舞台的衣袖 辨不清 面目真假 憂傷漂流於街巷 山腳下的溝水 靜靜流過 橋頭坐著戴紅帽的幽靈 他仰著頭 用天邊的彩雲 編織燦爛的笑顏
��卷前1 ⷀࣅॱذ �卷的�題�幾何變分�。��� ��的�題�幾何變分�。��� 篇七 均曲率幾何的基礎 篇八 Plateau 與 Berstein 問題 篇九 均曲率方程 共九章,� Ch. 22-30。 ����,�分幾何�理的������曲的��。上卷������曲 ����,�分幾何�理的������曲的��。上�������曲 ��的��概念,�����的共變�分與曲率��,����曲��中� 地線的變分,����曲����的幾何性�,����、�曲率��,分 �� Bonnet-Myers 定理、與 Hadamard 定理。 1. 幾何變分學的�� ����中���,幾何分析 (Geometric Analysis) ��幾何���的 �流。 �����,��、�����。幾何變分����中的��。��� 幾何變分����卷的�題,�����的�問,�����。���與幾 幾何變分�����的�題,�����的�問,�����。���與幾 何分析的��概念��。� Hopf 最��理 (maximum principle)、��� 理 (comparison principle)、流形上的變分、最小曲面及常均曲率曲面的穩 定性、stability operator 的特徵值、��最小與 calibration、Sobolev � �、值�定理、…�,��幾何分析��的��概念。��全���書的� 卷。 �。 與��,���卷��的�題,��: 幾何變分�中����的 idea 與��,������的�題,��: Laplace 的����、Plateau 問題、Bernstein 問題、��的 Hopf 猜想、 與�性問題�。 ��卷的��,��� Ch. 22、Ch. 23 �章,���均曲率的���� ���的��,��� 概念,���������的問題。�� Ch. 22 中,�曲面�的��最小、 1
全書引言,��上卷��,����。 全書引言,��上���,����。
iii
iv
�� calibration、�� R4 中的 Plateau �;������的��,��� Barbosa-do Carmo ��的定理:Rn+1 中的���� M n ,����為� � (�稱 cmc = constant mean curvature),��為�定 (stable),� M n �為��。���� stable sphere theorem,��� 1950-1980 ���� ������� Hopf 猜想 (Hopf’s conjecture) �,���的����。 Ch. 23 ���,�������的�定�����的��中,��� �� Jacobi 場,Sobolev ��,�����的��定理 (spectrum theorem)。��������的��,�������,�����;���� �����的���,��:����稱,�����。��,����� ��的����,與��的問題���。 2. Plateau 與 Bernstein 問題 Plateau 問題與 Bernstein 問題的��,� 1960-70 �����的��。 ����,三章 (Ch. 24-26) �中�������。��的 Plateau 問題 ���問題,1930 �� Jesse Douglas ����的��,��「三定�� 法」��的������的 minimizing sequence,�����為 Plateau solution。��� Ch. 24 ��章,��的������的��。����� � 1960 ��������的����,�������������的� ���。 Plateau 問題的��,������的問題:�定 R3 中的����� 線,������線為��,���為����的��(稱為 Plateau �)? �����,�������?Bernstein 問題�為:� R2 ��定�的 minimal graph(��� u = u(x), x ∈ R2 ),���為��?Bernstein 定理�������,�������線�的 Liouville 定理。 ��的�,Plateau ��������,與 Bernstein 定理���,� ����。[Ch. 25]。������ Plateau solution ���的�����, �� Plateau 的���,������� cone(��)。��的,���� ������,��� Bernstein ���,������ cone。 ��問題���: 「� RN ��中,������,����� minimal
v
