SAĞLIK BİLİMLERİNDE ARAŞTIRMA VE İSTATİSTİK YÖNTEMLER
Prof. Dr. Osman HAYRAN Yeditepe Üniversitesi Tıp ve Sağlık Bilimleri Fakültesi
NOBEL TIP KİTABEVLERİ
RES‹ML‹ ‹NSAN ANATOM‹S‹ Prof. Dr. Mehmet YILDIRIM 1. Bask›©– 2012 EylülNobel 2002Tıp Kitabevleri 2. Bask› – fiubat 2012 SAĞLIK BİLİMLERİNDE ARAŞTIRMA ISBN: 978975420-??? VE İSTATİSTİK YÖNTEMLER
Bu kitab›n, 5846 ve 2936 say›l› Fikir ve Sanat Eserleri Yasas› Hükümleri gere¤ince yazar›n yaz›l› izni Prof. Dr. Osman HAYRAN olmadan bir bölümünden al›nt› yap›lamaz; fotokopi yöntemiyle ço¤alt›lamaz; resim, flekil, flema, ISBN: 978-975-420-901-3 grafik, vb.’ler kopya edilemez. Her hakk› Nobel T›p Kitabevleri Ltd fiti’ne aittir.
Bu kitabın, 5846 ve 2936 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Yasası Hükümleri gereğince Düzenleme: yazarın yazılı Nobel T›p Kitabevleri & Hakk› Çak›ralıntı yapılamaz; fotokopi yöntemiyle izni olmadan bir bölümünden Kapak:
Bask› / Cilt:
Cenkresim, AKAYşekil, şema, grafik, vb.’ler kopya edilemez. Her hakkı Nobel çoğaltılamaz; Tıp Kitabevleri Ltd Şti’ne aittir. Nobel Matbaac›l›k,
Had›mköy-‹STANBUL
Düzenleme:
Nobel Tıp Kitabevleri-Hande Dalsaldı Çaçur
Kapak:
Hande Dalsaldı Çaçur
Baskı /Cilt:
Nobel Matbaacılık, Hadımköy-İSTANBUL
NOBEL TIP K‹TABEVLER‹ LTD. fiT‹. ÇAPA Millet Cad. No:111 Çapa-‹stanbul Tel: (0212) 632 83 33 Fax: (0212) 587 02 17
SAMSUN Ulugazi Mah. 19 May›s Bulvar› 16/6 Tel: (0362) 435 08 03
CERRAHPAfiA Cerrahpafla T›p Fakültesi Karfl›s› Park içi Cerrahpafla-‹stanbul Tel: (0212) 586 17 58
ELAZI⁄ Yahya Kemal Cad. Üniversite Mah. No: 36/B Tel: (0424) 233 43 43
KADIKÖY R›ht›m Cad. Derya ‹fl Merkezi No: 7 Kad›köy-‹stanbul Tel: (0216) 336 60 08
ANTALYA Meltem Mahallesi, Dumlup›nar Bulvar› Falez Sit. Toros Apt. No:183/2 Tel: 0 (242) 238 15 55 BURSA Alt›parmak Cad. Burç Pasaj›, Bursa Tel: (0224) 224 60 21
ÖNSÖZ
Tıp fakülteleri ile tüm sağlık bilimleri lisans eğitiminde zorunlu ders olarak verilen Biyoistatistik dersi, öğrencilerin sevmedikleri derslerin başında yer alır. Doktor, hemşire, fizyoterapist, dişhekimi olmak hayaliyle üniversiteye gelmiş öğrenciler için, ne işe yarayacağını bilmedikleri birtakım formüller ve analizlerle uğraşmak tam anlamıyla bir kabustur. Tıp fakültesi öğrencisi iken benim için de durum farklı değildi, taa ki hekim olup ta sahada çalışmaya başlayana kadar. İlk kez o zaman farkettim her türlü uygulama için “kanıt”ın, kanıt üretmenin ne kadar önemli olduğunu, hizmet verilen insanları ve toplumu tanımak için sayılara olan ihtiyacın, herşeyi ölçmenin ve analiz etmenin ne denli gerekli olduğunu... İşte bu önem ve gereklilik nedeniyle bir akademisyen olarak üniversitede göreve başladığım günden beri büyük bir zevkle vermekteyim öğrenciliğimde zevkle dinlemediğim bu dersleri. İstatistik uzmanı değilim ama dünyanın heryerinde olduğu gibi ülkemizde de bu konuların Halk Sağlığı uzmanlarının uğraş alanında olması nedeniyle Epidemiyoloji ve Biyoistatistik benim temel uzmanlık alanlarım. Yıllardır verdiğim derslerde hangi bilgilerin günlük uygulamalar açısından değeri olabileceğini, teorik ders olarak sıkıcılık dozunun nasıl azaltılabileceğini düşündüm durdum ve ortaya bu eser çıktı. Kanıta dayalı tıp ve kanıta dayalı sağlık hizmetlerine inanan, bilimsel araştırmaya meraklı tüm sağlık çalışanlarına, sağlık bilimleri öğrenimi gören lisans ve lisansüstü öğrencilerine yararlı olması dileğiyle... Prof. Dr. Osman Hayran
