Prácticas matemática 7/1º by Marcela LALIA

Prácticas

Para resolver problemas

Recursos para el docente Recursos para el docente de MATEMÁTICA I – NAP 7.º; ES 1.º; CABA 7.º – Santillana Prácticas es una obra colectiva creada, diseñada y realizada en el Departamento Editorial de Ediciones Santillana, bajo la dirección de Herminia Mérega y Graciela Pérez de Lois, por el siguiente equipo: Andrea Berman • Gustavo E. Piñeiro • Gisela B. Serrano Edición: Pablo J. Kaczor Jefa de edición: María Laura Latorre Gerente de gestión editorial: Mónica Pavicich

Índice Recursos para la planificación.............................. 2 Soluciones de las actividades del libro.................. 7

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Búsqueda de múltiplos y divisores de un número en situaciones contextualizadas. Reconocimiento de múltiplos y divisores de un número. Aplicación de algunas reglas de divisibilidad. Identificación de números primos y compuestos. Exploración de algunas singularidades de los números primos. Factorización de un número e identificación de un número a partir de su factorización. Uso de la factorización de un número para encontrar divisores. Resolución de situaciones que requieren la búsqueda del m.c.m. o el m.c.d. Uso del perímetro de triángulos equiláteros, cuadrados y rectángulos para introducir la utilidad del lenguaje algebraico. Uso del lenguaje algebraico para expresar operaciones entre números y relaciones de divisibilidad.

Múltiplos y divisores. Números primos y compuestos. Factorización de un número. Múltiplos y divisores comunes. Lenguaje algebraico.

Determinar múltiplos y divisores de un número, a partir del uso de las reglas de divisibilidad y otras estrategias. Reconocer números primos y compuestos, y explorar algunas de sus características. Utilizar la factorización de un número para operar con él. Reconocer situaciones que requieran la búsqueda del m.c.m. o el m.c.d., e interpretar sus resultados. Reconocer la utilidad del lenguaje algebraico para expresar relaciones y utilizarlo.

Interpretar y resolver situaciones con las cuatro operaciones básicas. Interpretar y utilizar diferentes escalas para representar números en la recta numérica. Utilizar las propiedades de las operaciones para realizar cálculos mentales. Usar correctamente la calculadora. Calcular potencias y raíces en contextos cotidianos, para establecer regularidades y en forma descontextualizada. Utilizar las propiedades de la potenciación y la radicación, e identificar cuáles no son válidas. Identificar el orden en que debe resolverse un cálculo combinado y lograr resolverlo. Conocer otros sistemas de numeración y comprender más acabadamente el sistema decimal.

Resolución de situaciones cotidianas que requieran operar con números naturales. Representación de números naturales en la recta numérica. Uso de diferentes propiedades para realizar cálculos mentales. Uso de la calculadora para hallar el resto de una división entera. Identificación de la potenciación como una multiplicación reiterada, en contextos cotidianos. Asociación de la potenciación con situaciones de conteo y regularidades. Cálculos con potencias, aplicación de propiedades. Interpretación de la radicación como operación inversa de la potenciación. Uso de la calculadora para mostrar la validez de algunas propiedades. Resolución de cálculos combinados. Composición y descomposición de números en los sistemas decimal y binario.

Operaciones con números naturales (suma, resta, multiplicación y división). Orden y representación en la recta numérica. Propiedades de los números y de las operaciones que posibiliten el cálculo mental (descomposición, asociatividad, conmutatividad, uso de paréntesis, propiedad distributiva). Potenciación. Propiedades de la potenciación. Raíces. Propiedades de la radicación. Cálculos combinados. Sistemas de numeración decimal y binario: posicionalidad, descomposiciones con potencias de 10 y de 2.

Divisibilidad. Lenguaje algebraico

Números naturales

EXPECTATIVAS DE LOGRO

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS

CONTENIDOS

Recursos para la planificación

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Fracciones y decimales I

Figuras planas

Reconocimiento de pares de ángulos adyacentes, opuestos por el vértice y complementarios. Trazado de ángulos adyacentes y opuestos por el vértice, a partir de un ángulo dado. Cálculos con amplitudes angulares y con duraciones en horas, minutos y segundos. Trazados con distancias. Uso de la mediatriz de un segmento para determinar su punto medio. Interpretación de la mediatriz de un segmento como el conjunto de puntos que equidistan de sus extremos. Reconocimiento de los elementos de una circunferencia y caracterización de puntos que pertenecen a ella, interiores y exteriores. Identificación y trazado de polígonos cóncavos y convexos. Reconocimiento de cuadriláteros según el paralelismo de sus lados. Construcción de cuadriláteros a partir de triángulos equiláteros. Uso del programa GeoGebra para construir triángulos y explorar la propiedad triangular. Deducción de la fórmula para calcular la suma de los ángulos interiores (SAI) de un polígono a partir de su triangulación. Determinación del número de lados de un polígono conocidas la cantidad de triángulos que se forman al trazar todas las diagonales desde un vértice o la SAI. Cálculo de las amplitudes de un ángulo interior y uno central de polígonos regulares. Uso de las fracciones en contextos cotidianos. Cálculo de fracciones de una cantidad. Cálculo de fracciones equivalentes. Reconocimiento de distintas expresiones de un mismo número racional. Composición de números decimales a partir de sumas de fracciones decimales y números decimales. Uso de fracciones y expresiones decimales para indicar medidas. Determinación de la fracción y la expresión decimal asociadas al cociente exacto de una división. Comparación de números racionales. Representación de números racionales en la recta numérica dados el 0 y la unidad, o el 0 y otro valor. Descubrimiento de números racionales comprendidos entre otros dos. Aproximación de valores por redondeo o truncamiento.

Ángulos consecutivos, complementarios, suplementarios, adyacentes y opuestos por el vértice. Sistema sexagesimal. Operaciones. Distancia entre un punto y una recta. Mediatriz. Circunferencia. Elementos. Polígonos cóncavos y convexos. Triángulos, cuadriláteros y otros polígonos. Construcciones. Desigualdad triangular. Suma de los ángulos interiores de un polígono. Polígonos regulares. Ángulo central.

Uso de las fracciones. Fracciones y expresiones decimales. Comparación. Representación en la recta numérica. Aproximaciones.

Usar las fracciones en situaciones cotidianas que las requieran. Diferenciar fracciones mayores y menores que la unidad a simple vista. Comprender las expresiones decimales a partir de las fracciones (en particular, las fracciones decimales). Interpretar las diferentes escrituras de un número racional. Comparar y ordenar números racionales. Representar números racionales en la recta numérica. Percibir que entre dos números racionales siempre hay otro número racional. Aproximar cantidades por redondeo o por truncamiento.

Reconocer, nombrar y construir ángulos opuestos por el vértice, adyacentes y complementarios. Operar con el sistema sexagesimal. Trazar la distancia entre un punto y una recta. Trazar la mediatriz de un segmento e interpretar su significado. Identificar la circunferencia como el conjunto de puntos que equidistan de otro dado. Usar el programa GeoGebra como herramienta para la exploración de propiedades geométricas. Identificar y construir polígonos según determinadas características. Calcular la suma de los ángulos interiores (SAI) de un polígono. Caracterizar un polígono conocidas la cantidad de triángulos que se forman al trazar todas las diagonales desde un vértice o la SAI. Determinación de la amplitud de cada ángulo interior y de cada ángulo central de polígonos regulares.

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Cálculo de perímetros de figuras. Resolución de situaciones que requieran el cálculo de áreas y perímetros de triángulos y cuadriláteros. Determinación de la altura relativa a un lado de un triángulo conocida su área. Representación de figuras con igual área y distinto perímetro, y de figuras con igual perímetro y distinta área. Uso del programa GeoGebra para representar figuras que tengan igual área y distinto perímetro, e igual perímetro y distinta área. Cálculo de áreas de figuras compuestas por otras figuras conocidas. Cálculo del perímetro, el área, la longitud de un lado o de la apotema de un polígono regular a partir de diferentes datos. Determinación de longitudes de circunferencias (uso de la noción de figura inscripta) o de arcos de circunferencias.

Perímetros y áreas de triángulos y cuadriláteros. Relación entre área y perímetro. Áreas de figuras compuestas por otras conocidas. Perímetro y área de polígonos regulares. Longitud de la circunferencia. Área del círculo.

Perímetros y áreas

Fracciones y decimales II

Resolución de situaciones cotidianas que requieren sumas, restas y multiplicaciones de números racionales. Interpretación del inverso multiplicativo de un número. Uso del inverso multiplicativo para resolver divisiones de fracciones. Resolución de situaciones cotidianas que requieren la división de números racionales. Uso del cálculo mental para determinar uno de los factores de un producto o bien un cociente de números racionales, cuando está involucrada una potencia de 10 (con exponente negativo). Cálculo de potencias en situaciones contextualizadas. Cálculo de raíces. Resolución de cálculos combinados. Representación gráfica de porcentajes a partir de una unidad dada. Identificación de un porcentaje a partir de un gráfico sombreado. Cálculo de porcentajes.

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS

Sumas y restas con fracciones y decimales. Multiplicaciones con fracciones y decimales. Divisiones con fracciones y decimales. Potencias y raíces. Porcentajes.