cone?」的問題。��:��������面�為����的�面 (�� 為 minimal cone),��� RN −1 ?��,� Plateau solution ���, Bernstein 定理�����。���,� Plateau solution 為 regular(� ���),Bernstein 定理��。 ����問題��的��。 3. ��大�� � Ch. 25,����� Bernstein 問題的����,������的 R ��� minimal graph,�� Chern 的��,���曲面的 metric � � [� Ch. 25,(12)式],�問題��為 Liouville 定理。������ 1960 ����曲面�的 highlight:James Simons ��問題����的���� �������������式,���維���� 6,����面��的 minimal cone。� Ch. 26,��������� Bombieri 與 de Giorgi 的 ��,�� BV �� (functions of bounded variation),�� Bernstein √ √ 定理� 7 維,�� R8 ���面的 minimal cone S 3 (1/ 2) × S 3 (1/ 2), ��� 8 維�������的��。��,1970 �� Schoen-Simon-Yau ��������式,�方面�������的��,��方面����� �的��,���與��������的��,������ Ch. 26,�為 篇�的��。 2
4. 毛細�� 篇九從 Young-Laplace-Gauss ����面的����。1805 � Thomas Young ��:�面的�����為均曲率 (mean curvature) 的常�� [Ch. 27,(1)式]。��,Laplace ���:�面的均曲率,與��的��� �� [Ch. 27,(4)式]。��的��������面與均曲率的��。��� �����的���,���面的均曲率�為常�,���為 cmc(常均曲 率曲面)。 �� Young-Laplace 方程 [Ch. 27,(4)及(5)�式],Gauss ����理 (virtual work) ����,�����的��。� Ch. 27,������� ������,�����的理���,�������面(�� cmc)及
vi
���面的��。 ���������的��,��������������的��� ���?���� Laplace 的��,�����的��,������� ������ 10 �� [Ch. 27,(31)式] 。�������� 10 ��。� ��������:�面����������的��。������的� �,�������,��的���������?�的����?Robert Finn �����:����中��的��面,�������(� Laplace ���),�������。�������,�����,���面�� 1⁄r 的����。 ��的�������������面的���。�������與�� �面的����。 �����,����面��的���(����)的����,�面� ����。��������,�面的�����。����的����, � Finn-Korevaar [Ch. 27,定理 4] 與 Chen-Huang [Ch. 27,定理 5、 6]。 �������的��,�面����������,�����,� ������中,�����������?�������?���� 的(������ n ���)。理��:����的�������的� 面。Alexandrov � 1956 ���������(embedded,�����) � Rn+1 中的 n ����面 M n ,����定�(� cmc),����� [Ch. 28,定理 2]。 � embedding ����������?��:�定(cmc 的)M n � �定 embed(��),��� immersed(��)� Rn+1 中�?��� ��的 Hopf 猜想 (conjecture)。Hopf �����:M 2 �與�面 S 2 � �,���的 cmc M 2 ������面。�������的��: ���� Barbosa-do Carmo [Ch. 21] 的�定�定理,與��� (Wu-Yi Hsiang) 四 ��� R4 中的��。1983 �,Wente ����� Hopf 猜想��:� R3 中���� cmc �面的��。
vii
����� [Ch. 27-28],� Hopf’s differential 與 Alexandrov 的對稱 ���������,�����的定理。���中,���上����� Wente �面的��。 5. cmc 的幾何 ��的��� (Ch. 29-30),與����的����,��:����、 大凹陷定理與 Jacobi 場的��。 1950-1983 ��,������� Hopf 猜想,���的理��:cmc ��曲面 M �����凹陷(� Gauss 曲���的��)。���個�� �對的,��� Hadamard 定理,M ����一個 convex body,�� M ��� R3 中,���� Alexandrov 定理,M ����。 Wente 的����,����上�的����的:M ���凹陷。 Huang-Lin(�與���)的大凹陷定理,���上�����的��。� �,�����大,cmc ��曲面�����凹陷。����,���凹 陷,凹陷的�����大,����一個 extremal domain。 ��一個 domain ���一������ extremal [� λ1 (M ) = 0, � Ch. 29,§2],extremal domain ���大的面域,�� M 中的一�面 域,�� non-parametric������ u = u(x), x ∈ Ω ⊂ R2 ��,� �� extremal domain 小。�� cmc 曲面凹陷的���大。