Mes: Mayo
I.E.P. “Leonardo de Vinci”
Sistema Preuniversitario
Cº A (3 057 ) = (9 − 3 )(9 − 0 )(9 − 5)(10 − 7) = 6 943
A= [(−2)+ . +(−2 )] 5(−7)
CºA(20740)=
824vecs 6
D =q d
= 24 ÷ 6 = 4
Sub – Área: Aritmética
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1º Secundaria
Mes: Mayo
I.E.P. “Leonardo de Vinci”
ADICIÓN Es una operación directa que consiste en reunir un conjunto de cantidades homogéneas en una sola: cada una de las cantidades se denomina sumando y al resultado suma.
a1 + a2 + a3 + ............ + an = S Donde ; etc, son los sumandos; y S es la suma.
SUSTR AC C IÓN Es la operación en la que dadas dos cantidades llamadas minuendo (M), sustraendo (S) respectivamente, se trata de hallar una tercera cantidad llamada diferencia (D). M–S=D M=D+S ⇒ M + S + D = 2M
C OM P LE M EN TO AR I TM É TI C O ( C º A) Es lo que le falta a un número para ser su respectiva unidad inmediata superior.
U. I. S. 6
⇒
CºA de 6 = 10 - 6=4
78
⇒
CºA de 78= 100 - 78=22
1 306
⇒
CºA de 1 306= 10 000 - 8 694
abc
⇒
10 3 CºA de abc = 1000 - abc
Estudiano nopara para Estudia saberalgo algomás mássino sino saber para saber algo para saber algo mejor mejor
Regla Práctica: Dado un número, para determinar su complemento aritmético mediante la regla práctica se procede de la siguiente manera: se restan de nueve todas las cifras del número empezando por la primera de la izquierda, excepto la última significativa de la derecha que se resta de diez, y si a continuación de está hubieran ceros, se colocan al final Ejemplos: a)
Cº A (3 057 ) = (9 − 3 )(9 − 0 )(9 − 5 )(10 − 7 ) = 6 943
b)
Cº A (207 400 ) =
(9 − 2 )(9 − 0 )(9 − 7 )(10 − 4 )00 = 792 600 c) CºA (56 009) = ..............
Sub – Área: Aritmética
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I.E.P. “Leonardo de Vinci” ACTIVIDAD EN AULA Hallar los números enteros a colocar en los casilleros 1. (+1) -
= (+3) - (-2)
2. (+8) - (-2) -
= (+3)
3.
- (+2) = (+3)
4.
- (-6) = (-2)
10.Jefrey nació en 1888 se casó en el año 1924; dos años después nació su primer hijo y murió cuando su hijo tenía 38 años. ¿En qué año murió? 11.Si recibiera $ 2480 podría comprarme un auto Mazda último modelo de $ 11500. ¿Cuánto tengo?
5.Si: abcc + accc = 5088 Hallar el valor de (a+b+c)
a1b + a2b + a3b + ...... + a9b = 5 922
6.Si: Hallar el valor de (a+b)
7.Hallar la suma: S=5+17+29+41+... (30 sumandos) 8.Hallar la suma de todos los números de tres cifras que empiezan y terminan en cifra 7. Dar como respuesta la suma de sus cifras. 9. Después de vender una moto perdiendo $120 preste $200 y me quede con $380. ¿Cuánto me había costado la moto?
12.El menor de dos números es 15239 y la diferencia entre ambos es 257. Hallar el mayor. 13.El mayor de dos números es 3592 y la diferencia entre ambos es 649. Hallar el menor y dar como respuesta la menor cifra empleada en su escritura. 14.La suma de dos números es 2491 y la mitad del menor es 521. Hallar el mayor. 15.¿En cuánto excede la suma de 193 y 249 a la diferencia entre 1982 y 1647? 16.Si Enrico tuviera 10 años menos tendría 36 años y si María Fe tuviera 13 años más tendría 28 años. ¿Cuánto más joven es María Fe que Enrico?
ACTIVIDAD DOMICILIARIA 1. Rocio gastó S/. 20 soles en comprarse golosinas y 2 soles más en comprar un polo. ¿Cuánto gastaría si se compra 6 polos? 2. Jorge gastó S/. 10 en comprarse un CD en la "Cachina" y 30 soles más en comprarse un teléfono celular en el mismo sitio. ¿Cuánto gastaría en comprarse tres CD y un teléfono celular? 3. Lula se pone a dieta. El primer mes bajó 1200 gr, el segundo mes bajo 400 gr más que el mes anterior y el tercer mes, subió 900 gr por comerse tortas y dulces. ¿Cuántos gramos bajó Lula hasta el tercer mes?
