—獻給 摯愛的人們 我們都漂泊於 世界之河 1 理性的殘骸 散落水面 自由與創造 在河灘擱淺 歷史暗啞失聲 嗩吶不搭調的 吹著 失憶的行列 寥寥落落 從淒迷的星光下走來 穿過 寂寞的市集
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首句引自泰戈爾詩:《The Gift》 “We are drifting in the stream fo the world”
大域微分幾何引言 –細談����書的
像這樣多達八百多頁,分上、中、下三卷的專業數學書,很難想 像有人會埋頭讀完整部書。寫這篇引言,是為了鋪陳全書的脈絡,讓 讀者看到一連串自然而有趣的提問,像一幕幕風景一樣,沿路開展。 是這些自然的風景,帶進來嚴謹的數學理論。讀者閱讀這部書時,不 妨隨時來回翻閱這篇引言。若心中存著這條脈絡,讀起書來或許會更 有動力,也不容易在這部大書的理論中迷失方向。 Sect. 1 ���書的 1.1 �� �����,�������,������,�������要」的形 式��。�����,�������的��。����������的� �,����量������。 �����?������要��:���的���為��,���� �����,�������的������,������,����� ����的、��的����。 �「上卷」的��,�為��,��������的��。微分幾何要 �「��」的��,�為��,��������的��。微分幾何要 ��的�要���「�曲的��」。���何�曲?1860 ��,Riemann 的�要��,���� Riemann 曲率張量,�����的�曲。���� ��曲的��,稱為 Riemann ��,����� Riemann 流形。 ��幾何������� Riemann 曲率張量 [Ch. 3 (26)式;Ch. 6 (19)式]。 ������� Riemann ��的��:��� 「���������?」 ����「��張量���� 0?」為������的��。����張量, ����的�� Riemann 曲率張量,���稱 Riemann 張量。 「���������?」���������。����,Riemann �
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�的��,����可���平�的���?����「������的� 分���,可�積分?」的問題。��,�������可積分��。為� �理��的問題,��������的 Frobenius 可積分定理——���� ��變���。� Ch. 2 §2。 �� Frobenius 可積分定理,���������曲率的 Riemann 張 量。���� Riemann 曲率張量,�地線的二�變分 [Ch. 7 (21)式,�� 稱為第二變分式],�������,�為����的����式�,��� �,���� Riemann 曲率張量。 為���二�變分�� 0 的��(��������積分�� inflection point:��� x,� f ′′ (x) = 0),��的 Jacobi 場���。 ���地線上,������的 Jacobi 場 [Ch. 10 (2)式],��� ����為�� (conjugate)。�����地線與 Jacobi 場的��行為 [Ch. 9,10,11] ��,����:「������的�地線,������ �,����定 (stable),����������」,�������� 地線與 Jacobi 場,��� Riemann ��(�稱 Riemann 流形)的�� ��,�����分��的��。��,��可����曲率流形的�� [Bonnet-Myer 定理,Ch. 12],�可����曲率��的形� [Hadamard 定理,Ch. 12]。 ��的��,� Riemann 張量、Frobenius 可積分��、Jacobi 場、 ���、cut point、…�������,��為����曲��的形�,� ����問題的��,�����的����。�������,���� ������,����。��「上卷」����。�����的��。 ��,������的��,�����,��變�分、平行性、Riemann ��、����、���、…,�������。�����,�上 ��的��,��「上卷」的����。
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1.2 ��四� ���(�������)�� 上卷 前篇 A、B、C 三章 篇一到篇三,含 Ch. 1 – Ch. 12 中卷 篇四到篇六,含 Ch. 13 – Ch. 21 下卷 篇七到篇九,含 Ch. 22 – Ch. 30 衍篇 三文 ���的形�� 1998-2004 ��,�����������,����的� �——���為「����」 。 ����的���:��前篇的章 C、上卷三篇、��卷�篇�。前篇 的章 C ��可微流形。��可微流形,�上 Riemann �� (metric),�� 為 Riemann 流形。 可微流形���的����維� (dimension)。���的����,一 維、二維、三維、…�維�的��,������。� 1890 � Peano 曲 �的��,�����維�������的��,������。�前篇 章 C,����可微流形�前,������維�的�����。 ��������,維����������,�一�������� ���。�������������前,����一�維������ 的��(��,���������)。��流形��的��,�的��� nontrivial。��������,nontrivial �����的���一。 一���維�的�����,�����������的��,可微 流形的������。����可微流形����� nontrivial 的��: Poincaré-de Rham-Hodge 的理論,������的�。� de Rham 的理 論�����,篇����一��。�������,為�������的 ��:「�曲的��」。���,����前篇的章 C ��,����� 1.1 ��,一��論�上卷。 零四講稿的後面兩篇 [即中卷篇四、篇五],在 2004 春的課堂中,
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並沒來得及討論,因為講過前篇章 C 及上卷到 Ch. 12、一個學期已匆 匆過去。 1.3 大域與�� 大域微分幾何,�������與大域�������。曲�����幾 何(��� infinitesimally local)�定�,�����曲��何����大 域�形�?前� 1.1 ��� Bonnet-Myer 與 Hadamard 定理,����� ����。 ��������,��� Gauss-Bonnet 定理,�������� ��:「����曲面�,��曲����分�定曲面���!」[前篇 章 A §8]。 Gauss-Bonnet 定理���,������ Hopf-Poincaré ���定理。 �������,����������������� (index),��� 大域與���幾何����。Hopf-Poincaré ���定理����,�� �理�,�����前篇章 A,�����,��������,��� 二維曲面。���������,��������維���,���維 Gauss-Bonnet 定理��� [中卷篇六,Ch. 19],������與大域�� �����。 ��������(����曲�與��),����大域微分幾何�� ���。Gauss-Bonnet ��,���� Synge-Frankel ���大域定理。 ��卷中,���������������:「曲��大,����� 穩定。」[Ch. 7 §3]。�����������二��分��。���,�� ���� Synge 與 Frankel �幾�定理��� [Ch. 7]。 Synge 定理���:��� Riemann 流形,����維、�定��� �曲�,������。���,「�曲�」�何��流形�����?� ����與大域�����������。 �����������二��分,����曲�����,����� ���穩定�大域��,��:�������曲�流形中��穩定�,�
