Prácticas matematica 8/2º by Marcela LALIA

Prácticas

Para resolver problemas

Recursos para el docente Recursos para el docente de MATEMÁTICA II – NAP 8.o; ES 2.o; CABA 1.o – Santillana Prácticas es una obra colectiva creada, diseñada y realizada en el Departamento Editorial de Ediciones Santillana, bajo la dirección de Herminia Mérega, por el siguiente equipo: Alicia E. López • Gustavo E. Piñeiro • Gisela B. Serrano Edición: Pablo J. Kaczor Jefa de edición: María Laura Latorre Gerente de gestión editorial: Mónica Pavicich

Índice Recursos para la planificación.............................. 2 Soluciones de las actividades del libro.................. 7

M-II_DOC_(01-24)_CERRADA.indd 1

11/10/09 9:12:43 AM

M-II_DOC_(01-24)_CERRADA.indd 2

Cálculo de potencias de números enteros con exponente natural, deducción de la positividad o la negatividad de la potencia según la base y la paridad del exponente. Propiedades de la potenciación. Uso de la calculadora para determinar raíces de números enteros. Encuadramiento de los valores de las raíces, no exactas, entre dos números enteros consecutivos. Análisis de la validez de algunas propiedades de la radicación. Reconocimiento de la inexistencia, en R, de las raíces de índice par de números negativos. Resolución de cálculos combinados. Uso de las reglas de divisibilidad y deducción de regularidades. Identificación de números primos y compuestos. Factorización de un número entero. Resolución de situaciones que requieren la búsqueda de múltiplos y divisores comunes.

Potencias de números enteros con exponente natural. Propiedades. Raíces de números enteros. Propiedades. Cálculos combinados. Múltiplos y divisores enteros de números enteros. Números primos y compuestos. Múltiplos y divisores comunes de números enteros.

Calcular potencias y raíces de números enteros. Comprender y utilizar las propiedades de la potenciación y la radicación. Identificar entre qué números enteros consecutivos está una raíz no exacta. Resolver cálculos combinados que involucren las seis operaciones. Determinar múltiplos y divisores de un número entero a partir del uso de las reglas de divisibilidad y otras estrategias. Utilizar la factorización de un número entero para determinar múltiplos y divisores comunes (en particular m.c.d. y m.c.m.). Resolver situaciones que requieran el cálculo de múltiplos y divisores comunes.

Interpretar, registrar, comunicar, comparar y ordenar números enteros en diferentes contextos. Representar y comparar números enteros en la recta numérica. Identificar números opuestos. Comprender y utilizar la noción de módulo. Reconocer modelos que den significado a la suma y la resta en Z. Calcular multiplicaciones y divisiones de números en Z. Utilizar la calculadora para interpretar y dominar conceptos y propiedades de los números enteros y sus operaciones. Deducir el valor de un número desconocido.

Interpretación, registro y comunicación de números enteros a partir de los contextos de líneas de tiempo (a.C. y d.C.), temperaturas, nivel del mar, dinero, ascensores. Orden de números enteros representándolos en la recta numérica. Identificación y representación de números enteros que están a la misma distancia de cero. Números opuestos. Cálculo e interpretación del módulo de un número a partir de su distancia del cero. Resolución de sumas y restas. Análisis de situaciones contextualizadas donde se utilizan. Uso de la calculadora. Deducción de la regla de los signos para multiplicar y dividir enteros a partir del uso de la calculadora. Análisis de algunas propiedades de esas operaciones y de la propiedad distributiva de la multiplicación y la división respecto de la suma y la resta. Resolución de cálculos combinados. Introducción del lenguaje algebraico asociado a un número escondido.

Uso de los números enteros asociados a contextos cotidianos. Orden de los números enteros. Representación en la recta numérica. Números opuestos. Módulo o valor absoluto. Sumas y restas en Z. Multiplicación y división en Z. Propiedades. Propiedad distributiva de la multiplicación y la división respecto de la suma y la resta en Z. Operaciones en cálculos combinados. Introducción a la noción de ecuación.

Números enteros II

Números enteros I

EXPECTATIVAS DE LOGRO

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS

CONTENIDOS

Recursos para la planificación

11/9/09 9:29:05 AM

M-II_DOC_(01-24)_CERRADA.indd 3

11/9/09 9:29:05 AM

Números racionales II

Números racionales I

Interpretación de la fracción como parte de un todo. Ubicación en la recta numérica de números racionales y sus opuestos. Comparación de números racionales mediante su representación en la recta numérica. Análisis de los valores que puede tomar el numerador dado el denominador (y viceversa) para cumplir cierta condición. Resolución de enunciados que involucran el concepto de fracción. Uso de la recta numérica donde se encuentra indicado un par de números racionales para determinar la ubicación del 0 y la unidad. Equivalencia entre una fracción y su expresión decimal, y viceversa. Encuadramiento de una expresión decimal entre dos enteros consecutivos. Aproximaciones por redondeo y truncamiento. Suma y resta de fracciones respecto de un entero. Uso de las operaciones entre números racionales en situaciones problemáticas. Cálculos combinados con números racionales. Interpretación y uso de números decimales como porcentajes, e interpretación de distintos cálculos para expresar aumentos y descuentos. Uso de la calculadora. Noción de potencia como multiplicaciones reiteradas, deducción de la positividad o la negatividad de la potencia según la base y la paridad del exponente. Relación entre las potencias de exponente 2 y 3, y las nociones de área y volumen. Uso de la potenciación con exponente entero y de la radicación en Q. Uso de la calculadora. Resolución de cálculos combinados. Búsqueda de reglas de formación de las cifras decimales infinitas de un número para interpretar la diferencia entre un número racional y otro irracional. Identificación de números racionales e irracionales (pi, número de oro). Interpretación y uso en contextos de notación científica. Análisis de esa notación en la calculadora.

Noción de fracción. Orden, comparación y representación de racionales en la recta numérica. Expresiones decimales finitas y periódicas. Redondeos y truncamientos de expresiones decimales. Operaciones en Q. Cálculos combinados en Q. Expresiones decimales y porcentajes.

Potenciación con exponente entero y radicación en Q. Propiedades. Noción de número irracional. Notación científica.

Calcular potencias y raíces de números racionales, y utilizar sus propiedades. Emplear la calculadora para calcular raíces e interpretar la notación científica. Identificar números irracionales y reconocer algunos más destacados. Usar la notación científica en diversos contextos.

Identificar las fracciones como parte de un todo. Ubicar números en la recta a partir de ciertos datos y reconocer su orden. Resolver situaciones que involucren números racionales. Relacionar una fracción con su expresión decimal equivalente y viceversa. Aproximar valores por redondeo y truncamiento. Operar con números racionales en situaciones descontextualizadas y contextualizadas. Calcular porcentajes y aplicarlos a situaciones problemáticas.

M-II_DOC_(01-24)_CERRADA.indd 4

Construcción de triángulos utilizando regla y compás, dadas las longitudes de sus lados. Clasificación de triángulos según la longitud de sus lados y la amplitud de sus ángulos. Búsqueda de la amplitud de uno o más ángulos de un triángulo a partir de conocer otros o algunas características del triángulo, o ambos. Trazado de la mediatriz de un segmento e interpretación como el conjunto de puntos que equidistan de sus extremos. Uso del programa GeoGebra para resolver situaciones problemáticas. Análisis del punto donde se cortan las mediatrices correspondientes a los lados de un triángulo. Trazado de la bisectriz de un ángulo e interpretación como el conjunto de puntos que equidistan de sus lados. Análisis del punto donde se cortan las bisectrices correspondientes a los ángulos de un triángulo. Construcción de triángulos a partir de diferentes datos. Análisis de la cantidad de construcciones posibles y deducción de los criterios de congruencia. Construcción de modelos de situaciones geométricas y extrageométricas. Traducción del lenguaje coloquial al algebraico y viceversa. Uso del lenguaje algebraico para generalizar propiedades de los números. Resolución de operaciones con expresiones algebraicas. Planteo de situaciones que permitan detectar y expresar regularidades en distintos contextos. Resolución de ecuaciones descontextualizadas y en contextos significativos. Generalización en la operatoria de las ecuaciones.

Triángulos. Construcciones con regla y compás. Clasificaciones. Suma de los ángulos interiores. Mediatriz de un segmento. Bisectriz de un ángulo. Criterios de congruencia de triángulos.

Lenguaje coloquial y algebraico. Generalización de propiedades de las operaciones en Z y en Q. Operaciones con expresiones algebraicas. El lenguaje algebraico para expresar regularidades, fórmulas de perímetros, áreas y volúmenes, y el término enésimo de una sucesión. Ecuaciones lineales con una incógnita.

Introducción al Álgebra

Triángulos. Criterios de congruencia

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS

CONTENIDOS

Traducir del lenguaje coloquial al lenguaje simbólico y viceversa. Interpretar el lenguaje matemático y adquirir, en forma progresiva, niveles de expresión cada vez más claros y formales. Producir generalizaciones y poder expresarlas en lenguaje algebraico. Comprender la ventaja del uso del Álgebra para la resolución de un problema.

Producir y analizar construcciones geométricas considerando las propiedades involucradas y las condiciones para su construcción. Establecer clasificaciones de triángulos. Utilizar la suma de los ángulos de un triángulo para determinar algunos de sus ángulos. Trazar mediatrices y bisectrices, y evaluar su utilidad como recurso para resolver problemas. Utilizar el programa GeoGebra como herramienta para resolver situaciones. Aplicar criterios de congruencia de triángulos como herramienta de demostración.

