matemàtiques – +
+ –
+
L’objetiu d’aquesta obra és
Altres títols:
proporcionar al lector, tant per a
■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■
l’escolar com per al que realitza
–
una consulta esporàdica, un
– + +
complet i atractiu panorama dels camps fonamentals de la matemàtica, amb il·lustracions acompanyades d’unes breus notes que expliquen d’una forma lògica i senzilla les teories matemàtiques, així com moltes de les aplicacions que avui trobem en nombrosos camps i que han contribuït al colossal progrés de la humanitat. Una introducció sobre els aspectes generals de la matemàtica, i un detallat índex alfabètic de les matèries, incrementen el valor pràctic i didàctic d’aquest volum.
ISBN 978-84-342-2566-4
,!7II4D4-ccfgge!
www.parramon.com
■ ■ ■ ■ ■ ■ ■
Anatomia Zoologia Astronomia Tecnologia Biologia Geografia física Botànica Fòssils i minerals Física i química Ecologia Fisiologia Història Universal Religions Història de l’Art Exploracions i descobertes Filosofia Música Aigua Literatura Mamífers Política Economia
atles bàsic de matemàtiques
atles bàsic de
a
atles bàsic de
matemàtiques
SUMARI Introducció .................................................................. 6 Sistemes de numeració .............................................. 10 El sistema decimal .................................................. 10 Els nombres romans................................................ 10 El sistema binari...................................................... 11 El sistema sexagesimal .......................................... 11 Nombres naturals ........................................................ 12 Suma de nombres naturals .................................... 12 Resta ...................................................................... 12 Multiplicació ............................................................ 13 Divisió .................................................................... 13 Potenciació.............................................................. 13 Radicació ................................................................ 13 Divisibilitat .................................................................. 14 Factors primers ...................................................... 14 Màxim comú divisor ................................................ 15 Mínim comú múltiple .............................................. 15 Nombres enters............................................................ 16 L’origen del nombre zero ........................................ 16 Els negatius ............................................................ 16 Suma d’enters ........................................................ 17 Restes d’enters ...................................................... 17 Multiplicació d’enters .............................................. 18 Divisió de nombres enters ...................................... 19 Potències de base natural amb exponent enter ...... 19 Potències de base entera ........................................ 19
SUMARI
Nombres racionals ...................................................... 20 Les fraccions .......................................................... 20 Suma i resta de fraccions........................................ 20 Multiplicació i divisió de fraccions .......................... 21 Representació gràfica de fraccions.......................... 21
4
Què és una equació? .............................................. 30 L’equació de segon grau.......................................... 30 Resolució de l’equació de segon grau .................... 31 Sistemes d’equacions.................................................. 32 Plantejament .......................................................... 32 Mètode de Cramer .................................................. 32 Mètode de reducció ................................................ 33 Mètode de substitució ............................................ 34 Mètode d’igualació .................................................. 35 La regla de tres i les seves aplicacions...................... 36 Proporcionalitat directa............................................ 36 Proporcionalitat inversa .......................................... 37 Repartiments proporcionals .................................... 37 Regla de tres composta .......................................... 38 Tant per cent .......................................................... 38 Percentatge d’augment .......................................... 39 Percentatge de disminució ...................................... 39 Crèdits i hipoteques .................................................... 40 Interès compost ...................................................... 40 Plans d’inversió ...................................................... 41 Hipoteques .............................................................. 41 Funcions i gràfics ........................................................ 42 Variables i fórmules ................................................ 42 Taules de valors ...................................................... 43 La funció lineal ............................................................ 44 Gràfic de la funció lineal.......................................... 44 La funció afí ............................................................ 45 La funció quadràtica.................................................... 46 Gràfic de la funció quadràtica.................................. 46 El problema de l’emmagatzematge ........................ 47
Nombres reals .............................................................. 22 Fraccions decimals.................................................. 22 Suma i resta de nombres decimals ........................ 23 Multiplicació ............................................................ 23 Divisió .................................................................... 23 Nombres decimals periòdics .................................. 24 Fracció generatriu d’un nombre decimal ................ 24 Nombres irracionals ................................................ 25
La funció exponencial.................................................. 48 Una funció que creix ràpidament ............................ 48 El creixement continu.............................................. 48 Logaritmes .............................................................. 49
