目錄 緒論 ix 致謝 xvii 1 動力學簡介 時空傳奇:動力學專家智慧的抉擇 1 1.1 範疇 2 1.2 假設條件 3 1.3 單位 4 1.4 基本向量與三角函數運算 7 1.5 成為動力學專家 9 習題 13 本章重點整理 16 動力補充站:單位革命 17 質點動力學 2 質點運動學 大衛傳奇:小石子飛越空間的威力 19 2.1 直角座標 20 2.2 極座標 27 2.3 法線與切線座標 38 2.4 圓柱座標 42 2.5 球座標 45 2.6 相對運動 47 2.6.1 靜止或平移觀察者 47 2.6.2 轉動中的觀察者 49 2.6.3 觀察者與被觀察者在同一個轉動物體上平移運動 51 習題 56 本章重點整理 61 動力補充站:「小石子與大巨人」的生命探索 63
3 質點運動力學 星戰傳奇:原力喚醒質點運動 65 3.1 運動方程式 66 3.1.1 直線運動 –1D
3.1.2 平面曲線運動 –2D
3.1.3 三維空間運動 –3D
3.2 功與能原理 84 3.3 線衝量與動量原理 94 3.3.1 線衝量與線動量 96 3.3.2 線動量守恆定律 96 3.4 衝擊運動 97 3.4.1 對心衝擊 98 3.4.2 斜衝擊
3.5 角衝量與動量原理
習題 118 本章重點整理
動力補充站:精密工程 127 4 質點系統運動力學 摩西傳奇:探索質點系統中的奧祕 129 4.1 牛頓第二運動定律 130 4.2 功與能原理 131 4.3 衝量與動量原理 133 4.3.1 線衝量與線動量 133 4.3.2 角衝量與角動量 133 4.3.3 運動方程式 137 4.4 可變質點系統 149 4.4.1 穩定質量流 149 4.4.2 可變質量流 153 習題 156 本章重點整理 161 動力補充站:蜂群無人機 163
66
71
78
101
111
123
5 看電影學動力—質點動力篇 動力學場景介紹 165 5.1 《水行俠》 166 5.2 《雷霆戰狗》(I) 169 5.3 《阿凡達》 171 5.4 《福爾摩桑》(I) 174 5.5 《納尼亞傳奇:獅子‧女巫‧魔衣櫥》(I) 177 5.6 《北極特快車》(I) 180 剛體動力學 6 剛體平面運動學 納尼亞傳奇:平面運動的奇幻國度 183 6.1 剛體的定義 184 6.2 以接頭相連/無滑動面的剛體運動 184 6.2.1 平移運動 184 6.2.2 繞固定軸的旋轉運動 185 6.2.3 絕對運動 193 6.2.4 瞬時旋轉中心 201 6.3 具滑動連結的剛體運動 205 6.3.1 絕對運動 205 6.3.2 相對運動 209 習題 216 本章重點整理 221 動力補充站:《納尼亞傳奇》的啟示 談工程師的真善美 223
7 剛體平面運動力學 魔戒傳奇:運動力學的意外旅程 225 7.1 運動方程式 226 7.1.1 剛體的平移運動 227 7.1.2 剛體的旋轉運動 227 7.2 剛體的功與能原理 243 7.3 剛體的動量與衝量原理 252 7.3.1 線動量與線衝量 252 7.3.2 角衝量與角動量 253 7.4 雙剛體的偏心衝擊 260 習題 274 本章重點整理 280 動力補充站:電動車與電學之父法拉第 283 8 三維剛體運動力學 陀螺傳奇:剛體玩具運動的總動員 285 8.1 三維剛體運動學 286 8.1.1 平移運動 286 8.1.2 對固定點的旋轉運動 287 8.1.3 絕對運動:以接頭相連/無滑動面的剛體運動 290 8.1.4 絕對運動:具滑動連結的剛體運動 294 8.2 三維剛體運動力學 298 8.2.1 角動量 298 8.2.2 動能 304 8.2.3 運動方程式 308 8.3 迴轉(陀螺)運動 319 8.3.1 迴轉運動動力學 321 8.3.2 穩定進動 322 8.3.3 零力矩運動 323 習題 327 本章重點整理 332 動力補充站:仿蒲公英飛行器 335
9 看電影學動力—剛體動力篇 動力學場景介紹 337 9.1 《雷霆戰狗》(II) 338 9.2 《星際大戰:原力覺醒》 342 9.3 《玩具總動員3》 348 9.4 《福爾摩桑》(II) 355 9.5 《北極特快車》(II) 359 9.6 《白日夢冒險王》 361 9.7 《納尼亞傳奇:獅子‧女巫‧魔衣櫥》(II) 370 9.8 《魔戒三部曲:王者再臨》 375 9.9 《出埃及記:天地王者》 381 10 振動學 振動傳奇:發現搖滾音樂的振動學 391 10.1 從音樂談振動 392 10.1.1 弦的振動 393 10.1.2 板殼振動 394 10.1.3 薄膜振動 395 10.2 質點系統的自由振動 398 10.2.1 無阻尼自由振動 398 10.2.2 有阻尼自由振動 404 10.3 質點系統的強迫振動 410 10.3.1 簡諧激振 410 10.3.2 地基振動 412 10.3.3 無阻尼強迫振動 414 10.4 剛體的振動 419 習題 423 本章重點整理 428 動力補充站:要有光 429 附錄 431 A. 國際公制單位定義 431 C. 質量慣性矩與質心位置 432 B. 主要單位定義與換算 431 D. 習題簡答 433
緒論
髓,享受動力學的樂趣。本書最大的特色是介紹一套系統 化方法,讀者不需要死背任何公式,只要知道 ����=��������, 就可以推導出物體的運動方程式( equations of motion )。 這個系統化步驟稱為「向量分析建模法」(vector analysis and modeling procedure, VAMP ),而 VAMP 正好就是「音 樂即興演奏」的意思,就像一位音樂演奏家隨手就能演奏 一段動聽的樂章。讀者學會了這套向量分析建模法,相信 任何複雜的動力學問題,都可以迎刃而解。當信心建立起 來了,自然就能享受動力學的樂趣了。 ix
