Appunti Matematici 07 08 09

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Patrizio Gravano

APPUNTI MATEMATICI Patrizio Gravano

APPUNTI MATEMATICI

numeri 7 / 8 / 9 – luglio / agosto / settembre 2015

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INDICE

APPUNTI MATEMATICI Patrizio Gravano

IN QUESTO NUMERO

RUBRICHE PILLOLE MATEMATICHE 1

Funzioni di una variabile complessa PILLOLE MATEMATICHE 2

Campi vettoriali

I GRANDI MATEMATICI DEL PASSATO

Sir Isaac Newton

L’ANGOLO DEL FISICO CALORE, TERMODINAMICA E ACUSTICA

LE MIE RICERCHE 1

Classical gravitational equilibrium

LE MIE RICERCHE 2.

Moltiplicatore binario

SUL PIANO STATISTICO INDICI STATISTICI

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IN QUESTO NUMERO

APPUNTI MATEMATICI Patrizio Gravano

Le PILLOLE MATEMATICHE di questo numero hanno ad oggetto le funzioni di una variabile complessa e i campi vettoriali, rispettivamente. Nella seconda parte (quella dei campi vettoriali) sono contenute le prime nozioni sugli integrali multipli. La rubrica I GRANDI MATEMATICI DEL PASSATO è dedicata a Sir Isaac Newton. In questo caso molti dei suoi contributi sono già noti al lettore. Ho deciso di fare una breve panoramica e di concentrarmi sul teorema binomiale e sui coefficienti binomiali. Ho dedicato L’ANGOLO DEL FISICO alla termodinamica e all’acustica. Questa parte è costituita dai miei appunti di studio per la preparazione dell’esame di Fisica tecnica. Ho deciso di conservare per essi la forma dei meri appunti non intervenendo in alcun modo si di essi. Di ciò il lettore deve tenere conto. Ho quindi inserito, in LE MIE RICERCHE, un breve appunto in inglese sull’equilibrio classico gravitazionale. Ho poi deciso di introdurre, sempre nella rubrica LE MIE RICERCHE, una breve scheda contenente una formalizzazione del moltiplicatore binario. Conclude questo numero una breve sintesi sugli indici statistici, oggetto della rubrica SUL PIANO STATISTICO. (Patrizio Gravano)

(scatto newyorkese USS Intrepid dentro il modulo di rientro del vettore Saturno V)

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PILLOLE MATEMATICHE 1 FUNZIONI DI VARIABILE COMPLESSA

In questa nota si considerano solo funzioni monodrome, ad un solo valore. 1. GeneralitĂ Sia z un elemento di C, ovvero z ∈ C. Esso è detto variabile complessa. Se ad un valore z corrisponde uno o piĂš valori w con w ∈ C, si dice che w è funzione di z, nel senso che esiste una f tale che w = f(z). w è la variabile dipendente dalla variabile indipendente z. Una funzione è detta monodroma quando ad un z corrisponde uno ed un solo w, altrimenti essa e detta polidroma (o a piĂš valori). Solitamente si considerano funzioni ad un solo valore. Da w = f(z) si può definire la funzione inversa di f come quella funzione g tale che z = g(w) = đ?‘“ −1 (w). Sia w = u +jv (con u, v numeri reali) una funzione ad un solo valore di z = x +jy si scrive w = u +jv = f(x+jy). Ăˆ possibile eguagliare tra loro le parti reali e le parti immaginarie. Si ha u =u(x,y) e v = v(x, y). Ăˆ definita quindi una trasformazione, infatti ad un punto (x, y) del piano z corrisponde uno ed un solo punto (u, v) del piano w. In generale un insieme di punti del primo piano viene trasformato in un insieme di punti del secondo piano, ognuno di questi punti costituisce l’immagine di un punto del primo piano. 2. Tassonomia delle funzioni di variabile complessa 2.1 Funzioni polinomiali P(z) = ∑đ?‘›đ?‘–=0 đ?‘Žđ?‘– đ?‘§ đ?‘– con đ?‘Žđ?‘› ≠0 Nel caso particolare w = az + b si ha una trasformazione lineare. 2.2 Trasformazione razionale w=

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đ?‘ƒ(đ?‘§) đ?‘„(đ?‘§)

essendo numeratore e denominatore due polinomi in z.

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2.3 Trasformazione bilineare

Trattasi di un caso particolare del caso 2.2. avendosi w =

đ?‘Žđ?‘§+đ?‘? đ?‘?đ?‘§+đ?‘‘

con ad – bc ≠0.

2.4 Funzione esponenziale La funzione esponenziale complessa è definita come segue: w = đ?‘’ đ?‘§ = đ?‘’ đ?‘Ľ+đ?‘—đ?‘Ś = đ?‘’ đ?‘Ľ (cosy + jsiny) 2.5 Funzioni goniometriche complesse sin(z) =

đ?‘’ đ?‘–đ?‘§ − đ?‘’ −đ?‘–đ?‘§ 2đ?‘–

cos(z) = = tan(z) = cot(z) = sec(z) =

đ?‘’ đ?‘–đ?‘§ + đ?‘’ −đ?‘–đ?‘§ 2đ?‘–

đ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?‘§) đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?‘§) 1 đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›(đ?‘§) 1 đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?‘§)

cosec(z) =

1 đ?‘ đ?‘’đ?‘›(đ?‘§)

2.6 Funzioni iperboliche Le

funzioni

iperboliche

complesse

si

ottengono

immediatamente

con

la

sostituzione della x con la z. Ăˆ possibile dimostrare tutta una serie di relazioni tra le funzioni goniometriche complesse e le funzioni iperboliche con argomento complesso. Fra esse, ad esempio, ricordo che sin(iz) = i sinh(z). 2.7. Funzione logaritmica complessa Si ha z = đ?‘’ đ?‘¤ ⇔ w = ln(z) z è ponibile nella forma z = rđ?‘’ đ?‘–đ?œƒ = rđ?‘’ đ?‘–(đ?œƒ+2đ?‘˜đ?œ‹) w = ln(z) = ln(r) + i (đ?œƒ + 2đ?‘˜đ?œ‹) Essa è a infiniti valori e viene definito un valore principale per 0 ≤ θ < 2Ď€. 3. Limite finito Si consideri una funzione di variabile complessa ad un solo valore. Sia essa definita in un intorno di z = đ?‘§0 con possibile non definizione di essa in detto punto

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particolare. Si ha che lim đ?‘“(đ?‘§) = L se per un positivo Îľ si può trovare un δ positivo đ?‘§â†’ đ?‘§0

tale che sia ⎸f(z) - L⎸ < Îľ quando è ⎸z - đ?‘§đ?‘œ ⎸< δ Il limite delle funzioni di variabile complessa ha un significato geometrico evidente. Se lim đ?‘“(đ?‘§) = L allora ⎸f(z) – L ⎸può essere resa piccola a piacere quanto đ?‘§â†’ đ?‘§0

piĂš il punto z è vicino a đ?‘§0 indipendentemente dal cammino percorso nell’avvicinamento. Per una funzione ad un solo valore il limite se esiste è unico. 4. ContinuitĂ Una funzione definita in un intorno di đ?‘§0 e definita pure in detto punto e ivi continua se lim đ?‘“(đ?‘§) = L e f(đ?‘§0 ) = L. đ?‘§â†’ đ?‘§0

Una funzione f(z) è continua in una regione se è continua in ogni punto della regione. Per la continuitĂ e per i limiti esistono teoremi simili a quelli che si danno per le funzioni di una variabile reale. Anche per le funzioni di variabile complessa è definita la continuitĂ uniforme. Una funzione continua contenuta in una regione chiusa è uniformemente continua. 5. Successione a valori complessi Ăˆ una funzione A ⊆ N → R. Le successioni possono essere finite o infinite. Il termine k-esimo di essa è indicato con đ?‘˘đ?‘˜ . Se esiste un L finito per il quale è determinato un n > N per il quale ⎸đ?‘˘đ?‘› - L⎸ < Îľ allora la successione è detta convergente. Altrimenti la successione è divergente. Anche per le successioni esistono particolari teoremi sui limiti, simili a quelli delle successioni reali. 6. Serie Data una successione numerica a valori complessi è possibile definire le somme parziali nel modo seguente: đ?‘†1 = đ?‘˘1

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�2 = �1 + �2 ‌‌‌‌‌‌‌‌.

đ?‘†đ?‘› = đ?‘˘1 + đ?‘˘2 + ‌ . . + đ?‘˘đ?‘˜ +‌‌ + đ?‘˘đ?‘› Se esiste un L finito tale che lim đ?‘†đ?‘› = L allora la serie è convergente. đ?‘›â†’∞

Altrimenti essa è divergente. 7. Derivata complessa Data f(z) ad un solo valore in una data regione del piano z. La derivata di f(z) è definita come F’(z) = lim

��→0

đ?‘“(đ?‘§+đ?›Ľđ?‘§)− đ?‘“(đ?‘§) đ?›Ľđ?‘§

quando detto limite è finito e indipendente dal

modo in cui Δz tende allo zero. Se la derivata esiste in tutti i punti di una regione R si dice che la funzione f(z) è analitica. Condizione sufficiente per la analiticitĂ di una funzione in una regione R. w = u +iv = f(z) = f(x + iy) = u(x,y) + iv(x,y) đ???đ?’– đ???đ?’™ đ???đ?’– đ???đ?’š

=

đ???đ?’— đ???đ?’š

=-

đ???đ?’— đ???đ?’™

Se dette derivate sono continue in R allora f(z) è analitica in R. 8. Funzioni armoniche Dalle precedenti relazioni è possibile ottenere le seguenti đ?œ•2 đ?‘˘ đ?œ•đ?‘Ľ 2 đ?œ•2 đ?‘Ł đ?œ•đ?‘Ľ 2

+ +

đ?œ•2 đ?‘˘ đ?œ•đ?‘Ś 2 đ?œ•2 đ?‘Ł đ?œ•đ?‘Ś 2

=0 =0

9. Differenziali L’incremento di una funzione w = f(z) è definito come Δw = f(z+Δz) – f(z) Se f(z) e f’(z) sono continue in una data regione allora si può scrivere đ?›Ľđ?‘¤ = f’(z)dz + Îľdz ξ→ 0 quando Δz → 0 dw = f’(z)dz è detto differenziale di w o parte principale di Δw.

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10. Regole di derivazione e derivate di funzioni elementari Le regole di derivazione sono identiche a quelle della derivazione di funzioni reali di una variabile reale. 11. Regola di de L’Hospital Siano date due funzioni analitiche in una regione che comprende il punto đ?‘§0 e sia f(đ?‘§0 ) = 0 e g(đ?‘§đ?‘œ ) = 0. Si ha lim

�(�)

� →�0 �(�)

=

� ′ (�)

. Nel caso sia f ‘(z) = g’(z) = 0 si considerano

�′ (�)

le derivate seconde, etc. 12. Punti singolari Un punto nel quale la funzione f(z) non è analitica costituisce in punto detto singolare. Una prima tipologia di singolarità è costituita dai punti singolari isolati di f(z). Un punto đ?‘§0 è una singolaritĂ isolata per f(z) se esiste un intorno del punto đ?‘§0 di raggio δ tale che ogni punto di esso non è un punto singolare di f(z). Ăˆ ben evidente il significato del termine “isolatoâ€?. Se non è definibile un intorno del punto đ?‘§0 di raggio δ tale che ogni punto di esso non è un punto singolare di f(z) allora si è in presenza di punti di singolaritĂ non isolata. Un punto đ?‘§0 è detto polo di ordine n se esiste un naturale tale che lim (đ?‘§ − đ?‘§đ?‘œ )đ?‘› đ?‘“(đ?‘§) = A ≠0

�→ �0

Viene poi definita la singolaritĂ eliminabile. Il punto đ?‘§0 è una singolaritĂ eliminabile di f(z) se esiste finito lim f(đ?‘§0 ). đ?‘§â†’ đ?‘§0

Una singolaritĂ che non sia nĂŠ un polo nĂŠ una singolaritĂ eliminabile è detta singolaritĂ essenziale. PoichĂŠ si distingue un polo da una singolaritĂ essenziale, per esso ∄ n : lim (đ?‘§ − đ?‘§đ?‘œ )đ?‘› đ?‘“(đ?‘§) = A ≠0. đ?‘§â†’ đ?‘§0

13. Linee Siano date due funzioni reali di variabile reale φ(t) e θ(t) nel dominio del tempo per ogni t tale che đ?‘Ą1 ≤ t ≤ đ?‘Ą2 tali che z = x +iy = φ(t) + i θ(t) = z(t). Ăˆ cosĂŹ definita una linea continua o arco del piano z che congiunge i punti a = z(đ?‘Ą1 ) e b = z(đ?‘Ą2 ). Quanto esistono due distinti t, detti đ?‘Ą1 đ?‘’ đ?‘Ą2 , tali che a = b allora la curva è chiusa.

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Generalmente le due funzioni φ(t) e θ(t) sono continue in t ∈ [đ?‘Ą1 , đ?‘Ą2 ]. In questo caso l’arco si dice regolare. Dalla continuitĂ delle φ(t) e θ(t) discende la continuitĂ di z(t). Ăˆ ammessa la regolaritĂ a tratti. Nelle applicazioni generalmente si utilizzano archi regolari a tratti. 14. Coordinate coniugate Nel piano di Gauss-Argand-Wessel le coordinate di un punto oltre che con le coordinate rettangolari e con quelle polari possono essere definite in termini di coordinate coniugate complesse. Dato un numero complesso z = x + iy e definito z’ il coniugato di z vale la seguente 1

eguaglianza (x, y) = (2 (z+z’),

1 2đ?‘–

(z - z’)).