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��何��測地線�����小,��變�����,��������� �。 ����測地線的變分,�����幾何的�����方法。 ���,前言 1.1 談� Bonnet-Myer 與 Hadamard 定理,����方 法的��。 �方法的��,����「幾何變分學」。幾何變分學 (calculus of variations in geometry) ������的��。���中����測地線的 變分;測地線��維的。����,�����幾何變分學的��,��維 的測地線,�高��維��的最小曲面,���曲�的曲面,�����、 ���、���的��定理。 Sect. 2 活動標架法 2.1 第二道方法 中���的����法 (moving frames),��������幾何的�� 方法。�� Darboux-Cartan-Chern �����理�曲��的��方法。 �������法���理��的��?����,�������� �,�理�曲��,���的���的�量分� (tensor analysis),��� �����。�������,������,���������式�的 ��。����������的�� Laplacian,��曲�������, ��������,其中 Riemann �� gij ����的����,��� ��,Laplacian ������。[Ch. 13 (32)式] � � 1950 � � �, � � � 量 分 � 的 � 量 場 法 � � �。KobayashiNomizu 的 � � Foundations of differential geometry � � � 的 � � � 量場法。�量場法��������,�������。James Simons � 1967 ������的��,談高維的最小曲面,��量場法������式 的 Laplacian,���� 6 維��的 Bernstein 定理,��� Ch. 25。� 的������幾��;�� Chern������ Kansas ��小��,� �������,��幾������的��,����最小曲面 M n ��
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面 S n+1 �的���� (rigidity)。 活動標架法的����算��。����用微分式 (differential form), ���的�微分 exterior derivative d-算子 [�本� Ch. 15]。活動標架法的 理論基������ [Ch. 16];��������,���完全決定��� 幾何 [參考 Ch. 4:曲面論基本定理,�����]。��活動標架法��� 要的背景,����� Ch. 16 – Ch. 18 三章,����的論�。 2.2 活動標架法與大域行為 ��:活動標架法�何�理������的��。 第一,���式 (invariant form),�� curvature form [� Ch. 19 (3)式] ���������定�的��,��������的活動標架。��� Ch. 19,���(15)與(16)式定�的微分式,幾���� sphere bundle。 第二,��微分 d,�����分,������,����算的式子�� ��。 � � � � � � � � � � � � �, � � � � �。 � � � � 的 � �, 用 moving frames,�何��理����的 philosophy。 � Ch. 19,���� 1940 �� Chern 對高維 Gauss-Bonnet 定理�� �的����。������������ philosophy。��,� Ch. 20 – Ch. 21,���� Bochner ��,���的��,�����的��,� ��活動標架法的��,����的�用。�� Laplacian,�� gradient 的 divergence,基本�對���� dω 的微分式,��一�分,����� �,����� [�� Ch. 20 (35)式與(36)式]。 � Ch. 20 – Ch.21�章�,����� Lichnerowicz-Obata ���� �的定理。Obata ��定理的��,���活動標架法的�用,與測地線二 ��分,���幾何���法的��。本���的����,� Ch. 21 � 要�����與 Choi ��的�� [W-C],� 2006 ��������� �,���本���的����������������� [����一, Thm. 3]。
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活動標架法的���中�篇�的����。��,為�����,�� ����篇�「張量的微積分」(� Ch. 13 – Ch. 15),與篇五「Riemann 幾何的結構」(� Ch. 16 – Ch. 18)。 ��活動標架法����,本�中���結�。 2.3 前篇的章 B 活動標架法�本�中�的����。��為����的�,������ ��的結構,��活動標架法,������上�的�篇��� 章 B 活動標架法初步。 �活動標架法����,����與��的���結。����篇,引 � RN 中的結構方程 [章 B §2.1] 與活動標架法初步。 ����,��的��� R4 中標��面(� Clifford torus)的曲率為 �,�� Clifford �面���的;��,����的����面����� 中的����。[章 B §3.2 – 3.4] ���曲率的�面、與�曲率的 Lorentz �曲面,�����結構方程, ��的�����的曲率。����的張量分�,與��的�量�法,�� ��的�。 ��� Clifford �面、�面、與 Lorentz �曲面,�為�����,� ���分�����曲率為�、�、�,�����為��。 ��中�,������� Riemann 流形的結構方程與活動標架法。 2.4 前篇的章 A 為������基�「曲線曲面論」的��,��章 B ����� 章 A 大域曲面論。 1978 �������本��,�大��的微分幾何�程��,��� �初�微分幾何���。������篇的章 A,基本上,�� 1978 ��本
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��的���,��������大學微分幾何�的��,������。 ������學與�理的���域,���定���的���,章 A ��� 的��。 章 A �����曲面的 Gauss-Bonnet 定理,與 Hopf ��定理,� �����,������ Gauss 曲率���的,������何�� �的 (isometrically) �������。Gauss ����性的��,��� Riemann ���曲��的����。 ��������篇的章 A 與章 B,� 2008 �的�。��,���� ����� (self-contained)。 Sect. 3 幾何變分學 3.1 幾何變分學的�� ��������:幾何變分學。2012 ���,������,��� ���篇�、篇八、篇九,� Ch. 22 – Ch. 30 共九章。 大域微分幾何,����������,�����������,� ���的幾何分� (Geometric Analysis)。 幾何分�����,��、�����。幾何變分學����的��。 ���幾何變分學����的�題,�����的�問,�����。�� �與幾何分�的������。 � Hopf 最大�理 (maximum principle)、���理 (comparison principle)、流形上的變分、最小曲面及常均曲率曲面的穩定性、stability operator 的特徵值、��最小與 calibration、Sobolev ��、值�定理、…�, ��幾何分���的����。�������的��。 幾何變分學�����的 idea 與��,������的�題,��: Laplace 的����、Plateau 問題、Bernstein 問題、��的 Hopf 猜想 與�性問題�。 ���的��,�篇� Ch. 22、Ch. 23 �章����均曲率的����
