Για την δημιουργία του Λεξικού εργάστηκαν οι μαθητές/μαθήτριες: Ανδρεαδάκη Όλγα, Βουράκης Ευάγγελος, Γιανναράκης Αλέξανδρος, Δερμιτζάκη Νίκη, Δζαμπάζοβα Στέλλα Το εξώφυλλο ζωγράφισαν οι μαθήτριες: Βελίκοβα Μαρινέλα, Γκίκα Κισίλντα Επιμέλεια εργασίας: Γαλάνη Μαρία Μαθηματικός
1
Λεξικό Μαθηματικών εννοιών της Άλγεβρας Β ΄ Τάξης ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΛΑΤΑΝΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2012-2013
Ευρετήριο Μαθηματικών εννοιών 1
Αδύνατη εξίσωση
18
Γραφική παράσταση συνάρτησης
2
Ακέραιοι αριθμοί
19
Δύναμη ρητού αριθμού – Ορισμοί
3
Αλγεβρική παράσταση
20
Εκθετική μορφή αριθμών
4
Αναγωγή ομοίων όρων
21
Εξίσωση 1ου βαθμού με ένα άγνωστο
5
Ανισώσεις που αληθεύουν για όλες τις τιμές του χ - Ανισώσεις αδύνατες
22
Επαλήθευση μιας εξίσωσης
6
Αντίθετοι αριθμοί
23
Επίλυση ανίσωσης 1ου βαθμού
7
Άξονας των πραγματικών αριθμών
24
Επίλυση εξίσωσης 1ου βαθμού
7
Άξονας των πραγματικών αριθμών
25
Ετερόσημοι αριθμοί
8
Αόριστη εξίσωση ή ταυτότητα
26
Η συνάρτηση ψ = αχ
9
Απόλυτη τιμή ρητού αριθμού
27
Η συνάρτηση ψ = α χ +β
10
Απόσταση δύο σημείων στο επίπεδο
28
Η συνάρτηση ψ = χ
11
Αριθμητική παράσταση
29
Θετικός αριθμός
12
Αρνητικός αριθμός
30
Ιδιότητες ανισοτήτων
13
Άρρητοι αριθμοί
31
Ιδιότητες δυνάμεων
14
Αφαίρεση ρητών αριθμών
32
Ιδιότητες ισοτήτων
15
Βαθμός μιας εξίσωσης
33
Ιδιότητες πολλαπλασιασμού
16
Γινόμενο πολλών παραγόντων
34
Ιδιότητες πρόσθεσης
17
Γνωστοί και άγνωστοι όροι μιας εξίσωσης
35
Κανόνες υπολογισμού δυνάμεων ρητών αριθμών
36
Κοινές λύσεις δύο ή περισσοτέρων ανισώσεων
54
Πρόσθεση ομόσημων ρητών αριθμών
37
Λύσεις ανίσωσης
55
Πως συμβολίζεται ο αντίθετος του χ;----Πώς συμβολίζεται ο
2
α
αντίστροφος του χ; 38
Λύση ή ρίζα μιας εξίσωσης
56
Ρητοί αριθμοί
39
Μέλη μιας εξίσωσης
57
Σύγκριση ρητών αριθμών
40
Μεταβλητή
58
Συμμετρία ως προς άξονα
41
Όμοιοι όροι
59
Συμμετρία ως προς κέντρο
42
Ομόσημοι αριθμοί
60
Συνάρτηση
43
Ορισμός ανίσωσης 1ου βαθμού
61
Συντεταγμένες σημείου
44
Ορθογώνιο σύστημα αξόνων
62
Σχέση μεταξύ φυσικών, ακεραίων ρητών, άρρητων και πραγματικών αριθμών
45
Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων
63
Τεταγμένη σημείου
46
Παράσταση των λύσεων μιας ανίσωσης στον άξονα των ρητών αριθμών
64
Τεταρτημόριο
47
Πολλαπλασιασμός ρητών αριθμών
65
Τετμημένη σημείου
48
Ποσά ανάλογα
66
Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού α
49
Ποσά αντιστρόφως ανάλογα
67
Τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού
50
Πραγματικοί αριθμοί
68
Τετραγωνική ρίζα του μηδέν
51
Πράξεις με τετραγωνικές ρίζες
69
Υπερβολή
52
Πρόσημα
70
Φυσικοί αριθμοί
53
Πρόσθεση ετερόσημων ρητών αριθμών
3
Λέξη 1
Αδύνατη εξίσωση
Ορισμός
Παράδειγμα
Αδύνατη εξίσωση ονομάζεται η εξίσωση που δεν έχει λύση
3χ-5+4χ+8=7χ-12
Έχει τη μορφή 0χ=α, όπου α ≠
3χ+4χ-7χ=5-8-12
0
0χ=-15
2
Ακέραιοι αριθμοί
Συμβολίζονται με το Ζ.
