Рабочая программа дисциплины составлена в соответствии с федеральными государственными требованиями (приказ Минобрнауки РФ № 1365 от 16.03.2011, в ред. от 29.08.2011) по специальности 13.00.02 – методика обучения и воспитания (математика). Рабочая программа дисциплины разработана Калининым С.И., доктором пед. наук, профессором кафедры математического анализа и методики обучения математике
Рецензент – П.М. Горев, кандидат пед. наук, доцент кафедры математического анализа и методики обучения математике
Рабочая программа дисциплины утверждена на заседании кафедры математического анализа и методики обучения математике 26 сентября 2011 г., протокол № 2.
Вятский государственный гуманитарный университет (ВятГГУ), 2011 г. Калинин С.И., 2011 г.
1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Специальная дисциплина по выбору «Деятельностные аспекты содержания обучения математике студентов и школьников» направлена на расширение и углубление математико-методической подготовки аспирантов специальности 13.00.02 – Теория и методика обучения и воспитания (математика). Она имеет методологическое и воспитательное значение в специализации обучаемых. Дисциплина включает в себя две части: первая планируется на первый год обучения в аспирантуре, вторая часть – на второй. Главной целью дисциплины «Деятельностные аспекты содержания обучения математике студентов и школьников» является ознакомление аспирантов с деятельностными концепциями работы с определением понятий и с принципиальными теоремами при обучении математике. 2. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ «Деятельностные аспекты содержания обучения математике студентов и школьников» 2.1. Объем дисциплины и виды учебной работы Виды учебной работы
Общий объем (по РУП) очная
Общая трудоемкость (в ч./ в З.Е.) Аудиторные занятия Лекции Лабораторные Практические, семинарские занятия Самостоятельная работа аспирантов Виды контроля* Виды учебной работы
108/3+108/3 52+52 36+36 16+16 56+56 Зачѐт+зачѐт Общий объем (по РУП) заочная
Общая трудоемкость (в ч./ в З.Е.) Аудиторные занятия Лекции Лабораторные Практические, семинарские занятия Самостоятельная работа аспирантов Виды контроля*
3
108/3+108/3 18+10 12+6 6+4 90+98 Зачѐт+зачѐт
2.2. Тематический план Разделы 1–3 составляют часть I дисциплины, а разделы 4–7 – часть II.
2.
3.
4.
Самостоятельная работа аспирантов
1.
Практические занятия, семинары
№ п/п
Лекции
Часы на изучение дисциплины Очная форма
10
5
16
2
1
3
4
2
6
2
1
3
2
1
4
10
5
16
3
1
4
3
1
4
4
3
8
16
6
24
3.1. Работа с теоремой Ролля
8
3
12
3.2. Работа с теоремой Лагранжа
8
3
12
ИТОГО часть I:
36
16
56
Этап обобщения в работе с теоремой в тематике неравенств
10
5
15
Разделы, основные темы дисциплины
Деятельностная концепция работы с определением понятия при обучении студентов и школьников основам математического анализа 1.1. Формирование математических понятий 1.2. Понятие производной в курсах математического анализа для студентов и школьников 1.3. Методические требования к усвоению определений понятий производной 1.4. Понятие производной в негладком анализе Деятельностная концепция работы с теоремой при обучении основам математического анализа 2.1. Формы и виды теорем в курсах математического анализа 2.2. Этапы работы с теоремой в курсе математического анализа 2.3. Роль этапов обобщения, развития и применения теоремы в формировании исследовательских навыков Этап обобщения в работе с теоремами о среднем в курсе дифференциального исчисления
4
4.1. Неравенство Коши как теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом положительных чисел 4.2. Соотношения для классических средних
5.
6.
7.
