Mes: Abril
I.E.P. “Leonardo de Vinci”
CCOONNJJUUNNTTOOSS
REPRESENTACIÓN REPRESENTACIÓN DE DE CONJUNTO CONJUNTO
REPRESENTACIÓN REPRESENTACIÓN
PERTENENCIA PERTENENCIA
EXTENSIÓN EXTENSIÓN
INCLUSIÓN INCLUSIÓN
COMPRENSIÓN COMPRENSIÓN
DIAGRAMA DIAGRAMA DE DE VENN VENN EULER EULER
DIAGRAMA DIAGRAMA DE DE CARROL CARROL
CONJUNTOS CONJUNTOS ESPECIALES ESPECIALES
OPERACIONES OPERACIONES CON CON CONJUNTOS CONJUNTOS
UNIÓN UNIÓN
C: C: VACÍO VACÍO
INTERSECCIÓN INTERSECCIÓN
C: C: UNITARIO UNITARIO
DIFERENCIA DIFERENCIA
C: C: UNIVERSAL UNIVERSAL
CONCEPTOS PREVIOS 1. IDEA DE CONJUNTO Se entiende como una colección de objetos bien definidos, llamados elementos y pueden ser concretas o abstractas. Los conjunto se nombran con letras mayúsculas: A, B, C, .... etc. Sus elementos separados con comas ( , ) o punto y coma ( ; ) o bien indicando una propiedad común de ellos.
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1
1º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario I.E.P. “Leonardo de Vinci” Mes: Abril Ejemplos: Si llamamos “B” al conjunto de vocales, entonces: B = {a, e, i, o, u} Si llamamos Z+ al conjunto de los enteros positivos, entonces: Z+ = {1; 2; 3; 4; .....} Si llamamos “M” al conjunto de los números naturales pares menores que 12 y mayores que cero. M = {2; 4; 6; 8; 10}
2. CARDINAL DE UN CONJUNTO Es el número de elementos diferentes que posee un conjunto finito. Ejemplos: Sea: A = {a; e; i; o; u} Entonces n(A) = 5 Que se lee: El cardinal de “A” es 5. Sea: C = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} Entonces n(C) = 7 Que se lee: El cardinal de “C” es 7. Sea: w = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 13} Entonces n(w) = 7 Que se lee: El cardinal de “w” es 7. 3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS CONJUNTOS 3.1.
Diagrama de Venn Euler Este diagrama es una forma ilustrativa y muy práctica intuitivamente las relaciones entre conjuntos: Ejemplos: A = {2; 3; 4; 6} B = {1; 3; 5; 6; 7} U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
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I.E.P. “Leonardo de Vinci”
A
B 2
5
6
4
"La "La educación educación es es la la preparación a la vida preparación a la vida completa." completa."
1
3
7 U
La interpretación sería: 2 y 4 pertenecen a “A”. 3 y 6 pertenecen a “A” y “B”. 1; 5 y 7 sólo pertenecen a “B”. 8 y 9 no pertenecen a los conjuntos ni a A ni a B.
3.2.
Diagrama de Carroll Se usa generalmente disjuntos.
para
representar
conjuntos
Ejemplos: Se ha encuestado a 40 personas sobre el uso de radio, 10 mujeres no tienen radio, 10 mujeres tienen radio y 5 hombres no tienen radio. ¿cuántos hombres tienen radio? Total : 40
R = Radio
H
M
x 5
10 10
R
x + 10 + 10 + 5 = 40 x = 40 = 25 x = 15
NR
4. RELACIÓN DE PERTENENCIA Si un elemento está en un conjunto o forma parte de él, diremos que “pertenece” a dicho conjunto y lo denotaremos con el símbolo “∈”. a) A
A = {1; 2; 3; 4; 5} B = {2; 4; 6; 8}
B
1
a)
2
6
4
8
3 5
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2 1 4 6
∈ ∈ ∈ ∉
3
B A A A
8 3 2 3
∉ ∉ ∈ ∈
A B A A
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b)
R
g
b
c
h e
R = {a; b; c; d; e; f} S = {b; d; g; h; i}
S
a
d
i
f
a h d i
∈ ∉ ∈ ∉
R R S R
G I F C
∉ ∈ ∉ ∉
R S S S
5. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS 5.1.
