УМК_ Компьютерная геометрия 050100.62 ПО.Математика.Информатика.pdf by VyatGGU

Учебно-методический комплекс составлен в соответствии с ФГОС ВПО по направлению подготовки 050100.62 Педагогическое образование, утвержденным Приказом Министерства образования и науки Российской Федерации 17 января 2011 г., регистрационный № 46

Учебно-методический комплекс разработан Н. А. Бушмелевой, кандидатом пед. наук, доцентом кафедры прикладной математики и информатики ВятГГУ

Рецензент – С. М. Окулов, д-р пед. наук, профессор кафедры прикладной математики и информатики ВятГГУ

Учебно-методический комплекс утвержден на заседании кафедры прикладной математики и информатики ВятГГУ «21» февраля 2014 г., протокол № 6

Рабочая программа учебной дисциплины «Компьютерная геометрия» 1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 1.1. Цели и задачи освоения учебной дисциплины «Компьютерная геометрия» Цель дисциплины: Приобретение фундаментальных и прикладных знаний в области компьютерной геометрии, выработка умений построения и исследования геометрических моделей объектов и процессов, овладение основами анализа и синтеза информации о геометрическом образе, приобретение навыков разработки эффективных алгоритмов для решения прикладных задач, заданных в терминах базовых геометрических объектов, формирование умений анализа вычислительных алгоритмов решения геометрических задач, привитие навыков использования графических информационных технологий, двух- и трехмерного геометрического и виртуального моделирования для компьютерного моделирования в науке и технике, создания графических информационных ресурсов и систем в различных предметных областях. Задачи дисциплины:  получение необходимых знаний для проектирования программных систем, использующих решение геометрических задач;  формирование представлений об основных структурах данных, связанных с геометрическими задачами;  развитие способности видеть в конкретных научных и технических проблемах вопросы, задачи, допускающие решения геометрическими методами, уметь формулировать и решать такие задачи;  содействие развитию познавательного интереса к предмету «Компьютерная геометрия», развитию мыслительных способностей студентов посредством включения их в деятельность по решению геометрических задач;  создание условий для воспитания у студентов информационнокоммуникативной культуры, развития у них адекватной самооценки результатов собственной деятельности.  обучение самостоятельному поиску и использованию нормативнотехнической и справочной литературы и электронных источников информации;  воспитание творческого подхода к решению проблем, возникающих в процессе профессиональной деятельности;  воспитание активной и самостоятельной личности с нравственной позицией и нравственным самопознанием.  формирование в ходе изучения курса целостную картину предмета и заложить основы дальнейшего профессионального образования.

1.2. Место дисциплины в структуре программы бакалавриата Учебная дисциплина «Компьютерная геометрия» относится к выборным дисциплинам вариативной части профессионального цикла (Б3.В.ДВ.13.2), изучается на третьем курсе. Она основывается на учебном материале дисциплин «Математика. Вводный курс», «Алгебра», «Математический анализ», «Практикум по решению задач на ЭВМ», изучаемых в средней (полной) общеобразовательной школе и на I-ом курсе. В дальнейшем знания, умения и навыки, полученные при изучении дисциплины «Компьютерная геометрия» будут в значительной мере развиваться и углубляться в процессе изучения других дисциплин математического и естественнонаучного и профессионального циклов. Требования к знаниям, умениям, навыкам студента, необходимым для изучения дисциплины Дисциплина изучается в 3 семестре. Для ее изучения достаточно знаний, умений и навыков, полученных при изучении дисциплины «Математика. Вводный курс», «Алгебра», «Математический анализ», «Практикум по решению задач на ЭВМ», а именно: 1) знать: скалярные величины, векторы, систему координат, базисные вектора в n-пространствах, матрицы, транспонирование матриц, кривые, натуральная параметризация кривой; 2) уметь: выполнять скалярные операции над векторами; описывать точки, кривые через базисные вектора, транспонировать матрицу; описывать параметрически кривые 2-го и 3-порядка; 3) владеть: начальными методами математического анализа, основами алгоритмизации и программирования. 1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины В результате освоения дисциплины обучающийся должен демонстрировать следующие результаты образования: общекультурные компетенции (ОК): 1. владение культурой мышления, способность к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения (ОК1) 1) знать: основы культуры мышления; 2) уметь: проблематизировать мыслительную ситуацию, репрезентировать ее на уровне проблемы; определять пути, способы, стратегии решения проблемных ситуаций; логично формулировать, излагать и 4

аргументированно отстаивать собственное видение проблем и способов их разрешения; 3) владеть: мыслительными операциями анализа и синтеза, сравнения, абстрагирования, конкретизации, обобщения, классификации. 2. способность использовать знания о современной естественнонаучной картине мира в образовательной и профессиональной деятельности, применять методы математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования (ОК-4) 1) знать: методы математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования; 2) уметь: применять методы математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования; 3) владеть: навыком использования знания о современной естественнонаучной картине мира в образовательной и профессиональной деятельности. 3. готовность использовать основные методы, способы и средства получения, хранения, переработки информации, готовность работать с компьютером как средством управления информацией (ОК-8) 1) знать: основные методы, способы и средства получения, хранения, переработки информации; 2) уметь: работать с компьютером как средством управления информацией; 3) владеть: навыком компьютерной обработки информации. 4. способность понимать сущность и значение информации в развитии современного информационного общества, сознавать опасности и угрозы, возникающие в этом процессе, соблюдать основные требования информационной безопасности, в том числе защиты государственной тайны (ОК-12) 1) знать: сущность и значение информации в развитии современного информационного общества; 2) уметь: оценивать степень опасности и угроз информационной безопасности; 3) владеть: навыком защиты информации. профессиональные компетенции (ПК): 5. способность использовать систематизированные теоретические и практические знания гуманитарных, социальных и экономических наук при решении социальных и профессиональных задач (ОПК-2) 1) знать: базовые понятия, факты гуманитарных, социальных и экономических наук; 2) уметь: систематизировать теоретические и практические знания гуманитарных, социальных и экономических наук; 3) владеть: навыком решения социальных и профессиональных задач.

специальные компетенции (СК): 6. знанием предмета и метода математики, ее ведущих идей и понятий, связи с другими науками и практикой, истории развития и современного состояния (СК-1) 1) знать: основные задачи комбинаторной вычислительной геометрии; основные геометрические понятия и факты, лежащие в основе комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии; модели вычислений, нижние оценки сложности и фактическую сложность основных комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии; специальные методы и структуры данных, применяемые при разработке комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии; 2) уметь: самостоятельно составлять машинные алгоритмы и программы решения комбинаторных задач вычислительной геометрии на основе известных методов и алгоритмов; модифицировать известные алгоритмы, реализовывать структуры данных, повышающие эффективность комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии; 3) владеть: методами оценки сложности комбинаторных алгоритмов на основе теоретических (нижних) оценок, а также используя машинные эксперименты. 7. владением методом алгоритмического моделирования при анализе постановок математических задач (СК-7) 1) знать: возможности и этапы моделирования; 2) уметь: формализовывать задачу, строить модели, проводить исследование моделей, осуществлять интерпретацию результатов моделирования; 3) владеть: методом алгоритмического моделирования при анализе постановок математических задач. 8. владением проблемно-задачной формой представления математических и естественнонаучных знаний (СК-8) 1) знать: формы представления математических и естественнонаучных знаний; 2) уметь: давать графическую интерпретацию проблемно-задачной формы представления знаний; 3) владеть: проблемно-задачной формой представления математических и естественнонаучных знаний. 2. КРАТКИЕ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ

РЕКОМЕНДАЦИИ

ДЛЯ

Учебная дисциплина «Компьютерная геометрия» состоит из четырех разделов, рассчитана на один семестр. Каждое лекционное занятие сопровождается презентацией. К каждому лекционному и практическому занятию студенты получают пакет дидактических материалов. 6

Каждый студент на практическом занятии получает развернутый план в электронном или текстовом варианте. Разработана и используется на практических занятиях и для самостоятельной работы студентов система тестов. Лабораторные занятия проводятся в интерактивном режиме, используются приемы современных образовательных технологий: развития критического мышления, проблемного обучения, мастерских, адаптивного обучения, уровневой дифференциации и др. Рекомендуется в процессе изучения каждого раздела предлагать студентам задания для самостоятельной работы по углублению и расширению знаний, для совершенствования умений и формирования практических навыков. Сведения о рекомендуемых к использованию преподавателем образовательных технологий и материально-техническом обеспечении учебной дисциплины «Компьютерная геометрия». № п/п

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Образовательная технология, рекомендуемая к использованию в преподавании учебной дисциплины

Информационная лекция Проблемная лекция Лекция-визуализация Лекция-беседа Метод проектов Метод Дельфи Работа в микрогруппах Метод «6-6» Учебные задачи Электронный практикум

Рекомендуемые средства обучения

Мультимедийный проектор Интерактивная доска Наборы слайдов

Сведения о занятиях, проводимых в интерактивных формах № п/п 1

Показатель Занятия, проводимые в интерактивных формах

Общий объем (по РУП) в часах/ в процентах очная 22 / 40,7%

3. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «Компьютерная геометрия» 3.1. Объем учебной дисциплины и виды учебной работы Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единицы, 108 часов. № п/п 1 2 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 3

Виды учебной работы Трудоемкость (по ФГОС ВПО) Аудиторные занятия, всего в том числе: Лекции Лабораторные работы Практические занятия Семинарские занятия Коллоквиумы Прочие виды аудиторных занятий Самостоятельная работа студентов, всего

Общий объем (по РУП) в часах очная 108 54 18 36

в том числе: 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 4

Контрольная работа Курсовая работа Научно-исследовательская работа Практика Прочие виды самостоятельной работы Вид(ы) промежуточного контроля

зачет

3.2. Матрица соотнесения разделов / тем учебной дисциплины и формируемых в них профессиональных и общекультурных компетенций

Всего:

СК-8

СК-7

СК-1

ОПК-2

Σ общее количество компетенц ий 5

ОК-12

Введение Раздел 1. Алгоритмические модели и специальные структуры данных Тема 1.1. Модели вычислений и сложность алгоритмов Тема 1.2. Специальные структуры данных в комбинаторных геометрических задачах Раздел 2. Выпуклые оболочки Тема 2.1. Основные алгоритмы Тема 2.2. Расширения и приложения Раздел 3. Геометрический поиск Тема 3.1. Введение в геометрический поиск Тема 3.2. Задачи локализации точки Тема 3.3. Задачи регионального поиска Раздел 4. Задачи о близости Тема 4.1. Набор задач о близости Тема 4.2. Решение задач о близости Заключение