大凹陷定理 的��,������對����的��:1970-80 �� Brascamp-Lieb、 Caffarelli-Friedman、Finn�Korevaar、Chen-Huang、Shih ���理的 ����,����:����� well-posed? ��,��������域 (convex domain) 上的��一個���� �,���� convex �,���������� (Dirichlet),�一� (capillary � Neumann),������ [Ch. 29�Sect. 1]。 ��,� cmc 曲面上的一個 domain D(t) ���� t,�一個���的 小小�����大,�� {D(t), 0 t < b},�� extremal(� D(t1 ), �� D[λ1 = 1]),�� stable �� unstable �,����一個��的 Jacobi 場(����的� cmc 曲面,Jacobi 場���� volume constraint
viii
的��)。���? �篇� Ch. 30,��,���的��一章,������與 Morse index 定理��起�,一���地線的��一�(���的一��地線,� �������的 cmc 曲面)。�章的�����:�� D[λk−1 = 0] 與 D[λk = 0] ��,����的 Jacobi ����,����� (multiplicity) ����。[Ch. 30�Thm. 8]。 ������地線�的 Jacobi �的����,������一�的� 地線,����的曲面,�������� (volume constraint) 的 cmc 曲面。��的 C ∞ -��,��������。����� C ∞ -架構��� Sovolev 架構。Ch. 23 ���� Sobolev ����,��������定 理。��������的�� Sobolev 的理論,��������的�� C ∞ -架構中��的��,�� Sobolev 理論的��。������,��� �一��的�������� 30 章。 6. ⲟ 2015 ����篇��,���王慕道、王藹農、�������,�� 一篇 survey ��的文章,����,���篇。�的��������� ��,����������的一��方�。 ������篇��。�����的論�與����的����,��� ����,��������。���,����。 ��:�中�章��������式,�理����。王慕道�〈從 一個方程式談起〉一文中,������式,����式�的��:�� 與 Perelman 的��、與 Schoen-Yau 的���定理,��起�。��, ��������式���論中���的��,������� PenroseHawking 的��定理。王慕道的短文,����������,����� ���的��,�������的��。 王藹農��的 survey,��������,��������的� �,������的一���,���一起,�� Herman Weyl ��的 embedding 定理、Nirenberg�Chern�Choi-Wang(���-王�農)、� 的
ix
�的��。�����,�������與���的��。��,���� 的��,�������:��,�� Henry Wente ��的��,��幾 何的��,������。����������的�。 林俊吉��〈曲線與幾何分析〉,������������的��,其 �����������。1980 ������� DNA ��的����, �������。DNA 的��,�����,與�的��,������ ��的����。���的��� (elastic rods) �� DNA 的����� �。 林俊吉��������的����,�分析����的��。���� ��分幾何的��,�� Möbious bands 與幾何��(geometric knots, ������������)。�����������,����。林俊 吉的 survey,�����的����,�������線������的� �,���������,����的�����。 ��������分����的����,��������,���� �的��,�����。�����������的�的。��的��,� �����的��,����。
iii x
下卷前言 《大域微分幾何》三卷書二版序
431
下卷 幾何變分法
433
篇七 均曲率幾何的基礎 第 22 章 流形上的變分 §1 §3 §5 §7
面積的第一變分 Calibration 二階變分式 常均曲率曲面的穩定性
435 435 444 450 462
§2 §4 §6 §8
絕對最小 ℝ4 中 Plateau solution 的奇點 常均曲率的曲面 Stable sphere theorem
第 23 章 最小曲面的穩定性 §1 曲面上的 Jacobi 場與 Hopf 的 球定理 §3 Laplace 值譜與 Sobolev 函數 §5 λ1 與穩定性 §7 值譜定理的證明
469 469 478 489 494
§2 Hopf 最大原理
473
§4 Faber-Krahn 定理 §6 Barbosa-do Carmo 定理
484 493
篇八 Plateau 與 Bernstein 問題
503
第 24 章 Plateau 問題 §1 §3 §5 §7
Plateau 問題的背景 轉化為最小能量的問題 三定點手法 引理 3 的證明
