Aritmética 1er año by OMAR T. SACRAVILCA SALSAVILCA

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

OPERACIONES COMBINADAS * 14 – (4) + 16 ÷ 8 10

* 9 x (-2) + 17 ÷ (1) =

-18

* (128 ÷ 8) x (24 ÷ 8) + (18 x 15) - 33 16

+ 17

= -1

* 27 ÷ 24 + 32 – 30 + 16x2 23 + 9 – 1 + 32

270 – 27

270 – 27 = 291

+ 31 = 48

* (16 x 5) ÷ (30 ÷ 3) + (25 x 3) ÷ (75 ÷ 5) - 22 80

÷ 8

15 – 4

DESCOMPOSICIÓN NUMERAL

– 4 =9

POLINÓMICA

Cifra x Cifra •

4675 = 4000 + 600 + 70 + 5 = 4 x 103 + 6x102 + 7x 10 + 5

•

5831 = 5000 + 800 + 30 + 1 = 5x103 + 8x102 + 3x10 + 1

•

3427 = 3000 + 400 + 20 + 7 = 3x103 + 4x102 + 2x10 + 7

Los orígenes empíricos de la matemática egipcia la despojaron de las fantasias de la magia. La rigurosa experiencia como fuente de la Aritmética puede comprobarse en el documento matemático más antiguo que se posee: el papiro descubierto por Rhind en el siglo XIX, que el escriba Ahmes (A´hmes (A’ h – mose) copió en 1650 A.C., de una obra anterior. Este papiro, llamado de Rhind o Ahmes, figura en el Museo Británico.

Observación: •

5021(7) = 5x73 + 2x71+1

•

3452(6) = 3x63 + 4x62 + 5x6 + 2

•

10001(5) = 1x54 + 1

Sub – Área: Aritmética

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario Factorización o Descomposición de Números : •

OBSERVA: OBSERVA: ¡Quéfácil fáciles es ¡Qué aprender! aprender!

Descomponer en factores: a) 240

b) 140

240 120 60 30 15 5 1

2 2 2 2 3 5

140 70 35 7 1

2 2 5 7

140 = 22 x 5 x 7

∴ 240 = 24 x 3 x 5 c)

332 332 166 83 1

2 2 83

∴ 332 = 22 x 83

POTENCIACIÓN a ≠ 0; n ∈ Z+

an = a x a x a x a x ........ x a n factores a∧b≠0

Propiedades:

1) a m x a n = a m+n 2)

am a

= a m−n

−n = 3) a

( )

4) a

m n

= am

b 

aa b

23 2

= 2 3 −1 = 2 2 = 4

−1 = 3) 3

5) ( ab ) n = a n x b n a 6)  

1) 3 2 x3 3 = 3 2+ 3 = 3 5 = 243 2)

1 a

Ejemplo Aplicativo

( )

4) 2 3

1 3

= 2 3.2 = 2 6 = 64

5) ( 2x3 ) 2 = 2 2 x3 2 = 36 3 6)   4

33 4

27 64

(1550 – 1517) Matemático escocés inventor de los logaritmos neperianos. Recomendó en 1617 el uso del punto (.) para separar la parte decimal de la entera.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO Sub – Área: Aritmética

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

Una ecuación es una relación de igualdad que establece entre 2 expresiones algebraicas que tienen como mínimo una variable.

• • • • • •

ENUNCIADO “Forma Verbal” La suma de 2 números consecutivos. La suma de 3 números enteros consecutivos. Si tengo a, entonces el cuadruple de lo que tengo. Si tengo y, entonces el doble de lo que tengo, aumentado en 20. Si tengo z, entonces el triple de lo que tengo, disminuido en 10. El cuadrado de la suma de 2 números.

EXPRESIÓN MATEMÁTICA “Forma Simbólica” ⇒ x + (x + 1) ⇒ x + (x + 1) + (x + 2) ⇒ 4a ⇒ 2y + 20 ⇒ 3z - 10 ⇒ (x + y)2

ACTIVIDADES EN AULA

1. Calcular: A= - 15 + (18 – 16 + 19) – 3 (15 – 4) B = - 91 – (16 – 17 - 17) – 2 (- 18) Hallar : A + B 2. Calcular: M = -35 – 5 (8 - 16) + (16 – 19) + 26 N = 45 – 35(17 – 23) – (15 + 16) Hallar: M - N

...................................................................... II. El producto de 4 factores Z+ ...................................................................... III.El producto de 5 factores Z+ ...................................................................... IV.El producto de 7 factores Z+ ...................................................................... 6. Descomponer 1260 en:

3. Calcular: A = - 25 – 17 – 5 (6 – 7) - 3 (- 5) B = -15 + 19 – 6 (8 – 7) – 2 (-3) Hallar: A x B 4. Si: M = 4 – 15 + 19 – 2 (16 – 23) N = -19 – 35 – 3 (5 – 7) – ( - 8) Hallar: M x N

I. El producto de 2 factores Z+ consecutivos. ...................................................................... II. El producto de 6 factores Z+ ...................................................................... III. El producto de 7 factores Z+ ...................................................................... IV. El producto de 10 factores Z+ ......................................................................

7. Si: 5. Descomponer 420 en: I. El producto de 2 factores Z+

Sub – Área: Aritmética

M = 3 8 x ( − 6) 2 − ( − 5) 3 ( 3)

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario N = ( − 2) 3 x ( − 2) 2 − ( − 3 ) 3 ( 3 ) 2 − 4

B = − 144 − 121 x ( − 3 ) 3 − ( − 3 ) 2 x ( − 2) 2 Hall

Hallar: M – N

ar: A + B

8. Si:

A = 3 125 − 64 ( − 2) 3 − ( − 5 ) 3

ACTIVIDAD DOMICILIARIA

1. Efectuar: 5 – 7 (-2) (3 – 4) ÷ ( - 1) – (-5) Rpta.: ................................ 2. Efectuar (-7) (17) – ( 15 – 14) – 2 (13 – 5)

Rpta.: ................................ 6. Si: A =38

B = ( − 2) 3

x ( − 2) 2 − ( − 3 ) 3

....................................................................

Q = − 144

Rpta.: ................................ 5. Calcular:

-(-2) – (-3) (-5) – (-30) ÷ (-2)

Sub – Área: Aritmética

−4 0

−( −3 ) 3 −( −3 ) 2

Hallar P + Q Rpta.: ................................

factores consecutivos:

4. Calcular: -2 (3 – 5) – (-2) (-7 + 9) – (-1)

7. Si: P = 3 125 − ( − 2) 3 − ( − 5 ) 3

....................................................................

(3) 2

Rpta.: ................................

El producto de 2 factores consecutivos.

Descomponer 72 como el producto de 2

Hallar: A . B.

Rpta.: ................................ 3. Descomponer 600 en:

x ( − 6 ) 2 −( − 5 ) 3

8. Colocar verdadero (V) o falso (F), según corresponda: 0 ( ) I. 2 4 =16 0 II. ( − 3 ) 2 III. 2

= 90

x 2

= 24

(

)

(

)

Rpta.: ................................

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

ACTIVIDAD EN AULA 1. Hallar A + B, si: A = 8 + (- 7) + 15 ÷ (- 3) B = (24 ÷ 8) x (160 ÷ 10) + (18 x 15) -33 2. Hallar un número cuyo cuadrado, disminuido en 119 es igual a 25. 3. a) Si “n” entero positivo, además n(n+2)=80, hallar “n”. b) De lo anterior, hallar “n”. Si n(n + 1) = 210 4. Si se sabe que la suma de 3 números enteros consecutivos es igual a 30, hallar el número mayor:

5. Una persona tiene S/.20000 y otra S/.7500 cada una ahorra anualmente S/.500, ¿dentro de cuántos años la fortuna de la primera será el doble de la segunda? 6. Se compra cierto número de relojes por S/.5625, sabiendo que el número de relojes comprados es igual al precio de unos relojes en soles, ¿Cuántos relojes se han comprado? 7. Si la suma de 2 números es 38 y su diferencia 12, hallar el número menor. 8. ¿Cuál es la edad actual de un padre que duplica la edad de su hijo y hace 24 años su edad era 10 veces que la edad de su hijo?

ACTIVIDAD DOMICILIARIA

1. Hallar P + Q, si: P = 9 x – 5 + 28 ÷ - 7 Q = (800 ÷ 10) ÷ (30 ÷ 3) + 75 ÷ 15 – 22 Rpta.: ................................ 2. ¿Cuál es el número cuyo cuadrado aumentado en 30 es igual 430? Rpta.: ................................ 3. El producto de 2 números naturales consecutivos es 56, hallar el número menor. Rpta.: ................................ 4. La suma de 3 números consecutivos es igual a 18, hallar el número mayor. Rpta.: ................................

Sub – Área: Aritmética

5. Manuel tiene S/. 50000 y Franceses S/.150000 cada uno ahorra anualmente S/.1000, ¿dentro de cuántos año la fortuna del primero será el doble del segundo? Rpta.: ................................ 6. José compra cierto número de libros por S/.625, sabiendo que el número de libros comprados es igual al precio de un libro en soles. ¿Cuántos libros se han comprado? Rpta.: ................................ 7. Si la diferencia de 2 números es 26 y la suma de ellos es 42, hallar el menor. Rpta.: ................................ 8. La suma de los cuadrados de 2 números es 125. Si uno de ellos es el doble del otro, hallar el número menor. Rpta.: ................................

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

Numeración Numeración

CONCEPTOS PREVIOS Número Número

Número: Ente matemático nos permite cuantificar los elementos de la naturaleza.

Numeral Numeral

Sistema Sistema de de Numeración Numeración

Base Base

Conversión Conversión

Numeral: Es la representación de un número mediante símbolos o guarismos.

De De base base diferente diferente de de 10 10 aa base base 10 10

Descomposición Descomposición Polinómica Polinómica

De De base base 10 10 aa base base diferente diferente de de 10 10

De De base base diferente diferente de de 10 10 aa base base diferente diferente de de 10 10

5, CINCO, V, ....... Cifra: Son símbolos que por convención se utilizan para representar un numeral. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Cifras significativas

Numeración Griega SISTEMA DE NUMERACIÓN

¿Estabas Enterado? En sus comienzos, el hombre numeraba las cosas con los dedos. Si quería decir 1, levantaba un dedo, si deseaba decir 2, levantaba dos dedos, y así sucesivamente. Con las dos manos podía contar hasta 10. Para señalar un número mayor hacía girar las manos: dos veces por 20, tres para 30, etc. Algunos pueblos utilizaban, además, los dedos de los pies como complemento.

TEMPLO DEL PARTENÓN Conjunto de reglas que permiten formar, expresar y representar Existe unanimidad al números. afirmar que las matemáticas se Base de un Sistema de Numeración Posicional desarrollaron en Grecia Es un entero positivo mayor que la unidad que indica la cantidad de a lo largo los siglos unidades que de formará una unidad del orden inmediato superior. VII, y VI antes de Cristo,ABSOLUTO una vez que VALOR DElos UNA CIFRA (VA) griegos formalizaron unla cifra. Es el valor que representa alfabeto más o menos uniforme, aunque los historiadores, aunque los historiadores modernos admiten que VALOR RELATIVO DE UNA CIFRA (VR) nuestros conocimientos sobre la ciencia de esa época carecen de un Sub – Área: Aritmética sólido fundamento.

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario Es el valor que tiene la cifra por la posición que ocupa. Ejemplo: Indique el VA y VR de las cifras que se indican por un 432 VA = 3 VR = 30 5 6 2 7 4 VA = 2 VR = 200 2 1 3 4 6 7 VA = 1 VR = 1000 4075963 VA = 7 VR = 70000

LECTURA Y POSITIVOS •

ESCRITURA

NÚMEROS

ENTEROS

Sistema Decimal: Es aquel sistema que emplea base 10, se le llama también sistema décuplo, según la historia el 10 se debe a los dedos de las manos. Este sistema emplea al representar sus números las cifras del 0 al 9. Del 1 al 9 se les llama “cifras significativas”: mientras al 0 (cero) se le llama “cifra auxiliar”.

•

Principios Fundamentales: 1. Al escribir un número, la posición de cada cifra se llama “orden” y éstas de derecha a izquierda se denominan unidades, centenas, millares, decenas de millar, etc. Ejemplo: Sea 4

0 1° orden : unidades (u) 2° orden : decenas (d) 3° orden : centenas (c) 4° orden : millares (m)

PERÍODO TRILLONES

5° orden : decenas de millar (dm)

PERÍODO PERÍODO PERÍODO 6° orden : centenas de millar (cm) BILLONES MILLONES UNIDAD 7° orden : millones (M) Clase Clase Clase Clase Clase Clase millares unidades millares unidades millares unidades c d u c d u c d u c d u c d u c d u 2. El numeral del sistema decimal cada grupo de 3 cifras de 2 5 derecha a izquierda se llama clase y cada grupo de 6 cifras se 3 2 5 llama período. El período comprende 2 clases que se llaman clase de unidades y clase de millares. 4 2 5 7 S 6 8 3 9 6 e 7 8 0 3 2 0 3 2 5 6 4 3 7 6 7 5 6 9 2 0 3 l 5 9 3 6 0 0 2 4 0 e 2 6 5 2 3 4 5 2 3 8 e 4 3 2 5 7 0 0 0 01º 0Secundaria 7 Sub – Área: Aritmética 2 0 3 0 0 0 3 4 5 4 3 2 5 6

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

Ejemplo 1: Se lee: Observa Observa Veinticinco unidades Como Como se se Trescientos veinticinco unidades lee lee 4 mil 257 unidades 68 mil 396 unidades 780 mil 320 unidades 3 millones 256 mil 437 unidades 67 millones 569 mil 203 unidades 593 millares 600 mil 240 unidades 2 mil 652 millones 345 mil 238 unidades 43 mil 257 millones 7 unidades 20 billones 300 mil 34 millones 543 mil 256 unidades

25 325 4257 68396 780320 3256437 67569203 593600240 2652345238 43257000007 20300034543256 Ejemplo 2:

Como se denomina el orden del 5 de los numerales indicados en el esquema: TRILLONES BILLONES MILLONES millar unidades millar unidades millar unidades c d u c d u c d u c d u c d u c d u

4 0

5 0

532 50243 435000021 530283344340 453211126234324 532000000000000000000003

3 0

5 2 0

3 1 0

0 1 0

4 2 1 0

3 8 2 0

5 3 6 0

0 3 2 0

UNIDADES millar unidades d u c d u 5 3 2 5 0 2 4 3 0 0 0 2 1 4 4 3 4 0 3 4 3 2 4 0 0 0 0 3

→ centena →decena de millar → millón → centena millar de millón → decena de billón → centena millar de trillón

ACTIVIDAD EN AULA Sub – Área: Aritmética

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

1. Complete. ¿Cuántas cifras significativas tiene los numerales siguientes?

5. La cifra de mayor orden del numeral

347 ..........................cifras significativas 450 ..........................cifras significativas 258008.........................cifras significativas

12340028965 6. Indicar la suma de las 2 cifras de mayor orden de 773254

2. La suma de las cifras significativas impares de 620431005 es: 3. ¿Cómo se denomina el orden de la cifra del numeral: 147200340025?