iii
İÇİNDEKİLER
BÖLÜM 1 Kanıta Dayalı Sağlık Hizmetleri: Veri, Enformasyon, Bilgi............................................................................... 1
BÖLÜM 2 Araştırma Türleri ve Yöntemleri............................................................................................................................... 5
BÖLÜM 3 Sağlıkla İlgili Araştırmalarda Sık Karşılaşılan Hatalar.....................................................................................17
BÖLÜM 4 Değişkenler, Veri Türleri............................................................................................................................................27
BÖLÜM 5 Verilerin Özetlenmesi................................................................................................................................................43
BÖLÜM 6 Olasılık Kavramı ve Dağılımları..............................................................................................................................55
v
vi
İçindekiler
BÖLÜM 7 Evren, Örnek ve Örnekleme....................................................................................................................................65
BÖLÜM 8 Önemlilik Testleri........................................................................................................................................................75
BÖLÜM 9 Bir Gruptan Elde Edilen Verilerin Analizi için Önemlilik Testleri.................................................................81
BÖLÜM 10 İki Gruptan Elde Edilen Verilerin Analizi için Önemlilik Testleri.................................................................87
BÖLÜM 11 Üç ve Daha Fazla Gruptan Elde Edilen Verilerin Analizi için Önemlilik Testleri.....................................99
BÖLÜM 12 İlişki Analizleri........................................................................................................................................................... 105
BÖLÜM 13 Sağlık ve Hastalığın Ölçülmesi: Risk Kavramı ve Morbidite Ölçütleri.................................................... 115
İçindekiler
vii
BÖLÜM 14 Ölüm (Mortalite) Ölçütleri.................................................................................................................................... 125
BÖLÜM 15 Nedensellik................................................................................................................................................................ 137
EKLER........................................................................................................................................................................ 145