Por Extensión Cuando sus elementos están indicados explícitamente, es decir, se mencionan en forma completa los elementos del conjunto. Ejemplo: A = {7; 8; 9; 10; 11} Se lee: “A” es el conjunto cuyos elementos son: 7; 8; 9; 10 y 11.
5.2.
Por Comprensión: Cuando se enuncia una propiedad común que caracteriza a los elementos de dicho conjunto. Así por ejemplo; del ejercicio anterior. A = {x/x ∈ N; 6 < x < 12} Se lee: “A” es el conjunto cuyos elementos “x” tal que “x” es un número natural además es mayor que 6 pero menor que 12.
6. RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS 6.1.
Inclusión de Conjuntos
El número puede decirse que gobierna al mundo de la cantidad, y las Se lee: “A” está incluido en “B”, si y sólo si, para cualquier “x” que pertenece a “A”, este de cuatro reglas también pertenece a “B”. la aritmética puede ser considerada como equipo Además: “A ⊂ B” completo del “A” está incluido en “B” matemático. 4 Sub – Área: Aritmética 1º Secundaria A⊂B↔∀x∈A→x∈B
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I.E.P. “Leonardo de Vinci” “A” está contenido en “B” “A” es subconjunto de “B”. “B ⊃ A” “B” incluye a “A” “B” contiene a “A” “B” es superconjunto de “A” 6.2.
Igualdad de Conjuntos Si todos los elementos del conjunto “A” pertenecen al conjunto “B” y todos los elementos del conjunto “B” pertenecen al conjunto “A”, entonces se dice que estos 2 conjuntos son iguales. Se denota : A = B Ejemplo: A = {x/x es una letra de la palabra aroma} B = {x/x es una letra de la palabra maroma} Entonces: A = {A; R; O; M} B = {M; A; R; O} Luego: A = B
6.3.
Conjunto Potencia de A Es el conjunto cuyos elementos subconjuntos del conjunto A.
son
todos
los
Ejemplo: A = {a; b} P(A) = {{a}; {b}; {a; b}; ∅} n[P(A)] = 2n(A) Donde: n (A) = cardinal de A n[P(A)] = 22 = 4
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I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario I.E.P. “Leonardo de Vinci” Mes: Abril ACTIVIDAD EN AULA
1. Dado el conjunto: A = {7; 8; 10; 15}
4. Dado: A ={5; {7}; 9; {12}}
Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: i) 7∈ A
(
)
ii) {10} ∈ A
(
)
iii) 9 ∈ A
(
)
iv) {15} ∈ A
(
)
Indicar verdadero (V) o falso (F); según corresponda: i) {5} ∈ A ( ii) {7} ∉ A ( iii) 9 ⊂ A ( iv) {5; {2}} ⊂ A (
) ) ) )
5. Dado el conjunto: M = {a; {b}; {m}, p} ¿Cuántas proposiciones son falsas?
2. Dado el conjunto: A = {5 {7}; 9; 12}
i) {b} ⊂ M ii) b ∈ M iii) {{m}} ⊂ M iv) {{b}; {m}} ∈ M
Indicar verdadero (V) o falso (F); según corresponda: i) 7 ∈ A ii) {9} ∈ A iii) 5 ∉ A iv) 12 ∈ A
( ( ( (
) ) ) )
3. ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto que posee 5 elementos?
( ( ( (
) ) ) )
6. Hallar la suma de los elementos de cada conjunto: A = {x/x ∈ N; 6 < x < 12} B = {x2 + 1/ x ∈ Z; 3 < x < }
7. Si un conjunto tiene 15 subconjuntos propios. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto?
8. Si: A = {x + 1/ x ∈ Z; 4 < x < 12} B = {x + 2/ x ∈ Z; 2 < x < 6} ¿Cuántos elementos tienen los 2 conjuntos sin repetir sus elementos?