工程力學 (engineering mechanics ) 包括靜力學( statics) 和動 力學 ( dynamics)。靜力學探討的是物體在力平衡狀 態下的關係;相對的,當物體受力不平衡時,就會產生運 動,這就是動力學的範圍了。 動力學是一門基礎工程力學,包含 運 動 學 ( kinematics )和運動力學( kinetics )兩個部分。運動學 探討的是物體運動的狀態,也就是物體的位置(position)、 速度(velocity)和加速度(acceleration)。運動力學探討的 是造成物體運動的原因,也就是分析力(force)和加速度、 力矩(torque)和角加速度的關係。 《動力學:從電影到工程力學》目的不是要取代一本 完整的教科書,而是以作者多年教學經驗,以輕鬆方式, 提供一套 學以致用的 工具,讓讀者很快抓到動力學的精
因此,本書歸納出一種前後連貫的解題流程:已知條 件(given)→解題目標(goals)→座標定義(coordinates) →限制條件(constraints )→運動學(kinematics ) →運動 力學(kinetics),我們稱之為 G2C2K2 流程。就像有首歌叫 做 Let’s Go Get Cokes「來杯可樂吧!」,透過此方式會讓 你很容易記住這個流程。我們再次重申:真的不需要背任 何公式,因為在解題過程的思考邏輯中,就相當於再經歷 一次公式推導,你可以輕易寫出最基本的運動方程式、功 與能的方程式(work and energy equations)及動量與衝量 方程式(impulse and momentum equations),解決大部分 的動力學問題。 這本書另外一個目的, 就 是幫助讀者將動力學活 用 在日常生活之中;當初,牛頓發現三大運動定律,就是觀 察到自然中物體運動的現象,再用數學來描述這些現象。 這也是許多人學習自然科學的迷思,以為 把 數學讀好就 可以解決力學的問題,但這裡我們要特別強調:數學只是 用來描述自然現象的工具,數學無法產生自然現象,所有 自然現象都 是 來自奇妙的創造,科學家不斷地發現自然 界中的奧祕,再用數學來描述自然現象。因此,本書所舉 的例子,都以生活情境當背景,使讀者在生活情境中,學 會動力學的應用。 本書採用看電影學動力的架構,透過電影劇情引導, 由科技與生活啟發,帶出每一個主題的重點,藉著自然的 x 動力學:從電影到工程力學
物理觀察 ( physical observation )、工程的基本定義 ( engineering terminologies ) 以及習知的數學工具 (mathematical tools),像寫一首詩(POEM)一樣,順暢 地將動力學的基本公式推導出來;然而,當我們介紹例題 時,讀者會發現在解題過程中,會再經歷一次 POEM 過 程,而不需要死背任何公式。如果讀者未來要成為一位工 程師,很容易就能將這種邏輯思考方式和過程,讓動力學 融入工程師生命的一部分,成為一種可攜式(portable)的 技能,得以解決任何工程力學的問題。 如 果 讀 者 只 希 望 順 利 通 過 動 力 學 考 試 就 好 了 , 這 本 書絕對是你求學過程中的「葵花寶典」。由於學生最常遇 到的困難是:拿到題目以後,不知如何下手;讀者只要運 用本書所教的系統化方法,幾乎所有市面上教科書的題 目,都可以迎刃而解。本書特別收集了臺大機械系碩士班 入學考試「看電影學動力」單元歷年考題,作為第 5 章與 第 9 章中的例題,每題都有詳細解答,引導讀者正確的解 題過程,同時訓練讀者靈活的思考邏輯。通常,評分老師 會因 考生 邏輯與過程正確給 予 高分,數字正確與否常常 不是評分重點,因為考試有時間限制,如何先完成關鍵、 重要的 20%,就能得到 80% 的分數,這就是經濟學中的 80/20 法則(Pareto principle ,即「柏拉圖法則」)。 緒論 xi
本書特色 綜合以上介紹,本書具有以下特色。 1. 系統化步驟:以向量分析建模法,無需背誦公式,像 演奏即興樂章(VAMP)一樣,得到系統化解題技巧。 2. 劇情化引導:以電影或史詩劇情引導,快樂輕鬆學習, 享受動力學的樂趣。 3. 邏輯化過程:以前後連貫的解題過程(G2C2K2 ),迎刃 而解所有動力學問題。 4. 生活化應用:以基本物理、工程定義及數學工具,像 寫一首詩(POEM)一樣,順暢推導出動力學公式。將 動力學 融入 工程師生命的一部分,成為可攜式 (portable)的技能,得以解決任何工程力學的問題。 本書結構 本書結構非常簡單,每章都以引人入勝的主題開始,推導 通用基礎理論,再以精選例題,練習解題技巧。 引人入勝的主題 本書分為 質 點 動 力 學 與剛 體 動 力 學 兩大 主題 單元。每章 都由一齣電影為標題,由劇情引導出各章主題。例如,第 1 章動力學簡介,藉著《異星入侵》,以「時空傳奇:動力 學專家智慧的抉擇」為題,介紹動力學基本要素:時間、 空間、數學語言,以及透過電影劇情帶給我們的啟示,來 銜接該章內容。每個主題單元結束前,我們還有「看電影 學動力」的綜合應用篇(第 5 及第 9 章),藉著電影經典 xii 動力學:從電影到工程力學
片段啟發,帶出思考問題,並有詳細解答,讓讀者可以享 受動力學的樂趣! 通用基礎理論 由主題發展出來的基礎理論,分成許多小節來介紹,在基 本的假設條件下,我們一定會先定義出適當的座標系統, 接著用向量表示每一個物理量,藉著牛頓運動定律,推導 出精準且通用的動力學基本原理。由於本書 透過 基礎理 論,以由淺入深的「向量分析建模法」來描述,提供讀者 自學最佳思考邏輯工具,也能成為授課教師 備課 的即時 實用教材。 符號與圖 不同於一般教科書用正粗體字表示向量(如 ��������、����、����), 導致 手寫不易。本書的向量表示法是以文字加上箭頭表 示,例如,����⃑���� 表示單位向量、����⃑ 表示位置向量、���� ⃑ 表示 力矩向量,相當符合手書習慣。本書內文說明中會出現兩 種 重要 的 圖: 座 標 定 義 圖 ,定義慣性座標 ( inertial coordinates)和附體座標(body fixed coordinates);自由體 圖,分離出運動質點或剛體的邊界,畫出所有作用在物體 上的外力與外力矩向量。例如,機器人 BB8 運動過程中, 在地面定義慣性座標、軌道上定義附體座標,再將 BB8 的 頭分離出來成為自由體圖,在其邊界及質心位置,畫出作 用力或力矩。 緒論 xiii