CONTENIDOS

Calcular perímetros. Resolver situaciones que requieran el cálculo de áreas y perímetros de triángulos y cuadriláteros. Calcular el área de un triángulo tomando como datos diferentes lados y sus alturas respectivas. Establecer que la variación en el perímetro de una figura no implica la alteración de su área (y viceversa). Calcular el área, el perímetro, la longitud de un lado o de la apotema de polígonos regulares. Determinar la longitud de una circunferencia o el área de un círculo a partir de su radio, o viceversa. Calcular la longitud de un arco de circunferencia y el área de un sector circular a partir del ángulo central que estos “barran”. Determinar el área de una corona circular.

Resolver situaciones cotidianas que requieran cálculos con números racionales. Resolver operaciones en forma mental. Calcular el inverso multiplicativo de un número y utilizarlo para realizar cocientes exactos. Realizar cálculos combinados sencillos, utilizando las 6 operaciones con números racionales. Comprender qué representa un porcentaje. Identificar un porcentaje dado sobre una unidad. Calcular porcentajes en situaciones cotidianas.

EXPECTATIVAS DE LOGRO

Recursos para la planificación

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Representaciones gráficas

Proporcionalidad

Uso de razones y proporciones para establecer cantidades proporcionales a otras dadas. Identificación de pares de fracciones que forman proporción y cálculo de su cociente. Cálculo de un valor desconocido en una proporción, conocidos los otros tres valores. Cálculo e interpretación de las constantes de proporcionalidad directa e inversa. Reconocimiento de situaciones que no son de proporcionalidad. Resolución de situaciones contextualizadas que se modelizan por medio de las proporcionalidades directa o inversa. Interpretación del porcentaje como situación de proporcionalidad directa. Utilización de porcentajes en gráficos circulares. Aplicación de la proporcionalidad directa a situaciones relacionadas con cambio de escala. Introducción de las coordenadas cartesianas a partir de organizaciones rectangulares. Representación e identificación de puntos a partir de sus coordenadas en el plano. Interpretación de gráficos en situaciones contextualizadas. Identificación del gráfico más apropiado para una situación descripta en forma verbal. Interpretación de los conceptos de función y variables dependiente e independiente. Interpretación y uso de diferentes registros de funciones: gráfico, verbal, por tablas, por fórmulas. Exploración de situaciones que se modelizan con funciones de proporcionalidad, sus tablas y gráficos.

Sistemas de coordenadas cartesianas. Interpretación de gráficos. Gráficos de funciones. Variables independiente y dependiente. Función de proporcionalidad directa. Función de proporcionalidad inversa.

Cálculo del área de círculos, sectores circulares y coronas circulares. Cálculo del área de zonas sombreadas.

Razones y proporciones. Proporcionalidad directa. Proporcionalidad inversa. Proporcionalidad y porcentajes. Escalas.

Ubicar e identificar puntos en el plano por medio de sus coordenadas cartesianas. Interpretar gráficos en situaciones contextualizadas. Reconocer el gráfico que representa una situación dada. Identificar funciones, variable independiente y variable dependiente. Trabajar con diferentes registros de una función. Modelizar situaciones de proporcionalidad utilizando gráficos y tablas de valores.

Plantear proporciones, saber verificar si lo son y calcular uno de sus elementos dados los otros tres. Reconocer si una situación puede modelizarse por medio de una proporcionalidad. Calcular las constantes de proporcionalidad y otorgarles un significado en el contexto de trabajo. Resolver situaciones que requieran la proporcionalidad. Aplicar la proporcionalidad para determinar porcentajes y trabajar con escalas.

Calcular áreas de figuras complejas, subdividiéndolas en otras más sencillas.

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Identificación de sucesos aleatorios. Clasificación de sucesos en imposibles, poco probables, probables, muy probables o seguros. Determinación de si un suceso es más probable que otro. Cálculo de probabilidades. Organización de datos estadísticos. Construcción de tablas de frecuencias. Elaboración e interpretación de diversos gráficos estadísticos. Uso de gráficos estadísticos como organizadores de la información. Cálculo y comparación de medidas de tendencia central. Análisis de su variación de acuerdo con el cambio de uno o más valores. Cuestionamiento de su representatividad en diferentes situaciones. Establecimiento de relaciones entre probabilidad y frecuencia relativa.

Sucesos más probables o menos probables. Cálculo de probabilidades. Estadística: recolección y organización de datos. Gráficos estadísticos. Promedio, moda y mediana.

Probabilidad y estadística

Área y volumen

Cuerpos geométricos.

Identificación de poliedros por sus nombres y reconocimiento de la forma de sus caras a partir de ciertos datos. Establecimiento de la relación de Euler. Diferenciación entre poliedros y cuerpos de rotación. Anticipación de la forma que tendrá un cuerpo que se genera al rotar 360º una figura plana. Identificación de rectas y planos, y sus posiciones relativas en contextos cotidianos y a partir de caras y aristas de poliedros. Anticipación de la figura que puede obtenerse a partir de cortar un poliedro con un plano. Dibujo del desarrollo plano de diferentes cuerpos geométricos e identificación de relaciones entre distintas longitudes de esos desarrollos. Cálculo de áreas laterales, totales y volúmenes de cuerpos geométricos. Establecimiento y uso de la relación entre las unidades de volumen y capacidad.

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS

Poliedros y cuerpos redondos o de rotación. Posiciones relativas de rectas y planos. Desarrollos de cuerpos geométricos. Áreas lateral y total. Volumen y capacidad.

CONTENIDOS

Identificar sucesos aleatorios. Clasificar sucesos en imposibles, poco probables, probables, muy probables o seguros. Comparar sucesos según la probabilidad de que se produzcan. Calcular probabilidades simples. Organizar datos estadísticos. Determinar frecuencias absoluta, relativa y porcentual a partir de un conjunto de datos. Construir e interpretar distintos gráficos estadísticos. Calcular y comparar medidas de tendencia central (media, moda y mediana); analizar su variación y pertinencia. Interpretar la frecuencia relativa como una probabilidad.

Identificar cuerpos geométricos por su nombre y reconocer las figuras que forman sus caras. Relacionar la cantidad de caras con la cantidad de aristas y vértices de un poliedro. Reconocer cuerpos de rotación y la forma en que se generan a partir de rotar una figura plana. Dibujar e interpretar el desarrollo plano de un cuerpo, y establecer relaciones entre las diferentes figuras que lo componen. Calcular áreas laterales, totales y volúmenes de cuerpos geométricos. Reconocer y utilizar la equivalencia entre unidades de capacidad y de volumen.

EXPECTATIVAS DE LOGRO

Recursos para la planificación

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Soluciones Capítulo 1

16 a. 64 · 32 b. 83 · 25 17 a. 102 = 100 104 = 10.000 106 = 1.000.000 103 = 1.000 105 = 100.000 109 = 1.000.000.000 b. 107; 1011; 1013.

Para empezar 12 varones. 1 33 años.

18 a. Son 8 = 23 números posibles. b. 24 = 16; 34 = 81.

2 Como mínimo: 5 de 5 y 2 de 3. Como máximo: 9 de 3 y 1 de 4.

19 1 = 12 1 + 3 = 22 1 + 3 + 5 = 32 1 + 3 + 5 + 7 = 42

3 13 semanas. 4 A $ 75 cada una. 5 De izquierda a derecha en las casillas: 310, 330, 410 y 430. 350 se ubica a 1 cm de 330, y 370, a 2 cm de 330. 6 a. (98 + 102) + (36 + 64) = 200 + 100 = 300 b. (31.600 + 8.400) + (910 + 90) = 41.000 7 No, porque (20 – 6) – 4 = 10 y 20 – (6 – 4) = 18. 8 538 – (30 + 8) – 100 = 400 17 – 4 – (8 – 5) = 10 94 – (20 – 3 + 7) = 70 9 Al pulsar 1.783 ÷ 17 = se ve que el cociente de la división entera es 104 (es la parte entera del número que aparece en el visor); luego se puede pulsar 104 × 17 = y restar el resultado (1.768) a 1.783. De esa manera se obtiene el resto (15).

10 35 · 34 = 7 · 5 · 17 · 2 = (7 · 17) · (5 · 2) = 119 · 10 = 1.190 11 a. 15 b. 7 · c. 78 d. 31

· 99 = 1.500 – 15 = 1.485 990 = 7.000 – 70 = 6.930 · 101 = 7.800 + 78 = 7.878 · 12 = 310 + 62 = 372

12 a. 6 · 6 · 6 · 6 · 6 = 7.776

b. 65

13 En cada caja: 5 · 5 = 52 = 25. En total: 5 · 5 · 5 · 5 = 54 = 625.

21 a. I. 79 III. 910 V. 413 II. 54 IV. 106 VI. 46 b. I. 4 II. 4 III. 0 22 a. I. 73 II. 45 III. 60 b. I. 1 II. 11 III. 4 23 Sí, ambos dan 58. 24 a. Sí, porque 83 = 64 · 8 y 22 = 36 : 9. b. I. (4 + 3)2 = 49 y 42 + 32 = 25; no da lo mismo. II. (7 – 4)2 = 9 y 72 – 42 = 33; no da lo mismo. 25 a. 63 · 63 = 63 + 3 = 62 · 3 = 66 b. 56 · 56 · 56 = 56 + 6 + 6 = 5 6 · 3 = 518 26 a. 318 c. 38 b. 56 d. 42 27 Hay 12, porque 122 = 144. 28 Hay 7, porque 73 = 343.

