10 современная алгебра by VyatGGU

Учебно-методический комплекс составлен в соответствии с ФГОС ВПО по направлению подготовки: 010200.68 Математика и компьютерные науки, профиль подготовки «Алгебра и дискретная математика», утвержденным Приказом Министерства образования и науки Российской Федерации 21.12.2009 г., регистрационный № 760

Учебно-методический комплекс разработан В.В. Чермных, д-ром физ.-мат. наук, профессором кафедры алгебры и дискретной математики ВятГГУ Рецензент – Е.М. Вечтомов, д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры алгебры и дискретной математики ВятГГУ

Учебно-методический комплекс утвержден на заседании кафедры алгебры и дискретной математики ВятГГУ 29 августа 2011, протокол № 1

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

учебной дисциплины «Современная алгебра» 1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 1.1. Цели и задачи освоения учебной дисциплины «Алгебра и геометрия» Учебная дисциплина «Современная алгебра» входит в блок специальных дисциплин предметной подготовки магистров и изучается в 9-м семестре. Курс имеет существенное математико-методологическое и воспитательное значение для расширения кругозора и развития научного мировоззрения студентов. Цель дисциплины – формирование представлений об основных направлениях современной алгебры, о понятиях и методах теории групп, полугрупп, колец и полей. Задачи дисциплины: - знать исходные понятия и результаты алгебры; - более глубокое усвоение и понимание основных структур математики, взаимосвязей важнейших ее разделов; - уметь видеть, находить и применять алгебраические объекты в высшей математике и в школьном курсе математики; в области учебно-воспитательной деятельности: - осуществление процесса обучения в соответствии с образовательной программой; - планирование и проведение учебных занятий с учетом специфики тем и разделов программы и в соответствии с учебным планом; - использование современных научно обоснованных приемов, методов и средств обучения; - использование технических средств обучения, информационных и компьютерных технологий; - применение современных средств оценивания результатов обучения; - воспитание учащихся как формирование у них духовных, нравственных ценностей и патриотических убеждений на основе индивидуального подхода. Материал курса опирается на дисциплины специалитета и бакалавриата «Алгебра», «Числовые системы», «Математический анализ», ТФДП, и может быть использован при изучении дисциплин магистратуры «Теория полуколец» и «Функциональная алгебра» и в организации и проведении НИРС. 1.2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО Основной курс «Современная алгебра» преподается магистрантам очной формы обучения в 1 семестре. Вместе с курсами «Теория полуколец», «Упорядоченные множества и решетки» и «Функциональная алгебра» составляет фундамент специального алгебраического образования. Блок указанных дис3

циплин связан с другими математическими дисциплинами. В своей теоретической части курс носит промежуточный характер между университетским курсом по алгебре и курсом для аспирантов при подготовке к экзамену по сдаче кандидатского минимума. Курс предусматривает знание основ общей алгебры, теории множеств и общей топологии, дискретной математики. Требования к знаниям, умениям, навыкам студента, необходимым для изучения дисциплины «Современная алгебра» (на основе программ бакалавриата) Знать: 1. определения и свойства основных алгебраических, порядковых и топологических структур; Уметь: 1. распознавать алгебраические, порядковые, топологические объекты; 2. доказывать простейшие свойства. Владеть: 1. современным математическим языком; 2. основными методами доказательства. По завершении курса студент должен: Знать:  основополагающие понятия и факты общей алгебры. Уметь:  распознавать алгебраические объекты и применять их свойства;  ориентироваться в главных направлениях современной математики;  пользоваться основным методами общей алгебры. Владеть:  исходными понятиями и методами общей алгебры. 1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины «Упорядоченные множества и решетки» Выпускник по направлению подготовки Математика и компьютерные науки с квалификацией (степенью) «магистр» должен обладать следующими компетенциями: 1. способность порождать новые идеи и применять в научноисследовательской и профессиональной деятельности базовые знания в области фундаментальной и прикладной математики и естественных наук (ОК-5) 1) знать: основные методы познания – обобщение, анализ, синтез; 2) уметь: применять в научно-исследовательской и профессиональной деятельности базовые знания фундаментальной математики; 3) владеть: культурой мышления. 2. значительные навыки самостоятельной научно-исследовательской работы и научно-изыскательской работы, а также деятельности в составе группы (ОК-6) 4

1) знать: области применения основных алгебраических идей и методов. 3. умение формулировать в проблемно-задачной форме нематематические типы знания (в том числе гуманитарные) (ПК-14) 1) владеть: системой методологических знаний, знаниями о структуре знаний, о методах научного познания, о теории, понятии, научном факте, прикладном знании, уровнях и формах познания и способностью применять их в профессиональной деятельности. 4. возможностью преподавания физико-математических дисциплин и информатики в общеобразовательных учреждениях, образовательных учреждениях начального профессионального, среднего профессионального и высшего профессионального образования на основе полученного фундаментального образования и научного мировоззрения (ПК-15) 1) знать: основные методы преподавания 2) уметь: применять в профессиональной деятельности базовые знания фундаментальной математики; 3) владеть: культурой мышления. 5. способность к творческому развитию знаний в области алгебры, дискретной математики и компьютерных наук (ПК-17) 1) знать: корректные формулировки основных задач алгебры; 2) уметь: корректно формулировать задачи; 3) владеть: методами выбора путей достижения поставленной цели. 6. способность к интенсивной научно-исследовательской деятельности с применением знаний по выбранному профилю (ПК-18) 1) уметь: применять знания в научно-исследовательской деятельности в области алгебры. 7. умение публично представить известные и собственные новые научные результаты в области алгебры и дискретной математики (ПК-19); 1) знать: формы представления конечного результата; 2) уметь: доступно формулировать промежуточные и конечные результаты. КРАТКИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ Данный курс имеет большое научное, методологическое, методическое и развивающее значение для формирования фундаментальных знаний и компетенций специалиста, работа которого так или иначе будет связана с математикой и информатикой. Сначала следует напомнить и углубить теоретико-множественные знания и систематизировать понятийный аппарат по бинарным операциям у обучаемых. Затем дать основы теории алгебраических систем, составляющих основную часть современной алгебры.