İNDEKS..................................................................................................................................................................... 155
BÖLÜM
1
KANITA DAYALI SAĞLIK HİZMETLERİ: VERİ, ENFORMASYON, BİLGİ
Sağlık sektöründe çalışanlar günlük işleri sırasında insan sağlığı ile ilgili çok sayıda ve çok çeşitli konularda kararlar vermek durumundadırlar. Hastalık teşhis ve tedavisinden sağlıkla ilgili harcamaların nasıl karşılanacağına, sağlık hizmetlerinin kullanımından günlük yaşam biçimlerinin düzenlenmesine kadar birbirinden farklı ama tümü de insan sağlığı ile ilgili konularda verilecek kararların hatalı veya yanlış olmasının bedeli doğal olarak insanın yaşam kalitesinden kayıp hatta ölüm olduğundan bu kararların doğru olması çok önemlidir. Geleneksel olarak, sağlık sektörünün her noktasındaki kararlar, hizmet sunanlar ile alanların ellerinde bulunan kaynaklara, paylaşılan ortak değerlere ve bilgi-tecrübe birikimine göre verilegelmiştir. Özellikle geçtiğimiz yüzyılın ikinci yarısındaki bilimsel gelişmeler, doğumda yaşam beklentisinin artması, toplumların yaşlanması, sağlık harcamalarının artarak ekonomileri zorlamaya başlaması, hasta güvenliği ve hasta hakları kavramlarının ön plana çıkmasına neden olmuştur. Koyduğu teşhis ve verdiği tedavi nedeniyle eskiden kolay kolay sorgulanamayan “yarı-tanrı hekim” anlayışı, yerini yavaş yavaş “hasta danışmanı hekim” anlayışına bırakmakta, sağlık sektörünün her noktasında açıklık ve hesap verebilirlik önem kazanmaktadır. Kurum veya doktor odaklı hizmetler yerini “hasta odaklı hizmet”lere bırakmaktadır. Tüm bu nedenlerle “kanıta dayalı tıp” ve “kanıta dayalı sağlık yönetimi” kavramları ortaya çıkmıştır. Hasta güvenliğini en üst düzeyde tutarak varolan kaynakları en verimli şekilde kullanmanın yolu verilen kararları kanıta dayandırmaktır. Kararların hatasız ya da en az hata ile verilebilmesinin yolu bilimsel “kanıtlara” dayanmasıdır. Verilecek kararları kanıta dayandırmak için veriye ve bilgiye ihtiyaç vardır. Bu noktada “veri”, “enformasyon” ve “bilgi” kavramlarını netleştirmek gerekir.
Veri Bir olayın incelenmesi, bir durumun tanımlanması veya bir görevin yapılması sırasında kaydedilen her türlü yorumlanmamış bulgu, belge ve gözlem veri adını alır. Veri, dünyaya ilişkin her türlü sembole, gerçekliğe verilen genel bir addır. İnsanlar bu gerçeklikleri duyuları ile algılar, beyinleri ile anlamlandırırlar. Genellikle verilerin işlenmemiş halde, tek başlarına iken fazlaca anlamları ve kullanım değerleri yoktur.
1
2
SAĞLIK BİLİMLERİNDE ARAŞTIRMA VE İSTATİSTİK YÖNTEMLER
Verilerin işe yaraması için bazı özelliklere sahip olması gerekir: – Veriler amaca uygun olmalıdır – Tam olmalıdır – Kesin olmalıdır – Zamanında toplanmış olmalıdır – Doğru biçimde olmalıdır – Makul bir maliyeti olmalıdır
Enformasyon Verilerin işlenmesi, yorumlanması ve bilgiye dönüştürülmeye hazır hale getirilmesi ile enformasyon oluşur. Başka bir deyişle, kim, ne, ne zaman, nerede sorularına bulunan cevapların adı, verilerin işlenmiş, anlamlandırılmış halidir. Kullanım değeri olabilir de olmayabilir de.