Un sistema de mesura quasi universal ...................... 26 Unitats de longitud .................................................. 26 Unitats de superfície................................................ 27 Unitats de volum, capacitat i massa ........................ 27
Quadrilàters.................................................................. 52
Equacions .................................................................... 28 La recerca de les incògnites.................................... 28 Plantejament .......................................................... 28 Resolució ................................................................ 29
Elements de la geometria plana.................................. 50 Angles .................................................................... 50 Polígons .................................................................. 51
Triangles ...................................................................... 54 Els triangles segons els seus angles ...................... 54 Els triangles segons els seus costats ...................... 55 Baricentre................................................................ 55 Ortocentre .............................................................. 55 Circumcentre .......................................................... 55 Incentre .................................................................. 55
La circumferència ........................................................ 56 Longitud d’una circumferència ................................ 56 Parts d’un cercle .................................................... 57 Transformacions geomètriques .................................. 58 Translacions ............................................................ 58 Girs ........................................................................ 58 Simetria axial .......................................................... 58 Simetria central ...................................................... 59 Homotècies ............................................................ 59 Semblances ............................................................ 59 Teorema de Tales .................................................... 59 Les raons trigonomètriques ........................................ 60 El sinus d’un angle .................................................. 60 Altres raons trigonomètriques.................................. 60 Càlcul de longituds aplicant les raons trigonomètriques ...................................... 62
Paràmetres estadístics ................................................ 78 Mitjana aritmètica .................................................. 78 Mitjana i dispersió .................................................. 79 Variància i desviació típica ...................................... 80 Valors agrupats en intervals .................................... 81 Ús de la calculadora ................................................ 81 Probabilitat .................................................................. 82 Esdeveniments ........................................................ 82 Diagrames .............................................................. 83 Probabilitat condicionada............................................ 84 Influències entre esdeveniments ............................ 84 Realització d’un diagrama de Venn.......................... 85 Taula de doble entrada ............................................ 85 El model binomial ........................................................ 86 Utilització del model binomial .................................. 86 Nombres combinatoris ............................................ 87
Funcions trigonomètriques.......................................... 64 Políedres ...................................................................... 66 Prismes i piràmides .................................................... 68 Àrea i volum de l’ortòedre ...................................... 69 Àrea i volum de la piràmide .................................... 69 Cossos de revolució .................................................... 70 Superfície i volum del cilindre ................................ 70 Superfície i volum del con ...................................... 71 L’esfera ........................................................................ 72 Parts de la superfície esfèrica ................................ 72 Parts del volum esfèric ............................................ 73
La campana de Gauss ................................................ 88 La distribució normal .............................................. 88 Les taules de la distribució normal estàndard.......... 89 El problema invers .................................................. 89 Ajust de la binomial mitjançant la normal................ 90 Reptes nous de la matemàtica actual ........................ 92 La lògica borrosa .................................................... 92 Geometria fractal .................................................... 93 La teoria del caos.................................................... 93 Índex alfabètic de matèries ........................................ 94
SUMARI
Gràfics estadístics ...................................................... 74 Conceptes bàsics .................................................... 74 Taules de freqüències.............................................. 75 Dades agrupades en intervals ................................ 76 Piràmides de població ............................................ 77
5
UN SISTEMA DE MESURA QUASI UNIVERSAL T’imagines que en cada país, fins i tot en cada regió, féssim servir unitats de mesura diferents? Quin embolic! Doncs això és el que succeïa fins fa poc més de dos-cents anys. En unes comarques es mesurava en pams; en altres, en vares; en altres, en peus, etc., fins que el 1792 l’Acadèmia de Ciències de París va
encarregar als científics Delambre i Mechain l’elaboració d’un sistema únic de mesures. Així va néixer el sistema mètric decimal, la unitat fonamental del qual és el metre i que avui s’utilitza pràcticament arreu del món.
