¿Cuántos huevos hay en la cesta?

3. Un cuento tiene menos de 35 páginas. Al agruparlas de 2 en 2 no sobra ninguna, al agruparlas de 3 en 3 tampoco sobra ninguna y al agruparlas de 4 en 4 sobran 2. ¿Cuántas páginas tiene el cuento? ¿Hay más de una solución?

4. INVENTA. Escribe un problema que pueda resolverse con una tabla. Puedes hacerlo similar a los problemas de esta página.

Soluciones 1. De 7 en 7: 10, 17, 24, 31, 38, 45, 52, 59. De 8 en 8: 12, 20, 28, 36, 44, 52. Pedro tiene 52 canciones. 2. En docenas: 19, 31, 43, 55 De 5 en 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55. Hay 55 huevos. 3. De 2 en 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28,30, 32, 34. De 3 en 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33. De 4 en 4: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34. Puede tener 6, 18 o 30 páginas. Hay más de una solución.

58

Otras actividades • Proponga a los alumnos otros problemas similares. Por ejemplo: En la clase de Álvaro hay menos de 35 alumnos. Si colocan las mesas de 3 en 3 o de 4 en 4, no sobra ninguna, pero si las colocan de 5 en 5, el último grupo solo tiene 4. ¿Cuántos alumnos hay en la clase de Álvaro? Al final, relacione las condiciones del problema anterior con los conceptos de múltiplo y divisor trabajados en la unidad. Comente que la solución será un múltiplo de 3 y de 4, pero no de 5. Pida a los alumnos que lo comprueben.

4. R. L.

58 124603 _ 0086-0101.indd

100

9/7/09

12:43:25

4

Repasa

UNIDAD

igualdades sean ciertas.

1. Completa las oraciones. ●

La potencia 35 se lee ... Su base es ... y su ... es 5.

●

El cuadrado de 6 es … y la raíz cuadrada de … es 6.

●

La raíz cuadrada de 49 es … y el cuadrado de … es 49.

1

√25

●

√16

●

√100

2 4

2. Calcula. ●

Soluciones

6. Coloca los números para que las dos

EJERCICIOS

●

√64

3. ESTUDIO EFICAZ. Copia y completa el esquema. NÚMEROS ENTEROS

3 5

6

●

3(

2

) 5 12

●

1

3

5 22

PROBLEMAS

7. Marta baja de su casa al segundo piso del garaje. Coge la caja de herramientas que está en el maletero de su coche y sube 7 pisos para ir al trastero. ¿En qué piso está el trastero de Marta?

cosiendo 64 piezas de tela cuadradas. ¿Cuántas piezas hay en cada lado de la alfombra?

…

4. Ordena de menor a mayor. 9. Petra anotó 12 puntos en el partido

●

211, 11, 28, 13, 21

●

14, 27, 18, 22, 0, 16

5. Escribe las coordenadas cartesianas de cada punto. +4 B C

+3 A

+2 +1

D –4 –3 –2 –1 E

F

H

0 +1 +2 +3 +4 –1 –2 –3

G

–4

de baloncesto, Laura el doble que ella y Manuel un cuarto de los puntos de Laura. ¿Cuántos puntos anotaron entre los tres?

10. En una tienda compraron 16 portátiles a 725 cada uno y, un mes después, otros 12 a 630 cada uno. Más tarde, vendieron todos los ordenadores a 700 cada uno. ¿Perdieron o ganaron dinero? ¿Cuántos euros fueron?

11. Luis compró 125 litros de aceite por 500 . Subió 1 el precio de cada litro y vendió 90 litros. ¿Cuánto dinero obtuvo por la venta?

