madar-manteghi

‫ﻣﺪار ﻣﻨﻄﻘﻲ‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪١‬‬

‫‪ -١-١‬ﮐﺎﻣﭙﭕوﺗﺮ و ﺳﻴﺴﺘﻢ هﺎﯼ دﯾﺠﻴﺘﺎﻟﯽ‬ ‫ﮐﺎﻣﭙﭕوﺗﺮ هﺎﯼ دﯾﺠﻴﺘﺎل ﺑﺴﻴﺎرﯼ از ‪ ،‬ﭘﻴﺸﺮﻓﺖ هﺎﯼ ﻋﻠﻤﯽ ‪ ،‬ﺻﻨﻌﺘﯽ و ﺗﺠﺎرﯼ را ﮐﻪ ﺑﻪ‬ ‫ﺻﻮرت دﯾﮕﺮ ﻗﺎﺑﻞ دﺳﺘﺮس ﻧﺒﻮدﻧﺪ ﻣﻤﮑﻦ ﺳﺎﺧﺘﻪ اﻧﺪ ‪ .‬ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ هﺎ در ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﻋﻠﻤﯽ ‪،‬‬ ‫ﭘﺮدازش دادﻩ هﺎﯼ ﺗﺠﺎرﯼ ‪ ،‬ﮐﻨﺘﺮل ﺗﺮاﻓﻴﮏ هﻮاﯾﯽ ‪ ،‬هﺪاﯾﺖ ﻓﻀﺎﯾﯽ ‪ ،‬زﻣﻴﻨﻪ هﺎﯼ‬ ‫ﻓﺮهﻨﮕﯽ و ﻣﻮارد ﺑﺴﻴﺎر دﯾﮕﺮﯼ ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﻗﺮار ﮔﻔﺘﻪ اﻧﺪ ‪ .‬ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﺪ از‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ اﯼ دﺳﺘﻮراﻟﻌﻤﻞ هﺎﯼ ﺑﻨﺎم ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﮐﻪ روﯼ دادﻩ هﺎﯼ ﻣﻔﺮوض ﻋﻤﻞ ﻣﯽ ﮐﻨﻨﺪ‬ ‫ﺗﺒﻌﻴﺖ ﻧﻤﺎﯾﺪ ‪ .‬اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﮐﻨﻨﺪﻩ ﻗﺎدر اﺳﺖ ﺗﻐﻴﻴﺮات ﮔﻮﻧﺎﮔﻮﻧﯽ را در ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ‪ ،‬دادﻩ هﺎ و ﯾﺎ‬ ‫هﺮ دوﯼ ﺁﻧﻬﺎ ‪ ،‬ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﻧﻴﺎز اﯾﺠﺎد ﮐﻨﺪ ‪ .‬ﺑﻪ دﻟﻴﻞ اﯾﻦ اﻧﻌﻄﺎف ﭘﺬﯾﺮﯼ ﻣﯽ ﺗﻮان ﻧﺘﻴﺠﻪ‬ ‫ﮔﺮﻓﺖ ﮐﻪ ﮐﺎﻣﭙﺒﻮﺗﺮ دﯾﺠﻴﺘﺎل هﻤﻪ ﻣﻨﻈﻮرﻩ ﻗﺎدر هﺴﺘﻨﺪ وﻇﺎﯾﻒ ﭘﺮدازش اﻃﻼﻋﺎت را در ﯾﮏ‬ ‫ﻣﺤﺪودﻩ وﺳﻴﻊ و ﻣﺘﻨﻮع ﺑﻪ اﻧﺠﺎم ﺑﺮﺳﺎﻧﺪ ‪.‬‬ ‫ﯾﮏ ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ دﯾﺠﻴﺘﺎل هﻤﻪ ﻣﻨﻈﻮرﻩ ‪ ،‬ﺷﻨﺎﺧﺘﻪ ﺷﺪﻩ ﺗﺮﯾﻦ ﻧﻤﻮﻧﻪ از ﯾﮏ دﺳﺘﮕﺎﻩ دﯾﺠﻴﺘﺎل‬ ‫اﺳﺖ ‪ .‬ﻣﺸﺨﺼﻪ ﯾﮏ ﺳﻴﺴﺘﻢ دﯾﺠﻴﺘﺎل ‪ ،‬ﺗﻮاﻧﺎﯾﯽ اش در دﺳﺘﮑﺎرﯼ اﺟﺰاﯼ ﮔﺴﺴﺘﻪ‬ ‫اﻃﻼﻋﺎﺗﯽ اﺳﺖ ‪ .‬ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ هﺎﯼ دﯾﺠﻴﺘﺎل اوﻟﻴﻪ ﺑﻴﺸﺘﺮ ﺑﺮاﯼ ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﻋﺪدﯼ ﻣﻮرد‬ ‫اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﻗﺮار ﻣﯽ ﮔﺮﻓﺘﻨﺪ ‪ .‬در اﯾﻦ ﺣﺎﻟﺖ اﺟﺮاء ﮔﺴﺴﺘﻪ ‪ ،‬ارﻗﺎم هﺴﺘﻨﺪ ‪ .‬ﻋﺒﺎرت‬ ‫ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ دﯾﺠﻴﺘﺎل هﻢ از هﻤﻴﻦ ﮐﺎرﺑﺮد ﻧﺎﺷﯽ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ ‪ .‬ﺳﻴﺴﺘﻢ ﭘﺮدازش اﻃﻼﻋﺎت‬ ‫ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﺪ ﻧﺎم ﻣﻨﺎﺳﺒﺘﺮﯼ ﺑﺮاﯼ ﯾﮏ ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ دﯾﺠﻴﺘﺎل ﺑﺎﺷﺪ ‪.‬‬ ‫اﺟﺰاء ﮔﺴﺴﺘﻪ اﻃﻼﻋﺎت در ﯾﮏ ﺳﻴﺴﺘﻢ دﯾﺠﻴﺘﺎل را ﮐﻤﻴﺖ هﺎﯾﯽ ﻓﻴﺰﯾﮑﯽ ﺑﻪ ﻧﺎم‬ ‫ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﯽ ﺳﺎزﻧﺪ ‪ ،‬ﮐﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎﯼ اﻟﮑﺘﺮﯾﮑﯽ ﻣﺜﻞ وﻟﺘﺎژ و ﺟﺮﯾﺎن هﺎﯼ ﻣﻌﻤﻮل ﺗﺮﯾﻦ‬ ‫هﺴﺘﻨﺪ ‪ .‬ﺳﻴﮕﻨﺎل هﺎ در ﺗﻤﺎم ﺳﻴﺴﺘﻤﻬﺎﯼ دﯾﺠﻴﺘﺎل اﻟﮑﺘﺮوﻧﻴﮑﯽ اﻣﺮوز ‪ ،‬ﺗﻨﻬﺎ دو ﻣﻘﺪار‬ ‫ﻣﺠﺰا داﺷﺘﻪ و دودوﯾﯽ ﻧﺎﻣﻴﺪﻩ ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﺑﻪ دﻟﻴﻞ ﻗﺎﺑﻠﻴﺖ اﻋﺘﻤﺎد ﮐﻤﯽ ﮐﻪ ﻣﺪارهﺎﯼ‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪٢‬‬

‫اﻟﮑﺘﺮوﻧﻴﮑﯽ ﭼﻨﺪ ﻣﻘﺪارﻩ دارا هﺴﺘﻨﺪ ‪ ،‬ﻃﺮاح ﯾﮏ ﺳﻴﺴﺘﻢ دﯾﺠﻴﺘﺎل ﺑﻪ اﺳﺘﻔﺎدﻩ از‬ ‫ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎﯼ دودوﯾﯽ ﻣﻘﻴﺪ اﺳﺖ ‪ .‬ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﯾﮕﺮ ﻣﯽ ﺗﻮان ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎدﻩ از دﻩ وﻟﺘﺎژ‬ ‫ﻣﺨﺘﻠﻒ ﯾﮏ ﻣﺪار دﻩ ﺣﺎﻟﺘﻪ را ﻃﺮاﺣﯽ ﮐﺮد اﻣﺎ اﯾﻦ ﻣﺪار از ﻟﺤﺎظ ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﯽ داراﯼ ﻗﺎﺑﻠﻴﺖ‬ ‫اﻋﺘﻤﺎد ﮐﻤﯽ ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ‪ .‬ﺑﺮ ﻋﮑﺲ ‪ ،‬ﯾﮏ ﻣﺪار ﺗﺮاﻧﺰﯾﺴﺘﻮرﯼ ﺧﺎﻣﻮش ﯾﺎ روﺷﻦ داراﯼ دو‬ ‫ﻣﻘﺪار ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺑﻮدﻩ و ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺎ ﻗﺎﺑﻠﻴﺖ اﻋﺘﻤﺎد زﯾﺎدﯼ ﺳﺎﺧﺘﻪ ﺷﻮد ‪.‬‬ ‫ﺑﻠﻮﮎ دﯾﺎﮔﺮام ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ دﯾﺠﻴﺘﺎل در ﺷﮑﻞ )‪ (١-١‬ﻧﺸﺎن دادﻩ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ ‪ .‬واﺣﺪ ﺣﺎﻓﻈﻪ ‪،‬‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ هﺎ ‪ ،‬دادﻩ هﺎﯼ ورودﯼ ‪ ،‬ﺧﺮوﺟﯽ و دادﻩ هﺎﯼ واﺳﻄﻪ را ذﺧﻴﺮﻩ ﻣﯽ ﮐﻨﺪ ‪ .‬واﺣﺪ‬ ‫ﭘﺮدازﺷﮕﺮ ﯾﺎ ﭘﺮدازﻧﺪﻩ وﻇﻴﻔﻪ اﺟﺮاﯼ ﻋﻤﻠﻴﺎت رﯾﺎﺿﯽ و دﯾﮕﺮ وﻇﺎﯾﻒ ﭘﺮدازش دادﻩ هﺎﯼ را‬ ‫ﺁﻧﻄﻮرﯼ ﮐﻪ در ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﻣﺸﺨﺺ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ ﺑﻌﻬﺪﻩ دارد ‪ .‬واﺣﺪ ﮐﻨﺘﺮل ﺑﺮ ﺟﺮﯾﺎن اﻃﻼﻋﺎت‬ ‫ﺑﻴﻦ ﻗﺴﻤﺖ هﺎﯼ ﮔﻮﻧﺎﮔﻮن ﻧﻈﺎرت ﻣﯽ ﮐﻨﺪ ‪ .‬اﯾﻦ واﺣﺪدﺳﺘﻮرات را ﯾﮏ ﺑﻪ ﯾﮏ از ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ‬ ‫اﯼ ﮐﻪ در ﺣﺎﻓﻈﻪ ذﺧﻴﺮﻩ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ ﺑﺎزﯾﺎﺑﯽ ﮐﺮدﻩ و ﺑﺮاﯼ هﺮ دﺳﺘﻮراﻟﻌﻤﻞ ‪ ،‬ﭘﺮدازﻧﺪﻩ را‬ ‫ﻣﻄﻠﻊ ﻣﯽ ﻧﻤﺎﯾﺪ ﺗﺎ ﻋﻤﻠﻴﺎت ﻣﺸﺨﺺ ﺷﺪﻩ در ﺁن دﺳﺘﻮر را اﺟﺮا ﮐﻨﺪ ‪.‬‬ ‫واﺣﺪ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫وﭘﺮدازش‬

‫واﺣﺪ ﺣﺎﻓﻈﻪ‬

‫وﺳﺎﯾﻞ ﺧﺮوﺟﯽ‬

‫وﺳﺎﯾﻞ ورودﯼ‬

‫و ﮐﻨﺘﺮل‬

‫و ﮐﻨﺘﺮل‬

‫ﺷﮑﻞ )‪ (١-١‬ﺑﻠﻮﮎ دﯾﺎﮔﺮام ﯾﮏ ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ دﯾﺠﻴﺘﺎل‬

‫واﺣﺪ ﮐﻨﺘﺮل‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪٣‬‬

‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ هﺎ و دادﻩ هﺎﯾﯽ ﮐﻪ ﺗﻮﺳﻂ اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﮐﻨﻨﺪﻩ ﺗﻬﻴﻪ ﺷﺪﻩ اﻧﺪ ﺑﻮﺳﻴﻠﻪ ﯾﮏ دﺳﺘﮕﺎﻩ‬ ‫ورودﯼ ﻣﺜﻞ ﺻﻔﺤﻪ ﮐﻠﻴﺪﺑﻪ واﺣﺪ ﺣﺎﻓﻈﻪ ﻣﻨﺘﻘﻞ ﻣﯽ ﮔﺮدﻧﺪ ‪ .‬ﯾﮏ دﺳﺘﮕﺎﻩ ﺧﺮوﺟﯽ ﻣﺜﻞ‬ ‫ﭼﺎﭘﮕﺮ ﻧﺘﺎﯾﺞ ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت را درﯾﺎﻓﺖ ﮐﺮدﻩ و ﻧﺘﺎﯾﺞ ﭼﺎپ ﺷﺪﻩ را در اﺧﺘﻴﺎر اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﮐﻨﻨﺪﻩ‬ ‫ﻗﺮار ﻣﯽ دهﺪ ‪ .‬دﺳﺘﮕﺎهﻬﺎﯼ ورودﯼ و ﺧﺮوﺟﯽ ‪ ،‬ﺳﻴﺴﺘﻢ هﺎﯼ دﯾﺠﻴﺘﺎل ﺑﺨﺼﻮﺻﯽ‬ ‫هﺴﺘﻨﺪ ﮐﻪ ﺑﺎ ﻗﺴﻤﺖ هﺎﯼ اﻟﮑﺘﺮو ﻣﮑﺎﻧﻴﮑﯽ راﻩ اﻧﺪازﯼ ﺷﺪﻩ و ﺑﻮﺳﻴﻠﻪ ﻣﺪارهﺎﯼ‬ ‫اﻟﮑﺘﺮوﻧﻴﮑﯽ دﯾﺠﻴﺘﺎل ﮐﻨﺘﺮل ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬ ‫هﻤﺎﻧﻄﻮرﯼ ﮐﻪ ﻗﺒﻼً اﺷﺎرﻩ ﺷﺪ ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ هﺎﯼ دﯾﺠﻴﺘﺎل روﯼ اﺟﺰاﯼ ﮔﺴﺴﺘﻪ اﻃﻼﻋﺎت‬ ‫ﻋﻤﻞ ﻣﯽ ﮐﻨﻨﺪ و اﯾﻦ اﻃﻼﻋﺎت ﺑﻪ ﺷﮑﻞ دودوﯾﯽ ﻧﻤﺎﯾﺶ دادﻩ ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ ‪ .‬ﻋﻤﻠﻮﻧﺪهﺎﯼ‬ ‫ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎدﻩ در ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ در دﺳﺘﮕﺎﻩ اﻋﺪاد دودوﯾﯽ ﺑﻴﺎن ﺷﻮﻧﺪ ‪ .‬اﺟﺰاﯼ‬ ‫ﮔﺴﺴﺘﻪ دﯾﮕﺮ ﻣﺜﻞ ارﻗﺎم دهﺪهﯽ ﺑﻪ ﮐﺪهﺎﯼ دودوﯾﯽ ﻧﻤﺎﯾﺶ دادﻩ ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ ‪ .‬ﭘﺮدازش‬ ‫دادﻩ هﺎ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎدﻩ از اﺟﺰاﯼ ﻣﻨﻄﻘﯽ دودوﯾﯽ ﮐﻪ از ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎﯼ دودوﯾﯽ اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﻣﯽ‬ ‫ﮐﻨﻨﺪ اﻧﺠﺎم ﻣﯽ ﺷﻮد و ﻣﻘﺎدﯾﺮ در اﻟﻤﺎن هﺎﯼ ﺣﺎﻓﻈﻪ دودوﯾﯽ ذﺧﻴﺮﻩ ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ ‪.‬‬ ‫‪ -١-٢‬اﻋﺪاد دودودﯾﯽ‬ ‫ﯾﮏ ﻋﺪد در ﻣﺒﻨﺎﯼ دﻩ ﻣﺜﻞ ‪ ٧٣٩٢‬ﻣﻘﺪارﯼ ﻣﻌﺎدل ‪ ٧‬هﺰارﺗﺎﯾﯽ و ﺑﻪ اﺿﺎﻓﻪ ‪ ٣‬ﺻﺪﺗﺎﯾﯽ ﺑﻪ‬ ‫اﺷﺎﻓﻪ ‪ ٩‬دﻩ ﺗﺎﯾﯽ ﺑﻪ اﺿﺎﻓﻪ ‪ ٢‬ﯾﮑﯽ را ﻧﺸﺎن ﻣﯽ دهﺪ ‪ .‬هﺰارﮔﺎن ‪ ،‬ﺻﺪﮔﺎن و ﻏﻴﺮﻩ‬ ‫ﺗﻮاﻧﻬﺎﯾﯽ از دﻩ هﺴﺘﻨﺪ ﮐﻪ دﻻﻟﺖ ﺑﺮ ﻣﮑﺎن ﺿﺮاﯾﺐ ﻣﯽ ﮐﻨﻨﺪ ‪ .‬ﺑﻪ ﻣﻨﻈﻮر دﻗﺖ ﺑﻴﺸﺘﺮ‬ ‫ﻋﺪد ‪ ٧٣٩٢‬ﺑﻬﺘﺮ اﺳﺖ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﻮد ‪:‬‬

‫‪7 ×103 + 3 ×102 + 9 ×101 + 2 ×100‬‬ ‫ﺑﻬﺮ ﺣﺎل ﻗﺮار داد اﯾﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻓﻘﻂ ﺿﺮاﯾﺐ را ﺑﻨﻮﯾﺴﻴﻢ و ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻣﮑﺎن ﺁﻧﻬﺎ ﺗﻮاﻧﻬﺎﯼ‬ ‫دﻩ را اﺳﺘﻨﺘﺎج ﻧﻤﺎﯾﻴﻢ ‪ .‬ﺑﻄﻮر ﮐﻠﯽ ﯾﮏ ﻋﺪ ﺑﺎ ﻧﻘﻄﻪ اﻋﺸﺎر در ﻣﺒﻨﺎﯼ دﻩ ﺑﻮﺳﻴﻠﻪ ﺿﺮاﯾﺐ‬ ‫ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﻧﻤﺎﯾﺶ دادﻩ ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ ‪:‬‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪٤‬‬

‫‪a a a a a a ,a a a‬‬ ‫‪5 4 3 2 1 0 −1 −2 −3‬‬ ‫ﮐﻪ ﺿﺮﯾﺐ‬

‫‪j‬‬

‫‪a‬‬

‫ﯾﮑﯽ ارﻗﺎم ‪ 0‬ﺗﺎ ‪ ٩‬ﺑﻮدﻩ و ﻣﻘﺪار اﻧﺪﯾﺲ ‪ j‬ارزش ﻣﮑﺎﻧﯽ ﺁن رﻗﻢ وﻟﺬا ﺗﻮان‬

‫دهﯽ ﮐﻪ ﺿﺮﯾﺐ ﺑﺎﯾﺴﺘﯽ در ﺁن ﺿﺮب ﺷﻮد را ﻣﯽ دهﺪ ‪.‬‬

‫‪105 a +104 a + 103 a + 10 2 a + 101a + 100 a + 10− 1a + 10 − 2 a + 10 − 3 a‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫ﺑﻨﺎ ﺑﻪ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﮔﻔﺘﻪ ﻣﯽ ﺷﻮد ﮐﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ اﻋﺪاد اﻋﺸﺎرﯼ از ﻣﺒﻨﺎ ﯾﺎ ﭘﺎﯾﻪ ‪ ١٠‬ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﭼﺮا ﮐﻪ دﻩ رﻗﻢ در ﺁن اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﻣﯽ ﺷﻮد و ﺿﺮاﯾﺐ ﻧﻴﺰ در ﺗﻮاﻧﻬﺎﯾﯽ از دﻩ ﺿﺮب ﻣﯽ ﮔﺮدﻧﺪ‬ ‫‪ ،‬دﺳﺘﮕﺎﻩ دودوﯾﯽ ﺳﻴﺴﺘﻢ دﯾﮕﺮﯼ از اﻋﺪاد اﺳﺖ ‪ .‬ﺿﺮاﯾﺐ دﺳﺘﮕﺎﻩ اﻋﺪاد دودودﯾﯽ‬ ‫داراﯼ دو ارزش ﻣﻤﮑﻦ ﻣﯽ ﺑﺎﺷﻨﺪ ‪ ٠ :‬و ‪ ١‬هﺮ ﺿﺮﯾﺐ‬

‫‪j‬‬

‫‪a‬‬

‫ﺿﺮﯾﺐ در‬

‫‪2j‬‬

‫ﻣﯽ ﺷﻮد ‪.‬‬

‫ﺑﺮاﯼ ﻣﺜﺎل ﻣﻌﺎدل ﻣﺒﻨﺎﯼ دﻩ ﻋﺪد دودوﯾﯽ ‪ ١١٠١٠٫١١‬هﻤﺎﻧﻄﻮر ﮐﻪ در زﯾﺮ ﻧﺸﺎن دادﻩ‬ ‫ﺷﺪﻩ رﻳﺎل ﻋﺪد ‪ ٢۶٫٧۵‬از ﺿﺮﯾﺐ ﺗﻮاﻧﺎﯾﯽ از ‪ ٢‬در ﺿﺮاﯾﺐ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﯽ ﺁﯾﺪ ‪.‬‬ ‫‪1× 24 + 1× 23 + 0 × 22 + 1× 21 + 0 × 20 + 1× 2−1 + 1× 2− 2 = 26.75‬‬

‫ﺑﻄﻮر ﮐﻠﯽ ﯾﮏ ﻋﺪد در ﻣﺒﻨﺎﯼ ‪ r‬ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب ﺗﻮاﻧﻬﺎﯼ ‪ r‬در ﺿﺮاﯾﺐ ﻣﺮﺑﻮﻃﻪ اش‬ ‫ﺑﻴﺎن ﻣﯽ ﺷﻮد ‪.‬‬

‫‪.r n − 1 + ...a .r 2 + a .r + a + a .r − 1 + a .r − 2 + a− m.r − m‬‬ ‫‪a n.r n + a‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0 −1‬‬ ‫‪n −1‬‬ ‫ﺑﻴﻦ ‪ ٠‬ﺗﺎ ‪ ١-‬هﺴﺘﻨﺪ ‪.‬‬

‫‪j‬‬

‫‪ a‬ﮐﻪ ﺿﺮاﯾﺐ‬

‫در ﻣﺒﻨﺎﯼ ‪ r‬ﮐﻤﺘﺮ از ‪ ١٠‬ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ‪ ،‬ﻣﺮﺳﻮم اﺳﺖ ﮐﻪ ‪ r‬رﻗﻢ ﻣﻮرد ﻧﻴﺎز ﺑﺮاﯼ ﯾﮏ ﻋﺪد از‬ ‫دﺳﺘﮕﺎﻩ دهﺪهﯽ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪.‬وﻗﺘﯽ ﻣﺒﻨﺎﯼ ﻋﺪد ﺑﺰرﮔﺘﺮ از دﻩ اﺳﺖ از ﺣﺮوف اﻟﻔﺒﺎ‬ ‫ﺑﺮاﯼ ﺗﮑﻤﻴﻞ ارﻗﺎم دهﺪهﯽ اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﻣﯽ ﮔﺮدد ‪ .‬در ﻣﺒﻨﺎﯼ ﺷﺎﻧﺰدﻩ ‪ ،‬دﻩ رﻗﻢ اول از‬ ‫ﺳﻴﺴﺘﻢ دهﺪهﯽ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﺪﻩ و ﺣﺮوف ‪ F,E,D,C,B,A‬ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﺑﻪ ﺟﺎﯼ اﻋﺪاد‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪٥‬‬

‫) ‪ ( ١۵٫١۴٫١٣٫١٢٫١١٫١٠‬ﺑﮑﺎر ﻣﯽ روﻧﺪ ‪ .‬ﻣﺜﺎﻟﯽ از ﯾﮏ ﻋﺪد در ﻣﺒﻨﺎﯼ ﺷﺎﻧﺰدﻩ ﺑﺼﻮرت‬ ‫زﯾﺮ اﺳﺖ ‪،‬‬

‫)‪(B65F ) = 11×163 + 6 ×162 + 5 ×16 + 15 = (46687‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ﺷﺎﻧﺰدﻩ ﻋﺪد اول دﺳﺘﮕﺎﻩ اﻋﺪاد ﺷﺎﻧﺰدﻩ ﺗﺎﯾﯽ ‪ ،‬هﺸﺖ ﺗﺎﯾﯽ ‪ ،‬دودوﯾﯽ و دهﺪهﯽ در‬ ‫ﺟﺪول )‪ ( ١-١‬ﺁﻣﺪﻩ اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫ﺟﺪول )‪ ( ١-١‬اﻋﺪاد ﺑﺎ ﻣﺒﻨﺎهﺎﯼ ﻣﺘﻔﺎوت‬ ‫ﺷﺎﻧﺰدﻩ ﺗﺎﯾﯽ‬ ‫) ﭘﺎﯾﻪ ‪( ١۶‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪۴‬‬ ‫‪۵‬‬ ‫‪۶‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪F‬‬

‫هﺸﺘﺎﯾﯽ ) ﭘﺎﯾﻪ‬ ‫‪(٨‬‬ ‫‪٠٠‬‬ ‫‪٠١‬‬ ‫‪٠٢‬‬ ‫‪٠٣‬‬ ‫‪٠۴‬‬ ‫‪٠۵‬‬ ‫‪٠۶‬‬ ‫‪٠٧‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪١١‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪١٣‬‬ ‫‪١۴‬‬ ‫‪١۵‬‬ ‫‪١۶‬‬ ‫‪١٧‬‬

‫دودوﯾﯽ ) ﭘﺎﯾﻪ‬ ‫‪(٢‬‬ ‫‪٠٠٠٠‬‬ ‫‪٠٠٠١‬‬ ‫‪٠٠١٠‬‬ ‫‪٠٠١١‬‬ ‫‪٠١٠٠‬‬ ‫‪٠١٠١‬‬ ‫‪٠١١٠‬‬ ‫‪٠١١١‬‬ ‫‪١٠٠٠‬‬ ‫‪١٠٠١‬‬ ‫‪١٠١٠‬‬ ‫‪١٠١١‬‬ ‫‪١١٠٠‬‬ ‫‪١١٠١‬‬ ‫‪١١١٠‬‬ ‫‪١١١١‬‬

‫دهﺪهﯽ ) ﭘﺎﯾﻪ‬ ‫‪( ١٠‬‬ ‫‪٠٠‬‬ ‫‪٠١‬‬ ‫‪٠٢‬‬ ‫‪٠٣‬‬ ‫‪٠۴‬‬ ‫‪٠۵‬‬ ‫‪٠۶‬‬ ‫‪٠٧‬‬ ‫‪٠٨‬‬ ‫‪٠٩‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪١١‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪١٣‬‬ ‫‪١۴‬‬ ‫‪١۵‬‬

‫اﻋﻤﺎل رﯾﺎﺿﯽ ﺑﺎ ﻣﺒﻨﺎﯼ ‪ r‬از هﻤﺎن ﻗﻮاﻋﺪﯼ ﮐﻪ ﺑﺮاﯼ اﻋﺪاد دهﺪهﯽ ﺣﺎﮐﻢ اﺳﺖ ﭘﻴﺮوﯼ‬ ‫ﻣﯽ ﮐﻨﺪ ‪ .‬وﻗﺘﯽ از ﻣﺒﻨﺎﯼ ﻏﻴﺮ از ‪ ١٠‬اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﻣﯽ ﺷﻮد ﻣﯽ ﺑﺎﯾﺴﺖ دﻗﺖ ﮐﺮد ﺗﺎ ﻓﻘﻂ ‪r‬‬ ‫رﻗﻢ ﻣﺠﺎز ﺁن ﻣﺒﻨﺎ ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﻗﺮار ﮔﻴﺮد ‪.‬ﻣﺜﺎﻟﻬﺎﯼ از ﺟﻤﻊ ‪ ،‬ﺗﻔﺮﯾﻖ و ﺿﺮب دو ﻋﺪد‬ ‫دودوﯾﯽ در زﯾﺮ ﻧﺸﺎن دادﻩ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ ‪:‬‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪ ١٠١١‬ﻣﻀﺮوب‬

‫‪٦‬‬

‫‪١٠١١٠١‬‬

‫‪ *١٠١‬ﻣﻀﺮوب ﻓﻴﻪ ‪-١٠٠١١١‬‬ ‫‪١٠١١‬‬

‫‪٠٠٠١١٠‬‬

‫ﻣﻔﺮوق‬

‫‪١٠١١٠١‬‬

‫ﻣﻀﺎف‬

‫ﻣﻔﺮوق ﻣﻨﻪ ‪ +١٠٠١١١‬ﻣﻀﺎف اﻟﻴﻪ‬ ‫ﺑﺎﻗﻴﻤﺎﻧﺪﻩ‬

‫‪١٠١٠١٠٠‬‬

‫ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ‬

‫‪٠٠٠٠‬‬ ‫‪١٠١١‬‬ ‫‪١١٠١١١‬‬

‫ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب‬

‫ﻣﺠﻤﻮع دو ﻋﺪد دودوﯾﯽ ﻃﺒﻖ هﻤﺎن ﻗﻮاﻧﻴﻦ دﺳﺘﮕﺎﻩ دهﺪهﯽ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ ،‬ﺑﺠﺰ‬ ‫اﯾﻨﮑﻪ ارﻗﺎم ﺑﺎ ارزش ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ در ﺗﻤﺎم ﻣﮑﺎن هﺎﯼ ﺑﺎ ﻣﻌﻨﯽ ﻓﻘﻂ ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﺪ ‪ ٠‬ﯾﺎ ‪١‬‬ ‫ﺑﺎﺷﻨﺪ ‪ .‬هﺮ رﻗﻢ ﻧﻘﻠﯽ ﺑﺪﺳﺖ ﺁﻣﺪﻩ در ﻣﮑﺎﻧﯽ ﻣﻔﺮوض ﺑﻮﺳﻴﻠﻪ ﺟﻔﺖ رﻗﻢ هﺎﯼ ﻣﺮﺗﺒﻪ‬ ‫ﺑﺎﻻﺗﺮ ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﻗﺮار ﻣﯽ ﮔﻴﺮد ‪ .‬ﻋﻤﻞ ﺗﻔﺮﯾﻖ ﮐﻤﯽ ﭘﻴﭽﻴﺪﻩ ﺗﺮ اﺳﺖ ‪ .‬ﻗﻮاﻧﻴﻦ ﺑﺎز هﻢ‬ ‫هﻤﺎن ﻗﺎﻧﻮﻧﻬﺎﯼ دهﺪهﯽ هﺴﺘﻨﺪ ‪ ،‬ﺑﺠﺰ اﯾﻨﮑﻪ رﻗﻢ ﻗﺮﺿﯽ ﺑﺎ ارزش ﻣﮑﺎﻧﯽ دادﻩ ﺷﺪﻩ ‪٢‬‬ ‫واﺣﺪ ﺑﻪ رﻗﻢ ﻣﻔﺮوق اﺿﺎﻓﻪ ﻣﯽ ﮐﻨﺪ ‪ ) .‬ﯾﮏ رﻗﻢ ﻗﺮﺿﯽ از دﺳﺘﮕﺎﻩ دهﺪهﯽ ‪ ١٠ ،‬واﺣﺪ‬ ‫ﺑﻪ رﻗﻢ ﻣﻔﺮوق اﺿﺎﻓﻪ ﻣﯽ ﮐﻨﺪ ( ﻋﻤﻞ ﺿﺮب ﺑﺴﻴﺎر ﺳﺎدﻩ اﺳﺖ ‪ .‬ارﻗﺎم ﻣﻀﺮوب ﻓﻴﻪ‬ ‫هﻤﻴﺸﻪ ‪ ١‬ﯾﺎ ‪ ٠‬هﺴﺘﻨﺪ ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب هﺎﯼ ﺟﺰﺋﯽ ﯾﺎ ‪ ٠‬و ﯾﺎ ﻣﺴﺎورﯼ ﻣﻀﺮوب‬ ‫ﻣﯽ ﺑﺎﺷﻨﺪ ‪.‬‬ ‫‪ -١-٣‬ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻣﺒﻨﺎﯼ اﻋﺪاد‬ ‫ﯾﮏ ﻋﺪد دودوﯾﯽ ﺑﻪ وﺳﻴﻠﻪ ﺟﻤﻊ ﮐﺮدن ﺗﻮاﻧﻬﺎﯾﯽ از ‪ ٢‬ﮐﻪ ﻣﻘﺪار ﺿﺮاﯾﺒﺸﺎن ﯾﮏ اﺳﺖ ﺑﻪ‬ ‫ﺻﻮرت دهﺪهﯽ ﺁن ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬ﺑﺮاﯼ ﻣﺜﺎل ‪:‬‬

‫)‪(1010.011) = 23 + 21 + 2− 2 + 2− 3 = (10.375‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪٧‬‬

‫در زﯾﺮ ﻣﺜﺎﻟﯽ از ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻣﺒﻨﺎﯼ هﺸﺖ ﺑﻪ دﻩ ﺁﻣﺪﻩ اﺳﺖ ‪:‬‬

‫)‪(630.4) = 6 × 82 + 3 × 8 + 4 × 8− 1 = (408.5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10‬‬ ‫در ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻣﺒﻨﺎﯼ دﻩ ﺑﻪ دو ﯾﺎ ﺑﻪ هﺮ ﻣﺒﻨﺎﯼ دﯾﮕﺮ راﺣﺖ ﺗﺮ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻗﺴﻤﺖ ﺻﺤﻴﺢ و‬ ‫ﻗﺴﻤﺖ اﻋﺸﺎرﯼ ﻋﺪد را ﺟﺪا ﮐﺮدﻩ و هﺮ ﮐﺪام را ﺑﻪ ﻃﻮر ﺟﺪاﮔﺎﻧﻪ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﮐﻨﻴﻢ ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ -١-١‬ﻋﺪد ‪ ۴١‬را ﺑﻪ دودوﯾﯽ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﮐﻨﻴﺪ ‪.‬‬ ‫اﺑﺘﺪا ‪ ۴١‬ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ‪ ٢‬ﺗﻘﺴﻴﻢ ﺷﺪﻩ ﺗﺎ ﺧﺎرج ﻗﺴﻤﺖ ‪ ٢٠‬و ﺑﺎﻗﻴﻤﺎﻧﺪﻩ ‪ ١/٢‬ﺑﺪﺳﺖ ﺁﯾﺪ ‪.‬‬ ‫ﺧﺎرج ﻗﺴﻤﺖ ﻣﺠﺪداً ﺗﻘﺴﻴﻢ ﺷﺪﻩ ﺗﺎ ﺧﺎرج ﻗﺴﻤﺖ و ﺑﺎﻗﻴﻤﺎﻧﺪﻩ ﺟﺪﯾﺪﯼ ﺣﺎﺻﻞ ﮔﺮدد ‪.‬‬ ‫اﯾﻦ روال ﺑﻪ هﻤﻴﻦ ﺻﻮرت ﺗﺎ زﻣﺎﻧﯽ اداﻣﻪ ﻣﯽ ﯾﺎﺑﺪ ﮐﻪ ﺧﺎرج ﻗﺴﻤﺖ ﺻﺤﻴﺢ ﺑﻪ دﺳﺖ‬ ‫ﺁﻣﺪﻩ ﺻﻔﺮ ﺷﻮد ‪ .‬ﺿﺮاﯾﺐ ﻋﺪد دودوﯾﯽ ﻣﻄﻠﻮب ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ از ﺑﺎﻗﻴﻤﺎﻧﺪﻩ هﺎ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﯽ‬ ‫ﺁﯾﻨﺪ ‪.‬‬ ‫ﺿﺮﯾﺐ ﻋﺪد دودوﯾﯽ‬

‫ﺑﺎﻗﻴﻤﺎﻧﺪﻩ‬

‫‪a =1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪a =0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a =0‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪+‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪+‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪+‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪=5‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪+‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪+‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪+‬‬

‫‪a =1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪a =0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪a =1‬‬ ‫‪5‬‬

‫ﺧﺎرج ﻗﺴﻤﺖ ﺻﺤﻴﺢ‬ ‫‪41‬‬ ‫‪= 20‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪=10‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪ : (41) = (a a a a a a ) = (101001‬ﺟﻮاب‬ ‫‪5 4 3 2102‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪٨‬‬

‫روال رﯾﺎﺿﯽ ﻓﻮق ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺼﻮرت ﻣﻨﺎﺳﺒﺘﺮﯼ ﺑﺼﻮرت زﯾﺮ ﻋﻤﻞ ﺷﻮد ‪:‬‬

‫ﺟﻮاب = ‪١٠١٠٠١‬‬

‫ﺧﺎرج ﻗﺴﻤﺖ‬ ‫ﺑﺎﻗﻴﻤﺎﻧﺪﻩ ﺻﺤﻴﺢ‬ ‫‪۴١‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪۵‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬

‫ﺗﺒﺪﯾﻞ اﻋﺪاد ﺻﺤﻴﺢ دهﺪهﯽ ﺑﻪ ﻣﺒﻨﺎﯼ ‪ r‬ﺷﺒﻴﻪ ﺑﻪ ﻣﺜﺎل ﻣﺬﮐﻮر اﺳﺖ ﺑﺠﺰ اﯾﻨﮑﻪ ﺗﻘﺴﻴﻢ‬ ‫ﻣﯽ ﺑﺎﯾﺴﺖ ﺑﻪ ﺟﺎﯼ ‪ ٢‬ﺑﺮ ‪ r‬ﺻﻮرت ﮔﻴﺮد ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ : -١-٢ :‬ﻋﺪد ‪ ١۵٣‬را ﺑﻪ ﻣﺒﻨﺎﯼ هﺸﺖ ﺑﺒﺮﯾﺪ‪.‬‬

‫‪= (231)8‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪١۵٣‬‬ ‫‪١٩‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٠‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ -١-٣ :‬ﻋﺪد )‪ (0.6875‬را ﺑﻪ ﻣﺒﻨﺎﯼ دو ﺑﺒﺮﯾﺪ ‪.‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ﺿﺮﯾﺐ‬

‫ﮐﺴﺮﯼ‬

‫‪a =1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪a =0‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪a =1‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪a =1‬‬ ‫‪−4‬‬

‫ﺻﺤﻴﺢ‬

‫‪٠٫٣٧۵٠‬‬

‫‪+‬‬

‫‪١‬‬

‫= ‪0.6875 × 2‬‬

‫‪٠٫٧۵٠٠‬‬

‫‪+‬‬

‫‪٠‬‬

‫= ‪0.3750 × 2‬‬

‫‪٠٫۵٠٠٠‬‬

‫‪+‬‬

‫‪١‬‬

‫= ‪0.7500 × 2‬‬

‫‪٠٫٠٠٠٠‬‬

‫‪+‬‬

‫‪١‬‬

‫= ‪0.5000 × 2‬‬

‫‪ : (0.6875) = (0.a a‬ﺟﻮاب‬

‫‪a a ) = (0.1011‬‬ ‫‪−1 − 2 − 3 − 4 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪10‬‬

‫ﺑﺮاﯼ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﯾﮏ ﻋﺪد ﮐﺴﺮﯼ از ﻣﺒﻨﺎﯼ دﻩ ﺑﻪ ﯾﮏ ﻋﺪد در ﭘﺎﯾﻪ ‪ ، r‬روش ﻣﺸﺎﺑﻬﯽ اﻧﺠﺎم‬ ‫ﻣﯽ ﺷﻮد ‪.‬‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪٩‬‬

‫ﻓﻘﻂ ﺑﻪ ﺟﺎﯼ ﺿﺮب در ‪ ، ٢‬ﺿﺮب در ‪ r‬اﻧﺠﺎم ﻣﯽ ﮔﺮدد و ﺿﺮاﯾﺐ ﺣﺎﺻﻞ از ﻗﺴﻤﺘﻬﺎﯼ‬ ‫ﺻﺤﻴﺢ ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺑﻪ ﺟﺎﯼ ‪ ٠‬و ‪ ١‬در ﻣﺤﺪودﻩ ﺑﻴﻦ ‪ ٠‬ﺗﺎ ‪ r-١‬ﺑﺎﺷﻨﺪ ‪.‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ : ١-۴ :‬ﻋﺪد _ )‪(0.513‬‬ ‫‪10‬‬

‫را ﺑﻪ ﻣﺒﻨﺎﯼ هﺸﺖ ﺑﺒﺮﯾﺪ ‪.‬‬

‫‪0.413× 8 = 4.104‬‬ ‫‪0.104 × 8 = 0.832‬‬ ‫‪0.832 × 8 = 6.656‬‬ ‫‪0.656 × 8 = 5.248‬‬ ‫‪0.248 × 8 = 1.984‬‬ ‫‪0.984 × 8 = 7.872‬‬ ‫ﺟﻮاب ﺗﺎ هﻔﺖ رﻗﻢ ﺑﺎ ﻣﻌﻨﯽ ‪ ،‬از ﻗﺴﻤﺘﻬﺎﯼ ﺻﺤﻴﺢ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب هﺎ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﯽ ﺁﯾﺪ ‪.‬‬ ‫)‪(0.513) = (0.406517...‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬

‫ﺗﺒﺪﯾﻞ اﻋﺪاد دهﺪهﯽ ﮐﻪ داراﯼ هﺮ دو ﻗﺴﻤﺖ ﺻﺤﻴﺢ و ﮐﺴﺮﯼ هﺴﺘﻨﺪ ﺑﻪ اﯾﻦ ﺻﻮرت‬ ‫اﻧﺠﺎم ﻣﻴﮕﻴﺮد ﮐﻪ هﺮ ﻗﺴﻤﺖ ﺑﻄﻮر ﻣﺠﺰا ﺗﺒﺪﯾﻞ ﺷﺪﻩ ﺳﭙﺲ ﺟﻮاﺑﻬﺎ ﺑﺎ هﻢ ﺗﺮﮐﻴﺐ ﻣﯽ‬ ‫ﺷﻮﻧﺪ ‪ .‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎدﻩ از ﻧﺘﺎﯾﺞ ﻣﺜﺎل ‪ ١-١‬و ‪ ١-٣‬دارﯾﻢ ‪:‬‬ ‫)‪(41.6875) = (101001.1011‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬

‫از ﻣﺜﺎﻟﻬﺎﯼ ‪ ١-٢‬و ‪ ١-۴‬ﻧﻴﺰ دارﯾﻢ ‪:‬‬ ‫)‪(153.513) = (231.406517‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪ ١-۴‬اﻋﺪاد ﻣﺒﻨﺎﯼ هﺸﺖ و ﺷﺎﻧﺰدﻩ‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ از ﻣﺒﻨﺎﯼ دو ﺑﻪ ﻣﺒﻨﺎﯼ هﺸﺖ و ﺷﺎﻧﺰدﻩ و ﺑﺎﻟﻌﮑﺲ ﻧﻘﺶ ﻣﻬﻤﯽ در ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮهﺎﯼ‬ ‫دﯾﺠﻴﺘﺎل دارد ‪ .‬ﭼﻮن ‪ 23 = 8‬و‬

‫‪24 = 16‬‬

‫اﺳﺖ ‪ ،‬هﺮ رﻗﻢ در ﻣﺒﻨﺎﯼ هﺸﺖ ﻣﻄﺎﺑﻖ ﺳﻪ رﻗﻢ‬

‫دودوﯾﯽ و هﺮ رﻗﻢ ﺑﺮ ﻣﺒﻨﺎﯼ ﺷﺎﻧﺰدﻩ ‪ ،‬ﭼﻬﺎر رﻗﻢ دودوﯾﯽ اﺳﺖ ‪ .‬ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻣﺒﻨﺎﯼ دو ﺑﻪ‬ ‫هﺸﺖ ﺑﻪ ﺳﺎدﮔﯽ ﺑﺎ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻋﺪد دودوﯾﯽ ﺑﻪ دﺳﺘﻪ هﺎﯼ ﺳﻪ ﺗﺎﯾﯽ از ﻧﻘﻄﻪ اﻋﺸﺎرﯼ‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪١٠‬‬

‫دودوﯾﯽ ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﭼﭗ و راﺳﺖ ﺻﻮرت ﻣﯽ ﮔﻴﺮد و ﺑﻪ هﺮ دﺳﺘﻪ از اﯾﻦ اﻋﺪاد ﯾﮏ رﻗﻢ در‬ ‫ﻣﺒﻨﺎﯼ هﺸﺖ ﻧﺴﺒﺖ دادﻩ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬ﻣﺜﺎل زﯾﺮ ﻧﺸﺎن دهﻨﺪﻩ روﻧﺪ ﻣﺮﺑﻮﻃﻪ اﺳﺖ ‪:‬‬ ‫‪10 110 001 101 011 111 100 000 110‬‬ ‫)‪) = (26153.7406‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2 6 1 5 3 7 4 0 6 2‬‬

