14 теория полуколец by VyatGGU

Учебно-методический комплекс составлен в соответствии с ФГОС ВПО по направлению подготовки 010200.68 Математика и компьютерные науки, профиль подготовки «Алгебра и дискретная математика», утвержденным Приказом Министерства образования и науки Российской Федерации 21.12.2009 г., регистрационный № 760

Учебно-методический комплекс разработан В.В. Чермных, д-ром физ.-мат. наук, профессором кафедры алгебры и дискретной математики ВятГГУ Рецензент – Е. М. Вечтомов, д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры алгебры и дискретной математики ВятГГУ

Учебно-методический комплекс утвержден на заседании кафедры алгебры и дискретной математики ВятГГУ 29 августа 2011, протокол № 1

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

учебной дисциплины «Теория полуколец» I. Пояснительная записка 1.1. Цели и задачи освоения учебной дисциплины «Теория полуколец» Цель дисциплины – формирование представлений об одном из важных направлений современной математики, о понятиях и методах общей алгебры на примере теории полуколец, являющейся естественным расширением теории колец и теории дистрибутивных решеток. Задачи курса: - познакомиться с исходными понятиями и результатами теории полуколец; - более глубокое усвоение и понимание основных структур математики, взаимосвязей важнейших ее разделов; - уметь видеть, находить и применять обще-алгебраические объекты в высшей математике и в школьном курсе математики; в области учебно-воспитательной деятельности: - осуществление процесса обучения в соответствии с образовательной программой; - планирование и проведение учебных занятий с учетом специфики тем и разделов программы и в соответствии с учебным планом; - использование современных научно обоснованных приемов, методов и средств обучения; - использование технических средств обучения, информационных и компьютерных технологий; - применение современных средств оценивания результатов обучения; - воспитание учащихся как формирование у них духовных, нравственных ценностей и патриотических убеждений на основе индивидуального подхода. Изучение теории полуколец формирует у магистрантов как общую, так и специальную математическую культуру, развивает их абстрактное логическое мышление, способствует формированию научного мировоззрения. 1.2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО Дисциплина «Теория полуколец» является авторским курсом и преподается магистрантам-математикам очной формы обучения в 3-м семестре. Вместе с курсами «Современная алгебра», « Алгебраические методы в информатике», «Упорядоченные множества и решетки», «Криптография и защита информации» и курсами по выбору данная дисциплина составляет профессиональный цикл учебного плана. Материал курса опирается на дисциплины специалитета и бакалавриата «Алгебра», «Числовые системы», «Математический анализ», ТФДП и дисциплины магистратуры «Современная алгебра», «Теория множеств и общая 3

топология», «Функциональная алгебра», и может быть использован в организации и проведении НИРС. В своей теоретической части курс носит универсальный и структурный характер и в то же время необходим для успешной научноисследовательской работы магистрантов. Требования к знаниям, умениям, навыкам студента, необходимым для изучения дисциплины «Теория полуколец» Знать:  определения и простейшие свойства теории полуколец; Уметь:  узнавать и проверять свойства бинарных отношений;  проводить теоретические доказательства и строить примеры. Владеть:  основными методами решения задач по общей алгебре, дискретной математике и математической логике. В результате освоения дисциплины «Теория полуколец» обучающийся должен демонстрировать следующие результаты образования: Знать:  основополагающие понятия и факты теории полуколец. Уметь:  распознавать алгебраические объекты и применять их свойства;  ориентироваться в главных направлениях современной математики;  пользоваться основным методами теории полуколец. Владеть:  исходными понятиями теории полуколец, колец и дистрибутивных решеток. 1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины «Теория полуколец» Выпускник по направлению подготовки Математика и компьютерные науки с квалификацией (степенью) «магистр» должен обладать следующими компетенциями: 1. ОК-1 способность работать в междисциплинарной команде. Знать: области применения основных алгебраических идей и методов. Уметь: применять основные алгебраические идеи и методы. Владеть: навыками работы в междисциплинарной команде. 2. ОК-6 значительные навыки самостоятельной научно-исследовательской работы и научно-изыскательской работы, а также деятельности в составе группы Знать: способы и источники получения нужной информации. Уметь: правильно организовать самостоятельную научноисследовательскую работу.

Владеть: навыками самостоятельной научно-исследовательской работы и научно-изыскательской работы, а также деятельности в составе группы. 3. ОК-7 способность к постоянному совершенствованию и углублению своих знаний, инициативность и стремление к лидерству Знать: возможности применения освоенных знаний в профессиональной деятельности. Уметь: применить знания из области фундаментальной математики при решении профессиональных задач. Владеть: методами совершенствования. 4. ПК-5 умение публично представить собственные новые научные результаты Знать: формы представления конечного результата. Уметь: публично представить собственные новые научные результаты. Владеть: навыками публичного представления. 5. ПК-6 самостоятельное построение целостной картины дисциплины Знать: ведущие понятия и идеи алгебры. Уметь: установить взаимосвязи как между алгебраическими понятиями и идеями, так и междисциплинарные связи алгебры с другими разделами профильных знаний. Владеть: методами сбора, обработки и интерпретации данных. 6. ПК-17 способность к творческому развитию знаний в области алгебры, дискретной математики и компьютерных наук; Знать: ведущие понятия и идеи алгебры. Уметь: доступно формулировать промежуточные и конечные цели и результаты. Владеть: навыками руководства научной работы коллективов. 7. ПК-18 способность к интенсивной научно-исследовательской деятельности с применением знаний по выбранному профилю Знать: содержание дисциплина «Теория полуколец». Уметь: правильно организовать самостоятельную научноисследовательскую работу. Владеть: методами выбора путей достижения поставленной цели. 8. ПК-21 видение прикладного аспекта знаний из области алгебры и дискретной математики Знать: содержание дисциплина «Теория полуколец». Уметь: установить взаимосвязи как между алгебраическими понятиями и идеями, так и междисциплинарные связи алгебры с другими разделами профильных знаний. Владеть: методами сбора, обработки и интерпретации данных. 2.

КРАТКИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ 5

Данный курс имеет большое научное, методологическое, методическое и развивающее значение для формирования фундаментальных знаний и компетенций специалиста, работа которого так или иначе будет связана с математикой и информатикой. Изложение ведется на фундаменте изученных математических дисциплин. Изучаются такие алгебраические объекты и понятия как полукольца, кольца, решетки, булевы алгебры, идеалы, конгруэнции. Рассматриваются взаимосвязи типа «алгебра–топология» и «упорядоченные системы-алгебра». Важная роль в овладении материалом курса отводится теоретическим упражнениям и задачам как учебного, так и исследовательского характера. Материал может быть использован в научно-исследовательской работе магистрантов, при выполнении ВКР (магистерской диссертации) по соответствующей теме. Данный курс, безусловно, способствует формированию порядковой и общеалгебраической культуры у современных студентов. Учебный материал дисциплины  во-первых, обладает завершенностью изучаемого материала, как по содержанию, так по форме и методам;  во-вторых, теоретический и задачный материал делятся примерно поровну, он имеет связи с другими магистерскими курсами. Контроль достижения целей обучения осуществляется с помощью еженедельных контролируемых внеаудиторных заданий. Главной целью проведения текущих самостоятельных работ является установление уровня и характера усвоения студентами основных понятий, умений и навыков, формируемых в процессе изучения курса. Сведения о рекомендуемых к использованию преподавателем образовательных технологий и материально-техническом обеспечении учебной дисциплины «Теория полуколец». № п/п 1 2 3

Образовательная технология, рекомендуРекомендуемые емая к использованию в преподавании Средства обучения учебной дисциплины Информационная лекция Мультимедийный проектор, интерактивная доска Проблемная лекция Самостоятельное решение задач в группе

Сведения о занятиях, проводимых в интерактивных формах № Показатель п/п 1 Занятия, проводимые в интерактивных формах

Общий объем (по РУП) в часах/ в процентах Очная 22 ч. / 30%

3. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «Теория полуколец» 3.1. Объем учебной дисциплины и виды учебной работы 6

Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетные единицы, 144 часа. № п/п

Общий объем (по РУП) в часах

Виды учебной работы

1 Трудоемкость (по ФГОС ВПО) 2 Аудиторные занятия, всего в том числе: 2.1. Лекции 2.2. Лабораторные работы 2.3. Практические занятия 2.4. Семинарские занятия 2.5. Коллоквиумы 2.6. Прочие виды аудиторных занятий 3 Самостоятельная работа студентов всего в том числе: 3.1. Контрольная работа 3.2. Курсовая работа 3.3. Научно- исследовательская работа 3.4. Практика 3.5. Прочие виды самостоятельной работы 4 Вид(ы) промежуточного контроля

Очная 180 66 26 40

114

114 Экзамен

Матрица соотнесения тем учебной дисциплины и формируемых в них профессиональных и общекультурных компетенций

ТЕМА 1. Основные 14

свойства полуколец ТЕМА 2. Кольцо разностей полукольца, присоединение единицы ТЕМА 3. Полутело частных полукольца ТЕМА 4. Полутела ТЕМА 5. Идеалы ТЕМА 6. Конгруэнции, фак-

ПК-21

ПК-18

ПК-17

ПК-5

12 14 16

ОК-7

ОК-6

ДИСЦИПЛИНЫ

ОК-1

ТЕМЫ УЧЕБНОЙ

ЛИЧЕЧЕСТВО ЧАСОВ

ПК-6

КОМПЕТЕНЦИИ

КОЛИ-

+ +

Σ ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО КОМПЕТЕНЦИЙ

2 2 3

торполукольца ТЕМА 7. Дистрибутивные решетки ТЕМА 8. Строение полукольца натуральных чисел ТЕМА 9. Первичные идеалы ТЕМА 10. Некоторые классы полуколец ТЕМА 11. Аддитивно идемпотентные полукольца, упорядоченные полукольца ТЕМА 12. Спектры полуколец ТЕМА 13. Понятие пучка полуколец ИТОГО

180

+ 4

2 4

3.3. Содержание тем учебной дисциплины «Теория полуколец» Тема 1. Основные свойства полуколец. Определение полукольца, примеры. Независимость аксиом. Основные свойства. Тема 2. Кольцо разностей полукольца, присоединение единицы. Конструкция кольца разностей полукольца, свойства. Расширение Дорроха. Тема 3. Полутело частных полукольца. Полуполе частных. Условие Оре, некоммутативный случай. Тема 4. Полутела. Примеры полутел, ядро полутела. Конгруэнции на полутелах. Тема 5. Идеалы. Типы идеалов, их роль в теории. Решетка идеалов. Тема 6. Конгруэнции, факторполукольца. Связь конгруэнций, гомоморфизмов, факторполуколец. Теорема о гомоморфизме. Тема 7. Дистрибутивные решетки. Критерии дистрибутивности решетки. Модулярность. Булевы решетки. Решетки малых порядков. Тема 8. Строение полукольца натуральных чисел. Идеалы и конгруэнции полукольца натуральных чисел. Описание строения идеалов. Константа Фробениуса. Тема 9. Первичные идеалы. Первичные и максимальные идеалы полукольца, их критерии. Понятия радикала полукольца. 8

Тема 10. Некоторые классы полуколец. Определение и свойства положительных, регулярных, строго гармонических, гельфандовых полуколец. Тема 11. Аддитивно идемпотентные полукольца, упорядоченные полукольца. Естественный порядок на аддитивно упорядоченных полукольцах. Тропические полукольца. Тема 12. Спектры полуколец. Пространства первичных и максимальных идеалов. Компактность спектров, аксиомы отделимости. Булева алгебра дополняемых идемпотентов и пирсовский спектр полукольца. Тема 13. Понятие пучка полуколец. Понятие пучка алгебр. Пучковые представления полуколец. Примеры. 3.4. Тематический план учебной дисциплины «Теория полуколец» а) аудиторные занятия: Разделы / темы учебной дисциплины