59

Repaso en común • Divida a los alumnos en grupos y pida a cada grupo que prepare un cuadernillo donde se recojan los conceptos y procedimientos estudiados, cada uno en una página. Determine en común los títulos y contenidos de cada una. Por ejemplo: 1. Múltiplos y divisores: cuándo un número es múltiplo o divisor de otro y un ejemplo de cada caso. 2. Mínimo común múltiplo de dos números: qué es y ejemplo. 3. Máximo común divisor de dos números: qué es y ejemplo. 4. Números primos y compuestos: qué son y ejemplos. Al final, pida a cada grupo que exponga al resto de la clase una de las páginas de su cuadernillo.

• √16 5 4 • √64 5 8

3. • Enteros positivos: 11, 12, 13, 14, 15, … Situados en la recta entera a la derecha de 0. • Enteros negativos: 21, 22, 23, 24, 25, … Situados en la recta entera a la izquierda de 0. • Cero: 0.

Enteros negativos: … Situados en la recta …

16, 24, 0, 25

1. • La potencia 35 se lee 3 elevado a la quinta o 3 elevado a 5. Su base es 3 y su exponente es 5. • El cuadrado de 6 es 36 y la raíz cuadrada de 36 es 6. • La raíz cuadrada de 49 es 7 y el cuadrado de 7 es 49. 2. • √25 5 5 • √100 5 10

8. Elsa ha hecho una alfombra cuadrada

Enteros positivos: 11, 12… Situados en la recta entera a la …

●

4

4. • 25 , 24 , 0 , 16 • 211 , 28 , 21 , 11 , , 13 • 27 , 22 , 0 , 1 4 , ,16,18 5. A ▶ (12, 12) C ▶ (23, 12) E ▶ (23, 22) G ▶ (12, 23)

B ▶ (0, 13) D ▶ (22, 0) F ▶ (0, 22) H ▶ (11, 0)

6. 6 3 (3 2 1) 5 12 2 1 4 3 5 5 22 7. 22 1 7 5 1 5. El trastero está en el quinto piso. 8. √64 5 8. En cada lado de la alfombra hay 8 piezas. 9. 12 1 12 3 2 1 12 3 2 : 4 5 5 42 Anotaron 42 puntos. 10. 16 3 725 1 12 3 630 5 5 19.160 (16 1 12) 3 700 5 19.600 19.600 2 19.160 5 440 Ganaron 440 €. 11. 500 : 125 5 4 41155 90 3 5 5 450 Obtuvo 450 €.

59 124603 _ 0086-0101.indd 101

6/7/09 16:43:38

5

E

Ángulos

Programación Objetivos • Reconocer el grado, el minuto y el segundo como unidades de medida de ángulos. • Conocer y utilizar las equivalencias entre las unidades de un sistema sexagesimal. • Sumar y restar ángulos de forma gráfica y numérica. • Resolver problemas de suma o resta en el sistema sexagesimal. • Reconocer gráficamente y calcular numéricamente ángulos complementarios y suplementarios. • Medir y trazar ángulos de más de 180º. • Resolver problemas geométricos haciendo un dibujo que represente el enunciado.

Criterios de evaluación • Conoce las unidades de medida de ángulos y maneja las equivalencias entre unidades de un sistema sexagesimal. • Reconoce y traza el ángulo suma o diferencia de otros dos. • Calcula la medida del ángulo suma y diferencia de dos ángulos dados. • Resuelve problemas de suma o resta con unidades sexagesimales. • Reconoce ángulos complementarios y suplementarios. • Calcula la medida del ángulo complementario o suplementario de un ángulo dado. • Mide y traza ángulos de más de 180º. • Resuelve problemas geométricos haciendo un dibujo que represente el enunciado.

Contenidos • Equivalencias entre unidades de medida de ángulos: grado, minuto y segundo. • Suma y resta de ángulos, de forma gráfica y numérica.

R

• Resolución de problemas con unidades de un sistema sexagesimal.

• • • •

• Reconocimiento y cálculo de la medida de ángulos complementarios y suplementarios.

E

• Medida y trazado de ángulos de más de 180º.

• •

• Resolución de problemas haciendo un dibujo geométrico que represente el enunciado.