Ζ= {…-3,-2,-1,0,1,2,3,…}
3
Αλγεβρική παράσταση
Ονομάζεται μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς και μεταβλητές
3χ+5ψ-2(4χ-ψ)
4
Αναγωγή ομοίων όρων
Αν σε μια αλγεβρική παράσταση αντικαταστήσουμε τούς όμοιους όρους με το άθροισμα τους, τότε λέμε ότι κάνουμε αναγωγή όμοιων ορών.
3χ-5ψ+7χ-2ω-6ψ+5ω=
Έχουν τη μορφή 0χ<α , όπου α θετικός αριθμός
0χ<7
5
Ανισώσεις που αληθεύουν για όλες τις τιμές του χ
Ή
10χ-11ψ+3ω
0χ>-8
0χ>α , όπου α αρνητικός αριθμός Ανισώσεις αδύνατες
Έχουν τη μορφή 0χ>α όπου α θετικός αριθμός
0χ>8
Ή
6
Αντίθετοι αριθμοί
0χ<α όπου α αρνητικός αριθμός
0χ<-7
Αντίθετοι λέγονται οι αριθμοί που έχουν ίδια απόλυτη τιμή, αλλά διαφορετικό πρόσημο.
36,-36
Ή Αντίθετοι λέγονται οι αριθμοί που έχουν άθροισμα 0
4
5,-5 α+(-α)=0
7
Λέξη
Ορισμός
Παράδειγμα
Λέξη
Ορισμός
Παράδειγμα
Άξονας των πραγματικών αριθμών
Είναι μια ευθεία στην οποία τοποθετούμε αρχικά το 0 και το 1 σε σημεία επιλογής μας και στη συνέχεια τους υπόλοιπους ακέραιους αριθμούς, έτσι ώστε να ισαπέχουν μεταξύ τους Οι υπόλοιποι ρητοί αριθμοί και οι άρρητοι τοποθετούνται με κατάλληλες μεθόδους σε σημεία της ευθείας.
8
Αόριστη εξίσωση
Ονομάζεται μια εξίσωση που έχει άπειρες λύσεις
Παράδειγμα:
ή ταυτότητα
Έχει τη μορφή 0χ=0
2(ω+3)-12=2ω-6 2ω-2ω=-6+12-6 0ω=0
9
Απόλυτη τιμή ρητού αριθμού
Ονομάζουμε την απόσταση του από το 0 (μηδέν ) Συμβολίζεται με a
− 5
=5
+4,2 =4,2 0 =0
10
Απόσταση δύο σημείων στο επίπεδο
Η απόσταση δύο σημείων Α(χ1,ψ1) και Β(χ2,ψ2) βρίσκεται με τη βοήθεια του Πυθαγορείου θεωρήματος από τον τύπο: ΑΒ=
( χ 2 − χ1 )
2
+ ( ψ 2 −ψ 1 )
2
Παράδειγμα: Α(3.2) και Β(-5,9) ΑΒ=
( −5 − 3) 2 + (9 − 2) 2 = ( −8) 2 + 7 2 = 64 + 49 = 113
11 5
Αριθμητική παράσταση
Αριθμητική παράσταση ονομάζουμε μια παράσταση που περιέχει
32.4-(6:2-5)
Λέξη
Ορισμός
Παράδειγμα
Ορισμός
Παράδειγμα
πράξεις με αριθμούς
Λέξη 12
Αρνητικός αριθμός
Αρνητικός αριθμός λέγεται αυτός που έχει μπροστα του το προσημο <<->>
-10,-23,-2013 , −
3 , -5,6 4
α<0
13
Άρρητοι αριθμοί
Άρρητοι λέγονται οι αριθμοί που δεν είναι ρητοί
2 ,
3,
5
Οι άρρητοι έχουν τη μορφή δεκαδικών αριθμών με άπειρα δεκαδικά ψηφία μη περιοδικά Ο π είναι επίσης ένας άρρητος αριθμός
14
Αφαίρεση ρητών αριθμών
Αν α-β =γ τότε β + γ =α
12-5=7 τότε 7+5=12
ο α ονομάζεται μειωτέος ο β ονομάζεται αφαιρετέος και ο γ ονομάζεται διαφορά.