7. ¿En cuánto excede la cifra de menor orden a la cifra de mayor orden, en el numeral 236025? 8. El producto de las 2 cifras de mayor orden del mayor numeral de 4 cifras es:

4. La cifra de mayor orden del numeral 725409068

ACTIVIDAD DOMICILIARIA

1. ¿Cuántas

cifras

significativas

tienen

los

siguientes numerales? 854

..........................cifras significativas

18010..........................cifras significativas

5. La

cifra

mayor

orden

del

numeral;

orden

del

numeral;

54310034979 es: 6. La

cifra

del

mayor

145349678

2180001......................cifras significativas 7. Indique la suma de cifras de mayor y menor 2. La suma de las cifras significativas pares de

orden en: 3614754310

857418 es. 8. Indicar la suma de las 2 cifras de menor orden 3. ¿Cómo se denomina el orden de la cifra 4 del

en: 54310371

numeral; 83614501? 4. ¿Cómo se denomina el orden de la cifra 6 del numeral; 54001310063?

Sub – Área: Aritmética

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

PRINCIPALES SISTEMA DE NUMERÁCIÓN Nombre del Sistema Binario Ternario Cuaternario Quinario Senario Heptanario Octanario Nonario Decimal Undecimal Duodecimal

Base 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Cifras que usan 0, 1 0, 1, 2 0, 1, 2, 3 0, 1, 2, 3, 4 0, 1, 2, 3, 4, 5 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 1, 2, 3, .........................,10 0, 1, 2, 3, ................................, 11

DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA Todo numeral puede ser expresado bajo la forma de un Polinomio en función de la base, denominándose descomposición polinómica. Ejemplo: En base 10

7945

=7x10

x10

+4x10

NUMERACIÓN

Griegos y romanos no tuvieron una adecuada manera de representar los números, lo que les impidió hacer mayores progresos en el cálculo matemático. Los hindúes, en cambio, habían desarrollado un práctico sistema de notación numeral, al descubrir el cero y el valor posicional de las cifras. Los árabes dieron a conocer el sistema en Europa a partir del siglo VIII (D.C.) Por eso, nuestras se llaman indoarábigas.

Observación: abc n = a x n 2 + b x n + c ab n = a x n + b

Donde:

a, b < n

¡AHORA HAZLO TÚ! •

344(5)

= ........................................................

Sub – Área: Aritmética

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario •

2574(9)

= ........................................................

•

2372(8)

= ........................................................

•

34213(9) = ........................................................

•

2333(4)

= ........................................................

•

1212(5)

= ........................................................

ACTIVIDAD EN AULA

1. De los enunciados, indicar el o los numerales mal escritos. 5. ¿Cuántas cifras tienen los siguientes números si están bien escritos?

I) 28(3) II) 126(5) III) 1111(9) IV) 961(11)

I) ab2 ( 8 ) II) (10) (11) 7(20)

2. Indicar si es verdadero o falso: I) 24(5) ………< ………….23(6) II) 30(9) ………< ………….27 ( III) 23(7) ………> ………….21(9)

(

)

(

)

3. ¿Cuánto suman todos los posibles valores de “a”?

6. Indicar, ¿cuántas cifras tienen los siguientes números, si están bien escritos? I) ab2 ( 8 ) II) (10) (11)84(13)

a234 ( 5 )

a) 7 d) 10

b) 8 e) 11

c) 9

7. Hallar “y”, si: 31(y) + 23(y) = 54(6)

4. Indique ¿qué números están mal escritos? 9. Hallar “y”, si:

I) 104(3) II) 806(9) III) aba ( b +1) , b > a > 0

31(y) + 23(y) = 54(6)

ACTIVIDAD DOMICILIARIA

Sub – Área: Aritmética

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario 1. Indicar el o los numerales mal escritos de los siguientes enunciados: I) 104(3) II) 999(9) III) 456(7) IV) 1088(9)

5. ¿Cuántas cifras tienen los siguientes números si están bien escritos? I) 4 (12) 8 II) 7 (16) (13) 6 6. Si los números están bien escritos, indicar. ¿cuántas cifras tiene?

2. Indicar si es verdadero o falso: I) 31(6) ………< ………….33(7)

(

)

II) 43(5) ………< ………….44(6)

(

)

III) 71(8) ………> ………….72(7)

(

)

I) 68(b −1) 4 ( 9 ) II) 34567(8)

7. Hallar “z”, si: 21(z) + 35(z) = 36

3. ¿Cuánto suman todos los posibles valores de “c”? 345c ( 6 )

4. De los enunciados indique los números mal escritos.

8. Hallar el valor de “b”: Si:

b3 ( 6 ) = b4 ( 5 )

I) c 34 ( 6 ) (c > 6) II) 483(9) III) 12345(4)

Sub – Área: Aritmética

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

I Innttrroodduucccci ióónn En esta sección se indicará las técnicas de transformación o conversión para la escritura de un número de base dada a otra base. Todo sistema posicional tiene una base, que es un número entero y mayor que la unidad, el cual nos indica la cantidad UJERESde unidades necesarias y suficientes de un ATEMÁTICAS orden cualesquiera para formar una unidad del orden inmediato superior.

En el año 773 llegó a Bagdad una caravana procedente de la India. Entre los regalos suntuosos que había para el califa al – Mansur estaba el manuscrito llamado Siddhanta, en el que se escondía un fabuloso tesoro: era un tratado de astronomía con sus tablas y las diez cifras con las que actualmente contamos incluida la cifra del cero: eka, dva, traya, chatur, pancha, Shatt, sapta, ashat, nava y shunya que quiere decir “vacío” y se notaba por un pequeño redondel. Los árabes lo tradujeron por sifr que los latinos tradujeron por zephirum y de ahí el cero. SFR sirvió para llamar a todos los números: CIFRA.

Ejemplos: Representar 16 unidades simples en los sistemas: a) b) c) d)

De base 10 De base 8 De base 5 De base 4

ÉMILIE DE CHATELET (1706 – 1749) ElElsaber saberes eslalaúnica única propiedad que propiedad queno no puede perderse. puede perderse.

Observación 16 = 20(8) = 31(5) = 100(4) 20(8) = 31(5)

8 > 5 (bases)

Sub – Área: Aritmética

Marquesa de Chatelet nació en el seno de una familia ilustre el 17 de diciembre de 1706 en Saint – Jean – en – Greve – Francia. Con diez años ya había estudiado matemáticas y la metafísica; a los 12 sabía inglés, italiano, español y alemán y traducía textos en latín. En un café de París no la dejaron entrar por ser mujer. Estudió a Descartes, Leibniz y a Newton. Escribió las instituciones de la física, libro que contiene el cálculo infinitesimal. Hacia 1745 tradujo los principios de la matemática de Newton.

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario 20 < 31 (numerales)

CAMBIO DE BASE 1. DE BASE DIFERENTE DE 10 A BASE 10 Este método denominado “Descomposición Polinómica” Observa:  123(4) = 1 x 42 + 2 x 4 + 3 = 16 + 8 + 3 = 27 Entonces: 123(4) = 27  102(3) = 1 x 32 + 0 x 3 + 2 = 9 + 0 + 2 = 11 Entonces: 102(3) = 11  45(6)

= 4 x 6 + 5 = 24 + 5 = 29 = 45(6) = 29

SOFÍA SONIA KOVALEVSK AYA (1850 – 1888)

¡Ahora hazlo tú!

 320(4) = Entonces:  324(5) = Entonces:  234(5) = Entonces:

2. DE BASE 10 A BASE DIFERENTE DE 10 Este método denominado “Divisiones Sucesivas” Observa: 327

007

Nació en Moscú, el 15 de enero del año 1850. gracias a Mittag – Leffer, Sonia pudo trabajar a prueba durante un año en la universidad de Estocolmo. Durante este tiempo Sonia escribió el más importante de sus trabajos, que resolvía algunos de los problemas al que matemáticos famosos habían dedicado grandes esfuerzos para resolverlos, más tarde sería premiada por la Academia de Ciencias de París, en el año 1888.

1 327 = 11013(4) 425

141

Sub – Área: Aritmética

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario 005

425 = 120202 (3) 3. DE BASE DIFERENTE DE 10 A BASE DIFERENTE DE 10 Observa: Expresar 210(5) en base 4. a) 210(5) = 2 x 52 + 1 x 51 + 0 = 2 x 25 + 5 = 55 * 55

3 210 (5) = 55 = 313 (4)

Mira Mira que que fácil fácil

b) 213(6) en base 5 213(6) =2 x 62 + 1 x 61 + 3 = 2 x 36 + 6 + 3 213(6) = 81 * 81

213 (6) = 81 = 311 (5)

ACTIVIDAD EN AULA 1. Relaciona ambas columnas adecuadamente. I) 23(5) .................................. II) 15(7) .................................. III) 33(4) ..................................

Sub – Área: Aritmética

( ( (

) 15 ) 13 ) 12

2. Convertirse a base (5) I) 239

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario II) 347

III) 42(5) < 57(8) ...................... IV) 30(4) < 41(5) ......................

3. ¿Cuál es el menor numeral de 2 cifras en base 4? a) 11(4) d) 13(4)

b) 12(4) e) 14(4)

( (

) )

6. Si N= 73 x 5 + 72 x 4 + 7 x 3 + 9 convertir a base 7.

c) 10(4) 7. Si los siguientes números están bien escritos indicar, ¿cuántas cifras tienen? I) abc (11) (15 )

4. Convertir a base (10) I) 123(6) II) 234(5)

II) ab(13 )c (16 )

5. Marque verdadero (V) o falso (F): I) 42(5) < 46(7) ...................... ( II) 31(4) > 42(5) ...................... (

8. Hallar “a + b”, si: ) )

ab ( 9 ) = 143 ( 5 )

ACTIVIDAD DOMICILIARIA 1. Relaciona ambas columnas adecuadamente: 5. Colocar verdadero (V) o falso (F): I) 32(4) .................................. ( ) 23 I) 16(7) = 15(8) ...................... ( ) OONNJJUUNNTTII) OOSS23(5) < 23(6) ...................... ( ) II) 43(5) .................................. ( ) CC 14 III) 23(4) .................................. ( ) 11 III) 28(9) < 121(4) ...................... ( ) IV) 46(7) < 47(8) ...................... ( ) 2. Convertir a base (4) los números: REPRESENTACIÓN REPRESENTACIÓN REPRESENTACIÓN I) 304 6. Si N = 83 x 7 + 82 xREPRESENTACIÓN 5+8x4+2 DE DE CONJUNTO CONJUNTO II) 207 convertir “N” a base 8. a) 7541(8) b) 7542(8) c) 5472(8) 3. ¿Cuál es el menor numeral de 2 cifras en base d) 7564(8) e) 8654(8) PERTENENCIA PERTENENCIA EXTENSIÓN EXTENSIÓN 5? a) 10(5) b) 11INCLUSIÓN c) 12(5) 7. Calcular “a”, si: (5) INCLUSIÓN COMPRENSIÓN COMPRENSIÓN d) 13(5) e) 14(5) a1( 3 ) = 100 ( 2 ) 4. Convertir a base (10) I) 234(6) DIAGRAMA DIAGRAMA DE DE VENN VENN II) 342(5)

EULER EULER

CONJUNTOS CONJUNTOS ESPECIALES ESPECIALES

C: C: VACÍO VACÍO C: C: UNITARIO UNITARIO Sub – Área: Aritmética C: C: UNIVERSAL UNIVERSAL

8. Hallar “a”, si: aaa ( 4 ) = 132 ( 5 )

DIAGRAMA DIAGRAMA DE DE CARROL CARROL

OPERACIONES OPERACIONES CON CON CONJUNTOS CONJUNTOS

UNIÓN UNIÓN INTERSECCIÓN INTERSECCIÓN DIFERENCIA DIFERENCIA

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

George Cantor (1845 – 1918)

CONCEPTOS PREVIOS 1. IDEA DE CONJUNTO Se entiende como una colección de objetos bien definidos, llamados elementos y pueden ser concretas o abstractas. Los conjunto se nombran con letras mayúsculas: A, B, C, .... etc. Sus elementos separados con comas ( , ) o punto y coma ( ; ) o bien indicando una propiedad común de ellos.

Ejemplos:  Si llamamos “B” al conjunto de vocales, entonces: B = {a, e, i, o, u}  Si llamamos Z+ al conjunto de los enteros positivos, entonces: Z+ = {1; 2; 3; 4; .....}

Sub – Área: Aritmética

Matemático alemán nacido en San Petersburgo (ahora Leningrado, Rusia) y fallecido en Halle. Ya en la escuela Cantor mostró talento por las matemáticas, haciendo posteriormente de ellas su profesión, obteniendo el puesto de profesor en la universidad de Halle en 1872. En 1874 Cantor empezó a introducir conceptos extraños de lo infinito, estableciendo que para tratar el infinito se debe establecer correspondencia entre dos series, más aún, esta correspondencia debe ser biunívoca. De este modo se puede razonar que la cantidad de números pares es igual a la de los números naturales, diferenciando entre la aritmética de lo infinito y la aritmética familiar de los números finitos. Cantor construyó una estructura lógica completa, en la cual se postulaba diferentes órdenes de infinitos. Así la definición de Cantor de número real identifica a este último con una sucesión convergente de números racionales. 1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario  Si llamamos “M” al conjunto de los números naturales pares menores que 12 y mayores que cero. M = {2; 4; 6; 8; 10}

2. CARDINAL DE UN CONJUNTO Es el número de elementos diferentes que posee un conjunto finito. Ejemplos:  Sea: A = {a; e; i; o; u} Entonces n(A) = 5 Que se lee: El cardinal de “A” es 5.  Sea: C = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} Entonces n(C) = 7 Que se lee: El cardinal de “C” es 7.  Sea: w = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 13} Entonces n(w) = 7 Que se lee: El cardinal de “w” es 7. 3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS CONJUNTOS 3.1.

Diagrama de Venn Euler Este diagrama es una forma ilustrativa y muy práctica intuitivamente las relaciones entre conjuntos: Ejemplos: A = {2; 3; 4; 6} B = {1; 3; 5; 6; 7} U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

B 3

2 4

"La "La educación educación es es la la preparación preparación aa la la vida vida completa." completa."

5 7 U

La interpretación sería:

Sub – Área: Aritmética

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario 2 y 4 pertenecen a “A”. 3 y 6 pertenecen a “A” y “B”. 1; 5 y 7 sólo pertenecen a “B”. 8 y 9 no pertenecen a los conjuntos ni a A ni a B.

    3.2.