ТЕМА 1. Основные

свойства полуколец

ТЕМА 2. Кольцо раз-

ностей полукольца, присоединение единицы

Вид учебной работы

Часов

Технология обучения

лекция

Информационная лекция

Опрос

практическое 4 занятие

Решение задач под руководством преподавателя Самостоятельное решение задач в группе в группе Информационная лекция

Анализ решения задач

Самостоятельное решение задач в группе в группе Информационная лекция

Анализ решения задач

Самостоятельное решение задач в группе в группе Решение задач под руководством преподавателя Информационная лекция, Проблемная лекция Самостоятельное решение задач в группе в группе Информационная лекция

Анализ решения задач

лекция

практическое 2 занятие лекция

ТЕМА 3. Полутело

частных полукольца

ТЕМА 5. Идеалы

практическое 4 занятие

лекция ТЕМА 4. Полутела

практическое 2 занятие лекция

Форма текущего контроля

Опрос

Опрос Анализ решения задач Опрос

ТЕМА 6. Конгруэнции,

факторполукольца

практическое 2 занятие

Самостоятельное решение задач в группе в группе

Анализ решения задач

лекция

Информационная лекция

Опрос

практическое 4 занятие

Решение задач под руководством преподавателя Решение задач самостоятельной работы Информационная лекция Решение задач проверочной работы Самостоятельное решение задач в группе Проблемная лекция

Анализ решения задач Самостоятельная работа

Самостоятельное решение задач в группе в группе Проблемная лекция

Анализ решения задач

Самостоятельное решение задач в группе в группе Информационная лекция

Анализ решения задач

Решение задач под руководством преподавателя Самостоятельное решение задач в группе в группе Проблемная лекция

Анализ решения задач

Самостоятельное решение задач в группе в группе Информационная лекция

Анализ решения задач

Решение задач под руководством преподавателя Информационная лекция, Проблемная лекция Решение задач под руководством преподавателя Самостоятельное ре-

Анализ решения задач

лекция ТЕМА 7. Дистрибутив-

ные решетки

ТЕМА 8. Строение по-

лукольца натуральных чисел

практическое 4 занятие лекция

идеалы

классы полуколец

практическое 2 Занятие лекция

ТЕМА 10. Некоторые

практическое 4 занятие лекция

ТЕМА 9. Первичные

практическое 4 занятие

ТЕМА 11. Аддитивно

лекция

идемпотентные полукольца, упорядоченные полукольца

практическое 4 занятие лекция

ТЕМА 12. Спектры по-

луколец

пучка полуколец

практическое 2 занятие лекция

ТЕМА 13. Понятие

практическое 2 занятие

Опрос Анализ решения задач Опрос

Опрос

Опрос Анализ решения задач Самостоятельная работа

шение задач в группе в группе, Решение задач самостоятельной работы Итого

б) самостоятельная аудиторная работа Вид учебной раРазделы / темы боты (форма саучебной дисциплины мостоятельной Результат работы) Проработка кон- Знать: области применения основных алгебспекта лекции; раических идей и методов, ТЕМА 1. Основные самостоятельное ведущие понятия и идеи алгебры. Уметь: применять основные алгебраические свойства полуко- решение задач идеи и методы, лец доступно формулировать промежуточные и конечные цели и результаты. Проработка кон- Знать: способы и источники получения нужной спекта лекции; информации, самостоятельное ведущие понятия и идеи алгебры, решение задач содержание дисциплина «Теория полуколец». ТЕМА 2. Кольцо Уметь: правильно организовать самостоятельразностей полуную научно-исследовательскую работу, кольца, присоустановить взаимосвязи как между алгебраичеединение единискими понятиями и идеями, так и междисцицы плинарные связи алгебры с другими разделами профильных знаний, правильно организовать самостоятельную научно-исследовательскую работу. Проработка кон- Знать: возможности применения освоенных спекта лекции; знаний в профессиональной деятельности, самостоятельное формы представления конечного результата. ТЕМА 3. Полутело решение задач Уметь: применить знания из области фундаментальной математики при решении профессичастных полуональных задач, кольца публично представить известные и собственные новые научные результаты в области алгебры и дискретной математики. Проработка кон- Знать: физические аспекты классических маспекта лекции; тематических задач, самостоятельное содержание дисциплина «Теория полуколец». решение задач Уметь: анализировать физические аспекты в классических постановках математических заТЕМА 4. Полутела дач, установить взаимосвязи как между алгебраическими понятиями и идеями, так и междисциплинарные связи алгебры с другими разделами профильных знаний. Проработка кон- Знать: возможности применения освоенных спекта лекции; знаний в профессиональной деятельности, ТЕМА 5. Идеалы самостоятельное формы представления конечного результата 11