14 63 = 216 15 a. 4 · 4 · 4 = 64 b. 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 c. 9 · 9 = 81

20 a. La regla consiste en seguir escribiendo los números impares consecutivos; así, la 4.ª fila se completa con 23, 25, 27 y 29; la 5.ª fila, con 31, 33, 35, 37, 39 y 41, y la 6.ª fila, con 43, 45, 47, 49, 51, 53 y 55. La suma de la 4.ª fila es 64 = 43; la de la 5.ª es 125 = 53; la de la 6.ª es 216 = 63, y la de la 7.ª es 343 = 73. b. El cubo de 8, o sea, 83 = 512. c. Suman 103, o sea, 1.000 (la suma de los números de cada renglón es igual al cubo del N.º de renglón).

d. 1 e. 0 f. 7 · 7 = 49

29 Valentina: 11; Joaquín: 4; Ivana: 1. 30 a. 4 c. 10 e. 7 g. 5 b. 8 d. 9 f. 3 h. 10

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b. Es un cuadrado de 12 cm de lado.

46 300 – 172 = 11

32 a. Sí, en ambos casos. b. En el primero, no, porque la raíz de la suma es 130, mientras que la suma de las raíces es 50 + 120 = 170; en el 2.º, no, porque la raíz de la resta es 60, mientras que la resta de las raíces es 100 – 80 = 20.

47 a. 8 b. 1

31 a. 30 cm

33 a. El 1.º debe ser (7 + 3) · 5 = 10 · 5 = 50. b. El 1.º debe ser (26 – 6) · 3 = 20 · 3 = 60. c. El 1.º debe ser (38 – 23) : 2 = 15.

(

)

d. El 2.º debe ser 42 – 4 + 36 : 2 = 10 .

48 a. 5 · 4 = 20 intentos. b. 4 49 a. 34 = 81; 35 = 243. b. A 311 = 177.147 personas. c. A 511 = 48.828.125 personas. 50 En ese caso sí da lo mismo, pero no significa que la potenciación cumple la propiedad conmutativa, ya que, por ejemplo 23 es 8, mientras que 32 es 9. 51 79 termina en 7; 720 termina en 1; 72.010 termina en 9.

35 a. 43 e. 4 b. 46 f. 164 c. 14 g. 0 d. 18 36 El número es 960.387. 37 a. Como la mayor potencia de 10 que figura tiene exponente 4, el número tiene 4 + 1 = 5 cifras. El número es 36.018. b. Tiene 6 cifras; el número es 209.045. c. Tiene 7 cifras. El número es 3.070.850. 38 4.709 = 4 · 103 + 7 · 102 + 9; 85.003 = 8 · 104 + 5 · 103 + 3. 39 a. 1 · 32 + 0 · 16 + 0 · 8 + 1 · 4 + 1 · 2 + 0 · 1 1 · 25 + 0 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20 b. 2 → 10 3 → 11 5 → 101 10 → 1010 42 → 101010 c. 100 → 4 1101 → 13 10100 → 20 100011 → 35 40 Es 25.

52 Entre 7 y 8, porque 72 = 49 y 82 = 64. 53 $ 120.000 54 a. 2 b. 8 c. 29 55 Son noventa. Se puede razonar así: los que empiezan con 1, terminan en 1, por lo tanto, hay que considerar que la cifra de las decenas puede tomar diez valores (del 0 al 9); lo mismo se cumple con los que comienzan con 2, y así sucesivamente hasta los que empiezan con 9, o sea, en cada centena hay 10 casos; como son 9 centenas, en total hay 9 · 10 = 90 números capicúas. 56 El número es 11.111.111.111, sus cifras suman 11. 57 a. 55 = 1 · 25 + 1 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20 = = 1101112 b. 63; 58; 17. 58 A cargo de los alumnos.

Capítulo 2

41 Pudo haber hecho 250 · (10 + 4) = 2.500 + 1.000 = = 3.500.

Para empezar 54

42 48 y 0; 49 y 1; 50 y 2; 51 y 3.

1 a. 18 no, porque no es divisor de 60. 20 sí, porque 60 = 20 · 3; cada uno comió 3 bocaditos. b. 12, 15, 20, 30 o 60. c. 4 sí, si participaron 15 personas. 8 no, porque no es divisor de 60.

43 Diana pensó el número 54. 44 a. Cociente: 11.307; resto: 34. b. Cociente: 87; resto: 190. 45 La primera respuesta es sí, porque se cumple la propiedad distributiva (5 = 3 + 2); la segunda es no, porque la propiedad distributiva no se cumple (2 no es igual que 3 + 6).

2 Por ejemplo: 66, 72, 78, 84, 90. 3 Hay que tachar “45 es divisor de 9” y “9 es múltiplo de 45”.

34 a. No; debería dar 20. b. (38 + 20) : 2 – 9 = 20

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4 Con rojo: 6, 8, 9, 16, 18 y 72. Con azul: 8, 16, 40, 72, 96, 104 y 800.

18 Son 2 y 3. Tiene razón, porque si otros dos números son consecutivos, uno de ellos es par y, por lo tanto, no es primo.

5 De 4, la D y la F. De 5, la C, la E y la F. 6 No lo es, porque 21 · 100 = 2.100, que es distinto de 2.114.

19 Es compuesto, porque además de sí mismo y del 1, tiene el 3 como divisor. 20 a.

7 Sí, porque 221 tiene 13 como factor.

N.º

Dos factores

Tres factores

2·4

2·2·2

2 · 10 o 4·5

2·2·5

9 a. Puede ser cualquiera que termine en 5. b. Puede ser cualquiera que termine en 0 o en 8. c. Puede ser cualquiera que termine en 50 o en 58. d. Puede ser cualquiera que termine en 0.

9·5 o 3 · 15

3·3·5

10 29, 31 y 37.

7 · 10, 35 · 2 o 14 · 5

2·5·7

100

2 · 50, 4 · 25, 5 · 20 o 10 · 10.

10 · 2 · 5, 4·5·5 o 25 · 2 · 2

8 Es cierto que cualquier número divisible por 9 es múltiplo de 3, pero no que cualquier múltiplo de 3 es divisible por 9 (por ejemplo, 6 es múltiplo de 3 y no de 9).

11 12 14 15 17 18 19

Sí Sí Sí No Sí No

3 equipos de 4 o 4 de 3, o 6 de 2, o 2 de 6. 2 de 7 o 7 de 2. 3 de 5 o 5 de 3. 3 de 6, 6 de 3, 2 de 9 o 9 de 2.

Cuatro factores 2·2·2·1 o 2·4·1·1 2 · 2 · 5 · 1, 4·5·1·1 o 2 · 10 · 1 · 1 3 · 3 · 5 · 1, 9·5·1·1 o 3 · 15 · 1 · 1 2 · 5 · 7 · 1, 10 · 7 · 1 · 1, 2 · 35 · 1 · 1 o 5 · 14 · 1 · 1 2·5·2·5

b. Hay que pintar las de 3 factores, excepto la del 100 y la de 4 factores correspondiente a 100. 21 a. 22 · 3 · 7 c. 2 · 32 · 52 e. 23 · 3 · 7 b. 52 · 13 d. 22 · 33 · 5 f. 3 · 5 · 72 · 11

12 10

1, 2, 5 y 10.

Compuesto

1 y 13.

Primo

1, 2, 7 y 14.

Compuesto

1 y 41.

Primo

1, 7 y 49.

Compuesto

1 y 61.

Primo

22 23 · 32 · 5; 25 · 3 · 5. 23 a. 24 c. 23 · 3 e. 23 · 7 b. 25 d. 23 · 5 f. 23 · 11 24 25 · 55; 27 · 57.

25 a. No. b. Sí. c. Sí. d. No. 13 1.420 no, porque como termina en 0, es múltiplo de 10, por lo tanto, tiene más de 2 divisores naturales. 501 no, porque como 5 + 0 + 1 = 6, es múltiplo de 3. 785 no, porque como termina en 5, es divisible por 5. 93.204 no, porque es par. Es 853.

26 I. La II. La III. La IV. La V. La

14 Que no, porque, por ejemplo, 33 y 63 no son primos.

27 Dentro de 30 días.

15 Sí, porque no es divisible por 2, 3, 4, 5, 6, 7 ni 8.

28 a. 48 b. 360 c. 432 d. 12.960

16 Porque, salvo 2 y 5, los demás son impares (ya que si no serían múltiplos de 2) y no pueden terminar en 5 (ya que serían divisibles por 5).

29 120 monedas.

17 71, 73, 79, 83, 89 y 97.

31 6 cuadrados de 16 cm de lado.

D, porque tiene 2 y 5 como factores. C, porque tiene 5 como factor. A, porque tiene 2 como factor. B, porque tiene 3 y 7 como factores. A, porque tiene 24 como factor.

30 a. Cada 90 segundos. b. 41 veces.

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32 a. 12 b. 33 c. 63 d. 42

50 78 = 2 · 3 · 13; sí.

33 a. I. 4/75 II. 2/3 III. 65/99 b. Sí.