‫(‬

‫ﺗﺒﺪﯾﻞ از ﻣﺒﻨﺎﯼ دو ﺑﻪ ﻣﺒﻨﺎﯼ ﺷﺎﻧﺰدﻩ ﻧﻴﺰ ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺑﺎ روﻧﺪ ﺑﺎﻻ اﺳﺖ ‪ ،‬ﺑﺎ اﯾﻦ ﺗﻔﺎوت ﮐﻪ ﻋﺪد‬ ‫دودوﯾﯽ ﺑﻪ دﺳﺘﻪ هﺎﯼ ﭼﻬﺎرﺗﺎﯾﯽ از ارﻗﺎم ﺗﻘﺴﻴﻢ ﺑﻨﺪﯼ ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬ ‫‪10 1100 0110 1011 1111 0010‬‬ ‫)‪) = (2C 6B.F 2‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪2 C‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫(‬

‫هﺮ ﻋﺪد در ﻣﺒﻨﺎﯼ ﺷﺎﻧﺰدﻩ ) هﺸﺖ ‪ ٩‬ﻣﺘﻨﺎﺳﺐ ﺑﺎ هﺮ دﺳﺘﻪ از ارﻗﺎم دودوﯾﯽ ‪ ،‬ﺑﻌﺪ از‬ ‫ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﻣﻘﺎدﯾﺮ ﺛﺒﺖ ﺷﺪﻩ در ﺟﺪول )‪ (١-١‬ﺑﻪ ﺳﺎدﮔﯽ ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪.‬‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ از ﻣﺒﻨﺎﯼ هﺸﺖ ﯾﺎ ﺷﺎﻧﺰدﻩ ﺑﻪ ﻣﺒﻨﺎﯼ دو ﺑﺎ روﺷﯽ ﻋﮑﺲ روش ﺑﺎﻻ ﺻﻮرت ﻣﯽ‬ ‫ﮔﻴﺮد ‪ .‬هﺮ رﻗﻢ در ﻣﺒﻨﺎﯼ ﺷﺎﻧﺰدﻩ ﺑﻪ ﭼﻬﺎر رﻗﻢ ﻣﻌﺎدل در ﻣﺒﻨﺎﯼ دو ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪.‬‬ ‫ﺑﻄﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ هﺮ رﻗﻢ در ﻣﺒﻨﺎﯼ ﺷﺎﻧﺰدﻩ ﺑﻪ ﻣﻌﺎدل دودوﯾﯽ ﭼﻬﺎر رﻗﻤﯽ ﺧﻮد ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻣﯽ‬ ‫ﮔﺮدد ‪ .‬اﯾﻦ ﻣﻄﻠﺐ در ﻣﺜﺎل زﯾﺮ ﺗﺸﺮﯾﺢ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ ‪:‬‬

‫‪110 111 011 001 010 100‬‬ ‫( = )‪(673.124‬‬ ‫)‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6 7 3‬‬ ‫‪1 2 4 2‬‬ ‫‪0011 0000 0110 1101‬‬ ‫( = )‪(306.D‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‬ ‫‪16‬‬ ‫‪D 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﮐﺎرﮐﺮدن ﺑﺎ اﻋﺪاد دودوﯾﯽ ﺑﻪ دﻟﻴﻞ اﯾﻨﮑﻪ ﺗﻌﺪاد ارﻗﺎﻣﺸﺎن ﺳﻪ ﯾﺎ ﭼﻬﺎر ﺑﺮاﺑﺮ ﻋﺪد‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺸﺎن در ﻣﺒﻨﺎﯼ دﻩ ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ﻣﺸﮑﻞ اﺳﺖ ‪ ) .‬ﻣﺜﻼً ﻋﺪد دودوﯾﯽ ‪١١١١ ١١١١‬‬ ‫‪ ١١١١‬ﻣﻌﺎدل ﻋﺪد دهﺪهﯽ ‪ ۴٠٩۵‬اﺳﺖ ‪ .‬ﺑﺎ اﯾﻦ وﺟﻮد ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮهﺎﯼ دﯾﺠﻴﺘﺎل از اﻋﺪاد‬ ‫دودوﯾﯽ اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﻣﯽ ﮐﻨﻨﺪ و ﮔﺎهﯽ ﻧﻴﺰ ﻻزم اﺳﺖ ﮐﻪ اﭘﺮاﺗﻮر و ﯾﺎ اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﮐﻨﻨﺪﻩ‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎٌ ﺑﻪ وﺳﻴﻠﻪ اﻋﺪاد دودوﯾﯽ ﺑﺎ ﻣﺎﺷﻴﻦ ارﺗﺒﺎط ﺑﺮﻗﺮار ﮐﻨﺪ ‪ .‬ﯾﮏ راﻩ ﺑﺮاﯼ ﻧﮕﻬﺪارﯼ‬ ‫ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﯾﯽ در ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ ﮐﻪ ﺿﻤﻨﺎً ﺗﻌﺪاد ارﻗﺎم را ﻧﻴﺰ ﮐﺎهﺶ ﻣﯽ دهﺪ ‪ ،‬اﯾﻦ اﺳﺖ‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪١١‬‬

‫ﮐﻪ از ارﺗﺒﺎط ﺑﻴﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ اﻋﺪاد دودوﯾﯽ و ﺳﻴﺴﺘﻢ هﺸﺖ ﺗﺎﯾﯽ ﯾﺎ ﺷﺎﻧﺰدﻩ اﺳﺘﻔﺎدﻩ‬ ‫ﺷﻮد ‪ .‬ﺑﺎ اﯾﻦ روش اﻧﺴﺎن ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺮ ﺣﺴﺐ اﻋﺪاد ﻣﺒﻨﺎﯼ ﺷﺎﻧﺰدﻩ ﯾﺎ هﺸﺖ ﺗﺎﯾﯽ ﻓﮑﺮ‬ ‫ﮐﺮدﻩ و در ﻣﻮاﻗﻌﯽ ﮐﻪ ارﺗﺒﺎط ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺑﺎ ﻣﺎﺷﻴﻦ ﻻزم اﺳﺖ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻻزﻣﻪ را ﺑﺎ ﺑﺎزدﯾﺪ‬ ‫ﮐﺮدن اﯾﻦ اﻋﺪاد اﻧﺠﺎم دهﺪ ‪ .‬ﺑﻪ اﯾﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﻋﺪد دودوﯾﯽ ‪ ١١١١ ١١١١ ١١١١‬ﮐﻪ داراﯼ‬ ‫دوازدﻩ رﻗﻤﻦ اﺳﺖ در ﻣﺒﻨﺎﯼ هﺸﺖ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﭼﻬﺎر رﻗﻢ ‪ ٧٧٧٧‬ﺑﻴﺎن ﻣﯽ ﺷﻮد و ﯾﺎ در‬ ‫ﻣﺒﻨﺎﯼ ﺷﺎﻧﺰدﻩ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺳﻪ رﻗﻢ ‪ FFF‬ﺧﻮاهﺪ ﺑﻮد ‪.‬در ارﺗﺒﺎﻃﺎت ﺑﻴﻦ ﻣﺮدم ) در ﻣﻮرد‬ ‫اﻋﺪاد اردودوﯾﯽ در ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ ( ﻧﻤﺎﯾﺶ اﻋﺪاد در ﻣﺒﻨﺎهﺎﯼ هﺸﺖ و ﺷﺎﻧﺰدﻩ ﻣﻄﻠﻮب ﺗﺮ‬ ‫اﺳﺖ زﯾﺮا ﮐﻪ در اﯾﻦ ﻣﺒﻨﺎهﺎ اﻋﺪاد ﺑﻪ ﺻﻮرت ﮐﻮﭼﮑﺘﺮﯼ ﺑﺎ ‪ ١/٣‬ﯾﺎ ‪ ١/۴‬ﺗﻌﺪاد ارﻗﺎم‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺸﺎن در دودوﯾﯽ ﻗﺎﺑﻞ ﻧﻤﺎﯾﺶ هﺴﺘﻨﺪ ‪.‬‬ ‫‪ -١-۵‬ﻣﮑﻤﻞ هﺎ‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ هﺎ در ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮهﺎﯼ دﯾﺠﻴﺘﺎل ﺑﺮاﯼ ﺳﺎدﻩ ﮐﺮدن ﻋﻤﻞ ﺗﻔﺮﯾﻖ و ﯾﺎ ﻋﻤﻠﻴﺎت ﻣﻨﻄﻘﯽ‬ ‫ﺑﻪ ﮐﺎر ﻣﯽ روﻧﺪ ‪ .‬در هﺮ ﻣﺒﻨﺎﯼ ‪ r‬دو ﻧﻮع ﻣﮑﻤﻞ ﺑﺮاﯼ هﺮ ﺳﻴﺴﺘﻢ وﺟﻮد دارد ‪ :‬ﯾﮑﯽ‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ ﻣﺒﻨﺎ ﯾﺎ ﭘﺎﯾﻪ و دﯾﮕﺮﯼ ﻣﮑﻤﻞ ﻣﺒﻨﺎ ﯾﺎ ﭘﺎﯾﻪ ﮐﺎهﺶ ﯾﺎﻓﺘﻪ اﺳﺖ ‪ .‬ﻓﺮم اول ﺑﻪ ﻣﮑﻤﻞ ‪r‬‬ ‫و دوﻣﯽ ﺑﻪ ﻣﮑﻤﻞ )‪ ( r -١‬ﻣﻮﺳﻮم اﺳﺖ ‪ .‬وﻗﺘﯽ ﻣﻘﺪار ﭘﺎﯾﻪ را ﺟﺎﯾﮕﺰﯾﻦ ﮐﻨﻴﻢ ‪ ،‬ﺑﺮاﯼ‬ ‫اﻋﺪاد دودوﯾﯽ ﻣﮑﻤﻞ هﺎﯼ ‪ ٢‬و ‪ ١‬ﺑﺮاﯼ اﻋﺪاد ﻣﮑﻤﻞ هﺎﯼ ‪ ١٠‬و ‪ ٩‬را ﺧﻮاهﻴﻢ داﺷﺖ ‪.‬‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ در ﭘﺎﯾﻪ ﮐﺎهﺶ ﯾﺎﻓﺘﻪ‬ ‫ﺑﺮاﯼ ﻋﺪدﯼ ﻣﺎﻧﻨﺪ‪ N‬در ﻣﺒﻨﺎ ﯾﺎ ﭘﺎﯾﻪ ‪ r‬ﮐﻪ داراﯼ ‪ n‬رﻗﻢ اﺳﺖ ‪ ،‬ﻣﮑﻤﻞ )‪ ( r-١‬ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ‪N‬‬ ‫ﺑﺼﻮرت‬

‫‪(r n − 1) − N‬‬

‫ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬ﺑﺮاﯼ اﻋﺪادﯼ ﺑﺎ ‪ r = ١٠‬و ‪ ، r -١= ٩‬ﻣﮑﻤﻞ‬

‫‪ ٩‬ﺑﺮاﯼ ﻋﺪد ‪ N‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‬

‫‪(10n − 1) − N‬‬

‫‪ .‬ﻋﺪد‬

‫‪n‬‬

‫‪ ١٠‬ﺑﺮاﺑﺮﺳﺖ ﺑﺎ ﯾﮏ ﻋﺪد ‪ ١‬ﮐﻪ‬

‫‪ n‬ﻋﺪد ‪ ٠‬ﺑﺪﻧﻴﺎل ﺁن ﺁﻣﺪﻩ اﺳﺖ ‪ .‬ﺑﻬﻤﻴﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ ‪ ١٠n-١‬ﺑﺮاﺑﺮﺳﺖ ﺑﺎ ‪ n‬ﻋﺪد ‪ . ٩‬ﻣﺜﻼً اﮔﺮ‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪١٢‬‬

‫‪ n=۴‬ﺑﺎﺷﺪدارﯾﻢ ‪ 104 =10000‬و ‪ 104 −1 = 9999‬دﯾﺪﻩ ﻣﯽ ﺷﻮد ﮐﻪ ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٩‬ﯾﮏ ﻋﺪد‬ ‫دهﺪهﯽ از ﺗﻔﺮﯾﻖ هﺮ رﻗﻢ ﺁن از ‪ ٩‬ﺣﺎﺻﻞ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬ﺑﻪ ﭼﻨﺪ ﻣﺜﺎل ﻋﺪدﯼ ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﻴﺪ ‪.‬‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٩‬ﻋﺪد ‪ ۵۴۶٧٠٠‬ﺑﺮاﺑﺮﺳﺖ ﺑﺎ‬ ‫‪٩٩٩٩٩٩-۵۴۶٧٠٠=۴۵٣٢٩٩‬‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٩‬ﻋﺪد ‪ ٠١٢٣٩٨‬ﺑﺮاﺑﺮﺳﺖ ﺑﺎ‬ ‫‪٩٩٩٩٩٩-٠١٢٣٩٨=٩٨٧۶٠١‬‬ ‫ﺑﺮاﯼ اﻋﺪاد دودوﯾﯽ ‪ r=٢ ،‬و ‪ r-١=١‬اﺳﺖ ‪ ،‬ﻟﺬا ﻣﮑﻤﻞ ‪ ١‬ﻋﺪد ‪ n‬ﺑﺮاﺑﺮﺳﺖ ﺑﺎ‬ ‫‪ . (٢n -١)– n‬ﻣﺠﺪداً ‪ ٢n‬از ﯾﮏ ﻋﺪد دودوﯾﯽ ﻣﺘﺸﮑﻞ از ﯾﮏ ‪ ١‬و ﺗﻌﺪادﯼ ‪ ٠‬ﺑﺪﻧﺒﺎل ﺁن‬ ‫اﺳﺖ ‪ ٢n -١ .‬ﻧﻴﺰ ﺑﻮﺳﻴﻠﻪ ‪ n‬ﻋﺪد ‪ ١‬ﻧﺸﺎن دادﻩ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬ﻣﺜﻼً اﮔﺮ ‪ n=۴‬ﺑﺎﺷﺪ دارﯾﻢ‬ ‫‪2‬‬

‫)‪ 24 = (10000‬و ‪. 24 − 1 = 1111‬‬

‫ﻣﮑﻤﻞ ‪ ١‬ﯾﮏ ﻋﺪد دودوﯾﯽ از ﺗﺒﺪﯾﻞ ‪١‬هﺎ ﺑﻪ ‪٠‬هﺎ و ﺑﻪ ‪ ١‬ﺣﺎﺻﻞ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪.‬‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ ‪ ١‬ﻋﺪد ‪ ١٠١١٠٠٠‬ﺑﺮاﺑﺮﺳﺖ ﺑﺎ ‪٠١٠٠١١١‬‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ ‪ ١‬ﻋﺪد ‪ ٠١٠١١٠١‬ﺑﺮاﺑﺮﺳﺖ ﺑﺎ ‪١٠١٠٠١٠‬‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ ) ‪ ( r-١‬اﻋﺪاد ﻣﺒﻨﺎﯼ هﺸﺖ و ﺷﺎﻧﺰدﻩ ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ از ﺗﻔﺮﯾﻖ ارﻗﺎم از ‪ ٧‬ﯾﺎ ‪ ) F‬ﻣﻌﺎدل‬ ‫‪ ١۵‬دهﺪهﯽ ( ﺣﺎﺻﻞ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪.‬‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ ﭘﺎﯾﻪ ‪r‬‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ ‪ r‬ﯾﮏ ﻋﺪد ‪ n‬رﻗﻤﯽ ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ N‬در ﻣﺒﻨﺎﯼ ‪ r‬ﺑﺼﻮرت ‪ rn-N‬ﺑﻪ ازاﯼ‬

‫‪N # 0‬‬

‫و ﺑﺼﻮرت ‪٠‬‬

‫ﺑﻪ ازاﯼ ‪ N=٠‬ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬ﺑﺎ ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ اﯾﻦ ﻧﻮع ﻣﮑﻤﻞ ﺑﺎ ﻣﮑﻤﻞ )‪ ( r-١‬ﻣﻼﺣﻈﻪ ﻣﯽ‬ ‫ﺷﻮد ﮐﻪ ﻣﮑﻤﻞ ‪ r‬از ﺟﻤﻊ ‪ ١‬ﺑﺎ ﻣﮑﻤﻞ )‪ ( r-١‬ﺣﺎﺻﻞ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬زﯾﺮا‬ ‫‪ r n − N = [(r n − 1) − N ] + 1‬اﺳﺖ ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻣﮑﻤﻞ ‪ ١٠‬ﯾﮏ ﻋﺪد دهﺪهﯽ ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪٢٣٨٩‬‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮاﺳﺖ ﺑﺎ ‪ ٧۶١٠+١=٧۶١١‬و ﺑﺎ اﻓﺰودن ‪ ١‬ﺑﻪ ﻣﻘﺪار ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٩‬ﺣﺎﺻﻞ ﮔﺮدﯾﺪﻩ اﺳﺖ ‪.‬‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪١٣‬‬

‫ﻣﮑﻤﻞ ﻋﺪد دودوﯾﯽ ‪ ١٠١١٠٠‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ ‪ ٠١٠٠١١+١=٠١٠١٠٠‬و از ﺟﻤﻊ ‪ ١‬ﺑﺎ ﻣﮑﻤﻞ‬ ‫‪ ١‬ﻋﺪ ﺣﺎﺻﻞ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ ‪.‬‬

‫ﭼﻮن ‪10n‬‬

‫ﻋﺪدﯼ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﺎ ﯾﮏ ‪ ١‬و ‪ n‬ﻋﺪد ‪ ٠‬ﺑﺪﻧﻴﺎل ﺁن ﺳﺎﺧﺘﻪ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ ‪ ،‬ﻣﮑﻤﻞ‬

‫ﻋﺪد ‪ N‬ﯾﻌﻨﯽ‬

‫‪−N‬‬

‫‪ 10n‬ﻧﻴﺰ ﺑﺎ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻧﺪادن ‪ ٠‬هﺎﯼ ﮐﻢ ارزﺷﺘﺮ و ﮐﺴﺮ اوﻟﻴﻦ رﻗﻢ ﻏﻴﺮ‬

‫ﺻﻔﺮ از ‪ ١٠‬و ﺗﻔﺮﯾﻖ ﺗﻤﺎم ارﻗﺎم ﺑﺎ ارزﺷﺘﺮ از ‪ ٩‬ﺣﺎﺻﻞ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪.‬‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ ‪ ١٠‬ﻋﺪد ‪ ٠١٢٣٩٨‬ﺑﺮاﺑﺮﺳﺖ ﺑﺎ ‪٩٨٧۶٠٢‬‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ ‪ ١٠‬ﻋﺪد ‪ ٢۴۶٧٠٠‬ﺑﺮاﺑﺮﺳﺖ ﺑﺎ ‪٧۵٣٣٠٠‬‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ ‪ ١٠‬اوﻟﻴﻦ ﻋﺪد از ﺗﻔﺮﯾﻖ ‪ ٨‬از ‪ ١٠‬در ﮐﻢ ارزش ﺗﺮﯾﻦ ﻣﮑﺎن و ﺗﻔﺮﯾﻖ ﺑﻘﻴﻪ ارﻗﺎم از ‪٩‬‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ ‪ .‬ﻣﮑﻤﻞ ‪ ١٠‬دوﻣﻴﻦ ﻋﺪ ﺑﺪﯾﻦ ﻓﺮم ﺣﺎﺻﻞ ﺷﺪﻩ ﮐﻪ دو ﻋﺪد ‪ ٠‬ﺑﺎ ارزش‬ ‫ﮐﻤﺘﺮ ﺑﺪون ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﺎﻧﺪﻩ درﺣﺎﻟﻴﮑﻪ ‪ ٧‬از ‪ ١٠‬و ﺳﻪ رﻗﻢ دﯾﮕﺮ از ‪ ٩‬ﮐﺴﺮ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫ﺑﻄﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٢‬دﻣﯽ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺎ ﺑﺪوت ﺗﻐﻴﻴﺮ ﮔﺬاردن ‪ ٠‬هﺎﯼ ﮐﻢ ارزش ﺗﺮ و اوﻟﻴﻦ ‪١‬‬ ‫ﭘﺲ از ﺁﻧﻬﺎو ﺟﺎﯾﮕﺰﯾﻨﯽ ‪١‬هﺎ ﯾﺎ ‪ ٠‬هﺎ ﺑﺎ ‪ ١‬در ﺳﺎﯾﺮ ﺳﺘﻮن هﺎﯼ ارﻗﺎم ﺑﺎ ارزﺷﺘﺮ ﺑﺪﺳﺖ‬ ‫ﺁﯾﺪ ‪.‬‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٢‬ﻋﺪد ‪١١٠١١٠٠‬ﺑﺮاﺑﺮﺳﺖ ﺑﺎ ‪٠٠١٠١٠٠‬‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٢‬ﻋﺪد ‪٠١١٠١١١‬ﺑﺮاﺑﺮﺳﺖ ﺑﺎ ‪١٠٠١٠٠١‬‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٢‬اوﻟﻴﻦ ﻋﺪد ﺑﺎ ﺑﺪون ﺗﻐﻴﻴﺮ ﮔﺬاﺷﺘﻦ دو ‪ ٠‬ﺑﺎ ارزش ﮐﻤﺘﺮ و ﻧﻴﺰ اوﻟﻴﻦ ‪ ١‬ﭘﺲ از ﺁﻧﻬﺎ‬ ‫و ﺳﭙﺲ ﺟﺎﯾﮕﺰﯾﻨﯽ ‪ ١‬هﺎ ﺑﺎ ‪ ٠‬و ‪ ٠‬هﺎ ﺑﺎ ‪ ١‬در ﭼﻬﺎر ﺳﺘﻮن ﺑﺎﻗﻴﻤﺎﻧﺪﻩ ﺣﺎﺻﻞ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫دوﻣﻴﻦ ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٢‬ﺑﺎ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻧﺪادن ﮐﻢ ارزش ﺗﺮﯼ ‪ ١‬و ﻣﮑﻤﻞ ﻧﻤﻮدن ﺑﻘﻴﻪ ارﻗﺎم ﺑﺪﺳﺖ ﺁﻣﺪﻩ‬ ‫اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫اﮔﺮ ﻋﺪد اوﻟﻴﻪ ‪ N‬داراﯼ ﻣﻤﻴﺰ ﺑﺎﺷﺪ ﺑﺎﯾﺪ ﺁن را ﻣﻮﻗﺘﺎ ﺣﺬف و ﻣﮑﻤﻞ هﺎﯼ ‪ r‬و )‪ ( r-١‬را‬ ‫ﺑﺪﺳﺖ ﺁورد ‪ .‬ﺳﭙﺲ ﺁن را ﺑﻪ هﻤﺎن ﻣﮑﺎﻧﯽ ﻧﺴﺒﯽ ﻋﺪد ﻣﮑﻤﻞ ﺑﺎزﮔﺮداﻧﺪ ‪ .‬هﻤﭽﻨﻴﻦ ذﮐﺮ‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪١٤‬‬

‫اﯾﻦ ﻧﮑﺘﻪ ﮐﻪ ﻣﮑﻤﻞ ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﻣﮑﻤﻞ ﯾﮏ ﻋﺪد هﻤﺎن اوﻟﻴﻪ را ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﯽ دهﺪ ﻣﻔﻴﺪ ﺑﻨﻈﺮ‬ ‫ﻣﯽ رﺳﺪ ‪ .‬ﻣﮑﻤﻞ ‪ r‬ﻋﺪد ‪ N‬ﺑﺮاﺑﺮﺳﺖ ﺑﺎ ‪ rn - N‬ﻣﮑﻤﻞ ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ اﯾﻦ ﻣﮑﻤﻞ ﺑﺮاﺑﺮﺳﺖ ﺑﺎ‬ ‫‪ r n − (r n − N ) = N‬ﮐﻪ هﻤﺎن ﻋﺪد اوﻟﻴﻪ اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫ﺗﻔﺮﯾﻖ ﺑﻪ ﮐﻤﮏ ﻣﮑﻤﻞ هﺎ‬ ‫ﺗﻔﺮﯾﻖ دو ﻋﺪد ‪ n‬رﻗﻤﯽ ﺑﺪون ﻋﻼﻣﺖ ‪ M-N‬در ﭘﺎﯾﻪ ‪ r‬ﺑﻄﺮﯾﻖ زﯾﺮ ﺻﻮرت ﻣﯽ ﮔﻴﺮد ‪.‬‬ ‫‪ -١‬ﻣﻔﺮوق ‪ M‬را ﺑﻪ ﻣﮑﻤﻞ ‪ r‬ﻣﻔﺮوق ﻣﻨﻪ ‪ N‬اﺿﺎﻓﻪ ﮐﻨﻴﺪ ﯾﻌﻨﯽ‬

‫‪M + (r n − N ) = M − N − r n‬‬ ‫‪ -٢‬اﮔﺮ ‪M ≥ N‬‬

‫ﺑﺎﺷﺪ ‪ ،‬ﺟﻤﻊ ﯾﮏ رﻗﻢ ﻧﻘﻠﯽ ﻧﻬﺎﯾﯽ ‪ rn‬ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻣﯽ ﮐﻨﺪ ﮐﻪ ﭼﺸﻢ ﭘﻮﺷﯽ‬

‫ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ ،‬ﺁﻧﭽﻪ ﺑﺎﻗﯽ ﻣﯽ ﻣﺎﻧﺪ ‪ M-N‬اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫‪ -٣‬اﮔﺮ‬

‫‪M <N‬‬

‫ﺑﺎﺷﺪ ‪ ،‬ﺟﻤﻊ هﻴﭽﮕﻮﻧﻪ رﻗﻢ ﻧﻘﻠﯽ ﻧﻬﺎﯾﯽ ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻧﻨﻤﻮدﻩ وﺟﻮاب‬

‫) ‪ r n − ( N − M‬ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ﻣﮑﻤﻞ ‪ r‬ﻋﺪد )‪ (M-N‬اﺳﺖ ‪ .‬ﺑﺮاﯼ ﯾﺎﻓﺘﻦ ﺟﻮاب ﺑﻔﺮم ﻣﻌﻤﻮل‬ ‫‪ ،‬ﻣﮑﻤﻞ ‪ r‬ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ را ﺑﺪﺳﺖ ﺁوردﻩ و ﯾﮏ ﻋﻼﻣﺖ ﻣﻨﻔﯽ در ﺟﻠﻮ ﺁن ﻗﺮار ﻣﯽ دهﻴﻢ ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ : ١-۵‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎدﻩ از ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٧٢۵٣٢ – ٣٢۵٠ ،١٠‬را ﺑﺪﺳﺖ ﺁورﯾﺪ ‪.‬‬ ‫‪٧٢۵٣٢‬‬

‫=‪M‬‬

‫‪+٩۶٧۵٠‬‬

‫= ﻣﮑﻤﻞ ‪ ١٠‬ﻋﺪد ‪N‬‬

‫‪١۶٩٢٨٢‬‬

‫= ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ‬

‫‪-١٠٠٠٠٠‬‬

‫= ﺣﺬف رﻗﻢ ﻧﻘﻠﯽ ‪١٠‬‬

‫‪۶٩٢٨٢‬‬

‫= ﺟﻮاب‬

‫‪۵‬‬

‫دﻗﺖ ﮐﻨﻴﺪ ﮐﻪ ‪ M‬داراﯼ ﭘﻨﺞ رﻗﻢ وﻟﯽ ‪ N‬ﻓﻘﻂ داراﯼ ﭼﻬﺎر رﻗﻢ اﺳﺖ ‪ .‬ﭼﻮن هﺮ دو ﻋﺪد‬ ‫ﺑﺎﯾﺪ داراﯼ ﺗﻌﺪاد ارﻗﺎم ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎﺷﻨﺪ ‪ ،‬ﭘﺲ ﺑﺎﯾﺪ ﺑﺼﻮرت ‪ ٠٣٢۵٠‬ﻧﻮﺷﺘﻪ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪.‬‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪١٥‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ : ١-۶‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎدﻩ از ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٣٢۵٠-٧٢۵٣٢ ، ١٠‬را ﺑﺪﺳﺖ ﺁورﯾﺪ ‪.‬‬ ‫‪٠٣٢۵‬‬

‫=‪M‬‬

‫‪+٢٧۴۶٨‬‬

‫= ﻣﮑﻤﻞ ‪ ١٠‬ﻋﺪد ‪N‬‬

‫‪30718‬‬

‫= ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ‬ ‫رﻗﻢ ﻧﻘﻠﯽ وﺟﻮد ﻧﺪارد‬

‫‪) =-۶٩٢٨٢‬ﻣﮑﻤﻞ ‪ ١٠‬ﻋﺪد ‪ : -( ٣٠٧١٨‬ﺟﻮاب‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﻴﺪ ﭼﻮن ‪ ٣٢۵٠ < ٧٢۵٣٢‬اﺳﺖ ‪ ،‬ﺟﻮاب ﻣﻨﻔﯽ اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ : ١-٧‬ﺑﺎ ﻓﺮض دود ﻋﺪد دودوﯾﯽ ‪ X=١٠١٠١٠٠‬و ‪ ، Y = ١٠٠٠٠١١‬ﺗﻔﺮﯾﻖ هﺎﯼ ‪:‬‬ ‫) اﻟﻒ ( ‪ X-Y‬و )ب ( ‪ Y-X‬را ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎدﻩ از ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٢‬ﺑﺪﺳﺖ ﺁورﯾﺪ ‪.‬‬ ‫‪١٠١٠١٠٠‬‬

‫=‪X‬‬

‫‪+٠١١١١٠١‬‬

‫= ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٢‬ﻋﺪد ‪Y‬‬

‫‪١٠٠١٠٠٠١‬‬

‫= ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ‬

‫‪-١٠٠٠٠٠٠٠‬‬

‫= رﻗﻢ ﻧﻘﻠﯽ ﺣﺬف ﺷﺪﻩ ‪٢‬‬

‫‪٠٠١٠٠٠١‬‬

‫= ﺟﻮاب ‪X-Y‬‬

‫‪١٠٠٠٠١١‬‬

‫=‪Y‬‬

‫‪+٠١٠١١٠٠‬‬

‫= ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٢‬ﻋﺪد ‪X‬‬

‫‪١١٠١١١١‬‬

‫= ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ‬

‫‪٧‬‬

‫رﻗﻢ ﻧﻘﻠﯽ وﺟﻮد ﻧﺪارد‬ ‫‪ ) = -٠٠١٠٠٠١‬ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٢‬ﻋﺪد ‪ : Y-X = -( ١١٠١١١١‬ﺟﻮاب‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪١٦‬‬

‫ﺗﻔﺮﯾﻖ اﻋﺪاد ﺑﺪون ﻋﻼﻣﺖ ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎدﻩ از ﻣﮑﻤﻞ )‪ ( R-١‬ﻧﻴﺰ اﻧﺠﺎم ﺷﻮد ‪ .‬ﺑﺨﺎﻃﺮ‬ ‫ﺑﻴﺎورﯾﺪ ﮐﻪ ﻣﮑﻤﻞ )‪ ( R-١‬ﯾﮑﯽ ﮐﻤﺘﺮ از ﻣﮑﻤﻞ ‪ r‬اﺳﺖ ‪ .‬ﺑﻪ اﯾﻦ ﻋﻠﺖ ‪ ،‬ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺟﻤﻊ‬ ‫ﻣﻔﺮوق ﺑﻪ ﻣﮑﻤﻞ ﻣﻔﺮوق ﻣﻨﻪ ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻌﯽ ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻣﯽ ﮐﻨﺪ ﮐﻪ ﯾﮑﯽ ﮐﻤﺘﺮ از ﺗﻔﺎﺿﻞ‬ ‫ﺻﺤﻴﺢ ﺑﻬﻨﮕﺎم رﺧﺪاد رﻗﻢ ﻧﻘﻠﯽ ﻧﻬﺎﯾﯽ اﺳﺖ ‪ .‬ﺣﺬف رﻗﻢ ﻧﻘﻠﯽ ﻧﻬﺎﯾﯽ و اﻓﺰودن ﺁن ﺑﻪ‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ ﺑﻨﺎم رﻗﻢ ﻧﻘﻠﯽ ﭼﺮﺧﺸﯽ ﺧﻮاﻧﺪﻩ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ : ١-٨‬ﻣﺜﺎل ‪ ١-٧‬را ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎدﻩ از ﻣﮑﻤﻞ ‪ ١‬ﺗﮑﺮار ﮐﻨﻴﺪ ‪.‬‬ ‫) اﻟﻒ(‬ ‫‪X-Y=١٠١٠١٠٠-١٠٠٠٠١١‬‬ ‫‪١٠١٠١٠٠‬‬

‫=‪X‬‬

‫‪+ ٠١١١١٠٠‬‬

‫= ﻣﮑﻤﻞ ‪ ١‬ﻋﺪد ‪Y‬‬

‫‪١٠٠١٠٠٠٠‬‬

‫= ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ‬ ‫ب‬

‫‪١+‬‬ ‫‪٠٠١٠٠٠١‬‬

‫= رﻗﻢ ﻧﻘﻠﯽ ﭼﺮﺧﺸﯽ‬ ‫= ‪ : X-Y‬ﺟﻮاب‬

‫) ب(‬ ‫‪Y-X=١٠٠٠٠١١-١٠١٠١٠٠‬‬ ‫‪١٠٠٠٠١١‬‬

‫=‪Y‬‬

‫‪+ ٠١٠١٠١١‬‬

‫= ﻣﮑﻤﻞ ‪ ١‬ﻋﺪد ‪X‬‬

‫‪١١٠١١١٠‬‬

‫= ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ‬ ‫رﻗﻢ ﻧﻘﻠﯽ وﺟﻮد ﻧﺪارد‬

‫‪-٠٠١٠٠٠١‬‬

‫= ) ﻣﮑﻤﻞ ‪ ١‬ﻋﺪد ‪ :Y-X =-( ١١٠١١١٠‬ﺟﻮاب‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪١٧‬‬

‫ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﻴﺪ ﮐﻪ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﻨﻔﯽ ﭘﺲ از ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻣﮑﻤﻞ ‪ ١‬از ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ ﺑﺪﺳﺖ ﺁﻣﺪﻩ اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫زﯾﺮا ﻣﮑﻤﻞ ‪ ١‬در ﺑﺎﻻ ﺑﮑﺎر رﻓﺘﻪ اﺳﺖ ‪ .‬روش رﻗﻢ ﻧﻘﻠﯽ ﭼﺮﺧﺸﯽ ﺑﺮاﯼ ﺗﻔﺮﯾﻖ اﻋﺪاد‬ ‫دهﺪهﯽ ﺑﺪون ﻋﻼﻣﺖ ﺑﺎ ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٩‬ﻧﻴﺰ ﻗﺎﺑﻞ اﺳﺘﻔﺎدﻩ اﺳﺖ ‪.‬‬

‫‪ ١-۶‬اﻋﺪاد دودودﯾﯽ ﻋﻼﻣﺖ دار‬ ‫ﺑﻌﻠﺖ ﻣﺤﺪودﯾﺖ ﺳﺨﺖ اﻓﺰار ‪ ،‬ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ هﺎ ﺑﺎﯾﺪ هﺮ ﭼﻴﺰﯼ را ﺑﺎ ارﻗﺎم دودﯾﯽ ﻧﺸﺎن دهﻨﺪ‬ ‫‪ ،‬ﮐﻪ ﻣﻌﻤﻮﻻً اﯾﻦ ارﻗﺎم ﺑﻴﺖ ﻧﺎﻣﻴﺪﻩ ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ ‪ .‬ﻣﻌﻤﻮل اﺳﺖ ﮐﻪ ﺳﻤﺖ ﭼﭗ ﺗﺮﯾﻦ ﺑﻴﺖ‬ ‫ﻋﺪد را ﺑﻪ ﻋﻼﻣﺖ اﺧﺘﺼﺎص ﻣﯽ دهﻨﺪ ‪ .‬ﻗﺮار اﯾﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ اﻋﺪاد ﻣﺜﺒﺖ را ﺑﺎ ﮔﺬاﺷﺘﻦ ‪٠‬‬ ‫و اﻋﺪاد ﻣﻨﻔﯽ را ﺑﺎ ﮔﺬاﺷﺘﻦ ‪ ١‬در ﻣﺤﻞ ﺑﻴﺖ ﻣﺰﺑﻮر ﻧﺸﺎن دهﻨﺪ ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﻼً ‪ ،‬رﺷﺘﻪ ﺑﻴﺖ هﺎﯼ ‪ ٠١٠٠١‬ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻌﻨﻮان ‪ ) ٩‬دودوﯾﯽ ﺑﺪون ﻋﻼﻣﺖ ( و ﯾﺎ ‪+٩‬‬ ‫) دودوﯾﯽ ﻋﻼﻣﺖ دار( در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮد زﯾﺮا ﺳﻤﺖ ﭼﭙﺘﺮﯾﻦ ﺑﻴﺖ ‪ ٠‬اﺳﺖ ‪ .‬رﺷﺘﻪ ﺑﻴﺖ‬ ‫هﺎﯼ ‪ ، ١١٠٠١‬هﺮﮔﺎﻩ ﺑﻌﻨﻮان ﻋﺪد ﺑﺪون ﻋﻼﻣﺖ در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻨﻪ ﺷﻮد ﺑﺮاﺑﺮ ‪ ٢۵‬ﺗﻮ ﺑﻬﻨﮕﺎم‬ ‫ﻋﻼﻣﺖ دار ﺑﻮدن ﺑﺮاﺑﺮ ‪ ٩‬را ﻧﺸﺎن ﻣﯽ دهﺪ ‪ .‬ﻣﮑﺎن ﻋﺪد رﻗﻢ ‪ ١‬وﺟﻮد دارد ﮐﻪ ﺑﻴﺎﻧﮕﺮ‬ ‫ﻣﻨﻔﯽ ﺑﻮدن ﻋﺪد و ﺑﻘﻴﻪ ﭼﻬﺎر ﺑﻴﺖ ﻋﺪد ‪ ٩‬را ﻧﺸﺎن ﻣﯽ دهﺪ ‪ .‬ﻣﻌﻤﻮﻻً اﮔﺮ ﻧﻮع ﻋﺪد‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ ﺑﺎﺷﺪ هﻴﭽﮕﻮﻧﻪ اﺷﺘﺒﺎهﯽ در ﺗﺸﺨﻴﺺ وﺟﻮد ﻧﺨﻮاهﺪ داﺷﺖ ‪.‬‬ ‫ﻧﻤﺎﯾﺶ اﻋﺪاد ﻋﻼﻣﺖ دار در ﺁﺧﺮﯾﻦ ﻣﺜﺎل ﻓﻮق ‪ ،‬ﻧﻤﺎﯾﺶ ﻣﻘﺪار – ﻋﻼﻣﺖ ﻧﺎﻣﻴﺪﻩ ﻣﯽ‬ ‫ﺷﻮد ‪ .‬در ﯾﻦ ﻧﺎﻣﮕﺬارﯼ ﻋﺪد ﺷﺎﻣﻞ ﻣﻘﺪار و ﯾﮏ ﻧﻤﺎد )‪ +‬ﯾﺎ ‪ ( -‬ﯾﺎ ﯾﮏ ﺑﻴﺖ )‪ ٠‬ﯾﺎ ‪ ( ١‬ﺑﺮاﯼ‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ ﻧﻤﻮدن ﻋﻼﻣﺖ اﺳﺖ ‪ .‬اﯾﻦ روش ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎدﻩ اﻋﺪاد ﻋﻼﻣﺖ دار در رﯾﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﻣﻌﻤﻮﻟﯽ اﺳﺖ ‪ .‬وﻗﺘﯽ ﮐﻪ اﻋﻤﺎل رﯾﺎﺿﯽ در ﯾﮏ ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ ﭘﻴﺎدﻩ ﺳﺎزﯼ ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ ‪ ،‬ﺑﻬﺘﺮ‬ ‫اﺳﺖ از روش دﯾﮕﺮﯼ ﺑﻨﺎم ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﮑﻤﻞ – ﻋﻼﻣﺖ ﺑﺮاﯼ اراﺋﻪ اﻋﺪاد ﻣﻨﻔﯽ اﺳﺘﻔﺎدﻩ‬ ‫ﺷﻮد ‪ .‬در اﯾﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ ‪ ،‬ﯾﮏ ﻋﺪد ﻣﻨﻔﯽ ﺑﻮﺳﻴﻠﻪ ﻣﮑﻤﻞ ﺁن ﻣﺸﺨﺺ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬در‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪١٨‬‬

‫ﺣﺎﻟﻴﮑﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﻘﺪار – ﻋﻼﻣﺖ ‪ ،‬ﻋﺪ را ﺑﺎ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻋﻼﻣﺘﺶ ﻣﻨﻔﯽ ﻣﯽ ﻧﻤﺎﯾﺪ ‪ ،‬ﺳﻴﺴﺘﻢ‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ – ﻋﻼﻣﺖ ﺑﺎ ﻣﮑﻤﻞ ﺳﺎزﯼ ‪ ،‬ﻣﻨﻔﯽ ﺁن را ﺗﻬﻴﻪ ﻣﯽ ﻧﻤﺎﯾﺪ ‪ .‬ﭼﻮن اﻋﺪاد ﻣﺜﺒﺖ‬ ‫هﻤﻮارﻩ ﺑﺎ ‪ ) ٠‬ﻣﺜﺒﺖ ( در ﺳﻤﺖ ﭼﭙﺸﺎن ﺷﺮوع ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ ‪ ،‬ﻣﮑﻤﻞ ﺁﻧﻬﺎ هﻤﻴﺸﻪ ﺑﺎ ‪١‬‬ ‫ﺁﻏﺎز ﺧﻮاهﻨﺪ ﺷﺪ ‪ ،‬اﯾﻦ ﻧﺸﺎﻧﮕﺮ ﻋﺪد ﻣﻨﻔﯽ اﺳﺖ ‪ .‬ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﮑﻤﻞ – ﻋﻼﻣﺖ ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﺪ‬ ‫از ﻣﮑﻤﻞ ‪ ١‬ﯾﺎ ‪ ٢‬اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﻧﻤﺎﯾﺪ ‪ .‬وﻟﯽ ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٢‬ﻣﺮﺳﻮم ﺗﺮ اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫ﺑﻌﻨﻮان ﻣﺜﺎل ‪ ،‬ﻓﺮض ﮐﻨﻴﺪ ﻋﺪد ‪ ٩‬ﺑﺼﻮرت دودوﯾﯽ ﺑﺎ هﺸﺖ ﺑﻴﺖ ﻧﺸﺎن دادﻩ ﺷﺪﻩ ﺑﺎﺷﺪ ‪.‬‬ ‫‪ +٩‬ﺑﻮﺳﻴﻠﻪ ﯾﮏ ‪ ٠‬در ﺳﻤﺖ ﭼﭗ ﺗﺮﯾﻦ اﻣﮑﺎن از هﺸﺖ ﺑﻴﺖ و ﺑﺪﻧﺒﺎل ﺁن ﻣﻌﺎدل دودوﯾﯽ‬ ‫‪ ، ٩‬ﻧﺸﺎن دادﻩ ﻣﯽ ﺷﻮد و ﻧﺘﻴﺠﻪ ‪ ٠٠٠٠١٠٠١‬ﺧﻮاهﺪ ﺑﻮد ‪ .‬ﺗﻮﺟﻪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﺪ ﮐﻪ ﺗﻤﺎم‬ ‫هﺸﺖ ﺑﻴﺖ ﺑﺎﯾﺪ ﻣﻘﺪار داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ‪ ،‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ‪ ٠‬هﺎ از ﻣﺤﻞ ﻋﻼﻣﺖ ﺗﺎ اوﻟﻴﻦ ‪ ١‬از ﺳﻤﺖ‬ ‫ﭼﭗ وارد ﺷﺪﻩ اﻧﺪ ‪ .‬هﺮ ﭼﻨﺪ ﮐﻪ ﻓﻘﻂ ﯾﮏ راﻩ ﺑﺮاﯼ ﻧﻤﺎﯾﺶ ‪ +٩‬وﺟﻮد دارد ‪ ،‬ﺑﺮاﯼ ﻧﻤﺎﯾﺶ‬ ‫‪ -٩‬ﺑﺎ هﺸﺖ ﺑﻴﺖ ﺳﻪ روش ﻣﻮﺟﻮد اﺳﺖ ‪:‬‬ ‫در ﻧﻤﺎﯾﺶ ﻣﻘﺪار – ﻋﻼﻣﺖ ‪١٠٠٠١٠٠١‬‬ ‫در ﻧﻤﺎﯾﺶ ﻣﮑﻤﻞ‪ -١‬ﻋﻼﻣﺖ ‪١١١١٠١١٠‬‬ ‫در ﻧﻤﺎﯾﺶ ﻣﮑﻤﻞ‪ -٢‬ﻋﻼﻣﺖ ‪١١١١٠١١١‬‬ ‫در ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﻘﺪار – ﻋﻼﻣﺖ ‪ -٩ ،‬از ‪ +٩‬و ﺑﺎ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﺑﻴﺖ ﻋﻼﻣﺖ در ﺳﻤﺖ ﭼﭗ ﺗﺮﯾﻦ ﻣﮑﺎن‬ ‫از ‪ ٠‬ﺑﻪ ‪ ١‬ﺣﺎﺻﻞ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬در ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﮑﻤﻞ ‪ -١‬ﻋﻼﻣﺖ ‪ -٩ ،‬را ﺑﺎ ﻣﮑﻤﻞ ﮐﺮدن ﺗﻤﺎم‬ ‫ﺑﻴﺖ هﺎﯼ ‪ +٩‬از ﺟﻤﻠﻪ ﺑﻴﺖ ﻋﻼﻣﺖ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﯽ ﺁورﯾﻢ ‪ .‬در ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﮑﻤﻞ ‪ -٢‬ﻋﻼﻣﺖ ‪،‬‬ ‫‪ -٩‬را از ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٢‬ﻋﺪد ﻣﺜﺒﺖ و از ﺟﻤﻠﻪ ﺑﻴﺖ ﻋﻼﻣﺖ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﯽ ﺁورﯾﻢ ‪.‬‬ ‫ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﻘﺪار – ﻋﻼﻣﺖ در رﯾﺎﺿﯽ ﻣﻌﻤﻮﻟﯽ ﺑﮑﺎر ﻣﯽ رود ‪ ،‬وﻟﯽ وﻗﺘﯽ ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ ﺑﮑﺎر‬ ‫رود ﻣﺸﮑﻼﺗﯽ ﺑﻪ هﻤﺮاﻩ دارد ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻣﻌﻤﻮﻻً درﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ روش ﻣﮑﻤﻞ – ﻋﻼﻣﺖ ﺑﮑﺎر‬ ‫ﮔﺮﻓﺘﻪ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬ﻣﮑﻤﻞ ‪ ١‬ﻧﻴﺰ ﻣﺸﮑﻼﺗﯽ را اﯾﺠﺎد ﻣﯽ ﻧﻤﺎﯾﺪ و ﺑﻨﺪرت ﺑﺮاﯼ اﻋﻤﺎل‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪١٩‬‬