UNITATS DE LONGITUD L’Adela practica l’atletisme. Diumenge vinent correrà una cursa de 12,3 km. Si en cada gambada recorre 80 cm de mitjana, quantes gambades donarà al llarg de tota la cursa? Per respondre aquesta pregunta en primer lloc transformarem els quilòmetres en centímetres: 12,3 km = 12,3 · 100.000 cm = 1.230.000 cm. Per tant, el nombre de gambades serà: 1.230.000 = 15.375 gambades. 80 Abans de la implantació del sistema mètric decimal hi havia una gran diversitat d’unitats i elements per fer mesuraments. A la dreta, mitja faneca, mesura castellana de capacitat per a grans o llegums; a baix, rova de Girona, un pes d’unes 25 lliures, és a dir, uns 11,502 quilograms.
UN SISTEMA DE MESURA QUASI UNIVERSAL
QUÈ ÉS MESURAR?
26
Per mesurar una cosa el primer que hem de fer és definir una quantitat inicial que anomenarem unitat. Posteriorment, ja podrem mesurar una magnitud, comparant-la amb la unitat i comptant quantes vegades la conté.
En el sistema mètric decimal es fan servir els prefixos deca-, hectoi quilo- per als múltiples de la unitat.
➜
➜
En el sistema mètric decimal es fan servir els prefixos deci-, centi- i mil·li- per als submúltiples de la unitat.
MULTIPLIQUEM PER 100 DIVIDIM PER 100 Múltiples
Unitat
Submúltiples
Nom
quilòmetre hectòmetre decàmetre metre
decímetre
centímetre
mil·límetre
Símbol
km
dm
cm
mm
hm
dam
m
Introducció
MULTIPLIQUEM PER 100
UNITATS DE SUPERFÍCIE
DIVIDIM PER 100 Múltiples Nom Símbol
Unitat
Submúltiples
quilòmetre hectòmetre decàmetre metre quadrat quadrat quadrat quadrat
decímetre quadrat
centímetre quadrat
mil·límetre quadrat
km2
dm2
cm2
mm2
hm2
dam2
m2
Nom
hectàrea
àrea
centiàrea
Símbol
ha
a
ca
La màgia dels nombres
La Llúcia i el Joan treballaven en una finca de 27,3 ha, però han decidit vendre-la a una constructora que en dedicarà 5 ha a zones comunes i dividirà la resta en parcel·les de 500 m2 destinades a xalets. Quants n’edificaran? La zona edificable mesura 27,3 – 5 = = 22,3 ha. Aquesta superfície equival a: 22,3 · 10.000 = 223.000 m2. Es podran fer: 223.000 = 446 parcel·les. 500
UNITATS DE VOLUM, CAPACITAT I MASSA Al Llorenç li agrada fer comparacions i es passa el dia calculant coses mentalment. Mentre prenia el sol tranquil·lament al costat d’una piscina de 813 m3 de capacitat, es va plantejar dues preguntes: quantes vegades és més gran la capacitat de la piscina que la d’una ampolla de vi de 75 cl? Quantes tones pesaria l’aigua de la piscina?
➜
VOLUM
CAPACITAT
Símbol km
Nom
Símbol
MASSA Nom
El sistema mètric
Equacions
La regla de tres
Funcions
Símbol
3
Trigonometria
hectòmetre hm3 cúbic decàmetre cúbic
Nombres racionals
Geometria
(d’aigua destil·lada)
dam3
metre cúbic
m3
quilolitre hectolitre decalitre
kl hl dal
tona quintar
t q
decímetre cúbic
dm3
litre decilitre centilitre
l dl cl
quilogram kg hectogram hg decagram dag
centímetre cúbic
cm3
mil·lilitre
ml
gram decigram centigram
g dg cg
mil·límetre cúbic
mm3
mil·ligram
mg
MULTIPLIQUEM PER 10 DIVIDIM PER 10
Per mesurar grans magnituds es fan servir els prefixos mega (M), que equival a un milió, giga (G), que equival a mil milions, i tera (T), equivalent a un bilió. La informàtica ha popularitzat aquests múltiples de la unitat. Així, per exemple, parlem de megahertzs o gigabytes.