51 Por ejemplo, 100 = 22 · 52; 200 = 23 · 52; 400 = 24 · 52; 500 = 22 · 53; 700 = 22 · 52 · 7; 800 = 25 · 52.

34 18 collares, cada uno con 3 piedritas verdes, 4 blancas y 2 azules.

52 195 = 3 · 5 · 13; 3, 5, 13, 15, 39 y 65. 53 Sí, si el mayor es múltiplo del menor.

35 5 de Europa y 7 de Asia, cada uno con 8 estampillas. 36 La tabla se completa de arriba hacia abajo con: 8 · 3 = 24; 3 · L; 5 · 4 = 20; 4 · L.

54 No, porque votarían 354 en el primer colegio, 470 en el segundo y 592 en el tercero (es muy desparejo). 55 5, 10, 20 o 40.

37 a. 3 · A b. 40 m c. La 1.ª, la 2.ª y la 4.ª. 38 a. 2 · H d. N3 + 1 b. A – B e. R : 4 c. M – 1 f. Por ejemplo, N + N + 1 = 2 · N + 1. 39 a. Con 5 · N (porque esa es la expresión de un múltiplo de 5); con 5 · N – 5 (porque si a un múltiplo de 5 se le resta 5, se obtiene el múltiplo de 5 anterior); con 10 · N (porque es 2 · 5 · N, que tiene 5 como factor) y con 15 · N + 5 (porque 15 · N = = 3 · 5 · N, o sea, es múltiplo de 5, y si se le suma 5, se obtiene el siguiente múltiplo de 5). b. Con 2 · N + 1, porque 2 · N es par, por lo tanto, su siguiente es impar; con 4 · N + 1 porque 4 · N = 2 · 2 · N, o sea, es par, por lo tanto su siguiente es impar, y con 6 · N + 3, porque 6 · N = 2 · 3 · N, o sea, es par, y al sumarle 3, se obtiene el siguiente del siguiente del siguiente, que es impar.

56 Hay infinitos; cualquier múltiplo de 14 en el que el 2 figure una sola vez como factor. 57 Sol

Ana

Juan

Leo

2·x+6

2·x–8

2·x

58 a. P = 2 · G + 4 · C b. Caballos = P : 4

Capítulo 3 Para empezar Se puede marcar el punto medio de 3 lados no consecutivos y unirlos. 1 Opuestos por el vértice: A y C. Adyacentes: O y A, C y O.

41 De tres formas: en 6 filas de 26, 4 filas de 39 o 3 filas de 52.

2 a. Por ejemplo: L y J, D y B, A y C. b. G y E. Son opuestos por el vértice e iguales.

42 9; sí, porque es múltiplo de 3 y de 5.

3 A cargo de los alumnos.

43 a. 1, 4 o 7. b. I. 1, 4 o 7. II. 2, 5 u 8. III. 3, 6 o 9.

46 No, porque 12 es divisible por 6 y por 4, pero no por 24.

4 a. Sí, suman 90º. b. (90º – B) – C = 3º 40’ 41’’ c. 147º 38’ 29’’ 5 a. 131º 18’ b. 10º 54’ 40’’ c. 295º 9’ d. 49º 11’ 30’’

47 a. No. b. Sí, porque 2 y 3 son factores.

6 35º 45’

48 Es compuesto, porque además de ser divisible por sí mismo y por 1, es divisible por 7.

7 23 h 17 min 51 seg

44 a. 1236, 1600, 2000 y 2008. b. 2012 45 a. Es par, porque el 2 es factor. b. Sí; no; sí; no.

49 A la suma, sí (por ejemplo, 5 = 2 + 3; 7 = 2 + 5; 13 = = 2 + 11). Al producto, no, porque tendría más de dos divisores naturales.

8 20 min 4 seg 9 11 min 16,5 seg

40 a. 261 b. Sí, porque 2 + 6 + 1 = 9.

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11 Hay que trazar un segmento perpendicular a L que tenga sus extremos en p y en L, y medir su longitud; lo mismo con la recta M. Alcanza con una escuadra graduada.

e. Se coloca un triángulo “deslizado un poco sobre el lado de otro” y se forma un hexágono cóncavo. Si se pusiera como condición que los triángulos deben tener un lado en común, al hexágono formado en el ítem c. se le quitan dos piezas y queda un hexágono cóncavo.

12 Se considera la recta que contiene el lado qr y se procede como en la actividad 11 (se estará trazando la altura correspondiente al lado qr del triángulo).

22 d. No, en ninguno de los dos casos; la longitud de cada lado debe ser menor que la suma de las longitudes de los otros dos.

10 36 min 23 seg

13 La recta roja es paralela al segmento; la distancia entre la recta y el segmento es de 1,5 cm.

23 a. Consideró que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a 180º. b.

14 Basta con trazar la mediatriz del segmento con el compás y una regla no graduada. 15 a. A cargo de los alumnos. b. Los segmentos pq y pa son iguales, pero también los son pa y pb, ya que p pertenece a la mediatriz de ab; entonces, pq, pa y pb son radios de la circunferencia de centro p que pasa por q, por lo tanto, esta pasa por a y por b.

A B C D

6 8 5 7

4 6 3 5

4 · 180º = 720º 6 · 180º = 1.080º 3 · 180º = 540º 5 · 180º = 900º

24 En todos se forman 2 triángulos. Los ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360º. 25 a. 9 lados; 1.260º. b. 10 vértices.

16 a. 4 cm c. Sí, porque ninguna cuerda puede ser mayor que el diámetro, que es de 4 cm. e. I. Los rojos. II. Los azules. III. Mayor que el radio. 17 a. A, C, E, F, H, I. b. Cóncavas: B, D, G. Convexas: A, C, E, F, H, I. Regulares: A, C, F. Cuadriláteros: C, E, H, I. c. C: cuadrado; E: trapecio; H: trapezoide; I: paralelogramo común.

26 a. 11

1.620º

1.800º

1.980º

2.160º

2.340º

b. 180º c. Sumando 180º a la SAI del polígono de 15 lados: 2.340º + 180º = 2.520º. 27 a. Triángulo equilátero; cuadrado. b. En el triángulo: 60º. En el cuadrilátero: 90º. c. 5

108º

120º

135º

140º

144º

18 a. A cargo de los alumnos. b. No. 19 Se trazan dos arcos cuyos radios coinciden con la distancia entre a y b, uno con centro en a y el otro con centro en b. Donde se cortan se puede ubicar el tercer vértice del triángulo. 20 En ambos casos se forma un rombo. 21 a. Tres. b. Se colocan 3 triángulos consecutivos, de modo que el 2.º tenga un lado en común con el 1.º, y el 3.º con el 2.º; el 1.º y el 3.º tienen un lado apoyado sobre la misma recta (forman la base mayor del trapecio). c. Se construye con 6 piezas. d. Dos (ya que no se especifica que las piezas deben tener un lado en común; si se pusiera esa condición, serían 4).

28 Ángulo interior: 128º 34’ 17,1’’. Ángulo central: 51º 25’ 42,86’’. 29 a. Por b. Por c. Por d. Por

ejemplo: ejemplo: ejemplo: ejemplo:

gof y foe. god y doc. gof y cob. aob y bod.

30 Mide 180º – 107º = 73º. 31 a. 90º y 52º 10’ 8’’. b. 43º 18’’ y 93º 59’ 24’’. 32 a. 69º 27’ 39’’ b. 300º 59’ 56’’ c. 116º 53’ 33 37 min 20 seg

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34 A todos debería sucederles lo mismo, ya que los puntos de la bisectriz de un ángulo equidistan de sus lados.

5 6; 9.

35 Es así porque la recta perpendicular a pq que pasa por w (punto medio de pq) es su mediatriz.

7 Verdes: 27. Rojas: 14. Azules lisas: 12.

36 Son paralelas.

8 $ 88; $ 33.

37 Al cortar el triángulo rectángulo, un trapecio rectángulo y un triángulo rectángulo; al cortar el isósceles, un trapecio isósceles y un triángulo isósceles; al cortar el escaleno, un trapecio común y un triángulo escaleno.

9 20 km

38 a. Sí, porque la longitud de cada lado es menor que la suma de las longitudes de los otros dos. b. No, porque 14 cm > 9 cm + 4 cm.

12 a. 7,083 = 7.083/1.000 b. 1,2013 = 12.013/10.000

39 540º 40 b. El centro de la circunferencia se puede determinar trazando las diagonales del cuadrado. c. La diagonal del cuadrado mide 2 veces el radio de la circunferencia. 41 a. 158º 49’ 24,7’’ b. 21º 10’ 35,29’’ 42 a. 18 b. 20º

6 • 14/29; 3/14. • 3; 5. • 7/15 Azules rayadas: 10.

10 3,79; 0,059; 18,9; 0,07. 11 409/100; 6.103/1.000; 7.803/10; 35/10.