4
2
6
2
1
3
4.3. Среднее степенное, его весовой аналог
2
1
3
4.4. Краткое среднее степенное
2
1
3
Этап развития теоремы
6
3
9
3
1
4
3
2
5
10
4
16
6.1. Доказательства неравенства Коши
4
2
6
6.2. Доказательства неравенства Ки Фана
4
2
6
6.3. Различные доказательства теоремы Лагранжа
2
0
4
Работа с теоремой. Этап применения
10
4
16
5
2
8
5
2
8
36
16
56
5.1. Развитие классических теорем о среднем 5.2. Развитие утверждений тематики неравенств Работа с теоремой. Этап поиска различных доказательств
7.1. Теорема Коши и еѐ обобщения в обоснованиях формулы Тейлора n-го порядка 7.2. Теорема Коши и еѐ обобщения в обоснованиях правил раскрытия неопределѐнностей
ИТОГО часть II:
Деятельностная концепция работы с определением понятия при обучении студентов и школьников основам математического анализа 1.1. Формирование математических понятий
5
Самостоятельная работа аспирантов
1.
Разделы, основные темы дисциплины
Практические занятия, семинары
№ п/п
Лекции
Часы на изучение дисциплины Заочная форма
4
2
30
1
1
6
2.
3.
1.2. Понятие производной в курсах математического анализа для студентов и школьников 1.3. Методические требования к усвоению определений понятий производной 1.4. Понятие производной в негладком анализе Деятельностная концепция работы с теоремой при обучении основам математического анализа 2.1. Формы и виды теорем в курсах математического анализа 2.2. Этапы работы с теоремой в курсе математического анализа 2.3. Роль этапов обобщения, развития и применения теоремы в формировании исследовательских навыков Этап обобщения в работе с теоремами о среднем в курсе дифференциального исчисления
1
1
10
1
0
6
1
0
8
4
2
30
1
1
7
1
1
7
2
0
16
4
2
30
3.1. Работа с теоремой Ролля
2
1
15
3.2. Работа с теоремой Лагранжа
2
1
15
12
6
90
2
1
27
1
0
9
1
0
5
4.3. Среднее степенное, его весовой аналог
0
1
8
4.4. Краткое среднее степенное
0
0
5
Этап развития теоремы
1
1
19
1
0
9
0
1
10
2
1
26
6.1. Доказательства неравенства Коши
1
1
9
6.2. Доказательства неравенства Ки Фана
1
0
9
ИТОГО часть I: 4.
5.
6.
Этап обобщения в работе с теоремой в тематике неравенств 4.1. Неравенство Коши как теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом положительных чисел 4.2. Соотношения для классических средних
5.1. Развитие классических теорем о среднем 5.2. Развитие утверждений тематики неравенств Работа с теоремой. Этап поиска различных доказательств
6
7.
6.3. Различные доказательства теоремы Лагранжа
0
0
8
Работа с теоремой. Этап применения
1
1
26
1
0
13
0
1
13
6
4
98
7.1. Теорема Коши и еѐ обобщения в обоснованиях формулы Тейлора n-го порядка 7.2. Теорема Коши и еѐ обобщения в обоснованиях правил раскрытия неопределѐнностей
ИТОГО часть II:
2.3. Содержание разделов, основных тем дисциплины по выбору «Деятельностные аспекты содержания обучения математике студентов и школьников» Раздел I. Деятельностная концепция работы с определением при обучении основам математического анализа Тема 1.1. Формирование математических понятий. Содержание и объем понятия. Логические схемы образования математических понятий. Виды определений понятий. Классификация математических понятий. Тема 1.2. Понятие производной в курсах математического анализа для студентов и школьников. Определения понятия производной в математических курсах, анализ их связи друг с другом в контексте логических характеристик понятий в математике. Тема 1.3. Методические требования к усвоению определений понятий производной. Мотивация введения определений производной при построении курсов дифференциального исчисления. Выявление существенных свойств понятий производной, этап усвоения определений понятий. Использование понятий производной, их место в системах других понятий математических дисциплин. Тема 1.4. Понятие производной в негладком анализе. Односторонние производные, конструирование дифференциального исчисления функций в терминах односторонних производных. Производная по направлению, производные Дини. Действия, адекватные понятиям производной негладкого анализа. Раздел II. Деятельностная концепция работы с теоремой при обучении основам математического анализа Тема 2.1. Формы и виды теорем в курсах математического анализа. Теоремы вида x А( х) В( х) . Общие и частные теоремы; условные, разделительные и отрицательные теоремы; теоремы существования. 7