‫رﯾﺎﺿﯽ‪ ،‬ﺑﺠﺰ در ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ هﺎﯼ ﻗﺪﯾﻤﯽ اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬ﻣﮑﻤﻞ ‪ ١‬ﺑﺮاﯼ اﻋﻤﺎل‬ ‫ﻣﻨﻄﻘﯽ ﻣﻔﻴﺪ اﺳﺖ ﭼﻮن ﺗﺒﺪﯾﻞ ‪ ٠‬ﺑﻪ ‪ ١‬و ﯾﺎ ﺑﻪ ‪ ١‬ﺑﻪ ‪ ٠‬ﻣﻌﺎدل ﺑﺎ ﯾﮏ ﻣﮑﻤﻞ ﺳﺎزﯼ‬ ‫ﻣﻨﻄﻘﯽ اﺳﺖ ﮐﻪ در ﻓﺼﻞ ﺑﻌﺪﯼ ﻧﺸﺎن دادﻩ ﺧﻮاهﺪ ﺷﺪ ‪ ..‬روش ﻣﺸﺎﺑﻬﯽ ﺑﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ ‪ -١‬ﻋﻼﻣﺖ ﻗﺎﺑﻞ اﻋﻤﺎل اﺳﺖ و در ان رﻗﻢ ﻧﻘﻠﯽ ﭼﺮﺧﺸﯽ ‪ ،‬هﻤﭽﻮن اﻋﺪاد ﺑﺪون‬ ‫ﻋﻼﻣﺖ ‪ ،‬ﻧﻴﺰ ﻣﻨﻈﻮر ﻣﯽ ﺷﻮد ‪.‬‬ ‫ﺟﻤﻊ ﺣﺴﺎﺑﯽ‬ ‫ﺟﻤﻊ دو ﻋﺪد در ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﻘﺪار – ﻋﻼﻣﺖ از ﻗﻮاﻧﻴﻦ ﻣﻌﻤﻮﻟﯽ رﯾﺎﺿﯽ ﺗﺒﻌﻴﺖ ﻣﯽ ﻧﻤﺎﯾﺪ ‪.‬‬ ‫اﮔﺮ ﻋﻼﻣﺘﻬﺎ ﯾﮑﺴﺎن ﺑﺎﺷﻨﺪ ‪ ،‬دو ﻣﻘﺪار را ﺑﻪ هﻢ اﺿﺎﻓﻪ ﻣﯽ ﮐﻨﻴﻢ ﺗﺎ ﻣﺠﻤﻮع ﺑﺎ ﻋﻼﻣﺖ‬ ‫ﻣﺸﺘﺮﮎ را ﺑﺪهﺪ ‪ .‬اﮔﺮ ﻋﻼﻣﺘﻬﺎ ﻣﺨﺘﻠﻒ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﻣﺎ ﻣﻘﺪار ﮐﻮﭼﮑﺘﺮ را از ﺑﺰرﮔﺘﺮ ﮐﻢ ﻣﯽ‬ ‫ﮐﻨﻴﻢ و ﻋﻼﻣﺖ ﻣﻘﺪار را ﺑﺮ ﻣﯽ ﮔﺰﻧﻴﻢ ﻣﺜﻼً ‪،‬‬

‫‪(+25) + (−37) = −(37 − 25) = −12‬‬ ‫و ﺑﺪﯾﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ اﻧﺠﺎم ﺷﺪﻩ ﮐﻪ ﻣﻘﺪار ﮐﻮﭼﮑﺘﺮ ‪ ٢۵‬از ‪ ٣٧‬ﮐﻢ ﺷﺪﻩ و ﻋﻼﻣﺖ ‪ ٣٧‬ﺑﻌﻨﻮان‬ ‫ﻋﻼﻣﺖ ﺟﻮاب ﺑﮑﺎر رﻓﺘﻪ اﺳﺖ ‪ .‬اﯾﻦ روﻧﺪ ﺑﻪ ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ ﻋﻼﻣﺘﻬﺎ و ﺳﭙﺲ اﺟﺮاﯼ ﺟﻤﻊ ﯾﺎ‬ ‫ﺗﻔﺮﯾﻖ ﻧﻴﺎز دارد ‪ .‬روش ﻣﺸﺎﺑﻬﯽ ﺑﻪ اﻋﺪاد دودوﯾﯽ در ﻓﺮم ﻣﻘﺪار – ﻋﻼﻣﺖ ﻗﺎﺑﻞ اﻋﻤﺎل‬ ‫اﺳﺖ ‪ .‬ﺑﺮﻋﮑﺲ ‪ ،‬ﻗﺎﻧﻮن ﺟﻤﻊ در ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﮑﻤﻞ – ﻋﻼﻣﺖ ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ ﯾﺎ ﺗﻔﺮﯾﻘﯽ را اﺣﺘﻴﺎج‬ ‫ﻧﺪارد ﺑﻠﮑﻪ ﻓﻘﻂ ﺟﻤﻊ ﻣﻮرد ﻧﻴﺎز اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫ﺟﻤﻊ دو ﻋﺪد دودوﯾﯽ ﻋﻼﻣﺖ دار ﺑﺎ اﻋﺪاد ﻣﻨﻔﯽ ﮐﻪ ﺑﻔﺮم ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٢‬ﻧﺸﺎن دادﻩ ﺷﺪﻩ اﻧﺪ‬ ‫از ﺟﻤﻊ دو ﻋﺪد ﺣﺎﺻﻞ ﻣﯽ ﺷﻮد ﮐﻪ ﺑﻴﺖ ﻋﻼﻣﺘﺸﺎن ﻧﻴﺰ ﻣﻨﻈﻮر ﻣﯽ ﮔﺮدد ‪ .‬رﻗﻢ ﻣﻨﻔﯽ‬ ‫در اﺑﺘﺪا ﺑﺼﻮرت ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٢‬ﻣﯽ ﺑﺎﺷﻨﺪ و ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ اﮔﺮ ﻣﻨﻔﯽ ﺑﺎﺷﺪ ﺑﺼﻮرت ﻣﮑﻤﻞ ‪٢‬‬ ‫اﺳﺖ ‪.‬‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪٢٠‬‬

‫‪١١١١١٠١٠‬‬

‫‪-۶‬‬

‫‪٠٠٠٠٠١١٠‬‬

‫‪٠٠٠٠١١٠١‬‬

‫‪+١٣‬‬

‫‪٠٠٠٠١١٠١‬‬

‫‪+۶‬‬

‫‪+٠١٣‬‬ ‫‪٠٠٠١٠٠١١‬‬

‫‪+١٩‬‬

‫‪٠٠٠٠٠١١١‬‬

‫‪+٧‬‬

‫‪١١١١١٠١٠‬‬

‫‪-۶‬‬

‫‪٠٠٠٠٠١١٠‬‬

‫‪+۶‬‬

‫‪١١١١٠٠١١‬‬

‫‪-١٣‬‬

‫‪١١١١٠٠١١‬‬

‫‪-١٣‬‬

‫‪١١١٠١١٠١‬‬

‫‪-١٩‬‬

‫‪١١١١١٠٠١‬‬

‫‪-٧‬‬

‫ﺑﺮاﯼ ﯾﺎﻓﺘﻦ ﯾﮏ ﺟﻮاب ﺻﺤﻴﺢ ‪ ،‬ﻣﺎ ﺑﺎﯾﺪ ﻣﻄﻤﺌﻦ ﺑﺎﺷﻴﻢ ﮐﻪ ﺑﺮاﯼ ﺟﺎ ﺳﺎزﯼ ﺟﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ‬ ‫ﺗﻌﺪاد ﮐﺎﻓﯽ ﺑﻴﺖ وﭼﻮد دارد ‪ .‬اﮔﺮ ﺑﺎ دو ﻋﺪد ‪ n‬ﺑﻴﺖ ﺁﻏﺎز ﮐﻨﻴﻢ و ﺟﻤﻊ ‪ n+١‬ﺑﻴﺖ را اﺷﻐﺎل‬ ‫ﮐﻨﺪ ﮔﻮﯾﻴﻢ ﺳﺮرﯾﺰ رخ دادﻩ اﺳﺖ ‪ .‬ﺳﺮرﯾﺰ ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ ﯾﮏ ﻣﺴﺌﻠﻪ اﺳﺖ زﯾﺮا ﺗﻌﺪاد ﺑﻴﺖ‬ ‫هﺎﯾﯽ ﮐﻪ ﻋﺪد را ﻧﮕﻪ ﻣﯽ دارﻧﺪ ﻣﺤﺪود اﺳﺖ و اﮔﺮ ﺟﻮاب ﺑﻪ اﻧﺪازﻩ ‪ ١‬واﺣﺪ از ﺣﺪاﮐﺜﺮ‬ ‫ﻣﻘﺪار ﻗﺎﺑﻞ ﻧﮕﻬﺪارﯼ در ‪ n‬ﺑﻴﺖ ﺗﺠﺎوز ﮐﻨﺪ ﻗﺎﺑﻞ ﺟﺎﯼ دهﯽ ﻧﺨﻮاهﺪ ﺑﻮد ‪.‬‬ ‫ﺗﻔﺮﯾﻖ ﺣﺴﺎﺑﯽ‬ ‫ﺗﻔﺮﯾﻖ دود ﻋﺪد ﻋﻼﻣﺖ دار ‪ ،‬وﻗﺘﯽ ﮐﻪ ﺑﺼﻮرت ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٢‬ﺑﺎﺷﺪ ﺑﺴﻴﺎر ﺳﺎدﻩ اﺳﺖ و‬ ‫ﺑﺼﻮرت زﯾﺮ ﺑﻴﺎن ﻣﯽ ﮔﺮدد ‪.‬‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٢‬ﻣﻔﺮوق ﻣﻨﻪ را ﺑﺪﺳﺖ ﺁورﯾﺪ ) ﺑﺎ ﺑﻴﺖ ﻋﻼﻣﺖ ( و ﺁن را ﺑﺎ ﻣﻔﺮوق ) ﺑﺎ ﺑﻴﺖ‬ ‫ﻋﻼﻣﺖ ( ﺟﻤﻊ ﮐﻨﺪ ‪ .‬رﻗﻢ ﻧﻘﻠﯽ از ﻣﮑﺎن ﺑﻴﺖ ﻋﻼﻣﺖ ﺣﺬف ﻣﯽ ﮔﺮدد ‪.‬‬

‫) ‪( ± A ) − ( + B ) = ( ± A ) + (−B‬‬ ‫) ‪( ± A ) − ( − B ) = ( ± A ) + (+ B‬‬ ‫اﻣﺎ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﯾﮏ ﻋﺪ ﻣﺜﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﻨﻔﯽ ﺑﻪ ﺳﺎدﮔﯽ ﺑﺎ ﯾﺎﻓﺘﻦ ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٢‬ﺁن اﻣﮑﺎن ﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫ﻋﮑﺲ ﻣﻄﻠﺐ ﻧﻴﺰ ﺻﺤﻴﺢ اﺳﺖ زﯾﺮا ﻣﮑﻤﻞ ﯾﮏ ﻋﺪد ﻣﻨﻔﯽ ﺑﻔﺮم ﻣﮑﻤﻞ ‪ ،‬ﯾﮏ ﻋﺪ ﻣﺜﺒﺖ‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪٢١‬‬

‫ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻣﯽ ﻧﻤﺎﯾﺪ ‪ .‬ﺗﻔﺮﯾﻖ ‪ (-۶) – (-٣ ) = +٧‬را ﻣﻼﺣﻈﻪ ﮐﻨﻴﺪ ‪ .‬در دودوﯾﯽ ﺑﺎ هﺸﺖ‬ ‫ﺑﻴﺖ ‪ ،‬اﯾﻦ ﺗﻔﺮﯾﻖ ﺑﺼﻮرت ‪ ١١١١١٠١٠ – ١١١١٠٠١١‬ﻧﻮﺷﺘﻪ ﻣﯽ ﺷﻮد و ﻋﻤﻞ ﺗﻔﺮﯾﻖ ﺑﺎ‬ ‫ﺑﺪﺳﺖ ﺁوردن ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٢‬ﻣﻔﺮوض ﻣﻨﻪ )‪ (-١٣‬ﺑﺼﻮرت )‪ (+١٣‬در ﻣﯽ ﺁﯾﺪ ‪ .‬در دودوﯾﯽ‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮﺳﺖ ﺑﺎ ‪ . ١١١١١٠١٠ – ٠٠٠٠١١٠١ = ١٠٠٠٠٠١١١‬ﺑﺎ ﺣﺬف رﻗﻢ ﻧﻘﻠﯽ ﻧﻬﺎﯾﯽ‬ ‫ﭘﺎﺳﺦ ﺻﺤﻴﺢ ‪ ٠٠٠٠٠١١١‬ﮐﻪ هﻤﺎن )‪ (+٧‬اﺳﺖ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﯽ ﺁﯾﺪ ‪.‬‬ ‫‪ ١-٧‬ﮐﺪهﺎﯼ دودوﯾﯽ‬ ‫ﯾﮏ ﻋﺪد دودوﯾﯽ ‪ n‬رﻗﻤﯽ را ﻣﯽ ﺗﻮان ﺑﺎ ﯾﮏ ﻣﺪار ﮐﻪ داراﯼ ‪ n‬ﺟﺰء دودوﯾﯽ اﺳﺖ و هﺮ‬ ‫ﮐﺪام داراﯼ ﯾﮏ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺧﺮوﺟﯽ ﻣﻌﺎدل ‪ ٠‬و ﯾﺎ ‪ ١‬هﺴﺘﻨﺪ ‪ ،‬ﻧﺸﺎن داد ‪ .‬ﺳﻴﺴﺘﻢ هﺎﯼ‬ ‫دﯾﺠﻴﺘﺎل ﻧﻪ ﺗﻨﻬﺎ اﻋﺪاد دودوﯾﯽ ﺑﻠﮑﻪ ﺑﺴﻴﺎرﯼ از اﺟﺰاء ﮔﺴﺴﺘﻪ اﻃﻼﻋﺎﺗﯽ دﯾﮕﺮ را ﻧﻴﺰ‬ ‫ﻧﻤﺎﯾﺶ ﻣﯽ دهﻨﺪ و روﯼ ﺁﻧﻬﺎ ﻋﻤﻞ ﻣﯽ ﮐﻨﻨﺪ ‪ .‬هﺮ ﻋﻨﺼﺮ ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻣﺴﺘﻘﻞ اﻃﻼﻋﺎﺗﯽ در‬ ‫ﻣﻴﺎن ﯾﮏ ﮔﺮوﻩ از ﻣﻘﺎدﯾﺮ را ﻣﯽ ﺗﻮان ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎدﻩ از ﮐﺪ دودوﯾﯽ ﻧﺸﺎن داد ‪ .‬ﮐﺪهﺎ ﺑﺎﯾﺪ‬ ‫ﺑﺼﻮرت دودوﯾﯽ ﺑﺎﺷﻨﺪ زﯾﺮا ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ هﺎ ﻗﺎدر ﺑﻪ ﻧﮕﻬﺪارﯼ ‪ ٠‬هﺎ و ‪ ١‬هﺎ ﻣﯽ ﺑﺎﺷﻨﺪ ‪.‬‬ ‫ﯾﮏ ﺑﻴﺖ ‪ ،‬ﻃﺒﻖ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﯾﮏ رﻗﻢ دودوﯾﯽ اﺳﺖ ‪ .‬وﻗﺘﯽ ﮐﻪ ﺑﻪ هﻤﺮاﻩ ﯾﮏ ﮐﺪ ﺑﮑﺎر ﻣﯽ رود‬ ‫ﺑﻬﺘﺮ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺁن را ﺑﻪ ﯾﮏ ﮐﻤﻴﺖ دودوﯾﯽ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ‪ ٠‬ﯾﺎ ‪ ١‬هﺎ ﺗﺼﻮر ﻣﯽ ﮐﻨﻴﻢ ‪ .‬ﻧﻤﺎﯾﺶ‬ ‫ﯾﮏ ﮔﺮوﻩ از ‪ ٢n‬ﻋﻨﺼﺮ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﮐﺪ ‪ ،‬ﺑﻪ ﺣﺪاﻗﻞ ‪ n‬ﺑﻴﺖ ﻧﻴﺎز دارد ‪ ،‬زﯾﺮا ‪ n‬ﺑﻴﺖ را ﻣﯽ ﺗﻮان‬ ‫ﺑﻪ ‪ 2n‬ﻃﺮﯾﻖ ﻣﺠﺰا در ﮐﻨﺎر هﻢ ﻗﺮار داد ‪ .‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل هﺸﺖ ﻋﻨﺼﺮ ﻧﻴﺎزﻣﻨﺪ ﯾﮏ ﮐﺪ ﺳﻪ‬ ‫ﺑﻴﺘﯽ اﺳﺖ ﮐﻪ هﺮ ﺟﺰء ﺁن ﻓﻘﻂ و ﻓﻘﻂ ﺑﻪ ﯾﮑﯽ از ﺗﺮﮐﻴﺒﺎت ‪، ٠١١ ، ٠١٠ ، ٠٠١ ، ٠٠٠‬‬ ‫‪ ١١٠ ، ١٠١ ، ١٠٠‬و ‪ ١١١‬ﻧﺴﺒﺖ دادﻩ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬ﻣﺜﺎﻟﻬﺎﯼ ﻓﻮق ﻧﺸﺎن ﻣﯽ دهﻨﺪ ﮐﻪ‬ ‫ﺗﺮﮐﻴﺒﺎت ﯾﮏ ﮐﺪ ‪ n‬ﺑﻴﺘﯽ را ﻣﯽ ﺗﻮان ﺑﺎ ﺷﻤﺎرش دودوﯾﯽ از ﺻﻔﺮ ﺗﺎ )‪ ( ٢n-١‬ﺑﻪ دﺳﺖ‬ ‫ﺁورد ‪ .‬وﻗﺘﯽ ﮐﻪ ﺗﻌﺪاد اﺟﺰاﯼ ﯾﮏ ﮔﺮوﻩ اﻃﻼﻋﺎﺗﯽ دﻗﻴﻘﺎً ﻣﻌﺎدل ﺗﻮاﻧﯽ از ‪ ٢‬ﻧﺒﺎﺷﺪ ﺗﻌﺪادﯼ‬ ‫از ﺗﺮﮐﻴﺒﺎت ﮐﺪهﺎ را ﺑﻼاﺳﺘﻔﺎدﻩ ﺑﺎﻗﯽ ﻣﯽ ﮔﺬارﯾﻢ ‪ .‬ارﻗﺎم ‪ ٩ ، ... ، ١ ، ٠‬در دﺳﺘﮕﺎهﯽ‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪٢٢‬‬

‫دهﺪهﯽ ﻣﺜﺎﻟﯽ از ﭼﻨﻴﻦ ﮔﺮوهﯽ اﺳﺖ ‪ .‬ﭼﻬﺎر ﺑﻴﺖ ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﺪ ﺷﺎﻧﺰدﻩ ﺗﺮﮐﻴﺐ ﻣﺠﺰا را ﺑﻪ‬ ‫وﺟﻮد ﺁورد اﻣﺎ از ﺁﻧﺠﺎﯾﯽ ﮐﻪ دﻩ رﻗﻢ را ﺑﻴﺸﺘﺮ ﻧﻤﯽ ﺧﻮاهﻴﻢ ﮐﺪ ﮔﺬارﯼ ﮐﻨﻴﻢ ﺷﺶ‬ ‫ﺗﺮﮐﻴﺐ ﺑﺎﻗﯽ ﻣﺎﻧﺪﻩ دﯾﮕﺮ ﺑﻪ ﮐﺎر ﮔﺮﻓﺘﻪ ﻧﺸﺪﻩ وﺑﻼ اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﻣﯽ ﻣﺎﻧﺪ ‪.‬‬ ‫اﮔﺮ ﭼﻪ ﺑﺮاﯼ ﮐﺪ ﮐﺮدن ‪ ٢n‬ﻣﻘﺪار ﻣﺸﺘﻤﻞ ‪ ،‬ﻣﻴﻨﻴﻤﻢ ﺗﻌﺪاد ﺑﻴﺘﻬﺎ ﻻزم ‪ n‬ﺗﺎﺳﺖ ‪ .‬وﻟﯽ‬ ‫ﻣﻘﺪار ﻣﺎﮐﺰﯾﻤﻢ ﺑﺮاﯼ ﺗﻌﺪاد ﺑﻴﺘﻬﺎﯼ ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎدﻩ وﺟﻮد ﻧﺪارد ‪ .‬ﻣﺜﻼً دﻩ رﻗﻢ دهﺪهﯽ را‬ ‫ﻣﯽ ﺗﻮان ﺑﺎ دﻩ ﺑﻴﺖ ﺑﻪ اﯾﻦ ﺻﻮرت ﮐﺪ ﮐﺮد ﮐﻪ هﺮ رﻗﻢ دهﺪهﯽ را ﺑﻪ رﻗﻢ دودوﯾﯽ ﻧﺴﺒﺖ‬ ‫ﺑﺪهﻴﻢ ﮐﻪ ‪ ٩‬ﺗﺎ ﺻﻔﺮ و ﯾﮏ ‪ ١‬دارد ‪ .‬در اﯾﻦ ﮐﺪ ﮔﺬارﯼ وﯾﭙﻪ رﻗﻢ ‪ ۶‬ﺑﺎ اﯾﻦ ﺗﺮﮐﻴﺐ ﺑﺼﻮرت‬ ‫‪ ٠٠٠١٠٠٠٠٠٠‬ﻧﻤﺎﯾﺶ دادﻩ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪.‬‬ ‫ﮐﺪهﺎﯼ دهﺪهﯽ‬ ‫ﮐﺪهﺎﯼ دودوﯾﯽ ﺑﺮاﯼ ارﻗﺎم دهﺪهﯽ ﺣﺪاﻗﻞ ﭼﻬﺎر ﺑﻴﺖ ﻻزم دارﻧﺪ ‪ .‬از ﮐﻨﺎر هﻢ ﻗﺮار دادن‬ ‫ﭼﻬﺎر ﺑﻴﺖ ﯾﺎ ﺑﻴﺸﺘﺮ در دﻩ ﺗﺮﮐﻴﺐ ﻣﺴﺘﻘﻞ ﻣﻤﮑﻦ ‪ ،‬ﮐﺪهﺎﯼ ﻣﺘﻌﺪدﯼ ﻣﯽ ﺗﻮان ﺑﻪ دﺳﺖ‬ ‫اورد ‪ .‬در ﺟﺪول )‪ (١-٢‬ﺗﻌﺪادﯼ از اﯾﻦ ﺣﺎﻻت ﻣﻤﮑﻦ ﻧﺸﺎن دادﻩ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫ﮐﺪ ‪ BCD‬ﮐﺪﯼ اﺳﺖ ﮐﻪ در ﺁن از ﻣﻌﺎدل دودوﯾﯽ اﻋﺪاد در ﻣﺒﻨﺎﯼ دﻩ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎً اﺳﺘﻔﺎدﻩ‬ ‫ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬ﺑﻪ ﺑﻴﺘﻬﺎﯼ دودوﯾﯽ ﺑﺮ ﻃﺒﻖ ﻣﮑﺎﻧﺸﺎن ﻣﯽ ﺗﻮان وزن ﯾﺎ ارزﺷﯽ ﻧﺴﺒﺖ داد ‪.‬‬ ‫اﯾﻦ روش در ﮐﺪ ‪ ١،٢،۴،٨ ، BCD‬اﺳﺖ ‪ .‬ﻣﺜﻼً ﮐﺪ ‪ ٠١١٠‬ﺑﺮﺣﺴﺐ ارزش ﺑﻴﺘﻬﺎ ﻧﺸﺎن‬ ‫دهﻨﺪﻩ رﻗﻢ ‪ ۶‬دهﺪهﯽ اﺳﺖ ‪ :‬ﭼﻮن ‪ 0 × 8 + 1× 4 + 1× 2 + 0 ×1 = 6‬هﻤﭽﻨﻴﻦ ﻣﯽ ﺗﻮان‬ ‫ارزﺷﻬﺎﯼ ﻣﻨﻔﯽ ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪ ٨ ، ۴ ،-٢،-١‬را ﺑﻪ ﮐﺪ دهﺪهﯽ ﺗﺨﺼﻴﺺ داد ‪ .‬در اﯾﻦ ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﺗﺮﮐﻴﺐ ‪ ، ٠١١٠‬ﻋﺪد ‪ ٢‬ﺗﻔﺴﻴﺮ ﻣﯽ ﺷﻮد و ﺑﻄﺮﯾﻖ زﯾﺮ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﯽ ﮔﺮدد ‪:‬‬

‫‪0 × 8 + 1× 4 + 1× (−2) + 0 × (−1) = 2‬‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪٢٣‬‬

‫دو ﮐﺪ وزﯾﻦ دﯾﮕﺮ ﮐﻪ در ﺟﺪول ﻧﺸﺎن دادﻩ ﺷﺪﻩ اﻧﺪ ‪ ٢۴٢١ ،‬و ‪ ۵٠۴٣٢١٠‬هﺴﺘﻨﺪ ﮐﻪ‬ ‫دهﺪهﯽ ﮐﻪ در ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ هﺎﯼ ﻗﺪﯾﻤﯽ ﺑﻪ ﮐﺎر ﻣﯽ رﻓﺘﻪ ﮐﺪ اﻓﺰوﻧﯽ ‪ -٣‬ﺑﻮدﻩ اﺳﺖ ‪ .‬اﯾﻦ‬ ‫ﯾﮏ ﮐﺪ ﻏﻴﺮ وزﯾﻦ اﺳﺖ ‪ ،‬و از ﺟﻤﻊ ﻋﺪد ‪ ٣‬ﺑﺎ ﻣﻘﺪار ‪ BCD‬ﺁن ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﯽ ﺁﯾﺪ ‪.‬‬ ‫ﺟﺪول )‪ (١-٢‬ﮐﺪهﺎﯼ دودوﯾﯽ ﺑﺮاﯼ ارﻗﺎم دهﺪهﯽ‬ ‫دوﭘﻨﺠﯽ‬ ‫‪۵٠۴٣٢١٠‬‬ ‫‪٠١٠٠٠٠١‬‬ ‫‪٠١٠٠٠١٠‬‬ ‫‪٠١٠٠١٠٠‬‬ ‫‪٠١٠١٠٠٠‬‬ ‫‪٠١١٠٠٠٠‬‬ ‫‪١٠٠٠٠٠١‬‬ ‫‪١٠٠٠٠١٠‬‬ ‫‪١٠٠٠١٠٠‬‬ ‫‪١٠٠١٠٠٠‬‬ ‫‪١٠١٠٠٠٠‬‬

‫‪٢۴٢١‬‬

‫‪٨۴-٢-١‬‬

‫اﻓﺰوﻧﯽ ‪٣-‬‬

‫‪٠٠٠٠‬‬ ‫‪٠٠٠١‬‬ ‫‪٠٠١٠‬‬ ‫‪٠٠١١‬‬ ‫‪٠١٠٠‬‬ ‫‪١٠١١‬‬ ‫‪١١٠٠‬‬ ‫‪١١٠١‬‬ ‫‪١١١٠‬‬ ‫‪١١١١‬‬

‫‪٠٠٠٠‬‬ ‫‪٠١١١‬‬ ‫‪٠١١٠‬‬ ‫‪٠١٠١‬‬ ‫‪٠١٠٠‬‬ ‫‪١٠١١‬‬ ‫‪١٠١٠‬‬ ‫‪١٠٠١‬‬ ‫‪١٠٠٠‬‬ ‫‪١١١١‬‬

‫‪٠٠١١‬‬ ‫‪٠١٠٠‬‬ ‫‪٠١٠١‬‬ ‫‪٠١١٠‬‬ ‫‪٠١١١‬‬ ‫‪١٠٠٠‬‬ ‫‪١٠٠١‬‬ ‫‪١٠١٠‬‬ ‫‪١٠١١‬‬ ‫‪١١٠٠‬‬

‫)‪( BCD‬‬ ‫‪٨۴٢١‬‬ ‫‪٠٠٠٠‬‬ ‫‪٠٠٠١‬‬ ‫‪٠٠١٠‬‬ ‫‪٠٠١١‬‬ ‫‪٠١٠٠‬‬ ‫‪٠١٠١‬‬ ‫‪٠١١٠‬‬ ‫‪٠١١١‬‬ ‫‪١٠٠٠‬‬ ‫‪١٠٠١‬‬

‫رﻗﻢ‬ ‫دهﺪهﯽ‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪۴‬‬ ‫‪۵‬‬ ‫‪۶‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪٩‬‬

‫اﻋﺪاد در ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ دﯾﺠﻴﺘﺎل ﺑﻪ ﺻﻮرت دودوﯾﯽ و ﯾﺎ ﺑﻪ ﺻﻮرت دهﺪهﯽ ﺗﻮﺳﻂ ﯾﮏ ﮐﺪ‬ ‫دودوﯾﯽ ﻧﻤﺎﯾﺶ دادﻩ ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ ‪ .‬ﻣﺜﻼً وﻗﺘﯽ ﮐﻪ ﻋﺪد ‪ ٣٩٢‬ﺑﻪ دودوﯾﯽ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻣﯽ ﺷﻮد‬ ‫ﻋﺪد ‪ ١١٠٠٠١٠١١‬ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﯽ ﺁﯾﺪ ﮐﻪ ﺷﺎﻣﻞ ‪ ٩‬رﻗﻢ دودوﯾﯽ اﺳﺖ ‪ .‬هﻤﺎن ﻋﺪد وﻗﺘﯽ‬ ‫ﺑﻪ ﻓﺮم ‪ BCD‬ﻧﻤﺎﯾﺶ دادﻩ ﻣﯽ ﺷﻮد ﺑﺮاﯼ هﺮ رﻗﻢ دهﺪهﯽ ﭼﻬﺎر ﺑﻴﺖ اﺷﻐﺎل ﻣﯽ ﮔﺮدد‬ ‫ﮐﻪ ﺟﻤﻌﺎً دوازد ﺑﻴﺖ ﺧﻮاهﺪ ﺷﺪ ‪ ،‬ﯾﻌﻨﯽ ‪. ٠٠١١١٠٠١٠١٠١‬‬ ‫درﮎ اﺧﺘﻼف ﺗﺒﺪﯾﻞ ﯾﮏ ﻋﺪد دهﺪهﯽ ﺑﻪ دودوﯾﯽ و ﮐﺪ ﮔﺬارﯼ دودوﯾﯽ هﻤﺎن ﻋﺪد‬ ‫دهﺪهﯽ اﻣﺮ ﻣﻬﻤﯽ اﺳﺖ ‪ .‬در هﺮ ﺣﺎﻟﺖ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻧﻬﺎﯾﯽ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ اﯼ از ﺑﻴﺘﻬﺎ اﺳﺖ ‪ .‬ﮐﺪ‬ ‫‪ BCD‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﮐﺪﯼ ﮐﻪ ﺑﻪ دو ﺻﻮرت ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﻗﺮار ﻣﯽ ﮔﻴﺮد ‪ ،‬اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪﻩ‬ ‫اﺳﺖ ‪ .‬ﻣﺎداﻣﯽ ﮐﻪ ﻋﺪد ﺑﻴﻦ ‪ ٠‬اﻟﯽ ‪ ٩‬ﺑﺎﺷﺪ اﻃﻼﻋﺎﺗﯽ دودوﯾﯽ ‪ ،‬ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫اﻋﺪاد ﻓﻮق ﺑﻪ ﺻﻮرت دودوﯾﯽ اﺳﺖ وﻟﯽ اﮔﺮ ﻋﺪد ﺑﻴﺶ از ‪ ٩‬ﺑﺎﺷﺪ دﯾﮕﺮ اﯾﻦ ﺗﺒﺪﯾﻞ‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪٢٤‬‬

‫ﻣﻔﻬﻮﻣﯽ ﻧﺪارد و در اﯾﻦ ﺻﻮرت ﺗﺒﺪﯾﻞ و ﮐﺪ ﮔﺬارﯼ ﺑﺎ ﯾﮑﺪﯾﮕﺮ اﺧﺘﻼف دارﻧﺪ ‪ .‬اﯾﻦ ﻣﻔﻬﻮم‬ ‫ﺁﻧﻘﺪر اهﻤﻴﺖ دارد ﮐﻪ ﺗﮑﺮار ﯾﮏ ﻣﺜﺎل دﯾﮕﺮ در ﻣﻮرد ﺁن ارزﺷﻤﻨﺪ اﺳﺖ ‪ .‬ﻣﻌﺎدل ﻋﺪد‬ ‫دهﺪهﯽ ‪ ١٣‬ﺑﻪ دودوﯾﯽ ﻋﺪد ‪ ١١٠١‬اﺳﺖ و ﮐﺪ ﺁن در ‪ ٠٠٠١٠٠١١ ، BCD‬ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ‪.‬‬ ‫از ﻣﻴﺎن ﭘﻨﺞ ﮐﺪ ﻓﻬﺮﺳﺖ ﺷﺪﻩ در ﺟﺪول )‪ (١-٢‬ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﻣﯽ رﺳﺪ ﮐﻪ ‪ BCD‬ﻃﺒﻴﻌﯽ ﺗﺮﯾﻦ‬ ‫ﮐﺪ ﺑﺮاﯼ اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﺑﻮدﻩ و در ﺣﻘﻴﻘﺖ ﻣﻌﻤﻮﻟﻴﺘﺮﯾﻦ ﺁﻧﻬﺎﺳﺖ ‪ .‬ﮐﺪهﺎﯼ دﯾﮕﺮ ﭼﻬﺎر ﺑﻴﺘﯽ ﯾﮏ‬ ‫ﻣﺸﺨﺼﻪ ﻣﺸﺘﺮﮎ دارﻧﺪ ﮐﻪ در ‪ BCD‬ﯾﺎﻓﺖ ﻧﻤﯽ ﺷﻮد ‪ .‬ﮐﺪ اﻓﺰوﻧﯽ ‪ ٣-‬و ‪ ٢،٢،۴،١‬و ﮐﺪ‬ ‫‪ ٨ ، ۴ ، -٢ ، -١‬ﮐﺪهﺎﯼ ﺧﻮد ﻣﮑﻤﻞ هﺴﺘﻨﺪ ‪ ،‬ﺑﻪ اﯾﻦ ﻣﻔﻬﻮم ﮐﻪ ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٩‬ﻋﺪد دهﺪهﯽ‬ ‫ﺑﻪ ﺳﺎدﮔﯽ ﺑﺎ ﺗﺒﺪﯾﻞ ‪٠‬هﺎ ﺑﻪ ‪١‬هﺎ و ‪ ١‬هﺎ ﺑﻪ ‪ ٠‬هﺎ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﯽ ﺁﯾﺪ ‪ .‬ﻣﺜﻼً ﻋﺪد ‪ ٣٩۵‬در ﻣﺪ‬ ‫‪ ١،٢،۴،٢‬ﺑﻪ ﺷﮑﻞ ‪ ٠٠١١١١١١١٠١١‬اﺳﺖ ‪ .‬ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٩‬اﯾﻦ ﻋﺪد ﯾﻌﻨﯽ ‪ ۶٠۴‬ﺑﺎ‬ ‫‪ ١١٠٠٠٠٠٠٠١٠٠‬ﻧﻤﺎﯾﺶ دادﻩ ﻣﯽ ﺷﻮدﮐﻪ ﺑﻪ ﺳﺎدﮔﯽ از ﺟﺎﯾﮕﺰﯾﻨﯽ ‪ ١‬هﺎ ﺑﺎ ‪ ٠‬هﺎ و ‪٠‬‬ ‫هﺎ ﺑﺎ ‪ ١‬هﺎ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﯽ ﺁﯾﺪ ‪ .‬اﯾﻦ ﺧﺎﺻﻴﺖ زﻣﺎﻧﯽ ﮐﻪ اﻋﻤﺎل ﻣﺤﺎﺳﺒﺎﺗﯽ ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ ﺑﺎ‬ ‫اﻋﺪاد دهﺪهﯽ ) در ﮐﺪ دودوﯾﯽ ( ﺻﻮرت ﻣﯽ ﮔﻴﺮد و ﻋﻤﻞ ﺗﻔﺮﯾﻖ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎدﻩ از ﻣﮑﻤﻞ ‪٩‬‬ ‫اﻧﺠﺎم ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ ،‬ﺳﻮدﻣﻨﺪ اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫ﮐﺪ دو ﭘﻨﺠﯽ ﮐﻪ در ﺟﺪول )‪ (١-٢‬ﻧﺸﺎن دادﻩ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ ﻣﺜﺎﻟﯽ از ﯾﮏ ﮐﺪ هﻔﺖ ﺑﻴﺘﯽ ﺑﺎ‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺁﺷﮑﺎر ﺳﺎزﯼ ﺧﻄﺎ اﺳﺖ ‪ .‬هﺮ رﻗﻢ دهﺪهﯽ ‪ ،‬ﺷﺎﻣﻞ ﭘﻨﺞ ‪ ٠‬و دو ‪ ، ١‬ﮐﻪ در‬ ‫ﺳﺘﻮﻧﻬﺎﯼ وزﯾﻦ ﻣﺮﺑﻮﻃﻪ ﺟﺎﯼ ﮔﺮﻓﺘﻪ اﻧﺪ ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ‪ .‬ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺁﺷﮑﺎر ﺳﺎزﯼ ﺧﻄﺎﯼ اﯾﻦ‬ ‫ﮐﺪ زﻣﺎﻧﯽ ﻗﺎﺑﻞ درﮎ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﺪاﻧﻴﻢ ﺳﻴﺴﺘﻤﻬﺎﯼ دﯾﺠﻴﺘﺎل ‪ ١‬و ‪ ٠‬دودوﯾﯽ را ﺑﺎ دو‬ ‫ﺳﻄﺢ وﻟﺘﺎژ ﯾﺎ ﺟﺮﯾﺎن ﻣﺴﺘﻘﻞ از هﻢ ﻧﺸﺎن ﻣﯽ دهﻨﺪ ‪ .‬در ﻃﻮل اﻧﺘﻘﺎل اﯾﻦ ﺳﻄﺢ وﻟﺘﺎژ ﯾﺎ‬ ‫ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎ ‪ ،‬از ﯾﮏ ﻣﺤﻞ ﺑﻪ ﻣﺤﻞ دﯾﮕﺮ ‪ ،‬ﺧﻄﺎﯾﯽ ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ اﺗﻔﺎق اﻓﺘﺪ و ﯾﮏ ﯾﺎ ﭼﻨﺪ‬ ‫ﺑﻴﺖ اﺣﺘﻤﺎﻻً ﺗﻐﻴﻴﺮ ارزش ﺑﺪهﺪ ‪ .‬ﯾﮏ ﮐﺪار در ﻣﻘﺼﺪ ﻗﺎدر اﺳﺖ وﺟﻮد دو و ‪ ١‬ﯾﺎ ﮐﻤﺘﺮ در‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪٢٥‬‬

‫ﮐﺪ دو ﭘﻨﺠﯽ را ﺁﺷﮑﺎر ﮐﻨﺪ ‪ .‬اﮔﺮ ﺗﺮﮐﻴﺐ ﺑﻴﺘﻬﺎﯼ رﺳﻴﺪﻩ ﺑﺎ ﺗﺮﮐﻴﺐ ﻣﺠﺎز در ﮐﺪ ﯾﮑﺴﺎن‬ ‫ﻧﺒﺎﺷﺪ ‪ ،‬ﯾﮏ ﺧﻄﺎ ﻣﺤﺴﻮب ﺷﺪﻩ و اﻃﻼع دادﻩ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪.‬‬ ‫ﮐﺪ هﺎﯼ ﺁﺷﮑﺎر ﺳﺎزﯼ ﺧﻄﺎ‬ ‫اﻃﻼﻋﺎت دودوﯾﯽ ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ از ﯾﮏ ﻣﮑﺎن ﺑﻪ ﻣﮑﺎن دﯾﮕﺮ ﺑﮑﻤﮏ وﺳﺎﯾﻞ ارﺗﺒﺎﻃﯽ ﻣﺜﻞ‬ ‫ﺳﻴﻤﻬﺎ ﯾﺎ ﻣﻮﺟﻬﺎﯼ رادﯾﻮﯾﯽ اﻧﺘﻘﺎل ﯾﺎﺑﻨﺪ ‪ .‬هﺮ ﭘﺎرازﯾﺖ ﺧﺎرﺟﯽ ﮐﻪ وارد وﺳﺎﯾﻞ ﻓﻴﺰﯾﮑﯽ‬ ‫ﺷﻮد ارزش ﺑﻴﺘﻬﺎ را از ‪ ٠‬ﺑﻪ ‪ ١‬و ﯾﺎ ﺑﺮﻋﮑﺲ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﯽ دهﺪ ‪ .‬ﻣﻌﻤﻮل ﺗﺮﯾﻦ روش ﺧﻄﺎﯾﺎﺑﯽ‬ ‫‪ ،‬اﺳﺘﻔﺎدﻩ از ﺑﻴﺖ ﺗﻮازن اﺳﺖ ‪ .‬ﯾﮏ ﺑﻴﺖ ﺗﻮازن ‪ ،‬ﺑﻴﺘﯽ اﺳﺖ اﺿﺎﻓﯽ ﮐﻪ ﺟﺰﺋﯽ از ﭘﻴﺎم‬ ‫اﺳﺖ ﺳﺒﺐ ﻣﯽ ﺷﻮد ﮐﻪ ﺗﻌﺪاد ﮐﻞ ‪ ١‬هﺎ در ﭘﻴﺎن زوج ﯾﺎ ﻓﺮد ﮔﺮدد ﯾﮏ ﭘﻴﻐﺎم ﭼﻬﺎر ﺑﻴﺘﯽ‬ ‫ﺑﻪ هﻤﺮاﻩ ﺑﻴﺖ ﺗﻮازن ‪ P‬در ﺟﺪول )‪ (١-٣‬ﻧﺸﺎن دادﻩ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ ‪ .‬اﮔﺮ ﺑﻴﺖ ﺗﻮازن ﻓﺮد‬ ‫اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪﻩ ﺑﺎﺷﺪ ‪ P‬ﻃﻮرﯼ اﻧﺘﺨﺎب ﻣﯽ ﮔﺮدد ﮐﻪ ﻣﺠﻤﻮع ‪١‬هﺎ در ﭘﻨﺞ ﺑﻴﺖ ﻓﺮد ﺑﺎﺷﺪ و‬ ‫در ﺗﻮازن زوج ‪ P‬ﻃﻮرﯼ اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪﻩ ﺗﺎ ﻣﺠﻤﻮع هﻤﻪ ‪ ١‬هﺎ زوج ﺑﺎﺷﺪ ‪.‬‬ ‫ﺟﺪول )‪ (١-٣‬ﺑﻴﺖ ﺗﻮازن‬ ‫) زوج ( ‪P‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬