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概念,���������的問題。�� Ch. 22 中,����的����、 �� calibration、�� R4 中的 Plateau �;�������的��,� ��� Barbosa-do Carmo ��的定理:Rn+1 中的���� M n ,��� �為��(�稱 cmc=constant mean curvature),�為�定�� M n �為 ��。���� stable sphere theorem,��� 1950-1980 ������ ����� Hopf ��的�������。 Ch. 23 ���,�������的�定�����的��中,��� �� Jacobi 場,Sobolev ��,�����的��定理 (spectrum theorem)。��������的����:��������;������ �的���,������稱,����。��,�������的��� 析,與��問題���。 3.2 Plateau 與 Bernstein 問題 Plateau 問題與 Bernstein 問題的��,� 1960-70 �����的��。 ����中的��(Ch. 24,25,26)�中������。��的 Plateau 問 題���的問題。1930 �� Jesse Douglas ����的��,��「�定� ��」��的������的 minimizing sequence,�����為 Plateau solution。��� Ch. 24���,��的������的��。����� � 1960 ��������������的����。 Plateau 問題的������的�,��定 R3 中的������,�� �����為��,���為����的��(稱為 Plateau solution)?� ����,���������?Bernstein 問題�為:� R2 ��定�的 minimal “graph”(��� u = u(x), x ∈ R2 ),���為��?Bernstein 定理�������,���������的 Liouville 定理。 ��的�,Plateau ��������,與 Bernstein 定理����� ��� [Ch. 25]。������ Plateau solution ���的������� Plateau 的���,������� cone(��)。��的,������ ������ Bernstein ���,������ cone。 ��問題��� RN ����������的 minimal cone 的問題?�
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�:��������面�為������面(��為 minimal cone),� �� RN −1 ?�,� Plateau solution ���,Bernstein 定理���。� �,� Plateau solution 為 regular(����),Bernstein 定理��。 �����������。 3.3 ��大�� � Ch. 25,����� Bernstein �������,������� R ��� minimal graph,�� Chern ���,���曲面� metric � � [� Ch. 25 (14)式],�����為 Liouville 定理。������ 1960 ����曲面�� highlight:James Simons �����������,� ������������式,���維���� 6,����面�外� minimal cone。 2
� Ch. 26,��������� Bombieri, de Giorgi ���,�� BV �� (functions of bounded variation),�� Bernstein 定理� 7 維, �� R8 ���面� minimal cone,��� 8 維����������。� 外,1970 �� Schoen-Simon-Yau ��������式,�方面���� ������,��方面���������,������������ ���,������ Ch. 26,�為篇����。 Sect. 4 常均曲率曲面 4.1 毛細�面 篇九從 Young-Laplace-Gauss ����面�����,1805 � Thomas Young ��:�面��外���為�曲� (mean curvature) ���� [Ch. 27 (1)式]。��,Laplace ���:�面��曲��������� [Ch. 27 (4)式]。�����,������面��曲����。����� �������,���面��曲��為��,���:��為 cmc 曲面 (���曲��曲面)。 �� Young-Laplace 方程 [Ch. 27 (4)及(5)�式],Gauss ����理� ���,��������。� Ch. 27 �������������,�
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����的理���,��������(�� cmc)�����的��。 ���������的��,�������������的����� �?�� Laplace 的��,�����的��,������������ � 10 �� [Ch. 27 (32)式]。�������� 10 ��。������� ��:������������的��。������的��,���� ���,�����?Robert Finn �����:����的���,�� �����(� Laplace ���),�������。�������,� ����,������ 1/r 的����。 ��的��������������的���。�������與�� ��的����。 � � � � �, � � � � � � � 的 � � �, � � � � 的 � � � �, � � � � � � �。 � � � � � � �, � � � � �。 � � � � 的 � � � �, � Concus-Finn [Ch. 27 定 理 4]、Korevaar [Ch. 27 定 理 5] 與 ChenHuang [Ch. 27 定理 6]。 �������的��,������������,�����,� ������中,������,��������?�������?� ���的(������ n ���)。理��:����的������� 的��。Alexandrov � 1956 ���������(embedded,���� �)� Rn+1 中的 n ����� M n ,����定�(� cmc),���� � [Ch. 28 定理2]。 �� Hopf �����:�定(cmc 的)M n ��定 embed(��),� �� immersed(��)� Rn+1 中�?Hopf ����� M 2 �與�� S 2 ��,���的 cmc M 2 �������。�������的��:�� Barbosa/do Carmo [Ch. 21] 與 Hsiang(���)。�� 1983 �,Wente �� Hopf conjecture ��,������的��。 ����� [Ch. 27 與 Ch. 28],� Hopf’s differential 與 Alexandrov 的 symmetrization ������,�����的定理。���中,��� ������ Wente ��的��。
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4.2 cmc 的幾何 ��的����Ch. 29 與 Ch. 30),��的��與��的����,� �:��問題、大凹陷定理與 Jacobi 場的��。 從 1950-1983 ��,������� Hopf 猜想,���的理�� cmc ��曲面 M �����凹陷(� Gauss 曲���的��)。������ ��的,��� Hadamard 定理,M ������ convex body,�� M ��� R3 中,���� Alexandrov 定理,M ����。 Wente 的����,����上�的����的:M ���凹陷。 Huang-Lin 的大凹陷定理,���上�����的��。��,����� 大,cmc ��曲面�����凹陷。����,���凹陷,凹陷的��� ��大,������ extremal domain。 ���� domain ���������� extremal [� λ1 (M ) = 0, � Ch. 29 §2],extremal domain ���大的面域,�� M 中的��面 域,�� non-parametric(����� u = u(x), x ∈ Ω ⊂ R2 �,� �� extremal domain 小。��凹陷的���大。大凹陷定理的��,� ��������問題的��:1970-80 �� Brascamp-Lieb, CaffarelliFriedman, Finn, Korevaar, Chen-Huang, Shih, A. Wang ���理的�� 問題,����:問題��� well-posed? ��,��������域 (convex domain) 上的���������, �� convex �,���������� (Dirichlet),��� (capillary � Neumann),������ [Ch. 29 §1]。 ��,��� cmc 曲面上的 domain ���� t,從�����的小小 �����大,�� {D(f ), 0 t < b},�� extremal(� D(t1 ),�� D[λ1 = 0]),�� stable �� unstable �,��������的 Jacobi 場。���? ��� Ch. 30,��,���的����,����問題與 Morse index 定理����,������的����(���的������� ������上的 cmc 曲面)。��的�����:�� D[λk−1 = 0] 與
