Рабочая программа дисциплины составлена в соответствии с федеральными государственными требованиями (приказ Минобрнауки РФ № 1365 от 16.03.2011, в ред. от 29.08.2011) по специальности 13.00.02 – методика обучения и воспитания (математика). Рабочая программа дисциплины разработана Калининым С. И., доктором пед. наук, профессором кафедры математического анализа и методики обучения математике
Рецензент – П. М. Горев, кандидат пед. наук, доцент кафедры математического анализа и методики обучения математике
Рабочая программа дисциплины утверждена на заседании кафедры математического анализа и методики обучения математике 26 сентября 2011 г., протокол № 2.
Вятский государственный гуманитарный университет (ВятГГУ), 2011 г. Калинин С.И., 2011 г.
1.ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Дисциплина «Избранные вопросы математического анализа и методики его преподавания» направлена на расширение и углубление математико-методической подготовки аспирантов специальности 13.00.02 – Теория и методика обучения и воспитания (математика), имеет методологическое и воспитательное значение для расширения научного кругозора обучаемых. Она планируется на первый год обучения в аспирантуре и нацелена на формирование знаний по осмыслению различных современных подходов к конструированию дифференциального исчисления вещественнозначных функций одной и нескольких вещественных переменных, овладение методами выпуклых и логарифмически выпуклых функций, а также реализацию образовательного потенциала тематики неравенств в обучении математике школьников и студентов. 2. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ «Избранные вопросы математического анализа и методики его преподавания» 2.1. Объем дисциплины и виды учебной работы Виды учебной работы очная Общая трудоемкость (в ч./ в З.Е.) Аудиторные занятия Лекции Лабораторные Практические, семинарские занятия Самостоятельная работа аспирантов Виды контроля*
108/3+72/2 54+36 36+20 0 18+16 54+36 Зачет+зачет
Виды учебной работы заочная Общая трудоемкость (в ч./ в З.Е.) Аудиторные занятия Лекции Лабораторные Практические, семинарские занятия Самостоятельная работа аспирантов Виды контроля*
4
108/3+72/2 20+12 12+8 0 8+4 88+60 Зачет+зачет
2.2. Тематический план Разделы 1–3 составляют часть I дисциплины, а разделы 4–5 – часть II.
Практические занятия, семинары
Самостоятельная работа аспирантов
Лекции
16
6
22
6
4
40
6
2
8
2
1
15
4
2
7
2
2
10
6
2
7
2
1
15
10
4
14
4
2
30
4
2
6
2
1
15
6
2
8
2
1
15
10
8
18
2
2
18
3.1. l-производная
2
2
4
0
1
6
3.2. Двусторонняя производная
4
3
7
1
1
6
3.3. П-производная (полная производная)
4
3
7
1
0
6
Итого часть I:
36
18
54
12
8
88
Выпуклые и логарифмически выпуклые функции
8
6
14
3
2
30
4.1. Выпуклые и вогнутые функции
3
2
5
2
1
10
3
2
5
1
0
10
2
2
4
0
1
10
12
10
22
5
2
30
№ п/п
Разделы, основные темы дисциплины
1.
Конструирование дифференциального исчисления функций одной переменной в терминах понятия дифференцируемости по Каратеодори 1.1. Подход Коши в построении основ математического анализа 1.2. Производная Каратеодори 1.3. Применение производной Каратеодори Построение дифференциального исчисления функций нескольких переменных в терминах понятия дифференцируемости по Каратеодори 2.1. Частные производные Каратеодори 2.2. Применение метода Каратеодори в дифференциальном исчислении функций нескольких переменных Другие альтернативные варианты изложения основ дифференциального исчисления функций
2.
3.
4.
5.