‫ﭘﻴﺎم ) ‪( b‬‬ ‫‪٠٠٠٠‬‬ ‫‪٠٠٠١‬‬ ‫‪٠٠١٠‬‬ ‫‪٠٠١١‬‬ ‫‪٠١٠٠‬‬ ‫‪٠١٠١‬‬ ‫‪٠١١٠‬‬ ‫‪٠١١١‬‬ ‫‪١٠٠٠‬‬ ‫‪١٠٠١‬‬ ‫‪١٠١٠‬‬ ‫‪١٠١١‬‬ ‫‪١١٠٠‬‬ ‫‪١١٠١‬‬ ‫‪١١١٠‬‬ ‫‪١١١١‬‬

‫)ﻓﺮد ( ‪P‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬

‫ﭘﻴﺎم ) ‪( a‬‬ ‫‪٠٠٠٠‬‬ ‫‪٠٠٠١‬‬ ‫‪٠٠١٠‬‬ ‫‪٠٠١١‬‬ ‫‪٠١٠٠‬‬ ‫‪٠١٠١‬‬ ‫‪٠١١٠‬‬ ‫‪٠١١١‬‬ ‫‪١٠٠٠‬‬ ‫‪١٠٠١‬‬ ‫‪١٠١٠‬‬ ‫‪١٠١١‬‬ ‫‪١١٠٠‬‬ ‫‪١١٠١‬‬ ‫‪١١١٠‬‬ ‫‪١١١١‬‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪٢٦‬‬

‫ﻧﺤﻮﻩ ﺧﻄﺎﯾﺎﺑﯽ ﺑﺪون ﺷﺮح اﺳﺖ ‪ .‬ﯾﮏ ﺑﻴﺖ ﺗﻮازن زوج در ﻣﺒﺪا ﺑﺮاﯼ هﺮ ﭘﻴﺎم ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻣﯽ‬ ‫ﺷﻮد ‪ .‬ﺑﻴﺖ ﺗﻮازن هﻤﺮاﻩ ﺑﺎ ﭘﻴﺎم ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﻣﻘﺼﺪ ارﺳﺎل ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬ﺗﻮزان در ﻣﻘﺼﺪ ﭼﮏ‬ ‫ﻣﯽ ﮔﺮدد ‪ .‬زوج ﻧﺒﻮدن دادﻩ رﺳﻴﺪﻩ ﺑﻪ ﻣﻌﻨﯽ اﯾﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺣﺪاﻗﻞ ﯾﮏ ﺑﻴﺖ در ﺿﻤﻦ‬ ‫اﻧﺘﻘﺎل ﺗﻌﻮﯾﺾ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ ‪ .‬اﯾﻦ روش ﻗﺎدر اﺳﺖ هﺮ ﺗﺮﮐﻴﺐ ﻓﺮدﯼ از ﺗﻌﺪاد ﺧﻄﺎ ﻣﺎﻧﻨﺪ‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ ﯾﮏ ‪ ،‬ﺳﻪ و ‪ ...‬ﺑﻴﺖ را در هﺮ ﭘﻴﺎم اﻧﺘﻘﺎل ﯾﺎﻓﺘﻪ ﻣﺸﺨﺺ ﻧﻤﺎﯾﺪ ‪ .‬روش هﺎﯼ‬ ‫ﺗﺸﺨﻴﺺ ﺧﻄﺎﯼ اﺿﺎﻓﯽ دﯾﮕﺮﯼ ﺑﺮاﯼ ﯾﺎﻓﺘﻦ ﺧﻄﺎهﺎﯼ زوج ﻻزم اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫ﮐﺪ ﮔﺮﯼ ) اﻧﻌﮑﺎﺳﯽ (‬ ‫ﺳﻴﺴﺘﻤﻬﺎﯼ دﯾﺠﻴﺘﺎل ﻓﻘﻂ ﺑﺮاﯼ ﭘﺮدازش دادﻩ هﺎﯼ ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻃﺮاﺣﯽ ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ ‪.‬‬ ‫ﺑﺴﻴﺎرﯼ از دﺳﺘﮕﺎهﻬﺎﯼ ﻓﻴﺰﻳﮑﯽ دادﻩ ﺧﺮوﺟﯽ ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻣﯽ ﮐﻨﻨﺪ ‪ ..‬اﻃﻼﻋﺎت‬ ‫ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﯾﺎ ﺁﻧﺎﻟﻮگ ﺑﻮﺳﻴﻠﻪ ﻣﺒﺪل ﺁﻧﺎﻟﻮگ ﺑﻪ دﯾﺠﻴﺘﺎل ﺑﻪ ﻓﺮم دﯾﺠﻴﺘﺎل ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ ‪.‬‬ ‫ﮔﺎهﯽ اوﻗﺎت اﺳﺘﻔﺎدﻩ از ﮐﺪ ﮔﺮﯼ ﻧﺸﺎن دادﻩ ﺷﺪﻩ در ﺟﺪول )‪ ، (١-۴‬ﺟﻬﺖ ﻧﻤﺎﯾﺶ دادﻩ‬ ‫هﺎﯼ دﯾﺠﻴﺘﺎل ﺗﺒﺪﯾﻞ ﺷﺪﻩ از دادﻩ هﺎﯼ ﺁﻧﺎﻟﻮگ ﻣﻌﻤﻮﻟﺘﺮ اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫ﻣﺰﯾﺖ ﮐﺪ ﮔﺮﯼ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ اﻋﺪاد دودوﯾﯽ ﻣﺤﺾ اﯾﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ وﻗﺘﯽ از ﯾﮏ ﻋﺪد ﺑﻪ ﻋﺪد‬ ‫ﺑﻌﺪﯼ ﻣﯽ روﯾﻢ ﻓﻘﻂ ﯾﮏ ﻣﺰﯾﺖ ﺑﻴﺖ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﯽ ﮐﻨﺪ ‪ .‬ﻣﺜﻼً در رﻓﺘﻦ از ‪ ٧‬ﺑﻪ ‪ ، ٨‬ﮐﺪ ﮔﺮﯼ از‬ ‫‪ ٠١٠٠‬ﺑﻪ ‪ ١١٠٠‬ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﯽ ﯾﺎﺑﺪ ‪ .‬دﯾﺪﻩ ﻣﯽ ﺷﻮد ﮐﻪ ﻓﻘﻂ ﺳﻤﺖ ﭼﭗ ﺗﺮﯾﻦ ﺑﻴﺖ از ‪ ٠‬ﺑﻪ ‪١‬‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ ﯾﺎﻓﺘﻪ و ﺳﻪ ﺑﻴﺖ ﺑﻘﻴﻪ ﯾﮑﺴﺎﻧﻨﺪ ‪ .‬وﻗﺘﯽ ﻣﻄﻠﺐ را ﺑﺎ اﻋﺪاد دودوﯾﯽ ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ ﮐﻨﻴﻢ ‪،‬‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ از ‪ ٧‬ﺑﻪ ‪ ٨‬ﺳﺒﺐ ﺗﻐﻴﻴﺮ هﺮ ﭼﻬﺎر ﺑﻴﺖ ‪ ،‬ﯾﻌﻨﯽ از ‪ ٠١١١‬ﺑﻪ ‪ ١٠٠٠‬ﻣﯽ ﮔﺮدد ‪.‬‬ ‫ﮐﺪ ﮔﺮﯼ در ﮐﺎرﺑﺮدهﺎﯾﯽ ﮐﻪ رﺷﺘﻪ ﻣﻌﻤﻮﻟﯽ اﻋﺪاد دودوﯾﯽ اﻣﮑﺎن ﺗﻮﻟﻴﺪ ﺧﻄﺎ دارﻧﺪ ﺑﮑﺎر‬ ‫ﻣﯽ رود ‪ .‬ﺑﻬﻨﮕﺎم ﺗﻐﻴﻴﺮ از ‪ ٠١١١‬ﺑﻪ ‪ ، ١٠٠٠‬اﮔﺮ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﺳﻤﺖ راﺳﺖ ﺗﺮﯾﻦ ﺑﻴﺖ از ﺳﻪ‬ ‫ﺑﻴﺖ دﯾﮕﺮ ﺑﻴﺸﺘﺮ ﻃﻮل ﺑﮑﺸﺪ ﯾﮏ ﻋﺪد ﻣﻴﺎﻧﻪ اﯼ ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ ١٠٠١‬ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬ﮐﺪ ﮔﺮﯼ‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪٢٧‬‬

‫اﯾﻦ ﻣﺸﮑﻞ را ﺣﺬف ﻣﯽ ﻧﻤﺎﯾﺪ زﯾﺮا ﺑﻬﻨﮕﺎم اﻧﺘﻘﺎل ﺑﻴﻦ دو ﻋﺪد ﻓﻘﻂ ﯾﮏ ﺗﻐﻴﺮ رخ ﻣﯽ‬ ‫دهﺪ ‪.‬‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ اﯼ از ﮐﺎرﺑﺮد ﮐﺪ ﮔﺮﯼ هﻨﮕﺎﻣﯽ اﺳﺖ ﮐﻪ دادﻩ ﺁﻧﺎﻟﻮگ ﺑﻮﺳﻴﻠﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﺷﻔﺖ‬ ‫ﻧﻤﺎﯾﺶ دادﻩ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬دور ﺷﻔﺖ ﺑﻪ ﻗﻄﻌﺎﺗﯽ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﺷﺪﻩ ‪ ،‬و ﺑﻪ هﺮ ﻗﻄﻌﻪ ﻋﺪدﯼ‬ ‫ﺗﺨﺼﻴﺺ ﯾﺎﻓﺘﻪ اﺳﺖ ‪ .‬اﮔﺮ ﻗﻄﻌﺎت ﻣﺠﺎور ﺑﻮﺳﻴﻠﻪ ﮐﺪ ﮔﺮﯼ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺷﻮﻧﺪ ‪ ،‬اﺑﻬﺎم در‬ ‫ﺗﻔﮑﻴﮏ دو ﻧﺎﺣﻴﻪ ﻣﺠﺎور ﮐﻪ در ﺣﺎل اﺣﺴﺎس ﺷﺪن اﺳﺖ ﮐﺎهﺶ ﻣﯽ ﯾﺎﺑﺪ ‪.‬‬ ‫ﺟﺪول )‪ (١-۴‬ﮐﺪ ﮔﺮﯼ ‪ ۴‬ﺑﻴﺘﯽ‬ ‫ﻣﻌﺎدل دهﺪهﯽ‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪۴‬‬ ‫‪۵‬‬ ‫‪۶‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪١١‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪١٣‬‬ ‫‪١۴‬‬ ‫‪١۵‬‬

‫ﮐﺪ ﮔﺮﯼ‬ ‫‪٠٠٠٠‬‬ ‫‪٠٠٠١‬‬ ‫‪٠٠١١‬‬ ‫‪٠٠١٠‬‬ ‫‪٠١١٠‬‬ ‫‪٠١١١‬‬ ‫‪٠١٠١‬‬ ‫‪٠١٠٠‬‬ ‫‪١١٠٠‬‬ ‫‪١١٠١‬‬ ‫‪١١١١‬‬ ‫‪١١١٠‬‬ ‫‪١٠١٠‬‬ ‫‪١٠١١‬‬ ‫‪١٠٠١‬‬ ‫‪١٠٠٠‬‬

‫ﮐﺪ هﺎﯼ ‪ASCII‬‬ ‫در ﺑﺴﻴﺎرﯼ از ﮐﺎرﺑﺮدهﺎﯼ ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ هﺎﯼ دﯾﺠﻴﺘﺎل ﻧﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﻧﻴﺎز ﺑﻪ دﺳﺘﮑﺎرﯼ روﯼ دادﻩ‬ ‫هﺎﯼ ﻋﺪدﯼ ﺑﻠﮑﻪ روﯼ ﺣﺮوف ﻧﻴﺰ ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ‪ .‬ﯾﮏ ﮐﺎراﮐﺘﺮ اﻟﻔﺒﺎ ﻋﺪدﯼ ﻋﺒﺎرت از ﯾﮏ ﮐﺪ‬ ‫دودوﯾﯽ ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﻋﻨﺼﺮﯼ از ﯾﮏ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﮐﻪ ﺷﺎﻣﻞ ‪ ١٠‬رﻗﻢ دهﺪهﯽ ‪ ٢۶ ،‬ﺣﺮوف اﻟﻔﺒﺎ‬ ‫و ﺗﻌﺪاد ﻣﻌﻴﻨﯽ از ﻋﻼﺋﻢ ﻣﺨﺼﻮص اﺳﺖ ‪ .‬ﭼﻨﻴﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ اﯼ ﺑﻴﻦ ‪ ٣۶‬ﺗﺎ ‪ ۶۴‬ﻋﻨﺼﺮ ﺑﺮاﯼ‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪٢٨‬‬

‫ﺣﺮوف ﺑﺰرگ و ﯾﺎ ﺑﻴﻦ ‪ ۶۴‬ﺗﺎ ‪ ١٢٨‬ﻋﻨﺼﺮ ﺑﺎ ﺣﺮوف ﺑﺎﻻ و ﭘﺎﯾﻴﻦ هﺮ ﮐﻠﻴﺪ دارد ‪ .‬در ﺣﺎﻟﺖ اول‬ ‫ﺑﻪ ﺷﺶ ﺑﻴﺖ و در ﺣﺎﻟﺖ دوم ﺑﻪ هﻔﺖ ﺑﻴﺖ ﻧﻴﺎز اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫ﮐﺪ دودوﯾﯽ اﺳﺘﺎﻧﺪارد ﺑﺮاﯼ ﮐﺎراﮐﺘﺮ هﺎﯼ اﻟﻔﺒﺎ ﻋﺪدﯼ ‪ ASCII‬اﺳﺖ ‪ .‬اﯾﻦ ﮐﺪ از هﻔﺖ‬ ‫ﺑﻴﺖ ﺑﺮاﯼ ﮐﺪ ﻧﻤﻮدن ‪ ١٢٨‬ﮐﺎراﮐﺘﺮ اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﻣﯽ ﮐﻨﺪ ‪ .‬هﻔﺖ ﺑﻴﺖ ﺑﺎ ‪ b1‬ﺗﺎ ‪ b7‬ﻣﺸﺨﺺ‬ ‫ﺷﺪﻩ اﻧﺪ ﮐﻪ ‪ b7‬ﺑﺎ ارزﺷﺘﺮﯾﻦ ﺑﻴﺖ را ﺗﺸﮑﻴﻞ ﻣﯽ دهﺪ ‪ .‬ﻣﺜﻼً ‪ ،‬ﺣﺮف ‪ A‬در ‪ ASCII‬ﺑﺼﻮرت‬ ‫‪ ) ١٠٠٠٠٠١‬ﺳﺘﻮن ‪ ١٠٠‬ﺳﻄﺮ ‪ ( ٠٠٠١‬ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ‪ .‬ﮐﺪ ‪ ASCII‬داراﯼ ‪ ٩۴‬ﮐﺪ ﺷﺎﻣﻞ ‪٢۶‬‬ ‫ﮐﺎراﮐﺘﺮ ﻣﺮﺑﻮﻃﻪ ﺑﻪ ﺣﺮوف ﺑﺰرگ ) ‪ A‬ﺗﺎ ‪ ٢۶ ، ( Z‬ﮐﺎراﮐﺘﺮ ﺣﺮوف ﮐﻮﭼﮏ ) ‪ a‬ﺗﺎ ‪١٠ ، ( z‬‬ ‫ﻋﺪد ) ‪ ٠‬ﺗﺎ ‪ ( ٩‬و ‪ ٣٢‬ﮐﺎراﮐﺘﺮ ﻣﺨﺼﻮص ﭼﺎپ ﻧﺸﺪﻧﯽ ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ * ، %‬و ‪ $‬اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫ﮐﺪ هﻤﻴﻨﮓ‬ ‫ﺟﻬﺖ ﺗﺸﺨﻴﺺ و ﺗﺼﺤﻴﺢ ﺧﻄﺎ ﺑﮑﺎر ﻣﯽ رود‪ .‬اﮔﺮ ‪ M‬ﭘﻴﺎم ارﺳﺎﻟﯽ ‪ m‬ﺑﻴﺘﯽ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪M :n n n n‬‬ ‫‪1 2 3 4‬‬

‫‪ k‬ﺗﻌﺪاد ﺑﻴﺘﻬﺎﯼ ﺗﻮازن ﮐﻪ اﺿﺎﻓﻪ ﻣﯽ ﺷﻮد و از راﺑﻄﻪ زِﻳﺮ ﺗﺒﻌﻴﺖ ﻣﯽ ﮐﻨﺪ‪k + m ≤ 2 k − 1 .‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪0 1 2‬‬ ‫ﺑﻴﺘﻬﺎﯼ ﺗﻮزان درﻣﺤﻠﻬﺎﯼ ‪ (2 2 2 .....) 2‬ﻗﺮار ﻣﯽ ﮔﻴﺮد ‪p p m p m m m .‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7‬‬

‫ﺑﻴﺘﻬﺎﯼ ﺗﻮازن ﺑﺪﻳﻨﺼﻮرت ﺑﺪﺳﺖ ﻣﯽ ﺁﻳﻨﺪ‪:‬‬ ‫ﻣﺤﺪودﻩ ﺑﻴﺖ‬ ‫هﺎﯼ‬ ‫ﭘﻴﺎم‬

‫ﺗﻌﺪاد ﺑﻴﺖ هﺎﯼ‬ ‫ﺗﻮزان ‪k‬‬

‫‪2-4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1 1‬‬

‫‪5-11‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0 1‬‬

‫‪12-26‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1 0‬‬

‫‪27-57‬‬

‫‪6‬‬

‫‪1 1‬‬

‫‪m →0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪m →1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪m →1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪m →0‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪P =m ⊕m ⊕m‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪P =m ⊕m ⊕m‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪P =m ⊕m ⊕m‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪٢٩‬‬ ‫‪⇒ p1 p 2 1 p 4 0 1 1‬‬

‫‪M: 101 1‬‬

‫‪P = m ⊕ m ⊕ m = 1⊕ 0 ⊕1 = 0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪P = m ⊕ m ⊕ m = 1⊕1⊕1 = 1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪P = m ⊕ m ⊕ m = 0 ⊕1⊕1 = 0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﺗﺸﺨﻴﺺ ﺧﻄﺎ‪:‬‬ ‫ﮐﺪ ﺧﻄﺎﻳﯽ از روﯼ اﻃﻼﻋﺎت درﻳﺎﻓﺘﯽ اﯾﺠﺎد ﻣﯽ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫‪C :C C C‬‬ ‫‪4 2 1‬‬ ‫‪C = P ⊕m ⊕m ⊕m‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪C = P ⊕m ⊕ m ⊕ m‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪C = P ⊕m ⊕m ⊕m‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬

‫اﮔﺮ ‪ C=0‬ﺧﻄﺎﯾﯽ رخ ﻧﺪادﻩ اﺳﺖ اﮔﺮ ‪ C ≠ 0‬ﺧﻄﺎ رخ دادﻩ و ﻣﻘﺪارﯼ ‪ c‬ﻣﮑﺎن ﺧﻄﺎ ﺧﻮاهﺪ‬ ‫ﺑﻮد ‪.‬‬

‫‪0 1 1 0 0 11→ 0 0 1 0 011‬‬

‫‪⇒C =0 1 0 = 2‬‬

‫‪C =0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪C =1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪C =0‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﺗﺸﺨﻴﺺ و ﺗﺼﺤﻴﺢ ﻳﻚ ﺧﻄﺎ‬

‫‪m=5‬‬ ‫‪k =4‬‬ ‫‪p p m p m m m p m‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8 9‬‬ ‫‪C = P ⊕m ⊕m ⊕m ⊕m‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪C = P ⊕m ⊕ m ⊕ m‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪C = P ⊕m ⊕m ⊕m‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪C =m‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪٣٠‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪minimum distance‬‬ ‫ﺣﺪاﻗﻞ ﻓﺎﺻﻠﻪ ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از ﺣﺪاﻗﻞ ﺗﻌﺪاد ﺑﻴﺖ هﺎﯾﯽ ﮐﻪ ﺑﺎﯾﺪ در ﯾﮏ ﮐﺪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﯾﺎﺑﺪ ﺗﺎ ﮐﺪ‬ ‫ﻣﺠﺎز دﯾﮕﺮﯼ از هﻤﺎن ﺳﻴﺴﺘﻢ ﮐﺪ ﮔﺬارﯼ ﺑﻪ دﺳﺖ ﺁﯾﺪ ‪.‬‬ ‫‪ = ١‬ﮐﺪ ﮔﺮﯼ‬

‫‪M . D.‬‬

‫‪ = ١‬ﮐﺪ ‪2421‬‬

‫‪M . D.‬‬

‫در ﺻﻮرﺗﻴﮑﻪ ‪ MD = 3‬ﺑﺎﺷﺪ و ﯾﮏ ﺑﻴﺖ دﭼﺎر ﺧﻄﺎ ﺷﻮد هﻢ ﻗﺎدر ﺑﻪ ﺗﺸﺨﻴﺺ ﺧﻄﺎ و هﻢ‬ ‫ﺗﻮاﻧﺎﯾﯽ ﺗﺼﺤﻴﺢ ﺁن را دارﯾﻢ ‪.‬‬ ‫‪M = C + d +1‬‬

‫‪ : d‬ﺗﻌﺪاد ﺑﻴﺖ هﺎي ﺧﻄﺎي ﻗﺎﺑﻞ ﺗﺸﺨﻴﺺ‬ ‫‪ : c‬ﺗﻌﺪاد ﺑﻴﺖ هﺎي ﺧﻄﺎي ﻗﺎﺑﻞ ﺗﺼﺤﻴﺢ‬ ‫ﺑﻪ ﮐﺪ هﻤﻴﻨﮓ ﺑﻴﺖ ﺗﻮازن دﯾﮕﺮﯼ اﺿﺎﻓﻪ ﻣﯽ ﮐﻨﺪ ﮐﻪ ﺑﺎ ﺗﻤﺎم ﺑﻴﺘﻬﺎﯼ ﺗﻮزان زوج ﺑﺮﻗﺮارﯼ‬ ‫ﻣﯽ ﮐﻨﺪ ‪.‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪d‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪M‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪P p m p m m m p m ,p‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8 9 0‬‬

‫در ﻣﻘﺼﺪ ﮐﻪ ‪ C :C C C C‬و ﺗﻮزان دﯾﮕﺮﯼ ﺑﺎ ﻧﺎم ‪ p‬را اﯾﺠﺎد ﻣﯽ ﮐﻨﻨﺪ ‪.‬‬ ‫‪8 4 2 1‬‬ ‫‪P = P ⊕ p ⊕ ... m ⊕ p‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪0‬‬

‫ﺧﻄﺎﯾﯽ رخ ﻧﺪادﻩ اﺳﺖ‬

‫‪P=0‬‬

‫‪,‬‬

‫‪C =0‬‬

‫ﯾﮏ ﺧﻄﺎ رخ دادﻩ و ﻗﺎﺑﻞ ﺗﺼﺤﻴﺢ‬

‫‪P =1‬‬

‫‪,‬‬

‫‪C≠0‬‬

‫دو ﺧﻄﺎ رخ دادﻩ و ﻓﻘﻂ ﻗﺎﺑﻞ ﺗﺸﺨﻴﺺ‬

‫‪P=0‬‬

‫‪,‬‬

‫‪C≠0‬‬

‫‪,‬‬

‫‪C =0‬‬

‫ﺧﻮد ‪ P‬دﭼﺎر ﺧﻄﺎ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ‬

‫‪P =1‬‬

‫‪١‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم ‪ :‬ﺟﺒﺮ ﺑﻮل و ﮔﻴﺖ هﺎﯼ ﻣﻨﻄﻘﯽ‬ ‫‪ ٢-١‬ﺗﻌﺮﯾﻒ اﺻﻮﻟﯽ ﺟﺒﺮ ﺑﻮل‬

‫در ﺳﺎل ‪ ١٨۵۴‬ﺟﻮرج ﺑﻮل روش اﺻﻮﻟﯽ ﺑﺮاﯼ ﻣﻨﻄﻖ ﻣﻌﺮﻓﯽ ﻧﻤﻮد و ﺑﺪﯾﻦ ﻃﺮﯾﻖ ﯾﮏ‬ ‫ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺟﺒﺮﯼ را ﭘﺎﯾﻪ رﯾﺰﯼ ﮐﺮد ﮐﻪ اﻣﺮوز ﺟﺒﺮ ﺑﻮل ﻧﺎﻣﻴﺪﻩ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬ﺑﺮاﯼ ﺗﻌﺮﯾﻒ‬ ‫ﻣﺴﺘﺪل ﺟﺒﺮ ﺑﻮل ‪ ،‬ﻣﺎ اﺻﻮل ﻓﺮﻣﻮﻟﻪ ﺷﺪﻩ ﺑﻮﺳﻴﻠﻪ هﺎﻧﺘﻴﻨﮕﺘﻮن در ‪ ١٩٠۴‬را ﺑﻪ ﮐﺎر‬ ‫ﺧﻮاهﻴﻢ ﺑﺮد ‪ .‬اﯾﻦ اﺻﻮل ﺑﺮاﯼ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺟﺒﺮ ﺑﻮل ﻣﻨﺤﺼﺮ ﺑﻪ ﻓﺮد ﻧﻴﺴﺘﻨﺪ و اﺻﻮل دﯾﮕﺮﯼ ﻧﻴﺰ‬ ‫در ﺁن ﺑﮑﺎر رﻓﺘﻪ اﻧﺪ ‪.‬‬ ‫ﺟﺒﺮ ﺑﻮل ﯾﮏ ﺳﺎﺧﺘﺎر ﺟﺒﺮﯼ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﺎ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ‪ B‬هﻤﺮاﻩ ﺑﺎ دو ﻋﻤﻠﮕﺮ )‪ (+‬و )‪(.‬‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺷﺪﻩ و داراﯼ اﺻﻮل زﯾﺮ ) اﺻﻮل هﺎﻧﺘﻴﻨﮕﺘﻮن ( ﺑﺎﺷﺪ ‪:‬‬ ‫‪ ( a) -١‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻋﻤﻠﮕﺮ )‪ (.‬ﺑﺴﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ‪.‬‬ ‫)‪ ( b‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻋﻤﻠﮕﺮد )‪ (.‬ﺑﺴﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ‪.‬‬ ‫‪ ( a) -٢‬ﻋﻨﺼﺮ ﺧﻨﺜﯽ در ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺑﺮاﯼ )‪ (+‬ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ‪ ٠‬ﺑﺎﺷﺪ ‪.‬‬

‫‪x+0=0+ x= x‬‬ ‫‪ (b) -٣‬ﻋﻨﺼﺮ ﺧﻨﺜﯽ در ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺑﺮاﯼ ) ‪ (.‬ﺑﺮاﺑﺮ ‪ ١‬ﺑﺎﺷﺪ ‪.‬‬

‫‪x.1 = 1.x = x‬‬ ‫‪ (a) -۴‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ )‪ (+‬داراﯼ ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺟﺎﺑﺠﺎﯾﯽ ﺑﺎﺷﺪ ‪.‬‬

‫‪x+ y= y+ x‬‬ ‫)‪ (b‬ﻣﺠﻮﻋﻪ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ )‪ (.‬داراﯼ ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺟﺎﺑﺠﺎﯾﯽ ﺑﺎﺷﺪ ‪:‬‬

‫‪x. y = y..x‬‬ ‫‪ (.) ( a) -۴‬روﯼ )‪ (+‬داراﯼ ﺧﺎﺻﻴﺖ ﭘﺨﺸﯽ اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫)‪ (+) (b‬روﯼ )‪ (.‬داراﯼ ﺧﺎﺻﻴﺖ ﭘﺨﺸﯽ اﺳﺖ ‪.‬‬

‫)‪x.( y + z) = ( x. y) + ( x.z‬‬

‫)‪x + ( y.z) = ( x + y).( x + z‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم ‪ :‬ﺟﺒﺮ ﺑﻮل و ﮔﻴﺖ هﺎﯼ ﻣﻨﻄﻘﯽ‬ ‫‪ -۵‬ﺑﻪ ازاﯼ هﺮ ﻋﻨﺼﺮ‬

‫‪x∈ B‬‬

‫ﻋﻨﺼﺮﯼ ﻣﺜﻞ‬

‫‪x∈ B‬‬

‫وﺟﻮد داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ) اﯾﻦ ﻋﻨﺼﺮ‬

‫ﻣﮑﻤﻞ ﺧﻮاﻧﺪﻩ ﻣﯽ ﺷﻮد ( ﺑﻄﻮرﯼ ﮐﻪ ‪:‬‬ ‫)‪( a‬‬

‫‪x + x′ =1‬‬

‫)‪( b‬‬

‫‪x.x ′ = 0‬‬

‫‪ -۶‬ﺣﺪاﻗﻞ دو ﻋﻨﺼﺮ ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ x, y ∈ B‬ﻣﻮﺟﻮد ﺑﺎﺷﻨﺪ ﺑﻄﻮرﯾﮑﻪ ‪x ≠ y :‬‬

‫ازﻣﻘﺎﯾﺴﻪ ﺟﺒﺮ‬

‫ﺑﻮل ﺑﺎ رﯾﺎﺿﻴﺎت ﺟﺒﺮﯼ ﻣﻌﻤﻮﻟﯽ ) ﻣﻴﺪان اﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﯽ ( اﺧﺘﻼﻓﺎت زﯾﺮ ﻣﻼﺣﻈﻪ ﻣﯽ‬ ‫ﮔﺮدﻧﺪ ‪:‬‬ ‫‪ -١‬اﺻﻮل هﺎﻧﺘﻴﻨﮕﺘﻮن ﺷﺎﻣﻞ اﺻﻞ اﺷﺘﺮاﮎ ﭘﺬﯾﺮﯼ ﻧﻴﺴﺘﻨﺪ ‪ .‬اﯾﻦ ﻗﺎﻧﻮن ﺑﺮاﯼ ﺟﺒﺮ ﺑﻮل ﻧﻴﺰ‬ ‫وﺟﻮد دارد و ﻣﯽ ﺗﻮان ﺁن را ﺑﺮاﯼ هﺮ دو ﻋﻤﻠﮕﺮ از ﺳﺎﯾﺮ اﺻﻮل ﺑﺪﺳﺖ ﺁورد ‪.‬‬ ‫‪ -٢‬ﻗﺎﻧﻮن ﺗﻮزﯾﻊ ﭘﺬﯾﺮﯼ )‪ (+‬و )‪ ( .‬اﺧﺘﻼف ﺑﻌﺪﯼ اﺳﺖ ‪ .‬راﺑﻄﻪ ‪:‬‬

‫)‪x + ( y.z) = ( x + y).) x + z‬‬ ‫ﺑﺮاﯼ ﺟﺒﺮ ﺑﻮل ﻣﻌﺘﺒﺮ وﻟﯽ ﺑﺮاﯼ ﺟﺒﺮ ﻣﻌﻤﻮﻟﯽ ﻗﺎﺑﻞ ﻗﺒﻮل ﻧﻴﺴﺖ ‪.‬‬ ‫‪ -٣‬ﺟﺒﺮ ﺑﻮل ﻣﻌﮑﻮس ﺟﻤﻊ و ﺿﺮب را ﻧﺪارد ‪ ،‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺗﻔﺮﯾﻖ و ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻣﻔﻬﻮم ﻧﺨﻮاهﻨﺪ‬ ‫داﺷﺖ ‪.‬‬ ‫‪ -۴‬اﺻﻞ ‪ ۵‬ﻋﻤﻠﮕﺮد دﯾﮕﺮﯼ ﺑﻨﺎم ﻣﮑﻤﻞ را ﻣﻌﺮﻓﯽ ﻣﯽ ﻧﻤﺎﯾﺪ ﮐﻪ در ﺟﺒﺮ ﻣﻌﻤﻮﻟﯽ وﺟﻮد‬ ‫ﻧﺪارد ‪.‬‬ ‫‪ -۵‬ﺟﺒﺮ ﻣﻌﻤﻮﻟﯽ در ﻣﻮرد اﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﯽ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﯽ ﻧﻬﺎﯾﺖ ﻋﻨﺼﺮ را ﺷﺎﻣﻞ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪.‬‬ ‫ﺟﺒﺮ ﺑﻮل ﺑﺎ ﻋﻨﺎﺻﺮﯼ از ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ‪ B‬ﮐﻪ اﻟﺒﺘﻪ ﺗﺎ ﮐﻨﻮن ﻣﻌﺮﻓﯽ ﻧﺸﺪﻩ اﻧﺪ ﺳﺮو ﮐﺎر داﺷﺖ‬ ‫وﻟﯽ درﺟﺒﺮ ﺑﻮل دو ارزﺷﯽ ﯾﺎ دو ﻣﻘﺪارﯼ ﮐﻪ در زﯾﺮ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺷﺪﻩ ‪ B ،‬ﯾﮏ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ دو‬ ‫ﻋﻨﺼﺮﯼ اﺳﺖ ﮐﻪ اﯾﻦ دو ﻋﻨﺼﺮ ‪ ٠‬و ‪ ١‬ﻣﯽ ﺑﺎﺷﻨﺪ ‪.‬‬ ‫‪ ٢-٢‬ﻗﻀﻴﻪ هﺎﯼ اﺻﻠﯽ و ﺧﻮاص ﺟﺒﺮ ﺑﻮل‬

‫‪٣‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم ‪ :‬ﺟﺒﺮ ﺑﻮل و ﮔﻴﺖ هﺎﯼ ﻣﻨﻄﻘﯽ‬

‫اﺻﻮل هﺎﻧﺘﻴﮕﺘﻮن ﺑﺼﻮرت ﺟﻔﺖ ﺟﻔﺖ ﻟﻴﺴﺖ و ﺑﺎ ﻗﺴﻤﺖ هﺎﯼ )‪ ( a‬و )‪ ( b‬ﻣﺸﺨﺺ‬ ‫ﺷﺪ ‪ .‬هﺮ ﯾﮏ از اﯾﻦ دو را ﻣﯽ ﺗﻮان از دﯾﮕﺮﯼ ﺑﺪﺳﺖ ﺁورد ﺑﺸﺮط اﯾﻨﮑﻪ ﻋﻤﻠﮕﺮهﺎ و ﻧﻴﺰ‬ ‫ﻋﻨﺎﺻﺮ ﺧﻨﺜﯽ ﺗﻌﻮﯾﺾ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬اﯾﻦ ﺧﺎﺻﻴﺖ ﻣﻬﻢ درﺟﺒﺮ ﺑﻮل ﺑﻪ اﺻﻞ دوﮔﺎﻧﮕﯽ ﻣﻌﺮوف‬ ‫اﺳﺖ و ﺑﻴﺎن ﻣﯽ دارد ﮐﻪ هﺮ ﻋﺒﺎرت ﺟﺒﺮﯼ ﻣﻨﺘﺠﻪ از اﺻﻮل ﺟﺒﺮ ﺑﻮل ﺣﺘﯽ ﺑﺎ ﺗﻌﻮﯾﺾ‬ ‫ﻋﻤﻠﮕﺮ هﺎ و ﻋﻨﺎﺻﺮ ﺧﻨﺜﯽ ﺑﺎز هﻢ ﻣﻌﺘﺒﺮ ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ‪ .‬در ﺟﺒﺮ ﺑﻮل دو ارزﺷﯽ ﻋﻨﺎﺻﺮ‬ ‫ﺧﻨﺜﯽ و ﺧﻮد ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻣﺤﻤﻮﻋﻪ ‪ B‬ﯾﮑﺴﺎﻧﻨﺪ ‪١ :‬و‪ ٠‬اﺻﻞ دوﮔﺎﻧﮕﯽ ﮐﺎرﺑﺮدهﺎﯼ ﻓﺮاواﻧﯽ‬ ‫دارد ‪ .‬اﮔﺮ دو ﮔﺎن ﯾﮏ ﻋﺒﺎرت ﺟﺒﺮﯼ ‪ ،‬ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ ﺑﺎﺷﺪ ﺗﻨﻬﺎ ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ ﻋﻤﻠﮕﺮهﺎﯼ ‪ OR‬و‬ ‫‪ AND‬ﺗﻌﻮﯾﺾ ﺷﺪﻩ و ‪ ٠‬هﺎ ﺑﻪ ‪ ١‬هﺎ و هﻤﭽﻨﻴﻦ ‪١‬هﺎ ﺑﻪ ‪ ٠‬هﺎ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﮔﺮدﻧﺪ ‪.‬‬ ‫ﺗﺌﻮرﯼ هﺎﯼ اﺳﺎﺳﯽ‬ ‫ﺟﺪول )‪ (٢-١‬ﺷﺶ ﺗﺌﻮرﯼ و ﭼﻬﺎر اﺻﻞ از ﺟﺒﺮ ﺑﻮل را در ﺑﺮ دارد ‪ .‬در ﺳﻤﺖ ﭼﭗ رواﺑﻂ ‪،‬‬ ‫ﺷﻤﺎرﻩ اﺻﻮل ﺑﮑﺎر رﻓﺘﻪ ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫ﺟﺪول )‪ (٢-١‬اﺻﻮل و ﻗﻀﺎﯾﺎﯼ ﺟﺒﺮ ﺑﻮل (‬

‫‪(b) xy = yx‬‬ ‫‪(b) x (yz) = (xy)z‬‬ ‫)‪(b) x+yz = (x+y)(x+z‬‬

‫‪(a) x + 0 = x‬‬ ‫‪( a) x + xَ = ١‬‬ ‫‪(a) x + x = x‬‬ ‫‪(a) x + 1 = 1‬‬ ‫‪(xَ )َ =x‬‬ ‫‪(a) x+y=y+x‬‬ ‫‪(a) x+(y+z) = (x+y)+z‬‬ ‫‪(a) x(y+z) = xy+xz‬‬

‫‪(b) x.1 = x‬‬ ‫‪(b) x.x = 0‬‬ ‫‪(b) x.x = x‬‬ ‫‪(b) x .0 = 0‬‬

‫)‪(b) (xy) = x+y‬‬ ‫‪(b) x(x+y) = x‬‬

‫‪(a) (x+y) = x y‬‬ ‫‪(a) x + xy = x‬‬

‫اﺻﻞ ‪٢‬‬ ‫اﺻﻞ ‪۵‬‬ ‫ﺗﺌﻮرﯼ ‪١‬‬ ‫ﺗﺌﻮرﯼ ‪٢‬‬ ‫ﺗﺌﻮرﯼ ‪ ٣‬رﺟﻌﺖ‬ ‫اﺻﻞ ‪ ٣‬ﺟﺎﺑﺠﺎﯾﯽ‬ ‫ﺗﺌﻮرﯼ ‪ ۴‬ﺷﺮﮐﺖ ﭘﺬﯾﺮﯼ‬ ‫اﺻﻞ ‪ ۴‬ﺗﻮزﯾﻊ ﭘﺬﯾﺮﯼ ﯾﺎ‬ ‫ﭘﺨﺶ‬ ‫ﺗﺌﻮرﯼ ‪ ۵‬دﻣﻮرﮔﺎن‬ ‫ﺗﺌﻮرﯼ ‪ ۶‬ﺟﺬب‬

‫‪ ٢-٣‬ﺗﻮاﺑﻊ ﺑﻮل‬ ‫ﯾﮏ ﻣﺘﻐﻴﻴﺮ دودوﯾﯽ ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﺪ ﯾﮑﯽ از دو ﻣﻘﺪار ‪ ٠‬ﯾﺎ ‪ ١‬را اﺧﺘﻴﺎر ﮐﻨﺪ ‪ .‬ﯾﮏ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻮل‬ ‫ﻋﺒﺎرﺗﯽ اﺳﺖ ﮐﻪ از ﻣﺘﻐﻴﺮهﺎﯼ دودوﯾﯽ ‪ ،‬ﻋﻤﻠﮕﺮ هﺎﯼ ‪ NOT ، AND ، OR‬ﭘﺮاﻧﺘﺰ هﺎ و‬

‫‪٤‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم ‪ :‬ﺟﺒﺮ ﺑﻮل و ﮔﻴﺖ هﺎﯼ ﻣﻨﻄﻘﯽ‬

‫ﻋﻼﻣﺖ ﺗﺴﺎوﯼ ﺗﺸﮑﻴﻞ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ ‪ .‬ﺑﻪ ازاﯼ ﻣﻘﺎدﯾﺮ ﻣﻔﺮوﺿﯽ از ﻣﺘﻐﻴﺮهﺎ ﺗﺎﺑﻊ ﻓﻘﻂ ﻣﯽ‬ ‫ﺗﻮاﻧﺪ ‪ ٠‬ﯾﺎ ‪ ١‬ﺑﺎﺷﺪ ‪ .‬ﻣﺜﻼً ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻮل ‪ F = xyz ′‬را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﯾﺪ‪ .‬ﺗﺎﺑﻊ ‪ f1‬ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ‪ ١‬اﺳﺖ‬

‫‪1‬‬

‫ﺑﺸﺮﻃﯽ ﮐﻪ ‪ y=1 ، x=1‬و ‪ zَ =1‬ﺑﺎﺷﺪ ‪ ،‬در ﻏﻴﺮ اﯾﻦ ﺻﻮرت ‪ F = 0‬ﺧﻮاهﺪ ﺑﻮد ‪ .‬ﺑﺮاﯼ‬

‫‪1‬‬

‫ﻧﻤﺎﯾﺶ ﯾﮏ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻔﺮم ﺟﺪول درﺳﺘﯽ ﻧﻴﺎز ﺑﻪ ‪ 2n‬ﺗﺮﮐﻴﺐ از ‪ ١‬هﺎ و ‪ ٠‬هﺎ ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ‪ n‬ﺑﻪ‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ دودوﯾﯽ و ﺳﺘﻮﻧﯽ ﯾﮑﻪ در ﺁن ﻣﻘﺪار ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ ٠‬ﯾﺎ ‪ ١‬اﺳﺖ ‪ ،‬دارﯾﻢ ‪ .‬از ﺟﺪول )‪(٢-٢‬‬ ‫دﯾﺪﻩ ﻣﯽ ﺷﻮد وﮐﻪ ﺑﺮاﯼ ﺳﻪ ﻣﺘﻐﻴﺮ ‪ ٨‬ﺣﺎﻟﺖ ﺟﺪا ﻣﯽ ﺗﻮان در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺖ ‪ .‬در ﺟﺪول )‪-٢‬‬ ‫‪ ، (٢‬ﭼﻬﺎر ردﯾﻒ ﺁﺧﺮ ﻣﺴﺎوﯼ ‪ ١‬و ‪ xy‬در ردﯾﻔﻬﺎﯼ ‪ ٠٠١‬و ‪ ١٠١‬ﺑﺮاﺑﺮ ‪ ٠١‬اﺳﺖ ‪ .‬ﺗﺮﮐﻴﺐ‬ ‫ﺁﺧﺮﯼ دﻻﻟﺖ ﺑﺮ ‪ x=١‬ﻧﻴﺰ دارد ‪.‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺑﺮاﯼ ‪ F2=١‬ﭘﻨﺞ ﺣﺎﻟﺖ وﺟﻮد دارد ‪.‬‬ ‫ﺟﺪول )‪ (٢-٢‬ﺟﺪول درﺳﺘﯽ ﺑﺮاﯼ‬ ‫‪, F = xy ′ + xz‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪F = xyz F = x + y ′z , F = x ′y ′z + x ′yz + xy‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪F4‬‬

‫‪F3‬‬

‫‪F2‬‬

‫‪F1‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪٥‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم ‪ :‬ﺟﺒﺮ ﺑﻮل و ﮔﻴﺖ هﺎﯼ ﻣﻨﻄﻘﯽ‬ ‫ﻋﻤﻠﻴﺎت ﺟﺒﺮﯼ‬