EXPECTATIVAS DE LOGRO

Recursos para la planificación

11/9/09 9:29:05 AM

M-II_DOC_(01-24)_CERRADA.indd 5

11/9/09 9:29:05 AM

Cuadriláteros. Ángulos entre paralelas. Cuerpos

Gráficos y funciones

Ubicación e interpretación de puntos en el plano. Identificación de cuadrantes. Interpretación de información brindada por un gráfico y por una tabla de valores. Introducción del concepto de función mediante situaciones problemáticas con tablas y gráficos vinculados a ellas. Interpretación de enunciados mediante fórmulas de funciones lineales, cuadráticas y cúbicas, sus tablas y gráficos. Análisis de situaciones contextualizadas de proporcionalidad directa e inversa, producción de fórmulas, tablas y gráficos. Producción e interpretación de la ecuación de la recta y su gráfico. Cortes con los ejes y análisis de la pendiente. Exploración de los diferentes cuadriláteros a partir de las longitudes y el paralelismo de sus lados. Registro de la congruencia o no de sus ángulos. Clasificación de cuadriláteros según el paralelismo entre sus lados. Deducción de la suma de los ángulos de un cuadrilátero. Uso del programa GeoGebra para realizar construcciones, y a partir de ellas conjeturar propiedades para luego demostrarlas. Construcciones de cuadriláteros con regla y compás. Reconocimiento de pares de ángulos entre paralelas y demostración de las relaciones que se establecen entre ellos. Reconocimiento de cuerpos poliedros y sus elementos. Comprobación de la relación de Euler. Exploración de cuerpos poliedros a partir de seccionar un cubo. Exploración de cuerpos redondos a partir de secciones por planos paralelos, a una base (en el caso de que la tenga), o entre sí (en el caso de la esfera).

Ejes cartesianos. Notación de puntos en el plano como pares ordenados. Función: variable independiente y variable dependiente. Función lineal, cuadrática y cúbica. Funciones de proporcionalidades directa e inversa. Ecuación de la recta. Pendiente y ordenada al origen. Representación gráfica de la ecuación de una recta.

Cuadriláteros: trapezoides, trapecios y paralelogramos. Propiedades. Construcciones. Ángulos entre paralelas. Cuerpos poliedros y redondos. Relación de Euler.

Reconocer y clasificar cuadriláteros. Usar el programa GeoGebra como herramienta para conjeturar propiedades. Establecer propiedades respecto de algunos cuadriláteros y demostrarlas. Construir cuadriláteros con regla y compás. Nombrar pares de ángulos entre paralelas, reconocer y demostrar sus relaciones. Reconocer cuerpos poliedros y sus características. Comprobar la relación de Euler. Anticipar características de un cuerpo con secciones de diferentes formas.

Representar e interpretar puntos en el plano mediante coordenadas cartesianas y a partir de tablas y gráficos. Decidir si un gráfico o una tabla de valores, o ambos, representan una función, o si una situación puede ser modelizada por una función. Producir e interpretar fórmulas, tablas de valores y gráficos de situaciones contextualizadas que respondan a funciones lineales, cuadráticas, cúbicas y de proporcionalidades directa o inversa. Construir la ecuación de una recta, su gráfica y determinar cortes con los ejes y pendiente.

M-II_DOC_(01-24)_CERRADA.indd 6

Determinación de figuras con igual área y distinto perímetro a partir de las piezas del tangram. Comprobación y uso del teorema de Pitágoras. Aplicación del teorema de Pitágoras para determinar ternas pitagóricas y a enunciados geométricos. Deducción del área del paralelogramo a partir de la de un triángulo, y de la del trapecio a partir de la del paralelogramo. Independencia de áreas y perímetros. Cálculo de áreas coloreadas de figuras poligonales y circulares. Determinación del área de un polígono regular a partir de subdividirlo en triángulos congruentes. Uso dinámico de la proporcionalidad en el marco de la resolución de problemas de perímetros y áreas. Cálculos asociados a determinar el área de un círculo y la longitud de la circunferencia. Cálculo de áreas laterales, totales y volúmenes. Relación entre el volumen de una pirámide y el de un prisma que tengan las mismas bases y alturas. Relación entre el volumen de un cono y el de un cilindro que tengan las mismas bases y alturas. Interpretación y cálculo de volúmenes, capacidad, masa y densidad de diferentes cuerpos. Relación entre las distintas unidades de medida. Identificación de la población, muestra y variable estadística en distintos contextos. Construcción de tablas de frecuencias absolutas y relativas. Elaboración e interpretación de gráficos estadísticos. Su uso como organizadores de la información. Cálculo y comparación de medidas de tendencia central. Análisis de su variación de acuerdo con el cambio de uno o más valores. Cuestionamiento de su representatividad en diferentes situaciones. Utilización de diagramas de árbol para contar el número total de elementos y calcular la cantidad de permutaciones que pueden realizarse con los elementos de una colección. Uso de la calculadora para obtener factoriales. Cálculo de probabilidades simples. Interpretación. Establecimiento de relaciones entre probabilidad y frecuencia.

Figuras equivalentes (de igual área y diferente perímetro). Teorema de Pitágoras. Áreas y perímetros de cuadriláteros, polígonos regulares y círculos. Áreas y volúmenes. Unidades de volumen, capacidad y masa. Densidad.

Datos estadísticos: población, muestra y variable estadística. Frecuencia absoluta y relativa, uso de tablas. Gráficos estadísticos: de barras, pictograma, circular, histograma. Medidas de tendencia central: media, moda y mediana. Combinatoria. Diagrama de árbol. Factorial. Permutaciones. Introducción a la probabilidad.

Estadística y probabilidad

Áreas. Teorema de Pitágoras. Volumen

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS

CONTENIDOS

Identificar las nociones de población, muestra y variable estadística en distintos ejemplos. Determinar frecuencias absoluta y relativa a partir de un conjunto de datos. Construir e interpretar distintos gráficos estadísticos. Calcular y comparar medidas de tendencia central (media, moda y mediana), analizar su variación y pertinencia. Calcular la cantidad de permutaciones de una colección de elementos. Utilizar la calculadora para obtener factoriales. Determinar probabilidades simples.

Establecer relaciones, o falta de ellas, entre el perímetro y el área de una figura. Reconocer e interpretar modelos elementales en figuras más complejas. Aplicar conceptos conocidos para determinar áreas de figuras combinadas. Reconocer la utilidad del teorema de Pitágoras. Deducir áreas de figuras a partir de otras ya conocidas. Reconocer la independencia entre área y perímetro de figuras, así como entre área lateral y volumen de cuerpos. Interpretar y calcular capacidades, masas y densidades de cuerpos. Establecer relaciones entre las unidades de medida.

EXPECTATIVAS DE LOGRO

Recursos para la planificación

11/9/09 9:29:05 AM

Soluciones Capítulo 1

16 a. 28 b. –4 c. 1 d. –17

Para empezar 76 años. 1 a. 3.000 m

b. –3 ºC

17 A cargo de los alumnos.

c. $ –50

2 Algunos ejemplos pueden ser: a. Debo seiscientos pesos. b. Estoy buceando a 150 m por debajo del nivel del mar. c. La temperatura es de 18 grados bajo cero. d. En el ascensor del supermercado, el 2.º subsuelo está indicado como –2. 3 a. El 0. b. 1 < 2 < 3; –12 < –11 < –10; –6 < –5 < –4 4 a. Por ejemplo: –7 < –6 < 0 < 1 < 7. b. Por ejemplo: –20 < –19 < –18 < –17 < –16. 5 –2 > –5; –7 < 0; –1 < 2; –3 > –4 6 Hay que marcar los números –9; –6; –2; 5 y 8. Se puede tomar como escala 1 unidad cada 5 mm. 7 a. Op. de 42: –42; op. de (–42): –(–42) = 42. b. –42 8 a. mayor 9 a. 4

b. mayor

b. 27

c. 5

e. 13

f. 18

10 Sí, por ejemplo, –5 y 5; cualquier par de números opuestos cumple esta propiedad.

11 a. I. 5 y –5. II. –9; –8; –7; 7; 8 y 9. b. El alumno deberá elegir una escala conveniente que le permita representar desde –9 hasta 9. c. A la misma distancia; son opuestos. 12 a. Por ejemplo: –98; –99; –100; –101; –102. b. Son –6, 6 y todos los enteros comprendidos entre estos dos. 13 1 y 6; 2 y 3; |–1| y |–6|; |–2| y |–3|. 14 a. A cargo de los alumnos. b. 12 – 4 = 8 15 a. –5

b. –3

c. –18

18 a. –17

b. –3

c. 12 – (–3) = 15 d. 4 – (–3) = 7

c. 4

19 1.620 – 1.500 + 2.500 – (850 + 150 + 487) – – 3 · 700 = –967 20 a. I. –10 IV. –12 II. 12 V. 10 III. –10 VI. 12 b. y c. El producto de dos factores de distinto signo da negativo, mientras que el de dos de igual signo da positivo. Con esta regla se completará la tabla: +, –, +. 21 a. Las dos columnas se completan con 6, 35, –32 y –8, teniendo en cuenta que a · b = b · a. b. La conmutativa. 22 a. 48

b. 96

c. –24

23 a. I. –2 II. –2 III. 2 IV. –3 b. Hay que completar con +, –, +. 24 a. –40

c. igual d. 1

e. 11 f. 19 g. –20 h. –4

b. –5

c. 4

V. 3

VI. 6

d. –72

25 a. Hay que unir el 1.º de la izquierda con el 3.º de la derecha (dan –3), el 2.º de la izquierda con el 4.º de la derecha (dan –1), el 3.º de la izquierda con el 1.º de la derecha (dan 12) y el 4.º de la izquierda con el 2.º de la derecha (dan –36). b. La primera y la tercera, distributiva y conmutativa; la segunda y la cuarta, distributiva. 26 a. 3 27 a. 45 28 a. –29

b. –60 b. –24 b. –50

29 a. 2 · 2 = 4 30 2x – 5 = –11 31 a. 5

c. –10 c. –1

d. 2

c. 0

d. 2

d. –10 e. 5

f. 2

g. 2

b. 2 · (–2) = –4 x = –3

b. 15

32 A cargo de los alumnos. 33 –6, 11 y 8.

7 M-II_DOC_(01-24)_CERRADA.indd 7

11/9/09 9:29:06 AM

34 56 y el opuesto del opuesto de 56; –18 y el opuesto de –18. 35 –18 < –11 < –8 < –6 < 6 < 8 < 11 < 18 < 56 36 7 o –7.

b. Dos al cuadrado = 4. c. La potencia sexta de menos ocho = 262.144. d. Menos cinco al cubo = –125. e. Diez al cubo = 1.000. f. Cuatro al cuadrado = 16. g. El cuadrado de menos cuatro = 16. h. Menos dos al cubo = –8.