ОК-8

Количес тво часов

ОК-4

Разделы / темы учебной дисциплины

ОК-1

Компетенции

+ +

24 12

+ +

32 8

+ +

16 8 8 3

+ +

108

+ +

3.3. Содержание разделов / тем учебной дисциплины «Компьютерная геометрия» Введение Предмет дисциплины (Комбинаторные задачи алгоритмической геометрии) и ее задачи. Исторический обзор. Содержание и форма проведения занятий. Связь с другими дисциплинами учебного плана (в первую очередь с дисциплиной алгоритмы и структуры данных). Раздел 1. Алгоритмические модели и специальные структуры данных Тема 1.1. Модели вычислений и сложность алгоритмов Модели вычислений и абстрактные машины. Метод преобразования задач. Нижние и верхние оценки сложности. Деревья решений и нижние оценки сложности. Тема 1.2. Специальные структуры данных в комбинаторных геометрических задачах Структуры данных для работы с множествами: словарь, приоритетная очередь, сливаемая пирамида, сцепляемая очередь. Реализация сцепляемых очередей на базе АВЛ-деревьев. Рандомизированные двоичные деревья поиска и реализация на их основе сцепляемых очередей. Деревья отрезков. Определение, назначение, свойства, построение, операции. Представление планарных графов реберным списком с двойными связями (РСДС). Обход ребер, инцидентных вершине. Обход ребер вокруг грани. Раздел 2. Выпуклые оболочки Тема 2.1. Основные алгоритмы Выпуклая оболочка: определения. Постановка задачи и нижняя оценка сложности. Представление многоугольника. Обход многоугольника. Использование векторного произведения как базовой операции. Метод обхода Грэхема. Вариант с упорядочиванием относительно внутренней точки. Вариант с упорядочиванием относительно крайней точки. Модификация Эндрью. Обход методом Джарвиса. Сложность в худшем и среднем. Быстрый алгоритм (QuickCH) построения выпуклой оболочки. Алгоритм построения выпуклой оболочки на основе сбалансированного разделения и слияния. Модификация с построением «мостиков». Построение выпуклой оболочки в реальное время. Тема 2.2. Расширения и приложения Алгоритмы аппроксимации выпуклой оболочки. Охватывающая оболочка. Оценка приближения. Задача о глубине множества и ее решение.

Задача о диаметре множества точек. Нижняя оценка (связь с задачей разделимость множеств). Противолежащие пары. Оптимальный алгоритм нахождения диаметра множества. Раздел 3. Геометрический поиск Тема 3.1. Введение в геометрический поиск Виды поиска. Массовый и уникальный поиск. Задача локализации. Задача регионального поиска. Меры оценки алгоритмов поиска: время запроса, память, время предобработки, время коррктировки. Пример решения задачи регионального поиска (подсчета) – метод локусов. Тема 3.2. Задачи локализации точки Принадлежность многоугольнику. Метод луча. Выпуклый многоугольник. Звездный многоугольник. Локализация точки на планарном подразбиении. Метод полос. Предобработка: алгоритм плоского заметания. Локализация. Локализация точки на планарном подразбиении. Метод цепей. Монотонные цепи. Полное множество монотонных цепей графа. Регулярный граф и построение полного множества его монотонных цепей. Регуляризация графа. Локализация в множестве монотонных цепей. Локализация точки на планарном подразбиении. Метод детализации триангуляции. Предобработка. Локализация. Анализ сложности. Тема 3.3. Задачи регионального поиска Метод сетки. Метод квадрантного дерева. Построение адаптивного квадрантного дерева. Процедура поиска. Анализ в худшем случае и в среднем. Метод 2-D дерева. Построение дерева. Поиск. Анализ худшего случая. Региональный поиск. Метод прямого доступа. Двухэтапная схема Дерево отрезков. Метод дерева регионов в задаче регионального поиска. Раздел 4. Задачи о близости Тема 4.1. Набор задач о близости Набор задач о близости (Ближайшая пара, Все ближайшие соседи, Евклидово минимальное остовное дерево - ЕМОД, Триангуляция, Поиск ближайшего соседа). Задача единственности элементов как вычислительный прототип. Нижняя граница сложности. Нижние оценки сложности задач о близости. Тема 4.2. Решение задач о близости Задача о ближайшей паре. Метод сбалансированного разделения и слияния. Диаграмма Вороного. Определение, свойства. Триангуляция Делоне. Построение диаграммы Вороного. Разделяющая цепь. Построение разделяющей цепи. Нижняя оценка для построения диаграммы Вороного. Решение задач о близости с помощью диаграммы Вороного. Решение задачи о Евклидовом МОД. 11

Заключение Другие задачи комбинаторной вычислительной геометрии. Приложения. Перспективы. 3.4. Тематический план учебной дисциплины «Компьютерная геометрия» а) аудиторные занятия РАЗДЕЛЫ / ТЕМЫ УЧЕБНОЙ

ВИД УЧЕБНОЙ

ДИСЦИПЛИНЫ

РАБОТЫ

ЧАСОВ

ФОРМА ТЕКУЩЕГО

ОБУЧЕНИЯ

КОНТРОЛЯ

Информационная лекция Раздел 1. Алгоритмические модели и специальные структуры данных Тема 1.1. Модели Лекция 2 Информационная вычислений и сложность лекция алгоритмов Лабораторная 2 Работа в работа микрогруппах Тема 1.2. Специальные Лекция 2 Лекция с структуры данных в применением комбинаторных затрудняющих геометрических задачах условий Лабораторная 10 Метод «6-6» работа РАЗДЕЛ 2. ВЫПУКЛЫЕ ОБОЛОЧКИ Тема 2.1. Основные Лекция 2 Лекция-беседа алгоритмы Лабораторная 4 Учебные задачи работа Тема 2.2. Расширения и Лекция 2 Информационная приложения лекция Лабораторная 4 Учебные задачи работа РАЗДЕЛ 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ПОИСК Тема 3.1. Введение в Лекция 2 Информационная геометрический поиск лекция Введение

Тема 3.2. Задачи локализации точки Тема 3.3. Задачи регионального поиска

Лекция

ТЕХНОЛОГИЯ

Тест Опрос Индивидуальное домашнее задание Защита собственных идей и методов решения Опрос Контрольная работа Индивидуальное домашнее задание Анализ решения задач Индивидуальное домашнее задание Анализ решения задач

Лабораторная работа Лекция

Учебные задачи

Опрос

Лабораторная работа Лекция

Информационная лекция Учебные задачи

Тест

Лабораторная работа

Информационная лекция Занятиевизуализация

Метод проектов РАЗДЕЛ 4. ЗАДАЧИ О БЛИЗОСТИ 12

Тест

Защита разработанных опорных конспектов Защита проектов

Тема 4.1. Набор задач о близости

Лекция Лабораторная работа

2 2

Лекция-беседа Метод Дельфи

Тема 4.2. Решение задач о близости Заключение

Лабораторная работа Лекция

Метод проектов

Тест Защита разработанных вариантов Защита проектов

Лекциявизуализация

Индивидуальное домашнее задание

Итого

б) самостоятельная аудиторная работа РАЗДЕЛЫ / ТЕМЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

Введение

ВИД УЧЕБНОЙ РАБОТЫ (ФОРМА САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ)

РЕЗУЛЬТАТ

Слежение за планом чтения лекции, проработка конспекта лекции.

Знание основ культуры мышления; сущности и значения информации в развитии современного информационного общества; базовых понятий, фактов гуманитарных, социальных и экономических наук; знание основных задач комбинаторной вычислительной геометрии, основных геометрических понятий и фактов, лежащих в основе комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии, моделей вычислений, нижних оценок сложности и фактической сложности основных комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии, специальных методов и структур данных, применяемых при разработке комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии; форм представления математических и естественнонаучных знаний. Умение проблематизировать мыслительную ситуацию, репрезентировать ее на уровне проблемы; применять методы математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования; работать с компьютером как средством управления информацией; оценивать степень опасности и угроз информационной безопасности; систематизировать теоретические и практические знания гуманитарных, социальных и экономических наук; самостоятельно составлять машинные алгоритмы и программы решения

комбинаторных задач вычислительной геометрии на основе известных методов и алгоритмов, модифицировать известные алгоритмы, реализовывать структуры данных, повышающие эффективность комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии; давать графическую интерпретацию проблемнозадачной формы представления знаний. Раздел 1. Алгоритмические модели и специальные структуры данных Тема 1.1. Модели вычислений и сложность алгоритмов

Слежение за планом чтения лекции, проработка конспекта лекции. Обсуждение методов решения в микрогруппах.

Знание основ культуры мышления; методов математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования; сущности и значения информации в развитии современного информационного общества; знание основных задач комбинаторной вычислительной геометрии, основных геометрических понятий и фактов, лежащих в основе комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии, моделей вычислений, нижних оценок сложности и фактической сложности основных комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии, специальных методов и структур данных, применяемых при разработке комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии; форм представления математических и естественнонаучных знаний. Умение проблематизировать мыслительную ситуацию, репрезентировать ее на уровне проблемы; определять пути, способы, стратегии решения проблемных ситуаций; применять методы математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования; оценивать степень опасности и угроз информационной безопасности; самостоятельно составлять машинные алгоритмы и программы решения комбинаторных задач вычислительной геометрии на основе известных методов и алгоритмов, модифицировать известные алгоритмы, реализовывать структуры данных, повышающие эффективность комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии; давать графическую интерпретацию проблемнозадачной формы представления знаний.

Тема 1.2. Специальные структуры данных в комбинаторных геометрических задачах

Коллективное обсуждение материала лекции. Самостоятельное решение задач. Контрольная работа.

Раздел 2. Выпуклые оболочки Тема 2.1. Основные Слежение за планом алгоритмы чтения лекции, проработка конспекта лекции. Тест. Самостоятельное решение задач, сверка ответов в группе.