15. Operatori differenziali complessi ∇=

đ?œ•

+i

đ?œ•đ?‘Ľ

∇∗ =

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

-i

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•

= 2đ?œ•đ?‘§ đ?œ•

= 2đ?œ•đ?‘§

L’operatore ∇ (detto “nablaâ€?, o “nelâ€?) è particolarmente importante. Sia data una F(x,y) indefinitamente derivabile. Sia data una funzione A(x, y) = P(x,y) + i Q(x,y) pure indefinitamente derivabile. Ăˆ possibile porre F(x, y) = F (

�+�′ 2

,

đ?‘§âˆ’đ?‘§â€˛ 2đ?‘–

) = G(z, z’) ed anche A(x,y) = B(z, z’).

Viene definito gradiente di una funzione scalare F la scrittura grad F = ∇ đ??š = đ?œ•đ??š đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•đ??š đ?œ•đ?‘Ľ

+i

đ?œ•đ??ş

= 2 đ?œ•đ?‘§

∇đ??š è una grandezza vettoriale. Detto vettore è normale alla curva di livello F(x, y) = c. Va quindi definito il gradiente di una funzione complessa. grad A = ∇ đ??š =(

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

+i

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

) (P(x,y) + i Q(x,y))

Gli sviluppi sono immediati ricordando che đ?‘– 2 = - 1. Si ha grad A = ∇ đ??š =

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

đ?‘ƒ-

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•

đ?‘„ + i(đ?œ•đ?‘Ś đ?‘ƒ +

Se B è una funzione analitica di z

đ?œ•đ??ľ đ?œ•đ?‘§

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•đ??ľ

đ?‘„) = 2 đ?œ•đ?‘§

= 0 quindi si ha ∇ đ??š = 0.

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16. Prodotto scalare di numeri complessi. La divergenza Dati due numeri complessi đ?‘§1 đ?‘’ đ?‘§2 il prodotto scalare di essi è đ?‘§1 ⃘ đ?‘§2 = ⎸đ?‘§1 ⎸ đ?‘§2 ⎸đ?‘?đ?‘œđ?‘ θ = đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ2 + đ?‘Ś1 đ?‘Ś2 = ReâŚƒ(đ?‘§1 )′ đ?‘§2 ⌄ =

1 2

((�1 ′)( �2 ) + (�1 )( �2 )′ )

Ăˆ ora possibile definire un ulteriore importante operatore è la divergenza, che è uno scalare. Div A = ∇ A = ReâŚƒ(∇*)A⌄ = 2Re

đ?œ•đ??ľ đ?œ•đ?‘§

Trattasi di uno scalare. 17. Prodotto vettoriale di numeri complessi. Rotore Dati due numeri complessi đ?‘§1 đ?‘’ đ?‘§2 il prodotto vettoriale di essi è đ?‘§1 đ?‘‹ đ?‘§2 = ⎸đ?‘§1 ⎸ đ?‘§2 ⎸sinθ = đ?‘Ľ1 đ?‘Ś2 − đ?‘Ś1 đ?‘Ľ2 = Im âŚƒ(đ?‘§1 )′ đ?‘§2⌄ =

1 2đ?‘–

((đ?‘§1 ′)( đ?‘§2 ) − (đ?‘§1 )( đ?‘§2 )′ )

Ciò premesso è possibile definire un ulteriore operatore è il rotore, Esso è definito formalmente come rot A = ∇ X A = ImâŚƒ(∇*) A⌄ = ‌‌ = 2Im

đ?œ•đ??ľ đ?œ•đ?‘§

18. Laplaciano Per definizione l’operatore laplaciano è il prodotto scalare seguente đ?œ•

∇ ⃘∇ = đ?›ť 2 = ReâŚƒ(∇*) ∇ ⌄ = ReâŚƒ(đ?œ•đ?‘Ľ -

đ?œ•

đ?œ•

)( + đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•

)⌄ = đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•2 đ?œ•đ?‘Ľ 2

+

đ?œ•2 đ?œ•đ?‘Ś 2

=4

đ?œ•2 đ?œ•đ?‘§đ?œ•(đ?‘§ ′ )

Se A è analitica đ?›ť 2 A = 0, risultando P e Q armoniche. 19. Esercizi 19.1 Prodotto scalare e vettoriale Dati đ?‘§1 = 2 + 5i e đ?‘§2 = 3 – i si chiede di determinare il prodotto vettoriale e il prodotto scalare di essi. Il prodotto scalare di due numeri complessi è un numero reale ottenuto dalla formula đ?‘§1 ⃘ đ?‘§2 = ⎸đ?‘§1 ⎸ đ?‘§2 ⎸đ?‘?đ?‘œđ?‘ θ = đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ2 + đ?‘Ś1 đ?‘Ś2 = 6 + 5(-1) = 6-5 = 1 Esso è commutativo. Il prodotto vettoriale di due numeri complessi è dato dalla formula đ?‘§1 đ?‘‹ đ?‘§2 = ⎸đ?‘§1 ⎸ đ?‘§2 ⎸sinθ = đ?‘Ľ1 đ?‘Ś2 − đ?‘Ś1 đ?‘Ľ2 = Im âŚƒ(đ?‘§1 )′ đ?‘§2⌄ = Im âŚƒ(2+5i)’(3 − đ?‘–)⌄ = Im âŚƒ(2-5i)(3-i)⌄ = ImâŚƒ6 − 2đ?‘– − 15 đ?‘– − 5 ⌄ = ImâŚƒ1 – 17i ⌄ = - 17. 19.2 Coordinate coniugate Dalla forma coniugata a quella rettangolare.

12

1)

z(z’) = 16

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(x+iy)(x – iy) = 16 � 2 - ixy + ixy - � 2 � 2 = 16 � 2 + � 2 = 16 2)

z + (z’) = 4

x + iy + x – iy = 4 2x = 4 x=2 La retta verticale x = 2 è il luogo in coordinate rettangolari. 3)

z’ = z + 6i

x – iy = x + iy + 6i x – iy – x – iy = 6i -2iy = 6i Dividendo per – 2i si ha y = - 3. Trattasi, quindi, di una retta orizzontale.

4)

z(z’) -2z – 2(z’) + 8 = 0

Si ha zz’ – 2(z + z’) + 8 = 0 (x+iy)(x-iy) + 2(x+iy + x – iy) + 8 = 0 � 2 - � 2 � 2 - 2(2x) + 8 = 0 � 2 + � 2 - 4x + 8 = 0

Dalla forma rettangolare a quella coniugata 1)

(đ?‘Ľ − 3)2 + đ?‘Ś 2 = 9

13

đ?‘Ľ 2 - 6x + 9 + đ?‘Ś 2 - 9 = 0 đ?‘Ľ 2 - 6x + đ?‘Ś 2 = 0 1

1

1

((2) (đ?‘§ + đ?‘§ ′ ))2 - 6 (2) (đ?‘§ + đ?‘§ ′ ) + ((2đ?‘–) (đ?‘§ − đ?‘§ ′ ))2 = 0 Sviluppando il quadrato di 1

1

si ottiene

2đ?‘–

1

1 4(−1)

=-

1 4

1

(4) (đ?‘§ + đ?‘§ ′ )2 - 6 (2) (đ?‘§ + đ?‘§ ′ ) - (4) (đ?‘§ − đ?‘§ ′ )2 = 0 Moltiplicando per 4 si ha 1

1

1

4 (4) (đ?‘§ + đ?‘§ ′ )2 – 6*4 (2) (đ?‘§ + đ?‘§ ′ ) - 4 (4) (đ?‘§ − đ?‘§ ′ )2 = 0 (đ?‘§ + đ?‘§ ′ )2 – 6*2 (đ?‘§ + đ?‘§ ′ ) - (đ?‘§ − đ?‘§ ′ )2 = 0 2zz’ – 12 (z + z’) + 2zz’ = 0 4zz’ = 12(z + z’) zz’ = 3 (z + z’)

2)

2x – 3y = 5

PoichĂŠ è x = ½ (z+ z’) e y =

1 2đ?‘–

(z – z’)

2(1/2)(z+ z’) – 3(1/2i)(z – z’) = 5 z + z’ -

3 2đ?‘–

z+

3 2đ?‘–

z’ = 5

(*)

Razionalizzo 3/2i 3 đ?‘– 2đ?‘– đ?‘–

=-

3đ?‘– 2

Si ha z + z’ +

3đ?‘– 2

z-

3đ?‘– 2

z’ = 5

2z + 2z’ +3iz – 3iz’ = 10

14

e lavorando sulle parentesi ho

(2+ 3i)z + (2-3i)z’ = 10

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Se di fronte alla (*) non razionalizzo ma procedo per via ordinaria ottengo 2iz + 2iz’ – 3z + 3z’ = 10i (2i – 3)z +(3 + 2i)z’ = 10i

19.3 Piano complesso Siano (2+i) e (3 -2i) i vettori posizione dei punti A e B. Determinare l’equazione della retta AB PoichÊ si tratta di una retta si potrebbe sfruttare la costanza del coefficiente angolare valida anche nel piano di Gauss.

m=

đ??źđ?‘š(đ?‘§2 )− đ??źđ?‘š(đ?‘§1 ) đ?‘…đ?‘’(đ?‘§2 )− đ?‘…đ?‘’(đ?‘§1 )

=

đ??źđ?‘š(đ?‘§)− đ??źđ?‘š(đ?‘§1 ) đ?‘…đ?‘’(đ?‘§)− đ?‘…đ?‘’(đ?‘§1 )

ove z è un qualunque altro punto distinto da đ?‘§1 đ?‘’ đ?‘§2 . đ??źđ?‘š(đ?‘§2 )− đ??źđ?‘š(đ?‘§1 ) đ?‘…đ?‘’(đ?‘§2 )− đ?‘…đ?‘’(đ?‘§1 ) −2−1 3−2

=

=

đ??źđ?‘š(đ?‘§)− đ??źđ?‘š(đ?‘§1 ) đ?‘…đ?‘’(đ?‘§)− đ?‘…đ?‘’(đ?‘§1 )

đ??źđ?‘š(đ?‘§)− 1 đ?‘…đ?‘’(đ?‘§)− 2

-3(Re(z) – 2) = Im(z) – 1 -3Re(z) + 6 = Im(z) – 1 -3Re(z) – Im(z) = - 7 - 3x – y = - 7 3x + y = 7 y = - 3x + 7

15

19.4 Funzioni e trasformazioni 1)

Dato w = f(z) = z(2-z) determinare w per z = 1 +i e per z = 2 – 2i.

Si ha f(1+i) = (1 +i)(2- (1+i)) = (1 + i)(2 – 1 -i) = (1 +i)(1 – i) = 1 - � 2 = 1 + 1 = 2 Nel secondo caso si ha f(2-2i) = (2-2i)(2-(2 -2i)) = (2-2i)(2i) = (2-2i)(2i) = 4i - 4� 2 = 4i + 4 = 4 + 4i

2)

Dato w =

f(i) =

đ?&#x;?+đ?’› đ?&#x;?−đ?’›

determinare f(i) , f(-i) e f(1-i)

1+đ?‘–

. Ăˆ possibile razionalizzare avendo che f(i) = 1−đ?‘–

1+đ?‘– 1+đ?‘– 1−đ?‘– 1+đ?‘–

=

(1+đ?‘–)2 1− đ?‘– 2

2i/2 = i f(-i) =

1+(−đ?‘–) 1−( −đ?‘–)

1+(1−đ?‘–)

f(1- i) =

3)

=

1−(1−đ?‘–)

1−đ?‘– 1−đ?‘– 1+đ?‘– 1−đ?‘–

=

=

1+1−đ?‘– 1−1+đ?‘–

(1−đ?‘–)2 (1+đ?‘–)(1−đ?‘–)

=

2−đ?‘– đ?‘– đ?‘–

đ?‘–

=

=

1− 2đ?‘–−1

2đ?‘–+1 đ?‘–2

= -i

2

=

2đ?‘–+1 −1

= - (1+2i)

Determinare f(1/z) e f(f(z) data f(z) =

đ?&#x;?đ?’›+đ?&#x;? đ?&#x;‘đ?’›âˆ’đ?&#x;?

con z ≠2/3

Per determinare f(1/z) basta sostituire avendo f(1/z) = 2+z

z

z

3−2z

=

2+z 3−2z

Occorre ora determinare f(f(z)) đ??&#x; đ?&#x;?đ??ł+đ?&#x;?

z→

đ?&#x;‘đ??łâˆ’đ?&#x;?

đ??&#x;

→

đ?&#x;?đ??ł+đ?&#x;? +đ?&#x;? đ?&#x;‘đ??łâˆ’đ?&#x;? đ?&#x;?đ??ł+đ?&#x;? đ?&#x;‘ −đ?&#x;? đ?&#x;‘đ??łâˆ’đ?&#x;?

đ?&#x;?

=

đ?&#x;’đ??ł+đ?&#x;?+đ?&#x;‘đ??łâˆ’đ?&#x;? đ?&#x;‘đ??łâˆ’đ?&#x;? đ?&#x;”đ??ł+đ?&#x;‘−đ?&#x;”đ??ł+đ?&#x;’ đ?&#x;‘đ??łâˆ’đ?&#x;?

