El concepto elemental de simetría en física y las leyes de conservación by Omayra Pérez

Primera Edición, 2015. Monografías. Fundamentos de la Física - Cuaderno 1.

El concepto elemental de simetría en Física y las leyes de Conservación.

Se tienen los derechos de autor. Sin embargo, se autoriza la reproducción sin fines de lucro (gratuita) con objetivos educativos. Es suficiente con informar a los autores.

Editor: Omayra Pérez Enero, 2015. Monográfico Editado en entorno Mac. Programa utilizado para la edición: Adobe InDesign CS5.

El concepto elemental de simetría en Física y las leyes de Conservación Omayra Pérez y Bernardo Fernández Estación RN50 Estacionrn50@gmail.com Facultad de Ciencias Naturales, Exactas y Tecnología. Universidad de Panamá

CONTENIDO 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Introducción Justificación Las Simetrías en Física 3.1. Algunos Antecedentes Simetría y Geometría Simetría y Leyes de Conservación en Física Referencias Indice de Figuras Indice de Tablas

7 11 17 18 35 39 53 54 55

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1. INTRODUCCIÓN El concepto de simetría es intuitivo y el hombre lo utiliza desde la antigüedad. Inicialmente, y aún lo hace, lo relaciona con una concepción de perfección. Cuando habla de simétrico lo asocia con una transformación sobre el objeto (rotación, etc.) respecto a un punto, una línea o un plano y observa que el objeto es invariante o si al dividirlo en partes, sus proporciones siguen una regla matemática tal que la percepción lo encuentra armónico (se entiende por armonía, el equilibrio, la proporción y la correspondencia adecuada entre las diferentes partes de un conjunto). Podemos decir, entonces, que en la antigüedad la simetría fue asociada a un estándar de belleza, la cual se expresaba en la armonía y en el acuerdo de las partes. La mejor expresión de esta idea la encontramos en “El hombre de Vitruvio”, de Leonardo Da Vinci, el cual refleja, según esa tradición, la simetría del cuerpo humano (figura 1).

Fig. 1. El hombre del Vitrubio.

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Algo es bello, para esa concepción, si existe equilibrio en el sistema y sus partes son, para la percepción, concordantes. Por ejemplo, para el cuerpo sus brazos, manos, ojos, piernas, entre otras, tienen relaciones armónicas según la percepción e incluso según la medición.

En música, la armonía (perfección o simetría) se asocia con la conmensurabilidad (relación racional, es decir toma sus valores sobre el conjunto Q) de la frecuencia fundamental de un instrumento con, por lo menos, una frecuencia armónica de otro instrumento (desde la

Fig. 2. La frecuencia fundamental y sus primeros armónicos.

perspectiva del análisis de Fourier). Figura 2.

Cabe destacar que la simetría no solo está en el arte como expresión del hombre, sino en la cultura en general y en ello incluimos la cultura científica (Pérez O. y Fernández B., 2005).

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En Ciencias es un concepto importante, pero, a la vez, poco conocido y es en las disciplinas científicas, en especial en la Física, que se desea hacer tomar conciencia de la importancia de este concepto, pues está muy ligado a las leyes de conservación ante un cambio, que son muy útiles para el estudio de la Física. Como veremos más adelante, la física tiene como derrotero investigar las estructuras matemáticas de la naturaleza y sus cambios con el o los parámetros de evolución. Nuestro objetivo es elaborar una monografía que permita abordar, con idoneidad (redactar), una unidad didáctica con este concepto como base.

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2. JUSTIFICACIÓN Al hablar de simetría, la mayoría de las personas la asocian con perfección y con equilibrio, por lo que está muy plagado de subjetividad. Sin embargo, debemos aceptarlo pues la naturaleza de la ciencia nos dice que no podemos deshacernos al 100 % de la subjetividad (Vásquez et al., 2004). Los físicos trabajan con fenómenos de la naturaleza que tiene estructura matemática. Esta tiene dos grandes ramas de estudio, la que organiza las estructuras (algebra) y la que se refiere a las vecindades (topología).

Estas dos grandes ramas

se relacionan (topología algebraica), en el caso del estudio de la naturaleza por parte de los físicos, con el estudio de las leyes de conservación (estructura algebraica llamada grupo) y con el estudio de las leyes del cambio (análisis, como parte de la topología). En Física, un sistema es simétrico si posee, asociada, una estructura algebraica de grupo asociada. Si el sistema es dinámico, existen parámetros de evolución (generalmente el espacio-tiempo) y el cambio de vecindad en vecindad, a medida que transcurre el tiempo y/o el desplazamiento, se expresa con ecuaciones diferenciales.

Si las ecuaciones diferenciales que describen

dicho sistema representan ciertas trasformaciones del sistema y si estas ecuaciones contienen parámetros que permanecen invariantes (leyes de conservación) ante esta evolución del sistema, entonces se les asocia simetrías según el teorema de Noether (Lopes J. L., 1969). El ejemplo clásico nos viene de Newton, el cual enunció sus dos grandes leyes, la primera ley que habla de conservación: todo cuerpo en movimiento rectilíneo uniforme mantendrá ese movimiento si no hay una perturbación externa y su segunda ley que dice que todo cambio de movimiento de un objeto localizado en una posición, tiene una causa que le es directamente proporcional F = m a.

La simetría que permite explicar la ley de conservación llamada ley

de la inercia o primera ley de Newton es la simetría del espacio-tiempo. Si no hay cambio de esas propiedades se conserva el movimiento rectilíneo uniforme (impulso lineal o cantidad de movimiento). Cuando hay cambio de movimiento (segunda ley de Newton) es porque las simetrías del espacio-tiempo se rompieron, es decir no se conservaron, y es lógico (en la conEl concepto elemental de simetría en física y las leyes de conservación Bernardo Fernández y Omayra Pérez, 2015.

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cepción clásica del mundo) esperar que debe haber una ecuación (diferencial) que permita predecir el cambio. Newton nos enseñó que la naturaleza, en su simplicidad, estableció que ese cambio debe ser descrito de manera sencilla, es decir la causa debe ser directamente proporcional al efecto. Esa ley es llamada segunda ley de Newton. Las simetrías asociadas a esta conservación newtoniana son las simetrías de traslación, rotación y transcurrir uniforme del tiempo. Pero hay otra simetría en esos sistemas, menos evidente, pero igualmente importante, se trata de la simetría por cambio de escala. Esta simetría la analizamos, para ilustrar de manera específica el concepto físico de simetría, en otra monografía.

Existen pues, diferentes tipos de simetrías. Una de las más elementales es la simetría especular o simetría izquierda-derecha, la cual aparecería al comparar las invariancias que hay de un lado y otro, al trazar una línea o un plano que divida un objeto plano o tridimensional

(simétrico) en partes iguales. Esta línea divisoria se conoce como eje de simetría o plano de simetría. En el caso del cuerpo humano, el más comúnmente usado se llama plano sagital.

