คณิ ตศาสตร์เพิม เติม ชั นมัธยมศึกษาปี ที 6
เล่ม 1
สารบัญ หนา บทที่ 1 การวิเคราะหขอมูลเบื้องตน ผลการเรียนรูที่คาดหวัง ขอเสนอแนะ กิจกรรมเสนอแนะ ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท เฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจําบท เฉลยแบบฝกหัด 1.1 (ก) เฉลยแบบฝกหัด 1.1 (ข) เฉลยแบบฝกหัด 1.1 (ค) เฉลยแบบฝกหัดระคน เฉลยแบบฝกหัด 1.2 เฉลยแบบฝกหัด 1.3 (ก) เฉลยแบบฝกหัด 1.3 (ข) เฉลยแบบฝกหัด 1.3 (ค)
1 1 13 20 25 37 41 42 43 46 54 58 61
บทที่ 2 การแจกแจงปกติ ผลการเรียนรูที่คาดหวัง ขอเสนอแนะ กิจกรรมเสนอแนะ ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท เฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจําบท เฉลยแบบฝกหัด 2.1 เฉลยแบบฝกหัด 2.2
67 67 70 71 73 74 77
หนา
บทที่ 3 ความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวางขอมูล ผลการเรียนรูที่คาดหวัง ขอเสนอแนะ กิจกรรมเสนอแนะ ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท เฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจําบท เฉลยแบบฝกหัด 3.4
92 92 93 102 105 107
บรรณานุกรม
122
37
เฉลยแบบฝกหัด 1.1 (ก) 10
1. (1) ∑ c
=
i =1
5
i =1
i
− 2)3
3
(3) ∑ (f x i
4
(4) ∑ (x i =1
∑2 i =1
(2) ∑ (x
i =1
10
i
i
+ c)
= =
10(2) 20
=
(1 – 2)3 + (3 – 2)3 + (4 – 2)3 + (7 – 2)3 + (0 – 2)3
= =
–1 + 1 + 8 + 125 – 8 125
=
((10 × 1) + 2) + ((15 × 3) + 2) + ((5 × 4) + 2)
= =
12 + 47 + 22 81
− 3)(x i + 3)
4
∑ (x
=
i =1
4
i =1
5
2. ∑ (5yi − 50)
i
− 3)(x i + 3)
=
i =1
∑ (yi − 3)2
=
(1 – 3)(1 + 3) + (3 – 3)(3 + 3) + (4 – 3)(4 + 3)
= =
+ (7 – 3)(7 + 3) –8 + 0 + 7 + 40 39
5
5∑ yi − 50(5) i =1
= = 5
− 9)
(12 – 9) + (32 – 9) + (42 – 9) + (72 – 9) –8 + 0 + 7 + 40 39
= = = หรือ ∑ (x
2 i
=
i =1
5(10) – 250 –200 5
∑ (y i =1
= = =
2 i
− 6yi + 9)
5
5
i =1
i =1
∑ yi2 − 6∑ yi + 9(5) 30 – 6(10) + 45 15
38 4
3. ∑ (x i + 1)(4yi − 3)
4
∑ (4x y
=
i =1
i
i =1 4
− 3x i + 4yi − 3)
i
i =1
= = 4. (1) (2)
4
4
i =1
i =1
4∑ x i yi − 3∑ x i + 4∑ yi − 3(4)
=
4(4) – 3(5) + 4(–2) – 12 –19 10
2∑ x i2
=
2 2x12 + 2x 22 + " + 2x10
i =1
(x1 − X)f1 + (x 2 − X)f 2 + " + (x k − X)f k
=
1 {(y1 − Y) 2 f1 + (y 2 − Y) 2 f 2 + " + (y k − Y) 2 f k } n
=
(3) N
5. ∑ (x i − 3yi + 2zi + 1)
k
∑ (x i =1
i
1 k ∑ (yi − Y)2 fi n i =1
=
(x1 – 3y1 + 2z1 + 1) + (x2 – 3y2 + 2z2 + 1)
=
+ ... + (xN – 3yN + 2zN + 1) (x1 + x2 + ... + xN) – 3(y1 + y2 + ... + yN) + 2(z1+z2 + ... + zN) + (1 + 1 + ... + 1)
i =1
− X)f i
มี 1 อยู N ตัว
N
∑x
=
i =1
ดังนั้น
N
∑ (x i =1
(1)
คาเฉลี่ยเลขคณิต
i
i =1
N
∑x i =1
จุดกึ่งกลาง 70 95 µ
= =
N
− 3∑ yi + 2∑ z i + N
=
i − 3y i + 2z i + 1)
6. จากขอมูลทําตารางไดดังนี้ ชวงคะแนน 60 – 80 90 – 100
N
i =1
N
N
i =1
i =1
i − 3∑ y i + 2∑ z i + N
จํานวนนักเรียน 40 10 70(40) + 95(10) 40 + 10 2800 + 950 50
= 75 ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบวิชาสถิติทั้ง 50 คน เทากับ 75 คะแนน
39 (2)
คาเฉลี่ยเลขคณิต
µ
= =
75(40) + 95(10) 40 + 10 3000 + 950 50
= 79 ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตที่คํานวณได (79 คะแนน) จะไมเทากับคาเฉลี่ยเลขคณิต จากขอ (1) (75 คะแนน) (3)
จากคาเฉลี่ยเลขคณิตในขอ (1) เทากับ 75 คะแนน ดังนั้น คะแนนสอบวิชาสถิติรวม 50 คน เทากับ 50 × 75 = 3,750 คะแนน
7. คาเฉลี่ยเลขคณิตรวม
µ
= = =
40(165) + 45(168) + 50(167) + 45(164) 40 + 45 + 50 + 45 6600 + 7560 + 8350 + 7380 180 29890 180
= 166.06 ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตของสวนสูงของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5 ทั้งหมดเทากับ 166.06 เซนติเมตร 8. กําหนดให จะได ดังนั้น
S Si S
= = =
10 + 1.4B 10 + 1.4Bi 10 + 1.4B
B
=
80 + 85 + 70 + 80 + 75 + 78 + 82 + 86 + 79 + 69 10 784 10
=
เมื่อ
i คือ 1, 2, ..., 10
= 78.4 จะได S = 10 + 1.4(78.4) = 119.76 นั่นคือ ราคาขายเฉลี่ยของสินคาชนิดนี้ เทากับ 119.76 บาท 9. ราคาเฉลี่ยของไขไก
µ
= =
50(2.30) + 30(2.00) + 20(1.70) 50 + 30 + 20 209 100
= 2.09 นั่นคือ เฉลี่ยแลวธนากรซื้อไขไกมาฟองละ 2.09 บาท
40 10. (1) จะแสดงวา เพราะวา
N
∑x =
Nµ
∑x =
x1 + x2 + x3 + ... + xN
i =1 N i =1
i
i
= = = (2) จะแสดงวา เพราะวา
N
∑ (x
i
− µ) = 0
∑ (x
i
− µ)
i =1 N i =1
N (x1 + x2 + x3 + ... + xN) N ⎛ N ⎞ ⎜ ∑ xi ⎟ N ⎜ i =1 ⎟ ⎜ N ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
Nµ
=
(x1 − µ) + (x 2 − µ) + (x 3 − µ) + " + (x N − µ)
=
(x1 + x2 + x3 + ... + xN) – (µ + µ + µ + " + µ) มี µ อยู N ตัว N
=
∑x i =1
= =
มี xmin อยู N ตัว
Nxmin <
− Nµ
Nµ – Nµ 0
(4) จะแสดงวา xmin < µ < xmax เนื่องจาก xmin + xmin + ... + xmin
จะได
i
<
x1 + x2 + x3 + ... + xN
<
xmax + xmax + ... + xmax
N
∑x < i =1
i
มี xmax อยู N ตัว Nxmax
N
Nx min N
<
xmin
<
∑x i =1
N
µ
i
<
Nx max N
<
xmax
41 (5) จะแสดงวา เนื่องจาก ดังนั้น
= =
axi + b
∑Y =
∑ (ax
Y
Yi
aX + b
n
n
i
i =1
i =1 n
=
i
+ b)
a ∑ x i + nb i =1
n
∑y
จะได ดังนั้น
i =1
n
i
a∑ xi
=
n
i =1
n
=
Y
nb n
+
aX + b
เฉลยแบบฝกหัด 1.1 (ข) 1. เรียงขอมูลจากนอยไปมาก จะได 11 11 15 16 18 22 22 22 28 36 มัธยฐานอยูตําแหนงที่
10 + 1 = 5.5 2
ดังนั้น มัธยฐานของขอมูลชุดนี้เทากับ
18 + 22 = 20 2
บาท
นักเรียนที่ตองจายคาใชจายรายวันเกินกวามัธยฐานมีอยู 5 คน 2. เรียงขอมูลจากนอยไปมาก จะได 44.3 466.4 974.0 1,080.8 มัธยฐานอยูตําแหนงที่
7 +1 2
1,724.4
2,148.8 5,270.9
=4
ดังนั้น มัธยฐานของจํานวนผูมีงานทําจําแนกตามประเภทอุตสาหกรรมในป พ.ศ. 2546 เทากับ 1,080.8 พันคน หรือ 1,080,800 คน 3. x1, x2, x3, ..., xN เปนขอมูลที่เรียงจากนอยไปหามาก หรือมากไปหานอย (1) เมื่อ N เปนจํานวนคู ขอมูลที่อยูตรงกลางจะมี 2 จํานวน คือ x กับ x N 2
ดังนั้น มัธยฐาน คือ
xN + xN 2
2
+1
2
(2) เมื่อ N เปนจํานวนคี่ ขอมูลที่อยูตรงกลางจะมี 1 จํานวน คือ
xN 2
ดังนั้น มัธยฐาน คือ
N +1 2
xN 2
+1
+1
42
เฉลยแบบฝกหัด 1.1 (ค) 1. อายุของเด็ก 15 คน เรียงลําดับจากนอยไปมากไดดังนี้ 5 5 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9 จะได ฐานนิยมของอายุเด็ก 15 คน คือ 7 ป 2. จํานวนไขไกที่ใชบริโภคตอเดือนเรียงลําดับจากนอยไปมากดังนี้ 32 35 38 44 44 46 47 48 48 48 48 49 51 52 54 60 60 60 60 65 จะได ฐานนิยมของจํานวนไขไกที่แตละครอบครัวบริโภคตอเดือนคือ 48 และ 60 ฟอง คากึ่งกลางพิสัยของจํานวนไขไกที่แตละครอบครัวบริโภคตอเดือนคือ 48.5 ฟอง 3. เงินเดือนของพนักงาน 7 คน เรียงลําดับจากนอยไปมากดังนี้ 3400 3450 3500 3500 3500 3600 21000 คาเฉลี่ยเลขคณิตของเงินเดือนเทากับ
3400 + 3450 + 3(3500) + 3600 + 21000 7
= 5992.86
จะได มัธยฐานของเงินเดือนพนักงาน 7 คน คือ 3500 บาท ฐานนิยมของเงินเดือนพนักงาน 7 คน คือ 3500 บาท มัธยฐานและฐานนิยมจะเปนตัวแทนของเงินเดือนของพนักงาน 7 คน ไดดีกวาคาเฉลี่ยเลขคณิตเพราะ มี ขอมูลที่มีคา สูง ผิด ปกติอยูคือ 21000 ถาใชคาเฉลี่ย เลขคณิตซึ่งคือ 5992.86 บาท จะไมใชตัวแทนที่ดี เนือ่ งจากพนักงาน 6 คนจาก 7 คน เงินเดือนนอยกวาคานี้ นัน่ คือมีขอ มูลผิดปกติทาํ ใหเกิดผลกระทบตอคา เฉลีย่ เลขคณิตแตไมมีผลกระทบตอคามัธยฐานหรือฐานนิยม 4. เนื่องจาก ระยะทาง = เวลา × ความเร็ว ระยะทาง ความเร็ว ดังนั้น เวลาที่ใชในการเดินทางระยะ d1, d2 และ d3 เทากับ จะได
เวลา
=
เนื่องจาก อัตราเร็วเฉลี่ย
=
จะได อัตราเร็วเฉลี่ย (v)
=
ระยะทางทั้งหมด เวลาที่ใชทั้งหมด
d1 d 2 , v2 v2
และ
d3 v3
ตามลําดับ
d1 + d 2 + d 3 d1 d 2 d 3 + + v1 v 2 v3
ซึ่งเปนคาเฉลี่ยฮารมอนิกถวงน้ําหนัก ถา d1 = 2500, d2 = 1200, d3 = 500,
v1 = 500,
v2 = 400 และ v3 = 250
43 จะได
v
=
v
=
2500 + 1200 + 500 2500 1200 500 + + 500 400 250 4200 10
= 420 ดังนั้น v เทากับ 420 ไมลตอชั่วโมง 5. (1) (2) (3) (4)
2 เพราะคาเฉลีย่ เลขคณิตไมใชคา กลางทีแ่ บงจํานวนขอมูลทัง้ หมดออกเปนสองสวนแตเปนมัธยฐาน 3 3 2 ฐานนิยมของขอมูลอาจมีมากกวา 1 คาก็ได กรณีที่ขอมูลชุดใดมีฐานนิยมมากกวา 2 คา อาจถือไดวาขอมูลชุดนั้นไมมีฐานนิยมได หรืออาจหาตัวแปรอื่นเชน เพศ มาแบงขอมูลที่มี ฐานนิยมมากกวาสองคาออกใหเห็นฐานนิยมเพียงคาเดียวภายใตแตละเพศหรือแตละกลุม (5) 2 ไมจําเปนขึ้นอยูกับการกระจายของขอมูลชุดนั้น ๆ
6. รายการที่เสียหาย ที่ดิน บาน/อาคารสิ่งปลูกสราง อุปกรณ ยานพาหนะ อื่นๆ
คาเฉลี่ยเลขคณิตของความเสียหาย(ลานบาท) 43.75 128.8 62.14 50.67 38.45
7. เราไมสามารถหาคากลางโดยใชมัธยฐาน ฐานนิยม หรือคากึ่งกลางพิสัยไดเนื่องจาก วัตถุประสงค ของการนําคากลางของขอมูลในตารางมาใชเพื่อตองการทราบขอมูลเกี่ยวกับมูลคาความเสียหายโดย ประมาณ ซึ่งถาใชคามัธยฐาน ฐานนิยม หรือคากึ่งกลางพิสัยอาจทําใหไดคากลางที่มีคาต่ําหรือสูง เกินไป