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D[λk = 0] �� Jacobi 場���,����� (multiplicity) ����。 [Ch. 30 定理 8]。 ��,�����,全書 30 章。 4.3 ������學 �個��������、������、�����、������� ������…��書��的 Jacobi 場��� Morse index 定理,��� �������������的題�全����一�。 ����的��:���曲面上,�一� p ��的一����,�� ���一��� q ,����面上��� p �������� q ,��� ��一���的定�,��� Jacobi 場 J ,��������(J(p) = 0 = J(q))。�� q ��,����� stable �� unstable。���� Morse index 定理���的��,���的��,������的��一個 unstable ���� [Ch. 11 定理 B]。 ����,�� Morse index 定理���的��?�� Morse index 定理的���:�������,�� q ���������,q ��� ��的 nullity ν (��� Jacobi 場的個�)��� q �的 index i(� unstable �����的��)。���的特��:����一�����, ��的 nullity ν � 1,index i �� 1。������的��,����� ��章(�����的 unstable ����),���一�的 (ν, i)?��� Ch. 30 ���的�,����的����,������的 cmc 曲面上� ���的面� D(t)! ���?� Ch. 30,����������的 unstable ���,�� ���� cmc 曲面上的 Morse index 定理,����� Jacobi 場的��。 一個 nontrivial 問題,��� trivial!�����? ����:�����值��� [Ch. 23 定理 3 及 Ch. 30 §6],� ��定一個����� (operator) A,���一�特徵�� ui ,��� L2 (Ω) �的�� v ,��� ui ����,�值���。�����:特 徵值 λi 的��� 0 < λ1 λ2 λ3 · · · → ∞,� ⟨Av , v⟩ =
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λ1 |u1 |2 + λ2 |u2 |2 + · · · 。���������的��:���曲�的�� 問題,��一��,��������。 4.4 一������ �������的����: 起��:������曲�的��。���問題����,����� ������的���,��� n �������特徵方向的問題,�� ���。���������:�������的����,����特徵 方向,��������的問題,�������、��、��…。��� �:��������與���方�,����� Fourier ��一��,� ����� (Hilbert) ����值��� (spectrum)。����值���, �������,��的 Morse index 定理與 cmc 曲面的 Jacobi ���。 � � � 的 值 � � �, � � � � � � � 特 徵 方 向, � � � � � � � n �����������(��特徵方向����特徵��)。��� Ch. 23 §7 ����的��,���的��,���������特徵方向 的��,������ Wi 的���面�,���� ⟨Av , v⟩ 的�值,�� 應的方向 ui ��特徵方向。 �������������值,��� (compactness) �����。 ������ Sobolev space,� Rellich ��定理����。Rellich �� 定理的����������的 Arzela-Ascoli。����的����,�� ���起��,�������值���。 ���面� Morse index 定理及 Jacobi ���,������的��� 值���的�定理,������ unstable �����。��的����� ��。 �����一��:nontrivial 問題�� nontrivial,����� Morse index 與 Jacobi �的��,���值���的��。 ������的��,�������的��,��������� 一起,���,��、���、特徵值、����、Fourier ��、com-
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pactness、Arzela-Ascoli、Sobolev ��、Rellich ��定理、����, � Morse index、Jacobi 場…,������的��,��一���的�� ��其�,�一�����的��(����)一�����的����, ����的����,�������。 ��,���������的��������。 Sect. 5 結� 5.1 �� 2015 ����篇��,���王慕道、王藹農、�������,�� 一篇 survey ��的文�,����,���篇。�的��������� ��,����������的一����。 ������篇��。�����的��與����的����,��� ����,��������。���,����。 ��:�中�����������,�理����。慕道���一 �������一文中,�������,������的�����與 Perelman 的��、與 Schoen-Yau 的���定理,����。��,� ������������中���的��,������� PenroseHawking 的��定理。慕道的短文,����������,������ ��的��,�������的��。 藹農��的 survey,��������,��������的��,� �����的一���,���一�,�� Herman Weyl ��的 embedding 定理、Nirenberg、Chern、Choi-Wang(���-王�農)、…的�的 ��。�����,�����一�與���的��。��,����的文 �,�����定理;��,�� Henry Wente ��的��,����的 ��,������。����中�����的�。 �������與�����,�一����������的��,其中 ��������定�。1980 ������� DNA ��的����,�� �����。DNA 的��,�����,與������的����。�
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��的��� (elastic rods) �� DNA 的������。俊吉����� ���的����,�������的��。�����從����的��, �� Möbius bands,�����(geometric knots,��������� ���)。�����������,�������。俊吉的 survey,從 ����的����,�������������� approach 的��, ���������,����的�����。 ������������書的����,���書����,���� 書的��,�����。�����������的�的。��的��,� ��書��的��,����。 5.2 ᜈⷁၶ ��書�������������,�������,������ 對。�����������,�����書,����。��書���� ��,�������。���書����的,�����。 書�������的,������,������的�������。 �������的��,��������。����,��書��,�� ���的�����,��������的��,����,����,� ���。������的���,�������。 �������的��,�������的��,����的��。書 ����,��������,���������,��������� 的��。����,����。�������,���������,� ��������。 ��������。���,����的����������� 1978 ���,��� 1976-7 ����������������的��。�� �的������的��。����的�����「����」���。 �����,������的�����:「������ 50 �的書, …��������的書,�����,…。」���,����從���, ���的��。��������對����的��。