13 a. 8,731 b. 230,095 c. 70,2306 d. 350,28047 14 a. 27/50 = 0,54 = 54/100 b. 11/20 = 0,55 = 55/100 c. 13/8 = 1,625 = 1.625/1.000 d. 17/125 = 0,136 = 136/1.000 15 37 cm = 37/100 m = 0,37 m 75 g = 75/1.000 kg = 0,075 kg

43 a. 24º b. 18º

45 Los ángulos interiores son cada vez más grandes; los ángulos centrales son cada vez más pequeños.

Capítulo 4 Nota: las fracciones aquí aparecen escritas en un solo renglón, pero es importante que a los alumnos se las presentemos en la forma habitual. Para empezar 180 cm; 45 cm. 1 Para 9/8, porque el numerador es mayor que el denominador. 2 13/8 = 1 5/8

16 a. 1/2 b. 1/4 c. 3/4 d. 1/8

km = 0,5 km = 500 m L = 0,25 L = 250 ml m = 0,75 m = 75 cm kg = 0,125 kg = 125 g

17 a. 3/20 = 0,15  b. 7/3 = 2,3  c. 11/9 = 12 ,  d. 463/90 = 5,14 18 a. De color A: 45/36; 15/12; 1 1/4 y 1,25. De color B: 12/32; 36/96 y 0,375. De color C: 42/30; 1,4; 21/15; 140/100 y 14 décimos. b. A: 5/4 B: 3/8 C: 7/5  19 176/72 = 22/9 = 2,4  49/126 = 7/18 = 0,38 60/192 = 5/16 = 0,3125 Queda suelta 2,44 = 61/25.

3 10 alfajores.

20 Más tiempo, a estudiar; menos tiempo, a jugar. Se pueden expresar 1/3 y 1/4 con fracciones equivalentes de denominador 12 y comparar las tres.

4 Hay que dibujar 6 cm más.

21 1.º A.

44 a. 40 b. 14

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22 El predominante es naranja; hay menos cantidad de durazno.

39 1.er día: 35 km; 2.º día: 42 km; 3.er día: 28 km = 4/15 del camino.

23 a. Casuarinas; paraísos. b. Las casuarinas en ambos casos, porque 2/5 = 4/10 = 0,4 y 10/25 = 2/5.

40 3/8

24 a. > d. < b. < e. > c. = f. = 25 a. 7,555 b. 33/100

c. 1/5

d. 166/100

 26 a. 8,07 < 8,2 < 8,2 < 8,45 < 8,5 < 8,67 b. 23/20 < 11/8 < 8/5 < 7/4 27 En la 1.ª rayita: 2,3; en la 3.ª: 2,32; en la 5.ª: 2,34; en la 8.ª: 2,37; en la última: 2,4.

41 a. 308/100 = 3,08 b. 12.014/1.000 = 12,014 c. 90.307/10.000 = 9,0307 d. 8.709/10 = 870,9 e. 11.015/100 = 110,15 42 Por ejemplo, para que apareciese 0,9: se podría hacer 9 ÷ 10; para 7,6: 76 ÷ 10; para 2,19: 219 ÷ 100; para 4,05: 405 ÷ 100, y para 8,007: 8.007 ÷ 1.000. 43 A = 391; B = 100; C = 0,037; D = 3; E = 10; F = 0,0017. 44 3/4 = 0,75

28 a. 0 y 1. b. 1 y 2. c. 2 y 3. 29 a. A = 1/3 B = 5/6 C = 7/6 D = 11/6 1/2 está en la primera rayita a la derecha de A. 4/3 está en la primera rayita a la derecha de C. b. 0,5 está a 2 cm del 0; 1 está a 4 cm del 0; 2 está a 8 cm del 0, y 2,25 está a 9 cm del 0. c. 1/6 está a 2 cm del 0; 5/12 está a 5 cm del 0, y 0,75 está a 9 cm del 0. 30 Por ejemplo, 19/48. 31 Por ejemplo: a. 1,25 < 1,3 < 1,35 b. 2,145 < 2,15 < 2,155 c. 7,251 < 7,256 < 7,259

5/16 = 0,3125  (exacta). 100/75 = 1,3 (periódica). 4/625 = 0,0064  (exacta). 25/60 = 0,416 (periódica).

 46 a. 33,3  cm b. 166,6 ml c. 444,4 kg d. 4,375  mm e. 2777 , g 47 1/1, 2/1, 3/1, 4/1, 1/2, 1/3, 1/4, 2/3, 3/2, 3/4, 4/3.

32 a. Puede ser 5, 6, 7, 8 o 9. b. 0, 1, 2, 3 o 4.

269/200 = 1,345  121/9 = 13,4  1.213/90 = 13,47

45 7/20 = 0,35 (exacta). 10/13 = 0769230 , (periódica).

1,3

1,35

13,4

13,44

13,5

13,48

34 Redondeo: 2,1 Truncamiento: 2 La de redondeo está más cerca del valor real. 35 Redondean. Por ejemplo, si el precio del litro fuese $ 3,099, cargar 45 L costaría $ 139,455. Redondeado es $ 139,46, mientras que truncado es $ 139,45. 36 35/14 = 5/2 = 2,5 chocolates. 37 1/4 h, 2/3 h y 3/2 h, respectivamente. 38 Barcos: 5/24 del total. Paisajes: 36; monumentos: 40; barcos: 20.

48 16/20 y 24/30. La irreducible es 4/5. 49 No, porque si una es irreducible y se quiere escribir otra equivalente, hay que multiplicar el numerador y el denominador por un número distinto de 0 y de 1, con lo cual, la nueva no sería irreducible. 50 5,203 < 5,23 < 5,233 < 471/90 < 27/5 51 34/15 52 7/5 está a 3,5 cm del 0; 6/15 está a 1 cm del 0 y 2,1 está a 5,25 cm del 0. 53 a. A representa 3,2. b. B representa 9,718. 54 Por ejemplo: 3,121, 3,1215 y 3,1219. 55 Sí, por ejemplo, estos nueve: 3,11; 3,12; 3,13; 3,14; 3,15; 3,16; 3,17; 3,18 y 3,19. Uno más, sí; por ejemplo, 3,1151.

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Diez más, también; por ejemplo: 3,111; 3,112; 3,113; 3,114; 3,115; 3,116; 3,117; 3,118; 3,119 y 3,1195.

56 Redondeo a…

3,466

3,5

los centésimos 3,47

0,679

0,7

0,68

6,319

6,3

6,32

0,029  8,5

0,0

0,03

8,6

8,56

las unidades los décimos

11 3/5 · 1/2 = 3/10 12 $ 568,51 13 a. 35/10 · 4/5 = 14/5 b. 5/4 · 24/10 = 3 c. 2/5 · 18/10 = 18/25 d. 49/10 · 5/2 = 49/4

3,5 · 1,25 0,4 · 4,9 ·

0,8 = 2,8 · 2,4 = 3 1,8 = 0,72 2,5 = 12,25

14 a. 7,9 d. 0,1 b. 23.060 e. 0,001 c. 8.430 f. 0,01 15 $ 19,60 16 a. 7/5 b. 9/7 c. 8/1 d. 1/6

Truncamiento a…

3,466

3,4

los centésimos 3,46

0,679

0,6

0,67

6,319

6,3

6,31

0,029  8,5

0,0

0,02

8,5

8,55

las unidades los décimos

57 A los décimos: 13,0; a los centésimos: 13,00 y a los milésimos: 13,000.

Capítulo 5 Para empezar a. 7/10 11/28 11/24 17/24 b. 3/4 = 1/4 + 1/2

17 a. 3 veces. b. 2/3 : 2/9 = 2/3 · 9/2 = 3 c. 20/6 : 2/9 = 10/3 · 9/2 = 15 Caben 15 veces. 18 a. 35/3 b. 3/2 c. 5/7 19 a. (405/10) : (9/4) = (405/10) · (4/9) = 18 b. (405/10) : (3/4) = (405/10) · (4/3) = 54 20 120 bolsitas. 21 a. 89; 345; 2.675. b. Que dividir por 0,1 equivale a multiplicar por 10, dividir por 0,01 equivale a multiplicar por 100 y dividir por 0,001 equivale a multiplicar por 1.000. c. Hay que unir la 1.ª con el 3.º; la 2.ª con el 2.º; la 3.ª con el 3.º; la 4.ª con el 1.º; la 5.ª con el 3.º, y la 6.ª con el 3.º. 22 a. 600 b. 1.000

2 1/3; Lucas.

23 a. 25,5 m b. 5,66 m de ancho y 12,5 m de largo.

3 1/8

24 La 2.ª, la 3.ª y la 4.ª.

4 1/20

25 (1/2)3 = 1/8

5 1/8; 56.

26 a. (1/4)2 = 1/16 b. (1/3)3 = 1/27

6 5,9 ºC

27 a. 3/4 b. (3/4)2 = 9/16

7 Sí, porque llegarían a 249,19 kg.

28 a. 6/11 d. 0,0025 g. 11/6 b. 9/13 e. 0,008 h. 0 c. 2/5 f. 0,004 i. 0

8 a. 2/4 = 1/2 b. La 2.ª, la 3.ª y la 4.ª. 9 a. $ 55; $ 35. b. 2/3 · 3/12 = 1/6 10 a. 3/4 c. 4/25 b. 3/2 d. 1/6

29 a. En el 1.º hay que pintar 1/8 más; en el 2.º, 4 cuadraditos más; en el 3.º, 5 sectores más. b. 6/8 = 75%; 4/5 = 80%; 7/20 = 35%; 9/15 = 60%.

1 1/7, 2/7 o 3/7.

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51 a. $ 22,80 b. Sí, porque en ambos casos paga la misma cantidad: $ 95 · 0,60 · 0,40.