เฉลยแบบฝกหัดระคน 1. จุดเดนที่แตกตางระหวางการใชคาเฉลี่ยเลขคณิต และมัธยฐาน มีดังนี้ 1.1 คาเฉลี่ยเลขคณิตเมื่อคูณกับจํานวนขอมูลทั้งหมด จะเทากับผลรวมของขอมูลทุก ๆ คาเสมอ แตถาใชมัธยฐานคูณกับจํานวนขอมูลทั้งหมดผลลัพธอาจจะเทากับหรือไมเทากับผลรวมของ ขอมูลทุก ๆ คาก็ได
44 1.2 ผลรวมของผลตางระหวางแตละคาของขอมูลกับคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุดนั้น ๆ จะเทากับ 0 เสมอ แตผลรวมของผลตางระหวางแตละคาของขอมูลกับมัธยฐานของ ขอมูลชุดนั้น ๆ จะเทากับ 0 หรือไมเทากับ 0 ก็ได 1.3 ผลรวมของผลตางกําลังสองระหวางแตละคาของขอมูลกับคาเฉลี่ยเลขคณิตจะมีคานอยที่สุด แตผลรวมของคาสัมบูรณของผลตางระหวางขอมูลแตละคากับมัธยฐานของขอมูลชุดนั้นจะมีคา นอยที่สุด 1.4 คาเฉลี่ยเลขคณิตคํานวณจากขอมูลทุกคา แตมัธยฐานคํานวณจากคาที่อยูในตําแหนงกึ่งกลาง ของขอมูลที่เรียงลําดับไวจึงไมถูกกระทบจากคาของขอมูลที่สูงหรือต่ํากวาปกติ 2. ขอมูลที่มีการแจกแจงแบบสมมาตร คาเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐานและฐานนิยม จะมีคาเทากัน ดังรูป
คาเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน ฐานนิยม ขอมูลที่มีการแจกแจงแบบเบ คาเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐานและฐานนิยม จะมีคาไมเทากัน ซึ่ง แยกได 2 กรณี คือ กรณีที่ 1 แจกแจงแบบเบซาย (เบทางลบ) จะได คาเฉลี่ยเลขคณิต < มัธยฐาน < ฐานนิยม ดังรูป
คาเฉลี่ย ฐานนิยม มัธยฐาน กรณีที่ 2 แจกแจงแบบเบขวา (เบทางบวก) จะได ฐานนิยม < มัธยฐาน < คาเฉลี่ยเลขคณิต ดังรูป
ฐานนิยม คาเฉลี่ย มัธยฐาน
45 3. สําหรับขอมูลตัวอยางซึ่งไมมีคาผิดปกติ และเปนตัวแทนของประชากร ตัวอยางที่นํามาศึกษาบางครั้ง อาจมีจํานวนนอย การวิเคราะหขอมูลจึงควรพิจารณาเลือกการใชคากลางใหเหมาะสมดังนี้ 1. ในกรณีที่ขอมูลมีจํานวนนอย ไมควรใชฐานนิยม ฐานนิยมอาจมีคาแตกตางกันมากระหวาง ขอมูลชุดหนึ่งกับขอมูลอีกชุดหนึ่งที่มีจํานวนเทากัน 2. ในกรณีที่ขอมูลสามารถเรียงลําดับไดและเปนขอมูลตอเนื่องดวยควรใชคาเฉลี่ยเลขคณิตจะ เหมาะสมกวาใชมัธยฐานเปนตัวแทนของคากลาง 3. ในกรณีที่ขอมูลมีการแจกแจงความถี่ที่มีความกวางของแตละอันตรภาคชั้นไมเทากัน ควรใช มัธยฐานเปนตัวแทนของคากลาง 4. ในกรณีที่ตองการหาคากลางเพื่อตองนําไปใชในการคํานวณทางสถิติขั้นสูงตอไป ควรใช คาเฉลี่ยเลขคณิตเปนตัวแทนของคากลางของขอมูลนั้น ๆ เพราะคาเฉลี่ยเลขคณิตเปนคากลาง ที่ไดจากการนําทุก ๆ คาของขอมูลมาเฉลี่ย 5. (1) คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ
1+ 2 + 3 3
= 2
1+ 2 + 6 3
= 3
1+ 2 + 9 3
= 4
มัธยฐาน คือ 2 (2) คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ มัธยฐาน คือ 2 (3) คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ มัธยฐาน คือ 2 (4) คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ
1 + 2 + 297 3
= 100
1+ 2 + 3 + 4 4
= 2.5
มัธยฐาน คือ 2 (5) คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ มัธยฐาน คือ
2+3 2
(6) คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ มัธยฐาน คือ 3
= 2.5 1+ 2 + 3 + 4 + 5 5
= 3
46 (7) คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ มัธยฐาน คือ
3+ 4 2
(8) คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ
1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 6
= 3.5
= 3.5 1 + 2 + " + 98 + 99 99
=
4950 99
= 50
มัธยฐาน คือ 50 6. จากผลลัพธที่ไดจากขอ 5 เมื่อเปรียบเทียบคาเฉลี่ยเลขคณิตและมัธยฐาน จะไดวา (1), (5), (6), (7) และ (8) ไดคาเฉลี่ยเลขคณิตและมัธยฐานเทากัน (2), (3) และ (4) ไดคาเฉลี่ยเลขคณิตและมัธยฐานไมเทากัน จากการสังเกตผลลัพธจาก (4) และ (8) จะเห็นวา (4) ไดคาเฉลี่ยเลขคณิตและมัธยฐานไมเทากัน แต (8) ไดคาเฉลี่ยเลขคณิตและมัธยฐานเทากัน เพราะ (4) มีขอมูล 247 ที่สูงผิดปกติทําใหคาเฉลี่ย เลขคณิตและมัธยฐานแตกตางกันมาก สวน (8) ไมมีขอมูลที่ผิดปกติและความแตกตางของขอมูล แตละหนวยมีคาเทากัน ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตจึงมีคาเทากับมัธยฐาน 7. จากขอมูลเปนปริมาณรอยละของเมทิลแอลกอฮอล ซึ่งเปนขอมูลเชิงปริมาณและควรใชคาเฉลี่ย เลขคณิตเปนคากลางของขอมูล ซึ่งคํานวณไดผลดังตาราง หองปฏิบัติการ LAB 1 LAB 2 LAB 3 LAB 4
คาเฉลี่ยเลขคณิต 85.06 84.72 84.77 84.24
จากคากลางที่ไดจะเห็นวา คากลางของขอมูลในหองปฏิบัติการ LAB 2 และ LAB 3 มีคาใกลเคียงกัน
เฉลยแบบฝกหัด 1.2 1. คะแนนสอบเรียงลําดับจากนอยไปมาก ดังนี้ 43 45 48 49 50 55 56 56 58 60 65 66 67 69 74 80 80 82 84 85
51 60 75 92
53 62 76 94
54 63 76 96
54 65 77 97
54 65 78 98
47 (1) คะแนนสอบที่มีนักเรียนประมาณครึ่งหนึ่งของชั้นไดคะแนนต่ํากวาคือ คะแนนที่ Q2 เนื่องจาก Q2 อยูในตําแหนงที่ นั่นคือ Q2 =
65 + 65 2
2(40 + 1) 4
= 20.5
= 65 คะแนน
ดังนั้น นักเรียนจะตองสอบไดคะแนน 65 คะแนน จึงจะมีนักเรียนประมาณครึ่งหนึ่ง ของชั้นไดคะแนนต่ํากวา (2) คะแนนสอบที่มีนักเรียนประมาณหนึ่งในสี่ของชั้นไดคะแนนสูงกวาคือ คะแนนที่ Q3 เนื่องจาก Q3 อยูในตําแหนงที่
3(40 + 1) 4
= 30.75
ดังนั้น Q3 มีคาอยูระหวาง 78 กับ 78 นั่นคือ Q3 = 78 คะแนน ดังนั้น นักเรียนจะตองสอบไดคะแนน 78 คะแนน จึงจะมีนักเรียนประมาณหนึ่งในสี่ ของชั้นไดคะแนนสูงกวา (3) คะแนนสอบที่มีนักเรียนสอบไดนอยกวาอยู 6 ใน 10 คือ คะแนนที่ D6 เนื่องจาก D6 อยูในตําแหนงที่
6 (40 + 1) 10
= 24.6
ดังนั้น D6 มีคาอยูระหวาง 69 กับ 74 ตําแหนงตางกัน 1 คะแนนเพิ่มขึ้น 5 คะแนน ตําแหนงตางกัน 0.6 คะแนนเพิ่มขึ้น 5 × 0.6 = 3 คะแนน นั่นคือ D6 = 69 + 3 = 72 คะแนน ดังนั้น นักเรียนจะตองสอบไดคะแนน 72 คะแนน จึงจะมีผูที่สอบไดนอยกวา 6 ใน 10 2. เวลา (นาที) ที่ใชในการทําขอสอบเรียงลําดับจากนอยไปมาก ดังนี้ 30 35 39 40 42 43 44 45 49 50 51 52 53 55 57 58 61 62 63 65 69 70 72 73
46 58 75
48 60 80
(1) เวลาในการทําขอสอบที่มีจํานวนนักเรียนซึ่งใชเวลานอยกวาอยูประมาณรอยละ 55 คือ เวลาที่ P55 เนื่องจาก P55 อยูในตําแหนงที่
55 (30 + 1) 100
ดังนั้น P55 มีคาอยูระหวาง 57 กับ 58 ตําแหนงตางกัน 1 เวลาเพิ่มขึ้น 1 นาที ตําแหนงตางกัน 0.05 เวลาเพิ่มขึ้น 0.05 นาที
= 17.05
48 นั่นคือ P55 = 57 + 0.05 = 57.05 นาที ดังนั้น สมชายใชเวลาในการทําขอสอบ 57.05 นาที จึงจะมีนักเรียนซึ่งใชเวลา ในการทําขอสอบนอยกวาประมาณรอยละ 68 เวลาในการทําขอสอบที่มีจํานวนนักเรียนซึ่งใชเวลานอยกวาอยูประมาณรอยละ 68 คือ เวลาที่ P68 อยูในตําแหนงที่
68 (30 + 1) 100
= 21.08
ดังนั้น P68 มีคาอยูระหวาง 61 กับ 62 ตําแหนงตางกัน 1 เวลาเพิ่มขึ้น 1 นาที ตําแหนงตางกัน 0.08 เวลาเพิ่มขึ้น 0.08 นาที นั่นคือ P68 = 61 + 0.08 = 61.08 นาที จึงจะมีนักเรียนซึ่งใชเวลาในการทําขอสอบ นอยกวาประมาณรอยละ 68 (2) เวลาในการทําขอสอบที่มีจํานวนนักเรียนใชเวลานอยกวาอยู 8 ใน 10 คือ D8 เนื่องจาก D8 อยูในตําแหนงที่
8 (30 + 1) 10
= 24.8
ดังนั้น D8 มีคาอยูระหวาง 65 กับ 69 ตําแหนงตางกัน 1 เวลาเพิ่มขึ้น 4 นาที ตําแหนงตางกัน 0.8 เวลาเพิ่มขึ้น 0.8 × 4 = 3.2 นาที นั่นคือ D8 = 65 + 3.2 = 68.2 นาที ดังนั้น ดวงจันทรใชเวลาในการทําขอสอบ 68.2 นาที (3) นักเรียนที่ใชเวลาในการทําขอสอบมากกวานักเรียนที่เขาแขงขันประมาณ 3 ใน 4 คือ นักเรียนที่ใชเวลาในการทําขอสอบมากกวาเวลาที่ใช Q1 เนื่องจาก Q1 อยูในตําแหนงที่
40 + 1 4
= 10.25
ดังนั้น Q1 มีคาอยูระหวาง 48 กับ 49 นาที ตําแหนงตางกัน 1 เวลาเพิ่มขึ้น 1 นาที ตําแหนงตางกัน 0.25 เวลาเพิ่มขึ้น 0.25 นาที นั่นคือ Q1 = 48 + 0.25 = 48.25 นาที ดังนั้น นักเรียนที่ไดรับรางวัลเปนกลองดินสอใชเวลาในการทําขอสอบนอยที่สุด 48.25 นาที
49 3. จํานวนนักเรียนจําแนกตามคะแนนสอบ ชวงคะแนน 55 – 64 65 – 74 75 – 84 85 – 94 95 – 104 105 – 114 115 – 124 125 – 134 135 – 144
ความถี่ 3 21 78 182 305 209 81 21 5
(1) ตําแหนงที่ของ Q2 เทากับ
ความถี่สะสม 3 24 102 284 589 798 879 900 905 2 (905) 4
= 452.50
ตําแหนงที่ของ Q2 อยูระหวางความถี่สะสม 284 กับ 589 ในอันตรภาคชั้น 85 – 94 กับ 95 – 104 ความถี่สะสมตางกัน 305 คะแนนสอบเพิ่มขึ้น 10 คะแนน ความถี่สะสมตางกัน 168.5 คะแนนสอบเพิ่มขึ้น 10 × 168.5 = 5.52 คะแนน จะได Q2 เทากับ 94.5 + 5.52 = 100.02 คะแนน ตําแหนงที่ของ D5 เทากับ 5 (905) = 452.5
305
10
ซึ่งตรงกับตําแหนงที่ของ Q2 จะได D5 = Q2 = 100.02 ตําแหนงที่ของ P50 เทากับ 50 (905) = 452.5 100
ซึ่งตรงกับตําแหนงที่ของ Q2 จะได P50 = D5 = Q2 = 100.02 คะแนน (2) ตําแหนงที่ของ Q1 เทากับ
905 4
= 226.25
ตําแหนงที่ของ Q1 อยูระหวางความถี่สะสม 102 กับ 284 ในอันตรภาคชั้น 75 – 84 กับ 85 – 94 ความถี่สะสมตางกัน 182 คะแนนสอบเพิ่มขึ้น 10 คะแนน ความถี่สะสมตางกัน 124.25 คะแนนสอบเพิ่มขึ้น 10 × 124.25 = 6.83 คะแนน จะได Q1 เทากับ 84.5 + 6.83 = 91.33 คะแนน
182
50 ตําแหนงที่ของ D1 และ D3 เทากับ
905 10
= 90.5 และ
ตําแหนงที่ของ D1 อยูระหวางความถี่สะสม 24 กับ 102 ในอันตรภาคชั้น 65 – 74 กับ 75 – 84 จะได D1 เทากับ 74.5 + (10 × 66.5 ) = 83.03
3 (905) 10
= 271.5 ตามลําดับ
78
ตําแหนงที่ของ D3 อยูระหวางความถี่สะสม 102 กับ 284 ในอันตรภาคชั้น 75 – 84 กับ 85 – 94 จะได D3 เทากับ 84.5 + (10 × 169.5 ) = 93.81 182
