คณิ ตศาสตร์พ นื ฐาน ชั นมัธยมศึกษาปี ที 5
เล่ม 1
สารบัญ หนา บทที่ 1 ลําดับและอนุกรม ผลการเรียนรูที่คาดหวัง ขอเสนอแนะ กิจกรรมเสนอแนะ ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท เฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจําบท เฉลยแบบฝกหัด 1.1.1 เฉลยแบบฝกหัด 1.1.2 เฉลยแบบฝกหัด 1.1.3 เฉลยแบบฝกหัด 1.1.4 เฉลยแบบฝกหัด 1.2.1 เฉลยแบบฝกหัด 1.2.2
1 2 12 26 28 33 36 43 51 57 63
บทที่ 2 ความนาจะเปน ผลการเรียนรูที่คาดหวัง ขอเสนอแนะ กิจกรรมเสนอแนะ ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท เฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจําบท เฉลยแบบฝกหัด 2.1 เฉลยแบบฝกหัด 2.2
71 72 77 82 84 87 93
33
เฉลยแบบฝกหัด 1.1.1 1.
1)
2)
จาก จะได
an = 2n + 5 a1 = 2(1) + 5 a2 = 2(2) + 5 a3 = 2(3) + 5 a4 = 2(4) + 5 ดังนั้น 4 พจนแรกของลําดับนี้คือ 7, 9, 11, 13 จาก จะได
an a1 a2 a3
=
1 2
n
=
1 2
1
=
1 2
2
=
1 2
3
= = = =
7 9 11 13
=
1 2
=
1 4
=
1 8
4
ดังนั้น 4 3)
4)
1 a4 = = 2 พจนแรกของลําดับนี้คือ 12 , 14 , 18 , 161
an = (–2)n a1 = (–2)1 a2 = (–2)2 a3 = (–2)3 a4 = (–2)4 ดังนั้น 4 พจนแรกของลําดับนี้คือ –2, 4, –8, จาก จะได
จาก
an
=
จะได
a1
=
a2
=
n +1 n 1+ 1 1 2 +1 2
1 16
= = = = 16
–2 4 –8 16
=
2
=
3 2
34
a3
=
a4
=
3+ 1 3 4 +1 4
ดังนั้น 4 พจนแรกของลําดับนี้คือ 2, 32 , 5)
จาก
an
=
จะได
a1
=
a2
=
a3
=
a4
=
= = 4 5 , 3 4
1 + (−1) n n 1 + (−1)1 1 1 + (−1) 2 2 1 + (−1) 3 3 1 + (−1) 4 4
ดังนั้น 4 พจนแรกของลําดับนี้คือ 0, 1, 0, 6)
จาก
an
=
จะได
a1
=
a2
=
a3
=
a4
=
7)
จาก จะได
=
0
=
1
=
0
=
1 2
=
2 3
=
4 9 8 27 16 81
1 2
2n 3n 21 31 22 32 23 33 24 34
ดังนั้น 4 พจนแรกของลําดับนี้คือ
4 3 5 4
= = 2 4 8 16 , , , 3 9 27 81
an = (n – 1)(n + 1) a1 = (1 – 1)(1 + 1) a2 = (2 – 1)(2 + 1) a3 = (3 – 1)(3 + 1) = (4 – 1)(4 + 1) a4 ดังนั้น 4 พจนแรกของลําดับนี้คือ 0, 3, 8, 15
= = = =
0 3 8 15
35
8)
2.
1)
จาก จะได
an = n(n – 1)(n – 2) a1 = 1(1 – 1)(1 – 2) a2 = 2(2 – 1)(2 – 2) a3 = 3(3 – 1)(3 – 2) a4 = 4(4 – 1)(4 – 2) ดังนั้น 4 พจนแรกของลําดับนี้คือ 0, 0, 6, 24 2 , 6 , 10 , 14 , 18 , 22 +4
2)
+4
–5
×4
÷3
+10
–5
×4
×4
÷3
×4
9, ÷3
3 ÷3
+15 +20 +25
10 , 30 , 120 , 600 , 3600
5, ×2
7)
–5
2 , 7 , 17 , 32 , 52 , 77 +5
6)
–5
729 , 243 , 81 , 27 , ÷3
5)
+4
4 , 16 , 64 , 256 , 1024
1, ×4
4)
+4
200 , 195 , 190 , 185 , 180 , 175 –5
3)
+4
5,
×3
×5
×6
1 , –4 , –11 , –20
4, –1
×4
–3
–5
–7
–9
8) 100 , 98 , 94 , 88 , 80 , 70 –2
–4
–6
–8
–10
= = = =
0 0 6 24
36
เฉลยแบบฝกหัด 1.1.2 1.
1)
2)
3)
an a1 a2 a3 a4
= = = = =
4n – 2 4(1) – 2 4(2) – 2 4(3) – 2 4(4) – 2
= = = =
2 6 10 14
an a1 a2 a3 a4
= = = = =
n(n – 1) 1(1 – 1) 2(2 – 1) 3(3 – 1) 4(4 – 1)
= = = =
0 2 6 12
=
1
=
4 3 3 2 8 5
an = a1 = a2 = a3 = a4 =
4)
2n n +1 2(1) 1+1 2(2) 2 +1 2(3) 3 +1 2(4) 4 +1
= =
n
an =
1 2
a1 =
1 2
a2 =
1 2
2
a3 =
1 2
3
a4 =
1 2
4
1
=
1 2
=
1 4
=
1 8
=
1 16
37
5)
2.
an a1 a2 a3 a4
= = = = =
(–1)n (–1)1 (–1)2 (–1)3 (–1)4
1)
1 1 , , 2 4 an = 1n −1 2
2)
1, 3, 9, 27 an = 3n–1
3)
24, 8,
1,
an =
= = = =
–1 1 –1 1
1 8
8 8 , 3 9 n −1 1 24 × 3
4)
2 3 4 5 , , , 3 4 5 6 an = n + 1 n+2
5)
0.4, 0.04, 0.004, 0.0004 an = 4 10n
38
3.
1)
2)
3)
พิจารณาลําดับ 1, 3, 5, 7, 9, ... จะเห็นวา a1 = 1 a2 = 3 a3 = 5 a4 = 7 a5 = 9 ดังนั้น พจนทั่วไป an = 2n – 1
= = = = =
2(1) – 1 2(2) – 1 2(3) – 1 2(4) – 1 2(5) – 1
พิจารณาลําดับ 4, 8, 12, 16, จะเห็นวา a1 = = a2 a3 = a4 = a5 = ดังนั้น พจนทั่วไป an = 4n
= = = = =
4(1) 4(2) 4(3) 4(4) 4(5)
= = = = =
4(1) – 1 4(2) – 1 4(3) – 1 4(4) – 1 4(5) – 1
20, ... 4 8 12 16 20
พิจารณาลําดับ 3, 7, 11, 15, 19, ... จะเห็นวา a1 = 3 = 7 a2 a3 = 11 = 15 a4 a5 = 19 ดังนั้น พจนทั่วไป an = 4n – 1
39
4)
5)
6)
พิจารณาลําดับ 7, 12, 17, 22, 27, ... จะเห็นวา a1 = 7 = a2 = 12 = a3 = 17 = a4 = 22 = a5 = 27 = ดังนั้น พจนทั่วไป an = 5n + 2
5(1) + 2 5(2) + 2 5(3) + 2 5(4) + 2 5(5) + 2
พิจารณาลําดับ 1, 6, 11, 16, 21, ... จะเห็นวา a1 = 1 = 6 a2 a3 = 11 a4 = 16 a5 = 21 ดังนั้น พจนทั่วไป an = 5n – 4
5(1) – 4 5(2) – 4 5(3) – 4 5(4) – 4 5(5) – 4
= = = = =
พิจารณาลําดับ 0, –1, –2, –3, –4, ... จะเห็นวา a1 = 0 = = –1 = a2 a3 = –2 = = –3 = a4 a5 = –4 = ดังนั้น พจนทั่วไป an = 1 – n
1–1 1–2 1–3 1–4 1–5
40
7)
8)
9)
พิจารณาลําดับ 1, –1, –3, –5, –7, ... จะเห็นวา a1 = 1 a2 = –1 a3 = –3 a4 = –5 a5 = –8 ดังนั้น พจนทั่วไป an = 3 – 2n
= = = = =
3 – 2(1) 3 – 2(2) 3 – 2(3) 3 – 2(4) 3 – 2(5)
พิจารณาลําดับ 3, 0, –3, –6, –9, ... จะเห็นวา a1 = 3 = 0 a2 a3 = –3 a4 = –6 a5 = –9 ดังนั้น พจนทั่วไป an = 6 – 3n
= = = = =
6 – 3(1) 6 – 3(2) 6 – 3(3) 6 – 3(4) 6 – 3(5)
พิจารณาลําดับ 3, 1, –1, –3, –5, ... จะเห็นวา a1 = 3 = 1 a2 a3 = –1 = –3 a4 a5 = –5 ดังนั้น พจนทั่วไป an = 5 – 2n
= = = = =
5 – 2(1) 5 – 2(2) 5 – 2(3) 5 – 2(4) 5 – 2(5)
41
10) พิจารณาลําดับ –5, –3, –1, 1, 3, ... จะเห็นวา a1 = –5 a2 = –3 a3 = –1 a4 = 1 a5 = 3 ดังนั้น พจนทั่วไป an = 2n – 7
= = = = =
1 1 1 1 1 , , , , , ... 3 6 9 12 15 1 จะเห็นวา a1 = = 3 1 a2 = = 6 1 a3 = = 9 1 a4 = = 12 1 a5 = = 15 ดังนั้น พจนทั่วไป an = 31n
2(1) – 7 2(2) – 7 2(3) – 7 2(4) – 7 2(5) – 7
11) พิจารณาลําดับ
12) พิจารณาลําดับ 1, 14 , จะเห็นวา
1 3(1) 1 3(2) 1 3(3) 1 3(4) 1 3(5)
1 1 1 , , , ... 9 16 25
a1
=
1
=
a2
=
=
a3
=
a4
=
a5
=
1 4 1 9 1 16 1 25 1 n2
ดังนั้น พจนทั่วไป an =
= = =
1 1 1 22 1 32 1 42 1 52
42 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... 2 3 4 5 6 1 = = จะเห็นวา a1 2 2 a2 = = 3 3 a3 = = 4 4 a4 = = 5 5 a5 = = 6 ดังนั้น พจนทั่วไป an = n n+ 1
1 1+1 2 2 +1 3 3 +1 4 4 +1 5 5 +1
2 4 8 16 32 , , , , , ... 5 7 9 11 13 2 จะเห็นวา a1 = = 5 4 a2 = = 7 8 a3 = = 9 16 a4 = = 11 32 a5 = = 13 n ดังนั้น พจนทั่วไป an = 2n2+ 3
21 2(1) + 3 22 2(2) + 3 23 2(3) + 3 24 2(4) + 3 25 2(5) + 3
13) พิจารณาลําดับ
14) พิจารณาลําดับ
15) พิจารณาลําดับ 0, 12 , 23 , จะเห็นวา
3 4 , , ... 4 5
a1
=
0
=
a2
=
=
a3
=
a4
=
a5
=
1 2 2 3 3 4 4 5
ดังนั้น พจนทั่วไป an =
n −1 n
= = =
1− 1 1 2 −1 2 3− 1 3 4 −1 4 5 −1 5
43
เฉลยแบบฝกหัด 1.1.3 1.