Diagrama de Carroll Se usa generalmente para representar conjuntos disjuntos. Ejemplos:  Se ha encuestado a 40 personas sobre el uso de radio, 10 mujeres no tienen radio, 10 mujeres tienen radio y 5 hombres no tienen radio. ¿cuántos hombres tienen radio? Total : 40

R = Radio

x 5

10 10

x + 10 + 10 + 5 = 40 x = 40 = 25 x = 15

4. RELACIÓN DE PERTENENCIA Si un elemento está en un conjunto o forma parte de él, diremos que “pertenece” a dicho conjunto y lo denotaremos con el símbolo “∈”. a) A

A = {1; 2; 3; 4; 5} B = {2; 4; 6; 8}

2 1 4 6

3 5

∈ ∈ ∈ ∉

B A A A

8 3 2 3

∉ ∉ ∈ ∈

A B A A

G I F C

∉ ∈ ∉ ∉

R S S S

Mira que fácil Mira que fácil esta este tema esta este tema

h e

R = {a; b; c; d; e; f} S = {b; d; g; h; i}

d f

Sub – Área: Aritmética

a h d i

∈ ∉ ∈ ∉

R R S R

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

5. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS 5.1.

Por Extensión Cuando sus elementos están indicados explícitamente, es decir, se mencionan en forma completa los elementos del conjunto. Ejemplo: A = {7; 8; 9; 10; 11}  Se lee: “A” es el conjunto cuyos elementos son: 7; 8; 9; 10 y 11.

5.2.

Por Comprensión: Cuando se enuncia una propiedad común que caracteriza a los elementos de dicho conjunto. Así por ejemplo; del ejercicio anterior. A = {x/x ∈ N; 6 < x < 12}  Se lee: “A” es el conjunto cuyos elementos “x” tal que “x” es un número natural además es mayor que 6 pero menor que 12.

6. RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS 6.1.

Inclusión de Conjuntos A⊂B↔∀x∈A→x∈B

 Se lee: “A” está incluido en “B”, si y sólo si, para cualquier “x” que pertenece a “A”, este también pertenece a “B”.

 Además: “A ⊂ B” “A” está incluido en “B” “A” está contenido en “B” “A” es subconjunto de “B”.  “B ⊃ A” “B” incluye a “A” “B” contiene a “A” “B” es superconjunto de “A”

Sub – Área: Aritmética

L eonhard E uler (1707-1783) Científico más importante de Suiza y uno de los tres matemáticos más grandes de la época moderna (los otros dos son Gauss y Riemann). Quizá fue el autor más prolífico de todos los tiempos. A pesar de que este notable científico suizo sufrió una ceguera total durante los últimos 17 años de su vida, logró aumentar considerablemente la producción de sus obras, que para entonces era ya prodigiosa.

El número puede decirse que gobierna al mundo de la cantidad, y las cuatro reglas de la aritmética puede ser considerada como equipo completo del matemático. 1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario 6.2.

Igualdad de Conjuntos Si todos los elementos del conjunto “A” pertenecen al conjunto “B” y todos los elementos del conjunto “B” pertenecen al conjunto “A”, entonces se dice que estos 2 conjuntos son iguales. Se denota : A = B Ejemplo: A = {x/x es una letra de la palabra aroma} B = {x/x es una letra de la palabra maroma} Entonces: A = {A; R; O; M} B = {M; A; R; O} Luego: A = B

6.3.

Conjunto Potencia de A Es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos del conjunto A. Ejemplo: A = {a; b} P(A) = {{a}; {b}; {a; b}; ∅} n[P(A)] = 2n(A) Donde: n (A) = cardinal de A n[P(A)] = 22 = 4

ACTIVIDAD EN AULA

1. Dado el conjunto: A = {7; 8; 10; 15} Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

Sub – Área: Aritmética

i) 7∈ A

(

)

ii) {10} ∈ A

(

)

iii) 9 ∈ A

(

)

iv) {15} ∈ A

(

)

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

2. Dado el conjunto: A = {5 {7}; 9; 12} Indicar verdadero (V) o falso (F); según corresponda: i) 7 ∈ A ii) {9} ∈ A iii) 5 ∉ A iv) 12 ∈ A

( ( ( (

) ) ) )

3. ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto que posee 5 elementos?

i) {5} ∈ A ( ii) {7} ∉ A ( iii) 9 ⊂ A ( iv) {5; {2}} ⊂ A (

) ) ) )

5. Dado el conjunto: M = {a; {b}; {m}, p} ¿Cuántas proposiciones son falsas? i) {b} ⊂ M ii) b ∈ M iii) {{m}} ⊂ M iv) {{b}; {m}} ∈ M

( ( ( (

) ) ) )

6. Hallar la suma de los elementos de cada conjunto: A = {x/x ∈ N; 6 < x < 12} B = {x2 + 1/ x ∈ Z; 3 < x < }

7. Si un conjunto tiene 15 subconjuntos propios. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto?

8. Si: 4. Dado: A ={5; {7}; 9; {12}} Indicar verdadero (V) o falso (F); según corresponda:

Sub – Área: Aritmética

A = {x + 1/ x ∈ Z; 4 < x < 12} B = {x + 2/ x ∈ Z; 2 < x < 6} ¿Cuántos elementos tienen los 2 conjuntos sin repetir sus elementos?

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario ACTIVIDAD DOMICILIARIA

1. Dado el conjunto: B = {1; 3; 5; 7} Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda: i) 3 ∈ B ii) 7 ∈ B iii) 6 ∈ B iv) 2 ∉ B

( ( ( (

) ) ) )

5. Dado: Z = {4; 6; {8}; {10}} Indicar verdadero (V) corresponda: i) 4 ∈ Z ii) {8} ∈ Z iii) {{10}} ∈ Z iv) {4; {8}} ⊂ Z

( ( ( (

falso (F); según

) ) ) )

Rpta. …………………………. Rpta. ………………………….

2. Dado el conjunto:

6. Dado el conjunto: N = {1; {3}; {5}; 7}

B = {3; {6}; 9; 15} ¿Cuántas proposiciones son falsas? Indicar verdadero (V) o falso (F); según corresponda: i) {3} ∈ B ii) {6} ∈ B iii) {15} ∈ B iv) 9 ∈ B

( ( ( (

) ) ) )

i) {3} ⊂ N ii) 3 ∈ N iii) {{3}} ⊂ N iv) {{5}; {7} ⊂ N v) 3 ∈ N

( ( ( ( (

) ) ) ) )

Rpta. …………………………. Rpta. …………………………. 7. Hallar la suma de los elementos de cada conjunto: 3. ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto que posee 6 elementos?

F = {x/x ∈ N; 7 < x < 13} G = {x2 + 1 / x ∈ Z; 4 < x 19}

Rpta. ………………………….

4. Si un conjunto tiene 4 elementos. ¿Cuántos subconjuntos tiene? Rpta. ………………………….

Rpta. …………………………. 8. Si un conjunto tiene 31 subconjuntos propios. ¿cuántos elementos tiene el conjunto? a) 3 d) 15

b) 4 e) 31

c) 6

Rpta. ………………………….

Sub – Área: Aritmética

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

1. CONJUNTO ESPECIALES 1.1.

Conjunto Vacío o Nulo Es aquel conjunto que no posee elemento. Se le representa por: { } y se denota por el símbolo: ∅; es decir: {x/x ≠ x} = { } = ∅ Ejemplos:  {x/x ∈ N; 6 < x < 7} = { } No existe un “x ∈ N” que sea mayor que 6 y menor que 7 a la vez.  El conjunto de todos los hombres inmortales. P={ } =o P=∅

1.2.

Conjunto Unitario Es aquel que está constituido por un solo elemento. Se le llama también “singular.  {x/x ∈ N; 6 < x < 8} = {7} Puesto que “6 ∈ N” es el único comprendido entre 6 y 8.  El conjunto de satélite que posee la tierra. {Luna} Ejemplos:  Si el conjunto “A” es unitario, hallar “a + b”. A = { 7 – a; b + 4; 5}  7- a=5⇒7–5=a 2=a

John Venn Euler Fue un matemático británico que se hizo famoso por sus diagramas lógicos. Los diagramas de Venn se emplean a menudo para enseñar matemáticas elementales.

b+4 =5⇒b=5–4 b=1 ∴a+b=2+1=3

Sub – Área: Aritmética

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario 1.3.

Conjunto Universal Es un conjunto referencial que incluye a todos los conjuntos considerados y se le denota generalmente por “U” o bien. E. A = {2; 4; 6; 8} B = {1; 2; 3; 6; 9; 11; 13} ∪ = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8: 9; 10; 11} A

1 4

6 2

11 13

3 10

∪

Nota: U También puede expresarse ∪ = {x/x ∈ n; 1 < x < 11} ó ∪ = {x/x ∈ Z+ ; x < 12}  Si los conjuntos “A” y “B” son unitarios, hallar “a2+b2” A = {a + b; 12} B = {4; a –b} a + b = 12 a– b =4 2a = 16 a=8 a + b = 12 ⇒ a + 8 = 12 b=4 ∴ a2 + b2 = 82 + 42 = 80

2. OPERACIONES CON CONJUNTOS 2.1.

Reunión de Conjuntos Se llama reunión de “A” con “B” al conjunto de todos los elementos de A, de B o de ambos.  Se simboliza por A ∪ B.

2.2.

Intersección de Conjuntos Se denomina intersección de “A” con “B” al conjunto de todos los elementos comunes a “A” y a “B”.

René Descartes (1596-1650) Nació de una familia francesa noble en la Turena – Francia. Los aportes que realizó a la matemática fueron en el área de estadística y probabilidades. Se recuerda sobre todo a este francés extraordinario por su invención de la Matemática. Pero su logro más notable fue la reducción de la Naturaleza a leyes matemáticas. “Considerada que no sé nada de Física si tan sólo fuese capaz de expresar cómo deben ser las cosas, pero fuese incapaz de demostrar que no pueden ser de otra manera. No obstante, habiendo logrado reducir la Física a las Matemáticas, la demostración es entonces posible, y pienso que puedo realizarla con el reducido alcance de mi conocimiento”.

 Se denota por A ∩ B

Sub – Área: Aritmética

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario Observación: Si A ∩ B = ∅, se dice que “A” y “B” son disjuntos.

2.3.

Diferencia Se conoce como diferencia de “A” y “B” al conjunto de todos los elementos que pertenecen a “A” pero no a “B”.  Se denota por A – B

Sub – Área: Aritmética

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario Ejemplos:  Si: A = {0; 1; 2; 3; 4; 6; 8} B = {1; 3; 4; 5; 7; 9} Entonces: A ∪ B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} A ∩ B = {1; 3; 4} A – B = {0; 2; 6; 8} B – A = {5; 7; 9}

"Educar no es dar carrera para vivir, sino templar el alma para las dificultades de la vida."

 Si: T = {m; v; t; p} P = {m; v; t; s; u; p} Entonces: T ∪ P = {m; v; t; p; s; u} T ∩ P = {m; v; t; p} T–P={ }=∅ P – T = {s; u}

ACTIVIDAD EN AULA

1. Si los conjuntos “M” y “N” son unitarios, hallar p2 + q2 M = {p + q; 12} N = {4; p – q} 2. Si el conjunto “Z” es unitario. Hallar “m + n” Z = { 7 – m; n + 4; 5}

3. Si los conjuntos: P = {p; a; l; o; m; a} Q = {l; o; m; a; s} entonces hallar “P ∩ Q” 4. De 50 alumnos de un aula poseen libros de matemática o lenguaje; 40 tienen libro de Matemática y 15, de Matemática y Lenguaje. ¿Cuántos tienen sólo el libro de Lenguaje?

Sub – Área: Aritmética

5. Si “Z” es un conjunto unitario, hallar a + b Z = {22 – a; b + 8 ; 18} 6. De una encuesta realizada a 120 alumnos de una universidad se sabe que; 75 estudian, 35 trabajan y 20 estudian y trabajan. ¿Cuántos sólo estudian? 7. En una fiesta donde asistieron 70 personas se sabe que 36 gustan bailar salsa; 42 gustan de bailar rock, ¿Cuántas personas no gustan de bailar?, si se sabe que 25 personas gustan de ambas músicas. 8. Si los conjuntos A y B son unitarios, calcular a +b+c A = {3a + 5; 17; 4b – 3} B = {4a – b; c}

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario ACTIVIDAD DOMICILIARIA

1. Si “R” y “S” son conjuntos unitarios, hallar a2– b2. R = {a + b; 16} S = {8; a – b} 2. Si se sabe que el conjunto “x” es unitario, hallar “m – p” x = {9 – m; n + 4; 5} 3. Si los conjuntos: M = {m; a; n; u; e; l} N = {s; a; m; u; e; l} hallar “M ∪ N”. 4. De 60 alumnos del colegio “Leonardo de Vinci” poseen computadora o celular; 32 tiene computadora y 12 computadora y celular. ¿Cuántos tienen sólo celular?

Sub – Área: Aritmética

5. Si los conjuntos P y Q son unitarios, hallar r+ s P = {r + s; 18} Q = {6; r – s} 6. Se realiza una encuesta a 140 estudiantes de 1ro. de secundaria del colegio “Trilce” y se sabe que: 81 estudian, 32 ven televisión y 18 estudian y ven televisión. ¿Cuántos sólo ven televisión’ 7. De 85 personas 35 gustan de natación y 25 gustan de atletismo, ¿cuántas personas sólo gustan de natación si se sabe que 10 personas gustan de ambos deportes?

8. ¿Cuántos sub conjuntos tiene N? N = {1; {2; 2}}

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

ADICIÓN Es una operación directa que consiste en reunir un conjunto de cantidades homogéneas en una sola: cada una de las cantidades se denomina sumando y al resultado suma.

a1 + a2 + a3 + ............ + an = S Donde ; etc, son los sumandos; y S es la suma.

SUSTR AC CI ÓN Es la operación en la que dadas dos cantidades llamadas minuendo (M), sustraendo (S) respectivamente, se trata de hallar una tercera cantidad llamada diferencia (D). M–S=D M=D+S ⇒ M + S + D = 2M

C OM P LEM E N TO AR I TM É TIC O (C º A) Es lo que le falta a un número para ser su respectiva unidad inmediata superior.

U. I. S.    6

⇒

CºA de 6 = 10 - 6=4

⇒

CºA de 78= 100 - 78=22

1 306

⇒

CºA de 1 306= 10 000 - 8 694

abc

⇒

10 3 CºA de abc = 1000 - abc

Estudiano nopara para Estudia saber algo más sino saber algo más sino parasaber saberalgo algo para mejor mejor

Regla Práctica: Dado un número, para determinar su complemento aritmético mediante la regla práctica se procede de la siguiente manera: se restan de nueve todas las cifras del número empezando por la primera de la izquierda, excepto la última significativa de la derecha que se resta de diez, y si a continuación de está hubieran ceros, se colocan al final Ejemplos: a)

Cº A (3 057 ) = (9 − 3 )(9 − 0 )(9 − 5 )(10 − 7 ) = 6 943

Cº A (207 400 ) =

(9 − 2 )(9 − 0 )(9 − 7 )(10 − 4 )00 = 792 600 c) CºA (56 009) = ..............

