16 дополнительные главы математического анализа by VyatGGU

Учебно-методический комплекс составлен в соответствии с ФГОС ВПО по направлению подготовки: 010200.68 Математика и компьютерные науки, профиль подготовки «Алгебра и дискретная математика», утвержденным Приказом Министерства образования и науки Российской Федерации 21.12.2009 г., регистрационный № 760

Учебно-методический комплекс разработан С. И. Калининым, доктором пед. наук, профессором, зав. кафедрой математического анализа и методики обучения математике ВятГГУ Рецензент – Е. М. Вечтомов, доктор физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой алгебры и дискретной математики ВятГГУ

Учебно-методический комплекс утвержден на заседании кафедры математического анализа и методики обучения математике ВятГГУ 06 сентября 2012 г., протокол № 2

Рабочая программа учебной дисциплины «Дополнительные главы математического анализа» 1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 1.1. Цели и задачи освоения учебной дисциплины «Дополнительные главы математического анализа» Цель дисциплины – формирование представлений о выпуклых и логарифмически выпуклых функциях, о среднем степенном и взвешенном среднем степенном, их применениях в вопросе обоснования неравенств. Задачи дисциплины: - дать знание определений выпуклых и логарифмически выпуклых функций, среднего степенного и взвешенного среднего степенного, их важнейших свойств; - научить работать с выпуклыми и вогнутыми; логарифмически выпуклыми и логарифмически вогнутыми функциями, средними величинами степенного типа; - ознакомить со связью между классическими неравенствами и выпуклыми, логарифмически выпуклыми функциями, средними степенными величинами; - привить навыки современного аналитического мышления; - познакомить с главными направлениями развития тематики неравенств и выпуклых функций. Дисциплина ориентирует на учебно-воспитательный, научнометодический и научно-исследовательский виды профессиональной деятельности, ее изучение способствует решению следующих типовых задач профессиональной деятельности: в области учебно-воспитательной деятельности: - осуществление процесса обучения в соответствии с образовательной программой; - планирование и проведение учебных занятий с учетом специфики тем и разделов программы и в соответствии с учебным планом; - использование современных научно обоснованных приемов, методов и средств обучения; - использование технических средств обучения, информационных и компьютерных технологий; - применение современных средств оценивания результатов обучения; - формирование и воспитание обучаемых в духе нравственных ценностей и патриотических убеждений на основе индивидуального подхода; в области научно-методической деятельности: - выполнение научно-методической работы, участие в работе научно-методических объединений; 3

- анализ собственной деятельности с целью ее совершенствования и повышения своей квалификации; в области научно-исследовательской деятельности: - выполнение научно-исследовательской работы, участие в работе научных семинаров и конференций; - анализ собственной деятельности с целью ее совершенствования и повышения своей квалификации. Изучение теории выпуклых функций, средних величин и неравенств формирует у магистрантов как общую, так и специальную математическую культуру, развивает их абстрактное логическое мышление, способствует формированию научного мировоззрения. 1.2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО Дисциплина «Дополнительные главы математического анализа» является авторским курсом и преподается магистрантам-математикам очной формы обучения во 2-м семестре. Вместе с курсами «Современная алгебра», «Алгебраические методы» в информатике и курсами по выбору данная дисциплина составляет профессиональный цикл учебного плана. Курс «Дополнительные главы математического анализа» опирается на такую базовую дисциплину бакалавриата (специалитета), как «Математический анализ», он взаимодействует с другими дисциплинами магистратуры. В своей теоретической части курс носит универсальный характер, он может способствовать успешной организации научно-исследовательской работы магистрантов. Требования к знаниям, умениям, навыкам студента, необходимым для изучения дисциплины «Дополнительные главы математического анализа» (на основе программы бакалавриата) Знать:  определение и свойства выпуклых и логарифмически выпуклых функций, среднего степенного и взвешенного среднего степенного; Уметь:  применять свойства указанных объектов к решению задач;  проводить теоретические доказательства и строить примеры. Владеть:  основными методами решения задач, связанных с исследованиями функций, уравнений и неравенств. В результате освоения дисциплины «Дополнительные главы математического анализа» обучающийся должен демонстрировать следующие результаты образования: Знать:  основные понятия, результаты и методы теории выпуклых и логарифмически выпуклых функций;  глобальные свойства среднего степенного;  главные направления и тенденции развития тематики неравенств.

Уметь:  работать с понятиями выпуклых-вогнутых функций, логарифмически выпуклых-вогнутых функций;  доказывать свойства средних величин степенного типа;  строить иллюстрационные примеры для средних величин;  решать стандартные задачи по тематике выпуклых функций и неравенств;  применять свойства средних величин и имеющиеся по данной тематике результаты при решении исследовательских задач. Владеть:  понятиями, фактами и методами теории выпуклых функций и средних величин. 1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины «Дополнительные главы математического анализа» Выпускник по направлению подготовки Математика и компьютерные науки с квалификацией (степенью) «магистр» должен обладать следующими компетенциями: 1. ОК-5 способность порождать новые идеи и применять в научноисследовательской и профессиональной деятельности базовые знания в области фундаментальной и прикладной математики и естественных наук 1) знать: основные методы познания – обобщение, анализ, синтез; 2) уметь: применять в научно-исследовательской и профессиональной деятельности базовые знания фундаментальной математики; 3) владеть: культурой мышления. 2. ОК-6 значительные навыки самостоятельной научно-исследовательской работы и научно-изыскательской работы, а также деятельности в составе группы 1) знать: принципы самостоятельной научно-исследовательской работы и научно-изыскательской работы, а также деятельности в составе группы; 2) владеть: навыки самостоятельной научно-исследовательской работы и научно-изыскательской работы, а также деятельности в составе группы. 3. ОК-10 умение быстро находить анализировать и грамотно контекстно обрабатывать научно-техническую, естественнонаучную и общенаучную информацию, приводя ее к проблемно-задачной форме 1) уметь: быстро находить анализировать и грамотно обрабатывать информацию, приводя ее к проблемно-задачной форме; 2) владеть: культурой мышления. 4. Самостоятельный анализ физических аспектов в классических постановках математических задач (ПК-4); 1) знать: физические аспекты в классических постановках математических задач; 2) уметь: применять математические знания к решению прикладных задач

3) владеть: методами перевода прикладных задач на математический язык. 5. ПК-8 собственное видение прикладного аспекта в строгих математических формулировках 1) знать: базовые понятия, свойства и теоремы математического анализа; 2) уметь: применять базовые понятия, свойства и теоремы математического анализа в прикладных задачах. 6. Способность к управлению и руководству научной работой коллективов (ПК-13). 1) знать: принципы организации научного исследования, способы достижения и построения научного знания 2) уметь: на практике применять методы организации научного исследования, способы достижения и построения научного знания 3) владеть: навыками успешного коммуникативного поведения в группе. 7. ПК-18 способность к интенсивной научно-исследовательской деятельности с применением знаний по выбранному профилю 1) владеть: приемами интенсивной научно-исследовательской деятельности. КРАТКИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ Данный курс имеет определенное научное, методологическое, методическое и развивающее значение для формирования фундаментальных знаний и компетенций специалиста, работа которого так или иначе будет связана с математикой и информатикой. Направленность и содержание предлагаемого курса сочетают в себе непрерывную и дискретную линии в математике. В нем органически переплетаются такие основные типы математических структур, как алгебраический, порядковый и топологический. При реализации курса сначала следует напомнить и углубить у обучаемых теоретические знания основ дифференциального исчисления функций, в частности, – осмыслить вопрос исследования функций в терминах производных различных порядков. Затем нужно дать основы теории выпуклых и логарифмически выпуклых функций, занимающей важное место в современной математике. Здесь важнейшее значение имеет так называемое характеристическое свойство, а также неравенство Иенсена для выпуклых – вогнутых и логарифмически выпуклых – логарифмически вогнутых функций, имеющее многочисленные применения. Следует обратить внимание на возможность обоснования многих классических неравенств методом выпуклых и логарифмически выпуклых функций. В качестве приложений курс рассматривает вопрос об использова2.