精選例題 本書精選 80 多道例題,以劇情化方式引導問題,讓讀者 直接聯想到生活或工程應用;例題具有代表性,讓讀者馬 上應用剛學到的基礎理論;解題方式依據系統化步驟,以 向量分析建模法(VAMP)及邏輯化過程(G2C2K2 ),無需 背誦公式,讀者完全不會漏掉任何一個物理量,得到完整 解答。由於坊間一般的教科書限於篇幅,只能列出關鍵方 程式,而忽略過程的引導,導致讀者只學到「背公式解題 目」,換了一題就不知道從何下手。依照本書解題方法, 動力學不再是一門困難的學問。 願景與理念 本書是第一本銜接 108 課綱「工業類動力機械群」專業大 學用書,並基於全人教育精神,以養成學生基本學力、奠 定適性發展基礎、成就「適性揚才、終身學習」的願景。 為了 激發學生對學習的渴望與創新的勇氣,本書將 「自發」、「互動」、「共好」的全人教育理念,融入專業工 程技術知識之中: 自 發 :本書以電 影場 景 為背景,引發學生學習動機與 熱情。 互 動 :本書以生 活情 境 為題材,引導學生開展與自然 互動的能力。 共好:章末的動力補充站,協助學生應用及實踐所學, 培養工程師基本素養,成為社會永續發展的人才。 xiv 動力學:從電影到工程力學
核心素養 為了培育工程師適應 當今 生活及未來職場挑戰,本書內 容涵蓋了學生應該具備的動力學知識,以及解決問題的 能力與態度。本書由經典電影為標題,引導出各章的學習 主題,核心素養強調學習不限於知識與技能,更應關注學 習與生活的結合。回應課綱的願景與理念,本書以三大方 向具體實踐工程師的核心素養: 自 主 行動 :本書解題方式依據系 統 化 步驟,活用向量 分析建模法(VAMP)及邏輯思考過程(G2C2K2 ),學生 無需背誦公式,就可以解決動力學問題,培養學生的 創造力與行動力,這是本書重要的特色之一。 溝 通 互動 :本書提供解決動力問題的基本工具──數 學 符 號 、座標 定義 、物 理觀 念 ,用電影情境引出動力 問題,訓練學生溝 通 表 達能力;作者除了從音樂談振 動,並邀請年輕藝術家設計封面與繪製插畫,將科技 與藝術結合,培育學生的藝術涵養和生活美感。 社 會 參與 :為了緊密連結科 技 知識 與社 會價 值 ,本書 提供了動 力 補 充站 ,由動力學的啟示,培養工程師多 元文化、國際宏觀、人際關係、團隊合作、道德實踐及 公民意識等基本素養。例如,第 1 章「單位革命」回 顧偉大科學家為制訂共同單位,所付出的時間與生命 代價。第 10 章的「要有光」,也就是從美國加州大學 校徽上的「要有光」(Let there be light),介紹藍光二極 體發明人中村修二教授,在獲得 2014 年諾貝爾物理學 緒論 xv
獎時, 頒獎典禮上 代表瑞典皇家科學院評審委員會致 詞的惠里爾(Anne L’Huillier)教授曾提到: 在托爾金 1954 年所著的《魔戒三部曲》中,精靈皇后 送給魔戒保管人一個會發亮的水晶瓶,並說道:「當所 有光熄滅時,願它會成為黑暗中指引你的那道光」。 盼《動力學》能引導各位,成為快樂的動力學專家! xvi 動力學:從電影到工程力學
時空傳奇:動力學專家智慧的抉擇 《異星入侵》是一部討論語言、時間與選擇的電影,放在 動力學簡介的開始,是最恰當不過的了。
《異星入侵》探索的第一個主軸,就是外星人和人類如何
使用不同的語言溝通。「動力學」就是工程師和機械系統溝通
的一種語言,而學習動力學最有效的方式,就是建立系統化的 思考模式和方法。大家剛開始接觸動力學時,好像在讀外星人 語言,需要花一些功夫,才能理解其中的奧祕。如同電影中外 星人將自已的語言當作禮物送給人類,讓人類解讀出其中蘊藏 的高科技資訊;而本書則是作者累積多年的工程經驗,送給各 位的禮物,以引領各位進入新科技領域。 該電影探索的第二個議題是時間。當中的外星人有預知未 來的能力,他們的圓形符號沒有起點、沒有終點,電影的開始
1 動力學簡介 學習目標 瞭解運動學與動力學的差異:運動學只探討位置、速度、與加速度;動力學則包含力與力 矩、動量與衝量、動能與位能、以及功與能原理。 學習慣性座標系統,能清楚說明質點運動與剛體運動需要的假設條件。 學習不同單位之間的轉換,常用的單位有美制與公制。 熟習基本向量運算,例如:向量加法、減法、內積、外積、向量微分、及三角函數等。
學習 G2C2K2 流程,達成不背公式也可以解題,並瞭解成為動力學專家的祕訣。
就是結局;過去、現在和未來是同時存在的,一日如同千年, 千年如同一日。然而,在牛頓力學中,時間是絕對的,有方向 性的。動力學探討在三維空間的物體,隨時間展開而運動,即 使是外星人的飛行器,也脫離不了動力學時間與空間的範圍。 該電影提出最後一個問題:如果我們能夠預知未來,我們 是否會想改變人生的選擇?當路薏絲預知未來會和伊恩結婚, 女兒會早逝,但她仍因為愛,而選擇繼續堅定走下去。路薏絲 為女兒取名為 Hannah(希伯來文原意是「恩典」),這個名字 也呈現左右對稱、起點即終點,當各位選擇繼續閱讀本書時, 只要堅持到底,因為那流淚撒種者,必歡呼收割。
單位革命 1
本章大綱 1.1 範疇 1.2 假設條件 1.3 單位 1.4 基本向量與三角函數 運算 1.5 成為動力學專家 習題 本章重點整理 動力補充站:
1.1 範疇 動力學包含兩個部分: (1)運動學(kinematics) 探討物體「如何」運動。運動的狀態則以位置、速度和加 速度 向 量 ( vector ) 向量來描述 ,這些 向量 都是由 大 小 ( magnitude )和方向( direction) 來表示。 (2)運動力學(kinetics) 探討物體「為何」運動。運動力學將作用在物體上的力和 運動 狀態 之間 的關係 建立 起來 。 這個關係就是我們熟知 的牛頓第二運動定律( Newton’s second law of motion ), ���� ⃑ =��������⃑ ,作用力和物體加速度的關係,成為動力學最基 本、也是最重要的自然定律。 學好動力學最重要的一件事,就是結合運動學和運 動力學,建立物體的運動方程式(
。 所謂運動方程式,是指
質 量 加 速