Sub – Área: Aritmética

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario ACTIVIDAD EN AULA Hallar los números enteros a colocar en los casilleros 1. (+1) -

= (+3) - (-2)

2. (+8) - (-2) -

= (+3)

- (+2) = (+3)

- (-6) = (-2)

10.Jefrey nació en 1888 se casó en el año 1924; dos años después nació su primer hijo y murió cuando su hijo tenía 38 años. ¿En qué año murió? 11.Si recibiera $ 2480 podría comprarme un auto Mazda último modelo de $ 11500. ¿Cuánto tengo?

5.Si: abcc + accc = 5088 Hallar el valor de (a+b+c)

a1b + a2b + a3b + ...... + a9b = 5 922

6.Si: Hallar el valor de (a+b)

7.Hallar la suma: S=5+17+29+41+... (30 sumandos) 8.Hallar la suma de todos los números de tres cifras que empiezan y terminan en cifra 7. Dar como respuesta la suma de sus cifras. 9. Después de vender una moto perdiendo $120 preste $200 y me quede con $380. ¿Cuánto me había costado la moto?

12.El menor de dos números es 15239 y la diferencia entre ambos es 257. Hallar el mayor. 13.El mayor de dos números es 3592 y la diferencia entre ambos es 649. Hallar el menor y dar como respuesta la menor cifra empleada en su escritura. 14.La suma de dos números es 2491 y la mitad del menor es 521. Hallar el mayor. 15.¿En cuánto excede la suma de 193 y 249 a la diferencia entre 1982 y 1647? 16.Si Enrico tuviera 10 años menos tendría 36 años y si María Fe tuviera 13 años más tendría 28 años. ¿Cuánto más joven es María Fe que Enrico?

ACTIVIDAD DOMICILIARIA 1. Rocio gastó S/. 20 soles en comprarse golosinas y 2 soles más en comprar un polo. ¿Cuánto gastaría si se compra 6 polos? 2. Jorge gastó S/. 10 en comprarse un CD en la "Cachina" y 30 soles más en comprarse un teléfono celular en el mismo sitio. ¿Cuánto gastaría en comprarse tres CD y un teléfono celular? 3. Lula se pone a dieta. El primer mes bajó 1200 gr, el segundo mes bajo 400 gr más que el mes anterior y el tercer mes, subió 900 gr por comerse tortas y dulces. ¿Cuántos gramos bajó Lula hasta el tercer mes?

Sub – Área: Aritmética

4. En un juego un apostador gana S/. 60 y luego pierde S/. 85, después gana S/. 72 y por último vuelve a perder S/. 35. ¿Cuánto ganó o perdió? 5. Si Pablo nació en el centenario de la independencia del Perú. ¿Qué edad cumplirá en el año 2001? 6. ¿Cuánto costó lo que al venderse en S/. 2937 deja una ganancia de S/. 129? 7. ¿Cuánto costó lo que al venderse en $ 600 deja una pérdida de $ 123? 8. Rómulo gastó al comprar por partes su computadora $490. Si quiere ganar $ 230, ¿A cuánto lo tiene que vender?

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

M U LTIP L IC AC I ÓN Podemos afirmar que en la practica la multiplicación es una operación que abrevia la suma. Ejm. 1: Juan tiene que cobrar S/. 5 a 22 personas, entonces tiene que cobrar :

5 + 5+ 5  +......  +  5 = S /. 5 x22 = S /. 110 22 sumandos Donde:

5 22 x 110

→ → → →

multiplicando multiplicador operador producto

Ejm 2: Sofía al vender 12 blusas pierde en cada una 7 soles, entonces pierde en total:

(−7 ) + ( −7 )+ (−7)+.....   +(−7) = (−7 ) × 12 = S /. - 84 12 sumandos Donde:

-7 → 12 → -84 →

...................................................... ...................................................... ......................................................

Regla de Signos para la Multiplicación de Números Enteros  Si dos números enteros tienen el MISMO SIGNO, su producto tendrá SIGNO POSITIVO.  Si dos números enteros tienen DISTINTO SIGNO, su producto tendrá SIGNO NEGATIVO. Ejm : (+5) x (+3) = +15 (-9) x (+2) = ............ (+6) x (-6) = ............ (-9) x (-2) = ............ (+3) x (-3) = ............ (-1) (-1) (-1) = ............ (-5) (-1) (-7) (-8)= ............

Sub – Área: Aritmética

La operación resultaba muy compleja para los antiguos. Los griegos se auxiliaban de la tabla pitagórica, que ya conocían antes de nacer Pitágoras. Los babilonios empleaban tablas de cuadrados. Entre los romanos, la operación era lenta y trabajadora, como se observa en la ilustración, debido a su notación numeral. el signo de multiplicar, Cruz de San Andrés, se atribuye a W. Oughtred, hacia 1647.

"La educación es la preparación a la vida completa."

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

Ejercicios: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

(+8) (-3) = (+9) (-2) (-1) = (-2) (-1) (-1) = (-1) (-2) (+2) (-3) = (+2) (+2) (+2) (-2) = (+5) (-2) (-1) (-3) (-5) = (+1) (+1) (-1) (-1) (-1) =

DIVISIÓN División.- Dividir es calcular el número de veces que contiene un número llamado dividendo (D) a otro llamado Divisor (d). Este "Número de veces" recibe el nombre de cociente (q) Ejm: ¿Cuántas veces contiene 24 a 6? 24 = 24 ÷ 6 = 4 Es decir: 6 4 : recibe el nombre de cociente. 24 : recibe el nombre de dividendo. 6 : recibe el nombre de divisor. División Exacta.- Si el DIVIDENDO (D) contiene una cantidad EXACTA de veces al divisor (d), entonces tenemos una DIVISIÓN EXACTA. Esta división se representa así : D ¸ d = q Ejm 1:

;

d≠0

45 ¸ 5 = 9 porque: 5 x 9 = 45

D =q d

* Otra forma de representar:

Babilonia e hindúes fueron los primeros en conocer la división. Los métodos actuales para resolver la división se derivan de los hindúes, que disponían en una mesa de arena los elementos de la operación: dividendo, divisor, cociente y residuo. Estos conocimientos fueron transmitidos a Europa por los árabes. Leonardo de Pisa los expuso en 1202. Oughtred, en 1647, propuso el signo (:) para indicar la división.

Reglas de Signos en la División (+) (-) (+) (-)

¸ ¸ ¸ ¸

(+) (-) (-) (+)

= = = =

(+) (+) (-) (-)

Ejercicios 1. 2. 3. 4. 5. 6.

(+6) (+8) (+10) (-8) (-4) (+9)

¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸

(+2) (-2) (+5) (-8) (-2) (-3)

= = = = = =

Sub – Área: Aritmética

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

ACTIVIDAD EN AULA 1. (+2)(+7) -

= +6

* Efectuar los siguientes ejercicios combinados: 2. (-1)(+5) + (-3)(-2) = 3. (-7)(+2) - (+3) = 4. La diferencia de dos números enteros es 31 y su correspondiente suma es -61. ¿Cuál es el número menor?

5. Le preguntan a Javier por su edad y éste responde: Si al doble de mi edad le suman 4, obtienen 40 años. ¿Cuál es la edad de Javier? 6. Un sargento quiere formar a sus soldados en 5 filas de 6 cada una, pero observa que le faltarían 4 soldados, entonces los forman en 4 filas de 5. ¿Cuántos le sobran ahora? 7. La suma de dos números es 406, su cociente es 2 y el resto 91. ¿Cuáles son los números?

ACTIVIDAD DOMICILIARIA

1. Efectuar:

A = [ ( − 2 ) +  ( − 2 ) + . . .. . + ( − 2 ) ] ( − 5 ) ( − 7 ) 8 veces

Rpta.: ................................... 2. Efectuar: B = [ ( − 1 ) + ( − 1 ) +. .. ..+ ( −1 )]( − 2 )

5. Entre Pedro y Juan tienen S/. 126. Si la cantidad que tiene Pedro es 17 veces la que tiene Juan, ¿Cuánto más tiene Pedro que Juan? Rpta.: ................................... 6. Las edades de Juan y Víctor suman 78. Si la edad de Juan es el doble que la de Víctor, ¿Cuál es la edad de Juan?

9 veces

Rpta.: ................................... Rpta.: ................................... * Completar en los recuadros los números enteros que faltan y que verifiquen la igualdad. 3. (-1) x (7) +

= -5

7. Entre dos personas tienen S/. 200. Si la cantidad que tiene una de ellas es el triple de lo que tiene la otra. ¿Cuáles son dichas cantidades? Rpta.: ...................................

Rpta.: ...................................

4. (-6)(+3) +

= -12 Rpta.: ...................................

Sub – Área: Aritmética

8. Las edades de un padre y su hijo suman 85 años. Si la edad del hijo es la cuarta parte de la de su padre, ¿Cuál es la edad del hijo? Rpta.: ...................................

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

ACTIVIDAD EN AULA 1. Si al dividir N entre 109 el cociente es el duplo del divisor, ¿Qué número es N? 2. ¿Por cuál número hay que dividir 154800 para que el cociente sea 15? 3. Se repartió cierto número de naranjas entre 21 personas y después de dar 7 naranjas a cada persona sobraron 18. ¿Cuántas naranjas había? 4. Si un comerciante vende a S/. 11 cada calculadora, gana S/. 75; pero si decide vender cada calculadora a S/. 6, pierde S/. 50. ¿Cuántas calculadoras tiene para vender? 5. Si $ 163 se reparten entre cierto número de personas, a cada una le tocaría $ 9 y sobrarían $ 10. ¿Cuál es el número de personas?

6. Cuando dividimos cierto número por 50 obtenemos como residuo 20. Si dividimos el mismo número por 52, obtenemos el mismo cociente, pero 4 de residuo. Calcular el cociente que se obtiene en ambos casos 7. Si la edad de tu abuelito la multiplicas por 8, luego la divides por 10 y el cociente la multiplicas por 3 añadiendo en seguida 36, obtendrías 180. ¿Cuál es la edad de tu abuelito? 8. Se organiza una función de teatro en nuestro colegio. Si el Señor "J.V" paga S/. 6 por cada entrada, le sobrarían S/.16; y si paga S/. 7 por cada entrada, le sobrarían S/. 8. ¿Cuántas entradas compró?

ACTIVIDAD DOMICILIARIA 1. Esteban vende un terreno de 20 áreas a $ 600 el área y recibe en pago otro terreno de 900 metros cuadrados a razón de $ 4 el metro cuadrado. ¿Cuánto le adeudan? Rpta: ............... 2. Se compran 8 libros de Matemáticas a $10 cada uno, 5 lapiceros a $1 y 6 plumas fuentes a $5 cada una. Si se vende todo en $180. ¿Cuánto se pierde? Rpta: ............... 3. Se compran 144 metros cuadrados de terreno a $2 el metro cuadrado, y se venden a $80 la docena de metros. ¿Cuánto se gana? Rpta: ............... 4. Juan gana $10 por día de trabajo y trabaja 6 días a la semana. Si gasta 38 dólares a la semana, ¿Cuánto puede ahorrar en 22 semanas? Rpta: ...............

Sub – Área: Aritmética

5. Se tiene una multiplicación de tres factores, si se duplica uno de ellos y se triplica otro, ¿En cuánto varía el producto inicial? a) Queda multiplicado por 12 b) Queda dividido por 6 c) Queda multiplicado por 6 d) Queda dividido por 12 e) Faltan datos 6. Si en una multiplicación de tres números enteros se duplica cada uno de ellos. ¿Cómo queda afectado el producto? a) Queda multiplicado por 2 b) Queda multiplicado por 8 c) Queda dividido por 2 d) Queda dividido por 8 e) No se altera 7. Si en una división exacta el dividendo es 2488 y el cociente 8. ¿Cuál es el divisor? Rpta: ............... 8. Si el cociente exacto es 851 y el divisor 93. ¿Cuál es el dividendo? Rpta: ...............

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

ACTIVIDAD EN AULA 1. Un dentista extrae 3 muelas por hora; a cada paciente le extrae máximo 2 muelas. Cada paciente tiene entre 20 y 24 muelas. ¿Cuál es el mayor tiempo que podrá emplear en 15 pacientes? 2. El papá de Luis gana S/. 1800 mensuales y gasta S/. 1670. ¿Cuánto ahorrará en un año? 3. En un salón de clase, por cada hincha del Alianza hay 3 de Universitario y 2 del Cristal. ¿Cuántos son hinchas de Universitario si en el salón hay 36 alumnos? 4. Si al multiplicando de la operación 345 x 648 se le aumenta 5, ¿En cuánto aumenta el producto? 5. En el consultorio de un médico, por cada 2 pacientes que van con dolor de cabeza, hay 3 con dolor de estómago y 5 con dolor de espalda, ¿Cuántos hay con dolor de espalda?.

Si en la sala de espera hay 30 pacientes, ¿Cuántos hay con dolor de estómago? 6. Una persona tiene S/. 150 en el banco. Mensualmente, gana S/. 900 y gasta S/. 750; lo demás lo ahorra en el banco. ¿Cuántos meses deberán transcurrir, para que tenga en el banco, tanto como lo que gana? 7. Un edificio tiene 20 pisos. En cada piso hay 12 departamentos, 4 de ellos con vista a la calle. Cada departamento tiene 8 ó 12 focos, ¿Cuántos focos hay en el edificio si los departamentos que no tienen vista a la calle tienen más focos que los otros? 8. En una tienda se venden licuadoras a $80 cada una; planchas a $30 cada una y lustradoras a $120 cada una. Si al final del día se vendieron 5 licuadoras, 8 planchas, pero no se sabe cuántas lustradoras; averigue Ud. el número de lustradoras vendidas, sabiendo que en total se recaudó $1000.

ACTIVIDAD DOMICILIARIA 1. En un salón hay 24 alumnos y en otro salón hay 31 alumnos. Si a cada alumno del primer salón se le obsequia 12 caramelos y a cada alumno del otro salón se le obsequia 4 caramelos menos, ¿Cuántos caramelos se van a repartir en total? 2. Cinco estudiantes compran un paquete de 20 chocolates. Si se distribuyen los chocolates por partes iguales, ¿Cuántos caramelos recibe cada uno de ellos? 3. Dentro de una caja roja se meten 5 cajas azules; en cada caja azul se meten 3 cajas rojas y en cada caja roja se meten 8 cajas blancas. ¿Cuántas cajas hay en total? 4. Un edificio tiene una altura de 90 metros. Si cada piso del edificio tiene una altura de 3m. ¿Cuántos pisos tiene el edificio?

Sub – Área: Aritmética

5. Tengo S/. 171 y compro 3 camisas de S/. 27 cada una. ¿Cuántos pañuelos podré comprar con lo que me queda, si cada uno cuesta S/. 6? 6. El conductor de un camión repartidor tiene instrucciones de dejar 15 cajas de leche en cada hospital y 10 cajas de leche en cada colegio. Si en una mañana visitó 5 hospitales y 8 colegios, ¿Cuántas cajas de leche repartió? 7. Un edificio tiene 48 ventanas y 80 puertas. ¿Cuántas puertas más que ventanas tendrán 5 edificios? 8. En un edificio, las escaleras que hay entre piso y piso tienen 15 peldaños. Una persona sube del primer piso al quinto y luego baja al segundo piso. ¿Cuántos peldaños subió y bajó?