MULTIPLIQUEM PER 1.000 DIVIDIM PER 1.000
quilòmetre cúbic
Nombres enters
Nombres reals
Les ha contestat fàcilment: 813 m3 = 813 · 1.000 dm3 = = 813.000 dm3 = 813.000 l = 813.000 · 100 cl = 81.300.000 cl Atès que 81.300.000 = 1.084.000, 75 arribem a la conclusió que la capacitat de la piscina és 1.084.000 vegades més gran que la capacitat de l’ampolla. D’altra banda, un litre d’aigua destil·lada pesa un quilo. Un litre d’aigua de piscina pesa una mica més, ja que, a més d’aigua, conté altres elements, com ara sals, clor, etc., però podem afirmar que pesaria aproximadament 813.000 kg, és a dir, Com que en el terreny informàtic es fa servir la base dos, i la potència de 813.000 = 813 t. 1.000 dos més propera a mil és 210 = 1.024, un quilobyte no equival a 1.000 bytes, sinó a 1.024 bytes, un megabyte a 1.024 · 1024 = 1.048.576 bytes, i així successivament.
Nom
Nombres naturals
Estadística
Probabilitat
Reptes de la matemàtica
Índex alfabètic de matèries
27
LA FUNCIÓ EXPONENCIAL En un país determinat el nombre d’usuaris d’Internet s’ha duplicat cada any. En aquest moment un milió de persones utilitzen la xarxa. Si aquest procés
segueix produint-se, quants usuaris hi haurà d’aquí a tres anys?
UNA FUNCIÓ QUE CREIX RÀPIDAMENT Si anomenem x el temps en anys, essent x = 0 el moment actual, i y la quantitat de persones que utilitzen els serveis d’Internet, expressada en milions, tenim que: • L’any vinent hi haurà: 1 · 2 = 2 milions. • L’any següent: 2 · 2 = 2 2 = 4 milions. • D’aquí a tres anys: 4 · 2 = 23 = 8 milions, i així successivament. Per tant, el nombre d’usuaris es pot expressar en funció x del temps mitjançant la fórmula: y = 2 . Aquest tipus de funcions en les quals la variable independent està en l’exponent s’anomenen funcions exponencials. Si construïm una taula de valors i unim els punts obtinguts, podem dibuixar el gràfic de la funció.
Internet ja es troba a les escoles, les cases, les oficines... a tot arreu, i connecta el nostre planeta.
y si la x és positiva, els valors de y creixen ràpidament
6
•
5 4 3
el punt de tall (0, 1) assenyala que en el moment actual la xarxa té un milió d’usuaris
2
•1
• –6
–5 –4
–3
–2
–1
1
LA FUNCIÓ EXPONENCIAL
–1
48
–2
2
3
4
5
6
a mesura que la x és més negativa, la y és menor.
–3 –4 –5 –6
➜
x
La diferència entre les funcions y = 1,03 i y = e 0,03x només és apreciable per a valors grans de x.
x
EL CREIXEMENT CONTINU L’índex de preus al consum és un indicador de l’augment dels preus en conjunt. Suposem que en un país determinat s’ha mantingut constat en els últims anys a l’entorn del 3 %. En cas que segueixi així, si agafem com a u l’índex de preus de l’any en curs, l’any pròxim valdrà: 1 + 1 · 0,03 = 1,03. Sabem que per augmentar una quantitat un 3% només cal multiplicar-la per 1,03. Per tant, d’aquí a dos anys serà 1,03 2 i en general x l’índex s’expressarà mitjançant la funció y = 1,03 . Tanmateix els preus no creixen de cop al final de l’any, sinó que ho fan de manera continuada al llarg de l’any, per la qual cosa en aquest cas serà més adequat utilitzar la funció exponencial y = e 0,03x, que es fa servir per estudiar fenòmens amb un creixement continu del 3 %. Podem donar valors i fer una taula comparativa de les dues funcions exponencials.