37 a. Por ejemplo: m = 2 y n = 3. La segunda condición se cumple para cualquier par de enteros, pero para que se cumpla la primera, m y n deben tener el mismo signo. b. Si solo uno es negativo, el módulo de la suma es menor que la suma de los módulos. Si ambos son negativos, el módulo de la suma es igual que la suma de los módulos. En ambos casos el módulo del producto es igual al producto de los módulos.

3 a. 3

38 Hay que señalar tres pares de números opuestos.

4 Lo cumple todo número y su opuesto.

39 a. Tiene que ahorrar algo más. b. 25 + 55 – 96 = –16

5 a. 9

b. 13

6 a. 3

b. 6

2 a. I. 63 = 216 II. 25 = 32 b.

III. (–2)3 = –8 IV. (–5)2 = 25

Exponente par

potencia positiva

Exponente impar

b. 3

base negativa potencia negativa base positiva

c. 3

potencia positiva

d. 4

c. 3

d. 4

40 a. –10 b. 4 c. –18 d. –10 e. 0 f. 12 g. –10 41 3 · [– (–2 – 0)] + 4 · [15 – (–2)] = 74 42 En La flor. 43 a. En el 1.er paso debe ser + 8 y en el 3.º, es –(8 + 8). Da 0. b. En el 1.er paso debe ser + 2 en lugar de – 2 y en el 3.º, no es –6 sino 6. Da 8. c. En el 1.er paso no es + 2 sino – 2. Da 2.

7 a. 78 = 5.764.801 b. (–2)12 = 4.096

c. 1 d. 1

8 a. 33 · 23 b. (–3)3 · 23 c. (–3)3 · (–2)3

d. 84 : 44 e. (–8)4 : 44 f. (–8)4 : (–4)4

9 a. 163 o 212. b. 43 o 26.

c. (–48)5 d. (–3)5

e. –4 f. 23

e. 988 f. 28

10 5.184 cm3

45 a. 3

b. 6

c. 1

46 a. 3

b. 4

c. –2

d. 12

47 Usamos como convención que descenso se traduce con un signo menos, entonces: 18 · (4 – 16) = 18 · (–12) = –216.

11 a. 13

b. 20

c. 14

d. 8

e. –15

f. 16

12 125 mm 13 a. 6 y 7.

b. –5 y –4.

c. –4 y –3.

14 Juan, porque la raíz de un producto es igual al producto de las raíces solo si estas existen. 15 a. No, porque ningún número entero elevado al cuadrado da negativo. b. No, porque todo número negativo elevado a un exponente par da positivo. 16 a. 64 b. –64 c. –32 d. 81 e. 729 f. 9

Capítulo 2 Para empezar No, porque 23 no es un número natural; 16; 4. 1 a. Tres a la quinta = 243.

17 a. –100 b. 3 c. –24 d. 8 e. –68 18 a. –12 b. –21 c. 54 d. 69 e. –9 f. –28 g. 26 19 a. 3 b. –124 c. 3 d. –4 e. 4 f. 5 g. 3

44 a. I. –24 II. –24 III. 400 IV. 400 V. –50 VI. –2 VII. –1 VIII. –16 b. Que si hay una multiplicación, el resultado final es el mismo que si los corchetes no hubieran estado, pero si es una división, el resultado final cambia.

8 M-II_DOC_(01-24)_CERRADA.indd 8

11/9/09 9:29:06 AM

20 a. El error se cometió al pasar del 3.er al 4.º renglón por no separar en términos antes de operar. 100 : 5 − 26 : (−2) = 10 : 5 − 64 : (−2) = = 2 + 32 = 34 b. Errores: deshacer el factor (–10 + 6); haber quitado los paréntesis a –8, transformándolo en un sumando; aplicar mal la regla de los signos al hacer –8 · (–10) = –80; transformar el sumando – 3 · 4 en un factor. –8 · (–10 + 6) – 32 · (–8) – 12 = = –8 · (–4) + 256 – 12 = 276

b. 9 = 32 12 = 22 · 3 18 = 2 · 32 36 = 22 · 32 = 22 · 9 = (22 · 3) · 3 = 12 · 3 = = 2 · (2 · 32) = 2 · 18 33 m.c.m.(21; 24) = 168 m.c.m.(7; 9; 10) = 630 34 144 35 A los 90 minutos, o sea, a las 11:30. 36 a. 28 = 7 · 22; 70 = 7 · 2 · 5; 130 = 13 · 2 · 5 m.c.d.(28; 70; 130) = 2 b. 28 = 2 · 14; 70 = 2 · 35; 130 = 2 · 65

21 Hay que unir a. con e.; c. con d. y b. con f. 37 a. 2 22 a. 9

b. 2

c. 30

d. 23

b. 4

c. 5

e. –17 38 10 m; 4, 6 y 9 trozos, respectivamente.

23 a. 0; ± 7; ± 14; ± 21; ± 28; ± 35. b. Son números opuestos. 24 De 42: ±1; ±2; ±3; ±6; ±7; ±14; ±21 y ±42. De 63: ±1; ±3; ±7; ±9; ±21 y ±63. De 90: ±1; ±2; ±3; ±5; ±6; ±9; ±10; ±15; ±18; ±30; ±45 y ±90.

39 m.c.m.(700; 1.287) = 700 · 1.287; m.c.d.(700; 1.287) = 1; dan así porque son coprimos y si dos o más números son coprimos, el m.c.m. es su producto y el m.c.d. es 1. 40 a. 3

b. 3

c. 3

d. 4

25 a. –30; –25; –20; –15; –10; –5; 0; 5; 10; 15. b. –30; –15; 0 y 15.

41 a. 2 · 104 b. –493 · 103

26 Si un número es múltiplo de 2 y de 3, también lo es de 6; si es múltiplo de 2 y de 5, también lo es de 10. En general, si un número es múltiplo de otros dos, también lo es de su producto.

42 a. Es cierta, porque el primer miembro es negativo al ser el cociente entre un positivo y la potencia impar de un negativo, y cualquier negativo es menor que cualquier positivo. b. Es falsa, por la razón expuesta en el ítem a, ya que el primer miembro es negativo por ser una potencia impar de base negativa.

27 29, porque es el único número entre 25 y 35 que admite estas descomposiciones: 29 = 2 · 14 + 1 y 29 = 4 · 7 + 1. 28 a. Solo por 5. b. Por 2, 4, 5 y 10. c. Por 2, 3, 4 y 6.

c. –15 · 105 d. 315 · 107

43 a. (–2)2.006 – 2 < (–2)2.006 + 2 < (–2)2.008 < < (–2)2.008 + 2.005 b. (–2)2.006 – 2 + (–2)2.006 + 2 = 2 · (–2)2.006 = = 2 · 22.006 = 22.007

29 A cargo de los alumnos.

44 a. 47 30 a. y b. 396 y 4.378 son las únicas respuestas posibles para cada número; para 8_.1_5 hay nueve respuestas posibles, ya que las cifras a colocar deben sumar 3 o 14: 80.135; 83.105; 81.125; 82.115; 88.165; 86.185; 89.155; 85.195; 87.175. 31 Primos → 19 y 43 porque cada uno de ellos solo tiene cuatro divisores enteros: 1; –1, él mismo y su opuesto. Compuestos → 21 y 39: ambos tienen más de cuatro divisores enteros. 32 a. De 9 → 0; 9; 18; 27; 36; 45; 54; 63; 72; 81; 90; 99; 108. De 12 → 0; 12; 24; 36; 48; 60; 72; 84; 96; 108. De 18 → 0; 18; 36; 54; 72; 90; 108. El menor distinto de 0 es 36.

45 a. 2

b. 911

c. (–2)11

b. 1 y 2 o 0 y 3.

d. (–7)10 c. 0

46 Hay infinitas respuestas posibles, por ejemplo: a. 73 : 7 c. (–9)8 : (–9)3 5 2 b. 12 : 12 d. (–6)10 : (–6)6 47 a. 9 = 32

b. –16.384 = (–4)7

48 a. 218

b. 101

c. (–3)27

49 a. 49

b. 36

c. 225

50 a. 30

b. –30

c. 3

c. 1 = (–5)0 d. (–10)3

d. 400 d. –3

e. 2

f. –2

9 M-II_DOC_(01-24)_CERRADA.indd 9

11/9/09 9:29:07 AM

51 Son b y c; b es falsa porque 34 = 81 < 90; c es falsa porque (–3)3 = –27 < –18.

68 a. 5 b. 12 azules, 15 verdes, 10 doradas y 20 transparentes.

52 24, porque 24 + 265 = 289 = 172. 53 a. –7 g. –5

b. –3 c. –21 d. –64 e. 53 h. –100 i. –24 j. –41

f. 16

69 a. 12 bolsitas. b. 7 autitos, 5 cornetas y 12 caramelos. 70 a. 0,8 m x 0,4 m

54 376 → 3 + 7 + 6 = 16, que no es múltiplo de 9; entonces 376 tampoco lo es. 5.310 → 5 + 3 + 1 + 0 = 9, que es múltiplo de 9; entonces 5.310 también lo es. 55 276 = 200 + 70 + 6 = 2 · (99 +1) + 7 · (9 + 1) + 6 = = 2 · 99 + 2 + 7 · 9 + 7 + 6. Como 2 · 99 y 7 · 9 son múltiplos de 3 por ser múltiplos de 9, falta ver si 2 + 7 + 6 es múltiplo de 3. Como la suma es 15, y 15 es múltiplo de 3, entonces 276 también lo es. 56 Porque los únicos divisores que tienen en común son 1 y –1, y el mayor es 1.

b. 49 baldosas.

Capítulo 3 Para empezar 16.384 hoplitas. 1 a.