30 a. 20% y 5%. b. $ 84,60 c. El 75%. 31

Ninguno de los anteriores 32

3/10

7/20

3/20

1/5

30%

35%

15%

20%

100%

Chocolate

Frutilla

D. de leche

Total 160

32 0,75 m2; el 75%. 33 a. 23/4 c. 2,45 = 49/20 b. 3,1 = 31/10 d. 71/24 34 1,675 kg; $ 6,70. 35 a. 27,02 seg b. 0,04 seg más. 36 84 estrellas. 37 2 kg 38 a. 1/9 b. 15/7 c. 63/11 39 $ 42,20 40 11/2 41 Por 0,01; 100; 0,001; 0,1 y 10, respectivamente. 42 a. 447,72 c. 4,4772 b. 447,72 d. 4,4772 43 32,76 dólares. 44 $ 94,38 45 14 pedacitos. 46 1/16

47 Tiene 14,5 m de lado. 48 (0,5)3 = 1/8 0,252 = 1/16 (1/5)2 = 0,04

1 / 64 = 1 / 8

22 / 100 = 0,2

1 / 64 = 0,25

49 a. 0 b. 8/3

52 Son iguales.

Capítulo 6 Para empezar Mide 6.308,02 km aproximadamente. 1 a. 25 cm b. Faltan datos. c. 36 cm d. Faltan datos. e. 40 cm

f. 56 cm g. 10 cm h. 22 cm i. Faltan datos. j. 24 cm

2 a. 21 m2

b. 20 m

3 1,44 km2 4 a. 135.000 m2

b. $ 1.566.000

5 6 m2 6 40 m2 7 a. 8,25 cm2

b. 3,3 cm

8 21 cm2 9 a. 63 m2 b. 24 cm2 c. 37,5 cm2 10 a. Sí, porque (40 m · 20 m) : 2 = 400 m2. b. 11 cm 11 72 cm 12 No, porque el perímetro es de 240 cm = 2,4 m. 13 a. A cargo de los alumnos. b. Probablemente no. 14 a. Por ejemplo, uno de 3 cm de base y 4 cm de altura y el otro de 2 cm de base y 6 cm de altura. Ambos tienen 12 cm2 de área, pero sus perímetros son de 14 cm y 16 cm, respectivamente. b. Por ejemplo, uno de 1 cm de base y 5 cm de altura y otro de 2 cm de base y 4 cm de altura. Ambos tienen un perímetro de 12 cm, pero sus áreas son de 5 cm2 y 8 cm2, respectivamente.

50 Violeta: 15%; celeste: 30%.

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15 a. Por ejemplo:

36 10,5 cm 37 a. 30 cm2 b. 64 cm2 c. 375 cm2 38 100 cm = 10 dm = 1 m 39 200 dm2

b. Es el que tiene forma de cuadrado. 16 Por ejemplo:

40 3.000 cm2 41 50 cm2 42 a. 900 baldosas. b. Más pequeñas; hay 2 cm de diferencia. 43 2.037 m2

17 a. 24 m2 b. 17 m2 c. 134,5 m2

44 175 m2

18 191 m2

45 64 cm2

19 a. 12,5 m2 b. 27 m2

46 688 m2

20 2,5 cm

47 6,93 cm aproximadamente.

21 130,2 m2

48 837,33 cm aproximadamente.

22 5,19 m aproximadamente.

49 15 cm; 20 cm.

23 5 cm

50 243 cm2

24 a. 129 m2

b. 172 m2

c. 129 m2

51 50,24 cm2

25 12,56 m

52 a. 3,14 m2 b. 6,28 m2

26 21,98 m

53 6,57 cm2

27 25,12 m c. 94,2 cm

29 3,98 cm aproximadamente. 30 a. 6,28 cm c. 12,56 cm b. 18,84 cm d. 25,12 cm 31 28,26 cm

32 a. 3,5325 m2

b. 17,27 m2

33 Al área del círculo de 11 m de radio le resta el área del círculo de 5 m de radio. El área de la corona circular es de 301,44 m2. 34 No, porque una circunferencia o un arco de circunferencia son líneas, no tienen superficie. 35 10,75 m2

Capítulo 7 Para empezar Miel Blanca, porque 105/3 > 120/5. 1 a. Se conserva, porque 10/8 = 15/12 = 1,25. b. Sí, porque 500/750 = 8/12. c. 25 porciones: 20 huevos; 5 porciones: 4 huevos. d. La esencia de vainilla, porque para 10 porciones se usan 10 ml y para 15 no se utilizan 15 ml. 2 La de Fabián y la de Analía. 3 La de la abuela, porque 1,5/5 > 1/4. 4 a. 140 árboles.

b. 42 casas.

 5 Hay que rodear a. y d.; los cocientes son 0,3 y 1,4, respectivamente.

28 a. 150,72 cm b. 15,7 cm

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12 a. 64 cm2 b. 25,6 cm

6 a. 1 b. 6 c. 60 d. 17 7 a.

13 a. 5

2,5

0,4

b. Hay varias estrategias. Por ejemplo, para hallar el “4”, se puede plantear: 5/2 = 10/x → x = (2 · 10)/5.

b. Sí, porque los productos entre las cantidades que se corresponden es siempre el mismo: 96, que es la constante de proporcionalidad; significa las horas que dura el gas de la garrafa.

8 a. Pinturín. Constante de proporcionalidad: 3 m2/L. 1

7,5

14 a. La distancia recorrida (300 km). b. 300 : v

22,5

15 a. Inversamente proporcional. b. 900 c. x = (1800 · 0,5) : 0,75 d. 1.200

Colorete. Constante de proporcionalidad: 2,5 m2/L. 1

2,5

b. La cantidad de m2 que cubre 1 L de pintura. c. Pinturín, porque 1 L de pintura cubre más superficie (la constante de proporcionalidad es mayor). 9 2

198

6·n

160

8·n

17 a. 40/100 = x/680 b. 272 18 a. $ 2.000 b. No, porque 100 ml no es el 25% de 450 ml. c. El de Matilda, porque el interés es del 15% (en el de Julia es del 12%). 19 a. Trigo: 37,5%. Girasol: 12,5%. Frutales: 15%. Maíz: 35%. b. Trigo: 675 ha. Girasol: 225 ha. Frutales: 270 ha. Maíz: 630 ha.

10 a. 3

16 a. 14 estantes; hay proporcionalidad inversa. b. $ 260; no hay proporcionalidad. c. 17 botellas; hay proporcionalidad directa.

Hay PD. Constante: 8 porciones/paquete. 20 a. 14 cm b. 1:500 b. 1

12 + 3 · n

21 a. 120 cm b. 11 cm c. En un 25%. 22 V – F – V

No hay proporcionalidad. 23 No mantiene la proporción; 3/8 ≠ 50/124.

c. 2

4,5

20,25

24 a. III; IV; II; I. b. Sí, con la IV, porque 5/4 = 2,5/2. 25 12 cm

No hay proporcionalidad.

26 El celeste, porque el otro iba a 1,1 km/min.

d. 1

4·n

Hay PD. Constante: 4 frascos/kg. 11 No, la edad y la estatura de una persona no son magnitudes directamente proporcionales.

27 a. 3,6 m b. Si se considera el cociente entre la longitud de la sombra y la del objeto, es 1,25. Si se considera el cociente entre la longitud del objeto y la de su sombra, es 0,8. 28 NP – DP – IP – NP – DP

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29 $ 172,10 (aproximado a los décimos).

6 El texto se completa con: 9:00; disminuir; 10:30; 30 min; 12:00; 137,5; 12,5; 12:30.

30 a. 3

120

b. Inversamente proporcional. c. 360º 31 Entre 42 kg y 56 kg. 32 c., e. y f.

7 a. 41 kg al finalizar el mes 7. b. Desde el final del mes 1 hasta el final del mes 4. c. Sí, porque empezó con 42 kg y terminó con 47 kg (5 kg más). 8 a. A partir de los 3 kg. b. A los de 4,5 kg y 5 kg, 3 ml, y al de 11 kg, 14 ml.

9 Gastón:

33 74% 34 Debe medir 2 cm de lado. a. Razón entre los perímetros: 1/3. Razón entre las áreas: 1/9. b. No, porque el perímetro y la medida del lado (l) de un cuadrado son magnitudes directamente proporcionales (Perímetro = 4 · l ), mientras que el área y la medida del lado no lo son (Área = l 2). 35 Nieve: 40% (144º). Lluvia: 10% (36º). Sol: 50% (180º).

Día

Gasto ($)

Día

Gasto ($)

Luara:

10 a. I. Área de los cuadrados (cm2). II. Perímetro de los cuadrados (cm). b. Que si el lado del cuadrado mide 3 cm, su área es de 9 cm2.

Capítulo 8 Para empezar a. A cargo de los alumnos. b. Restaurante: 6 y Zorzal; Teatro: 2 y Diuca. 1 a. A cargo de los alumnos. b. Jazmín. c. Alineadas en diagonal. 2 a. A cargo de los alumnos. b. Se formó un paralelogramo. c. Por ejemplo, d = (8, 1). La respuesta no es única, podría ser (4, 1), (9, 1), etcétera. 3 a. A cargo de los alumnos. b. A cargo de los alumnos. c. Sí, el punto (5, 3). 4 a. Por ejemplo, a = (0, 1) b = (0, 2) c = (0, 3). Cualquier punto cuya abscisa sea 0 quedará ubicado sobre el eje de las ordenadas. b. Por ejemplo, p = (1, 0) q = (2, 0) r = (3, 0). Cualquier punto cuya ordenada sea 0 quedará ubicado sobre el eje de las abscisas. 5 a. La ordenada es el doble que la abscisa. b. Rojo: (0,5, 1). Verde: (4,5, 9).