4.2. Логарифмически выпуклые и логарифмически вогнутые функции 4.3. Применение логарифмически выпуклых функций Неравенства в математической подготовке студентов и школьников
5
Практические занятия, семинары Самостоятельная работа аспирантов
Лекции
Часы на изучение дисциплины Очная форма Заочная форма
5.1. Функция Г.А. Сорокина и порождаемые ею неравенства 5.2. Неравенства КошиБуняковского, Гѐльдера, Минковского, Чебышѐва 5.3. Среднее степенное и взвешенное среднее степенное положительных чисел 5.4. Геометрические интерпретации средних величин 5.5. Применение неравенств при решении задач Итого часть II:
2
1
3
1
0
2
2
1
3
1
0
6
2
1
3
1
0
10
2
1
3
1
0
2
4
6
10
1
2
10
20
16
36
8
4
60
2.3. Содержание разделов, основных тем дисциплины «Избранные вопросы математического анализа и методики его преподавания» Раздел I. Конструирование дифференциального исчисления функций одной переменной в терминах понятия дифференцируемости по Каратеодори Тема 1.1. Подход Коши в построении основ математического анализа. Предел по Коши, непрерывность, производная. Дифференцируемость функции, связь дифференцируемости с производной. Обзор классических теорем дифференциального исчисления функций. Тема 1.2. Производная Каратеодори. Понятия дифференцируемости функции по Каратеодори и производной функции в точке по Каратеодори. Критерий Коши-Каратеодори дифференцируемости функции. Основные правила вычисления производных, доказательство теорем о дифференцируемости суммы, произведения, частного функций, теоремы о композиции функций, теоремы о производной обратной функции в терминах производной Каратеодори. Производная Каратеодори в доказательстве теоремы Ферма и обосновании необходимых условий монотонности функции. Тема 1.3. Применение производной Каратеодори. Обоснование формул таблицы производных посредством производной Каратеодори. Алгебраический характер метода Каратеодори. Методические аспекты сопоставления методов Коши и Каратеодори. Раздел II. Построение дифференциального исчисления функций нескольких переменных в терминах понятия дифференцируемости по Каратеодори Тема 2.1. Частные производные Каратеодори. Понятие диффереренцируемости по Каратеодори функции нескольких переменных, его эквивалентность понятию дифференцируемости функции по Коши. Понятия частных производных Каратеодори функции в точке. Производная сложной функции одной переменной и частные производные сложной функции нескольких переменных. Методические аспекты техники Каратеодори для функций нескольких переменных. 6
Тема 2.2. Применение метода Каратеодори в дифференциальном исчислении функций нескольких переменных. Обоснование достаточных условий существования производной по направлению. Вывод уравнения касательной плоскости к гладкой поверхности. Раздел III. Другие альтернативные варианты изложения основ дифференциального исчисления функций Тема 3.1. l-производная. Основные теоремы дифференциального исчисления в терминах l-производной. Тема 3.2. Двусторонняя производная. Связь с производной Коши. Свойства двусторонней производной. Критерий существования двусторонней производной. Тема 3.3. П-производная (полная производная). Критерий существования П-производной. Применения П-производной. Раздел IV. Выпуклые и логарифмически выпуклые функции Тема 4.1. Выпуклые и вогнутые функции. Геометрическая интерпретация, свойства выпуклых и вогнутых функций. Неравенство Иенсена. Характеристическое свойство. Тема 4.2. Логарифмически выпуклые и логарифмически вогнутые функции. Определения, геометрическая интерпретация, свойства, примеры. Критерий логарифмической выпуклости. Логарифмическая выпуклость в терминах второй производной. Характеристическое свойство логарифмически выпуклых и вогнутых функций. Неравенство Иенсена. Тема 4.3. Применение логарифмически выпуклых функций. Обоснование неравенств Коши, Ки Фана, Гюйгенса, других неравенств. Логарифмически выпуклые функции в вопросе решения уравнений и их систем, а также в оптимизационных задачах. Образовательный потенциал логарифмически выпуклых функций. Раздел V. Неравенства в математической подготовке студентов и школьников Тема 5.1. Функция Г.