Поскольку изучаются классические объекты алгебры: полугруппы, группы, кольца, тела, полезно напомнить их простейшие свойства уже изучавшиеся ранее в курсе общей алгебры в бакалавриате. Важная роль в овладении материалом курса отводится теоретическим упражнениям и задачам как учебного, так и исследовательского характера. Материал может быть использован в научно-исследовательской работе магистрантов, при выполнении ВКР (магистерской диссертации) по соответствующей теме. Данный курс, безусловно, способствует формированию общеалгебраической культуры у современных студентов. Контроль достижения целей обучения осуществляется с помощью еженедельных контролируемых внеаудиторных заданий. Главной целью проведения текущих самостоятельных работ является установление уровня и характера усвоения студентами основных понятий, умений и навыков, формируемых в процессе изучения курса. Сведения о рекомендуемых к использованию преподавателем образовательных технологий и материально-техническом обеспечении учебной дисциплины «Современная алгебра». № п/п

Образовательная технология, рекомендуемая к использованию в преподавании учебной дисциплины

Информационная лекция

Проблемная лекция

Разбор решенных задач, решение задач под руководством преподавателя, самостоятельное решение задач в группе

Рекомендуемые Средства обучения Мультимедийный проектор, интерактивная доска

Сведения о занятиях проводимых в интерактивных формах № п/п 1

Общий объем (по РУП) в часах/ в процентах

Показатель Занятия, проводимые в интерактивных формах

Очная 24 часов / 33%

3. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ курс «Современная алгебра» 3.1. Объем учебной дисциплины и виды учебной работы Общая трудоемкость дисциплины составляет 180 часов. № п/п

Виды учебной работы

1 Трудоемкость (по ФГОС ВПО) 2 Аудиторные занятия, всего 6

Общий объем (по РУП) в часах Очная 180 72

в том числе: 2.1. Лекции 2.2. Лабораторные работы 2.3. Практические занятия 2.4. Семинарские занятия 2.5. Коллоквиумы 2.6. Прочие виды аудиторных занятий 3 Самостоятельная работа студентов всего в том числе: 3.1. Контрольная работа 3.2. Курсовая работа 3.3. Научно- исследовательская работа 3.4. Практика 3.5. Прочие виды самостоятельной работы 4 Вид(ы) промежуточного контроля

28 44

108

108 Экзамен

3.2 . Матрица соотнесения разделов / тем учебной дисциплины и формируемых в них профессиональных и общекультурных компетенций

Тема 1. Моногенные полугруппы Тема 2. Действие группы на множестве Тема 3. Теоремы Силова Тема 4. Строение конечных абелевых групп Тема 5. Простота знакопеременных групп Тема 6. Классически полупростые кольца Тема 7. Теорема Гильберта о базисе Тема 8. Алгебраически за-

ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО КОМПЕТЕНЦИЙ

ПК-19 +

ПК-18

ПК-17

ПК-15 +

32 48

ПК-14

КОМПЕТЕНЦИИ

ОК-6

РАЗДЕЛЫ / ТЕМЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

ЛИЧЕСТ ВО ЧАСОВ

ОК-5

КОЛИ

мкнутые поля 40 + + 2 Тема 9. Конечные поля 180 4 3 2 2 2 3 4 20 Итого 3.3. Содержание разделов / тем учебной дисциплины «Современная алгебра» Тема 1. Моногенные полугруппы. Свойства полугрупп. Описание строения моногенных полугрупп. Тема 2. Действие группы на множестве. Понятие действия группы на множестве. Орбиты. Формула разложения на классы. Нормализатор. Тема 3. Силовские подгруппы. Теоремы Силова. Их применение для описания групп малых порядков.. Тема 4. Строение конечных абелевых групп. Доказательство структурной теоремы о конечных абелевых группах. Тема 5. Простота знакопеременных групп. Симметрическая и знакопеременная группы. Простые группы. Доказательство простоты знакопеременной группы. Тема 6. Классически полупростые кольца. Понятие радикала кольца. Полупростые кольца. Тема 7. Теорема Гильберта о базисе. Понятие об артиновых и нетеровых кольцах и модулях. Доказательство теоремы Гильберта о базисе. Тема 8. Алгебраически замкнутые поля. Расширения полей. Простое расширение. Алгебраически замкнутые поля. Основная теорема алгебры. Тема 9. Конечные поля. Тела, примеры. Строение конечных полей. Теорема Веддерберна о коммутативности конечных тел. 3.4. Тематический план учебной дисциплины «Современная алгебра» а) аудиторные занятия: ТЕМЫ УЧЕБНОЙ

ВИД УЧЕБНОЙ

ДИСЦИПЛИНЫ

РАБОТЫ

Тема 1. Моногенные полугруппы

Тема 2. Действие группы на множе-

ЧАСОВ

лекция

практическое занятие

лекция

ТЕХНОЛОГИЯ

ФОРМА ТЕКУ-

ОБУЧЕНИЯ

ЩЕГО КОНТРОЛЯ

Информационная лекция Проблемная лекция Разбор решенных задач Решение задач под руководством преподавателя Самостоятельное решение задач в группе Информационная лекция 8