xix
⸉⃘ۑᔶ⃝ᠪᅻ,ᚵപ᎔⢔ዶⷀ,℥ةᖹᔡ、ᘿໍ,΅⠋⇨ޏ⍬ ⃝⠆。 2004 ၢໍἩڋㅙᘿ⃝「㕥ஔ⺊⍊」ُᄝ,ᔒჀຐ೫ၢ,ᙢ☞☩ ⏫ذ,ᖹ᎔⢔೫ᤃᔩܫ,ؾ⠆㙋ၚㅓᜈ,ㅙᘿጀᙋڋᖂ⃝㖬⼪。 ㅙᘿㆦᙋۖخၢノᔶ⇨⍬⛒ᙼ℆ุ、⨾ᙼጤ⠚⫰ᜉ࠺ᄝၚᜈ ㅺ。ೱ│ 2006 ၢ,⨾ᙼጤدㅺ⃝⸴。ᙚ╀ᚉᄝ,ڑᘼ㊫「㕥ஔ⺊ ⍊」 (८┧)ॱࡑذ、دᅁ㒪⻖,ᐊܙ໕⽊⃝ሢ。⫰ᜉࣀ 2010 ၢ,ࣹ ࡎ▭モழ㔙。ڑೱஔᗅ݆ㅺ⃝⸴,ᤳᄝᕢᕢ☩☩फ़ࣽጅᜈ,℥ࢱذ ॱዖ。 5.3 ������學 1966 ၢٙᙊ,ࢨፆ Rice ೱ⇨⍬ዶ,ᑹঘ៊▁ᄧ Princeton ݄܉, ি⛽⾧ᔶ⃝ jargon,ڑጭㅙ⅖⻋ዖ「㦱⸉」。ⷑ℥ةኛᬁࢻ。ߠᔶ ໜ៩ㅙ㦦⡣ᬁࡵ߿⃝㘤జ,…ᵂ㕭 jargon(℥⻋ᳺⲞ⸉)。ۑപ۞⻢ຄ ⻜ᄢᘼຨᖧ㘤ᇑ?ዛ⸱,പ۞܂㦱⸉⻜ዖ⃘⸉?ݛၢノ⃝ᅁᅻـ,ᖹᗅ ⛗ᙇሊ⾧⃝ઔ㙂。 क़⓾عݖㅺও,᎔⢔㊞ᐊ⠝٧,ऐ٥ᅁᅠ,ሊ⫀ᙤᘿ᷸ᗅ,⃘ ⸉ᔶ೫ໍၫⲞ,ࣹڝຕ。 ⸱܉,⃘⸉ᔶᖹ℥ࡎᅁ,ز不那麼必要的Ⲣ⸨ُ㒘ጅ ヶ。Ⲟ⸉ُዶ⻜ڝዖ㦱⸉,ᖹᳺ太⸉⃘。⸨Ⲣ⽼ܛᔶزᖹ⸱ٱᴷ㓉 ⃝ triviality。ᤲഥℨচ,nontrivial ⃝ࡏຨ,ጀᙇᖹᔶᙋሢᅻ⃝ᚐ。 ᳺ nontrivial,ᔶጀ⻜ᄢᬁࢻ⛗ഥừ。 ⃘⸉ᔶ,ᐊ⠆ᵂᙋ⿃,⛗ط㊞⃝ઔ㙂,ۥᳺ㍪㔈ᙾᕌ⃝ᕤৄ;ᑎ ㉁ᔒ٧⠚❱╌,⅖⛒⻖܂Ⅹ⃗ٽ,⠚⸱ᘿ⛒ࡎ⾢⾧ةᔶ⃝ᬁ⬦。ޏۑᔶ (do mathematics) ᔶ (learn mathematics) ㊞。⻖⛒❪زন✕ᔒ ٧,❪زন⦯ᘿᙤ⾢、⦯⸱ᘿ。⾢ځনᙋޏᔶጀ❪ഥᔶ,⻖⛒ ጵࡎᅁࣷওޏ,℠⦯㊞ઔ㙂ওᅻ⛐、ওଛ⸁、ওऐዿ。ㅙᘿـᨇᙋࣷ ᦵ,ᓒᄙ೫ᯉ⚪ᆃ⃝㙂℟。زㅺㅙ⸉زনᖹ⫀ঢ,ࢱ٥ໜ៩⃝㔜ᥦ,ㆼٱ ᯉ⚪⃝㙂℟တ㖩╅ᅂ。চ⛗ᖹຕἰᙤろ,⻖ຕἰ⃝⺮ᖢُࣅ⠆ဏ࠺ऐዿ
xx
���,������。 ������的��,������,��的������������ �,���������的��與������、�������的��, ���������,������的��,������,����。 1963 �,�����,��� John Kelly 的��� (General Topology), ������的��,����,����,��������。���� �的����,������。 ���,����������的��,�����的��。 ����������的��。�����,������的�,�� ��;�����������。 5.4 ৻ㆫဈۥ ����,����的��,�����的��、�������的� ���,��������������,������的����,�� ����,������。���������������,����與 ��,��������。�����,�������,����的� 性,��,�����。 ���,���的����,����������的��,���� ���。����,��������的���、���、�����的� ��、�����的���,���������的���、���、�� 行、���,與�����的���、������的�����、�� �,������������。 ����式�的��,�������,������的����,� 二維的形式,���維 [��:Ch. 6 (18)式;Ch. 13 (42)式;Ch. 29 (46)與 (48)��]。 ��式����二維�式,�������。����的��,��� ���,�������,����,����������。��,� �����。�������二維�式,����;��的�������
xxi
動,����。������的��,�������的��,����� ����的��。���,�����的����。�����的���� �,���的��。 ������,LATEX ��的中���,����,�������� ����,������。������,�������������� ���的����,��������。��������������� �,����������,���������������的��。� ��的������、��、�������。����������� �。 ���� Gauss/Riemann�Elie Cartan�Pierre Simon de Laplace 的 ��,����、中、��的��。������的����,���� ���的 founder(���)。�����的���,�������,�� �����的��。�������、�����、������,��� �。������������的、����的��。��������� �的��。 �������的������������,��������,�� ���������,����的��;����� Robert Huang ��� ����������的��;���� (U. of Mass.) 的������� ���,��������,���的��,������������� �������,������。������������������ �,�������������中���,��������動。��� ���中���的���������������,��������� 的��。���������。 ����,�������。������,��������,�� ����的�����。����,���������的������。 ����������,����,����。
《大域微分幾何》三卷書二版序 1、 ���書���版。����的,������幾���。���版�書� ��,�����幾����的��。��,��最��章 (� ch.30) 的最 �����,�論�大�����。����,������版�,��� ���。 ��������,��書��,��������的�面��,�� ���。���� Purdue 大������、��� Stanford 大���� ������,����������,�����的��。�大���� ����的����,������的書�,���《��������� �》;��書�的�本,������《����》������。 ��,�����、王藹農、王��������� 4 章「曲面論基本 定理」的��,�� gap,�����,���微��,����。��� �版 (������版) ��書�,������,����的��。 2、 �版�,������� 1978 ���版�的小書《��微分幾何��》(� ����「小書」)。�本小書��大�����的��。�������的 ���,�������本小書。���������,������小書 ���大���的��。 ���,����版������的����,�本小書����� 版。 ��《大域微分幾何》���書 (����「大書」),�����小書 的��,�版��版��。����,小書�大書的��本。 �大書��的��章 A〈大域曲面論概要〉����小書的��版。�� ����的�������小書,���大書。�書�小�大,����, �大��的��,����微分幾何����的�域。 ������、�大���、�大�������,�本��要��� 8 xxii
xxiii
� 7 �,�����「�����/� cmc 曲面���」;������� ����������。�������定���。 ������《������》中,������,��������� ���。���������,���������中。 3、 ��������� (������),上、中�������� typos(� ���) ��,�������。����,������������ (ch30)。�������,�����������,��������� ����。 ������理 cmc 曲面 (hypersurface) 上 domain D(t) �����, ���上 Jacobi ��� t,����������。 ���� Morse index 定理,��理���。����� stability operator � � � � � � � �。 � � � 理 � domain D(t) � � � � � � Lipschitz domain,������� topological type ��� t ���。� � D(t) ������,������。 �����,�������,���������。�����,� ��曲������,�������。����������,���� ����,�����,�������。 �� (ch30) ���,����������。 [��������,������,���������,����� ch30。�������本。] 4、 �������������,����������������� (本 ����) ����,���������,��������中����, ����������������。��������中������, �����������。 ��,���������,�����,���面。�����,�
xxiv
����,���� Gauss-Riemann, Elie Cartan 與 Laplace ��� [其 ������]。�����版�����:���版�,������與� 版���,�與�版���。 �����版�����,���������,�����與���� �。�������,��������,������������,� �����,�����。 ����������,���������,��������,� ��������。 ����,������。����與��。 5、 ��������������,����������。��� (�) �� ��,������������,��版-二版,����。 �������������������。����������� �。�������:���������「��」��������,� ��「��」�����,其������������,������� ���������。����與�����。�������� 60 ��。 �������������,������������。�����。 ������,�� 1961 ����二��。����������。� ������,��、��、�,�����、�������,���� �����������,�������,����,����。��� ��,������ (����) ���。 ������������������,���������。��� ����������,������� (���) ����。 �� 60 �,�����������,�����。�������� ��,��������、������,�����������…。 2021 �,���� 2 � 21 �����,������������� ��,������������。�����,�����,�����
xxv
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ᜈⷁၶ ���,��� ������學�,�� ��一������的�。���前,��������大��,�� �學���的�����,�����學����?������學��� �����?����,�大�����。�面������學���� �,�����分��的�,����������的。�������想 �的�,����學,�學�������分?��,�������面� 的問題,�����:「������學�:第一�����第一���想� �,第������第一���想��。」�������學�,����� ���定�、定理,�論�的、�����的��,������的��� �������的����,�������。�������,���� 的����「��������」,「���」。 談微分幾何,�����,����微分幾何��������曲線� 曲面的��,��曲線�曲面�����,��談��,����。�� 前篇談大域曲面論,�������,���������幾何,��� ���。�����������學《��微分幾何��》:第一卷「曲 線篇,曲面篇」。�������分��,��談 Gauss-Bonnet 定理, Hopf-Poincaré ��定理������曲�的��,������,�一� ��微分幾何(��������)�����,�������幾何�� ����的第一���。�����大�,������,����大域幾 何��的���,�論������,幾何變分學,�������曲�� �的��。��������,��������的���,������ ����的����,������������的��,������� �,��������� Grigori Perelman(�� Poincare 猜想)��� Fernando Marques(�� Willmore 猜想)�一��的�學�。���� ��������學學��的�����。
xxvi
全 書 目 錄 iii xxii xxvi xxvii
大域微分幾何引言 《大域微分幾何》三卷書二版序 校訂序 中文譯名說明
1
上卷 Riemann 幾何基礎
3
前篇 基礎背景 章 A 大域曲面論概要 §1 §3 §5 §7 §9 §11
平面上的曲線曲率 第一基本式 I 測地線與測地坐標 Isothermal 坐標與 H, K Holonomy 角與 Euler 數 Gauss-Bonnet 定理的直觀意義
5 5 9 13 25 34 45
§2 §4 §6 §8 §10
空間中的曲面曲率 第二基本式 II Gauss Theorema Egregium Gauss-Bonnet 定理與 Hopf-Poincaré 定理 Gauss 方程與 Codazzi 方程
章 B 活動標架法初步及其應用 §1 微分式與外微分 §3 Clifford 環面
53 53 69
N
§2 ℝ 中曲面的結構方程 §4 Lorentz 雙曲面
章 C 可微流形的基礎概念 §1 可微流形的定義 §3 維數的不變性
84 94
§2 Immersion 與 Embedding
107 107
§2 李氏積與 Lie 微分
第 2 章 Frobenius 可積分定理 123
§2 Frobenius 可積分定理
128
133 133
§2 ℝiemann 曲率怎麼來?
第 4 章 曲面論基本定理 §1 Gauss 方程與 Codazzi 方程
111
123
第 3 章 Riemann 曲率的誕生 §1 ℝiemann 流形
89
105
第 1 章 切向量與 Lie 微分
§1 可積分條件
64 77
83
篇一 Riemann 幾何的背景 §1 切向量的定義
7 11 16 30 43
136
143 143
§2 高維超曲面的存在與唯一
146
153
篇二 測地線的變分 第 5 章 向量場的共變微分 §1 共變微分與平行移動
155 155
§2 張量與張量場
第 6 章 Connection, metric 與曲率 §1 Connection 與 metric
173
173
§2 ℝicci 曲率與截曲率
第 7 章 測地線的變分與 Synge 定理 §1 測地線方程 §3 二階變分式
185 192
179
185 §2 一階變分式 §4 Synge 定理
第 8 章 變分學中的 Direct Method §1 Direct method §3 Frankel 定理
162
188 196
201
201 205
§2 Hopf-ℝinow 定理
204
209
篇三 Jacobi 場與大域幾何 第 9 章 Exponential Map 與最短測地線
211
§1 Exponential map §3 Tangent bundle §5 Hessian 與二階變分
217 221 228
211 219 223
§2 Gauss 引理 §4 Convexity §6 Shooting method
第 10 章 Jacobi 場 §1 Jacobi 場的定義 §3 Geodesic variation
231 231 235
§2 Jacobi 方程的解
第 11 章 測地線的大域行為 §1 Cut point, conjugate point 與 stability §3 測地線的長度變化
234
239 239 247
§2 Energy functional 的變分
242
第 12 章 Bonnet-Myers 定理與 Hadamard 定理
255
§1 Bonnet-Myers 定理與 ℝicci 曲率 §3 Universal cover
257
255 262
§2 Hadamard 定理與 Covering map
RI-1 A-1 R-1 I-1
附錄 Appendix A 全書參考文獻 全書索引
xxx
上卷 Riemann 幾何基礎
前篇
基礎背景
篇一
Riemann 幾何的背景
篇二
測地線的變分
篇三
Jacobi 場與大域幾何
章A
§1
大域曲面論概要
平面曲線的曲率 ��� R2 上������ (smooth)1 曲線 Γ,��������曲?