Знание основ культуры мышления; основных методов, способов и средств получения, хранения, переработки информации; форм представления математических и естественнонаучных знаний. Умение проблематизировать мыслительную ситуацию, репрезентировать ее на уровне проблемы; логично формулировать, излагать и аргументированно отстаивать собственное видение проблем и способов их разрешения; давать графическую интерпретацию проблемно-задачной формы представления знаний. Знание основ культуры мышления; методов математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования; основных методов, способов и средств получения, хранения, переработки информации; базовых понятий, фактов гуманитарных, социальных и экономических наук; знание основных задач комбинаторной вычислительной геометрии, основных геометрических понятий и фактов, лежащих в основе комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии, моделей вычислений, нижних оценок сложности и фактической сложности основных комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии, специальных методов и структур данных, применяемых при разработке комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии; возможностей и этапов моделирования; форм представления математических и естественнонаучных знаний. Умение проблематизировать мыслительную ситуацию, репрезентировать ее на уровне проблемы; определять пути, способы, стратегии решения проблемных ситуаций; логично формулировать, излагать и аргументированно отстаивать собственное видение проблем и способов их разрешения; работать с компьютером как средством управления информацией; оценивать степень опасности и угроз информационной безопасности;

Тема 2.2. Расширения и приложения

систематизировать теоретические и практические знания гуманитарных, социальных и экономических наук; самостоятельно составлять машинные алгоритмы и программы решения комбинаторных задач вычислительной геометрии на основе известных методов и алгоритмов, модифицировать известные алгоритмы, реализовывать структуры данных, повышающие эффективность комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии; формализовывать задачу, строить модели, проводить исследование моделей, осуществлять интерпретацию результатов моделирования; давать графическую интерпретацию проблемно-задачной формы представления знаний. Выполнение Знание основ культуры мышления; лабораторной работы базовых понятий, фактов гуманитарных, в соответствии с социальных и экономических наук; знание инструкциями. основных задач комбинаторной вычислительной геометрии, основных геометрических понятий и фактов, лежащих в основе комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии, моделей вычислений, нижних оценок сложности и фактической сложности основных комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии, специальных методов и структур данных, применяемых при разработке комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии; возможностей и этапов моделирования; форм представления математических и естественнонаучных знаний. Умение проблематизировать мыслительную ситуацию, репрезентировать ее на уровне проблемы; работать с компьютером как средством управления информацией; оценивать степень опасности и угроз информационной безопасности; систематизировать теоретические и практические знания гуманитарных, социальных и экономических наук; самостоятельно составлять машинные алгоритмы и программы решения комбинаторных задач вычислительной геометрии на основе известных методов и алгоритмов, модифицировать известные алгоритмы, реализовывать структуры 16

данных, повышающие эффективность комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии; формализовывать задачу, строить модели, проводить исследование моделей, осуществлять интерпретацию результатов моделирования; давать графическую интерпретацию проблемно-задачной формы представления знаний. Раздел 3. Геометрический поиск Тема 3.1. Введение в Слежение за планом геометрический поиск чтения лекции, проработка конспекта лекции.

Знание методов математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования; основных методов, способов и средств получения, хранения, переработки информации; знание основных задач комбинаторной вычислительной геометрии, основных геометрических понятий и фактов, лежащих в основе комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии, моделей вычислений, нижних оценок сложности и фактической сложности основных комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии, специальных методов и структур данных, применяемых при разработке комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии; возможностей и этапов моделирования; форм представления математических и естественнонаучных знаний. Умение определять пути, способы, стратегии решения проблемных ситуаций; логично формулировать, излагать и аргументированно отстаивать собственное видение проблем и способов их разрешения; оценивать степень опасности и угроз информационной безопасности; систематизировать теоретические и практические знания гуманитарных, социальных и экономических наук; самостоятельно составлять машинные алгоритмы и программы решения комбинаторных задач вычислительной геометрии на основе известных методов и алгоритмов, модифицировать известные алгоритмы, реализовывать структуры данных, повышающие эффективность комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии; формализовывать задачу, строить модели, проводить исследование моделей,

Тема 3.2. Задачи локализации точки

Слежение за планом чтения лекции, проработка конспекта лекции. Тест. Представление материала в виде таблиц, схем и пр.

осуществлять интерпретацию результатов моделирования; давать графическую интерпретацию проблемно-задачной формы представления знаний. Знание основ культуры мышления; методов математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования; основных методов, способов и средств получения, хранения, переработки информации; базовых понятий, фактов гуманитарных, социальных и экономических наук; знание основных задач комбинаторной вычислительной геометрии, основных геометрических понятий и фактов, лежащих в основе комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии, моделей вычислений, нижних оценок сложности и фактической сложности основных комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии, специальных методов и структур данных, применяемых при разработке комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии; возможностей и этапов моделирования; форм представления математических и естественнонаучных знаний. Умение проблематизировать мыслительную ситуацию, репрезентировать ее на уровне проблемы; определять пути, способы, стратегии решения проблемных ситуаций; логично формулировать, излагать и аргументированно отстаивать собственное видение проблем и способов их разрешения; работать с компьютером как средством управления информацией; оценивать степень опасности и угроз информационной безопасности; систематизировать теоретические и практические знания гуманитарных, социальных и экономических наук; самостоятельно составлять машинные алгоритмы и программы решения комбинаторных задач вычислительной геометрии на основе известных методов и алгоритмов, модифицировать известные алгоритмы, реализовывать структуры данных, повышающие эффективность комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии;

Тема 3.3. Задачи регионального поиска

формализовывать задачу, строить модели, проводить исследование моделей, осуществлять интерпретацию результатов моделирования; давать графическую интерпретацию проблемно-задачной формы представления знаний. Коллективное Знание основ культуры мышления; обсуждение методов математической обработки материала лекции. информации, теоретического и Тест. экспериментального исследования; Работа в малых основных методов, способов и средств группах: обсуждение получения, хранения, переработки результатов. информации; базовых понятий, фактов гуманитарных, социальных и экономических наук; знание основных задач комбинаторной вычислительной геометрии, основных геометрических понятий и фактов, лежащих в основе комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии, моделей вычислений, нижних оценок сложности и фактической сложности основных комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии, специальных методов и структур данных, применяемых при разработке комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии; возможностей и этапов моделирования; форм представления математических и естественнонаучных знаний. Умение проблематизировать мыслительную ситуацию, репрезентировать ее на уровне проблемы; определять пути, способы, стратегии решения проблемных ситуаций; логично формулировать, излагать и аргументированно отстаивать собственное видение проблем и способов их разрешения; работать с компьютером как средством управления информацией; оценивать степень опасности и угроз информационной безопасности; систематизировать теоретические и практические знания гуманитарных, социальных и экономических наук; самостоятельно составлять машинные алгоритмы и программы решения комбинаторных задач вычислительной геометрии на основе известных методов и алгоритмов, модифицировать известные алгоритмы, реализовывать структуры данных, повышающие эффективность 19

комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии; формализовывать задачу, строить модели, проводить исследование моделей, осуществлять интерпретацию результатов моделирования; давать графическую интерпретацию проблемно-задачной формы представления знаний. Раздел 4. Задачи о близости Тема 4.1. Набор задач о Слежение за планом близости чтения лекции, проработка конспекта лекции. .

Тема 4.2. Решение задач о близости

моделирования; давать графическую интерпретацию проблемно-задачной формы представления знаний. Проработка конспекта Знание основ культуры мышления; лекции. методов математической обработки Самостоятельное информации, теоретического и решение задач. экспериментального исследования; Контрольная работа основных методов, способов и средств получения, хранения, переработки информации; базовых понятий, фактов гуманитарных, социальных и экономических наук; знание основных задач комбинаторной вычислительной геометрии, основных геометрических понятий и фактов, лежащих в основе комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии, моделей вычислений, нижних оценок сложности и фактической сложности основных комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии, специальных методов и структур данных, применяемых при разработке комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии; возможностей и этапов моделирования; форм представления математических и естественнонаучных знаний. Умение проблематизировать мыслительную ситуацию, репрезентировать ее на уровне проблемы; определять пути, способы, стратегии решения проблемных ситуаций; логично формулировать, излагать и аргументированно отстаивать собственное видение проблем и способов их разрешения; работать с компьютером как средством управления информацией; оценивать степень опасности и угроз информационной безопасности; систематизировать теоретические и практические знания гуманитарных, социальных и экономических наук; самостоятельно составлять машинные алгоритмы и программы решения комбинаторных задач вычислительной геометрии на основе известных методов и алгоритмов, модифицировать известные алгоритмы, реализовывать структуры данных, повышающие эффективность комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии; формализовывать задачу, строить модели, 21

Заключение

проводить исследование моделей, осуществлять интерпретацию результатов моделирования; давать графическую интерпретацию проблемно-задачной формы представления знаний. Слежение за планом Знание основ культуры мышления; чтения лекции, сущности и значения информации в проработка конспекта развитии современного информационного лекции. общества; базовых понятий, фактов гуманитарных, социальных и экономических наук; знание основных задач комбинаторной вычислительной геометрии, основных геометрических понятий и фактов, лежащих в основе комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии, моделей вычислений, нижних оценок сложности и фактической сложности основных комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии, специальных методов и структур данных, применяемых при разработке комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии; форм представления математических и естественнонаучных знаний. Умение проблематизировать мыслительную ситуацию, репрезентировать ее на уровне проблемы; применять методы математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования; работать с компьютером как средством управления информацией; оценивать степень опасности и угроз информационной безопасности; систематизировать теоретические и практические знания гуманитарных, социальных и экономических наук; самостоятельно составлять машинные алгоритмы и программы решения комбинаторных задач вычислительной геометрии на основе известных методов и алгоритмов, модифицировать известные алгоритмы, реализовывать структуры данных, повышающие эффективность комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии; давать графическую интерпретацию проблемнозадачной формы представления знаний.

в) занятия в интерактивных формах РАЗДЕЛЫ / ТЕМЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ № п/п

1 2

3 4 5 6 7 8 9

Общий объем (по РУП) в часах очная 6 2 4 4 2 2 6 2 2 2 6 2 4 22

Итого г) самостоятельная внеаудиторная работа РАЗДЕЛЫ / ТЕМЫ

ВИД УЧЕБНОЙ РАБОТЫ

УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

(ФОРМА САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ)

Проработка конспекта лекций. Работа с литературными источниками.

Введение

ЧАСОВ ОЧНАЯ

РЕЗУЛЬТАТ Владение мыслительными операциями анализа и синтеза, сравнения, абстрагирования, конкретизации, обобщения, классификации; навыком защиты информации; навыком решения социальных и профессиональных задач; методами оценки сложности комбинаторных алгоритмов на основе теоретических (нижних) оценок, а также используя машинные эксперименты; проблемно-задачной формой представления математических и естественнонаучных знаний.

Раздел 1. Алгоритмические модели и специальные структуры данных Тема 1.1. Модели вычислений и сложность

Проработка конспекта лекций. Работа с литературными источниками.

Владение мыслительными операциями анализа и синтеза, сравнения, абстрагирования, конкретизации, обобщения,

алгоритмов

Тема 1.2. Специальные структуры данных в комбинаторных геометрических задачах

Подготовка к тесту. Выполнение домашнего задания.

Проработка конспекта лекций. Работа с литературными источниками. Выполнение контролирующего индивидуального домашнего задания.

классификации; навыком использования знания о современной естественнонаучной картине мира в образовательной и профессиональной деятельности; навыком защиты информации; методами оценки сложности комбинаторных алгоритмов на основе теоретических (нижних) оценок, а также используя машинные эксперименты; проблемно-задачной формой представления математических и естественнонаучных знаний. Владение мыслительными операциями анализа и синтеза, сравнения, абстрагирования, конкретизации, обобщения, классификации; навыком компьютерной обработки информации; проблемно-задачной формой представления математических и естественнонаучных знаний.