ACTIVIDAD EN AULA

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

1. Dos autos salen de dos ciudades, "A" y "B", situadas a 180km de distancia y van uno hacia el otro. "A" y "B" salen a las 5am, "A" va a 11km por hora y el de "B" a 7km por hora. ¿A qué hora se encontrarán y a qué distancia de "A" y "B"?. 2. Dos correos salen de dos ciudades "M" y "N", distantes entre sí 100km, a las 10am., y van uno hacia el otro. El que sale de "M" va a 6km por hora el que sale de "N" va a 4km por hora. ¿A qué hora se encontrarán y a qué distancia de "M" y de "N"?.

3. Dos personas salen caminando de dos aldeas vecinas situadas a 500m de distancia y van uno hacia el otro. Si uno de ellos camina a razón de 3m por segundo y el otro a razón de 2m por segundo. ¿A qué hora se encuentran si parten a la misma hora (8am)?. 4. Dos autos que salen de dos ciudades "A" y "B", distantes entre sí 120km, a las 2pm y van uno hacia el otro. El que sale de "A" va a una velocidad de 75km por hora y el de "B" a 45km por hora. ¿A qué hora se encontrarán y a qué distancia de "B"?. 5. Erick y Andrea salen caminando de sus casas situadas a 240m de distancia y van a encontrarse para conversar sobre su profesor de Aritmética. Si ambos salen a las 7pm y Erick camina a razón de 2m/s y Andrea a 4m/s. ¿A

qué distancia de la casa de Andrea se encuentran y a qué hora?. 6. Pedro está caminando en el parque del Olivar de San Isidro y ve a su amiga Paloma que está a 200m de distancia de él. Si ambos caminan en el mismo sentido y Pedro camina a razón de 3m/s y Paloma a 1m/s. ¿En cuánto tiempo logra alcanzarla?. 7. Dos autos en movimiento están separados 180m y van en el mismo sentido. Si el que esta atrás va a razón de 20m/s y el otro a razón de 10m/s. Calcular en cuánto tiempo logra alcanzar el que está atrás al de adelante?. 8. Un patrullero persigue a un ladrón que va en una bicicleta, si ambos están separados 160m y el patrullero va con una rapidez de 30m/s y el ladrón a 20m/s. ¿En cuánto tiempo lo alcanza?. 9. Dos autos que van en el mismo sentido están separados por 1240m (8 am), si el que va adelante va a razón de 40m/s y el que está atrás a razón de 60m/s. ¿A qué hora alcanza el que está atrás al que va adelante?. 10.En una competencia dos corredores "A" y "B" están separados por 12m de distancia, si "A" que es el que está atrás de "B" va a razón de 9,2m por segundo y "B" a razón de 8,2m por segundo. ¿Después de qué tiempo "A" logra alcanzar a "B"?.

ACTIVIDAD DOMICILIARIA Sub – Área: Aritmética

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

1. Dos autos salen de dos ciudades "A" y "B", situadas a 1400km de distancia y van uno hacia el otro. El de "A" sale a las 6am a 100km/h y el de "B" sale a las 8am y va a 50km/h. ¿A qué hora se encontrarán y a qué distancia de los puntos "A" y "B"?.

2. Dos personas salen de sus casas situadas a 1200m de distancia y van al encuentro. Si una de ellas sale a las 2pm y va a razón 4m/s y la otra sale a las 2:10pm y va a 2m/s. ¿A qué hora se encuentran?

3. Dos móviles salen de dos puntos "P" y "Q" que distan 236km y van al encuentro. Si el de "P" sale a las 5am a 9km/h y el de "Q" a las 9am a 11km/h. ¿A qué hora se encontrarán y a qué distancia de "Q"?.

4. Un auto sale de Santa Clara hacia la Habana a las 6am a 30km/h y otro de la Habana hacia Santa Clara a las 6:30am a 20km/h. ¿A qué distancia se hallarán a las 9am?. (Distancia entre la Habana y Santa Clara = 300km).

5. Un auto sale desde "A" hacia "B" a las 3pm a 20km/h y otro de "B" hacia "A" a las 4pm a

Sub – Área: Aritmética

60km/h. ¿A qué distancia se hallarán a las 6pm?. (Distancia entre "A" y "B" es de 420km). 6. Jorge y Sabrina salen al encuentro de sus casas, Jorge sale a las 7am y va a 5m/s y Sabrina a las 7:02am a 2m/s. Si sus casas están separadas 2460m. ¿A qué distancia estarán separadas a las 7:05am?. 7. A las 6am sale un auto de "A" a 60km/h y va al encuentro de otro que sale de "B" a 80km/h, a la misma hora, sabiendo que se encuentran a las 11am. ¿Cuál es la distancia entre "A" y "B"?. 8. A las 8am sale una moto de "A" a 80km/h y va al encuentro de otro que sale de "B" a 70km/h a las 8:30am. Si se encuentran a la 1pm, ¿Cual es la distancia entre "A" y "B"?. 9. Dos autos salen de dos puntos "M" y "N" distantes entre si 360km a las 8am y a las 12 del día se encuentran en un punto que dista 240km de "N". Hallar las velocidades de ambos autos. 10. Dos peatones salen de dos puntos "A" y "B" distantes entre si 2200m a las 8pm y a las 8:04pm , se encuentran en un punto que distan de "B" 1240m. Hallar las velocidades de ambos autos.

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario 1. Un grifo llena un depósito en 5 horas. ¿En cuánto tiempo podrá llenar la mitad del depósito?. 2. Un grifo llena un depósito en 8 horas. ¿En cuánto tiempo podrá llenar los 3/4 del depósito?. 3. Un caño puede llenar un balde en 10 minutos. ¿En cuánto tiempo podrá llenar 1/5 del balde?. 4. Un caño puede llenar un depósito en 32 minutos. ¿En cuánto tiempo podrá llenar los 7/16 del depósito?. 5. Un grifo llena un depósito en 12 horas. ¿En cuánto tiempo podrá llenar los 3/5 del depósito?. 6. Un caño llena los 3/4 de un depósito en 6 horas. ¿En cuánto tiempo puede llenar todo el depósito? 7. Un caño llena los 2/7 de un depósito en 4 horas. ¿En cuánto tiempo puede llenar todo el depósito?. 8. Un grifo llena los 3/5 de un depósito en 30 minutos. ¿En cuánto tiempo puede llenar todo el depósito?. 9. Un grifo llena los 5/11 de un tanque en 25 minutos. ¿En cuánto tiempo puede llenar la quinta parte del tanque?. 10. Un caño puede llenar los 2/3 de un depósito en 40 minutos. ¿En cuánto tiempo puede llenar los 7/10 del depósito?. 11. Un grifo llena un depósito en 4 horas, mientras que otro demora 5 horas en llenar el mismo depósito. Si se abren los dos al mismo tiempo. ¿Qué tiempo demorarán juntos en llenar el depósito?. 12. Un tanque tiene 2 grifos "A" y "B", si el grifo "A" puede llenar el tanque en 4 horas, mientras

Sub – Área: Aritmética

que el grifo "B" demora en llenarlo 3 horas, si se abren los dos a la vez. ¿Qué tiempo demoran en llenarlo? 13. Un grifo llena un depósito en mientras que otro grifo demora 8 llenar ese depósito. ¿Qué tiempo juntos en llenar el depósito si se mismo tiempo?.

6 horas, horas en demoran abren al

14. Un caño demora 2 horas en llenar un depósito y el desagüe demora 6 horas en vaciarlo. ¿En qué tiempo se llena haciendo funcionar el caño y el desagüe a la vez?. 15. Un caño demora 20 minutos en llenar una piscina y el desagüe demora 40 minutos en vaciarlo. ¿En qué tiempo se llena haciendo funcionar el caño y el desagüe a la vez?. 16. Un caño "A" puede llenar un depósito en 4 horas y otro caño "B", puede vaciar el mismo depósito en 6 horas. Si el depósito está vacío y se abren ambos caños a la vez. ¿En qué tiempo se llenará todo el depósito?. 17. Un caño "M" puede llenar un tanque en 12 minutos y un desagüe lo puede vaciar en 24 minutos. Si el tanque está vacío y se abren ambos a la vez. ¿En qué tiempo se llenará todo el tanque?. 18. Un caño puede llenar un depósito en 10 minutos y otro en 20 minutos. ¿En cuánto tiempo pueden llenar el depósito las dos llaves juntas?. 19. Un tanque tiene 3 grifos "A", "B" y "C", si el grifo "A" puede llenar el tanque en 24 minutos, el grifo "B" lo puede llenar en 4 minutos y el grifo "C" en 6 minutos. ¿En qué tiempo podrán llenarlo si se abren los tres grifos a la vez?. 20. Un caño llena un estanque en 4 horas y el desagüe lo vacía en 6 horas. ¿En cuánto tiempo se llenará el estanque si la llave del desagüe empezara a funcionar una hora después de abierto el caño?.

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

ACTIVIDAD EN AULA

1. Si dentro de 44 años tendré 99 años, ¿qué edad tuve hace 24 años? a) 28 d) 31

b) 29 e) 32

c) 30 a) 480 d) 400

2. Si hace 12 años tuve la mitad de la edad que tengo, ¿qué edad tengo? a) 12 d) 14

b) 24 e) 16

b) 11 e) 16

b) 320 e) 500

9. ¿Cuál es el precio de un artículo, si al venderlo en S/. 330 deja una ganancia de S/. 67? a) 397 d) 263

c) 12

b) 327 e) 253

4. Tengo 20 años ¿hace cuántos años tuve la mitad de la edad que tendré dentro de 10 años? b) 6 e) 8

b) 10 e) 15

b) 240 e) 290

c) 260

11. Al comprar un automóvil gasté la mitad de lo que no gasté ¿cuál es el precio del automóvil si inicialmente tenía $6000?

c) 5 a) $2000 d) 3500

5. Tengo 21 años ¿hace cuántos años tuve la tercera parte de la edad que tendré dentro de 15 años? a) 9 d) 12

c) 497

10. ¿Qué precio se debe fijar un artículo que costó S/. 220 de tal manera que al venderlo se haga un descuento de S/. 33, y aún así se este ganando 44 soles? a) S/. 330 d) 300

a) 4 d) 10

c) 380

c) 32

3. Dentro de 16 años mi edad será el cuadruplo de la edad que tuve hace 5 años. ¿Qué edad tengo? a) 10 d) 14

8. ¿Cuánto costó un artículo, si al rematarlo en S/. 360 produce una pérdida de la tercera parte de lo que se vendió?

c) 11

b) 3000 e) 4000

c) 2500

12. Compré un auto al precio de $7200 y por gastos del transporte y cambio de color pagué $640 más. ¿Cuánto dinero tenía antes de comprar el auto si al final me sobró $ 200? a) $8000 d) 8080

b) 6000 e) 8040

c) 3000

6. En el mes de Agosto una persona sumó a los años que tiene los meses que ha vivido y obtuvo 228. ¿En qué mes nació dicha persona? a) Abril c) Febrero e) Mayo

13. Compré 30 caballos a $24000, por enfermedad se murieron 10 y el resto los vendí a $1400 cada uno, ¿gané o perdí?

b) Enero d) Marzo

7. ¿A cómo se debe vender lo que costó S/. 240, para ganar 68? a) 128 d) 168

b) 308 e) 208

Sub – Área: Aritmética

c) 188

a) gané $2000 c) perdí $2000 e) perdi $4000

b) gané $4000 d) gané $3000

14. Compré una computadora en S/. 1200. ¿En cuánto debo venderla si deseo ganar en el negocio el doble de lo que me costó aumentado en 300?

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario a) S/. 2700 d) 3100

b) 2900 e) 3300

c) 3900 ¿Qué observas en la figura?

INTERPRETANDO FIGURA En la siguiente figura, tienes que observar y buscar una interpretación, la más ingeniosa o creativa posible.

ACTIVIDAD DOMICILIARIA

1. Si hace 14 años tenía 22, ¿cuántos años tendré dentro de 17 años? a) 51 d) 52

b) 22 e) 53

c) 36 a) 6 d) 10

2. Si dentro de 16 años tendré el triple de la edad que tengo, ¿qué edad tengo? a) 8 d) 18

b) 24 e) 16

c) 6

3. Dentro de 30 años tendré el triple de la edad que tuve hace 20 años, ¿cuántos años tengo? a) 40 d) 55

b) 45 e) 60

4. Si hace 8 años mi edad era la cuarta parte de la edad que tendré dentro de un año. ¿Qué edad tengo?

c) 50

c) 9

5. Yo tenía 18 años y dentro de 20 años tendré el doble de la edad que tengo ¿cuántos años tengo? a) 18 d) 40

b) 20 e) 12

c) 22

6. Un romano nació el cuarto día del año 30 a.C. y murió el cuarto día del año 45 d.C. ¿Cuántos años vivió? a) 60 d) 70

Sub – Área: Aritmética

b) 8 e) 11

b) 65 e) 75

c) 80

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

ACTIVIDAD EN AULA 1. Jacob tiene S/.80 en billetes de S/.10 y S/.20. ¿Cuántos billetes de S/.20 hay de un total de 5 billetes?. a) 1 d) 3

b) 2 e) 5

c) 4 a) 26 d) 20

2. En un grupo de patos y carneros, el número de patas era 16 y el número de cabezas era 6. ¿Cuántos patos hay?. a) 2 d) 1

b) 3 e) 5

c) 4

3. Se desea envasar 24 litros de leche, en toneles de 2 y 8 litros, respectivamente. ¿Cuántos toneles de 2 litros se necesitaron si el total de toneles empleados fue 9?. a) 6 d) 4

b) 7 e) 1

c) 8

4. Un barril contiene 31 litros de cierto líquido. Si este debe ser envasado en 8 botellas, unas de 2 litros y otras de 7 litros. ¿Cuántas botellas de 2 litros se va a necesitar?. a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