� x : I → R2 ,x = x(s),其中 I ��線 R1 上�����,s ��� ��2 ,���:
� A.1
��������曲線 Γ1 與 Γ2 ��曲�,�����曲� (curvature)。��上,�� Γ2 �曲線�上� Γ1 「�」。����������� 學概念?�曲線 x(s) 上,� A, B ��,� A, B ��曲線��� ∆s。 �上���中� ∆s ��,� A, B �������� (normal vectors) a, b。���曲線��上���,������ a, b ����� ∆θ ��� 1
���������� (�曲線、曲��),����「��」(smooth)。��「��」���������,� �:���������。���������������「�� class C ∞ 」,��� “Γ ∈ C ∞ ”。��上,�� �����,�� C r ,� r �����,r = 1, 2, 3,����。 2 �:s �� x = x(s) ��� (parameter),�����曲線���,������,��� dx = 1 ���。 ds
5
6
Ch. A
大域曲面論概要
(�� A 與 B 要����,���要��� A, B 的��� ∆θ 為�)。� ���,������曲�: ∆θ dθ = . κ = lim [θ �� A.1] ∆s→0 ∆s ds �����的 Gauss map γ : Γ → S 1 ,其中 S 1 ���� := {x ∈ R2 , |x| = 1},���:
γ(x) = ���向量 N ∈ S 1 ,
∀x ∈ Γ.
��� A.1 中� γ(A) = a,γ(B) = b。��� A.2 中,�曲線 Γ 的 切向量 dx = cos θe1 + sin θe2 , T = ds 其中 {e1 , e2 } 為�面���的������ (basis)。���: ( ) dθ dT dθ = − sin θ e1 + cos θ e2 =N . ds ds ds
(1)
N
� A.2
����的��,�要 (curvature),�為
dT ds
= κN ,����� κ 為曲線 x(s) 的曲率
d(θ − 90◦ ) dθ dθ = = . κ= ds ds ds ����的��。�� κ �����,�������的����,��� � N 的方向��的。��,����� N 的方向,����曲線��� κ ����,����曲線�向���曲。��,κ 的���與 x(s) 的�� ���,��與 x(s) ��的�向��。
7
��中曲面的曲率
§2
���面中曲面的
������ R3 ��中的(��)曲面3 ,��������曲?�� ���曲�的曲率,���曲面 M 的「�曲�」。���的,����� � A.3:
� A.3
對曲面 M 中的�� p,��曲面的����� N ,� N ���面4 Π, � Π � M ���曲� Γ。� X 為 Γ � p �的�����,�� Γ � Π 上的曲率,��為 κn (X),����「曲面 M � X �����中�曲的 ��」。�� κn (X) ���曲面 M 「� X 方向」���中�曲的��。 ����面 Π 變動,��:Π �� N ,��� X �����變動,� �������
C ≡ {κn (X) : |X| = 1, X ∈ Tp M },
(2)
其中 Tp M �� M � p �的��面。���� C ������ M � p �的�曲�。 為�������,���� Gauss map
γ : M → ���面 S 2 ,其中�� γ(q) = ����� N at q, 3 4
∀q ∈ M. (3)
�上���,������,������的曲面�其�����對�,�����。���「��」��。
��「�面� N 」,������面 Π ����,��������「� p �的��� N ���的��」 ,�� � p ����曲面 M 的��。
8
Ch. A
大域曲面論概要
γ � p �的一���(��� γ 的 Jacobian matrix)�一個 linear map dγ : Tp M → Tγ(p) S 2 ,
(4)
�� γ∗ = dγ ,稱 γ∗ 為 induced map of γ ,其�����:對 X ∈ Tp M , � M �一�� p 的曲線 α(t),� X = dα dt at p,�
d (γ ◦ α) at γ(p) dt dN �為 ≡≡ DX N at p. = dt
γ∗ (X) =
����對�� X, Y ∈ Tp M ,��� Y ��5 為 M �� p ��的一個向 量場,��:
⟨−dγ(X) , Y ⟩ = ⟨−γ∗ (X) , Y ⟩ =⟨−DX N , Y ⟩ = −X ⟨N , Y ⟩ +⟨N , DX Y ⟩,
(5)
∥ 0
� � Xf � f � X 的 � 向 � �, � f = ⟨N , Y ⟩。 � � 式 � � � ⟨N , DX Y ⟩ � p ���,�� Y � p ����的����。��� |X| = 1,�
⟨−dγ(X) , X⟩ = ⟨N , DX X⟩ = κn (X).
(6)
⟨−dγ(X) , Y ⟩ = ⟨−dγ(Y ) , X⟩.
(7)
����� C ��� dγ �定。�(5)式,���6
5
��:Y ��� p ���一個切向量,��� p 的一個�域 (neighborhood) U ,�� U �的�一� q,�� 定一個切向量 Y (q) ∈ Tq M ,��要� Y (q) 對 q �� (smooth)。���的定��,��稱 Y 為 Y (p) � p �� 的�� (extension)。一���,������一。 6
��(5),� ⟨−dγ(X) , Y ⟩ 與 Y ��� p ������,�對�� X, Y ∈ Tp M ,��� M �的�� (u, v),�� (u, v) �→ M ,� X, Y ��� p 的�域,�� X = xu , Y = xv ,其中 xu , xv ��� x 對 u, v 的 ���,�� ⟨−dγ(X) , Y ⟩ = ⟨N , Dxu xv ⟩ = ⟨N , xuv ⟩ = ⟨N , Dxv xu ⟩ = ⟨−dγ(Y ) , X⟩.
第一基本式 I (First Fundamental Form)
9
�� −dγ 為 symmetric(�稱 self-adjoint)。���� −dγ ���,� ������(eigen-directions) e1 , e2 ,��
−dγ(ei ) = κi ei ,
i = 1 � 2.