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Mes: Abril
I.E.P. “Leonardo de Vinci” ACTIVIDAD DOMICILIARIA
1. Dado el conjunto: B = {1; 3; 5; 7} Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda: i) 3 ∈ B ii) 7 ∈ B iii) 6 ∈ B iv) 2 ∉ B
( ( ( (
5. Dado: Z = {4; 6; {8}; {10}} Indicar verdadero (V) corresponda: i) 4 ∈ Z ii) {8} ∈ Z iii) {{10}} ∈ Z iv) {4; {8}} ⊂ Z
) ) ) )
( ( ( (
falso (F); según
) ) ) )
Rpta. …………………………. Rpta. ………………………….
2. Dado el conjunto:
6. Dado el conjunto: N = {1; {3}; {5}; 7}
B = {3; {6}; 9; 15} ¿Cuántas proposiciones son falsas? Indicar verdadero (V) o falso (F); según corresponda: i) {3} ∈ B ii) {6} ∈ B iii) {15} ∈ B iv) 9 ∈ B
( ( ( (
i) {3} ⊂ N ii) 3 ∈ N iii) {{3}} ⊂ N iv) {{5}; {7} ⊂ N v) 3 ∈ N
) ) ) )
( ( ( ( (
) ) ) ) )
Rpta. …………………………. Rpta. …………………………. 7. Hallar la suma de los elementos de cada conjunto: 3. ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto que posee 6 elementos?
F = {x/x ∈ N; 7 < x < 13} G = {x2 + 1 / x ∈ Z; 4 < x 19}
Rpta. ………………………….
4. Si un conjunto tiene 4 elementos. ¿Cuántos subconjuntos tiene?
Rpta. …………………………. 8. Si un conjunto tiene 31 subconjuntos propios. ¿cuántos elementos tiene el conjunto? a) 3 d) 15
Rpta. ………………………….
b) 4 e) 31
c) 6
Rpta. ………………………….
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I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario I.E.P. “Leonardo de Vinci” Mes: Abril
1. CONJUNTO ESPECIALES 1.1.
Conjunto Vacío o Nulo Es aquel conjunto que no posee elemento. Se le representa por: { } y se denota por el símbolo: ∅; es decir: {x/x ≠ x} = { } = ∅ Ejemplos: {x/x ∈ N; 6 < x < 7} = { } No existe un “x ∈ N” que sea mayor que 6 y menor que 7 a la vez. El conjunto de todos los hombres inmortales. P={ } =o P=∅
1.2.
Conjunto Unitario Es aquel que está constituido por un solo elemento. Se le llama también “singular. {x/x ∈ N; 6 < x < 8} = {7} Puesto que “6 ∈ N” es el único comprendido entre 6 y 8. El conjunto de satélite que posee la tierra. {Luna} Ejemplos: Si el conjunto “A” es unitario, hallar “a + b”. A = { 7 – a; b + 4; 5} 7- a=5⇒7–5=a 2=a
John Venn Euler Fue un matemático británico que se hizo famoso por sus diagramas lógicos. Los diagramas de Venn se emplean a menudo para enseñar matemáticas elementales.
b+4 =5⇒b=5–4 b=1 ∴a+b=2+1=3
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Mes: Abril
I.E.P. “Leonardo de Vinci” 1.3.
Conjunto Universal Es un conjunto referencial que incluye a todos los conjuntos considerados y se le denota generalmente por “U” o bien. E. A = {2; 4; 6; 8} B = {1; 2; 3; 6; 9; 11; 13} ∪ = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8: 9; 10; 11} A
B
1 4
9
6 2
11 13
8
3 10
7
5
∪
Nota: U También puede expresarse
René Descartes
∪ = {x/x ∈ n; 1 < x < 11} ó ∪ = {x/x ∈ Z+ ; x < 12}
(1596-1650)
Si los conjuntos “A” y “B” son unitarios, hallar “a2+b2” A = {a + b; 12} B = {4; a –b} a + b = 12 a– b =4 2a = 16
Se recuerda sobre todo a este francés extraordinario por su invención de la Matemática. Pero su logro más notable fue la reducción de la Naturaleza a leyes matemáticas.
a=8 a + b = 12 ⇒ a + 8 = 12 b=4
“Considerada que no sé nada de Física si tan sólo fuese capaz de expresar cómo deben ser las cosas, pero fuese incapaz de demostrar que no pueden ser de otra manera.
∴ a2 + b2 = 82 + 42 = 80
2. OPERACIONES CON CONJUNTOS 2.1.
Reunión de Conjuntos Se llama reunión de “A” con “B” al conjunto de todos los elementos de A, de B o de ambos. Se simboliza por A ∪ B.