5. Una señora compra en una frutería entre manzanas y naranjas. Cada costó 45 centavos y cada naranja centavos. Si gastó en total S/.5,10. naranjas compró?. a) 8 d) 6

b) 4 e) 3

13 frutas, manzana costó 30 ¿Cuántas

c) 5

6. Si pagué una deuda de $305 con 43 billetes de 5 y 10 dólares. ¿Cuántos billetes de $5 he usado?. a) 25 b) 18 c) 15 d) 12 e) 24 7. En un grupo de carneros y gallinas, el número de patas era 36 y el número de cabezas era 15. ¿Cuántos carneros hay?. a) 10 d) 3

b) 12 e) 6

Sub – Área: Aritmética

8. En una granja hay conejos y gallinas, con un total de 40 animales. Si al contar el número de patas se observó que habían 104, ¿Cuántas gallinas hay en dicha granja?. b) 12 e) 28

c) 18

9. Con 101 000 soles se han comprado carneros y ovejas, adquiriendo un total de 25 animales. Si cada carnero cuesta S/.3000 y cada oveja S/.5000. ¿Cuántos carneros se han comprado?. a) 12 d) 9

b) 13 e) 6

c) 15

10.En un taller encontramos 80 vehículos entre autos y motocicletas, contando 176 llantas. ¿Cuántas motocicletas encontramos?. a) 8 d) 66

b) 6 e) 52

c) 72

11.Se trata de formar una longitud de un metro colocando 34 monedas de 10 y 20 centavos en contacto con sus cantos, una a continuación de la otra. Los diámetros de las monedas son de 20 y 30mm. ¿Cuantas monedas de 10 centavos se necesitan?. a) 2 d) 24

b) 6 e) 8

c) 32

11.Un ferrocarril conduce 150 pasajeros en vagones de primera y segunda clase. Los primeros pagan S/.1,5 y los últimos S/.1. Si la recaudación total fue S/.187. ¿Cuántos viajaron en segunda clase?. a) 76 d) 86

b) 74 e) 68

c) 72

12.Joaquín rinde un examen de 30 preguntas. Si por cada respuesta acertada obtiene 4 puntos y por cada equivocación pierde un punto. ¿Cuántas preguntas contestó bien si obtuvo un puntaje de 80 puntos y contestó todas las preguntas?.

c) 8 a) 18 d) 20

b) 16 e) 22

c) 12

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario 13.En un examen, un alumno gana 4 puntos por respuesta correcta, pero pierde un punto por cada equivocación. Si después de haber contestado 50 preguntas obtiene 180 puntos. ¿Cuántas preguntas respondió correctamente?.

a) 46 d) 2

b) 40 e) 32

c) 36

ACTIVIDAD DOMICILIARIA

1. Una empresa tiene una flota de 10 camiones, unos de 4 ruedas y otros de 6 ruedas. Si en total se cuentan 54 ruedas. ¿Cuántos camiones de 6 ruedas hay?. a) 4 d) 3

b) 5 e) 6

c) 7

2. Marcelo paga una deuda de S/.18 con monedas de S/.1 y S/.5. Si utilizó 10 monedas. ¿Cuántas monedas de S/.5 utilizó?. a) 1 d) 5

b) 2 e) 8

c) 3

3. Se desea envasar 46 litros de vino en toneles de 6 y 7 litros, respectivamente. ¿Cuántos toneles de 7 litros se necesitaron si el total de toneles empleados fue 7?. a) 4 d) 3

b) 5 e) 2

4. Se deben vaciar 110 litros de agua en depósitos de 10 y 5 litros. ¿Cuántos son de 10 litros si en total se usaron 14 depósitos?. a) 6 d) 9

b) 8 e) 5

c) 4

5. Una empresa tiene una flota de 22 camiones, unos de 4 ruedas y otros de 6 ruedas. Si en total se cuentan 108 ruedas. ¿Cuántos camiones de 4 ruedas hay?. a) 12 d) 8

b) 10 e) 14

c) 15

6. Raimundo tiene 3100 soles en billetes de 50 y 100 soles. ¿Cuál será la cantidad de billetes de mayor denominación si hay un total de 34 billetes?.

c) 6 a) 6 d) 14

b) 28 e) 9

c) 12

ACTIVIDAD EN AULA Sub – Área: Aritmética

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

1. En la mano derecha tengo 8 monedas más de las que tengo en la mano izquierda. Si de la izquierda saco las 6 para poner en la mano derecha. ¿Cuántas tengo en la derecha?. a) 14 d) 19

b) 15 e) 20

c) 17

2. Suponga que en el campeonato mundial 2002, el Perú va en el primer puesto, que Holanda ocupa el quinto puesto y Brasil el lugar intermedio de ambos. Si España está delante de Holanda y Argentina aparece clasificado inmediatamente después que Brasil. ¿Qué equipo figura en el segundo puesto?. a) España c) Argentina e) Perú

b) d)

Brasil Holanda

3. Cinco profesores: Miranda, Escalante, Bastidas, Vera y Oblitas estaban sentados en una fila esperando al Director de la Academia; Escalante estaba en un extremo de la fila y Bastidas en el otro extremo, Vera estaba sentado al lado de Escalante y Miranda al lado de Bastidas. ¿Quién estaba en el medio?. a) Miranda c) Bastidas e) Oblitas

b) Escalante d) Vera

6. En una bolsa hay bolas, tres de ellas son rojas y dos son blancas. Al sacar tres bolas una es blanca. ¿Cuántas bolas quedan en la bolsa y de qué color?. a) 2 blancas c) una roja e) una roja y una blanca

b) d)

dos rojas F. datos

7. Aquí hay 4 caminos. He venido del sur y quiero ir a Lurín. El camino de la derecha lleva a cualquier otra parte. Si sigo derecho llego sólo a un rancho. ¿En qué dirección queda Lurín?. a) al Norte c) al Este e) N.A.

b) al Sur d) al Oeste

8. El hombre que robó la billetera a Pérez no tenía la tez morena, ni era alto de estatura, tampoco tenía la cara bien afeitada. Las únicas personas que entonces estaban en la habitación eran: I) Díaz; hombre moreno, de baja estatura y bien afeitado. II) López; rubio, barbudo y menudo. III) Cortéz; hombre moreno, barbudo y alto. ¿Quién robó la billetera a Pérez?. a) Díaz d) F. datos

b) López e) N.A.

c) Cortéz

4. Una persona puede ser buena o mala, la misma persona puede ser estudiante o terrorista, pero esta persona es estudiante y mala luego no puede ser: a) b) c) d) e)

9. En una fiesta se encuentra cierta cantidad de muchachos y muchachas, así como también 7 madres. En un determinado momento todos bailan, excepto 7 parejas que salen a tomar aire y las 7 madres que se quedan dormidas. ¿Cuántas mujeres habían en la fiesta, si el número total de personas era 97?.

estudiante y terrorista. buena y terrorista. terrorista y mala. faltan datos. N.A.

5. Un resorte al estirarlo 5cm vuelve a su estado primitivo al cabo de 50 segundos. Si se estira 5mm volverá a su estado inicial al cabo de: a) 5s d) 0,5

b) 10 e) N.A.

Sub – Área: Aritmética

c) 50

a) 45 d) 51

b) 49 e) 52

c) 50

10. Si de cada 10 mujeres 5 son solteras. ¿Cuántas casadas habrán de 100 que no sean casadas?

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario a) b) c) d) e)

50 más de 50 menos de 50 más de 10 pero menos de 50 N.A.

11. Un alumno ingenioso, puede formar con 3 colillas de cigarro un cigarro. Si en un determinado momento tiene 11 colillas, se puede decir que podrá fumar como máximo: a) 2 cigarrillos c) 4 cigarrillos e) 6 cigarrillos

b) 3 cigarrillos d) 5 cigarrillos

12. Una madre le dice a su hija: "Si ingresas a la Universidad te quedarás soltera, pero si no ingresas tendrás que casarte, porque el novio te está esperando; siempre y cuando no apruebes el examen". Resulta que la hija no se presentó al examen, luego: a) se casó b) no se casó c) se dio a la fuga d) imposible e) N.A. 13. Un millonario excéntrico desea construir una casa de forma cuadrada, con una ventana en cada pared de forma tal que las cuatro miren al Polo Sur, luego él deberá construir su casa en: a) b) c) d) e)

El Polo Norte El Polo Sur La Zona Ecuatorial Absurdo Faltan datos

e) 45g 16.Recibí una carta de Luis donde dice: "Regresé a pie del campo, donde me fracturé un miembro". ¿Qué miembro se fracturó Luis?. a) b) c) d) e)

Brazo derecho Pierna izquierda Brazo izquierdo Pierna derecha N.A.

17.Siendo Lunes el mañana de ayer. ¿Qué día será el ayer de pasado mañana?. a) Domingo c) Martes e) Jueves

18.Como máximo. ¿Cuántos domingos puede traer un año?. a) 48 d) 52

c) 5

15. Un pajarito cuyo peso es de 50g está en su jaula; dormido en el balancín. Si ponemos la jaula con el ave sobre una balanza vemos que pesa 1kg., si el ave despierta y empieza a revolotear por la jaula. ¿Cuánto indicará la aguja de la balanza?. a) 50g c) más de 50g

b) 55g d) menos de 50g

Sub – Área: Aritmética

c) 51

a) Luis c) Juan e) Ninguna

b) Pedro d) Faltan datos

20.Un individuo sube hasta el quinto piso de un edificio, luego baja al segundo piso y vuelve a subir al cuarto piso. Si entre piso y piso las escaleras tienen 15 peldaños. ¿Cuántos peldaños ha subido el individuo?.

14.¿Cuántos bisabuelos tienes tú sin considerar si viven o no?. b) 4 e) 7

b) 50 e) 53

19.Luis, Pedro y Juan tienen un animal cada uno. Si Pedro le dice al dueño del gato que el otro tiene un perro, y Juan le dice al dueño del perro, que este tiene hambre, entonces el dueño del mono es:

a) 60 d) 90

a) 3 d) 8

b) Lunes d) Miércoles

b) 70 e) N.A.

c) 80

CRUZANDO EL DESIERTO En aquellos lejanos tiempos en que cualquier viaje para cruzar el desierto necesitaba del auxilio del camello, eran frecuentes los problemas que como éste buscaban el máximo de seguridad con un mínimo de costo. Se trataba de un viajero que quiere cruzar un desierto cuya travesía dura 8 días, y donde ningún auxilio se puede recibir. El peso que en provisiones y en agua pueden llevar tanto el viajero como cada camello sólo puede alcanzar para el consumo de 5 días, sea del viajero o del camello. ¿Cuál será el menor número necesario de camellos para que la travesía

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario ofrezca la seguridad de que no falten provisiones? (Se entiende que los camellos tienen que regresar a su lugar de origen, sin sufrir falta de provisiones o agua).

La respuesta no es imposible.

LOS PRISIONEROS De tres prisioneros que se hallaban en cierta cárcel, uno tenía visión normal, el otro era tuerto y el tercero ciego. El carcelero dijo a los prisioneros que de un conjunto de 3 sombreros blancos y 2 rojos elegiría 3 de ellos al azar y los colocaría sobre sus cabezas.

La respuesta no es 6. PROBLEMA DE LOS CAMELLOS Un anciano padre dejó 35 camellos para que sean repartidos entre sus 3 hijos de la siguiente manera: al primero la mitad, al segundo la tercera parte y al tercero la novena parte, como no se podía dividir exactamente los camellos como quería el anciano, se llama a "Tarzán" quien al observar el problema; aumenta un camello suyo y lo reparte como quería el anciano, quedándole al final 2 camellos, uno suyo y otro que sale ganando. ¿Cómo se explica esto?.

Se prohibía que cada uno de ellos viera el color del sombrero sobre su propia cabeza. Se les reunió y el carcelero ofreció la libertad al 1º si podía decir el color de su sombrero. Dijo que no. El 2º tampoco podía, pero el 3ro. dijo: no necesito de mi vista, pues por lo que mis amigos con ojos han dicho, veo claramente que mi sombrero es............ ¿De qué color es el sombrero del ciego?.

La respuesta no es negro.

Sub – Área: Aritmética

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario I. Marque con un aspa si consideras que el número A de la columna izquierda es divisible por alguno de los números de la fila horizontal superior.

II. Completa el siguiente cuadro escribiendo debajo de 2; 3; 4; 5; etc., los menores números que reemplazados por separado en el casillero del número A de la columna izquierda, la conviertan a su turno en múltiplo de 2; 3; 4; 5; etc. Si no es posible, entonces marca con un aspa en el casillero correspondiente.

Sub – Área: Aritmética

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

III. Si el número 415 350 es divisible por 3, entonces la división 415 350 : 3 es exacta. Luego, decimos que 415 350 tiene tercia. Si el mismo número es divisible por 5, entonces tiene quinta y así sucesivamente. Según esto, llenar el siguiente cuadro, marcando con un SI o con un NO según tenga o no TERCIA, CUARTA, QUINTA, etc. El número dado en la izquierda.

Sub – Área: Aritmética

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

IV.Contesta las siguientes preguntas: (1) Escribe 5 números que sean divisibles por 15. ¿Tus cinco números son también divisibles por 3? ¿Lo son también por 5?. (2) Escribe 8 números que sean múltiplos de 10. ¿Tus ocho números son también divisibles por 2? ¿Lo son también por 5? (3) Escribe 10 números que sean múltiplos de 14. ¿Tus diez números son también divisibles por 2? ¿Lo son también por 7? (4) Escribe 12 números que sean múltiplos de 12. ¿Tus doce números son también múltiplos de 2? ¿Lo son también de 6?. (5) Cambia por otra la cifra de las centenas del número 73 543 para que el número sea múltiplo de 3. (6) ¿Cuánto deberíamos agregar como mínimo al número 71 315 para que sea múltiplo de 7?

Sub – Área: Aritmética

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

M ÁX I M O

COMÚN

DIVISOR

(MCD)

I. Considerando que un DIVISOR divide exactamente a un número dado, completar el siguiente cuadro hasta hallar el MCD de los números señalados aplicando sólo el concepto de MCD .

