FUNCIONES APLICADAS-1 by Patricio Alcaino

Problemas de aplicación RESUELTOS

Funciones

Palabras iniciales

Estimados usuari@s: 

Este material, que pongo a su disposición, está creado a partir de investigaciones reales. Los datos han sido adaptados a situaciones didácticas, pero reflejan bien el ámbito de las aplicaciones de las funciones como modelos.

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Se tratan este documento, las funciones reales básicas: lineal, cuadrática, exponencial, logarítmica y potencia.

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Para trabajar con este material, el usuario deberá operar conceptual y operacionalmente con la valoración de expresiones algebraicas, la resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones elementales y con el concepto de función.

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Para trabajar con este material el usuario deberá hacer uso de calculadora científica.

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No se autoriza el uso comercial de este material, ni su uso masivo.

Atentamente;

Patricio Alcaíno Martínez

1. Cerdo silvestre Se ha establecido en forma experimental que para una variedad de cerdo silvestre, la relación entre su edad E (meses) y su peso P (Kg.), está descrita por la función: P = 0,15 + 1,2 E; válida entre el nacimiento y los 18 meses. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4.

¿Cuál es la variable independiente en este modelo? ¿Cuál es el dominio de la función? De acuerdo al modelo, ¿cuánto pesa un ejemplar de 9 meses de edad? Según la función, ¿aproximadamente, a qué edad un ejemplar llega a pesar 7,5 Kg?

Solución: 1.1. ¿Cuál es la variable independiente en este modelo? La variable independiente es la edad E. 1.2. ¿Cuál es el dominio de la función? El dominio de la función corresponde al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente, en este caso la edad E. Por definición, la variable E varía entre 0 y 18 meses. Entonces, ese es el dominio de la función. 1.3. De acuerdo al modelo, ¿cuánto pesa un ejemplar de 9 meses de edad? Reemplazando E en el modelo: P = 0,15 + 1,2 E P(9) = 0,15 + 1,2  9 P(9) = 10,95 Kg. Un ejemplar de 9 meses de edad pesa 10,95 Kg.

1.4. Según la función, ¿aproximadamente, a qué edad un ejemplar llega a pesar 7,5 Kg? Reemplazando P en el modelo: P = 0,15 + 1,2 E 7,5 = 0,15 + 1,2 E Despejando E:

E

7,5  0,15 1,2

E = 6,125 meses. Un ejemplar llega a pesar 7,5 Kg. a los 6,125 meses de edad.

2. La iguana Dentro de su primer año de vida, el peso P de cierta variedad de iguana criada en cautiverio varía con la edad E según la función: P = 25 + 3E, donde P está en gramos y E en días. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4.

¿Qué indica la pendiente de esta función? ¿Cuánto pesa una iguana a los 30 días de nacida? ¿En qué % sube el peso de una iguana entre los días 7 y 14? ¿Cuál es dominio y el recorrido de esta función?

Solución: 2.1. ¿Qué indica la pendiente de esta función? En una función lineal de la forma y = a + bx, la pendiente b indica las unidades de variación de la variable Y, por cada unidad e variación de la variable independiente x. En este caso la pendiente es 3. Indica que por cada día el peso de la iguana varía en +3 gramos. Esto es, que la iguana sube de peso a razón de 3 gramos por día.

2.2. ¿Cuánto pesa una iguana a los 30 días de nacida? El peso está dado por P = 25 + 3E. Reemplazando E = 30: P = 25 + 3E P = 25 + 3  30 = 115 gr. Según el modelo, una iguana, a los 30 días pesa 115 gramos.

2.3. ¿En qué % sube el peso de una iguana entre los días 7 y 14? P(7) = 25 + 3  7 = 46 gr. P(14) = 25 + 3  14 = 67 gr. Variación = 67 – 46 = 21 Llevando a %:

P

21  100  45,7% 46

Entre el día 7 y 14 una iguana sube su peso en un 45,7%.