Utilicemos como divisor virtual del espacio (y del objeto) dos espejos perpendiculares (figura 3). Vemos en la figura, cómo, con una parte del objeto se construye el todo del mismo objeto debido a la simetría. Tomemos ahora un espejo y pongamos el espejo sobre un eje de simetría del objeto (figura 4). Una de las mitades del objeto plano (si es simétrico), se superpone a la otra, pareciendo ser la imagen en el espejo, con una salvedad, lo que estaba a la derecha aparece a la izquierda y viceversa. Para ilustrar el cambio derecha izquierda póngase frente a un espejo. Se obtiene la imagen suya “dentro” del espejo, pero su mano derecha pasa a ser izquierda y viceversa (figura 5).

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Fig. 3. Espejos perpendiculares.

Fig. 4. Eje de simetría.

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Fig. 5. Inversión Izquierda – derecha.

Veamos lo que dice un físico que ha bregado muchos años con las aplicaciones de las simetrías en la Física: “La palabra simetría se suele utilizar en dos sentidos algo diferentes: para designar algo bien proporcionado y armónico, o en un sentido más técnico, para indicar que un objeto presenta ciertas regularidades geométricas, o para llamar la atención sobre un cierto proceso de repetición” (Cariñena, 2001).

Desde el nacimiento de la Física, la enseñanza de las simetrías (y la conservación asociada) y del cambio, siempre ha jugado un papel importante. En la actualidad sabemos el error (ante un mundo cambiante y globalizado que exige competencias) de formar estuEl concepto elemental de simetría en física y las leyes de conservación Bernardo Fernández y Omayra Pérez, 2015.

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diantes cuyo eje de conocimientos está construido sobre la memoria (y no que sepa utilizar la memoria como auxiliar de la inteligencia), es decir, formar una persona para que repita exactamente lo que explicó el profesor, o lo que dicen los libros. Lo que se quiere es un estudiante metacognitivo, reflexivo, innovador, culto, con iniciativa, creativo, capaz de enfrentarse a situaciones problemáticas y encontrar una solución a un problema. Entender las leyes de Newton frente a los conceptos de conservación y cambio es más importante que hacer muchos ejercicios de proyectiles que no tienen aplicaciones en la vida diaria. Mientras tanto el paso del concepto de simetría puramente perceptual, a un concepto de simetría que expresa la existencia de estructuras matemáticas subyacentes, abre nuevos horizontes al pensamiento y nos liga a la realidad cotidiana.

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3. LAS SIMETRÍAS EN FÍSICA La capacidad predictiva que involucra la simetría en Física le da una importancia crucial, pues permite saber qué propiedades se mantienen invariantes luego de la evolución de un sistema clásico con respecto al cambio de una variable o varias variables (parámetro(s) de evolución), y le puede servir al estudiante, de modelo analógico para diversas situaciones, en las que debe hacer predicciones. Platón o Galileo, vivieron en otra época (el tiempo cambió entre ese momento y el actual), pero hay propiedades de la materia en movimiento y de la energía que él pudo observar y que no han cambiado (otras propiedades si han cambiado) y las de la época son similares a las actuales. La pregunta natural es ¿Cómo explicar esa conservación de las propiedades y cómo entender los cambios de otras? El concepto de simetría está muy presente en la naturaleza y en la sociedad y por ende debe estar involucrado en la enseñanza, destacando su importancia, por lo que es importante que el profesor motive a los

estudiantes sobre este tema.

¿Cuál es el origen de la palabra simetría? Según la literatura su “nombre proviene del griego symmetros y significa mensurado, adecuado, proporcionado, de proporción apropiada, de medida conveniente, e indica la proporción de las partes entre sí, la simetría está dada por la proporción –Bella- de una parte con otra y de las partes con el todo” (Wolf et al., 1959). La importancia del concepto de simetría en la física reaparece con un impulso inusitado con los resultados de la física de altas energías (partículas elementales) cuando la “eightfold way” (que se refiere a los ocho caminos nobles del budismo) fue introducida por el físico Murray Gell-Mann, en el modelo que organiza los bariones con tres quarks (adjuntos) y los mesones con dos quarks en octetos (grupo de simetría especial unitaria SU (3) con tres generadores del grupo), pero que él utilizó para referirse a las ocho partículas que aparecen en la representación del grupo (Figura 6).

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Fig. 6. Modelo de los bariones.

3.1 Algunos Antecedentes. El concepto de simetría es utilizado desde la antigüedad. Por ejemplo, para los griegos era importante la simetría en las artes, las ciencias, la religión y la sociedad organizada. La asociaban con armonía y era la proyección en la naturaleza de lo que ellos percibían que era el ser humano. Las expresiones matemáticas expresadas por los números enteros (lo discreto), sus relaciones (los números racionales) y la geometría (que expresaba el continuo proporcionado) nos daban la perfección, por ello la armonía debía estar relacionada con la El concepto elemental de simetría en física y las leyes de conservación Bernardo Fernández y Omayra Pérez, 2015.

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matemática.

Fueron también los griegos, quienes utilizando la simetría dieron nombre a

diferentes constelaciones, mediantes nombres de seres mitológicos. Los objetos en el cielo (donde estaban los dioses), tenían que ser perfectos y se movían circularmente, ya que el círculo (en dos dimensiones) y la esfera (en tres dimensiones) eran objetos perfectos. Para ellos la simetría es tal que si se traza una línea cualquiera que pase por su centro, el círculo o la esfera queda divida en partes iguales, y esto se debe a que son objetos simétricos, luego perfectos. El círculo era la figura geométrica plana simétrica por excelencia. La simetría también expresa, según ellos, el equilibrio que existe entre lo derecho e izquierdo, en este caso la simetría bilateral o simetría izquierda-derecha. Esto se extiende a lo social y a lo político.

Los vestigios sofisticados de las concepciones simétricas en el arte, más lejanos, los encontramos en las figuras mesopotámicas. Por otro lado, la civilización griega heredó mucho de la civilización mesopotámica (de allí el gran interés de Alejandro Magno por esta civilización, dada su formación filosófica). Los sumerios se interesaron en la simetría bilateral para sus expresiones artísticas y sociales. Después vemos entre los griegos que Policleto, en el siglo V A.E., en un increíble avance en la concepción de simetría, de manera explícita, fijó el equilibrio, el ritmo, la proporción y la simetría bilateral del cuerpo humano en un canon que se relaciona con la escultura llamada Doríforo.

Según Wikipedia, el Doríforo es una escultura de Policleto, realizada entre los años 450 y 440 A.E. Señala que uno de los rasgos más característicos de esta obra es la expresión del equilibrio, la proporción, el ritmo, y la simetría del cuerpo humano, transformándolo en un canon (patrón) de medidas o proporciones.

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Fig. 7. El Doríforo.

Para Policleto, el canon o patrón se centra en una figura que exprese equilibrio al mismo tiempo que se da el cambio (expresado en el movimiento sugerido). Para ello hace que la imagen de la escultura se sostenga en una sola pierna y parezca en movimiento (sugerido). La proporción nos llega a través de las medidas, para todas las partes del cuerpo, a partir del dedo índice, es decir, relacionaba las dimensiones del índice, con la cabeza, así como la cabeza con los hombros, entre otros. La altura total debía de ser de 7 cabezas y media, como es el caso del Doríforo, con una altura final de 212 centímetros. El movimiento sugerido El concepto elemental de simetría en física y las leyes de conservación Bernardo Fernández y Omayra Pérez, 2015.