ดังนั้น D1 + D3 = 83.03 + 93.81 = 176.84 คะแนน ตําแหนงที่ของ P25 เทากับ 25 (905) = 226.25 100
ซึ่งตรงกับตําแหนงที่ของ Q1 จะได P25 เทากับ 91.33 คะแนน นั่นคือ Q1 เทากับ P25 แต Q1 หรือ P25 ไมเทากับ D1 + D3 4. จํานวนนักเรียนจําแนกตามหองและคะแนนสอบ ชวงคะแนน จํานวนนักเรียน หอง ก. 0 1–5 1 6 – 10 0 11 – 15 3 16 – 20 2 21 – 25 2 26 – 30 5 31 – 35 4 36 – 40 6 41 – 45 7 46 – 50 3 51 – 55 4 56 – 60 2 61 – 65 0 66 – 70 1 71 – 75
ความถี่สะสม หอง ก. 0 1 1 4 6 8 13 17 23 30 33 37 39 39 40
จํานวนนักเรียน หอง ข. 1 0 1 4 0 3 4 5 5 6 4 3 3 0 1
ความถี่สะสม หอง ข. 1 1 2 6 6 9 13 18 23 29 33 36 39 39 40
จํานวนนักเรียน ทั้ง 2 หอง 1 1 1 7 2 5 9 9 11 13 7 7 5 0 2
ความถี่สะสม ทั้ง 2 หอง 1 2 3 10 12 17 26 35 46 59 66 73 78 78 80
51 25 (40) = 10 100
(1) ตําแหนงที่ของ P25 ของคะแนนสอบหอง ก เทากับ
ตําแหนงที่ของ P25 ของคะแนนสอบหอง ก อยูระหวางความถี่สะสม 8 กับ 13 ในอันตรภาคชั้น 26 – 30 กับ 31 – 35 จะได P25 ของคะแนนสอบหอง ก คือ
30.5 + (
5× 2 ) 5
= 32.5
นั่นคือ P25 ของคะแนนสอบหอง ก เทากับ 32.5 คะแนน 25 (40) 100
ตําแหนงที่ของ P25 ของคะแนนสอบหอง ข เทากับ
= 10
ตําแหนงที่ของ P25 ของคะแนนสอบหอง ข อยูระหวางความถี่สะสม 9 กับ 13 ในอันตรภาคชั้น 26 – 30 กับ 31 – 35 จะได P25 ของคะแนนสอบหอง ข คือ
30.5 + (
5 ×1 ) 4
= 31.75
นั่นคือ P25 ของคะแนนสอบหอง ข เทากับ 31.75 คะแนน ตําแหนงที่ของ P50 ของคะแนนสอบทั้งหมด เทากับ
50 (80) 100
= 40
ตําแหนงที่ของ P50 ของคะแนนสอบทั้งหมดอยูระหวางความถี่สะสม 35 กับ 46 ในอันตรภาคชั้น 36 – 40 กับ 41 – 45 จะได P50 ของคะแนนสอบทั้งหมด คือ
40.5 + (
5×5 ) 11
= 42.77
นั่นคือ P50 ของคะแนนสอบทั้งหมด เทากับ 42.77 คะแนน (2) ตําแหนงที่ของ Q3 ของคะแนนสอบหอง ก เทากับ
3 (40) = 30 4
ตําแหนงที่ของ Q3 ของคะแนนสอบหอง ก อยูตรงกับความถี่สะสม 30 พอดี ในอันตรภาคชั้น 46 – 50 จะได Q3 ของคะแนนสอบหอง ก เทากับ 50.5 คะแนน ตําแหนงที่ของ Q2 ของคะแนนสอบหอง ข เทากับ
2 (40) = 20 4
ตําแหนงที่ของ Q2 ของคะแนนสอบหอง ข อยูระหวางความถี่สะสม 18 กับ 23 ในอันตรภาคชั้น 36 – 40 กับ 41 – 45 จะได Q2 ของคะแนนสอบหอง ข เทากับ
40.5 + (
5× 2 ) 5
= 42.5 คะแนน
จะเห็นวา Q3 ของคะแนนสอบหอง ก มากกวา Q2 ของคะแนนสอบหอง ข ดังนั้น ถานักเรียนในหอง ก สอบไดคะแนนเทากับ Q3 ถาเขาไปอยูหอง ข เขาจะสอบได คะแนนสูงกวานักเรียนหอง ข มากกวาครึ่งหอง
52 5. ความถี่สะสมจําแนกตามคะแนน ชวงคะแนน ความถี่ ความถี่สะสม
46 – 55 3 3
56 – 65 4 7
(1) ตําแหนงที่ของ Q1 เทากับ
30 4
66 – 75 8 15
76 – 85 9 24
86 – 95 96 – 105 4 2 28 30
= 7.5
ตําแหนงที่ของ Q1 อยูระหวางความถี่สะสม 7 กับ 15 ในอันตรภาคชั้น 56 – 65 กับ 66 – 75 10 × 0.5 65.5 + ( ) = 66.13 8 Q3 เทากับ 3 (30) = 22.5 4
จะได Q1 เทากับ ตําแหนงที่ของ
คะแนน
ตําแหนงที่ของ Q3 อยูระหวางความถี่สะสม 15 กับ 24 ในอันตรภาคชั้น 66 – 75 กับ 76 – 85 10 × 7.5 75.5 + ( ) = 9 D2 เทากับ 2 (30) = 10
จะได Q3 เทากับ
83.83 คะแนน
ตําแหนงที่ของ
6
ตําแหนงที่ของ D2 อยูระหวางความถี่สะสม 3 กับ 7 ในอันตรภาคชั้น 46 – 55 กับ 56 – 65 10 × 3 55.5 + ( ) 4 D9 เทากับ 9 (30) 10
จะได D2 เทากับ
= 63 คะแนน
ตําแหนงที่ของ
= 27
ตําแหนงที่ของ D9 อยูระหวางความถี่สะสม 24 กับ 28 ในอันตรภาคชั้น 76 – 85 กับ 86 – 95 จะได D9 เทากับ
10 × 3 85.5 + ( ) 4
(2) ตําแหนงที่ของ Q2 เทากับ
2 (30) 4
= 93 คะแนน = 15
ตําแหนงที่ของ Q2 ตรงกับความถี่สะสม 15 ในอันตรภาคชั้น 66 – 75 พอดี จะได Q2 เทากับ 75.5 คะแนน จากขอ (1)
1 (Q1 + Q3 ) 2
=
1 (66.13 + 83.83) 2
=
74.98 คะแนน
ดังนั้น คาของ Q2 มากกวาคาของ
1 (Q1 + Q3 ) 2
53 6. จํานวนนักเรียนจําแนกตามคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร คะแนน 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99 จํานวนนักเรียน 1 4 10 22 45 30 8 ความถี่สะสม 1 5 15 37 82 112 120 (1) กลุมนักเรียนที่ไดคะแนนสูงสุดมี 20% ของนักเรียนทั้งหมดเทากับ
20 (120) 100
= 24 คน
ดังนั้น นักเรียนที่ไดคะแนนต่ําสุดในกลุมนี้จะอยูในตําแหนงที่ 120 – 23 = 97 ซึ่งอยูระหวาง ความถี่สะสม 82 กับ 112 ในอันตรภาคชั้น 70 – 79 กับ 80 – 89 จะได คะแนนต่ําสุดของกลุมนักเรียนที่ไดคะแนนสูงสุดเทากับ 79.5 + (10 × 15 ) = 84.5 คะแนน 30
(2) กลุมนักเรียนที่ไดคะแนนต่ําสุดมี 15% ของนักเรียนทั้งหมดเทากับ
15 (120) 100
= 18 คน
ดังนั้นนักเรียนที่ไดคะแนนสูงสุดในกลุมนี้จะอยูในตําแหนงที่ 18 ซึ่งอยูระหวางความถี่สะสม 15 กับ 37 ในอันตรภาคชั้น 50 – 59 กับ 60 – 69 จะไดคะแนนสูงสุดของกลุมนักเรียนที่ไดคะแนนต่ําสุดเทากับ
10 × 3 59.5 + ( ) = 60.86 คะแนน 22
(3) คะแนน 75 ตรงกับอันตรภาคชั้น 70 – 79 คะแนนตางกัน 79.5 – 69.5 = 10 คะแนน ความถี่สะสมตางกัน 82 – 37 = 45 คะแนนตางกัน 75 – 69.5 = 5.5 คะแนน ความถี่สะสมตางกัน
45(5.5) 10
= 24.75
จะได คะแนน 75 ตรงกับความถี่สะสม 37 + 24.75 = 61.75 ขอมูลทั้งหมด 120 อยูที่ความถี่สะสม 61.75 ขอมูลทั้งหมด 100 อยูที่ความถี่สะสม
61.75 × 100 120
= 51.46
ดังนั้น นักเรียนที่สอบได 75 คะแนน จะไดคะแนนเปนเปอรเซ็นไทลที่ 51.46
54
เฉลยแบบฝกหัด 1.3 (ก) 1. กําลังผลิตไฟฟาจําแนกตามเขื่อนเรียงจากนอยไปหามากดังนี้ 1.06 1.28 6.00 9.00 17.50 25.20 36.00 38.00 40.00 72.00 136.00 240.00 300.00 500.00 720.00 743.90 ตําแหนงที่ของ Q1 เทากับ
16 + 1 4
= 4.25
ดังนั้น Q1 มีคาอยูระหวาง 9.00 กับ 17.50 จะได Q1 เทากับ 9.00 + (8.5 × 0.25) = 11.125 เมกกะวัตต ตําแหนงที่ของ Q3 เทากับ
3 (16 + 1) 4
= 12.75
ดังนั้น Q3 มีคาอยูระหวาง 240.00 กับ 300.00 จะได Q3 เทากับ 240.00 + (60 × 0.75) = 285.00 เมกะวัตต 285.00 − 11.125 = 136.94 2 1.06 + 1.28 + " + 743.90 = 2885.94 = 16 16
ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนควอรไทลเทากับ
เมกะวัตต
คาเฉลี่ยเลขคณิต =
180.37 เมกะวัตต
n
เนื่องจากสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ย = ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเทากับ
∑x i =1
i
−X
n 179.31 + 179.09 + " + 563.53 16 3204.08 = = 16
200.26 เมกะวัตต
2. การวัดการกระจายของขอมูลชุดนี้โดยใชพิสัย คาที่วัดไดจะมีความถูกตองพอที่จะเชื่อถือได เพราะคา ของขอมูลมีคาใกลเคียงกันไมมีคาที่สูงหรือต่ําผิดปกติ 3. ปริมาณการผลิตไมสักในประเทศไทยจําแนกตามจังหวัดในป พ.ศ. 2545 เรียงจากนอยไปมากไดดังนี้ 39 44 45 50 426 678 884 6,284 (1) พิสัยเทากับ 6,284 – 39 = 6,245 ลูกบาศกเมตร ตําแหนงที่ของ Q1 เทากับ
8 +1 4
= 2.25
ดังนั้น Q1 มีคาอยูระหวาง 44 กับ 45 จะได Q1 เทากับ 44.25 ตําแหนงที่ของ Q3 เทากับ
3 (8 + 1) 4
= 6.75
ดังนั้น Q3 มีคาอยูระหวาง 678 กับ 884 จะได Q3 มีคาเทากับ 678 + (206 × 0.75) = 832.50 ลูกบาศกเมตร
55 832.50 − 44.25 = 394.125 2 39 + 44 + 45 + 50 + 426 + 678 + 884 + 6, 284 8 8, 450 = 1,056.25 ลูกบาศกเมตร 8
ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนควอรไทลเทากับ คาเฉลี่ยเลขคณิต = =
n
เนื่องจากสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ย =
∑x i =1
i
ลูกบาศกเมตร
−X
n
จะไดสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ย = =
10,17.25 + 10,12.25 + 1,011.25 + 1,006.25 + 630.25 + 378.25 + 172.25 + 5, 227.75 8 10, 455.50 = 1,306.94 ลูกบาศกเมตร 8
(2) เมื่อเปรียบเทียบคาพิสัย สวนเบี่ยงเบนควอรไทล และสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ย แลวการวัดการกระจาย ของขอมูลชุดนี้ไมควรใชพิสัย เพราะคาสูงสุดของชุดนี้สูงกวาคาอื่น ๆ มาก (3) การวัดการกระจายของขอมูลชุดนี้ควรใชสวนเบี่ยงเบนควอรไทลจะเหมาะสมที่สุดเพราะคาของ ขอมูลมีคาแตกตางกันมาก 4. การแจกแจงความถี่ของรายได รายได 1500 – 1599 1600 – 1699 1700 – 1799 1800 – 1899 1900 – 1999 2000 – 2099 2100 - 2199
จุดกึ่งกลาง xi 1549.5 1649.5 1749.5 1849.5 1949.5 2049.5 2149.5
จํานวนคนงาน ความถี่สะสม fi 20 20 70 90 120 210 100 310 60 370 20 390 10 400 400
fixi
xi − X
fi x i − X
30990 115465 209940 184950 116970 40990 21495 720800
252.5 152.5 52.5 47.5 147.5 247.5 347.5
5050 10675 6300 4750 8850 4950 3475 44050
56 720800 400 Q1 เทากับ 400 4
จากตาราง จะได ตําแหนงที่ของ
X
=
= 1802 = 100
ตําแหนงที่ของ Q1 อยูระหวางความถี่สะสม 90 กับ 210 ในอันตรภาคชั้น 1600 – 1699 กับ 1700 – 1799 จะได Q1 เทากับ 1699.5 + (100 × 10 ) = 1707.83 120
ตําแหนงที่ของ Q3 เทากับ
3 (400) 4
= 300
ตําแหนงที่ของ Q3 อยูระหวางความถี่สะสม 210 กับ 310 ในอันตรภาคชั้น 1700 – 1799 กับ 1800 – 1899 จะได Q3 เทากับ 1799.5 + (100 × 90 ) = 1889.5 100
ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนควอรไทลเทากับ จากตารางสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเทากับ
1889.5 − 1707.83 2 44050 = 110.125 400
=
181.67 2
= 90.835 บาท
บาท