Раздел 2. Выпуклые оболочки

Тема 2.1. Основные алгоритмы

Изучение материала, вынесенного на самостоятельную проработку. Подготовка к тесту. Выполнение домашнего задания.

Тема 2.2. Расширения и приложения

Проработка конспекта лекций. Работа с литературными источниками. Выполнение индивидуальных расчетно-

Владение мыслительными операциями анализа и синтеза, сравнения, абстрагирования, конкретизации, обобщения, классификации; навыком использования знания о современной естественнонаучной картине мира в образовательной и профессиональной деятельности; навыком компьютерной обработки информации; методами оценки сложности комбинаторных алгоритмов на основе теоретических (нижних) оценок, а также используя машинные эксперименты; методом алгоритмического моделирования при анализе постановок математических задач; проблемнозадачной формой представления математических и естественнонаучных знаний. Владение мыслительными операциями анализа и синтеза, сравнения, абстрагирования, конкретизации, обобщения, классификации; навыком решения социальных и профессиональных

графических работ.

задач; методами оценки сложности комбинаторных алгоритмов на основе теоретических (нижних) оценок, а также используя машинные эксперименты; методом алгоритмического моделирования при анализе постановок математических задач; проблемнозадачной формой представления математических и естественнонаучных знаний.

Раздел 3. Геометрический поиск

Тема 3.1. Введение в геометрический поиск

Проработка конспекта лекций. Работа с литературными источниками. Подготовка к тесту. Обмен, систематизация и анализ предложенных микрогруппами на занятии опорных конспектов.

Тема 3.2. Задачи локализации точки

Проработка конспекта лекций. Работа с литературными источниками. Подготовка к тесту. Обмен, систематизация и анализ предложенных микрогруппами на занятии способов решения.

Владение навыком использования знания о современной естественнонаучной картине мира в образовательной и профессиональной деятельности; навыком компьютерной обработки информации; методами оценки сложности комбинаторных алгоритмов на основе теоретических (нижних) оценок, а также используя машинные эксперименты; методом алгоритмического моделирования при анализе постановок математических задач; проблемнозадачной формой представления математических и естественнонаучных знаний. Владение мыслительными операциями анализа и синтеза, сравнения, абстрагирования, конкретизации, обобщения, классификации; навыком использования знания о современной естественнонаучной картине мира в образовательной и профессиональной деятельности; навыком компьютерной обработки информации; навыком решения социальных и профессиональных задач; методами оценки сложности комбинаторных алгоритмов на основе теоретических (нижних) оценок, а также используя машинные эксперименты; методом алгоритмического моделирования при анализе постановок математических задач; проблемнозадачной формой представления

Тема 3.3. Задачи регионального поиска

математических и естественнонаучных знаний. Владение мыслительными операциями анализа и синтеза, сравнения, абстрагирования, конкретизации, обобщения, классификации; навыком использования знания о современной естественнонаучной картине мира в образовательной и профессиональной деятельности; навыком компьютерной обработки информации; навыком решения социальных и профессиональных задач; методами оценки сложности комбинаторных алгоритмов на основе теоретических (нижних) оценок, а также используя машинные эксперименты; методом алгоритмического моделирования при анализе постановок математических задач; проблемнозадачной формой представления математических и естественнонаучных знаний.

Раздел 4. Задачи о близости

Проработка конспекта лекций. Тема 4.1. Набор Работа с литературными задач о близости источниками.

Тема 4.2. Решение задач о близости

Изучение материала, вынесенного на самостоятельную проработку. Подготовка докладов. Решение задач. Выполнение контролирующего

индивидуального домашнего задания.

Заключение

Проработка конспекта лекций. Работа с литературными источниками.

ИТОГО

деятельности; навыком компьютерной обработки информации; навыком решения социальных и профессиональных задач; методами оценки сложности комбинаторных алгоритмов на основе теоретических (нижних) оценок, а также используя машинные эксперименты; методом алгоритмического моделирования при анализе постановок математических задач; проблемнозадачной формой представления математических и естественнонаучных знаний. Владение мыслительными операциями анализа и синтеза, сравнения, абстрагирования, конкретизации, обобщения, классификации; навыком защиты информации; навыком решения социальных и профессиональных задач; методами оценки сложности комбинаторных алгоритмов на основе теоретических (нижних) оценок, а также используя машинные эксперименты; проблемно-задачной формой представления математических и естественнонаучных знаний.

4. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ Введение Аудиторные занятия Лекция 1. Введение (1 ч.) План лекции: 1. Предмет дисциплины (Комбинаторные задачи алгоритмической геометрии) и ее задачи. 2. Исторический обзор. 3. Содержание и форма проведения занятий. 4. Связь с другими дисциплинами учебного плана (в первую очередь с дисциплиной алгоритмы и структуры данных).

Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/п

Вид самостоятельной работы

Форма самостоятельной работы

Форма отчетности

Общая

Проработка конспекта лекции

Конспект лекции

Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/п

Вид самостоятельной работы

Общая (теоретическая подготовка)

Форма самостоятельной работы Работа с конспектами лекций и литературными источниками

Срок сдачи

Форма отчетности

Очередная лекция

Опрос

Раздел 1. Алгоритмические модели и специальные структуры данных Тема 1.1. Модели вычислений и сложность алгоритмов Аудиторные занятия Лекция 2. Модели вычислений и сложность алгоритмов (2 ч.) План лекции: 1. Введение в предмет «Компьютерная геометрия». 2. Математическое обеспечение дисциплины. 3. Понятие сложности алгоритмов. 4. Примеры алгоритмов и оценка их сложности. 5. Моделирование геометрических объектов: структуры данных для их описания, некоторые алгоритмы обработки. Лабораторная работа №1. Модели вычислений и сложность алгоритмов (2 ч.) План: 1. Актуализация основных теоретических понятий. 2. Вычисление сложности  линейного алгоритма;  алгоритма сортировки массива методом обмена;  алгоритма бинарного поиска;  рекурсивного алгоритма на примере сортировки массива методом слияния. 3. Самостоятельное решение задач по теме занятия. 4. Подведение итогов, домашнее задание. 28

Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/п

Вид самостоятельной работы

Форма самостоятельной работы

Форма отчетности

Общая

Проработка конспекта лекции, решение задач под руководством преподавателя, письменное выполнение теста

Индивидуальная

Индивидуальное решение задач

Групповая

Самостоятельное решение задач в группе Разбор решенных задач

Конспект лекции, текст программ, сверка полученных ответов Текст, программа, устное сообщение Мозговой штурм, защита групповых решений, доклад, презентация

Самостоятельная аудиторная работа по данной теме проводится в интерактивной форме на практических занятиях. Занятия проводятся по следующей схеме: постановка проблемы – решение проблемы – рефлексия. На первом этапе перед студентами формулируется проблема / задача и в малых группах обсуждаются возможные пути / варианты решения обозначенной проблемы. На этом этапе происходит активный обмен мнениями в процессе межличностного взаимодействия. На следующем этапе каждая малая группа студентов выбирает для себя оптимальный, по ее мнению, вариант решения обозначенной задачи и переходит к самостоятельной реализации этого решения. В ходе третьего этапа происходит коллективное обсуждение полученных результатов, включающее в себя анализ правильности полученных решений, их сравнение, выбор среди них оптимального. Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины Форма самостоятельной работы Работа к конспектами лекций и литературными источниками

№ п/п

Вид самостоятельной работы

Общая (теоретическая подготовка)

Общая (практическая подготовка)

Решение задач по заданной тематике

Очередное практическое

Индивидуальная

Индивидуальное решение задач

Через 2 недели

Срок сдачи

Форма отчетности

Очередная лекция

Опрос Программа, доклад, текст, презентация Текст, программа, устное сообщение

Тема 1.2. Специальные структуры данных в комбинаторных геометрических задачах Аудиторные занятия Лекция 3. Специальные структуры данных в комбинаторных геометрических задачах (2 ч.) План лекции: 1. Структуры данных для работы с множествами: словарь, приоритетная очередь, сливаемая пирамида, сцепляемая очередь. 2. Рандомизированные двоичные деревья поиска и реализация на их основе сцепляемых очередей. 3. Деревья отрезков. Определение, назначение, свойства, построение, операции. 4. Представление планарных графов реберным списком с двойными связями. Обход в графах. Лабораторная работа №2. Алгоритмы синтеза фигур из отрезков прямых (2 ч.) План: 1. Описать процедуру рисования N-угольной звезды, где N - четное число. Звезда должна состоять из двух пересекающихся правильных N/2-угольников (например, при N=8 - пересечение двух квадратов ). 2. Описать процедуру рисования N-угольной звезды, где N кратно трем. Звезда должна состоять из трех пересекающихся правильных N/3-угольников (при N=9 - пересечение трех треугольников ). 3. Описать процедуры рисования многоугольников и звезд с дополнительными отрезками. 4. Описать процедуры рисования многоугольников и звезд с растяжкой по горизонтали или вертикали. 5. Описать программу заполнения прямоугольных областей орнаментом с использованием процедур рисования правильных многоугольников и звезд. 6. а б в г

Лабораторная работа №3-4. Простейшие геометрические задачи (4 ч.) План: 1. Фронтальный опрос по теме. 2. Даны 3 точки A, B и C. Определить, лежат ли они на одной прямой. 3. Даны 3 точки A, B и C, не лежащие на одной прямой. Определить, является обход A→B→C обходом по часовой стрелке или против часовой стрелки. 4. Даны 4 точки A, B, C и D. Определить, пересекаются ли отрезки AC и BD. 5. Даны 4 точки A, B, C и D. Определить, является ли четырехугольник ABCD выпуклым. 6. Защита групповых решений, подведение итогов, домашнее задание. Лабораторная работа №5-6. Простейшие геометрические задачи (4 ч.) План: 1. Фронтальный опрос по теме. 2. Реализация на основе рандомизированных двоичных деревьев сцепляемых очередей. 3. Построение дерева отрезков и реализация основных операций на нем. 4. Представление планарных графов реберным списком с двойными связями. Обход в графах. 5. Тест по теме. Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/п

Вид самостоятельной работы

Форма самостоятельной работы

Форма отчетности

Общая

Проработка конспекта лекции, решение задач под руководством преподавателя, письменное выполнение теста

Индивидуальная

Индивидуальное решение задач

Групповая

Самостоятельное решение задач в группе Разбор решенных задач

обозначенной задачи и переходит к самостоятельной реализации этого решения. В ходе третьего этапа происходит коллективное обсуждение полученных результатов, включающее в себя анализ правильности полученных решений, их сравнение, выбор среди них оптимального. Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины Форма самостоятельной работы Работа к конспектами лекций и литературными источниками