Introducció
LOGARITMES
EL NOMBRE e De la mateixa manera que el nombre π , que expressa la relació que hi ha entre la longitud d’una circumferència i la del seu diàmetre, el nombre e és un nombre irracional amb infinites xifres decimals no periòdiques que té una gran importància matemàtica. El seu valor aproximat és: 2,7182818...
x
1
10
20
100
200
y = e 0,03x
1,03
1,34
1,81
19,22
369,36
y = 1,03 x
1,03
1,35
1,82
20,01
403,43
Tornem a la qüestió dels usuaris d’Internet. Si volem calcular, per exemple, en quina data s’assolirà la xifra de 5.656.854 usuaris, hem de resoldre l’equació: 2 x = 5,656854 milions. En aquest tipus de problemes els exponents s’anomenen logaritmes. La frase: «x és l’exponent al qual cal elevar la base 2 per obtenir el nombre 5,656854» es tradueix al llenguatge matemàtic mitjançant l’expressió: «quin és el logaritme en base dos de 5,656854», que s’escriu abreujadament x = log2 5,656854.
La màgia dels nombres
Nombres naturals
Nombres enters
Nombres racionals
ON
OFF
INV
+/–
Nombres reals
MODE
1/X
X/
,,,
√
X2
Xy
hyp
a–X–
X–Y·M
Σx2
Σx
log
ln
sin –1
cos –1
tan –1
Min NORM
MR ENG
σn
σn–1
FIX [(· · · 6 · · ·)]
n
Xvy
SCI
x
El sistema mètric ON
SAC
Equacions R
P
P
R
M
RND
Els logaritmes es fan servir per calcular el pH amb el qual mesurem el grau d’acidesa d’una dissolució.
RAN
π
X DEL
Les calculadores només disposen de la tecla In, amb la qual es calculen els logaritmes en base e, anomenats neperians, i la tecla log, amb la qual es calculen els logaritmes en base 10, anomenats decimals. Però podem calcular el logaritme en base 2 de la manera següent: log2 5,656854 = ln 5,656854 = 1,7328679 = 2,5. ln 2 0,6931471 És a dir, s’assolirà la xifra de 5.656.854 usuaris d’aquí a dos anys i mig.
La magnitud dels terratrèmols es mesura mitjançant l’escala de Richter, que depèn del logaritme de l’energia alliberada pel terratrèmol.
La regla de tres
Funcions
Geometria
Trigonometria
Estadística
Probabilitat
Reptes de la matemàtica
Índex alfabètic de matèries
49
COSSOS DE REVOLUCIÓ S’anomenen cossos de revolució les figures tridimensionals que s’obtenen en girar una figura plana a l’entorn d’un eix. Cal destacar-ne l’esfera, el con i el cilindre. Al nostre voltant podem trobar nombrosos exemples de cossos de revolució: una pilota
de tennis té forma esfèrica, un pneumàtic té forma toroïdal, una pilota de rugbi s’aproxima força a un el·lipsoide i en un molí de vent podem apreciar un cilindre i un con.
SUPERFÍCIE I VOLUM DEL CILINDRE Un dipòsit de forma cilíndrica i deu metres d’altura té una capacitat de set-cents vuitanta-cinc mil litres. Calculem-ne la superfície lateral. En primer lloc tenim que: 785.000 l = = 785.000 dm3 = 785 m3.
____
De manera que: π · r 2 · 10 = 785 ⇒ r 2 = = 785 ⇒ π = 785 ≈ 5 m. 10 · π 10 · π
√
Consegüentment, la superfície lateral serà: S L = 2 · π · 5 · 10 ≈ 314 m2.