1)
จาก จะได
2)
จาก จะได
3)
จาก จะได
4)
a1 = 2, d = 4 a2 = a 1 + d = 2 + 4 = 6 a3 = a1 + 2d = 2 + 2(4) = 10 a4 = a1 + 3d = 2 + 3(4) = 14 ดังนั้น 4 พจนแรกของลําดับเลขคณิตนี้คือ 2, 6, 10, 14 a1 = 3, d = 5 a2 = a 1 + d = 3 + 5 = 8 a3 = a1 + 2d = 3 + 2(5) = 13 a4 = a1 + 3d = 3 + 3(5) = 18 ดังนั้น 4 พจนแรกของลําดับเลขคณิตนี้คือ 3, 8, 13, 18 a1 = –3, d = 3 a2 = a1 + d = –3 + 3 a3 = a1 + 2d = –3 + 2(3) a4 = a1 + 3d = –3 + 3(3) ดังนั้น 4 พจนแรกของลําดับเลขคณิตนี้คือ
จาก จะได
a1 = –4, d = 2 a2 = a1 + d = –4 + 2 a3 = a1 + 2d = –4 + 2(2) a4 = a1 + 3d = –4 + 3(2) ดังนั้น 4 พจนแรกของลําดับเลขคณิตนี้คือ
= = = –3,
0 3 6 0, 3, 6
= = = –4,
–2 0 2 –2, 0, 2
44
5)
จาก จะได
a1 = 5, d = –2 a2 = a1 + d = 5 + (–2) a3 = a1 + 2d = 5 + 2(–2) a4 = a1 + 3d = 5 + 3(–2) ดังนั้น 4 พจนแรกของลําดับเลขคณิตนี้คือ
6)
จาก จะได
7)
จาก
a1 =
จะได
a2 = a 1 + d =
= –3 = 1 = –1 5, 3, 1, –1
a1 = –3, d = –4 a2 = a1 + d = –3 + (–4) = –7 a3 = a1 + 2d = –3 + 2(–4) = –11 a4 = a1 + 3d = –3 + 3(–4) = –15 ดังนั้น 4 พจนแรกของลําดับเลขคณิตนี้คือ –3, –7, –11, –15 1 , 2
d=
a3 = a1 + 2d = a4 = a1 + 3d =
1 2 1 1 + 2 2 1 1 + 2 2 2 1 1 + 3 2 2
= 1 =
3 2
= 2
ดังนั้น 4 พจนแรกของลําดับเลขคณิตนี้คือ 12 , 1, 32 , 2 8)
5 , 2
d=
3 2
จาก
a1 =
จะได
a2 = a 1 + d =
5 3 +− 2 2
= 1
a3 = a1 + 2d =
5 3 + 2 − 2 2
=
a4 = a1 + 3d =
5 3 + 3 − 2 2
= –2
−
ดังนั้น 4 พจนแรกของลําดับเลขคณิตนี้คือ 52 , 1,
−
1 2
−
1 , 2
–2
45
2.
1)
จาก จะได
an a3 a3 a3
= = = =
a1 + (n – 1)d 4 + (3 – 1)3 4+6 10
เมื่อ
a1 = 4,
d=3
2)
จาก จะได
an a8 a8 a8
= = = =
a1 + (n – 1)d เมื่อ –4 + (8 – 1)(–5) –4 – 35 –39
a1 = –4,
d = –5
3)
จาก จะได
an = a1 + (n – 1)d เมื่อ a1 = –5, a9 = –5 + (9 – 1)2 a9 = 11
d=2
4)
จาก จะได
an = a1 + (n – 1)d เมื่อ a1 = 7, a12 = 7 + (12 – 1)(–3) a12 = –26
d = –3
an = a1 + (n – 1)d เมื่อ a1 = 54 ,
d = –1
5) จาก จะได
a20 = a12 =
6)
4 + (20 – 1)(–1) 5 91 − 5
จาก
an = a1 + (n – 1)d
จะได
a15 =
−
a15 =
−28
1 2
=
เมื่อ a1 =
+ (15 – 1)(–2) = 1 2
4 − 19 5
−
1 , 2
1 − − 28 2
d = –2 =
1 −( + 28) 2
46
7)
จาก
an = a1 + (n – 1)d
จะได
a11 = 4 + (11 – 1)( 1 )
เมื่อ
a1 = 4,
d=
1 2
เมื่อ
a1 = 43 ,
d=
1 3
2
a11 = 9 8)
จาก
an = a1 + (n – 1)d
จะได
a15 =
4 3
+ (15 – 1)( 1 ) = 3
4 14 + 3 3
a15 = 6 3.
1)
จากลําดับเลขคณิต 11, 13, 15, 17, 19, ... ที่มี a1 = 11 และ d = 2 จะได an = 11 + (n – 1)2 = 2n + 9 ดังนั้น พจนที่ n หรือ an = 2n + 9
2)
จากลําดับเลขคณิต 7, 10, 13, 16, 19, ... ที่มี a1 = 7 และ d = 3 จะได an = 7 + (n – 1)3 = 3n + 4 ดังนั้น พจนที่ n หรือ an = 3n + 4
3)
จากลําดับเลขคณิต 2, –1, –4, –7, –10, ... ที่มี a1 = 2 และ d = –3 จะได an = 2 + (n – 1)(–3) = 5 – 3n ดังนั้น พจนที่ n หรือ an = 5 – 3n
4)
จากลําดับเลขคณิต 4, 2, 0, –2, –4, ... ที่มี a1 = 4 และ d = –2 จะได an = 4 + (n – 1)(–2) = 6 – 2n ดังนั้น พจนที่ n หรือ an = 6 – 2n
47
5)
จากลําดับเลขคณิต 0, 12 , 1, 23 , 2, ... ที่มี a1 = 0 และ d = จะได an = 0 + (n – 1)( 12 ) n −1 = 2 ดังนั้น พจนที่ n หรือ an = n 2−1
6)
จากลําดับเลขคณิต จะได an = =
3 2
, 2, 52 , 3, 72 , ... ที่มี a1 = 1 3 + (n – 1)( ) 2 2 n +1 2
ดังนั้น พจนที่ n หรือ an = 4.
จาก จะได
an a20 a50
= = =
n +1 2
–n – 3 –20 – 3 –50 – 3
หรือ
3 2
และ d =
n+2 2
= =
–23 –53
5.