‫ﻟﻴﺘﺮال ‪ ،‬ﯾﮏ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﺑﺎ ﭘﺮﯾﻢ ﯾﺎ ﺑﺪون ﭘﺮﯾﻢ اﺳﺖ ‪ .‬وﻗﺘﯽ ﮐﻪ ﯾﮏ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻮﺳﻴﻠﻪ ﮔﻴﺖ ﻣﻨﻄﻘﯽ‬ ‫ﭘﻴﺎدﻩ ﺷﻮد هﺮ ﻟﻴﺘﺮال در ﺗﺎﺑﻊ ﻣﻌﺮوف ﯾﮏ ورودﯼ ﺑﻪ ﯾﮏ ﮔﻴﺖ و هﺮ ﺟﻤﻠﻪ ﻣﻨﻄﻘﯽ ﻧﻴﺰ‬ ‫ﺗﻮﺳﻂ ﯾﮏ ﮔﻴﺖ ﺳﺎﺧﺘﻪ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬ﻣﯽ ﻧﻴﻤﻢ ﮐﺮدن ﺗﻌﺪاد ﻣﺘﻐﻴﺮهﺎ و ﺟﻤﻼت ‪ ،‬ﻧﺘﻴﺠﻪ‬ ‫اش ﺳﺎﺧﺖ دﺳﺘﮕﺎهﯽ ﺑﺎ ﻗﻄﻌﺎت ﮐﻤﺘﺮ اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫اﻟﺒﺘﻪ هﻤﻴﺸﻪ ﻣﻤﮑﻦ ﻧﻴﺴﺖ ﮐﻪ هﺮ دو را ﺑﺎ هﻢ ﮐﺎهﺶ داد ‪ .‬ﻓﻌﻼً ﻣﺎ ﻣﯽ ﻧﻴﻤﻢ ﺳﺎزﯼ‬ ‫را ﻓﻘﻂ ﺑﻪ ﻣﺘﻐﻴﺮهﺎ ﻣﺤﺪود ﻣﻴﮑﻨﻴﻢ ﺗﻌﺪاد ﻣﺘﻐﻴﺮ هﺎ در ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻮل ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺎ ﯾﮏ ﺳﺮﯼ‬ ‫اﻋﻤﺎل ﺟﺒﺮﯼ ﻣﯽ ﻧﻴﻤﻢ ﮔﺮدد ‪ ،‬ﻣﺘﺎﺳﻔﺎﻧﻪ ﻗﻮاﻧﻴﻦ ﻣﺸﺨﺺ و ﻣﻌﻴﻨﯽ ﮐﻪ ﺗﻀﻤﻴﻦ ﮐﻨﻨﺪﻩ‬ ‫ﻓﺮم ﻧﻬﺎﯾﯽ ﺑﺎﺷﺪ وﺟﻮد ﻧﺪارد ‪ .‬ﺗﻨﻬﺎ روش ﻣﻮﺟﻮد ﺳﻌﯽ در ﮐﺎهﺶ ﻣﺪار و ﺗﺪاوم اﯾﻦ‬ ‫ﻋﻤﻞ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎدﻩ از اﺻﻮل اوﻟﻴﻪ ‪ ،‬ﺗﺌﻮرﯼ هﺎﯼ اﺻﻠﯽ و هﺮ روش ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﯽ دﯾﮕﺮﯼ ‪ ،‬ﮐﻪ‬ ‫ﺿﻤﻦ ﻋﻤﻞ ﺑﺎ ﺁﻧﻬﺎ ﺣﺎﺻﻞ ﻣﯽ ﮔﺮدد ‪ ،‬ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ : ٢-١‬ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻮﻟﯽ زﯾﺮ را از ﻧﻈﺮ ﺗﻌﺪاد ﻣﺘﻐﻴﺮهﺎ ﻣﯽ ﻧﻴﻤﻢ ﮐﻨﻴﺪ ‪.‬‬

‫‪1. x + x′y = ( x + x′)( x + y) = 1.( x + y) = x + y‬‬ ‫‪2. x( x′ + y) = xx′ + xy = 0 + xy = xy‬‬ ‫‪3. x′y′z + x′yz + yz = x′z( y′ + y) + xy′ = x′z + xy′‬‬ ‫)‪4.xy + x′z + yz = xy + x′z + yz( x + x′‬‬ ‫‪= xy + x′z + xyz + x′yz‬‬ ‫)‪= xy(1 + z) + x′z (1 + y‬‬ ‫‪= xy + x′z‬‬ ‫)‪5. ( x + y)( x′ + z )( y + z) = ( x + y)( x′ + z‬‬ ‫ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ دو ﮔﺎﻧﻪ ﺑﻮدن ﺗﺎﺑﻊ ‪۴‬‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ‪ ١‬و ‪ ٢‬دوﮔﺎن ﯾﮑﺪﯾﮕﺮﻧﺪ و ﻋﺒﺎرت دوﮔﺎﻧﯽ رادر ﻣﺮاﺣﻞ ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺧﻮد ﺑﮑﺎر ﻣﯽ ﺑﺮﻧﺪ ‪.‬‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ‪ ٣‬هﻢ ارزﯼ ﺗﻮاﺑﻊ ‪ F4,F3‬ﺑﺤﺚ ﺷﺪﻩ در ﻗﺒﻞ را ﻧﺸﺎن ﻣﯽ دهﺪ ‪ .‬ﭼﻬﺎرﻣﻴﻦ ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫روﺷﻨﮕﺮ اﯾﻦ واﻗﻌﻴﺖ اﺳﺖ ﮐﻪ اﻓﺰاﯾﺶ در ﺗﻌﺪاد ﻣﺘﻔﻴﺮهﺎ ﮔﺎهﯽ اوﻗﺎت ﺳﺒﺐ ﺳﺎدﻩ ﺗﺮ‬

‫‪٦‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم ‪ :‬ﺟﺒﺮ ﺑﻮل و ﮔﻴﺖ هﺎﯼ ﻣﻨﻄﻘﯽ‬

‫ﺷﺪن ﻋﺒﺎرت ﻧﻬﺎﯾﯽ ﻣﯽ ﮔﺮدد ‪ .‬ﺗﺎﺑﻊ ‪ ۵۴‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎً ﺳﺎدﻩ ﻧﺸﺪﻩ اﺳﺖ وﻟﯽ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎدﻩ‬ ‫از دوﮔﺎن ﻣﺮاﺣﻞ رﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺗﺎﺑﻊ ‪ ۴‬ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﺪ ﺣﺎﺻﻞ ﮔﺮدد ‪.‬‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ ﯾﮏ ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ ﯾﮏ ﺗﺎﺑﻊ ‪ F‬ﺗﺎﺑﻌﯽ اﺳﺖ ﻣﺎﻧﻨﺪ َ ‪ F‬ﮐﻪ ﺑﺎ ﺗﻌﻮﯾﺾ ‪ ٠‬هﺎ ﺑﻪ ‪١‬هﺎ و ‪ ١‬هﺎ ﺑﻪ ‪ ٠‬هﺎ در‬ ‫ﻣﻘﺪار ‪ F‬ﺣﺎﺻﻞ ﻣﯽ ﮔﺮدد ‪ .‬ﻣﮑﻤﻞ ﯾﮏ ﺗﺎﺑﻊ ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎدﻩ از ﺗﺌﻮرﯼ دﻣﻮرﮔﺎن‬ ‫ﻧﻴﺰ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﯽ ﺁﯾﺪ ‪ .‬زوج ﻗﻮاﻧﻴﻦ دﻣﻮرﮔﺎن ﺑﺮاﯼ دو ﻣﺘﻐﻴﻴﺮ در ﺟﺪول )‪ (٢-١‬ﻟﻴﺴﺖ ﺷﺪﻩ‬ ‫اﻧﺪ ‪ .‬ﺗﺌﻮرﯼ هﺎﯼ دﻣﻮرﮔﺎن ﻗﺎﺑﻞ ﺗﻌﻤﻴﻢ ﺑﺮاﯼ ﺳﻪ ﻣﺘﻐﻴﺮ و ﯾﺎ ﺑﻴﺸﺘﺮ از ﺁن ﻧﻴﺰ هﺴﺘﻨﺪ ‪.‬‬ ‫ﻓﺮم ﺳﻪ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﺗﺌﻮرﯼ اول دﻣﻮرﮔﺎن در زﯾﺮ ﺁﻣﺪﻩ اﺳﺖ ‪ .‬اﺻﻮل و ﺗﺌﻮرﯼ هﺎﯼ ﺑﮑﺎر رﻓﺘﻪ‬ ‫هﻤﺎن هﻤﺎﯾﯽ هﺴﺘﻨﺪ ﮐﻪ در ﺟﺪول )‪ (٢-١‬ﺁوردﻩ ﺷﺪﻩ اﻧﺪ ‪.‬‬

‫‪( A + B + C)′ = ( A + X )′‬‬

‫ﺑﺎ ﻓﺮض ‪B + C = A‬‬ ‫ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺗﺌﻮرﯼ ‪ ( a) -۵‬دﻣﻮرﮔﺎن‬ ‫ﺑﺎ ﺟﺎﯾﮕﺰﯾﻨﯽ ‪B + C = X‬‬

‫‪= A′X ′‬‬

‫‪= A′.( B + C )′‬‬

‫ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺗﺌﻮرﯼ ‪ ( a) -۴‬ﺷﺮﮐﺖ ﭘﺬﯾﺮﯼ‬

‫‪= A′B ′C ′‬‬

‫ﺗﺌﻮرﯼ هﺎﯼ دﻣﻮرﮔﺎن ﺑﺮاﯼ هﺮ ﺗﻌﺪاد از ﻣﺘﻐﻴﺮ هﺎ اﺑﺘﺪ ﺑﻪ ﺷﮑﻞ دو ﻣﺘﻐﻴﺮﻩ در ﺁﻣﺪﻩ و‬ ‫ﺳﭙﺲ ﺑﺎ ﺟﺎﯾﮕﺰﯾﻨﯽ هﺎﯼ ﻣﺘﻮاﻟﯽ ‪ ،‬ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺑﺎ ﺁﻧﭽﻪ در ﻓﻮق دﯾﺪﻩ ﺷﺪ ‪ ،‬ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻧﻬﺎﯾﯽ‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ ﻣﯽ ﮔﺮدد ‪.‬‬ ‫اﯾﻦ ﺗﺌﻮرﯾﻬﺎ ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﻋﻤﻮﻣﻴﺖ دادﻩ ﺷﻮﻧﺪ ‪.‬‬

‫‪( A + B + C + D + ... + F )′ = A′B ′C ′D ′...F ′‬‬ ‫‪( ABCD...F )′ = A′ + B ′ + C ′ + D ′ + ... + F ′‬‬ ‫ﻓﺮم هﺎﯼ ﮐﻠﯽ ﺗﺌﻮرﯼ دﻣﻮرﮔﺎن ﺑﻴﺎن ﻣﯽ ﮐﻨﺪ ﮐﻪ ﻣﮑﻤﻞ هﺮ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎ ﺗﻌﻮﯾﺾ ﻋﻤﻠﮕﺮهﺎﯼ‬ ‫‪ AND‬و ‪ OR‬و ﻣﮑﻤﻞ ﻧﻤﻮدن هﺮ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﺣﺎﺻﻞ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪.‬‬

‫‪٧‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم ‪ :‬ﺟﺒﺮ ﺑﻮل و ﮔﻴﺖ هﺎﯼ ﻣﻨﻄﻘﯽ‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ : ٢-٢‬ﻣﮑﻤﻞ ﺗﻮاﺑﻊ ‪ F = x( y ′z ′ + yz) , F = x ′yz ′ + x ′y ′z‬را ﺑﺪﺳﺖ ﺁورﯾﺪ ‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫ﺗﺌﻮرﯼ دﻣﻮرﮔﺎن را هﺮ ﭼﻨﺪ ﺑﺎر ﮐﻪ ﻻزم ﺑﺎﺷﺪ ﺑﮑﺎر ﺑﺒﺮﯾﺪ ‪ .‬ﻣﮑﻤﻞ هﺎ ﺑﻔﺮم زﯾﺮ ﺣﺎﺻﻞ ﻣﯽ‬ ‫ﮔﺮدﻧﺪ‬

‫)‪F ′ = ( x′yz′ + x′y′z )′ = ( x′yz′)( x′y′z ) = ( x + y′ + z )( x + y + z′‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪F ′ = [ x( y′z′ + yz)]′ = x′ + ( y′z′) + y′z′ + yz)′ = x′ + ( y′z′)′.( yz)′‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪= x′ + ( y + z )( y′ + z′‬‬ ‫روش ﺳﺎدﻩ ﺗﺮﯼ ﺑﺮاﯼ ﺑﺪﺳﺖ ﺁوردن ﻣﮑﻤﻞ ﯾﮏ ﺗﺎﺑﻊ اﯾﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ اﺑﺘﺪا دوﮔﺎن ﺁﻧﺮا‬ ‫ﺑﺪﺳﺖ ﺁوردﻩ و ﺳﭙﺲ ﻣﺘﻐﻴﺮهﺎﯾﺶ را ﻣﮑﻤﻞ ﻧﻤﺎﯾﻴﻢ ‪ .‬اﯾﻦ روش ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻓﺮم ﮐﻠﯽ‬ ‫ﺗﺌﻮرﯼ دﻣﻮرﮔﺎن ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬ﺑﺨﺎﻃﺮ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﺪ ﮐﻪ دوﮔﺎن ﯾﮏ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎ ﺗﺒﺪﯾﻞ‬ ‫ﻋﻤﻠﮕﺮ ‪ AND‬و ‪ OR‬وﺗﺒﺪﯾﻞ ‪ ١‬هﺎ و ‪ ٠‬هﺎ ﺑﻪ ﯾﮑﺪﯾﮕﺮ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﯽ ﺁﯾﺪ ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ : ٢-٣‬ﻣﮑﻤﻞ هﺎﯼ ﺗﻮاﺑﻊ ‪ F2 , F1‬ﻣﺜﺎل ‪ ٢-٢‬را ﺑﺎﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ دوﮔﺎن ﺁﻧﻬﺎ و ﻣﮑﻤﻞ ﮐﺮدن‬ ‫هﺮ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﺑﺪﺳﺖ ﺁورد ‪.‬‬

‫‪F x ′yz ′ + x ′y ′z‬‬ ‫‪1‬‬ ‫دوﮔﺎن ﺗﺎﺑﻊ ‪ F1‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‬ ‫ﭘﺲ‬

‫‪1.‬‬

‫)‪( x ′ + y + z ′)( x ′ + y ′ + z‬‬

‫از ﻣﮑﻤﻞ ﮐﺮدن هﺮ ﻣﺘﻐﻴﺮ دارﯾﻢ ‪( x + y ′ + z)( x + y + z ′) = F ′‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪F = x( y′z′ + yz ) .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫دوﮔﺎن ﺗﺎﺑﻊ ‪ F2‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ ) ‪x + ( y ′ + z ′ )( y + z‬‬

‫ﭘﺲ از ﻣﮑﻤﻞ ﮐﺮدن هﺮ ﻣﺘﻐﻴﺮ دارﯾﻢ ‪x ′ + ( y + z )( y ′ + z ′) = F ′‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2.‬‬

‫‪٨‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم ‪ :‬ﺟﺒﺮ ﺑﻮل و ﮔﻴﺖ هﺎﯼ ﻣﻨﻄﻘﯽ‬ ‫‪ ٢-۴‬ﺣﺎﻻت ﻣﺘﻌﺎرف و اﺳﺘﺎﻧﺪارد‬

‫ﯾﮏ ﻣﺘﻐﻴﺮ دودوﯾﯽ ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ ﺑﻔﺮم ﻣﻌﻤﻮﻟﯽ )‪ ( x‬ﯾﺎ ﻣﮑﻤﻠﺶ ) َ‪ ( x‬ﻇﺎهﺮ ﺷﻮد ‪ .‬ﺣﺎل‬ ‫ﻓﺮض ﮐﻨﻴﻢ ﮐﻪ ﻣﺘﻐﻴﺮهﺎﯼ دودوﯾﯽ ‪ x‬و ‪ y‬ﺑﻮﺳﻴﻠﻪ ﻋﻤﻠﮕﺮ ‪ AND‬ﺑﺎ ﯾﮑﺪﯾﮕﺮ ﺗﺮﮐﻴﺐ ﺷﻮﻧﺪ ‪.‬‬ ‫ﭼﻮن هﺮ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ ﺑﻪ هﺮ ﯾﮏ از دو ﺷﮑﻞ ﻓﻮق ﻇﺎهﺮ ﮔﺮدد ﭼﻬﺎر ﺗﺮﮐﻴﺐ ﺑﺮاﯼ‬

‫ﺁن دو ﻣﺘﻐﻴﺮ وﺟﻮد دارﻧﺪ ‪ xy′, x′y , x′y′‬و `‪xy‬‬

‫‪ .‬هﺮ ﯾﮏ از اﯾﻦ ﭼﻬﺎر ﺟﻤﻠﻪ ﻧﺸﺎن‬

‫دهﻨﺪﻩ ﯾﮏ ﻧﺎﺣﻴﻪ در دﯾﺎﮔﺮام ون ‪ ،‬ﺷﮑﻞ )‪ (٢-١‬ﺑﻮدﻩ و ﻣﻴﻨﺘﺮم ﻧﺎﻣﻴﺪﻩ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬ﺑﺮوﺷﯽ‬ ‫ﻣﺸﺎﺑﻪ ‪ n ،‬ﻣﺘﻐﻴﻴﺮ ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﺪ روﺷﯽ ﻣﺸﺎﺑﻪ ﯾﺎ ﺁﻧﭽﻪ در ﺟﺪول )‪ (٢-٣‬ﺑﺮاﯼ ﺳﻪ ﻣﺘﻐﻴﺮ‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ ﺷﺪﻩ ﺑﺪﺳﺖ ﺁﯾﻨﺪ ‪ .‬اﻋﺪاد دودوﯾﯽ از ﺻﻔﺮ ﺗﺎ‬

‫‪2 n −1‬‬

‫ﺑﺮاﯼ ‪ n‬ﻣﺘﻐﻴﺮ در زﯾﺮ ﺳﺘﻮن‬

‫ﻣﺘﻐﻴﺮ هﺎ در ﺟﺪول ﻧﻮﺷﺘﻪ ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ ‪ .‬هﺮ ﻣﻴﻨﺘﺮم از اﺟﺰاﯼ ﻋﻤﻠﮕﺮ ‪ AND‬روﯼ ‪ n‬ﻣﺘﻐﻴﺮ‬ ‫ﺑﺪﺳﺖ ﻣﯽ ﺁﯾﺪ و هﺮ ﻣﺘﻐﻴﺮ در ﺁن ﺑﺎ ﻣﻘﺪار ‪ ٠‬ﺑﺎ ﻋﻼﻣﺖ ﭘﺮﯾﻢ و ﺑﺎ ﻣﻘﺪار ‪ ١‬ﺑﺪون ﭘﺮﯾﻢ‬ ‫ﺧﻮاهﺪ ﺑﻮد ‪ .‬ﺳﻤﺒﻞ ﻣﻴﻨﺘﺮم ﻧﻴﺰ درﺟﺪول ﺑﻔﺮم ‪ mj‬ﺁوردﻩ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ ﮐﻪ ‪ j‬ﻣﻌﺎدل دهﺪهﯽ‬ ‫ﺟﻤﻠﻪ ﻣﺮﺑﻮﻃﻪ ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ‪.‬‬ ‫ﺟﺪول )‪ (٢-٣‬ﻣﻴﻨﺘﺮم و ﻣﺎﮐﺴﺘﺮم هﺎ ﺑﺮاﯼ ﺳﻪ ﻣﺘﻐﻴﻴﺮ دودوﯾﯽ‬

‫ﻣﺎﮐﺴﺘﺮم‬ ‫ﺟﻤﻠﻪ‬ ‫ﻋﻼﻣﺖ‬ ‫‪M0‬‬

‫ﻣﻴﻨﺘﺮم‬ ‫ﺟﻤﻠﻪ‬ ‫ﻋﻼﻣﺖ‬ ‫‪m0‬‬ ‫‪x′y ′z ′‬‬

‫‪M1‬‬

‫‪x+ y+ z‬‬ ‫‪x + y + z′‬‬

‫‪m1‬‬

‫‪M2‬‬

‫‪x + y′ + z‬‬

‫‪m2‬‬

‫‪x′y′z‬‬ ‫‪x′yz′‬‬

‫‪M3‬‬

‫‪x + y′ + z ′‬‬

‫‪m3‬‬

‫‪M4‬‬

‫‪x′ + y + z‬‬

‫‪m4‬‬

‫‪M5‬‬

‫‪x′ + y + z ′‬‬

‫‪m5‬‬

‫‪M6‬‬

‫‪x′ + y′ + z‬‬

‫‪m6‬‬

‫‪M7‬‬

‫‪x′ + y′ + z′‬‬

‫‪x′yz‬‬ ‫‪xy′z′‬‬ ‫‪xy′z‬‬ ‫‪xyz′‬‬

‫‪m7‬‬

‫‪xyz‬‬

‫‪z‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪٩‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم ‪ :‬ﺟﺒﺮ ﺑﻮل و ﮔﻴﺖ هﺎﯼ ﻣﻨﻄﻘﯽ‬

‫ﺑﻄﺮﯾﻖ ﻣﺸﺎﺑﻬﯽ ‪ n‬ﻣﺘﻐﻴﺮ در ﯾﮏ ﺟﻤﻠﻪ ‪ ، OR‬ﮐﻪ هﺮ ﯾﮏ ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺑﺎ ﭘﺮﯾﻢ و ﯾﺎ ﺑﺪون‬ ‫ﭘﺮﯾﻢ ﺑﺎﺷﻨﺪ ‪ 2n ،‬ﺗﺮﮐﻴﺐ ﻣﻤﮑﻦ را اﯾﺠﺎد ﻣﯽ ﻧﻤﺎﯾﻨﺪ ﮐﻪ هﺮ ﯾﮏ از ﺁﻧﻬﺎ ﻣﺎﮐﺴﺘﺮم ﻧﺎﻣﻴﺪﻩ‬ ‫ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬هﺸﺖ ﺟﻤﻠﻪ ﻣﺎﮐﺴﺘﺮم ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺳﻪ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﺑﺎ ﺳﻤﺒﻞ ﺁﻧﻬﺎ درﺟﺪول )‪(٢-٣‬‬ ‫ﻟﻴﺴﺖ ﺷﺪﻩ اﻧﺪ ‪ .‬هﺮ ‪ 2n‬ﺟﻤﻠﻪ ﻣﺎﮐﺴﺘﺮم ﺑﺮاﯼ ‪ n‬ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻣﺸﺎﺑﻬﯽ ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ ‪ .‬هﺮ‬ ‫ﻣﺎﮐﺴﺘﺮم از ﯾﮏ ﺟﻤﻠﻪ ‪ OR‬ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ‪ n‬ﻣﺘﻐﻴﺮ داراﯼ ﻣﺘﻐﻴﺮ هﺎﯼ ﺑﺪون ﭘﺮﯾﻢ اﺳﺖ‬ ‫ﺑﺸﺮﻃﯽ ﮐﻪ ﺁن ﻣﺘﻐﻴﺮهﺎ ‪ ٠‬ﺑﺎﺷﻨﺪ وﻟﯽ هﺮ ﮔﺎﻩ ﻣﻘﺪار ﻣﺘﻐﻴﺮ ‪ ١‬ﺑﺎﺷﺪ در اﯾﻨﺼﻮرت ﺁن‬ ‫ﻣﺘﻐﻴﺮ ﭘﺮﯾﻢ دار ﻧﻤﺎﯾﺶ دادﻩ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬ﺗﻮﺟﻪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﺪ ﮐﻪ هﺮ ﺟﻤﻠﻪ ﻣﺎﮐﺴﺘﺮم‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ ﻣﻴﻨﺘﺮم ﻣﺮﺑﻮﻃﻪ اش ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ و ﺑﺎﻟﻌﮑﺲ ‪.‬‬ ‫ﯾﮏ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻮل ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎدﻩ از ﺟﺪول درﺳﺘﯽ ﺑﻔﺮم ﺟﺒﺮﯼ ﺑﺎ در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻣﻴﻨﺘﺮم‬ ‫هﺎﯾﯽ ﮐﻪ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻪ ازاﯼ ﺁﻧﻬﺎ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ ١‬اﺳﺖ و اﺟﺮاﯼ ﻋﻤﻠﮕﺮ ‪ OR‬روﯼ ﺁﻧﻬﺎ ﺗﺸﮑﻴﻞ ﮔﺮدد ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﻼً ﺗﺎﺑﻊ ‪ F1‬در ﺟﺪول )‪ (٢-۴‬ﺑﺪﯾﻦ ﻃﺮﯾﻖ ﻣﻌﻴﻦ ﻣﯽ ﺷﻮد ﮐﻪ ‪ ٠٠١‬و‪ ١٠٠‬و ‪ ١١١‬را ﺑﻔﺮم‬

‫‪xy′z , x′y′z‬‬

‫و ‪ xyz‬ﻧﺸﺎن دادﻩ و ﺳﭙﺲ ﺑﺎ ﯾﮑﺪﯾﮕﺮ ﺗﺮﮐﻴﺐ ﮐﻨﻴﻢ ‪ .‬ﭼﻮن هﺮ ﯾﮏ از اﯾﻦ‬

‫ﻣﻴﻨﺘﺮم هﺎ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ ١‬اﺳﺖ ﺑﺎﯾﺪ راﺑﻄﻪ زﯾﺮ را داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ ‪:‬‬

‫‪f = x′y′z + xy′z′ + xyz = m + m + m‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 4 7‬‬ ‫ﺑﻄﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺑﺴﺎدﮔﯽ ﻣﯽ ﺗﻮان ﻧﺸﺎن داد ﮐﻪ ‪:‬‬

‫‪f = x′yz + xy′z + xyz = m + m + m + m‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 5 6 7‬‬ ‫اﯾﻦ ﻣﺜﺎﻟﻬﺎ ﻧﺸﺎن دهﺪﻩ ﯾﮏ ﺧﺎﺻﻴﺖ ﻣﻬﻢ ﺟﺒﺮ ﺑﻮل ﻣﯽ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﮐﻪ ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از ‪ :‬هﺮ ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫ﺑﻮل ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺼﻮرت ﻣﺠﻤﻮع ﻣﻴﻨﺘﺮم هﺎ ) در اﯾﻨﺠﺎ ﺑﻤﻌﻨﯽ ‪ OR‬اﺳﺖ ( ﺑﻴﺎن ﺷﻮد ‪ .‬ﺣﺎل‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ ﯾﮏ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻮل را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮد ‪.‬اﯾﻦ ﻣﮑﻤﻞ را ﻣﯽ ﺗﻮان ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎدﻩ از ﺟﺪول‬ ‫وﺑﮑﺎرﮔﻴﺮﯼ ﺟﻤﻼت ﻣﻴﻨﺘﺮم ﮐﻪ در ﺟﺪول ﺑﺮاﯼ ﺗﺎﺑﻊ ‪ ٠‬هﺴﺘﻨﺪ و اﻋﻤﺎل ﻋﻤﻠﮕﺮد ‪ OR‬روﯼ‬ ‫ﺁﻧﻬﺎ ﺑﻮﺟﻮد ﺁورد ‪ .‬ﻟﺬا ﻣﮑﻤﻞ ﺗﺎﺑﻊ ‪ f1‬ﺑﺮاﺑﺮ ﺧﻮاهﺪ ﺑﻮد ﺑﺎ ‪.‬‬

‫‪١٠‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم ‪ :‬ﺟﺒﺮ ﺑﻮل و ﮔﻴﺖ هﺎﯼ ﻣﻨﻄﻘﯽ‬

‫‪f ′ = x′y′z′ + x′yz′ + x′yz + xy′z + xyz′‬‬ ‫‪1‬‬ ‫اﮔﺮ ﻣﺎ ﻣﮑﻤﻞ ‪ f1‬را ﭘﻴﺪا ﮐﻨﻴﻢ ﻧﺘﻴﺠﻪ هﻤﺎن ﺗﺎﺑﻊ ‪ f1‬ﺧﻮاهﺪ ﺷﺪ ‪.‬‬

‫) ‪f = ( x + y + z )( x + y ′ + z )( x + y ′ + z ′)( x′ + y + z ′)( x′ + y ′ + z‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= M .M .M .M .M‬‬ ‫‪0 2 3 5 6‬‬ ‫ﺑﻄﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ ﻋﺒﺎرت ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ‪ f2‬را ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺟﺪول ﻣﯽ ﺗﻮان ﻧﻮﺷﺖ ‪:‬‬

‫) ‪f = ( x + y + z )( x + y + z′)( x + y′ + z )( x′ + y + z‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= M .M .M .M‬‬ ‫‪0 1 2 4‬‬ ‫اﯾﻦ ﻣﺜﺎﻟﻬﺎ ﺑﻴﺎﻧﮑﺮ دوﻣﻴﻦ ﺧﺎﺻﻴﺖ ﻣﻬﻢ ﺟﺒﺮ ﺑﻮل ﻣﯽ ﺑﺎﺷﻨﺪ ‪ .‬ﯾﻌﻨﯽ هﺮ ﺗﺎﺑﻊ ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﺪ‬ ‫ﺑﺼﻮرت ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب ﻣﺎﮐﺴﺘﺮم هﺎ ) ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب ﺑﻪ ﻣﻌﻨﯽ اﻋﻤﺎل ﻋﻤﻠﮕﺮد ‪ AND‬ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ (‬ ‫ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﻮد ‪ .‬روش ﺑﺪﺳﺖ ﺁوردن ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب ﻣﺎﮐﺴﺘﺮم هﺎ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎدﻩ از‬ ‫ﺟﺪول رﺑﻄﺮﯾﻖ زﯾﺮ اﺳﺖ ‪ :‬اﺑﺘﺪا ﺟﻤﻼت ﻣﺎﺳﮑﺘﺮﻣﯽ ﮐﻪ از ﺗﺮﮐﻴﺐ ﻣﺘﻐﻴﺮهﺎ ﺗﺸﮑﻴﻞ ﺷﺪﻩ‬ ‫و ﺑﺮاﯼ ﺗﺎﺑﻊ ﺗﻮﻟﻴﺪ ‪ ٠‬ﻣﯽ ﻧﻤﺎﯾﺪ اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪﻩ و ﺳﭙﺲ ﺑﺎ اﺟﺮاﯼ ﻋﻤﻠﮕﺮ ‪ AND‬روﯼ ﺗﻤﺎم‬ ‫ﺁﻧﻬﺎ ﻣﯽ ﺗﻮان ﺑﻪ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ رﺳﻴﺪ ‪ .‬هﺮ ﮔﺎﻩ ﺗﻮاﺑﻊ ﺑﻮل ﺑﺼﻮرت ﻣﺠﻤﻮﻋﻤﻴﻨﺘﺮم هﺎ ﯾﺎ‬ ‫ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب ﻣﺎﮐﺴﺘﺮم هﺎ در ﺁﯾﻨﺪ ﮔﻮﯾﻨﺪ ﺑﻪ ﺷﮑﻞ ﻣﺘﻌﺎرف ﻣﯽ ﺑﺎﺷﻨﺪ ‪.‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع ﻣﻴﻨﺘﺮم هﺎ‬ ‫ﻗﺒﻼً ﮔﻔﺘﻪ ﺷﺪﻩ ﮐﻪ ﺑﺮاﯼ ‪ n‬ﻣﺘﻐﻴﺮ ‪ 2n‬ﻣﻴﻨﺘﺮم ﻣﺴﺘﻘﻞ ﺑﺪﺳﺖ ﺁوردﻩ و هﺮ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻮل را‬ ‫ﻣﻴﺘﻮان ﺑﺼﻮرت ﻣﺤﻤﻮع ﺁﻧﻬﺎ ﺑﻴﺎن ﮐﺮد ‪ .‬ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻮل از ﻣﺠﻤﻮع ﻣﻴﻨﺘﺮم هﺎﯾﯽ ﮐﻪ ﻣﻘﺪارﺷﺎن‬ ‫در ﺟﺪول درﺳﺘﯽ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ ١‬اﺳﺖ ﺗﺸﮑﻴﻞ ﻣﯽ ﮔﺮدد‪ .‬ﭼﻮن ﻣﻘﺪار هﺮ ﻣﻴﻨﺘﺮم ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﺪ ‪ ١‬ﯾﺎ‬ ‫‪ ٠‬ﺑﺎﺷﺪ و ﻧﻴﺰ ‪ . 2n‬ﮔﺎهﯽ اوﻗﺎت ﺑﻬﺘﺮ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺗﺎﺑﻊ را ﺑﺼﻮرت ﻣﺠﻤﻮع ﻣﻴﻨﺘﻢ هﺎ ﻧﺸﺎن‬ ‫داد ‪ .‬ﭼﻨﺎﻧﭽﻪ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻪ اﯾﻦ ﺷﮑﻞ ﻧﺒﺎﺷﺪ ﻣﯽ ﺗﻮان ﺁن را ﺑﺎ اﺟﺮاﯼ اﻋﻤﺎل زﯾﺮ ﺑﻔﺮم ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ‬ ‫در ﺁورد ‪ .‬اﺑﺘﺪا ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺟﻤﻼت ‪ AND‬ﺷﺪﻩ را ﺑﺪﺳﺖ ﻣﯽ ﺁورﯾﻢ و ﺳﭙﺲ ﺟﻤﻼت را از‬

‫‪١١‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم ‪ :‬ﺟﺒﺮ ﺑﻮل و ﮔﻴﺖ هﺎﯼ ﻣﻨﻄﻘﯽ‬

‫ﻧﻈﺮ وﺟﻮد ﮐﻠﻴﻪ ﻣﺘﻐﻴﺮ هﺎ ﻣﻮرد ﺑﺎزرﺳﯽ ﻗﺮار ﻣﯽ دهﻴﻢ ‪ .‬در ﺻﻮرت ﻋﺪم وﺟﻮد ﺑﺮﺧﯽ‬ ‫ﻣﺘﻐﻴﺮهﺎ ‪ ،‬ﺑﺎﯾﺪ ﺁﻧﻬﺎ رادر ﻋﺒﺎراﺗﯽ ﻣﺎﻧﻨﺪ َ ‪ x+x‬و ﻏﻴﺮﻩ ‪ AND‬ﮐﺮد ‪ .‬ﮐﻪ ‪ x‬ﯾﮑﯽ از ﻣﺘﻐﻴﺮهﺎﯾﯽ‬ ‫اﺳﺖ ﮐﻪ در ﺟﻤﻠﻪ وﺟﻮد ﻧﺪارد ‪ .‬ﻣﺜﺎل زﯾﺮ ﻣﻄﻠﺐ را روﺷﻦ ﻣﻴﮑﻨﺪ ‪:‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ : -٢-۴‬ﺗﺎﺑﻊ‬

‫‪F = A + B′C‬‬

‫را ﺑﺼﻮرت ﻣﺠﻮع ﻣﻴﻨﺘﺮم ﻧﺸﺎن دهﻴﺪ ‪.‬‬

‫ﺗﺎﺑﻊ داراﯼ ﺳﻪ ﻣﺘﻐﻴﺮ ‪ A,B,C‬ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ‪ .‬در اوﻟﻴﻦ ﺟﻤﻠﻪ دو ﻣﺘﻐﻴﺮ وﺟﻮد ﻧﺪارد ‪ ،‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‬

‫‪A = A(B + B′) + AB + AB‬‬ ‫هﻨﻮز هﻢ ﯾﮏ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﮐﺴﺮ اﺳﺖ ‪.‬‬

‫)‪A = AB(C + C ′) + AB′(C + C ′‬‬ ‫‪= ABC + ABC ′+ AB′C + AB′C ′‬‬ ‫ﺟﻤﻠﻪ دوم‬

‫‪B′C‬‬

‫ﯾﮏ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﮐﺴﺮ دارد ‪.‬‬

‫‪B′C = B′C ( A + A′) = AB′C + A′B′C ′‬‬ ‫از ﺗﺮﮐﻴﺐ ﻧﺘﺎﯾﺞ ﻓﻮق دارﯾﻢ‬

‫‪F = A + B′C‬‬ ‫‪= ABC + ABC ′+ AB′C + AB′C ′ + AB′C + A′B′C‬‬ ‫از ﻃﺮﻓﯽ‬

‫‪ AB′C‬دوﺑﺎرﻩ ﺗﮑﺮار ﺷﺪﻩ اﺳﺖ و ﺑﺮ ﻃﺒﻖ ﺗﺌﻮرﯼ ‪( x = x + x) ، ١‬‬

‫ﻣﯽ ﺗﻮان‬

‫ﯾﮑﯽ از ﺁﻧﻬﺎ را ﺣﺬف ﮐﺮد ‪ .‬ﺑﺎ ﻣﺮﺗﺐ ﻧﻤﻮدن ﻣﻴﻨﺘﺮم هﺎ ﺑﺘﺮﺗﻴﺐ ﺻﻌﻮدﯼ ﭼﻨﻴﻦ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﯽ‬ ‫ﺷﻮد ‪.‬‬

‫‪F = A′B′C + AB′C ′ + AB′C + ABC‬‬ ‫‪=m + m + m + m + m‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫هﻨﮕﺎﻣﯽ ﮐﻪ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻮل ﺑﻔﺮم ﻣﺠﻤﻮع ﻣﻴﻨﺘﺮم هﺎ اﺳﺖ ﻣﻨﺎﺳﺐ ﺗﺮ اﺳﺖ ﺗﺎ ﺁن ﺑﻔﺮم ﺧﻼﺻﻪ‬ ‫زﯾﺮ ﻧﺸﺎن دهﻴﻢ ‪.‬‬

‫‪١٢‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم ‪ :‬ﺟﺒﺮ ﺑﻮل و ﮔﻴﺖ هﺎﯼ ﻣﻨﻄﻘﯽ‬

‫) ‪F ( A, B, C) = ∑ (1,4,5,6,7‬‬ ‫ﺳﻤﺒﻞ ∑ ﺑﻪ ﻣﻌﻨﯽ اﺟﺮاﯼ ﻋﻤﻠﮕﺮ ‪ OR‬روﯼ ﺟﻤﻼت اﺳﺖ ‪ .‬ﺣﺮوﻓﯽ ﮐﻪ در داﺧﻞ ﭘﺮاﻧﺘﺰ‬ ‫ﻗﺮار دارﻧﺪ ﻟﻴﺴﺖ ﻣﺘﻐﻴﺮهﺎﯼ ﺑﮑﺎر رﻓﺘﻪ را ﺑﻬﻨﮕﺎم ﺗﺸﮑﻴﻞ ﺟﻤﻼت ﻣﻴﻨﺘﺮم و ﺟﻤﻊ ﺁﻧﻬﺎ‬ ‫ﻣﻌﻴﻦ ﻣﯽ ﮐﻨﻨﺪ ‪ .‬روش دﯾﮕﺮﯼ ﺑﺮاﯼ ﺗﺸﮑﻴﻞ ﻣﻴﻨﺘﺮم هﺎﯼ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻮل ﺗﻬﻴﻪ ﺟﺪول درﺳﺘﯽ‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎً از ﻋﺒﺎرت ﺟﺒﺮﯼ اﺳﺖ ﮐﻪ از روﯼ ﺁن ﻣﻴﻨﺘﺮم هﺎ ﺧﻮاﻧﺪﻩ ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ ‪ .‬ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫ﺑﻮل ﻣﺜﺎل ‪ ٢-۴‬را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮد ‪:‬‬

‫‪F = A + B′C‬‬ ‫ﺟﺪول درﺳﺘﯽ ﺷﮑﺐ )‪ (٢-۵‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎً از ﻋﺒﺎرت ﺟﺒﺮﯼ ﺑﺎ هﺸﺖ ﺗﺮﮐﻴﺐ دودوﯾﯽ ﻣﺘﻐﻴﺮ‬ ‫هﺎﯼ ‪ A , B , C‬ﺣﺎﺻﻞ ﻣﯽ‬

‫ﺷﻮد ﮐﻪ ﺑﺮاﯼ ﻣﻴﻨﺘﺮم هﺎﯾﯽ ﮐﻪ در ﺁﻧﻬﺎ ‪BC = 01 , A =1‬‬

‫ﺑﺎﺷﺪ ‪ ١‬ﻗﺮار ﻣﯽ دهﻴﻢ ‪ .‬ﺳﭙﺲ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺣﺠﺪول درﺳﺘﯽ ﭘﻨﺞ ﻣﻴﻨﺘﺮم ﺗﺎﺑﻌﯽ را ﮐﻪ‬ ‫‪ ١،۴،۵،۶،٧‬ﻣﯽ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﻣﯽ ﺧﻮاﻧﻴﻢ‪.‬‬

‫ﺿﺮب ﻣﺎﮐﺴﺘﺮم هﺎ‬

‫‪n‬‬ ‫هﺮ ﯾﮏ از ‪ 22‬ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺘﺸﮑﻞ از ‪ n‬ﻣﺘﻐﻴﺮ را هﻤﭽﻨﻴﻦ ﻣﯽ ﺗﻮان ﺑﺼﻮرت ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب‬ ‫ﻣﺎﮐﺴﺘﺮم هﺎ ﺑﻴﺎن داﺷﺖ ‪ .‬ﺑﺮاﯼ ﭼﻨﻴﻦ ﻓﺮﻣﯽ ﺑﺎﯾﺪ اول ﺟﻤﻠﻪ هﺎﯼ ‪ OR‬را ﺗﺸﮑﻴﻞ داد ‪.‬‬

‫اﯾﻦ ﻋﻤﻞ را ﻣﯽ ﺗﻮان ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎدﻩ از ﻗﺎﻧﻮن ﺗﻮزﯾﻊ ÷ذﯾﺮﯼ )‪x + yz = ( x + y)( x + z‬‬

‫ﻧﻴﺰ‬

‫اﻧﺠﺎم داد ‪ .‬ﺳﭙﺲ هﺮ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻏﺎﯾﺐ در هﺮ ﺟﻤﻠﻪ ‪ OR‬ﺑﺎ ‪ OR ، xx‬ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬اﯾﻦ روش ﺑﺎ‬ ‫ﻣﺜﺎل زﯾﺮ واﺿﺤﺘﺮ ﺧﻮاهﺪ ﺷﺪ ‪:‬‬

‫‪١٣‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم ‪ :‬ﺟﺒﺮ ﺑﻮل و ﮔﻴﺖ هﺎﯼ ﻣﻨﻄﻘﯽ‬ ‫ﺟﺪول )‪ (٢-۵‬ﺟﺪول درﺳﺘﯽ ﺑﺮاﯼ‬ ‫‪F‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬

‫‪F = A + B′C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ : ٢-۵‬ﺗﺎﺑﻊ ‪ F = xy + x′z‬را ﺑﺼﻮرت ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب ﻣﺎﮐﺴﺘﺮم ﺑﻨﻮﯾﺴﻴﺪ ‪:‬‬ ‫اﺑﺘﺪا ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎدﻩ از ﻗﺎﻧﻮن ﺗﻮزﯾﻊ ﭘﺬﯾﺮﯼ ﺗﺎﺑﻊ را ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺟﻤﻼ ‪ OR‬در ﻣﯽ ﺁورﯾﻢ ‪:‬‬

‫) ‪F = xy + x′z = ( xy + x′)( xy + z‬‬ ‫) ‪= ( x + x′)( y + x′)( x + z )( y + z‬‬ ‫) ‪= ( x′ + y)( x + z )( y + z‬‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ داراﯼ ﺳﻪ ﻣﺘﻐﻴﺮ ‪ z,y,x‬اﺳﺖ ‪ .‬هﺮ ﺟﻤﻠﻪ ‪ OR‬ﻓﺎﻗﺪ ﯾﮏ ﻣﺘﻐﻴﺮ اﺳﺖ ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ‪.‬‬

‫)‪x′ + y = x′ + y + zz′ = ( x′ + y + z )( x′ + y + z′‬‬ ‫) ‪x + z = x + z + yy′ = ( x + y + z )( x6 y′ + z‬‬ ‫) ‪y + z = − y + z + xx′ = ( x + y + z )( x′ + y + z‬‬ ‫ﺑﺎ ﺗﺮﮐﻴﺐ ﻋﺒﺎرت ﻓﻮق و ﺣﺬف ﺁﻧﻬﺎﯾﯽ ﮐﻪ ﺑﻴﺶ از ﯾﮑﺒﺎر ﺗﮑﺮار ﺷﺪﻩ اﻧﺪ ﺧﻮاهﻴﻢ داﺷﺖ ‪:‬‬

‫)‪F = ( x + y + z )( x + y′ + z )( x′ + y + z )( x′ + y + z′‬‬ ‫‪=M M M M‬‬ ‫‪0 2 4 5‬‬ ‫روش ﻣﻨﺎﺳﺐ ﺗﺮﯼ ﺑﺮاﯼ ﻧﻤﺎﯾﺶ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻘﺮار زﯾﺮ اﺳﺖ ‪:‬‬

‫)‪F ( x, y, z) = ∏(0,2,4,5‬‬

‫‪١٤‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم ‪ :‬ﺟﺒﺮ ﺑﻮل و ﮔﻴﺖ هﺎﯼ ﻣﻨﻄﻘﯽ‬ ‫ﺳﻤﺒﻞ ﺿﺮب ‪،‬‬