Опрос

Анализ решения задач

Опрос

Проблемная лекция

стве

Тема 3. Теоремы Силова

Тема 4. Строение конечных абелевых групп

Тема 5. Простота знакопеременных групп

Тема 6. Классически полупростые кольца

Тема 7. Теорема Гильберта о базисе

практическое занятие

лекция

практическое занятие

лекция

практическое занятие

лекция

практическое занятие

лекция

практическое занятие

лекция

Решение задач под Анализ решения руководством задач преподавателя Самостоятельное решение задач в группе Проблемная лекОпрос ция Решение задач под руководством преподавателя Самостоятельное решение задач в группе в группе Самостоятельное решение задач Информационная лекция Проблемная лекция Решение задач под руководством преподавателя Самостоятельное решение задач в группе в группе Информационная лекция Проблемная лекция Решение задач под руководством преподавателя Самостоятельное решение задач в группе Проблемная лекция

Анализ решения задач, Самостоятельная работа

Опрос

Анализ решения задач

Опрос

Анализ решения задач

Опрос

Решение задач под Анализ решения руководством задач, Самостояпреподавателя тельная работа Самостоятельное решение задач в группе в группе Самостоятельное решение задач Опрос

Тема 8. Алгебраически замкнутые поля

Тема 9. Конечные поля

практическое занятие

лекция

практическое занятие

лекция

практическое занятие

Решение задач под руководством преподавателя Самостоятельное решение задач в группе Информационная лекция Проблемная лекция Решение задач под руководством преподавателя Самостоятельное решение задач в группе Проблемная лекция

Анализ решения задач

Опрос

Анализ решения задач задач

Опрос Анализ решения задач

б) самостоятельная аудиторная работа ТЕМЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

ВИД УЧЕБНОЙ РАБОТЫ (ФОРМА СА-

ЧАСОВ РЕЗУЛЬТАТ

МОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ)

Тема 1. Моногенные полугруппы Тема 2. Действие группы на множестве

Конспектирование лекций. Решение задач

Знать: ведущие понятия и идеи, базовые результаты теории полугрупп

Конспектирование лекций. Решение задач

Тема 3. Теоремы Силова

Конспектирование лекций. Решение задач

Знать: области применения действий групп на множествах; Уметь: корректно формулировать задачи; применять знания в научноисследовательской деятельности в области теории групп и приложениях Знать: основные понятия, факты и теории групп; формы представления конечного результата. Уметь: применять в научноисследовательской и профессиональной деятельности базовые знания фундаментальной математики; доступно формулировать промежуточные и конечные результа-

Тема 4. Строение конечных абелевых групп

Конспектирование лекций. Решение задач

Тема 5. Простота Конспектирование знакопеременных лекций. Решение задач групп

Тема 6. Класси- Конспектирование чески полупро- лекций. Решение задач стые кольца

Тема 7. Теорема Конспектирование Гильберта о ба- лекций. Решение задач зисе

Тема 8. Алгебра- Конспектирование ически замкну- лекций. Решение задач тые поля

ты. Знать: основные понятия, идеи и методы теории конечных абелевых групп; области применения основных групповых идей и методов; корректные формулировки основных задач алгебры. Уметь: корректно формулировать задачи; применять знания в научноисследовательской деятельности в области современной алгебры Знать: основные понятия, идеи и методы теории групп; области применения основных алгебраических идей и методов; корректные формулировки основных задач алгебры. Уметь: корректно формулировать задачи; применять знания в научноисследовательской деятельности в области современной алгебры Знать: основные понятия, идеи и методы теории колец; области применения основных алгебраических идей и методов; корректные формулировки основных задач алгебры. Уметь: корректно формулировать задачи; применять знания в научноисследовательской деятельности в области современной алгебры Знать: основные понятия, идеи и методы теории колец и модулей; области применения основных алгебраических идей и методов; корректные формулировки основных задач алгебры. Уметь: корректно формулировать задачи; применять знания в научноисследовательской деятельности в области современной алгебры Знать: основные понятия, идеи и методы теории полей; области применения основных алгебраических и порядковых идей и методов; корректные формулировки ос-

Тема 9. Конеч- Конспектирование лекций. Решение ные поля

ИТОГО

задач

новных задач алгебры. Уметь: корректно формулировать задачи; применять знания в научноисследовательской деятельности в области современной алгебры Знать: основные понятия, идеи и методы теории полей; области применения основных алгебраических идей и методов; корректные формулировки основных задач алгебры. Уметь: корректно формулировать задачи; применять знания в научноисследовательской деятельности в области современной алгебры

в) занятия в интерактивных формах № п/п

Общий объем (по РУП) в часах

ТЕМЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

Занятия проводимые в интерактивных формах ТЕМА 2. ДЕЙСТВИЯ ГРУППЫ НА МНОЖЕСТВЕ ТЕМА 5. ПРОСТОТА ЗНАКОПЕРЕМЕННЫХ ГРУПП ТЕМА 6. КЛАССИЧЕСКИ ПОЛУПРОСТЫЕ КОЛЬЦА ТЕМА 9. КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ

1 2 3 4

4 6 6 8 24

ИТОГО

б) самостоятельная внеаудиторная работа ТЕМЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

ВИД УЧЕБНОЙ РАБОТЫ (ФОРМА САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ)

ЧАСОВ РЕЗУЛЬТАТ

Тема 1. Моногенные полугруппы Тема 2. Действие группы на множестве

Конспектирование лекций. Решение задач

Знать: ведущие понятия и идеи, базовые результаты теории полугрупп

Конспектирование лекций. Решение задач

Тема 3. Теоремы

Конспектирование

Силова

лекций. Решение задач

Тема 4. Строение Конспектирование конечных абеле- лекций. Решение задач вых групп

Тема 5. Простота Конспектирование знакопеременных лекций. Решение задач групп

Тема 6. Класси- Конспектирование чески полупро- лекций. Решение задач стые кольца