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mediante las posiciones de las piernas y brazos es rítmico y la simetría del cuerpo humano se observa en la figura, incluyendo la izquierda y la derecha.

Para VITRUVIO, siglo I A.E., simetría significa la proporción geométrica, la conmensurabilidad (relación entre enteros) entre el todo y sus partes, correspondencia determinada por una medida común entre las diferentes partes del conjunto y entre estas partes y el todo (Gay, 2006).

En el renacimiento, la idea de Vitruvio fue retomada por Leonardo Da Vinci, y ambos utilizaron el término para referirse a proporción, equilibrio desde el punto de vista geométrico. De manera general, en el arte, la simetría se encuentra presente o se puede observar en distintas manifestaciones. Por lo general tienen un significado de armonía, de equilibrio, de ritmo, pero también puede tener un carácter geométrico, en particular bilateral. Expresa Cariñena que Platón, consignó por escrito que la simetría que se observa en la naturaleza no es casual, sino consecuencia de las leyes físicas y que además acuñó, por oposición, la célebre frase “es un atributo del cuerpo animal y humano, un rasgo de la forma viva, una característica divina”. También vemos que el pensamiento Pitagórico (s. V, A.E.) giraba alrededor de los números, los patrones numéricos simétricos eran la esencia de las cosas, por lo que era de vital importancia para ellos dicho concepto de armonía (simetría).

Los físicos anteriores al siglo XX (de Galileo a Maxwell) no utilizaban de manera explícita la simetría como centro de sus razonamientos, pero estaba subyacente; algunos incluso declaraban la simetría como una curiosidad, una diversión que surgía ocasionalmente en ciertas situaciones, útiles para simplificar un problema físico concreto, pero pretendían que no tenía repercusión en la estructura dinámica del mundo físico. Cuando miramos profundamente los resultados de la física clásica, encontramos que los físicos buscaban leyes de conservación,

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luego las simetrías del sistema. Como en muchas estructuras matemáticas: como por ejemplo las curiosidades de la delta de Dirac que después aparece su importancia en la teoría de distribuciones, fue después del teorema de Noether (quién disfrutó de extraordinarios maestros que trabajaron con estructuras algebraicas: Minkowski, Blumenthal y Klein y el apoyo casi incondicional de Hilbert), sobre los invariantes diferenciales en el cálculo de variaciones, que se inició el reconocimiento de la simetría como estructura matemática.

En la actualidad el Diccionario de la Real Academia Española de la Lengua, 2006, define el concepto de simetría como “correspondencia exacta en forma, tamaño y posición de las partes de un todo”, lo que quiere decir que la restringe a algunas de sus formas geométricas (espaciales), cosa que ya hacían de manera explícita los mesopotámicos.

Las simetrías espaciales más comunes y conocidas son las de traslación y rotación (iso-

metrías). Es normal pues nuestro espacio perceptual más cercano las posee, el espacio cercano nuestro es euclidiano. Pero también hay la simetría de escala, cercana a nosotros, utilizada por el profesor de matemática y escritor Lewis Carroll (figura 8), la cual permite obtener una Alicia más pequeña con las mismas propiedades y que hoy sabemos que es una fantasía (Alicia en el país de las Maravillas). En realidad esa simetría experimenta una ruptura generada por la gravedad sobre la superficie de la Tierra que crea una dirección privilegiada, lo que transforma la simetría cúbica del espacio euclidiano, en simetría cilíndrica (alometría).

En un espacio euclidiano infinito (en todos los sentidos) se pueden distinguir: -

La simetría de traslación.

La simetría de rotación.

La simetría de escala.

La homogeneidad del transcurrir del tiempo.

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Fig. 8. Alicia en el País de las Maravillas.

Pero además, hay simetrías que se tratan como especiales por sus efectos también especiales pero no evidentes, como: - la simetría central de centro O, donde O es el punto medio de un segmento de recta (para el caso finito) que lo divide en dos partes iguales y para el caso infinito se denomina esférica. -

la simetría axial, la cual consiste en hacer corresponder a cada punto externo al eje,

otro punto, equidistante. Todos los semiplanos tomados a partir de cierta mediatriz y conteniéndolo presentan idénticas características. También llamada simetría cilíndrica. El concepto elemental de simetría en física y las leyes de conservación Bernardo Fernández y Omayra Pérez, 2015.

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La simetría de rotación que implica al eje del tiempo y que percibimos como el cambio

de un sistema de referencia inercial a otro.

Por ser nuestro espacio cercano de tipo euclidiano, la primera simetría que normalmente se aborda, se relaciona con la traslación en el espacio (el cual es homogéneo).

Las leyes físicas tienen la misma forma al experimentar los sistemas de referencia inerciales una traslación espacial (transformación pasiva), o la que le es equivalente, si el cuerpo es el que se traslada (transformación activa). En ese caso se conserva el momento lineal. La homogeneidad del espacio puede ser rota si un punto o un punto y su vecindad, tienen propiedades diferentes. Ese es el caso de una masa puntual, la cual cambia las propiedades del espacio, no solamente en el punto, sino en su vecindad.

La ventaja es que la modificación

de las propiedades de la vecindad pueden seguir una ley muy simple: son directamente pro-

porcionales a una cantidad escalar llamada masa gravitatoria e inversamente proporcionales a la distancia al punto donde está la masa. Mantiene, de ese modo, la isotropía y ostenta la simetría esférica: V(r) = Gm/r. Esta función se denomina potencial gravitatorio.

La interacción (llamada fuerza en física clásica) nace, entonces, del acoplamiento lineal de una masa con el gradiente del potencial (llamado campo gravitatorio). Análogamente podemos ver que la homogeneidad del espacio es rota si dos puntos (o más) diferentes (se le asignan signos distintos) o dos puntos del tipo anterior (cargas) y sus vecindades, tienen propiedades diferentes e invertidas. En ambas situaciones se trata de cargas (o masa) puntuales, las cuales cambian las propiedades del espacio, no solamente en cada punto, sino en sus vecindades y siguiendo ciertas reglas. El gradiente del potencial se llama campo eléctrico. Esto último conduce a la interacción eléctrica.

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25 Fig. 9. El campo gravitatorio terrestre.

La segunda simetría se refiere a lo siguiente, si de manera pasiva un sistema de referencia inercial gira de un ángulo dado, con respecto a otro inercial, las leyes físicas son equivalentes en ambos sistemas. De manera equivalente, si el cuerpo (como entidad) gira (o un fenómeno rota), se conserva el momento cinético pues todas las direcciones del espacio son físicamente equivalentes. Todo ello, se debe a que según el teorema de Noether, para cada Ley de Conservación, existe una simetría asociada (traslación, rotación, etc.).

De manera análoga a estas simetrías, se encuentra presente una simetría muy especial, se trata de la simetría bilateral, especular o la izquierda-derecha que equivale a una rotación de 180 grados. Aplicada a ciertas (diversas) situaciones, la naturaleza no diferencia El concepto elemental de simetría en física y las leyes de conservación Bernardo Fernández y Omayra Pérez, 2015.