• Cuidado y precisión al utilizar los instrumentos de medida y de dibujo. • Valoración de la utilidad del sistema sexagesimal.

Competencias básicas Además de desarrollar la Competencia matemática, en esta unidad se contribuye al desarrollo de las siguientes competencias: Interacción con el mundo físico, Competencia social y ciudadana, Tratamiento de la información, Competencia lingüística, Autonomía e iniciativa personal, Aprender a aprender y Competencia cultural y artística.

60 A 124603 _ 0102-0121.indd

102

6/7/09

16:43:19

Esquema de la unidad UNIDAD 5. ÁNGULOS

Unidades de medida de ángulos

Suma de ángulos

Ángulos complementarios y suplementarios

Resta de ángulos

Ángulos de más de 180º

Actividades

Eres capaz de...

Solución de problemas

Repasa

Recursos • • • •

Láminas de aula. Material de aula. Cuaderno de práctica. Primer trimestre. Manual de ESTUDIO EFICAZ.

• 100 propuestas para mejorar la competencia matemática. • Refuerzo y ampliación. • Recursos para la evaluación.

Estrategias del programa de ESTUDIO EFICAZ • Memorizar: actividad 8, pág. 70. • Reelaborar la información fundamental: actividad 6, pág. 73.

Previsión de dificultades • Expresar en grados, minutos y segundos una medida dada en segundos. Realice muchos ejemplos en la pizarra y pida a los alumnos que identifiquen qué unidad indica cada término de las divisiones hechas. • Calcular restas en el sistema sexagesimal, cuando el número de segundos o de minutos del sustraendo es mayor que el del minuendo y, especialmente, cuando falta alguna unidad en el minuendo. Recuérdeles escribir 00 cuando falte una unidad y hacer los cambios de unidad necesarios antes de operar. • Medir ángulos con el trasportador, cuando no están orientados hacia la derecha o miden más de 180º. Pida a los alumnos que tracen ángulos libremente y después los midan con el transportador, para facilitar con la práctica su manejo.

Sugerencia de temporalización Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio

60 B 124603 _ 0102-0121.indd

103

6/7/09

16:43:19

5

RE

Ángulos

T

Objetivos • Reconocer situaciones reales donde aparecen ángulos. • Recordar los conceptos necesarios para el desarrollo de la unidad.

Miguel

T

Sugerencias didácticas

P

• Pida a los alumnos que observen la fotografía, lea el texto y explique en qué consiste el billar y cómo influye en este juego la capacidad de imaginar un camino formado por líneas rectas y ángulos determinados. Interprete en común las tres tiradas representadas y aproveche las preguntas para comprobar el nivel de los alumnos y repasar contenidos básicos sobre ángulos. • En Recuerda lo que sabes, repase los tipos de ángulos y el manejo del transportador para medir y trazar ángulos de hasta 180º.

Competencias básicas Interacción con el mundo físico Es importante que los alumnos descubran en la realidad los elementos geométricos que ven representados y que trazan al trabajar la unidad. Por ejemplo, los ángulos que describen objetos en movimiento, como las bolas de billar; el ángulo que forman dos varillas o planos fijos, como una escarpia o dos paredes; y en movimiento, como un abanico o una puerta al abrirse, etc. Competencia social y ciudadana Aproveche la situación de partida para mostrar la utilidad de las Matemáticas también en los juegos, a la vez que fomenta en los alumnos la sociabilidad, animándolos a participar en actividades lúdicas en grupo.

1

2

Sara

3

Pedro

1.

Miguel, Sara y Pedro están jugando una partida de billar. El juego consiste en conseguir el mayor número posible de carambolas, es decir, que la bola que se golpea con el taco dé a las otras dos. Antes de hacer una tirada, para colocar el taco correctamente, cada jugador piensa en el ángulo que debe seguir la bola a la que va a dar. Fíjate en las tres jugadas de la ilustración. La bola blanca ha seguido distintos ángulos y en los tres casos se ha hecho carambola.