15
16
6
Βαθμός μιας εξίσωσης
Γινόμενο πολλών παραγόντων
Για να βρω τη διάφορα δυο ρητών αριθμών προσθέτω στο μειωτέο τον αντίθετο του αφαιρετέου. Δηλαδή: α-β =α+(-β)
(-6)-(+5)=(-6)+(-5)=-11
Βαθμός μιας εξίσωσης ονομάζεται ο μεγαλύτερος εκθέτης της μεταβλητής
2χ2-4χ+9=0
(εξίσωση 2ου βαθμού)
3χ-5=7χ+2
(Εξίσωση 1ου βαθμού)
Θετικό πρόσημο : αν οι παράγοντες είναι θετικοί ή αν το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι άρτιο Αρνητικό πρόσημο: αν το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι περιττό
Θετικό: (-2).(-3).(+1).(+10)=+60 Αρνητικό : (+8)(-2)(-1)(+10)(-3)= - 480
Λέξη
Ορισμός Μηδέν: αν ένας τουλάχιστον από τους παράγοντες είναι μηδέν
Λέξη 17
Γνωστοί και άγνωστοι όροι μιας εξίσωσης
Παράδειγμα Μηδέν : (-5).0(+7)(-6)=0
Ορισμός
Παράδειγμα
Άγνωστοι όροι : ονομάζονται οι όροι που περιέχουν την μεταβλητή
3x-7=5x-2-x
Γνωστοί όροι ονομάζονται οι αριθμοί
Άγνωστοι όροι: 3χ , 5χ , -χ Γνωστοί όροι: -7 , -2
18
Γραφική παράσταση συνάρτησης
Αν παραστήσουμε όλα τα ζεύγη των αντιστοίχων τιμών μιας συνάρτησης με σημεία του επιπέδου με τη βοήθεια ενός συστήματος αξόνων, τότε το σύνολο των σημείων που βρίσκουμε λέγεται γραφική παράσταση της συνάρτησης
ψ = χ2
19
Δύναμη ρητού αριθμού
ν>1 αν = α. α .α …….α
Ορισμοί
ν=1 α1=α
ν παράγοντες
ν
α
−ν
1 1 = ν = ÷ α α
Η δύναμη αν διαβάζεται άλφα στη νι ή νιοστή δύναμη του α Η δύναμη α2 διαβάζεται άλφα στο τετράγωνο ή άλφα στη δευτέρα Η δύναμη α3 διαβάζεται άλφα στο κύβο ή άλφα στη τρίτη
20 7
Εκθετική μορφή αριθμών
1) Εκθετική πολύ μεγάλων αριθμών α.10ν όπου 1 ≤ α p 10
1) 3500000000000= 3,5 .1011
Λέξη
Ορισμός 2) Εκθετική μορφή πολύ μικρών αριθμών α.10-ν
Λέξη 21
Εξίσωση 1ου βαθμού
Παράδειγμα 1 ≤ α p 10
Ορισμός Ονομάζεται μια εξίσωση της μορφής αχ+β=0
με ένα άγνωστο
22
Επαλήθευση μιας εξίσωσης
2) 0,0000000000000000000235 = 2,35 .10-20
Παράδειγμα 3χ+5=0 4χ=-8
Όταν θέλουμε να επαληθεύσουμε μια εξίσωση στη θέση της
Λύση:
Επαλήθευση:
μεταβλητής αντικαθιστούμε τον αριθμό που βρήκαμε στη λύση και κάνουμε πράξεις με σκοπό να βρούμε τα δύο μέλη ίσα
5χ-5=3χ+7
5χ-5 =3χ+7
5χ-3χ=5+7
5.6-5=3.6+7
2χ=12
30-5=18+7
Χ=6
23
Επίλυση ανίσωσης 1ου βαθμού