Bilgi Enformasyonun, deneyim, değerler, içgörü, kurallar ile birleşiminden oluşur, en kısa tanımla, “bildiğimiz herşey”dir. Başka bir deyişle neden ve nasıl sorularına bulunan cevaplardır, öğrenilmiş enformasyondur. Veriler, bilgisayardaki veri tabanlarına girilerek depolanabilir ve uygun programlar yardımıyla işlenerek enformasyona dönüştürülebilirler. Bilgiler ise enformasyon da kullanılarak deneyimlerin ve içgörünün ışığında insan beyninde oluşur ve beyin dışında depolanmaları şimdilik mümkün değildir. Bilimsel araştırmaların temel amacı bilgi üretmek olduğu için bilgi konusu üzerinde kısaca durmak gerekir. Bilginin başlıca beş kaynağı vardır: (1)
1. Gelenekler:
Toplumsal deneyimler sonucu ortaya çıkan ve kuşaktan kuşağa aktarılan gelenekler önemli bilgi kaynaklarıdır. En yaygın kullanılan kaynaklardan birisidir. Bizden önceki kuşakların benzer durumlardaki uygulamaları, buldukları çözüm yolları bazı durumlarda hiçbir değer taşımasa da bazıları önemli bir bilgi kaynağı olabilir. Örneğin; yüksek ateş ve huzursuzluğu olan bir çocuğa “nazar değmiş” düşüncesi ile kurşun döktürmek geleneğe dayanan bir bilgi olup hiç bir bilimsel değeri yoktur. Öte yandan yeni doğum yapan bir kadına “kırkı çıkana kadar” komşuları tarafından getirilen “lohusalık şerbeti” benzeri yiyecekler yararlı ve bilimsel açıdan değerli bilgidir. Gelenekleri saygı ile karşılamalı, bu kaynaktan gelen bilgileri körü körüne kabullenmek ya da yoksaymak yerine bilimsel yöntem süzgecinden geçirdikten sonra değerine karar vermelidir. Akupunktür, bitkisel tıp gibi geleneksel tedavi yöntemlerinin gelişmesi bu tür bilgi sayesinde olmuştur. Bu tür bilgi, bilimsel değeri olmayan ilkel bazı uygulamaların yanında çok değerli uygulamaları da içerebilmektedir. O nedenle yok sayılması doğru değildir. Aksine, bilimsel yöntemlerle sınanması ve değerli olanların bilime kazandırılması sağlanmalıdır.
2. Otoriteler:
Uzman kişilerden görüş alınması, bazı bilgilerin savunması için o alanda otorite sayılan isimlerin kaynak olarak gösterilmesi, ya da egemen olan gücün dayattığı bilgilere bağlı kalınması gibi yöntemlerle bilgiye ulaşılabilmektedir. Öğretmenler, kitaplar, aile büyükleri, din büyükleri, toplum önderleri
BÖLÜM 1 Kanıta Dayalı Sağlık Hizmetleri: Veri, Enformasyon, Bilgi
3
de bu anlamda bilgi kaynağıdırlar ve onlardan elde edilen bilgiler çoğu zaman sorgulamaya gerek duymadan doğru kabul edilir ve kullanılır.
3. Deneme-yanılma:
Tüm insanların her dönemde ama özellikle bebeklik ve çocukluk çağlarında yararlandığı önemli bir kaynaktır. Hayata ilişkin ilk bilgileri deneme-yanılma ile (düşe kalka) öğrenmişizdir. Denemeyanılmayı yöntem kullanmadan yapılan deneyler olarak düşünmek de mümkündür. Bu yolla üretilen ve başkaları tarafından tekrar tekrar sınanan bilgilerin doğru olma olasılıkları yüksektir. Ancak, bilimsel yönteme dayanmadıkları sürece kanıt olarak kullanılmaları doğru değildir.
4. Mantık yürütme:
Tümevarım ya da tümden gelim şeklinde mantık yürütmek sıkca başvurulan bir bilgi üretme yoludur. Genellikle başarılı bir yöntem olmakla birlikte insan sağlığı ve sosyal olayları açıklamakta çoğu zaman yetersiz kalmaktadır. Örneğin, mantık yürütme yoluyla sivrisineklerin AIDS hastalığını bulaştıracağı düşünülse de bunu destekleyen hiçbir kanıt bulunmamaktadır.