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entre izquierda y derecha. Pero veremos que para otras situaciones si hace la diferencia. Desde tiempos de Galileo y Newton se suponía a priori que la naturaleza no distingue entre la izquierda y la derecha; es decir, que no se puede distinguir entre el mundo observado directamente y el visto reflejado en un espejo.

Sin embargo, la naturaleza viola esa sime-

tría. Experiencias hechas con partículas elementales, donde intervienen las interacciones débiles, se viola la paridad que es la operación de reflexión especular. Eugene Wigner, en 1927, propuso la conservación de la paridad, que afirma que las partículas elementales son simétricas respecto al espacio, en el sentido de que todo proceso posible podría realizarse también intercambiando la derecha y la izquierda (la simetría del otro lado del espejo). Con el descubrimiento del mesón K0 o kaón, que se comporta de una forma extraña, por ejemplo es inestable, se verifica que se viola la paridad. En 1956, Lee y Yang comprobaron que en ninguno de los experimentos hechos se podía demostrar la conservación de la paridad en la

interacción nuclear débil. Yang y Lee recibieron el premio Nobel de Física por la demostración de que la ley de conservación de la paridad (P) no es válida en las interacciones débiles.

La simetría de paridad se complementa con otras simetrías similares que son la simetría de carga (simetría C, conjugación de carga eléctrica) y la simetría del tiempo (simetría T, pasado-futuro) para ser llamadas juntas simetrías CPT (conjugación de carga, paridad e inversión temporal).

Esto indica que no hay manera de detectar antimateria en la misma

proporción que la materia. Se entiende que el tiempo transcurre en un solo sentido en nuestro universo. Esa fue una de las rupturas de simetría del Big Ban, o bien la emergencia de un parámetro de orden en la transición de fase que se dio en el Big Ban. Por lo tanto el eje del tiempo apunta en una sola dirección, llamada futuro, que al ser reflejado sobre un plano especular, perpendicular al eje del tiempo, parece equivalente si la simetría fuese válida, pero no es equivalente al eje del tiempo hacia el pasado. La simetría de carga (C) es aquella que se refiere a que si todos los electrones se convierten en positrones, no se podrían diferenciar

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en la naturaleza que se ha cambiado todos los electrones por positrones. Pero no podemos hacerlo porque hay más electrones que positrones detectados experimentalmente, por lo tanto esa simetría no se conserva, es una simetría rota. Cabe destacar, que las tres (CPT) se complementan una con la otra.

Fig. 10. Pruebas de violaciones de CPT.

Otra simetría importante es la del tiempo, el cual transcurre de manera uniforme. La cantidad que se conserva, asociada a la simetría del tiempo, es la energía. Esto nos lleva a la reflexión que, en física, el tiempo y la energía, están asociados a través del principio de mínima acción. Los teoremas de Lagrange, Hamilton, Fermat, Maupertuis y las relaciones de Heisenberg, relacionan las variables conjugadas a través de la acción. Esto sugiere que los

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principios de mínima acción están a su vez relacionados con el teorema de Noether.

Las simetrías se asocian a las estructuras de grupo (grupos de Lie para el caso continuo). El espacio-tiempo de Minkowski tiene simetrías externas específicas: las traslaciones espaciales, la traslación temporal (cuatro traslaciones generadas por el cuadrivector impulso Pµ), seis rotaciones, tres de tipo puramente espaciales (generadas por el momento angular L) y tres que implican el eje del tiempo (generadas por K). Además, están las reflexiones CPT y las invariancias de escala.

Las cantidades que se conservan son respectivamente, según

el cuadro adjunto. Simetría

Conservación

Traslación temporal

El tiempo transcurre de manera uniforme

Traslación espacial

Rotación espacial

espacio espacio

R3 R3

La energía

homogéneo El impulso lineal es

isótropo El momento cinético

Rotación implicando el eje del Hay simetría al pasar de un sistema iner- El espín tiempo cial a otro Tabla 1. Simetrías y Conservación.

Sin embargo, hay una ruptura de simetría que consiste en la existencia de una dirección privilegiada, la dirección del tiempo, lo que genera un cono llamado cono de luz.

La ecuación c2 = (x2 + y2 + z2)/t2 genera, geométricamente, el cono. ponsable del cono es la constancia de la rapidez de la luz.

La cantidad res-

Por otro lado, la invariancia de

escala es afectada porque hay una celda espacio-tiempo límite, del espacio de Minkowski, establecido por la constante de Planck.

Podemos decir, entonces, que la física clásica nos enseña que las interacciones fundamentales de la naturaleza, que caben dentro de su ámbito (gravitación y electromagnetismo), El concepto elemental de simetría en física y las leyes de conservación Bernardo Fernández y Omayra Pérez, 2015.

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Fig. 11. El espacio de Minkowski.

están perfectamente definidas en una región del espacio-tiempo y se expresan de manera vectorial como gradientes o rotacionales de los potenciales (tensoriales). Sin embargo, al abordar fenómenos cuya acción están a la escala de la constante de Planck y a la escala de la constante c, aparecen, por un lado, inconsistencias con el determinismo de Newton y por el otro con la relatividad de Galileo. Para el determinismo, el pasado, presente y futuro son predecibles con certeza y para el marco galileano las distancias y el tiempo son absolutos. La Física Clásica experimentó una ruptura ya que la experimentación puso en relieve el valor finito de c y estremeció la estructura lógica que sustentaba el determinismo absoluto.

coherencia fue reestablecida con la construcción de la relatividad especial y de la física cuán-

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tica y ambos modelos clásicos aparece como comportamientos asintóticos de los nuevos modelos. Ambas nuevas teorías potenciaron el concepto de simetría, el cual ya conocía la física clásica, pero sin darle el sitio especial que debía ocupar en la física.

Por otro lado, vimos como poco a poco tomamos consciencia que la existencia de las leyes de simetría se encuentra plenamente de acuerdo, no solo con la física, sino con nuestra experiencia perceptual cotidiana. Tan cierto es esto que una de las más elementales simetrías, como lo es la invariancia de escala, se pasó por alto como evidente, y escondía resultados insospechados, que a pesar de que resaltaban fuertemente en nuestra percepción, fueron puestos matemáticamente y físicamente en evidencia, en la década de los 70 del siglo XX, incluso en los fenómenos cotidianos. Las simetrías específicas de lateralidad (izquierda-derecha), la de armonía, la de equilibrio y la de ritmo (tiempo) aparecieron temprano en

nuestra percepción. Otras dos simetrías, más generales, son también simples pero menos evidentes, la homogeneidad y la isotropía del espacio, pero los conceptos que se derivan de ellas se analizaron desde la matemática, temprano en la historia del pensamiento humano, a través de la geometría euclidiana.