нии неравенств и свойств выпуклых и логарифмически выпуклых функций в вопросе решения уравнений. Другой центральной темой курса служат простое и весовое средние степенные. Необходимо подробно изучить принципиальные (глобальные) свойства данных величин, рассмотреть фрагменты их геометрической интерпретации для случая второго порядка. Важным представляется и вопрос применения средних величин различных порядков в задачах. Курс завершается изучением простого и обобщенного неравенств Бернулли, включая, опять же, вопросы применений этих неравенств при решении задач. Данный курс, безусловно, способствует формированию математической культуры студентов, расширяет их кругозор. Учебный материал дисциплины обладает высокой степенью завершенности как по содержанию, так по форме и методам; его теоретическая и задачная составляющие делятся примерно поровну, он имеет связи с другими магистерскими курсами. Контроль достижения целей обучения осуществляется с помощью еженедельных контролируемых внеаудиторных заданий. Главной целью проведения текущих самостоятельных работ является установление уровня и характера усвоения студентами основных понятий, умений и навыков, формируемых в процессе изучения курса. Сведения о рекомендуемых к использованию преподавателем образовательных технологий и материально-техническом обеспечении учебной дисциплины «Дополнительные главы математического анализа» № п/п

Образовательная технология, рекомендуемая к использованию в преподавании учебной дисциплины *

Рекомендуемые Средства обучения

Информационная лекция Проблемная лекция

1 2

Сведения о занятиях, проводимых в интерактивных формах № п/п 1

Показатель Занятия, проводимые в интерактивных формах

Общий объем (по РУП) в часах/ в процентах Очная 18 часов / 50%

заочная

3. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «Дополнительные главы математического анализа» 3.1. Объем учебной дисциплины и виды учебной работы Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетные единицы, 108 часов.

№ п/п

Общий объем (по РУП) в часах

Виды учебной работы

Очная 108 36

1 Трудоемкость (по ФГОС ВПО) 2 Аудиторные занятия, всего в том числе: 2.1. Лекции 2.2. Лабораторные работы 2.3. Практические занятия 2.4. Семинарские занятия 2.5. Коллоквиумы 2.6. Прочие виды аудиторных занятий 3 Самостоятельная работа студентов всего в том числе: 3.1. Контрольная работа 3.2. Курсовая работа 3.3. Научно- исследовательская работа 3.4. Практика 3.5. Прочие виды самостоятельной работы 4 Вид(ы) промежуточного контроля

12 24

72 Зачет

Матрица соотнесения тем учебной дисциплины и формируемых в них профессиональных и общекультурных компетенций

ТЕМА 3. Среднее степенное

ТЕМА 4. Неравенство Бернулли

Итого

ПК-4 ПК-8 ПК-13 ПК-18

ТЕМА 1. Выпуклые функции и их применения

ОК-10

ОК-5 ОК-6

ТЕМА 2. Логарифмически выпуклые функции и неравенства

Темы учебной дисциплины

Компетенции

Коли личест во часов 8

Σ общее количество компетенций

3.3. Содержание тем учебной дисциплины «Дополнительные главы математического анализа» Тема 1. Выпуклые функции и их применения Строго и нестрого выпуклые, строго и нестрого вогнутые функции на промежутке. Геометрическая интерпретация выпуклости и вогнутости функций. Достаточные условия выпуклости. Неравенство Иенсена, его индуктивные доказательства. Характеристическое свойство выпуклых функций, его геометрическая трактовка. Применение выпуклых и вогнутых функций в вопросе решения уравнений. Тема 2. Логарифмически выпуклые функции и неравенства Понятия логарифмически выпуклой и логарифмически вогнутой функции. Геометрическая интерпретация логарифмической выпуклости (логарифмической вогнутости). Необходимые и достаточные условия логарифмической выпуклости функций. Свойства логарифмически выпуклых функций. Аналог неравенства Иенсена для логарифмически выпуклых функций. Логарифмически выпуклые функции и классические неравенства Коши, КошиБуняковского, Гюйгенса, Ки Фана, неравенства степенно-показательного типа. Применение логарифмически выпуклых и логарифмически вогнутых функций в вопросе решения уравнений. Тема 3. Среднее степенное Среднее степенное и взвешенное среднее степенное положительных чисел. Классические средние как значения среднего степенного. Основные свойства взвешенного среднего степенного. Последовательности, порождаемые средним степенным. Геометрические интерпретации и иллюстрации средних величин. Применения среднего степенного и взвешенного среднего степенного в задачах. Тема 4. Неравенство Бернулли Функция Г.А. Сорокина и порождаемые ею неравенства. Простое и обобщенное неравенства Бернулли. Применение неравенств Бернулли при решении уравнений. 3.4. Тематический план учебной дисциплины «Дополнительные главы математического анализа» а) аудиторные занятия: Темы учебной дисциплины

Вид учебной Часов работы лекция

ТЕМА 1. Выпуклые функции и их применения

практическое 4 занятие

Технология обучения

Форма текущего контроля

Информационная Опрос лекция Проблемная лекция Разбор решен- Анализ решения ных задач задач Решение задач под руководством препода9

лекция

ТЕМА 2. Логарифмически выпуклые функции и неравенства

практическое 8 занятие

лекция

ТЕМА 3. Среднее степенное

практическое 8 занятие

лекция

ТЕМА 4. Неравенство Бернулли

практическое 4 занятие

вателя Самостоятельное решение задач в группе Информационная лекция Проблемная лекция Решение задач под руководством преподавателя Самостоятельное решение задач в группе Проблемная лекция Решение задач под руководством преподавателя Самостоятельное решение задач в группе Информационная лекция Проблемная лекция Решение задач под руководством преподавателя Самостоятельное решение задач в группе

Опрос

Анализ решения задач

Опрос Анализ решения задач, самостоятельная работа

Опрос

Анализ решения задач

б) самостоятельная аудиторная работа Темы учебной дисциплины ТЕМА 1. Выпуклые функции и их применения

Вид учебной работы (форма самостоятельной работы)

Часов

Конспектирование 4 лекций. Решение задач

мулировках (ПК-8)

ТЕМА 2. Логарифмически выпуклые функции и неравенства

Конспектирование 4 лекций. Решение задач

ТЕМА 3. Среднее степенное

Конспектирование 4 лекций. Решение задач

ТЕМА 4. Неравенство Бернулли

Конспектирование 4 лекций. Решение задач

Способность порождать новые идеи и применять в научноисследовательской и профессиональной деятельности базовые знания в области фундаментальной и прикладной математики и естественных наук (ОК-5) Значительные навыки самостоятельной научно-исследовательской работы и научно-изыскательской работы, а также деятельности в составе группы (ОК-6) Умение быстро находить, анализировать и грамотно контекстно обрабатывать научно-техническую, естественнонаучную и общенаучную информацию, приводя ее к проблемно-задачной форме (ОК-10) Самостоятельный анализ физических аспектов в классических постановках математических задач (ПК-4) Способность к управлению и руководству научной работой коллективов (ПК-13) Собственное видение прикладного аспекта в строгих математических формулировках (ПК-8) Умение быстро находить, анализировать и грамотно контекстно обрабатывать научно-техническую, естественнонаучную и общенаучную информацию, приводя ее к проблемно-задачной форме (ОК-10) Собственное видение прикладного аспекта в строгих математических формулировках (ПК-8) Способность к интенсивной научноисследовательской деятельности с применением знаний по выбранному профилю (ПК-18) Умение быстро находить, анализировать и грамотно контекстно обрабатывать научно-техническую, естественнонаучную и общенаучную информацию, приводя ее к проблемно-задачной форме (ОК-10) Собственное видение прикладного аспекта в строгих математических формулировках (ПК-8) 11