решение задач

Проработка конспекта лекции; самостоятельное решение задач ТЕМА 6. Конгруэн-

ции, факторполукольца

ТЕМА 7. Дистрибу-

тивные решетки

ТЕМА 8. Строение

полукольца натуральных чисел

ТЕМА 9. Первич-

Проработка конспекта лекции; самостоятельное решение задач

ные идеалы

ТЕМА 10. Некото-

Проработка конспекта лекции; самостоятельное решение задач

рые классы полуколец

ТЕМА 11. Аддитив-

Проработка кон-

Уметь: применить знания из области фундаментальной математики при решении профессиональных задач, публично представить известные и собственные новые научные результаты в области алгебры и дискретной математики. Знать: способы и источники получения нужной информации, ведущие понятия и идеи алгебры, содержание дисциплина «Теория полуколец». Уметь: правильно организовать самостоятельную научно-исследовательскую работу, установить взаимосвязи как между алгебраическими понятиями и идеями, так и междисциплинарные связи алгебры с другими разделами профильных знаний, правильно организовать самостоятельную научно-исследовательскую работу. Знать: области применения основных алгебраических идей и методов, ведущие понятия и идеи алгебры. Уметь: применять основные алгебраические идеи и методы, доступно формулировать промежуточные и конечные цели и результаты. Знать: способы и источники получения нужной информации, содержание дисциплина «Теория полуколец».. Уметь: правильно организовать самостоятельную научно-исследовательскую работу, правильно организовать самостоятельную научно-исследовательскую работу. Знать: возможности применения освоенных знаний в профессиональной деятельности, формы представления конечного результата. Уметь: применить знания из области фундаментальной математики при решении профессиональных задач, публично представить известные и собственные новые научные результаты в области алгебры и дискретной математики. Знать: физические аспекты классических математических задач, содержание дисциплина «Теория полуколец». Уметь: анализировать физические аспекты в классических постановках математических задач, установить взаимосвязи как между алгебраическими понятиями и идеями, так и междисциплинарные связи алгебры с другими разделами профильных знаний. Знать: возможности применения освоенных 12

но идемпотентные полукольца, упорядоченные полукольца

спекта лекции; самостоятельное решение задач

Проработка конспекта лекции; самостоятельное решение задач ТЕМА 12. Спектры

полуколец

ТЕМА 13. Понятие

пучка полуколец

Проработка конспекта лекции; самостоятельное решение задач

знаний в профессиональной деятельности, формы представления конечного результата. Уметь: применить знания из области фундаментальной математики при решении профессиональных задач, публично представить известные и собственные новые научные результаты в области алгебры и дискретной математики. Знать: способы и источники получения нужной информации, ведущие понятия и идеи алгебры, содержание дисциплина «Теория полуколец». Уметь: правильно организовать самостоятельную научно-исследовательскую работу, установить взаимосвязи как между алгебраическими понятиями и идеями, так и междисциплинарные связи алгебры с другими разделами профильных знаний, правильно организовать самостоятельную научно-исследовательскую работу. Знать: области применения основных алгебраических идей и методов, ведущие понятия и идеи алгебры. Уметь: применять основные алгебраические идеи и методы, доступно формулировать промежуточные и конечные цели и результаты.

в) занятия в интерактивных формах № п/п

Общий объем Разделы / темы учебной дисциплины (по РУП) в часах 2 ТЕМА 1. Основные свойства полуколец ТЕМА 2. Кольцо разностей полукольца, присоединение единицы 2 2 ТЕМА 3. Полутело частных полукольца 2 ТЕМА 4. Полутела 2 ТЕМА 5. Идеалы 2 ТЕМА 7. Дистрибутивные решетки 2 ТЕМА 8. Строение полукольца натуральных чисел 2 ТЕМА 9. Первичные идеалы 2 ТЕМА 10. Некоторые классы полуколец ТЕМА 11. Аддитивно идемпотентные полукольца, упорядочен-

ные полукольца ТЕМА 13. Понятие пучка полуколец итого г) самостоятельная внеаудиторная работа

2 2 22

Разделы / темы учебной дисциплины

ТЕМА 1. Основные

свойства полуколец

Вид учебной работы Ча(форма самостоясов тельной работы) Работа с первоисточниками и конспектами лекций, Решение задач домашнего задания, Подготовка к проверочной работе

Работа с первоисточниками и конспектами лекций, Решение задач домашнего задания, Подготовка к контрольной работе

Работа с первоисточниками и конспектами лекций, Решение задач домашнего задания, Подготовка к проверочной работе, Подготовка к контрольной работе

ТЕМА 2. Кольцо разно-

стей полукольца, присоединение единицы

ТЕМА 3. Полутело

частных полукольца

Результат Знать: области применения основных алгебраических идей и методов, ведущие понятия и идеи алгебры. Уметь: применять основные алгебраические идеи и методы, доступно формулировать промежуточные и конечные цели и результаты. Владеть: навыками работы в междисциплинарной команде, навыками руководства научной работы коллективов. Знать: способы и источники получения нужной информации, ведущие понятия и идеи алгебры, содержание дисциплина «Теория полуколец». Уметь: правильно организовать самостоятельную научноисследовательскую работу, установить взаимосвязи как между алгебраическими понятиями и идеями, так и междисциплинарные связи алгебры с другими разделами профильных знаний, правильно организовать самостоятельную научноисследовательскую работу. Владеть: навыками самостоятельной научно-исследовательской работы и научно-изыскательской работы, а также деятельности в составе группы, методами сбора, обработки и интерпретации данных, методами выбора путей достижения поставленной цели. Знать: возможности применения освоенных знаний в профессиональной деятельности, формы представления конечного результата. Уметь: применить знания из области фундаментальной математики при решении профессиональных задач, публично представить известные

ТЕМА 4. Полутела

Работа с первоисточниками и конспектами лекций, Решение задач домашнего задания, Подготовка к проверочной работе

Работа с первоисточниками и конспектами лекций, Решение задач домашнего задания, , Подготовка к контрольной работе

ТЕМА 5. Идеалы

ТЕМА 6. Конгруэнции,

факторполукольца

и собственные новые научные результаты в области алгебры и дискретной математики. Владеть: методами совершенствования, навыками публичного представления. Знать: физические аспекты классических математических задач, содержание дисциплина «Теория полуколец». Уметь: анализировать физические аспекты в классических постановках математических задач, установить взаимосвязи как между алгебраическими понятиями и идеями, так и междисциплинарные связи алгебры с другими разделами профильных знаний. Владеть: методами анализа, методами сбора, обработки и интерпретации данных. Знать: возможности применения освоенных знаний в профессиональной деятельности, формы представления конечного результата Уметь: применить знания из области фундаментальной математики при решении профессиональных задач, публично представить известные и собственные новые научные результаты в области алгебры и дискретной математики. Владеть: методами совершенствования, навыками публичного представления. Знать: способы и источники получения нужной информации, ведущие понятия и идеи алгебры, содержание дисциплина «Теория полуколец». Уметь: правильно организовать самостоятельную научноисследовательскую работу, установить взаимосвязи как между алгебраическими понятиями и идеями, так и междисциплинарные связи алгебры с другими разделами профильных знаний,