Con el teorema de Noether y a partir de la teoría de la relatividad especial de Einstein y de los resultados de la teoría de grupos, en matemática, la simetría ha pasado a ocupar un lugar central en las teorías modernas que describen la naturaleza, al nivel más fundamental. La teoría de la relatividad especial, también llamada “Teoría de la Relatividad Restringida”, es una teoría física cuyas bases fueron publicadas en 1905 por Alberto Einstein. Esta teoría se fundamenta en la confirmación experimental de que la rapidez de la luz en el vacío es igual en todos los sistemas de referencia inerciales y tiene un valor finito, y en el principio de relatividad de los sistemas de referencia inerciales (y todas las consecuencias que se derivan), según el cual cualquier formulación de una ley física, en un sistema de referencia inercial, se

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expresa de manera equivalente en cualquier otro sistema inercial. La teoría de la relatividad especial estableció las normas que se deben seguir para escribir las leyes de la física, en cualquier sistema de referencia inercial; esto se denomina escritura covariante (es decir, de la misma forma o de forma simétrica). Las relaciones así formuladas predicen fenómenos que chocan con el sentido común, estando entre los más asombrosos y más famosos, la dilatación del tiempo, la contracción de longitudes, la transformación de masa en energía y viceversa y la llamada paradoja de Langevin.

La simetría es una propiedad universal que se encuentra presente en una multiplicidad de fenómenos en la naturaleza, lo que da estabilidad a los fenómenos dentro del cambio, y es objeto de estudio de muchas ciencias como la Física, la Química, la Biología, la Informática, etc. La simetría, en la vida científica, aparece desde un punto de vista matemático y desde un punto de vista material. Por ejemplo, observamos objetos diferentes que tienen en común la misma geometría o se dice que tienen una simetría común. Los objetos llamados fractales, los cuales a pesar de expresar un caos es su distribución espacial en lo referente a la traslación y rotación, conservan cosas en común entre ellos. Un árbol, cuyas hojas se distribuyen en el espacio de manera azarosa pero resolviendo un problema de optimización (búsqueda de la mayor cantidad de energía solar, mayor contacto con el aire y una superficie foliar en relación con la superficie de las raíces o radicular) conserva esa forma que llamamos árbol a pesar de su diversidad (cada árbol es distinto a otro), estos objetos son fractales y responden a la geometría fractal la cual traduce la simetría de escala, sin preservar la de traslación y rotación.

Hay simetrías externas e internas. La simetría externa es un rasgo característico del fenómeno que se expresa, bajo formas geométricas, en el espacio perceptual. La interna se expresa en otros espacios, más abstractos. En condiciones formales, decimos que un objeto

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es simétrico en lo que concierne a una operación matemática dada, si, cuando aplicamos al objeto esta operación, hay una cantidad que se conserva. Dos objetos son simétricos el uno al otro en lo que concierne a un grupo dado de operaciones si uno es obtenido de otro por algunas operaciones (y viceversa). A la física le interesa tanto lo simétrico como las rupturas de simetría, pues la Física se interesa por las leyes del cambio así como las cantidades o propiedades que se conservan. Los científicos hallaron simetrías en el macro y el microcosmos. Éstas, en muchas ocasiones, forman un grupo desde el punto de vista algebraico, por lo que se dispone de la matemática para el estudio de fenómenos naturales asociados a las simetrías.

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4. SIMETRÍA Y GEOMETRÍA

En la geometría euclidiana a tres dimensiones, 3D, las clases principales de simetrías de interés son las que conciernen a las isometrías (que conservan la métrica o vecindad cuantificada y medida a partir de un patrón): que pueden ser traslaciones, rotaciones, reflexiones y reflexiones que se deslizan. Una isometría es una aplicación matemática entre dos espacios métricos (si es el mismo espacio es un endomorfismo) que conserva las distancias (definidas por la métrica) entre los puntos del espacio. Formalmente si E1 y E2 son dos espacios métricos, una isometría φ viene definida de la manera siguiente:

( )

( ( ) ( ))

ϕ :E1 → E2 ϕ x,y ε E1 × E2 : d1 x,y = d2 ϕ x ,ϕ y

En este caso d1 ( x,y ) y ( ϕ ( x ), ϕ ( y )) son las respectivas funciones que definen la distancia (métricas) en los dos espacios métricos E1 y E2. Dicho en lenguaje corriente, una transformación sobre una vecindad, mantiene la vecindad. En física se suele inducir la métrica con productos escalares que son formas bilineales sobre el espacio y que aterrizan en R (conjunto de los números reales).

Podemos dar algunos ejemplos de esas simetrías:

•

Una rotación en el espacio euclidiano tridimensional es una isometría (interna) del espacio R3.

•

El operador de evolución temporal Ut, que describe el movimiento de un sólido rígido S es el elemento genérico de un grupo uniparamétrico (un grupo de un parámetro) de las isometrías del espacio euclidiano tridimensional.

•

Cada operador unitario Ut = exp (iHt/h) que genera la evolución temporal de un sistema

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cuántico cuyo hamiltoniano es H (función matemática que representa la energía, a partir de la cual se pueden derivar la evolución temporal, las leyes de conservación y otras propiedades importantes), es una isometría sobre un espacio de Hilbert de dimensión infinita.

Veamos cómo operan las simetrías más simples. Separemos las simetrías del espacio donde está inmerso el objeto de las simetrías del objeto. Supongamos que estamos en un espacio euclidiano y estudiamos las simetrías del objeto (por ejemplo las simetrías externas de un sólido o su estructura cristalina). El grupo de isometrías de un objeto (llamamos objeto a un conjunto finito o infinito numerable de puntos, cuyas distancias son invariantes en el tiempo) con cierta estructura (cristalina) e inmerso en el espacio R3 (que es euclidiano) está formado por todas las transformaciones geométricas, las cuales pueden ser traslaciones, rotaciones y reflexiones que no alteran las distancias del objeto. Para cada isometría, con la operación composición de isometrías, se puede asociar el elemento inverso de una transfor-

mación u operación de simetría que es precisamente la operación que hace la transformación que lo deshace lo que hace la operación identidad, por lo tanto posee el elemento inverso, el elemento identidad y con la composición de isometrías que es asociativa, posee la estructura algebraica de grupo. Vemos que el objeto es simétrico (tiene cierta estabilidad) con transformaciones espaciales específicas.

Así se dice que un objeto (transformación activa) presenta:

•

Simetría esférica si existe simetría (conserva su forma) bajo cualquier rotación posible alrededor de un eje que pasa por su centro, matemáticamente equivale a que el grupo de simetría de un objeto físico o entidad matemática, sea SO(3) (grupo ortogonal especial, de determinante unidad, con tres parámetros).

•

Simetría cilíndrica o axial, si existe un eje tal que los giros alrededor de él no conduzcan

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a cambios de posición en el espacio, matemáticamente está asociado a un grupo de isometrías SO(2) (grupo ortogonal especial, de determinante unidad, con dos parámetros). •

Simetría reflectora, si se da la existencia de un plano único tal que cada objeto tiene uno similar a igual distancia, matemáticamente está asociado al grupo SO(1) o su representación equivalente Z2.

Si tratamos además con regiones geométricas infinitas, no acotadas, puede existir simetría de traslaciones. Todas estas simetrías posibles son además isometrías.

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5. SIMETRIA Y LEYES DE CONSERVACIÓN EN FÍSICA El concepto de simetría en física comienza con lo más simple.