Итого

в) занятия в интерактивных формах № п/п

Темы учебной дисциплины

Общий объем (по РУП) в часах

Занятия проводимые в интерактивных формах Тема 1. Выпуклые функции и их применения Тема 2. Логарифмически выпуклые функции и неравенства Тема 3. Среднее степенное Тема 4. Неравенство Бернулли итого

1 2 3 4

3 6 6 3 18

г) самостоятельная внеаудиторная работа Темы учебной дисциплины

Вид учебной работы (форма самостоятельной работы)

Часов

ТЕМА 1. Выпуклые функции и их применения

Проработка кон- 12 спекта лекций. Работа с литературными источниками. Решение задач

ТЕМА 2. Логарифмически выпуклые функции и неравенства

Проработка кон- 22 спекта лекций. Работа с литературными источниками. Решение задач

Результат Умение быстро находить, анализировать и грамотно контекстно обрабатывать научно-техническую, естественнонаучную и общенаучную информацию, приводя ее к проблемно-задачной форме (ОК-10) Собственное видение прикладного аспекта в строгих математических формулировках (ПК-8) Способность порождать новые идеи и применять в научно-исследовательской и профессиональной деятельности базовые знания в области фундаментальной и прикладной математики и естественных наук (ОК-5) Значительные навыки самостоятельной научно-исследовательской работы и научно-изыскательской работы, а также деятельности в составе группы (ОК6) Умение быстро находить, анализировать и грамотно контекстно обрабатывать научно-техническую, естественнонаучную и общенаучную информа-

ТЕМА 3. Среднее степенное

Проработка кон- 24 спекта лекций. Работа с литературными источниками. Решение задач

ТЕМА 4. Неравенство Бернулли

Проработка кон- 12 спекта лекций. Работа с литературными источниками. Решение задач

Итого

цию, приводя ее к проблемно-задачной форме (ОК-10) Самостоятельный анализ физических аспектов в классических постановках математических задач (ПК-4) Способность к управлению и руководству научной работой коллективов (ПК-13) Собственное видение прикладного аспекта в строгих математических формулировках (ПК-8) Умение быстро находить, анализировать и грамотно контекстно обрабатывать научно-техническую, естественнонаучную и общенаучную информацию, приводя ее к проблемно-задачной форме (ОК-10) Собственное видение прикладного аспекта в строгих математических формулировках (ПК-8) Способность к интенсивной научноисследовательской деятельности с применением знаний по выбранному профилю (ПК-18) Умение быстро находить, анализировать и грамотно контекстно обрабатывать научно-техническую, естественнонаучную и общенаучную информацию, приводя ее к проблемно-задачной форме (ОК-10) Собственное видение прикладного аспекта в строгих математических формулировках (ПК-8)

4. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины (лекции, практики) Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины № Вид самостоятельной работы п/п 1 Общая

Индивидуальная

Групповая

Форма самостоятельной работы Проработка конспекта лекции. Решение задач под руководством преподавателя Индивидуальное решение задач Самостоятельное решение задач в группе Разбор решенных задач

Форма отчетности Конспект лекции; Практические работы (текст) Текст, устное сообщение Мозговой штурм, отчет Доклад, презента13

ция

Краткое пояснение указанных интерактивных форм самостоятельной работы. Самостоятельное решение задач в группе. Работа организуется путем разбиения студентов на две малые подгруппы. Каждой подгруппе выдается серия задач. Преподаватель выполняет роль консультанта. Результат работы группы предъявляется в виде обмена идеями и результатами, отчета. Разбор решенных задач Работа организуется путем разбиения студентов на две малые подгруппы. Каждой подгруппе выдается серия задач (задачи общие для всех групп). Цель группы найти как можно больше различных решений каждой задачи. Преподаватель выполняет роль консультанта. Результат работы группы предъявляется в виде доклада представителя группы в последней трети практического занятия. Задача для доклада выбирается представителем группы самостоятельно. Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/ п 1

Вид самостоятельной работы Общая (теоретическая подготовка) Общая (практическая подготовка)

Форма самостоятельной работы Работа с конспектами лекций и литературными источниками Решение задач данной тематики

Срок сдачи

Форма отчетности

Очередная лекция

опрос

Очередное практическое занятие

Решения (доклад, текст)

Поскольку самостоятельная аудиторная и внеаудиторная работа по всем темам одинакова, то далее таблицы повторять не будем. Тема 1. Выпуклые функции и их применения Лекция 1. «Выпуклые и вогнутые функции. Характеристическое свойство выпуклых функций» План лекции: 1. Строго и нестрого выпуклые, строго и нестрого вогнутые функции на промежутке. Геометрическая интерпретация выпуклости и вогнутости функций. 2. Достаточные условия выпуклости. 3. Неравенство Иенсена, его индуктивные доказательства. 4. Характеристическое свойство выпуклых и вогнутых функций. 5. Геометрическая трактовка характеристического свойства. 6. Применение выпуклых и вогнутых функций в вопросе обоснования неравенств и решения уравнений. Вопросы для самостоятельного изучения: 1. Геометрическая интерпретация вогнутости функций [1–3]. 2. Доказательство достаточного условия вогнутости [3]. 3. Эквивалентная форма неравенства Иенсена для вогнутой на промежутке l функции [2–3]. 14

4. Практические подходы к определению характера выпуклости различных конкретных функций [2, 3]. Вопросы для самопроверки: 1. Какая функция называется строго выпуклой на промежутке? 2. Приведите геометрическую интерпретацию вогнутости функций. 3. Назовите достаточные условия выпуклости функции. 4. В чем состоит характеристическое свойство выпуклых и вогнутых функций? 5. Приведите геометрическую трактовку характеристического свойства. Практическое занятие 1. «Выпуклые функции и вогнутые функции» План практического занятия: 1. Отработка определений понятий строго и нестрого выпуклых, строго и нестрого вогнутых функций на промежутке. 2. Исследование функций на выпуклость. 3. Применения неравенства Иенсена Задание по аудиторной самостоятельной работе: 1–3, 7–81. Практическое занятие 2. «Характеристическое свойство выпуклых функций» План практического занятия: 1. Применение характеристического свойства при решении уравнений. 2. Олимпиадные задачи и выпуклые функции. Задание по аудиторной самостоятельной работе: 11–13. Тема 2. Логарифмически выпуклые функции и неравенства Лекция 2. «Понятия логарифмически выпуклой и логарифмически вогнутой функции. Геометрическая интерпретация логарифмической выпуклости» План лекции: 1. Определения понятий логарифмически выпуклой и логарифмически вогнутой функции. 2. Геометрическая интерпретация логарифмической выпуклости (логарифмической вогнутости). 3. Необходимые и достаточные условия логарифмической выпуклости функций. Вопросы для самостоятельного изучения: 1. Геометрическая интерпретация логарифмической вогнутости [3]. 2. Доказательство необходимых и достаточных условий логарифмической вогнутости функции [3]. Вопросы для самопроверки: 1. Дайте определение логарифмически выпуклой функции. 1 2. Является ли функция y  логарифмически выпуклой? x