2.4. ¿Cuál es dominio y el recorrido de esta función? Según el enunciado de la situación, este modelo es válido en el primer año de vida. Como la edad está medida en días, entonces E varía entre E = 0 y E = 365.

El dominio de la función es, entonces: Dom f = 0; 365 días. Esto significa que el recorrido se ubica entre f(0) y f(365). Calculando: P(0) = 25 + 3  0 = 25 gr. P(365) = 25 + 3  365 = 1.120 gr. El recorrido de la función es, entonces: Rec f = 25; 1.120 gramos.

3. Chinchilla lanígera Según un estudio realizado con la chinchilla lanígera, el peso y la edad están relacionados a través de las funciones siguientes:

PM = 172 + 0,96 Edad PH = 162 + 1,2 Edad Donde PM y PH es el peso de machos y hembras, respectivamente. El peso se expresa en gramos y la edad en días. De acuerdo a los modelos: 3.1. ¿Cuánto pesa una chinchilla macho a los 16 días? 3.2. ¿A los cuántos días una chichilla hembra pesa 460 gramos? 3.3. De acuerdo a estos modelos, ¿a qué edad, machos y hembras de la chinchilla lanígera tienen el mismo peso?

Solución: 3.1. ¿Cuánto pesa una chinchilla macho a los 16 días? Calculando PM (16):

PM (16) = 172 + 0,96  16 = 187,36 gramos. Según el modelo, a los 16 días una chinchilla macho pesa 187,36 gramos.

3.2. ¿A los cuántos días una chichilla hembra pesa 460 gramos? Calculando PH1 (460): 162 + 1,2 Edad = 460 1,2 Edad = 460 – 162 Edad =

460  162 1,2

Edad = 248,3 días. Una chinchilla hembra pesa 460 gramos a los 248,3 días.

3.3. De acuerdo a estos modelos, ¿a qué edad, machos y hembras de la chinchilla lanígera tienen el mismo peso? Igualando: 172 + 0,96 Edad = 162 + 1,2 Edad Despejando:

1,2 Edad - 0,96 Edad = 172 – 162 0,24 Edad = 10 Edad =

10  41,7 días. 0,24

Según los modelos, machos y hembras de la chinchilla lanígera tienen el mismo peso aproximadamente a los 42 días.

4. Crianza del carpincho En la crianza de carpinchos en cautiverio para fines comerciales, se considera que el peso P de los ejemplares varía con la edad E de acuerdo a la función: P = 4 + 2 E, estando P en Kg y E en meses. Respecto del costo C de su alimentación, varía con la edad E según la función: C = 0,1 E + 0,5, estando C en $US y E en meses. A partir de esta información: 4.1. ¿Cuánto pesa un ejemplar de 7 meses de edad? 4.2. ¿Cuál es el costo en alimentación de un ejemplar de 10 meses de edad? 4.3. ¿Cuál es el costo en alimentación de un ejemplar de 40 Kg? 4.4. ¿Cuánto pesa un carpincho que gasta 4 dólares en alimentación? 4.5. Plantear una función que calcule directamente en costo en alimentación en función del peso del animal.

Solución: 4.1. ¿Cuánto pesa un ejemplar de 7 meses de edad? El peso, en función de la edad está dado por: P = 4 + 2 E Calculando P(7): P(7) = 4 + 2  7 = 18 Kg. Un ejemplar de 7 meses pesa 18 Kg.

4.2. ¿Cuál es el costo en alimentación de un ejemplar de 10 meses de edad? El costo, en función de la edad está dado por: C = 0,1 E + 0,5. Calculando C(10): C(10) = 0,1  10 + 0,5 = 1,5 dólares. Un ejemplar de 10 meses genera un costo de alimentación de US$1,5. 4.3. ¿Cuál es el costo en alimentación de un ejemplar de 40 Kg? Primero se calcula la edad, en función del peso: 4 + 2 E = 40 Despejando E: E = 18 meses. Ahora, con la edad, se calcula el costo. C(18) = 0,1 18 + 0,5 = 2,3 dólares. El costo en alimentación de un ejemplar de 40 Kg es US$2,3.