●

¿Cuánto mide el ángulo que ha seguido la bola blanca en cada jugada? ¿Qué tipo de ángulo es: recto, agudo u obtuso?

●

Si Miguel hubiese dado con la bola blanca a la amarilla y luego a la roja, ¿qué tipo de ángulo habría seguido la bola blanca?

●

¿Y si Pedro hubiese dado con la bola blanca a la bola amarilla antes que a la roja?

2. 3.

60

Otras formas de empezar • Anime y oriente a los alumnos para que busquen en la clase, señalen y digan dónde pueden verse ángulos. Por ejemplo: en una esquina de la pared o de una mesa, en las letras de un rótulo, en las manecillas de un reloj, en una puerta o una caja que se abre… Comente en cada caso cuáles son los lados y el vértice y el tipo de ángulo que es (agudo, recto, obtuso, llano o completo).

60 124603 _ 0102-0121.indd

104

6/7/09

16:43:20

RECUERDA LO QUE SABES

UNIDAD

Tipos de ángulos

Soluciones Página inicial

Agudo

Recto

Obtuso

Llano

Completo

Mide menos de 90º.

Mide 90º.

Mide más de 90º y menos de 180º.

Mide 180º.

Mide 360º.

• Miguel: 90º. Ángulo recto. Sara: 130º. Ángulo obtuso. Pedro: 45º. Ángulo agudo. • Un ángulo agudo. • Un ángulo recto.

Trazado de un ángulo Para trazar un ángulo de 70º, sigue estos pasos:

Recuerda lo que sabes

1.º Dibuja una semirrecta con origen el punto A.

1. Ángulo amarillo 5 145º. Obtuso. Ángulo verde 5 90º. Recto. Ángulo azul 5 180º. Llano. Ángulo rojo 5 35º. Agudo.

2.º Coloca el transportador de manera que su centro coincida con el punto A y la semirrecta pase por 0º, y dibuja una rayita en la medida 70º del transportador. 3.º Dibuja otra semirrecta con origen el punto A que pase por la rayita marcada. 1.º

2.º

3.º

▶

A

A

2. R. L.

▶

 5 70º

3.

A

Â

1. Mide estos ángulos y clasifícalos.

VAS A APRENDER

D̂

Ê B̂

●

ido

a a

5

2. Dibuja un ángulo de cada tipo: agudo, recto, obtuso, llano

●

 5 20º

●

Ĉ 5 45º

●

Ê 5 168º

●

B̂ 5 100º

●

D̂ 5 135º

●

F ̂ 5 180º

F̂

●

A dibujar y calcular la medida del ángulo suma o diferencia de dos ángulos dados.

●

A reconocer ángulos complementarios y suplementarios.

●

A medir y trazar ángulos de más de 180º.

y completo.

3. Traza estos ángulos.

A reconocer las unidades de medida de ángulos y sus equivalencias.

Ĉ

61

Vocabulario de la unidad • Grado, minuto, segundo • Sistema sexagesimal • Ángulo suma y ángulo diferencia • Ángulos complementario y suplementario • Ángulos consecutivos y adyacentes • Transportador, escuadra y cartabón • Bisectriz de un ángulo

61 124603 _ 0102-0121.indd

105

6/7/09

16:43:20

Unidades de medida de ángulos Objetivos

Para medir o dibujar ángulos, utilizamos el transportador y expresamos su medida en grados.

• Reconocer el grado, el minuto y el segundo como unidades de medida de ángulos.

A veces, necesitamos expresar una medida con mayor precisión; entonces, utilizamos dos unidades menores que el grado: el minuto y el segundo. 1 grado 5 60 minutos 1º 5 60’

• Conocer y utilizar las equivalencias entre las unidades de un sistema sexagesimal.