№ п/п

Вид самостоятельной работы

Срок сдачи

Форма отчетности

Общая (теоретическая подготовка)

Очередная лекция

Опрос

Общая (практическая подготовка)

Решение задач по заданной тематике

Очередная лабораторная работа

Индивидуальная

Индивидуальное решение задач

Через 2 недели

Программа, доклад, текст, презентация Текст, программа, устное сообщение

Раздел 2. Выпуклые оболочки Тема 2.1. Основные алгоритмы Аудиторные занятия Лекция 4. Основные алгоритмы построения выпуклых оболочек (2 ч.) План лекции: 1. Определение выпуклой оболочки множества точек. 2. Определение выпуклой оболочки многоугольника. 3. Основные математические факты и формулы, необходимые для решения задачи построения выпуклой оболочки. 4. Алгоритм Грэхема. 5. Алгоритм Джарвиса. 6. Оценка сложности алгоритмов и их сравнение. Лабораторная работа №7-8. Основные алгоритмы построения выпуклых оболочек (4 ч.) План: 1. Актуализация геометрических знаний. Основные понятия. 2. Постановка задачи построения выпуклой оболочки множества точек и ее уточнение. 3. Программная реализация алгоритма Грэхема. 4. Программная реализация Алгоритма Джарвиса. 32

5. Сравнительная характеристика реализованных алгоритмов. 6. Модификация алгоритмов для решения задачи о выпуклой оболочке многоугольника. Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/п

Вид самостоятельной работы

Форма самостоятельной работы

Форма отчетности

Общая

Проработка конспекта лекции, решение задач под руководством преподавателя, письменное выполнение теста

Индивидуальная

Индивидуальное решение задач

Групповая

Самостоятельное решение задач в группе Разбор решенных задач

№ п/п

Вид самостоятельной работы

Общая (теоретическая подготовка)

Общая (практическая подготовка)

Решение задач по заданной тематике

Очередная лабораторная работа

Индивидуальная

Индивидуальное решение задач

Через 2 недели

Срок сдачи

Форма отчетности

Очередная лекция

Опрос Программа, доклад, текст, презентация Текст, программа, устное сообщение

Тема 2.2. Расширения и приложения Аудиторные занятия Лекция 5. Расширения и приложения (2 ч.) План лекции: 1. Алгоритмы аппроксимации выпуклой оболочки. Оценка приближения. 2. Задача о глубине множества и ее решение. 3. Задача о диаметре множества точек. Противолежащие пары. Оптимальный алгоритм нахождения диаметра множества. Лабораторная работа №9-10. Расширения и приложения методов построения выпуклых оболочек (4 ч.) План: 1. Фронтальный опрос по теме. 2. Решение задач с использованием алгоритмов построения выпуклых оболочек. 3. Тест «Выпуклые оболочки». Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/п

Вид самостоятельной работы

Форма самостоятельной работы

Форма отчетности

Общая

Проработка конспекта лекции, решение задач под руководством преподавателя, письменное выполнение теста

Индивидуальная

Индивидуальное решение задач

Групповая

Самостоятельное решение задач в группе Разбор решенных задач

Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины Форма самостоятельной работы Работа к конспектами лекций и литературными источниками

№ п/п

Вид самостоятельной работы

Срок сдачи

Форма отчетности

Общая (теоретическая подготовка)

Очередная лекция

Опрос

Общая (практическая подготовка)

Решение задач по заданной тематике

Очередная лабораторная работа

Индивидуальная

Индивидуальное решение задач

Через 2 недели

Программа, доклад, текст, презентация Текст, программа, устное сообщение

Раздел 3. Геометрический поиск Тема 3.1. Введение в геометрический поиск Аудиторные занятия Лекция 6. Введение в геометрический поиск (2 ч.) План лекции: 1. Постановка задачи поиска. 2. Виды поиска: массовый и уникальный. 3. Постановка задачи локализации. 4. Постановка задачи регионального поиска. 5. Меры оценки алгоритмов поиска: время запроса, память, время предобработки, время корректировки. Лабораторная работа №11. Локализация точки на планарном подразбиении. Региональный поиск-подсчет (2 ч.) План: 1. Фронтальный опрос по теме. 2. Актуализация методов сортировки массива. 3. Программная реализация методов локализации точки методом полос и регионального поиска-подсчета. 4. Тест «Геометрический поиск».

Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/п

Вид самостоятельной работы

Форма самостоятельной работы

Форма отчетности

Общая

Проработка конспекта лекции, решение задач под руководством преподавателя, письменное выполнение теста

Индивидуальная

Индивидуальное решение задач

Групповая

Самостоятельное решение задач в группе Разбор решенных задач

№ п/п

Вид самостоятельной работы

Общая (теоретическая подготовка)

Общая (практическая подготовка)

Решение задач по заданной тематике

Очередная лабораторная работа

Индивидуальная

Индивидуальное решение задач

Через 2 недели

Срок сдачи

Форма отчетности

Очередная лекция

Опрос Программа, доклад, текст, презентация Текст, программа, устное сообщение

Тема 3.2. Задачи локализации точки Аудиторные занятия Лекция 7. Задачи локализации точки (2 ч.) План лекции 1. Виды многоугольников: выпуклый, звездный. 2. Постановка задачи принадлежности точки многоугольнику. Метод луча. 3. Локализация точки на планарном подразбиении. Метод цепей. 4. Локализация точки на планарном подразбиении. Метод детализации триангуляции. 5. Анализ сложности. Лабораторная работа №12-13. Задачи локализации точки (4 ч.) План 1. Фронтальный опрос по теме. 2. Решение задач, сформулированных на одноименной лекции. 3. Анализ представленных решений. 4. Выполнение контрольной работы. Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/п

Вид самостоятельной работы

Форма самостоятельной работы

Форма отчетности

Общая

Проработка конспекта лекции, решение задач под руководством преподавателя, письменное выполнение теста

Индивидуальная

Индивидуальное решение задач

Групповая

Самостоятельное решение задач в группе Разбор решенных задач

результатов, включающее в себя анализ правильности полученных решений, их сравнение, выбор среди них оптимального. Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины Форма самостоятельной работы Работа к конспектами лекций и литературными источниками

№ п/п

Вид самостоятельной работы

Срок сдачи

Форма отчетности

Общая (теоретическая подготовка)

Очередная лекция

Опрос

Общая (практическая подготовка)

Решение задач по заданной тематике

Очередная лабораторная работа

Индивидуальная

Индивидуальное решение задач

Через 2 недели

Программа, доклад, текст, презентация Текст, программа, устное сообщение

Тема 3.3. Задачи регионального поиска Аудиторные занятия Лекция 8. Задачи регионального поиска (2 ч.) План лекции: 1. Постановка задачи регионального поиска. 2. Методы решения: метод сетки. 3. Методы решения: метод квадрантного дерева. Построение адаптивного квадрантного дерева. Процедура поиска. Анализ среднего и худшего случаев. 4. Метод 2-D дерева: построение дерева, поиск по дереву. Анализ худшего случая. 5. Метод дерева регионов в задаче регионального поиска. Лабораторная работа №14. Задачи регионального поиска (2 ч.) План: 1. Фронтальный опрос по теме. 2. Решение задач, сформулированных на одноименной лекции. 3. Анализ представленных решений. 4. Составление в малых группах опорного конспекта по данной теме. 5. Защита разработанных опорных конспектов. 6. Подведение итогов, домашнее задание. Лабораторная работа №15. Задачи регионального поиска (2 ч.) Контрольная работа 38

Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/п

Вид самостоятельной работы

Форма самостоятельной работы

Форма отчетности

Общая

Проработка конспекта лекции, решение задач под руководством преподавателя, письменное выполнение теста

Индивидуальная

Индивидуальное решение задач

Групповая

Самостоятельное решение задач в группе Разбор решенных задач

№ п/п

Вид самостоятельной работы

Общая (теоретическая подготовка)

Общая (практическая подготовка)

Решение задач по заданной тематике

Очередная лабораторная работа

Индивидуальная

Индивидуальное решение задач

Через 2 недели

Срок сдачи

Форма отчетности

Очередная лекция

Опрос Программа, доклад, текст, презентация Текст, программа, устное сообщение

Раздел 4. Задачи о близости Аудиторные занятия Тема 4.1. Набор задач о близости Лекция 9. Набор задач о близости (2 ч.) План лекции: 1. Задача о ближайшей паре. 2. Задача о ближайших соседях. 3. Задача о Евклидово минимальное остовное дерево. 4. Триангуляция. 5. Нижние оценки сложности задач о близости. Лабораторная работа №16. Ближайшие объекты на плоскости (2 ч.) План: 1. Фронтальный опрос по теме. 2. Решение задач, сформулированных на одноименной лекции. 3. Анализ представленных решений. 4. Подведение итогов, домашнее задание. Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/п

Вид самостоятельной работы

Форма самостоятельной работы

Форма отчетности

Общая

Проработка конспекта лекции, решение задач под руководством преподавателя, письменное выполнение теста

Индивидуальная

Индивидуальное решение задач

Групповая

Самостоятельное решение задач в группе Разбор решенных задач

№ п/п

Вид самостоятельной работы

Срок сдачи

Форма отчетности

Общая (теоретическая подготовка)

Очередная лекция

Опрос

Общая (практическая подготовка)

Решение задач по заданной тематике

Очередная лабораторная работа

Индивидуальная

Индивидуальное решение задач

Через 2 недели

Программа, доклад, текст, презентация Текст, программа, устное сообщение

Тема 4.2. Решение задач о близости Аудиторные занятия Лабораторная работа №17-18. Решение задач о близости (4 ч.) План: 1. Актуализация теоретических знаний. 2. Решение задач, сформулированных на одноименной лекции. 3. Работа над проектом в малых группах. 4. Защита разработанных проектов. 5. Подведение итогов, домашнее задание. Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/п

Вид самостоятельной работы

Форма самостоятельной работы

Форма отчетности

Общая

Проработка конспекта лекции, решение задач под руководством преподавателя, письменное выполнение теста

Индивидуальная

Индивидуальное решение задач

Групповая

Самостоятельное решение задач в группе Разбор решенных задач

№ п/п

Вид самостоятельной работы

Срок сдачи

Форма отчетности

Общая (теоретическая подготовка)

Очередная лекция

Опрос

Общая (практическая подготовка)

Решение задач по заданной тематике

Очередная лабораторная работа

Индивидуальная

Индивидуальное решение задач

Через 2 недели

Программа, доклад, текст, презентация Текст, программа, устное сообщение

Заключение Аудиторные занятия Лекция 10. Заключение (1 ч.) План: 1. Другие задачи комбинаторной вычислительной геометрии. 2. Приложения. Перспективы. Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/п