4.4. ¿Cuánto pesa un carpincho que gasta 4 dólares en alimentación? Primero se calcula la edad, en función del costo en alimentación: 0,1 E + 0,5 = 4 Despejando E: E = 35 meses. Ahora, con la edad, se calcula el peso. P(35) = 4 + 2  35 = 74 Kg.

Un carpincho que gasta 4 dólares en alimentación pesa 74 Kg.

4.5. Plantear una función que calcule directamente en costo en alimentación en función del peso del animal. De la ecuación del peso P en función de la edad E, se despeja E: P=4+2E E=

P4 1 = P  2 = 0,5P – 2, con E en meses y P en Kg. 2 2

Reemplazando esta expresión en la ecuación de C en función de E: C = 0,1 E + 0,5

C  0,1 (0,5P  2)  0,5 C  0,05P  0,2  0,5 C  0,05P  0,3 .

La función es: C  0,05P  0,3 , estando C en $US y P en Kg.

5. Diámetro del tronco de árbol Para cierta especie de árbol abundante en zonas templadas, se ha determinado la relación entre el diámetro del tronco y la edad del árbol. La relación está dada por la función: E = 0,005 D2 + 0,5D – 1 Donde E es la edad, en años y D el diámetro, en cm. Según la función: 5.1. ¿Cuál sería el diámetro de un árbol de 9 años? 5.2. ¿A qué edad del árbol el diámetro del tronco llega a 40 cm? 5.3. ¿Para qué diámetro de árbol es útil el modelo? 5.4. Trace un gráfico de la función.

Solución: 5.1. ¿Cuál sería el diámetro de un árbol de 9 años? Calculando C 1 (9) : 0,005 D2 + 0,5D – 1 = 9 Es una ecuación de segundo grado: 0,005 D2 + 0,5D – 10 = 0 0,005 D2 + 0,5D – 10 = 0 /: 0,005 2 D + 100D – 2.000 = 0

D D

 100  100 2  4  2000 2 100  134,2 2

D1  17,1 D2  -117,1 Puesto que no existe un diámetro negativo, la raíz negativa no es solución del problema. Luego D = 17,1 cm. A los 9 años, el diámetro del árbol es 17,1 cm.

5.2. ¿A qué edad del árbol el diámetro del tronco llega a 40 cm? Calculando E(40): E = 0,005 D2 + 0,5D – 1 E = 0,005  40 2 + 0,5  40 – 1 = 27 años. El diámetro del tronco del árbol llega a 40 cm a los 27 años.

5.3. ¿Para qué diámetro de árbol es útil el modelo? El modelo será útil para todo diámetro D que entregue una edad mayor que cero, ya que no tiene sentido hablar de edad negativa. Para esto, debe cumplirse: 0,005 D2 + 0,5D – 1 > 0 Es la ecuación de segundo grado: 0,005 D2 + 0,5D – 1 = 0 D2 + 100D – 200 = 0

D

/: 0,005

 100  100 2  4  200 2

100  103,9 2

D1  1,96 D2  -102 (la raíz negativa no es solución del problema). El modelo será aplicable a diámetros D > 1,96 cm.

5.4. Trace un gráfico de la función. Para los efectos, se construirá previamente una tabla de valores tal como la siguiente: E 0,5 2 4,5 8 12,5 18 24,5 32

Edad de árboles, según diámetro 80 70 60 50

Edad (años)

D 10 20 30 40 50 60 70 80

40 30 20 10 0 -150

-100

-50

-10 -20

Diámetro (cm)

100

6. Hojas de frambuesa De acuerdo a un estudio, el número de hojas de la planta de frambuesa (Rubus idaeus) según cantidad de nutriente que se le agrega a cada planta, está dada por la función: N = c + bx + ax2, Donde: N = número de hojas por planta X = nutriente, en gramos por planta a, b y c, constantes reales desconocidas.