3 4

3 10

2 5

1 3

7 1 =1 6 6

Se leen: tres cuartos, tres décimos, dos quintos, un tercio y siete sextos o un entero un sexto, respectivamente.

57 Solamente 331.

2 A cargo de los alumnos.

58 3.850 = 2 · 52 · 7 · 11 –432 = (–1) · 24 · 33 –561 = (–1) · 3 · 11 · 17

3 El numerador: la parte coloreada; el denominador: la cantidad de veces que cada una de las partes coloreadas entra en la unidad.

a. b. c. d.

m.c.m. 180 120 600 1.820

m.c.d. 1 2 5 2

4 a. Conviene tomar la unidad de 4 cm. b. − <

60 Por ejemplo, 18, 30 y 42. 61 a. Por ejemplo, 12 y 18. b. Son 8 (6 y 36, 6 y –36, –6 y 36, –6 y –36, 12 y 18, 12 y –18, –12 y 18, –12 y –18). 62 Sí, porque es la única forma de hallar un número compuesto que contenga factores comunes a ambos números.

10 9 3 1 < − < − = −0, 75 < −0, 5 < − < 8 8 4 4 1 3 9 10 < 0, 5 < = 0, 75 < < 4 4 8 8

5 a. Por ejemplo: I. II.

2 7 y . 11 11 20 30 y . 11 11

III. −

11 11 y − . 20 21

IV. −

11 11 y − . 8 7

6 10 cm 64 36 m 65 a. A las 20:00 b. Desde las 8:00 (inclusive) y antes de las 20:00: las campanas, 6 veces; la alarma, 3 veces y la sirena, 4 veces. 66 a. 6 vueltas. b. 5 vueltas. 67 a. 0,16 m de lado.

7 Hay que dividir en 6 partes iguales el segmento cuyos extremos son las fracciones marcadas; cada una de ellas mide un sexto, con lo cual es sencillo ubicar 0, 6 sextos y su opuesto. 8 a. 0,8333…; –1,8; –1,5625; 4,5; –0,3888… y –0,333… Hay que rodear la segunda, la tercera y la cuarta.

b. 216 losetas. b. 0 <

15 27 25 < 1; −2 < − < −1; −2 < − < −1 18 15 16

b. Dependerá de las fracciones elegidas. 63 36 libros.

10 M-II_DOC_(01-24)_CERRADA.indd 10

11/9/09 9:29:11 AM

4 14 7 < 0. < 5; −1 < − < 0; −1 < − 12 28 18

4<4

17 a.

c. Redondeo a los… milésimos centésimos 15 = 0, 8333... 18

0,833

0,83

0,8

7 = 0, 3888... 18

–0,389

–0,39

–0,4

−

1 = −0, 333... 3

–0,333

–0,33

–0,3

34 17 II. = 90 45

...milésimos ...centésimos ...décimos 0,888…

0,889

0,89

0,9

0,888

0,88

0,8

 0, 37

0,378

0,38

0,4

0,377

0,37

0,3

 4, 193

4,193

4,19

4,2

4,193

4,19

4,1

c. Al truncar. 10 a. I.

7 12

III.

4 2 = 10 5

4 8

IV.

1 3

VI.

II.

7 5 + = 1 12 12

IV.

II.

4 4 + = 1 8 8

III.

4 6 + = 1 10 10

VI.

b. I.

11 a.

19 8

12 Vende

b. −

17 12

c. −

3 5

1 2

1.200 780 ; manzanas: ; 2.759 2.759

545 379 255 ; uvas: , y cerezas: . 5.518 2.759 5.518

b. La cuenta da $ 37,663, así que pudo haber pagado $ 37,65.

20 a. 1.ª columna 2.ª columna 1.º con 2.º 2.º con 3.º 3.º con 1.º b. Dividir por una fracción equivale a multiplicar por su inversa. 21 A lo sumo 26 cajones. 22 a. −

6 5

b. –15,46

f. −

8 9

g. 10

578 100

c. 10

d. –45,69

2 25

h. –0,03

257 ; 25,7% 1.000

30 ; 30% 100

24 a. 0,018

975 ; 975% 100

b. 0,2036

c. 0,25

2.773 ; 2.773% 100 f.

793 ; 79,3% 1.000

d. 0,025

25 a. $ 540 b. $ 3.540 c. 3.000 · 1,18 = 3.000 · (1 + 0,18) = = 3.000 + 3.000 · 0,18 El primer término es el capital inicial y el segundo coincide con el cálculo del 18% sobre ese importe.

3 2 + =1 5 5 13 4

frutillas:

2 7 + =1 9 9

18 a. Naranjas:

23 a.

e. 2,35

26 $ 94,25 27 388,65 (redondeado a los centésimos).

683 . 700

13 a. 32,01 b. –51,24

c. 51,24 d. –102,99

14 a. –103,805 b. 7,871 15

2 9

1 2 + =1 3 3

1 8

19 En el primero, la mitad; en el segundo, la sexta parte y en el tercero, la tercera parte.

3.774 629 III. = 900 150

b. R

1 3

décimos

−

8 9 a. I. 9

16 Seis autores, una secretaria, tres maquetistas, un dibujante y siete de imprenta.

19 40

e. 51,75 f. –51,75 c. 40,4972 d. 1,54

 28 a. −1, 5 < −0, 5 < 0, 2 < 0, 3 < 0, 8 < 1, 2 b. 6,020 < 6,09 < 6,1 < 6,11 < 6,22 < 6,25 c. –5,661 < –5,65 < –5,611 < 5,602 29 Para el ítem b. se pueden representar los números 6 y 6,25 en los extremos de un segmento de 75 mm; cada centésimo estará representado por un segmento de 3 mm.

11 M-II_DOC_(01-24)_CERRADA.indd 11

11/9/09 9:29:23 AM

Una escala posible para el ítem c. es que cada centésimo esté representado por un segmento de 2 mm. 30 a. Por ejemplo: − b. Por ejemplo:

360 144 3 24 . ; − ; − y− 600 240 5 40

700 280 14 7 . ; ; y 1.600 640 32 16

32 a. p > 4 b. La desigualdad no se cumple para ningún valor p natural; sí para p entero, con p < –4.

c. –3,9996

d. –4,99992

36 a. 0,0252525… < 0,205 < 0,2050505… < < 0,252525… < 0,2555… b. Por ejemplo: 0,1; 0,20503; 0,215 y 0,254. 37 a. y b. Milésimos 9,188 9,187 2,164 2,164 5,778 5,777 2,648 2,648

R T R 2,1642 T R 5,777… T R 2,6484848… T 9,1875

Centésimos 9,19 9,18 2,16 2,16 5,78 5,77 2,65 2,64

Décimos 9,2 9,1 2,2 2,1 5,8 5,7 2,6 2,6

x−

39 Diego puso $ 937,50; Ariel, $ 920, y Fer, $ 950. 15 52

41 a. 12,303 81,89 78,16 –48,38 33,51 111,67 160,05

1 1 1 1 x − ⋅ x = x = $ 1.242, 50 2 3 2 3

46 Como no repetían las fracciones, se puede pensar, por ejemplo, así: 3 6 5 1 1 1 = = + = + 5 10 10 10 2 10 4 3 1 1 1 = + = + 9 9 9 3 9 2 8 7 1 1 1 = = + = + 7 28 28 28 4 28 5 1 4 1 12 1 11 1 = + = + = + + = 11 11 11 11 33 11 33 33 1 1 1 = + + 11 3 33 47 0,24 m 48 a.

17 40

42 a. b. c. d. e. f.

44 Si llamamos x al dinero que tiene en el banco después de 1 año, x = $ 3.500 · 1,065 = $ 3.727,50. El cálculo sería:

45 $ 500

35 No, porque 1,999… = 2.

40 a.

3 4 x ⋅4 = x⋅ = 4 3 3

b. –m < –n

34 Por ejemplo: a. 1,95 b. –2,998

1 = x ⋅2 2

b. 90 b. 24,5002

49 a. −

8 3

37 30

b. –10 c.

1 3

c. −

49 20

9 25

1 2

1 24

50 9 tiras. c. –45,517

d. 15,204

g. 383,37 h. –66,98 i. –29,76 j. 2,12714285714285714285… k. 48,39 l. 21,09

43 Para cualquier número x vale: 25 1 a. x ⋅ 0, 25 = x ⋅ = x⋅ = x :4 100 4 b. x ⋅ 0, 75 = x ⋅

32 15

3 = x⋅3:4 4

51 $ 46,25 52 $ 3.750 53 La mitad (se multiplican las dos fracciones). 54 Por ejemplo: a. 123 × 34.567 ÷ 100.000 b. 98.765 ÷ 1.000 ÷ 432 c. 12 × 100 ÷ 34.567 d. 9.870 ÷ 65.432 55 a. A 2,5 m.

b. 50 · 2,5 m = 125 m

1 1 < m n

d. x : 0, 5 = x :

e. x : 0, 75 = x :

31 A cargo de los alumnos.

33 a.

c. x · 1,5 = x · (1 + 0,5) = x + 0,5 x

12 M-II_DOC_(01-24)_CERRADA.indd 12

11/9/09 9:29:29 AM

56 0,975 m y 1,95 m.

9 a.

57 Hay que unir a. con f., b. con d. y c. con e. 58 a. Sí b. TV: $ 680; DVD: $ 382,50 y audio: $ 977,50.

b. −

1 2

c. −

9 7

11 21

10 a. I.

9 3 = = 0, 3 100 10

59 18% de 49 = 0,18 · 49 = 18 · 0,49 = 0,49 · 18 = = 49% de 18

II.

81 9 = = 0, 9 100 10

60 $ 171,82; $ 191,18; $ 220,22; $ 296,45 y $ 834,90.

III.

144 12 = = 0, 12 10.000 100

IV.

121 11 = = 0, 11 10.000 100

4 2 = = 0, 002 1.000.000 1.000

Capítulo 4 Para empezar De izquierda a derecha: 1

VI.

1  1  1  1  1  1  =   , =   y =   . 2  2  4  2  8  2   8 64 16 c. −  = = 36 9  6 

 2 8 d. −  = − 125  5 

1 1 b.   = 32  2 

2 a.