จากลําดับเลขคณิต 3, 8, 13, 18, 23, ... ที่มี a1 = 3 และ d = 5 จาก an = a1 + (n – 1)d จะได a15 = 3 + (15 – 1)(5) = 73 a15
6.
กําหนดให a6 = 12 และ a10 = 16 จะได a1 + 5d = 12 --------- (1) และ a1 + 9d = 16 --------- (2) (2) – (1) 4d = 4 d=1 แทน d = 1 ใน (1) จะได a1 = 7 ดังนั้น พจนแรกของลําดับเลขคณิตนี้คือ 7
1 2
1 2
48
7.
ให a3 = 20 และ a7 = 32 จะได a1 + 2d = 20 --------- (1) และ a1 + 6d = 32 --------- (2) (2) – (1) 4d = 12 d=3 แทน d = 3 ใน (1) จะได a1 = 14 จาก an = a1 + (n – 1)d = 14 + (25 – 1)(3) จะได a25 a25 = 86
8.
ให a2 = 16 และ a12 = 116 --------- (1) จะได a1 + d = 16 และ a1 + 11d = 116 --------- (2) (2) – (1) 10d = 100 d = 10 แทน d = 10 ใน (1) จะได a1 = 6 จาก an = a1 + (n – 1)d = 6 + (n – 1)(10) = 10n – 4 จะไดวา an = 10n – 4 และ d = 10
9.
ลําดับ –1, –6, –11, ... เปนลําดับเลขคณิตที่มี a1 = –1 และ d = –5 จาก an = a1 + (n – 1)d จะได –176 = –1 + (n – 1)(–5) –175 = (n – 1)(–5) 35 = n–1 36 = n ดังนั้น –176 เปนพจนที่ 36 ของลําดับเลขคณิต –1, –6, –11, ...
49
10.
จํานวนสามจํานวนแรกซึ่งอยูระหวาง 100 ถึง 1000 ที่หารดวย 13 ลงตัว คือ 104, 117, 130 จํานวนสุดทายซึ่งอยูระหวาง 100 ถึง 1000 ที่หารดวย 13 ลงตัว คือ 988 เขียนจํานวนขางตนเปนลําดับไดดังนี้ 104, 117, 130, ..., 988 จะเห็นวาลําดับดังกลาวเปนลําดับเลขคณิตที่มี a1 = 104 และ d = 13 จาก an = a1 + (n – 1)d จะได 988 = 104 + (n – 1)(13) 884 = 13n – 13 13n = 897 n = 69 จะไดวา จํานวนซึ่งอยูระหวาง 100 กับ 1000 ที่หารดวย 13 ลงตัว มีทั้งหมด 69 จํานวน
11.
ให a1, a2, a3, ... เปนลําดับเลขคณิตที่มี a1 = 39 และ a3 = 51 จะได a1 + 2d = 51 39 + 2d = 51 2d = 12 d = 6 และ a2 = a1 + d = 39 + 6 = 45 ดังนั้น จํานวนที่อยูระหวาง 39 และ 51 ที่ทําใหสามจํานวนนี้อยูในลําดับเลขคณิตคือ 45
12.
ให a1 = 5 และ a7 = 29 เปนพจนที่ 1 และพจนที่ 7 ในลําดับเลขคณิต จะได a1 + 6d = 29 5 + 6d = 29 6d = 24 d = 4 ดังนั้น 5 พจนซึ่งเรียงอยูระหวาง 5 กับ 29 คือ 5 + 4, 5 + 2 (4), 5 + 3(4) และ 5 + 4(4) หรือ 9, 13, 17, 21, 25
50
13.
ให a1 = 20, a2 จาก 20, 16, 12... จาก an –96 4n n
= 16 และ a3 = 12 เปนพจนสามพจนในลําดับเลขคณิต จะได d = –4 = a1 + (n – 1)d = 20 + (n – 1)(–4) = 96 + 20 + 4 120 = 4
n = 30 ดังนั้น –96 เปนพจนที่ 30 ของลําดับเลขคณิต 20, 16, 12, ... 14.
ให a1 เปนราคาที่บริษัทรับซื้อคืนสําหรับรถยนตที่ใชแลว 1 ป a5 เปนราคาที่บริษัทรับซื้อคืนสําหรับรถยนตที่ใชแลว 5 ป โดยที่ a1 = 900,000 และ d = –70,000 จาก a5 = a1 + 4d = 900,000 + 4(–70,000) = 620,000 ดังนั้น เมื่อครบ 5 ป บริษัทที่ขายรถยนตคันนี้จะรับซื้อคืนในราคา 620,000 บาท
15.
ให a1 = 52 และ an = 7 โดยที่ d = –1 จาก an = a1 + (n – 1)d จะได 7 = 52 + (n – 1)(–1) 53 – n = 7 n = 46 ดังนั้น มีไมทั้งหมด 46 ชั้น นั่นคือ ความสูงของไมกองนี้ เทากับ 46 × 3 หรือ 138 เซนติเมตร
51
เฉลยแบบฝกหัด 1.1.4 1.
1)
ลําดับ 2, 4, 8, 16, ... อัตราสวนรวมคือ 4 = 2 2
2)
ลําดับ 18, 6, 2, 2 , ... 3
อัตราสวนรวมคือ 3)
ลําดับ 75, 15, 3, อัตราสวนรวมคือ
4)
6 18 3 , 5 15 75
6) 7) 8)
2.
1)
1 3
=
1 5
...
ลําดับ –8, –0.8, –0.08, –0.008, ... อัตราสวนรวมคือ −0.8 = 1 −8
5)
=
10
ลําดับ –1, 1, –1, 1, ... อัตราสวนรวมคือ 1 = –1
−1 ลําดับ 2 , 4 , 8 , 16 , ... 3 3 3 3 อัตราสวนรวมคือ 4 ÷ 2 = 4 × 3 = 2 3 3 3 2 1 1 1 ลําดับ , 2 , 3 , ... x x x อัตราสวนรวมคือ 12 ÷ 1 = 12 × x = x x x 2 3 ลําดับ 5, 5a , 5a , 5a ... 2 4 8 อัตราสวนรวมคือ 5a ÷ 5 = 5a × 1 = 2 2 5
1 x
a 2
จากลําดับเรขาคณิต 1, 7, 49, 343, ... ที่มี a1 = 1 และ r2 = 7 จะได a5 = a1r4 = 74 = 2401 a6 = a1r5 = 75 = 16807 = a1r6 = 76 = 117649 a7 ดังนั้น สามพจนถัดไปคือ 2401, 16807, 117649
52
2)
จากลําดับเรขาคณิต –1, 2, –4, 8, ... ที่มี a1 = –1 และ r2 = –2 จะได a5 = (–1)(–2)4 = –16 a6 = (–1)(–2)5 = 32 a7 = (–1)(–2)6 = –64 ดังนั้น สามพจนถัดไปคือ –16, 32, –64
3)
จากลําดับเรขาคณิต 3, 1, 1 , 1 , ... ที่มี a1 = 3 และ r = 3
จะได
a5 a6
ดังนั้น
9
=
1 3 3
4
=
1 3 3
5
6
=
1 27
=
1 81
1 = 3 3 สามพจนถัดไปคือ 1 , 1 , 1 27 81 243
a7
=
1 243
3.
จากลําดับเรขาคณิต 2, 4, 8, 16, ... ที่มี a1 = 2 และ r = 2 จาก an = a1rn–1 จะได a9 = 2(2)8 a9 = 512
4.
จากลําดับเรขาคณิต 2, –10, จาก an = จะได a11 = a11 =
5.
จากลําดับเรขาคณิต 1, จาก จะได
an a10
50, –250, ... ที่มี a1 = 2 และ r = –5 a1rn–1 2(–5)10 2(510)
2 a , a 4 2
,
a3 8
=
a1rn–1
=
a 1 2 a9 512
=
1 3
9
, ...
ที่มี a1 = 1 และ r =
a 2
53
6.
7.
จากลําดับเรขาคณิต
1 1 , , 1, 1, 2 6 18 54
จาก
an
=
a1rn–1
จะได
a8
=
a8
=
1 1 2 3 1 4374
... ที่มี a1 =
จากลําดับเรขาคณิต 1, 3, 9, ... จาก an = a1rn–1 จะได an = 1(3)n–1 = 3n–1
2)
จากลําดับเรขาคณิต 25, 5, 1, ... ที่มี a1 = 25 an
=
a1rn–1
จะได an
=
25 1
=
และ r =
1 3
7
1)
จาก
1 2
ที่มี a1 = 1
และ r = 3
และ r =
1 5
n −1
5
5
3–n
3)
จากลําดับเรขาคณิต 1, –1, 1, –1 จาก an = a1rn–1 จะได an = 1(–1)n–1 = (–1)n–1
ที่มี a1 = 1 และ r = –1
4)
จากลําดับเรขาคณิต –2, 4, –8, ... จาก an = a1rn–1 จะได an = (–2)(–2)n–1 = (–2)n
ที่มี a1 = –2 และ r = –2
54
5)
จากลําดับเรขาคณิต
1 , 12 x x
1 x3
an
=
a1rn–1
จะได an
=
1 1 x x 1 xn
จาก
=
, ... ที่มี a1 =
1 x
และ r =
1 x
n −1
6)
จากลําดับเรขาคณิต 1, 0.3, 0.09, 0.027, ... ที่มี a1 = 1 และ r = 0.3 จาก an = a1rn–1 จะได an = 1(0.3)n–1 = (0.3)n–1
7)
จากลําดับเรขาคณิต –8, –0.8, –0.08, –0.008, ... ที่มี a1 = –8 และ r = จาก
an
จะได an
=
a1rn–1
=
(–8) 1 10 8 − n −1 10
= 8)
8.