Un trabajo experimental determinó los siguientes valors para N y X: Nutriente 0 50 100

N° hojas 25 35 40

6.1. Calcule los parámetros a, b y c, indicando cuál es el modelo resultante. 6.2. De acuerdo al modelo resultante, ¿cuántas hojas desarrolla una planta a la cual se le agregan 85 gramos de nutriente? 6.3. Según el modelo resultante, ¿cuál es la cantidad de nutriente necesario de agregar para que las plantas desarrollen 36 hojas?

Solución: 6.1. Calcule los parámetros a, b y c, indicando cuál es el modelo resultante. x 0 50 100

N 25 35 40

Con los valores de x y N conocidos, se puede plantear el siguiente sistema:

(1) 25  c  b  0  c  0 2 (2) 35  c  b  50  c  50 2 (3) 40  c  b  100  c  100 2 De a ecuación (1), queda que c = 25. Entonces:

(2) 35  25  50 b  2.500 c (3) 40  25  100 b  10.000 c Multiplicando (2) por 2 y restándole la (3), queda: (2) 70  50  100 b  5.000 c

(3) 40  25  100 b  10.000 c

(4) 30  25  5.000 c Despejando c:

c  0,001 Reemplazando c = 25 y c = -0,001, se calcula b: b  0,25

El modelo funcional resultante es: N = 25 + 0,25x – 0,001x2, donde:

6.2. De acuerdo al modelo resultante, ¿cuántas hojas desarrolla una planta a la cual se le agregan 85 gramos de nutriente? Reemplazando en la función: N(85) = 25 + 0,25  85 – 0,001  85 2 = 39,025 N(85) = 39 De acuerdo al modelo resultante, una planta con 85 gramos de nutriente desarrolla 39 hojas. 6.3. Según el modelo resultante, ¿cuál es la cantidad de nutriente necesario de agregar para que las plantas desarrollen 36 hojas? En este caso se conoce N, se desconoce x: 25 + 0,25x – 0,001x2 = 36 Ordenando la ecuación de segundo grado: x2 - 250x +11.000 = 0

x

250  250 2  4  11.000 2

250  136 2

x1  193 gr. x 2  57 gr. Matemáticamente, la planta dará 36 hojas con el agregado de 57 gramos y con 193 gramos de nutriente. Sin embargo, la solución económica es 57 gramos.

7. Langostinos En el período de los años sesenta y setenta, el interés comercial por los langostinos creció considerablemente en el mundo, generando numerosos estudios. Entre ellos está el de la relación entre el peso y la longitud. Según el estudio, la relación entre ambas variables queda definida mediante la ecuación: P = 4,25  10-6  L3,2 , donde: P = Peso del langostino, medido en gramos. L = Longitud total del langostino, medido en mm. 7.1. Según el modelo, ¿cuánto pesa un ejemplar de 90 mm. de longitud? 7.2. Según el modelo, ¿cuál es la longitud de un ejemplar de 11,9 gramos de peso?

Solución: 7.1. Según el modelo, ¿cuánto pesa un ejemplar de 90 mm. de longitud? Se desconoce el peso P, conociendo la longitud L. Valorando la función para L = 90: P(90) = 4,25  10-6  90 3,2 Calculando con la calculadora: P = 7,62 gramos. Según el modelo, un ejemplar de 90 mm. de longitud pesa 7,62 gramos.

7.2. Según el modelo, ¿cuál es la longitud de un ejemplar de 11,9 gramos de peso? Se desconoce la longitud L, conociendo el peso P: P = 4,25  10-6  L3,2 4,25  10-6  L3,2 = 11,9

L3,2 

11,9 4,25 10  6

L3,2  2,8 10 6 L

3,2

/ 3,2

2,8 10 6

Calculando con la calculadora: L  103,5 mm.

Según el modelo, la longitud un ejemplar de 11,9 gramos de peso es 103,5 mm.