505 505 511 518 523
§2 §4 §6 §8
轉化成 Dirichlet 積分的最小化 Dirichlet 原理 Equicontinuity Dirichlet 原理的證明
第 25 章 Bernstein 問題 §1 問題的背景 §3 補證 Liouville 型定理 §5 估算第二基本式的 Laplacian
531 541 548
§2 二維 Bernstein 定理的幾何證明 §4 Simon 定理的證明
533 543
553
554 569
§2 de Giorgi 的想法 §4 Schoen-Simon-Yau 的直接估計
562 572
585
篇九 均曲率方程 第 27 章 毛細方程與均曲率 §1 Young-Laplace-Gauss 的貢獻 §3 毛細曲面的凸性
507 514 522 526
531
第 26 章 Plateau 與 Bernstein 問題 §1 BV 函數簡述 §3 Bombieri-de Giorgi-Giusti 的反例
441 447 456 464
587 587 604
§2 毛細曲面的高度 §4 二階比較
xix
593 607
第 28 章 Hopf 猜想與 Alexandrov 對稱法
615
§1 Hopf 的猜想 §3 Alexandrov 的對稱法
622
615 625
§2 Hopf’s differential
第 29 章 Convexity 與大凹陷定理 §1 Convexity 問題的本質 §3 Extremal domain 的幾何意義 §5 一般張量的 Laplacian
629 629 638 645
§2 Stable 與 Extremal §4 曲率的 Laplacian §6 大凹陷定理
633 641 647
第 30 章 cmc 上的 Jacobi 場與 Morse Index 定理
651
§1 §3 §5 §7
653 665 678
問題的背景 主要問題 cmc 曲面上 Jacobi 場的分佈 Sobolev space Ht 的連續性
651 661 670 697
§2 臨界狀態 §4 Morse index 定理 §6 Sobolev 範疇的架構
717
衍篇 CMC 曲面及其應用(王藹農)
719
從一個方程式談起(王慕道)
726
曲線與幾何分析(林俊吉)
729 RI-1 R-1 I-1
附錄 全書參考文獻 全書索引
xx
�� 幾何變分學 Calculus of Variations in Geometry
篇七
均曲率幾何的基礎
篇八
Plateau 與 Bernstein 問題
篇九
常均曲率方程
第 22 章 流形上的變分
§1
面積的一��變
���中,��������流形中的��,�����、Jacobi �� 概念。�������維,三維,���維的流形,���� RN (��� �的 Riemann 流形)中���,������,及穩定性 (stability) �概 i
念。��流形 M n �� (immersed) � RN 中,� M n RN 。�� M n 上 的 metric dsM = i∗ (dsRN ),dsRN � RN 上的 Euclidean metric。� M n 上����� {e1 , . . . , eN },� e1 , . . . , en �� M n ,� en+1 , . . . , eN ��� M n 。���� {e1 , . . . , en } 的 coframe � {ω 1 , . . . , ω n }。��, ∂ 2 � (xi ) � M n 上的��。� gij = ⟨∂i , ∂j ⟩ � ∂i ≡ ∂x i ,� dsM = gij dxi dxj 。�� p ∈ M n ,dp � Tp M → Tp M 的 identity map,� dp = ω i ei ,�
ds2M = ⟨dp , dp⟩ = ⟨ω i ei , ω j ej ⟩ = (ω 1 )2 + (ω 2 )2 + · · · + (ω n )2 . �� ω i = aij dxj ,�
ds2M = (a1i dxi )(a1j dxj ) + · · · = �� gij 與
∑
k
aki akj �� i, j ���,� ∑ k k ai aj = gij ,
∑ k
aki akj dxi dxj ;
k
��
g ≡ det gij = det
(
∑ k
aki akj 435
)
= det
(
(ajk )t
·
(aki )
)
436
Ch. 22
流形上的變分
= det(aki )t · det(aki ) = (det(aki ))2 ,
其中 ( )t � transpose(����)。�� M n 的 area form dM [� n 維,���� 2 維,�����稱� volume form] �
ωM = ω 1 ∧ · · · ∧ ω n = (a1i1 dxi1 ) ∧ · · · ∧ (anin dxin ) = a1i1 · · · anin dxi1 ∧ · · · ∧ dxin ∑ = (Sgn I)a1i1 · · · anin dx1 ∧ · · · ∧ dxn I
= det(aji )dx1 ∧ · · · ∧ dxn =
√
gdx1 ∧ · · · ∧ dxn ,
(1)
其中 I = permutation(i1 , . . . , in ),� { 1, � I � even permutation Sgn I = −1, � I � odd permutation.