1)Απαλοιφή παρανομαστών (Βρίσκουμε το ΕΚΠ των παρανομαστών και πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους της ανίσωσης .) 2)Απαλοιφή παρενθέσεων (επιμεριστική ιδιότητα) 3) Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους 4) Αναγωγή όμοιων ορών 5) Διαιρούμε και τα 2 μελή με το συντελεστή του αγνώστου (Προσέχουμε να αλλάξουμε τη φορά της ανίσωσης αν διαιρέσουμε με αρνητικό αριθμό) 6)Παριστάνουμε τις λύσεις της ανίσωσης πάνω στον άξονα των ρητών αριθμών
8
25=25
χ −1 2χ + 3 χ − ≥ 1− 3 6 2 6( χ − 1) 6(2 χ + 3) 6χ − ≥ 6.1 − 3 6 2 2( χ − 1) − (2 χ + 3) ≥ 6 − 3χ 2 χ − 2 − 2 χ − 3 ≥ 6 − 3χ 2 χ − 2 χ + 3χ ≥ 2 + 3 + 6 3χ ≥ 12 3χ 12 ≥ 3 3 χ ≥4 .4
24
Λέξη
Ορισμός
Παράδειγμα
Λέξη
Ορισμός
Παράδειγμα
Επίλυση εξίσωσης 1ου βαθμού
1)Απαλοιφή παρανομαστών (Βρίσκουμε το ΕΚΠ των παρανομαστών και πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους της εξίσωσης .) 2)Απαλοιφή παρενθέσεων (επιμεριστική ιδιότητα) 3) Χωρίζω γνωστούς από αγνώστους 4) Αναγωγή όμοιων ορών 5) Διαιρούμε και τα 2 μελή με το συντελεστή του αγνώστου
25
Ετερόσημοι αριθμοί
Ονομάζονται οι αριθμοί που έχουν διαφορετικό πρόσημο
3χ − 2 2 χ + 1 χ − 5 − = +1 5 15 3 15(3χ − 2) 15(2 χ + 1) 15( χ − 5) − = + 15.1 5 15 3 3(3χ − 2) − (2 χ + 1) = 5( χ − 5) + 15 9 χ − 6 − 2 χ − 1 = 5 χ − 25 + 15 9 χ − 2 χ − 5 χ = 6 − 25 + 15 2χ = −4 2 χ −4 = 2 2 χ = −2
+2 , -5 -13 , +8
26
Η συνάρτηση ψ = αχ
Η συνάρτηση ψ = αχ συνδέει ανάλογα ποσά. Η γραφική της παράσταση είναι ευθεία που διέρχεται από το σημείο (0,0) και βρίσκεται στο 1ο και 3ο τεταρτημόριο αν α>0 2ο και 4ο τεταρτημόριο αν α<0
α=
9
ψ = εϕω = χ
κλίση ευθείας = συντελεστής αναλογίας
Λέξη 27
Ορισμός
Η συνάρτηση
Παράδειγμα
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ =α χ + β είναι ευθεία που διέρχεται από το σημείο (0,β)
ψ = α χ +β
α = κλίση ευθείας
ψ = 3χ + 2
Αν ε1 : ψ-α1χ και ε2: ψ=α2χ+β2 τότε αν α1=α2 οι ευθείες ε1 ,ε2 είναι παράλληλες
Λέξη 28
Η συνάρτηση ψ
Ορισμός
=
α χ
Η συνάρτηση ψ =
Παράδειγμα
α με α ≠ 0 συνδέει αντιστρόφως ανάλογα ποσά. χ ψ=
α Για τη συνάρτηση ψ = ισχύει χ ≠ 0 και ψ ≠ 0 χ
2 χ
Η γραφική της παράσταση είναι μια καμπύλη που λέγεται υπερβολή . Η υπερβολή έχει 2 κλάδους που βρίσκονται στο : 1ο και 3ο τεταρτημόριο αν α>0 ο
ψ =−
ο
2 και 4 τεταρτημόριο αν α<0 Έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο (0,0) Έχει άξονες συμμετρίας τις ευθείες ψ=χ και ψ=-χ
29
10
Θετικός αριθμός
Είναι ο αριθμός που έχει μπροστά το «+» ή τίποτα
[ α>0 ]
+15 , +3 ,8 , 5, +236 ,
+
3 ,+5,72 4
2 χ
Λέξη 30
Ιδιότητες ανισοτήτων
Ορισμός
Παράδειγμα
1) Αν α < β τότε α + γ < β + γ
1) 2<3 τότε 2+5< 3+5