Sub – Área: Aritmética
4. En un juego un apostador gana S/. 60 y luego pierde S/. 85, después gana S/. 72 y por último vuelve a perder S/. 35. ¿Cuánto ganó o perdió? 5. Si Pablo nació en el centenario de la independencia del Perú. ¿Qué edad cumplirá en el año 2001? 6. ¿Cuánto costó lo que al venderse en S/. 2937 deja una ganancia de S/. 129? 7. ¿Cuánto costó lo que al venderse en $ 600 deja una pérdida de $ 123? 8. Rómulo gastó al comprar por partes su computadora $490. Si quiere ganar $ 230, ¿A cuánto lo tiene que vender?
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M ULTIP LIC AC IÓ N Podemos afirmar que en la practica la multiplicación es una operación que abrevia la suma. Ejm. 1: Juan tiene que cobrar S/. 5 a 22 personas, entonces tiene que cobrar :
5 + 5+ 5 +...... + 5 = S /. 5 x22 = S /. 110 22 sumandos Donde:
5 22 x 110
→ → → →
multiplicando multiplicador operador producto
Ejm 2: Sofía al vender 12 blusas pierde en cada una 7 soles, entonces pierde en total:
(−7 ) + ( −7 )+ (−7)+..... +(−7) = (−7 ) × 12 = S /. - 84 12 sumandos Donde:
-7 → 12 → -84 →
...................................................... ...................................................... ......................................................
Regla de Signos para la Multiplicación de Números Enteros
La operación resultaba muy compleja para los antiguos. Los griegos se auxiliaban de la tabla pitagórica, que ya conocían antes de nacer Pitágoras. Los babilonios empleaban tablas de cuadrados. Entre los romanos, la operación era lenta y trabajadora, como se observa en la ilustración, debido a su notación numeral. el signo de multiplicar, Cruz de San Andrés, se atribuye a W. Oughtred, hacia 1647.
Si dos números enteros tienen el MISMO SIGNO, su producto tendrá SIGNO POSITIVO. Si dos números enteros tienen DISTINTO SIGNO, su producto tendrá SIGNO NEGATIVO. Ejm : (+5) x (+3) = +15 (-9) x (+2) = ............ (+6) x (-6) = ............ (-9) x (-2) = ............ (+3) x (-3) = ............ (-1) (-1) (-1) = ............ (-5) (-1) (-7) (-8)= ............
Sub – Área: Aritmética
"La educación es la preparación a la vida completa."
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I.E.P. “Leonardo de Vinci” Ejercicios: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
(+8) (-3) = (+9) (-2) (-1) = (-2) (-1) (-1) = (-1) (-2) (+2) (-3) = (+2) (+2) (+2) (-2) = (+5) (-2) (-1) (-3) (-5) = (+1) (+1) (-1) (-1) (-1) =
DIVISIÓN División.- Dividir es calcular el número de veces que contiene un número llamado dividendo (D) a otro llamado Divisor (d). Este "Número de veces" recibe el nombre de cociente (q) Ejm: ¿Cuántas veces contiene 24 a 6? 24 = 24 ÷ 6 = 4 Es decir: 6 4 : recibe el nombre de cociente. 24 : recibe el nombre de dividendo. 6 : recibe el nombre de divisor. División Exacta.- Si el DIVIDENDO (D) contiene una cantidad EXACTA de veces al divisor (d), entonces tenemos una DIVISIÓN EXACTA. Esta división se representa así : D ¸ d = q Ejm 1:
;
d≠0
45 ¸ 5 = 9 porque: 5 x 9 = 45
D =q d
* Otra forma de representar:
Babilonia e hindúes fueron los primeros en conocer la división. Los métodos actuales para resolver la división se derivan de los hindúes, que disponían en una mesa de arena los elementos de la operación: dividendo, divisor, cociente y residuo. Estos conocimientos fueron transmitidos a Europa por los árabes. Leonardo de Pisa los expuso en 1202. Oughtred, en 1647, propuso el signo (:) para indicar la división.
Reglas de Signos en la División (+) (-) (+) (-)
¸ ¸ ¸ ¸
(+) (-) (-) (+)
= = = =
(+) (+) (-) (-)
Ejercicios 1. 2. 3. 4. 5. 6.