19.5 Calcolo di limiti lim (đ?‘–đ?‘§ 4 + 3đ?‘§ 2 − 10đ?‘–)

1)

�→2�

16

=

đ?&#x;•đ??ł

đ?&#x;‘đ??łâˆ’đ?&#x;?

đ?&#x;‘đ??łâˆ’đ?&#x;?

đ?&#x;•

=

đ?&#x;•đ??ł đ?&#x;•

=z

đ?&#x;? đ??ł đ?&#x;? đ?&#x;‘ −đ?&#x;? đ??ł

đ?&#x;? +đ?&#x;?

=

=

(1+đ?‘–)2 1+1

=

1+2đ?‘–−1 2

=

APPUNTI MATEMATICI Patrizio Gravano

Ăˆ sicuramente applicabile la linearitĂ quindi si ha lim (đ?‘–đ?‘§ 4 + 3đ?‘§ 2 − 10đ?‘–) = lim (đ?‘–đ?‘§ 4 ) + đ?‘§â†’2đ?‘–

2

4

�→2�

2

lim (+ 3đ?‘§ ) − lim 10đ?‘– = i (2đ?‘–) + 3(2đ?‘–) - 10i = 16i – 12 – 10i = -(12 +6i)

�→2�

2)

�→2�

�2+ 1

lim � 6 + 1 �→�

�2+ 1

lim� 2 + 1

�→� Si ha lim � 6 + 1 =lim = �6+ 1

�→�

�→�

đ?‘–2 + 1 đ?‘–6 + 1

Si ottiene una forma indeterminata del tipo

0 0

che necessita dell’applicazione del

teorema di De l’Hospital. �2+ 1

Derivando numeratore e denominatore si ottiene lim � 6+ 1 = �→�

2đ?‘– 6đ?‘– 5

=

2 6đ?‘– 4

=

2 6∗1

= 1/3

19.6 Esercizi sulla continuitĂ 1)

Viene richiesto lo studio della continuitĂ della funzione f(z) =

đ?‘§2+ 4 đ?‘§âˆ’2đ?‘–

per z ≠2i

e f(2i) = 3 + 4i La funzione è definita nel dato modo perchÊ z = 2i annulla il denominatore. Occorre verificare se è vero che lim

�2+ 4

đ?‘§â†’2đ?‘– đ?‘§âˆ’2đ?‘–

= 3 + 4i

L’applicazione del teorema per il quale lim

�2+ 4

đ?‘§â†’2đ?‘– đ?‘§âˆ’2đ?‘–

indeterminata del tipo

=

lim (� 2 + 4)

�→2�

lim (đ?‘§âˆ’2đ?‘–)

conduce ad una forma

�→2�

0

. Determino qui di le derivate delle funzioni poste al

0

numeratore e al denominatore della frazione avendo che lim

�2+ 4

đ?‘§â†’2đ?‘– đ?‘§âˆ’2đ?‘–

Osservo che lim

�2+ 4

đ?‘§â†’2đ?‘– đ?‘§âˆ’2đ?‘–

=

2(2đ?‘–) 1

= 4i

= 4i ≠f(2i) = 3 + 4i

Per i punti đ?‘§0 ≠2i si ha che la funzione è continua in quanto f(đ?‘§0 ) = lim

�2+ 4

đ?‘§â†’đ?‘§0 đ?‘§âˆ’2đ?‘–

lim (� 2 + 4)

�→�0

lim (đ?‘§âˆ’2đ?‘–)

�→�0

=

(đ?‘§0 )2 + 4 đ?‘§0 − 2đ?‘–

17

=

1−đ?‘§

lim

2)

�→2+� 1+�

La funzione è definita per ∀ z ≠- 1. La determinazione del limite è immediata ed 1−đ?‘§

avviene per sostituzione avendosi che lim

�→2+� 1+�

=

1−2−đ?‘– 1+2+đ?‘–

−1−đ?‘–

=

3+đ?‘–

=-

(1+đ?‘–) 3+đ?‘–

Allo stesso risultato si giunge facendo tutti i passaggi ovvero applicando il teorema per il quale il limite di una funzione fratta è eguale al rapporto tra i limiti del numeratore e del denominatore.

3)

f(z) =

2đ?‘§âˆ’3

. Ricerca delle discontinuitĂ .

� 2 + 2�+2

La funzione non è continua per gli z che annullano il denominatore ovvero per gli z tali che đ?‘§ 2 + 2đ?‘§ + 2 = 0. In questo caso si tratta di una equazione di secondo −đ?‘?Âąâˆšđ?‘?2 −4đ?‘Žđ?‘?

grado nell’indeterminata z. Si ha che đ?‘§1,2 = −2 Âą √−4 2

=

−2 Âą2đ?‘– 2

2đ?‘Ž

=

−2Âąâˆš(−2)2 −4(1)(2) 2(1)

=

− 2 Âą √4−8 2

=

=-1Âąi

In detti punti la funzione non è definita.

19.7 Successioni e serie contenenti z đ?‘›

Dimostrare che lim (đ?‘›+3đ?‘– -

1)

đ?‘›â†’ +∞

Considero

đ?‘› đ?‘›+3đ?‘–

đ?‘–đ?‘›

)=1–i

đ?‘›+1

Posso dividere numeratore e denominatore per n ≠0 avendo 1

Nel passaggio al limite si ha che lim

=

3

đ?‘›â†’+∞ 1 +( đ?‘›)đ?‘–

Ho ammesso che in generale sia lim

đ?‘–

đ?‘›â†’+∞ đ?‘›

Per il secondo limite osservo che lim đ?‘–

đ?‘›â†’+∞

đ?‘› đ?‘›+1

= i lim

đ?‘›

đ?‘›â†’+∞ đ?‘›+1

3 đ?‘›â†’ +∞ đ?‘›

=

1 1+0

đ?‘›

đ?‘›â†’ +∞

đ?‘–đ?‘›

3 đ?‘›

.

=1

= 0.

đ?‘–đ?‘› đ?‘›+1

đ?‘›

=i

đ?‘›+1

Con il passaggio al limite si ha

= i*1 = i

Pertanto si ha che lim (đ?‘›+3đ?‘– -

18

1 1+ lim ( )đ?‘–

1 1 +( )đ?‘–

) = lim đ?‘›+1

1

3 đ?‘›â†’+∞ 1 +( đ?‘›)đ?‘–

− lim đ?‘– đ?‘›â†’+∞

đ?‘› đ?‘›+1

=1 – i

2)

Determinare

APPUNTI MATEMATICI Patrizio Gravano

đ?‘–đ?‘›2 − đ?‘–đ?‘›+ 1−3đ?‘– lim (2đ?‘›+4đ?‘–−3)(đ?‘›âˆ’đ?‘–) đ?‘›â†’ +∞

Ăˆ sufficiente usare il teorema per il quale detto limite è il rapporto dei limiti ovvero

đ?‘–đ?‘›2 − đ?‘–đ?‘›+ 1−3đ?‘– lim (2đ?‘›+4đ?‘–−3)(đ?‘›âˆ’đ?‘–) đ?‘›â†’ +∞

=

lim đ?‘–đ?‘›2 − đ?‘–đ?‘›+ 1−3đ?‘–

đ?‘›â†’ +∞

lim (2đ?‘›+4đ?‘–−3)(đ?‘›âˆ’đ?‘–)

đ?‘›â†’ +∞

= lim đ?‘–đ?‘›2 / 2đ?‘›2 = ½ (i) đ?‘›â†’∞

Ho considerato l’andamento asintotico per n →+∞ mentre nel denominatore ho sviluppato i calcoli e trascurato gli ulteriori termini.

3) lim √đ?‘› + 2đ?‘– – √đ?‘› + 1 đ?‘›â†’ +∞

Data la successione √đ?‘› + 2đ?‘– – √đ?‘› + 1 ottengo (√đ?‘› + 2đ?‘– – √đ?‘› + 1 )* đ?‘›+2đ?‘–− đ?‘›âˆ’1 √đ?‘›+2đ?‘–+ √đ?‘›+1

=

2đ?‘–−1

√đ?‘›+2đ?‘– + √đ?‘›+1 √đ?‘›+2đ?‘–+ √đ?‘›+1

=

. Ora questa forma è piÚ facilmente trattabile in quanto il

√đ?‘›+2đ?‘–+ √đ?‘›+1

denominatore contiene una somma. Ăˆ immediato comprendere che lim √đ?‘› + 2đ?‘– + đ?‘›â†’ +∞

2đ?‘–−1

√đ?‘› + 1 = + ∞. Pertanto dalla sequenza lim √đ?‘› + 2đ?‘– – √đ?‘› + 1 = lim √đ?‘›+2đ?‘– + √đ?‘›+1 = đ?‘›â†’ +∞

2đ?‘–−1 lim √đ?‘›+2đ?‘–+ √đ?‘›+1

đ?‘›â†’∞

si ottiene che detto limite vale 0.

đ?‘›â†’+∞

19.8 Equazioni di Cauchy-Riemann Verificare che le parti reali e immaginarie della funzione data verificano le condizioni di Cauchy-Riemann. 1)

f(z) = � 2 + 5iz + 3 – i

Posso scrivere f(z) = (� + ��)2 + 5i(x+iy) + 3 – i = � 2 + 2ixy + � 2 � 2 + 5ix + 5y� 2 + 3 - i = � 2 + 2ixy -� 2 + 5ix - 5y + 3 - i = w = u(x,y) + iv(x,y). In questo caso particolare si ha u(x,y) = � 2 -� 2 - 5y + 3 mentre v(x,y) = 2xy + 5x -5y +3

19

Ora è possibile verificare e sono valide le condizioni di Cauchy-Riemann. Infatti, come è noto, la condizione sufficiente per la analiticitĂ di una funzione in una regione R, w = u +iv = f(z) = f(x + iy) = u(x,y) + iv(x,y) è che sia đ???đ?’– đ???đ?’™ đ??? đ???đ?’™

=

đ???đ?’— đ???đ?’š

(đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ś 2 − 5y + 3) =

đ??? đ???đ?’š

(2xy + 5x -5y + 3)

2x = 2x – 5 PoichĂŠ non è verificata questa identitĂ allora la funzione non è analitica. Non è quindi necessario calcolare e verificare che sia

đ???đ?’– đ???đ?’š

=-

đ???đ?’— đ???đ?’™

.

19.9 Differenziali Determinare Δw e dw per la seguente funzione w = iđ?‘§ 2 - 4z + 3i L’incremento di una funzione w = f(z) è definito come Δw = f(z+Δz) – f(z) Quindi si ha w = i(z + Δz)2 + 4(z+đ?›Ľđ?‘§) + 3đ?‘–. Se f(z) e f’(z) sono continue in una data regione allora si può scrivere đ?›Ľđ?‘¤ = f’(z)dz + Îľdz ξ→ 0 quando Δz → 0 dw = f’(z)dz è detto differenziale di w o parte principale di Δw. Determino f’(z) = 2iz – 4 dw = (2iz -4)dz

19.10 Calcolo di gradienti, divergenze, rotori e laplaciani F(x,y) = đ?‘Ľ 2 y - xđ?‘Ś 2

1)

Trattasi di una funzione di due variabili reali đ?‘… 2 → R. ∇F =

đ?œ•

đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) + đ?‘– đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

F(x,y) = ( y(2x) - � 2 (1) ) + i ( ( � 2 )(1) – x(2y) ) = (2xy - � 2 ) + i(� 2 -

2xy)

2)

Determino ora il gradiente di una funzione complessa quale B(z) = 3� 2 +4(z’)

Ho deciso di porla nella forma canonica B = A + iH

20

APPUNTI MATEMATICI Patrizio Gravano

Quindi ho B(z) = 3(đ?‘Ľ + đ?‘–đ?‘Ś)2 +4(x-iy) = 3(đ?‘Ľ 2 +2ixy + (đ?‘–đ?‘Ś)2 ) + 4x + 4iy = 3(đ?‘Ľ 2 +2ixy − đ?‘Ś 2 ) + 4x - 4iy = 3đ?‘Ľ 2 +6ixy − 3đ?‘Ś 2 + 4x - 4iy = 3đ?‘Ľ 2 + 4x - 3 đ?‘Ś 2 + i(6xy - 4y) Nel caso i specie si ha A(x,y) = 3đ?‘Ľ 2 + 4x - 3 đ?‘Ś 2 e H(x,y) = 6xy - 4y đ?œ•đ??´ đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ??ť đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ??´ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ??ť đ?œ•đ?‘Ľ

= 6x + 4 + 0 = 6x + 4 = 6x(1) +4(1) = 6x - 4

= 0 + 0 - 6y = - 6y = 1(6y) + 0 = 6y

Pertanto đ?›ťđ??ľ =

đ?œ•đ??´ đ?œ•đ?‘Ľ

-

đ?œ•đ??ť đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•đ??´

+ i(đ?œ•đ?‘Ś +

đ?œ•đ??ť đ?œ•đ?‘Ľ

) = (6x+ 4) – (6x -4) + i (-6y + 6y) = 6x + 4 – 6x + 4 +

i0 = 8 +i0 = (8, 0) = 8 Determino ora la divergenza divB intesa come prodotto scalare. Div B = Rot B =

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

A(x,y) +

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

H(x,y) -

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

H(x,y) = (6x +4) + (6x -4) = 12x

A(x,y) = 6y – (-6y) = 12 y

19.11 Applicazioni alla meccanica La posizione di un corpo nel piano z è dato da z(t) = 3tđ?‘’ −4đ?‘–đ?‘Ą . Determinare lo scalare velocitĂ e accelerazione ai tempi t = 0 e t = Ď€. Trattasi di una funzione composta quindi z’(t) = (3t)( đ?‘’ −4đ?‘–đ?‘Ą )’ + 3 đ?‘’ −4đ?‘–đ?‘Ą = 3t(-4i) đ?‘’ −4đ?‘–đ?‘Ą + 3 đ?‘’ −4đ?‘–đ?‘Ą Per t = 0 si ha z’(0) = 3*0(-4i) đ?‘’ −4đ?‘–∗0 + 3 đ?‘’ −4đ?‘–∗0 = 0 + 3đ?‘’ 0 = 0 + 3 = 3 ⎸z’’(0) ⎸= √ 32 +02 = 3 z’(t) = 3đ?‘’ −4đ?‘–đ?‘Ą ( 1 – 4it) z’’(t) = 3đ?‘’ −4đ?‘–đ?‘Ą (-4i) + ( 1 – 4it) đ??ˇđ?‘Ą 3đ?‘’ −4đ?‘–đ?‘Ą = - 12i đ?‘’ −4đ?‘–đ?‘Ą + 3 ( 1 – 4it) (-4i) đ?‘’ −4đ?‘–đ?‘Ą per t = 0 si ha z’’(t) = - 12 i - 12i = - 24i ⎸z’’(0) ⎸ = √0 + (−24)2 = 24. In modo analogo si ricava lo scalare velocitĂ e lo scalare accelerazione per t = Ď€.