Задачи берутся из банка заданий на стр. 24–34 настоящего УМК. 15

3. Приведите геометрическую интерпретацию логарифмической вогнутости. Лекция 3. «Свойства логарифмически выпуклых функций» План лекции: 1. Свойства логарифмически выпуклых функций. 2. Аналог неравенства Иенсена для логарифмически выпуклых функций. Вопросы для самостоятельного изучения: 1. Теорема о сумме логарифмически выпуклых функций [3]. 2. Доказательство неравенств Коши, Коши-Буняковского, Гюйгенса, Ки Фана. 3. Доказательство неравенства степенно-показательного типа. 4. Доказательство неравенства Ки Фана методом прямой и обратной индукции [2]. Вопросы для самопроверки: 1. Какие свойства логарифмически выпуклых функций Вы знаете? 2. Приведите аналог неравенства Иенсена для логарифмически выпуклых функций. 3. Докажите неравенство Коши-Буняковского (любым способом). 4. Докажите неравенство Гюйгенса (любым способом). Практическое занятие 3. «Понятия логарифмически выпуклой и логарифмически вогнутой функции» План практического занятия: 1. Отработка определений понятий логарифмически выпуклых и логарифмически вогнутых функций 2. Геометрическая интерпретация логарифмической выпуклости (логарифмической вогнутости). 3. Решение задач. Задание по аудиторной самостоятельной работе: 16, 18. Практическое занятие 4. «Необходимые и достаточные условия логарифмической выпуклости функций. Свойства логарифмически выпуклых функций» План практического занятия: 1. Применение необходимых и достаточных условий логарифмической выпуклости функций. 2. Иллюстрации свойств логарифмически выпуклых функций. 3. Решение задач. Задание по аудиторной самостоятельной работе: задания 16, 18 решите с использованием критерия, 22, 24.. Практическое занятие 5. «Аналог неравенства Иенсена для логарифмически выпуклых функций» План практического занятия: 1. Применения аналога неравенства Иенсена для логарифмически выпуклых функций при обосновании неравенств. 2. Применения аналога неравенства Иенсена для логарифмически выпуклых функций при решении уравнений. 16

3. Решение задач. Задание по аудиторной самостоятельной работе: 29, 31. Практическое занятие 6. «Неравенства Коши, Коши-Буняковского, Гюйгенса, Ки Фана и неравенства степенно-показательного типа и уравнения» План практического занятия: 1. Применение неравенств Коши и Коши-Буняковского при решении уравнений. 2. Применение неравенства Гюйгенса при решении уравнений. 3. Применение неравенства Ки Фана при решении уравнений. 4. Неравенства степенно-показательного типа и уравнения. 5. Решение задач. Задание по ауд. самостоятельной работе: 34, 37, 42, 46–48, 70, 72, 79, 81,93– 95, 100.. Тема 3. Среднее степенное Лекция 4. «Среднее степенное положительных чисел. Взвешенное среднее степенное положительных чисел» План лекции: 1. Определение среднего степенного положительных чисел. 2. Классические средние как значения среднего степенного. 3. Основные свойства среднего степенного. 4. Определение взвешенного среднего степенного положительных чисел. 5. Классические весовые средние как значения взвешенного среднего степенного. 6. Основные свойства взвешенного среднего степенного. Вопросы для самостоятельного изучения: 1. Доказательство свойства дифференцируемости среднего степенного [2]. 7. Доказательство свойства монотонности среднего степенного, не опирающееся на производную функции [2]. 8. Свойства взвешенного среднего степенного двух чисел [2]. Вопросы для самопроверки: 1. Дайте определение среднего степенного n положительных чисел. 2. Как получить формулы для классических средних величин (среднее арифметическое, среднее геометрическое и т. д.) из формулы среднего степенного? 3. Перечислите основные свойства среднего степенного. 4. Дайте определение взвешенного среднего степенного n положительных чисел. 5. Перечислите основные свойства взвешенного среднего степенного. Лекция 5. «Доказательство свойств взвешенного среднего степенного. Последовательности, порождаемые средним степенным» План лекции: 1. Доказательство положительности и непрерывности. 17

2. Доказательство монотонности и асимптотичности. 3. Доказательство дифференцируемости. Критерий постоянства. 4. Последовательности, порождаемые средними арифметическим и средним геометрическим. 5. Последовательности, порождаемые весовым средним произвольного порядка. Вопросы для самостоятельного изучения: 1. Некоторые общие соотношения для взвешенного среднего степенного, выражаемые равенствами [2]. 2. Свойства взвешенных средних степенных величин, описываемые неравенствами [2]. 3. Специальные свойства взвешенного среднего степенного двух чисел [2]. p ,...,p ) 4. Теорема о сходимости последовательности Fx( ,..., ( ) [2]. x Вопросы для самопроверки: 1. В чем состоит основная идея доказательства монотонности весового среднего степенного ? 2. Докажите свойство дифференцируемости взвешенного среднего степенного. 3. Сформулируйте критерий постоянства взвешенного среднего степенного. 4. Какие последовательности, порождаемые средним арифметическим, вы знаете? 5. Какие последовательности, порождаемые средним геометрическим, вы знаете? 6. Какие последовательности, порождаемые весовым средним произвольного порядка, вы знаете? Практическое занятие 7. «Среднее степенное и взвешенное среднее степенное положительных чисел.» План практического занятия: 1. Определение среднего степенного положительных чисел. 2. Определение взвешенного среднего степенного положительных чисел. 3. Отработка свойств среднего степенного и взвешенного среднего степенного. 4. Геометрические интерпретации и иллюстрации классических средних величин. Задание по аудиторной самостоятельной работе: конструирование задач на вычисление пределов. 102. Практическое занятие 8. «Последовательности, порождаемые средним степенным» План практического занятия: 1. Нахождение пределов последовательностей специального вида. 2. Решение задач. Задание по аудиторной самостоятельной работе: 1