acceleration )的關係式,或是力矩 質量慣性矩 角加速 度( torque mass moment of inertia angular acceleration ) 的關係式。 運動力學還會探討 功 與 能 原 理 ( work and energy principle ) 及衝 量 與 動 量 原 理 ( impulse and momentum principle),衝量與動量又包括線衝量(linear impulse )、 線動量( linear momentum )、角衝量( angular impulse )、 及角動量( angular momentum )。其實上,功是力對位移 的積分,衝量是力對時間的積分,功與能的方程式通常就 由運動方程式對位移積分獲得,衝量與動量方程式就由 運動方程式對時間積分獲得。因此,學會了運動方程式的 建立,就幾乎學會了全部的動力學。 牛頓第二運動定律 如果作用在一個質點上的 合力 (resultant force )不為零,這 個質點將產生一個加速度,加速 度的方向和合力的方向相同,加 速度的 大小 和合力的大小成正 比。 2 動力學:從電影到工程力學
equations of motion )
力
度 ( force-mass-
當運動參考座標附在地球表面時,由於地球在旋轉, 理論上這就不是一個慣性參考座標。例如,在計算火箭或
衛星的運動軌跡時,就需要作一些修正。但通常計算地表
圖
1.2 假設條件 動 力學是用數學描述自然物體的運動,必須基於一些 假 設條件(assumptions),才能寫出正確的運動方程式。通 常,動力學幫助我們描述物體的巨觀運動,若要描述分子 或量子的行為,就不在工程動力學的範圍裡了。這裡加了 「工程」兩個字,表示必須考慮下面的假設:
����⃑ ����⃑ ���� ⃑ ���� ���� ���� ���� ���� ⃑ ����(����,����,����)
1.1 質點在三維空間的位置與運 動軌跡圖
(1)慣性參考座標 慣性參考座標(inertial frame of reference) 是一個假想在 空間中的直角座標,是一個絕對(absolute)靜止的座標, 不移動也不轉動,只要物體運動的速度遠小於光速 ( 300,000 km/s ),相對這個參考座標量測出來的運動狀 態,都可視為絕對的物理量。
上機器與結構工程問題時 , 使用附在地球表面上的參考 座標,物體運動仍可視為絕對的。 ( 2)質點 當物體的尺寸遠小於物體運動 的 軌跡 ,作用在物體上的 力也與物體尺寸無關,這個物體就可視為一 個質 點 ( particle )。例如,在地面上描述飛機 在空中 的運動時, 就可將飛機視為一個質點。在三維空間中,如圖 1.1,質 點 ���� 只有平移運動(translational motion ),用直角座標 (����,����,���� )的 3 個自由度(degrees of freedom, DOFs)就可 以描述質點的位置、速度與加速度。 1 動力學簡介 3
吳睿嘉拍攝 圖 1.3 機翼擺動的結構振動 ( 3)剛體 當物體的變形 量 遠小 於物體的尺寸 , 或遠小於物體的運 動軌跡時,這個物體就可視為一個剛體( rigid body)。例 如,在計算飛機的飛行姿態時,從地面觀察,機翼振動的 變形遠小於飛行軌跡,此時就可視飛機爲一個剛體。在三 維空間中,一個剛體除了有平移運動之外,還有旋轉運動 ( rotational motion);平移運動有 3 個位移自由度,可用 直角座標(����,����,���� )表示;而旋轉運動也有 3 個自由度, 就是俯仰( pitch)、滾動( roll)和偏擺( yaw)三種運動 姿態( attitude );所以,我們稱剛體共有 6 個自由度,如 圖 1.2。 然而,如果各位坐在飛機上靠近機翼的窗口,看到 飛機翅膀上下擺動(如圖 1.3),應該不會將飛機當作剛 體,因為各位已經看到結構振動的問題,這是屬於機械 振動學( mechanical vibration )及結構動力學(structural dynamics) 的範圍了。 1.3 單位 宇宙中有時間、空間和物質三個基本的元素,科學家們用 時間( time )、長度( length)和質量( mass)這三個基本 的物理量,來描述物體運動。在牛頓力學的範疇,質點和 剛體都是物體,凡是物體都有質量;物體的運動則由時間 和空間 來描述, 這 三個基本的物理量在動力學中 就有了 完整的定位 。 為了 讓 科學家具備利於彼此溝通的 共同 單 位(unit),在制定這些物理量單位時,讓科學家傷透了腦 筋,並且引起許多辯論。當我們回顧工業發展史時,統一 的國際單位是標竿分析的基礎,物理單位的標準化 是一 群需要具有前瞻與勇氣的科學家們,才能完成的使命。 公制系統(metric system) 的歷史很長也很複雜,但 大家公認最早是由法國神職人員 Gabriel Mouton 在 1670 年所 提出的,他 當時 使用十等分方式作十進位的線性量 偏擺 俯仰 滾動 謝明昌拍攝 圖 1.2 剛體在三維空間的 6 個自由度 「 剛體」 是動力學的假設 自然界中沒有完全的剛體,剛體 的假設是為了方便建立物體的 運動方程式。 4 動力學:從電影到工程力學
測。一個世紀後,發明蒸汽機帶動工業革命的英國人瓦特 (James Watt)寫信給一位法國學者,抱怨各國科學實驗 結果很難比對,建議展開制定國際性通用的量測單位。 當時正值法國大革命,法國和英國又在交戰中,英國 皇家學院婉拒了共組委員會制定國際單位的邀請,於是 包括拉格朗日 ( Adrien Marie Legendre ) 和 拉普拉斯 ( Pierre-Simon Laplace )在內的法國科學家就自行在 1791 年 3 月開會決議 [1]:以法國丹刻克(Dunkirk) 到西班牙 巴塞隆納(Barcelona)間子午線的弧線作為標準,制定長 度的基本單位,依此計算出由極點到赤道的 1/4 弧長,最 後取其 1/10,000,000 為長度的基本單位 :公 尺 ( metre/meter,原意為希臘字 metron,就是「量測」的意
美兩國只在科學研究上使用公制,一般民間仍