�����變分�。� M n 上� C ∞ -��
η : M n × (−ε, ε) −→ RN , � η |M ×0 = i,
其中 i ����的�� (immersion) i : M n RN 。稱 η 為 M n � RN 中 的變分 (variation)。[其� η �� C 1 ��,�為����,����� �� C 1 , C 2 , C 3 , . . . ����,����� C ∞ 。]
�� v ∈ (−ε, ε),� Mv ≡ M n × v ,� Mv 上的 metric � dsMv = i∗v (dsRN ),�� RN � iv 的 induced metric,其中 iv ≡ η|Mv : Mv RN 。稱 ∂η V = �變分向量場 (variation field). (2) ∂v � Area Mv 為 A(v),�
A(v) =
∫
dMv = Mv
∫
Mv
ωMv ;
(3)
�� ωMv ≡ dMv � Mv 上的 area form。������ (Ω, φv ) ��, √ �(1)���� Mv 上,� ωMv = gdx1 ∧ · · · ∧ dxn ,�� g = g(v),與
��的����
437
� 22.1 open
v ��,其中 φv : Ω → Mv , Ω ⊂ Rn ,Ω = {x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Ω ⊂ Rn }。��� ∫ ∫ d d ′ (ωMv ) = ? A (0) = dMv = (4) dv Mv Mv dv ������,
d d √ g′ 1 n (ωMv ) = ( g)dx ∧ · · · ∧ dx = √ dx1 ∧ · · · ∧ dxn , dv dv 2 g
(5)
�
g ′ = (det gij )′ =
∑ J
=
∑ J
(Sgn J)(g1j1 · · · gnjn )′
′ ′ (Sgn J)(g1j g · · · gnjn + g1j1 g2j g · · · gnjn + · · · ) 1 2j2 2 3j3
(6)
= gij′ Gij = gij′ (g ji g), 其中 Gij � gij 的 cofactor(���)。 ������,���������的���。������ p ∈ M , �� p,� p ���� M 的����� normal �� (xi ),��:� p � � ⟨∂i , ∂j ⟩ = δij at p; ∇∂i ∂j = 0 at p, ∀ i, j. (7)
438
Ch. 22
流形上的變分
∂ N 其中 ∂i = ∂x 中的微分。� i ,� ∇ � M 的共變微分,���� D � R �:∇X Y = (DX Y )τ 。
��� p �的 “normal” �標,��� Expp : Tp M → M ���的� at p
標:��,� Tp M 上�����標 (xi ),� ⟨∂i , ∂j ⟩ ==== 0, ∀ i, j 。� γ(t) ≡ Expp t(∂i + ∂j ) 為一測地線,� at p
∇∂i +∂j (∂i + ∂j ) ==== 0, ||
∇∂i ∂i + 2∇∂i ∂j + ∇∂j ∂j || at p
|| at p
0
0
at p
�� ⟨∇∂i ∂j ⟩ ==== 0。�(5), (6)���:� p �上
� 22.2
[
d ωMv dv
]
at p
== v=0
=
=
1 ′ ij g (δ ) dx1 ∧ · · · ∧ dxn 2 ij
1∑ ′ g dx1 ∧ · · · ∧ dxn 2 i ii
∑ i
|| d dv ⟨∂i , ∂i ⟩
= 2 ⟨DV ∂i , ∂i ⟩ = 2 ⟨D∂i V, ∂i ⟩
(
)
⃗ ωM , (∂i ⟨V, ∂i ⟩ −⟨V, D∂i ∂i ⟩) dx1 ∧ · · · ∧ dxn = div V̄ − ⟨V , nH⟩ ↓ � [F]
(div V̄ )
↓ � [E]
⃗ � p �) nH(
(8)
439
��的����
⃗ � M � RN 中的 其中 V̄ � V � M �的�� (projection),� H ∑ ⃗ = 1 (D∂ ∂i )ν , ( )ν ���� (normal mean curvature vector,�� H i n i
component)。�� ( )τ ����。���,���� normal ��,� p at p 1 ∑ ⃗ == ���� (D∂i ∂i )τ = 0,������ H (D∂i ∂i )。 n i
[E]:
∑ i
[F]:
D∂i ∂i =
∑ i
(D∂i ∂i )τ +(D∂i ∂i )ν = |||
∇∂ i ∂ i
∑ i
at p ⃗ ∇∂i ∂i +(D∂i ∂i )ν == nH. || at p
0
∂i ⟨V, ∂i ⟩ = ∂i ⟨V̄ , ∂i ⟩ = ⟨D∂i (V j ∂j ), ∂i ⟩ + ⟨V̄ , ∇∂i ∂i ⟩
|| at p
= ∂i V j ⟨∂j , ∂i ⟩ + ⟨V j ∇∂i ∂j , ∂i ⟩
0
|| at p
0
= ∂i V i = div V̄ .