Практическое занятие 9. «Применение среднего степенного при решении уравнений» 1. Решение задач. 2. Конструирование новых уравнений. Задание по аудиторной самостоятельной работе: 126, 127. Практическое занятие 10. «Применение взвешенного среднего степенного при решении уравнений» 1. Решение задач. 2. Конструирование новых уравнений. Задание по аудиторной самостоятельной работе: 58, 61–63,132. Тема 4. Неравенство Бернулли Лекция 6. «Функция Г.А. Сорокина. Неравенства, порождаемые функцией Г.А. Сорокина. Неравенства Бернулли» План лекции: 1. Введение функции Г. А. Сорокина. 2. Исследование данной функции. 3. Неравенства, доставляемые функцией Сорокина. 4. Неравенства Бернулли (простое и обобщенное). Вопросы для самостоятельного изучения: 1. Исследование на экстремум функции Г.А. Сорокина лишь с помощью первой производной [2]. 5. Случаи достижения равенства в неравенствах, порождаемых функцией Сорокина. Вопросы для самопроверки: 1. Назовите основные свойства функции Г.А. Сорокина. 2. Какие неравенства, доставляемые функцией Сорокина, вы знаете? 3. Как из обобщенного неравенства Бернулли получить классическое простое неравенство Бернулли? Практическое занятие 11. «Применения неравенства Бернулли» План практического занятия: 1. Доказательство неравенств, обоснование оценок. 2. Решение задач. Задание по аудиторной самостоятельной работе: исследование функции Сорокина без обращения ко второй производной. Практическое занятие 12. «Неравенство Бернулли и уравнения» План практического занятия: 1. Решение уравнений посредством неравенства Бернулли. 2. Конструирование новых уравнений. Задание по аудиторной самостоятельной работе: 139–142. 5. ПЕРЕЧЕНЬ ОСНОВНОЙ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Основная литература 1. Бермант, Анисим Федорович. Краткий курс математического анализа [Текст] : учеб. пособие для студ. вузов, обучающихся по направлениям: 510000 Естествен. науки и математика, 550000 Техн. науки, 540000 Пед. науки / А. Ф. Бермант, И. Г. Араманович. - 15-е изд., стер. - СПб. : Лань, 2009. - 736 с. 2. Сборник задач по высшей математике. Ч. 1 [Текст] : учеб. пособие для студ. вузов, обучающихся по направлениям и спец. в обл. техники и технологии / под ред. А. С. Поспелова. - М. : Юрайт, 2012. - 605 с. 3. Курс высшей математики. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление [Текст] : лекции и практикумы : учеб. пособие для студ. вузов, обучающихся по направлениям: "Технические науки", "Техника и технологии" / под общ. ред. И. М. Петрушко. - Изд. 4-е, стер. СПб. ; М. ; Краснодар : Лань, 2009. - 288 с. 4. Ивашев-Мусатов, Олег Сергеевич. Начала математического анализа [Текст] : учеб. пособие / О. С. Ивашев-Мусатов. - Изд. 7-е, испр. - СПб. ; М. ; Краснодар : Лань, 2009. - 256 с. 5. Ивашев-Мусатов, О.С. Начала математического анализа : учебное пособие / О. С. Ивашев-Мусатов. - 7-е изд.,испр. и доп. - СПб. : "Лань", 2009. 256 c. http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=25&pl1_id=161 6. Злобина, С. В. Математический анализ в задачах и упражнениях : учебное пособие / С.В. Злобина, Л.Н. Посицельская. - М. : Физматлит, 2009. 359 с. http://www.biblioclub.ru/book/68137/ Дополнительная литература 1. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. – М.: КомКнига, 2007. 2. Калинин С. И. Средние величины степенного типа. Неравенства Коши и Ки Фана: Учеб. пособие по спецкурсу. – Киров: Изд-во ВГГУ, 2002. 3. Калинин С. И. Логарифмически выпуклые функции, их свойства и применения // Математика в школе. – 2007. – № 7. – С. 41–50, 76. 4. Аносов Д. В. О сумме логарифмически выпуклых функций // Математическое просвещение. – 2001. – Сер. 3, вып. 5. – С. 158–163. 5. Беккенбах Э., Беллман Р. Введение в неравенства. – М.: Мир, 1965. 6. Калинин С. И. К вопросу о решении уравнений посредством неравенств // Математика в школе. – 2005. – № 5. – С. 68–72. 7. Смоляков А. Н. Нестандартные способы решения иррациональных уравнений // Математика в школе. – 2002. – № 7. – С. 35–36. 20

8. Смоляков А. Нестандартные приемы решения уравнений // Математика: Еженедельное приложение к газете «Первое сентября». – 1998. – № 37, № 44. 9. Cорокин Г. А. Применение свойств экспоненты к решению некоторых задач // Математика в школе. – 1993. – № 3. – С. 51–53. 10.Cорокин Г. А. Экстремум и неравенства // Математика в школе. – 1997. – № 1. – С. 76–81. 11.Фирстова Н. И. Решение некоторых видов уравнений при помощи неравенств // Математика в школе. – 2002. – № 1. – С. 29–33. 12.Харди Г. Г., Литтльвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства. – М.: ГИИЛ, 1948. 13.Чучаев И. И., Денисова Т. В. Выпуклые функции и уравнения // Математика в школе. – 2005. – № 5. – С. 41–47. 14.Mitrinović Dragoslav S., Pečarić Josip E. Bernoulli´s inequality // Rend. Circ. mat. Palermo. Ser. 2. – 1993. – 42, № 3. – С. 317–337.

6. СИСТЕМА ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ОСВОЕНИЯ СТУДЕНТАМИ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА» И ФОРМЫ ТЕКУЩЕГО, ПРОМЕЖУТОЧНОГО И ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ 6.1. Шкала баллов по учебной дисциплине В соответствии с Положением о балльно-рейтинговой системе оценки знаний студентов ВятГГУ по учебной дисциплине предусмотрены следующие виды контроля качества знаний студентов: - текущая аттестация; - межсессионная аттестация; - промежуточная аттестация. Шкала баллов по учебной дисциплине № п/п

Показатели

Норма баллов

Виды текущей аттестации до рубежной аттестации 1. 2.

Посещение занятий Домашнее задание

10 15

Самостоятельная работа

Рубежный контроль (контрольное мероприятие)

1. 2.

Виды текущей аттестации после рубежной аттестации Посещение занятий 10 Домашнее задание 15

Домашняя контрольная работа

Виды работ и заданий на зачете Теория Практика Всего баллов за зачет

10 10 20

6.2. Фонды оценочных средств для проведения текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации Сводные данные по оценке компетенций № п/ п 1

Формы Номер теи мемы (для тоды текущего конконтроля) троля ОК-5 способ- 1) знать: основные мето- в, т, зачет, Тема 2 к.р. ность порождать ды познания – обобще- п, р Результат (освоенные компетенции)

Виды Основные показатели оценки конрезультата троля

новые идеи и применять в научноисследовательской и профес-

ние, анализ, синтез; 2) уметь: применять в научноисследовательской и профессиональной дея-

сиональной деятельности базовые знания в области фундаментальной и прикладной математики и естественных наук ОК-6 значительные навыки самостоятельной научноисследовательской работы и научноизыскательской работы, а также деятельности в составе группы

ОК-10 умение быстро находить анализировать и грамотно контекстно обрабатывать научнотехническую, естественнонаучную и общенаучную информацию, приводя ее к проблемно-задачной форме ПК-4 Умение самостоятельно анализировать физические аспекты в классических постановках математических задач ПК-8 собствен-

тельности базовые знания фундаментальной математики; 3) владеть: культурой абстрактного мышления. 1) знать: принципы в, т, зачет, к.р. самостоятельной научно- п, р исследовательской работы и научноизыскательской работы, а также деятельности в составе группы; 2) владеть: навыки самостоятельной научноисследовательской работы и научноизыскательской работы, а также деятельности в составе группы

Тема 2

в, т, зачет, п, р к.р.

Темы 1, 2, 3,4

в,

т, зачет, к.р.

Тема 2

1) знать: знать базовые в,

т, зачет,

Темы 1, 3,

1) уметь: быстро находить анализировать и грамотно обрабатывать информацию, приводя ее к проблемно-задачной форме; 2) владеть: культурой мышления

1) знать: основные мате- п, р матические модели физических явлений, методы изучения моделей. 2) уметь: применять методы для решения практических задач.

ное видение прикладного аспекта в строгих математических формулировках

ПК-13 Способность к управлению и руководству научной работой коллективов

ПК-18 способность к интенсивной научноисследовательской деятельности с применением знаний по выбранному профилю

понятия, свойства и тео- п, р, и к.р. ремы математического анализа; 2) уметь: применять базовые понятия, свойства и теоремы математического анализа в прикладных задачах 1) владеть: нормами со- в, т, зачет, к.р. циального взаимодей- п, р ствия в коллективе. 2) знать: методологию научных исследований, нормативно – правовую базу исследовательской деятельности. в, т, зачет, п, р к.р.