“Las leyes de la física

deben tener la misma forma en t = 0 (presente), y en cualquier tiempo pasado o futuro”. Además, cada propiedad física que se conserva, implica una simetría. La mayoría de las veces, en física, el concepto de simetría puede formularse en una forma geométrica (por ejemplo, en un espacio-tiempo). Si C es un conjunto de objetos matemáticos con la misma estructura (por ejemplo, funciones, formas geométricas, ecuaciones,...) y G es un grupo de transformaciones que actúan sobre C de tal manera que:

g (∈ G) : C → C Se dice que un elemento de C, c0 presenta simetría si:

∀ g ∈ G : g (c 0 ) = c 0 Varias leyes de conservación de la física son consecuencia de la existencia de simetrías del lagrangiano o del hamiltoniano (funciones físicas a partir de las cuales se puede derivar la evolución temporal, las leyes de conservación y otras propiedades importantes del fenómeno), tal como nos enseña el teorema de Noether. En ese caso C representaría el conjunto de lagrangianos (hamiltonianos) admisibles. c0 es el lagrangiano del sistema bajo estudio y G puede representar traslaciones espaciales (conservación del momento lineal), traslaciones temporales (conservación de la energía), rotaciones espaciales (conservación del momento angular) u otro tipo de simetrías (conservación de la carga eléctrica, del número leptónico, de la paridad, etc.). El teorema de Noether es de suma importancia en física y sobre todo en lo referente a las simetrías que nos proporcionan leyes de conservación pertinentes y es utilizado en física básica, por ejemplo es citado por algunos textos escolares tales como: “Física” de M. Alonso y E. J. Finn (1995) y por Richard P. Feynman (1971) en The Feynman Lectures on Physics. El concepto elemental de simetría en física y las leyes de conservación Bernardo Fernández y Omayra Pérez, 2015.

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Recordemos que el teorema de Noether relaciona pares de ideas básicas de la física tales como:

1. La invariancia de la forma que una ley física toma con respecto a cualquier transformación (generalizada) que preserve el sistema de coordenadas (aspectos espaciales y temporales tomados en consideración). 2. La ley de conservación de una cantidad física específica como la energía, etc.

Cuando el lagrangiano de un sistema físico presenta simetría rotacional, es decir, existe un grupo de transformaciones (que tiene la misma estructura matemática) isomorfo a un subgrupo unidimensional del grupo de rotaciones o grupo especial ortogonal, entonces existe una magnitud física conservada llamada momento angular que tiene un valor constante a lo largo de la

evolución temporal. Es decir, dicha magnitud no cambia de valor a medida que el sistema evoluciona, razón por la cual dicha magnitud se llama constante del movimiento o magnitud conservada. Análogamente, si el lagrangiano de un sistema físico es invariante bajo cierto grupo uniparamétrico de traslaciones, entonces existe una componente del momento lineal, paralela a dichas traslaciones que no varía con el tiempo, a medida que el sistema evoluciona. Es decir, a pesar de que el estado de movimiento de una partícula o el estado físico del sistema varíen, dicha magnitud física siempre mantiene el mismo valor, por complicada que sea la evolución del sistema. De modo similar al caso anterior, la independencia explícita con respecto al tiempo, del lagrangiano, puede ser vista como una invariancia frente a "traslaciones temporales". En este caso la magnitud conservada es la energía.

Algunos ejemplos sencillos pueden ser:

1. En un osciloscopio clásico se tienen placas paralelas cargadas para desviar de manera

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controlada los electrones que salen del cañón. Si consideramos un haz de electrones moviéndose entre estas dos placas paralelas, cargadas uniformemente con la misma carga, con velocidad inicial paralela a las placas (que consideramos infinitas porque el electrón es muy pequeño), dado que cualquier traslación paralela a los planos constituye una simetría del sistema físico, entonces la fuerza eléctrica paralela a dichos planos es nula y por tanto la velocidad de los electrones, paralela a los planos, se mantiene constante e igual a la inicial. 2. Consideremos un satélite orbitando alrededor de la Tierra que se utiliza en la comunicación del tipo VSAT, cuya órbita consideramos con simetría esférica perfecta. Consideremos, además, que la velocidad del satélite es perpendicular a la línea que une el centro del satélite con el centro de la Tierra (radio vector). En ese caso, el lagrangiano es totalmente invariante respecto a rotaciones según un eje que pase por el centro de la fuente del campo gravitatorio (Tierra). En este caso, debido a la simetría de rotación, tanto del lagrangiano como de las condiciones iniciales del movimiento, la velocidad perpendicular al radio vector satélite-Tierra tiene módulo constante y la trayectoria del satélite es una circunferencia invariante bajo una rotación con respecto a un eje perpendicular al plano de la órbita.

Los dos ejemplos anteriores son casos específicos del teorema de Noether. Sin embargo, es un resultado general, sacado de lo que se había enunciado anteriormente con la expresión siguiente:

∀ g ∈ G : g (c 0 ) = c 0 Y de allí se establece que si existe un grupo uniparamétrico de parámetro λ de simetría G para el lagrangiano lo podemos escribir de la siguiente manera:

  ∀ Φ λ ε G : L (Φ λ (q), Φ λ (q),t) = L (q, q,t) El concepto elemental de simetría en física y las leyes de conservación Bernardo Fernández y Omayra Pérez, 2015.

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Para definir la simetría de un objeto es necesario referirla al cambio. Así, se dice que existe una simetría asociada a un determinado cambio en un objeto si la realización de tal cambio en el objeto no implica ninguna observación constatable del proceso del cambio. En la simetría axial tridimensional, el cambio es una rotación con respecto a un eje, y en el caso de la simetría central, el cambio al que va asociada es la rotación alrededor de un centro. La simetría axial y la simetría central son las formas clásicas de simetría de los objetos del espacio ordinario, sin embargo, cuando hablamos de entidades más abstractas en la física de partículas es preciso generalizar el concepto clásico de simetría. Algunas leyes de conservación en las distintas áreas de la física son:

Leyes de conservación en física clásica: Las leyes de conservación más importantes en mecánica y electromagnetismo clásicos son:

•

Conservación de la energía.

•

Conservación del momento lineal.

•

Conservación del momento angular.

•

Conservación de la carga eléctrica.

•

Conservación de la masa.

Cuando estudiamos mecánica clásica, nos enuncian que el teorema de conservación de la energía total en los sistemas mecánicos holónomos (característica de un sistema cuyos enlaces se expresan con un número finito de ecuaciones) - esclerónomos (propiedades de los sistemas en los que las ecuaciones que representan los enlaces no dependen explícitamente de la variable tiempo) no sometidos a fuerzas de disipación, resulta ser una consecuencia inmediata de la simetría del tiempo, es decir, del hecho de que las magnitudes fundamentales no dependen explícitamente del transcurrir del tiempo. Dicho de otro modo, la conservación

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de la energía total resulta de la uniformidad del transcurrir del tiempo. Así, si L = L (qj,) es el lagrangiano del sistema y observamos que no depende explícitamente del tiempo

∂L =0 ∂t Esto significa que la derivada total con respecto al tiempo es

dL = dt

∂L dq j + dt j

∑ ∂q j=1

∂L dq j = dt j

∑ ∂q j=1

dL d n ∂L − ∑ q = 0 dt dt j=1 ∂q j j

d  ∂L 

∑ dt  ∂q  q 

j=1

d L − dt 

Donde es L la función de Lagrange y las

∂L

∑ ∂q j=1



∂L dq j d n ∂L = ∑ ∂q q j dt dt j=1 j j

∑ ∂q j=1

 q j  = 0 

q j, j = 1,2,..., n

d H = 0 dt

son las velocidades genera-

lizadas, es decir, las derivadas respecto del tiempo de las coordenadas generalizadas.