Прямая и обратная теоремы в анализе, противоположная и обратная противоположной теоремы. Критерии. Тема 2.2. Этапы работы с теоремой в курсе математического анализа. Мотивации изучения теоремы; осмысление отражаемого в теореме факта; усвоение содержания теоремы; осмысление метода доказательства; реализация доказательства теоремы; попытка рассмотрения иных методов доказательства теоремы; сравнение доказательств на предмет определения наиболее эффективного, рационального, эстетичного; рассмотрение возможных применений теоремы; установление связей теоремы с ранее изученными утверждениями; получение следствий теоремы; попытка рассмотрения обобщений теоремы; осмысление возможностей развития теоремы; формулировка новых гипотез и открытых вопросов, восходящих теореме. Тема 2.3. Роль этапов обобщения, развития и применения теоремы в формировании исследовательских навыков учащихся. Направления обобщения, развития и применения теорем математического анализа. Значение этапа поиска различных доказательств теоремы. Работа с теоремой как реализация деятельностной основы в отборе содержания обучения. Раздел III. Этап обобщения в работе с теоремами о среднем в курсе дифференциального исчисления Тема 3.1. Работа с теоремой Ролля. Векторный и линейной комбинации варианты теоремы Ролля. Теорема Лагранжа как обобщение теоремы Ролля. Теорема В. Finta. Теорема Ролля в терминах правосторонней производной. Теорема Ролля в ситуации произвольности промежутка задания функции, обобщение теоремы Роля в редакции Франклина. Комплексные варианты теоремы. Тема 3.2. Работа с теоремой Лагранжа. Направления обобщений теоремы Лагранжа, порождаемые обобщениями теоремы Ролля. Теорема Коши как обобщение теоремы Лагранжа. Роль обобщений теоремы Лагранжа в конструировании теорий дифференциального исчисления функций, альтернативных классическому. Теорема Коши в терминах односторонних производных. Раздел IV. Этап обобщения в работе с теоремой в тематике неравенств Тема 4.1. Неравенство Коши как теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом положительных чисел. Простое и обобщенное неравенство Коши. Доказательство Коши методом прямой и обратной индукции. Тема 4.2. Соотношения для классических средних. Средние (простые и весовые) гармоническое, квадратичное, их связь с арифметико-геометрическими средними. Тема 4.3. Среднее степенное, его весовой аналог. Свойства среднего степенного. Описание соотношений для классических средних на основе монотонности среднего степенного. 8
Тема 4.4. Краткое среднее степенное. Средние величины, порождаемые k-кратным средним степенным. Раздел V. Этап развития теоремы Тема 5.1. Развитие классических теорем о среднем. Теорема Багмута, Бращенко, Нечаева. Исправленная теорема M. Benсze. Теорема Flett. Тема 5.2. Развитие утверждений тематики неравенств. Неравенство Ки Фана как развитие неравенства Коши. Мультипликативная и аддитивная формы неравенства Ки Фана. Раздел VI. Работа с теоремой. Этап поиска различных доказательств Тема 6.1. Доказательства неравенства Коши. Индуктивные доказательства. Методы введения вспомогательной функции, вспомогательной последовательности функций, метод Штурма. Неравенство Коши как следствие более сильных неравенств. Доказательства средствами дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных. Интегральные доказательства. Тема 6.2. Доказательства неравенства Ки Фана. Метод индукции. Метод оценки. Неравенство Ки Фана как следствие более сильных неравенств. Доказательства средствами дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных. Тема 6.3. Различные доказательства теоремы Лагранжа. Метод введения вспомогательной функции. Алгебраическое доказательство. Раздел VII. Работа с теоремой. Этап применения Тема 7.1. Теорема Коши и еѐ обобщения в обоснованиях формулы Тейлора n-го порядка. Классическая формула Тейлора и ее обобщения (описание остаточного члена в терминах односторонних производных). Тема 7.2. Теорема Коши и еѐ обобщения в обоснованиях правил раскрытия неопределѐнностей. Классические правила Лопиталя-Бернулли и их обобщения. Ослабление условий дифференцируемости функций. 3. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ дисциплины по выбору «Деятельностные аспекты содержания обучения математике студентов и школьников» 3.1. Методические рекомендации для преподавателя Основными объектами изучения специальной дисциплины по выбору «Деятельностные аспекты содержания обучения математике студентов и школьников» являются деятельностные концепции работы с определениями понятий и теоремами математических курсов. 9
Данные концепции имеют метапредметное значение, играют принципиальную роль в методологической подготовке аспиранта. Успешность усвоения дисциплины предполагает большую долю самостоятельной работы, а также участие аспирантов в работе научных кафедральных семинаров. Материалы предлагаемой дисциплины могут быть использованы в научно-исследовательской работе аспирантов, а также в их работе над диссертацией. Дисциплина «Деятельностные аспекты содержания обучения математике студентов и школьников» опирается на хорошие знания основ математического анализа для студентов математических направлений подготовки, курса теории и методики обучения математике, а также методологии методики обучения математике. По завершении каждой ее части аспиранты сдают зачет. 3.2. Методические указания для аспирантов Изучение тем дисциплины в рамках еѐ разделов преподавателем организуется в соответствии с тематическим планом и содержанием самих тем. При организации самостоятельной работы существенная роль отводится изучению рекомендуемой основной и дополнительной литературы, а также подготовке специальных докладов по предлагаемым темам. Тема 1.1. Формирование математических понятий. Лекции: 1. Содержание и объем понятия. Логические схемы образования математических понятий. Виды определений понятий. Семинары: 1. Классификация математических понятий. Задание для самостоятельной работы: 1. Рассмотрите содержание и объем каких-либо двух геометрических понятий. 2. Рассмотрите содержание и объем каких-либо двух алгебраических понятий. Литература: [20], [1] Тема 1.2. Понятие производной в курсах математического анализа для студентов и школьников. Лекции: 1. Определения понятия производной в математических курсах для студентов и школьников. 2. Анализ связи определений производной друг с другом в контексте логических характеристик понятий в математике. Семинары: 1. Анализ связи определений производной друг с другом. Задание для самостоятельной работы: 1. Проанализируйте связи определений производной по Коши, Каратеодори, двусторонней и полной производных. Литература: [1], [3], [20], [7], [13] 10
Тема 1.3. Методические требования к усвоению определений понятий производной. Лекции: 1. Мотивация введения определений производной при построении курсов дифференциального исчисления. Семинары: 1. Выявление существенных свойств понятий производной, этап усвоения определений понятий. Задание для самостоятельной работы: 1. Использование понятий производной. 2. Место понятия производной в системах других понятий математических дисциплин. Литература: [1], [20], [7], [13] Тема 1.4. Понятие производной в негладком анализе. Лекции: 1. Односторонние производные, конструирование дифференциального исчисления функций в терминах односторонних производных. Семинары: 1. Действия, адекватные понятиям производной негладкого анализа. Задание для самостоятельной работы: 1. Рассмотрите понятие производная по направлению для негладких в обычном смысле функций. 