‫∏‬

‫ﺑﻴﺎﻧﮕﺮ ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب ﻣﺎﮐﺴﺘﺮم هﺎ ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ و اﻋﺪاد ‪ ،‬ﺷﻤﺎرﻩ ﺟﻤﻼت‬

‫ﻣﺎﮐﺴﺘﺮم را ﻣﺸﺨﺺ ﻣﯽ ﺳﺎزد ‪.‬‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻓﺮﻣﻬﺎﯼ ﻣﺘﻌﺎرف ﺑﻪ ﯾﮑﺪﯾﮕﺮ‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ ﯾﮏ ﺗﺎﺑﻊ ﮐﻪ ﺑﺼﻮرت ﻣﺠﻤﻮع ﻣﻨﻴﺘﺮم هﺎ ﻧﺸﺎن دادﻩ ﺷﺪﻩ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ ﻣﺠﻤﻮع‬ ‫ﻣﻴﻨﺘﺮم هﺎﯾﯽ ﮐﻪ در ﻓﺮم اﺻﻠﯽ ﺗﺎﺑﻊ وﺟﻮد ﻧﺪارد ‪ .‬زﯾﺮا ﺗﺎﺑﻊ اﺻﻠﯽ از ﺟﻤﻼت ﻣﻴﻨﺘﺮﻣﯽ‬ ‫ﺗﺸﮑﻴﻞ ﺷﺪﻩ ﮐﻪ ﺗﺎﺑﻊ را ﺑﺮاﺑﺮ ‪ ١‬ﻣﯽ ﻧﻤﺎﯾﺪ ‪ ،‬در ﺣﺎﻟﻴﮑﻪ ﻣﮑﻤﻞ ﺁن ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻪ ازاﯼ ﺟﻤﻼﺗﯽ‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮ ‪ ١‬اﺳﺖ ﮐﻪ ﺗﺎﺑﻊ اﺻﻠﯽ ﺑﻪ ازاﯼ ﺁﻧﻬﺎ ‪ ٠‬ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ‪ .‬ﺑﻌﻨﻮان ﻣﺜﺎل ﺗﺎﺑﻊ زﯾﺮ را در ﻧﻈﺮ‬ ‫ﺑﮕﻴﺮﯾﺪ ‪:‬‬

‫)‪F = ( A, B, C ) = ∑ (1,4,5,6,7‬‬ ‫ﻣﮑﻞ اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻪ ﺷﮑﻞ زﯾﺮ اﺳﺖ ‪:‬‬

‫‪F ′( A, B, C ) = ∑ (0,2,3) = m + m + m‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫ﺣﺎل ‪ ،‬اﮔﺮ ﻣﮑﻤﻞ `‪ F‬را ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺗﺌﻮرﯼ دﻣﻮرﮔﺎن ﺑﺪﺳﺖ ﺁورﯾﻢ ﻓﺮم ﺟﺪﯾﺪﯼ ﺑﺮاﯼ ‪F‬‬ ‫ﺑﺪﺳﺖ ﻣﯽ ﺁﯾﺪ‪.‬‬

‫) ‪F = m + m + m ) = m .m .m = M M M = ∏ ( 0 , 2 , 3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0 2 3‬‬ ‫‪0 2 3‬‬ ‫ﺁﺧﺮﯾﻦ ﺗﺒﺪﯾﻞ در راﺑﻄﻪ ﻓﻮق ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺗﻌﺎرﯾﻒ ﺟﺪول )‪ (٢-٣‬ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ‪ .‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺟﺪول‬ ‫درﺳﺘﯽ راﺑﻄﻪ زﯾﺮ ﻣﺴﻠﻢ اﺳﺖ ‪.‬‬

‫‪m′j = M j‬‬ ‫ﯾﻌﻨﯽ ‪ ،‬ﺟﻤﻠﻪ ﻣﺎﮐﺴﺘﺮم ﺑﺎ اﻧﺪﯾﺲ ‪ j‬ﻣﮑﻤﻞ ﺟﻤﻠﻪ ﻣﻴﻨﺘﺮم ﺑﺎ هﻤﺎن اﻧﺪﯾﺲ اﺳﺖ و‬ ‫ﺑﺎﻟﻌﮑﺲ ‪.‬‬

‫‪١٥‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم ‪ :‬ﺟﺒﺮ ﺑﻮل و ﮔﻴﺖ هﺎﯼ ﻣﻨﻄﻘﯽ‬

‫ﺁﺧﺮﯾﻦ ﻣﺜﺎل ‪ ،‬ﺗﺒﺪﯾﻞ ﯾﮏ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺼﻮرت ﻣﺠﻤﻮع ﻣﻴﻨﺘﺮم هﺎ ﺑﻴﺎن ﺷﺪﻩ ﺑﻪ ﻣﻌﺎدل ﺁن ﮐﻪ‬ ‫ﺑﺼﻮرت ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب ﻣﺎﮐﺴﺘﺮم هﺎ اﺳﺖ را ﺑﻴﺎن ﻣﯽ دارد ‪ .‬ﺑﺤﺚ ﻣﺸﺎﺑﻬﯽ ﻧﺸﺎن ﻣﯽ‬ ‫دهﺪ ﮐﻪ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب ﻣﺎﮐﺴﺘﺮم هﺎ ﺑﻪ ﻣﺠﻤﻮع ﻣﻴﻨﺘﺮم هﺎ ﺑﻄﺮﯾﻖ ﻓﻮق اﺳﺖ ‪ .‬ﺣﺎل‬ ‫ﯾﮏ روش ﮐﻠﯽ را ﺑﺮاﯼ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﺑﻴﺎن ﻣﯽ ﮐﻨﻴﻢ ‪:‬‬ ‫ﺑﺮاﯼ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﯾﮏ ﻓﺮم ﻣﺘﻌﺎرف ﺑﻪ دﯾﮕﺮﯼ ﺳﻤﺒﻞ هﺎﯼ ∑ ‪ ∏ ,‬را ﺑﺎ ﯾﮑﺪﯾﮕﺮ ﻋﻮض ﻧﻤﻮدﻩ‬ ‫و ﺟﻤﻼﺗﯽ ﮐﻪ در ﺗﺎﺑﻊ اﺻﻠﯽ وﺟﻮد ﻧﺪارد را ﻧﻴﺰ ﻟﻴﺴﺖ ﻣﯽ ﻧﻤﺎﯾﻴﻢ ‪ .‬ﺑﺮاﯼ ﯾﺎﻓﺘﻦ ﺟﻤﻼت‬ ‫ﮔﻢ ﺷﺪﻩ ﺑﺎﯾﺪ ﺑﻴﺎد ﺑﻴﺎورﯾﻢ ﮐﻪ ﺗﻌﺪاد ﮐﻞ ﺟﻤﻼت ‪ 2n‬اﺳﺖ ﮐﻪ در ﺁن ‪ n‬ﺗﻌﺪاد ﻣﺘﻐﻴﺮهﺎ در‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫ﯾﮏ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻮل ﺑﻔﺮم ﻋﺒﺎرت ﺟﺒﺮﯼ ﺑﻮﺳﻴﻠﻪ ﺟﺪول درﺳﺘﯽ و روش ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻣﺘﻌﺎرف ﻗﺎﺑﻞ‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ ﺑﻪ ﺿﺮب ﻣﺎﮐﺴﺘﺮم هﺎ اﺳﺖ ‪ .‬ﻣﺜﻼً ﻋﺒﺎرت ﺑﻮل زﯾﺮ را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﯾﺪ ‪:‬‬ ‫‪F = xy + x ′ z‬‬

‫اﺑﺘﺪا ﺟﺪول درﺳﺘﯽ را ﺑﺪﺳﺖ ﻣﯽ ﺁورﯾﻢ ‪،‬ﺷﮑﻞ )‪ ١ . (٢-۶‬هﺎﯼ زﯾﺮ ﺳﺘﻮن ‪ F‬از ﺗﺮﮐﻴﺐ‬ ‫ﻣﺘﻐﻴﺮهﺎ ﺑﺎ ‪ x=11‬و ‪ xz=01‬ﺣﺎﺻﻞ ﻣﯽ ﺷﻮد ﻣﻴﻨﺘﺮم هﺎﯼ ﺗﺎﺑﻊ از روﯼ ﺟﺪول درﺳﺘﯽ‬ ‫ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از ‪ . ١،٣،۶،٧‬ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﻣﻴﻨﺘﺮم هﺎ ﺑﺮاﺑﺮﺳﺖ ﺑﺎ‬

‫)‪F ( x, y, z) = ∑ (1,3,6,7‬‬ ‫ﭼﻮن ﺟﻤﻌﺎً هﺸﺖ ﻣﻴﻨﺘﺮم ﯾﺎ ﻣﺎﮐﺴﺘﺮم در ﯾﮏ ﺗﺎﺑﻊ ﺳﻪ ﻣﺘﻐﻴﺮﻩ وﺟﻮد دارد ‪ ،‬ﻣﺎ ﺟﻤﻼت‬ ‫ﻏﻴﺮ ﻣﻮﺟﻮد در ﻓﻮق را ﻣﯽ ﯾﺎﺑﻴﻢ ﮐﻪ ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از ‪ ۴ ، ٢ ، ٠‬و ‪ . ۵‬ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﺿﺮب‬ ‫ﻣﺎﮐﺴﺘﺮم هﺎ ﭼﻨﻴﻦ ﺧﻮاهﺪ ﺷﺪ ‪.‬‬

‫)‪F ( x, y, z) = ∏(0,2,4,5‬‬ ‫اﯾﻦ هﻤﺎن ﻣﺜﺎﻟﯽ اﺳﺖ ﮐﻪ در ﻣﺜﺎل ‪ ٢-۵‬دﯾﺪﯾﻢ ‪.‬‬

‫‪١٦‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم ‪ :‬ﺟﺒﺮ ﺑﻮل و ﮔﻴﺖ هﺎﯼ ﻣﻨﻄﻘﯽ‬ ‫ﺟﺪول )‪ (٢-۶‬ﺟﺪول درﺳﺘﯽ ﺑﺮاﯼ‬

‫ﻓﺮم هﺎﯼ اﺳﺘﺎﻧﺪارد‬

‫‪f‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬

‫‪z‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬

‫‪F = xy + x′z‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬

‫دو ﻓﺮم ﻣﺘﻌﺎرف ﺟﺒﺮ ﺑﻮل ‪ ،‬ﻓﺮم هﺎﯾﯽ اﺑﺘﺪاﯾﯽ هﺴﺘﻨﺪ ﮐﻪ هﺮ ﮐﺲ ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ‬ ‫ﺟﺪول درﺳﺘﯽ ﺑﻪ ﺁﻧﻬﺎ دﺳﺘﺮﺳﯽ ﭘﻴﺪا ﮐﻨﺪ ‪ .‬اﯾﻦ ﻓﺮم هﺎ ﻣﻌﻤﻮﻻً داراﯼ ﺣﺪاﻗﻞ ﻣﺘﻐﻴﺮهﺎ‬ ‫ﻧﻴﺴﺘﻨﺪ ‪ ،‬زﯾﺮا هﺮ ﻣﻴﻨﺘﺮم ﯾﺎ ﻣﺎﮐﺴﺘﺮم ﺑﺎﯾﺴﺘﯽ ﺑﻨﺎ ﺑﻪ ﺗﻌﺮﯾﻒ داراﯼ ﺗﻤﺎم ﻣﺘﻐﻴﺮهﺎ اﻋﻢ از‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ و ﻏﻴﺮ ﻣﮑﻤﻞ ﺑﺎﺷﻨﺪ ‪ .‬راﻩ دﯾﮕﺮﯼ ﺑﺮاﯼ ﺑﻴﺎن ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻮل ‪ ،‬ﻓﺮم اﺳﺘﺎﻧﺪارد اﺳﺖ ‪ .‬در‬ ‫اﯾﻦ ﻓﺮم ‪ ،‬ﺟﻤﻠﻪ هﺎﯾﯽ ﮐﻪ ﺗﺎﺑﻊ را ﺗﺸﮑﻴﻞ ﻣﯽ دهﻨﺪ ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ ﯾﮏ ﻳﺎ دو ﯾﺎ هﺮ‬ ‫ﺗﻌﺪادﯼ از ﻣﺘﻐﻴﺮهﺎ را داراﺑﺎﺷﻨﺪ ‪.‬دو ﻧﻮع ﻓﺮم اﺳﺘﺎﻧﺪارد وﺟﻮد دارد ‪ .‬ﯾﮑﯽ ﺟﻤﻊ‬ ‫ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب هﺎ و دﯾﮕﺮﯼ ﺿﺮب ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ هﺎ ‪.‬‬ ‫ﺟﻤﻊ ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب هﺎ ‪ ،‬ﯾﮏ ﻋﺒﺎرت ﺑﻮل اﺳﺖ ﮐﻪ ﺷﺎﻣﻞ ﺟﻤﻼت ‪ ) AND‬ﺑﺎ ﻧﺎم ﺟﻤﻼت‬ ‫ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب (از ﯾﮏ ﯾﺎ ﭼﻨﺪﻣﺘﻐﻴﺮ ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ‪.‬ﮐﻠﻤﻪ ﺟﻤﻊ دراﯾﻨﺠﺎ ﺑﻪ ﻣﻌﻨﯽ ﻋﻤﻠﮕﺮ ‪ OR‬روﯼ‬ ‫اﯾﻦ ﺟﻤﻼت اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎﻟﯽ از اﯾﻦ ﻧﻮع ﺑﻘﺮار زﯾﺮ ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ‪:‬‬

‫‪F = y′ + xy + x′yz′‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻋﺒﺎرت داراﯼ ﺳﻪ ﺟﻤﻠﻪ ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب از ﯾﮏ ‪ ،‬دو و ﺳﻪ ﻣﺘﻐﻴﺮ اﺳﺖ ‪ .‬ﺟﻤﻊ ﺁﻧﻬﺎ در واﻗﻊ‬ ‫اﺟﺮاﯼ ﻋﻤﻞ ‪ OR‬اﺳﺖ ﮐﻪ ﺟﻤﻊ ﻧﺎﻣﻴﺪﻩ ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ ‪ .‬هﺮ ﺟﻤﻠﻪ هﺮ ﺗﻌﺪاد ﻣﺘﻐﻴﺮ را ﻣﻤﮑﻦ‬

‫‪١٧‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم ‪ :‬ﺟﺒﺮ ﺑﻮل و ﮔﻴﺖ هﺎﯼ ﻣﻨﻄﻘﯽ‬

‫اﺳﺖ دارا ﺑﺎﺷﺪ ‪.‬ﺿﺮب ﺑﻴﺎﻧﮕﺮ ﻋﻤﻠﮕﺮ ‪ AND‬روﯼ ﺁﻧﻬﺎ اﺳﺖ ‪ .‬ﻣﺜﺎﻟﯽ از ﯾﮏ ﺗﺎﺑﻊ ﮐﻪ ﺑﺼﻮرت‬ ‫ﺿﺮب ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ هﺎ ﺑﻴﺎن ﺷﺪﻩ ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از ‪:‬‬

‫)‪F = x( y′ + z)( x′ + y + z′ + w‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اﯾﻦ ﻋﺒﺎرت ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ داراﯼ ﺳﻪ ﺟﻤﻠﻪ ‪ ،‬ﺑﺎ ﯾﮏ ‪ ،‬دو ﭼﻬﺎر ﻣﺘﻐﻴﺮ اﺳﺖ ‪ .‬ﺿﺮب ﺁﻧﻬﺎ در واﻗﻊ‬ ‫اﺟﺮاﯼ ﻋﻤﻞ ‪ AND‬ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ‪ .‬ﮐﺎرﺑﺮد ﮐﻠﻤﻪ ﺿﺮب و ﺟﻤﻊ ﺑﻴﺎﻧﮕﺮ ﺷﺒﺎهﺖ ‪ AND‬ﺑﺎ ﺿﺮب و‬ ‫ﻋﻤﻠﮕﺮ ‪ OR‬ﺑﺎ ﺟﻤﻊ در ﺣﺴﺎب ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ‪.‬‬ ‫ﯾﮏ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻮل ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ ﺑﻔﺮم ﻏﻴﺮ اﺳﺘﺎﻧﺪارد ﻧﻴﺰ ﺑﻴﺎن ﺷﻮد ‪ .‬ﺑﻌﻨﻮان ﻣﺜﺎل ﺗﺎﺑﻊ ‪:‬‬

‫)‪F = ( AB + CD)( A′B′ + C ′D′‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻧﻪ ﺑﺸﮑﻞ ﺟﻤﻊ ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب هﺎ و ﻧﻪ ﺑﺸﮑﻞ ﺿﺮب ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ هﺎ اﺳﺖ ‪ .‬اﻟﺒﺘﻪ ﻣﯽ ﺗﻮان‬ ‫ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎدﻩ از ﻗﺎﻧﻮن ﺗﻮزﯾﻊ ﭘﺬﯾﺮﯼ ﺁن را ﺑﻔﺮم اﺳﺘﺎﻧﺪارد در ﺁورد ‪:‬‬

‫‪F = A′B′CD + ABC ′D′‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ٢-۵‬ﮔﻴﺖ هﺎﯼ ﻣﻨﻄﻘﯽ دﯾﺠﻴﺘﺎل‬ ‫ﻣﺪارهﺎﯼ دﯾﺠﻴﺘﺎل اﻟﮑﺘﺮوﻧﻴﮑﯽ ‪ ،‬ﻣﺪارهﺎﯼ ﻣﻨﻄﻘﯽ ﻧﻴﺰ ﻧﺎﻣﻴﺪﻩ ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ ‪ .‬زﯾﺮا اﯾﻨﮕﻮﻧﻪ‬ ‫ﻣﺪارهﺎﯼ در ﻣﻘﺎﺑﻞ ورودﯼ ﻣﻨﺎﺳﺒﯽ ‪ ،‬ﺗﻮﻟﻴﺪ ﮐﻨﻨﺪﻩ ﯾﮏ ﺳﺮﯼ اﻋﻤﺎل ﻣﻨﻄﻘﯽ ﻣﯽ‬ ‫ﺑﺎﺷﻨﺪ ‪ .‬هﺮ ﮔﻮﻧﻪ اﻃﻼﻋﺎت ﻣﺤﺎﺳﺒﺎﺗﯽ ﯾﺎ ﮐﻨﺘﺮﻟﯽ ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ را ﻣﯽ ﺗﻮان ﺑﺎ ﻋﺒﻮر ﺳﻴﮕﻨﺎل‬ ‫هﺎﯼ دودوﯾﯽ از ﻣﻴﺎن دﺳﺘﻪ هﺎﯼ ﻣﺘﻔﺎوت ﻣﺪارهﺎﯼ ﻣﻨﻄﻘﯽ ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﻗﺮار داد ‪،‬‬ ‫ﮐﻪ هﺮ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻧﺸﺎن دهﻨﺪﻩ ﯾﮏ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﺑﻮدﻩ و ﯾﮏ ﺑﻴﺖ از اﻃﻼﻋﺎت راﺣﻤﻞ ﻣﯽ ﮐﻨﺪ ‪.‬‬ ‫ﻣﺪارهﺎﯼ ﻣﻨﻄﻘﯽ ﮐﻪ اﻋﻤﺎل ﻣﻨﻄﻘﯽ ‪ AND‬و ‪ OR‬و ‪ NOT‬را اﺟﺮا ﻣﯽ ﮐﻨﺪ ﺑﻪ هﻤﺮاﻩ‬ ‫ﺳﻤﺒﻞ هﺎﯼ ﻣﺮﺑﻮﻃﻪ در ﺷﮑﻞ )‪ (٢-١‬ﻧﺸﺎن دادﻩ ﺷﺪﻩ اﻧﺪ ‪ .‬اﯾﻦ ﻣﺪارهﺎ ﮐﻪ ﮔﻴﺖ ﻧﺎﻣﻴﺪﻩ‬ ‫ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ ﺑﻠﻮﮐﻬﺎﯼ ﺳﺨﺖ اﻓﺰارﯼ هﺴﺘﻨﺪ ﮐﻪ ﺑﺎ ورودﯼ ﻣﻨﻄﻘﯽ ﻣﻨﺎﺳﺒﯽ در ﺧﺮوﺟﯽ‬

‫‪١٨‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم ‪ :‬ﺟﺒﺮ ﺑﻮل و ﮔﻴﺖ هﺎﯼ ﻣﻨﻄﻘﯽ‬

‫ﺧﻮد ‪ ٠‬ﯾﺎ ‪ ١‬ﻣﻨﻄﻘﯽ ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻣﯽ ﮐﻨﻨﺪ ‪ .‬ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﻴﺪ ﮐﻪ ﭼﻬﺎر ﻧﺎم ﻣﺨﺘﻠﻒ ﺑﺮاﯼ اﯾﻦ ﻣﺪارهﺎ‬ ‫ﺑﮑﺎر رﻓﺘﻪ اﺳﺖ ‪ .‬ﻣﺪارهﺎﯼ دﯾﺠﻴﺘﺎل ‪ ،‬ﻣﺪارهﺎﯼ ﺳﻮﺋﻴﭽﻴﻨﮓ ‪ ،‬ﻣﺪارهﺎﯼ ﻣﻨﻄﻘﯽ و ﮔﻴﺖ‬ ‫هﺎ ‪ .‬هﻤﻪ اﯾﻦ اﺳﺎس ﺑﻄﻮر ﮔﺴﺘﺮدﻩ اﯼ اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﻣﻴﺸﻮﻧﺪ وﻟﯽ ﺑﻬﺘﺮ اﺳﺖ ﻣﺎ اﯾﻦ‬ ‫ﻣﺪارهﺎﯼ را ‪ AND‬و ‪ OR‬و ‪ NOT‬ﮔﺎهﯽ ﻣﺪار واروﻧﮕﺮ ﯾﺎ ﻣﻌﮑﻮس ﮐﻨﻨﺪﻩ ﻧﻴﺰ ﻧﺎﻣﻴﺪﻩ ﻣﯽ‬ ‫ﺷﻮد زﯾﺮا ﺳﻴﮕﻨﺎل دودوﯾﯽ را ﻣﻌﮑﻮس ﻣﯽ ﮐﻨﺪ ‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫‪Z=x+y‬‬

‫‪Z=x.y‬‬

‫‪y‬‬

‫)اﻟﻒ( ﮔﻴﺖ ‪ AND‬دو ورودﯼ‬

‫)ب( ﮔﻴﺖ ‪ OR‬دو ورودﯼ‬

‫َ‪x‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫‪A‬‬

‫‪F=ABC‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫)پ( ﮔﻴﺖ ‪ NOT‬ﺑﺮاﯼ ﻣﻌﮑﻮس ﮐﺮدن ) واروﮔﺮ (‬

‫)ت( ﮔﻴﺖ ‪ AND‬ﺳﻪ ورودﯼ‬

‫‪G=A+B+C+D‬‬ ‫)ث( ﮔﻴﺖ ‪ OR‬ﭼﻬﺎر ورودﯼ‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫ﺷﮑﻞ )‪ :(٢-١‬ﮔﻴﺘﻬﺎﯼ ‪NOR ،NAND‬و ‪NOT‬‬

‫ﺳﻴﮕﻨﺎل هﺎﯼ ورودﯼ ‪ X‬و ‪ Y‬در ﮔﻴﺖ هﺎﯾﯽ ﺑﺎ دو ورودﯼ ‪ ،‬ﻃﺒﻖ ﺷﮑﻞ )‪ (٢-٢‬ﻣُﯽ ﺗﻮاﻧﻨﺪ‬ ‫ﺑﻪ ﯾﮑﯽ از ﭼﻬﺎر ﺣﺎﻟﺖ ﻣﻤﮑﻦ ‪ ١١ ، ١٠ ، ٠١ ، ٠٠‬ﺑﺎﺷﻨﺪ ‪ .‬اﯾﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل هﺎﯼ ورودﯼ ﺑﻪ‬ ‫هﻤﺮاﻩ ﺳﻴﮕﻨﺎل هﺎﯼ ﺧﺮوﺟﯽ ﺷﺎن ﺑﺮاﯼ ﮔﻴﺖ هﺎﯼ ‪ AND‬و ‪ OR‬در ﺷﮑﻞ )‪ (٢-٢‬ﻧﺸﺎن‬ ‫دادﻩ ﺷﺪﻩ اﻧﺪ ‪ .‬ﻧﻤﻮدار زﻣﺎﻧﯽ ﺷﮑﻞ )‪ (٢-٢‬ﭘﺎﺳﺦ هﺮ ﻣﺪار را ﺑﻪ هﺮ ﯾﮏ از ﭼﻬﺎر ﺗﺮﮐﻴﺐ‬ ‫ﻣﻤﮑﻦ ورودﯼ ﻧﺸﺎن ﻣﯽ دهﺪ ‪ .‬دﻟﻴﻞ اﻧﺘﺨﺎب ﻧﺎم واروﻧﮕﺮ ﺑﺮاﯼ ﮔﻴﺖ ‪ NOT‬از ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ‬ ‫ﭘﺎﻟﺲ ‪ ) X‬ورودﯼ واروﻧﮕﺮ ( و ‪ ) X‬ﺧﺮوﺟﯽ واروﻧﮕﺮ ( ﺑﺨﻮﺑﯽ ﺁﺷﮑﺎر ﻣﯽ ﺷﻮد ‪.‬‬

‫‪١٩‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم ‪ :‬ﺟﺒﺮ ﺑﻮل و ﮔﻴﺖ هﺎﯼ ﻣﻨﻄﻘﯽ‬

‫ﮔﻴﺖ هﺎﯼ ‪ AND‬و ‪ OR‬ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ ﺑﻴﺶ از دو ورودﯼ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ ‪ .‬ﯾﮏ ﮔﻴﺖ ‪ AND‬ﺑﺎ‬ ‫ﺳﻪ ورودﯼ و ﯾﮏ ﮔﻴﺖ ‪ AND‬ﺑﺎ ﺳﻪ ورودﯼ و ﯾﮏ ﮔﻴﺖ ‪ OR‬ﺑﺎ ﭼﻬﺎر ورودﯼ در ﺷﮑﻞ )‪-١‬‬ ‫‪ (٢‬ﻧﺸﺎن دادﻩ ﺷﺪﻩ اﻧﺪ ‪ .‬ﮔﻴﺖ‪ AND‬ﺳﻪ ورودﯼ ‪ ،‬ﺑﺸﺮﻃﯽ در ﺧﺮوﺟﯽ ﺧﻮد داراﯼ‬ ‫ﭘﺎﺳﺦ ‪ ١‬ﻣﻨﻄﻘﯽ ﺑﺎﺷﺪ ‪ ،‬ﺧﺮوﺟﯽ ﮔﻴﺖ ‪ ٠‬ﻣﻨﻄﻘﯽ اﺳﺖ ‪ .‬ﮔﻴﺖ ‪ OR‬ﺑﺎ ﭼﻬﺎر ورودﯼ‬ ‫داراﯼ ﺧﺮوﺟﯽ ‪ ١‬ﻣﻨﻄﻘﯽ اﺳﺖ ﺑﺸﺮﻃﯽ ﮐﻪ ﺣﺪاﻗﻞ ﯾﮏ ورودﯾﻬﺎ ‪ ١،‬ﻣﻨﻄﻘﯽ ﺑﺎﺷﺪ و‬ ‫اﮔﺮ هﻤﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل هﺎﯼ ورودﯼ ‪ ٠‬ﻣﻨﻄﻘﯽ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﺧﺮوﺟﯽ ‪ ٠‬ﻣﻨﻄﻘﯽ ﺧﻮاهﺪ ﺑﻮد ‪.‬‬ ‫ﻓﺮم رﯾﺎﺿﯽ ﻣﻨﻄﻖ دودوﯾﯽ ‪ ،‬اﻏﻠﺐ ﺟﺒﺮ ﺑﻮل و ﯾﺎ ﺟﺒﺮ ﺳﻮﺋﻴﭽﻴﻨﮓ ﺧﻮاﻧﺪﻩ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬اﯾﻦ‬ ‫ﺟﺒﺮ ﺑﺮاﯼ ﺗﺸﺮﯾﺢ ﻋﻤﻠﻴﺎت ﺷﺒﮑﻪ هﺎﯼ ﭘﻴﭽﻴﺪﻩ در ﻣﺪارهﺎﯼ دﯾﺠﻴﺘﺎل اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﻣﯽ ﮔﺮدد ‪.‬‬ ‫ﻃﺮاﺣﺎن ﺳﻴﺴﺘﻤﻬﺎﯼ دﯾﺠﻴﺘﺎل از ﺟﺒﺮ ﺑﻮل ﺑﺮاﯼ ﺗﺒﺪﯾﻞ اﺷﮑﺎل ﻣﺪارهﺎ ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت ﺟﺒﺮﯼ و‬ ‫ﺑﺎﻟﻌﮑﺲ اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﻣﯽ ﮐﻨﻨﺪ ‪.‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪AND : x.y‬‬ ‫‪OR : x+y‬‬ ‫َ‪NOT : x‬‬

‫ﺷﮑﻞ )‪ (٢-٢‬ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎﯼ ورودﯼ – ﺧﺮوﺟﯽ ﺑﺮاﯼ ﮔﻴﺖ هﺎﯼ ) اﻟﻒ( )ب( )پ ( از ﺷﮑﻞ )‪(٢-١‬‬

‫ﮔﻴﺘﻬﺎﯼ دﯾﮕﺮﯼ ﯾﻌﻨﯽ ﺑﻌﻨﻮان ﮔﻴﺖ هﺎﯼ اﺳﺘﺎﻧﺪارد در ﻃﺮاﺣﯽ ﺳﻴﺴﺘﻢ هﺎﯼ دﯾﺠﻴﺘﺎل‬ ‫ﺑﮑﺎر ﻣﯽ روﻧﺪ ‪.‬اﯾﻦ ﮔﻴﺘﻬﺎ ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از‪XNOR ، XOR ، NOR ، NAND :‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪٢٠‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم ‪ :‬ﺟﺒﺮ ﺑﻮل و ﮔﻴﺖ هﺎﯼ ﻣﻨﻄﻘﯽ‬

‫ﺗﺎﺑﻊ ‪ ، NAND‬ﻣﮑﻤﻞ ‪ AND‬ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ و ﻣﺘﺸﮑﻞ از ﯾﮏ ﺳﻤﺒﻞ ‪ AND‬ﮐﻪ ﺑﺪﻧﺒﺎل ﺁن داﯾﺮﻩ‬ ‫ﮐﻮﭼﮑﯽ ﻗﺮار ﮔﺮﻓﺘﻪ اﺳﺖ ‪ .‬ﺗﺎﺑﻊ ‪ NOR‬ﻣﮑﻤﻞ ﺗﺎﺑﻊ ‪ OR‬ﺑﻮدﻩ و ﺑﻮﺳﻴﻠﻪ ﺳﻤﺒﻞ ‪ OR‬ﮐﻪ‬ ‫ﺑﺪﻧﺒﺎل ﺁن داﯾﺮﻩ ﮐﻮﭼﮏ ﻧﻤﺎﯾﺶ دادﻩ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬ﮔﻴﺖ هﺎﯼ ‪ NAND‬و ‪ NOR‬ﺑﺴﺎدﮔﯽ‬ ‫ﺑﻮﺳﻴﻠﻪ ﻣﺪارات ﺗﺮاﻧﺰﯾﺴﺘﻮرﯼ ﻗﺎﺑﻞ ﺗﻮﻟﻴﺪ ﺑﻮدﻩ و ﻣﯽ ﺗﻮان ﺑﺮاﺣﺘﯽ ﺗﻮاﺑﻊ ﺑﻮل را ﺑﺎ ﺁﻧﻬﺎ‬ ‫ﭘﻴﺎدﻩ ﻧﻤﻮد ‪.‬‬ ‫ﮔﺒﺖ ‪ XOR‬داراﯼ ﺳﻤﺒﻞ ﻣﺸﺎﺑﻬﯽ ﺑﺎ ‪ OR‬ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ‪ ،‬ﺑﺠﺰ ﯾﮏ ﺧﻂ ﻣﻨﺤﻨﯽ ﮐﻪ در ﺳﻤﺖ‬ ‫ورودﯼ اش ﮐﺸﻴﺪﻩ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ ‪ .‬ﮔﻴﺖ ‪ XNOR‬ﻣﮑﻤﻞ ‪ XOR‬اﺳﺖ و ﻟﺬا ﯾﮏ داﯾﺮﻩ ﮐﻮﭼﮏ‬ ‫اﺿﺎﻓﯽ در ﺳﻤﺖ ﺧﺮوﺟﯽ ﺳﻤﺒﻞ ﺁن وﺟﻮد دارد ‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫‪( xy)′‬‬

‫‪x‬‬

‫‪( x + y)′‬‬

‫‪y‬‬

‫)اﻟﻒ ( ﮔﻴﺖ ‪NAND‬‬

‫‪F = x⊕ y‬‬

‫‪y‬‬ ‫)ب( ﮔﻴﺖ ‪NOR‬‬

‫‪X‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪F = xΘ y‬‬

‫)پ( ﮔﻴﺖ ‪XOR‬‬

‫‪X‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)ت( ﮔﻴﺖ ‪XNOR‬‬

‫ﺷﮑﻞ )‪ (٢-3‬ﮔﻴﺖ هﺎﯼ ‪XNOR ، XOR ، NOR ، NAND‬‬ ‫ﮔﺴﺘﺮش ورودﯼ ﮔﻴﺖ هﺎ‬ ‫ﮔﻴﺖ هﺎﯼ ﻧﺸﺎن دادﻩ ﺷﺪﻩ ﺑﺠﺮ ﻣﻌﮑﻮس ﮐﻨﻨﺪﻩ و ﺑﺎﻓﺮ ‪ ،‬ﻗﺎﺑﻞ ﮔﺴﺘﺮش ﺑﻪ ﺣﺎﻟﺘﯽ ﺑﻴﺶ‬ ‫از دو ورودﯼ هﺴﺘﻨﺪ ﺑﺸﺮط اﯾﻨﮑﻪ ﻋﻤﻞ دودوﯾﯽ اراﺋﻪ ﺷﺪﻩ ﺑﻮﺳﻴﻠﻪ ﺁﻧﻬﺎ ﺧﻮاص‬ ‫ﺟﺎﺑﺠﺎﯾﯽ و ﺷﺮﮐﺖ ﭘﺬﯾﺮﯼ را داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ‪ .‬اﻋﻤﺎل ‪ AND‬و ‪ OR‬ﮐﻪ در ﺟﺒﺮ ﺑﻮل ﺗﻌﺮﯾﻒ‬ ‫ﺷﺪﻧﺪ داراﯼ اﯾﻦ دو ﺧﺎﺻﻴﺖ هﺴﺘﻨﺪ ‪ .‬ﺑﺮاﯼ ﺗﺎﺑﻊ ‪ OR‬دارﯾﻢ ‪:‬‬ ‫ﺟﺎﺑﺠﺎﯾﯽ‬

‫‪x+ y = y+ x‬‬

‫‪٢١‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم ‪ :‬ﺟﺒﺮ ﺑﻮل و ﮔﻴﺖ هﺎﯼ ﻣﻨﻄﻘﯽ‬

‫‪( x + y) + z = x + ( y + z) = x + y + z‬‬

‫و ﺷﺮﮐﺖ ﭘﺬﯾﺮﯼ‬

‫اﯾﻦ رواﺑﻂ ﺑﻴﺎﻧﮕﺮ ﺁﻧﻨﺪ ﮐﻪ ورودﯼ ﻗﺎﺑﻞ ﺗﻌﻮﯾﺾ ﺑﻮدﻩ و ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ ‪ OR‬ﻗﺎﺑﻞ ﮔﺴﺘﺮش ﺑﻪ‬ ‫ﺳﻪ ﻣﺘﻐﻴﺮ و ﺑﻴﺸﺘﺮ اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫ﺗﻮاﺑﻊ ‪ NAND‬و ‪ NOR‬ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺟﺎﺑﺠﺎﯾﯽ دارﻧﺪ و ورودﯼ ﮔﻴﺖ ﺁﻧﻬﺎ ﻗﺎﺑﻞ ﮔﺴﺘﺮش اﺳﺖ ‪،‬‬ ‫ﺑﺸﺮط اﯾﻨﮑﻪ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻋﻤﻞ ﺁﻧﻬﺎ ﺗﺼﺤﻴﺢ ﺷﻮد‪ .‬ﻣﺸﮑﻞ اﯾﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻋﻤﻠﮕﺮهﺎﯼ ‪، NAND‬‬ ‫‪ NOR‬ﺷﺮﮐﺖ ﭘﺬﯾﺮﯼ ﻧﻴﺴﺘﻨﺪ ‪ .‬ﯾﻌﻨﯽ ‪:‬‬

‫)‪( x ↓ y) ↓ z ≠ x ↓ ( y ↓ z‬‬ ‫زﯾﺮا ﻃﺒﻖ ﺷﮑﻞ ) ‪ ( ٢-4‬دارﯾﻢ ‪:‬‬

‫‪( x ↓ y) ↓ z = [( x − y)′ + z]′ = ( x + y) z′ = xz′ + yz′‬‬ ‫‪x ↓ ( y ↓ z) = [ x + ( y + z)′]′ = x′( y + z) = x′y + x′z‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪( x ↓ y) ↓ z = ( x +‬‬

‫‪x ↓ ( y ↓ z ) = x′( y +‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪z‬‬

‫ﺷﮑﻞ )‪ (٢-4‬ﻧﻤﺎﯾﺶ ﺷﺮﮐﺖ ﭘﺬﯾﺮ ﻧﺒﻮدن ‪( x ↓ y) ↓ z ≠ x( y ↓ z) ،NOR‬‬

‫‪z‬‬

‫‪٢٢‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم ‪ :‬ﺟﺒﺮ ﺑﻮل و ﮔﻴﺖ هﺎﯼ ﻣﻨﻄﻘﯽ‬

‫ﺑﺮاﯼ ﻏﻠﺒﻪ ﺑﺮاﯾﻦ ﻣﺸﮑﻞ ﮔﻴﺖ هﺎﯼ ‪ ( NAND) NOR‬ﭼﻨﺪ ورودﯼ را ﺑﻌﻨﻮان ﻣﮑﻤﻞ ‪OR‬‬ ‫)‪ ( AND‬ﺁن ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣﯽ ﮐﻨﻴﻢ ‪ ،‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ دارﯾﻢ ‪:‬‬

‫‪x ↓ y ↓ z = ( x + y + z)′‬‬ ‫‪x ↑ y ↑ z = ( xyz)′‬‬ ‫ﺳﻤﺒﻞ هﺎﯼ ﮔﺮاﻓﻴﮑﯽ ﺑﺮاﯼ ﮔﻴﺖ هﺎﯼ ﺳﻪ ورودﯼ در ﺷﮑﻞ )‪ (٢-5‬ﻧﺸﺎن دادﻩ ﺷﺪﻩ‬ ‫اﻧﺪ ‪ .‬در ﻧﻮﺷﺘﻦ ﻣﺘﻮاﻟﯽ اﻋﻤﺎل ‪ NOR‬و ‪ NAND‬ﺑﺎﯾﺴﺘﯽ ﭘﺮاﻧﺘﺰهﺎ ﺑﻔﺮم ﺻﺤﻴﺢ اﻧﺘﺨﺎب‬ ‫ﺷﻮﻧﺪ ‪ ،‬ﺗﺎ ﺑﻴﺎﻧﮕﺮ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﺻﺤﻴﺢ ﮔﻴﺖ هﺎ ﺑﺎﺷﻨﺪ ‪ .‬ﺑﺮاﯼ ﻧﻤﺎﯾﺶ اﯾﻦ ﻣﻄﻠﺐ ﻣﺪار ﺷﮑﻞ )‪-5‬‬ ‫‪-٢‬پ( راﻣﻼﺣﻈﻪ ﮐﻨﻴﺪ ‪ .‬ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻮل ﺑﺮاﯼ اﯾﻦ ﻣﺪر ﺑﺎﯾﺴﺘﯽ ﺑﻔﺮم زﯾﺮ ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﻮد ‪:‬‬

‫‪F = [( ABC)′(DE)′]′ = ABC + DE‬‬ ‫دوﻣﻴﻦ ﻋﺒﺎرت از راﺑﻄﻪ دﻣﻮرﮔﺎن ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ ‪ .‬اﯾﻦ راﺑﻄﻪ هﻤﭽﻨﻴﻦ ﺑﻴﺎﻧﮕﺮ ﺁﻧﺴﺖ‬ ‫ﮐﻪ ﺟﻤﻊ ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب هﺎ ﻗﺎﺑﻞ ﭘﻴﺎدﻩ ﺷﺪن ﺑﻮﺳﻴﻠﻪ ﮔﻴﺖ هﺎ ‪ NAND‬اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫ﮔﻴﺖ هﺎ ‪ XOR‬و ‪ XNOR‬هﺮ دو داراﯼ ﺧﻮاص ﺟﺎﺑﺠﺎﯾﯽ و ﺷﺮﮐﺖ ﭘﺬﯾﺮﯼ ﺑﻮدﻩ ‪ ،‬ورودﯼ‬ ‫ﺷﺎن ﻗﺎﺑﻞ ﺗﻮﺳﻌﻪ ﺑﻪ ﺑﻴﺸﺘﺮ از دو ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ‪ .‬ﻣﻌﻬﺬا ﻣﺪارهﺎﯼ ‪ XOR‬ﺑﺎ ﭼﻨﺪ ورودﯼ ‪ ،‬از‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ ﻧﻈﺮ ﺳﺨﺖ اﻓﺰارﯼ ﻣﺘﺪاول ﻧﻴﺴﺘﻨﺪ ‪.‬در واﻗﻊ ﺣﺘﯽ ﻓﺮم دو ورودﯼ ﺁن ﻧﻴﺰ ﻣﻌﻤﻮﻻً از‬ ‫ﺳﺎﯾﺮ ﮔﻴﺖ هﺎ ﺳﺎﺧﺘﻪ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬ﻋﻼوﻩ ﺑﺮ اﯾﻦ ﺗﻌﺮﯾﻒ اﯾﻦ ﺗﻮاﺑﻊ ﺑﺎﯾﺴﺘﯽ ﺑﻬﻨﮕﺎم‬ ‫ﮔﺴﺘﺮش ورودﯼ ﺁﻧﻬﺎ ﺗﺼﺤﻴﺢ ﮔﺮدد ‪.‬ﺗﺎﺑﻊ ‪ XOR‬ﯾﮏ ﺗﺎﺑﻪ ﻓﺮد اﺳﺖ ﯾﻌﻨﯽ هﺮﮔﺎﻩ ورودﯼ هﺎ‬ ‫ﺗﻌﺪاد ﻏﺮدﯼ ‪ ١‬را دارا ﺑﺎﺷﻨﺪ اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ ١‬ﺧﻮاهﺪ ﺑﻮد ‪ .‬ﺳﺎﺧﺘﻤﺎن ﯾﮏ ﮔﻴﺖ ‪ XOR‬ﺑﺎ‬ ‫ﺳﻪ ورودﯼ در ﺷﮑﻞ )‪ (٢-۶‬دﯾﺪﻩ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪.‬اﯾﻦ ﻣﺪار ﻣﻌﻤﻮﻻً ﺑﺎ ﮔﻴﺖ هﺎﯼ دو ورودﯼ‬ ‫ﺗﻬﻴﻪ ﻣﯽ ﮔﺮدد ‪ .‬ﺷﮑﻞ )اﻟﻒ( ﻓﺮم ﮔﺮاﻓﻴﮑﯽ ﺁن را ﺑﺎ ﮔﻴﺖ ﺳﻪ ورودﯼ ﻧﻴﺰ ﻣﯽ ﺗﻮان ﻧﺸﺎن‬ ‫داد ‪ ،‬ﺷﮑﻞ ب ( ﺟﺪول درﺳﺘﯽ در ) پ( ﺑﻄﻮر ﺁﺷﮑﺎر ﻣﺸﺨﺺ ﻣﯽ ﻧﻤﺎﯾﺪ ﮐﻪ ﺧﺮوﺟﯽ ‪F‬‬

‫‪٢٣‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم ‪ :‬ﺟﺒﺮ ﺑﻮل و ﮔﻴﺖ هﺎﯼ ﻣﻨﻄﻘﯽ‬

‫ﺑﺮاﺑﺮ ‪ ١‬ﺧﻮاهﺪ ﺑﻮد ‪ ،‬اﮔﺮ ﻓﻘﻂ ﯾﮑﯽ از ورودﯼ هﺎ و ﯾﺎ هﺮ ﺳﻪ ورودﯼ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎﺷﺪ ‪ .‬ﺑﻪ ﺑﻴﺎن‬ ‫دﯾﮕﺮ وﻗﺘﯽ ﺗﻌﺪاد ‪ ١‬هﺎ درورودﯼ ﻓﺮد اﺳﺖ ‪ F‬ﻣﺴﺎوﯼ ‪ ١‬اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫اﺿﺎﻓﻪ ﻣﯽ ﻧﻤﺎﯾﺪ ﮐﻪ ﺗﺎﺑﻊ ‪ NOR‬ﯾﮏ ﺗﺎﺑﻊ زوج اﺳﺖ ‪ .‬ﯾﻌﻨﯽ هﺮﮔﺎﻩ ﺗﻌﺪاد ‪ ٠‬هﺎ در ورودﯼ‬ ‫زوج ﺑﺎﺷﺪ اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺴﺎوﯼ ‪ ١‬اﺳﺖ ‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫‪( xyz)′‬‬

‫‪y‬‬

‫‪z‬‬

‫)اﻟﻒ ( ﮔﻴﺖ ‪ NOR‬ﺳﻪ ورودﯼ‬

‫‪x‬‬

‫‪( x + y + z )′‬‬

‫‪y‬‬

‫‪z‬‬

‫)ب( ﮔﻴﺖ ‪ NOR‬ﺳﻪ ورودﯼ‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪F = [( ABC )′.( DE )′]′ = ABC + DE‬‬

‫)پ( ﮔﻴﺖ هﺎﯼ ﻣﺘﻮاﻟﯽ ‪NAND‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬

‫ﺷﮑﻞ )‪ (٢-5‬ﮔﻴﺖ هﺎﯼ ‪ NAND‬و ‪ NOR‬ﭘﺸﺖ ﺳﺮ هﻢ و ﭼﻨﺪ ورودﯼ‬

‫‪X‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪F = x⊕ y⊕ z‬‬

‫‪Z‬‬ ‫)اﻟﻒ( ﺑﺎ ﮔﻴﺖ هﺎﯼ دو ورودﯼ‬

‫‪F = x⊕ y⊕ z‬‬ ‫)ب( ﯾﮏ ﮔﻴﺖ ﺳﻪ ورودﯼ‬

‫ﺷﮑﻞ )‪ (٢-۶‬ﮔﻴﺖ ‪ XOR‬ﺳﻪ ورودﯼ‬

‫‪X‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪z‬‬

‫‪٢٤‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم ‪ :‬ﺟﺒﺮ ﺑﻮل و ﮔﻴﺖ هﺎﯼ ﻣﻨﻄﻘﯽ‬ ‫ﻣﻨﻄﻖ ﻣﺜﺒﺖ و ﻣﻨﻔﯽ‬

‫ﺳﻴﮕﻨﺎل دودوﯾﯽ در ورودﯼ ﯾﺎ ﺧﺮوﺟﯽ هﺮ ﮔﻴﺖ ﯾﮑﯽ از دو ﻣﻘﺪار را ﺑﺠﺰ در ﺣﺎﻟﺖ ﮔﺬرا ‪،‬‬ ‫دارد ‪ .‬ﯾﮏ ﻣﻘﺪار ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻨﻄﻖ ‪ ١-‬و دﯾﮕﺮﯼ ﻣﻨﻄﻖ ‪ ٠-‬را ﻧﻤﺎﯾﺶ ﻣﯽ دهﺪ ‪ .‬ﭼﻮن دو‬ ‫ﻣﻘﺪار ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﺘﻌﻠﻖ ﺑﻪ دو ارزش ﻣﻨﻄﻘﯽ اﺳﺖ ‪ ،‬ﻟﺬا دو اﻧﺘﺴﺎب ﻣﺘﻔﺎوت ﺑﺮاﯼ دو‬ ‫ارزش ﻣﻨﻄﻘﯽ ﻣﯽ ﺗﻮان اﺧﺘﻴﺎر ﮐﺮد ‪ ،‬ﺷﮑﻞ )‪ (٢-٧‬اﻧﺘﺨﺎب ﺳﻄﺢ ﺑﺎﻻﺗﺮ ‪ H‬ﺑﺮاﯼ ﻧﻤﺎﯾﺶ‬ ‫ﻣﻨﻄﻖ ‪ ١‬ﻣﻄﺎﺑﻖ ﺷﮑﻞ )‪-٢-٧‬اﻟﻒ( ‪ ،‬ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﻨﻄﻖ ﻣﺜﺒﺖ را ﻣﻌﺮﻓﯽ ﻣﯽ ﻧﻤﺎﯾﺪ و‬ ‫اﻧﺘﺨﺎب ﺳﻄﺢ ﭘﺎﯾﻴﻦ ‪ L‬ﺑﻌﻨﻮان ﻣﻨﻄﻖ ‪.١‬‬ ‫ﻣﻘﺪار ﻣﻨﻄﻘﯽ‬

‫ﻣﻘﺪار ﺳﻴﮕﻨﺎل‬ ‫‪H‬‬

‫‪٠‬‬ ‫‪L‬‬

‫‪١‬‬ ‫)ب( ﻣﻨﻄﻖ ﻣﻨﻔﯽ‬

‫ﻣﻘﺪار ﺳﻴﮕﻨﺎل‬

‫ﻣﻘﺪار ﻣﻨﻄﻘﯽ‬

‫‪H‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪L‬‬

‫‪١‬‬ ‫)اﻟﻒ (ﻣﻨﻄﻖ ﻣﺜﺒﺖ‬

‫ﺷﮑﻞ )‪ (٢-٧‬ﻋﻼﻣﺖ داﻣﻨﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل و ﻧﻮع ﻣﻨﻄﻖ‬

. ,

!