 2  2  2  2  16 b. − − − −  =  3  3  3  3  81

10 10 100 ⋅ = 3 3 9

3 a. 3

b. 3

c. 2

d. 2

4 Si el exponente es par, la potencia es positiva; si es impar, la potencia tiene el signo de la base. 2

 2  2  2  4 5 −  = − −  = mientras que   5  5  25  5 22 2⋅2 4 − =− =− . 5 5 5 6 Si se nombran las potencias de izquierda a derecha, en la primera fila A, B, C, D y E, y en la segunda P, Q, R, S y T, hay que unir A con R, B con S, C con Q y E con T. 7 a. 0,0256 m2 8 a. c.

2 2 y − . 3 3

b. 0,004096 m3 b.

7 12

4 5

15.625 125 = = 0, 125 1.000.000 1.000

b. Son el doble.

8 512 1 a.   =  3  27

4 5

2 2 y − . 3 3

2 4 3 8 2 8 = = y − = 3 − . 3 9 27 3 27

11 a. −

1 3

b. 0,2

12 a. –0,25

b. 0,4

4 3 3 c. 8

c. −

d. 2 d. −

1 2

13 a. = (el producto de raíces es igual al producto de las raíces de cada factor, si estas existen). b. ≠ (los números negativos no tienen raíces reales de índice par). c. = (la raíz de un cociente es igual al cociente de raíces, si estas existen). d. ≠ (la radicación no es distributiva con respecto a la suma). e. ≠ (no existe la raíz cuadrada de un número negativo). f. = (ídem c.). 14 21,2 cm 15 a. 5.670 baldosas.

b. 90 y 63.

16 a. 3,5 m

b. 3,5 m3

17 a. −

35 35 b. c. –0,45 d. –0,1 e. –0,346875 12 288

18 a. I. 0,10100100010000100000… II. 3,112123123412345123456… III. 0,112233111222333111122223333… b. A cargo de los alumnos. c. A cargo de los alumnos. 19 En una calculadora de diez dígitos: 3,141592654. 20 Racionales:

4; 3 −8; 0,151515...; 2,197.

13 M-II_DOC_(01-24)_CERRADA.indd 13

11/9/09 9:29:38 AM

18; 3

36 a.

9 ; − 2. 45

21 a. 3, 4641 < 12 < 3, 464146414641... b. 2, 6457513 < 7 < 2, 64575131313...

22 Aproximación por redondeo: φ ≅ 1,61803399. 23 a. 34; 55; 89; 144; 233; 377; 610; 987; 1.597; 2.584; 4.181 y 6.765. b. Los cocientes se acercan cada vez más al valor de φ; el último coincide con φ hasta la séptima cifra decimal. 24 a. Una estrella de cinco puntas. b. A cargo de los alumnos. 25 a. I. 1,234 · 10 II. 1,98 · 1014 b. I. 4,2573

III. 3,45 · 10 IV. 5,678 · 10–13 II. 1,124244 · 102 –9

26 6,02 · 1026 27 3,85 · 105 < 1,5 · 108 < 1013 < 4 · 1013 28 Hay 4 órdenes de magnitud, lo que implicaría que la menor es un diezmilésimo de la mayor. 5

8 29 a.    11 

b. y c. No se puede. 3

 2 d. −   7 

 2 f. −   7 

2 e.    7 

30 a. b. y c. No. 31 9 cm

9 4

 145, 9264 < 12, 8 < 12, 88 < 12, 8

38 Por ejemplo: a. 2,574

40 3 · 1017 km

b. 3,185

2 · 1019 km

c. 1,567665

c. 7,6429 · 10–15

1,2 · 1023 km

Capítulo 5 Nota: los dibujos que quedan a cargo de los alumnos no se incluyen aquí. Para empezar En la de la izquierda, equiláteros acutángulos. En la otra, dos isósceles obtusángulos y un isósceles acutángulo. 1 a. Se traza una circunferencia de 2 cm de radio con centro en p y otra de 3 cm de radio con centro en q. b. Dos puntos (intersecciones de las dos circunferencias). c. Es escaleno acutángulo. 2 El equilátero es el único posible con esa base. El isósceles y el escaleno no son los únicos posibles. 3 b. Los triángulos 2 y 4 no se pueden construir, pues la longitud de uno de los lados es mayor que la suma de las de los otros dos.

5 a = 90° c. 9 < 9,499 < 10 d. –1 < –0,2 < 0

33 Silvina; se refiere a que la raíz cuadrada de un número positivo menor que 1 es mayor que el radicando, y la raíz cuadrada de 1 es 1. 34

4 a. El tercer ángulo mide 90°. Es un triángulo rectángulo. b. 65° cada uno. c. 60°

d. e. y f. Sí.

32 a. 4 < 4,242 < 5 b. –8< –7,518 < –7

b. –1,75

39 a. 2,0076 · 1013 b. 1,45312001892 · 1011

c. 3, 60555 < 13 < 3, 60555...

103 371

b = 46°

c = 44°

6 a. Se traza una circunferencia con centro en r y otra con igual radio con centro en s; los puntos se encuentran donde se intersecan ambas circunferencias. b. Iguales. c. 90°

712, 89 = 26, 7; 3.516, 49 = 59, 3; 924, 16 = 30, 4

7; 3.516, 49 = 59, 3; 924, 16 = 30, 4 y

249, 64 = 15, 8.

35 a. Las aristas de los cubos miden 10, 11, 12, 13, 14 y 15 cm. b. Los cubos de 11 a 14 cm de arista tienen por volumen 1.331, 1.728, 2.197 y 2.744 cm3, respectivamente.

7 a. Se podrían dibujar infinitos triángulos. b. …mediatriz de la base. 8 A cargo de los alumnos. 9 Hay que encontrar el punto donde se intersecan las mediatrices del triángulo cuyos vértices son las cruces de los ombúes.

Irracionales:

14 M-II_DOC_(01-24)_CERRADA.indd 14

11/9/09 9:29:42 AM

10 a. En el acutángulo es un punto interior; en el obtusángulo es uno exterior y en un triángulo rectángulo es interior, perteneciente a la hipotenusa. b. Se cumple la misma clasificación. 11 Se dibuja un triángulo con sus vértices en la circunferencia y se trazan las mediatrices de dos de sus lados. El punto donde se cortan es el centro de la circunferencia. 12 No, porque el tesoro puede estar bajo cualquiera de los álamos que están sobre la mediatriz del segmento imaginario cuyos extremos son la carpa azul y el depósito de leña. 13 a. 35°

b. Su bisectriz.

14 A cargo de los alumnos. 15 a. y b. A cargo de los alumnos. 16 Donde se cortan las bisectrices del triángulo. 17 Que se superponen. 18 a. A cargo de los alumnos (hay infinitas). c. Que es su mediatriz. 19 a. El centro es la intersección de las mediatrices de dos de los lados del triángulo abc. b. Una. c. El centro es la intersección de las bisectrices de los ángulos a, b y c. 20 a. No, ya que falta conocer la medida de otro lado o de otro ángulo para que el triángulo sea único. 21 c. Con tres datos alcanza (2 lados y el ángulo comprendido, un lado y sus dos ángulos adyacentes, los 3 lados).

28 a. Tres lados respectivamente iguales (LLL). b. Dos lados y el ángulo comprendido, respectivamente iguales (LAL). c. Un lado y los dos ángulos adyacentes a él, respectivamente iguales (ALA). 29 a. El criterio LAL: am = mb pues m es punto medio de ab. ad = bc pues abcd es un cuadrado. Los ángulos a y b son iguales por ser rectos. b. Es isósceles, ya que dm = mc por ser elementos correspondientes de dos triángulos congruentes. 30 a. ac = cb por ser radios de circunferencias iguales. b. Que es su mediatriz, porque c y d equidistan de los extremos de ab. c. Congruentes, porque tienen sus lados respectivamente iguales (criterio LLL), ya que ac = ad por ser radios; cb = bd por ser radios, y ab es común a ambos. 31 a. No, porque al superponerlas no coinciden, a pesar de cubrir igual superficie. b. Por ejemplo, como da = ab por ser lados opuestos del rectángulo; da = cb por el mismo motivo y ac es un lado en común, se cumple el criterio LLL. También se puede usar el criterio LAL, ya que los ángulos d y b son iguales por ser rectos. 32 Sí, porque tienen los lados verdes respectivamente iguales por ser lados de un polígono regular, y los demás lados iguales por ser radios de una misma circunferencia (criterio LLL). 33 45° 34 Se puede medir el segmento con regla, calcular y marcar su punto medio, y por ese punto trazar una perpendicular al segmento.

35 Perpendiculares. 22 b. Sí, con lados de distinta longitud a la utilizada. c. La longitud del lado cuyos extremos son los vértices de esos ángulos o la del lado opuesto al mayor de los ángulos.

36 Perpendiculares. 37 A cargo de los alumnos. 38 A cargo de los alumnos.

23 No, el triángulo es único. 24 b. No, es el único triángulo posible. 25 Hay 4 pares de triángulos congruentes: A y E; B y D; C y G; F y H. 26 a. Sí, dando distinta medida a los ángulos. b. La medida del ángulo que forman ambos lados, o bien la longitud del tercer lado. 27 a. Sí.

b. No. Es único.