ТЕМА 7. Дистрибутив-

ные решетки

Работа с первоисточниками и конспектами лекций, Решение задач домашнего задания, , Подготовка к проверочной работе

ТЕМА 8. Строение по-

лукольца натуральных чисел

ТЕМА 9. Первичные

идеалы

правильно организовать самостоятельную научноисследовательскую работу. Владеть: навыками самостоятельной научно-исследовательской работы и научно-изыскательской работы, а также деятельности в составе группы, методами сбора, обработки и интерпретации данных, методами выбора путей достижения поставленной цели. Знать: области применения основных алгебраических идей и методов, ведущие понятия и идеи алгебры. Уметь: применять основные алгебраические идеи и методы, доступно формулировать промежуточные и конечные цели и результаты. Владеть: навыками работы в междисциплинарной команде, навыками руководства научной работы коллективов. Знать: способы и источники получения нужной информации, содержание дисциплина «Теория полуколец».. Уметь: правильно организовать самостоятельную научноисследовательскую работу, правильно организовать самостоятельную научноисследовательскую работу. Владеть: навыками самостоятельной научно-исследовательской работы и научно-изыскательской работы, а также деятельности в составе группы, методами сбора, обработки и интерпретации данных, методами выбора путей достижения поставленной цели. Знать: возможности применения освоенных знаний в профессиональной деятельности, формы представления конечного результата. Уметь: применить знания из области фундаментальной математики при решении профессиональных

классы полуколец

Работа с первоисточниками и конспектами лекций, Решение задач домашнего задания, Подготовка к контрольной работе, Подготовка к проверочной работе

ТЕМА 11. Аддитивно

ТЕМА 10. Некоторые

идемпотентные полукольца, упорядоченные полукольца

ТЕМА 12. Спектры по-

луколец

задач, публично представить известные и собственные новые научные результаты в области алгебры и дискретной математики. Владеть: методами совершенствования, навыками публичного представления. Знать: физические аспекты классических математических задач, содержание дисциплина «Теория полуколец». Уметь: анализировать физические аспекты в классических постановках математических задач, установить взаимосвязи как между алгебраическими понятиями и идеями, так и междисциплинарные связи алгебры с другими разделами профильных знаний. Владеть: методами анализа, методами сбора, обработки и интерпретации данных. Знать: возможности применения освоенных знаний в профессиональной деятельности, формы представления конечного результата. Уметь: применить знания из области фундаментальной математики при решении профессиональных задач, публично представить известные и собственные новые научные результаты в области алгебры и дискретной математики. Владеть: методами совершенствования, навыками публичного представления. Знать: способы и источники получения нужной информации, ведущие понятия и идеи алгебры, содержание дисциплина «Теория полуколец». Уметь: правильно организовать самостоятельную научноисследовательскую работу, установить взаимосвязи как между алгебраическими понятиями и идеями, так и междисциплинарные

ТЕМА 13. Понятие пуч-

ка полуколец

Итого

связи алгебры с другими разделами профильных знаний, правильно организовать самостоятельную научноисследовательскую работу. Владеть: навыками самостоятельной научно-исследовательской работы и научно-изыскательской работы, а также деятельности в составе группы, методами сбора, обработки и интерпретации данных, методами выбора путей достижения поставленной цели. Знать: области применения основных алгебраических идей и методов, ведущие понятия и идеи алгебры. Уметь: применять основные алгебраические идеи и методы, доступно формулировать промежуточные и конечные цели и результаты. Владеть: навыками работы в междисциплинарной команде, навыками руководства научной работы коллективов.

114

4. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 3.1. Методические рекомендации для преподавателя Данная учебная дисциплина предполагает экзамен. Изложение ведется на фундаменте изученных математических дисциплин. Изучаются такие алгебраические объекты и понятия как полукольца, кольца, решетки, булевы алгебры, идеалы, конгруэнции. Рассматриваются взаимосвязи типа «алгебра–топология» и «упорядоченные системы-алгебра». Важная роль в овладении материалом курса отводится теоретическим упражнениям и задачам как учебного, так и исследовательского характера. Материал может быть использован в научно-исследовательской работе магистрантов, при выполнении ВКР (магистерской диссертации) по соответствующей теме. 3.2. Методические указания для студентов Учебный план по направлению подготовки 010200.68 Математика и компьютерные науки, профиль «Алгебра и дискретная математика», предусматривает проведение в блоке дисциплин предметной подготовки курса по функциональной алгебре. Самостоятельная работа студентов предполагает 18

изучение рекомендуемой учебной и научной литературы, выполнение индивидуальных заданий, подготовку к экзамену. Ниже приводятся планы лекций, тематика задач для практических занятий. Тема 1. Основные свойства полуколец Лекция 1 План лекции: 1. Определение полукольца, примеры. 2. Независимость аксиом. 3. Основные свойства. Практическое занятие 1 Задания: 1. Доказать независимость аксиом полукольца. Практическое занятие 2 1. Решение задач [3] Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины № Вид самостоятельной работы п/п 1 Общая

Индивидуальная

Групповая

Форма самостоятельной работы Проработка конспекта лекции. Решение задач под руководством преподавателя Индивидуальное решение задач Решение задач в группе Разбор решенных задач