,
จากลําดับเรขาคณิต 2, 2 3 , 6, ... ที่มี a1 = 2 และ r = จาก an = a1rn–1 จะได an = 2( 3 )n–1
ให a5 = จะได
n −1
32 3
และ r = 2
a1r4
=
a1(24)
=
a1
=
ดังนั้น พจนแรกของลําดับคือ
32 3 32 3 32 1 × 3 16 2 3
3
1 10
55
9.
ให a3 = 12 และ a6 = 96 จะได a3 = a1r2 = 12 ---------- (1) และ a6 = a1r5 = 96 ---------- (2) (2) ÷ (1) จะได r3 = 8 r = 2 ดังนั้น อัตราสวนรวมของลําดับนี้คือ 2
10.
ให a2 =
และ a5 =
8 3
จะได
a1r
=
และ
a1r4
=
(2) ÷ (1) จะได r3 r
= =
64 81 8 3 64 81 8 27 2 3
ดังนั้น อัตราสวนรวมของลําดับนี้คือ 11.
ให จะได และ
a , r
---------- (1) ---------- (2)
2 3
a, ar เปนสามพจนแรกของลําดับเรขาคณิต a + a + ar r a (a)(ar) r
=
–3
=
8
= 8 a3 a = 2 แทน a = 2 ใน (1) จะได 2 + 2 + 2r r
2 + 2r + 2r2 2r2 + 5r + 2 (2r + 1)(r + 2) r
---------- (1)
= –3 = – 3r = 0 = 0 = − 1 , –2 2
56
ถา a = 2, r =
−
1 2
จะไดลําดับเรขาคณิต –4, 2, –1,
1 , 2
....
ถา a = 2, r = –2 จะไดลําดับเรขาคณิต –1, 2, –4, 8, ... เมื่อตรวจสอบคําตอบจะพบวา ลําดับเรขาคณิตขางตนมีผลบวกและผลคูณของ สามพจนแรกเทากับ –3 และ 8 ตามลําดับ 12.
1)
ให a1 = 5 และ a3 = 20 จะได a1r2 = 20 5r2 = 20 r = ±2 ถา r = 2 จํานวนที่อยูระหวาง 5 และ 20 คือ 10 ถา r = –2 จํานวนที่อยูระหวาง 5 และ 20 คือ –10
2)
ให a1 = 8 และ a3 = 12 จะได a1r2 = 12 8r2 = 12 r 3 2
ถา r = ถา r = 13.
=
−
3 2
±
3 2
จํานวนที่อยูระหวาง 8 และ 12 คือ
4 6
จํานวนที่อยูระหวาง 8 และ 12 คือ
−4 6
ลําดับเรขาคณิต 2, –6, 18, ... ที่มี a1 = 2 และ r = –3 จาก an = a1rn–1 จะได 162 = 2(–3)n–1 81 = (–3)n–1 (–3)4 = (–3)n–1 n–1 = 4 n = 5 ดังนั้น 162 เปนพจนที่ 5 ของลําดับเรขาคณิต 2, –6, 18, ...
57
14.
15.
ในป พ.ศ. 2540 มีประชากร 60,000 คน และแตละปมีประชากรเพิ่มขึ้น 2% ถาเดิมมีประชากร 60000 คน สิ้นปแรกจะมีประชากร 60000 × 1.02 ถาเดิมมีประชากร 60000 × 1.02 คน สิ้นปจะมีประชากร 60000 × (1.02)2 ถาเดิมมีประชากร 60000 × (1.02)2 คน สิ้นปจะมีประชากร 60000 × (1.02)3 ดังนั้น จํานวนประชากรในอีก n ป ขางหนานับจากป พ.ศ. 2540 คือ 60000 × (1.02)n ในป พ.ศ. 2555 หรืออีก 15 ปตอไป จะมีประชากรเทากับ 60000 × (1.02)15 ≈ 80,752 คน 1) 2) 3) 4)
ลําดับ 7, 9, 11, 13, ..., เปนลําดับเลขคณิต มีผลตางรวมเปน 2 ลําดับ 6, –6, 6, –6, ..., เปนลําดับเรขาคณิต มีอัตราสวนรวมเปน –1 ลําดับ 4, 2, 0, –2, ..., เปนลําดับเลขคณิต มีผลตางรวมเปน –2 ลําดับ 3, 1, 13 , 19 , ..., เปนลําดับเรขาคณิต มีอัตราสวนรวมเปน
5)
ลําดับ
−
1 3
1 , − 2 , − 1 , − 4 , ..., 4 5 2 7
ไมเปนทั้งลําดับเลขคณิตและลําดับเรขาคณิต
เฉลยแบบฝกหัด 1.2.1 1.
ลําดับเลขคณิต 5, 7, 9, 11, 13, ... มี a1 = 5 n = {2a1 + (n – 1)d} จาก Sn จะได
S50
=
2 50 {2(5) + (50 – 1)2} 2
= =
25(108) 2,700
และ d = 2
คน คน คน คน คน
58
2.
ลําดับเลขคณิต 0, 2, 4, 6, 8, ... มี a1 = 0 n = {2a1 + (n – 1)d} จาก Sn จะได
3.
= =
15(58) 870
S40
=
2 40 {2(2) + (40 – 1)4} 2
= =
20(160) 3,200
ลําดับเลขคณิต –2, 3, 8, 13, 18, ... มี a1 = –2 n = {2a1 + (n – 1)d} จาก Sn จะได
5.
=
ลําดับเลขคณิต 2, 6, 10, 14, 18, ... มี a1 = 2 และ d = 4 n จาก Sn = {2a1 + (n – 1)d} จะได
4.
S30
2 30 {2(0) + (30 – 1)2} 2
และ d = 2
S60
=
2 60 {2(–2) + (60 – 1)5} 2
= =
30(291) 8,730
และ d = 5
ลําดับเลขคณิต 5, 2, –1, –4, –7, ... มี a1 = 5 และ d = –3 n = {2a1 + (n – 1)d} จาก Sn จะได
S75
= = =
2 75 {2(5) + (75 – 1)(–3)} 2 75 (–212) 2
–7,950
59
6.
1 , 2
ลําดับเลขคณิต
3 , 2
1,
จาก
Sn
=
จะได
S50
=
2,
= ลําดับเลขคณิต
−
1 1 , , 3 3
จาก
Sn
=
จะได
S100
= = =
8.
1)
มี a1 =
1 2
และ d =
1 2
n {2a1 + (n – 1)d} 2 50 1 {2 + (50 – 1) 1 } 2 2 2 25 51 2 1275 2
=
7.
5 , ... 2
1,
5 7 , , ... มี a1 = − 1 และ 3 3 3 n {2a1 + (n – 1)d} 2 100 1 {2 − + (100 – 1) 2 } 2 3 3 50 196 3 9800 3
d=
2 3
ลําดับ 6, 9, 12, 15, ..., 99 เปนลําดับเลขคณิต ที่มี a1 = 6 และ d = 3 = a1 + (n – 1)d จาก an จะได 99 = 6 + (n – 1)3 n = 32 และ S32 = 6 + 9 + 12 + 15 + ... + 99 n จาก Sn = (a1 + a n ) S32
=
2 32 (6 + 99) 2
= =
16 (105) 1,680
60
2)
เนื่องจากลําดับ –7, –10, –13, –16, ..., –109 เปนลําดับเลขคณิต ที่มี a1 = –7 และ d = –3 จาก an = a1 + (n – 1)d –109 = (–7) + (n – 1)(–3) จะได n = 35 และ S35 = (–7) + (–10) + (–13) + (–16) + ... + (–109) 35 {(–7)+(–109)} = 2
= = 3)
35(–58) –2030
เนื่องจากลําดับ –7, –4, –1, 2, ..., 131 เปนลําดับเลขคณิต ที่มี a1 = –7 และ d = 3 จาก an = a1 + (n – 1)d 131 = –7 + (n – 1)3 จะได n = 47 และ S47 = (–7) + (–4) + (–1) + 2 + ... + 131 47 {(–7) + 131} = 2
= = 9.