5. Bilimsel yöntem:
Herkes tarafından test edilebilecek objektif gözlemlere, yöntemlere ve olasılık hesaplarına dayanarak bilgiye ulaşma yoludur. Bu kitapta anlatılanlar ağırlıklı olarak bu yöntemle bilgi üretme yollarını açıklamaktadır. Karar verme süreci için gerekli olan “kanıtlar” aslında bilimsel yöntemlerle üretilmiş olması gereken bilgilerdir. Örneğin; bir sağlık kuruluşunun dahiliye polikliniğine gelen kişilerin yaşları, cinsiyetleri ve bulguları konusundaki gerçeklerin tümü veridir. Gelenlerde saptanan bulguların yaş gruplarına ve cinsiyetlerine göre dağılımı enformasyondur. Bulgulardan hareketle hangi yaşta ve cinsteki kişilerin ne tür hastalıklar nedeniyle hangi polikliniklere geldikleri sonucu ise, polikliniklerin hizmetini daha gerçekçi planlamak için gerekli kanıtı oluşturacak olan bilgidir. Veri toplama işlemi sağlık kuruluşlarında başlıca iki şekilde yapılır: 1. Düzenli olarak veri ve enformasyon toplayan sağlık enformasyon sistemleri ile 2. Düzenli olarak toplanmayan verilere ihtiyaç duyulduğunda zaman zaman yapılacak “Ad hocamaca özel” araştırmalar ile.
Sağlık enformasyon sistemleri Sağlık hizmeti verilen her birimde hizmet almak için başvuran kişilerin yaşı, cinsiyeti, mesleği, medeni durumu, öğrenim durumu, sağlık güvencesinin varlığı ve türü, gibi sosyodemografik özelliklerinin; yapılan tetkik ve incelemelerin, konulan tanı ve verilen tedavilerin; gelir ve giderlerin; çalışanlara ilişkin her türlü özelliklerin, elektronik veya kağıt ortamda düzenli olarak kaydedildiği enformasyon sistemleri vardır. Bu sistemlerden yararlanarak, örneğin, bir hastaneye bir yıl içerisinde en çok hangi cins, yaş ve sosyal sınıftan kişilerin ne tür yakınmalarla geldiği, ne tür tetkikler sonucunda hangi tanıları alarak nasıl tedavi gördükleri, tedavi giderlerinin hangi şekilde ödendiği gibi tanımlayıcı amaçla gerekli olan istatistikleri hesaplamak mümkündür. Bu istatistiklerden hareketle
4
SAĞLIK BİLİMLERİNDE ARAŞTIRMA VE İSTATİSTİK YÖNTEMLER
verilen, sunulan hizmetlerin kalitesini ve etkinliğini, sağlık hizmetini alanların profilini, talep edilen hizmetlerin türünü çıkarmak, işletmenin gelir-gider durumunu belirlemek, hem o zamana kadar verilen hizmetlerin bir değerlendirmesini yapmak hem de daha sonraki yatırım ve düzenlemeler için ipuçları elde etmek mümkün hale gelir.
Amaca özel araştırmalar Bazı durumlarda, özellikle yeni yapılacak düzenlemeler için, düzenli veri toplayan sistemlerin toplamadığı ilave verilere de gerek duyulabilir. Örneğin, polikliniklerde muayene için bekleme süresini azaltmak ve hasta memnuniyetini arttırmak amacıyla randevu sistemine geçen bir sağlık kuruluşunda uygulama öncesi ve sonrası bekleme sürelerinin, hasta memnuniyet oranlarının hesaplanması, karşılaştırılması, aradaki farkın değerlendirilerek yorumlanması için bu amaçlara özel araştırma ve istatistiksel değerlendirme yöntemlerine gerek vardır. Ya da acil servise gelenlere hızlı hizmet verilebilmesi amacıyla acil vakalar için renk kodu uygulaması yapılsa ve örneğin kırmızı kodlu vakalara birinci öncelik, sarı vakalara ikinci öncelik, beyaz vakalara da üçüncü öncelik verilse ve bu uygulamanın acil vakalara müdahele süresi, vaka iyileşme ve ölüm hızları, komplikasyon oranlarını etkileyip etkilemediği öğrenilmek istenilse gene ad hoc araştırma ve istatistiksel değerlendirme yöntemlerine gerek vardır. Mesleği ister hekimlik, hemşirelik, fizyoterapistlik, diyetisyenlik, isterse yöneticilik olsun, her çağdaş sağlık sektörü çalışanının, yöneticisinin ellerinin altında bulunan sağlık enformasyon sistemlerinden yeterince yararlanabilmek ve gerektiğinde yeni bilgilere ulaşmayı sağlayacak araştırmalar planlayabilmek, planlatabilmek için istatistik ve araştırma yöntemleri konusunda bilgi ya da fikir sahibi olması gerekmektedir. Kaynaklar 1. Portney LG, Watkins MP. Foundations of clinical research: Applications to Practice (3rd edition). Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall; 2009.