Форма отчетности Конспект лекции; Практические работы (текст) Текст Отчет Доклад

Краткое пояснение указанных интерактивных форм самостоятельной работы: - Самостоятельное решение задач в группе. Работа организуется путем разбиения студентов на малые подгруппы. Каждой подгруппе выдается серия задач. Преподаватель выполняет роль консультанта. Результат работы группы предъявляется в виде отчета. - Разбор решенных задач Работа организуется путем разбиения студентов на малые подгруппы. Каждой подгруппе выдается серия задач (задачи общие для всех групп). Цель группы найти как можно больше различных решений каждой задачи. Преподаватель выполняет роль консультанта. Результат работы группы предъявляется в виде доклада представителя группы в последней трети практического занятия. Задача для доклада выбирается представителем группы самостоятельно. Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/ п 1

Вид самостоятельной работы Общая к лекции

Форма самостоятельной работы

Срок сдачи

Форма отчетности

Работа с конспектами

Очередная

опрос

Общая к практике

Индивидуальная к практике

лекций и первоисточниками Поиск и систематизация информации по теме Решение задач данной тематики по образцу Подготовка докладов, создание презентации по теме

лекция

Очередное практическое занятие Очередное практическое занятие

Решения (текст) Презентация

Поскольку самостоятельная аудиторная и внеаудиторная работа по всем темам одинакова, то далее таблицы повторять не будем. Тема 2. Кольцо разностей полукольца, присоединение единицы Лекция 2 План лекции: 1. Конструкция кольца разностей полукольца, свойства. 2. Расширение Дорроха. Практическое занятие 3 1. Построить кольца разностей для полукольца натуральных чисел, полукольца многочленов, двухэлементной цепи. Тема 3. Полутело частных полукольца Лекция 3 План лекции: 1. Полуполе частных. 2. Условие Оре, некоммутативный случай. Практическое занятие 4 Задания: 1. Построение полуполя неотрицательных рациональных чисел. 2. Разобрать конструкцию коммутативного локализации полукольца. Практическое занятие 5 Задания: 1. Построить множества Оре для конкретных полуколец. 2. Классическое полукольцо частных для регулярных полуколец. Разбор конструкции. Тема 4. Полутела Лекция 4 План лекции: 1. Примеры полутел 2. Ядро полутела. 3. Конгруэнции на полутелах. Практическое занятие 6 Задания: 20

1. Доказать коммутативность конечных полутел. 2. Разобрать примеры ядер числовых полутел (полуполей) 3. Решение задач Решение задач [3]. Тема 5. Идеалы Лекция 5 План лекции: 1. Типы идеалов, их роль в теории. 2. Решетка идеалов. Практическое занятие 7 Задания: 1. Описать идеалы конечной дистрибутивно решетки. 2. Операции над идеалами. Разобрать свойства операций. 3. Строгие и полустрогие идеалы. 4. Решение задач [3]. Тема 6. Конгруэнции, факторполукольца Лекция 6 План лекции: 1. Определение конгруэнции. 2. Связь конгруэнций, гомоморфизмов, факторполуколец. 3. Теорема о гомоморфизме. Практическое занятие 8 Задания: 1. Построить конгруэнции на конкретных полукольцах. 2. Доказать, что решетка конгруэнций конечной цепи булева. 3. Решение задач [3]. Практическое занятие 9 Задания: 1. Разобрать конструкцию точных граней пары конгруэнций. 2. Решение задач [2],[3]. Тема 7. Дистрибутивные решетки Лекция 7 План лекции: 1. Критерии дистрибутивности решетки. Модулярность. 2. Булевы решетки. 3. Решетки малых порядков. Практическое занятие 10 Задания: 1. Решетка множеств, булеан множества. 2. Разобрать доказательство дистрибутивности при отсутствии пентагонов и диамантов. Практическое занятие 11 Задания: 1. Решение задач [3], из дополнительной литературы [2]. 21

Тема 8. Строение полукольца натуральных чисел Лекция 8 План лекции: 1. Идеалы и конгруэнции полукольца натуральных чисел. 2. Описание строения идеалов. Константа Фробениуса. Практическое занятие 12 Задания: 1. Доказать конечно порожденность идеала полукольца N. 2. Найти все строгие и полустрогие идеалы в N. Практическое занятие 13 Задания: 1. Найти константу Фробениуса для двух порожденного идеала. 2. Найти константу Фробениуса для идеала, порожденного тремя членами арифметической прогрессии. Тема 9. Первичные идеалы Лекция 9 План лекции: 1. Первичные и максимальные идеалы полукольца, их критерии. 2. Понятия радикала полукольца. Практическое занятие 14 Задания: 1. Доказать существование первичных и максимальных идеалов с помощью леммы Цорна и m-системы. 2. Описать простые и максимальные идеалы полукольца натуральных чисел. 3. Описать первичный радикал полукольца в терминах строго нильпотентных элементов. Тема 10. Некоторые классы полуколец Лекция 10 План лекции: 1. Положительные полукольца. 2. Регулярные полукольца. 3. Строго гармонические и гельфандовы полукольца. Практическое занятие 15 Задания: 1. Доказать критерий положительности полукольца. 2. Разобрать строение булева кольца дополняемых идемпотентов полукольца. Применить результаты к регулярным полукольцам. 3. Решение задач [3]. Практическое занятие 16 22

Задания: 1. Доказать, что каждый элемент, не лежащий в правом максимальном идеале локального r-полукольца, обратим. 2. Решение задач [3]. Тема 11. Аддитивно идемпотентные полукольца, упорядоченные полукольца Лекция 11 План лекции: 1. Определение аддитивно идемпотентных полуколец, примеры. 2. Естественный порядок на аддитивно упорядоченных полукольцах. 3. Тропические полукольца. Практическое занятие 17 Задания: 1. Доказать единственность естественного (положительного) порядка на аддитивно идемпотентном полукольце. 2. Доказать основные свойства упорядоченных полуколец. Практическое занятие 18 Задания: 1. Разобрать случаи взаимного расположения тропических прямых. 2. Решение задач [3]. Тема 12. Спектры полуколец Лекция 12 План лекции: 1. Пространства первичных и максимальных идеалов. 2. Компактность спектров, аксиомы отделимости. 3. Булева алгебра дополняемых идемпотентов и пирсовский спектр полукольца. Практическое занятие 19 Задания: 1. Построить спектры конкретных полуколец (регулярных, гельфандовых, полукольца натуральных чисел) 2. Решение задач [3]. Тема 13. Понятие пучка полуколец Лекция 13 План лекции: 1. Понятие пучка алгебр. 2. Пучковые представления полуколец. Примеры. Практическое занятие 20 Задания: 1. Построить пучки Ламбека и Пирса для конечной решетки.