20. Rotazione antioraria di un vettore del piano C (valutare se inserirlo nell’elaborato in sede di pubblicazione)

21

In termini formali dato un elemento del piano complesso è possibile introdurre una regola che definisca la rotazione oraria di esso. Se si intende definire una operazione che ha come risultato, dato (x, y), di ottenere il coniugato di esso, ovvero l’elemento (x, - y) è possibile formalizzare come segue, introducendo una operazione *. (x, y) * ( 1, - 1) = (x(1) , y(-1)) = (x, - y) Questa operazione agisce sulle quantitĂ scalari (componenti del vettore) come una ordinaria moltiplicazione tra scalari reali. Nel

caso

si

specie

viene

ottenuta

una

rotazione

oraria

di

un

angolo

2 ⎸đ?œ” ⎸, đ?‘’đ?‘ đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘‘đ?‘œ đ?œ” l’angolo formato dalla direzione del vettore con l’asse reale. ω = arctg

đ?‘Ś đ?‘Ľ

In senso semplificante si può porre Ď = √đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ś 2 = 1 (x , y)* ( 1, 1) = (x, y) Rotazione oraria di un angolo di ⎸đ?œ” ⎸ (x, y) * (

1 đ?‘Ľ

, 0 ) = (1, 0)

Rotazione di un angolo ⎸đ?œ” ⎸ + đ?œ‹ (x, y)* (-

1 đ?‘Ľ

, 0 ) = (-1, 0)

Rotazione di Ď€/2 di numeri reali e immaginari puri La rotazione si giustifica invertendo le componenti della coppia (1,0) diventa (0, 1) oppure (0 , -1) a seconda del senso di rotazione che si considera. La rotazione di Ď€ rad è meno delicata perchĂŠ ad esempio da (0, 1) si ottiene (0 – 1) a prescindere dal senso di percorrenza. La simmetria della rotazione di Ď€ rad è immediata in quanto dato (x,y) si ha che (x, y) *( -1, -1) = (-x, - y). Dato (x, y) trovare (x’, y’) tale che (x’,y’) sia il prodotto di una rotazione di Ď€/2 in senso antiorario. Deve essere che i coefficienti angolari delle rette direzioni dei due vettori moltiplicati tra loro devono valere – 1, ovvero deve essere

� �′ � �′

=-1

Deve valere il vincolo Ď = √đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ś 2 = √(đ?‘Ľ ′ )2 +(đ?‘Ś ′ )2 = 1. Essa è vera anche elevando al quadrato. La rotazione di Ď€/2 è un caso particolare del primo caso considerato quando ω = Ď€/4. In questo caso particolare x = y.

22

APPUNTI MATEMATICI Patrizio Gravano

In buona sostanza se una retta passa per (a, b) oltre che per l’origine allora la retta ad essa perpendicolare deve passare, oltre che per l’origine, per mia ipotesi, per un punto incognito ma determinabile (r,s) essendo il segmento di estremi (a,b) e (r,s) la diagonale di un quadrato unitario i cui lati sono staccati dalle direzioni dei due vettori ruotati di π/2 l’uno rispetto all’altro.

23

PILLOLE MATEMATICHE 2 CAMPI VETTORIALI

Ad ogni punto è associato un vettore. L’essenza dei campi vettoriali. 1. Definizione formale di campo vettoriale Sia D ⊆ đ?‘… đ?‘› . Per campo vettoriale si intende una funzione F che fa corrispondere ad ogni x ∊ đ?‘… đ?‘› un vettore F(x). Quando n = 2 allora si ha F(x. y) = P(x,y)i + Q(x, y)j, essendo P(x,y) e Q(x, y) due funzioni scalari. Un esempio di campo vettoriale di forze è il campo elettrico E, che sarĂ introdotto nella rubrica L’ANGOLO DEL FISICO. Esistono particolari campi “definiti da un gradienteâ€?. Data una f(x,y) si definisce gradiente il vettore ∇f(x, y) = đ?‘“đ?‘Ľ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś)i + đ?‘“đ?‘Ś (đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?’‹ La funzione f(x,y) è detta potenziale. 1.1. Esercizi sui campi vettoriali e sul potenziale Solitamente è assegnata un funzione scalare f(x,y) detta potenziale. Mutuo questi esempi successivi risolvendo alcuni esercizi proposti da Stewart (Calcolo, Funzioni di piĂš variabili, Apogeo), non risolti. 1)

f(x,y) = ln(x + 2y)

Determino ��(�, �)=

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

ln(x + 2y)i +

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

ln(x + 2y)j

La particolare forma dell’argomento del logaritmo impone di trattare come se si avesse una funzione composta, avendosi pertanto quanto segue. ��(�, �)= Essendo

24

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

ln(x + 2y)i + ln(x + 2y) =

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś 1

ln(x + 2y)j đ?œ•

đ?‘Ľ+2đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ľ

(x+2y) =

1

đ?œ•

đ?‘Ľ+2đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ľ

(x) + 0 =

1 đ?‘Ľ+2đ?‘Ś

1+0=

1 đ?‘Ľ+2đ?‘Ś

đ?œ•

Essendo poi

đ?œ•đ?‘Ś

ln(x + 2y) =

APPUNTI MATEMATICI Patrizio Gravano 1

đ?œ•

đ?‘Ľ+2đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ľ

(x+2y) =

1

đ?‘Ľ+2đ?‘Ś

(0+

đ?œ•

đ?œ•đ?‘Ś

Pertanto il campo vettoriale F è definito da đ?›ťđ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)=

(2y) ) = 1

1

1

đ?‘Ľ+2đ?‘Ś

2 = 2đ?‘Ľ+2đ?‘Ś

1

đ?‘Ľ+2đ?‘Ś

đ?’Š + 2đ?‘Ľ+2đ?‘Ś j

f(x, y, z) = √đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ś 2 +đ?‘§ 2

2)

��(�, �, � )=

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

√đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ś 2 +đ?‘§ 2 i +

đ?œ•

đ?œ•

đ?œ•đ?‘Ś

√đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ś 2 +đ?‘§ 2 j +đ?œ•đ?‘§ √đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ś 2 +đ?‘§ 2 k

Anche in questo caso occorre lavorare nella logica della funzione composta. đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

√đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ś 2 +đ?‘§ 2 = ½ (1/√đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ś 2 +đ?‘§ 2 ) 2x =

đ?‘Ľ √đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ś 2 +đ?‘§ 2

Analogamente si ottiene che đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś đ?œ• đ?œ•đ?‘§

√đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ś 2 +đ?‘§ 2 = ½ (1/√đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ś 2 +đ?‘§ 2 ) 2y = √đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ś 2 +đ?‘§ 2 = ½ (1/√đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ś 2 +đ?‘§ 2 ) 2z =

Pertanto F(x, y, z) =

3)

đ?‘Ľ

đ?’Š +

√đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ś2 +đ?‘§ 2

đ?‘Ś √đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ś 2 +đ?‘§ 2 đ?‘§ √đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ś2 +đ?‘§ 2

đ?‘Ľ √đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ś 2 +đ?‘§ 2

đ?’‹ +

đ?‘Ľ √đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ś 2 +đ?‘§ 2

k

f(x, y) = xy – 2x

In questo caso si ha ��(�, �)=

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•

(xy – 2x)i +

Procedo quindi al calcolo delle derivate

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•đ?‘Ś

(xy – 2x) j

(xy – 2x) =

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

(xy) -

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•đ?‘Ľ

(2đ?‘Ľ) = yđ?œ•đ?‘Ľ + -2đ?œ•đ?‘Ľ =

y–2 Calcolo ora

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

(xy – 2x) =

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

(xy) -

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•đ?‘Ś

(2đ?‘Ľ) = x

đ?œ•đ?‘Ś

-0=x

Pertanto F(x, y) = (y – 2)i + xj In questi casi da f(x,y,z) si ottiene il campo F(x,y,z). In altri casi bisognerĂ considerare il problema inverso, ovvero dato F trovare la funzione potenziale che genera il campo. 2. Integrale di linea Sia data una curva piana C di equazioni parametriche x = x(t) e y = y(t) con a ≤t ≤ b Si ammette che esse ammettano derivate continue e diverse da zero. Viene definito integrale di linea âˆŤđ??ś đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘ = lim ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘– ∗, đ?‘Śđ?‘– ∗ )Δđ?‘ đ?‘– đ?‘›â†’∞

đ?‘?

đ?‘‘đ?‘Ľ

đ?‘‘đ?‘Ś

La lunghezza L della curva è L = âˆŤđ?‘Ž √ ( đ?‘‘đ?‘Ą )2 + ( đ?‘‘đ?‘Ą )2 dt

25

đ?‘?

đ?‘‘đ?‘Ľ

đ?‘‘đ?‘Ś

âˆŤđ??ś đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘ = âˆŤđ?‘Ž đ?‘“(đ?‘Ľ(đ?‘Ą), đ?‘Ś(đ?‘Ą))√ ( đ?‘‘đ?‘Ą )2 + ( đ?‘‘đ?‘Ą )2 dt 2.1 Alcuni esempi di integrali di linea Ho tratto questo primo esercizio tra quelli proposti dal Demodovic (Esercizi e problemi di analisi matematica, Editori riuniti). 1)

La posizione di un punto in un istante t (t > 0) qualunque è dato

dall’equazione x = 2t, y = ln(t) e z = đ?‘Ą 2 . Determinare la velocitĂ media tra gli istanti 1 e 10. Per determinare la velocitĂ media è necessario calcolare lo spazio percorso Δs nell’intervallo di tempo Δt = 10 – 1 = 9 (sec). Occorre calcolare lo spazio percorso nel dato intervallo. Giova 10

osservare đ?‘‘

che

Δs

đ?‘‘

10

âˆŤ1 √(

=

đ?‘‘

âˆŤ1 √( đ?‘‘đ?‘Ą 2đ?‘Ą)2 + ( đ?‘‘đ?‘Ą ln(đ?‘Ą))2 + ( đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘Ą 2 )2 dt 10

1

âˆŤ1 √( 2)2 + ( |đ?‘Ą| )2 + 4( đ?‘Ą)2 10

âˆŤ1 √

(2đ?‘Ą 2 +1)2 đ?‘Ą2

dt

10 (2đ?‘Ą 2 +1)

dt = âˆŤ1

đ?‘Ą

=

đ?‘‘đ?‘Ľ(đ?‘Ą) 2 ) đ?‘‘đ?‘Ą

10

đ?‘‘đ?‘Ś(đ?‘Ą) 2 ) đ?‘‘đ?‘Ą

+ (

��(�) 2 ) ��

10

dt

=

1

âˆŤ1 √( 2)2 + ( |đ?‘Ą| )2 + ( 2đ?‘Ą)2 đ?‘‘đ?‘Ą=

=

âˆŤ1 √( 2)2 +

+ (

1+4đ?‘Ą 4 đ?‘Ą2

dt

=

10

âˆŤ1 √

4đ?‘Ą 2 + 1+4đ?‘Ą 4 đ?‘Ą2

dt

=

dt

A questo punto detto integrale può essere inteso come la somma di due integrali (linearitĂ ) quindi si ha: 10 (2đ?‘Ą 2 +1)

âˆŤ1

đ?‘Ą

10

10 1

dt = âˆŤ1 2đ?‘Ą dt + âˆŤ1 102

đ??š2 (10) − đ??š2 (1) = 2(

2

-

12 2

đ?‘Ą

10

10 1

dt = 2 âˆŤ1 đ?‘Ą dt + âˆŤ1

đ?‘Ą

dt = 2(đ??š1 (10) − đ??š1 (1) ) +

) + ln(10) − ln(1) = 100 -1 + ln(10) = 99 + ln(10).