ให a1 = 6, d = 4 และ จาก an = 26 = n = จาก Sn = จะได
S6
47(62) 2914 an = 26 a1 + (n – 1)d 6 + (n – 1)4 6 n (a1 + an)
=
2 6 (6 + 26) 2
= =
3(32) 96
61
10.
ใหผลบวกของจํานวนเต็มคี่บวก 100 จํานวนแรกเขียนแทนดวยอนุกรม 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + 199 ซึ่งจะเห็นวา อนุกรมขางตนเปนอนุกรมเลขคณิตที่มี a1 = 1 และ an = 199 n = (a1 + an) จาก Sn จะได
11.
= = =
50(200) 10,000
ใหผลบวกของจํานวนเต็มบวก 20 จํานวนแรกที่เปนพหุคูณของ 3 เขียนแทนดวยอนุกรม 3 + 6 + 9 + ... + 60 จะเห็นวา อนุกรมขางตนเปนอนุกรมเลขคณิตที่มี a1 = 3 และ an = 60 n จาก Sn = (a1 + an) จะได
12.
S100
2 100 (1 + 199) 2
S20
=
2 20 (3 + 60) 2
= =
10(63) 630
ใหผลบวกของจํานวนคี่ตั้งแต 17 ถึง 379 เขียนแทนดวยอนุกรม 17 + 19 + 21 + ... + 379 จะเห็นวา อนุกรมขางตนเปนอนุกรมเลขคณิต ที่มี a1 = 17 และ d = 2 จาก an = a1 + (n – 1)d 379 = 17 + (n – 1)2 จะได n = 182 n = (a1 + an) จาก Sn จะได
S182
=
2 182 (17 + 379) 2
= =
91(396) 36,036
62
13.
กําหนดให a10 = 20, a5 = 10 จะได a1 + 9d = 20 ---------- (1) และ a1 + 4d = 10 ---------- (2) (2) – (1) 5d = 10 d = 2 แทนคา d = 2 ใน (1) จะได a1 = 2 = 2 + (7 – 1)(2) = 14 เพราะวา a7 a15 = 2 + (15 – 1)(2) = 30 n = (a1 + an) จาก Sn 2
เนื่องจากผลบวกพจนที่ 8 ถึง 15
14.
= =
S15 – S7 15 (2 + 30) – 7 (2 + 14)
= =
15(16) – 7(8) 184
2
2
ใหเงินเดือนที่ชายคนนี้ไดรับตั้งแตป พ.ศ. 2540 เขียนแทนดวยลําดับเลขคณิตดังนี้ 9500, 10200, 10900, 11600, ... ลําดับขางตนเปนลําดับเลขคณิตที่มี a1 = 9500 และ d = 700 จาก an = a1 + (n – 1)d เมื่อ n = 11 จะได a11 = 9500 + (11 – 1)700 = 9500 + 10(700) = 16,500 นั่นคือ ในป พ.ศ. 2550 เขาจะไดรับเงินเดือนเดือนละ 16,500 บาท
63
15.
ใหจํานวนเงินที่ทิมเก็บออมตั้งแตวันแรกเขียนแทนดวยอนุกรม 1 + 2 + 3 + ... + 30 อนุกรมขางตนเปนอนุกรมเลขคณิตที่มี a1 = 1, a30 = 30 n จาก Sn = (a1 + an) S30
=
2 30 (1 + 30) 2
= 15(31) = 465 นั่นคือ ครบ 30 วัน ทิมมีเงินออมทั้งหมด 465 บาท
เฉลยแบบฝกหัด 1.2.2 1.
1)
กําหนดให n = 4, a1 = 3, r = 2 จาก
2)
Sn
=
จะได S4
=
a1 (r n − 1) r −1 3(24 − 1) 2 −1
= 3(15) = 45 กําหนดให n = 7, a1 = 5, r = 4 จาก
Sn
=
จะได S7
= = =
a1 (r n − 1) r −1 5(47 − 1) 4 −1 5(16383) 3
27305
64
3)
กําหนดให n = 9, a1 = –3, r = 5 จาก
Sn
=
จะได S9
= = =
4)
Sn
=
จะได S11
= = =
a1 (r n − 1) r −1 (−7)(311 − 1) 3 −1 7 11 − (3 − 1) 2
–620,011
กําหนดให n = 14, a1 = –5, r = –2 จาก
Sn
=
จะได S14
= = =
2.
–1,464,843
กําหนดให n = 11, a1 = –7, r = 3 จาก
5)
a1 (r n − 1) r −1 (−3)(59 − 1) 5 −1 3 − (59 − 1) 4
a1 (r n − 1) r −1 (−5)((−2)14 − 1)] −2 − 1 5 (16383) 3
27,305
อนุกรมเรขาคณิต 2 + 6 + 18 + 54 + ... จาก
Sn
=
จะได
S9
= =
a1 (r n − 1) r −1 2(39 − 1) 3 −1
19,682
มี a1 = 2 และ r = 3
65
3.
จาก
Sn
=
จะได
S8
= = =
4.
5.
64 + ... 3 a1 (r n − 1) r −1 4 9 ( )8 − 1 3 4 −1 3 4 27 ( )8 − 1 3
อนุกรมเรขาคณิต 9 + 12 + 16 +
อนุกรมเรขาคณิต จาก
Sn
จะได
S10
1)
มี a1 = 9
และ r =
4 3
58975 243
2 4 8 16 + + + + ... มี 3 9 27 81 a1 (r n − 1) = r −1 2 2 (1 − ( )10 ) 3 3 = 2 1− 3
=
2(1 – ( 23 )10)
=
116, 050 59, 049
a1 = =
2 3
และ r =
2 3
a1 (1 − r n ) 1− r
อนุกรมเรขาคณิต 9 + 27 + 81 + ... + 729 มี a1 = 9, r = 3, an = 729 = a1rn–1 จาก an จะได 729 = 9(3)n–1 81 = 3n–1 34 = 3n–1 n–1 = 4 n = 5
66
จาก
Sn
=
จะได
S5
= = =
2)
1,089
อนุกรมเรขาคณิต 2 + 8 + 32 + ... + 8192 มี a1 = 2, r = 4, an = 8192 จาก an = a1rn–1 จะได 8192 = 2(4)n–1 4096 = 4n–1 46 = 4n–1 n–1 = 6 n = 7 จาก
Sn
=
จะได
S7
= =
3)
a1 (r n − 1) r −1 9(35 − 1) 3 −1 9(242) 2
a1 (r n − 1) r −1 2(47 − 1) 4 −1
10,922
อนุกรมเรขาคณิต 4 + 2 + 1 + ... + จาก
an
จะได
1 512
1 2048 11
1 2
n–1
=
a1r
=
4 1 2
=
1 2
=
1 2
n–1 = n =
11 12
n −1
n −1
n −1
1 512
มี a1 = 4, r = 1 , an = 2
1 512
67
จาก
Sn
=
จะได
S12
= = =
4)
a1 (1 − r n ) 1− r 1 4(1 − ( )12 ) 2 1 1− 2 1 8(1 − 12 ) 2 4095 512
อนุกรมเรขาคณิต 16 + 8 + 4 + ... + n–1
จาก
an
=
a1r
จะได
1 32
=
16 1
=
1 2
=
1 2
n
=
10
จาก
Sn
=
จะได
S10
=
a1 (1 − r n ) 1− r 1 16(1 − ( )10 ) 2 1 1− 2 1 32(1 − 10 ) 2 1023 32
1 512 1 2
9
= =
n −1
2 n −1
n −1
1 32
มี a1 = 16, r = 1 , an = 2
1 32
68
5)
อนุกรมเรขาคณิต 1 + (–2) + 4 + ... + 256 มี a1 = 1, r = –2, an = 256 จาก an = a1rn–1 จะได 256 = 1(–2)n–1 28 = (–2)n–1 (–2)8 = (–2)n–1 n–1 = 8 n = 9 จาก
Sn
=
จะได
S9
= =
6)
a1 (1 − r n ) 1− r 1(1 − (−2)9 ) 1 − (−2)
171
อนุกรมเรขาคณิต (–1) + 3 + (–9) + ... + (–729) มี a1 = –1, r = –3, an = –729 จาก an = a1rn–1 จะได –729 = (–1)(–3)n–1 729 = (–3)n–1 36 = (–3)n–1 (–3)6 = (–3)n–1 n = 7 จาก
Sn
=
จะได
S7
= =
a1 (1 − r n ) 1− r (−1)(1 − (−3)7 ) 1 − (−3)
–546.5
69
6.
ใหเงินที่พลเก็บออมตั้งแตวันแรกเขียนแทนดวยอนุกรมเรขาคณิต 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 214 ที่มี a1 = 1, r = 2, n = 15 จาก
Sn
=
จะได
S15
=
a1 (r n − 1) r −1 1(215 − 1) 2 −1
= 215 – 1 = 32,767 นั่นคือ เมื่อครบ 15 วัน พลจะมีเงินออมทั้งหมด 32,767 บาท 7.