制。直到兩次世界大戰期間,聯軍才感受到兩制併行的不 便,最大的困擾的就是螺紋不一致,而讓許多設備都無法 配搭。 公制的推行是一條 漫 漫長路,所幸法國政府的前瞻 與勇氣,不只帶動機械領域國際度量衡的統一,更帶動電 機工業公制單位的制定。大家都知道電壓的單位是伏特、 電流的單位是安培、電阻的單位是歐姆。這段單位制訂的 過程是在 19 世紀至 20 世紀年間,許多科學家邊做研究、 邊討論如何訂出共同的單位,才能比較研究結果的正確 性。各位可能不知道在 1881 年前,國際間的電學單位仍 尚未有定論,不同的電流單位就有 10 個,不同的電壓單 位就有 12 個,不同電阻單位多達 15 個,直到 19 世紀末 由各國科學家一起討論,才獲得共識與支持;而整個單位 1 動力學簡介 5
思);真正完成量測地線始於 1792 年,終於在 1798 年算 出 公尺 的長度 ,最後法國政府不顧英美 兩國 的反對,在 1799 年 6 月以前瞻的眼光與勇氣,做出公尺的白金標準 雛型,同時也訂定出公斤(kilogramme/ kilogram )的標準, 一直到 1875 年後,才經過包括美、俄等 17 國簽署認可, 而英國卻到 1897 年才制定法令通過使用公制系統;但英
習慣 用英
制定的過程,就像一場「單位革命」(可參閱本章「動力 補充站」)。 本書採用國際單位公制系統( International System of Units),簡稱 SI 單位(Système International d'Unités), 和美制單位( U.S. Customary Units, 又稱美式英制單位) 之間的關係如表 1.1 。 表 1.1 動力學常用之基本單位與慣用符號 物理量 公制單位 美制單位 單位 符號 單位 符號 質量 公斤(kilogram ) kg 斯勒格(slug)長度 公尺(meter) m 呎(foot) ft 時間 秒(second) s 秒(second) s 力量 牛頓(newton) N 磅(pound) lb 公制系統的基本單位是公斤、公尺和秒,由這三個基 本單位定義:使質量 1 公斤的物體產生每平方秒
其他與動力學相關的國際公制單位定義與它們和美制單
A
。 6 動力學:從電影到工程力學
1 公尺 (m/s2)的加速度,需要「1 牛頓」的「力」。美制系統的 基本單位是呎、秒和磅,由這三個基本單位定義:「1 斯 勒格」的物體受到 1 磅的力,產生每平方秒 1 呎(ft/s2) 的加速度。所以, 1N = (1 kg)(1 m s 2 ⁄ ) N = kg ∙ m s 2 ⁄ 1 lb = (1 slug)(1 ft s 2 ⁄ ) slug = lb ∙ s 2 /ft (1.1) (1.2) (1.3) (1.4)
位之間的換算,請參考附錄
與附錄 B
1.4 基本向量與三角函數運算 向 量 是動力學中描述物體運動最基本的 工具 ,三 角 函 數 ( trigonometry ) 也是 定義幾何關係必備的知識,以下複 習一些基本的向量運算及三角函數恆等式,詳細證明與 推導請參閱一般數學教科書。 本書的向量表示法是以文字加上箭頭表示,為了方 便手書習慣,表示直角座標的單位向量時,使用(����⃑,����⃑,���� ⃑ ) 或(����⃑���� ,����⃑���� ,����⃑���� );表示位置向量時,使用 ����⃑ 或 �������� ⃑ ;表示 力或力矩向量時,使用 ���� ⃑ 或 ���� ⃑ 。 零向量( zero vector)0 ⃑ 是一個特別的向量,大小為 零,但是它不指向任何方向,零向量 0 ⃑ 在二維空間有 2 個分量,例如,���� ⃑ =�������� ����⃑+�������� ����⃑=0
��������
有不同的物理意義。 (1) 向量相加(addition of vectors )(圖 1.4) ���� ⃑ + ���� ⃑ = ���� ⃑ (2) 兩個向量內積( scalar product of two vectors )(圖 1.5) ���� ⃑ ∙ ���� ⃑ = �������� cos ���� = ���� ⃑ ∙ ���� ⃑ 注意:向量內積的物理意義:向量 ���� ⃑ 在向量 ���� ⃑ 上的投 影,乘上向量 ���� ⃑ 的長度 ����。兩個向量內積的結果是純量。 (3) 兩個向量外積( vector product of two vectors ) ���� ⃑ = �������� ���� ⃑ + �������� ���� ⃑ + �������� ���� ⃑ ,���� ⃑ = �������� ���� ⃑ + �������� ���� ⃑ + �������� ���� ⃑ ���� ⃑ × ���� ⃑ = | ���� ⃑ ���� ⃑ ���� ⃑ �������� �������� �������� �������� �������� �������� | = (�������� �������� �������� �������� )����⃑ + (�������� �������� �������� �������� )����⃑ + (�������� �������� �������� �������� )���� ⃑ ���� ⃑ × ���� ⃑ = ���� ⃑ , ���� ⃑ × ���� ⃑ = ���� ⃑ ���� ⃑ ���� ⃑ ���� 圖 1.5 向量內積 ���� ⃑ ���� ⃑ ���� ⃑ 圖 1.4 向量相加 1 動力學簡介 7
⃑ ,表示 ���� ⃑ 的 2 個分量 �������� =0 且 �������� =0;零向量 0 ⃑ 在三維空間有 3 個分量, 例如, ���� ⃑ =�������� ����⃑���� +�������� ����⃑���� +�������� ����⃑���� =0 ⃑ ,表示 3 個分量
=�������� =�������� =0;因此,純量 0 和向量 0 ⃑ 在幾何空間