Тема 7. Теорема Конспектирование Гильберта о ба- лекций. Решение задач зисе

и теории групп; формы представления конечного результата. Уметь: применять в научноисследовательской и профессиональной деятельности базовые знания фундаментальной математики; доступно формулировать промежуточные и конечные результаты. Знать: основные понятия, идеи и методы теории конечных абелевых групп; области применения основных групповых идей и методов; корректные формулировки основных задач алгебры. Уметь: корректно формулировать задачи; применять знания в научноисследовательской деятельности в области современной алгебры Знать: основные понятия, идеи и методы теории групп; области применения основных алгебраических идей и методов; корректные формулировки основных задач алгебры. Уметь: корректно формулировать задачи; применять знания в научноисследовательской деятельности в области современной алгебры Знать: основные понятия, идеи и методы теории колец; области применения основных алгебраических идей и методов; корректные формулировки основных задач алгебры. Уметь: корректно формулировать задачи; применять знания в научноисследовательской деятельности в области современной алгебры Знать: основные понятия, идеи и методы теории колец и модулей; области применения основных алгебраических идей и методов; корректные формулировки основных задач алгебры. Уметь: корректно формулировать

Тема 8. Алгебра- Конспектирование ически замкну- лекций. Решение задач тые поля

Тема 9. Конеч- Конспектирование лекций. Решение ные поля

ИТОГО

108

задач

4.1.

задачи; применять знания в научноисследовательской деятельности в области современной алгебры Знать: основные понятия, идеи и методы теории полей; области применения основных алгебраических и порядковых идей и методов; корректные формулировки основных задач алгебры. Уметь: корректно формулировать задачи; применять знания в научноисследовательской деятельности в области современной алгебры Знать: основные понятия, идеи и методы теории полей; области применения основных алгебраических идей и методов; корректные формулировки основных задач алгебры. Уметь: корректно формулировать задачи; применять знания в научноисследовательской деятельности в области современной алгебры

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ

Тема 1. Моногенные полугруппы Лекция 1. «Моногенные полугруппы» План лекции: 1. Свойства полугрупп 2. Описание строения моногенных полугрупп. Практическое занятие 1. «Полугруппы» План практического занятия: 1. Определение полугруппы. 2. Примеры полугрупп, основные свойства. Задание по аудиторной самостоятельной работе: 1-3. Практическое занятие 2. «Моногенные полугруппы» План практического занятия: 1. Конечно порожденные полугруппы, моногенные полугруппы. 2. Построение примеров. Задание по аудиторной самостоятельной работе: 4-8. Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины 14

№ Вид самостоятельной работы п/п 1 Общая

Индивидуальная

Групповая

Форма самостоятельной работы Проработка конспекта лекции. Решение задач под руководством преподавателя Индивидуальное решение задач Самостоятельное решение задач в группе Разбор решенных задач

Форма отчетности Конспект лекции; Практические работы (текст) Текст, устное сообщение Мозговой штурм, отчет Доклад, презентация

Краткое пояснение указанных интерактивных форм самостоятельной работы: Самостоятельное решение задач в группе. Работа организуется путем разбиения студентов на две малые подгруппы. Каждой подгруппе выдается серия задач. Преподаватель выполняет роль консультанта. Результат работы группы предъявляется в виде обмена идеями и результатами, отчета. Разбор решенных задач Работа организуется путем разбиения студентов на две малые подгруппы. Каждой подгруппе выдается серия задач (задачи общие для всех групп). Цель группы найти как можно больше различных решений каждой задачи. Преподаватель выполняет роль консультанта. Результат работы группы предъявляется в виде доклада представителя группы в последней трети практического занятия. Задача для доклада выбирается представителем группы самостоятельно. Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/ п 1

Вид самостоятельной работы Общая (лекции) Общая (практики)

Форма самостоятельной работы Работа с конспектами лекций и первоисточниками Решение задач данной тематики по образцу

Срок сдачи

Форма отчетности

Очередная лекция

опрос

Очередное практическое занятие

Решения (доклад, текст)

Поскольку самостоятельная аудиторная и внеаудиторная работа по всем темам предполагает единый характер организации учебной работы, в последующем, раскрывая планы занятий, таблицы повторять не будем. Тема 2. Действие группы на множестве Лекция 2. «Действие группы на множестве» План лекции: 1. Определение действия группы на множестве, примеры. 2. Стабилизатор, нормализатор, центр группы. Лекция 3. «Сопряжение. Формула классов» 15

План лекции: 1. Орбиты. 2. Сопряжение, определение и свойства. 3. Формула классов. Практическое занятие 3. «Действие группы на множестве» План практического занятия: 1. Определение действия группы на множестве. Примеры. 2. Свойства. Задание по аудиторной самостоятельной работе: 9-11. Практическое занятие 4. «Формула классов» План практического занятия: 1. Основные понятия. 2. Разбиение на орбиты. Задание по аудиторной самостоятельной работе: 10, 12,13. Практическое занятие 5. «Формула классов» План практического занятия: 1. Стабилизаторы, нормализаторы, центр группы. 2. Формула классов. Задание по аудиторной самостоятельной работе: 11, 14-17. Практическое занятие 6. «Приложения действий групп» План практического занятия: 1. Подгруппа индекса 2 нормальна. Ее обобщение. 2. Комбинаторные приложения. Задание по аудиторной самостоятельной работе: 21,22,25. Тема 3. Силовские подгруппы Лекция 4. «Теремы Силова» План лекции: 1. Необратимость теоремы Лагранжа для конечных групп. 2. p-подгруппы, силовские погруппы. 3. Первая теорема Силова. Лекция 5. «Теоремы Силова» План лекции: 1. Вторая теорема Силова. 2. Третья теорема Силова. Практическое занятие 7. «Группы малых порядков» План практического занятия: 1. Описание групп малых порядков (до пятнадцатиэлементной группы) 2. Минимальный контрпример к теореме Лагранжа. Задание по аудиторной самостоятельной работе: 21,22,23. Практическое занятие 8. «p-подгруппы, силовские подгруппы» План практического занятия: 1. Теорема Коши. 2. p-подгруппы и силовские подгруппы конкретных групп. 3. Силовские подгруппы сопряжены. Задание по аудиторной самостоятельной работе: 24,26,27-30. 16