А. Сорокина и порождаемые ею неравенства. Функция Г.А. Сорокина, еѐ исследование с помощью производных. Простое и обобщѐнное неравенства Бернулли. Тема 5.2. Неравенства Коши-Буняковского, Гѐльдера, Минковского, Чебышѐва. Доказательство перечисленных неравенств различными методами. Тема 5.3. Среднее степенное и взвешенное среднее степенное положительных чисел. Классические средние величины, соотношения между ними. Свойства среднего степенного как иллюстрация исследования функции средствами дифференциального исчисления. Неравенства, порождаемые средним степенным. Тема 5.4. Геометрические интерпретации средних величин. Иллюстрация средних посредством полукруга, двух квадратов, прямоугольного треугольника, трапеции. Тема 5.5. Применение неравенств при решении задач. 7
Доказательство алгебраических и тригонометрических неравенств, установление геометрических соотношений. Задачи на геометрические экстремумы, на наибольшее и наименьшее значения переменных величин. Метод неравенств решения уравнений. 3. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ дисциплины «Избранные вопросы математического анализа и методики его преподавания» 3.1. Методические рекомендации для преподавателя Основными объектами изучения дисциплины «Избранные вопросы математического анализа и методики его преподавания» являются подходы к конструированию дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных в различных терминах, методы и образовательный потенциал теории логарифмически выпуклых функций и неравенств. Данные объекты имеют метапредметное значение в математической и методической подготовке аспиранта. Успешность усвоения дисциплины предполагает большую долю самостоятельной работы аспирантов, а также их участие в работе научных кафедральных семинарах. Материалы предлагаемой дисциплины могут быть использованы в научноисследовательской работе аспирантов, а также в их работе над диссертацией. Дисциплина «Избранные вопросы математического анализа и методики его преподавания» опирается на хорошие знания курса основ математического анализа для студентов математических направлений подготовки и курса теории и методики обучения математике. По ее завершении аспиранты сдают зачет. 3.2. Методические указания для аспирантов Изучение тем дисциплины в рамках ее разделов преподавателем организуется в соответствии с тематическим планом и содержанием самих тем. При организации самостоятельной работы существенная роль отводится изучению рекомендуемой основной и дополнительной литературы, а также решению специальных задач по предлагаемым темам. Тема 1.1. Подход Коши в построении основ математического анализа. Лекции: 1. Предел по Коши, непрерывность, производная. 2. Дифференцируемость функции, связь дифференцируемости с производной. 3. Обзор классических теорем дифференциального исчисления функций. Семинары: 1. Решение задач на применение производной. Задание для самостоятельной работы: 1. Рассмотрите свойства дифференциалов функций. 2. Исследование функций посредством производных. Литература: [5], [14] Тема 1.2. Производная Каратеодори. Лекции: 8
1. Понятия дифференцируемости функции по Каратеодори и производной функции в точке по Каратеодори. Критерий Коши-Каратеодори дифференцируемости функции. 2. Основные правила вычисления производных, доказательство теорем о дифференцируемости суммы, произведения, частного функций, теоремы о композиции функций, теоремы о производной обратной функции в терминах производной Каратеодори. Семинары: 1. Производная Каратеодори в доказательстве теоремы Ферма и обосновании необходимых условий монотонности функции. Задание для самостоятельной работы: 1. Докажите теоремы о композиции функций и о производной обратной функции различными подходами. Литература: [1], [2], [7] Тема 1.3. Применение производной Каратеодори. Лекции: 1. Обоснование формул таблицы производных посредством производной Каратеодори. 2. Алгебраический характер метода Каратеодори. 