Para explicar • Presente el grado como la unidad principal de medida de ángulos y comente alguna situación (p.e., en astronomía) donde se necesitan usar unidades más pequeñas: el minuto y el segundo. Escriba en la pizarra cómo se representan las tres unidades. Comente que con el transportador solo podemos medir grados. • Explique que estas unidades forman un sistema sexagesimal, razone en común a partir del cuadro cómo se pasa de una unidad a otra y resuelva algunos ejemplos en la pizarra. Para reforzar • Aproveche la estrategia sobre releer y explicar el procedimiento de la página 54 del manual de ESTUDIO EFICAZ, y pida a los alumnos que expliquen cómo pasamos de unas unidades de medida de ángulos a otras.

P̂

4.

1 minuto 5 60 segundos 1’ 5 60”

El ángulo P̂ mide 65 grados, 42 minutos y 18 segundos. El ángulo P̂ mide entre 65º y 66º.

P̂ 5 65º 42’ 18”

▶

3 60

El grado, el minuto y el segundo forman un sistema sexagesimal: cada unidad es 60 veces mayor que la unidad inmediata inferior.

Sugerencias didácticas

3.

grado

3 60 minuto

: 60

segundo

: 60

Las unidades de medida de ángulos son: el grado (º), el minuto (’) y el segundo (”). Estas unidades forman un sistema sexagesimal. 1’ 5 60”

1º 5 60’ 5 3.600”

1. Lee la medida de cada ángulo e indica entre qué dos medidas en grados está. Â 5 42º 37’ 9”

El ángulo  mide … grados, … minutos y … segundos. El ángulo  mide entre … y … grados.

▶

B̂ 5 80º 23’ 50”

Ĉ 5 94º 7’ 36”

D̂ 5 128º 41’

5.

Ê 5 159º 27”

2. Calcula y expresa en la unidad indicada. En minutos

▶ Ejemplo:

18º 35’ 5 1.080’ 1 35’ 5 1.115’ 3 60

●

●

17º

42º

●

●

9º 26’

38º 54’

●

41º 7’

CÁ 3 3.600

En segundos

▶ Ejemplo:

Div

4º 31’ 52” 5 14.400” 1 1.860” 1 52” 5 16.312” 3 60

●

24’

●

39º

●

64’ 45”

●

5º 34’

●

7º 21’ 50”

●

70’

●

81º

●

18º 27”

●

80º 9’

●

42º 15’ 29”

62

Competencias básicas

Otras actividades

Tratamiento de la información Muestre que en Matemáticas, la información aparece muchas veces en forma de signos, como la representación de las unidades de medida de ángulos (º, ’, ’’).

• Dibuje en la pizarra varias parejas de ángulos de la misma amplitud, pero cuyos lados tengan distinta longitud. Por ejemplo:

Competencia lingüística Comente el doble significado de las palabras minuto y segundo, según se refieran a la medida de ángulos (’ y ’’) o de tiempo (min y s).

Pida a varios alumnos que señalen los ángulos que miden lo mismo y lo comprueben con un transportador. Razone en común que la medida de un ángulo no depende del tamaño de sus lados y, por eso, podemos prolongar los lados de un ángulo para medirlo más fácilmente.

62 124603 _ 0102-0121.indd

106

6/7/09

16:43:20

5 3. Calcula y completa.

UNIDAD

240” 5 240 : 60 5 …’

720’ 5 720 : 60 5 …º

18.000” 5 18.000 : 3.600 5 …º

1.380” 5 …’

2.220’ 5 …º

68.400” 5 …º

2.700” 5 …’

3.060’ 5 …º

122.400” 5 …º

Soluciones

4. Calcula y expresa en las unidades que se indican. HAZLO ASÍ ●

¿Cuántos minutos y segundos son 456”? segundos ▶ 456 segundos ▶ 36

●

¿Cuántos grados y minutos son 582’? minutos ▶ 582 minutos ▶ 42

60 7 ◀ minutos

456” 5 7’ 36” ●

60 9 ◀ grados

582’ 5 9º 42’

¿Cuántos grados, minutos y segundos son 19.791”? segundos ▶ 19791

179 591 segundos ▶ 51

60 329 ◀ minutos