8. Consumo de electricidad Se estima que en cierto barrio residencial, el consumo mensual en electricidad por hogar varía con el ingreso per cápita de este, de acuerdo a la función:

Y  10  8 ln X , siendo: Y = Consumo mensual de electricidad, en $miles. X= Ingreso per cápita mensual por hogar, en $miles. 8.1. Según el modelo propuesto, ¿cuál es el consumo mensual de electricidad de un hogar que tiene un ingreso per cápita de $120 mil al mes? 8.2. Según el modelo ¿Cuál será el ingreso per cápita mensual de un hogar que consume $22 mil mensuales en electricidad?

Solución: 8.1. Según el modelo propuesto, ¿cuál es el consumo mensual de electricidad de un hogar que tiene un ingreso per cápita de $120 mil al mes? Se conoce X = 120 y se debe calcular Y:

Y(120 )  10  8 ln120 = 28,29993394 El consumo mensual de electricidad de un hogar que tiene un ingreso per cápita de $120 mil al mes es, aproximadamente, $28.300.

8.2. Según el modelo ¿Cuál será el ingreso per cápita mensual de un hogar que consume $22 mil mensuales en electricidad? Se conoce Y = 22 y se debe calcular X: Reemplazando en la función queda la ecuación:

10  8 ln X  22

/+10

8 ln X  22  10

/:8

ln X 

32 8

ln X  4

/ ex

X  e4 X  54,59815003

El ingreso per cápita mensual de un hogar que consume $22 mil mensuales en electricidad es, aproximadamente $54.598.

9. Precio de la construcción en la Unión Europea El precio del m2 construido, en las principales ciudades de la Unión Europea, varía según la función P  2  e 0,025t , siendo P el precio en miles de euros por m 2 y t el tiempo, expresado en años, a partir de 1990. Según el modelo: 9.1. ¿Cuál es el precio del m2 construido en el año 2006? 9.2. ¿En qué año el precio del m2 construido llegará a 4.500 €? 9.3. ¿En qué % habrá variado el precio del m2 construido entre el año 1990 y 2000?

Solución: 9.1. ¿Cuál es el precio del m2 construido en el año 2006? Se da el tiempo t, y se debe calcular P: El tiempo t = 2006 – 1990 = 16 Entonces:

P  2  e 0,025t

P(16)  2  e 0,025 16 P(16)  2  e 0,4 Calculando en la calculadora:

P(16)  2,983649395 Es el precio del m2 construido en el año 2006 es 2.984 €.

9.2. ¿En qué año el precio del m2 construido llegará a 4.500 €? Se conoce P, y hay que calcular t: Expresando el precio en miles:

2  e 0,025t  4,5 e 0,025 t 

/:2

4,5 2

e 0,025t  2,25

/ln

0,025 t  ln 2,25

t

ln 2,25 0,025

t  32,4372 años a partir de 1990.

Año = 1990 + 32,4 = 2022,4 El precio del m2 construido llegará a 4.500 € en el año 2022-2023.

9.3. ¿En qué % habrá variado el precio del m2 construido entre el año 1990 y 2000? Precio en el año 1990:

P(0)  2  e 0 = 2 M€ Precio en el año 2000:

P(10 )  2  e 0,25 = 2,568 M€ Diferencia: 2,568 – 2 = 0,568 M€

Llevando a %:

0,568 100  28,4%. 2 Entre el año 1990 y 2000, el precio del m2 construido habrá subido en un 28,4%.

10. Contaminación ambiental Según cierta información científica confiable, a partir del año 1950, la concentración de CO2 ambiental, en cierta ciudad de Europa Oriental varía según la función:

C  175 ·1,02 t ; donde: C = concentración de CO2, en ppm (partes por millón) y t = años transcurridos desde 1950. 10.1. Según el modelo, aproximadamente ¿cuál es la concentración de CO2 ambiental en el año 1950? 10.2. Según el modelo, aproximadamente ¿cuál será la concentración de CO2 ambiental en el año 2012? 10.3. Según el modelo, aproximadamente ¿a los cuántos años desde 1950 la concentración de CO2 ambiental es de 245 ppm? 10.4. Según el modelo, aproximadamente ¿en qué año la concentración de CO2 ambiental fue o será de 490 ppm? 10.5. ¿En qué % creció la concentración de CO2 ambiental entre el año 1950 y 1980?