2) Αν α < β τότε α – γ < β - γ
2) 2<3 τότε 2-1<3-1
3 Αν )α < β και γ>0 τότε α . γ < β . γ
3) 2<3 τότε 2.4<3.4
Αν α < β και γ<0 τότε α . γ > β . γ 4)Αν α < β και γ>0 τότε α/γ < β/γ
2<3 τότε 2.(-4)>3.(-4) 4) 2<3 τότε 2:4<3:4
Αν α < β και γ<0 τότε α/γ > β/γ
Λέξη 31
32
33 11
Ιδιότητες δυνάμεων
Ιδιότητες ισοτήτων
Ιδιότητες
2<3 τότε 2:(-4)>3: (-4)
Ορισμός
Παράδειγμα
1) αν . αμ = α ν +μ
23.24=27
2) αν : αμ = αν-μ
24:23=21
3) (αν )μ = α ν .μ
(23)2=26
4) αν . β ν = (α .β )ν
23.53=(2.5)3
5) αν / β ν = (α/β)ν
62:22=(6:2)2=32
6) (α/β)-ν=(β/α)ν
(6/5)-2=(5/6)2
Aν α =β τότε α + γ =β + γ
Αν α =β τότε α+3 =β+3
Αν α =β τότε α- γ = β - γ
Αν α =β τότε α-2=β-2
Αν α =β τότε α . γ = α . β
Αν α =β τότε 4.α=4.β
Αν α =β τότε α:γ=β:γ
Αν α =β τότε α:5=β:5
1) Αντιμεταθετική α . β = β . α
1) 2.3=3.2
Λέξη πολλαπλασιασμού
Ορισμός 2) Προσεταιριστική (α .β ). γ = α . (β . γ)
2) (2.3).4=2.(3.4)
3) Ουδέτερο στοιχείο α.1=α
3) 8.1=8
4) Απορροφητικό στοιχείο είναι το 0 δηλαδή α.0=0
4) 5.0=0
5) Αντίστροφοι αριθμοί α.
1 =1 α
6) Επιμεριστική α (β +γ )= α . β + α . γ
Λέξη 34
Ιδιότητες πρόσθεσης
Παράδειγμα
5) 2.
1 =1 2
6) 2(3+4)=2.3+2.4
Ορισμός
Παράδειγμα
1) Αντιμεταθετική α + β = β + α
1) (-7)+(+8)=(+8)+(-7)
2) Προσεταιριστική (α + β) + γ =α +(β + γ)
2) [(-2)+(-4)]+(+7)=
3) Οι αντίθετοι αριθμοί έχουν άθροισμα 0 α+(-α)=0 4) Το μηδέν είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης α+0=α
(-2)+[(-4)+(+7)] 3) (-9)+(+9)=0 4) (-6)+0=-6
35
Κανόνες υπολογισμού δυνάμεων ρητών αριθμών
Η δύναμη ενός αριθμού είναι θετικός αριθμός αν: 1) η βάση είναι θετικός αριθμός ή
( +4)3 = +64
2) η βάση είναι αρνητικός αριθμός καί ο εκθέτης άρτιος
( −3) 4 = +81
Η δύναμη ενός αριθμού είναι αρνητικός αριθμός αν: Η βάση είναι αρνητικός αριθμός και ο εκθέτης περιττός αριθμός.
36
12
Κοινές λύσεις δύο ή περισσοτέρων ανισώσεων
Ονομάζονται οι αριθμοί που επαληθεύουν ταυτόχρονα όλες τις ανισώσεις
( −5)3 = −125
Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: 2χ+8>χ+3 και 3χ-2<χ+3
Λέξη
Ορισμός Μέθοδος εύρεσης των κοινών λύσεων: 1) Λύνουμε κάθε ανίσωση χωριστά
Παράδειγμα 2χ-χ>-8+3
3χ-χ<2+3
χ>-5
2χ<5 χ<2,5
2) Στον ίδιο άξονα παριστάνουμε τις λύσεις κάθε ανίσωσης .-5
3) Παρατηρώντας τον άξονα βρίσκουμε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων
.2,5
Κοινές λύσεις: -5<χ<2,5
Λέξη 37
Λύσεις ανίσωσης
Ορισμός Λύσεις μιας ανίσωσης ονομάζονται οι αριθμοί που την επαληθεύουν.