at p
���中��:� Ch. 14 §2 � div W = ∂i W i +W j Γiij ,� Γiij == 0。 ��(8)������ coordinate independent,���與�� (gij ) 的 ����,��,��(8)����: ] ∫ [ ∫ d ⃗ ωM , ωMv A′ (0) = = (div V̄ − ⟨V, nH⟩) dv v=0 ↓ M M ∫ ⟨V, ν⟩ dS ∂M
���: 定理 1 (一��變分) � M n 與 X N ���� Riemann 流形,n < N 。� M n X N ,� M n � X N 中���,������ V ,�� V̄ = (V )τ
440
Ch. 22
流形上的變分
� V � M n 上的��,� ] [ d ⃗ ωM ωMv = (div V̄ − ⟨V , nH⟩) dv v=0 �上�� M 上��分,� � ∫ ∫ � d ′ ⃗ dM, A (0) = Area Mv �� = ⟨V , ν⟩ dS − ⟨V , nH⟩ dv v=0
(9)
(10)
M
∂M
其 中 ν � � � ∂M � M 上 的 unit outer normal(� � M ) , � ⃗ ωM ���上�,dS �� ∂M 的 area element。 Mv , H,
� 22.3
ᩅⷑ 1 上���(8)�的��中,������� X N = RN 的��。�� ��變分���� M n XN (11) ����。���������� S 3 中����的��曲� M 2 S 3 。 ⃗ = 0 �,����� ∂M ����的變分,�� A′ (0) = 0。 �H ⲟἰ 2 ��� M n X n+1 ,�� codimension �� 1 的��,�變 分向量場 V = φN ,N � M n 上的���向量(��� φ �變分�� (variation function))��: ∫ ′ A (0) = − nH φ dM, (12) M
⃗ = HN 。 其中 H � M n � X N 中的均曲率 (mean curvature),� H
441
��最小 (absolutely minimizing)
定� 1 ���� (immersion) i : M n X N , n < N 。� mean curvature ⃗ ≡ 0,�稱 M n � X N 中的最小曲面 (minimal surface)。� vector H �曲面��稱,�「n 維曲面」,�����維的曲面。����的���, 應稱最小子流形 (minimal submanifold)。 定理 2 �� M n X N ,� ∂M � M n 的��(�� ∂M = ϕ),� d M n � X N 中的最小曲面 ⇐⇒ A′ (0) ≡ dv Area Mv = 0, (13) v=0 ∀ variation η, 其 V |∂M = 0. �� 2 �����「最小」曲面 (“minimal” surface) ���,�其面 ������的���,����最小。其���� area functional � stationary,��:�������的��,A′ (0) = 0。��� Ch. 7 §2。 ��������曲�,�����維�上的曲面,�������的��。 � Riemann 流形 X N 中,���維��維�上的最小曲面,其����� �� X N 中���維的���。 定理 2 的��:
⇒: ������,����。
∞
C ⃗ ,其中 ψ : M n −→ ⃗ � p � ̸= 0。���� η ,� V = ψ H ⇐: �� H R, � mollifier function,�� p ���的��小��� (geodesic ball) Bp (a) 上,ψ 1;其外 ψ ≡ 0。������,� A′ (0) < 0,��
��。
̸=
§2 ��對最 (absolutely minimizing) ���� i : M n X N ,M n 的�� ∂M ��� non-empty。
442
Ch. 22
流形上的變分
定� 2 ���� M n 中的 subdomain Ω,�� Area Ω Area Ω′ ,
(14)
其中 Ω′ � X N 中����與 Ω ��的 n 維曲面,� ∂Ω′ = ∂Ω。��稱 M n � absolutely minimizing(��對最)。 �� 3 �定理 1,��� X N 中