In questi passaggi si è tenuto conto che le funzioni integrande đ?‘“1 = t e đ?‘“2 = 1/t hanno come primitive ameno della costante C le funzioni đ??š1 = La velocitĂ media è v =

đ?›Ľđ?‘ đ?›Ľđ?‘Ą

=

99 + ln(10) 9

= 11 +

đ?‘Ą2 2

e đ??š2 = ln(t)

ln(10) 9

3

2) Lunghezza di un arco della curva x = 2cos(t), y = 2sin(t), z = đ?œ‹t da t = 0 a t = Ď€ Occorre calcolare le tre derivate, avendosi cos(t) e infine

26

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

3

(đ?œ‹ t)=

3 đ?‘‘đ?‘Ą đ?œ‹ đ?‘‘đ?‘Ą

=

3 đ?œ‹

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

2cos(x) = -2sin(x) ,

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

= 2sin(t) = 2

APPUNTI MATEMATICI Patrizio Gravano đ?œ‹

3

pertanto la lunghezza cercata è pari a L = âˆŤđ?‘œ √(−2 sin(đ?‘Ą))2 + (2 cos(đ?‘Ą))2 + (đ?œ‹)2 dt = đ?œ‹

đ?œ‹

3

3

3

4đ?œ‹ 2 + 9

âˆŤđ?‘œ √4(sin(đ?‘Ą))2 + (cos(đ?‘Ą))2 ) + (đ?œ‹)2 dt = âˆŤđ?‘œ √ 4 + (đ?œ‹)2 dt = √ 4 + (đ?œ‹)2 (Ď€ – 0) = √

đ?œ‹2

đ?œ‹

= √4đ?œ‹ 2 + 9 1

= √4đ?œ‹ 2 + 9

In un esempio del Demodovic è introdotto il metodo di eliminazione del parametro t per ottenere l’equazione cartesiana del moto Applico a questo esercizio proposto. L’equazione del moto è r = 3icos(t) + 2jsin(t) + 3kt Determinare la traiettoria. Si considerano le tre funzioni scalari x = x(t) = 3cos(t) y = y(t) = 2sin(t) z = z(t) = 3t Da questa ultima ho t =

� 3

Dalla prima ho x = 3cos(t) ovvero cos(t) =

đ?‘Ľ 3

đ?‘Ľ

â&#x;š t = arcos(3)

đ?‘Ś

Dalla seconda si evince che t = arcsin( 2) Pertanto si ha

� 3

đ?‘Ľ

đ?‘Ś

= arcos(3) = arcsin(2)

Questi successivi esercizi sono tratti tra quelli proposti da Stewart (Calcolo, Funzioni di piÚ variabili, Apogeo) Valutare ciascun integrale di linea dove C è una curva assegnata. 1)

âˆŤđ??ś đ?‘Ľđ?‘Ś 4 đ?‘‘đ?‘ C è la metĂ destra del cerchio đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 = 16

đ?‘ƒđ?‘œđ?‘–đ?‘?â„Žè đ?‘ đ?‘– chiede di valutare con riferimento alla parte destra del cerchio per t si ha che 0 ≤ t ≤ Ď€ (il moto avviene compiendo un arco di Ď€ rad, come avverrebbe pure per la parte sinistra). Per i dati del problema possiamo scrivere che r(t) = cos(t)i + sin(t)j đ?œ‹

đ?œ‹

âˆŤđ??ś đ?‘Ľđ?‘Ś 4 đ?‘‘đ?‘ = âˆŤ02 cos(đ?‘Ą) (đ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?‘Ą))4 √ (− sin(đ?‘Ľ))2 + (cos(đ?‘Ľ))2 dt = âˆŤ02 cos(đ?‘Ą) (đ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?‘Ą))4 đ?‘‘đ?‘Ą A questo punto si procede come fosse un normale integrale.

27

âˆŤđ??ś đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ C è l’arco di x = đ?‘Ś 4 da (1, - 1) a (1, 1)

2)

Ăˆ possibile scegliere y come parametro avendo x = đ?‘Ś 4 e y = y con – 1 ≤ y ≤ 1 1

1

16

quindi si può scrivere âˆŤâˆ’1 sin(đ?‘Ľ) √(4đ?‘Ľ −1 )2 + 1 dx = âˆŤâˆ’1 sin(đ?‘Ľ) √ đ?‘Ľ 2 + 1 dx , da trattare come un integrale ordinario. 3. Integrali di linea di campi vettoriali Bisogna ripartire dalla meccanica e dal concetto di lavoro. Data una forza f(x) il lavoro compiuto da essa per spostare un corpo dal punto a al punto b è, come đ?‘?

tutti sanno, W = âˆŤđ?‘Ž đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ. Si ipotizzi che sia F = Pi + Qj + Rk un campo di forze. Si vuole determinare il lavoro compiuto da F nello spostare dal punto a al punto b sulla curva regolare C. ⌋a, bâŚŒ viene diviso in intervalli eguali in ampiezza. Ciò conduce alla suddivisione di C in archi di ampiezza non costante Δđ?‘ đ?‘– = đ?‘ƒđ?‘–−1 đ?‘ƒđ?‘– . Sia dato un punto đ?‘ƒđ?‘– * compreso tra essi. Per Δđ?‘ đ?‘– → 0 la particella procede nella direzione del vettore đ?‘ť(đ?‘Ąđ?‘– *) che è un versore ed è ortogonale a C nel punto đ?‘ƒđ?‘– ∗. T(x,y,z) è un versore tangente la curva C in ogni punto di essa. Il lavoro del campo di forze è W = âˆŤđ??ś đ?‘­ ∗ đ?‘ť đ?‘‘đ?‘ Ma F = F(r(t)) e T =

�′ (�) |�′ (�)|

�′ (�)

đ?‘?

W = âˆŤđ?‘Ž đ?‘­(đ?’“(đ?‘Ą)) |đ?’“′(đ?’•)| |r’(t)dt | In altra forma W = âˆŤđ??ś đ?‘­ đ?’…đ?’“ 3.1 Esercizi sugli integrali di linea F(x,y) = đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 3 i + y√đ?‘Ľj

1)

r(t) = đ?‘Ą 2 i - đ?‘Ą 3 j Da r(t) ottengo che x = x(t) = đ?‘Ą 2 e y = y(t) = đ?‘Ą 3 Pertanto ridefinisco la F(x,y) = (đ?‘Ą 2 )2 (đ?‘Ą 3 )3 i + đ?‘Ą 3 √đ?‘Ą 2 j = t 4 t 9 i + đ?‘Ą 4 j = t13 i + đ?‘Ą 4 j Determino r’(t) = 2đ?‘Ą1 i -3đ?‘Ą 2 j đ?’“′ (đ?’•)

đ?‘?

đ?‘?

đ?‘?

âˆŤđ?‘Ž đ?‘­(đ?’“(đ?‘Ą)) |đ?’“′(đ?’•)| |r’(t)dt | dt = âˆŤđ?‘Ž đ?‘­(đ?’“(đ?‘Ą)) đ?’“′ (t)dt = âˆŤđ?‘Ž (2đ?‘Ą14 - 3đ?‘Ą 6 )dt A questo punto si può procedere come fosse un banale integrale.

28

2)

APPUNTI MATEMATICI Patrizio Gravano

F(x, y, z) = yzi + xzj +xyk con r(t) = đ?‘Ą 3 đ?’Š - đ?‘Ą 2 j + tk 0 ≤ t ≤ 1 đ?‘?

�′ (�)

đ?‘?

Al solito si utilizza âˆŤđ?‘Ž đ?‘­(đ?’“(đ?‘Ą)) ′ |r’(t)dt | dt = âˆŤđ?‘Ž đ?‘­(đ?’“(đ?‘Ą)) đ?’“′ (t)dt |đ?’“ (đ?’•)| Determino r’(t) = 3đ?‘Ą 2 đ?’Š – 2đ?‘Ąj + 1k 1

âˆŤ đ?‘­(đ?’“(đ?‘Ą)) đ?’“′ (t)dt 0

Ridefinisco la F nel modo seguente F(r(t)) = đ?‘Ą 2 ti + đ?‘Ą 3 tj + t 2 t 3 đ??¤ = đ?‘Ą 3 i + đ?‘Ą 4 đ?’‹ +đ?‘Ą 5 k Calcolo ora il prodotto scalare F(r(t))* r’(t) = ( đ?‘Ą 3 i + đ?‘Ą 4 đ?’‹ +đ?‘Ą 5 k ) (3đ?‘Ą 2 đ?’Š – 2đ?‘Ąj + 1k) = 3đ?‘Ą 5 -2đ?‘Ą 5 + đ?‘Ą 5 = 2đ?‘Ą 5 Pertanto

il

predetto

integrale

è

riconducibile

al

seguente,

risolubile

elementarmente 1

âˆŤ0 2đ?‘Ą 5 dt 3.2 Definizione di momento di inerzia di un filo disposto lungo una curva C di đ?‘šđ?&#x;‘ Vengono definiti i tre momenti di inerzia rispetto ai tre assi, x, y, e z come segue: đ??źđ?‘Ľ = âˆŤđ?‘? (đ?‘Ś 2 + đ?‘§ 2)Ď (x, y, z) ds đ??źđ?‘Ś = âˆŤđ?‘? (đ?‘Ľ 2 + đ?‘§ 2 )Ď (x, y, z) ds đ??źđ?‘§ = âˆŤđ?‘? (đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 )Ď (x, y, z) ds Ď (x, y, z) è la funzione densitĂ . 4. Teorema fondamentale per gli integrali di linea Per gli integrali di linea si ha âˆŤđ??ś đ?œľđ?’‡ đ?’…đ?’“ = f(r(b)) – f(r(a)). f è il potenziale. 5. Indipendenza dal cammino âˆŤđ??ś đ?œľđ?’‡ đ?’…đ?’“ = âˆŤđ??ś đ?œľđ?’‡ đ?’…đ?’“ 1

2

∇f deve essere continuo. đ?‘Şđ?&#x;? đ?’† đ?‘Şđ?&#x;? definiscono due distinte curve, o, come si dice, due distinti cammini. Quando r(a) = r(b) allora la curva è detta chiusa. âˆŤđ??ś đ?œľđ?’‡ đ?’…đ?’“ è indipendente dal cammino in D se e solo se âˆŤđ??ś đ?œľđ?’‡ đ?’…đ?’“ = 0 per ogni cammino chiuso contenuto in D.

29

Sia dato un campo con integrale di linea indipendente dal cammino. Si considera un aperto D, non munito di punti di frontiera. Per ogni elemento di D esiste un intorno circolare che contiene tutti e soli punti di D. D si dice poi connesso se presi due punti distinti di esso esiste almeno un cammino tale che ogni punto di detto cammino è pure elemento contenuto in D. Sia D un aperto connesso e sia F un campo vettoriale se âˆŤđ??ś đ?œľđ?’‡ đ?’…đ?’“ è indipendente dal cammino in D allora F è un campo conservativo in D avendosi ∇f = F Se F(x,y) = P(x,y)i + Q(x, y)j è un campo conservativo allora in ogni (x,y) si ha

đ?œ•đ?‘ƒ đ?œ•đ?‘Ś

=

đ?œ•đ?‘„ đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘ƒ đ?œ•đ?‘Ś

=

đ?œ•đ?‘„ đ?œ•đ?‘Ľ

continua in ogni (x,y) non implica necessariamente ∇f = F

Va ora presa in ponderazione la connessione semplice. Ăˆ una regione non “bucataâ€?, nel senso che ogni curva semplice chiusa che appartiene alla regione D contiene solo punti di D. Per curva semplice chiusa si intende una curva per la quale r(đ?›ź) = đ?’“(đ?œˇ) solo per Îą = a e per β = b. Dati quindi due istanti distinti, đ?‘Ą1 đ?‘’ đ?‘Ą2 , si ha che r(đ?‘Ą1 ) ≠đ?’“(đ?‘Ą2 ), ∀ a < đ?‘Ą1 < đ?‘Ą2 < b. Se D ⊆ đ?‘… 2 è una regione semplicemente connessa se le derivate prime sono continue e

đ?œ•đ?‘ƒ đ?œ•đ?‘Ś

=

đ?œ•đ?‘„ đ?œ•đ?‘Ľ

in tutto D allora F(x,y) = P(x,y)i + Q(x,y)j è un campo

conservativo. 6. Campi conservativi e ricerca del potenziale che genera il campo Ho risolti questi casi (tratti da Stewart, op. cit.). In essi si richiede si stabilire se l’assegnato campo vettoriale è conservativo e nel caso lo sia trovare una funzione scalare f il cui gradiente riproduca il campo. 1)

F(x, y) = (6x + 5y)i + (5x + 4y)j

Nel formalismo considerato posso scrivere che P(x, y) = 6x + 5y e Q(x, y) = 5x + 4y Occorre considerare le due derivate parziali

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

(6x +5y) = 0 + 5 = 5 e

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

(5x +4y) = 5

+ 0 = 5. Le due funzioni sono definite e continue in tutto đ?‘… 3 . Sono verificate le condizioni per cui F è un campo conservativo. Occorre ora trovare una funzione scalare per la quale sia F = ∇f. Occorre trovare una funzione f(x, y) tale che: đ?‘“đ?‘Ľ (x, y) = 6x + 5y