Solución: 10.1. Según el modelo, aproximadamente ¿cuál es la concentración de CO2 ambiental en el año 1950? Se calcula C cuando t = 0.

C(0)  175 ·1,020

C(0)  175 ppm. La concentración de CO2 ambiental en el año 1950 es, aproximadamente 175 ppm.

10.2. Según el modelo, aproximadamente ¿cuál será la concentración de CO2 ambiental en el año 2012? Se calcula C cuando t = 2012 – 1950 = 62.

C(62)  175 ·1,0262

C(62)  597,4 ppm. Según el modelo utilizado, la concentración de CO2 ambiental en el año 2012 será, aproximadamente, 597,4 ppm.

10.3. Según el modelo, aproximadamente ¿a los cuántos años desde 1950 la concentración de CO2 ambiental es de 245 ppm? Se conoce C y se debe calcular t:

175 ·1,02t  245 1,02t 

245 = 1,4 175

/:175 /log

t log 1,02  log 1,4 t

log 1,4 log 1,02

t  16,99  17 años.

La concentración de CO2 ambiental será de 245 ppm a los 17 años después de 1950.

10.4. Según el modelo, aproximadamente ¿en qué año la concentración de CO2 ambiental fue o será de 490 ppm? Se conoce C y se debe calcular t:

175 ·1,02t  490 1,02t 

490 = 2,8 175

/:175 /log

t log 1,02  log 2,8 t

log 2,8 log 1,02

t  51,99  52 años.

La concentración de CO2 ambiental será de 490 ppm en el año 2002.

10.5. ¿En qué % creció la concentración de CO2 ambiental entre el año 1950 y 1980? CO2 ambiental en 1950 = C(0)  175 ·1,020 = 175 ppm CO2 ambiental en 1980 = C(0)  175 ·1,0230 = 317 ppm Diferencia = 317 – 175 = 142 ppm. Llevando a %:

142 100  81,1% 175

Entre el año 1950 y 1980 la concentración de CO2 ambiental creció un 81,1%.

11. Pastizales Debido a la importancia económica que tienen los pastizales para el desarrollo de la ganadería, se ha realizado una investigación de una variedad de pasto, cuya altura está dada por la función:

h  3  25 log t ; con t > 0; donde: h : es la altura del pasto, en cm. t : es la edad del pasto, en semanas.

11.1. Según el modelo, aproximadamente ¿en cuántas semanas el pastizal llega a tener 30 cm. de altura? 11.2. Según el modelo, aproximadamente ¿qué altura tendrá el pasto en la semana 15? 11.3. Según el modelo, aproximadamente ¿en cuántas semanas el pastizal llega a tener 42 cm. de altura?

Solución: 11.1. Según el modelo, aproximadamente ¿en cuántas semanas el pastizal llega a tener 30 cm. de altura? Se conoce h =30 y se debe calcular t:

h  3  25 log t 3  25 log t  30

/-3

25 log t  27

/: 25

27 25

/: 25

log t  1,08

/ 10 x

log t 

t  101,08

t  12 semanas.

Según el modelo, el pastizal llega a tener 30 cm. de altura aproximadamente a las 12 semanas.

11.2. Según el modelo, aproximadamente ¿qué altura tendrá el pasto en la semana 15? Se conoce t = 15 y se calcula h:

h  3  25 log t h(15 )  3  25 log 15 h(15 )  32,4 cm. A la semana 15, el asto tendrá 32,4 cm de altura.

11.3. Según el modelo, aproximadamente ¿en cuántas semanas el pastizal llega a tener 42 cm. de altura? Se conoce h =42 y se debe calcular t:

h  3  25 log t 3  25 log t  42

/-3

25 log t  39

/: 25

39 25

/: 25

log t  1,56

/ 10 x

log t 

t  101,56

t  36 semanas.

Según el modelo, el pastizal llega a tener 42 cm. de altura aproximadamente a las 36 semanas, aproximadamente.