Практическое занятие 9. «Применения теорем Силова» План практического занятия: 1. Описание конечных групп. 2. Решение задач. Задание по аудиторной самостоятельной работе: 31,32. Тема 4. Строение конечных абелевых групп Лекция 6. «Строение конечных абелевых групп» План лекции: 1. Описание конечных абелевых p-групп. 2. Описание конечных алевых групп. Практическое занятие 10. «Абелевы группы малых порядков» План практического занятия: 1. Прямое произведение групп. 2. Абелевы группы малых порядков. Задание по аудиторной самостоятельной работе: 33-35. Практическое занятие 11. «Структурная теорема о конечных абелевых группах» План практического занятия: 1. Применение теоремы для описания конкретных групп. 2. Решение задач. Задание по аудиторной самостоятельной работе: 36-39. Тема 5. Простота знакопеременных групп Лекция 7. «Группы подстановок» План лекции: 1. Группа подстановок. 2. Теорема Кэли. 3. Представление подстановок в виде циклов. Лекция 8. «Простота знакопеременной группы» План лекции: 1. Доказательство теоремы. Практическое занятие 12. «Группы подстановок» План практического занятия: 1. Представление подстановок в виде циклов 2. Решение задач Задание по аудиторной самостоятельной работе: 44-48. Практическое занятие 13. «Простые группы» План практического занятия: 1. Примеры простых групп. 2. Группа диэдра Задание по аудиторной самостоятельной работе: 50-53. Практическое занятие 14. «Задачи теории групп» План практического занятия: 1. Решение задач из различных разделов теории групп Задание по аудиторной самостоятельной работе: 18-20, 85. 17

Тема 6. Классически полупростые кольца Лекция 9. «Простые кольца» План лекции: 1. Артиновы кольца. 2. Простые кольца. 3. Строение артиновых простых колец. Лекция 10. «Полупростые кольца» План лекции: 1. Радикал, радикал Джекобсона. 2. Полупростые кольца. 3. Строение артиновых полупростых колец. Практическое занятие 15. «Полное кольцо матриц» План практического занятия: 1. Простота полного кольца матриц над телом. Задание по аудиторной самостоятельной работе: 54-57. Практическое занятие 16 «Радикал кольца» План практического занятия: 1. Первичный радикал. 2. Радикал Джекобсона. Задание по аудиторной самостоятельной работе: 59-61 Практическое занятие 17. «Классически полупростые кольца» План практического занятия: 1. Минимальные правые идеалы, идемпотенты. 2. Решение задач. Задание по аудиторной самостоятельной работе: 63-68 Тема 7. Теорема Гильберта о базисе Лекция 11. «Нетеровы кольца и модули» План лекции: 1. Условия максимальности и минимальности. 2. Определение, свойства нетеровых колец и модулей. Лекция 12. «Теорема Гильберта о базисе» План лекции: 1. Доказательство теоремы. Практическое занятие 18. «Нетеровы кольца и модули» План практического занятия: 1. Подмодули модуля. 2. Прямая сумма модулей. Задание по аудиторной самостоятельной работе: 69-72,74. Практическое занятие 19. «Нетеровы кольца и модули» План практического занятия: 1. Примеры модулей, связанные с нетеровостью и артиновостью. Задание по аудиторной самостоятельной работе: 74-76. Практическое занятие 20. «Теорема Гильберта о базисе.» План практического занятия: 1. Кольцо степенных рядов. 18

2. Обобщение теоремы Гильберта для кольца многочленов от конечного числа переменных. Задание по аудиторной самостоятельной работе: 73. Тема 8. Алгебраически замкнутые поля Лекция 13. «Расширения полей» План лекции: Практическое занятие 21. «Расширения полей» План практического занятия: 1. Расширение поля, алгебраическое расширение. 2. Кольца многочленов над полями, неприводимые многочлены. Задание по аудиторной самостоятельной работе: 80-83. Практическое занятие 22. «Алгебраически замкнутые поля» План практического занятия: 1. Идеал кольца многочленов, порожденный неприводимым многочленом. 2. Алгебраическое расширение алгебраически замкнутого поля. 3. Основная теорема алгебры. Задание по аудиторной самостоятельной работе: 77,78,84,85. Тема 9. Конечные поля Лекция 14. «Конечные поля» План лекции: 1. Характеристика поля. 2. Порядок конечного поля. 3. Существование поля порядка степени простого числа. 4. Теорема Веддерберна о коммутативности конечных тел. Практическое занятие 23. «Конечные поля» План практического занятия: 1. Поле разложения многочлена. 2. Мультипликативная группа конечного поля циклическая. 3. Группа автоморфизмов конечного поля. Задание по аудиторной самостоятельной работе: 86-91. Практическое занятие 24. «Конечные тела» План практического занятия: 1. Тела, примеры. 2. Круговые многочлены. Задание по аудиторной самостоятельной работе: 92-94. 5. ПЕРЕЧЕНЬ ОСНОВНОЙ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Основная литература: 1. Винберг, Э. Б. Курс алгебры : учебник / Э.Б. Винберг. - М. : МЦНМО, 2011. - 591 с. http://www.biblioclub.ru/book/63299/