Тема 2

Тема 3

1) владеть: приемами интенсивной научноисследовательской деятельности

* в – входной контроль; т – текущий контроль; р – рубежный контроль; п – промежуточная аттестация; и – итоговая аттестация.

6.2.1. Входной контроль знаний студентов Примерные задания для проверки знаний студентов 1. Сформулируйте определение числовой функции и приведите способы задания функций. 2. Сформулируйте критерий нестрогой монотонности функции на промежутке в терминах производной. 3. Приведите достаточные условия строгой монотонности функции на промежутке в терминах производной. Обоснуйте соответствующий факт. 4. Сформулируйте и обоснуйте критерий постоянства функции на промежутке. 5. Какие определения понятия выпуклой функции Вам известны? 6. Какова геометрическая трактовка выпуклости, вогнутости функции на промежутке? 7. Как исследуется функция на выпуклость с помощью второй производной? 8. Какие классические неравенства Вам известны? 9. Сколько доказательств неравенства Коши Вы знаете? 10. В каких ситуациях Вы сталкивались с неравенством Бернулли? 24

6.2.2. Текущая аттестация Примерные задания (задачи) для проведения текущего контроля: 1. Определение понятий выпуклых, вогнутых (строго или нет), логарифмически выпуклых, вогнутых (строго или нет) функций. 2. Геометрические иллюстрации выпуклости и вогнутости, логарифмической выпуклости и вогнутости функций. 3. Рассмотрение свойств выпуклых, вогнутых, логарифмически выпуклых, вогнутых функций. 4. Обоснование неравенств Иенсена для выпуклых и логарифмически выпуклых функций. 5. Применения неравенства Иенсена. 6. Определения среднего степенного и взвешенного среднего степенного положительных чисел. 7. Геометрические характеризации классических средних. 8. Применение свойств среднего степенного при решении задач. 9. Решение задач на свойства весового среднего степенного. 10. Вычисление пределов последовательностей, порождаемых средним степенным и взвешенным средним степенным. 11. Решение оптимизационных задач посредством средних величин. 12. Реализация метода неравенств решения уравнений посредством соотношений для средних. 13. Применения неравенства Бернулли для обоснования оценок сверху и снизу. 14. Использование неравенства Бернулли при решении уравнений. 6.2.3. Межсессионная аттестация Межсессионная аттестация выставляется на основании отчетов студентов, которые составляются по решению задач из Банка заданий и учебных пособий. Банк заданий 1. В чем состоит отличие строго выпуклой на промежутке функции от нестрого выпуклой? 2. Докажите справедливость утверждения: если функции f и g являются выпуклыми (вогнутыми) на промежутке l числовой прямой, то на этом промежутке их сумма f  g также выпукла (вогнута). 3. Останется ли в силе утверждение предыдущего задания, если функция f будет нестрого выпуклой? 4. Решите уравнение 1  x 2  24 2  x 2 6 ln  ln 1  x 2 2  x 2  . 3 5.

Найдите неотрицательные корни уравнения

e



 1  x  cos x  3e 2 x  x  2  sin 2 x . 2

Решите уравнение





5 2 x  4 x  1  4 2 x  44 x  1 .

Решите уравнение 2 x  23 x2  4 x 1  23 x x . 2

Решите уравнение 5 1  1  x 2  5 1  1  x 2  2 , применяя неравенство Иенсена. 9. Найдите неотрицательные корни уравнения 2 24 10  x  34 10  x  34 2  24 22 . 3 2 10. Найдите неположительные корни уравнения 24 10  x  34 10  x  8 . 3 4 4 11. Решите уравнение 1  x  2 2  x  24 2,5  1,5x . 8.

12. Решите уравнение 24 x  15  6  4 18  2 x . 3 . 2 Составьте уравнение экспоненциальной дуги, соединяющей точки A1;2 и B10;20 . Является ли логарифмически выпуклая функция выпуклой? Ответ обоснуйте. Является ли логарифмически вогнутая функция вогнутой? Ответ обоснуйте. e x  e x Функцию sh x  исследуйте на логарифмическую выпуклость 2 на интервале 0; . 1 x Докажите, что функция y  является логарифмически выпуклой на x  1 промежутке  0;  .  2 Общую степенную функцию y  x ( x  0,  R) исследуйте на логарифмическую выпуклость (вогнутость). Покажите, что если функции f и g логарифмически выпуклы на промежутке l , то их сумма f  g также логарифмически выпукла на этом промежутке. Докажите, что если функции f и g логарифмически выпуклы на промежутке l , то их произведение fg есть также логарифмически выпуклая на этом промежутке функция. Докажите, что если функция f логарифмически выпукла, то для любого положительного числа с функция cf также логарифмически выпукла.

13. Решите уравнение 5 1  1  x 2  25 1  1  x 2  10 1  x 2  2 5 14. 15. 16. 17.

18.

19. 20.

21.

22.

23. Докажите, что функция f (x) логарифмически выпукла тогда и только 1 тогда, когда функция логарифмически вогнута. f ( x) 24. Докажите справедливость следующего утверждения. Пусть функция f (x) логарифмически выпукла, а функция g (x) логарифмически вогнута на рассматриваемом промежутке. Тогда на этом промежутке f ( x) функция будет логарифмически выпуклой. g ( x) 3 1 25. Решите уравнение . 6 3 x  2 1 x x  1 x 3 1 6 26. Решите уравнение . x  2  x 1 2x  x2 27. Решите уравнение e ( x1) cos

x  ( 2 x 1) sin 2 x

 e  ( x1) cos

x  (1 2 x ) sin 2 x

 e x1  e  x1 

cos2 x

 e 2 x1  e12 x 

sin 2 x

28. Решите уравнение 1  x  1  x  4 . 4

29. Решите уравнение 5 1  1  x 2  5 1  1  x 2  2 , применяя неравенство Иенсена для логарифмически выпуклых или логарифмически вогнутых функций. 2 30. Решите уравнение x   3 методом логарифмически выпуклыхx вогнутых функций 1 1 2 n  2n 31. Решите уравнение n . 1 x 1 x 1  x2 32. Решите уравнение 5 1  1  x 2  5 1  1  x 2  2 , применяя неравенство Коши. 33. Решите методом неравенства Коши уравнение 3 3 2 x  1  x  1  x  x  1. 34. Найдите все действительные корни уравнения 4 63 y  2  ( y  2 )  6 3  3x   18 . 3 x2 ( y  2) 2

x2 1   1. 35. Решите уравнение 2 3 9  x 4 3  9  x2 36. При каких a уравнение



  x

x 2  3ax  8  x 2  3ax  6 



 

x 2  3ax  8  x 2  3ax  6  2 2

имеет единственное решение?

37.

38.

39. 40.

y  x   xy  y x Решите систему уравнений  ( R).  3    2  x  y  8( xy )  2x  1 y2    2, Решите систему уравнений  y  2 2x  1  x  y  12.  x 1 x3 x2  2x  3 Решите уравнение .  2 2 x  3 3x  2 6 x 2  13x  6 x2  3 4 Решите уравнение 2 x  1  . 4

1 41. Решите уравнение с двумя неизвестными x 4  y 4  2 xy  . 2 2 2 2 42. Решите уравнение x  x  1  x  x  1  x  x  2 . 43. Решите уравнение 1  x 8  1  x 4  1  x 4  3 .

44. Докажите, что 2

sin x

2

cos x

47.

48. 49.

50. 51. 52.

53.