3. Методические аспекты сопоставления методов Коши и Каратеодори. Семинары: 1. Вычисление производных элементарных функций методом Каратеодори. Задание для самостоятельной работы: 1. Воспроизведите вывод формул дифференцирования основных элементарных функций стандартным подходом. 2. Рассмотрите на предмет экономичности усилий реализации методов Коши и Каратеодори при обоснование формул таблицы производных. Литература: [1], [2], [7], [5], [14] Тема 2.1. Частные производные Каратеодори. Лекции: 1. Понятие диффереренцируемости по Каратеодори функции нескольких переменных, его эквивалентность понятию дифференцируемости функции по Коши. 2. Понятия частных производных Каратеодори функции в точке. Семинары: 1. Методические аспекты техники Каратеодори для функций нескольких переменных. Задание для самостоятельной работы: 1. Геометрическая интерпретация частных производных Каратеодори функции в точке. Литература: [1], [2], [14] Тема 2.2. Применение метода Каратеодори в дифференциальном исчислении функций нескольких переменных. Лекции: 1. Производная сложной функции одной переменной. 2. Частные производные сложной функции нескольких переменных. 3. Уравнение касательной плоскости и нормали к гладкой поверхности. 9
Семинары: 1. Обоснуйте формулу производной по направлению методом Каратеодори. Задание для самостоятельной работы: Сопоставьте методы Коши и Каратеодори в вопросах обоснования классических фактов теории дифф. исчисления функций нескольких переменных. Литература: [1], [2], [7], [5], [14] Тема 3.1. l-производная. Лекции: 1. Определение понятия l-производной. Основные теоремы дифференциального исчисления в терминах l-производной. Семинары: 1. l-производные основных элементарных функций. Задание для самостоятельной работы: Сформулируйте и докажите свойства l-дифференциалов. Литература: [1], [6], [14] Тема 3.2. Двусторонняя производная. Лекции: 1. Определение понятия двусторонней производной. Связь с производной Коши. 2. Свойства двусторонней производной. Критерий существования двусторонней производной. Семинары: 1. Конструирование дифференциального исчисления в терминах двусторонней производной. Задание для самостоятельной работы: 1. Рассмотрите производную Шварца и постройте соответствующее исчисление функций. Литература: [1], [3], [14] Тема 3.3. П-производная (полная производная). Лекции: 1. Определение понятия полной производной. Связь с производной Коши. 2. Свойства полной производной. Критерий существования П-производной. Семинары: 1. Применения П-производной. Задание для самостоятельной работы: 1. Осуществите сравнение понятий производных функции по Коши, двусторонней и полной. Литература: [1], [2], [3], [14] Тема 4.1. Выпуклые и вогнутые функции. Лекции: 1. Определения, геометрическая интерпретация, свойства выпуклых и вогнутых функций. 2. Неравенство Иенсена. Характеристическое свойство выпуклых и вогнутых функций. Семинары: 10
1. Установление выпуклости и вогнутости на соответствующих промежутках основных элементарных функций. Задание для самостоятельной работы: 1. Рассмотрите критерии и достаточные условия в различных терминах выпуклых и вогнутых функций. 2. Исследуйте вопрос о применении выпуклых и вогнутых функций. Литература: [1], [2], [10], [13] Тема 4.2. Логарифмически выпуклые и логарифмически вогнутые функции. Лекции: 1. Определения, геометрическая интерпретация, свойства, примеры логарифмически выпуклых и логарифмически вогнутых функций. Критерий логарифмической выпуклости. Семинары: 1. Характеристическое свойство логарифмически выпуклых и вогнутых функций. Неравенство Иенсена. Задание для самостоятельной работы: 1. Рассмотрите достаточные условия логарифмической выпуклости функций в терминах второй производной. Литература: [1], [2], [4], [8], [10] Тема 4.3. Применение логарифмически выпуклых функций. Лекции: 1. Обоснование неравенств Коши, Ки Фана, Гюйгенса, других неравенств. Образовательный потенциал логарифмически выпуклых функций. Семинары: 1. Логарифмически выпуклые функции в вопросе решения уравнений и их систем, а также в оптимизационных задачах. Задание для самостоятельной работы: 1. Используя неравенство Иенсена для логарифмически выпуклых функций, обоснуйте оценки снизу для модуля скалярного произведения векторов. 