30

APPUNTI MATEMATICI Patrizio Gravano

đ?‘“đ?‘Ś (x, y) = 5x + 4y

(ciò discende immediatamente da F = ∇f). Si considera đ?‘“đ?‘Ľ (x, y) = 6x + 5y e la si integra rispetto ad x avendo âˆŤ đ?‘“đ?‘Ľ (x, y) đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ 6đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľ + âˆŤ 5đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ + h(y) (ove h(y) è una costante rispetto ad x) đ?‘Ľ2

f(x,y) = 6 2 + 5yx + h(y) = 3đ?‘Ľ 2 + 5xy + h(y) Occorre ora derivare parzialmente la f(x,y) ottenuta rispetto ad y avendosi che đ?‘“đ?‘Ś (x, y) =

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

(3đ?‘Ľ 2 + 5xy + h(y) ) = 0 + 5x + â„Žđ?‘Ś (y) = 5x + â„Žđ?‘Ś (y)

Ăˆ possibile ora confrontare detta derivata, come ottenuta, con quella data 5x + â„Žđ?‘Ś (y) = 5x + 4y â&#x;š â„Žđ?‘Ś (y) = 4y Occorre ora integrare â„Žđ?‘Ś (y) rispetto ad y avendo che âˆŤ â„Žđ?‘Ś (y) dy = âˆŤ 4đ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ś đ?‘Ś2

h(y) = 4 2 + cost. = 2đ?‘Ś 2 + cost. Pertanto f(x, y) = 3đ?‘Ľ 2 + 5xy + 2đ?‘Ś 2 + cost.. 2)

F(x, y) = xđ?‘’ đ?‘Ś i + yđ?‘’ đ?‘Ľ j

Per verificare se detto campo è conservativo occorre verificare che đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

(xđ?‘’ đ?‘Ś ) = (

(yđ?‘’ đ?‘Ľ ) =

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•

(đ?‘Ľ))đ?‘’ đ?‘Ś +(đ?œ•đ?‘Ś (đ?‘’ đ?‘Ś ))x = 0*đ?‘’ đ?‘Ś + (đ?‘’ đ?‘Ś )x = xđ?‘’ đ?‘Ś

(y)đ?‘’ đ?‘Ľ +(

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

(đ?‘’ đ?‘Ľ ))đ?‘Ś = 0*đ?‘’ đ?‘Ľ + đ?‘’ đ?‘Ś y

PoichÊ dette derivate non sono eguali il campo non è conservativo. 7. Esempi di aperti, connessi, semplicemente connessi 1)

{ (x, y) : x > 0, y > 0 }

Esso è costituito da tutti i punti di đ?‘… 2 del primo quadrante cartesiano. Non appartengono a D i semiassi positivi. Esso è sostanzialmente privo di frontiera ed ogni punto di esso è associabile ad un intorno circolare di detto punto che contiene soli punti di D. Pertanto D è un aperto. Esso è pure connesso in quanto dati due punti di esso possono essere uniti con un cammino che contiene soli punti di D. Esso è anche semplicemente connesso in quanto ogni curva chiusa appartenente alla regione contiene soli punti di D

31

2)

{ (x, y) : x ≠0 }

L’insieme dato ha come elementi tutti i punti del piano salvi i punti per i quali x = 0, ovvero, in altri termini, tutti i punti del piano ad eccezione dell’asse delle y. Esso può essere considerato come l’unione di due aperti, simmetrici rispetto all’asse y che non è del luogo. Detto luogo (unione) non ha frontiera. Esiste almeno un cammino (quindi infiniti) per il quale dati due punti, per esempio simmetrici rispetto all’asse delle y, costituito da punti non tutti appartenenti a { (x, y) : x ≠0 }. Pertanto detto insieme non è connesso nĂŠ tantomeno semplicemente connesso. { (x, y) : 1 < đ?’™đ?&#x;? + đ?’šđ?&#x;? < 4}

3)

Dal segno < si comprende che si tratta di un aperto. Per i punti vicini ad una ipotetica frontiera esistono sempre intorni simmetrici contenuti in detto insieme, ovvero i cui elementi sono tutti e soli elementi di D dato. Ove in luogo di < vi fosse stato ≤ allora si avrebbero avute ben due frontiere. Esse sarebbero, elementarmente, date dai due luoghi seguenti: đ?‘Ľ2+ đ?‘Ś2 = 4 đ?‘Ľ2+ đ?‘Ś2 = 1 (trattasi, rispettivamente, di due circonferenze di raggio 2 e 1, centrate nell’origine). Detto luogo è un connesso in quanto è possibile trovare un cammino che congiunga due distinti punti di esso ed abbia per elementi sono elementi di D. Non vale la condizione piĂš restrittiva per la quale ogni possibile cammino chiuso che congiunge due punti di D contiene soli elementi di D. D = { (x, y) : 1 < đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 < 4} è un aperto connesso, ma non strettamente! 8. Generalizzazione dei campi conservativi in đ?‘šđ?&#x;‘ Un campo F = Pi + Qj + Rk ove P = P(x,y,z), Q = Q(x,y,z) e R = R(x,y,z) è conservativo se đ?œ•đ?‘ƒ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘ƒ đ?œ•đ?‘§ đ?œ•đ?‘„ đ?œ•đ?‘§

=

đ?œ•đ?‘„

=

đ?œ•đ?‘…

=

đ?œ•đ?‘…

đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś

32

(come nel piano)

APPUNTI MATEMATICI Patrizio Gravano

9. Integrali multipli

Bisogna dar conto del significato di scritture del tipo

.

In genere si parte da una funzione f(x,y) definita in un rettangolo o in una regione chiusa qualunque. Detta regione (nel caso del rettangolo) viene divisa in rettangoli di area ΔA = ΔxΔy. Per ognuno di detti rettangolini di sceglie un punto (đ?‘Ľđ?‘–đ?‘— , đ?‘Śđ?‘–đ?‘— ). Si considera quindi f(đ?‘Ľđ?‘–đ?‘— , đ?‘Śđ?‘–đ?‘— ) Il volume del solido di base R = ∑ ΔA delimitato superiormente dalla superficie di equazione f(x,y) è V =

lim

đ?‘š,đ?‘› → +∞

đ?‘› ∑đ?‘š đ?‘–=1 ∑đ?‘–=1 đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘–đ?‘— , đ?‘Śđ?‘–đ?‘— )ΔA.

Se tale limite esiste finito allora esso è detto integrale doppio sul rettangolo R. âˆŹđ?‘… đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ś =

lim

đ?‘š,đ?‘› → +∞

đ?‘› ∑đ?‘š đ?‘–=1 ∑đ?‘–=1 đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘–đ?‘— , đ?‘Śđ?‘–đ?‘— )ΔA

Esiste un valore medio pure per l’integrale doppio. Esso banalmente è Îź(f(x,y)) = 1 đ??´(đ?‘…)

âˆŹđ?‘… đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ś.

L’integrale doppio è un operatore lineare. Si ammette sia f(x,y) continua in R. 10. Integrali iterati đ?‘‘

Bisogna definire ora l’integrazione parziale. Con il formalismo A(x) = âˆŤđ?‘? đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś si intende che x è costante ed evidentemente A(x) dipende da detta costante. Detta funzione A(x) è integrabile rispetto ad x. đ?‘?

đ?‘?

đ?‘‘

âˆŤđ?‘Ž đ??´(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤđ?‘Ž âŚ‹âˆŤđ?‘? đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘ŚâŚŒ dx Esso è detto integrale iterato. Oprativamente si utilizza un teorema detto di Fubini per il quale đ?‘?

đ?‘‘

đ?‘‘

đ?‘?

âˆŹđ?‘… đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤđ?‘Ž âŚ‹âˆŤđ?‘? đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘ŚâŚŒ dx = âˆŤđ?‘? âŚ‹âˆŤđ?‘Ž đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘ĽâŚŒ dy Nota. Per la rappresentazione di R è invalso riferirsi al concetto insiemistico di prodotto cartesiano. Se x âˆŠâŚ‹a , bâŚŒ e y âˆŠâŚ‹c , dâŚŒ allora i punti del rettangolo R sono tutti e soli quelli di ⌋a, bâŚŒX⌋c , dâŚŒ. 10.1 Esercizi sugli integrali iterati Anche questi esercizi sono tratti da Stewart (op. cit.). 1)

âˆŹđ?‘… 3 đ?‘‘đ??´

R = {(x,y) : -2 ≤ x ≤ 2 , 1 ≤ y ≤ 6 }

33

Nel linguaggio piĂš noto e usando il t. di Fubini si può scrivere đ?‘?

đ?‘‘

đ?‘‘

đ?‘?

âˆŹđ?‘… đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤđ?‘Ž âŚ‹âˆŤđ?‘? đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘ŚâŚŒ dx = âˆŤđ?‘? âŚ‹âˆŤđ?‘Ž đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘ĽâŚŒ dy đ?‘?

đ?‘‘

V = âˆŤđ?‘Ž âŚ‹âˆŤđ?‘? đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘ŚâŚŒ dx Ăˆ possibile calcolare l’integrale piĂš interno, avendosi, per i dati del problema, che đ?‘‘

6

6

âˆŤđ?‘? đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ1 3 đ?‘‘đ?‘Ś = 3 âˆŤ1 đ?‘‘đ?‘Ś = 3(6-1) = 3*5 = 15 đ?‘?=2

A questo punto si calcola âˆŤđ?‘Ž= −2 15 đ?‘‘đ?‘Ľ = 15(2 – (-2) ) = 15(2+2) = 15*4 = 60 3

1

âˆŤ1 âˆŤ0 (1 + 4đ?‘Ľđ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ś

2)

1

1

1

1

Occorre calcolare l’integrale piĂš interno âˆŤđ?‘œ 1 + 4đ?‘Ľđ?‘Ś dx = âˆŤ0 đ?‘‘đ?‘Ľ + âˆŤ0 4đ?‘Ľđ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ0 đ?‘‘đ?‘Ľ + 1

4y âˆŤ0 đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľ (ricordare che poichĂŠ si integra parzialmente rispetto ad x la y deve essere considerata una costante) 1

12

1

Si ha pertanto che âˆŤ0 đ?‘‘đ?‘Ľ + 4y âˆŤ0 đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľ = (1-0) + 4y⌋ 2 − 3

3

02 2

âŚŒ = 1 +2y

3

32

Ora procedo calcolando âˆŤ1 (1 + 2y )dy = âˆŤ1 đ?‘‘đ?‘Ś + âˆŤ1 2đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ś = (3 -1) + 2( 2 -

13 2

)=2+8=

10 3

1

Pertanto âˆŤ1 âˆŤ0 (1 + 4đ?‘Ľđ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ś = 10 3

1

âˆŤ0 âˆŤ0 √đ?‘Ľ + đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ś

3)

1

Occorre partire dal calcolo di âˆŤ0 √đ?‘Ľ + đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ Pongo x+ y = u. Devo considerare y come una costante e differenziando ottengo dx + 0 = du quindi du = dx. Occorre poi ridefinire gli estremi di integrazione sulla base della sostituzione data avendo che đ?‘˘1 = 0 + y = y, mentre l’estremo superiore di integrazione, come modificato, deve essere đ?‘˘2 = 1 + y, ove y deve intendersi costante. 1+đ?‘Ś

âˆŤđ?‘Ś

�1/2 du =

1 2

(

1 √1+đ?‘Ś

-

1 √đ?‘Ś

Quindi si procede. 4

2 đ?‘Ľ

âˆŤ1 âˆŤ1 ( đ?‘Ś −

4)

34

đ?‘Ś đ?‘Ľ

) dy dx

)

APPUNTI MATEMATICI Patrizio Gravano 2 đ?‘Ľ

2đ?‘Ľ

đ?‘Ś

Posso cominciare dal considerare âˆŤ1 ( đ?‘Ś − đ?‘Ľ )đ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ1 1 22

x⌋Ln(2) – Ln(1)} – �( 2 -

12

) = xln(2) 2 4

13 đ?‘Ľ2 3

= xln(2) -

đ?‘Ś

21

dy = x âˆŤ1 đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ś -

2

âˆŤ1 đ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ś =

3 2 4

43

42

Pertanto, ora si calcola âˆŤ1 ( đ?‘Ľđ?‘™đ?‘›(2) − 2)đ?‘‘đ?‘Ľ = ln(2)âˆŤ1 đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľ âˆŤ1 2 đ?‘‘đ?‘Ľ = (ln(2))⌋ 2 15

1

đ?‘Ľ

12 2

3

âŚŒ - 2(4-1)

9

= ln(2) 2 -2

35

GRANDI MATEMATICI DEL PASSATO SIR ISAAC NEWTON

Anche nel caso di Isaac Newton non è agevole una sintesi esaustiva che dia conto approfonditamente dei suoi fondamentali contributi alla matematica e alla fisica. Certamente

Egli

fu

un

unificatore,

in

quanto

comprese

che

fenomeni

apparentemente diversi, quali il moto dei pianeti attorno al Sole e la caduta dei gravi fossero riconducibili entrambi alla gravitazione. Voleva fare di più non riuscendovi, in quanto non in grado di dare conto delle perturbazioni del moto lunare. Fu per Lui una delusione e abbandonò gli studi sulla gravitazione.

