UNIDAD II LOS NUMEROS RACIONALES
LOS NUMEROS RACIONALES LOS NÙMEROS Q.
Objetivos: Identificar las partes de un número Q por medio de una gráfica. Distinguir la relación de equivalencia entre Q. Representar en la recta numérica los números Q. Resolver operaciones en los Q.
Presentación: Los números racionales surgen de la comparación que se hace de cantidades enteras.
Los números racionales se usan para expresar la relación entre cantidades de la misma magnitud, la razón entre dos magnitudes diferentes, las partes de un todo o los porcentajes. Ejemplo de comparaciones de magnitudes diferentes: la distancia recorrida por un móvil con el tiempo empleado en recorrerla.
REFERENTES TEORICOS. Representación gráfica de un numero Q. Se tiene una hoja de papel que representa una unidad:
La divido en tres partes iguales:
Y tomo dos de ellas
2 (numerador) ---3 (denominador)
El denominador indica las partes en que se divide la unidad y el numerador las partes que se toman de la unidad (hay veces que se deben tomar más de una unidad. Por lo tanto, todo número racional es de la forma a donde a y b pertenecen a los números enteros. ---b Racionales equivalentes: Supongamos que tenemos una torta que inicialmente hemos dividido en dos partes iguales y una de ellas se ha cubierto con crema de chocolate. La parte cubierta con crema la representamos simbólicamente con la fracción 1 ---2
Una segunda torta se ha partido en cuatro partes, iguales de las cuales dos se han cubierto de crema. 2 ---4
Una tercera torta se ha divido en ocho partes; de ellas cuatro están cubiertas con crema observemos: Al representar esta nueva situación, utilizamos la fracción 4 -8
Observemos que en todos los casos la parte cubierta con crema es igual, es decir: 1 2 4 --- = ---- = ---2 4 8 1 2 4 En otras palabras, las fracciones --- , ---- y ---- son equivalentes 2 4 8 La misma cantidad; esto lo podemos comprobar si aplicamos el principio fundamental para las fracciones equivalentes. Veamos si 1 es equivalente a 2, entonces ------2 4
1 ---2
2 es decir 1 x 4 = 2 x 2 ---4 = 4 4
Conclusión: dos fracciones son equivalentes, si los productos cruzados entre sus elementos son iguales. Representación en la recta numérica de números Q. Los números racionales se pueden localizar sobre una recta en la cual se ha trazado una serie de divisiones ejemplo: Representar sobre una recta el numero racional 3 ---4 Solución tomando como referencia la recta para Z: Z+
-
3
-2 -1 0 1 2 3 ... ZAdecuando esa recta para Q, encontramos que: a. El denominador de la fracción que representa al número racional indica el número de divisiones que se debe hacer entre dos enteros consecutivos. b. el numerador de la misma fracción nos indica el valor del desplazamiento hacia la derecha o hacia la izquierda, según que el número racional sea positivo o negativo respectivamente. De acuerdo con lo anterior, para la fracción 3\4 se tiene que:
0
3\4
Ejemplo: representar el racional
1
2
3
-7\3
El denominador 3 indica que se deben hacer tres divisiones entre cada par de números enteros .El numerador 7 indica el numero de divisiones que debemos desplazarnos. Como la fracción es negativa, el desplazamiento lo hacemos de cero (0) hacia la izquierda.
3
- 7\3
-2
-1
0
Operaciones con Q. Para operar números racionales se utilizan las fracciones que los representan y se emplean a los siguientes métodos. Adición de “Q”
Sumar
, se observa que todas las cantidades poseen igual
denominador. Para llegar al resultado; basta con sumar los numeradores.
La adición de racionales de igual denominador implica sumar los numeradores y asignar como denominador del resultado, el común. Si es posible, se simplifica el resultado.
En la operación
los denominadores son diferentes, por lo cual, no es posible
realizar la operación directamente. Para hallar la solución, se debe buscar primero un denominador común por medio de m, c, m que, en este caso para 4 y 6 es 12. Amplificamos cada fracción buscando que el denominador original se transforme en el común, observemos:
Ahora adicionemos las fracciones equivalentes para hallar el resultado:
Para adicionar racionales de distinto denominador
Por medio del m.c.m se convierten a racionales con igual denominador. Se desarrolla la operación entre los nuevos numeradores y se conserva como denominador al obtenido con el m.c.m.
Sustracción de “Q” Desarrollemos la siguiente operación:
Otro ejemplo:
Busquemos el m.c.m entre 5 y 15 es 15. Amplifico cada fracción:
, no es necesario realizarle nada.
La sustracción entre números racionales sigue un proceso similar al utilizado para la adición de racionales: se transforman los fraccionarios en fracciones con igual denominador, se operan los numeradores amplificadas y se conservan como denominador el común.
Multiplicación de “Q”
Recordemos como multiplicar fracciones:
Para multiplicar dos racionales se multiplican los numeradores entre si y denominadores entre sí, se simplifica el resultado, si es posible.
División de “Q” Recordemos: Para dividir números Q, basta con multiplicar el Q dividiendo por el inverso multiplicativo del Q divisor.
Bibliografía. matemáticas constructiva Editorial libros & libros S.A Gustavo Centeno .Hollman Centeno R Alfa Editorial Norma Leonor Camargo Uribe. Gloria García de García. Cecilia Leguizamòn de Bernal Nuevo alfa .serie de matemáticas con énfasis en competencias Editorial Norma Algebra Dr Aurelio Baldor Edición 1981 Ediciones y distribuciones códices S.A Madrid