2. Рассмотрите понятия производных Дини. Литература: [1], [2], [8], [13] Тема 2.1. Формы и виды теорем в курсах математического анализа. Лекции: 1. Теоремы вида x А( х) В( х) . Общие и частные теоремы. 2. Условные, разделительные и отрицательные теоремы; теоремы существования. Семинары: 1. Прямая и обратная теоремы в анализе, противоположная и обратная противоположной теоремы. Задание для самостоятельной работы: 1. Рассмотрите понятие критерия. 2. Приведите примеры критериев из различных математических разделов. Литература: [1], [2], [6], [16], [22], [24] Тема 2.2. Этапы работы с теоремой в курсе математического анализа. Лекции: 1. Мотивации изучения теоремы; осмысление отражаемого в теореме факта; усвоение содержания теоремы; осмысление метода доказательства; реализация доказательства теоремы; попытка рассмотрения иных методов доказательства теоремы; сравнение доказательств на предмет определения наиболее эффективного, рационального, эстетичного. 11
2. Рассмотрение возможных применений теоремы; установление связей теоремы с ранее изученными утверждениями; получение следствий теоремы; попытка рассмотрения обобщений теоремы; осмысление возможностей развития теоремы; формулировка новых гипотез и открытых вопросов, восходящих теореме. Семинары: 1. Характеризация этапов работы с теоремой. Задание для самостоятельной работы: 1. Рассмотрите этапы работы с теоремой школьного курса геометрии 2. Рассмотрите этапы работы с теоремой школьного курса алгебры и начал анализа. Литература: [1], [2], [6], [16], [22], [24], [25] Тема 2.3. Роль этапов обобщения, развития и применения теоремы в формировании исследовательских навыков учащихся. Лекции: 1. Работа с теоремой как реализация деятельностной основы в отборе содержания обучения. 2. Направления обобщения и развития теорем математического анализа. Семинары: 1.Этап применения теорем математического анализа. Задание для самостоятельной работы: 1. Осмыслите значение этапа поиска различных доказательств теоремы на примерах теорем классического анализа. Литература: [1], [2], [4], [9], [16], [21], [22], [24] Тема 3.1. Работа с теоремой Ролля. Лекции: 1. Векторный и линейной комбинации варианты теоремы Ролля. 2. Теорема Лагранжа как обобщение теоремы Ролля. Теорема В. Finta. 3. Теорема Ролля в терминах правосторонней производной. 4. Теорема Ролля в ситуации произвольности промежутка задания функции, обобщение теоремы Ролля в редакции Франклина. Семинары: 1-2. Анализ техники обоснования различных вариантов теоремы Ролля. Задание для самостоятельной работы: 1. Рассмотрите комплексные варианты теоремы Ролля. Литература: [1], [2], [4], [16], [24] Тема 3.2. Работа с теоремой Лагранжа. Лекции: 1. Направления обобщений теоремы Лагранжа, порождаемые обобщениями теоремы Ролля. 2. Теорема Коши как обобщение теоремы Лагранжа. 3-4. Роль обобщений теоремы Лагранжа в конструировании теорий дифференциального исчисления функций, альтернативных классическому. Семинары: 1-2. Теорема Коши в терминах односторонних производных. Задание для самостоятельной работы: 12
1. Сформулируйте и докажите теорему Ролля в ситуации произвольности промежутка задания функции в терминах односторонних производных. 