•
generatriu altura
• h
El cos del molí és un cilindre, i la seva coberta, un con. r
r •
COSSOS DE REVOLUCIÓ
•
70
h 2 πr
Desenvolupament del cilindre. La superfície lateral es converteix en un rectangle els costats del qual són la longitud de la circumferència de la base del cilindre i l’altura d’aquest. Consegüentment: S L = 2 · π · r · h. Per obtenir-ne la superfície total, sumem l’àrea de les bases, que són dos cercles iguals: S T = 2 · π · r · h + 2 · π · r 2.
➜
radi de la base base
Quan un rectangle gira a l’entorn d’un dels seus costats es genera un cilindre recte. El seu volum s’obté multiplicant l’àrea de la base per l’altura: V = π · r 2 · h
Es poden construir un cilindre i un cub que tinguin la mateixa altura i exactament el mateix volum? Les bases han de tenir la mateixa àrea. Es tracta, per tant, d’una versió nova del problema de la quadratura del cercle. El costat del cub hauria de mesurar: l 2 = π r 2 l = r 兹苵π. Però com que π té infinits decimals, aquests cossos només es podrien construir amb volums aproximadament iguals.
Introducció
SUPERFÍCIE I VOLUM DEL CON
La màgia dels nombres
Volem fer un contenidor de cartó amb forma de con recte que tingui quatre decímetres d’altura i de manera que el radi de la seva base mesuri tres decímetres. Calculem la quantitat de cartó que necessitem. De primer, trobem la generatriu mitjançant l’aplicació del teorema de Pitàgores:
la hipotenusa dóna lloc a la generatriu
•
__
Nombres naturals
g 2 = 42 + 32 = 25; g = √ 25 = 5 dm. Per tant, la superfície de cartó és:
h
g
ST = π · 3 · 5 + π · 32 ≈ 75,40 dm2. La capacitat del recipient cònic és: V = 1 · π · 32 · 4 ≈ 37,70 dm3. 3
l’altura uneix el vèrtex del con amb el centre de la seva base
•
Nombres enters
Nombres racionals
radi de la base
• r
base
•
El con recte s’obté en girar un triangle rectangle al voltant d’un dels seus catets. El seu volum es calcula trobant la tercera part de l’àrea de la base per l’altura: V = 1 · π · r 2 · h · 3
Nombres reals
El sistema mètric
g Equacions
La regla de tres
El pneumàtic d’un automòbil té forma toroïdal. Funcions
2 πr Geometria
r
Trigonometria
Estadística
Desenvolupament del con. La superfície lateral s’obté mitjançant l’expressió: S L = π · r · g, on g és la generatriu del con; mentre que la superfície total es troba sumant l’àrea de la base a la superfície lateral: ST = π · r · g + π · r 2
Probabilitat
Reptes de la matemàtica
Índex alfabètic de matèries
Les rosquilles i els “donetes” també tenen forma toroïdal.
La pilota de rugbi recorda un el·lipsoide.
71
matemàtiques – +
+ –
+
L’objetiu d’aquesta obra és
Altres títols:
proporcionar al lector, tant per a
■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■
l’escolar com per al que realitza
–
una consulta esporàdica, un
– + +
complet i atractiu panorama dels camps fonamentals de la matemàtica, amb il·lustracions acompanyades d’unes breus notes que expliquen d’una forma lògica i senzilla les teories matemàtiques, així com moltes de les aplicacions que avui trobem en nombrosos camps i que han contribuït al colossal progrés de la humanitat. Una introducció sobre els aspectes generals de la matemàtica, i un detallat índex alfabètic de les matèries, incrementen el valor pràctic i didàctic d’aquest volum.
ISBN 978-84-342-2566-4
,!7II4D4-ccfgge!
www.parramon.com
■ ■ ■ ■ ■ ■ ■
Anatomia Zoologia Astronomia Tecnologia Biologia Geografia física Botànica Fòssils i minerals Física i química Ecologia Fisiologia Història Universal Religions Història de l’Art Exploracions i descobertes Filosofia Música Aigua Literatura Mamífers Política Economia
atles bàsic de matemàtiques
atles bàsic de
a
atles bàsic de
matemàtiques