39 Porque dos triángulos con ángulos congruentes, no son necesariamente congruentes. Es necesario agregar como dato la medida de uno de los lados. 40 a. Los seis triángulos tienen un lado respectivamente igual por ser lado del polígono regular, y los otros dos lados iguales por ser radios de una misma circunferencia (criterio LLL). b. 60°, ya que es la sexta parte de un ángulo de 360°. c. Equilátero, porque al ser isósceles (ya que dos lados son radios de la circunferencia), los ángulos

15 M-II_DOC_(01-24)_CERRADA.indd 15

11/9/09 9:29:42 AM

41 Sí, porque se puede trazar el cateto de 4 cm, por uno de sus extremos trazar una perpendicular y, con centro en el otro extremo, una circunferencia de 5 cm de radio; su intersección con la perpendicular trazada es el tercer vértice. Criterio LLL. 42 Sobre el punto medio de la hipotenusa. Se cumple en todos los triángulos rectángulos. Una forma de justificarlo puede ser esta: dado cualquier triángulo abc rectángulo en b, se puede construir el rectángulo abcd y trazar su diagonal bd. Como las diagonales de cualquier rectángulo son iguales y se cortan en su punto medio (m), se tiene que ma = mb = mc; por lo tanto, m pertenece a la mediatriz de ac, a la de ab y a la de bc, o sea que m, que es el punto medio de la hipotenusa del abc, es el punto de intersección de sus tres mediatrices. 43 a. Sí. Se puede aplicar el criterio LAL, ya que los ángulos aob y cod son congruentes por ser opuestos por el vértice, y los lados que los abarcan son congruentes, por ser radios de la circunferencia. b. Isósceles acutángulos.

Capítulo 6

7 a. …su opuesto es negativo. b. …un número negativo, es negativo. 8 a. 7x b. y2 c. –a3 : 4 d. –3 e. 2a3b3 f. –8x4 g. –10xy h. 5x2 + 7x (no se puede sumar x2 con x). i. 20x2y j. –3x + 4y2 (no se puede sumar x con y2). k. 5x2 : y2 9 a. 8x3

b. –x9

10 a. 2x2

11 a. 3; 6.

Para empezar 3x + 10x = 24 1 a. 2c b. 2c – 3 c. 2c – 3 + d d. 2c – 3 + d – 2 a. x + 10

6 a. El producto de cualquier número por 1 es el mismo número, o el 1 es el elemento neutro de la multiplicación. b. Cualquier número multiplicado por 0 es 0, o el 0 es el elemento absorbente de la multiplicación. c. El producto de dos potencias de igual base es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los anteriores. d. El cociente de dos potencias de igual base es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la resta de los anteriores. e. Cualquier número elevado a la 1 da el mismo número. f. Cualquier número elevado a la 0 da 1.

1 3

b. x – 4.

y x

25 32

c. 0

b. 3; 3.

c. 4; 2.

d. 2; 4.

12 a. 3n + 3m = 3k b. n + n + 1 = 2n + 1 c. 4n · m = 4k d. n2 = 3k, entonces n = 3q.

3 a. La diferencia entre el cuádruplo de un número y dos. b. Cinco menos el doble de un número. c. El doble del cubo de un número. d. La cuarta parte de un número aumentado en tres. e. El cuadrado de la suma entre un número y dos. f. La diferencia entre el cuadrado de un número y cuatro.

13 El cuadrado de un número impar es un número impar.

4 a. x + 20 b. x – 7 c. Dentro de x años. d. x + 4

18 x · y + 3 · y : 2

e. x + 19 f. x : 2 + 4 g. 2x + 4

5 a. Por ejemplo: a + b = b + a. b. Por ejemplo: a · b = b · a.

14 a. 4L 15 a. b · a

b. 4L = 12 b. 2b + 2a

16 (x cm · 5 cm) : 2 = 2,5x cm2 17 (4 cm · a cm) : 2 = 2a cm2

19 a · b · c 20 a. Hay que dibujar un rectángulo de 6 cuadraditos de ancho y 3 cuadraditos de alto con los 4 del centro pintados de rojo y los restantes, de amarillo.

opuestos a los radios son congruentes, y como el ángulo con vértice en el centro mide 60º, necesariamente cada uno de los otros también mide 60º; por lo tanto, al tener los 3 ángulos congruentes, es equilátero.

16 M-II_DOC_(01-24)_CERRADA.indd 16

11/9/09 9:29:43 AM

b. 8, 10, 12, 14 c. 6 rojos y 18 amarillos. d. 6 + 2n

43 a. −

54 7

44 a. Sí. 21 a. 17 y 21.

23 La a y la b. b. 7

25 a. 2 26 a. −

c. 2

d. 5

e. 6

f. 4

g. 1

h. 6

b. 3,6 20 3

1 3

c. 13

d. 1

e. 2

b. No.

b. 4n+1

22 Por ejemplo: B · A + C = E.

24 a. 6

b. −

45 a. En la segunda línea debería decir 7x – 2 + x = 3x + 1; y en la tercera, 7x – x – 3x – 2 – 1 = 0. b. En la tercera línea debería decir: –8x – x – x + 16 = 0. c. En la segunda línea debería decir: 5 – 7 – x + 3 – x = 0. 46 7 km

b. 15

9 5

47 77 y 79.

27 40 y 80.

48 8 cm

28 15 cm

49 7

29 99 cm y 101 cm.

50 3

30 4 meses.

51 9

31 17 días.

Capítulo 7

32 3 m 33 57 gorilas y 114 chimpancés.

Para empezar A cargo de los alumnos.

34 9 varones y 27 mujeres. 1 b. Uno en cada cuadrante. 35 a = 3 2 En el 4.º cuadrante. 36 En el segundo renglón, el 4.º término debe ser negativo; en el tercer renglón no separó en términos al

2 2 5 hacer − − = − ; en el último renglón debió 8 3 12 7 haber dividido por en lugar de restar. La solu24 6 ción es − . 5 37 a. c + 2m c. 2c + 3m + c : 2 b. 2c + 3 d. c + 3m + (c + 3m) : 10 38 a. El b. El c. El d. El

siguiente de un número. doble del siguiente de un número. siguiente del doble de un número. siguiente del triple de un número.

39 La c. 40 a. A = 6h

b. P = 12 + 2h

41 a. 2b + 4a

b. ab

42 a. 23

b. 3

c. 5ab

3 b. Un cuadrado. 4 Se obtiene una recta paralela al eje x que pasa por (0, 3). 5 a. A: $ 0,20; 2 min. B: $ 0,50; 4 min. C: $ 1; 8 min. b. Minutos para el eje x y $ para el eje y. c. x

0,20

0,50

1,00

6 F; V; F. 7 Con el eje x: (–1, 0) y (4, 0); con el eje y: (0, 1). 8 Sí, a cada día (entre el 15 y el 25 de abril) le corresponde una única temperatura máxima. La variable independiente son los días de abril entre el 15 y el 25; la variable dependiente es la temperatura máxima de cada día. 9 Sí, a cada hora (entre las 12 y las 17) le corresponde

17 M-II_DOC_(01-24)_CERRADA.indd 17

11/9/09 9:29:45 AM

una única altura. La variable independiente es la hora entre las 12 y las 17; la variable dependiente es la altura que alcanza el agua.

22 Por ejemplo: el tiempo y la presión; el tiempo y la humedad. 23 a.

10 a. No, ya que, por ejemplo, f(3) tiene dos valores, 4 y 6. b. Sí, a cada valor de x le corresponde un único valor de y. 11 a. Sí.

b. 5 h

135

180

225

270

c. No, porque no se pueden vender cantidades no naturales de celulares.

c. 150 km 24 a.

12 No, porque podría haber más de un código de barras que corresponda a un determinado precio (dos productos diferentes de igual precio tienen distintos códigos de barras). 13 a. No, porque los números naturales, excepto el 1, tienen más de un divisor. b. Sí, porque para cada número natural, al calcular su doble y sumarle 3 se obtiene un único valor, siempre. 14 a. No, porque tanto a los 200 km como a los 400 km hay dos valores de litros de nafta que le corresponden a cada uno. b. 25 L, 35 L. c. A los 200 km recargaron 25 L y a los 400 km, 30 L.

Base (cm)

Área (cm )

b. 2 cm d. Sí, porque puede haber valores de bases intermedios (que no sean naturales, sino reales positivos). 25 a. x y

100 150

3 50

150 250 100 200

8 50

b. No, porque y : x no es constante. 26 Sí, la función es y = 4,5 · x; $ 9, $ 18, $ 27, $ 36 y $ 45, respectivamente. 27 a.

15 a. Sí. b. Por ejemplo, Tiempo (en min)

Distancia (en km)

c. 12 km, suponiendo que va por un camino recto. d. Estuvo parado 5 min. Anduvo 55 minutos. b. P = 3 · L

4,5

5,5

7,2

4,5

b. y = 360 : x c. Sí, porque el producto de los valores que se corresponden es constante (x · y = 360 km).

30 a. f(x) = x : 4 + 5 c. 5,5; 5 y 5,0625, respectivamente. 31 a. f(x) = 3x – 7 c. y = f(4) = 5 d. 5, porque 3 · 5 – 7 = 8.

c. (0, 2) b. No.

30 12

29 a. A 3 km. b. v = 3 : t c. 0,2 horas = 12 minutos

19 a. No.

20 18

28 Son tres hipérbolas. En a. y b. se ubica en los cuadrantes I y III; en c. se ubica en los cuadrantes II y IV.

c. b = 4a – 2

17 a. y = 2x – 1 b.

18 b. (1, 0)

10 36

c. Sí.

d. No.

20 a. A = L2 b. La tabla se completa de arriba hacia abajo con: 0; 0,25; 1; 2,25; 4; 6,25; 9; 12,25; 16. 21 a. V = a3 b. La tabla se completa de arriba hacia abajo con: 0; 0,015625; 0,125; 0,421875; 1; 1,953125; 3,375; 5,359375; 8; 11,390625; 15,625.

32 La función a representar es y = 4x + 8,5. 33 a. I. Eje x: (1, 0); eje y: (0, –3). II. Eje x: (3, 0); eje y: (0, 3). b. Es (0, a), donde a es el término independiente. d. Si la recta forma un ángulo agudo con el semieje positivo de las x, la pendiente es positiva; si el ángulo es obtuso, la pendiente es negativa. 34 b. 2

16 a. y = x : 2

Veloc. (km/h) Tiempo (h)

18 M-II_DOC_(01-24)_CERRADA.indd 18

11/9/09 9:29:45 AM

35 a. La recta es f(x) = –2x + 7

b. 7

c. 3

rombo, romboide. b. Un rombo que no tenga ángulos rectos. Se diferencia en que tiene dos ángulos agudos y dos obtusos en lugar de tener los cuatro rectos.