La sua teoria della gravitazione dette comunque buon conto teorico delle leggi di Keplero, che fino ad allora non erano spiegabili, ma erano il frutto di mere osservazioni sperimentali.

Certamente i suoi contributi più importanti furono l’elaborazione del calcolo integrale e differenziale di cui è ancora ben nota la disputa con von Liebnitz, che avvenne senza esclusione di colpi.

Nella sezione dedicata alle equazioni differenziali ordinarie si è parlato anche del problema del raffreddamento, che gli può essere attribuito, ancorché in forma anonima.

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Non mancò di dedicare la sua attenzione alla luce, sulla cui natura poco si sapeva. Arrivò a formulare una sua teoria corpuscolare che si rilevò erronea anche nella circostanza che secondo Lui la luce avrebbe dovuto viaggiare ad una velocità maggiore nel mezzo rispetto al vuoto. Comprese che la luce bianca era scomponibile nei colori dell’iride. Prevalse la tesi ondulatoria di Huygens-Young. La scomposizione prismatica e la successiva ricomposizione della luce da colorata in bianca gli consentì di realizzare il telescopio riflettore.

Apprese la geometria dagli studi di Cartesio che aveva iniziato a descrivere le curve con equazioni algebriche.

Fu allievo di Isaac Barrow, uno dei primi successori di Lucas e acerrimo nemico di Hooke.

Egli fu il primo a sistemare la meccanica, con l’introduzione delle leggi del moto, tanto che ancora oggi si parla di meccanica classica o newtoniana. La sua impostazione fu essenzialmente geometrica, ottenendo risultati considerevoli, quali il parallegramma delle forze.

Egli avviò gli studi sul moto dei corpi in un fluido resistente. Egli, per questa via, ottenne una prima misurazione della velocità del suono.

Vorrei però fare qualche cenno al teorema binomiale, pure attribuibile a Newton. È ben noto da studi elementari il cosiddetto triangolo di Tartaglia-Pascal. La sua “costruzione” è a tutti nota e immediata.

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Vediamo la formulazione sintetica del teorema del binomio, nel linguaggio odierno.

(đ?‘Ž + đ?‘?)đ?‘› = ∑đ?‘›đ?‘˜=0(đ?‘›đ?‘˜) đ?‘Žđ?‘›âˆ’đ?‘˜ đ?‘? đ?‘˜ con (đ?‘›đ?‘˜) =

đ?‘›! đ?‘˜!(đ?‘›âˆ’đ?‘˜)!

(si legge n sopra k)

I coefficienti binomiali sono particolarmente utili nel calcolo combinatorio, per la determinazione del numero di disposizioni semplici di k elementi presi in un insieme di n elementi.

In buona sostanza si tratta di un caso di piccionaia dove il numero dei piccioni e maggiore del numero delle gabbie k < n.

Si ha molto semplicemente che đ??ˇđ?‘›,đ?‘˜ = n(n-1)‌‌. (n-k +1) =

đ?‘›(đ?‘›âˆ’1)‌‌1 (đ?‘›âˆ’đ?‘˜)(đ?‘›âˆ’đ?‘˜âˆ’1)‌‌..1

=

đ?‘›! (đ?‘›âˆ’đ?‘˜)!

Una pregevole sintesi del Calcolo combinatorio è contenuta in Wikipedia.

In realtĂ si può passare da n a un numero reale positivo, ma è bene, per ora, considerare le proprietĂ del coefficiente binomiale. (đ?‘›0) = (đ?‘›đ?‘›) = 1

đ?‘› (đ?‘›1) = (đ?‘›âˆ’1 )=n

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đ?‘› (đ?‘›đ?‘˜) = (đ?‘›âˆ’đ?‘˜ )

đ?‘› (đ?‘›+1 ) = (đ?‘˜+1 ) + (đ?‘›đ?‘˜) đ?‘˜+1

Il coefficiente del binomio può essere esteso al caso k < 0 avendosi (đ?‘›đ?‘˜) = 0 quando n e k sono interi relativi con n > 0, quando k < 0 oppure quanto k > n.

Ăˆ ammissibile l’estensione ai reali avendosi convenzionalmente che (đ?‘›đ?‘˜) = Esempio (4,5 )= 3

(4,5)3 3!

=

(đ?‘›)đ?‘˜ đ?‘˜!

(4,5)(3,5)(2,5) 6

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.

L’ANGOLO DEL FISICO CALORE, TERMODINAMICA E ACUSTICA

Riproduco nell’ANGOLO DEL FISICO di questo numero di APPUNTI MATEMATICI questa scheda relativa ad alcuni ambiti della fisica, quali il calore, la termodinamica, e l’acustica. Ho utilizzato come testo di riferimento il noto manuale di Fisica tecnica di Cengel, salve integrazioni, indicate nel testo.

Ho deciso di conservare per essa la struttura di meri appunti, quali li elaborai prima di sostenere l’esame di Fisica tecnica.

Capitolo 1 – Scienze termiche. Energia (= capacità di produrre cambiamenti). Trasmissione e conversione. Interazioni materia – energia. Principio di conservazione dell’energia. Energia come proprietà termodinamica. Teoria atomico – molecolare. Termodinamica statistica. Approssimazione del continuum. Termodinamica classica. Gradiente di temperatura (derivante da una differenza di temperatura). In una dimensione è: dT/dx. Nello spazio a tre dimensioni formalmente il gradiente F di una funzione scalare f= f(x,y,z) è: ∇f(x,y,z)=(∂f/∂x)i+(∂f/∂x)j+(∂f/∂x)k=F(x,y,z) , ove i, j, e k sono i versori di una base ortonormale (base canonica). Trasmissione del calore. Il calore si trasmette nella direzione della temperatura minore. Forza. Pressione (forza ortogonale a una superficie /superficie) Se la forza non è ortogonale considerare (regola del parallelogramma di Newton) la sola componente ortogonale. Analiticamente p = dFN /dA. Per il calcolo effettivo considerare il modulo

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della componente normale. Lavoro (in genere si considera il lavoro elementare di traslazione, ma esiste anche un lavoro di rotazione). Potenza dL/dt, misurata in Joule/sec = watt. Omogeneità dimensionale (controllo delle formule ed eventualmente per ricavarle).

Capitolo 2 - Concetti termodinamici. Sistema termodinamico (porzione di materia /regione di spazio). Contorno (fisso o mobile). Ambiente. Sistema chiuso. Massa di controllo (m = cost.). Sistema aperto. Volume di controllo con contorno reale e immaginario (ugello). Volume di controllo con contorno fisso e contorno mobile. Sistema

isolato.

Proprietà

termodinamica

(ogni

caratteristica

del

sistema

termodinamico). Pressione. Temperatura (a livello microscopico collegata con l’agitazione molecolare). Estensione volumica. Volume (metro cubo, 1 litro = un decimetro cubico). Massa. Proprietà estensive (dipendenti dalle dimensioni del corpo). Proprietà intensive (non dipendenti dalle dimensioni). Proprietà specifica (=proprietà estensiva/massa) per esempio E/m = e (=energia specifica). Densità. Volume specifico. Densità relativa (=densità sostanza/densità acqua) come numero puro (adimensionato). Campo di gravità. Peso. Peso specifico. Sistema in equilibrio (vanno “soddisfatte” tutte le condizioni di tutti i tipi di equilibrio). In condizioni di equilibrio i parametri (variabili di stato) che lo definiscono (individuando lo stato del sistema) restano costanti nel tempo. Se varia una variabile di stato il sistema diviene temporaneamente non caratterizzabile (da ciò la non reversibilità). Se si individuano stati intermedi tra loro “vicini” le variazioni delle variabili di stato sono modeste ma non infinitesime, quindi lo scostamento dall’equilibrio modesto. Tra stato 1 e stato 2 ci vuole un tempo (teoricamente infinito). Aumentando gli stati intermedi lo scostamento dall’equilibrio in ogni diverrà infinitesimo e i moltissimi nuovi stati di equilibrio si discosteranno dall’equilibrio

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precedente per variazioni infinitesime delle grandezze (p – v). Il piano p –v è detto di Clapeyron. N.B. Se faccio variare il volume di un ∆V esiste un ∆t non trascurabile entro il quale p “non è caratterizzabile”, non si può dire quanto vale. (Cantelli, Lezioni di fisica 1), Equilibrio termico (T(t) costante nel tempo). Equilibrio meccanico dP(t, x)/dt = 0 ove P è la pressione, t è il tempo e x indica il vettore delle coordinate nello spazio a tre dimensioni (tenere però conto che la pressione in genere non è la stessa nei vari punti, potendo per esempio, variare con la quota). Variazione di p con la quota. Si idealizza un parallelepipedo rettangolo infinitesimo di area di base A collocato ad una altezza z dal suolo e di altezza dz. Ogni punto della faccia superiore è a altezza z + dz dal suolo. Sulle due facce (inferiore e superiore) vengono ad esercitarsi delle pressioni P e P + dP. Sommando vettorialmente le forze risultanti sulle due facce e tenendo conto che esse sono antiparallele si ha che PA – PA – dPA = ρgAdz (peso del parallelepipedo infinitesimo), ovvero dP = - ρgdz (ho moltiplicato tutto per (1/A) ). Integrando la precedente relazione si ottiene P(z) - Po = - ∫ρgdz. Ρ è costante per i liquidi e si pone dh = - dz si pone P(z=0) = 0. Si pone γ= ρg e si ha dP = γdh che integrata e posto P = 0 alla superficie del liquido dia ha P = γh. Relazione tra pressione assoluta e pressione relativa. Pass = Prel + Patm. Prel < 0 è detta vuoto. (parte sintetizzata dal Potter, Sommerton) A volte i ∆p si trascurano. Equilibrio di fase e chimico. Proprietà → stato. Postulato di stato (lo stato di un sistema semplice comprimibile è completamente determinato da due proprietà intensive indipendenti). Trasformazione termodinamica (=passaggio da uno stato di equilibrio ad un altro). Stato iniziale. Stato finale. Trasformazione quasi statica (in ogni t il sistema è infinitesimamente vicino allo stato t – dt), vista come sufficientemente lenta

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(ideali ma non reali). Interesse ingegneristico per le quasi-statiche (semplicità di studio, max rendimento delle macchine quando operano con trasformazioni quasi statiche). Ulteriore modo di definire la reversibilità (pura astrazione!)è ricordare la quasi-staticità della trasformazione coordinata con la circostanza che “se la causa che provoca il passaggio da uno stato all’altro viene rimossa, il sistema ritorna nello stato di equilibrio precedente”. Se tali condizioni non sono entrambe verificate la trasformazione sarà irreversibile. (Catalani, La termodinamica. Problemi, I edizione, Tecnos, 2006). Equilibrio

metastabile

(Potter,

Sommerton):

piccola

perturbazione

implica

cambiamento significativo delle sue proprietà (gli autori intendevano riferirsi a ampie variazioni delle variabili di stato nel nuovo equilibrio. (verificare). Diagramma p-V per i gas. Trasformazioni non quasi statiche. Uso del prefisso –iso. Flusso stazionario (costante nel tempo). Flusso uniforme (costante nel tempo). Principio zero della termodinamica: equilibrio termico. Il termometro. Scale termometriche. Scala Kelvin. Zero assoluto (vedi entropia). ∆T(°C) = ∆T (°K), eguaglianza non valida in relazione alle altre scale termometriche (R e F).