+%,-

' 5# "4 % 2 3 (

1 (

%, :;

"

(

(

7

$

(%*

( '% )(%*

(

=(

% "

8 9 2!

%!

%&$

(

)( AB

)(%*

@

% "

89

!

7

8#$(

'$ &

"@6 ;

(

R% OEL #

G Z

$ ,S< (

#/

( $ G Z $

#

%?0 > ; C

% U W %

8

( 8P $ !@

D "0$ '

( $

7"

E I6J 4

7 !7 G Z

&% Q U

2

# ( 2

%

$

A&

( 2 ,&

,7

9

!5 Q

!5

!5

$

Q UQ

!

#

!

Y $ X !@ YQ

!

$

$ 2! T A (

$ VW ( X

#

#

7 E;

ONM L

%

# <$

,-6J 4 E K

7

/0 6! %

# ! ( 8P

!

!67

7 G! %H F 3

" ( AB

"

( '%

( "$@

A& )( AB 2

#

7 "

2 ,

($9

7

%& $

#

7( $

7 :; DG Z

$ Q

VW 9

[ :;

",=\B

"

!5

XY 7 - 9

Q

"K$ @ $

2 ,

_

#

(%W Q :;

( Y !5

bc

7 "

+

$ $

W

2 Q

#

h

#

! "

( (

(Y

X

]6

!4

Y

Y

7 $

′

′ ′

j X

% " 2! g,

′

i

OEL

Y j

X

i

Y

Y

j

i i

i

i

j

j i

i

X

i

XdY OEL

XY Oa0 L Q

# (

Q 9

( e! XdY

8

Oa0 L

!

%

# " bc #

!

( X !5

bk bc

&% Q

'`

(

6! % OENM[L

bj bi

X

!@ ^$( G! 7

# ( XY

T%

X

X

?

+

Q ($9

Y

7 " 8

8&

9

=

!

. ,

( <

f

+ = ′ +

89

Oa0 NM[L 3

# Z

%

]6

ONMNL 8& 2!,8

# ( (

!5 %&$ " $ $

!5

N l

A! 7 Q

r

G! %?

7

&% OU

"

#2

" "

(

( < &% 3

G Z

$

′

?

$

U

H

!

7 OEL

7

# B

(

=

′

]6

%

$X

(/ AS

%# " ]q6 % " T%

( 8P ( H ( $ G Z

( ^ "3 4

,S< ( #

W

" $

U

83

TA(

( 8P Q U

D G Z

7 "

#

% (

(%

( <

R; Q Q %# "

S

"

#

7 !7

o 3 ?

$ 8 U

7

!

!

( ,#

T%

B '

0%8

U

( !5

% lL Q

( !5

$

C\` Q

l

O MnL '$ & (

!!5 U

B $ 2 " <$ Q Q

" $ $ m!

!J H Q

$ W

7"

G

2

7"

%

bp

m

2 m!

7 \B

6

W

!5

? ( bp 7 !7

$

A,

H ( !5

G!

Q G!S %

Y

Yu bj

bi

bc

jj

X

bk

j

bx

bp

bw

′ ′′

ji

X i Oa0 L

′

′ ′

′

OEL !5

!J H Q # "

ij

′

′′

bv

′ ′

ii

!5

S

ONMNL

" '% (

$

s#

%

(

2! t\ H 8

Q G! 7 :;

3 h(

8&

( ( %-,

y $

(

%(7

% "

( Q

7 G !?!

-! '%

7

!5

2#$( (%1

!?

A& '%J

&%

$

( ( %-,

z{|

Q ! 7 &%

+ Q

′ +

=

7 t/4 ( !5

9 ,&

t/4 mA

G,! "

=∑

(

Q

"

′+

?8

% "

Q

$

(

! $

,&

t\ H Y !5

7 ( %-,

$ (

)$ @

! $

"0 ` Q

H ,&

m6W

#

=

7

# }~ G

ZU (

( %-,

=

( "0 $(

1 (

7"

(

$

-

! $ 9 (

(

2 7

"

! '$ & 6! % '%

Q !7

(

'%

7 f O NM L ' `

=∑ ( ( € 2‚ Q G ( / " U

UU

U

( U U•

( ( € 2‚ Q •ƒ

!W S Q (%W Q %# • $

W L Q

= ′ +

%&$

( %-, 3

( !

T%

•

)(%J #

" -! ( $

9 •

!

€ •‚

•

9(

23‚• ! •

(

(

′ .#%Z ‚ ′ EK

< B$

%H -! e!

,

€ ONMnL

s#

#

\B

€ •6!W S

€ ( •

6,& „P

H (

!4 ,

( 2! Z

%

,

!W S

$ $X

…

Yu jj

X j

ji

ii

ij

i

X i i i

i NM ' `

( Q

#

!ASg G8

!!5 †‚

8

ONMn L

!

$

89 (

($ -

‚

bv ($ - bx $ bk ($ - bj

Q

= ′ ′ ′+ ′ ′ = ′ ′ ′+

+

(%

′ ′+

=

‚ ˆ%3 (%

!

€

′=

%, (%1

€

! •

′

"4

7

Q

+

#

= ′ +

=∑

u

′ ′+

•

=

(

%&$ " ƒ 4 ONMNL

t\ H

# 4G

< • A& )(%* m6W 2‚

= ′′ ′

(•

- )(%J 2‚

Q %# • (%* ($ -

) A‡

(

•( %-,

a‚

‚

-!

V!q* 2‚ Q G! € V!q*

( $ „P

,

A0 $

Q !€

VW ( ‚

(

?‚ †‚ (

#

f [MN ' `

= ∑ T%

7 %

% (

7

7 ( ( %-, ,!<

( 8P Q

# $ Q %# "

$ C ,K Q

ONMrL Z

# "

($9 %&% ( XY )( AB

s# (

2‚ ! # m!7

!8 G

‰ G!

@&

#

6! %

( $

"0%

# " ( %-,

m!7

ŠZ

$ 2

&a Q

&%

S

# :;

!W S f

= "A!7

′

+

2! P Q ! 7 &%

)( AB !6

′

o 3 m!7 )( AB

+

!5 2

( ( %-, -!

$

( %-,

_ n [ U ( %-,

+

X X

S ( AB

,& ' `

%

Q %

′ ′+

′

%H

!5

Q

"

= ′ ′ ′+ + ′ ′+ = ′ ′+ = ′ ′+ = ′ ′+ = ′

ji ii

ij

j

i

i i

i

Yu i

u NM[ •

=∑

'4

! ( 8P ,&

= ′ ′ ′+ ′ ′+

+

Yu jj

( 8P

( 8P m!7

ONMr L

=

+

=

s#

+

′

′

‹ " %

7

B

%# m!7

( %,

( %-,

%# m!7

)

! Q

Q

!5

Q !0% (

$

! "

(

-

E I6J 4 6,& !

6,&

7 ( %-,

6,& (

) $

" . , (

!5

( %,

( %-,

7Œ[n

,7 (

!5

7

P

!5

Q

"

2 ,

$

( %-,

(

,

( 8P

7 ( %-, Q

Q !7

(

'%

,

fNMN ' `

=∑ (

( ($ !

( 8P

8

Q

Q %# # m!7

!5 $

Q

J4

!5

′

9

6,&

ONM_L

$

%P Q

6,&

S

%

r

]6

e!

8

6

2 H9 $ 2!0$ 7

($ -

!0 4 (

"

,!<

8

2

′

(

#

Q

]6

′

!8

% "

Q %, 6,&

!

!@

S ( AB

= ′+

#( •

G! , " m!7

C\A< 7 ^($ -

6,& ($ -

′

#

!5 Q #

< 4

#

!

. 7 (%1 , (

E I6J 4

,& )(%* C, 4

! ŠŽ

,& )(%* " $

7

A& )( AB

@ 7

! ƒ

A0

Π!

ŠŽ

Q

P

$

(

Q

" >

ji ii

i i

i

′

u

= ′+

′

+

′

+

′ NMN ' `

ONM_ L

f (

F$ @ '%

$

($9

6! %

ONM‹ L

′

UU

7Q

"# ,

%

!5

6,& 2!0$

%# "

f NMn ' `

! +%,- )(%* Oa0

E I6J 4 ,& )(%* ( G,! " ( $

# (

s#

+ Q !

Q

Yu

i

i

=∑

=

$

(

T%

3 Oo $

%

$ Q $ L•

"

14\ h

',4

′

(/ "

"

′

\B

6,& 2! $ UU

(

( 2 Q (

#

O W

"0$ (

H %&$

( < U U $ UU

OE

)( AB ( E K 6,&

2!0$ L z• "<\ Q %

23

C,! S

ij

j X

'$ &

Y

Yu jj

X

< E K

%H U

$

" <$ 7 ! 7 &%

9(

A< 6,&

J4(

J4 7

‘ 7

"

ˆ%3 m!

(7

e! ’• 6,& $ # " r (

7

! “Z

(

%H

C,! S

Q

!

]6

C\7

7

(/

:;

(

Q ‹ $ r”N”[”

8

/0

′

T%

$ UU )

! Q % "

\B

U U

ŠZ Q

7

! +%,- mS4

%# "

(

$

“Z

(

#

( AB $

%# " Q

=∑ !

14\

o 3 7

(%W

<

7

(

!0$

E I6J 4 +%,-

( 9 %# "

(

7 (%W ,

% " Q

Q #

z

ji

ii

i

i

j z

#

!5

$

’

’•

jj

)( AB 2

i

i

ij

i

Yu

i •

′ + ′ +

= + ′

Oa0 L ( Q %# " # !5

!5

AS ( 8P 2! T A (

NMn ' ` •

7 ? !

( 8P

ONM‹L

'%

%

T%

$ # G (

s#

ONMŒL

83 A

$

! OEL

6,& 04 ( Q

#( e #

U $ 2!

7

OU L $ N

# %

B '

( 8P

$

U

"$ $

%

$

Q

'

$ "

( 8PQ )( AB

7 m!

! Q (

(

( %-,

( ,#

T%

( bic )( AB !5

(/

l

8%

%&$ G<( !!5 B %

. ,

J4

2

!

Q

6,&

)( AB

( %-,

Q

"

%

%# ]q6

a (

(

!5

( %-,

!5

$

( %-,

bi

bc

bk

bx

bp

bw

bv

$

G #

–—

Yu

jj ™X ′ ′ ′′ jj ij ji ′ ′ ′ ™ ii ij

"

ji ′ ′ ′

ii ′ ′

′ ′ ′

′ ′

′

′

′

′

′ ′

′ ′ ′

′ ′′

′ ′

′

′ ′

!5

( 8P

fONMŒL

s#

!

)( AB

′′

OEL

7

"

$ Q

Y

u

"

( %-,

–ii –ij

Oa0 L

" <$

Q

–ik –ic –ip –ix –˜

$ W

7

e #Q

bj

$ 8@ ( Q #

( !5

f !7

(

'%

f NMr ' `

=∑ !

Q $( (

,!<

!5

89 f

J4 . e3

7 %# " $ $

W

1 (

-!

Q

($9

Q

(

(

m!7 %H

9O

7"

%

3( (

J 4 Q G! 7 " m!7

′ )( AB jj

# "

H9

%

Y ji

ii

L

( 8P

( %-,

S ( AB

,

i

i

i

i

i

i

i

i

i

NMr ' `

(

S

" 8 @

( 8P

%

)( AB 7 L G !? !4

!

# 7 8

#

2

8 ( Q %

= ′+ ′ ′+

ij

i

,

( %-,

( 8P $

%P

„P (

" "<

$ $ "W $ W

i

u

G

.!

!0% ( !5

f

7

$ )(%*

# m!7

- ( U

( 8P

%!

′ ′ )( AB $

- Q O (

G ( 8P

'4Q 8

!5 # m!7

( %-,

!0% (

( 2

™X Yu

)( AB %# m!7

%# m!7 !

(

!5

)( AB

C\A< 7 "

™

′

Q %# -!

( 8P

ONM‘ L

#

′

[ Q !7

= ′ ′ ′+ ′ 7

" 8

# %# "

7 (%W ,

$ (

!5

!5

( 8P

6,&

Q

m!7

,B 2 Q ($9

A0 $

( $ „P (

Q ($9 Q ($9

(

′

# Z

B

Q

( %-,

! !

,

6! % C\A< 2 7

(

%&$ )( AB 2 ,

"6J E ;

( 2! S;

( 6*

H9

7 " <$ G8

%P

9 2! Z $ ƒ

,

$ )(%J

$ % "

S ( AB

(

'$ ,!<

#

′

7 G!# 2š,W 7

8

#% ( 8P

(

f

= ′ ′+ ′ ′+ ′

)\,&

7

# m!7

7 m!7

!5

jjji $ jjjj

( 8P 2

)( AB $

# (

# # 14\

# :;

A0 7 G! 7 F 3 "qW

′ )( AB $

ONM UL

(

′ ′ )( AB %7

(

′ ′

!4

6,&

(

fNM_ ' `

7

$

$ Q (

6! %

$ !5

% "

-

,

2 Q

"0%

′ ′ 2

#

6! %

„P

′+ !#%Z

( 8P

′ ′ ′ C\` Q

6! %

a (

′+ ′

(

( ($ -

ƒ 2! g, ! $ G

Q

#

7

m!7

.#%Z m!7

)\,&

) <$ " ^$( Q

" \,& %8@

Q

E;

e!

(/ " 7 "R

$ Z e!

#

?

2,K

< 4 )( AB(

3 .#%Z )\,&

qJ

,B %#

! , S!

N 2 , o 3

`7 4 m!7

7

6! %

( " Q G! % z’

" I6J 4 6,& E ; !

Q

9

i

Q G!

(

( ( %-,

"6J ( E ; 2! S; • •| jj ji ii ij i

2! S;

9

.#%Z E ;

2! S;

E;

2! S;

i i ’

z i

i

i

| 2 , ($ -

?

(E;

2! S;

›!

Q H9 "0 $ %,

G

#

2! S;

Q

(

# A ($ -

P$

E;

`7 4 m!7

($ -

7

$ Q

"

(E; (

7

Q %# " !

"

! $

\B

" .#%Z (

8

3

7 # " ;

8 ;

9 7" 8 ; 2! S; 8 (

S!

"

"6J

Q ! 7 14\

9"

2! S;

7 "R (1

#%Z "

2 Q

2! S;

2! S;

7 !5

!

"6J ( 8P '%

=∑ Oa0 L $

,S< Q

#

(

8 bj

\B ONM %P Q

!

L

#

(

( "6J E ;

! 2! S; $

#

y (

′ ′ 8

( 8P 2 Q ( ^($ -

( 8P

"6J E ; " (

%&$ "6J bp m!7

2! S; $ Q

( bii $ b—

6,&

bc

ŠZ #

8

% " "

(%W Q

( 8P

, " a

%H ( ’| 6,& 2! $ 2 $ ( ,!<

!

Q

%&$

" .#%Z (

!

Q E;

2! S;

•| E ; bii

% "

2! S; ! Q

!

6! %

7" ,

% " bc

2! S; $

$ "6J E ;

^$( ( 8P Q

" f (

= = = =

+ + + +

8 (

! Q

2! S; $

J4

%&$

" W

! Q

<E;

$

′ ′+ + ′ ′+ + ′ ′+ ′ + ′ ′+ ′ + (

(

E;

2! S;

,

E;

2! S;

, " W

.!

L

! #

.#%Z

′ ′

.#%Z

#

)( AB

!

7" ;

7 E K 6,& ( 8P

!

′ ′ E;

7 (

2 ,

%

2! S; ( 8P

,&

2! S;

H # 7 Q

(

(

.#%Z ( bii $ b— bc

!5

a6 ; (%J 2 3

.#%Z

, OE NM

"

" .#%Z z|• z| 6! % b— Q

(

!

,& -!

# #

( Q

,!

ˆ%3 ' ` ‡%

)( AB 2 3 ^$(

)( AB Q G! 7 2!

9 " 2! S;

,7

$\

( "6J ( "6J

… !0% (

#

7 #

#

) A!7 Q

ji

ii

ij i

i

i

ji

’

i

z i

i

i

i

z i

|

′ ′ •6J •

E;

,

•

•| jj

z’

i

i

’• $

%&$ )

•

•| jj

z’

)( AB %H m!7

ii

ij

i

i

i

i

i

i

i

i

2! S; Oa0

’

i

|

z’• $ z| •|

′ ′ •

E;

2 S; OE

"#$ !5

“Z

Q

%#

S!

!5

! ( %-,

(

!5

7 " <$ Q (

)

23 $

_n

" . e3 Q

$ (

#

7 (%W , ,

!5

!5

( 8P

]6 7 " <$

#2 Q (

Q $

r !5

U ( 8g&

.!

!5

7"

.#

$

"

S $ ONM [L

" #(

Q # " œ•|•••’•z

, "

! @

"

?

( Q

(

N[

# !5 “ Z

!5

%# "

zžj 8 9 (

! Q (

(7

$( " (%W G

#

$ z !5

( 8P

( 8P

!

7 ("

zži 8 9 (

S $ zži

N

"0

!5

( 8P

'$ &

ƒ

e # „P

7" _

? ! $ zžj

‰ $\

Q

!

n

7 " Ÿ@4 ( %H "6A< ! C\` Q

2 :!; ( <

( 2

@!

% " Q

9

$

#

( %-,

7 G! 7 (%*

?

$( 7 "

3( ( !

!5

7

S

$

_n

e!

!

!5

A G 7 'A

n

(

^$( Q

| ji

j

i

c

k

x

p

w

v

ii

ij

z’

•

•| jj

($ .# "

S

(7 !

Q # " '%

zži

|œ jj

Q

.#

?

% <

$( 2 3

!5

!

%!Ž 7

($ - [U &

"

!5

& A

( %-,

Q

H

1 (

r , ! $

zžj

’•

3

zžj

7 "#$(

( ,# " 8& ¡ H

N

“Z

(%

( %-,

zži ( ^ D

8 Q # " ( %-,

G! $

9

#a

• ji

ii

ij

iv

iw

i—

i˜

kj

ki

kc

kk ’

ik

ic

ip

k˜

ix

’ ˜

—

ii

z

ij

k—

kx

kp

| !5 k¢ 7 ( %8@

.#

%! !4 !,

!5

( %-, £

Q

ONM [L

( !5

ci

s#

&a

cj

kw

| 23

1 ( $" ( ( %-,

=

£M¤ 6,&

kv

. ,

7

7 " :;

%

‹ ¥%W

,

# £ž¤ " <$ Q # Q

( 6,& " m!7

(

‡

!5

( "4S

(e ¤ m!7

$ ( %-,

!5

“Z

£

S

J4$

8

ƒ )( AB

%# " m!7

G

2! T A ( ONM L '$ &

( ( %-, Q

"

9

!5

S

C\` Q

$

6,&

" 7

k

k¤

£žk

£žc

£žx

£žp

£žv

£žw

j

i

k

c

x

p

v

w

i

k

i

k

c

x

p

v

k

x

j

i

k

c

x

p

c

˜

j

i

k

c

x

x

iv

j

i

k

c

p

ck

j

i

k

v

vx

j

i

f !7

(

'%

fNM‹ ' `

¦Oz•’•••|•œL ž Oj•k•x•v•—•ic•ki•kc•kp•k—•ciL "

;

Q %# "

! “ZQ (

]6

# m!7 6,& ( $U

%

O NM NL r

zžj

′

( (

U

7

2

! .#

( ($ ƒ

$ Q

# (

!7

( 8P Q < Q

# " zžj

]6

zžj ]6

(

!5

′ ′ ′

“Z

9(

7

zži .;

?

!5

6,&

,

G! 7 (%1

Π!

( (-

( 8P 2

($9 ( 8P " W

( z !5

z•œ 6,& Q ,&

Q

7

Q

,S< $ "

′

(

Q

(

(

7

($ #

J4

( %-,

f

6,&

= ′ ′ ′+

z’ jj ji

•| jj

| ji

ii

ij

i

i

i

i

’• jj

’

ji

ii ’

i

ij

i

i

i

i

•

œ

= ′ ′ ′+

′ +

NM‹ ' ` •

&'() * ! E I6J & ,&

3

89

,-6J 4 E K

e! (

ij

i

œ

#

ii

ji

i

ij

′ +

|

|œ jj

• ii

$

6,& $

]6

( < zži

H9 W

!5

# " zži $ zžj $

#

(

+

s#

,

J 4 '% 3

ONM NL

% "

% %

A< P%7 !5

80 `

, ( Q

% Q ($9

‘ ,-6J 4 E K mS4 8 "

,

G,! "

(

%&$ Q

? !

6! %

S!

,

$ G ( /? U "0 H

(

(

(%

2 V

% "

7"

¡ %H 2 S

m6W

! %,B 8 Q

6

2

&%

S ( %-,

Q

!

? !

Q

#

3 7" 8 8

"

9 "

^$(

,-6J 4 E K )(%* '`

f !7 OE

(

( 89

′

( ¦

Q

,-6J 4 E K mS4

!

! Q

)( AB G! 7 m!7

(%š ^$( 2

"0 $( 2 3

Q %# "

#

J4

'%

7 G! 7 "

8

,

($9

"

%; %H = ( m6W

'%

fNMΠ' `

E I6J 4 ,& mS4

Oa0

=∑ Q

! ,

2

,

SA ¦

E I6J 4 ,&

3

(

7

S

# ji

ii

ij

jj

i

i

j

i

ji

j

i

j

ij

i

j

j

!

? ! U

(

m!7

Q

7"

NMΠ' `

j

i

j j

|

i

( %&% 8 0ƒ ¦

Q 9"

’ z

"

•

z’

j

#

8

•| jj

ii

ONM nL

ONM nL

s#

[U

= ′ ′+ ′ ′+ ′ %# m!7

#

# (

7 f

′=

+

#

U

Oa0

(

G! %H (

8 #

#

′

+

g 9 ]AR !5 8

(%W ,

′

7

,

,-6J 4 E K

$ "? 3

(

$

@

L

#

O

(%

#

!I<

(

¥ # [Mn .; ( Q G ($9 "

′+ ′

= #

ONM rL

z{|

!

,

"8

2

$

l

#

7 }~ z{|

# (

#

!Z

(

'%

*

}~

Q

%# "

!

#(

)( AB

!Z

E I6J 4 ,& )( AB Q

}~

!

$($(

!5

%?0 Q 89

z{| !

!

OEL

$($

-

J$ z{|

!

8 9 "&$ H $

( C,! S

ONM rL <

#

* 7

( Q

J4

OE

!Z # " z{| 6,&

Q

" }~ 6,&

( $

ONM rL

#

E K )(%* )( AB

′+

# ( NMΠ' `

B%,-

! "&$ H $

′+ ′

!Z 7

S!

! S

E I6J 4 }~

,-6J 4

#

6! % h !

e! z{|

#(

,

!

7

#

#F 3

04

7 l% "67

8#$(

,& ( Q ,-6J 4 E K

[ !Z

!0 2!,

Q

Q %# "

# " !

!

AR $

AR $

(

!Z

ˆ%3

(

!Z 3

′

′

′

′

′ ′

¦

′

¦

′

|

|

,-6J 4 E K mS& ' $( 2‚ Q •

Q

A !

#

( # e!

,& (

%#

# !

! € &%

′+ ′

=

= ′ ′ + ′ ′ + ′ ′ ′ Oa0 L

3 A

!

! S€

-

¦

′+

OEL

"0 $( NMΠ' `

,& mS4

E K mS4

€ • a‚

′+ ′ ′

7 " <$ 9(

ۥ ?

€ ONM[L •

( '$ &

'`

f %# •

! 2! P

2‚

)(%*

S7

=∑ f

E K( $

=∏ )\,& ? !

9

U $

Q 9

# G ( ONM _ L 7

?

] R

! )\,&

Q

! 7"

6,& ZU

? #(

2

T% (

,!<

( 8

Q

S

% " $

#/

)( AB S7 2

B (

7 (

[[ 7" 8 U$

(

% "

7" ? 7" ?

Q

Q

7 Z (

8 3 #

#

,!< ,!<

"

$

E K

#/ U

% "

#

% "

# (

3

7 " :;

# / '$ & (

# / '$ & (

E I6J 4 ,&

U $ Q %#

′ "

( '$ & ONM[L '$ &

X j j j j i i i i

Y j j i i j j i i

u j i j i j i j i

• j i j i i j i j

Y

Yu jj

ji

ii

ij

j

j

i

i

j

i

i

j

X

S7

8

G! %H $ G! 7 " m!7

= ′ +

X

#

(

7 Z

( f

(

j

i

u ONM[L '$ & #

,

G! 7 " m!7

ONM _L G

(

# U

,-6J 4 E K • f

′=

+ ′′

9

)(%*

[N M_ .; L Q # • • ( G G! %H

,-6J 4 E K

,s

3

§}~

#

7

"

! 4(

′

W (2 €

,s

O[

f

= ′+ ′ # ZU

+

!

( R%

#

,-6J 4 E K mS4 •8

9

€

@

$

†‚ ( ($9

†‚ (

€ ($ •

,s

S‚ •

'`

′+ ′+ ′

= (

,!< • 8

%#

U

e&

H

•

( •• G,! " ) ( AB 7 " 8

}~ $ z{| •

{}~ $ {z{| "

(

9

% H

, (

Q

' $( .; 2 ( Q

s ‚ • - m6 %# •

Z

!

"4 R ( {}~ $ {z{| {z{| #

! '%

%

9 %&% '

©#

A,© © ONM ‹L

$

©

H %

8!

e

$ !0

A

ŠŽ

$

#

Z

.

$

©!

A,

-

' !-‚ • ( {}~ $ {z{| •

%

" $ Q

0

$ ! (

" W

B %< $ '%J

' !{}¨

AR $

© 8 {}~ $ {z{| ]W

©# ( {z{|

Q G! € •

{}~ $ {z{| " W

Q © ( ©?

/0 (

!€

! 2H

$ }~ $ z{| mS4

2©

7

+

156 4 1213 . !€

Q

!Z

A " $ Q G! 7 a

!

[y ©

9'A

© $ ©7 }~

$ z{|

A,

A,©

© © ( {z{|

z{|Mª{«œ~¨ ©P%7 © $

A,

# 7

#a ©!

% "

Q

©7

C\A< z{|Mª{«œ~¨

#

( ©< 2 2 3

!

1 ( $

Mz{|$

©

( ©<

!,©©

P%7

© {}~

( <$

(%

!

C -!

7"

© O ° NM ‹L % "

(

,B

#(

A,

( {}~ $ {z{| $($

©

©86`

%©&$ 2

%© "©@ © O

©

©

©!

Z ©, (

©

©

S©! ±©6`

©

©

©0ƒ

'@

9

"©@

© "©?!3

©7 L

©!

©

Z

©P%7

]©W

©

7

(

$ H

{z{|

!

" !3

#

7

$($ Q (

A,

!

7 l%

!!5

$

RH

©P%7 ±©6`

9

$(

7

P%7

$($ " W

# E%S

$ Oa0 L

%

© Q ! !Z

X Y u ª£³´¯µM}~

′

=

"

© ±©6` " e? ©& ©

Q X Y u z{|M²£³´¯µ

,

£¬£-

! ]W

©

A,

7

. ,

86A,

©-

(

% " (

$($

'

© (%©©W

£®¯

Q

,

# e! ª{«œ~¨

(%

"

! 7

$

m

$($

P%7

©

©! (

`

?

A,©©

@

04

( Q

"©

?

7 l%

{z{|

# " © e©©!

" ( <

7 a6 ;

7 l%

©!

, ( " P%7

&%

9"

Q P%7

$($

!I<

!I<

Q

q Q

7 9

(% Q

9

A,

A` ]W

= ′+ ′+ ′ =

′

[… =

X Y u }~M²£³´¯µ

{}~

+ + ′

!

X Y u ª£³´¯µMz{| " !3

A,

′ X

X ’¶••´¯M²£³´¯µ

+ + ′

$ OEL

′

′

X

z{|M²£³´¯µ

7 l%

= ′ ′ ′=

}~M²£³´¯µ

" !3

A,

ONM ‹L

#

1213 / 7 ©,&

©3 ©

©

7

2

e6 S {z{|

$ © E I©6J 4 ©,& )( ©AB 2!© T ©A ( h( ©&% O NM ŒL

©# ( Q

=

+

+

7"

©#

!

©

'%

#

7" W

!Z

#

E I6J 4

9 {z{|

!Z (

$

#

!Z '

% '

Q !7

z ’ •

¦

| z

!

$

z ’

œ

z{|M}~ O a0 L •

’ •

¦

|

¦

| œ {z{|M{z{| O °L

œ {z{|M{z{| OEL ¦žz’d•|dœ

!Z a6 ;

(

ONM ŒL

#

[‰ $ z{| }~

©

©!

@

©! $ {z{|

©# 2 e? ©&

©

E I6J 4 ,& ©!

©

z{|

:;

$ 2

© Q

©

t/©©4 © %

%©©

(%©AB © , "©

©,

©

©! (

©!Z (

©! "©

©

$

©, ©

©,

©

©

$

(©$

©

A,

©#

©

Q

©7

l%© (©

( ©<

A,©

2© Q © 7 "© (œ

$ VW©©

Oa©0 L ' $ z{|

%H ©

e! 2

( œ ©!5 ©!

$($

© C,! S©© $ 7

$($ ( {z{|

OEL

© ( © $ (

{z{| OEL

Q

©

Q

%# $

7

t OENM ŒL $

! Q

© 7 t/©©4

%©© "©©

O °L

#( # (

# A#

#

7

©! O ° NM ŒL

'

3

Q

,

© © {z{|

© 7 Q

Q # "

!5 {z{|

" W &$ 2

©P%7

œ

S '

!

©!

R; Q

© (

!0% ( Oa0 L (

©! 7 ©&% O °L $ Oa0 L

©# 3 ©K œ

G! S T A (

©,

Q

©!0% ( œ "© !AR (

( © $ "©&$ H © AR {z{|

{z{| %

©!

©

6! % e!

#

!

Q !

!Z }~

œ ©!5

!S©©

P%7

7"

!

©,

7 !#

t/©4 Q © 7 "©

$

#

{z{|

© ©7

#(

#( Q

©P%7

( ©!5

Oa0 NM ΠL

© AR © $

© '

C ©-

©P%7

! OEL

© z{|Mª{«œ~¨

©# ' ©,B ª{«œ~¨M}~

3

!

}~

G (( '4 S '%A< #

< O°L

O EL (

!Z '% )( AB

# !

[‹ )(%*©

© % "© O ° NM Œ L

% ©<

@©

"

S©

©# ( {z{| © % "

!

#

!Z {z{|

Q

′

= $

©

′ ′ ′=

+

% " '%

($9

-! ONM ŒL

©!

!5

B%,- 2 Q

$

S

© AAR

QO !7 2!© g, Q

©

3

(

(

< 4 7

e©! "© $

( ©7

(

($ !

© ©,&

{z{|

7

©3 © ( ©

²£³´¯µ ·}~

(

$

!5

©

©

{z{|

©

R; Q

R ©H

© ©8 9

©,

!

!

AR $

(% " !AR

3

"&$ H

!0%

7 l%

©

% " (

!

!

Q

7 $($

!Z

A, ©!5 %

'%

)( ©AB G!© 7 m!7

{z{|

!

7

AR ( MN

LQ

Q

( 9

©6,&

9 My

,

%!

! (

A<

%

!Z (

Q G ($9 " ! ƒ (

AR

$

©

( ^$( 2 !

,

M M[

( '$

!

$($

¡H'`

©#

(

$($ Q !

© AR (

%&% {z{|

7

! "

! $

AR

%&% E K 6,&

z{|M²£³´¯µ " !!3

AR {z{|

©7

(%

# '%

( 9$

©7 " ©8 $($ © {z{|

© 7 l%©

Q¸

3

A

¥

E I6J 4 ,&

6,& 9

© "©&$ H @

A&

!Z {z{| 8 !

Q "© '$

?

#(

B < Q %#

Q !S % ©!

Q %#

qJ

+

f

{z{|

!Z

A E I6J 4 ,&

7G ! "

{z{| " W

6! %

U E I6J 4

B %<

@ $e0 #

$ 1

[Œ ©

©,

© %; ¥ R

2 , "

Q %# (%1

Q # " V&( f !7

$

"&$ H

)(%J 2 (

!Z {z{|

!

" <$ 7

3

7 !0% (

(

fNM‘ ' `

=∑ © ©7

© ©

]©AR ©7 %&%

©

© E I©6J 4 ,&

$ o 3 1

© E I©6J 4 ©,&

©3

( Q %# " #

3

7

- Oa0 NM ‘ L 2

Q

< 2!0$ #(

%# m!7

#

G

% ", f

= ′ ′ ′+ ( Q

©

′ ©#

©7 G!© 7

© OE NM ‘L E I6J 4 ,&

©# ( {z{|

3

("

, Q

′= ′ +

′

# %#

o 3 (%1

!5

%H

! Q !5

AR $($ (

# 9

!0%

$($

7 l%

{z{| ′

3 K e! Q %

"

A

©! ]AR $

!Z

G! 7 " "

<

S!

(

U m!7

′+

Q (

S ( AB

%H ( 9 T

{z{| {z{| ( S

!

AR $ O ° NM ‘L

!

#

! ¦

!Z )(%J 2 ( "

# "

?

AR

%# t/4

#

"&$ H ( 7

7 l% <

3 K ±B

% " u !5

#(

3 7 G! 7

T%

$($ Q

[‘ ji

j

i

j

i

j

X

X

Y

Yu jj

ii

ij

j

j

j

j

u

′ = ′ ′ ′+ ′ = ′ + ′+

i

E I6J 4 ,& (

′

Oa0 L

′

′

¦

Y

′

¦

X

′

X u

Y ′

′′ = ′ ′ ′ +

{z{|

′′ = ′ +

′+

O °L

′ O EL

!

@

NM‘ ' `

!Z ONM ‘L

#

156 / 7 ( {z{| ]W

B %< $ 80 $( ,

!0 2!,

Q

{z{|

Q # " {z{| ]W ,-6J 4 E K }~

!

}~M 4

3

{}~

B%,A Q

2 Q

,-6J 4 E K )( AB

O NM[UL -

(

7 )$ @ 2

$ {}~ B %<$ 80 $(

'%

z{|

$

!Z

,-6J 4 E K )(%J

E K !0%

#

!

$

)( AB

9 'A

Q %#

$ ,& )\,&

# ( {}~M{}~ {z{|

z{| A

Q G! 7 "

4

!A# @

NU

=

+

+

]

A

% " '%

{}~ " W

)( AB 7 )$ @ 2 {}~

! '$

! ¹ $

{z{|

AR )\,& $ #

$($

7

64

!5 ,

% <

,-6J 4 E K

{}~

AR ( C,! S $

($9

(

9

% "

!A# 7 %#

3

6,&

S

Q

#

$ (

! Q

z

z

’

’

• |

¦

œ

% <

"

,& )\,& 7 l% (

{}~

• |

}~Mz{| O a0 L

#

!

¦

œ

{}~M{}~ O EL

z ’ ¦

• | œ

{}~M{}~ O °L

= , !Z $

′

@ (

+

+

{}~

!

AR $

ƒ

($9

(%1

"

'$ & G! 7

-! ¦

# ,

!Z

J4

#

$ ^$(

,-6J 4 E K mS4 ! )(%J (

(

,-6J 4 E K (

ONM[UL

6! %

!Z ^$( 2 Q Q

U

!Z ^$(

ŠŽ

$

AR ($9

7 m!7

'$ & (

(

N '$ & (

(

S

"

( {}~ 6! %

!Z ' $(

,

,-6J 4 E K

' ` Q G! ,

,

(

#

ŠŽ

)( AB

$

7 m!7

Q Q !7 (

U

2 ( Q

′= ′ + "

!Z {}~

!

#

!

f

9

( NM‘ ' `

7 Oa0 NM ‘L

′ ŠŽ

(

6! %

Q

2

G! 7 " m!7

E I6J 4 ,& mS4

!Z

# $

$

$($

{}~ $($ $

G

% "

"

(

)( AB $ m!7

(

*

$

!Z

o 3

7

6,&

7 l% AR {}~

,-6J 4 E K mS4 '$ & (

G ,

AR $

! 2 Q # " Q

!Z

7 "

ƒ {}~

! ′ t 4

!

)( AB 2

($9

# ( {}~

!

# t/4

^$(

,

,-6J 4 E K mS4

Oa0 NM[ L

C,! S u

?

#(

)( AB

Q

e!

fNM U ' `

′+

,

Q

"

!

,

(

! $($ @

04 2 ( Q

($ Q G ($9

= ′ ′ ′+ ( " G ($9

ŠŽ

′ Q # " (%J

"

E I6J 4

,& mS4

,-6J 4 E K mS4 f

(

3 )( AB 2 9

,

G! 7 "

ƒ {}~ o %

!Z

, 7

N[

=

′+ ′+

+ +

Q

′

#

AR ( (

9

AR $

7 l%

!Z O ENM[ L

@

%!

#

1

(% ¦ "&$ H Q

7

e!P Q

# J\H {z{|

. 7

) 7 8#$(

( !S

#

{}~

{}~

t

(

!Z !,

! (

t

7

2

%# ^%

!Z 7 " ?

7 !0%

$

(

{z{| $ {}~ !Z

($9

%q

(

A !

( 7 C,! S S

!@

!Z 2! %< ONMNL '$ &

8& (

¦

3

9

Q

) AR

%

8#$( ONMNL '$ & (

8 3Q

{z{|

# (

3

8&

04

¦

Oa0 L

@

[

{z{|

(

(

8 I6J 4 ,&

! 7 m!7 N

{z{|

(

(

! 7 m!7 [

{}~

N

{}~

OEL (

(

!7

,

,

Oa0 L(

U

′

8 I6J 4 ,&

′

8 I6J 4 E K

(¦

8 I6J 4 E K

¦

OEL

O°L

′

O)L

!7

9: 4 2!, "I 2! G!

Q

S

( Q ( '*

{}~ $ {z{| +% !,

m6

,-

( !S {z{| $ {}~

7 (

%&$

2

$ ; (

(

" W

89 ,

%&% !Z C\,B

{z{|

{}~

8 ! !0 !

NN ]W

]W

2

(% 67 +% z{| ]W

7

· {z{|

Q

# G!

"

S! " e!3 9 " f

#

( < "0 * z{|

8,!

'*

,B

- {z{|

!

!

S ( AB

! $

( "0 * z{|]W # (

9

" W

"0 * z{|

z

’

’ +

|

| œ•º

¨¨º {z{| 8 ! ( "0 * z{| O a0 L Oz{|M}~Mª{«œ~¨L (% 67

ONM[[L

% " ( œ•º

!Z O E NM[[L (

! @

Q

(

9 e7

6! %

′

+

′+

+

′=

+

′=

′

6

′

+

+

+

# !

z{|M}~Mª{«œ~¨

! ( {}~ "&$ H

6! %

+

o 3

7" W

7 " W

Q %,

f

=

7 "0 *

8 ! ( "0 * }~ O EL Oz{|M}~Mª{«œ~¨L

Q %# "

#

· ¨¨º

=

•

"0 * ]W

"0 *

G

′

•

G

*

"6A,

!Z Oa0 NM[[L (

z

$

!

¹ a!J%

#

!

6! %

! Q G! 7 " :;

7

=

%# ! $

=

}~

"&$ H

! "&$ H " <$ C\` Q %# " -

Oa0 NM[[L

7 " 8W; (

Q

7 !0% :;

7 (%W

( "0 * S ( AB

′

Ny Q % '*

o 3

3

%P Q

( ONM[[L

", " 6 #

(

$

±q

!

AR

!