พิสัยเทากับ 2199.5 – 1499.5 = 700 บาท เปรียบเทียบคาของสวนเบี่ยงเบนควอรไทล และสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ยกับคาพิสัย จะพบวาพิสัยมีคาสูงกวาสวนเบี่ยงเบนควอไทลและสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ยมาก 5. (1) สวนเบี่ยงเบนควอรไทลของอัตราเร็วในการวิ่งของสัตวเลี้ยงเทากับ สวนเบี่ยงเบนควอรไทลของอัตราเร็วในการวิ่งของสัตวปาเทากับ (2) สัตวปามีการกระจายของขอมูลมากกวาสัตวเลี้ยง 6. (1) ขอมูล 1 2 3 4 ตําแหนงที่ของ Q1 เทากับ
5 6 6 +1 4
= 1.75
จะได Q1 เทากับ 1.75 ตําแหนงที่ของ Q2 เทากับ
2 (6 + 1) 4
= 3.50
3 (6 + 1) 4
= 5.25
จะได Q2 เทากับ 3.50 ตําแหนงที่ของ Q3 เทากับ จะได Q3 เทากับ 5.25 สวนเบี่ยงเบนควอรไทลเทากับ
5.25 − 1.75 2
= 1.75
40 − 30 = 2 43.5 − 27.5 2
5 = 8
57 (2) ขอมูล 1 2 3 4 ตําแหนงที่ของ Q1 เทากับ
5 6 7 7 +1 4
= 2
จะได Q1 เทากับ 2 ตําแหนงที่ของ Q2 เทากับ
2 (7 + 1) 4
= 4
3 (7 + 1) 4
= 6
6−2 2
= 2
จะได Q2 เทากับ 4 ตําแหนงที่ของ Q3 เทากับ จะได Q3 เทากับ 6 สวนเบี่ยงเบนควอรไทลเทากับ (3) ขอมูล 1 2 3 4 ตําแหนงที่ของ Q1 เทากับ
5 6 7 8 8 +1 4
= 2.25
จะได Q1 เทากับ 2.25 ตําแหนงที่ของ Q2 เทากับ
2 (8 + 1) 4
= 4.5
3 (8 + 1) 4
= 6.75
จะได Q2 เทากับ 4.5 ตําแหนงที่ของ Q3 เทากับ จะได Q3 เทากับ 6.75 สวนเบี่ยงเบนควอรไทลเทากับ (4) ขอมูล 1 2 3 4 ตําแหนงที่ของ Q1 เทากับ
6.75 − 2.25 2
= 2.25
5 6 7 8 9 9 +1 4
= 2.5
จะได Q1 เทากับ 2.5 ตําแหนงที่ของ Q2 เทากับ
2 (9 + 1) 4
= 5
3 (9 + 1) 4
= 7.5
จะได Q2 เทากับ 5 ตําแหนงที่ของ Q3 เทากับ จะได Q3 เทากับ 7.5 สวนเบี่ยงเบนควอรไทลเทากับ
7.5 − 2.5 2
= 2.5
58
เฉลยแบบฝก 1.3 (ข) 1. ราคาเครื่องสําอางชนิดหนึ่งที่นํามาเปนตัวอยางจากรานคา 8 แหง เรียงจากนอยไปมากดังนี้ 400 410 410 410 410 415 425 640 พิสัยเทากับ 640 – 400 = 240 บาท คาเฉลี่ยเลขคณิต
(X)
=
400 + 4(410) + 415 + 425 + 640 8 n
∑ (x
สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (s) =
i =1
n
= = ตําแหนงที่ของ Q1 เทากับ
8 +1 4
= 440 บาท
− X) 2
(−40) 2 + 4(−30) 2 + (−25) 2 + (−15) 2 + (200) 2 8 −1 46050 = 81.11 บาท 7
= =
3520 8
n −1
=
สวนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
i
=
∑x i =1
i
−X
n 40 + 4(30) + 25 + 15 + 200 8 400 = 50 บาท 8
= 2.25
จะได Q1 เทากับ 410 ตําแหนงที่ของ Q3 เทากับ
3 (8 + 1) 4
= 6.75
จะได Q3 เทากับ 415 + (10 × 0.75) = 422.5 จะไดสวนเบี่ยงเบนควอรไทลเทากับ
422.5 − 410 2
= 6.25 บาท
ดังนั้น การวัดการกระจายของขอมูลชุดนี้ ควรใชสวนเบี่ยงควอรไทลจึงเหมาะสมกับขอมูลที่สุด เนื่องจากราคาเครื่องสําอาง 640 บาท เปนคาที่สูงผิดปกติเมื่อเปรียบเทียบกับคาอื่นๆ
59 2. ปริมาณน้ําฝนจําแนกตามจังหวัด จังหวัด ขอนแกน ชัยภูมิ นครพนม มุกดาหาร รอยเอ็ด เลย สกลนคร สุรินทร หนองคาย อุดรธานี รวม
ปริมาณน้ําฝน (xi) 1,402.6 927.5 2,995.9 1,901.7 1,357.2 1,414.8 1,888.6 1,857.9 2,247.5 1,777.0 17770.7
จากตัวอยางที่ 3 จะได
X
เนื่องจากความแปรปรวน s2
xi – X –374.47 –849.57 1218.83 124.63 –419.87 –362.27 111.53 80.83 470.43 –0.07
(xi – X )2 140227.78 721769.19 1485546.57 15532.64 176290.82 131239.55 12438.94 6533.49 221304.39 0.005 2910883.36
= 1,777.07 มิลลิเมตร = =
(x i − X) 2 ∑ n −1 i =1 2910883.36 10 − 1 n
= 323,431.49 มิลลิเมตร ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 568.71 มิลลิเมตร 3. ราคาสินคาชนิดหนึ่งที่ขายตามรานตาง ๆ ในสองทองที่ ทองที่ที่หนึ่ง ทองที่ที่สอง
50 52 45 40 50 51
ราคา (บาท) 55 54 48 53 52 51 51 62 53 49
หา
X
และ s2 ของทั้งสองทองที่รวมกัน
X
=
50 + 52 + 45 + " + 48 + 53 + 40 + 50 + " + 53 + 49 = 816 = 51 บาท 7+9 16 (−1) 2 + 12 + (−6) 2 + 42 + 32 + (−3) 2 + 22 + (−11) 2 + (−1) 2 + 12 + 112 + 22 + (−2) 2 (7 + 9) − 1 328 = 21.87 15
s2 = =
ดังนั้นความแปรปรวนของสินคาในสองทองที่ เทากับ 21.87 บาท
60 4. อายุของครอบครัวนี้เปน 45 42 20 17 16 14 45 + 42 + 20 + 17 + 16 + 14 = 154 = 25.67 ป 6 6 4930 452 + 422 + 202 + 17 2 + 162 + 142 − 658.9489 − (25.67) 2 = 6 6
จะไดวา คาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ ความแปรปรวน เทากับ
= 162.72 ป สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 12.76 ป ในอีก 5 ปขางหนา สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวนของอายุสมาชิกในครอบครัวนี้จะมี คาเทาเดิม เนื่องจากขอมูลแตละคาเพิ่มขึ้นเทาเดิม 5. จากขอมูล n = 20
= 10 และ s = 2
X 20
ผลรวมของขอมูล ∑ x i เทากับ 20 × 10 = 200 i =1
n
เพราะวา จะได
∑x
s2 = 20
i =1
n −1
∑x = i =1
2 i
2 i
− (X) 2
(s 2 + (X) 2 )(n − 1)
= (104)(19) = 1976 แตบันทึกขอมูลผิดพลาดจาก 12 บันทึกเปน 8 ดังนั้น
20
∑ x ที่ถูกตองเทากับ 200 – 8 + 12 = 204 i =1 20
∑x i =1
i
ที่ถูกตองเทากับ 1976 – 64 + 144 = 2056
2 i
จะได คาเฉลี่ยเลขคณิตที่ถูกตองเทากับ สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ถูกตองเทากับ n
6. จากสูตร s1 =
∑ (x i =1
i
− X)
204 = 10.2 20 2056 − (10.2) 2 20 − 1 n
2
และ s2 =
n −1
∑ (x i =1
i
=
4.17
= 2.04
− X) 2
n
เมื่อใช n – 1 เปนตัวหารจะใหผลลัพธมากกวาใช n เปนตัวหาร n
และนิยมใชสูตร s1 =
∑ (x i =1
i
− X) 2
n −1
เปนสูตรที่ใชประมาณสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ
ประชากร (σ) ซึ่งเปนการใชขอมูลตัวอยางไปสรุปผลขอมูลประชากร สูตรที่หารดวย n – 1 ใหขอ ผิดพลาดในการสรุปผิดนอยกวา (Watkins, 2004 p. 65)
61 7. จากตัวอยางที่ 7 สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานและคาเฉลี่ยของอายุขัยของสัตวเลี้ยงลูกดวยนมเปน 4.67 ป และ 11 ป ตามลําดับ หมายความวา สัตวเลี้ยงลูกดวยนมที่นํามาเปนตัวอยางมีอายุตางจาก 11 ป โดย เฉลี่ย4.67 ป ดังนั้นคําตอบจึงใช แตไมไดหมายความวาตองมีบางตัวอายุ 11 – 4.67 = 6.33 ป หรือมี บางตัวอายุ 11 + 4.67 = 15.67 ป เพราะสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเหมือนกับการเฉลี่ยความแตกตาง ของขอมูลจากคากลางดังนั้นขอมูลแตละตัวไมจําเปนตองตรงกับคาที่ไดจากการบวกและลบสวนเบี่ยง เบนมาตรฐานกับคากลาง 8. สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานมีหนวยเปนป มัธยฐานมีหนวยเปนป พิสัยมีหนวยเปนป กึ่งชวงควอรไทลมีหนวยเปนป
เฉลยแบบฝกหัด 1.3 (ค) 1. อายุของบุตรในครอบครัวที่หนึ่ง (ป) 6 5 3 1 อายุของบุตรในครอบครัวที่สอง (ป) 25 24 22 21 17 (1) เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของพิสัย =
x max − x min x max + x min 6 −1 6 +1 25 − 17 25 + 17
ดังนั้น สัมประสิทธิ์ของพิสัยของครอบครัวที่หนึ่ง = สัมประสิทธิ์ของพิสัยของครอบครัวที่สอง =
= 0.714 = 0.190
จะได อายุของบุตรครอบครัวที่หนึ่งมีการกระจายมากกวาอายุของบุตรครอบครัวที่สอง (2) เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของสวนเบี่ยงเบนควอรไทล = ตําแหนงที่ของ Q1 ของครอบครัวที่หนึ่งเทากับ
Q3 − Q1 Q3 + Q1
4 +1 4
จะได Q1 ของครอบครัวที่หนึ่งเทากับ 1 + (2 × 0.25) ตําแหนงที่ของ Q3 ของครอบครัวที่หนึ่งเทากับ
3 (4 + 1) 4
จะได Q3 ของครอบครัวที่หนึ่งเทากับ 5 + (1 × 0.75)
= 1.25 = 1.5 = 3.75 = 5.75
สัมประสิทธิ์สวนเบี่ยงเบนควอรไทลครอบครัวที่หนึ่งเทากับ ตําแหนงที่ของ Q1 ของครอบครัวที่สองเทากับ
5 +1 4
จะได Q1 ของครอบครัวที่สองเทากับ 17 + (4 × 0.5) ตําแหนงที่ของ Q3 ของครอบครัวที่สองเทากับ
3 (5 + 1) 4
จะได Q3 ของครอบครัวที่สองเทากับ 24 + (1 × 0.5)
5.75 − 1.5 5.75 + 1.5
= 1.5 = 19 = 4.5 = 24.5
= 0.586
62 สัมประสิทธิ์สวนเบี่ยงเบนควอรไทลที่สองเทากับ
24.5 − 19 24.5 + 19
= 0.126
จะได อายุของบุตรครอบครัวที่หนึ่งมีการกระจายมากกวาอายุของบุตรครอบครัวที่สอง (3) เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ย =
M.D. X
6 + 5 + 3 +1 = 3.75 4 M.D. ของครอบครัวที่หนึ่งเทากับ 2.25 + 1.25 + 0.75 + 2.75 = 4 สัมประสิทธิ์สวนเบี่ยงเบนเฉลี่ยครอบครัวที่หนึ่งเทากับ 1.75 = 3.75 25 + 24 + 22 + 21 + 17 X ของครอบครัวที่สองเทากับ = 21.8 5 M.D. ของครอบครัวที่สองเทากับ 3.2 + 2.2 + 0.2 + 0.8 + 4.8 = 5 สัมประสิทธิ์สวนเบี่ยงเบนเฉลี่ยครอบครัวที่สองเทากับ 2.24 = 21.8 X
ของครอบครัวที่หนึ่งเทากับ
1.75 0.467 2.24 0.103
จะไดอายุของบุตรครอบครัวที่หนึ่งมีการกระจายมากกวาอายุของบุตรครอบครัวที่สอง (4) เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน = s ของครอบครัวที่หนึ่งเทากับ
s X
(2.25) 2 + (1.25) 2 + (−0.75) 2 + (−2.75) 2 4 −1 14.75 = 3
=
2.217
สัมประสิทธิ์การแปรผันของครอบครัวที่หนึ่งเทากับ s ของครอบครัวที่สองเทากับ
2.217 3.75
= 0.591
(3.2)2 + (2.2)2 + (0.2) 2 + (−0.8) 2 + (−4.8)2 5 −1 38.8 = 4
=
3.114
สัมประสิทธิ์การแปรผันของครอบครัวที่สองเทากับ
3.114 21.8
= 0.143
จะได อายุของบุตรครอบครัวที่หนึ่งมีการกระจายมากกวาอายุของบุตรครอบครัวที่สอง ผลของการเปรียบเทียบที่ไดจากขอ (1) – (4) เหมือนกัน สรุปไดวา อายุของบุตรครอบครัวที่หนึ่งมีการกระจายมากกวาอายุของบุตรครอบครัวที่สอง
63 2. จากโจทยเรียงลําดับขอมูลจากนอยไปหามากไดดังนี้ ราคาขาวเปลือก (บาท) 71 72 73 74 ราคาขาวสาร (บาท) 110 112 114 115 X