2

2 2



1   cos  , где    0;  . При каком  2 3  2 неравенство становится равенством? Докажите, что для остроугольного треугольника АВС справедливо неравенство tg 2 A  tg 2 B  tg 2C  9. Из точки А, лежащей вне окружности, провели касательную АВ и секущую AD (секущая пересекает окружность в точках С и D, С лежит AB AC AD 2 3 между А и D). Каков минимум выражения ? AC AD AB Докажите, что среди всех треугольников данной площади наименьший периметр имеет правильный треугольник. Среди треугольников, вписанных в данную окружность, наибольшую площадь и наименьший периметр имеет правильный треугольник. Докажите. Докажите, что среди треугольников данного периметра наибольшую площадь имеет правильный. Докажите, что значение площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда, у которого диагональ равна 1, не превосходит 2 . x6 2   3 , применяя обобРешите уравнение 3 3 2 3  9  x2 3 9 x щенное неравенство Коши. 2 2  2 cos 1  cos    3 , где   0;  . Докажите неравенство sin  sin 2 

45. Докажите неравенство 46.

1



sin 4







4   sin 6  cos6   , где    0;  . 7  2 12    cos 3  3 cos  16. 55. Для    0;  докажите неравенство cos  2

54. Докажите неравенство



    x 1 56. Решите уравнение    (  1)  2 2 3 9  x  3 9  x  57. Решите уравнение 33 x 6  2 x 4  x 2  x 2  2 1  x 2 . 2



  1

 .

x 2

58. Решите уравнение 3  2  3  3 . x 1 x3 x  3 4 x2  2x  3 59. Решите уравнение . 3 4 2x  3 3x  2 3x  2 6 x 2  13x  6 60. Решите уравнение 2 x  55 x  3 . 61. Решите уравнение 3  2 x  2  22 x  27 x  6 . 62. Найдите решения уравнения 2 sin x  3 cos x  5 5 sin 2 x  cos3 x , принадx

63. 64. 65. 66. 67.

68.

  лежащие промежутку 0;  .  2 Решите уравнение 77 x  1  99 x  1  2 . Решите уравнение 2 x  1  55 4 x  x 2  3  33 3  x . Решите уравнение x 3  3  4 x . Для конуса, объем которого равен 9, найдите высоту H и радиус основания R, при которых сумма высоты и диаметра основания минимальна. Для треугольника со сторонами a, b, c докажите неравенство p 12 ab 2 c 3 ( p  a)( p  b) 2 ( p  c) 3  . 2 2 2 Решите уравнение x (3  x)  1  x 4  1( x  3) 2  1 методом неравенства Коши–Буняковского.





69. Решите уравнение 2 x  3 x  13xx  1 . 70. Решите тригонометрическое уравнение 2

1  sin x cos x  1  sin 2 x 1  cos2 x  , используя неравенство Коши – Буняковского. 71. Сколько корней на отрезке   ;  имеет уравнение 2 2 2 2 2 sin 2 x  sin 4 x  4sin x  sin 2 xcos x  cos 2 x? 72. С помощью неравенства Коши – Буняковского решите уравнение 1 sin 2 x  sin 2 x  2cos2 x  2 . 2 73. Определите количество вещественных корней уравнения 2 2 2 2 2 4 2 x x  2  9x  1  x  2  9x  1 x  9x  1.





74. Есть ли у уравнения ln x  1  2

ln

x  ctg 2 x  корни, принадлежащие cos2 x

промежутку 0;1 ? 2 75. Решите уравнение 5x 300  x100   25  x 200 1  x 600  .





76. Решите уравнение 2 x  7 x 2  3  53x 2  x  3 . 77. Найдите положительные корни уравнения 2 3 2 3 1  x 1  2 x 1  4 x   1  2 x , используя неравенство Гюйгенса. 1  1   78. Докажите неравенство 1  2  1    9. 2  sin x   cos x  2







79. Решите уравнение 1  3 x  36 x  3 1  x 1  3 x 1  4 x . 80. Найдите корни уравнения1  sin x cos x 

1  sin x1  cos x  ,

принад-

  лежащие интервалу  0;   2 1   sin 2 x  3 1  1  sin x 1  cos x  , 2 2 2    принадлежащие интервалу  0;  .  2 82. Выпишите положительные корни уравнения 1  x  3 1  x 2  6 1  x3  1  x 3 x2 . 1

81. Найдите корни уравнения1  3

83. Решите уравнение

5  2 x  5  2x   2x  5 . 2

84. Имеет ли уравнение 3 3  2 x 3  4 x 2 3  8x 3   4 x 2  3 положительные корни? 85. Сколько положительных корней имеет уравнение

  e x 

 x

  e 3

 e



  e x

   e x    e

 e

86. Решите уравнение 100  50  50 x  2  50 150  50 100  50( x  2) . 49

87. Найдите корни уравнения 1  log 2 x 1  log 16 x   1  log 2 x , принадлежащие промежутку 1; . 88. Решите уравнение 24

1  e  1  e 1  e 1  e 1  e   ... 1  e x 2

46368x

 1 e

5058x

Указание: заметьте, что числа F1  1 , F2  1, F3  2 , F4  3 ,… …, F24  46368 , составляют первые двадцать четыре члена последовательности Фибоначчи; кроме того, воспользуйтесь неравенством Гюйгенса.

89. Имеет ли уравнение 3 x 2  3x  2x  3  1  3 1  x  2 1  x  1 1  x  3  корни, при    x2 x  x 2  x3   надлежащие промежутку 3; ? 2 90. Решите уравнение 2  3  3   3

2 x2  x2

x2 x   2 2       3  2  3   2  3   3   3 

  .  

91. Найдите корни уравнения

5  36 sin 2 x cos4 x  6 5  3 sin x   5  3 cos x  , принадлежащие отрез  2

ку 0;  .  2

2  cos2 x  cos2

92. Решите уравнение

93. Решите уравнение

x 2

1  cos2 x 1  cos2 x  2  4

x 2 1  4 x 2 



2 



2  cos2 x  cos2 sin x  sin



x 2

x 2.

1  4 x 2 1  x 

. 4  1  4x2  2 x x 2 cos2 cos x   2  94. Докажите неравенство , x   0;  . sin x 1  cos x sin 2 x  2 sin 2 x  3 2 95. Решите уравнение 1 1  1  1 1  4 x 2  x  1  1  4 x 2 1  x   x 1  4x 2 . 2 2  2  1  4x2  2 x





x x  x      96. Решите уравнение  e 2  e x    6  e 2  6  e x  12  e 2   4 e 2 x  x на       отрезке  1;1. sin 2 x 2 sin x  cos x  97. Найдите корни уравнения , 1  sin x 4  2 cos x  4  2 sin x  cos x 2

  принадлежащие отрезку 0;  .  6  3  sin 2 x 3  4 x 2  7  cos2 x  4 x 2  98. Решите уравнение . 1  cos2 x  4 x 2 cos x 1  4 x 2

99. Имеет ли уравнение 2  sin x cos x 

2  sin x2  cos x  sin x  cos x

   корни на отрезке  ;  ? 6 3 31

100. Докажите, что для углов  ,  ,  остроугольного треугольника справед3    ливо неравенство 1  3 tg 2 tg 2 tg 2  . 2 2 2 cos2   cos2   cos2  2 2 2 101. Покажите, что если положительные переменные величины a1 ,...,an таковы, что их произведение P постоянно, то сумма a1  ...  an принимает наименьшее значение, равное n n P , при a1  ...  an . 102. Покажите, что если положительные переменные величины a1 ,...,an таковы, что для них выполняется условие: сумма S этих чисел постоянна, то произведение a1 ... an принимает наибольшее значение, равное n

S   , при a1  ...  an . n 103. Установите справедливость следующего утверждения. Пусть в определении взвешенного среднего степенного a1 ,...,an – переменные величины ~ и   R – такой порядок, что среднее F   принимает постоянное ~ ~ значение. Тогда при    и    средние величины F   и F   принимают соответственно наименьшее и наибольшее значения при ~ a1  ...  an . Эти значения совпадают с F   . 104. Докажите, что биссектриса прямого угла треугольника делит пополам угол между медианой и высотой, проведенными из той же вершины. 105. Через внутреннюю точку Р треугольника АВС проведены три отрезка: PA1 // BC ( A1  AC) , PB1 // AC ( B1  AB) , PC1 // AB (C1  BC) . 