}~Mz{|Mª{«œ~¨

!? %

?

"0 * " W

"0$ Q

!

(

o 3

AR 2! $ $ O {}~

!

9 %&%

QG ? " L {z{|

!

7

8,!

AR $

(

#

Q

AR 2!0$

O }~

L z{|

/ 7< , =9 > ( Q

% 9

AR 3

!Z %P

!@

2 , m!7 (

AR

! 2 , ) A!7

2S

Q {}~M{z{|M}~Mz{| f G! 7 " " (

AR $

(

AR $ (

$ $ '$ ) AR(

%# " 7

3

e # 7 G!

!

=

2 Q

Q %# "

" %;

Q

$($

,-6J 4 E K

$

(" S

"

!

m!7 -

,

!

AS (

! +%

% " L

(

, (

$

$( z{|

( AB !@

W

%&$

O {z{|M{z{|

E I6J 4 ,& )(%* ( f

1

! +% ( 8P -

( " W

S z{| !5

(

" ( G!

ˆ%3 ) A!7

(% (

(%š

$ $ '$

C3 J !Z

3

! 4

2 Q

(

"&$ H

7

,!< 7"

!0%

z{|M}~

}~Mz{|

{z{|M{z{|

{}~M{}~

{}~M}~

{z{|Mz{|

}~M{z{|

z{|M{}~

N… !Z ( '$ Q

AR

! " ( <

!

$

AR ( Q

±q NMr .; ( Q

"3

# 7¸ @

?

7

!

)(%J

$

S

! 2!0$ ˆ%3

9 W

AR $

!0$

8 3

(

! 2! $ $ (

7" 3$

!7 &%

8 3 z{|M}~ $ }~Mz{|

NM_ .; ( {}~M{}~ $ {z{|M{z{| Q %# " " (

8 3 2! g,

.; 2 ( e!

8 3 Q

,!<

# 3 ( 8P

213 56 ?1@A6B Q # P%7 !Z

¥ #G

( 89

% " $

ONM[NL

# (

o % )(%* (

?

7 (%W ,

l% $

'

,B

7

z{|M{}~ $ {z{|Mz{| ( z{|M}~Mª{«œ~¨ z{|M{}~

!A# ( z{|M}~

z

3 {}~

¦

|

$

"

-

! "&$ H (

f

, "

=

+

’ •

œ z{|M{}~ O EL

z{|M{}~ O a0 L z

’ • |

¦

œ {z{|Mz{|O °L

z{|M}~Mª{«œ~¨

(

+ ¦

|

œ

3$

,B 8 9

3Q

z

’ •

$

ONM[NL

#

′

N‰ NM[NL

#

{}~

( C3 J !!5 8 ! (

%P

?

,

$($

l%

!

Z

œ !5

(

% "

O ° NM[NL z{|M}~M

Q

,B

7 !7

< Q

2 # 8?

1 (

!Z

E I6J 4

,

z{|M !A# . m!7

7 l%

# (

6! % L %#

′ " <$ $ z{|M}~M

" ( AB

`

7

%# "

$

7

$($ $

#

7 t/4 (

" {z{|Mz{|

!Z

,

!0% ¦ Q #

(

%!

7 (%AB %H

!Z Q # 2

′

Q

}~

O

(

U

7 l%

,S<

C

ª{œ«~¨

'` 56 213 ?1@A6B

(

7 `

, "

& ( }~Mz{|Mª{«œ~¨

( }~Mz{|

!A# MQ %# "

-

3

}~M{z{|

{z{|

,B

#

! "&$ H ( Q

$

}~M{z{| $ {}~M}~

3Q

7"

$

3

ª{«œ~¨

z{|M}~

6! %

AR

R ; œ !5

e! z{|M}~Mª{«œ~¨

!Z z{|M}~ !Z Q

A,

#

E I6J 4 mS4

7

! " !3

)(%* ( œ

ONM[[L

,& mS4

G! %H ( Oa0

Z

Q %&%

#

@

AR "&$ H

ƒ 3

A,

% {}~

'$

$Q

#(

" !3

'4Q

8 ( Q G! 7 " 7 l%

'

8 3

ONM[nL 6! %

!Z (

7

7 l% $

=

#

+

%,

+

′

N‹ ONM[nL

#

{z{|

$($ NM[nL

P%7

#(

?

'

Q %# "

( }~Mz{|Mª{«œ~¨ "z( AB

!

J 4 '$

,B

!Z

,

′ " <$ $ Q

#

7

A,

,S< ( (

AR

! "&$ H

8& 7

{}~M}~

!Z

,-6J 4 E K mS4

" !3

6! % O°L

}~Mz{|Mª{«œ~¨

l%

'

Q

3

(

! O° #

,-6J 4 E K mq (

′

¦

,

,S< (¦

AR

ONM[[L

!

!Z }~Mz{|

9" $

#

QG(

G! %H 9 "&$ H (

Q

@

,

%!

%# 7 (%AB

7

z

’ • ¦

|

’ •

¦

|

œ

œ }~M{z{| Oa0 L

}~M{z{|O EL

z ’ • |

¦

œ {}~M}~O °L

}~Mz{|Mª{«œ~¨

(

ONM[NL

# C 4 D(E

# J\H

AR $ m

3( 8P

'% 04

(

!Z 7 l%

)FG

8#$( ONMnL '$ & (

,S< %&$

!0

Q

NΠ!Z

8 3

′ h " <$

"

3 ( 8P Q 9 " (

7

Q %#

}~Mz{|

"

"&$ H(

@

z{|M}~

′

(

,

O

,

3

,

$

7 l%

(

U m!7

7

6! %

AR $

3 ( 8P

(

2

E I6J 4

,& mS4

O ¬L

O ¼L»

z{|M{}~

{z{|Mz{|

S ( AB

O

′

@

z{|M}~Mª{«œ~¨

{}~M}~

7 l%

}~{|Mª{«œ~¨Mz

L

$($

f

=

′ +

{z{|

7

!

!Z

#

'$ &

m!7

6! %

7

(

"&$ H

E I6J 4 +%,-

m!7

¦

U ,-6J 4 E K

,

ŠŽ

$ {}~

!

!5

)(%* (

2 " !AR "&$ H

¦

$

)\,&

¼

3»

% "

′+ ′

( {z{|Mz{| $ z{|M{}~ $($

'`

!Z ONMnL '$ &

(

Q (

f NM

Q !7

3

!Z

3'

}~M{z{|

! 4

′+ AR$

!@

AR $ ,

#

, f

′= ′ +

¦

( Oa0 NM ‘L

′

! 4 ( Q %#

Q 9 ONMnL '$ & (

L

{z{|

7 ! 7 &% Q

!Z Q

z{|M}~Mª{«œ~¨ #

3

7

O a0 NM[rL

#

N‘ z{|M

04 (

% "

7

ƒ {z{|Mz{|

G A (

,

#

$($ ( u )( AB

" )( AB 2

= ′ ′ ′+

′=

&

($9

Q

3Q

7 (

!

S! 2! P {}~

7 t/4 (

!

7 l%

,-6J 4 E K mS4 f

7 m!7

f ($9

(

G

(

(

,

ŠŽ

$

′+ ′+

@ 7

( ′ !5

3

}~Mz{|Mª{«œ~¨

f

#(

7 l%

′

+ +

2

!Z (

Q 7

7

!

3

}~Mz{|Mª{«œ~¨

% "

3

7

!Z {}~M}~ • }~M{z{|

′

′

Y X

Y X

¦

′

=

8 3

Q

( ¦ " !AR "&$ H

+ + (

′+ ′+

′

% " )( AB

#

O E NM[rL

¦

′

u

u

{z{|Mz{|

z{|M{}~

X

=

′ +

′+

′ Oa0 L X

Y

Y

u

¦

′

u ′

′

′

¦

′ }~M{z{|

=

+ +

u ′+ ′+

′ OEL

{}~M}~

yU

/& " U

$

(

89 !,

m! q

7

S

F 32 Q

e @

7

!5

ƒ m!7

.#

"H

(

"! (

!0 2 (

8

) A!7

( 7 "I

\

( 7 m6

" W

(

(

!,

(

7 "

¡ H m!7

!5

"A!7

04

% ",

2

7

"

!, 7

" <$ ! <$ 2

$

U :!; ? ! § Q G!

7

2

" )ƒ 4

"

$($

(

( ( 2!

!

!

7

#

Q

&%

:;

9

( %, "?

" ^, X #

(

(

,B 2

( ( %-, $ U

%&$ Q

(

(%W Q

¦

(

!

'% )( AB

2

Q G!

", " !,

%

%

!0 2!,

%,

( Q G! , " F 3

'`

/0 Q

2

S! V!qJ

& 2! !,

$( " (

(

:<

(

( U 2 #/

7

3$

" )ƒ 4 2 Q G ( / " Q

Q

"&$ H 7 "

( Q (

Cƒ%,

( $ # "

7

:;

H

U $

J 4 ) A!7

(

Q G! 7 ", "8&%

!,

? !

( '$ &

" ! ( 8P " @

< $( !

"A!7

"ƒ4"

" F 3U

$($

) A!7

!5

I =J *

X

U

!,

% U "

( " !,

"J H

$($

"

04

! E;

J 4 )( AB 2

?

y " )ƒ 4

2 ,

3 2

&%

G! % " Q G!

Q !7

(

U

'%

!,

f NM [ f ' `

=∑ f

( AB

!,

" )ƒ 4

=∑ ) A!7

-

O NM[_L !

! Q

7"

#(

$

,& )(%*

§

#

(%1 $

U

- )\,& $

G !?

%&$ 2

1 (

6,&

G! 7 m!7

[$U

!,

(

(

( ($ -

"

%&%

!5

" !,

E I6J 4 $

%

G !? (

6,& $

(

Oa0 L .; ( Q 9

1 (

(

! ( 8P Yu

# m!7 ( %-,

#

"

#

“Z

2 $ G !?

!

S

# Z U

( 8P G! % "

f

bc

X $

!

! J4

J4 7

7 !5

# m!7

+ ′ ′

= Q

=

7

!

! Q

" Š %Z %

′ ′′

¦

Q

(

! Q Q

2 ,

¦

(

,!<

"A!7

($9

S $

% " bi

!5

#

)( AB

2 , "0$

6,& Q

7

Q

# :;

§

(

2! P

$

# 2 e? &

r

!,

"

! OEL .; (

+ ′ Q

"

($9

('`

%H ˆ%3 ) ( AB

y[ "

(/

\B §

7 !

(

7" (

#

!,

"

$ U2! E ;

! )(%J E ;

2!

7

" 89

( NM [ ' ` (

#

6,&

$

!

Q

" '

Q

S $ !

)( AB $ Q

7

ˆ%3 ' ` U

C

$

%# "

:<

+%,-

J4

# 2 e? &

C

"0$ % Q ! ,

=

+ ′ ′=∑

=

+ ′ ′=∑

™X

Yu jj

ji

ii

jj

X

i

i

ji ii

jj

X

ji

j

i

j

j

j

i

j

j

j

i

=

(

ii

" U

r

ij

j

j j

ji

ii

i

i

X

ij X

i

j j

j

i

j

i

j

• )ƒ 4

)( AB

T%

( ¦

' ` ONM[_L

s#

7 ipQiiQwQcQi

( "$@ ! $

+ ′ OEL

=

+ ′ ′ O a0 L

7 "

# (%H

Y

u

!, S

14\

X

X ™

u

Q #

X

X

ij

Q

™X

j

™

Q

ij

Yu jj

Y

%#

(

! )( AB $

)(%* U [ r

!,

[ $ U

!

"

!

# )( AB 2!0$

yN )( AB $ Q

U

[$U Q

" (

!

S!

"0$

"

( o 3 8 9 t\ H

( Q ($9 $

3

.#%Z (

#

U ([ $ U

r

A& )(%*

'%A<

ONM[_L

,

! $

7

# )( AB 2! $ "

("

# :;

!

< )( AB $

Q (

Q

"

!,

e! "B%,!

!

7

2

$

ˆ 3 89(

!,

!

E I6J 4 )( AB U m!7

$

( 8

¦ % " 0q

Q G ($9

′ = ′+ Q

(

′ 9"

+%,- E I6J 4 )(%*

′+

= Q

)( AB ¦

,

23

=∑ ! " (

r

! $U

[$U

!

042 (

yy R S IP f'` Lf" W

F> Q O

N >M

<#

) ( AB

4<L K4

! , S!

^$(

=∑

fO

% JL 8

l

8

!

M

−

− −

−

  ′′ 

− −

− − −

= ′ ′+ ′ ′ ′+

−

′ +

′

−

!

© LQ © A!7

%H

© <

©#

2! Z 7

©# )\,&

Q G! " Q

©# . e©3 ©!1 .©#%Z

t\ H !5

(%;

©

! (

©!1 8 !

7

(

(

!

7 #

8

! "S

f"

7 " 8 9 G! "

7" 8

! $

M[

O" $ ! $

m!7

<

!

MN

( 8P

! G

$

> ′

> ′←

′

′

Q =∑

f'` R

©

©!

©7 G!© 7 "© m©!7 Q %#

#% e

Z

©(

<#

)$ ©@ k£ (

( O k£ L t\ H

4<L K4 7 (" 8 e! $

S!

T ; UF) K4 ! M[ ^$( '

, M 2 #%

y…

$\©B ©7

%©# "© m!7

′− = ′− =

←

G ′

" $ ′

" ( 8P

Q # "

89e

Z

H

MN B . e3 T #

0 =

0

⇒

© (

©# t/4 Q G!

!5 "

+ ′ ′+ ′ ′ ′

=

£ 7 ( 8!

= ′ ′

S k£

$ G!S % "

"< e ( 8

Z(

! ŠŽ

B "

=∑

f'` =

′

= ′ ′ = ′ ′ = ′ =

=

y‰

=

′

= ′ ′ = ′ ′ = ′ =

=

R Q G! " i

\B (

x

v

(%H w

½ªi ½ªk

V

! ½ª

o % 8

> < $ K4 7" 8

! ip

˜

—

ij

ii

»

»

»

»

»

»

½ªc

»

»

½ªx

»

»

½ªp

»

»

½ªv

»

w

½ªx

»

½ªp

»

»

ip

»

½ªv

» =∑

+∑

f'`

y‹

i ½ªi ½ªk

x » »

v

ij

»

½ªc

kk

kx

»

»

»

½ªp

»

½ªv

»

$ m©!7

kv

»

½ªx

©,&

kj » »

(

%©# "© "© (

©J 4 )\,&

© ½ª E I©©6J 4

@©J

©

½ª 2 #% ( Q # ©, • C© 8 G!©© 7 "©©

mS©4 © (e " ƒ © B( ( ©

»

S7 ( R W

>

S7 S©©7

2! %©©< $

©#

Q %# " =π

Q ! ,

(

f2 ,

! " Mh Mi M4

+h +i +4

' #

$%& *()

.

+ + , -'.

B 14566 17568 29:8;<5:8= >?<7@?:A 3 112 0/ *

#

CDE F GHI JK HJL MJK

B O8=?@4 JK HJL MJK 3 O12 0N *

#

Q

P E% F

T U SQ

(

0

R !

0

&VWX

%

0

EV

0

BZ5<;8 17568 29:8;<5:8= >?<7@?:A3 Z12 0Y Q #]

X^

E_

B\8<. Z5<;8 A7568 29:8;<5:8= >?<7@?:A3 \Z12 0[

* E #( #

] `a

C

a b c d QE # 0/

VW e f g 0N

#

g

j g 0Y ! " j g 0[

B

n( !0

l&a l&a

! "P

! "p

e

j%mE# 0k ]

Q

]

$ V v9

;90h

v90i

`

*

;9

v90h

fW%r

Q

= =

⊕

0o X 0q

! 0/

≤ ≤ − +

vi wh wx b 90h Q] # ;9 ;90h ;90i ;h ;x

" v9 v90h

! =

v90i vh wi

=

u

b 9 Q] #

⊕

≤ ≤ − +

g t

" s

#

$

' .

& Q % C

p eyb .

~

.

>€4• h

Gx

& Q % N

~

~h

~

~ wh

G' -

|z d

Q

` c {% |

w' .

VW e • ~ Z

&

~i

>€4• i

Gh ' Em { {

&

~

wx Gh Gx wh wx

"

% 0/ * ` c Q

c &z

BG‚w3 BG,w3 BGƒw3

'

c}

Gx

wx

•

~

Z

x

x

x

h

x

x

h

x

x

h

h

x

h

x

x

h

h

x

h

x

n ( ! g 0N

'

}

0Y

• Gx ~ wx Z

Gx Gh wx wh

•

i v?:

~

7€4•

Z

↓

↓

Gh wh

•h ~h Zh

h v?: 7€4•

=

⊕

=

′+

=

>

= =

ο

+

< ′

+

•

~

Gh wh

i v?: 7€4•

⊕

•x ~x Zx Z

+

=

⊕

⊕

=

ο

ο

ο ′

> ′ =

+

<

=

+

% &' ( )* + G

G

‹ rŒ " B ]E {

w

w

•8

]E Š ] G ‡ ‡ / /

G

w ‡ / ‡ /

"

3

•8

•8 ‡ / / ‡

‰ •€ / ‡ ‡ /

/ ‡

‡ /

w•8 ‡ /

+ ,

/ ‡

G w

•8

G w

•€

=

⊕ ⊕

=

⊕

G ‡ ‡ ‡ ‡ / / / /

⊕

′=

w ‡ ‡ / / ‡ ‡ / /

⊕

•8 •€@:8 ‡ ‡ / / ‡ / / ‡ ‡ / / ‡ ‡ ‡ / /

⊕

G w •€@:€

•€@:8 z

•8 x

′

h m / …

$z d

+ ′ = + ′ = ′

= =

* %„# {! " m ‡ † -€< d z '

'

c{

tz

‰ z Š ] ]E ( % c

] {„z Q …

$z {! " } % |z

cd

{a b * ˆ

G •€

w

•8

•{! "

= =

=

= =

= ⊕ = ⊕

O 34 5 2 # G Ž w >1 G ‡ ‡ / /

w ‡ / ‡ /

G

Q

w > ‡ ‡ ‡ /

. /01 ,

1

cR ! {% |

#

/01!7 8 !6

> G w

1 ‡ / / ‡

=

=

1

⊕

> Q

•'G >

•56• G==8A B•'G3

R !}# #

1

/01 !9 0

•'G >

1 •'G >

1h

> G

w

>

>

G

1?

w >

+'G'

>?Žh

>i 1h 1h

1x

1 G w Ž> >1

-

G

w>

G B13

w>

B>3

0N

=∑

= ⊕ ⊕

=∑

=

⊕

⊕

G w 1 >“

* }z

]

Q

‘EWm

jz d ! =

=

>

•'G' h

G

+

+

+

+

* ’

•'G' i 1

w

>

>

GwŽ>BGŽw3 GwŽ>BGŽw3

=

G•0Gx w•0wx >x

GwŽ>BGŽw3

1•01x ” v?: •@66 G==8A

>€@:

<; .#

. /01 !:

>• >i G• Gi Ž w• wi >” 1• 1i

>h Gh wh 1h

w• G•

wi Gi

wh Gh

wx Gx

+'G

+'G

+'G

+'G

>x Gx wx 1x

>” 1•

1h

1i

G˜ — w” G˜ — G” w• — wx G• 0 Gx

1x

* – v?: +@66 G==8

” v?: +'G'

” v?: +'G' >– 1˜01”

1•01x #

-

M

1

•'1' •'I'

. ™

w

34 5

™

›

w

.

1

w

!<

0. w1 1

= ⊕ = ′

M

>x

1 -

.š

1, w,

.š

w

0. 0š w1

= ⊕ ⊕ = ′ + ′ +

ABC

;0? @(

<

#

3 5 2#

/01

!> D

O O,h

O,x = →

−

′− ′

” v?: >”

1• — 1x

g œ ^‰ •X} %m ' m

"

= →

+'G'

}

bk

a bQ m

g t

% N

Q

œX

W #

Q

Gi wi G• w•

R !

* %V#

' R !

FG

œ ^‰

•X H 8

`VΠ#

j

/01

•x >x

•x

1x

•x œX

Gh wh

Q

R !

B Z€€ž GŸ85= >5<<. •898<5:€<3 # E Gx wx

"

>h

{W # b

1h •h

>i

1i •i

GHI0JK >•

1• •• >”

!o

j

=

⊕

=

+

=

=

⊕

=

=

+

=

=

+

=

⊕

=

+

=

+

+

=

+

#E

⊕ ⊕ −

+

−

}

−

+

B

% '''

B ¡– 3

%‰

g

E

' #Em

W a b

"

j * %V# b”

¢

JKL #

w•0wx

G w

!I

G•0Gx ′

” v?: + ' G ' !"

/01

′

′

′

′

£

&' ()**'

!"

′− ′

#$ %

+ ," -!./ 0) 10 ” v?: + ' G '

= ′ + ′ ′+ ′ ′

1 • — 1x

w• — wx ” v?:

G • — Gx +'G'

>” £

>”

” v?:

+'G' 1 • — 1x

*

#

G

w• — wx G • — Gx w>I

Q

>”

G0w

JKL

#

3 5

w

w

w

w

›

›

›

›

•

i

h

x

•

i

h

x

GŽB0v3 G

` V ›• — ›x >?9 h R ! 1 • — 1x LPQRSPT O '

#

t

#

a

9

9

!M

EV

! " 4,i

•¦–

+?

¤% 9

!N EV

xh xi

I87€=8<

x–

+x +h i¦” I87€=8< +i +•

= ′ ′ = ′ ′

'

! "

¤% fW%r p¥ a * %V#

= ′ ′ = ′ ′ G

w +x G w +x +h +i +•

+h +i +•

*

m

}

E"

O5-:8<4 Q $# }

Q U%

HGHI ] GHI

!

*R E

]

… * %V#

Q

0/

=∑

=

' G w

•¦– I87€=8<

>

§ #

]

Q

X •¦–

Ix Ih Ii I• I” I© I I˜

E„z |z | c

*F

¨E " {z Œ… ^

Gi Gh Gx

E„z

E„z

•¦–

•¦–

23 245&6 7&89 :& 2" ;< <= B A<0 245&6 – >&? @ 0 =

E„z i¦”

Ix Ih Ii I•

R

+

• v?: F ¨E "

G w ~

X

KGO G w

~

0N

~

G

w ¦

Ix Ih Ii I•

~,x

c{ #` e

E„z

~95v68 G7:?ª8 •?;Ÿ 895v68 ' }

m

I89«: 75<8 ^ # w¡G † ~,x

E"

](

!} ’$

En

^#

%&

†

a

* %V#

!

En '

~ h x x x x

G x x h h

w ¦ x h x h

Ix Ih Ii I• h h h h x h h h h x h h h h x h h h h x

~95v68 G7:?ª8 •?;Ÿ 895v68

z] p En G w ~

>

Em HJL z ~95v68 { gz

Ix Ih Ii I•

E„z i¦”

' z] & •¦–

G w

m

Ix Ih Ii I• I” I© I I˜

w > G

E„z † i¦” d E„z

~ w >

i¦”

E„z i¦” ~

E„z | c Ix Ih Ii I• I” I© I I˜

~

G

Ix Ih Ii I• I” I© I

w

I˜

ZP[P\ ZPY]P\^ O VWXPY

h

-h .h

08

Ž

JKL

, +8 +4 O abL =U 8( U

+U4 _ `

B Z?;Ÿ: ~4?::?9; I?€=83 0 >5:5=8

•ix

' Em { jm

Em ( e ` &# %X ˆy%" Z~I

i¬ª- … c 8

' m

# E { ( % tz }%&

|z {! " z œz #

Un ˜'A8;

5

v

•

v

;

€

7 =

® %Œ ¯ t#

U8

c3 c

d

zE… { } }

E" {

B ˜'A8; ® %Œ

‰ c d ^! # 3}

# Tz b ] `c

} c `n } `°% }

‰

c Tz b ]

c … …

B ˜'A8;

} c `n }

C / ) &3

G w > I

5

v

7

=

8

•

;

‡ ‡ ‡ ‡ x

/

/

/

/

/

/

‡

‡ ‡ ‡ / h

‡

/

/

‡

‡

‡

‡

‡ ‡ / ‡ i

/

/

‡

/

/

‡

/

G

‡ ‡ / / •

/

/

/

/

‡

‡

/

‡ / ‡ ‡ ”

‡

/

/

‡

‡

/

/

‡ / ‡ / ©

/

‡

/

/

‡

/

/

w > I

‡ / / ‡

‡

‡

/

/

/

/

/

‡ / / / ˜

/

/

/

‡

‡

‡

‡

/ ‡ ‡ ‡ –

/

/

/

/

/

/

/

/ ‡ ‡ / ±

/

/

/

/

‡

/

/

E„z w>I ˜'A8;

A<0 C / ) &3

)* EF I€9«: 75< ()9& ;D&"

* %V# f e

'

V

¤%

]

i9

i9¦9 ~97€=8<

9

G

b\QRSPT

Q Œ‰

G

H= H=

5 v 7 = 8 • ;

˜

•

hh

”

h

”

I &% A#&6

’…^

!6d EV#

Ix Ih Ii I• I” I© I Ix

G w

~97€=8<

Ih

–¦•

I˜

I˜

G

w

>

‡

‡

‡

‡

‡

/

‡

/

‡

‡

/

/

/

‡

‡

/

‡

/

/

/

‡

h

/

/

/

I• Ii Ih Ix

G

w

\

/

¦

¦

¦

/

/

/

‡

/

¦

¦

/

‡

/

‡

‡

/

¦

‡

/

/

‡

‡

‡

/

‡

‡

/

‡

‡

‡

‡

‡

‡

h h

>

h

x h h

x

h h

I” I© I I˜ Ii I• I I˜

G

w

Ih I• I© I˜

>

I• Ii Ih Ix

A $# 0 =$ 90 JK

=

+ ′= + ′ ′ = +

w ª?56?=

Ix Ih Ii I• =

G

ª

+

+ ′

+ ′ =

+

\•G

{ En p c † Ez ' % E LK

#& M . 2x 2h 2i 2•

‰

†

E c U²

#

29:8<<@•: d ’… i9 ³ r%# 9 | c

! "C

1h 1x

J

x

x

2x

x

h

2h

h

x

2i

h

h

2•

O´M J

1h 1x 18687:

zE

2x 2h 2i 2•

x x x

c

* O@6:?•68-8<

2x x 1h x 1 x

*

x , 2x

LP]hi^j kiPlPT $?HG

Jx Jh Ji

2

~

190h 1x P" 9

G I845-

]

'

~95v68

(

#µ

2h

¯

#µ

2i ¯E

#µ

2• ¯

D

#µ

C

!66

G

w

>

Ix Ih Ii I•

‡

‡

‡

‡

‡

‡

‡

‡

‡

/

‡

‡

‡

‡

‡

/

‡

‡

‡

‡

‡

‡

/

/

‡

‡

‡

‡

/

‡

‡

/

‡

‡

‡

/

‡

/

‡

/

‡

‡

/

/

‡

‡

‡

/

‡

/

/

/

‡

‡

‡

/

EV

C (]

UW

I845-

#

b O5-

&

I8 O5-

O5-

1h

1x

1h

1x

’

r ¨

E… B LIO 3 L?48 I€45?9 O@6:?•68-?9; (

2x 2h 2i 2• 2x

w m

* '

Ix Ih Ii I•

I8 7€=8< i¦”

Ji90h

g

¢

xx xh xi x•

j

qaLOp KraOp qarOp noDO

eB

B 8

;B ` m B_ ` g

!6 WWW (

' G90h G90i

%&

245&6 KJO

R²

– v?: I˜ — Ix P (=0= 7$OGN

Gx

K85= J96. O84€<.

Jx Jh

Gi Gh Gx

KJO

Jx Jh

Ix

J˜ J˜

PQ =R 7$OGN Q =R 7$OG =0)%

Jx Jh

KJO i9¦4 H 2 L' H&S !" =0)% G

Ih

J˜ $#

!"

KJO – ¦ ” ” v?: ¶€<=

*+! ”

' #Em { Q # ]E !E

d^ z

#

` ²d

' Em Q # ]E

€<

}z

]E ‰ ¯ c {! "

' ) ( %" &

I•

”¡•¡x d

% ‰¯ d

' – KJO

]E ‰ * %„#

KJO

* %„#

Em { ‹rŒ p eyb

noD

Gi Gh Gx

/ ‡ ‡ / / /

‡

/

/ / ‡ ‡ ‡ / / / ‡ ‡ 9¦4

‡ ‡ ‡ ‡ / ‡

Ix x Ih h Ii h I• h

R E ‰a

]

Q

.

X 0/ C 0N

/ + i9¦ž ]

E {

E

jz

*

#

{! "4

G)+ s d

9

nR] * # 5 c }z

' E # Q U%

{ c

d

≥

c K€4 * %„#

` ²

„z P ‰

gm

c'

K€4 ’

{

a3

‰ ] ` ² $

Q m %"E

Q m {a b ~•KJO `„Œ jz R‰ d

' #Em { d^z h 0h©

%& #

c{ ˆ °

® X { „z %„ d

#

{„z %„ d

E 'B

c # µ {W

' m {

# E"

Em { ® X œU ·

m ® X {a b d d W

]E ‰ ED

d z] p

# c {a b 3 #

{

~•KJO {

~~•KJO ’ B ] }c

d

&

²

c #Em

$% &

' '

( )* + ,'

-. #

"

! # (/

6

7' 8 9 :

;

/

+ 234 5 + 234 #

A. +

7'

B

/+

6

*

7' 5 + 234

+

/ 10

6 ,<

=

?

+

/@ 1> # (/

. % C % D ,! ' '

#

!

J

6

E@ 10

4

E@ 1>

' '

GH

'

& !"#$ !%#

I ( KL ! ,' M

4

& I 1F

N (/ MGH 5 OO D ,! PQ1OO 10 R1OO 1> ST1OO 1F

V1OO 1U PWQWX P

P#[ O#O

Z

ZWX

()$

[

P

Z

[

Z

ZWX Y PWQWX OO L \]V [

P

\]P J Z

# *M

bL ^

, ^

L OWW_ `aaT KL [ M

P

Z

[f1g

+

[f

f

,$

M)

,I

^

hai_ PWQWX hai_ ZWX hai_

[

P

#

[

A* M M) J

= ' b N )<

KL 6 ,<

M

J ( de M

* 45

c!

5

c!

' 45(

P j j j j 0 0 0 0

Z j j 0 0 j j 0 0

P[f Z

[f j 0 j 0 j 0 j 0

01 2

[f1g j 0 0 0 j j k k

3

*+, -. / +

RaflX mnoW RaflX mnoW

0 j j j 0 0 k k

+

= + ′

+

=

−

"

=!

"

P[f Z

+

−

# ,E M3! q N ' b4 "

ZpP

" # (/ =, KL 5 hrst umXrvW

Z

[

Z

P

′

[ hai_

P

6 7 38

Z [ wxy

P

#

wxy

P

Z

[f1g

′ f•g

"

"

[f

′f

hai_ ZWX PWQWX

L M dL hai_ 6 ,z L hai_

E

{ 4Z

?

L

P 6 ,z L

wiamT N ?

NM

b N M/

[f7' M ′ f Z

M!hai_ ^ 90:

P d ' ,E KL wiamT # bL

wxy P Z [‚ ′g

P

[

wxy

′

Z

NM

7' M

~ N |H/

}

& L OO L |H/

M! ^ • B,!

€ N^ M

}

6 7 9 < 93 = >? ;

# L wxy

&~ NJ

~ N

;

N

$ }

& L•

!

„

~ N(ƒ

;

}

&

&@ A

"

!

B *< ? .C

… L . ~ N M)

;

wxy P Z [ ′g wxy

[

N ˆ 4 +@ ^

?

N M M/ #

J 4 O#O

,E M

N M3! J N ˆ 4 2 !

PpZ J 4 J !

…L.J

)/ + c/M ' 'J4

# ,E M

) / + c /@ M ' ' J 4

; $†; M & " hai_ ;

}

wxy Z

[ ′

c!

N M3!

& O#O 5

|H/ D

P

‡G% 5

}

c! &

E2 A& E

% wxy

P

Z

[f1g

′ f•g

"

"

[f

′f

-. / F 2

B

/ KL ~ N 5

c!

# E M KL ,L .

J

! ^B

/

b4

4J

M

J 4M

M

5

# ‰PŠZŠV w‰P P

P

Z

6 7 38

[

wxy

[

wxŠuPPŠZŠV "wxP

wxy ‰P P

wxy

‰P

9G2

‰P

Z

′

Z

M

wxy

wxy

P

Z

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

[f1g

′ f•g

[f

′f

[f

′f

c!

& ?6 ,<

"

! ^

8 9 $!

+

" wxP

‰P +

A*

='

# 0> /

R

wxy

Z

C I , J1 .

R

[

R

5

!

+ 234

? K C C 3 L H$

[

wxy

R

[f1g

x

"

[f

[

P wxy

/@

ROO

'

‚

PWQWX

g

ZWX

R

[f

[f•gŽR MN

#b 9

)/

‹ ^ ### # (/

PWQWX

… ^

ZWX

^

10

? (; & 1>

‰P R

wxy

‰P

Z

[

wxy

wxR

R

"

"

"

"

"

"

"

R

R

"

[f

[

P wxP

# 4

! 3E

Œ<,z•

M ' 'J4 ′ f1g

‰P

wxy

wxR

[f•g

x

k

k

[f

′

g

‚

g

‚

‚

g

‚

g

‚

‚

[f

′

g

g

′

[f

f

M& I

f

hai_ ZWX PWQWX

f

hai_ VassiW "\]V

N OP$QQ

(

S wxy

[ ′

T

Z wxy

•

y[f •

[

+

′+

=

′

′+ = ′ ′ +

P

y # 4

[

! 3E

V

S

N# (/ •z

b4

V

[

wxy

b4

T

+@ y

S N (/ J •y1OO R$ wxy V [f•g ” [f [f

[

′f

wxy

R

V

[

+

= ′

+

hai_ hai_ XassiW

′= ⊕

wxy }

& •yOO

E KL

4S

T

,

5 •c‘ …L ’% J

wxy N M

N M + /,! M ;

# V P wxy

NM

;

}

“nQXWo Z wxy P

•

[ ′

′

&

wxy P

}

′

c!

& •y1OO ^

) / 10 )/

1>

5 “nQXWo1ZinvW # O#O

[

[

5

E |H/

•L ' •y !@ “nQXWo1ZinvW # O#O ^

ZinvW Z

|H/

“nQXWo 1ZinvW P

[

Z wxy

[

)

wxT Z • [

wxy

“nQXWo

ZinvW

xaœ

_rQumXrvW

umXrvW

hrst

umXrvW

_rQumXrvW

P Ž •w• ′

“nQXWo

•

Z

y [f

P

wxT

ZinvW •

[

′

′

[

[

Z

′

P

• y • [

wxy

# E •& •c‘ q ' ' …L R

[

'

wxT hai_ XršW

R ZWX˜™ XršW

wxy

[ V_

4 •

:^„ 6 (

6 6

39 + ^ • :^„ 6

…

7'

9

7' : A

! 39

R1[

!,

' , E —g– wxy +

@^ •

&

,* ZWX˜™ XršW + ^ … … ›34 " ! 3 ZXn`iW ,E )< wxy +

@

39

5

9" E 8 9

+ 234

@ +

!R

!

@^

8 9

+

@^ -.R

' ( / :^„ #

9

! ^6

* 6 ,<

Ž

,* hai_ XršW

q/

7' ' ! 3 ( = S M

6

I ( =

9

98 ‘ #

¡‚

R[

u‚

¡g

R[

ug

8 9

9 4 OO ^

,*

u 1u‚

wxy

rf ™˜XQ

x

”

PWsrQXWo R[

uŸ

¡

R[

u

,3

6 = !

¢ `rX

¡Ÿ

0> /

]˜X ™˜XQ *+

¡ 1¡‚

wxy

¡ 1¡‚

wxy }

& *

: ! wxy •

8 9 E #

8 9 b 9

^

b

!6 = ) / " xna_

;

9ˆ4•b

xR : !

;

:!"(* /8 9

}

& R1OO * 5

ž8 9

E |H/

wxy

‹ ^ A; " # (/ Šfn`iW

c!

+,{ 5 @ 4

Π,' b ,'

{

! / 9

xR ¡‚

u‚

Z P

¡g

¡ 1¡‚

ug

Z

xR

P

uŸ

wxy

P

u

Z

xR

P

¡‚

xR

wxy

rf ™˜XQ

]˜X ™˜XQ

a

”

”

P£s_

¡ 1¡‚

¡ 1¡‚

5 xR “n”

R

R1OO ‹39

[ uW

Ÿkg

xR “n”

[

`

Ÿkg

ug

wxy

¡Ÿ

“n” Ÿkg

wxy

u‚

”

wxy

¡g

u 1u‚

PWsrQXWo

Z

¡‚

¢ `rX

R

[ uŸ

Z P

U6 = *

0> / *T U #(/

C{ (3/

" () E #6

$

g

‚

g

‚

‚

g

‚

g

g

‚

g

‚

6

I

¤

I

•b

G' • € e 5

9

5Bƒ R

[

R

R

[

[‚

[g

[Ÿ

[

R

[

[

[

wxy

5 C{ R

R

[

[

R

[

R

[Ÿ

[g

() E

[‚

() E

Z¡P

[

wxy /. 1 .

C. . 93 9/

/

Z¡

g

‚

g

‚

Z¡¥Z]

Z¡

‚

g

‚

g

Z¡¥‰]

g

‚

g

‚

‰¡¥Z]

‚

g

‚

g

‰¡¥‰]

^, / ^,

3

3F >

Y

/

10

Y

/

1>

Y

^,

1F

Y

^,

1U

‰Ÿ

‰

‰g

[ R

R

[

R

wxy

wxy ‰

4

B 3

9#

4

[

!

6

R R

[

I

[

Rg

wxy ‰ 1‰ xR ‚

! )*

34

,$

34

[

R‚ R

() E

& I V W

(/

C{

,3

Rg R

() E

R‚ [ Zg

R

RŸ

Rg

“n” ¢kg

“n” ¢kg

“n” ¢kg

“n” ¢kg

Z#]# "ZhP ¢ `rX Z#P wxy ‰ 1‰ Z¡x Z¡P ‚

[‚ [

Z‚ hai_ ZhP Zhx xan_

"‰#] [ 1[‚ Zg Z‚

[‚

¢ `rX Z#P

9

RŸ RŸ R

[ 1[‚

[‚

‰‚

Zu p Zg € • ! ‡ :

[ wxy

‰g

# ,E

R

R

wxy

‰Ÿ

• +@

[g

[Ÿ

[

‰‚

Z#]# "ZhP

# X

(

!

=

'

4 O#O : 3'

7' 5 + 234

+

/ 10

# ( =

7

'

4 O#O : 3'

7' 5 + e

[

‚

! 3E … '

Ÿ

,

b 5

wxy

[g

‚

‚

‚

g

g

‚

g

S T wxy

‚

‚ g

[

‚

g

g

!@ 1>

/

g

=

[‚

+

6 ,< " wxy

5

[

wxy

?

*

[

L *< ? C

6 ,< wxy

+ 234 #

¦

*

EU

‚

‚

S T

‚

g

[

[-

G' ! 3E d/,'

$

wxy !

[g S T

‚

[

‚

g

‚

g

[‚

S

[

‚ [g -

T

!

wxy

+ − !

wxy

!

!→

/@

! 3E

,→.

!

! !

!

[g [Ÿ

S T

[‚

[g -

S

T

T

wxy ! → → , → 000 → / / → 2 → 1 → 000 → !

S

6 345 6 3789

[Ÿ -

% …

.

„

(3 /

B

9‡ ‹

9

9

& I

!

/@

! 3E 5 B ƒ #

S

[

T

′

[‚

S

[

T

′

[g

S

[

T

′

9 § 3E [Ÿ

wxy [g

[‚ “n”

“n”

wxy

!

5

!

2; Ÿf

1

˜™ # ,E # @ +8A 3

! ,

•< 0 <

Œ3 & TpS §

Ÿf

9 ?+

!@

! 4

! 3E

5+

/

1

:3 ; <=>?

+

B[

B[

3789

B[

B

345

B

B[

345

B

B

3789

[Ÿ

[g

[‚

# $ % & (

! 3E

& [‚

V

[‚

[

[

V

[g

[

V

[Ÿ

wxy

5

§

8 9+

@^ •

u\R … +,{ # b

'8 9 #

“n” Owxy

OO

=

! 3E

H I u\R

9

@

H

G{ Owxy

‘

!@ E

= D"

= C!

→

EFG

* 5Bƒ

= ,!

"

U+

X ?X

[

[Ÿ R

‰Ÿ

[g R

‰g

!@

= ,01

Y1

‰

' ‡G%

6 J KL?M @ 5 N

¨(/

R

!

[‚

R

‰‚

EU EU $Z

(

£nXmt RWma_ W Šu

‰

‰Ÿ

‰g

‰‚

[

[Ÿ

[g

[‚

xan_

6 :3 ; O H H Š”W

\ > /

[ R

[Ÿ R

‰

‰Ÿ

[g R

‰g

[‚

R

‰‚

X

EU $[

) ? K

@ B3 P Q H

+8A 3

L

+ R STU V

01 2

O#O#x

U

5

' '

=

”

R

@A 3

[

GH

+ + ↓

^ Bƒ

= = ′ ′ +

+

′

′

R

©

[ ′

wxy ¦

*< ? -. /

6„ & B

:

d (;&•

; •

4 OO ( d e d% (; &

3

• EB

•

!

… # ,3! + # (/

^q ' ' + ,'

U N V @A 3 u © ”

u

©

” ”Ž‚

5 „ B ƒ (; & B

@P 5 N V u ©

¦

u © ”Žg ”Ž‚

¦ ”Žg

5

§

' _`a`b H"acdae

B

& I

*< ? ] ^ MC

”¥¦5 ‚¥‚ ‚‚ ‚¥g

g¥‚ ‚¥g

‚¥g

gg

‚g g¥‚ g¥‚ g‚ g¥‚ .

# ,E bG

6 ,<

ª•‘ • ,E # ,E

d% (; & } / ª•‘

3!

d% 6„ &

5

^ ‡G% H

10 5 ,

!‡

1>

+8A 3

“a_W “rir

=

W

U NV

=

W

@P 5 N V

“a_W “ag

=

R STU V

3P Q H

W

9 ( / … 3 wxy +

@+

&

• ‘ … ’%

9

A; (

7'

^

; ƒ

4

! 3E

‹ ^

3P Q H

+

5

!

5

!

*

!… { , #

,

+

R STU V

+8A 3

=

3P Q H

; 9

9

7'

+ 234 wxy

; ƒ

†) < #

5

d (/

‚

q g

&

' ZXnXW Rrnsonš « 3! ,

4 5

!

Ÿ

®

-

¢

¬

; fM + -. /

# b/ ["X•g ["X•g

Z

P

R

4 [ (; & •

”

”

y ” ”

” ”

V

'b

$!

{

Z#P

? K g?

! ^: *

1> (; & : *

10 5

# ,E b $ ' 6„ & B

, #

G

!@ •

3

,

° ) 6

4 «4 9 + % &

$); ¯ <,' 10 I

6 ,<

,'

6„ &

4 • 3 / • 6„ & B

9 4

" 6„ & B

,'

9 ª•‘

" ; # ‹ †'

6 ,<

@ (/ B

4 ª z•'

Œ„,3d

9 ª•‘

‹ †' B

• 6„ & B

^ ‹ †'

• # ,! 9 §

9…2 4 O#O

#

‡

9 b/ ST££ ‹39 ‚

' '

,' 1³ ^/

•ƒ µ d

# (/ ° )

% &

/ 1´

E

‹39 5Bƒ

^ (; & : *

‚‚

g

g

:^„

d' 1±

4 O#O D,! 1²

5 (; & : * #

d' 1F * 1U

" (; & ª •‘' • 3/:

1>

g

U u

‚g gg g¥‚ ‚ g‚

g

‚

@A 3 © ”

@P 5 u © A3 P? J K X83 P? ¢ OO H A ¬ •yOO -

‚

•u yu •© y© ” ” ” ” ” ” ” ” ” ” ” g ” ” ” ” ”

u

j ”

j ”

j ”

0 ”

6

=

” j

” j

” 0

” j

6

=

j j

0 0

” ”

” ”

6

=

” ”

” ”

j 0

0 j

6

=

′

u ©”

u

u u ′

u©

a”

©”

⊕

′

© ′

[ S

T

[ S

T

”

V#O#O K3N

3‘

‚

g

Ÿ

-

¬

¢

L^ q ' ' N

N M& I J

! 3E 5 …L 3'

® 5 V#OO K3N ‚

g

Ÿ

·

¶

®

¢ -

¬

©wR

!

3E 5 B ƒ