ของราคาขาวเปลือก เทากับ
71 + 72 + 73 + 74 + 75 + 76 6
75 117 =
76 118
441 6
= 73.5
(−2.5) 2 + (−1.5) 2 + (−0.5) 2 + (0.5) 2 + (1.5) 2 + (2.5) 2 6 −1 17.5 = = 1.871 5 สัมประสิทธิ์การแปรผันของราคาขาวเปลือกเทากับ 1.871 = 0.025 73.5 110 + 112 + 114 + 115 + 117 + 118 X ของราคาขาวสาร เทากับ = 686 = 114.33 6 6
s ของราคาขาวเปลือกเทากับ
(−4.33) 2 + (−2.33) 2 + (−0.33) 2 + (0.67) 2 + (2.67) 2 + (3.67) 2 6 −1 45.3334 = = 3.011 5 3.011 สัมประสิทธิ์การแปรผันของราคาขาวสารเทากับ = 0.026 114.33 76 − 71 สัมประสิทธิ์ของพิสัยของราคาขาวเปลือก เทากับ = 0.034 76 + 71 118 − 110 = 0.035 สัมประสิทธิ์ของพิสัยของราคาขาวสารเทากับ 118 + 110
s ของราคาขาวสารเทากับ
จากคาที่ไดจะสรุปไดวา ราคาของขาวเปลือกตอถังมีการกระจายนอยกวาราคาขาวสารตอถัง 3. เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของการแปรผันเทากับ
s X
ดังนั้น สัมประสิทธิ์ของการแปรผันของจํานวนเงินที่นักเรียน ป.2 ไดเทากับ สัมประสิทธิ์ของการแปรผันของจํานวนเงินที่นักเรียน ป.6 ไดเทากับ สัมประสิทธิ์ของการแปรผันของจํานวนเงินที่นักเรียน ม.3 ไดเทากับ สัมประสิทธิ์ของการแปรผันของจํานวนเงินที่นักเรียน ม.6 ไดเทากับ
40 20 40 22 51 25
24 18
= 0.272
= 0.316 = 0.287 = 0.286
จะเห็นวา การกระจายของจํานวนเงินที่นักเรียน ป.2 ไดมาใชนอยที่สุด หมายความวานักเรียน ป. 2 ไดเงินจากผูปกครองใกลเคียงกันมากกวานักเรียน ป. 6, ม. 3 และ ม. 6 และการกระจายของจํานวน เงินที่นักเรียน ป.6 ไดมาใชมากที่สุด หมายความวานักเรียน ป. 6 ไดเงินจากผูปกครองแตกตางกัน มากกวานักเรียนหองอื่น ๆ
64 4. เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของพิสัยเทากับ จะได
0.0625 =
x max − x min x max + x min
170 − x min 170 + x min
10.625 + 0.0625xmin = 170 – xmin 1.0625xmin = 159.375 = 150 xmin ดังนั้น ความสูงของนักเรียนคนที่เตี้ยที่สุดในชั้นเทากับ 150 เซนติเมตร 5. เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเทากับ จะได
0.12
=
X
=
8.5 X 8.5 0.12
=
เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของการแปรผันเทากับ จะได สัมประสิทธิ์ของการแปรผันเทากับ 6. 3 (1) 2 (2) 2 (3) 2 (4) 2 3 3 3 2
(5) (6) (7) (8) (9)
M.D. X
70.83 s X 10 70.83
= 0.141
ไมจําเปน ขึ้นอยูกับคาของขอมูลที่นํามาคํานวณ ไมจําเปน เพราะเปนสวนเบี่ยงเบนควอรไทลหาจากคาควอรไทลที่ 3 และ 1 จะไดผล อยางไรอยูที่คาของตัวเลขซึ่งไมจําเปนตองเทากับมัธยฐาน สวนเบี่ยงเบนเฉลี่ยตองมีคามากกวาหรือเทากับศูนยเสมอเพราะสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเปน การเฉลีย่ ผลตางโดยใชจาํ นวนมากเปนตัวตัง้ จํานวนนอยเปนตัวลบจึงไมมที างนอยกวาศูนย สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานตองมีคามากกวาหรือเทากับศูนยเสมอ เชน กรณีที่สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน 1
สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานใชวัดการกระจายสําหรับขอมูลเพียงชุดเดียว ไมสามารถนํามาใช เปรียบเทียบกับการกระจายของขอมูล 2 ชุด ถาตองการเปรียบเทียบขอมูล 2 ชุด ตองใช สัมประสิทธิ์การแปรผัน
65 7. ถามีขอมูลผิดปกติจะมีผลกระทบตอการหาคาเฉลี่ยเลขคณิต เพราะตองใชทุกคาของขอมูลมาคํานวณ สวนการวัดการกระจายที่มีการเปลี่ยนแปลงไปมากเนื่องจากคาผิดปกติ คือ คาพิสัย เพราะตองใชคา มากสุด และคานอยสุดในการคํานวณในกรณีที่ขอมูลผิดปกติ จะไมมีผลกระทบหรือมีผลกระทบนอย ตอคากลางที่คํานวณโดยการหาคามัธยฐานหรือฐานนิยม สวนการวัดการกระจายที่ไมมีผลกระทบ หรือมีผลกระทบนอย คือ คาสวนเบี่ยงเบนควอรไทล เพราะไมไดเอาคาต่ําสุด หรือสูงสุดมาใช คํานวณ 8. จังหวัด กระบี่ พังงา ระนอง ตรัง ภูเก็ต สตูล
ความเสียหายรวม (ลานบาท) 321.3 1,077.4 203.3 43.0 188.6 109.2
หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และสัมประสิทธิ์ของพิสัย X
=
321.3 + 1, 077.4 + 203.3 + 43.0 + 188.6 + 109.2 6
=
323.8 n
∑ (x
i
− X) 2
จาก
s
=
จะได
s
=
(321.3 − 323.8) 2 + (1, 077.4 − 323.8) 2 + " + (109.2 − 323.8) 2 6 −1
=
145124.1
สัมประสิทธิ์ของพิสัย
i =1
n −1
= =
= 380.95
x max − x min x max + x min 1, 077.4 − 43.0 1, 077.4 + 43.0
=
1034.40 1120.40
=
0.923
66 9. จากตาราง หนวย ทดลอง 1 2 3
LAB 1 85.06 85.25 84.87
หองปฏิบัติการ LAB 2 LAB 3 84.99 84.48 84.28 84.72 84.88 85.10
สัมประสิทธิ์ของสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ย =
M.D. X n
M.D
=
LAB 4 84.10 84.55 84.05
∑x i =1
i
−X
n
คาเฉลี่ยของรอยละเมทิลแอลกอฮอลของหองปฏิบัติการที่ 3 คือ จะได
84.48 + 84.72 + 85.10 = 84.77 3 84.48 − 84.77 + 84.72 − 84.77 + 85.10 − 84.77 M.D. = 3
= 0.223 สัมประสิทธิ์ของสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของรอยละของเมทิลแอลของหองปฏิบัติการที่ 3 คือ 0.223 84.77
= 0.0026
คาเฉลี่ยของรอยละของเมทิลแอลกาฮอลของหองปฏิบัติการที่ 4 คือ จะได
84.10 + 84.55 + 84.05 = 84.23 3 84.10 − 84.23 + 84.55 − 84.23 + 84.05 − 84.23 M.D. = 3
= 0.21 สัมประสิทธิ์ของสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของรอยละของเมทิลแอลกอฮอลของหองปฏิบัติการที่ 4 คือ 6.21 84.23
= 0.0025
107
เฉลยแบบฝก 3.4 1. (1) และ (2) แผนภาพการกระจายของขอมูล และกราฟที่ใชแสดงความสัมพันธระหวางปริมาณสัตวน้ํา แตละชนิดที่จับไดในป พ.ศ. 2542 และ พ.ศ. 2543
พ.ศ. 2543 Y 200 180 160 140
* * *
*
120 100 80 60
** * *
40 20
** 0
20 40 60
80 100 120 140 160 180 200
X พ.ศ. 2542
(3) เนื่องจากความสัมพันธระหวางปริมาณสัตวน้ําแตละชนิดที่จับไดอยูในรูปเสนตรง ใหปริมาณสัตวน้ําที่จับไดในป พ.ศ. 2543 (Y) เปนตัวแปรตาม และปริมาณสัตวน้ําที่จับไดในป พ.ศ. 2542 (X) เปนตัวแปรอิสระ สมการปกติของความสัมพันธ Y = a + bx คือ n
=
∑ yi และ
i =1 n
∑x y i =1
i
n
an + b∑ x i i =1
i
=
n
n
i =1
i =1
a ∑ x i + b∑ x i2
108 ตารางพจนตาง ๆ ที่ใชในการคํานวณหาคาคงตัวจากสมการปกติ (1) และ (2) yi 152.9 35.2 58.2 53.4 11.0 12.8 42.6 164.0 143.1 197.9
xi 164.1 47.9 51.6 59.9 10.1 14.1 44.3 182.8 134.7 206.0 10
∑ xi i =1
26928.81 2294.41 2662.56 3588.01 102.01 198.81 1962.49 33415.84 18144.09 42436.00
10
= 915.50 ∑ y = 871.10 i =1
n
n
i
n
xiyi 25090.89 1686.08 3003.12 3198.66 111.10 180.48 1887.18 29979.20 19275.57 40767.40
x i2
10
∑ x i2 i =1
10
= 131733.03 ∑ x i =1
i
yi
= 125179.68
n
แทนคา ∑ y , ∑ x , ∑ x และ ∑ x y ในสมการปกติดวยคาในตาราง จะได i =1
i
i =1
i
2 i
i =1
i =1
i
i
871.10 125179.68 (1) × 91.55, (2) – (3)
= 10a + 915.50b ---------- (1) = 915.50a + 131733.03b ---------- (2) 79749.205 = 915.5a + 83814.025b ---------- (3) 45430.475 = 47919.005b b = 0.948 และ a = 0.321 จะได สมการเสนตรงที่แสดงความสัมพันธระหวางปริมาณสัตวน้ําแตละชนิดที่จับไดในป พ.ศ. ∧
∧
2542 และป พ.ศ. 2543 คือ Y = 0.948 X + 0.321 ถาปริมาณสัตวน้ําที่จับไดในป พ.ศ. 2542 เทากับ 50,000 ตัน (x = 50.00) จะได ∧
= 0.948(50.00) + 0.321 = 47.72 นั่นคือ ปริมาณสัตวน้ําชนิดนี้ถาป พ.ศ. 2542 จับได 50,000 ตัน ในป พ.ศ. 2543 จะจับได 47,720 ตัน Y
109 (4) ถาตองการทํานายปริมาณสัตวน้ําที่จับไดในป พ.ศ. 2542 ใหปริมาณสัตวน้ําที่จับไดในป พ.ศ. 2542 เปนตัวแปรตาม (X) และปริมาณสัตวน้ําที่จับไดในป พ.ศ. 2543 เปนตัวแปรอิสระ (Y) สมการของความสัมพันธ X = a + bY คือ 10
∑x i =1 10
และ
i =1
an + b∑ yi i =1
∑x y i
10
=
i
=
i
n
10
i =1
i =1
a ∑ yi + b∑ yi2
พจนตาง ๆ ที่ใชในการคํานวณหาคาคงตัวจากสมการปกติ (1) และ (2) xi 164.1 47.9 51.6 59.9 10.1 14.1 44.3 182.8 134.7 206.0
yi 152.9 35.2 58.2 53.4 11.0 12.8 42.6 164.0 143.1 197.9
10
23378.41 1239.04 3387.24 2851.56 121 163.84 1814.76 26896 20477.61 39164.41
10
10
∑ x = 915.50 ∑ y = 871.10 i =1
i
i =1
n
n
i =1
915.50 125179.68 (1) × 87.11, (2) – (3), 45430.475 b และ a
i
n
i =1
i
i =1
i
yi
i =1
n
2 i
i =1
i
yi
, ∑ y ดวยคาในตาราง จะได i =1
2 i
= 10a + 871.10b = 871.10a + 119493.87b 79749.205 = 871.10a + 75881.52b = = =
10
∑ y = 119493.87 ∑ x
i
แทนคา ∑ x , ∑ y , ∑ x
xiyi 25090.89 1686.08 3003.12 3198.66 111.10 180.48 1887.18 29979.20 19275.57 40767.40
yi2
43612.35b 1.042 0.78
---------- (1) ---------- (2) ---------- (3)
= 125179.68
110 จะไดสมการเสนตรงที่แสดงความสัมพันธระหวางปริมาณสัตวน้ําที่จับไดในป พ.ศ. 2543 กับ ∧
∧
ป พ.ศ. 2542 คือ X = 1.042 Y + 0.78 ถาปริมาณสัตวน้ําที่จับไดในป พ.ศ. 2543 เทากับ 85,000 ตัน (Y = 85) จะได ∧
= 1.042(85) + 0.78 = 89.35 นั่นคือ ปริมาณสัตวน้ําชนิดนี้ที่จับไดในป พ.ศ. 2542 เทากับ 89,350 ตัน X
2. แผนภาพการกระจายของราคายางพาราแผนดิบที่ขายไดในป พ.ศ. 2546
ราคา (บาท/กก. ) Y 48 46
*
44 42 40 38 36 34 32 0
* * *
*
*
*
*
*
*
*
*
ม.ค. ก.พ. มี.ค. เม.ย. พ.ค. มิ.ย. ก.ค. ส.ค. ก.ย. ต.ค. พ.ย. ธ.ค.