36 A cargo de los alumnos. 37 b. (4, 1) 38 a. No.

b. Sí.

c. Sí.

d. Sí.

2 a y b. Pueden formarse un rectángulo y un paralelogramo común. 3 a. Un romboide. b. No. c. Sí, un par; están formados por dos tiras distintas.

39 a. N.º de cafés Precio ($)

4,50

13,50

22,50 27

40 La c. 41 a. A las 10:00 y a las 16:00. b. Al empezar, 37,5 ºC; al terminarlo, entre 38,5 ºC y 39 ºC. c. Entre 38 ºC y 38,5 ºC. d. No, a las 11:00.

4 a. Un trapecio isósceles. b. Tiene un par de lados paralelos y dos pares de ángulos congruentes. 5 Anaranjado: figuras 5 y 13 (trapezoide), 8 y 11 (romboide). Azul: figuras 4 (trapecio isósceles), 6 (trapecio común) y 7 (trapecio rectángulo). Verde: figuras 1 y 12 (rectángulo), 2 (rombo), 3 y 9 (cuadrado), 10 y 14 (paralelogramo común).

42 b. f(2) = 3 43 b. Sí, porque Jaime pasó por las edades intermedias. c. No, porque el cociente entre las cantidades que se corresponden no es constante. 44 a. y = 3,35 · x

6 c. 180° d. 180° e. 360° f. En todo cuadrilátero los ángulos interiores suman 360°. 7 c. Que son paralelos. d. paralelos; paralelos; ad // bc.

b. Sí, porque siempre y : x = 3,35.

45 La c. 46 A cargo de los alumnos. 47 a. La última columna se puede completar con cualquier par de valores cuyo producto sea –1. Por ejemplo: x

–1

–0,5

–0,333…

–0,25

–0,2

–0,1

8 a. Son congruentes. b. I. Los triángulos abc y adc son congruentes por el criterio LLL, ya que ac es común a ambos; ad = cb y ab = cd por ser lados opuestos de un paralelogramo. Entonces, los ángulos b y d son congruentes, por ser elementos correspondientes de triángulos congruentes. II. La demostración es similar a la del ítem anterior. c. En todo paralelogramo los ángulos opuestos son congruentes.

b. y = –1 : x

48 a. Por ejemplo: Base (b) (cm)

Altura (a) (cm)

c. a = 36 : b 49 a. Es el eje x.

b. 0

c. 0

Capítulo 8 Para empezar Cuadriláteros, triángulos, rombos. 1 a. Paralelogramo, rectángulo, cuadrado, rombo, trapecio escaleno, trapecio isósceles, trapezoide,

9 a. 360° b. 180° pues ambos son rectos. c. 180° d. A que los ángulos c y b suman 180º. e. …suplementarios. a + d = 180º b + c = 180º 10 b. Son congruentes.

c. Se cumple en todos.

11 Los triángulos adc y bad son congruentes por el criterio LAL, ya que ad es común a ambos triángulos; ab = cd por ser lados opuestos de un paralelogramo, y los ángulos a y d son congruentes por ser rectos. Entonces, ac = bd por ser elementos correspondientes de triángulos congruentes. 12 a. Se trazan dos circunferencias de 4 cm de radio con centros en m y o; donde se cortan están los vértices m y p. c. 90°

19 M-II_DOC_(01-24)_CERRADA.indd 19

11/9/09 9:29:45 AM

13 Los triángulos bcd y bad son congruentes por el criterio LLL, ya que bd es un lado en común; ab = bc y ad = dc por ser lados del rombo. a. Iguales, por ser elementos correspondientes de triángulos congruentes. b. Iguales, por ser elementos correspondientes de triángulos congruentes. c. Los triángulos abc y adc, con un razonamiento análogo al anterior.

22 Un hexágono; iguales.

14 a. No, es único. b. Sí, ya que la diagonal que no es eje de simetría puede cortar la otra en distintos puntos.

24 b. Podrían ser un cono (Leo) y una esfera (Pablo).

23 a. Cuadrada. Prisma de base rectangular. b. No, porque la diagonal de una cara del cubo es mayor que sus aristas. Prisma de base triangular. c. Trapecio isósceles, porque tiene un par de lados paralelos (por estar en planos paralelos) y el otro par de lados iguales (ambos tienen un extremo en un vértice y el otro en el punto medio de una arista).

25 Se hace un corte perpendicular a las bases del cilindro.

15 No; la longitud de la otra base. 26 Haciendo cortes inclinados (no paralelos a las bases del cilindro).

17 a. 180° b. Los ángulos 4 y 5 suman 180º, porque como los ángulos 4 y 3 son adyacentes y los ángulos 5 y 6 también, los cuatro suman 360º, pero los ángulos 3 y 6 son suplementarios por ser consecutivos de un paralelogramo, por lo tanto, también son suplementarios los ángulos 4 y 5. c. Como los ángulos 2 y 3 suman 180º por ser adyacentes y los ángulos 6 y 7 también, los cuatro suman 360º, pero los ángulos 3 y 6 suman 180° por ser consecutivos de un paralelogramo; por lo tanto, los ángulos 2 y 7 son suplementarios. Como los ángulos 1 y 3 son iguales por ser opuestos por el vértice, y los ángulos 8 y 6 también, los ángulos 1 y 8 suman 180°. ˆ ˆ=6 ˆ ˆ =7 ˆ=5 ˆ ˆ=8 ˆ 18 b. 1 4 2 3 c. Los ángulos 4 y 2 son iguales por ser opuestos por el vértice, y los ángulos 2 y 6 son iguales por ser correspondientes entre paralelas; entonces, los ángulos 4 y 6 son iguales. De manera similar se demuestra la igualdad entre los ángulos 3 y 5, 7 y 1, 8 y 2. 19 Poliedros regulares

Forma de las caras

N.° de caras

N.° de aristas

N.° de vértices

Tetraedro

Triangular

Cubo

Cuadrada

Octaedro

Triangular

Dodecaedro Pentagonal

Icosaedro

Triangular

20 a. 7 caras; 4 caras. b. 8 cuerpos; 14 caras. c. Tiene forma de triángulo equilátero. 21 a. 4. b. Prisma de base triangular. C. Rectangular.

27 a. Por ser ángulos opuestos de un paralelogramo, el azul y su opuesto miden 47°. Cada uno de los otros mide 133° por ser consecutivo a uno de 47°. b. El ángulo exterior dibujado mide 2 · 28º = 56°. Su adyacente interior mide 124° y lo mismo su opuesto. Cada uno de los otros dos ángulos mide 56° por ser consecutivo a uno de 124º. 28 El opuesto a la base mide 18,5 cm; los otros dos miden 26,5 cm cada uno, por ser lados opuestos de un paralelogramo. 29 Ambos son cuadrados. Conclusión: el cuadrado es un rombo especial y también es un rectángulo especial. 30 b. Se puede demostrar aplicando cualquiera de los criterios: LLL, LAL o ALA. 31 Los ángulos p y r miden 54°, y los ángulos o y q miden 126°. 32 La diagonal ac divide el romboide en dos triángulos congruentes (criterio LLL); por lo tanto, los ángulos b y d son iguales por ser elementos correspondientes, así que el ángulo d mide 105º. Los cuatro ángulos del romboide suman 360°. Como los ángulos a y b suman 193°, los ángulos c y d deben sumar 167°; por lo tanto, el ángulo c mide 62º. 33 Rojo: 62°; verde claro: 124°; naranja, celeste y verde oscuro: 56° cada uno. 34 Paralelas. 35 b. Si se traza la diagonal vs, por ejemplo, los triángulos vst y vsr son congruentes (criterio LLL), ya que tienen un lado común, y los otros dos pares de lados correspondientes congruentes por ser lados opuestos de un paralelogramo.

16 a. a = b = 72° c = 108° b. Azul: 72° Verde: 108º

20 M-II_DOC_(01-24)_CERRADA.indd 20

11/9/09 9:29:46 AM

Si se trazara la otra diagonal, los triángulos trv y tsr son congruentes por igual motivo. c. En los cuatro casos son congruentes por ser lados opuestos de un paralelogramo. 36 a. Pentagonales. b. Pentágonos y hexágonos regulares. c. 20 hexágonos y 12 pentágonos.

11 10 m 12 a. Puede ser cualquiera con la misma base y la misma altura que el triángulo. b. No. c. Por ejemplo, uno de 5 cm de base y 1 cm de altura. No tienen igual perímetro. 13 a. Un paralelogramo común. b. Área del paralelogramo abde = 14,8 cm2. Área de cada trapecio = 7,4 cm2.

Capítulo 9

14 a. 2.200 cm2 Para empezar • Cinco triángulos rectángulos isósceles, un cuadrado y un paralelogramo común. • La fucsia y la amarilla; la verde y la naranja; la azul, la roja y la celeste. • El triángulo fucsia o el amarillo se pueden formar de tres maneras distintas: I. Uniendo el triángulo rojo con el verde y con el naranja. II. Uniendo el paralelogramo con los triángulos verde y naranja. III. Uniendo el cuadrado con los triángulos verde y naranja. El triángulo rojo, el paralelogramo y el cuadrado se pueden formar uniendo los triángulos verde y naranja.

c. 128 cm2

15 a. Ocho; son congruentes porque todos tienen dos lados que son radios de la circunferencia que pasa por los vértices del octógono y un lado de 3 cm. b. 43,44 cm2 16 a. 20 m

b. 688 m2

17 41,52 cm2 18 Perímetro del rombo = (48 cm : 6) · 4 = 32 cm. Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la apotema del hexágono regular: 6,93 cm. Área del rombo abcd: 55,44 cm2. 19 1.ª: Perímetro = 75,36 cm Área = 452,16 cm2 2.ª: Perímetro = 31,4 cm Área = 78,5 cm2 3.ª: Perímetro = 1,028 m Área = 0,0628 m2

1 A cargo de los alumnos. 2 a. Iguales, pues están formadas por las mismas piezas. b. La de menor perímetro es la casita y la de mayor perímetro es el chinito. El paralelogramo y el triángulo tienen igual perímetro.

b. 72 cm2

3 La azul, la celeste y la roja; la fucsia y la amarilla; la naranja y la verde. 4 a. Un cateto mide 3 cm y el otro 4 cm. La hipotenusa, 5 cm. b. A2 = 25 cm2 B2 = 16 cm2 C2 = 9 cm2 c. El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

20 a. Radio

Diámetro

1m 2m 0,4 m 4m

2m 4m 0,8 m 8m

b. Sí

Perímetro del círculo 6,28 m 12,56 m 2,512 m 25,12 m

Área del círculo 3,14 m2 12,56 m2 0,5024 m2 50,24 m2

c. No, es el cuádruple.