Дополнительная литература 1. Кострикин А. И. Введение в алгебру. В 3-х частях. Часть 1. Основы алгебры – М.: МЦНМО, 2009. 2. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть III: Основные структуры алгебры. – М.: МЦНМО, 2009. 3. Сборник задач по алгебре. Под редакцией А. И. Кострикина. – М.: МЦНМО, 2009. 4. Кострикин, А. И. Введение в алгебру [Текст]/ А. И. Кострикин. – М.: Физматлит, 2001. 5. Ленг, С. Алгебра [Текст]/ С. Ленг. М.: Мир, 1968 6. Ван-дер Варден, Б. Л. Алгебра [Текст]/ Б. Л. ван-дер Варден. – М.: Наука, 1979 7. Винберг, Э.Б. Начала алгебры [Текст]/ Э. Б. Винберг. – М.: МЦНМО, МК НМУ, УРСС, 1998. 8. Курош, А.Г. Общая алгебра [Текст]/ А. Г. Курош. – М.: Наука, 1970. 9. Фаддеев, Д.К. Лекции по алгебре [Текст]/ Д. К. Фаддеев. – М.: Наука, 1984. 10. Винберг, Э. Б. Курс алгебры [Текст]/ Э. Б. Винберг. – М.: Факториал, 2001. 11. Фейс, К. Алгебра. Кольца. Модули. Категории. Т. 1 [Текст]/ К. Фейс. – М.: Мир 1977. 12. Фейс, К. Алгебра. Кольца. Модули. Категории. Т. 2 [Текст]/ К. Фейс. – М.: Мир 1979. 13. Шафаревич, И. Р. Основные понятия алгебры [Текст]/ И. Р. Шафаревич. – Ижевск, 1999. 14. Михалёв А. В., Михалёв A. A. Начала алгебры [Текст]/ А. В. Михалёв, А. А. Михалёв. – М.: Интернет-Ун-т Информ. Технологий, 2005. 6. СИСТЕМА ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ОСВОЕНИЯ СТУДЕНТАМИ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «Упорядоченные множества и решетки» И ФОРМЫ ТЕКУЩЕГО, ПРОМЕЖУТОЧНОГО И ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ 6.1. Шкала баллов по учебной дисциплине В соответствии с Положением о бально-рейтинговой системе оценки знаний студентов ВятГГУ по учебной дисциплине предусмотрены следующие виды контроля качества знаний студентов: - текущий аттестация; - межсессионная аттестация; - промежуточная аттестация. Шкала баллов по учебной дисциплине № п/п

Показатели

Норма баллов

Виды текущей аттестации до рубежной аттестации 20

1. 2.

Посещение занятий Домашнее задание

10 15

Самостоятельная работа

Рубежный контроль (контрольное мероприятие) 1. 2.

Виды текущей аттестации после рубежной аттестации Посещение занятий 10 Домашнее задание 15

Домашняя контрольная работа

Виды работ и заданий на экзамене Теория Практика Всего баллов за экзамен

10 10 20

6.2. Фонды оценочных средств для проведения текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации Сводные данные по оценке компетенций № п/ п

Результат (освоенные компетенции)

Виды Основные показатели оценки конрезультата троля

ОК-5 способность порождать новые идеи и применять в научноисследовательской и профессиональной деятельности базовые знания в области фундаментальной и прикладной математики и естественных наук ОК-6 значительные навыки самостоятельной научноисследовательской работы и научноизыскательской

т, п, р

1) знать: основные методы познания – обобщение, анализ, синтез; 2) уметь: применять в научноисследовательской и профессиональной деятельности базовые знания фундаментальной математики; 3) владеть: культурой абстрактного мышления. т, п, р

1) знать: области применения основных алгебраических идей и методов.

Формы Номер рази медела / темы тоды (для текуконщего контроля троля) ЭкзаТема мен, к.р.

Экзамен, к.р.

Темы

работы, а также деятельности в составе группы ПК-14 умение формулировать в проблемнозадачной форме нематематические типы знания (в том числе гуманитарные)

ПК-15 возможностью преподавания физикоматематических дисциплин и информатики в общеобразовательных учреждениях, образовательных учреждениях начального профессионального, среднего профессионального и высшего профессионального образования на основе полученного фундаментального образования и научного мировоззрения ПК-17 способность к творческому развитию знаний в области современной алгебры,

1) владеть: системой ме- т, п, р Экзамен, тодологических знаний, к.р. знаниями о структуре знаний, о методах научного познания, о теории, понятии, научном факте, прикладном знании, уровнях и формах познания и способностью применять их в профессиональной деятельности. т, п, Госэкр, и замен, экзамен, к.р.

Тема

1) знать: основные методы преподавания 2) уметь: применять в профессиональной деятельности базовые знания фундаментальной математики; 3) владеть: культурой мышления

т, п, р Экза1) знать: корректные мен, формулировки основных к.р. задач современной алгебры; 2) уметь: корректно формулировать задачи; 22

Темы

дискретной математики и компьютерных наук ПК-18 способность к интенсивной научноисследовательской деятельности с применением знаний по выбранному профилю ПК-19 умение публично представить известные и собственные новые научные результаты в области алгебры и дискретной математики

3) владеть: методами выбора путей достижения поставленной цели т, п, р

Экзамен, к.р.

Темы

т, п, р

Госэкзамен, экзамен, к.р.

Тема

1) уметь: применять знания в научноисследовательской деятельности в области современной алгебры и ее применений

1) знать: формы представления конечного результата; 2) уметь: доступно формулировать промежуточные и конечные результаты.

* в – входной контроль; т – текущий контроль; р – рубежный контроль; п – промежуточная аттестация; и – итоговая аттестация.