12 a. Actividad 7: sí, porque a cada número representado en el eje de abscisas le corresponde uno del eje de las ordenadas, o sea, hay un peso determinado para cada momento. Actividad 8: no, porque hay números en el eje de las abscisas que no poseen un valor correspondiente del eje de las ordenadas (si un bebé pesa menos de 3 kg, no hay una dosis indicada). b. Variable independiente: En la act. 7: Mes. En la act. 8: Peso (kg). Variable dependiente: En la act. 7: Peso (kg). En la act. 8: Dosis (ml). c. No siempre; por ejemplo, para un bebé de 4,5 kg y para otro de 5 kg la dosis es la misma; otro tanto sucede, por ejemplo, con un bebé de 12 kg y otro de 13,5 kg. d. El gráfico es paralelo al eje de las abscisas. 13 a. La tabla se completa, de izquierda a derecha, con: 180º; 360º; 540º; 720º; 900º; 1.080º; 1.260º; 1.440º. b. “Lados del polígono (n)” se ubica en el eje horizontal y “SAI (º)”, en el vertical. c. A cargo de los alumnos. d. No, porque no hay polígonos con 1 lado o con 2 lados (la cantidad mínima de lados que puede tener un polígono es 3). 14 a. En el primero es GÉMINIS, porque la cantidad de lentejas puede ser cualquier número, ya que se venden sueltas; en el segundo es NATURIS, ya

11 B – D – A – C

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el N.º de chicos y el costo por persona (en $) correspondiente siempre es $ 600, y se representa con puntos aislados, porque la cantidad de personas siempre será un número entero. El primero se descarta porque representa una relación de proporcionalidad directa; el tercero, porque los puntos del gráfico están unidos.

que como se venden en paquetes de 1 kg, la cantidad de lentejas siempre es un número natural. b. F; V; V. 15 a. 1

1,5

4,5

7,5

(n · 3) : 2

b. No pertenece, porque al 6 del eje de las abscisas le correspondería como ordenada (6 · 3) : 2 = 9, y no 8. c. Sí, porque al 8 del eje de las abscisas le corresponde como ordenada (8 · 3) : 2 = 12. 16 a. 1

3,5

10,5

17,5

El gráfico, a cargo de los alumnos. b. Los puntos deben pertenecer a una recta que pasa por el origen. En esta situación tiene sentido unir los puntos, porque las dos variables pueden tomar cualquier valor.

22 a. A cargo de los alumnos. b. f = (2, 6) c. Si consideramos al ángulo recto ahb, hay dos posibilidades: h = (3, 3) y h = (5, 5). Si consideramos al ángulo recto hab hay infinitas posibilidades para el punto h, y lo mismo ocurre si el ángulo recto es hba. 23 a. a = (1, 3); b = (2, 4); d = (4, 5); g = (6, 7). b. z = (2, 0) 24 a.

150

17,5

b. Todos los puntos del gráfico deben pertenecer a una recta que pasa por el origen de coordenadas. c. Tiene sentido unir los puntos, porque las dos variables pueden tomar cualquier valor. d. El punto (1, 2), no; el (2, 1), sí, porque la ordenada que le corresponde a cada abscisa vale la mitad que la abscisa. 18 a. No, porque 2 m de elástico cuestan $ 1,80, por lo tanto, la ordenada que le corresponde a la abscisa 2 es 1,8. b. 2,7, porque 3 · $ 0,90 = $ 2,70. 19 El segundo y el tercero, porque sus puntos pertenecen a una recta que pasa por el origen de coordenadas. © Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

4,5

1,5

b. A cargo de los alumnos. c. Sí, porque las variables pueden tomar cualquier valor. d. Sí, porque para cada valor que puede tomar la base, hay un solo valor para la altura.

17 a. 10

20 a. Base (cm)

Altura (cm)

7,5

2,5

1,5

b. 15 : x c. 10 cm; hay que marcar el punto (1,5, 10). d. 2,5 cm; hay que marcar el punto (2,5, 6). e. Sí, porque el producto entre la abscisa y la ordenada de cada punto del gráfico es 15 (es el área de cada rectángulo, en cm2). 21 Es el segundo, porque la relación entre las variables es de proporcionalidad inversa (el producto entre

25 x

26 a. Gustavo: rojo; Daniel: azul. b. Durante los primeros 6 minutos. c. En el minuto 6. d. 100 m de ventaja Daniel a Gustavo. 27 El gráfico correspondiente es el segundo. En él se ve que al principio la altura aumenta lentamente (ya que el botellón es más ancho en su base) y luego comienza a aumentar rápidamente (esto se debe a que el agua llegó a la parte del “cuello” del botellón, y a partir de allí la altura sube rápido con poca cantidad de agua). 28 a. 20 b. 40 c. 200; 540. d. El N.º de bacterias se estabiliza en 600. 29 El enunciado, a cargo de los alumnos. La relación es de proporcionalidad directa. 30 a. El gráfico debe contener los puntos siguientes: (0,25, 80); (0,5, 40); (1, 20); (2,5, 8) y (5, 4). b. La relación es de proporcionalidad inversa.

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Capítulo 9 Para empezar En el 1.º: C = 6; V = 8; A = 12 y 6 + 8 = 12 + 2. En el 2.º: C = 5; V = 5; A = 8 y 5 + 5 = 8 + 2. En el 3.º: C = 4; V = 4; A = 6 y 4 + 4 = 6 + 2. 1 a. Prisma hexagonal; 2 hexágonos y 6 rectángulos. b. Pirámide pentagonal; 1 pentágono y 5 triángulos. c. Prisma triangular; 2 triángulos y 3 rectángulos.

14 Sí. Se pueden trazar las diagonales de dos caras opuestas del cubo, de modo que sean paralelas entre sí. El corte se puede hacer con un plano paralelo a esas dos diagonales. Visto de perfil, dentro del cubo, el plano de corte debe formar un triángulo rectángulo con dos tramos de aristas perpendiculares, de modo que la hipotenusa de ese triángulo tenga la misma longitud que la arista del cubo. 15 A cargo de los alumnos. 16 a. Son iguales. b. 31,4 cm

2 A cargo de los alumnos. 17 a. Al perímetro de la base. b. Es uno de los segmentos que limitan el sector circular. c. 1,5 cm

3 Pentágonos. 4 N.º de aristas: 12. N.º de caras: 7. N.º de vértices: 7.

18 432 cm2

5 a. Tiene forma de cuadrilátero. b. Tiene forma de pentágono. c. Tiene forma de octógono.

19 348 cm2 20 125,6 cm2

21 10,92 cm

C+V

A+2

7 Sí, porque tiene 7 caras, 10 vértices y 15 aristas, y 7 + 10 = 15 + 2. 8 a. No, porque según la fórmula de Euler, en ese caso debería tener 2 vértices, y eso es imposible, ya que todo poliedro tiene al menos 4 vértices. b. No, porque en ese caso tendría 2 caras (imposible, ya que todo poliedro tiene 4 caras como mínimo). 9 No, porque si la base es circular, hay caras que no son planas ni con forma de polígono. 10 Poliedros (con rojo): A, B, F, G, L. De rotación (con azul): C, D, E, H, I. 11 a. Es un cilindro con otro de mayor radio en la “cintura”. b. Un cono. 12 A cargo de los alumnos. 13 a. Paralelos. b. 3 pares. c. A cargo de los alumnos.

22 Para el círculo de radio g: Longitud del arco = 2 · π · g Área = π · g2 Para el sector circular: Longitud del arco = π · diámetro del agujero (d) Área = x Se puede plantear la siguiente proporción: 2 · π · g/π · d = π · g2/x → x = π · d · g/2 Diana: 703,36 cm2. Carolina: 1.099 cm2. 23 a. m3 c. cm3 o mm3. b. cm3 d. cm3 o mm3. 24 15.625 cm3; 15,625 L. 25 112 cm3 26 a. 1.782.000 cm3 = 1,782 m3 b. 1.782 L c. 81.000 cm3 = 81 dm3 27 El cociente entre el volumen de la caja y el de cada cubo es 3,240 cm3 : 27 cm3 = 120; por lo tanto, caben 120 cubos como máximo. 28 34,6 cm3 29 1.923,25 cm3 30 Es menor. Debería ser el triple de alta que el vaso cilíndrico para tener la misma capacidad.