BÖLÜM
2
ARAŞTIRMA TÜRLERİ VE YÖNTEMLERİ
Sağlık bilimleri alanında yapılan bilimsel araştırma türleri için çeşitli sınıflamalar bulunmaktadır. Bunlar arasında en kapsamlı olanı Tablo 2.1’de verilmiştir.
TABLO 2.1. Sağlıkla ilgili araştırmaların sınıflandırılması 1. Gözlemsel Araştırmalar a. Vaka Takdimleri veya Vaka Serileri b. Ekolojik Araştırmalar c. Kesitsel Araştırmalar – Tanı koyma amaçlı – Farklı yöntemleri değerlendirme amaçlı – Norm belirleme amaçlı – Tarama amaçlı d. Vaka-Kontrol Araştırmaları – Toplum temelli vaka-kontrol araştırmaları – İçiçe geçmiş vaka-kontrol araştırmaları – Vaka-kohort araştırmaları – Çapraz vaka-kontrol araştırmaları e. Kohort Araştırmaları – Prospektif kohort araştırmaları – Sonuç değerlendirme araştırmaları • Fonksiyonel durum • Yaşam kalitesi • Hasta memnuniyeti • Ekonomik analizler – Retrospektif kohort araştırmaları 2. Deneysel Araştırmalar a. Klinik deneyler – Paralel veya eşzamanlı kontrollü deneyler – Çapraz kontrollü deneyler – Dış kontrollü deneyler – Kontrolsüz Deneyler b. Doğal deneyler/Toplum deneyleri
5
BÖLÜM 6 Olasılık Kavramı ve Dağılımları
m – 3σ
m − 2σ
m – 1σ
m
m + 1σ
m + 2σ
m + 3σ
57
X
%68.27 %95.45 %99.73
GRAFİK 6.1. Standart normal dağılım
Santral Limit Teoremi:
Standart Normal Dağılım adı verilen bu dağılımın bizim için önem taşıyan özellikleri şu şekilde Örneklem da��l�m�n�n temellerini istatisti�in önemli teoremlerinden birisi olan Santral Limit özetlenebilir: Teoremi olu�turmaktad�r. Bu teoremin önemli baz� özellikleri �u �ekildedir: Ortalamas� (örnek , standart sapmas� olan bir evrenden olas�l�kl� yöntemlerden birisi – Dağılımdaki tüm değerlerin ortalamalarının) kullan�larak n büyüklü�ünde çok say�da örnek al�nd���nda örneklerin ortalamalar�n�n da��l�m� �öyle %68.27’si Evrenolur: ortalaması (m) ± 1 standart sapma (s) sınırları arasında -Örneklem da��l�m�n�n ortalamas�, yani al�nan örneklerin ortalamalar�n�n ortalamas� evren %95.45’i Evren ortalamas�na ortalaması (m) ± 2 standart sapma (s) sınırları arasında e�ittir. -Örneklem(m) da��l�m�ndaki standartsapma sapma = / n ortalaman�n standart hatas� ad�n� al�r. %99.73’ü Evren ortalaması ± 3 standart (s) olup sınırları arasındadır.