6.2.1. Входной контроль знаний студентов Примерные задания для проверки знаний студентов 2. Дайте определения полугруппы, группы, кольца, тела, поля. Приведите примеры. Докажите свойства, вытекающие из определений этих алгебр. 3. Сформулируйте и докажите теоремы о гомоморфизме для групп и колец. 4. Что такое факторизация, какая связь факторалгебры и гомоморфизма алгебры? Что такое конгруэнция на алгебре? 5. Дайте определения подгруппы и нормальной подгруппы группы. 6. Дайте определения идеала кольца. Какие виды идеалов Вам известны? 7. Сформулируйте и докажите теоремы Лагранжа и Кэли для конечных групп.

8. Докажите, что кольцо целых чисел является кольцом главных идеалов. 9. Что такое делители нуля, идемпотенты, нильпотенты кольца? 10.Докажите, что конечное целостное кольцо является полем. 11.Приведите примеры тела, поля, конечного поля. 6.2.2. Текущая аттестация Примерные задания (задачи) для проведения текущего контроля: 1. Определение свойств и вида алгебр по таблицам, определяющим соотношениям, словесному описанию. 2. Построение групп, колец с наперед заданными условиями. 3. Построение таблиц Кэли указанных конечных групп. 4. Описание всех групп заданного порядка. 5. Установление изоморфности двух данных алгебр. 6. Описание идеалов (первичных, максимальных идеалов) конкретного кольца. 7. Построение факторгруппы, факторкольца. 8. Нахождение гомоморфных образов заданной группы или кольца. 9. Решение теоретических задач на свойства групп, колец. 10. Доказательство характеристических свойств групп, колец некоторых классов. 11. Прямое произведение групп, колец, полей, их свойства. 12. Представление подстановок в виде произведения циклов, независимых циклов, транспозиций, циклов заданной длины. 13. Свойства решеток подгрупп, идеалов. 14. Групповые доказательства некоторых утверждений теории чисел. 15. Нахождение односторонних идеалов полного матричного кольца над полем; простота этого кольца. 16. Нахождение неприводимых многочленов над конечными полями. 17. Решение теоретических задач по теории (конечных) полей. 6.2.3. Межсессионная аттестация Межсессионная аттестация выставляется на основании отчетов студентов, которые составляются по решению задач из Задачника. Банк заданий 1. Докажите, что а полугруппе верен закон обобщенной ассоциативности. 2. Может ли полугруппа быть изоморфной своей собственной подгруппе?

3. Опишите идеалы и конгруэнции аддитивной полугруппы натуральных чисел. 4. Докажите, что любая факторполугруппа аддитивной полугруппы натуральных чисел является моногенной. 5. Будет ли прямое двух произведение моногенных полугрупп моногенной полугруппой? 6. Будет ли факторполугруппа моногенной полугруппы моногенной? 7. Опишите гомоморфные образы моногенных полугрупп. 8. Когда моногенная полугруппа упорядочиваема? 9. Докажите, что действие группы на множестве является гомоморфизмом. 10. Постройте действие группы G, задающее разбиение G на правые смежные классы по подгруппе H. 11. Докажите, что сопряжение задает действие группы на ней самой. 12. Докажите, что длина орбиты конечной группы делит порядок группы. 13. Найдите все орбиты и стационарные подгруппы для группы, порожденной подстановкой (1 5 4 9)(2 8)(6 10 7) S10 и действующей на множестве {1,2,…,10}. 14. Найдите порядок группы диэдра Dn. 15. Найдите централизатор подстановки (12)(34) а группе S4. 16. Найдите централизатор подстановки (12…n) вгруппе Sn. 17. Найдите разбиение на классы сопряженных элементов групп: а) S3, б) A4, в) D4. 18. Докажите, что две подстановки сопряжены в симметрической группе тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую цикловую структуру, т.е. их разложения в произведение независимых циклов содержа одинаковое число циклов длины k для любого натурального k. 19. Докажите, что если H и K – сопряженные подгруппы конечной группы и K  H, то K=H. 20. Найдите нормализатор подгруппы диагональных матриц в группе невырожденных матриц второго порядка над полем R. 21. Найдите группу автоморфизмов групп Z5 и Z6. 22. Опишите все подгруппы восьмого порядка. 23. Докажите, что группа кватернионов не изоморфны группе диэдра D4 24. Обратима ли теорема Лагранжа о порядке подгруппы конечной группы? 25. Докажите, что группа пятнадцатого порядка циклическая. 26. Докажите, что любого простого делителя p порядка группы существует элемент порядка p. 27. Найдите все силовские 2-подгруппы и 3-подгруппы в группах S3 и A4. 28. Укажите сопрягающие элементы для силовских 2-подгрупп и 3подгрупп в группах S3 и A4. 25

29. Сколько различных p-подгрупп в группе A4, где p=2 или =3, или =5? 30. Докажите, что все силовские подгруппы группы порядка 100 коммутативны. 31. Сколько различных силовских 2-подгрупп и силовских 5-подгрупп в некоммутативной группе порядка 20? 32. Вычислите коммутанты групп S3, S4 и A4. 33. Докажите, что группы Z и Q не разлагаются в прямую сумму ненулевых подгрупп. 34. Разложите в прямое произведение группы S3, S4 и A4. 35. Перечислите (с точностью до изоморфизма) все неизоморфные абелевы группы 120-го порядка 36. Чему равен порядок прямого произведения конечных групп? 37. Чему равен порядок элемента прямого произведения конечных групп? 38. Докажите, что если в абелевой группе подгруппы имеют конечные попарно взаимно простые порядки, то их сумма является прямой. 39. Докажите, что если k –наименьшее общее кратное порядков элементов конечной абелевой группы, то в группе существует элемент порядка k. Верно ли это для некоммутативных групп? 40. Что представляют собой группы, все подгруппы в которых линейно упорядочены? 41. Докажите, что мультипликативная группа конечного поля циклическая. 42. Докажите, что периодическая часть конечно порожденной абелевой группы конечна. 43. Вычислите группы автоморфизмов аддитивных групп Zn. 44. Запишите в виде группы подстановок группу вращений тетраэдра. 45. Запишите в виде группы подстановок группу вращений куба. 46. Докажите, что Sn=<(12),(13),…,(1n)>. 47. Докажите, что Sn=<(12),(123…n)>. 48. Докажите, что знакопеременная группа An, n>2, порождается циклами длины 3. 49. Покажите, что способы определения четности подстановки с помощью разложения в произведение транспозиций и с помощью подсчета числа инверсий , равносильны. 50. Покажите, что группы S3 и S4 имеют тривиальные центры. 51. Покажите, что все автоморфизмы групп S3 и S4 внутренние. 52. Убедитесь, что группа A5 простая. 53. Покажите, что группа двенадцатого порядка не может быть простой 54. Что из себя представляет коммутативное простое кольцо? 55. Докажите, что центр простого кольца является полем. 56. Докажите, что кольцо матриц над R просто. 57. Укажите односторонние идеалы полного кольца матриц. 26