2.2.
Nació de una familia francesa noble en la Turena – Francia. Los aportes que realizó a la matemática fueron en el área de estadística y probabilidades.
Intersección de Conjuntos Se denomina intersección de “A” con “B” al conjunto de todos los elementos comunes a “A” y a “B”.
No obstante, habiendo logrado reducir la Física a las Matemáticas, la demostración es entonces posible, y pienso que puedo realizarla con el reducido alcance de mi conocimiento”.
Se denota por A ∩ B
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I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario I.E.P. “Leonardo de Vinci” Mes: Abril Observación: Si A ∩ B = ∅, se dice que “A” y “B” son disjuntos.
2.3.
Diferencia Se conoce como diferencia de “A” y “B” al conjunto de todos los elementos que pertenecen a “A” pero no a “B”. Se denota por A – B
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I.E.P. “Leonardo de Vinci” Ejemplos: Si: A = {0; 1; 2; 3; 4; 6; 8} B = {1; 3; 4; 5; 7; 9} Entonces: A ∪ B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} A ∩ B = {1; 3; 4} A – B = {0; 2; 6; 8} B – A = {5; 7; 9}
"Educar no es dar carrera para vivir, sino templar el alma para las dificultades de la vida."
Si: T = {m; v; t; p} P = {m; v; t; s; u; p} Entonces: T ∪ P = {m; v; t; p; s; u} T ∩ P = {m; v; t; p} T–P={ }=∅ P – T = {s; u}
ACTIVIDAD EN AULA
1. Si los conjuntos “M” y “N” son unitarios, hallar p2 + q2 M = {p + q; 12} N = {4; p – q} 2. Si el conjunto “Z” es unitario. Hallar “m + n” Z = { 7 – m; n + 4; 5}
3. Si los conjuntos: P = {p; a; l; o; m; a} Q = {l; o; m; a; s} entonces hallar “P ∩ Q” 4. De 50 alumnos de un aula poseen libros de matemática o lenguaje; 40 tienen libro de Matemática y 15, de Matemática y Lenguaje. ¿Cuántos tienen sólo el libro de Lenguaje?
Sub – Área: Aritmética
5. Si “Z” es un conjunto unitario, hallar a + b Z = {22 – a; b + 8 ; 18} 6. De una encuesta realizada a 120 alumnos de una universidad se sabe que; 75 estudian, 35 trabajan y 20 estudian y trabajan. ¿Cuántos sólo estudian? 7. En una fiesta donde asistieron 70 personas se sabe que 36 gustan bailar salsa; 42 gustan de bailar rock, ¿Cuántas personas no gustan de bailar?, si se sabe que 25 personas gustan de ambas músicas. 8. Si los conjuntos A y B son unitarios, calcular a +b+c A = {3a + 5; 17; 4b – 3} B = {4a – b; c}
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1. Si “R” y “S” son conjuntos unitarios, hallar a 2– b2.
5. Si los conjuntos P y Q son unitarios, hallar r+ s
R = {a + b; 16} S = {8; a – b} 2. Si se sabe que el conjunto “x” es unitario, hallar “m – p” x = {9 – m; n + 4; 5} 3. Si los conjuntos: M = {m; a; n; u; e; l} N = {s; a; m; u; e; l} hallar “M ∪ N”. 4. De 60 alumnos del colegio “Leonardo de Vinci” poseen computadora o celular; 32 tiene computadora y 12 computadora y celular. ¿Cuántos tienen sólo celular?
Sub – Área: Aritmética
P = {r + s; 18} Q = {6; r – s} 6. Se realiza una encuesta a 140 estudiantes de 1ro. de secundaria del colegio “Trilce” y se sabe que: 81 estudian, 32 ven televisión y 18 estudian y ven televisión. ¿Cuántos sólo ven televisión’ 7. De 85 personas 35 gustan de natación y 25 gustan de atletismo, ¿cuántas personas sólo gustan de natación si se sabe que 10 personas gustan de ambos deportes?
1. ¿Cuántos sub conjuntos tiene N? N = {1; {2; 2}}
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Sub – Área: Aritmética
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