2. Обоснуйте неравенство Коши-Буняковского Литература: [1], [2], [4], [8], [10] Тема 5.1. Функция Г. А. Сорокина и порождаемые ею неравенства. Лекции: 1. Функция Г.А. Сорокина, еѐ исследование с помощью производных. Семинары: 1. Простое и обобщѐнное неравенства Бернулли. Задание для самостоятельной работы: 1. Докажите простое неравенство Бернулли методом индукции. 2. Используя экстремальные значения функции Сорокина, получите новые числовые неравенства. Литература: [1], [2], [9] Тема 5.2. Неравенства Коши-Буняковского, Гѐльдера, Минковского, Чебышѐва. Лекции: 1. Доказательство классических неравенств различными методами. 11
Задание для самостоятельной работы: 1. Докажите простое неравенство Коши тремя индуктивными методами. Литература: [1], [2], [9] Тема 5.3. Среднее степенное и взвешенное среднее степенное положительных чисел. Лекции: 1. Классические средние величины, соотношения между ними. Свойства среднего степенного как иллюстрация исследования функции средствами дифференциального исчисления. Семинары: 1. Неравенства, порождаемые средним степенным. Задание для самостоятельной работы: 1. Изучите определение и свойства взвешенного среднего степенного. Литература: [1], [2], [9] Тема 5.4. Геометрические интерпретации средних величин. Лекции: 1. Иллюстрация средних посредством полукруга, двух квадратов, прямоугольного треугольника, трапеции. Задание для самостоятельной работы: 1. Рассмотрите иллюстрации средних величин в учебниках по школьному курсу математики. Литература: [1], [2], [9] Тема 5.5. Применение неравенств при решении задач. Лекции: 1. Доказательство алгебраических и тригонометрических неравенств, установление геометрических соотношений. 2. Задачи на геометрические экстремумы, на наибольшее и наименьшее значения переменных величин. Семинары: 1. Метод неравенств решения уравнений. 2. Решение иррациональных уравнений при помощи неравенств. 3. Решение трансцендентных уравнений при помощи неравенств. Задание для самостоятельной работы: 1. Проанализировать спектр задач, решаемых с помощью неравенства Коши, с опорой на раздел «Задачи» журнала «Математика в школе». Литература: [1], [2], [9] Перечень основной и дополнительной литературы Основная литература Калинин С. И. Обучение студентов математическому анализу в условиях фундаментализации высшего педагогического образования: Монография. – Киров: Изд-во ВятГГУ, 2008. – 353 с. Калинин С. И. Методическая система обучения студентов педвуза дифференциальному и интегральному исчислению функций в контексте фундаментализации образования: Дис. … д-ра пед. наук. – М., 2010. – 318 с. 3.3.
1.
2.
12
3.
4. 5.
6.
7.
8. 9.
10.
11. 12. 13. 14.
Попов В. А. Преднепрерывность. Производные. П-аналитичность: Монография. – Сыктывкар: Коми пединститут, 2011. – 228 с. Дополнительная литература Аносов Д. В. О сумме логарифмически выпуклых функций // Математическое просвещение. – 2001. – Сер. 3. – Вып. 5. – С. 158–163. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу: Учебник для ун-тов и пед. вузов / Под ред. В. А. Садовничего. – М.: Высш. шк., 1999. – 695 с. Брайчев Г. Г., Меньшикова А. Л. Об одном обобщении понятия производной и его применения в математическом анализе // Научные труды математического факультета Моск. пед. гос. ун-та: Юбилейный сб. 100 лет. – М.: Прометей, 2000. – С. 27–30. Калинин С. И. Об изложении основ дифференциального исчисления вещественнозначных функций одной и нескольких переменных в терминах понятия дифференцируемости функций по Каратеодори // Математическое образование. – 2006. – № 2(37). – С. 18–31. Калинин С. И. Логарифмически выпуклые функции, их свойства и применения // Математика в школе. – 2007. – № 7. – С. 41–50, 76. Калинин С. И. Средние величины степенного типа. Неравенства Коши и Ки Фана: Учеб. пособие по спецкурсу. – Киров: Изд-во ВГГУ, 2002. – 368 с. (гриф УМО). Калинин С. И. Арифметико-геометрические средние в описании характеристического свойства выпуклых и логарифмически выпуклых функций // Математический вестник педвузов и ун-тов Волго-Вят. региона: период. межвуз. сб. науч.