Вид самостоятельной работы

Форма самостоятельной работы

Форма отчетности

Общая

Проработка конспекта лекции

Конспект лекции

Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/п

Вид самостоятельной работы

Общая (теоретическая подготовка)

Форма самостоятельной работы Работа с конспектами лекций и литературными источниками

Срок сдачи

Форма отчетности

Очередная лекция

Опрос

Перечень вопросов для самостоятельного изучения и рекомендации по выполнению заданий Тема 1.1. Модели вычислений и сложность алгоритмов Абстрактные машины. Тема 1.2. Специальные структуры данных в комбинаторных геометрических задачах Реализация сцепляемых очередей на базе АВЛ-деревьев. Обход ребер вокруг грани. Тема 2.1. Основные алгоритмы Метод Эндрью. Быстрый алгоритм (QuickCH) построения выпуклой оболочки. Алгоритм построения выпуклой оболочки на основе сбалансированного разделения и слияния. Модификация с построением «мостиков». Тема 2.2. Расширения и приложения Оптимальный алгоритм нахождения диаметра множества. Тема 3.2. Задачи локализации точки Алгоритм плоского заметания. Регулярный граф и построение полного множества его монотонных цепей. Метод детализации триангуляции. Раздел 4. Задачи о близости Тема 4.1. Набор задач о близости Поиск ближайшего соседа. Задача единственности элементов как вычислительный прототип. Нижняя граница сложности. Тема 4.2. Решение задач о близости Метод сбалансированного разделения и слияния. Триангуляция Делоне. Построение диаграммы Вороного. Разделяющая цепь. Построение разделяющей цепи.

5. ПЕРЕЧЕНЬ ОСНОВНОЙ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Основная литература: 1. Григорьева, И. В. Компьютерная графика [Электронный ресурс] / И. В. Григорьева. - М.: Прометей, 2012. - 298 с. (режим доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=211721). 2. Дегтярев, В.М. Компьютерная геометрия и графика [Текст]: учебное пособие / В. М. Дегтярев. – М.: Изд. центр «Академия», 2011. – 192 с. 3. Перемитина, Т. О. Компьютерная графика [Электронный ресурс] : учебное пособие / Т. О. Перемитина. - Томск: Эль Контент, 2012. - 144 с. (режим доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=208688). 4. Петров, М.Н. Компьютерная графика. Учебник для вузов. 3-е изд. (+CD) / М.Н. Петров. – СПб.: Изд. дом «Питер», 2011. – 544 с. Дополнительная литература: 1. Аммерал Л. Машинная графика на языке С: В 4-х книгах. – Сол Систем, 1992. 2. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. — М.: МЦНМО, 1999. 3. Ласло М. Вычислительная геометрия и компьютерная графика на С++: Пер. с англ. – М.: «Бином», 1997. – 304с. 4. Мешков А., Тихомиров Ю. Visual C++ и MFC. - СПб.: БХВ-Петербург, 2002. – 1040с. 5. Никулин Е.А. Компьютерная геометрия и алгоритмы машинной графики. – С.Пб : БХВ-Петербург, 2003. –560с. 6. Порев В.Н. Компьютерная графика. – СПб.: БХВ-Петербург, 2002. –432с. 7. Роджерс Д. Алгоритмические основы машинной графики: Пер. с англ. – М.: Мир, 1989. – 512 с. 8. Роджерс Д., Адаме Дж. Математические основы машинной графики: Пер. с англ. – М.: Мир, 2001. – 604с. 9. Тихомиров Ю. Программирование трехмерной графики. – СПб.: БХВСанкт-Петербург, 1998, 2002. – 256с. 10.Томпсон Н. Секреты программирования трехмерной графики для Windows 95: Пер. с англ. – СПб.: Питер, 1997. – 352 с. 11.Хилл Ф. OpenGL. Программирование компьютерной графики. – С.Пб: Питер, 2002. 1088с. 12.Шикин Е.В., Боресков А.В. Компьютерная графика. Полигональные модели. – М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2001. – 464с. 13.Эйнджел Э. Интерактивная компьютерная графика. Вводный курс на базе OpenGL. Вильямс, 2001, 592с.

6. СИСТЕМА ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ОСВОЕНИЯ СТУДЕНТАМИ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «КОМПЬЮТЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» И ФОРМЫ ТЕКУЩЕГО, ПРОМЕЖУТОЧНОГО И ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ 6.1. Шкала баллов по учебной дисциплине В соответствии с Положением о балльно-рейтинговой системе оценки знаний студентов ВятГГУ по учебной дисциплине предусмотрены следующие виды контроля качества знаний студентов: – входной контроль; – текущая аттестация; – межсессионная аттестация; – промежуточная аттестация в форме зачета. Шкала баллов по учебной дисциплине № п/п

Показатели

Норма баллов

Виды текущей аттестации до межсессионной аттестации 1

Посещение аудиторных занятий

Лабораторная работа

Тесты

4 5

Контрольная работа 10 Индивидуальное контролирующее домашнее задание 5 Виды текущей аттестации после межсессионной аттестации Посещение аудиторных занятий 7 (по 0,5 баллов за занятие) Лабораторная работа 20 Проверочные работы 6 Индивидуальное контролирующее домашнее задание 5 Виды работ и заданий на зачете

1 2 3 4

1 2

6 (по 0,5 баллов за занятие) 16 5

Компьютерное тестирование Теоретические вопросы Всего баллов за зачет Итого:

10 10 20 100

Шкала перевода рейтингового балла в оценку по дисциплине: «зачтено» – 60-100 баллов; Студенты, набравшие менее 60 баллов, получают оценку «не зачтено». 45

6.2. Фонды оценочных средств для проведения текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации Сводные данные по оценке компетенций № п/п

Результат (освоенные компетенции)

ОК-1

ОК-4

ОК-8

ОК-12

ОПК-2

Номер Виды Формы и раздела / Основные показатели оценки результата контр методы темы (для оля контроля текущего контроля) знает: основы культуры мышления; В Контроль Введение, умеет: проблематизировать Т ная работа Темы 1.1, мыслительную ситуацию, М Тест 1.2, 2.1, 2.2, репрезентировать ее на уровне проблемы; П Зачет 3.2, 3.3, 4.2, определять пути, способы, стратегии Заключение решения проблемных ситуаций; логично формулировать, излагать и аргументированно отстаивать собственное видение проблем и способов их разрешения; владеет: мыслительными операциями анализа и синтеза, сравнения, абстрагирования, конкретизации, обобщения, классификации. знает: методы математической Т Контроль Темы 1.1, обработки информации, теоретического М ная работа 2.1, 3.1, 3.2, и экспериментального исследования; П Тест 3.3, 4.1, 4.2 умеет: применять методы Зачет математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования; владеет: навыком использования знания о современной естественнонаучной картине мира в образовательной и профессиональной деятельности. знает: основные методы, способы и Т Тест Темы 1.2, средства получения, хранения, М Зачет 2.1, 3.1, 3.2, переработки информации; П 3.3, 4.1, 4.2 умеет: работать с компьютером как средством управления информацией; владеет: навыком компьютерной обработки информации. знает: сущность и значение информации Т Контроль Введение, в развитии современного М ная работа Темы 1.1, информационного общества; П Тест Заключение умеет: оценивать степень опасности и Зачет угроз информационной безопасности; владеет: навыком защиты информации. знает: базовые понятия, факты Т Контроль- Введение, гуманитарных, социальных и М ная работа Темы 2.2, экономических наук; П Тест 3.2, 3.3, 4.2, 46

умеет: систематизировать теоретические Зачет Заключение и практические знания гуманитарных, социальных и экономических наук; владеет: навыком решения социальных и профессиональных задач. 6 СК-1 знает: основные задачи комбинаторной Т Контроль- Введение, вычислительной геометрии; основные М ная работа Темы 1.1, геометрические понятия и факты, П Тест 2.1, 2.2, 3.1, лежащие в основе комбинаторных Зачет 3.2, 3.3, 4.1, алгоритмов вычислительной геометрии; 4.2, модели вычислений, нижние оценки Заключение сложности и фактическую сложность основных комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии; специальные методы и структуры данных, применяемые при разработке комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии; умеет: самостоятельно составлять машинные алгоритмы и программы решения комбинаторных задач вычислительной геометрии на основе известных методов и алгоритмов; модифицировать известные алгоритмы, реализовывать структуры данных, повышающие эффективность комбинаторных алгоритмов вычислительной геометрии; владеет: методами оценки сложности комбинаторных алгоритмов на основе теоретических (нижних) оценок, а также используя машинные эксперименты. 7 СК-7 знает: возможности и этапы Т Контроль- Темы 2.1, моделирования; М ная работа 2.2, 3.1, 3.2, умеет: формализовывать задачу, строить П Тест 3.3, 4.1, 4.2 модели, проводить исследование Зачет моделей, осуществлять интерпретацию результатов моделирования; владеет: методом алгоритмического моделирования при анализе постановок математических задач. 8 СК-8 знает: формы представления Т Контроль- Введение, математических и естественнонаучных М ная работа Темы 1.1, знаний; П Тест 1.2, 2.1, 2.2, умеет: давать графическую Зачет 3.1, 3.2, 3.3, интерпретацию проблемно-задачной 4.1, 4.2, формы представления знаний; Заключение владеет: проблемно-задачной формой представления математических и естественнонаучных знаний. * в – входной контроль; т – текущий контроль; м – межсессионная аттестация; п – промежуточная аттестация; и – итоговая аттестация. 47

Форма текущего контроля по теме: отчет по лабораторной работе, письменные контрольные работы и тесты. 1.2.1. Входной контроль знаний студентов Примерный перечень вопросов для проверки знаний студентов 1. Алгоритмы линейного и бинарного поиска. 2. Алгоритмы сортировки одномерных массивов. 3. Алгоритмы перебора. 4. Механизм передачи параметров при реализации вспомогательных алгоритмов – процедур и функций. 5. Описание прямоугольной декартовой и полярной систем координат. 6. Формулы перехода из прямоугольной декартовой в полярную систему координат и обратно. 7. Преобразования координат. 8. Основные понятия и формулы аналитической геометрии (скалярное и векторное произведение, расстояние между точками, многоугольник, площадь. 9. Матрицы и определители, основные операции над ними. 6.2.2. Текущая аттестация Примерный перечень вопросов для проведения текущего контроля 1. Основные задачи вычислительной геометрии. Где возникают. 2. Виды систем координат. Где применяются. 3. Основные аффинные преобразования. Применение. 4. Однородные координаты. Особенности. Где применяются. 5. Основные геометрические структуры данных. Примеры применения. 6. Основные геометрические операции. Примеры применения. 7. Способы задания кривых. Где используются. 8. Параметрическое задание кривой. Где используется. 9. Способы задания поверхностей. Где используются. 10. Параметрическое задание поверхности. Где используется. 11. Длина кривой. Методы вычисления. 12. Площадь поверхности. Методы вычисления. 13. Виды сплайнов. Где применяются. 14. Касательная к кривой на плоскости. Примеры использования. 15. Нормаль к кривой на плоскости. Примеры использования. 16. Классы алгоритмов в зависимости от функций роста сложности. Примеры алгоритмов. 17. Методы повышения эффективности геометрических алгоритмов. Где применимы. 48