Santral Limit Teoremi 57
Örneklem dağılımının temellerini istatistiğin önemli teoremlerinden birisi olan Santral Limit Teoremi oluşturmaktadır. Bu teoremin önemli bazı özellikleri şu şekildedir: Ortalaması m, standart sapması s olan bir evrenden olasılıklı yöntemlerden birisi kullanılarak n büyüklüğünde çok sayıda örnek alındığında örneklerin ortalamalarının dağılımı şöyle olur: – Örneklem dağılımının ortalaması, yani alınan örneklerin ortalamalarının ortalaması evren ortalamasına eşittir. – Örneklem dağılımındaki standart sapma =s/√n olup ortalamanın standart hatası adını alır. – Eğer incelenen özelliğin evrendeki dağılımı normal ise örneklerin ortalamalarının dağılımı da normaldir. – Eğer alınan örnek yeterince büyük ise, evrendeki dağılımın şeklinden bağımsız olarak ortalamaların örneklem dağılımı normal olur. “Yeterince büyük” için genel kabul gören sayı 30’dur. Yani, incelenen özellik, değişken, evrende nasıl dağılırsa dağılsın, seçilen örnek eğer 30 ve daha büyük
58
SAĞLIK BİLİMLERİNDE ARAŞTIRMA VE İSTATİSTİK YÖNTEMLER
sayıda ise örneklem dağılımı normal dağılıma uyar. Eğer incelenen özellik evrende zaten normal dağılıyor ise bu durumda örnek büyüklüğü küçük bile olsa örneklem dağılımı normal dağılıma uyacaktır. Olasılık hesapları ve normal dağılım kavramlarının pratikteki yararını, önemini anlamak için yazı-tura örneği klasikleşmiş bir örnektir: • Normal bir paranın havaya atıldığında yazı veya tura gelme olasılığı eşit olup %50’dir. Bu gerçekten hareketle normal bir para arka arkaya 10 kez havaya atıldığında en yüksek olasılıkla 5 yazı, 5 tura gelmesi beklenir. Para on atışın onunda da yazı, onunda da tura gelebileceği gibi, 1 yazı-9 tura, 2 yazı-8 tura,.... gibi çeşitli şekillerde de gelebilir. Para binlerce kez atılsa ve sonuçları kaydedilse, arka arkaya 10 atış için söz konusu olan seçeneklerin olasılığı Tablo 6.1’de gösterildiği şekilde bulunur. TABLO 6.1. Normal bir madeni paranın 10 atışında gelebilecek yazı-tura’ların olasılık dağılımı Sonuç (Yazı: Y, Tura: T)
Olasılık
0Y-10T
0.00098
1Y-9T
0.0098
2Y-8T
0.0439
3Y-7T
0.1172
4Y-6T
0.2051
5Y-5T
0.2460
6Y-4T
0.2051
7Y-3T
0.1172
8Y-2T
0.0439
9Y-1T
0.0098
10Y-0T
0.00098
Tablo 6.1’den de anlaşılacağı gibi normal bir paranın arka arkaya 10 atışta 10 kez tura gelme olasılığı 0.00098’dir. On atışta en yüksek olasılıkla 5 yazı, 5 tura gelecektir ve bunun olasılığı da 0.2460’tır. Tabloya dikkat edilirse diğer olasılıklar 5Y-5T’nın iki yanında azalan biçimde simetrik olarak dağılmaktadır. Bu dağılım grafiğe döküldüğünde çan eğrisi şeklinde normal dağılım elde edilir. Paralar evreni için bu olasılık dağılımı elimizde olduktan sonra örneğin on kez atılan bir paranın 9Y-1T gelme olasılığının 0.0098 olduğunu söyleme imkanına sahip oluruz. Eğer elimizdeki paranın normal bir para mı yoksa hileli bir para mı olduğunu test etme amacıyla bu atışları yapmış isek, olasılığı bu kadar düşük olan bir durumun ilk seferde bizim karşımıza çıkmış olması nedeniyle aksi gösterilene kadar elimizdeki paranın normal olmayan bir para olduğu sonucuna varırız. İstatistiksel anlamda normalin sınırları ±2SD, yani tüm olasılıkların yaklaşık %95’inin yer aldığı sınırlardır. Bu sınır bizim örneğimiz için 9-1, 10-0, 1-9 ve 0-10 şeklindeki seçeneklerdir.