(8)
稱 κ1 , κ2 為 principal curvatures,e1 , e2 為 principal directions,��� � e1 , e2 ����� (orthonormal)。� X = (cos θ) e1 + (sin θ) e2 ,� �(6), (8)�� Euler 式:
κn (X) = κ1 cos2 θ + κ2 sin2 θ.
(9)
��,��曲面�曲的�� C ,���� {κ1 , κ2 } ��:
C = {κn (X)} ↔ {κ1 , κ2 }.
(10)
�������的幾何�:均曲率 (mean curvature) H 與 Gauss 曲率 (Gaussian curvature) K ��。 ∫ 1 (11) H = {κn (X)}的平均值 = κn (X)ds. 2π |X|=1 Area(γ(A)) (12) A→{p} Area(A)
K = M 上的��� Gauss map γ �的��率 = lim
其中 ds �的���� S 1 = {X ∈ Tp M : |X| = 1} 的線�;A 為曲面 M 上� p 的一��面�,��
H=
§3
1 1 trace(−γ∗ ) = (κ1 + κ2 ). 2 2
(13)
K = det(−γ∗ ) = κ1 κ2 .
(14)
第一基本式 I (First Fundamental Form)
第一基本式 I ���的�曲面 M 的���� (intrinsic geometry)。 ��曲面 M 的「��幾何」�的���� M 上曲線的「��」���的 幾何行為。���曲線的「��」�一�面�的「面積」��������
10
Ch. A
大域曲面論概要
(�本���),��:���面�����的,� intrinsic。��的,�� ��面���的幾何�,�� intrinsic。 1854 �7 Riemann �曲面的��幾何����,�������的一� 流形 (manifold),����� Riemann 幾何學。���������曲� �(�������)的��。�為����的����基本����曲的, �������曲面的��幾何��要的。本��一����� Riemann 幾何。����論曲面的��幾何,�為���論 Riemann 幾何的背景。 第一基本式,其���曲面「��」���������的「�學�8 」, ������:� M 為��� R3 中的曲面,p ∈ M ,第一基本式 I 可 ��為 切平面 Tp M �的��⟨ , ⟩p . �������的 (smoothly) � p ���。��一��:I : p → ⟨ , ⟩p 為 smooth map,其中
⟨ , ⟩ p : T p M × T p M → R.
(15)
����,第一基本式 I �的��:� R3 ��中的��,���切平 面 Tp M �的�� bilinear map。��:������ (positive definite) ����。為�����,��� ⟨ , ⟩p �� ⟨ , ⟩。�� M �一�曲� x = x(t),t ∈ �� (a, b),�的�� (length) �� ∫ b ∫ b dx dx 1/2 ⟩ dt = s= ⟨ , |x′ (t)| dt. dt a dt a �一�面,����� x = x(u, v) �� M �的�,�� x : (u, v) �→ M ⊂ R3 . 7
Riemann � 1854 �� Göttingen 大學的「����」(inaugural lecture) 中,�������要的��,� 題為 “On the hypotheses which lie at the foundation of geometry”。論���� 1868 ����。[��] �� ������:Bernhard Riemann: On the Hypotheses Which Lie at the Bases of Geometry (Jürgen Jost Editor), (2016), Birkhäuser Basel 8
���,���學��������式 ds2 ,��(16)式。
第二基本式 II (Second Fundamental Form)
� xu = ∂∂ux , xv = I ������
∂x ∂v ,�
11
{xu , xv } 為 Tp M �的一�基�。第一基本式
ds2 = ⟨dx , dx⟩ = ⟨xu du + xv dv , xu du + xv dv⟩
= ⟨xu , xu ⟩ du2 + 2 ⟨xu , xv ⟩ dudv + ⟨xv , xv ⟩ dv 2 ∥ ∥ ∥ E F G i j = gij du du ,
(16)
其中 gij ≡ ⟨xi , xj ⟩,u1 � u � u2 � v ,� x1 = xu , x2 = xv 。��� ����「����」(summation convention),��������, ∑ ∑ ∑ ∑ � gij dui duj 中� i 與 j �,�� i 與 j ,��� i 與 j ���, ∑ ∑ �� gij dui duj � i j gij dui duj 。 �� M ��曲� α(t) 與 β(t) � p = α(0) = β(0) ���,�其�� θ 為: ⟨X , Y ⟩ , θ = cos−1 (17) |X| · |Y | dβ 9 其中 X = dα ,�其��為 |X| = ⟨X , X⟩1/2 , |Y | = dt (0), Y = dt (0) ( ) ⟨Y , Y ⟩1/2 。�� ⟨X , Y ⟩ = 12 |X + Y |2 − |X|2 − |Y |2 ,�(17)式�� �:曲面的����曲面的��(�� ds2 )��。
��,曲面的「面�」(area element) dM ��� √ dM = |xu × xv | du ∧ dv = det gij du ∧ dv √ = EG − F 2 du ∧ dv.
(18)
��曲面�的面����� I ��。 §4
第二基本式 II (Second Fundamental Form)
���第一基本式���的�「曲面 M 的����」,��第二基本 式����:曲面 M ����� R3 ��。����� −dγ �� linear 9
�����:�� M �����的��� X, Y ,� ⟨X , Y ⟩ 為 M �的����。
國家圖書館出版品預行編目(CIP)資料 大域微分幾何(上):ℝiemann 幾何基礎/黃武雄著 . -二版 . -- 臺北市:臺大出版中心出版:臺大發行,2021.10 面; 公分 ISBN 978-986-350-511-2(精裝) 1. 大域微分幾何 316.52
110016793
大域微分幾何(上):Riemann 幾何基礎 作
者 黃武雄
總 監 張俊哲 責任編輯 李協芳 文字編校 胡亦行 編輯協力 吳育燐 內文排版 艾利歐 排版協力 黃秋玲 封面設計 石苔 發 行 人 管中閔 發 行 所 國立臺灣大學 出 版 者 國立臺灣大學出版中心 法律顧問 賴文智律師 定 價 辰皓國際出版製作有限公司 出版年月 2020 年 2 月初版 2021 年 10 月二版一刷 定 價 新臺幣 600 元整 展 售 處 國立臺灣大學出版中心 106319 臺北市羅斯福路四段 1 號 電話:(02) 2365-9286 100047 臺北市思源街 18 號澄思樓 1 樓 電話:(02) 3366-3991~3 分機 18 E-mail:ntuprs@ntu.edu.tw
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