58. Докажите, что артиново справа простое кольцо, не содержащее идемпотентов, является телом. 59. Найдите радикал Джекобсона колец: а) кольцо вычетов по модулю m; б) кольцо многочленов над полем; в) кольцо верхних треугольных матриц над полем. 60. Докажите, что если нулевой идеал является максимальным левым, то он является и максимальным правым идеалом; каждое из этих условий равносильно тому, что кольцо является телом (считаем, что кольцо с ненулевым умножением). 61. Первичный радикал совпадает с множеством всех строго нильпотентных элементов. Докажите. 62. Докажите, что односторонний идеал классически полупростого кольца порождается идемпотентом. 63. Радикал Джекобсона является наибольшим среди идеаловK, таких, чтто 1-r – обратимый элемент для всех r K. 64. Пусть R – кольцо всех (2  2)-матриц над кольцом A. Покажите, что RadR состоит из всех матриц с элементами из RadA. 65. Покажите, что a  b=a+b+ab является бинарной операцией (так называемое присоединенное умножение) в произвольном кольце. 66. Докажите, что если xy – квазирегулярный элемент, то yx - квазирегулярный элемент. 67. Покажите, что сумма двух квазирегулярных идеалов является квазирегулярным идеалом. 68. Докажите, что радикал Джекобсона является суммой всех квазирегулярных идеалов кольца. 69. Докажите, что кольцо целых чисел Z нетерово, но не артиново. 70. Докажите, что кольцо многочленов над полем, телом или кольцом целых чисел нетерово. 71. Докажите, что любое конечное кольцо нетерово и артиново. 72. Докажите, что кольцо матриц над нетерово и артиново. 73. Докажите, что кольцо непрерывных действительнозначных функций, определенных на отрезке [0,1] не является ни нетеровым, ни артиновым. 74. Подмодули A и B модуля C нетеровы (артиновы), тогда и только тогда, когда нетеровы (артиновы) модули A+B и A  B. 75. Кольцо удовлетворяет условию минимальности для левых аннуляторных идеалов тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет условию максимальности для правых аннуляторных идеалов. a 0   , где m Z , a, b  Q . Дока76. Пусть R – кольцо матриц вида  b m жите, что R нетерово справа, но не слева и не артиново ни справа, ни слева. 77. Докажите, что Q и R не имею автоморфизмов, отличных от тождественного. 78. Опишите автоморфизмы поля Q( 2 ). 27

79. Найдите все автоморфизмы поля комплексных чисел, тождественных на R. 80. Существует ли поле, строго содержащее поле комплексных чисел? 81. Опишите простые поля (т.е. поля, не имеющие собственных подполей). 82. Докажите, что поле содержит в точности одно простое подполе. 83. Докажите, что если тело K является конечномерным пространством над своим алгебраически замкнутым подполем P, то K=P. 84. Докажите, что всякое тело является алгеброй либо над Q, либо над полем вычетов. 85. Докажите, что аддитивная и мультипликативная группы поля не изоморфны. 86. Докажите, что поле из 49 элементов имеет единственное собственное подполе. 87. Докажите, что подполе поля порядка pn имеет порядок pm , где m делит n. 88. Докажите, что в поле характеристики p справедливо тождество n (x+y) =xn+yn, где n является степенью p. 89. В конечном поле характеристики p отображение x  xp является автоморфизмом. 90. В поле из n элементов выполняется тождество xn=x. 91. Покажите, что любые два поля из четырех элементов изоморфны. 92. Найдите неприводимый многочлен второй степени в кольце Z5[x] и построить поле из 25 элементов. 93. Пусть p - простое число. Докажите, что p-й многочлен деления круга имеет вид xp-1+xp-2+…+1. 94. Докажите, что p-й многочлен деления круга неприводим. 6.2.4. Материалы для проведения промежуточной аттестации Промежуточная аттестация проходит в форме экзамена, который проводится в соответствии с «Положением об организации текущего и промежуточного контроля успеваемости и промежуточной аттестации студентов», введенным в действие приказом ректора ВятГГУ от 08.05.2003 № 119 Примерный перечень вопросов к экзамену 1. Полугруппы, примеры. 2. Моногенные группы, характеризация. 3. Действие группы на множестве. 4. Теорема Коши для абелевых групп. 5. Теоремы Силова. 6. Группы малых порядков. 7. Примарные группы. 8. Теорема о строении конечных абелевых групп. 9. Симметрические и знакопеременные группы. 10. Простота знакопеременной группы. 28

11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

Группа диэдра. Простые кольца. Классически полупростые кольца. Модули, подмодули, примеры. Нетеровы и артиновы модули. Теорема Гильберта о базисе. Алгебраически замкнутые поля. Тела, примеры, свойства. Конечные поля. Теорема Веддерберна.