6.2.3. Межсессионная аттестация Межсессионная аттестация выставляется на основании отчетов студентов о выполнении индивидуальных задач из банка заданий. Банк заданий для индивидуального выполнения: Задача 1. На плоскости заданы две точки A(x1,y1) и B(x2,y2). Определить, какой из отрезков - OA или OB образует больший угол с осью OX. Задача 2. Принадлежит ли точка плоскости A отрезку с конечными точками B и C? Задача 3. 1. Выпуклый многоугольник задается координатами вершин при его обходе по часовой или против часовой стрелки. Контур многоугольника не имеет самопересечений. Определить направление обхода. 2. Выполнить то же самое, но только в случае невыпуклого многоугольника. Задача 4. Отрезок на плоскости задается двумя не совпадающими концевыми точками X(x1,x2) и Y(y1,y2). Из точки Z(z1,z2) к прямой, содержащей отрезок [X,Y], проводится перпендикуляр P. Определить, попадает ли перпендикуляр P на отрезок [X,Y] или на его продолжение. Задача 5. Многоугольник на плоскости задается координатами своих N вершин в порядке обхода их по контуру по часовой стрелке. Считается, что контур самопересечений не имеет. Найти площадь, периметр и углы многоугольника. Задача 6. Определить, пересекается ли прямая ax+b=y и отрезок с концами (x1,y1), (x2,y2). Задача 7. Отрезки на плоскости задаются парами целочисленных концевых точек. Определить, пересекаются ли 2 отрезка.

координат

Задача 8. 1. Треугольник на плоскости задается целочисленными координатами вершин. Для заданной точки Z(x,y) определить, принадлежит ли она стороне треугольника или лежит внутри или вне его. 2. Многоугольник на плоскости задается координатами своих Nвершин в порядке обхода их по контуру по часовой стрелке (контур самопересечений не 49

имеет). Для заданной точки Z(x,y) определить, принадлежит ли она стороне многоугольника или лежит внутри или вне его. Задача 9. На плоскости заданы n отрезков координатами концевых точек. Концы отрезков задаются двумя парами координат (x1[i],y1[i]), (x2[i],y2[i]), 1<=i<=n (концы принадлежат отрезку). Необходимо найти прямую, имеющую общие точки с максимальным числом отрезков, и напечатать в порядке возрастания номера тех отрезков, которые эта прямая пересекает. Задача 10. N точек на плоскости заданы своими координатами. Найти такой минимальный по площади выпуклый многоугольник, что все N точек лежат либо внутри этого многоугольника, либо на его границе (такой выпуклый многоугольник называется выпуклой оболочкой). Задача 11. На решетке размера m*n заданы k точек своими координатами. Необходимо определить, можно ли построить выпуклый многоугольник такой, что каждая точка принадлежит некоторой стороне. Задача 12. N точек на плоскости заданы своими координатами. Найти порядок, в котором можно соединить эти точки, чтобы получился N-угольник (т.е. не было бы пересечений сторон). Задача 13. Представьте себе, что в тетрадке Вы зарисовали на листе какое-то количество клеточек и получили клеточную фигуру. Сколько осей симметрии имеет заданная клеточная фигура. Пояснение: 1) Задается S - число тестов. Для каждого теста задаются NI - размер фигуры по вертикали, NJ - размер фигуры по горизонтали (NI<101, NJ<81) и сама фигура в виде NI строк из нулей и единиц по NJ символов в каждой строке. 2) Числа S, NI, NJ занимают при вводе по три позиции. Пример. Входные данные: 2 (количество тестов) 2 (размер 1-ой фигуры по вертикали) 4 (размер 1-ой фигуры по горизонтали) 1111 1001 3 (размер 2-ой фигуры по вертикали) 5 (размер 2-ой фигуры по горизонтали) 11111 50

11001 11000 Выходные сообщения: 1-АЯ ФИГУРА ИМЕЕТ 1 ОСЕЙ СИММЕТРИИ 2-АЯ ФИГУРА ИМЕЕТ 0 ОСЕЙ СИММЕТРИИ Задача 14. Прямоугольник ABCD задан координатами своих вершин. На противоположных сторонах AB и CD заданы последовательности R1 и R2 из N точек разбиения, а на сторонах BC и AD – R3 и R4 из M точек разбиения. Нумерация элементов последовательности R1 и R2 начинается соответственно от точек A и D, а в R3 и R4 – от B и A. Соединив отрезками точки с одинаковыми номерами в разбиениях R1 и R2, а затем в разбиениях R3 и R4, получим разбиение Q прямоугольника ABCD на множество четырехугольников. Построить алгоритм, определяющий четырехугольник разбиения Q с наибольшей площадью, при условии, что отрезки, соединяющие точки разбиений R1 и R2 параллельны стороне AD. Последовательности R1, R2, R3 и R4 задаются как массивы из длин отрезков разбиения соответствующих сторон прямоугольника. Задача 15. На прямой задано N точек с координатами X1, X2, ... , Xn. Написать программу, которая находит на прямой такую точку z, сумма расстояний от которой до данных N точек минимальна. Задача 16. На плоскости задано N точек с координатами (X1, Y1), (X2, Y2), ..., (Xn, Yn). Написать программу, которая находит одну из заданных точек Z(x, y), сумма расстояний от которой до остальных минимальна. Задача 16’. На плоскости задано N точек с координатами (X1, Y1), (X2, Y2), ..., (Xn, Yn). Написать программу, которая находит произвольную точку плоскости Z(x, y), сумма расстояний от которой до остальных минимальна. Задача 17. На плоскости расположены N точек, заданные своими координатами. Найти на оси абсцисс точку, наибольшее из расстояний от которой до выбранных точек было бы минимальным. Задача 18. На двумерной плоскости задано N точек с координатами (X1, Y1), (X2, Y2), ..., (Xn, Yn). Написать программу, которая из этих точек выделяет вершины квадрата, содержащего максимальное число заданных точек. 51

ПРИМЕЧАНИЕ: предполагается, что точки, расположенные на сторонах квадрата, принадлежат ему. Задача 19. На плоскости задано множество из N прямоугольников, стороны которых параллельны осям координат, при этом каждый прямоугольник задается координатами левой нижней и правой верхней его вершин. Составить алгоритм определения наибольшего натурального числа К, для которого существует точка плоскости, принадлежащая одновременно К прямоугольникам. Задача 20. На квадратном торте N свечей. Можно ли одним прямолинейным разрезом разделить его на две равные по площади части, одна из которых не содержала бы ни одной свечи? Свечи будем считать точками, у которых известны их целочисленные координаты Х[1], Y[1]; ...; Х[N], Y[N] (начало координат - в центре торта); разрез не может проходить через свечу. Задача 21. Даны N (N>1) прямоугольников, для которых предполагается, что: А). Стороны любого прямоугольника параллельны координатным осям и прямоугольник задается концами одной из диагоналей. В). Каждый прямоугольник имеет общие внутренние точки с хотя бы одним из остальных и не имеет общих вершин, сторон или частей сторон ни с одним из остальных прямоугольников. Составить программу, которая с помощью последовательности точек определить внешний контур фигуры F, являющейся объединением прямоугольников - ломаную замкнутую кривую Задача 21’. Даны N (N>1) прямоугольников, для которых предполагается, что: А). Стороны любого прямоугольника параллельны координатным осям и прямоугольник задается концами одной из диагоналей. В). Каждый прямоугольник имеет общие внутренние точки с хотя бы одним из остальных и не имеет общих вершин, сторон или частей сторон ни с одним из остальных прямоугольников. Составить программу определения, содержит ли фигура F "дырки", т.е. замкнутые фигуры, которые ей не принадлежат. Задача 21’’. Даны N (N>1) прямоугольников, для которых предполагается, что: А). Стороны любого прямоугольника параллельны координатным осям и прямоугольник задается концами одной из диагоналей. В). Каждый прямоугольник имеет общие внутренние точки с хотя бы одним из остальных и не имеет общих вершин, сторон или частей сторон ни с одним из остальных прямоугольников. 52

Составить программу, разложения фигуры на наименьшее возможное число не пересекающихся прямоугольников, которые могут иметь общие стороны или части сторон , а их объединение дает фигуру F. Задача 21’’’. Даны N (N>1) прямоугольников, для которых предполагается, что: А). Стороны любого прямоугольника параллельны координатным осям и прямоугольник задается концами одной из диагоналей. В). Каждый прямоугольник имеет общие внутренние точки с хотя бы одним из остальных и не имеет общих вершин, сторон или частей сторон ни с одним из остальных прямоугольников. Составить программу вычисления периметра и площади фигуры F. Задача 22. Очертание города. Необходимо написать программу – помощник архитектора в рисовании очертания города. Город задается расположением зданий. Город рассматривается как двумерный и все здания в нем – прямоугольники, имеющие одинаковое основание (город построен на равнине). Здания задаются тройкой чисел (L[i], H[i], R[i]) где L[i] и R[i] есть координаты левой и правой стен здания i, а H[i] – высота этого здания. Ввод. Ввод представляет собой последовательность троек, задающих дома. Все координаты есть целые числа, меньшие 10000. Во входном файле минимум одно и максимум 50 зданий. Каждая тройка, обозначающая здание находится в отдельной строке во входном файле. Все целые числа в тройке разделены одним или несколькими пробелами. Тройки отсортированы по L[i], т.е. по левой хкоординате здания, таким образом, здание с самой маленькой левой хкоординатой является первым во входном файле. Вывод. Вывод будет состоять из вектора, описывающего очертание, как показано в примере выше. В векторе очертания (v[1], v[2], v[3], ... , v[n-2], v[n-1], v[n]), v[i], когда i-четное число, означает горизонтальную линию (высоту). Когда iнечетное, v[i]-означает вертикальную линию (х-координату). Вектор очертания будет определять маршрут, пройденный, к примеру, жуком, начавшим с минимальной х-координаты и путешествующим по всем вертикальным и горизонтальным линиям, определяющим контур. Последний элемент в векторе линии контура будет 0. Задача 23. Нижняя левая и верхняя правая вершины прямоугольника A имеют координаты (0, 0) и (V, W) соответственно. Множество S из N точек задается парами координат (x[i], y[i]), 1<=i<=N. Найти такой прямоугольник G максимальной площади, что его стороны параллельны сторонам A, G полностью лежит в A (G и A могут иметь общие граничные точки) и ни одна точка из S не лежит внутри G (но может лежать на 53