2. Сформулируйте и докажите обобщение теоремы Ролля в редакции Франклина в терминах односторонних производных. Литература: [1], [2], [4], [16], [24] Тема 4.1. Неравенство Коши как теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом положительных чисел. Лекции: 1. Простое неравенство Коши. 2. Обобщенное неравенство Коши. Семинары: 1. Доказательство Коши методом прямой и обратной индукции. Задание для самостоятельной работы: 1. Докажите обобщенное неравенство Коши методом прямой и обратной индукции. Литература: [1], [2], [14], [15], [17] Тема 4.2. Соотношения для классических средних. Лекции: 1. Средние (простые и весовые) гармоническое, квадратичное, их связь с арифметико-геометрическими средними. Семинары: 1. Геометрические интерпретации классических средних. Задание для самостоятельной работы: 1. Выясните представление классических средних в литературе для школьников. Литература: [1], [2], [14] Тема 4.3. Среднее степенное, его весовой аналог. Лекции: 1. Свойства среднего степенного. Описание соотношений для классических средних на основе монотонности среднего степенного. Семинары: 1. Дифференцируемость весового среднего степенного. Задание для самостоятельной работы: 1. Выясните асимптотическое поведение весового среднего степенного. Литература: [1], [2], [14] Тема 4.4. Краткое среднее степенное. Лекции: 1. Средние величины, порождаемые k-кратным средним степенным. Задание для самостоятельной работы: 1. Рассмотрите весовой аналог k-кратного среднего степенного. Литература: [1], [2], [14] Тема 5.1. Развитие классических теорем о среднем. Лекции: 1. Теорема Багмута, Бращенко, Нечаева. 2. Исправленная теорема M. Benсze. 13
Семинары: 1. Теорема Flett. Задание для самостоятельной работы: 1. Осмыслите возможности формулирования теорем M. Benсze и Flett в терминах односторонних производных. Литература: [1], [2], [18], [19] Тема 5.2. Развитие утверждений тематики неравенств. Лекции: 1. Неравенство Ки Фана как развитие неравенства Коши. 2. Мультипликативная и аддитивная формы неравенства Ки Фана. Семинары: 1. Методы теории функций нескольких переменных в доказательстве неравенства Ки Фана. Задание для самостоятельной работы: 1. Рассмотрите доказательства неравенства Ки Фана, опирающиеся на метод введения вспомогательной функции. Литература: [1], [2], [14], [10], [11], [23] Тема 6.1. Доказательства неравенства Коши. Лекции: 1. Индуктивные доказательства. 2. Методы введения вспомогательной функции, вспомогательной последовательности функций, метод Штурма. Семинары: 1. Неравенство Коши как следствие более сильных неравенств. Задание для самостоятельной работы: 1. Доказательства неравенства Коши средствами дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных. 2. Интегральные доказательства неравенства Коши. Литература: [1], [2], [14], [15], [17], [23] Тема 6.2. Доказательства неравенства Ки Фана. Лекции: 1. Метод индукции. 2. Метод оценки. Неравенство Ки Фана как следствие более сильных неравенств. Семинары: 1. Доказательства неравенства Ки Фана средствами дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных. Задание для самостоятельной работы: 1. Интегральные доказательства неравенства Ки Фана. Литература: [1], [2], [14], [10], [11], [23] Тема 6.3. Различные доказательства теоремы Лагранжа. Лекции: 1. Метод введения вспомогательной функции. Алгебраическое доказательство. Задание для самостоятельной работы: 14
1. Осмыслите рассмотренные в лекции методы в отношении доказательств теоремы Лагранжа в терминах односторонних производных. Литература: [1], [2] Тема 7.1. Теорема Коши и еѐ обобщения в обоснованиях формулы Тейлора n-го порядка. Лекции: 1-2. Классическая формула Тейлора и ее обобщения (описание остаточного члена в терминах односторонних производных). Семинары: 1. Формула Тейлора в терминах односторонних производных. Задание для самостоятельной работы: 1. Рассмотрите применения формулы Тейлора в ситуациях ослабления условий на функцию. Литература: [1], [2] Тема 7.2. Теорема Коши и еѐ обобщения в обоснованиях правил раскрытия неопределѐнностей. Лекции: 1-3. Классические правила Лопиталя-Бернулли и их обобщения. Ослабление условий дифференцируемости функций. Семинары: 1. Вычисление пределов посредством обобщенных правил ЛопиталяБернулли. Задание для самостоятельной работы: 1. Осмыслите распространение обобщенных правил Лопиталя-Бернулли на случай l-производной. Литература: [1], [2], [7], [12] 3.3. Перечень основной и дополнительной литературы
1.