(+6) (+8) (+10) (-8) (-4) (+9)
¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸
(+2) (-2) (+5) (-8) (-2) (-3)
= = = = = =
Sub – Área: Aritmética
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ACTIVIDAD EN AULA 1. (+2)(+7) -
= +6
* Efectuar los siguientes ejercicios combinados: 2. (-1)(+5) + (-3)(-2) = 3. (-7)(+2) - (+3) = 4. La diferencia de dos números enteros es 31 y su correspondiente suma es -61. ¿Cuál es el número menor?
5. Le preguntan a Javier por su edad y éste responde: Si al doble de mi edad le suman 4, obtienen 40 años. ¿Cuál es la edad de Javier? 6. Un sargento quiere formar a sus soldados en 5 filas de 6 cada una, pero observa que le faltarían 4 soldados, entonces los forman en 4 filas de 5. ¿Cuántos le sobran ahora? 7. La suma de dos números es 406, su cociente es 2 y el resto 91. ¿Cuáles son los números?
ACTIVIDAD DOMICILIARIA
1. Efectuar:
A = [ ( − 2 ) + ( − 2 ) + . . .. . + ( − 2 ) ] ( − 5 ) ( − 7 ) 8 veces
5. Entre Pedro y Juan tienen S/. 126. Si la cantidad que tiene Pedro es 17 veces la que tiene Juan, ¿Cuánto más tiene Pedro que Juan?
Rpta.: ................................... 2. Efectuar: B = [ ( − 1 ) + ( − 1 ) +. .. ..+ ( −1 )]( − 2 )
Rpta.: ................................... 6. Las edades de Juan y Víctor suman 78. Si la edad de Juan es el doble que la de Víctor, ¿Cuál es la edad de Juan?
9 veces
Rpta.: ................................... Rpta.: ................................... * Completar en los recuadros los números enteros que faltan y que verifiquen la igualdad. 3. (-1) x (7) +
Rpta.: ...................................
= -5 Rpta.: ...................................
4. (-6)(+3) +
7. Entre dos personas tienen S/. 200. Si la cantidad que tiene una de ellas es el triple de lo que tiene la otra. ¿Cuáles son dichas cantidades?
8. Las edades de un padre y su hijo suman 85 años. Si la edad del hijo es la cuarta parte de la de su padre, ¿Cuál es la edad del hijo?
= -12 Rpta.: ................................... Rpta.: ...................................
Sub – Área: Aritmética
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ACTIVIDAD EN AULA 1. Si al dividir N entre 109 el cociente es el duplo del divisor, ¿Qué número es N? 2. ¿Por cuál número hay que dividir 154800 para que el cociente sea 15? 3. Se repartió cierto número de naranjas entre 21 personas y después de dar 7 naranjas a cada persona sobraron 18. ¿Cuántas naranjas había? 4. Si un comerciante vende a S/. 11 cada calculadora, gana S/. 75; pero si decide vender cada calculadora a S/. 6, pierde S/. 50. ¿Cuántas calculadoras tiene para vender? 5. Si $ 163 se reparten entre cierto número de personas, a cada una le tocaría $ 9 y
sobrarían $ 10. ¿Cuál es el número de personas? 6. Cuando dividimos cierto número por 50 obtenemos como residuo 20. Si dividimos el mismo número por 52, obtenemos el mismo cociente, pero 4 de residuo. Calcular el cociente que se obtiene en ambos casos 7. Si la edad de tu abuelito la multiplicas por 8, luego la divides por 10 y el cociente la multiplicas por 3 añadiendo en seguida 36, obtendrías 180. ¿Cuál es la edad de tu abuelito? 8. Se organiza una función de teatro en nuestro colegio. Si el Señor "J.V" paga S/. 6 por cada entrada, le sobrarían S/.16; y si paga S/. 7 por cada entrada, le sobrarían S/. 8. ¿Cuántas entradas compró?
ACTIVIDAD DOMICILIARIA 1. Esteban vende un terreno de 20 áreas a $ 600 el área y recibe en pago otro terreno de 900 metros cuadrados a razón de $ 4 el metro cuadrado. ¿Cuánto le adeudan? Rpta: ............... 2. Se compran 8 libros de Matemáticas a $10 cada uno, 5 lapiceros a $1 y 6 plumas fuentes a $5 cada una. Si se vende todo en $180. ¿Cuánto se pierde? Rpta: ............... 3. Se compran 144 metros cuadrados de terreno a $2 el metro cuadrado, y se venden a $80 la docena de metros. ¿Cuánto se gana? Rpta: ............... 4. Juan gana $10 por día de trabajo y trabaja 6 días a la semana. Si gasta 38 dólares a la semana, ¿Cuánto puede ahorrar en 22 semanas? Rpta: ...............