Entonces, podemos decir que el hamiltoniano H se conserva en estos sistemas, y como la energía total coincide con el hamiltoniano, si no existen fuerzas disipativas, se puede concluir que la energía total se conserva: H = constante en el tiempo.

El teorema de conservación del impulso: en los sistemas mecánicos holónomos-esclerónomos no sometidos a fuerzas disipativas, también se conserva otra importante magnitud, si se postula la homogeneidad del espacio, esto es, que la función lagrangiana no varía en un desplazamiento espacial virtual (a tiempo constante) del sistema mecánico. La magnitud que se conserva en este supuesto de simetría es la expresión del n-vector impulso. En una variación de coordenadas a tiempo constante, variación virtual, el lagrangiano se mantiene invariante en virtud de la homogeneidad del espacio ordinario: δL= 0 y como solamente varía

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la posición espacial del sistema mecánico, se tiene, expresando la variación del lagrangiano con respecto a las coordenadas generalizadas:

δL =

∑

n j=1

∂L δ qj = 0 ∂q j

lo cual implica que

∂L = 0, j = 1, 2, 3... n ∂q j y si el sistema es conservativo, se tiene que:

d  ∂L  ∂L d  ∂L  ∂L ∂L = = 0 → = cons tan te − = 0 →     dt  ∂q j  ∂q j dt  ∂q j  ∂q j ∂q j

por tanto:

 ∂L ∂L ∂L  p = , , ..., = cons tan te ∂q n   ∂q 1 ∂q 2 El teorema de conservación del momento cinético, el tercero de los teoremas de conservación clásicos, tiene que ver con la postulación de la isotropía del espacio, esto es, con el hecho de que no existan direcciones privilegiadas en la formulación de las leyes de la Física. La magnitud que se conserva en esta simetría es el momento cinético total del sistema mecánico:

M = ∑ p∧r para cada elemento o partícula del sistema. En una rotación virtual (a tiempo constante) será: δ L = 0.

Si, para cada partícula del sistema, ri es el vector de posición y v i =

dri es dt

la correspondiente velocidad, se puede escribir, para la variación virtual del lagrangiano, lo

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siguiente: n

δL = ∑ j=1

n ∂L ∂L δ rj + δ v j = ∑ p jδ rj + p jδ v j = 0 ∂rj ∂v j j=1

Veamos cómo reducir la expresión de la variación virtual del radio vector y de la velocidad en una rotación diferencial: Variación del radio vector

δ rj = rj′ − rj

Radio vector respecto al eje de rotación:

R j = rj sen θ j

La variación virtual del lagrangiano es tal que:

(figura 12).

M = ∑ p ∧ r es una constante.

Fig. 12. Radio vector respecto al eje de rotación.

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Tanto la estructura algebraica de grupo como las álgebras de Lie, son las estructuras matemáticas que describen el concepto clásico de simetría física. Un álgebra de Lie (nombrada así en honor a Sophus Lie) es una estructura algebraica cuyo uso principal reside en el estudio de objetos geométricos tales como grupos de Lie y variedades diferenciables (es un tipo especial de variedad topológica, a la que podemos extender las nociones de cálculo diferencial que normalmente usamos en R3). En matemática se trata de una estructura de álgebra de Lie, que es un espacio vectorial sobre un cierto conjunto con estructura de anillo F, junto con una operación binaria

 x,y  : A × A −〉 A (tipo producto vectorial), llamado el

corchete de Lie, que satisface las propiedades siguientes:

•

es bilineal, es decir,

ax + by, z  = a  x,z  + b  y,z  y  z, ax + by  = a  z, x  + b  z, y 

para todo a,b en F y todo x, y, z en A.

•

satisface la identidad de Jacobi, es decir,

  x, y  , z  +   z, x  , y  +   y, z  , x  = 0 para todo x, y, z en A.       •

 x, x  = 0 para todo x en A.

Observemos que la primera propiedad y la tercera, juntas, implican  x, y  = −  y, x  (anticonmutación) para todo par x, y de A (se trata de la propiedad de “anti-simetría”) si el cuerpo F es de característica diferente de dos. Observemos también que la multiplicación representada por el corchete de Lie no es, en general, asociativa, es decir,   x, y  , z  no necesariamente es igual a  x,  y, z   .

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Ejemplos de esa estructura, de casos conocidos y usualmente usados:

•

Todo espacio vectorial se convierte en un álgebra de Lie abeliana trivial si definimos el corchete de Lie como idénticamente cero.

•

El espacio euclidiano R3 se convierte en un álgebra de Lie con el corchete de Lie definido con el producto vectorial clásico.

•

Si se da un álgebra asociativa A con la multiplicación *, se puede dar un álgebra de Lie (no abeliana) definiendo la cantidad que mide la diferencia de la operación conmutación (suponiendo que no conmutan para no caer en el caso trivial) [x, y] = x * y − y * x, y se llama el conmutador de x e y. Ese es el caso de los operadores lineales de la Física Cuántica clásica no relativista.

•

Para el último caso, inversamente, puede ser demostrado que cada álgebra de Lie se puede sumergir en otra que surja de un álgebra asociativa de esa manera.

47 Otros ejemplos importantes de álgebras de Lie vienen de la topología diferencial. Por ejemplo, podemos pensar en los campos vectoriales que derivan de un potencial sea escalar, sea vectorial (campos como el gravitatorio que deriva de un potencial escalar y el electromagnético que deriva de un potencial mixto, escalar y vectorial). Consideremos operadores diferenciales que actúan sobre funciones derivables. El corchete de Lie [X, Y] se define como: [X, Y] f = (XY − YX) f para cada función f en la variedad (aquí se puede considerar el caso de los campos vectoriales que provienen de operadores diferenciales y que actúan sobre funciones diferenciables). El espacio vectorial de los campos vectoriales que son un grupo de Lie, es cerrado bajo la operación corchete y es por lo tanto un álgebra de Lie de dimensión finita. Otro caso puede ser el campo de los operadores que actúan sobre las funciones de un espacio de Hilbert. Como ejemplo concreto, consideremos el grupo de Lie SL(n, R) (grupo lineal L, especial S, en R, de n parámetros) de todas las matrices n-por-n a valores reales y determinante

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1. En otra monografía aplicaremos este ejemplo para obtener las matrices de Pauli. En ese caso los operadores se representan con funciones regulares (exponenciales) de generadores infinitesimales (variaciones alrededor de la unidad). El espacio tangente en la matriz identidad se puede identificar con el espacio de todas las matrices reales n-por-n con traza 0 (que se generan a partir de los generadores infinitesimales) y la estructura de álgebra de Lie que viene del grupo de Lie coincide con el que surge del conmutador de la multiplicación de matrices. Toda esta algebra de Lie, se puede aplicar porque hay simetría, y donde hay simetrías, la Teoría de Grupos está presente y la mejor manera de resumir la teoría de grupos es como «la ciencia de la simetría».