2.
3. 4.
5. 6.
Основная литература Калинин С. И. Обучение студентов математическому анализу в условиях фундаментализации высшего педагогического образования: Монография. – Киров: Изд-во ВятГГУ, 2008. – 353 с. Калинин С. И. Методическая система обучения студентов педвуза дифференциальному и интегральному исчислению функций в контексте фундаментализации образования: Дис. … д-ра пед. наук. – М., 2010. – 318 с. Попов В. А. Преднепрерывность. Производные. П-аналитичность: Монография. – Сыктывкар: Коми пединститут, 2011. – 228 с. Калинин С. И. Теорема Ролля в контексте этапа обобщения работы с теоремой // Математика в школе. – 2009. – № 3. – С. 53–58. Дополнительная литература Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. – М.: КомКнига, 2007. – 276 с. Болтянский В. Г. Как устроена теорема? // Математика в школе. – 1973. – № 1. – С. 41–49. 15
7.
8. 9.
10. 11. 12.
13.
14.
15. 16. 17. 18. 19. 20.
21. 22. 23. 24. 25.
Брайчев Г. Г., Меньшикова А. Л. Об одном обобщении понятия производной и его применения в математическом анализе // Научные труды математического факультета Моск. пед. гос. ун-та: Юбилейный сб. 100 лет. – М.: Прометей, 2000. – С. 27–30. Демьянов В. Ф. Обобщение понятия производной в негладком анализе // Соросовский образовательный журнал. – 1996. – № 5. – С. 121–127. Епишева О. Б. Деятельностный подход как теоретическая основа проектирования методической системы обучения математике: Дис. … д-ра пед. наук. – М., 1999. – 460 с. Калинин С. И. Неравенство Ки Фана // Математика в школе. – 2004. – № 8. – С. 69–72. Калинин С. И. Неравенство Ки Фана и его обобщения // Математическое образование. – 2003. – № 3. – С. 59–76. Калинин С. И. Правила Лопиталя – Бернулли раскрытия неопределенностей в терминах односторонних производных // Вестник ВГГУ. Информатика. Математика. Язык. – 2005. – № 3. – С. 139–142. Калинин С. И. Об определениях понятия производной функции // Мат. вестник педвузов и ун-тов Волго-Вят. региона: Период. межвуз. сб. науч.-метод. работ. Вып. 9.– Киров: Изд-во ВятГГУ, 2007. – С. 104–116. Калинин С. И. Средние величины степенного типа. Неравенства Коши и Ки Фана: Учеб. пособие по спецкурсу. – Киров: Изд-во ВГГУ, 2002. – 368 с. (гриф УМО). Коровкин П. П. Неравенства. – М.: Наука, 1983. – 71 с. Куваев М. Р. Еще раз о теореме // Математика в школе. – 1996. – № 1. – С. 54–56. Курляндчик Л. Д. Неравенство Коши // Математика в школе. – 1987. – № 5. – С. 58–59. Некоторые вопросы математического анализа и методики его преподавания: Сб. науч. ст. – Киров: Изд-во ВГПУ, 2001. – 98 c. Некоторые вопросы теории среднего степенного: Сб. науч. ст. – Киров: Изд-во ВГПУ, 1999. – 84 c. Саранцев Г. И. Методика обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студ. мат. специальностей пед. вузов и ун-тов. – М.: Просвещение, 2002. – 224 с. Саранцев Г. И. Методическая система обучения предмету как объект исследования // Педагогика. – 2005. – № 2. – С. 30–36. Саранцев Г. И. Методология методики обучения математике. – Саранск, 2001. – 141 с. Харди Г. Г., Литтльвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства. – М.: ГИИЛ, 1948. – 456 с. Цукарь А. Я. Построение обобщений теорем // Математика в школе. – 1984. – № 5. – С. 57–60. Щетников А. И., Щетникова А. В. Роль контрпримеров в развитии основных понятий математического анализа. – 4-е. изд.– Новосибирск: Артель «Напрасный труд», 2005. – 44 с. 16
4. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ И ФОРМЫ ТЕКУЩЕГО, ПРОМЕЖУТОЧНОГО И ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ по дисциплине «Деятельностные аспекты содержания обучения математике студентов и школьников» 4.1. Основные требования к уровню освоения аспирантами содержания дисциплины «Деятельностные аспекты содержания обучения математике студентов и школьников» Программа дисциплины «Деятельностные аспекты содержания обучения математике студентов и школьников» определяет совокупность необходимых для профессиональной подготовки знаний, навыков и умений, которыми должен обладать аспирант в соответствии с современными требованиями. По завершении курса аспирант должен: Знать: – суть деятельностных концепций работы с определениями основных понятий и теоремами при обучении математике студентов и школьников; – методические требования к усвоению определений понятий производной в курсах математического анализа; – этапы работы с основными теоремами в курсе анализа. Уметь: анализировать связи определений понятий друг с другом в контексте логических характеристик понятий в математике; классифицировать основные теоремы анализа и тематики неравенств. Владеть: методами работы с определениями понятий при обучении математике; методикой обучения работе с математическими теоремами на различных этапах. 4.2. Формы текущего промежуточного и итогового контроля Итоговый контроль проводится в форме зачета по завершении каждой части дисциплины. Примерный перечень вопросов к зачету Часть I 1. Содержание и объем понятия. Логические схемы образования математических понятий. 2. Виды определений понятий. Классификация математических понятий. 3. Определения понятия производной в математических курсах. 17
4. Мотивация введения определений производной при построении курсов дифференциального исчисления. Выявление существенных свойств понятий производной. 5. Использование понятий производной, их место в системах других понятий математических дисциплин. 6. Односторонние производные, конструирование дифференциального исчисления функций в терминах односторонних производных. 7. Производная по направлению, производные Дини. 8. Общие и частные теоремы; условные, разделительные и отрицательные теоремы; теоремы существования. 9. Прямая и обратная теоремы в анализе, противоположная и обратная противоположной теоремы. Критерии. 10.Этапы работы с теоремой в курсе математического анализа. 11.Направления обобщения, развития и применения теорем математического анализа. Работа с теоремой как реализация деятельностной основы в отборе содержания обучения. 12.Работа с теоремой Роля на этапе обобщения. 13.Работа с теоремой Лагранжа на этапе обобщения. Часть II 1. Теорема Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом положительных чисел (неравенство Коши). 2. Среднее степенное и его весовой аналог. 3. Средние величины, порождаемые k-кратным средним степенным. 4. Развитие теоремы Лагранжа. Теорема Багмута, Брещенко, Нечаева. 5. Развитие теоремы Лагранжа. Исправленная теорема M. Benсze. 6. Теорема Flett как развитие теоремы Лагранжа. 7. Неравенство Ки Фана как развитие неравенства Коши. 8. Аддитивный аналог неравенства Ки Фана. 9. Индуктивные доказательства неравенства Коши. 10.Доказательство неравенства Коши методами введения вспомогательной функции, вспомогательной последовательности функций. 11.Неравенство Коши как следствие более сильных неравенств. 12.Доказательства неравенства Коши средствами дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных. 13.Интегральные доказательства неравенства Коши. 14.Индуктивные доказательства неравенства Ки Фана. 15.Неравенство Ки Фана как следствие более сильных неравенств. 16.Доказательства неравенства Ки Фана средствами дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных. 17.Интегральные доказательства неравенства Ки Фана. 18.Различные доказательства теоремы Лагранжа. 19.Теорема Коши и еѐ обобщения в обоснованиях формулы Тейлора n-го порядка. 20.Теорема Коши и еѐ обобщения в обоснованиях правил раскрытия неопределѐнностей. 18