Sub – Área: Aritmética
5. Se tiene una multiplicación de tres factores, si se duplica uno de ellos y se triplica otro, ¿En cuánto varía el producto inicial? a) Queda multiplicado por 12 b) Queda dividido por 6 c) Queda multiplicado por 6 d) Queda dividido por 12 e) Faltan datos 6. Si en una multiplicación de tres números enteros se duplica cada uno de ellos. ¿Cómo queda afectado el producto? a) Queda multiplicado por 2 b) Queda multiplicado por 8 c) Queda dividido por 2 d) Queda dividido por 8 e) No se altera 7. Si en una división exacta el dividendo es 2488 y el cociente 8. ¿Cuál es el divisor? Rpta: ............... 8. Si el cociente exacto es 851 y el divisor 93. ¿Cuál es el dividendo? Rpta: ...............
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ACTIVIDAD EN AULA 1. Un dentista extrae 3 muelas por hora; a cada paciente le extrae máximo 2 muelas. Cada paciente tiene entre 20 y 24 muelas. ¿Cuál es el mayor tiempo que podrá emplear en 15 pacientes? 2. El papá de Luis gana S/. 1800 mensuales y gasta S/. 1670. ¿Cuánto ahorrará en un año? 3. En un salón de clase, por cada hincha del Alianza hay 3 de Universitario y 2 del Cristal. ¿Cuántos son hinchas de Universitario si en el salón hay 36 alumnos? 4. Si al multiplicando de la operación 345 x 648 se le aumenta 5, ¿En cuánto aumenta el producto? 5. En el consultorio de un médico, por cada 2 pacientes que van con dolor de cabeza, hay 3 con dolor de estómago y 5 con dolor de espalda, ¿Cuántos hay con dolor de espalda?. Si en la sala de espera hay 30 pacientes, ¿Cuántos hay con dolor de estómago?
6. Una persona tiene S/. 150 en el banco. Mensualmente, gana S/. 900 y gasta S/. 750; lo demás lo ahorra en el banco. ¿Cuántos meses deberán transcurrir, para que tenga en el banco, tanto como lo que gana? 7. Un edificio tiene 20 pisos. En cada piso hay 12 departamentos, 4 de ellos con vista a la calle. Cada departamento tiene 8 ó 12 focos, ¿Cuántos focos hay en el edificio si los departamentos que no tienen vista a la calle tienen más focos que los otros? 8. En una tienda se venden licuadoras a $80 cada una; planchas a $30 cada una y lustradoras a $120 cada una. Si al final del día se vendieron 5 licuadoras, 8 planchas, pero no se sabe cuántas lustradoras; averigüe Ud. el número de lustradoras vendidas, sabiendo que en total se recaudó $1000.
ACTIVIDAD DOMICILIARIA 1. En un salón hay 24 alumnos y en otro salón hay 31 alumnos. Si a cada alumno del primer salón se le obsequia 12 caramelos y a cada alumno del otro salón se le obsequia 4 caramelos menos, ¿Cuántos caramelos se van a repartir en total? 2. Cinco estudiantes compran un paquete de 20 chocolates. Si se distribuyen los chocolates por partes iguales, ¿Cuántos caramelos recibe cada uno de ellos? 3. Dentro de una caja roja se meten 5 cajas azules; en cada caja azul se meten 3 cajas rojas y en cada caja roja se meten 8 cajas blancas. ¿Cuántas cajas hay en total? 4. Un edificio tiene una altura de 90 metros. Si cada piso del edificio tiene una altura de 3m. ¿Cuántos pisos tiene el edificio?
Sub – Área: Aritmética
5. Tengo S/. 171 y compro 3 camisas de S/. 27 cada una. ¿Cuántos pañuelos podré comprar con lo que me queda, si cada uno cuesta S/. 6? 6. El conductor de un camión repartidor tiene instrucciones de dejar 15 cajas de leche en cada hospital y 10 cajas de leche en cada colegio. Si en una mañana visitó 5 hospitales y 8 colegios, ¿Cuántas cajas de leche repartió? 7. Un edificio tiene 48 ventanas y 80 puertas. ¿Cuántas puertas más que ventanas tendrán 5 edificios? 8. En un edificio, las escaleras que hay entre piso y piso tienen 15 peldaños. Una persona sube del primer piso al quinto y luego baja al segundo piso. ¿Cuántos peldaños subió y bajó?
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