 PA   PB   PC  Найдите наименьшее значение выражений  1    1    1  ,  a   b   c  



 a   b   c          (  1) .  PC1   PA1   PB1  106. На сторонах BC и CD прямоугольника ABCD взяты точки P и Q соответственно таким образом, что BC = pBP, CD = qDQ ( p, q  1 ). При каAB ком отношении угол PAQ имеет наибольшую величину? Найдите AD 3 эту величину при p = 2, q = . 2 107. В тетраэдр с площадью поверхности S вписана сфера. Найдите максимально возможное значение площади треугольника, получающегося в сечении тетраэдра плоскостью, параллельной одной из граней тетраэдра и касательной к сфере. 108. Докажите, что в произвольном треугольнике АВС высоты ha , hb , hc , проведенные из вершин А, В, С соответственно, удовлетворяют условию ha  hb  hc  9r, где r – радиус вписанной окружности. 32

109. Стороны треугольника АВС равны соответственно a, b, c, а биссектриса угла А делит сторону ВС в отношении 2:3, считая от вершины С. До2 2 2 4 a b c кажите, что 2   3   2   7  7 . 9 b c a 1 1 1 1 110. Докажите неравенство 2  2  2  2 , где a, b, c – стороны треa b c R угольника АВС, а R – радиус окружности, описанной около этого треугольника. 111. Покажите, что если a, b, c – стороны треугольника АВС, а R – радиус окружности, описанной около этого треугольника, то справедливо со1 1 1 1 отношение    3 . a b c R 112. Линейная комбинация трех положительных чисел с коэффициентами 2, 3, 4 равна 99. Какое наименьшее значение может иметь аналогичная линейная комбинация квадратов этих чисел? 113. Найдите наибольшее значение выражения z  x 1  y 2  y 1  x 2 и укажите точки, в которых оно достигается. 114. Найдите наибольшее значение выражения q p z  x 2 p 1  y 2   y 2 q 1  x 2  ( p  0, q  0, p  q  1) и укажите точки, в которых оно достигается. ( x  a )( x  b) 115. Найдите наименьшее значение выражения z ( x )  ( x  0) , x где a  0, b  0 . 116. Найдите наименьшее значение функции y  32 x1  4  332 x . x2  x  1 117. Найдите наименьшее значение функции y  4 на интервале 2x  1 1   ;  . 2  118. Найдите наибольшее значение функции y  x 3 (2  x 3 ) . 9 119. Найдите наибольшее значение функции y  log 3 x  log 3  1 на отрезке x [1;9]. 120. Найдите наименьшее значение функции 4 x 4  3x 2  9  4 x 4  8 x 2  9 y  log 0,5 на интервале (0;) . x 121. Укажите х, при которых функция   f ( x )  5 8  4  2  1  x  8  4  2  1  x  принимает   наибольшее значение. Укажите, между какими последовательными целыми числами лежит это значение. 33

122. Покажите, что самое большее значение, принимаемое функцией  2  y  sin x + cos x на интервале  0;  , равно 2 . В какой точке оно  4  достигается? 1 2x

 25  4  10  123. Функцию f ( x )    доопределите в точке x  0 так, что3   бы она стала непрерывной на всей числовой прямой. Каким будет множество значений такой функции? x

124. Решите уравнение 5 1  1  x 2  5 1  1  x 2  2 , применяя свойство монотонности среднего степенного. 125. Решите уравнение 4 1  9 x 2  4 1  9 x 2  2 .

 127. Решите уравнение  126. Решите уравнение

 x  1





x  4 x 1  3 x  x 1 . x4

9 x.

3 1 sin x cos x   sin 3 x  cos3 x , удовле2 2 2 творяющие условию sin x  0, cos x  0 .

128. Найдите корни x уравнения

129. Решите уравнение 4 1  4 x 2  4 1  4 x 2  3 . 1 130. Найдите корни x уравнения  sin 4 x  cos4 x  sin 2 x , удовлетворяю2 щие условию sin x  0, cos x  0 .   131. При каких x   0;  равенство sin x  cos x sec x  cosecx   4 имеет  2 место? 132. Уравнение 100  50  50 x  2  50 150 49  50 100  50( x  2) решите посредством использования неравенства для взвешенного среднего степенного порядков 1 и 50 величин 1 и 50 x  2 при весах 100 и 50. 133. Найдите корни уравнения 3 6  x - x 2  3 x 2  x  1  3 20 , принадлежащие интервалу 1;2 .

134. Найдите корни уравнения 5 9  2  9 x  3x1  5 9  2  9 x  3x1  5 288 , принадлежащие промежутку . 135. Решите уравнение 5

1  1  x2  5 1  1  x2  2

методом неравенства Бернулли. 136. Найдите целые корни уравнения x  lg(1  9 x) . 137. Решите уравнение 4 1  x  4 1  x  2 методом неравенства Бернулли.

x x   x  138. Решите уравнение 1   6 x  1  1    1   . 3  24   36  x x 139. Решите уравнение 1   4  1  2 . 4 2





140. Решите уравнение 1  y  3  1  5 y  3 . 141. Найдите корни уравнения 1  x 4  1  x 2  1  x 2  1  x 4  4 . 142. Следующее уравнение относительно двух неизвестных решите в целых





числах: 1  2  t  e s  1  3 2  t  e s . 6.2.4. Материалы для проведения промежуточной аттестации Промежуточная аттестация проводится в форме зачета. Примерный перечень вопросов к зачету 1. Неравенство Иенсена для выпуклых функций, его индуктивные доказательства. 2. Характеристическое свойство выпуклых функций, его геометрическая трактовка. 3. Применение выпуклых и вогнутых функций в вопросе решения уравнений. 4. Геометрическая интерпретация логарифмической выпуклости (логарифмической вогнутости). 5. Необходимые и достаточные условия логарифмической выпуклости функций. 6. Свойства логарифмически выпуклых функций. 7. Аналог неравенства Иенсена для логарифмически выпуклых функций. 8. Логарифмически выпуклые функции и классические неравенства. 9. Применение логарифмически выпуклых и логарифмически вогнутых функций в вопросе решения уравнений. 10. Основные свойства среднего степенного и взвешенного среднего степенного. 11. Геометрические интерпретации и иллюстрации средних величин. 12. Применения среднего степенного и взвешенного среднего степенного. 13. Простое и обобщенное неравенства Бернулли. 14. Применение неравенств Бернулли при решении уравнений. 6.3. Материалы, устанавливающие содержание и порядок проведения итоговой аттестации Включение вопросов дисциплины «Дополнительные главы математического анализа» в государственный экзамен по направлению подготовки магистров 010200.68 Математика и компьютерные науки не предусмотрено учебным планом. 35