Примерное содержание заданий для самостоятельных работ 1. Докажите независимость аксиом полукольца. 2. Постройте числовые полукольца, рассматривая в качестве бинарных операций различные комбинации операций сложения, умножения, максимум, минимум, НОД, НОК. 3. Перечислите (точностью до изоморфизма) все трех и четырехэлементные полукольца. 4. Докажите, что конечное полутело является либо телом, либо двухэлементной цепью. 5. Приведите пример некоммутативного полутела. 6. Найдите все идеалы и конгруэнции конечной цепи. 7. Докажите, что максимальный идеал, непересекающийся с мультипликативно замкнутой системой, первичен. Любой максимальный идеал полукольца первичен. 8. Докажите, что любой идеал полукольца N натуральных чисел конечно порожден. Опишите простые, максимальные, строгие, полустрогие идеалы из N; конгруэнции на N. 9. Докажите, что полное матричное полукольцо над произвольным полутелом является простым. 10. Докажите, что полукольцо матриц над R+ имеет нетривиальные конгруэнции. 11. Убедитесь, что в любой решетке выполняется тождество (ab+ac)(ab+bc) = ab. 12. Покажите, что первичный радикал симметрического полукольца совпадает с множеством всех нильпотентных элементов полукольца. 13. Покажите, что полукольцо положительно тогда и только тогда, когда любой максимальный идеал полукольца является строгим. 14. Постройте кольцо разностей аддитивно сократимого полукольца. 15. Докажите, что аддитивно идемпотентное полукольцо является антикольцом. 16. Найдите все идеалы и конгруэнции восьмиэлементной булевой решетки. Постройте решетки идеалов и конгруэнций этой решетки. 17. Постройте пучки Ламбека и Пирса для восьмиэлементной булевой решетки. Убедитесь, что в обоих случаях получаются изоморфные пучковые представления. 18. Докажите, что носитель любого сечения пучка является замкнутым множеством.

3.3. Перечень основной и дополнительной литературы Основная литература 1. Вечтомов, Евгений Михайлович . Элементы теории полуколец [Текст] / Е. М. Вечтомов, Е. Н. Лубягина, В. В. Чермных. - Киров : РадугаПРЕСС, 2012. - 228 с. Дополнительная литература 2. Чермных В.В. Функциональные представления полуколец // Фундаментальная и прикладная математика. 2011. Т. 17. 3. Вечтомов Е.М., Сидоров В.В, Чупраков Д.В. Полукольца непрерывных функций - Киров: Изд-во ВятГГУ, - 2011 — 330 с. 4. Вечтомов, Е. М. Введение в полукольца [Текст] / Е. М. Вечтомов. – Киров: Изд-во ВятГПУ, 2000. 5. Вечтомов, Е. М. Теория решеток [Текст] / Е. М. Вечтомов. – Киров: Изд-во КГПИ, 1995. 6. Вечтомов, Е. М. Абелево-регулярные положительные полукольца [Текст] // Е. М. Вечтомов, А. В. Михалев, В. В. Чермных / Труды семинара им. И.Г.Петровского. – 2000. – Т. 20. – С.282-309. 7. Гретцер, Г. Общая теория решеток [Текст] / Г. Гретцер. – М.: Мир, 1982. 8. Кон, П. Универсальная алгебра [Текст] / П. Кон. – М.: Мир, 1968. 9. Чермных, В. В. Полукольца [Текст]/ В. В. Чермных. – Киров: Изд-во ВГПУ, 1997. 10.Golan, J. S. The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science [Text] / J.S. Golan. – Pitman monographs and surveys in pure and applied mathematics. V. 54. – 1992. 11.Artamonova, I. I. Semirings: sheaves and continuous functions [Text]// I. I. Artamonova, V. V. Chermnykh, A. V. Mikhalev, V. I. Varankina, E. M. Vechtomov / Semigroups with applications, including semigroup rings. – Sankt-Peterburg, 1999. – P. 23-58. 12. Вечтомов, Е. М. Полукольца непрерывных отображений [Текст] // Е.М. Вечтомов / Вестник ВятГГУ. – 2004. № 10. – С. 57-64. 13. Чермных, В. В. Полукольца сечений пучков [Текст] // В.В. Чермных / Вестник ВятГГУ. – 2005. № 13. – С. 151-158. 14. Наймарк, М. А. Нормированные кольца [Текст]/ М. А. Наймарк. – М.: Наука, 1968. 15. Рудин, У. Функциональный анализ [Текст]/. У. Рудин. – М.: Мир, 1975. 16. Abian, A. Boolean rings [Текст]/ A. Abian. – Boston: Branded Press, 1976. 25

17. Vechtomov, E. M. Rings of continuous functions with values in a topological division ring [Текст]// E. M. Vechtomov/ – J. Math. Sciences (USA). 1996. V. 78, № 6. P. 702-753. 6. СИСТЕМА ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ОСВОЕНИЯ СТУДЕНТАМИ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «Теория полуколец» И ФОРМЫ ТЕКУЩЕГО, ПРОМЕЖУТОЧНОГО И ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ 6.1. Шкала баллов по учебной дисциплине В соответствии с Положением о балльно-рейтинговой системе оценки знаний студентов ВятГГУ по учебной дисциплине предусмотрены следующие виды контроля качества знаний студентов: - текущий аттестация; - межсессионная аттестация; - промежуточная аттестация. Шкала баллов по учебной дисциплине № п/п

Показатели

Норма баллов

Виды текущей аттестации до рубежной аттестации 1. 2.