���� ⃑ ���� ⃑ ���� ⃑ ���� 圖 1.6 向量外積與右手定則 ���� ⃑ ���� ⃑ ���� ⃑ ���� ���� ���� ���� ���� ���� 其中,����=�������� sin ����,���� 是 ���� ⃑ 的大小,���� 是 ���� ⃑ 的大小; 向量外積可以使用右手定則表示,如圖 1.6。 注意:向量外積的物理意義:外積的大小是 ���� ⃑ 和 ���� ⃑ 圍 成的平行四邊形的面積,方向則垂直於這個平行四邊形。 (4) 向量三重運算(vector triple product ) ���� ⃑ × (���� ⃑ × ���� ⃑ ) = (���� ⃑ ∙ ���� ⃑ )���� ⃑ (���� ⃑ ∙ ����⃑)���� ⃑ (���� ⃑ × ���� ⃑ ) × ���� ⃑ = (���� ⃑ ∙ ����⃑)���� ⃑ (���� ⃑ ∙ ����⃑)���� ⃑ ���� ⃑ ∙ (���� ⃑ × ����⃑) = ���� ⃑ ∙ (���� ⃑ × ���� ⃑ ) = ���� ⃑ ∙ (���� ⃑ × ����⃑) = |�������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� | 注意:���� ⃑ ∙ (���� ⃑ ×����⃑) 等於三個向量圍成平行立方體的體積。 (5) 向量微分與連鎖律(chain rule ) �������� ⃑ �������� = ���� ⃑ = �������� ���� ⃑ + �������� ���� ⃑ + �������� ���� ⃑ ����(�������� ⃑ ) �������� = �������� ⃑ + �������� ⃑ ����(���� ⃑ × ���� ⃑ ) �������� = ���� ⃑ × ���� ⃑ + ���� ⃑ × ���� ⃑ ���� (���� ⃑ ∙ ���� ⃑ ) �������� = ���� ⃑ ∙ ���� ⃑ + ���� ⃑ ∙ ���� ⃑ (6) 三角函數 基本定義 sin ���� = ����/���� csc ���� = (sin ���� ) 1 = ���� /���� cos ���� = ���� /���� sec ���� = (cos ���� ) 1 = ���� /���� tan ���� = ����/���� cot ���� = (tan ���� ) 1 = ����/���� 正弦與餘弦定律( law of sines and cosines) sin ���� ���� = sin ���� ���� = sin ���� ���� ���� 2 = ����2 + ����2 2�������� cos ���� ���� ���� ���� ���� ⃑ ���� ⃑ ���� ⃑ 8 動力學:從電影到工程力學
三角恆等式 sin2 ���� + cos 2 ���� = 1 1 + tan2 ���� = sec 2 ���� 1 + cot 2 ���� = csc 2 ���� sin 2���� = 2 sin ���� cos ���� cos 2���� = cos 2 ���� sin2 ���� sin(���� ± ����) = sin ���� cos ���� ± cos ���� sin ���� cos(���� ± ����) = cos ���� cos ���� ∓ sin ���� sin ���� 反三角函數的微分 ���� (���� ) sin 1 ���� cos 1 ���� tan 1 ���� cot 1 ���� sec 1 ���� csc 1 ���� �������� (���� ) �������� 1 √1 ���� 2 1 √1 ���� 2 1 1 + ���� 2 −1 1 + ���� 2 1 |���� |√���� 2 − 1 1 |���� |√���� 2 − 1 範圍 1 < ���� < 1 ∞ < ���� < ∞ ���� ∈ ( ∞, 1) ∪ (1, ∞) 1.5 成為動力學專家 如果各位希望成為動力學專家 ,提供幾個觀點和祕訣。 A. 辯論 辯論( argument)是學習過程中最有效的方法,學習問問 題就是「學問」。我們在學習過程中要不斷地問 「 為什 麼?」,「有沒有更好的方法?」,「邏輯是什麼?」,「差異 在哪裡?」,「目的是什麼?」,甚至可以挑戰牛頓定律的 正確性。自然界中有許多奧祕,仍待我們去發掘,辯論可 以幫助我們找到事實的真相。 猶太人教育學生的目的,不是考試成績有多好,而是 鼓勵學生辯論。依據統計,有 1/5 的諾貝爾獎都被猶太人 拿走了,其中的關鍵就是:好辯論、好問問題的民族性[2]。 三角函數的微分 ���� (����) sin ���� cos ���� tan ���� cot ���� sec ���� csc ���� �������� (���� ) �������� cos ���� sin ���� sec 2 ���� − csc 2 ���� sec ���� tan ���� csc ���� cot ���� 1 動力學簡介 9
B. 祝 福 祝 福 ( blessing ) 和動力學有 什 麼關係?有 本書 The Blessing of a B Minus: Using Jewish Teaching to Raise Resilient Teenagers 翻成中文就是《B− 的祝福:用猶太方 法培育開朗青少年》[3]。考試成績拿 B 有什麼關係?重 點是 各位 有沒有學到東西 , 學習的過程就是不斷 嘗試 失 敗,該書告訴我們:猶太人的教育是從失敗中得到祝福。 不怕失敗、爭取祝福是學好動力學的必要態度。 C. 秘訣 系統化的「向量分析建模法」(VAMP)是動力學入門的秘 訣,其 關鍵在向量分析 。 許多坊間教 科 書用 繪 圖 幾 何 ( graphical geometry)及純量代數(scalar algebra),建立 物體的運動方程式,此方法的優點:能快速建立力與加速 度的向量關係,直接用純量代數,就能寫出物體的運動方 程式;但缺點是:很難處理較複雜的動力學問題。這對初 學者來說,還沒有熟悉動力學各物理量意義前,除非公式 背得很熟,不然經常會遺漏某些項目。 本書以系統化建模方式「向量分析建模法」,兼顧繪 圖幾何與向量分析法,帶領讀者入門。各位不需背任何公 式,只要依照下列 G2C2K2 步驟,就能寫出最基本的運動 方程式、功與能的方程式、或動量與衝量方程式,解決大 部分的動力學問題: Given(已知條件):寫出所有已知條件。 Goals(解題目標):首先寫出待解決問題的目標。 Coordinates(座標):定出慣性參考座標及附體座標(body-fixed coordinates)。 顧名思義, 附體座標就是定義在物體上,跟著物體一起運動的座標。 Constraints(限制或拘束條件)— 有兩種分類: 1. 幾何限制條件(geometry constraints)或速度限制條件(velocity constraints)。 2. 可積分拘束條件(holonomic constraints)或不可積分拘束條件(non holonomic constraints)。 10 動力學:從電影到工程力學