NÚM ERO

D IV IS O R E S C O M U N E S A :

D IV IS O R E S 36 y 27

40 y 18

72 y 40 45 y 30

38 y 30

42 y 32

72 38 45 36 40 32 27 18 30 42 M CD

II. Calcular el MCD de los siguientes números por "golpe de vista" . 5 y 3

6 y 3

20 y 12

9 y 11

N ÚM ERO S

12 y 4

7 y 8

3 y 4

18 y 3

18 y 6

24 y 5

16 y 12

M CD N ÚM ERO S

12 y 25 13 y 14 32 y 12 30 y 18 45 y 20

13 y 2 16 y 14

M CD

III. Hallar el MCD de los siguientes números aplicando DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA comprueba tu respuesta hallando el mismo MCD por el Método Abreviado . (1) (2) (3) (4)

60 y 90 32 ; 40 y 50 54 ; 80 y 64 18 ; 64 y 72

MÍNIMO COMÚN

(5) (6) (7) (8)

MÚLTIPLO

Sub – Área: Aritmética

35 ; 70 45 ; 85 12 ; 60 18 ; 60

y y y y

80 100 72 54

(MCM)

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario I. Considerando que un MÚLTIPLO contiene exactamente a un número dado, completar el siguiente cuadro hasta hallar el MCM de los números señalados, aplicando sólo el concepto de mcm. (Escribir sólo los 10 primeros múltiplos de cada número). M Ú LT IP LO S C O M U N E S A :

M Ú LT IP LO S

NÚ M ERO

6 y 8

6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54

8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; 72

15 y 16

16 y 8

18 y 32 15 y 20

24 y 16

12 15 18 16 20 24 32 36 m cm

II. Calcular el mcm de los siguientes números por "golpe de vista" . N Ú M ERO S

5 y 3

6 y 2

12 y 4

7 y 8

3 y 4

18 y 3

18 y 6

3 y 9

6 y 7

10 y 5

17 y 3

6 y 8

2 y 11

4 y 10

6 y 3

9 y 10

2 y 3

8 y 12

m cm N Ú M ERO S m cm

Sub – Área: Aritmética

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

ACTIVIDAD EN AULA 1. Calcular el menor número posible que dividido por 72; 120 y 80 nos dé siempre residuo cero. a) 1400 d) 1440

b) 850 e)720

c) 360

2. ¿Cuál es el número menor que dividido por 30; 84 y 64 resulte siempre en una división exacta? a) 5700 d) 6720

b) 6700 e) 7720

c) 5720

3. ¿Cuál es el mcm de 2 y 3? a) 2 d) 6

b) 3 e) 8

a) 7 litros b) 5 litros c) 12 litros d) 18 litros e) 6 litros 5. ¿Cuál es la mínima capacidad en litros de una piscina si se sabe que un caño la llenaría a 20 litros por minuto; un segundo caño la llenaría a 54 litros por minuto; y un tercer caño la llenaría a 15 litros por minuto. Conociendo, además, que el llenado por separado de cada caño es un número exacto de minutos? b) 270 litros d) 320 litros

6. En el problema anterior, ¿cuánto demoraría el primer caño en llenar la piscina? a) 18 min b) 27 min c) 20 min d) 25 min e) 32 min 7. Hallar el mayor divisor común de 72 y 90. a) 18

b) 9

e) 36

8. ¿Cuál es el divisor común más grande de 32 x 40 y 60 x 16? a) 350 d) 80

b) 160 e) 360

c) 320

9. En el problema anterior, ¿cuál es el número que representa a la suma de galletas y bombones en cada bolsa? a) 49 d) 42

b) 39 e) 40

c) 35

c) 5

4. Se tiene un cilindro con agua, el mismo que puede ser llenado por dos caños. ¿Por lo menos de cuántos litros es el cilindro si el primer caño vierte 2 litros por minuto, y el segundo vierte 3 litros por minuto y ambos llenan el cilindro, por separado, en un número exacto de minutos?

a) 540 litros c) 300 litros e) 560 litros

d) 54

10.En una librería se tiene en STOCK 300 lapiceros, 180 reglas y 240 borradores. Si el librero desea venderlos empa-quetados al mismo precio cada bolsa, ¿cuál es el mayor número de bolsas que estarían listas para venderse, sabiendo que cada bolsa debe contener lapiceros, reglas, borradores y que no debe sobrar ni un solo artículo fuera de bolsa? a) 52 d) 60

b) 63 e) 80

c) 65

11.En el problema anterior, ¿cuál es el número que representa a la suma de lapiceros y borradores en cada bolsa? a) 9 d) 15

b) 12 e) 10

c) 6

12.¿Cuál es el producto del MCD y mcm de los números 21; 39; 7 y 3? a) 263 d) 186

b) 283 e) 273

c) 266

13.El producto de dos números es 215930. Si su MCD es 302, ¿cuál es su mcm? a) 730 d) 515

b) 715 c) 810 e) Faltan datos

14.El mcm de dos números es 68. Si el producto de los mismos es 1836, ¿cuál es su MCD? a) 22 d) 35

b) 32 e) 42

c) 27

Sub – Área: Aritmética

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario 15.La suma de dos números es 6 veces su MCD, y el producto de dichos números es 8 veces su mcm. ¿Cuáles son estos números? a) 32 y 4 c) 6 y 34 e) 40 y 8

b) 40 y 6 d) 52 y 10

16.Dos números son primos entre sí. Si su producto es 3264, ¿cuál es su mcm? a) 3264 d) 2615

b) 3 615 e) 1632

c) 3178

ACTIVIDAD DOMICILIARIA

1. Si multiplicamos el MCD por el mcm de dos números, obtenemos 288. Sabiendo que uno de ellos es el MCD de 810 y 144, calcular la suma de dichos números. a) 34 d) 64

b) 17 e) 38

c) 68

2. Se tiene tres alambres de 35; 40 y 125 metros de longitud, los cuales se dividen en el menor número posible de trozos del mismo tamaño. ¿Cuál es la longitud de cada trozo? a) 8m d) 12m

b) 10m e) 7m

b) 21 e) 18

c) 23

4. ¿Cuántos números enteros menores que 880 son divisibles, simultáneamente, por 6; 15; 8 y 10? a) 1 d) 7

b) 8 e) 5

b) 3 e) 5

c) 2

6. Un comerciante tiene tres barriles de vino de 420; 580 y 1800 litros, respectivamente; proponiéndose vender este vino en recipientes pequeños e iguales de la mayor capacidad y que estén contenidos, exactamente, en los tres barriles. ¿Cuántos recipientes debe usar el comerciante? a) 122 d) 66

b) 140 e) 20

c) 84

c) 5m

3. Se ha dividido 3 barras de acero de longitudes 540; 480 y 360 mm en trozos de igual longitud, siendo ésta la mayor posible. ¿Cuántos trozos se han obtenido? a) 15 d) 25

a) 1 d) 4

c) 6

5. ¿Cuántos números enteros mayores que 500 y menores que 900 son divisibles, a la vez, por 9; 12; 15 y 18?

Sub – Área: Aritmética

7. En un taller de carpintería, el total de los salarios es S/. 525; y en otro, S/. 810, recibiendo cada trabajador el mismo salario. ¿Cuántos trabajadores hay en cada taller si el salario es el mayor posible? a) 27 y 35 c) 54 y 35 39

b) 51 y 37 d) 51 y 54

8. Calcular la superficie del menor terreno rectangular que puede ser dividido en lotes rectangulares de 6m por 20m, 10m por 16m ó 12m por 32m a) 1720 m2 c) 2613 m2 e) 1810 m2

b) 3540 m2 d) 1920 m2

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

OPER ACI ON ES 1. En las siguientes figuras colorea la parte correspondiente a la fracción referida:

c) 3 8

b) 5 8

a) 3 4

d) 2 5

2. Escribe como MIXTOS las siguientes fracciones: F R A C C IÓ N

M IX T O

F R A C C IÓ N

M IX T O

8 5

13 2

15 2

11 7

17 5

137 3

M IX T O

3. Escribe como fracciones los siguientes MIXTOS: 3 1 5

7 2 3

2 2 7

4 1 5

5 1 9

4. Escribir SI en cada recuadro si las dos fracciones respectivas son equivalentes, y NO si ocurre lo contrario.

1 4 /4 9

6 /8

2 1 /2 4

2 8 /3 5

1 2 /1 6

3 5 /2 1

2 1 /2 8

2 /7 4 /5 2 /4 7 /8 5 /3

5. Completa lo que falta para que las igualdades sean ciertas.

Sub – Área: Aritmética

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario b) 2 = 10 5

a) 3 = 7 21

7 = 16 2

5 = 15 75

6. Escribir en el casillero correspondiente la fracción simplificada respectiva: a /b

4 /4 0

1 8 /3 0 0

2 4 /1 8 0

7 5 /1 0 0

3 2 /9 0

6 4 /3 6 0

3 6 /1 8 0 0

3 8 /1 4 4 0

F r a c c ió n I r r e d u c t ib le

OPER ACI ON ES Realizar las siguientes operaciones:

AD IC IÓ N Realizar las siguientes adiciones : a)

1 1 + 2 3

2 5  −1  + +   3 6  3 

3 1  −1  + +   7 4  2

2 5 2 +  +  3 4 3

 5  − 1  1 +  +   2 2  2 

5 2 + 4 3

SU S TR AC C IÓ N 1 1 − 1 3 4

Restar

2 1 de 3 2

Restar

4 1 de 5 3

1 2 restar 2 8

Sub – Área: Aritmética

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario 2 2 1 -  −  3 3 4

5  1  restar  + 1  7 2  

M U LTIP L IC AC I ÒN a)

 2   5    x    3   4 

 -2   -3    x    5   5 

 -1   2   7   5   x   x  x   2   5   2   7 

d) e)

2  1  x 5  3  2   1   1  3  x 9   4   13   1   1   4  2  x 3  x    2   4   5 

DIVISIÓN a)

 2   6    ÷    3   5 

2 1 ÷ 2 9 2

3 1 ÷ 5 4 4

2 2 3   ÷   ÷   5 9 5

5  1  1   ÷   ÷   3 2     3

 1  1  5  ÷ 13   2  2

Sub – Área: Aritmética

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

BLOQUE I 1. Calcular es 34. a) 26 d) 56

número

cuyos

b) 62 e) 63

dos

tercios

c) 51

a) 119 kg d) 126 kg

b) 12 kg e) 6 kg

a) 117 d) 139

b) 129 e) 149

c) 119

4. ¿De qué número es 78 sus 3/4? a) 99 d) 104

b) 93 e) 106

c) 102

b) 75 e) 70

b) S/. 83 e) S/. 102

c) S/. 97

7. Los 2/9 del costo de un artefacto es S/. 34. ¿Cuál es el costo del artefacto? a) S/. 153 d) S/. 148

b) S/. 117 e) S/. 178

c) S/. 162

8. Un alumno del colegio pesa 16 kg más los 3/7 de su peso total. ¿Cuánto pesa dicho alumno? a) 22 kg b) 24 kg c) 19 kg d) 21 kg e) 28 kg 9. Una caja de herramientas en un taller pesa 55 kg más los 6/11 de su peso total. ¿Cuánto pesa la caja de herramientas?

Sub – Área: Aritmética

11.

λ λ

3 4

1 e) 4

2 7

Disminuir 300 en sus 7/12

a) 125 d) 150

b) 75 e) 175

c) 25

12. Una botella de dos litros está llena de agua hasta sus 2/3 . ¿Cuántos litros de agua hay en la botella? 4 3

5 d) 3

1 3

2 3

e) 2 λ

c) 65

6. Los 4/7 de la propina de Luis equivalen a 52 nuevos soles. ¿Cuánto es la propina de Luis? a) S/. 103 d) S/. 91

3 5

2 d) 5

5. ¿Los 2/5 de qué número es 30? a) 85 d) 55

c) 10 kg

3. ¿Cuál es el número cuyos 5/7 es 85?

c) 121 kg

10.Una botella de gaseosa de litro y cuarto de capacidad está con líquido hasta sus 3/5. ¿Cuántos litros de gaseosa tenemos?

2. Una computadora pesa 8 kg más un tercio de su peso total. ¿Cuánto pesa la computadora? a) 8 kg d) 14 kg

b) 127 kg e) 133 kg

13. Un depósito de cuatro litros de capacidad está lleno de gasolina hasta sus 3/5. ¿Cuántos litros de gasolina hay en el depósito? a)

7 5

13 d) 5

λ λ

11 5

17 e) 5

12 5

14. En el problema anterior, ¿cuántos litros deberíamos agregar para que se llene el depósito? a)

7 5

11 d) 5

λ λ

8 5

12 e) 5

9 5

15. Una piscina puede llenarse totalmente con 300 litros. Si actualmente está llena hasta sus 13/25 (que leemos: "Trece veinticincoavos"), ¿cuántos litros de agua debemos aumentar antes que la piscina empiece a rebalsar?

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario a) 104 λ d) 124 λ

b) 112 λ e) 100 λ

c) 144 λ

1. En la siguiente figura, ABCD es un cuadrado. ¿Qué fracción de ABCD representa la región sombreada?

16. Disminuir 180 en sus 11/15 a) 36 d) 48

b) 24 e) 44

18.

b) 11 e) 12

b) 200 e) 208

c) 9

b) 18 e) 21

2. En la figura siguiente, ABCD es un cuadrado y O el centro. ¿Qué fracción del cuadrado representa la región sombreada? A

c) 202 0

19. La hermana de César tiene 15 años, pero gusta aumentarse la edad en sus 2/5 frente a sus amigos. ¿Qué edad dice tener? a) 17 d) 20

Aumentar 119 en sus 5/7

a) 204 d) 206

c) 96

17. Un alumno tiene 13 años de edad. Si se disminuye la edad en sus 2/13, ¿qué edad dice tener? a) 10 d) 8

c) 19

3. En el problema anterior, ¿qué fracción del cuadrado quedó sin pintar?

20. Un jugador en su primer juego pierde la mitad de su dinero; en el segundo juego pierde 1/4 de lo que le quedaba; y en el tercer juego pierde 1/7 del nuevo resto. ¿Qué fracción del dinero inicial le ha quedado? a) 11/28 d) 17/28

b) 9/28 e) 15/28

c) 13/28

4. En la figura mostrada, ¿qué fracción del círculo representa la región sombreada?

21. En nuestro colegio, 4 de cada 7 alumnos postulan a la universidad, de los cuales sólo ingresa la cuarta parte. ¿Que fracción de los alumnos del colegio ingresan a la universidad? a) 1/4 d) 1/7

b) 1/5 e) 1/8

c) 1/6

5. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa a la región sombreada de la figura mostrada?

BLOQUE

(I)

3 1 de de ABCD 5 2

(II)

3 1 de de ABCD 4 2

(III)

1 1 de de ABCD 2 4

(IV)

Sub – Área: Aritmética

3 1 de de ABCD 8 4

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

NIVEL I 1+

1 2− 3

1. Simplificar:

5 3

5 8

8 5

c) e)

a) 12/5 d) 6/5

3 5

4 1 7

1+ 1 2+

1 7 1 e) 1 5

b) 1

1 3

c) 2

a) -1 d) 1/4

1 7

1 2

c) 1/5

1−

b) - 1/2 e) 1/2

A= 3+

1 1 12

b) 5/3 e) 11/3

1 1−

1 2

c) 0

c) 7/3

4. Señalar una fracción equivalente a:

1 3−

30 21

7 10

e) a y b

1 1 22

20 14

5. Reducir:

Sub – Área: Aritmética

1 1+

;

B= 3+

1 2− 2

1 2−

1 1 1 + 2 3

a) A < B b) A > B c) A = B d) 2A = B e) No se puede afirmar nada

NIVEL

7. Señalar la alternativa correcta si:

3. Dar la fracción irreductible y equivalente a:

a) 1/3 d) 8/3

6. ¿A qué es igual?

3 7 2 d) 5 7

b) 7/5 e) 13/5

2. Simplificar:

a) 1

1. En una reunión se observa que 17 caballeros fueron con terno azul, 20 con terno marrón, y 13 con terno negro. ¿Qué fracción del total fue con terno marrón? a) 3/5 d) 17/50

b) 2/5 e) 40/50

c) 13/50

3 7

2. En una bolsa hay 25 caramelos; 12 son de fresa, 8 son de limón y el resto de menta. ¿Qué fracción del total son de menta?