X เดือน
พิจารณาจากแผนภาพการกระจายจะไดความสัมพันธระหวางเวลากับราคายางพาราแผนดิบอยูใน รูปเสนตรง ตองการทํานายราคายางพาราแผนดิบ ใหเวลา (X) เปนตัวแปรอิสระ และราคายางพาราแผนดิบ (Y) เปนตัวแปรตาม สมการปกติของความสัมพันธ Y = a + bX คือ n
=
∑yi และ
i =1 n
∑x y i =1
i
n
an + b∑ x i i =1
i
=
n
n
i =1
i =1
a ∑ x i + b∑ x i2
111 พจนตาง ๆ ที่ใชในการคํานวณหาคาคงตัวจากสมการปกติ (1) และ (2) เดือน ม.ค. ก.พ. มี.ค. เม.ย. พ.ค. มิ.ย. ก.ค. ส.ค. ก.ย. ต.ค. พ.ย. ธ.ค. รวม
xi –11 –9 –7 –5 –3 –1 1 3 5 7 9 11
yi 32.41 36.32 40.00 37.29 36.64 38.03 36.59 38.22 39.41 45.41 43.39 41.36
121 81 49 25 9 1 1 9 25 49 81 121
xiyi –356.51 –326.88 –280.00 –186.45 –109.92 –38.03 36.56 114.66 197.05 317.87 390.51 454.96
∑x = 0
∑ y = 465.07
∑ x = 572
∑ x y = 213.82
12
i =1
แทนคา
n
n
12
i
n
x i2
i
i =1
12
i =1
2 i
12
i =1
i
i
n
∑ y , ∑ x , ∑ x และ ∑ x y ดวยคาในตารางจะได i =1
i
i =1
i
i =1
2 i
i =1
i
i
465.07 = 12a ---------- (1) 213.85 = 572b ---------- (2) จาก (1) จะได a = 38.76 จาก (2) จะได b = 0.37 จะได สมการเสนตรงที่แสดงความสัมพันธระหวางเวลากับราคายางพาราแผนดิบคือ Y = 38.76 + 0.37 X เมื่อ x = 1 แทนเดือนกรกฎาคม และ 2 หนวยของ x เทากับ 1 เดือน ในป พ.ศ. 2547 เดือน ม.ค., x = 13 จะได Y = 38.76 + 0.37(13) = 43.57 เดือน ก.พ., x = 15 จะได Y = 38.76 + 0.37(15) = 44.31 เดือน มี.ค., x = 17 จะได Y = 38.76 + 0.37(17) = 45.05 เดือน เม.ย., x = 19 จะได Y = 38.76 + 0.37(19) = 45.79 เดือน พ.ค., x = 21 จะได Y = 38.76 + 0.37(21) = 46.53 เดือน มิ.ย., x = 23 จะได Y = 38.76 + 0.37(23) = 47.27 ∧
∧
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
112 ∧
เดือน ก.ค., x = 25 จะได Y = 38.76 + 0.37(25) = 48.01 เดือน ส.ค., x = 27 จะได Y = 38.76 + 0.37(27) = 48.75 เดือน ก.ย., x = 29 จะได Y = 38.76 + 0.37(29) = 49.49 เดือน ต.ค., x = 31 จะได Y = 38.76 + 0.37(31) = 50.23 เดือน พ.ย., x = 33 จะได Y = 38.76 + 0.37(33) = 50.97 เดือน ธ.ค., x = 35 จะได Y = 38.76 + 0.37(35) = 51.71 นั่นคือ ราคายางพาราแผนดิบในป พ.ศ. 2547 ตั้งแตเดือนมกราคมถึงเดือนธันวาคม โดยประมาณ เทากับ 43.57, 44.31 45.05, 45.79, 46.53, 47.27, 48.01, 48.75, 49.49, 50.23, 50.97 และ 51.71 บาทตอกิโลกรัม ตามลําดับ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
3. แผนภาพการกระจายของปริมาณการนําเขาขาวที่ประเทศหนึ่งในทวีปเอเชียนําเขาจากประเทศไทย ระหวางป พ.ศ. 2538 – 2545 ปริมาณขาว (หมื่นตัน)
Y 26
*
25
*
*
* *
23
*
2545
2543
2542
2541
2540
2539
X พ.ศ. 2538
0
2544
24
*
*
พิจารณาจากแผนภาพการกระจาย จะไดความสัมพันธระหวางเวลากับปริมาณนําเขาขาวอยูในรูป พาราโบลาตองการทํานายปริมาณการนําเขาขาว ใหเวลา (X) เปนตัวแปรอิสระ และปริมาณนําเขาขาว (Y) เปนตัวแปรตาม
113 สมการปกติของความสัมพันธ Y = a + bX + cX2 คือ n
∑y i =1 n
=
∑x y
=
i =1
2 i
n
an + b∑ x i + c∑ x i2 i =1
∑ x i yi i =1 n
n
=
i
i
i =1
n
n
n
i =1 n
i =1 n
i =1 n
i =1
i =1
i =1
a ∑ x i + b∑ x i2 + c∑ x 3i a ∑ x i2 + b∑ x 3i + c∑ x i4
พจนตาง ๆ ที่ใชในการคํานวณคาคงตัวจากสมการปกติ (1), (2) และ (3) พ.ศ. 2538 2539 2540 2541 2542 2543 2544 2545 รวม
xi –7 –5 –3 –1 1 3 5 7 0
แทนคา
∑ x , ∑ y , ∑ x , ∑ x , ∑ x , ∑ x y และ ∑ x y
yi 23.7 23.9 24.8 25.5 25.2 24.6 23.1 23.5 194.3
n
i =1
n
i
i =1
n
i
i =1
2 i
x i2
x 3i
x i4
49 25 9 1 1 9 25 49 168
–343 –125 –27 –1 1 27 125 343 0
2401 625 81 1 1 81 625 2401 6216
n
i =1
3 i
n
i =1
4 i
n
i =1
xiyi –165.9 –119.5 –74.4 –25.5 25.2 73.8 115.5 164.5 –6.3 n
i
i
i =1
2 i
x i2 yi
1161.3 597.5 223.2 25.5 25.2 221.4 577.5 1151.5 3983.1
i
ดวยคาในตาราง จะได 194.3 = 8a + 168c ---------- (1) –6.3 = 168b ---------- (2) 3983.1 = 168a + 6216c ---------- (3) จาก (2) จะได b = –0.038 (1) × 21 4080.3 = 168a + 3528c ---------- (4) (4) – (3) 97.20 = –2688c c = –0.036 และ a = 25.04 จะได สมการพาราโบลาที่แสดงความสัมพันธระหวางเวลากับปริมาณนําเขาขาว คือ ∧
∧
∧ 2
= 25.04 – 0.038 X – 0.036 X และ 2 หนวยของ x เทากับ 1 ป Y
เมื่อ x = 1 แทน พ.ศ. 2542
114 จะได Y = 25.04 – 0.038(17) – 0.036(17)2 = 13.99 นั่นคือ ปริมาณการนําเขาขาวของประเทศนี้จากประเทศไทยในป พ.ศ. 2550 เทากับ 13.99 หมื่นตัน หรือประมาณ 139,900 ตัน
ในป 2550, x = 17
4. แผนภาพการกระจายของตนทุนการผลิตสินคาตอหนวย (บาท) กับจํานวนสินคาที่ผลิตได ตนทุนตอหนวย (บาท)
Y 60 50
*
*
*
*
*
40
*
*
30
*
20
*
*
10 0
1
2
3
5
4
6
7
8
9
10
X จํานวนที่ผลิต
พิจารณาจากแผนภาพกระจาย จะไดความสัมพันธระหวางตนทุนการผลิตกับจํานวนสินคาอยูในรูป เสนตรงตองการทํานายตนทุนการผลิต ใหจํานวนสินคา (X) เปนตัวแปรอิสระ และ ตนทุนการผลิตสินคานี้ (Y) เปนตัวแปรตาม a + bX คือ สมการปกติของความสัมพันธ Y = n
∑ yi
=
i =1
และ
n
∑ x i yi i =1
n
an + b∑ x i i =1
=
n
n
i =1
i =1
a ∑ x i + b∑ x i2
115 พจนตาง ๆ ที่ใชในการคํานวณคาคงตัวจากสมการปกติ (1) และ (2) yi 58 56 55 50 45 40 37 30 26 20 417
xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 55
xiyi 58 112 165 200 225 240 259 240 234 200 1933
x i2
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 385
n
n
n
n
i =1
i =1
i =1
i =1
แทนคา ∑ x i , ∑ yi , ∑ x i2 และ ∑ x i yi ดวยคาในตาราง จะได 417 = 10a + 55b ---------- (1) 1933 = 55a + 385b ---------- (2) (1) × 5.5, 2293.5 = 55a + 302.5b ---------- (4) (3) – (2), 360.5 = –82.5b b = –4.37 และ a = 65.73 จะได สมการเสนตรงที่แสดงความสัมพันธระหวางตนทุนการผลิตสินคาตอหนวยกับจํานวนสินคา ∧
∧
ที่ผลิตได คือ Y = –4.37 X + 65.73 ถาจํานวนสินคาที่ผลิตไดเปน 7 หนวย (x = 7) จะได ∧
= 65.73 – 4.37(7) = 35.14 นั่นคือ ถาจํานวนสินคาที่ผลิตไดเปน 7 หนวย ตนทุนการผลิตสินคาตอหนวยมีคาประมาณ 35.14 บาท Y
116 5. (1) กราฟแสดงความสัมพันธระหวางแตมที่ไดจากการทอดลูกเตาสองลูกในแตละครั้ง แตมจากลูกเตาลูกที่ 2
Y 6
*
5
*
4
*
3 2
* *
* *
1
*
*
* 1
2
3
4
5
6
X แตมจากลูกเตาลูกที่ 1
จากกราฟ ความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวางแตมที่ไดจากการทอดลูกเตาสองลูก ควรอยูใน รูปเสนตรง (2) โดยแทจริงแลวแตมที่ไดจากการทอดลูกเตาทั้งสองในแตละครั้งไมควรมีความสัมพันธกัน
117 6. แผนภาพการกระจายของมูลคาของสินคาขาเขาที่ประเทศไทยนําเขาจากตางประเทศระหวางป พ.ศ. 2536 – 2545 มูลคาสินคา (พันลานบาท)
Y 30 25
*
20 15
*
*
*
*
*
10
*
*
*
*
2545
2544
2543
2542
2541
2540
2539
2536
2537
2538
X พ.ศ.