La Teoría de la Relatividad Restringida es, en última instancia, una teoría de las simetrías del espacio (vacío) y también del tiempo (con estructura pseudoeuclidina, es el espacio de

Minkowski), descritas por el grupo de Poincaré, grupo de transformaciones ortogonales, del cual es subgrupo el grupo de Lorentz (rotaciones en el espacio de Minkowski). Por lo tanto, el grupo de Poincaré es el grupo de isometrías del espacio-tiempo de Minkowski. Es el grupo de Lie no compacto de dimensión diez. El grupo abeliano de las traslaciones son un subgrupo normal mientras que el grupo de Lorentz es un subgrupo de isometrías más grande posible que deja invariante el producto escalar de dos vectores. Es decir, el grupo completo de Poincaré es un producto semidirecto de dos subgrupos, el de las traslaciones y el de las transformaciones de Lorentz. Sus representaciones irreducibles unitarias, ortocronas, se indexan por la masa (número no negativo) y el espín (número real entero o semientero), y se asocia a las partículas en física cuántica. Las simetrías del espacio de Minkowski están definidas por el grupo de Poincaré.

El espacio de Minkowski se considera como un espacio homogéneo para el grupo. Bajo la forma de componentes, el álgebra de Lie del grupo de Poincaré satisface las siguientes

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relaciones:

•

Pµ , Pv  = 0  

•

Mµv , Pρ  = ηµρPv − ηvρPµ  

•

Mµv , Mρσ  = ηµρMvσ − ηµσMvρ − ηvρMµσ + ηvσMµρ  

P es el generador de traslación y M es el generador de las transformaciones de Lorentz.

La definición del concepto de partícula, en el contexto de la Teoría Cuántica de Campo, tal como la formuló Eugene Wigner (1902-1995), está relacionada con la simetría: “Una partícula es una representación irreducible del grupo de Poincaré”. Tanto la masa de una partícula como su espín, por ejemplo, se relacionan con formas distintas de representaciones irreducibles del grupo de Poincaré.

Leyes de conservación en física cuántica: en cuántica y en nuclear, a las anteriores, se les añaden estas otras, entre otras:

•

Conservación del número leptónico

•

Conservación de la carga de color

•

Conservación de la probabilidad

•

Simetría CPT

Leyes de conservación aproximadas: además de las simetrías anteriores, tanto en mecá-

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nica clásica (MC) como en física cuántica (QP), se usan en ciertos contextos leyes de conservación aproximadas, es decir, que no son universales para todos los procesos aunque sí en una buena parte de los procesos físicos conocidos, entre los ejemplos tenemos:

•

Conservación de la masa o cantidad de materia (MC).

•

Conservación del número bariónico, ver anomalía quiral (QP)

•

Conservación de aroma, violada en algunas interacciones débiles (QP)

•

Conservación de paridad (MC y QP).

•

Simetría CP (QP).

La simetría es un arma muy poderosa para investigar hacia el pasado y hacia el futuro, ya que nos permite suponer y (en la medida en que confiemos en la seguridad de la simetría) co-

nocer condiciones locales donde jamás podremos llegar por la distancia espacial y temporal que nos separa de muchas partes del universo. Así, por ejemplo, gracias a esta simetría, podemos calcular que el Sol lleva 5 000 millones de años produciendo energía y que le quedan, probablemente, otros 5 000 millones de años hasta que consuma toda la masa disponible para la fusión nuclear. Esta conjetura se puede aventurar suponiendo que en ese enorme tramo tiempo de 5 000 + 5 000 = 10 000 millones de años las leyes físicas que determinan los procesos mediante los cuales el Sol consume su masa nuclear, combustible de fusión (las reacciones nucleares que le permiten transformar masa en energía), fueron, son y serán las mismas. Por tanto, en cierto modo, la simetría se vuelve tan importante o más que la propia ley física.

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6. REFERENCIAS

1. Leite Lopes José. (1969). Lectures on Symmetries. Editorial Gordon and Breach. 170 páginas.

2. Pérez O. y Fernández B. (2005). La Física también forma parte de la cultura. Revista cultural Lotería, N° 458. Enero-febrero.

3. Vázquez, A., Acevedo, J. A. y Manassero, M. A. (2004). Consensos sobre la naturaleza de la ciencia: evidencias e implicaciones para su enseñanza. Revista Iberoamericana de Educación, edición electrónica. En http://www.campus-oei.org/revista/ deloslectores/702Vazquez.PDF.

4. Cariñena J. y Boya L. (2001). Simetría en ciencia: principio y método, Academia de Ciencias Exactas, Físicas, Químicas y Naturales de Zaragoza. 38 páginas.

5. Wolf, K. y Kuhn, D. (1959). Forma y simetría: una sistemática de los cuerpos simétricos. Editorial Eudeba. 59 páginas.

6. Gay, H. (2006). Recorriendo simetrías-naturaleza y arte. Academia Nacional de Ciencias. Argentina. 34 páginas.

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7. INDICE DE FIGURAS Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 Fig. 5 Fig. 6 Fig. 7

Fig. 8 Fig. 9 Fig. 10 Fig. 11 Fig. 12

El hombre del Vitrubio. Imagen tomada del sitio (octubre del 2014): http:// 7 www.xtec.cat/~jcardado/fotos/vitrubio.jpg. La frecuencia fundamental y sus primeros armónicos. Imagen tomada del 8 sitio (octubre del 2014): http://www.tecnopiano.com/images/Cuerdas.png Espejos perpendiculares. Imagen tomada del sitio (octubre 2014): http:// 13 www.indudidacticosjavro.com/images/portfolio/Fisica/ESPEJOS%20ANGULARES.JPG 13 Eje de simetría. Inversión izquierda - derecha. Imagen tomada del sitio (octubre 2014): http:// descargas.pntic.mec.es/cedec/mat3/contenidos/u7/M3_U7_contenidos/alturaespejo.png Modelo de los bariones. Imagen tomada del sitio (octubre 2014): http://upload. wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Baryon-octet.svg/1280px-Baryon-octet.svg.png El Doríforo. Imagen tomada del sitio (octubre 2014): http://upload.wikimedia. org/wikipedia/commons/thumb/b/b5/Doryphoros_MAN_Napoli_Inv6011-2. jpg/300px-Doryphoros_MAN_Napoli_Inv6011-2.jpg Alicia en el País de las Maravillas. Imagen tomada del sitio (octubre 2014): https://pendientedemigracion.ucm.es/info/especulo/numero22/caper_1.jpg El campo gravitatorio terrestre. Imagen tomada del sitio (octubre 2014): http://ciencia.nasa.gov/media/medialibrary/2004/04/14/19apr_gravitomagnetism_resources/vortex1_crop.jpg Pruebas de violaciones de CPT. Imagen tomada del sitio (octubre 2014): http://images.slideplayer.es/8/1874271/slides/slide_14.jpg El espacio de Minkowski. Imagen tomada del sitio (octubre 2014): http:// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/14/World_line-es. svg/260px-World_line-es.svg.png Radio vector respecto al eje de rotación. Imagen tomada del sitio (octubre 2014): http://casanchi.com/fis/simetria23.jpg

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8. INDICE DE TABLAS Tabla 1 Simetrías y Conservación.

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