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario a) 2/5 d) 1/5

b) 3/5 e) 7/10

c) 3/10

3. En una tienda venden una camisa en S/. 30 y un pantalón en S/. 48. En otra tienda venden la camisa en S/. 32 y el pantalón en S/. 40. Si en la primera hacen un descuento de 1/6 y en la segunda hacen un descuento de 1/8. ¿Cuánto se pagó en la tienda que conviene más? a) S/. 62 d) 65

b) 63 e) 66

c) 60

4. Un chofer, acostumbra llenar su tanque gasolina con 16 lts de 84 octanos 4 lts de 90 octanos. Si ya ha consumido 5 de mezcla. ¿Cuántos litros de gasolina de octanos se ha consumido?

a) 2 L d)

1 3 3

1 2

de y lts 90

c) 1

e) 3

b) 34 e) 36

b) 100 e) 110

c) 120

7. El tanque de gasolina de una moto tiene una capacidad de 8 lts. Si se encuentra lleno hasta sus 3/4. ¿Cuántos litros faltan para llenarse?

a) 2 lts

1 2

a) $ 36000 c) 30000 e) 35000

1 3

b) 28000 d) 32000

10. En una reunión, los 3/8 son varones; de las mujeres, 1/5 son casadas. ¿Qué fracción del total son solteras? b) 1/3 e) 5/8

c) 1/2

III

1. Liliana mensualmente gasta en alimentos la mitad de lo que gana, y los 2/3 de lo que resta lo gasta en otras necesidades. Al cabo de dos años ahorró S/. 3000. ¿Cuánto gana por mes? a) S/. 650 d) S/. 850

c) 24

c) 3/16

9. Si los 3/7 de un terreno pertenecen a un hermano, y está valorizada esta parte en 24 mil dólares. ¿En cuánto estará valorizada la parte que pertenece al otro hermano?

NIVEL

6. En una construcción se han mezclado 500 kg de arena y 300 kg de cemento. Se utilizan 160 kg de la mezcla en el llenado de los techos. Se agrega a lo que queda 160 kg de cemento. Si se vuelve a extraer 180 kg de la nueva mezcla para las paredes. ¿Cuántos kilos de arena se usaron? a) 60 kg 90

b) 5/8 e) 3/8

a) 1/4 d) 3/4

5. Arnaldo gasta su dinero de la siguiente manera: 1/4 en un libro, 1/3 del resto en pasajes y todavía le quedan S/. 24. ¿Cuánto tenía Arnaldo inicialmente? a) S/. 26 d) 48

a) 1/4 d) 5/16

b) S/. 720 e) S/. 700

c) S/. 750

2. Un granjero reparte sus gallinas entre sus cuatro hijos. El primero recibe la mitad de las gallinas, el segundo la cuarta parte, el tercer la quinta parte y el cuarto, las 7 restantes. ¿Cuántas gallinas repartió el granjero? a) 120 d) 140

b) 160 e) 180

c) 150

3. Un niño compra limones a 3 por 2 nuevos soles y los vende a 4 por 3 nuevos soles. ¿Cuántos limones debe vender para ganar diez nuevos soles? a) 160 d) 140

b) 120 e) 150

c) 80

1 3 2

d) 3 e) 8. ¿Qué fracción del rectángulo mayor representa la región sombreada?

Sub – Área: Aritmética

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario 4. Al tesorero de una sección de 1º grado le falta 1/9 de dinero que se le confió. ¿Qué parte de lo que le queda restituirá lo perdido? a) 1/8 d) 1/7

b) 1/3 e) 1/9

c) 1/6

5. Dos tercios de los profesores de nuestro colegio son mujeres. Doce de los profesores varones son solteros, mientras que los 3/5 de los mismos son casados. ¿Cuál es el número de docentes? a) 70 d) 56

b) 120 e) 90

c) 60

6. ¿Cuál es el número cuya mitad, más su duplo, más su tercera parte y más su triple, da el número 1435? a) 123 d) 246

b) 326 e) 320

c) 286

7. Necesitamos distribuir 800 litros de vino en toneles de . ¿Cuántos toneles debemos tener listos? a) 45 d) 24

b) 42 e) 48

b) S/. 480 e) S/. 580

Sub – Área: Aritmética

a) S/. 235 d) S/. 270

b) S/. 135 e) S/. 315

c) S/. 255

10. En un salón de 1º grado de 30 alumnos, las 2/3 partes tienen buzos deportivos. ¿Qué fracción de los que tienen buzos, no tienen buzos? a) 1/4 d) 1/2

b) 1/3 e) 1/8

c) 1/5

11. Si dejamos caer una pelota desde cierta altura, ¿cuál es esta altura sabiendo que después del cuarto rebote se eleva 32 cm y que en cada rebote se eleva 2/3 de la altura anterior? a) 81 cm d) 62 cm

b) 162 cm e) 72 cm

c) 324 cm

c) 62

8. Elizabeth gastó la tercera parte de su sueldo en comprar ropa, la cuarta parte en comprar zapatos y la quinta parte en comprar libros. Si le sobraron S/. 117, ¿cuál es su sueldo? a) S/. 170 d) S/. 620

9. Un vendedor de enciclopedias recibe como comisión 3/16 del total de las ventas de libros de GEOGRAFÍA y los 5/18 del total de las ventas de libros de MATEMÁTICA. Si luego de una jornada se vendió S/. 400 en libros de Geografía y S/. 576 en libros de Matemática. ¿Cuánto recibió de comisión el vendedor?

12. Un hambriento caminante encuentra a dos pastores que se disponen a repartir con él los panes que iban a comer. Uno de los pastores tenía 5 panes y el otro 3. Todos comieron por igual. Al partir, el caminante les dejó 8 monedas para que se repartan. ¿Cuántas monedas les toco a cada uno?

c) S/. 540 a) b) c) d) e)

5 al primero y 3 al segundo 4 a cada uno 7 al primero y 1 al segundo 6 al primero y 2 al segundo No se puede repartir exactamente

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

I. Marca con un aspa según estimes conveniente .

NÚM ERO NÚM ERO

0 ,7 2 5

D E C IM A L EXACTO

R A C IO N A L D E C IM A L IN E X A C T O

P E R IÓ D . P U R O

NÚM ERO IR R A C IO N A L

P E R IÓ D . M IX T O

5 ,2 3 3 3 3 … 0 7,5 2 5 8 ,5 8 7 6 5 6 ,3 2 1 8 7 5 6 … 3 ,1 4 1 5 9 … 7 ,6 4 2 4 2 4 2 … 1 2 ,4 4 4 … 0 ,5 5 5 5 5 … 4 7 8 ,0 5 7 ,6 1 8 5 7 4 3 … 6 ,3 5 5 6 3 5 5 6 … 8 ,6 4 7 8 4 7 8 4 7 8 6 5 ,7 2 3 4 4 4 … 618, 5654656 1 ,4 1 4 2 1 3 5 …

Sub – Área: Aritmética

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario II. Colocar "V" si es verdadero o "F" si es falso en cada uno :

1. 7,5

7,50

.........

2. 6,36

6,360

.........

3. 05,5

5,5

.........

4. 7,62

70,62

.........

5. 3,250

3,2

.........

6. 7,2

7,20

.........

7. 10,003

1,003

.........

8. 763,512

7635,12

.........

9. 0010,31

010,31

.........

10. 785,713

785,713000

.........

11. 0,5

0,500000

.........

12. 08,25

8,250

.........

13. 0,000072

72,0000

.........

14. 56,75

560,750

.........

III. Colocar > ó < según corresponda : 1. -62,508

.........

+87,52

2. -13,113

.........

+113,13

3. -6,2

.........

+8,2

4. -1,5

.........

+0,0

5. -6,13

.........

+1,1

6. +7,12

.........

+12,05

7. -0,618

.........

+3,018

8. -612,12

.........

+0,0

9. +51,136

.........

+71,23

10. +42,057

.........

+89,15

IV.Completa con "V" o "F" según sea verdadero o falso:

Sub – Área: Aritmética

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario 1. 7,25 = 72,5 10

.........

2. 653,2 = 6,532 x 100

.........

3. 68,58 x 10 = 6,858

.........

4. 68,58 x 10 = 685,8

.........

5. 715,2 100 = 7,152

.........

6. 4,2075 = 0,42075 x 10

.........

7. 74,15 = 7,415 x 10

.........

8. 6,015 x 1000 = 6015

.........

9. 13,2 x 100 = 1320

.........

10. 1,4215 x 10 = 0,14215

.........

V. Completar el siguiente cuadro según sea el tipo de número decimal al que la fracción dada dé lugar:

F R A C C IÓ N 1 8 1 10 1 30 5 21 7 13 5 6 3 14 13 40 5 7 2 5 23 880 17 231 5 221 1 54 1 375

Sub – Área: Aritmética

EXACTO

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

RESOLVER I. Efectuar las siguientes Adiciones y Sustracciones de números decimales : 1. 5,6 + 3,92 - 1,12 2. 8,72 + 6,373 - 1,8 3. 6,13 - (5,08 + 0,12) 4. 3,2 + 5,3 5. 7,15 + 3,08 - 2,153 6. 3,16 + 6,15 - 2,2 7. 2,18 - 1,13 + 5,2 8. 7,8 - 4,2 9 . 7 ,1 3 - 5 ,0 8 + 6 ,2 1 0 . 3 ,5 2 + 3 ,6 7 - 1 ,1

II. Efectuar las siguientes Multiplicaciones y Potencias de números decimales: 1. (-3,1)2 x (1,7)2 2. (1,3) (-2,5) (7,2) 3. (-2,8) (-5,9) (1,1) 4. (-6,8)2 (3,7) 5 . ( 6 ,3 ) ( 2 ,5 ) 6 . ( - 2 ,7 ) ( 0 ,6 ) ( - 2 ,2 )

III. Efectuar las siguientes operaciones de División: 1. 8,56 5,8 2. 9,16 2,12 3. 27,36 2,42 4. 48,5 3,63 IV.Efectuar las siguientes operaciones combinadas: 1. 7,2 2,1 + (2,3)2 - 6,3 x 5,1 2. 8,2 - { 6,1 - (2,5 + 5,2) - (1,1)2 } 3. 7,4 + { 2,5 + (7,2 - 8,3) }2

Sub – Área: Aritmética

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

PROBLEMAS

1. Calcular "a+b" si se sabe que:

4. Hallar la fracción equivalente a:

0 ,a b = 1 2 25 a) 10 d) 9

b) 8 e) 11

c) 12

0,15 + 2,33333 ...

141 19

143 60

111 17

e) N. A.

149 60

2. ¿Cuál es el valor de "b-a" si se cumple que:

0 ,a b = a) 2 d) 6

b) 5 e) 4

7 ? 11 c) 3

5. ¿A qué es igual? (5,777..... ) - (0,777..... ) ? a) 6 d) 2

b) 7 e) 9

c) 5

3. Hallar "a" sabiendo que:

a ,8 a = 9 - 2 2 3 a) 1 d) 5

b) 3 e) 4

6. ¿Cuál es la fracción generatriz equivalente a : 0,12 + 0,333 ... + 0,58222 ... ?

c) 2

Sub – Área: Aritmética

113 225

1 990

233 225

1 900

17 250

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

1. Completar: a) Los

números

primos

sólo

tienen

divisores.....................y .............................. b) Los números compuestos son aquellos que tienen................................... divisores. 2. a) Indicar (V) o (F), según corresponda: I. El 4 es un número primo ( II. La unidad sólo tiene un solo divisor. ( III. 8 es un divisor de 12 ( a) VFF c) FFV e) VVF

b) FFF d) FVF

b) Colocar (V) o (F) según corresponda: I. 24 tiene 8 divisores ( ) II. 61 es un número primo ( ) III. 16 tiene 4 divisores ( ) a) VVF c) VFV e) VVF

b) FFV d) FFF

c) Colocar (V) o (F) según corresponda: I. 12 tiene 6 divisores ( ) II. 41 es un número primo. ( ) III. 15 tiene 10 divisores. ( ) a) VVF c) VFV e) FFV

b) VVV d) FFF

3. a. ¿Cuántos divisores pares tiene 30? a) 2 d) 5 b) 3 e) 6 c) 4 b. ¿Cuántos divisores impares tiene 90? a) 4 d) 7 b) 5 e) 8 c) 6

Sub – Área: Aritmética

) ) )

a. ¿Cuántos divisores pares tiene 80? Dar como respuesta la diferencia entre el mayor y el menor divisor par. a) 79 d) 81 b) 78 e) 82 c) 80 b. ¿Cuántos divisores impares tiene 60? Dar como respuesta la suma del mayor y menor divisor impar. a) 20 d) 14 b) 16 e) 12 c) 18 5. ¿Cuántos números primos hay en el siguiente grupo de números? 2; 17; 21; 23; 37; 39; 47; 48; 51; 65;71 a) 3 d) 7

b) 6 e) 5

c) 4

6. ¿Cuántos números compuestos hay en el siguiente grupo de números? 6; 11; 15; 23; 28; 31; 42; 49; 56; 67; 73; 78 a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

7. Carlos tiene una suma de dinero igual a la suma de todos los números primos menores que 25. ¿Cuánto tiene Carlos? a) S/. 80 b) S/. 85 c) S/. 90

d) S/. 95 e) S/.100

8. Rocío tiene una cantidad de dinero igual a todos los números compuestos menores que 30. ¿Cuánto tiene Rocío? a) S/. 270 d) S/. 300 b) S/. 280 e) S/. 305 c) S/. 290 9. La edad del profesor de R.M. es igual a la suma de todos los divisores de 16. ¿Qué edad tiene el profesor? a) 21 años d) 31 años b) 23 años e) 63 años c) 47 años

1º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario 10. La edad de la profesora de Biología es igual a la suma de todos los divisores de 24. ¿Cuál es la edad de la profesora? a) 50 años d) 60 años b) 40 años e) 70 años c) 30 años 11. Descomponer canónicamente los siguientes números:

16. Si: A = 2n x 81 x 48 x 7 tiene 100 divisores, hallar n a) 5 b) 36 c) 25

d) 16 e) 9

17. Si: B = 3n x (25)2 x 49 x (121) x 11

512 = 120 =

tiene 360 divisores, hallar “n”.

300 =

a) 6 b) 8 c) 9

12. Descomponer canónicamente los siguientes términos:

d) 5 e) 4

18. Si: A = 2n x 34 . 72

100 = 480 =

tiene 26 divisores compuestos, hallar n2

1240 =

a) 4 b) 9 c) 1

13. Descomponer canónicamente entre 1500 y dar como respuesta su número de divisores.

d) 25 e) 16

19. Si: a) 16 b) 24 c) 32

d) 18 e) 48

M = 2n x 32 x 73 x 112 tiene 175 divisores compuestos, hallar “n”.

14. ¿Cuántos divisores más tiene el número 720 que el número 100? a) 18 b) 19 c) 21

d) 17 e) 31

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

20. Sabiendo que: A = 6n x 32 x 52

15. ¿Cuántos divisores más tiene el número 480 que el número 300? a) 10 b) 8 c) 6

d) 4 e) 2

tiene el doble de divisores de B = 22 . 52 7n , hallar el valor de “n”. a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

21. Sabiendo que: A = 6n x 30 tiene la mitad de divisores de B = 6 x 30n, hallar el valor de “n” a) 2 b) 3 c) 4

Sub – Área: Aritmética

d) 5 e) 6

1º Secundaria