-метод. работ. Вып. 8. – Киров: Изд-во ВятГГУ, 2006. – С. 53–58. Калинин С. И. Неравенство Ки Фана // Математика в школе. – 2004. – № 8. – С. 69–72. Калинин С. И. Неравенство Ки Фана и его обобщения // Математическое образование. – 2003. – № 3. – С. 59–76. Калинин С. И. Об одном применении выпуклых функций при решении уравнений // Математика в школе. – 2009. – № 4. – С. 30–35. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. – М.: Наука, 1966. – 607 с.; Т. 2. – 1970. – 800 с.; Т. 3. – 1970. – 656 с. 4. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ И ФОРМЫ ТЕКУЩЕГО, ПРОМЕЖУТОЧНОГО И ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ по дисциплине «Избранные вопросы математического анализа и методики его преподавания» 4.1. Основные требования к уровню освоения аспирантами 13
содержания дисциплины «Избранные вопросы математического анализа и методики его преподавания» Программа дисциплины «Избранные вопросы математического анализа и методики его преподавания» определяет совокупность необходимых для профессиональной подготовки знаний, навыков и умений, которыми должен обладать аспирант в соответствии с требованиями ФГТ. По завершении курса аспирант должен: Знать: возможные подходы к построению дифференциального исчисления функций, альтернативные классическому; понятие и свойства логарифмически выпуклых функций; классические неравенства и направления их приложений; Уметь: сравнивать варианты конструирования теорий дифференциального исчисления в различных терминах; применять положения данных теорий при решении задач; пользоваться аппаратом логарифмически выпуклых функций; применять неравенства в содержательных и образовательных аспектах. Владеть: методами дифференциального исчисления функций, выпуклых и логарифмически выпуклых функций, неравенств для решения математических задач; методикой обучения применению данных методов. 4.2. Формы текущего промежуточного и итогового контроля Итоговый контроль проводится в форме зачета. Примерный перечень вопросов к зачету Часть I 1. Дифференцируемость функции одной переменной по Каратеодори. 2. Производная функции в точке по Каратеодори, ее геометрический смысл. 3. Критерий Коши-Каратеодори дифференцируемости функции. 4. Метод Каратеодори в обосновании основных правил вычисления производных. 5. Производная Каратеодори в доказательстве теоремы Ферма и необходимых условий монотонности функции. 6. Методические аспекты сопоставления методов Коши и Каратеодори. 7. Диффереренцируемость по Каратеодори функции нескольких переменных. 8. Частные производные Каратеодори функции в точке. 9. Метод Каратеодори в обосновании формулы производной сложной функции одной переменной. 14
10. Метод Каратеодори в обосновании формул частных производные сложной функции нескольких переменных. 11. Методические особенности техники Каратеодори для функций нескольких переменных. 12. Метод Каратеодори в обосновании достаточных условий существования производной по направлению и выводе уравнения касательной плоскости к гладкой поверхности. 13. Теоремы дифференциального исчисления функций в терминах l-производной. 14. Двусторонняя производная функции. Критерий существования двусторонней производной. 15. П-производная. Критерий существования П-производной. Часть II 16. Выпуклые и логарифмически вогнутые функции. Геометрическая интерпретация. 17. Логарифмически выпуклые и логарифмически вогнутые функции. Геометрическая интерпретация. 18. Критерий логарифмической выпуклости. Логарифмическая выпуклость в терминах второй производной. 19. Характеристическое свойство логарифмически выпуклых и вогнутых функций. 20. Неравенство Иенсена для логарифмически выпуклых функций. Обоснование неравенств Коши, Ки Фана, Гюйгенса, других неравенств. 21. Образовательный потенциал логарифмически выпуклых функций. 22. Неравенства Коши-Буняковского, Гѐльдера, Минковского, Чебышѐва. 23. Среднее степенное и взвешенное среднее степенное положительных чисел. 24. Неравенства, порождаемые средним степенным. 25. Образовательный потенциал неравенств.
15