Παράδειγμα 3χ-8>10 Π.χ. Ο αριθμός 7 είναι λύση γιατί 3.7-8>10
38
Λύση ή ρίζα μιας εξίσωσης
Λύση ή ρίζα μιας εξίσωσης ονομάζεται ο αριθμός που την επαληθεύει
Ο αριθμός 2 είναι λύση της εξίσωσης 4χ-1=3χ+1 γιατί 4.2-1=3.2+1
39
Μέλη μιας εξίσωσης
1ο μέλος : ότι γράφεται πριν το =
5χ-6=2-7χ
2ο μέλος :ότι γράφεται μετά το =
1ο μέλος: 5χ-6 2ο μέλος: 2-7χ
13
Λέξη
Ορισμός
Παράδειγμα
40
Μεταβλητή
Το γράμμα που παριστάνει οποιοδήποτε αριθμό ονομάζεται μεταβλητή
Χ , ψ ,α , β ,……………
41
Όμοιοι όροι
Οι όροι μιας αλγεβρικής παράστασης που έχουν την ίδια μεταβλητή ονομάζονται όμοιοι όροι
3χ+2ψ-7ω+8ψ-9ω+4χ Όμοιοι όροι: 3χ , 4χ 2ψ , 8ψ -7ω , -9ω
42
Ομόσημοι αριθμοί
Ονομάζονται οι αριθμοί που έχουν το ίδιο πρόσημο
Λέξη 43
44
Ορισμός ανίσωσης
Ορθογώνιο σύστημα αξόνων
ή
Ορισμός Μια ανισότητα που περιέχει μια ή περισσότερες μεταβλητές λέγεται ανίσωση Ένα σύστημα αξόνων που αποτελείται από: Α) 2 κάθετους άξονες Β) Με διαφορετική μονάδα μέτρησης ο καθένας
14
+3 , +8
-7 , -9
Παράδειγμα 2χ-5<8 2χ-6ψ>12
Λέξη 45
Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων
Ορισμός
Παράδειγμα
Ένα σύστημα αξόνων που αποτελείται από : Α) 2 κάθετους άξονες Β) Με την ίδια μονάδα μέτρησης και στους δύο άξονες
46
47
Παράσταση των λύσεων μιας ανίσωσης στον άξονα των ρητών αριθμών
Αν χ < α τότε
α
Αν χ > α
α
Πολλαπλασιασμός ρητών αριθμών
1)Για να βρούμε το γινόμενο δυο ομόσημων ρητών αριθμών πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο γινόμενο βάζουμε το πρόσημο <<+>> +.+ =+ - .- =+
(+5).(+4)=+20
2)Για να βρούμε το γινόμενο δυο ετερόσημων ρητών αριθμών πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο γινόμενο τους βάζουμε το πρόσημο <<->> +.-=-.+=-
(-4).(+8)=-32
Λέξη 48
Ποσά ανάλογα
(+5).(-9)=-45
Ορισμός Δύο ποσά λέγονται ανάλογα όταν πολλαπλασιάζοντας τις τιμές του ενός ποσού με έναν αριθμό , πολλαπλασιάζονται και οι αντίστοιχες τιμές του άλλου ποσού με τον ίδιο αριθμό. Στα ανάλογα ποσά ο λόγος των αντιστοίχων τιμών είναι σταθερός Συνδέονται με σχέση της μορφής ψ=αχ
15
(-6).(-7)=+42
Παράδειγμα Χ= Πλευρά τετραγώνου
1
2
3
Ψ= περίμετρος τετραγώνου
4
8
12
Λέξη
Ορισμός
Παράδειγμα Ψ=4χ
49
Ποσά αντιστρόφως ανάλογα
Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα όταν πολλαπλασιάζοντας τις τιμές του ενός ποσού με έναν αριθμό , τότε διαιρούνται οι αντίστοιχες τιμές του άλλου ποσού με τον ίδιο αριθμό. Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γινόμενο των αντιστοίχων τιμών είναι σταθερό. Συνδέονται με σχέση της μορφής ψ
50
Πραγματικοί αριθμοί
=
α όπου α ≠ 0 και χ ≠ 0 χ