M n � absolutely minimizing ⇒ M n � minimal surface。
(15)
������。��� S 3 中,�維�� [稱 equator] S 2 ��� minimal, �� absolutely minimizing。����的�����的��,�� S 2 = {(x, y, z, w) ∈ S 3 ; w = 0} ⊂ S 3 = {(x, y, z, w); x2 + y 2 + z 2 + w2 = 1}。� R3 中���� minimal surface�� absolutely minimizing,�� ��的 catenoid:
M 2 = {(x, r cos θ, r sin θ); x ∈ R′ , −π θ < π},
(16)
其中 r = cosh x,cosh � hypercosine。�的 mean curvature H ≡ 0,�
� 22.4
��� minimal surface,���� absolutely minimizing。� Ω ⊂ M 2 �� 22.4 中����� (meridian) Γ+ 與 Γ− ��的�� (domain),� Γ− 與 Γ+ �����,Ω �� absolutely minimizing。 �� 1 �� catenoid � minimal surface。��� x : M n RN ,� ⃗ 。� Ch. 14 §6 定理 2,� ∆M x = nH x � harmonic ⇔ M n � minimal。
(17)
443
��最小 (absolutely minimizing)
����� catenoid 為 minimal,���� ds2 = λ2 (du2 + dv 2 ),� ∂2 ∂2 ∆M = λ12 ( ∂u 2 + ∂v 2 )。 �������: open
定理 3 � Rn+1 中的曲面 M n 為��� G ⊂ Rn 上的 minimal graph, ��� M n 為最小曲面,�
M n = {(x, u(x)); x ∈ Gopen in
Rn
},
(18)
其中 u = u(x) 為 x 的 C ∞ ����,� M n �為 absolutely minimizing。 ��: ����,� u = u(x), x ∈ G ⊂ Rn �,其���� (graph) M n 的 mean curvature H ���1 ( ) ∑ Di u � H=0 nH = Di √ ======= 0. (19) 1 + |Du|2 i ��� D ⊂⊂ G,����� v = v(x), v|∂D = u|∂D [�� 22.5]。�
� 22.5
Du ⊂ M n 與 Dv ⊂ M n ���� u 與 v ��� D 上的曲面,� ∫ √ ∫ 1 + |Du|2 2 √ Area Du = 1 + |Du| dx = dx 1 + |Du|2 D D 1
��為��,������ Ch. 25 §2,���的��。
國家圖書館出版品預行編目(CIP)資料 大域微分幾何(下):幾何變分學/黃武雄著 . -二版 . -- 臺北市:臺大出版中心出版:臺大發行,2021.10 面; 公分 ISBN 978-986-350-512-9(精裝) 1. 大域微分幾何 316.52
110016794
大域微分幾何(下):幾何變分學 作
者 黃武雄
總 監 張俊哲 責任編輯 李協芳 文字編校 胡亦行 編輯協力 吳育燐 內文排版 艾利歐 排版協力 黃秋玲 封面設計 石苔 發 行 人 管中閔 發 行 所 國立臺灣大學 出 版 者 國立臺灣大學出版中心 法律顧問 賴文智律師 印 製 長達印刷有限公司 出版年月 2020 年 2 月初版 次 2021 年 10 月二版一刷 定 價 新臺幣 660 元整 展 售 處 國立臺灣大學出版中心 106319 臺北市羅斯福路四段 1 號 電話:(02) 2365-9286 100047 臺北市思源街 18 號澄思樓 1 樓 電話:(02) 3366-3991~3 分機 18 E-mail:ntuprs@ntu.edu.tw
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ISBN:978-986-350-512-9 GPN:1011001535 本書已通過國立臺灣大學出版中心教科書審查
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