Poliedro Tetraedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro

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31 22,4 L 32 Puede ser que indiquen el E, porque no es un prisma, mientras que los restantes lo son; o que señalen el D, por ser el único que no es recto. 33 a. 16 vértices, 24 aristas y 10 caras. b. 12; decágonos. c. 8; una heptagonal y 7 triangulares. d. 9; una octogonal y 8 triangulares. 34 a. Sí, porque tiene 8 caras, 6 vértices y 12 aristas, y 8 + 6 = 12 + 2. b. Un octaedro regular. 35 Puede ser un prisma cuyas bases son triángulos equiláteros. Ese cuerpo cumple la fórmula de Euler, porque tiene 5 caras, 6 vértices y 9 aristas, y 5 + 6 = 9 + 2. También podría ser una pirámide de base cuadrada (cumple la fórmula de Euler, ya que tiene 5 caras, 5 vértices y 8 aristas) u otros cuerpos. 36 El cuerpo tiene la forma de dos conos iguales pegados por sus bases. 37 A cargo de los alumnos. 38 Hay que tachar los desarrollos B y C. El B, porque si la base es cuadrada, debe tener 4 caras laterales, y si tuviera 3 caras laterales, la base debería ser un triángulo. El C, porque cada lado del rectángulo que está pegado al círculo debe ser tan largo como su perímetro. 39 78 cm2. Se pueden dibujar tres rectángulos consecutivos de 4 cm de base y 6,5 cm de altura; sobre el lado de 4 cm de uno de ellos, dibujar un triángulo equilátero de 4 cm de lado, y otro igual sobre el lado opuesto de ese rectángulo o de alguno de los otros. 40 15,7 m2

41 56,52 cm3 42 El C), ya que los otros recipientes no llegan a contener 30 L. Las capacidades son: A) 28,26 L; B) 29,54 L; C) 31,76 L. 43 a. 15 cm3 b. 0,5 cm

Capítulo 10 Para empezar Ana, porque hay 7 números que la favorecen, mientras que para Ramiro hay 6.

1 Hay que señalar b. y c. 2 a. D-C-A-B b. Sacar una bolita con un número… …menor que 12.

Imposible

Seguro x

…par y múltiplo de 9.

…13.

3 a. Probable. b. Imposible. c. Muy probable. d. Seguro. e. Poco probable. f. Poco probable. 4 a. Que sea de oros, porque son 12 cartas, mientras que los “7” son cuatro. b. Que tenga un número mayor que 5, porque son 28 cartas, mientras que las de espadas son 12. c. Que sea una figura, porque hay 12 cartas con figuras y una sola con el as de bastos. 5 a. 10 cara-50 ceca; 10 ceca-50 cara; 10 cara-50 cara; 10 ceca-50 ceca. b. No es un juego justo, porque de las 4 posibilidades, hay 2 que favorecen a Pedro, una a Juan y una a Nico. 6 a. Cara-1; cara-2; ...; cara-6; ceca-1; ...; ceca-6. b. 2 · 6 = 12 c. 1/12 d. 3/12, porque de los 12 casos posibles, hay 3 favorables: (cara-2), (cara-4) y (cara-6). 7 a. Verde. b. Celeste. c. Celeste. d. Cualquier color que sea distinto de naranja, verde o celeste. 8 a. 1/48 b. 4/48 = 1/12 c. 12/48 = 1/4 d. 12/48 = 1/4 e. 24/48 = 1/2 9 a. I. 1/6 II. 2/6 = 1/3 III. 3/6 = 1/2 IV. 3/6 = 1/2 V. 3/6 = 1/2 b. Son iguales, porque que sea verde o azul equivale a que no sea roja, ya que no hay otros colores en el dado. c. Se refiere a que el verde tiene la mitad de probabilidades de salir que el azul.

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10 a. 4/6 = 2/3 c. 3/6 = 1/2 b. 5/6 d. 6/6 = 1

18 a. Promedio: $ 80. Moda: $ 75. Mediana: $ 75. b. Promedio: $ 90. Moda: $ 75. Mediana: $ 82. En el promedio y la mediana.

11 a. 1/10, porque es uno de los 10 casos posibles (0, 1, 2, ..., 9). b. 1/100, porque es uno de los 100 casos posibles (00, 01, 01, ..., 99). También se puede pensar que hay 10 posibilidades para el primer dígito y por cada una de ellas, otras 10 para el segundo, o sea, 10 · 10 = 100. 12 a. 30 clientes. b. 5 gotas. c. Puede ser una tabla de frecuencias o un gráfico de barras.

19 a. Para que el promedio sea 12, los cuatro números deben sumar 12 · 4 = 48; por lo tanto, en el 4.º piso viven 48 – (8 + 14 + 10) = 16 personas. b. El promedio es 14. Se lo puede hallar sumando 2 al promedio anterior (sumar 2 cuatro veces y dividir por 4 equivale a sumar 2). 20 a. N.º de horas

b. Es la última; da 2,1 h = 2 h 6 min. 13 a.

Frecuencia relativa  1 / 30 = 0,03  4 / 30 = 0,13  8 / 30 = 0,26

21 a. Bety 1

3/30 = 0,1

9/30 = 0,3

 5 / 30 = 0,16

b. 4 gotas: 10%; 5 gotas: 30%. Para encontrar las respuestas se multiplica la fr correspondiente por 100.

Leandro

14 A cargo de los alumnos.

15 a. 60 chicos. b. Con 1 hermano; la barra que corresponde a 1 hermano es más alta que la que corresponde a 2 hermanos. c. 10 chicos.

16 a. A cargo de los alumnos. b. 5 (una persona respondió que usó una gota y 4 respondieron que usaron 2 gotas). 17 Tipo de lectura

Novelas

40/80 = 0,5

50%

Cuentos

20/80 = 0,25

25%

Ensayos

8/80 = 0,10

10%

Autoayuda

12/80 = 0,15

15%

TOTAL

100%

Los ángulos centrales correspondientes son: Novelas: 180º. Ensayos: 36º. Cuentos: 90º. Autoayuda: 54º.

b. No, porque Bety tiene más posibilidades para anotarse un punto que Leandro. c. De 36 formas. 22 a. No. b. Desde el 2 hasta el 12. c. Al 8, porque hay más combinaciones para obtener 8 que para obtener 12. d. Por la suma 7. e. Sí, porque hay 2 combinaciones para cada uno de esos resultados –que sumen 3: (2-1) y (1-2); que sumen 11: (5-6) y (6-5)–. f. A cargo de los alumnos. 23 6/14 = 3/7 24 20 de limón y 30 de frutilla.

Frecuencia absoluta 1

Gotas

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25 a. 2 · 3 = 6 b. 1/6 26 a. Promedio: $ 15. Moda: $ 10. Mediana: $ 14. b. Puede ser que mencionen cualquiera de los tres; la mediana, porque indica que hay tres valores por debajo de $ 14 y tres por encima de $ 14; el promedio, porque indica un valor intermedio y le permite prever un gasto de unos $ 15 por almuerzo; la moda, porque la mitad de los días gastó $ 10 (aunque la otra mitad gastó bastante más, pero podría arreglarse con $ 10 para almorzar). 27 a. Una tabla de frecuencias o un gráfico de barras. b. Un gráfico circular. c. Un gráfico de barras (también uno circular, si es que no hay porcentajes muy similares). 28 A Aníbal, ya que su rendimiento es más parejo; para él, el promedio, la moda y la mediana son iguales (11). Bernardo tiene un rendimiento desparejo.

b. Un chico. c. 18 chicos. d. 25,9% e. 3 películas. f. 4/27 31 a. A cargo de los alumnos. b. 22/40 32 a. Los números son 0,3; 0,3 y 0,9. Para que la moda sea 0,3, dos de ellos deben ser 0,3, y para que el promedio sea 0,5, deben sumar 1,5, por lo tanto, el tercer número es 0,9. La solución es única. b. Los otros dos números deben sumar 1,2, así que hay infinitas soluciones. Por ejemplo: (0,3; 0,4 y 0,8); (0,3; 0,52 y 0,68). c. Hay infinitas soluciones. Por ejemplo: (0,2; 0,5 y 0,8); (0,1; 0,5 y 0,9); (0,02; 0,5 y 0,98).

29 a. A 9 chicos. b. Promedio: 9 min. 30 a. N.º de películas

1/27

3,7%

6/27

22,2%

7/27

25,9%

4/27

14,8%

3/27 = 1/9

11,1%

1/27

3,7%

3/27 = 1/9

11,1%

2/27

7,4%

Total

6 7

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Jefa de arte: Claudia Fano

Diagramación: Sergio Israelson

Av. L. N. Alem 720 (C1001AAP), Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina.

Corrección: Paula Smulevich Este libro no puede ser reproducido total ni parcialmente en ninguna forma, ni por ningún medio o procedimiento, sea reprográfico, fotocopia, microfilmación, mimeógrafo o cualquier otro sistema mecánico, fotoquímico, electrónico, informático, magnético, electroóptico, etcétera. Cualquier reproducción sin permiso de la editorial viola derechos reservados, es ilegal y constituye un delito.

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ISBN: 978-950-46-2175-1 Queda hecho el depósito que dispone la ley 11.723. Impreso en xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx. Primera edición: xxxxx de 2009. Este libro se terminó de imprimir en el mes de xxxxxxxxxxxxxxxxxx de xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Berman, Andrea Matemática I : recursos para el docente / Andrea Berman ; Gustavo E. Piñeiro ; Gisela B. Serrano. - 1a ed. - Buenos Aires : Santillana, 2009. 24 p. ; 26x22 cm. - (Santillana Prácticas) ISBN 978-950-46-2175-1 1. Guía Docente. 2. Matemática. I. Piñeiro, Gustavo E. II. Serrano, Gisela B. III. Título CDD 371.1

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