如果 速度限制條件可由幾何限制條件對時間微分得 到,則為可積分拘束條件,亦稱為完全運動約束條件。若 無法經 由 速度限制條件 的 積分得到幾何限制條件,這類 的限制條件則為不可積分拘束條件或 非 完 全 運 動 約 束 條 件。 舉例說明可積分拘束條件:若限制物體在直線上運 動,也就是可以在三維空間中,限制 ����=0 及 ����=0 之 後,物體則只能在 ���� 軸上運動,這是空間限制條件;可 積分拘束條件也會和機械零件的尺寸有關,例如,咕咕鐘 的單擺長度固定為 L,擺錘不論到任何位置(����,����),都被 長度條件 ���� 2 +���� 2 −����2 =0 限制住了 。這個 限制條件 對 時間微分後, ����(���� 2 +���� 2 −����2 )⁄�������� =2(��������̇+��������̇ ) =0,其 中,若 ����=����cos����,����=���� sin ����,則 ����̇=−�������� sin ����,����̇= �������� cos ���� 就稱為速度限制條件。 舉例說明 不可積 分拘束條件 。 通常這類限制條件和 速度有關,但無法由幾何限制條件對時間的微分得到;例 如,兩個車輪中間用軸連結,像是 Segway 智慧雙輪平衡 車,在兩輪在滾動但無滑動的情況下,軸中心速度只能限 制在垂直軸的方向,當平衡車停至某一位置時,打氣孔正 好接觸到地面上方。騎了一圈回來,停至同一位置時,你 會發現打氣孔位置改變了,且與所騎過的路徑有關;另外 大家常騎的腳踏車,也有同樣的結果。簡單的說,軸心位 置的微位移 ( differential displacement )和輪子的微角度 ( differential angular displacement )有關,但輪子的角度 位置無法由軸心的路徑積分獲得[4]。 Kinematics(運動學):寫出運動物體的位置、速度與加速度向量。 Kinetics(運動力學):建立自由物體圖(free-body diagram),標出所有外力作用向量, 最後寫出運動方程式、功與能的方程式、或動量與衝量方程式。 在解題過程中,運動力學通常占有最重的比例,如何 判斷應該用力與加速度原理、功與能原理、衝量與動量原 1 動力學簡介 11
理、機械能守恆、或是動量守恆,常常造成我們的困擾。 以下 解題 流程 是以質點系統為例, 透過 已知條件和解題 目標、座標定義和限制條件,很容易就可以決定用什麼原 理來 解題了!剛體系統增加了力矩和角加速度的問題, 同樣可以歸納出聰明的 G2C2K2 解題流程! D. 聰明的解題流程 表 1.2 聰明的 G2C2K2 解題流程(以質點系統為例) 問 題 有關力���� ⃑ 與加速度���� ⃑ 有關力���� ⃑ 、位置���� ⃑、速度���� ⃑ 有關力���� ⃑ 、速度���� ⃑ 、時間���� 衝擊的問題 G2 已知力,求加速度 已知加速度,求力 已知 ���� ⃑ = ���� ⃑ (����⃑) 已知 ���� ⃑ ���� (���� ⃑ ���� ),求 ���� ⃑ ���� (���� ⃑ ���� ) 已知 ���� ⃑ = ���� ⃑ (����) 已知 ���� ⃑ ���� (��������
,求 ���� ⃑ ����
) C2 找出幾何限制條件、 或速度限制條件 定義慣性座標與附體座標 路徑相關座標:切線法線座標 二維運動軌跡:2D 直角座標、極座標 三維運動軌跡:3D 直角座標、圓柱座標、球座標 K2 否 是 否 是 否 是 可變質點 系統 力與加速度 原理 功與能原理 機械能守恆 原理 線衝量與線 動量或角衝 量與角動量 原理 線動量或角 動量守恆 原理 質量固定 外力均為 保守力 只受內力之 質點系統 12 動力學:從電影到工程力學
)
(��������
,試以 力矩的計算公式 ����⃑×���� ⃑ 及圖中的慣性座 標( ����,����,���� )求取力矩的大小和方向。 主題:三角函數、向量外積
���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ⃑ ���� ���� ⃑ ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ����1 ���� ���� ���� ���� (���� , ����) ����2 ����3 ����1 ����2 ����3 ���� ���� ���� ���� ���� ���� ⃑ ����1 ����2 ����3 ���� ⃑ 習題 1.1 已知兩向量 ���� ⃑ =6����⃑−2����⃑+4���� ⃑ 、 ���� ⃑ =2����⃑+ 4����⃑− 16���� ⃑ ,求 ���� ⃑ ×���� ⃑ 和 ���� ⃑ ∙���� ⃑ 。 主題:向量的內積與外積 1.2 求上題中 ���� 、���� 及 ���� ⃑ 和 ���� ⃑ 的夾角。 主題:向量運算、三角函數 1.3 利用向量 ���� ⃑ 的內積,證明餘弦定律。 主題:三角函數 1.4 兩向量分別為 ���� ⃑
⃑ , ���� ⃑ =
⃑ ,請問兩向量的夾角 ����
主題:向量運算
1 動力學簡介 13
=1����⃑+2����⃑+3����
2����⃑+1����⃑+4����
為多 少?