ซื้อรถยนตมาในราคา 1,000,000 บาท ในแตละปราคารถยนตคันนี้ลดลง 20% รถยนตราคา 1,000,000 หรือ 106 บาท เมื่อสิ้นป (ครบ 1 ป) ราคารถยนตจะเทากับ 80 บาท 106 × 100
รถยนตราคา 80 106 × 100
2
รถยนตราคา 80 10 × 100 6
3
80 106 × 100
บาท เมื่อสิ้นป (ครบปที่ 2) ราคารถยนตจะเทากับ
บาท 80 106 × 100
2
บาท เมื่อสิ้นป (ครบปที่ 3) ราคารถยนตจะเทากับ
บาท
ดังนั้น เมื่อครบ 5 ป รถยนตคันนี้มีมูลคาทางบัญชี = = = =
8 106 × 10 6 10 × 85 5 10
5
10 × 85
327,680 บาท
80 10 × 100 6
5
บาท
70
8.
เมื่อวางแผนยอดขายเทากับ 300,000 บาท แตละไตรมาสตองการใหยอดขายเพิ่มขึ้น 3% ยอดขาย 300,000 ครบไตรมาสแรก ยอดขายจะเทากับ 300,000 × 103 บาท 100
2
ยอดขาย 300,000 × 103 ครบไตรมาสที่สอง ยอดขายจะเทากับ 300,000× 103 บาท 100
100
2
3
ยอดขาย 300,000 × 103 ครบไตรมาสที่สาม ยอดขายจะเทากับ 300,000× 103 บาท 100
100
ดังนั้น เมื่อครบ 2 ป (8 ไตรมาส) ยอดขายจะเทากับ 300,000 ≈ ≈
9.
ถังน้ําจุ 5,832 ลิตร แตละวันจะใชน้ําไป
1 3
วันที่สองมีน้ํา วันที่สามมีน้ํา
5832 × 2 3
บาท
ของปริมาณน้ําในถังที่มีอยู 2 3
ลิตร
5832 × 2 3
ลิตร เมื่อใชน้ําแลวมีน้ําเหลืออยู 2
103 × 100
300,000 × (1.26677) 380,031
วันแรกมีน้ํา 5832 ลิตร เมื่อใชน้ําแลวมีน้ําเหลืออยู 5832 × 5832 × 2 3
8
ลิตร เมื่อใชน้ําแลวมีน้ําเหลืออยู
2
ลิตร
5832 × 2 3
3
ลิตร
6
ดังนั้น เมื่อครบ 6 วัน จะมีน้ําเหลืออยูในถัง 5832 × 2 ลิตร = 512 ลิตร 3
10.
ถังใบหนึ่งมีน้ําอยู 20 ลิตร ตักน้ําออกจากถังครึ่งหนึ่ง แลวแทนดวยของเหลว จากนั้นตักน้ําที่มีสวนผสมของของเหลวออกมาครึ่งถัง แสดงวา แตละครั้งเมื่อตักแลวปริมาณน้ําจะลดลง 50% เดิมมีน้ํา 20 ลิตร ตักน้ําออกจากถังครั้งที่ 1 จะมีน้ําเหลืออยู 20 × 1 ลิตร 2
2
เดิมมีน้ํา 20 × 1 ลิตร เมื่อตักออกครั้งที่ 2 จะมีน้ําเหลืออยู 20 × 1 ลิตร 2
เดิมมีน้ํา
20 × 1 ลิตร 2
2
เมื่อตักออกครั้งที่ 3 จะมีน้ําเหลืออยู
ดังนั้น เมื่อครบ 8 ครั้ง จะมีน้ําเหลืออยูในถัง
8
20 × 1 2
20 × 1 2
ลิตร =
3
5 64
ลิตร ลิตร
87
ผลบวก จํานวนวิธี
2 1
3 2
4 3
5 4
6 3
7 2
8 1
ให E1, E2, E3 และ E4 เปนเหตุการณในขอ 2), 3), 4) และ 5) 2) P(E1) =
3 16
3) P(E2) =
6 16
หรือ
3 8
4) P(E3) =
12 16
หรือ
3 4
5) P(E4) =
3 16
เฉลยแบบฝกหัด 2.1 1.
เสนทางที่จะขับรถจากกรุงเทพฯ ถึงนครราชสีมาโดยผานลพบุรีที่ตางกันมีทั้งหมด 3 × 4 หรือ 12 เสนทาง ใชแผนภาพตนไมแสดงเสนทางการเดินทางขางตนไดดังนี้ ให ล1, ล2 และ ล3 แทนถนนจากกรุงเทพฯ ถึงลพบุรีซึ่งมี 3 สาย ให น1, น2, น3 และ น4 แทนถนนจากลพบุรีถึงนครราชสีมาซึ่งมี 4 สาย
88
น1 น2 น3 น4 น1 น2 น3 น4 น1 น2 น3 น4
ล1
ล2
กรุงเทพฯ
ล3
จะเห็นไดวามีวิธีเลือกเสนทางจากกรุงเทพฯ ถึงนครราชสีมาโดยผานลพบุรีไดทั้งหมด 12 วิธี คือ (ล1, น1), (ล1, น2), (ล1, น3), (ล1, น4), (ล2, น1), (ล2, น2), (ล2, น3), (ล2, น4), (ล3, น1), (ล3, น2), (ล3, น3), (ล3, น4) 2.
ให ห1, ห2 และ ห3 แทนเหรียญที่ 1, 2 และ 3 ขึ้นหัว ก1, ก2 และ ก3 แทนเหรียญที่ 1, 2 และ 3 ขึ้นกอย ห2 ห1
ก2 ห2
ก1
ก2
ห3 ก3 ห3 ก3 ห3 ก3 ห3 ก3
ผลที่เกิดจากการโยนเหรียญแตละครั้งจะเปนหัวหรือกอย มี 2 วิธี ดังนั้น การโยนเหรียญสามเหรียญจะไดผลตางกันทั้งหมด 2 × 2 × 2 = 8 วิธี
89
3.
ตองใชเสื้อทั้งหมดเทากับ 4 × 6 × 3 = 72 ตัว
4.
คําตอบของขอแรกมีวิธีใหเลือก 2 วิธี ในแตละวิธีเลือกคําตอบขอแรกจะมีวิธีเลือกคําตอบขอสอง 2 วิธี ในแตละวิธีที่เลือกคําตอบขอแรกและขอสองจะมีวิธีเลือกคําตอบขอสามได 2 วิธี ในแตละวิธีที่เลือกคําตอบขอแรกถึงขอสามจะมีวิธีเลือกคําตอบขอสามได 2 วิธี M
M
ในแตละวิธีที่เลือกคําตอบขอแรกถึงขอเกาจะมีวิธีเลือกคําตอบขอสิบ 2 วิธี ดังนั้น จะมีวิธีตอบขอสอบชุดนี้ไดตาง ๆ กัน 2 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ 2 = 210 = 1024 วิธี 5.
หมายเลขโทรศัพทประกอบดวยเลขโดด 9 ตัว ซึ่งไดแก 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 ตําแหนงที่ 1 มีได 1 วิธีคือ เลขโดด 0 ตําแหนงที่ 2 มีได 1 วิธีคือ เลขโดด 2 ตําแหนงที่ 3 มีได 1 วิธีคือ เลขโดด 3 ตําแหนงที่ 4 มีได 1 วิธีคือ เลขโดด 9 ตําแหนงที่ 5 มีได 1 วิธีคือ เลขโดด 2 ตําแหนงที่ 6, 7, 8 และ 9 แตละตําแหนงอาจเปนเลขโดดตัวใดตัวหนึ่งจาก 0 – 9 ซึ่งเปนไปได 10 วิธี ดังนั้น หมายเลขโทรศัพทที่หาตัวแรกเปน 02392 มีไดทั้งหมด 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 10 × 10 × 10 × 10 = 10,000 หมายเลข
6.
จํานวนวิธีที่จะเขาสนามกีฬาโดยใชประตูใดประตูหนึ่ง มีได 4 วิธี จํานวนวิธีที่จะออกจากสนามกีฬาโดยใชประตูที่ไมซ้ํากับประตูที่เขามา มีได 3 วิธี ดังนั้น จํานวนวิธีเขาและออกจากสนามกีฬาแหงนี้มีไดทั้งหมด 4 × 3 = 12 วิธี
7.
1)
ผลที่ไดจากการทอดลูกเตาลูกแรกมี 6 วิธี คือ 1, 2, 3, 4, 5, 6 และในแตละ วิธีของผลที่ไดจากการทอดลูกเตาลูกแรก จํานวนวิธีที่แตมที่ไดตรงกันมีได 1 วิธี ดังนั้น วิธีที่จะใหจํานวนแตมตรงกันมี 6 × 1 = 6 วิธี
90
8.