21 642,6 mm 22 a. 1,6416 m2 b. 3,44 m2

c. 5,630976 m2 d. 3,44 m2

5 A cargo de los alumnos. 23 a. Área total = 54 cm2 Volumen = 27 cm3 b. Iguales. c. Área I = Área II = 234 cm2 Área III = 216 cm2 Volumen de cada uno = 162 cm3 d. Sí, como sucede con el cuerpo III.

6 A cargo de los alumnos. 7 La primera y la última. 8 a. 41 cm

b. 2,4 cm 24 Área total = 294 cm2

9 a. Dos triángulos rectángulos.

Volumen = 343 cm3

b. 7,2 cm

10 a. La hipotenusa y uno de los catetos. b. El otro cateto, que mide 12.

25 a. 768 cm3 b. Volumen de la pirámide = 256 cm3. Es un tercio del volumen del prisma.

21 M-II_DOC_(01-24)_CERRADA.indd 21

11/9/09 9:29:46 AM

26 a. Un rectángulo. b. Área lateral = 314 cm2 Área total = 471 cm2 c. Área total del cono = 254,02 cm2 27 El vaso cilíndrico puede contener el triple que la copa cónica.

3 Las frecuencias absolutas son: 1; 2; 3; 4; 5; 3; 6; 2; 3; 1. Las frecuencias relativas son: 1/30; 1/15; 1/10; 2/15; 1/6; 1/10; 1/5; 1/15; 1/10; 1/30. 4 b. Los resultados al tirar un dado. d. La paridad o la imparidad del resultado.

28 a. 1.004,8 cm3 b. Un tercio de h, o sea, 5 cm. 5.

30 a. Sí, porque el volumen del tanque es de 502,4 dm3 que equivalen a 502,4 L. b. 558,4 kg 31 a. Metió la llave en el recipiente y midió cuánto subió el nivel del agua. b. 23,55 cm3 32 a. Sí; no. b. El de madera flotaría y el de mármol se hundiría. c. Madera: 93,75 g. Mármol: 337,5 g. 33 a. 10,46 kg/dm3

b. 9,08 cm3

34 a. 6.472 g

b. 6,33 dm3

35 a. 0,9 g/cm3 b. Altura = 120 cm; Masa = 542,7 kg 36 a. T = 8 cm F = 8 cm E = 9 cm b. T = 1,75 cm2 F = 1,75 cm2 E = 2 cm2 c. Sí, las figuras de las letras T y F.

Capítulo 10 Para empezar Un ejemplo puede ser: Población: un pueblo de Argentina; Muestra: algunos pobladores de ese pueblo, elegidos al azar. 1 a. Una muestra, porque no es rentable analizar uno por uno todos los tornillos. b. La población, pues son pocos e interesa analizar cada caso. c. Una muestra con un representante de cada sector, para que sea representativa de todos los empleados. 2 a. Población: niños de la ciudad (mayores de 5 años). Muestra: 50 niños de la ciudad elegidos al azar. b. Edad a la que se le cayó el primer diente de leche.

Lanceoladas

Oblongas

Espatuladas

Ovaladas

10 2/5

6 6/25

4 4/25

5 1/5

f fr

6 En el eje horizontal se ubican los números de macetas y sobre cada uno se dibuja una barra cuya altura es el número de balcones correspondiente. 7 Por ejemplo, se puede usar como escala que cada dibujito del pictograma representa 20 personas que eligieron ese deporte. 8 En el eje horizontal se ubican los colores (C, R y P) y se dibuja una barra de altura 18 para C, una de altura 7 para R y una de altura 5 para P. 9 a. No se sabe; puede haber alumnos que rindieron y no respondieron ninguna pregunta, o también algunos que hayan respondido más de una. b. N.º de pregunta

N.º de alumnos que la respondieron

10 Los sectores tienen estos ángulos: Rojo: 150º, Verde: 84º, Blanco: 126º. 11 b. Los sectores tienen estos ángulos: Clásica: 160º, Pop: 125º, Rock: 75º. c. El circular, porque alcanza con ver si el ángulo del sector correspondiente es mayor que un llano. 12. Las frecuencias son: 139

140

141

142

143

144

145

146

147

148

149

150

153

El histograma se puede hacer, por ejemplo, con cuatro intervalos: 135 a 140, 140 a 145, 145 a 150, 150 a 155. En ese caso, las frecuencias serían 2, 10, 8 y 2, respectivamente. 13 a. (2 · 0 + 25 · 1 + 65 · 2 + 8 · 3) : 100 = 1,79 b. 2, es el de mayor frecuencia. c. 2, porque ordenados en forma creciente, el 2 ocupa los lugares 50.º y 51.º.

29 a. 5.610 dm3 b. 5.610 L c. Sí, porque pesaría unas 5,61 toneladas.

22 M-II_DOC_(01-24)_CERRADA.indd 22

11/9/09 9:29:46 AM

14 a. Si todos respondieron, es la suma de las frecuencias absolutas, o sea: 4 + 6 + 8 + 2 + 2 + 10 = 32. b. 2,6875; que, en promedio, la opinión está entre regular y buena. c. Moda: 5; es la calificación que apareció más. Mediana: 2; ordenados en forma creciente, el 2 deja tantos datos por debajo como por encima. 15 a. La mediana, porque es la menor de las tres. b. La media, porque es la más alta. 16 a. Mediana: 3; Moda: 3; Media: 4,2. b. La moda, porque es lo que le ocurre a la mayoría de los clientes. c. La moda no cambiaría porque es el valor que se presenta más veces; la mediana, tampoco, pues al ordenar los datos en forma creciente, el lugar 20.º lo ocupa el 3; la media disminuiría, porque se le restaría 18 al numerador y 1 al denominador. 17 a. Queda R-A-V, R-V-A, A-R-V, A-V-R, V-A-R y V-R-A. b. 3 · 2 · 1 = 6 18 24, 120, 720 y 5.040, respectivamente. 19 b. 6! = 720 20 a. 1/4; 1/2. b. 0,25; 0,5. 21 a. Aproximadamente 40 azules, 40 rojos y 20 amarillos, porque si los mezcló bien, la proporción debería conservarse. b. No, porque solo es una muestra. c. Para que la muestra sea representativa.

c. La altura. 25 a. Población: todos los habitantes del edificio (entre 400 y 1.000 personas). Muestra: podrían ser algunos habitantes del edificio seleccionados al azar (por ejemplo, 50), provenientes de distintos departamentos. Algunos valores de la variable podrían ser: marrones, celestes, verdes. 26 a. Los alumnos de nivel primario de su ciudad. b. Por ejemplo: hip-hop, cumbia, rock. 27 Temperaturas (ºC)

Frecuencias

28 C

1/2

29 a. Blanco. b. Blanco: 420, Negro: 120, Celeste: 120, Rojo: 60. 30 b. Se puede establecer que cada dibujito del pictograma represente 10 personas y dibujar 10 para Frutilla, 4 para Naranja, 6 para Limón y 3 para Pomelo. 31 A cargo de los alumnos. 32 6,2 33 Moda: 4, media: 4,7 aproximadamente; mediana: 4.

22 1/6, porque el 1 es un resultado de los 6 posibles.

23 a. 10/40 = 1/4, porque de las 40 cartas, hay 10 de cada palo. b. 1/40, porque hay 1 solo “2 de oro” en las 40 cartas. 24 a. Los alumnos de 6.º de la provincia de Buenos Aires. b. Todos los alumnos de 6.º de dos escuelas de la zona sur.

34 Cualquiera de los dos, ya que la mediana es 20 ºC y la media, 20,1 ºC. 35 Media: 15,6 aproximadamente; mediana: 15,5; moda: 15. 36 3! = 6 37 a. 1/2

b. 1/20

c. 6/20

23 M-II_DOC_(01-24)_CERRADA.indd 23

11/9/09 9:29:46 AM

Jefa de arte: Claudia Fano

Diagramación: Sergio Israelson

Av. L. N. Alem 720 (C1001AAP), Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina.

Corrección: Paula Smulevich Este libro no puede ser reproducido total ni parcialmente en ninguna forma, ni por ningún medio o procedimiento, sea reprográfico, fotocopia, microfilmación, mimeógrafo o cualquier otro sistema mecánico, fotoquímico, electrónico, informático, magnético, electroóptico, etcétera. Cualquier reproducción sin permiso de la editorial viola derechos reservados, es ilegal y constituye un delito.

M-II_DOC_(01-24)_CERRADA.indd 24

ISBN: 978-950-46-2169-0 Queda hecho el depósito que dispone la ley 11.723. Impreso en Argentina. Printed in Argentina. Primera edición: diciembre de 2009. Este libro se terminó de imprimir en el mes de diciembre de 2009, en Gráfica Vuelta de Página, Carlos Pellegrini 3652, Buenos Aires, República Argentina.

López, Alicia E. Matemática II. Recursos para el docente / Alicia E. López ; Gustavo E. Piñeiro ; Gisela B. Serrano. - 1a ed. - Buenos Aires : Santillana, 2009. 24 p. ; 28x22 cm. - (Santillana Prácticas) ISBN 978-950-46-2169-0 1. Guía Docente. 2. Matemática. I. Piñeiro, Gustavo E. II. Serrano, Gisela B. III. Título CDD 371.1

11/19/09 11:01:26 AM