0
(1) พิจารณาจากแผนภาพการกระจาย จะไดความสัมพันธระหวางเวลากับมูลคาสินคาขาเขาที่ ประเทศไทยนําเขาจากตางประเทศอยูในรูปเสนตรงตองการทํานายมูลคาของสินคาใหเวลา (X) เปนตัวแปรอิสระ และ มูลคาของสินคา (Y) เปนตัวแปรตามสมการปกติของความสัมพันธ Y = a + bX คือ n
=
∑ yi i =1
และ
i =1
n
∑x y i =1
i
n
an + b∑ x i
i
=
n
n
i =1
i =1
a ∑ x i + b∑ x i2
118 พจนตาง ๆ ที่ใชในการคํานวณคาคงตัวจากสมการปกติ (1) และ (2) พ.ศ. 2536 2537 2538 2539 2540 2541 2542 2543 2544 2545 รวม
yi 11.71 13.69 18.35 18.57 19.24 17.74 19.10 24.94 27.55 27.75 198.64
xi –9 –7 –5 –3 –1 1 3 5 7 9 0 n
n
n
xiyi –105.39 –95.83 –91.75 –55.71 –19.24 17.74 57.30 124.70 192.85 249.75 274.42
x i2
81 49 25 9 1 1 9 25 49 81 330
n
แทนคา ∑ y , ∑ x , ∑ x และ ∑ x y ดวยคาในตาราง จะได i =1
i
i =1
i
i =1
2 i
i
i =1
i
198.64 = 10a ----------(1) 274.42 = 330b ----------(2) จาก (1) จะได a = 19.8 จาก (2) จะได b = 0.832 จะได สมการเสนตรงที่แสดงความสัมพันธระหวางเวลากับมูลคาของสินคาขาเขาที่ประเทศไทยนําเขา คือ
∧
Y
∧
= 19.8 + 0.832 X เมื่อ x = 1 แทน พ.ศ. 2541 และ 2 หนวยของ x เทากับ 1 ป
(2) ในป พ.ศ. 2546, พ.ศ. 2547,
x = 13
x = 11
จะได จะได
∧
Y
= 19.8 + 0.832(11) =
∧
= 19.8 + 0.832(13) =
30.62
∧
= 19.8 + 0.832(15) =
32.28
∧
= 19.8 + 0.832(17) =
33.94
Y
พ.ศ. 2548,
x = 15
จะได
Y
พ.ศ. 2549,
x = 17
จะได
Y ∧
28.95
พ.ศ. 2550, x = 19 จะได Y = 19.8 + 0.832(19) = 35.61 นั่นคือ มูลคาของสินคาโดยประมาณที่ประเทศไทยนําเขาระหวางป พ.ศ. 2546 – 2550 เปน 28.95, 30.62, 32.28, 33.94 และ 35.61 พันลานบาท ตามลําดับ
119 7. 2 (1)
ถาขอมูลประกอบดวยตัวแปรสองตัวแลว ตัวแปรทั้งสองนั้นอาจจะมีความสัมพันธ เชิงฟงกชันหรือไมมีก็ได
3 (2) 3 (3) 2 (4)
คาที่ไดจากการทํานายสวนใหญ จะเปนเพียงคาประมาณ ซึ่งอาจจะไมเทากับคา ที่ควรเปนจริง ถาขอมูลมีจํานวนนอย ไมควรนํามาสรางความสัมพันธ เพราะความสัมพันธที่สรางขึ้น อาจจะไมสามารถแทนความสัมพันธที่ควรจะเปนจริงได ขอมูลอนุกรมเวลาจะตองประกอบดวยตัวแปรอยางนอย 2 ตัว โดยที่มีตัวแปรตัวหนึ่ง ใชแทนเวลา การกําหนดคาของตัวแปรที่ใชแทนเวลา จะกําหนดคาเปนบวกหรือเปนลบก็ได เพราะสมการ y = 0.85x จะใชทํานายรายจายโดยเฉลี่ยตอเดือนของครอบครัวที่อาศัยอยู ในจังหวัดชลบุรีเทานั้น ไมสามารถนําไปใชทํานายรายจายของครอบครัวที่จังหวัดอื่นได
2 (5) 2 (6) 2 (7) 2 (8) 3 (9) 3 (10)
8. (1) แผนภาพการกระจายของขอมูล Y และ X Y จํานวนชิ้นงานที่คนงานทําไมสําเร็จ 40
*
32
* *
24 16
* * * * ** * *
*
*
8 0
2
4 ∧
6
8 ∧
10
12
14
X ระยะเวลาฝกงาน (สัปดาห)
(2) จากสมการ Y = 35.57 – 1.40 X ที่ใชประมาณจํานวนของเสีย (ชิ้นงานที่คนงานทําไมสําเร็จ) จากระยะเวลาฝกทักษะคนงาน พบวา เมื่อเรานําขอมูลระยะเวลาฝกทักษะของคนงานแทนใน สมการขางตน ทําใหสามารถวิเคราะหขอมูลไดวา เมื่อระยะเวลาฝกงานของคนงานเพิ่มมากขึ้นจํานวนของเสียจะลดนอยลง ในทํานอง เดียวกัน ถาระยะเวลาฝกงานของคนงานนอยจํานวนของเสียจะมีคามาก
120 (3) จากสมการ ระยะเวลา ฝกงาน (สัปดาห)
7
∧
Y
∧
= 35.57 – 1.40 X จะไดคา
9
6
14
8
∧
Y
∧
และคา Y – Y ดังนี้
12
10
4
2
11
1
25.77 25.77 25.77 25.77 25.77 25.77 25.77 25.77 25.77 25.77 25.77 25.77 0.23 –2.97 0.83 0.03 –1.37 –0.77 2.43 –3.97 5.23 1.83 –2.17 0.63
∧
Y ∧
Y– Y
∧
∧
(4) ผลตางของ Y – Y ควรมีคาต่ํา เพราะนั่นหมายความวา สมการ Y ที่ใชประมาณจํานวน ของเสีย มีคาใกลเคียงกับความเปนจริง ∧
∧
หากคาของ Y – Y มีคาสูง แสดงวา สมการ Y นั่น ไมเหมาะสมใชประมาณจํานวนของเสีย 9. (1) แผนภาพการกระจายของขอมูลปริมาณน้ําหนักที่ลดลง (DX) และปริมาณไทรกลีเซอไรด ที่เปลี่ยนแปลงเมื่อคนไขลดน้ําหนักเปนเวลา 8 สัปดาห (DY)
400 300 200 DY
8
*
100
* ** * * * * * * * * * ** * * **** * * * * *
0 -100
** * * * **
*
-200 -10
-5
0
DX (2) จากแผนภาพไมมีขอมูลผิดปกติ และลักษณะกราฟแสดงความสัมพันธระหวาง DX และ DY เปนกราฟรูปเสนตรง
121 (3) สามารถใชสมการปกติ และผลรวมของขอมูลจากตาราง ดังนี้ 34
∑ (DY)i
34
an + b∑ (DX)i
=
i =1
i =1
34
∑ (DX)i (DY)i i =1 34
แทนคา ∑ (DX)i = –139.2, i =1
34
34
34
i =1
i =1
a ∑ (DX)i + b∑ (DX)i2
= 34
∑ (DY)i i =1
= –747,
34
∑ (DX) (DY) = 4,545.7 i =1
i
i
∑ (DX) = 798.76 2 i
i =1
จะได สมการปกติ คือ –749 = a (34) + b(–139.20) ---------- (1) 4,545.7 = a(–139.20) + b(798.76) ---------- (2) จะได a = 4.42, b = 6.46 ดังนั้น สมการที่ใชประมาณคาของ DY จากคาของ DX คือ ∧
∧
= 4.42 + 6.46 DX หรือถาน้ําหนักเพิ่มขึ้น 1 หนวย อาจทําใหปริมาณไทรกลีเซอไรดเพิ่มขึ้นโดยเฉลี่ย 6.46 หนวย หรือ ถาน้ําหนักลดลง 1 หนวย อาจทําใหปริมาณไทรกลีเซอไรดลดลงโดยเฉลี่ย 6.46 หนวย DY
(4) จากสมการที่ใชประมาณคา DY ในขอ 3 เมื่อ
∧
DX
=
-5
จะได
∧
= 4.42 + 6.46(-5) = -27.88 ดังนั้น DY ที่พยากรณไดเมื่อ DX = -5 คือ -27.88 หมายความวา ถาน้ําหนักลดลง 5 กิโลกรัม ปริมาณไทรกลีเซอไรดจะลดลงโดยเฉลี่ย 27.88 มิลลิกรัมตอเดซิลิตร DY
หมายเหตุ จะเห็นวาการรวมและไมรวมคาผิดปกติใหผลลัพธที่ตางกัน ในบางกรณีอาจใหผลลัพธที่ตาง กันมากโดยเฉพาะกรณีที่รวมคาผิดปกติหลายคา ซึ่งอาจมีผลกระทบมากตอสมการความสัมพันธจน อันตรายหรือใชในความหมายที่ผิดได อยางไรก็ตามในการศึกษาในระดับที่สูงขึ้นเราสามารถตรวจ สอบหาคาผิดปกติโดยใชวิธีการทางสถิติไดตอไป
74
เฉลยแบบฝกหัด 2.1 75 − 70 15 1 = 3 80 − 80 คามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของวิชัยในชั้น ม.4 = 20 = 0 คามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของวิชัยในชั้น ม.3 สูงกวาคามาตรฐานของ คะแนนในชั้น ม.4 แสดงวาวิชัยเรียนคณิตศาสตรในชั้น ม.3 ไดดีกวา
1. คามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของวิชัยในชั้น ม.3
2. ถาให µ คือคาเฉลี่ยเลขคณิตจะไดวา
1
=
=
12 − µ 1.1
= 12 – 1.1 µ = 10.9 ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตของเวลาที่ใชในการวิ่งของนักกีฬาทั้งหมดเปน 10.9 วินาที µ
3. คามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาภาษาไทย
=
คามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษ
=
คามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาวิทยาศาสตร
=
ดังนั้น จิตราเรียนวิชาวิทยาศาสตรไดดีที่สุด
80 − 85 15 60 − 75 20 70 − 65 5
=
1 3 3 − 4
=
1
=
−
x − 25 2 x = 4 + 25 x = 29 ดังนั้น คนงานที่มีอายุตั้งแต 29 ปขึ้นไป จึงจะมีโอกาสไดรับเลือกเขาเปนคนงานของโรงงานนี้
4. คามาตรฐานของอายุคนงาน
2
5. คามาตรฐานของวิชาที่ 1 ของนาย ก
=
คามาตรฐานของวิชาที่ 2 ของนาย ก
=
คามาตรฐานของวิชาที่ 3 ของนาย ก
=
=
70 − 70 5 75 − 70 10 75 − 80 15
= = =
0 1 2 −
1 3
75 ดังนั้น คามาตรฐานเฉลี่ยของวิชาที่ 1, 2 และ 3 ของนาย ก
คามาตรฐานของวิชาที่ 1 ของนางสาว ข
=
คามาตรฐานของวิชาที่ 2 ของนางสาว ข
=
=
0 + 12 − 13 3 1 18
=
1
=
–2
=
75 − 70 5 50 − 70 10 95 − 80 15
1 1− 2 +1 ดังนั้น คามาตรฐานเฉลี่ยอขงวิชาที่ 1, 2 และ 3 ของนางสาว ข = 3 = 0 แตเกณฑของหนวยงานผูสอบคัดเลือกไดจะตองไดคามาตรฐานเฉลี่ยของคะแนนทั้ง 3 วิชา ไมต่ํากวา 0 ดังนั้น นาย ก และนางสาว ข จะสอบคัดเลือกไดทั้งสองคน คามาตรฐานของวิชาที่ 3 ของนางสาว ข
=
=
6. ถาคาเฉลี่ยเลขคณิตคือ µ และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน คือ σ จะไดวา 3 = และ
µ + 3σ
=
650
1.9
=
540 − µ σ
650 − µ σ
(1)
= 540 (2) = 110 จาก (1) และ (2) จะได 1.1σ σ = 100 และ µ = 650 – 300 µ = 350 ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบคือ 350 คะแนน และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ของคะแนนสอบคือ 100 คะแนน µ + 1.9σ
7. (1) คามาตรฐานของผูปวยโรคหัวใจในรัฐอลาสกา =
90 − 289 54
= –3.69 ดังนั้น โรคหัวใจในรัฐอลาสกาจะมีความรุนแรงนอยกวารัฐอื่น ๆ
76 240 − 289 54 = –0.91 166 − 200 คามาตรฐานของผูปวยโรคมะเร็งในรัฐคาลิฟอรเนีย = 31 = –1.10 ดังนั้น ในรัฐคาลิฟอรเนียโรคหัวใจมีความรุนแรงมากกวาโรคมะเร็ง เมื่อเทียบกับที่พบ ในรัฐอื่น ๆในระดับประเทศ
(2) คามาตรฐานของผูปวยโรคหัวใจในรัฐคาลิฟอรเนีย
=
8. เนื่องจาก zi (1)
(2)
(3)
(4)
2
=
x x
= =
–1
=
x x
= =
–1.5
=
x x
= =
x i −µ σ x − 20
5 10 + 20 30
x − 25 3 –3 + 25 22 x − 100 10 –15 + 100 85
2.5
=
x − ( −10 ) 0.2
0.5 x x
= = =
x + 10 0.5 – 10 –9.5
=
77
เฉลยแบบฝกหัด 2.2 1. (1) ให x เปนคาของขอมูล โดยกําหนดให จาก
z
=
จะได
z
= =
µ
= 400 และ
σ
= 100
x −µ σ 538 − 400
100 1.38
1.38
0
Z
จากตารางพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.38 เทากับ 0.4162 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติเมื่อ z > 1.38 เทากับ 0.5 – 0.4162 = 0.0838 นั่นคือ มีขอมูล 8.38% ของขอมูลทั้งหมด มีคามากกวา 538 (2) จะได
z
= =
-2.21
179 − 400 100 –2.21
0
Z
จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = –2.21 ถึง z = 0 เทากับ 0.4864 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z > –2.21 เทากับ 0.5 + 0.4865 = 0.9864 นั่นคือ มีขอมูล 98.64% ของขอมูลทั้งหมด มีคามากกวา 179
78 (3) จะได
z
= =
356 − 400 100 –0.44
Z
-0.44 0
จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = –0.44 ถึง z = 0 เทากับ 0.1700 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z < –0.44 เทากับ 0.5 – 0.1700 = 0.3300 นั่นคือ มีขอมูล 33% ของขอมูลทั้งหมด มีคานอยกวา 356 (4) จะได
z
= =
621 − 400 100 2.21
0
2.21
Z
จากตารางพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 2.21 เทากับ 0.4864 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปก เมื่อ z < 2.21 เทากับ 0.5 + 0.4864 = 0.9864 นั่นคือ มีขอมูล 98.65% ของขอมูลทั้งหมด มีคานอยกวา 621
79 (5) จะได
z1
=
z2
=
318 − 400 100 671 − 400 100
-0.82 0
=
–0.82
=
2.71
Z
2.71
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 2.71 เทากับ 0.4966 จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = –0.82 ถึง z = 0 เทากับ 0.2939 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ –0.82 < z < 2.71 เทากับ 0.4966 + 0.2939 = 0.7905 นั่นคือ มีขอมูล 79.05% ของขอมูลทั้งหมด มีคาระหวาง 318 และ 671 (6) จะได
z1
=
z2
=
484 − 400 100 565 − 400 100
0 0.84 1.65
=
0.84
=
1.65
Z
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.84 เทากับ 0.2995 จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.65 เทากับ 0.4505 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ 0.84 < z < 1.65 เทากับ 0.4505 – 0.2995 = 0.1510 นั่นคือ มีขอมูล 15.09% ของขอมูลทั้งหมด มีคาระหวาง 484 และ 565
80 (7) จะได
z1
=
z2
=
249 − 400 100 297 − 400 100
=
–1.51
=
–1.03
Z
-1.51 -1.03 0
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = –1.51 ถึง z = 0 เทากับ 0.4345 จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = –1.03 ถึง z = 0 เทากับ 0.3485 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ –1.51 < z < –1.03 เทากับ 0.4345 – 0.3485 = 0.0860 นั่นคือ มีขอมูล 8.6% ของขอมูลทั้งหมด มีคาระหวาง 249 และ 297 2. (1) ให x เปนน้ําหนักของกาแฟ (กรัม) โดยกําหนด จาก
z
=
จะได z1
=
z2