2)
การที่ผลรวมของแตมบนหนาลูกเตาสองลูกจะเทากับ 10 มี 3 วิธี คือ แตมของ ลูกเตาลูกแรกเปน 4, 5 หรือ 6 (เพราะแตม 1, 2, 3 ไมมีโอกาสที่จะรวมกับ แตมของลูกที่สองแลวเทากับ 10) และในแตละวิธีของการทอดลูกเตาลูกแรก จะไดผลรวมของแตมเทากับ 10 มีเพียง 1 วิธี คือ 4 และ 6, 5 และ 5, 6 และ 4 ดังนั้น จํานวนวิธีที่จะไดผลรวม ของแตมเทากับสิบมีได 3 วิธี
3)
ในแตละครั้งที่ปรากฏผลจากการทอดลูกสองลูกพรอมกัน การที่แตมของ ลูกเตาลูกที่สองจะตางจากลูกแรกมีได 5 วิธี แตเนื่องจากในการทอดลูกเตาลูกแรกจะปรากฏผลไดทั้งหมด 6 วิธี ดังนั้น จํานวนวิธีที่แตมของลูกเตาสองลูกตางกันเทากับ 6 × 5 = 30 วิธี
4)
จํานวนวิธีที่เกิดผลลัพธทั้งหมดในการทอดลูกเตา 2 ลูกมี 6 × 6 หรือ 36 วิธี จํานวนวิธีทั้งหมดที่ผลรวมของแตมเทากับสิบมี 3 วิธีคือ 4 + 6, 5 + 5, 6 + 4 จํานวนวิธีทั้งหมดที่ผลรวมของแตมเทากับสิบเอ็ดมี 2 วิธี คือ 5 + 6, 6 + 5 จํานวนวิธีทั้งหมดที่ผลรวมของแตมเทากับสิบสองมี 1 วิธี คือ 6 + 6 จะไดวา จํานวนวิธีทั้งหมดที่จะไดผลลัพธมากกวาหรือเทากับสิบจะเทากับ 3 + 2 + 1 หรือ 6 วิธี ดังนั้น จํานวนวิธีที่จะไดผลรวมของแตมนอยกวาสิบมี 36 – 6 หรือ 30 วิธี
เลขโดดในหลักทั้งสี่ตางเปนสมาชิกของเซต S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 1) ในหลักพันจะมีเลขโดดที่เปนไปได 9 วิธี คือ เปนสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งของเซต S ก็ได ยกเวน 0 ในหลักรอยจะมีเลขโดดที่เปนไปได 10 วิธี คือ เปนสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งของเซต S ในหลักสิบจะมีเลขโดดเปนไปได 10 วิธี คือ เปนสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งของเซต S ในหลักหนวยจะมีเลขโดดที่เปนไปได 10 วิธี คือ เปนสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งของเซต S ดังนั้น จํานวนวิธีที่จะเขียนจํานวนเต็มบวกซึ่งมีสี่หลักมีทั้งหมดเทากับ 9 × 10 × 10 × 10 หรือ 9,000 วิธี
91
2)
3)
จํานวนคี่ใด ๆ จะตองมีหลักหนวยเปน 1, 3, 5, 7, 9 ซึ่งมีได 5 วิธี ดังนั้น จํานวนวิธีที่จะเขียนจํานวนคี่บวกซึ่งเปนจํานวนที่มีสี่หลักมีทั้งหมด 9 × 10 × 10 × 5 = 4,500 วิธี จํานวนวิธีที่จะเขียนจํานวนเต็มบวกที่มีสี่หลักและมีหลักหนวยเปน 0 มีทั้งหมด 9 × 10 × 10 × 1 = 900 วิธี
9.
ทะเบียนรถยนตประกอบดวยพยัญชนะ 1 ตัว และเลขโดดอีก 4 ตัว ดังนั้น จํานวนทะเบียนรถที่จะมีไดทั้งหมด 44 × 104 ทะเบียน แตถาคิดวาหมายเลข 0000 ซึ่งมีทั้งหมด 44 รายการ กองทะเบียนจะไมออก ทะเบียนให จะมีทะเบียนรถยนตไดทั้งหมด 44(104 – 1) ทะเบียน ในกรณีที่กองทะเบียนรถยนตเปลี่ยนระบบใหมโดยใชตัวเลข 1 ถึง 9 นําหนา พยัญชนะและตามดวยเลขโดด 4 ตัว ดังนั้น ในระบบใหมกองทะเบียนจะออกทะเบียนไดทั้งหมด (9)(44)(104 – 1) ทะเบียน นั่นคือ กองทะเบียนจะออกหมายเลขทะเบียนรถยนตเพิ่มขึ้นจากเดิมได 9 × 44(104 – 1) – 44(104 – 1) = 44(104 – 1)(9 – 1) = 352(104 – 1) ทะเบียน = 3,519,648 ทะเบียน
10.
จํานวนทะเบียนที่มีตัวเลข 1 หลัก มีได 9 แบบ (1 – 9) จํานวนทะเบียนที่มีตัวเลข 2 หลัก มีได 90 แบบ (10 – 99) จํานวนทะเบียนที่มีตัวเลข 3 หลัก มีได 900 แบบ (100 – 999) จํานวนทะเบียนที่มีตัวเลข 4 หลัก มีได 9000 แบบ (1000 – 9999) ดังนั้น จํานวนหมายเลขทะเบียนที่แตกตางกันมีไดทั้งหมด 44 × 44 × 9999 หรือ 19,358,064 ทะเบียน
11.
มีวิธีเขียนจํานวนเต็มบวกที่มีสองหลักจากตัวเลข 1 ถึง 7 ได 7 × 7 = 49
92
12.
13.
1)
จํานวนคูจะตองมีหลักหนวยเปน 2, 4, 6, 8 เนื่องจากจํานวนคูที่ตองการใหเลือกจากเลขโดด 2 – 9 ซึ่งมีทั้งหมด 8 ตัว ดังนั้น การเขียนจํานวนคูซึ่งเปนจํานวนเต็มบวกที่มีสามหลักจากเลขโดดที่กําหนด ใหเขียนไดทั้งหมด 8 × 8 × 4 = 256 วิธี
2)
จํานวนคี่จะตองมีหลักหนวยเปน 1, 3, 5, 7 ดังนั้น การเขียนจํานวนคี่ซึ่งเปนจํานวนเต็มบวกที่มีสี่หลักจากเลขโดดที่กําหนด ใหเขียนไดทั้งหมด 8 × 8 × 8 × 4 = 2,048 วิธี
จํานวนวิธีทั้งหมดที่เกิดขึ้นจากการทอดลูกเตาสามลูก มีทั้งหมด 6 × 6 × 6 หรือ 216 วิธี ผลบวกของแตมบนหนาลูกเตาทั้งสามที่นอยกวาหรือเทากับ 4 มีทั้งหมด 4 วิธี ดังนี้ แตมบนหนาลูกเตา ลูกที่ 1 ลูกที่ 2 ลูกที่ 3
1 1 1 2
1 1 2 1
1 2 1 1
ผลรวม ของแตม
3 4 4 4
ดังนั้น จํานวนวิธีที่ผลบวกของแตมบนหนาลูกเตาสามลูกมากกวาสี่ เทากับ 216 – 4 หรือ 212 วิธี 14.
เนื่องจากจํานวนนับที่เปนจํานวนสามหลักที่มากกวา 400 จะตองมีเลขโดดในหลักรอย เปน 4 หรือ 5 การเขียนจํานวนดังกลาวมีได 2 วิธี ดังนั้น จํานวนนับที่มีสามหลักที่ตองการจะมีได 2 × 3 × 2 = 12 จํานวน จํานวนนับที่มีสี่หลักมีได 4 × 3 × 2 ×1 = 24 จํานวน นั่นคือ จํานวนนับที่มากกวา 400 และเปนจํานวนไมเกินสี่หลักตามตองการ มีทั้งหมด 12 + 24 = 36 จํานวน
93
เฉลยแบบฝกหัด 2.2 1.
มีถุงเทา 4 คู เปนถุงเทาสีดํา 2 คู ใหเปน ด1, ด2 และเปนถุงเทาสีขาว 2 คู ใหเปน ข1, ข2 ดังนั้น S = {(ด1, ด2), (ด1, ข1), (ด1, ข2), (ด2, ข1), (ด2, ข2), (ข1, ข2)} E เปนเหตุการณที่จะหยิบถุงเทาสองคูใหไดสีเดียวกัน นั่นคือ E = {(ด1, ด2), (ข1, ข2)} ดังนั้น P(E) = 2 หรือ 1 6
2.
มีนักเรียนทั้งหมด 30 คน เปนนักเรียนชาย 18 คน นักเรียนหญิง 12 คน 1) ความนาจะเปนที่จะจับสลากใบแรกเปนนักเรียนชายเทากับ 18 = 2)
3.