его стороне). Напечатать величину площади G и координаты нижней левой и верхней правой вершин этого прямоугольника. Если таких прямоугольников несколько, то вывести информацию по каждому. Замечание: в множестве S никакие две точки не лежат на одной прямой, параллельной стороне A. Задача 24. В первом квадранте координатной системы OXY нарисован первый квадрат – ABCD, длина стороны которого равна 1 и вершина A находится в начале координат. Потом нарисованы: второй квадрат – BEFC, третий – DFGH, четвертый – JAHI, пятый – KLEJ, шестой - LMNG, и так далее 'по спирали'. Написать программу, которая для введенных целых чисел x и y определяет и выводит номер квадрата, которому принадлежит точка P(x;y). Если точка P лежит на сторонах квадратов или в вершинах, то будем считать, что она принадлежит квадрату с наименьшим номером из возможных. Задача 25. На плоскости N различных точек заданы своими координатами. Найти уравнение прямой, делящей это множество точек на 2 равномощных подмножества (т. е. на подмножества с одинаковым количеством элементов). Задача 26. Найти пересечение и объединение двух выпуклых многоугольников. Многоугольники задаются координатами вершин в порядке обхода по контуру. Задача 27. N-угольник на плоскости задается координатами вершин в порядке обхода по контуру (контур самопересечений не имеет). Для точки Z(x, y) найти минимальное расстояние до контура N-угольника. Задача 28. На плоскости задано N точек своими координатами и матрица C(N*N); C(i,j)=C(j,i)=1 в случае, если вершины i и j соединены отрезком и 0 иначе. Известно, что любая вершина соединена по крайней мере с двумя другими, и что отрезки пересекаются только в концевых точках. Таким образом, вся плоскость разбивается на множество многоугольников. Задана точка Z(x,y). Найти минимальный по площади многоугольник, содержащий Z, или выдать сообщение, что такого не существует. Если Z принадлежит какому-то отрезку, то выдать его концевые точки, если Z лежит в многоугольнике, то выдать его вершины в порядке обхода по контуру. Задача 29. Будем называть два многоугольника подобными, если существует взаимно-однозначное отображение сторон этих двух фигур такое, что 54

соответствующие стороны пропорциональны с коэффициентом пропорциональности k, а углы, образованные двумя соответствующими сторонами, равны. Определить, подобны ли два многоугольника. Многоугольники задаются на плоскости координатами вершин контуров. Вершины в контуре перечисляются в порядке обхода против часовой стрелки. Примечание: так как все вычисления на ЭВМ проводятся с ограниченной точностью, то считать, что две величины равны если они совпадают с точностью до двух знаков после запятой. ВВОД: <из файла T.TXT> <Количество вершин в контуре:> N <Многоугольник 1:> <Координаты вершины 1:> x11, y11 ..... <Координаты вершины N:> x1N, y1N <Многоугольник 2:> <Координаты вершины 1:> x21, y21 ..... <Координаты вершины N:> x2N, y2N ВЫВОД: <Многоугольники не подобны> или <Многоугольники подобны с k=> k Задача 30. Заданы натуральное N и две последовательности целых чисел (а1,а2,...,аN) и (b1,b2,...,bN). Заданы также два числа X0 и X1, X0<X1. 1. Найти числа t(0), t(1), ..., t(p), p<=N, такие, что X0 = =t(0)<t(1)<...<t(p)=X1 и указать для каждого отрезка [t(j-1), t(j)], 1<=j<=p, такое число k, 1<=k<=N, что для всех i, 1<=i<=N, и для всех x из [t(j)-1, t(j)] справедливо неравенство аk*x +bk>=аi*x+bi. 2.Найти числа s(0), s(1), ..., s(Q), такие, что X0 = s(0)< <s(1)<...<s(Q)=X1, и указать для каждого отрезка [s(j-1), s(j)], 1<=j<=Q, такую перестановку (i1,i2,...,iN) чисел 1,2,3,...,N, что для всех x из [s(j-1),s(j)] справедливо неравенство аi1*x+bi1<=аi2*x+bi2<=...<=аiN*x+biN и для всех отрезков соответствующие перестановки различны. Задача 31. На плоскости задано множество точек А и множество прямых В. Найти две такие различные точки из А, что проходящая через них прямая параллельна наибольшему количеству прямых из В. Задача 32. В правильном n-угольнике провели несколько диагоналей, причем никакие три не пересекаются в одной точке. На сколько частей диагонали 55

разбили n-угольник? Диагонали заданы номерами вершин n-угольника, которые они соединяют, все вершины перенумерованы по порядку числами 1, ..., n. Задача 33. Круг разрезан несамопересекающейся ломаной, координаты вершин которой заданы парами натуральных чисел (x1,y1), ..., (xk,yk). Первая и последняя вершины лежат на границе круга, а остальные - внутри его. Определить, можно ли разъединить две получившиеся части круга (выход из плоскости и повороты разнимаемых частей не допускается). Задача 34. Среди треугольников с вершинами в заданном множестве точек на плоскости указать такой, стороны которого содержат максимальное число точек заданного множества. Задача 35. Все стены дома имеют длину 5м. Северная и южная стороны-белые, западная и восточная-синие. Человек прошел от юго-восточного угла дома А метров на юг, В метров на восток и С метров север и посмотрел на дом. Написать алгоритм, который определяет, что видит человек. Задача 36. На местности, представляющей собой идеально ровную поверхность, стоит высокий забор. План забора представляет собой замкнутую ломаную без самопересечений. Эта ломаная задается N парами координат своих вершин в порядке обхода ограничиваемой забором области против часовой стрелки. Вершины пронумерованы от 1 до N, N<100. В точке (x,y) стоит человек ( (x,y) не может лежать на ломаной). Считая, что каждому звену ломаной становится в соответствие пара номеров концевых вершин, указать, какие звенья человек увидит полностью или частично в качестве невырожденного отрезка, а какие - вообще нет. Если при взгляде звено видно как точка или как пара, точек, то полагаем, что оно не видно. Задача 37. На гранях двух равных правильных тетраэдров N и M написаны числа N1,N2,N3,N4 и M1,M2,M3,M4. Можно ли совместить тетраэдры так, чтобы на совпадающих гранях оказались одинаковые числа? Задача 38. На столе лежит игральный кубик гранью A0 к нам, гранью B0 вверх. Написать программу определяющую последовательность "кантования" кубика ("на нас", "от нас", "вправо", "влево"), после выполнения которых кубик окажется на прежнем месте, но к нам гранью Ak, вверх - Bk. ПРИМЕЧАНИЕ: Под кантованием понимается перекатывание кубика через соприкасающееся со столом ребро без скольжения. Другие способы 56

перемещения кубика запрещены. Нумерация граней кубика такова, что если его положить на грань с цифрой"5", то боковые грани будут иметь номера"1","6","4","3" при обходе по часовой стрелке, а верхняя - номер "2". Задача 39. Три точки Три точки A, B и C, лежат на одной прямой. Определите, какая из них лежит между двумя другими. Формат входных данных input.txt Первая строка входного файла содержит число K – количество тестов в файле. Каждая из следующих K строк содержит 3 пары целых чисел: координаты точек A, B и C. Ни какие две точки не совпадают. Формат выходных данных output.txt Выходной файл должен содержать K строк. i-я строка, должна содержать букву, соответствующую средней точке. Задача 40. Пересечение прямых Даны пересекающиеся 2 прямые на плоскости, найти точку их пересечения. Формат входных данных input.txt Входной файл содержит две строки – описания прямых. Каждая строка содержит 4 числа – координаты двух точек, принадлежащих прямой. Точки, задающие прямую, не совпадают. Формат выходных данных output.txt Выходной файл должен содержать два числа – координаты точки пересечения, с точностью до 4-х знаков после запятой. 1.2.4. Материалы для проведения промежуточной аттестации Промежуточная аттестация проводится в форме зачета Примерный перечень вопросов к зачету 1. Модели вычислений и абстрактные машины. 2. Метод преобразования задач. 3. Абстрактная модель вычислений. Зависимость от входных данных. 4. Классы алгоритмов в зависимости от функций роста сложности. 5. Специфика геометрических алгоритмов и структур данных. 6. Основные геометрические структуры данных и операции. 7. Структуры данных для работы с множествами: словарь, приоритетная очередь. 8. Структуры данных для работы с множествами: сливаемая пирамида, сцепляемая очередь. 9. Реализация сцепляемых очередей на базе АВЛ-деревьев. 10. Рандомизированные двоичные деревья поиска и реализация на их основе сцепляемых очередей. 57

11. Деревья отрезков. Определение, назначение, свойства, построение, операции. 12. Представление планарных графов реберным списком с двойными связями (РСДС). 13. Обход ребер, инцидентных вершине. 14. Выпуклая оболочка: определения и методы ее построения. 15. Представление многоугольника. Обход многоугольника. 16. Метод обхода Грэхема. Вариант с упорядочиванием относительно внутренней точки. 17. Метод обхода Грэхема. Вариант с упорядочиванием относительно крайней точки. Модификация Эндрью. 18. Обход методом Джарвиса. Сложность в худшем и среднем. 19. Задача о диаметре множества точек. Нижняя оценка (связь с задачей разделимость множеств). Противолежащие пары. 20. Оптимальный алгоритм нахождения диаметра множества. 21. Виды поиска. Массовый и уникальный поиск. 22. Задача локализации. 23. Задача регионального поиска. 24. Меры оценки алгоритмов поиска: время запроса, память, время предобработки, время корректировки. 25. Принадлежность многоугольнику. Метод луча. Выпуклый многоугольник. Звездный многоугольник. 26. Методы локализация точки на планарном подразбиении. Метод полос. Предобработка: алгоритм плоского заметания. Локализация во множестве монотонных цепей. 27. Локализация точки на планарном подразбиении. Метод детализации триангуляции. Предобработка. Локализация. Анализ сложности. 28. Региональный поиск. Метод прямого доступа. Двухэтапная схема. 29. Дерево отрезков. Метод дерева регионов в задаче регионального поиска. 30. Задача единственности элементов как вычислительный прототип. Нижняя граница сложности. 31. Нижние оценки сложности задач о близости. 32. Задача о ближайшей паре. Метод сбалансированного разделения и слияния. 33. Диаграмма Вороного. Определение, свойства. 34. Триангуляция Делоне. 35. Основные методы повышения эффективности геометрических алгоритмов. 6.3. Материалы, устанавливающие содержание и порядок проведения итоговой аттестации Содержание учебной дисциплины «Компьютерная геометрия» не входит в перечень вопросов государственного экзамена. 58