=
x −µ σ 115 − 115.5
µ
≈ 0.3 115.5 − 115.5 = 0.3
-1.667 0
= 115.5 และ
σ
= 0.3
–1.667 0
Z
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.66 เทากับ 0.4515 และ z = 0 ถึง z = 1.67 เทากับ 0.4525 จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.667 เทากับ 0.001 × 0.007 0.4515 + ⎛⎜ 0.01 ⎞⎟ = 0.4522 ⎝ ⎠
81 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ –1.667 < z < 0 เทากับ 0.4522 นั่นคือ มีขวดกาแฟ 45.22% ของขวดกาแฟทั้งหมด ที่กาแฟในแตละขวดมีน้ําหนัก ระหวาง 115 กรัม และ 115.5 กรัม (2) จะได
z1
=
z2
=
114.9 − 115.5 = 0.3 115.5 − 115.5 = 0.3
-2
0
–2 0
Z
จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ –2 < z < 0 เทากับ 0.4772 นั่นคือ มีขวดกาแฟ 47.72% ของกาแฟทั้งหมดที่กาแฟในแตละขวดมีน้ําหนักระหวาง 114.9 กรัม และ 115.5 กรัม (3) จะได
z1
=
z2
=
115.2 − 115.5 = 0.3 115.9 − 115.5 ≈ 0.3
-1 0 1.333
–1 1.333
Z
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.33 เทากับ 0.4082 และ z = 0 ถึง z = 1.34 เทากับ 0.4099 จะได พื้นที่เสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.333 เทากับ 0.0017 × 0.003 0.4082 + ⎛⎜ 0.01 ⎞⎟ = 0.4087 ⎝ ⎠
82 และพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = –1 ถึง z = 0 เทากับ 0.3413 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ –1 < z < 1.333 เทากับ 0.4087 + 0.3413 = 0.75 นั่นคือ มีขวดกาแฟ 75% ของกาแฟทั้งหมดที่กาแฟในแตละขวดมีน้ําหนักระหวาง 115.2 กรัม และ 115.9 กรัม (4) จะได
z1
=
z2
=
114.7 − 115.5 0.3 115 − 115.5 0.3
≈
–2.667
≈
–1.667
Z
-2.667 -1.667 0
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 2.66 เทากับ 0.4961 และ z = 0 ถึง z = 2.67 เทากับ 0.4962 จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 2.667 เทากับ 0.4961+0.00007=0.49617 และพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.667 เทากับ 0.4522 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ –2.667 < z < –1.667 เทากับ 0.49617–0.4522 = 0.0440 นั่นคือ มีขวดกาแฟ 4.4% ของกาแฟทั้งหมด ที่กาแฟในแตละขวดมีน้ําหนักระหวาง 114.7 กรัม และ 115 กรัม 115.5 − 115.5 = 0 0.3 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z > 0 เทากับ 0.5 นั่นคือ มีขวดกาแฟ 50% ของกาแฟทั้งหมดที่กาแฟในแตละขวดมีน้ําหนักมากกวา 115.5 กรัม
(5) จะได
z
=
0
Z
83 115 − 115.5 ≈ –1.667 0.3 จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.667 เทากับ 0.4522 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z < –1.667 เทากับ 0.5 – 0.4522 = 0.0478 นั่นคือ มีขวดกาแฟ 4.78% ขวดกาแฟทั้งหมดที่กาแฟในแตละขวดมีน้ําหนักมากกวา 115 กรัม
(6) จะได
z
=
Z
-1.667 0
3. (1) ให x เปนคะแนนสอบของนายไผท โดยกําหนด จาก
z
=
จะได
z
=
x − µ σ 62 − 64
8
-0.25 0
µ
=
= 64 และ
σ
=8
–0.25
Z
จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = –0.25 ถึง z = 0 เทากับ 0.0987 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z < –0.25 เทากับ 0.5 – 0.0987 = 0.4013 นั่นคือ ตําแหนงเปอรเซ็นไทลของคะแนนไผท คือ 40.13 ในกลุมนักเรียนชาย
84 (2) ให x เปนคะแนนสอบของอาภัสรา โดยกําหนด µ = 60 และ σ = 10 73 − 60 = 1.3 จาก z = 10 จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.3 เทากับ 0.4032
0
1.3
Z
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z < 1.3 เทากับ 0.5 + 0.4032 = 0.9032 นั่นคือ ตําแหนงเปอรเซ็นไทลของคะแนนอาภัสรา คือ 90.32 ในกลุมนักเรียนหญิง คะแนนของอาภัสราในกลุมนักเรียนชาย โดยกําหนด 73 − 64 จะได z = 1.125 8 =
0 1.125
Z
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.12 เทากับ 0.3686 และ z = 0 ถึง z = 1.13 เทากับ 0.3708 0.0022 × 0.005 จะไดพื้นที่ใตเสนโคงระหวาง z = 0 ถึง z = 1.125 เทากับ 0.3686 + ⎛⎜ 0.01 ⎞⎟ ⎝ ⎠ = 0.3697 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z < 1.125 เทากับ 0.5 + 0.3697 = 0.8697 นั่นคือ ตําแหนงเปอรเซ็นไทลของคะแนนอาภัสรา คือ 86.97 ในกลุมนักเรียนชาย
85 4. (1) ให x เปนคะแนนที่เปนเปอรเซ็นไทลที่ 25 จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง P25 เทากับ 0.25
0.25
Z
P25 0
จากตาราง
พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.2518 คา z เทากับ 0.68 พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.2486 คา z เทากับ 0.67 0.01 × 0.0014 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.25 คา z เทากับ 0.67 + ⎛⎜ 0.0032 ⎞⎟ ≈ 0.6744 ⎝ ⎠ จาก
z = –0.6744 =
x − µ σ x − 72
12 x = 72 – 8.0928 x = 63.91 นั่นคือ คะแนน ที่เปนเปอรเซ็นไทลที่ 25 คือ 63.91
(2) ให x เปนคะแนนที่เปนเปอรเซ็นไทลที่ 90 จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง P90 เทากับ 0.90 – 0.5 = 0.4
0
P90
Z
จากตาราง
พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.4015 คา z เทากับ 1.29 พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.3997 คา z เทากับ 1.28 0.01 ×0.0003 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.4 คา z เทากับ 1.28 + ⎛⎜ 0.0018 ⎞⎟ ⎝ ⎠
≈
1.2817
86 x − 72 12 x = 72 + 15.3804 x = 87.38 นั่นคือ คะแนนที่เปนเปอรเซ็นไทลที่ 90 คือ 87.38
จาก
1.2817
=
5. ให x เปนความหนาของแผนพลาสติก จาก
z
=
จะได
z1
=
z2
=
x −µ σ
0.0595 − 0.0625 0.0025 0.0659 − 0.0625 0.0025
-1.2
0
=
–1.2
=
1.36
Z
1.36
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.36 เทากับ 0.4131 และจะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.2 เทากับ 0.3849 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ –1.2 < z < 1.36 เทากับ 0.4131 + 0.3849 = 0.7980 นั่นคือ มีแผนพลาสติก 79.8% ของพลาสติกทั้งหมดที่ผลิตไดมีความหนาอยูระหวาง 0.595 เซนติเมตร และ 0.0659 เซนติเมตร 6. เพราะวา 50.04% ของนาฬิกาทั้งหมดที่ผลิตไดมีความคลาดเคลื่อนระหวาง x กับ 0.136 วินาที จาก
z
=
z
=
x −µ σ
0.136 − 0.00 0.4
=
0.34
87
50.04% X
Z
0 0.136
จากตารางพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.34 เทากับ 0.1331 จากรูป จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติจาก z = 0 ถึง x เทากับ 0.5004 – 0.1331 = 0.3673 จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.3686 คา z เทากับ 1.12 พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.3665 คา z เทากับ 1.11 0.01 × 0.0008 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.3673 คา z เทากับ 1.11 + ⎛⎜ 0.0021 ⎞⎟ ≈ 1.1138 ⎝ ⎠ x − 0.00 จะได –1.1138 = 0.4 x = –0.446 นั่นคือ x เทากับ –0.446 วินาที 7.
Z
X = 11.88 µ = 12.00
จากรูป จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติจาก x = 11.88 ถึง µ = 12.00 เทากับ 0.5–0.1151 = 0.3849 จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.3849 คา z เทากับ 1.20 จาก
z = –1.20 = σ
=
x −µ σ 11.88 − 12.00 σ − 0.12 = − 1.2
0.1
ดังนั้น ความแปรปรวนของน้ําหนักสุทธิของกระปองบรรจุถั่วที่ผลิตโดยบริษัทนี้เทากับ 0.01
88 8. (1) กําหนด
σ
= 3, x = 6 และพื้นที่ใตเสนโคงปกติเทากับ 0.09
0.41 0.09 X=6
จากตาราง
Z
0
พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.4099 คา z เทากับ 1.34 พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.4115 คา z เทากับ 1.35 × 0.0001 ⎞ ⎟ 0.0016 ⎠
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.09 คา z เทากับ 1.34 + ⎛⎜ 0.01 จะได
–1.3406
=
6−µ 3
⎝
= 1.3406
= 6 + 4.0218 µ = 10.0218 ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตประมาณ 10.0218 เปนคา a ที่ตองการ µ
(2) กําหนด µ = 10, x = 12 และพื้นที่ใตเสนโคงปกติเทากับ 0.60 จากรูป พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง µ ถึง x = 12 เทากับ 0.6 – 0.5 = 0.1
µ X = 12
จากตาราง
พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.1026 คา z เทากับ 0.26 พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.0987 คา z เทากับ 0.25 0.01 × 0.0013 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.1 คา z เทากับ 0.25 + ⎛⎜ 0.0039 ⎞⎟ ⎝ ⎠ จะได
0.2533
=
σ
=
12 − 10 σ 2 0.2533
7.90 ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานประมาณ 7.90 เปนคา b ที่ตองการ σ
≈
≈
0.2533
89 (3) กําหนด µ = 10, σ = 2 และพื้นที่ใตเสนโคงปกติเทากับ 0.18 จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.1808 คา z เทากับ 0.47 พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.1772 คา z เทากับ 0.46
µ
X
0.01 × 0.0028 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.18 คา z เทากับ 0.46 + ⎛⎜ 0.0036 ⎞⎟ = 0.4678 ⎝ ⎠ x − 10 จะได –0.4678 = 2 x = 10 – 0.9356 x = 9.0644 ดังนั้น คะแนนที่สนใจศึกษาประมาณ 9.06 เปนคา c ที่ตองการ
(4) กําหนด จะได
µ
= 3, z
σ
= 1 และ x = 2 =
2−3 1
=
–1
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z < –1 เทากับ 0.5 – 0.3413 = 0.1587
z = –1
µ
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติของคะแนนที่ต่ํากวา 2 เทากับ 0.1587 เปนคา d ที่ตองการ
90 9. (1) ให x เปนคะแนนสอบ SAT โดยกําหนด จาก
z
=
จะได
z1
=
µ
= 505 และ
σ
= 111
x −µ σ 400 − 505
= –0.946 111 600 − 505 z2 = = 0.856 111 จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.94 เทากับ 0.3264 พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.95 เทากับ 0.3289 จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.946 เทากับ 0.0025 × 0.006 0.3264 + ⎛⎜ 0.01 ⎞⎟ = 0.3279 ⎝ ⎠
-0.946
Z
0 0.856
จากตาราง
พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.85 เทากับ 0.3023 พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.86 เทากับ 0.3051 จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.856 เทากับ 0.0028 × 0.006 0.3023 + ⎛⎜ 0.01 ⎞⎟ = 0.30398 ⎝ ⎠
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติของคะแนน SAT ที่อยูระหวาง 400 และ 600 เทากับ 0.3279 + 0.30398 = 0.63188 (2) จะได
z
=
700 − 505 111
0
≈
1.757
1.757
Z
91 จากตาราง
พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.75 เทากับ 0.4599 พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.76 เทากับ 0.4608 จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.757 เทากับ 0.0009 × 0.007 0.4599 + ⎛⎜ 0.01 ⎞⎟ = 0.46053 ⎝ ⎠ ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติของคะแนน SAT ที่มากกวา 700 เทากับ 0.5 – 0.46053 = 0.03947 (3) จะได
z
=
450 − 505 111
-0.495 0
≈
–0.495
Z
จากตาราง
พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.49 เทากับ 0.1879 พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.50 เทากับ 0.1915 จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.495 เทากับ 0.0036 × 0.005 0.1879 + ⎛⎜ 0.01 ⎞⎟ = 0.1897 ⎝ ⎠ ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติของคะแนน SAT ที่นอยกวา 450 เทากับ 0.5 – 0.1897 = 0.3103