Αν ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει εμβαδόν 40 τότε: Χ= μήκος ορθογωνίου παραλληλογράμμου
1
2
4
Ψ= πλάτος ορθογωνίου παραλληλογράμμου
40
20
10
ψ=
40 χ
Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από την ένωση των ρητών και των άρρητων αριθμών. Οι πραγματικοί αριθμοί συμβολίζονται με το R
51
Πράξεις με τετραγωνικές ρίζες
Πρόσθεση- αφαίρεση: Προσθέτουμε τους συντελεστές των ομοίων ριζών Πολλαπλασιασμός: Διαίρεση:
Λέξη 16
2 3 −5 2 + 7 5 −8 3 − 2 5 + 4 2 =
α . β = α .β
(2 − 8) 3 + ( −5 + 4) 2 + (7 − 2) 5 = −6 3 − 2 + 5 5
3. 12 = 3.12 = 36 = 6
α α = β β
12 12 = = 4=2 3 3
Ορισμός
Παράδειγμα
Λέξη
Ορισμός
Παράδειγμα
52
Πρόσημα
Τα σύμβολα <<+>> και <<->> λέγονται πρόσημα και γράφονται μπροστά από τους αριθμούς
+8 -90
53
Πρόσθεση ετερόσημων ρητών αριθμών
Για να προσθέσουμε ετερόσημους ρητούς αριθμούς αφαιρούμε τις απόλυτες τιμές τους και βάζουμε το πρόσημο του αριθμού με την μεγαλύτερη απόλυτη τιμή
(-6) + (+9) = +3
54
Πρόσθεση ομόσημων ρητών αριθμών
Για να προσθέσουμε ομόσημους ρητούς αριθμούς προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και βάζουμε το κοινό τους πρόσημο
(+9)+(+3)=+12 (-4)+(-5)=-9
55
Πως συμβολίζεται ο αντίθετος του χ;
-χ
56
Ρητοί αριθμοί
Ρητός λέγεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος με όρους ακέραιους.
(-10) + (+8)= -2
Πώς συμβολίζεται ο αντίστροφος του χ;
1 χ
Ρητοί αριθμοί είναι: 1) Όλοι οι φυσικοί γιατί μπορούν να γραφτούν σαν κλάσματα. Π.χ. 3 =
3 1
2) Όλοι οι ακέραιοι γιατί μπορούν να γραφτούν σαν κλάσματα. Π.χ. −7 = −
Το σύνολο των ρητών αριθμών συμβολίζεται με το Q
7 1
35 10 145 Όλοι οι απλοί δεκαδικοί αριθμοί γιατί μπορούν να γραφτούν σαν κλάσματα. Π.χ. 1, 45 = 100 2356 2,356 = 1000 3,5 =
3)
4) Όλοι οι περιοδικοί δεκαδικοί αριθμοί γιατί μπορούν να γραφτούν σαν κλάσματα. Π.χ. 23 − 2 21 7 = = 9 9 3 145 − 1 144 48 16 1, 4545..... = = = = 99 99 33 11 2,333.... =
17
Λέξη
Ορισμός 5) Όλα τα κλάσματα
Λέξη 57
Σύγκριση ρητών αριθμών
Παράδειγμα 3 11 −67 ,− , ..... 5 3 8
Ορισμός 1) Από δυο ρητούς αριθμούς μεγαλύτερος είναι αυτός που βρίσκεται δεξιότερα πάνω στον άξονα.
3) Το μηδέν είναι μικρότερο από όλους τους θετικούς αριθμούς
0<+7
6) Από δυο αρνητικούς αριθμούς μεγαλύτερος είναι αυτός που έχει την μικρότερη απόλυτη τιμή. Το συμμετρικό ενός σημείου Α (χ, ψ) ως προς τον άξονα χ ΄ χ είναι το σημείο Α΄ (χ,- ψ). Το συμμετρικό ενός σημείου Α (χ, ψ) ως προς τον άξονα ψ ΄ ψ είναι το σημείο Α΄ ΄( -χ, ψ).
18
.α α>β
0>-11
5) Από δυο θετικούς αριθμούς μεγαλύτερος είναι αυτός που έχει την μεγαλύτερη απόλυτη τιμή.