1.5 下圖為一個旋轉關節驅動之機械臂,試以 符號表達點 ���� 的位置向量。 主題:三角函數、向量加減 1.6 直角 座標(����,����,����) 的單位向量為 (����⃑,����⃑,���� ⃑ ),如圖,�������� ⃑ =����⃑���� =2����⃑,�������� =3, ����= 30°,(a)用單位向量寫出向量 �������� ⃑ = ����⃑����,( b)計算 ����⃑���� ×����⃑����,(c)計算 ����⃑���� 在 ����⃑���� 方向的分量,(d)利用 (����⃑���� ×����⃑���� )|����⃑���� ×����⃑���� |⁄ , 計算同時垂直 ����⃑���� 和 ����⃑���� 的單位向量。 主題:向量運算 1.7 兩向量分別為 ����⃑=1����⃑+2����⃑+3���� ⃑ , ���� ⃑ = 2����⃑+1����⃑+4���� ⃑ ,請寫出 ���� ⃑ × (���� ⃑ ×����⃑)。 主題:向量運算 1.8 平板受外力 ���� ⃑ 作用於 ���� 如圖,對 ���� 軸 產生力矩 ,已知 ����1 =0.5 m, ����2 =0.75 m, ����3 =0.5 m,外力大小為 10 N
���� ⃑ 1 ���� ⃑ 2 ���� ⃑ 3 ���� ���� ⃑ ���� ⃑ ���� ⃑ 45° ���� ���� 1.9 ���� ⃑ =1����⃑+2����⃑+3���� ⃑ ,���� ⃑ =7����⃑+8����⃑+9���� ⃑ ,請計 算出 ���� ⃑ ∙���� ⃑ 之大小。主題:向量的三維內積 1.10 ���� ⃑ =4����⃑+7����⃑+6���� ⃑ ,���� ⃑ =7����⃑+2����⃑+1���� ⃑ ,���� ⃑ = 5����⃑+6����⃑+ 10���� ⃑ ,請計算出 ���� ⃑ ∙(���� ⃑ ×���� ⃑ )。 主題:向量三重運算 1.11 在捷運車站中,二位旅客正在上下的電梯 中,其速度大小與方向,如圖所示,請利 用慣性座標 (����,����) 的單位向量 ����⃑ 與 ����⃑, ( a)寫出旅客 ���� 與旅客 ���� 的速度向量 ����⃑���� 與 ����⃑���� ,(b)計算旅客 ���� 相對旅客 ���� 的速度 ����⃑����/���� =����⃑���� −����⃑���� 。 主題:三角函數、向量加減 1.12 有一個 直角 座標 的三個單位向量為 (����⃑1 ,����⃑2 ,����⃑3 ),向量的大小均為 1,且互相 垂直,( a ) 求出單位向量的 順時針外積 ����⃑1 ×����⃑2,����⃑2 ×����⃑3,����⃑3 ×����⃑1,及逆時針 ����⃑3 × ����⃑2 ,����⃑2 ×����⃑1 , ����⃑1 ×����⃑3 的結果 ,( b) 由以 上結果找出單位向量順時針外積與逆時 針外積的規律性質。主題:單位向量外積
14 動力學:從電影到工程力學
1.13 承上題,若 ����⃑1 =��������⃑1 ⁄�������� =���� ⃑ ×����⃑1,����⃑2 = ��������⃑2 ⁄�������� =���� ⃑ ×����⃑2,���� ⃑ =����0 ����⃑3,其中 ����0 為 常數, 若 ����⃑=����1 (����)����⃑1 +����2 (����)����⃑2 , 請計算 ����⃑1 、����⃑2 、 ����⃑、��������⃑⁄�������� 。主題:向量微分 1.14 兩台車行經十字路口,假設兩車的速度大 小均為 10 m/s,試計算 ���� 車相對 ���� 車的 速度 ����⃑����/���� =����⃑���� −����⃑���� 。主題:向量加減 1.15 一個半徑為 ����=0.1 m 的圓盤,單位向量 (����⃑,����⃑,���� ⃑ )固定在圓盤中心 ���� 點上,���� 在 圓盤邊緣, 若 ����⃑= �������� ⃑ , 圓盤以角速度 ���� ⃑ = 10���� ⃑ rad/s 作逆時針旋轉,請用三個 向量運算公式證明 ���� 點的(a)向心加速 度 ���� ⃑ × (���� ⃑ ×����⃑) 為 −����2 ����⃑,並( b)向心 加速度的大小。主題:向量三重運算
���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ����(����) ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ⃑ ���� ⃑ ���� ���� 1.16 下圖機器人的兩個自由度分別隨時間 ���� 以 ����(����) =����0 + �������� 及 ����(����)= �������� 運動。(a) 用直角 座 標系直角 座標(����,����) 的兩個單 位向量 (����⃑,����⃑) 表示手臂端點 ���� 的位置向 量 ����⃑,( b)計算 ����⃑ 與 ����⃑。主題:向量微分 1.17 兩向量分別為 ���� ⃑ =1����⃑+2����⃑+3���� ⃑ , ���� ⃑ = 2����⃑+1����⃑+4���� ⃑
���� ⃑ ×���� ⃑
主題:向量外積
⃑
⃑ , ���� ⃑
⃑ , ���� ⃑
⃑
1 動力學簡介 15
,請問
為多少?
1.18 ����
=9����⃑+12����⃑+7����
=5����⃑+3����⃑+ 14����
=7����⃑+9����⃑+ 10����
,請計算出 ���� ⃑ ×���� ⃑ ×���� ⃑ 。 主題:向量三重運算 1.19 已知 一點的位置向量為 ���� ⃑ =3����⃑+2����⃑+ 3���� ⃑ ,求該點到 ���� ⃑ =����(2����⃑+1����⃑+1���� ⃑ ) 直線 方程式的最短距離 ���� 為多少? 主題:向量運算 1.20 已知 ���� ⃑ =��������⃑+2���� 2 ����⃑+sin(����) ���� ⃑ ,求 �������� ⃑ ⁄�������� ? 主題:向量微分 1.21 已知菱形 ���������������� 的邊長為 ���� , ∠������������ = 60° ,請計算 �������� ⃑ ∙ �������� ⃑ 之大小。 主題:向量內積 1.22 一個連桿與滑塊的機械組件,連桿 �������� 長 400 mm,連桿 �������� 長 150 mm,以 ���� 軸 為中心轉動,帶動滑塊 ���� 的直線運動,當 連桿 �������� 與水平線 夾角 ����= 55° 時,(a) 計算角 ���� 的度數,( b)計算 �������� 的距離。 主題:三角函數 1.23 如圖所示,在平行四邊形 ���������������� 中,已知 �������� =8,�������� =5,�������� ⃑ =3�������� ⃑ ,�������� ⃑ ∙ �������� ⃑ =2, 試求 �������� ⃑ ∙ �������� ⃑ 的值。主題:向量內積 1.24 一個長 250 mm 的連桿 �������� , 兩端各放置 在 ����= 60° 的斜坡和水平面上,試問連桿 ����= 30° 時,�������� 與 �������� 的長度分別為何。 主題:三角函數
國家圖書館出版品預行編目(CIP)資料 動力學:從電影到工程力學 =Dynamics: Introductory Mechanics with Movies / 陽毅平、朱銘祥、李昌駿、程登湖、李宇修著. -- 初版 . -- 臺北市:臺大出版 中心出版:臺大發行,2023.01 面; 公分. -ISBN 978-986-350-664-5(平裝) 1.CST:動力學 2.CST:工程力學 332.3 111017053
印 製 辰皓國際出版製作有限公司 出版年月 2023年 1 月初版 定 價 新臺幣 1,200 元整 展 售 處 國立臺灣大學出版中心
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動力學:從電影到工程力學 Dynamics: Introductory Mechanics with Movies 作 者 陽毅平、朱銘祥、李昌駿、程登湖、李宇修 總 監 張俊哲 責任編輯 李協芳 封面設計 陽正徯 插 畫 江勻楷 範例插圖 陽毅平、蕭伊寂 編輯協力 沈建佑、陳俊傑 排版協力 黃秋玲 發 行 人 陳文章 發 行 所 國立臺灣大學 出 版 者 國立臺灣大學出版中心 法律顧問 賴文智律師