3
ความนาจะเปนที่จะจับสลากใบแรกเปนนักเรียนหญิงเทากับ
มีเบี้ย 6 อัน แตละอันเขียนตัวเลข 3, 4, 7, 9, 10, 11 กํากับไว 1) เบี้ยที่เขียนเปนจํานวนคูไวมีสองอันคือ 4 และ 10 ดังนั้น โอกาสที่จะไดเบี้ยที่มีตัวเลขที่เปนจํานวนคูเทากับ 2) 3)
2 6
เบี้ยที่เขียนเปนจํานวนเฉพาะไวมี 3 อัน คือ 3 , 7 และ 11 ดังนั้น โอกาสที่จะไดเบี้ยที่มีตัวเลขที่เปนจํานวนเฉพาะเทากับ
=
หรือ 3 6
1 3
หรือ
1 2
เบี้ยที่เขียนเปนจํานวนที่หารดวย 3 ลงตัว มี 2 อัน คือ 3 และ 9 ดังนั้น โอกาสที่จะไดเบี้ยที่มีตัวเลขที่เปนจํานวนที่หารดวย 3 ลงตัวเทากับ 2 หรือ 1 6
4)
30 12 30
3 5 2 5
3
เบี้ยที่เขียนตัวเลขที่เปนจํานวนที่เปนกําลังสองสมบูรณมี 2 อัน คือ 4 และ 9 ดังนั้น โอกาสที่จะไดเบี้ยที่มีตัวเลขที่เปนจํานวนที่เปนกําลังสองสมบูรณ เทากับ 2 หรือ 1 6
3
94
4.
เหรียญบาท 100 เหรียญ แตละเหรียญเขียนตัวเลขกํากับไวตั้งแต 1 ถึง 100 1) ให E1 เปนเหตุการณที่จะสุมเหรียญแลวไดตัวเลขบนเหรียญเปนจํานวนคู จะได E1 = {2, 4, 6, ..., 98, 100} 50 = 1 P(E1) = 100
2)
ให E2 เปนเหตุการณที่จะสุมเหรียญแลวไดตัวเลขบนเหรียญเปนจํานวน ที่มีรากที่สองเปนจํานวนเต็ม = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100} จะได E2 10 = 1 P(E2) = 100
3)
10
ให E3 เปนเหตุการณที่จะสุมเหรียญแลวไดตัวเลขบนเหรียญเปนจํานวน ที่หารดวย 5 ลงตัว จะได E3 = {5, 10, 15, 20, 25, ...., 90, 95, 100} 20 P(E3) = = 1 100
4)
2
5
เนื่องจาก 1 ถึง 100 มีจํานวนที่เปนจํานวนคี่อยู 50 จํานวน พิจารณาจํานวนคูที่มีคาตั้งแต 1 ถึง 100 และหารดวย 3 ลงตัว จะพบวา จํานวนดังกลาวเขียนไดในรูปลําดับเลขคณิต 6, 12, 18, 24, ..., 96 เมื่อ a1 = 6 และ d = 6 จาก an = a1 + (n – 1)d จะได 96 = 6 + (n – 1)6 96 = 6 + 6n – 6 n = 16 ดังนั้น จํานวนคี่หรือจํานวนที่หารดวย 3 ลงตัว ซึ่งมีคาตั้งแต 1 ถึง 100 มีทั้งหมด 50 + 16 หรือ 66 จํานวน นั่นคือ ความนาจะเปนที่ตัวเลขที่เขียนกํากับเหรียญที่หยิบไดจะเปนจํานวนคี่ หรือจํานวนที่หารดวย 3 ลงตัว เทากับ 66 หรือ 33 100
50
95
5.
6.
ในงานปใหมของอําเภอหนึ่ง มีการขายสลากจํานวน 1,000 ใบ 1) ถาซื้อสลาก 1 ใบ ความนาจะเปนที่จะถูกรางวัลที่ 1 เปน
1 1, 000 10 1, 000
ถาซื้อสลาก 10 ใบ ความนาจะเปนที่จะถูกรางวัลที่ 1 เปน
1)
7 20
2)
จํานวนนักเรียนที่สวมรองเทาที่เล็กกวาเบอร 8 มี 3 + 12 + 35 หรือ 50 คน ความนาจะเปนที่นักเรียนคนหนึ่งจะสวมรองเทาขนาดเล็กกวาเบอร 8 เทากับ 50 หรือ 1 100
3)
=
1 100
2)
2
จํานวนนักเรียนที่สวมรองเทาเบอร 8 หรือ 9 มี 27 + 16 = 43 คน ความนาจะเปนที่นักเรียนคนหนึ่งจะสวมรองเทาขนาดเบอร 8 หรือเบอร 9 เทากับ 43 100
4)
จํานวนนักเรียนที่สวมรองเทาเบอร 5 หรือ 10 มี 3 + 7 หรือ 10 คน ความนาจะเปนที่นักเรียนคนหนึ่งจะสวมรองเทาขนาดเบอร 5 หรือเบอร 10 เทากับ 1 10
5)
จํานวนนักเรียนที่สวมรองเทาใหญกวาเบอร 7 มี 27 + 16 + 7 หรือ 50 คน ความนาจะเปนที่นักเรียนคนหนึ่งจะสวมรองเทาขนาดเบอร ใหญกวาเบอร 7 เทากับ 50 หรือ 1 100
7.
2
ใหหลอดไฟที่ดี 3 หลอด แทนดวย ด1, ด2 และ ด3 หลอดไฟที่เสีย 2 หลอด แทนดวย ส1 และ ส2 ถาหยิบหลอดไฟสองหลอดจะปรากฏผลไดทั้งหมด 10 วิธี ดังนี้ ด1 และ ด2 * ด2 และ ส1 ด1 และ ด3 * ด2 และ ส2 ด2 และ ด3 * ด3 และ ส1 * ด1 และ ส1 * ด3 และ ส2 * ด1 และ ส2 ส1 และ ส2 จากผลขางตนจะพบวา ความนาจะเปนที่จะหยิบไดหลอดดีและหลอดเสีย อยางละ 1 หลอด เทากับ 6 หรือ 3 10
5
96
8.
9.
ถุงใบหนึ่งมีลูกปงปองสีแดง 15 ลูก สีขาว 1 ลูก สีเหลือง 1 ลูก สีเขียว 1 ลูก สีฟา 1 ลูก และสีดํา 1 ลูก รวมทั้งหมด 20 ลูก 1) ความนาจะเปนที่จะหยิบไดลูกบอลสีแดงเทากับ 15 หรือ 3 2)
ความนาจะเปนที่จะหยิบไมไดลูกบอลสีดําเทากับ
3)
ความนาจะเปนที่จะหยิบไดลูกบอลสีดําหรือสีขาว
20 19 20 2 20
ความนาจะเปนของเหตุการณที่นักเรียนจะดื่มน้ําผลไมเทากับ 2 5
ความนาจะเปนของเหตุการณที่นักเรียนจะดื่มนมเทากับ
4
หรือ 1 4
หรือ 0.25
หรือ 0.4
ความนาจะเปนของเหตุการณที่นักเรียนจะดื่มน้ํานมถั่วเหลืองเทากับ ความนาจะเปนของเหตุการณที่นักเรียนจะดื่มน้ําอัดลมเทากับ 1)
3 10
1 20
หรือ 0.05
หรือ 0.3
1)
เนื่องจากความนาจะเปนของเหตุการณที่นักเรียนจะดื่มนมเทากับ 0.4 ซึ่งมีคามากที่สุด ดังนั้น นมเปนเครื่องดื่มที่ขายดีที่สุด เนื่องจากความนาจะเปนของเหตุการณที่นักเรียนจะดื่มน้ํานมถั่วเหลือง เทากับ 0.05 ซึ่งมีคานอยที่สุด ดังนั้น น้ํานมถั่วเหลืองเปนเครื่องดื่มที่ขายไดนอยที่สุด เมื่อเรียงลําดับคาของความนาจะเปนขางตน จะพบวา ความนิยมของเครื่องดื่ม ที่ขายดีมากที่สุดไปนอยที่สุดเปนดังนี้ นม น้ําอัดลม น้ําผลไม และน้ํานมถั่วเหลือง 1 ความนาจะเปนที่เข็มจะชี้ที่ตัวเลข 1 เทากับ
2)
ความนาจะเปนที่เข็มจะชี้ที่ตัวเลข 6 เทากับ
3)
ความนาจะเปนที่เข็มจะชี้ที่จํานวนคู เทากับ
4)
ความนาจะเปนที่เข็มจะชี้ที่จํานวนคี่ เทากับ
5)
ความนาจะเปนที่เข็มจะชี้ที่จํานวนเฉพาะเทากับ
6)
ความนาจะเปนที่เข็มจะชี้ที่จํานวนที่มีคามากกวา 4
2)
3)
10.
1 10
10 2 10 6 10 4 10 5 10
1 5 หรือ 3 5 หรือ 2 5 หรือ 1 2 4 เทากับ หรือ 2 10 5
หรือ