Συμμετρία ως προς άξονα
.β
2) Το μηδέν είναι μεγαλύτερο από όλους τους αρνητικούς αριθμούς
4) Κάθε θετικός αριθμός είναι μεγαλύτερος από κάθε αρνητικό αριθμό.
58
Παράδειγμα
+12>-5
+23>+18 -7>-12
Λέξη 59
Συμμετρία ως προς κέντρο
Ορισμός
Παράδειγμα
Το συμμετρικό ενός σημείου Α (χ, ψ) ως προς κέντρο συμμετρίας το (0,0) είναι το σημείο Α΄ ΄ ΄( -χ, -ψ).
Λέξη 60
Συνάρτηση
Ορισμός Συνάρτηση ονομάζουμε μια ισότητα που περιέχει δύο μεταβλητές χ και ψ τέτοια ώστε σε κάθε τιμή του χ να αντιστοιχεί μια μόνο τιμή του ψ
Παράδειγμα Ψ=2χ Ψ=3χ-8 Ψ=4χ2 Ψ=2χ2-5χ+6 Ψ=4χ3
61
Συντεταγμένες σημείου
Σε κάθε σημείο Μ του επιπέδου αντιστοιχεί ένα διατεταγμένο ζεύγος αριθμών (χ , ψ) Το χ λέγεται τετμημένη του σημείου και το ψ τεταγμένη του σημείου Η τετμημένη και η τεταγμένη του σημείου λέγονται καρτεσιανές συντεταγμένες του σημείου ή απλώς συντεταγμένες.
62
Σχέση μεταξύ φυσικών, ακεραίων ρητών, άρρητων και πραγματικών αριθμών
Η σχέση τους φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα του Venn
R
19
Q
Ζ
Ν
Μ (-5 , -8) Οι συντεταγμένες του Μ είναι: το -5 και το -8
Λέξη
63
Τεταγμένη σημείου
Ορισμός
Σε κάθε σημείο Μ του επιπέδου αντιστοιχεί ένα διατεταγμένο ζεύγος αριθμών (χ , ψ).
Παράδειγμα
Μ(-6,+8) Τεταγμένη του Μ =+8
Ο δεύτερος αριθμός, το ψ λέγεται τεταγμένη του σημείου.
Λέξη
Ορισμός
64
Τεταρτημόριο
Ένα σύστημα ορθογωνίων αξόνων χωρίζει το επίπεδο σε 4 μέρη , καθένα από τα οποία λέγεται τεταρτημόριο.
65
Τετμημένη σημείου
Σε κάθε σημείο Μ του επιπέδου αντιστοιχεί ένα διατεταγμένο ζεύγος αριθμών (χ , ψ).
Παράδειγμα
Μ(3,-6) Τετμημένη του Μ =3
Ο πρώτος αριθμός , το χ λέγεται τετμημένη του σημείου
66
Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού α
Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α ονομάζεται ο θετικός αριθμός ο οποίος όταν υψωθεί στο τετράγωνο μας δίνει τον α. Συμβολίζεται με
α
16 = 4
Ισχύει: Αν
20
α ≥ 0 και
α = χ τότε χ 2 = α
( 5)
2
=5
72 = 7
γιατί 42=16
Λέξη
Ορισμός
( α) Αν α ≥ 0 τότε
2
Παράδειγμα Προσοχή!!!!!!!!!
=α
( −5 )
2
=5
α2 =α
67
Τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού
Τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού δεν ορίζεται γιατί δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που το τετράγωνό του να είναι αρνητικός.
−25 = δεν − ορ ί ζεται
γιατ ί ( −5) 2 = +25 ( +5) 2 = +25
Λέξη 68
Ορισμός
Τετραγωνική ρίζα του
0 =0
Μηδέν
69
Υπερβολή
Παράδειγμα
Ονομάζεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης
ψ =
α , χ
ψ=
12 χ
α ≠ 0, χ ≠ 0, ψ ≠ 0
Είναι μια καμπύλη με 2 κλάδους που βρίσκονται στο 1ο και 3ο τεταρτημόριο αν α f 0 2ο και 4ο τεταρτημόριο αν
70
21
Φυσικοί αριθμοί
αp0
Το σύνολο των Φυσικών αριθμών συμβολίζεται με το Ν και περιέχει τους μη αρνητικούς ακέραιους
Ν={0,1,2,3…………..}
22