Посещение занятий Домашнее задание

10 15

Самостоятельная работа

1. 2.

Виды текущей аттестации после рубежной аттестации Посещение занятий 10 Домашнее задание 15

Самостоятельная работа

Виды работ и заданий на экзамене 1. 2.

Теория Оценка индивидуальных домашних заданий Всего баллов за экзамен

10 10 20

6.2. Фонды оценочных средств для проведения текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации Сводные данные по оценке компетенций № п/ п 1

Результат (освоенные компетенции) способность работать в междисциплинарной команде (ОК-1);

Формы Виды Основные показатели и метоконоценки результата ды контроля троля Знать: области при- в, т, Экзаменения основных ал- п, р мен, гебраических идей и опрос методов. 26

Номер раздела / темы (для текущего контроля) Темы 1, 4, 7, 13

значительные навыки самостоятельной научноисследовательской работы и научно-изыскательской работы, а также деятельности в составе группы (ОК6)

способность к постоянному совершенствованию и углублению своих знаний, инициативность и стремление к лидерству (ОК-7)

умение публично представить собственные новые научные результаты (ПК-5)

самостоятельное построение целостной картины дисциплины (ПК-6)

Уметь: применять основные алгебраические идеи и методы. Владеть: навыками работы в междисциплинарной команде Знать: способы и источники получения нужной информации. Уметь: правильно организовать самостоятельную научноисследовательскую работу. Владеть: навыками самостоятельной научноисследовательской работы и научноизыскательской работы, а также деятельности в составе группы Знать: возможности применения освоенных знаний в профессиональной деятельности. Уметь: применить знания из области фундаментальной математики при решении профессиональных задач. Владеть: методами совершенствования Знать: формы представления конечного результата. Уметь: публично представить собственные новые научные результаты. Владеть: навыками публичного представления Знать: ведущие понятия и идеи алгебры. Уметь: установить взаимосвязи как между алгебраическими понятиями и идеями, так и междисциплинарные связи алгебры с другими разделами профиль27

т, п, р

Экзамен, опрос

Темы 2, 6, 8, 12

т, п, р

Экзамен, опрос

Темы 3, 5, 9, 11

т, п, р

Экзамен, опрос

Темы 3, 5, 9, 11

т, п, р

Экзамен, опрос

Темы 2, 6, 8, 12

ных знаний. Владеть: методами сбора, обработки и интерпретации данных 7 способность к творческому Знать: ведущие поня- т, п, р Экзаразвитию знаний в области тия и идеи алгебры. мен, алгебры, дискретной мате- Уметь: доступно форопрос матики и компьютерных мулировать промежунаук (ПК-17) точные и конечные цели и результаты. Владеть: навыками руководства научной работы коллективов 8 способность к интенсивной Знать: содержание т, п, р Экзанаучно-исследовательской дисциплина «Теория мен, деятельности с применени- полуколец». опрос ем знаний по выбранному Уметь: правильно орпрофилю (ПК-18) ганизовать самостоятельную научноисследовательскую работу. Владеть: методами выбора путей достижения поставленной цели 10 видение прикладного ас- Знать: содержание т, п, р Экзапекта знаний из области дисциплина «Теория мен, алгебры и дискретной ма- полуколец». опрос тематики (ПК-21) Уметь: установить взаимосвязи как между алгебраическими понятиями и идеями, так и междисциплинарные связи алгебры с другими разделами профильных знаний. Владеть: методами сбора, обработки и интерпретации данных * в – входной контроль; т – текущий контроль; р – рубежный контроль; п точная аттестация; и – итоговая аттестация.

Темы 1, 7, 10, 13

Темы 2, 6, 8, 12

Темы 4, 10, 11

– промежу-

4.1. Основные требования к уровню освоения студентами содержания курса «Теория полуколец» По завершении курса студент должен: Знать:  основополагающие понятия и факты теории полуколец. Уметь:  распознавать алгебраические объекты и применять их свойства;  ориентироваться в главных направлениях современной математики; 28

 пользоваться основным методами теории полуколец. Владеть:  исходными понятиями теории полуколец, колец и дистрибутивных решеток. 4.2. Формы текущего промежуточного и итогового контроля Промежуточный контроль проводится в форме экзамена. V. МАТЕРИАЛЫ, УСТАНАВЛИВАЮЩИЕ СОДЕРЖАНИЕ И ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ И ИТОГОВЫХ АТТЕСТАЦИЙ по курсу «Теория полуколец» Промежуточная аттестация проходит в форме экзамена, который проводится в соответствии с «Положением об организации текущего и промежуточного контроля успеваемости и промежуточной аттестации студентов», введенным в действие приказом ректора ВятГГУ от 08.05.2003 № 119. Примерный перечень вопросов к экзамену 1. Что такое полукольцо? 2. Основные примеры полуколец. 3. Независимость аксиом определения полукольца. 4. Идеалы в теории полуколец. 5. Различные виды идеалов. 6. Присоединение единицы. 7. Упорядоченное множество. Решетка. 8. Дистрибутивные решетки. 9. Конгруэнции на полукольце, факторизация. 10.Гомоморфизмы, теорема о гомоморфизмах. 11.Теоремы об изоморфизмах 12.Построение полуколец из имеющихся. 13.Полукольцо разностей. 14.Полукольца и полуполя частных. 15.Радикалы полуколец. 16.Расширения полуколец. 17.Идемпотентные полукольца. 18.Полутела. 19.Решеточно упорядоченные группы. 20.Симметрические полукольца. 21.Положительные полукольца. 22.Дополняемые идемпотенты. 23.Регулярные полукольца. 24.Полукольца и полуполя непрерывных функций. 25.Определение пучка полуколец. 29