Capitolo 3 - Energia. Conservazione dell’energia. Trasferimento di energia secondo la modalità lavoro e la modalità calore (esistenza di un gradiente di temperatura). Energia totale di un sistema. E/m = e. In termodinamica rilevano le variazioni di energia ∆E. Forme macroscopiche di energia (ex gravità, magnetismo, elettricità, etc):energia potenziale; energia cinetica. Forme microscopiche di energia (struttura molecolare indipendenti dal riferimento considerato). U (=somma forme microscopiche di energia). Energia potenziale gravitazionale = mgh. Energia cinetica traslazionale (1/2)m(v^2). Energia totale = E = energia potenziale + energia cinetica + energia interna. E/m (misurata in KJ/kg ≡ J/g). Sistemi chiusi stazionari ∆E = ∆U perché l’energia potenziale e la cinetica si suppongono costanti. Portata massica (quantità di massa che

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fluisce nell’unità di tempo attraverso la unità di sezione areale)dm/dt = ρA v. Av = dV/dt da cui si ottiene che dm/dt = ρdV/dt v è la velocità scalare media del fluido. Portata volumica dV/dt. Dalla relazione E =me ammesso e costante di ha dE/dt = (dm/dt)e = potenza (si misura in watt). Energia meccanica. Conversione diretta e immediata in lavoro meccanico (per esempio con una turbina ideale). Dimensionalmente si ha: pascal = newton/m^2 = joule/m^3. p = E/V = (E/m)/(V/m) = e/v → e = pv ma v = 1/ρ(infatti V/m = v ma la densità è – per definizione – ρ= m/V) pertanto si determina il lavoro di flusso riferito all’unità di massa = p/ρ. Questa quantità è detta lavoro del flusso. In termini quantitativi l’energia meccanica e è costituita da tre componenti ovvero energia del flusso + energia cinetica + energia potenziale. Derivando rispetto al tempo l’energia meccanica E si ottiene la potenza meccanica dE/dt = (d/dt)E = (dm/dt)e = (dm/dt)〔( p/ρ)+ ((v^2)/2)) + gz〕. Se il fluido è incomprimibile la densità resta costante. Non bisogna confondere la potenza con la variazione della potenza meccanica. ∆(dE/dt) = (dm/dt)(∆e).Per determinare il ∆e si determinano le differenze temporali delle tre componenti energetiche, raccogliendo a fattor comune. I fattori comuni sarebbero 1/ρ, ½ e g. Il segno di ∆e ha un significato fisico. ∆e > 0 significa che è stato somministrato lavoro meccanico al fluido. Ricordare il caso opposto. Nel sistema chiuso la massa è costante (m(t) = cost.). Attraverso il contorno del sistema sono possibili scambi di energia secondo le modalità lavoro e/o calore. Trasferimento di energia sotto forma di calore. Due corpi a T differente. Dopo un dato tempo sono alla stessa T. Condizione di equilibrio termico. Lo scambio energetico nella modalità calore presuppone un gradiente di temperatura. No gradiente = no scambi di energia sotto forma di calore. Calore Q misurato in calorie, ora in Joule (come l’energia). Trasformazione adiabatica (senza scambi di calore tra sistema e ambiente) Q (ambiente

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⇄ sistema) = 0. Il calore è una grandezza estensiva, dipendendo dalle dimensioni del corpo. q = Q/m. Potenza termica trasmessa dQ/dt = Q’. Applicare la separazione delle variabili dQ = Q’dt e integrando si ha Q = ∫Q’dt (da intendersi come integrale definito con dati estremi di integrazione). Se Q’(t) = cost. si può portare fuori da integrale la funzione integranda ottenendo Q = Q’∆t. Prima di Rumford e Joule si riteneva il calore una sorta di fluido detto caloricon. Oggi è considerato energia. Modalità di trasmissione del calore: conduzione (senza flusso di materia, ma con trasferimento di energia tra molecole); convezione (con moto particellare associato, detto “moto convettivo”); irraggiamento (anche nel vuoto, fotoni). Esistono distinte leggi di propagazione del calore (vedi oltre) che presuppongono sempre il gradiente di T. Lavoro. Lavoro elementare dL = fdx. Il lavoro È una grandezza scalare. Trasferimento di energia sotto forma di lavoro. Il lavoro è una grandezza estensiva. Convenzione formale dei segni Q> 0 and L < 0

→

Sistema → Q < 0 and L >0

di immediata interpretazione (per esempio il lavoro fatto contro il sistema è negativo, il calore assorbito dal sistema è positivo). N.B. Calore e lavoro non sono proprietà del sistema (non sono funzioni di punto). ∫dV = V2 – V1 (integrale definito). Per il lavoro non ha senso scrivere ∫dL = L2 – L1. Si usa un differente formalismo matematico ∫δL = L (1→ 2). L’integrale va inteso come integrale definito con limiti di integrazione inferiore 1 e superiore 2. Si intende che il sistema passa dallo stato 1 allo stato 2. Primo principio della termodinamica. Vedi, per esempio, sistema ∆E = ∆L con Q = 0 (non ci sono scambi – comportamento adiabatico, o perché la superficie di controllo è isolante termico oppure perché ∆T = 0 tra interno ed esterno). Bilancio energetico del sistema:

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∆E sist = E entrante – E uscente = E finale – E iniziale. ∆E = ∆U + ∆Ecin + ∆Epot. Nei sistemi stazionari ∆Ecin = ∆Epot = 0 da cui ∆E = ∆U. Meccanismi di trasferimento dell’energia. 1) Trasferimento di calore; 2) trasferimento di lavoro; 3) trasferimento di massa (Flusso di massa entrante e uscente dal sistema. La massa uscente porta con se una certa quantità di energia). Eentr - Eusc = (Qentr – Qusc) + (Lentr – Lusc)= ∆Esist (*) Ricordare le relazioni: Q = Q’∆t L = L’∆t ∆E = (dE/dt) ∆t La (*) può anche essere scritta tenendo conto delle derivate prime. Èentr. – Èusc. = ∆È. Sistema chiuso soggetto ad un ciclo. ∆E sist. = 0, ovvero Eentr. = Eusc. In un ciclo ∆E = 0 quindi L netto entrante = Q netto uscente, da cui L’ = Q’. Rendimento η. Numero puro compreso tra zero e 1. Rendimento meccanico = energia meccanica uscente/energia meccanica entrante. Rendimento della pompa e rendimento della turbina (vedi oltre). Equivalenza tra calore e lavoro. Esperimento di Joule. L/Q = 4,186 joule/caloria. Tale relazione è detta principio di equivalenza di Joule (1850) (cit. Cantelli)

Capitolo 4 – Proprietà delle sostanza pure. Sostanza pura (composizione uniforme in ogni punto, costituita anche da specie chimiche differenti).Acqua + olio no perché manca l’uniformità. Acqua liquida + acqua vapore è sostanza pura. Aria liquida + aria vapore no. Le sostanza pure esistono in fasi diverse, al variare di p e di T. Caso del carbonio (grafite, diamante). Molecole di un solido (vibrazione attorno a un punto di equilibrio). Liquido (molecole non a posizioni fisse, strati).Aeriforme (gas o vapore) con molecole distanziate e moto caotico. Cilindro con pistone contenente acqua. Liquido

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sottoraffreddato. Somministrazione di calore. Vaporizzazione. Liquido saturo. Nel passaggio di stato la T resta costante nonostante si somministri calore (con p = cost). Vaporizzazione completa. Vapore saturo secco. Vapore surriscaldato (inizia a salire la T). N.B. Nella fase intermedia vi è una miscela satura di liquidi e di vapore (sistema bifase). Temperatura di saturazione (inizio dell’evaporazione, per una data p). Tsat=T(p). Pressione di saturazione (pressione alla quale, data una T, inizia l’evaporazione). Piano T – v. Una spezzata per ogni valore di p. Calore latente = Quantità di calore assorbita o liberata durante il tempo di coesistenza delle fasi. (= Entalpia di passaggio di stato). Calore latente di fusione (corrisponde in termini quantitativi all’energia liberata nel processo opposto di solidificazione). Calore latente di vaporizzazione. Tali valori dipendono da T o da p alla quale avviene il processo. Nei cambiamenti di fase pressione e temperatura non sono indipendenti ma sono uno funzione dell’altra. Curva di saturazione liquido – vapore. Ne esiste una per ogni sostanza. Piano p – T. maggiore è la p maggiore è la T di saturazione. La curva è crescente non lineare passante per (O;O). Ricordare l’andamento della pressione atmosferica con la quota. Trasformazioni con cambiamenti di fase. Diagrammi di stato. Grafico T – v. Segmento congiungente gli stati di liquido saturo e vapore saturo secco (parallelo all’asse delle x decresce al crescere di p). Punto critico (coincidenza dei punti di liquido saturo e di vapore saturo secco). Tcr, pcr, vcr (corrispondono ai valori di una sostanza pura nel punto critico). p > pcrit esiste un’unica fase. Curva limite inferiore. Curva limite superiore. Sotto la curva si ha miscela satura di liquido e di vapore. A sinistra si ha il liquido sottoraffreddato. A destra il vapore surriscaldato.

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Piano p – v. Le curve decrescenti ma aventi un tratto costante (miscela satura di liquido e vapore) corrispondono a una data T (la “sottendono”). Per i gas reali il piano p – v individua le iperboli della legge di Boyle pv = cost (per T = cost). Nel diagramma p - v può essere introdotta la linea del punto triplo. Di norma le sostanze pure che solidificano si riducono di volume. Introdurre i segmenti verticali che individuano le coppie (p;v) dello stato solido, della coesistenza solido – liquido, liquido. Lo stato di vapore sta nella parte destra del diagramma. La coesistenza solido – vapore si ha al disotto della linea orizzontale del punto triplo. Caso dell’acqua. Essa aumenta di volume nella solidificazione (ex legami intermolecolari). Segmenti inclinati negativamente. Diagramma p – T. detto diagramma delle fasi. Nel punto triplo confluiscono le curve di sublimazione (monotona crescente) di liquefazione e di vaporizzazione (monotona crescente).Per la curva di liquefazione bisogna ricordare che essa è crescente (sostanze che – quasi tutte – solidificando diminuiscono di volume) ma c’è il caso dell’acqua che solidificando aumenta di volume (monotona decrescente). Superfice P-v-T. Una grandezza su ognuno degli assi. I grafici già visti sono proiezioni della superficie caratteristica sul piano considerato. Tabelle termodinamiche. I valori delle proprietà sono raggruppati in tabelle. Entalpia: H = U + pV. Si misura in KJoule Entalpia specifica: h = u + pv. Si misura in KJoule/Kg (Definita da Mollier in relazione alle turbine a vapore). Tabelle del liquido saturo e del vapore saturo. Le proprietà possono essere espresse in funzione della temperatura e della pressione. Uso dei pedici l, v, vl. Volume specifico del liquido saturo. Volume specifico del vapore saturo. Entalpia di vaporizzazione = quantità di calore necessaria per vaporizzare l’unità di massa di un liquido saturo, al variare di T e di p. Essa decresce al crescere di T e di p. Vale zero nel punto critico. La rappresentazione avviene nei grafici T – v e nel grafico p – v.

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Miscela satura liquido – vapore. Titolo del vapore x = massa vapore/massa totale. mt = ml + mv. V = Vliq + Vvap V = mv mtotvmed = mliqvliq + mvapvvap ma mliq = mtot – mvap mtotvmed = (mtot – mvap)Vliq + mvapvvap Dividendo tutto per mtot si ottiene:

vmed = (1 – x)vliq + xvvap = vliq + xvlv da cui si ottiene agevolmente x per una determinata temperatura o pressione. Tale relazione è detta equazione binomia. Vapore surriscaldato. C’è solo vapore (zona monofasica). T e p non sono dipendenti. Non esiste una relazione funzionale tra le due grandezze. Liquido sottoraffreddato. Le proprietà dipendono essenzialmente dalla temperatura T e in misura trascurabile da p. La generica proprietà del liquido sottoraffreddato y è circa eguale al valore della proprietà del liquidi saturo alla stessa temperatura. yliq sottraffr(a data T) ≈ yliq (per la stessa T). dove y = u, v, h. In realtà per h c’è una più evidente dipendenza da p che dà luogo a una relazione più complessa. In alcuni esercizi è richiesto determinare l’errore relativo (o percentuale). Valore della grandezza sottoraffreddata(ricavato dalla relativa tabella) – Valore della grandezza liquido saturo (a stessa T). Tale differenza viene divisa per il valore della grandezza liquido saturo (a stessa T). Eventualmente si moltiplica tutto per 100. Equazione di stato dei gas perfetti (a basse pressioni e ad alte temperature). Essa deriva dalla di Boyle e dalle leggi di Gay Lussac. pv = RT, ove R è una costante che dipende dal gas (gasi diversi hanno R diverse), T è la temperatura in Kelvin.

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R = Ru/M, Ru è la costante universale dei gas mentre M è la massa molare, il valore in Kg di una kmole di sostanza ( 1 mole corrisponde numericamente a tanti grammi quanto è il peso atomico o molecolare della sostanza). Si arriva ad una ulteriore relazione che discende da questa proporzione: 1Kmole : massa molare M = x : Massa di una sostanza (dato sperimentale).x individua il numero delle Kmoli = (10^3)moli. Si pone x = N È utile ricordare che la massa m di un sistema è data dal numero delle Kmoli per la massa molare M. m = MN. pv = RT diviene PV = mRT (perché V =mv) mR = (MN)R = NRu

da cui pV = NRuT

Il volume V è eguale al volume di una mole per il numero delle moli, ovvero V = Nύ da cui pύ =RuT. Per una data massa di gas ( m = cost) si ha P’V’/ T’ = p”V”/T ” riferita a due stati termodinamici differenti. I gas sperimentali difficilmente si comportano come gas perfetti. Fattore di compressibilità Z = veff/videale Il fattore di compressibilità misura lo scostamento dalla condizione di gas perfetto. Per i gas perfetti Z = 1. Nei gas reali diventano rilevanti le forze di attrazione/repulsione intermolecolari. T o p sono alte o basse rispetto alla temperatura e alla pressione critica, non in termini assoluti. Pressione ridotta pr = p/pcrit. Temperatura ridotta Tr = T/Tcrit. Z è circa costante per ogni gas per un dato valore di Tcrit e per una data pcrit. (legge degli stati corrispondenti). Nel diagramma T – v il comportamento di gas non perfetto è massimo in corrispondenza del punto critico. Per p → 0 il gas reale si comporta come gas ideale. Diagrammi generalizzati. Vedi l’esercizio proposto. Refrigerante R134-a. Dalla tabella si ricava la costante R, pcrit. e Tcrit del refrigerante. Si ipotizza il comportamento di gas

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perfetto pv = RT da cui si ottiene immediatamente v =RT/p = volume ideale. Quindi si calcola l’errore relativo. Fattore di correzione Z dal diagramma generalizzato del fattore di compressibilità. Calcolare la pressione ridotta e la temperatura ridotta. Formula del volume specifico ridotto ideale. vrid = veff/(RTcrit/ pcrit.). Equazione di stato di Van der Waals: (p + (a/v^2)) (v – b) = RT b = covolume /massa. Equazione di stato del viriale: p = (RT/v ) + (a(T)/v^2) + + (b(T)/v^3) + (c(T)/v^4) + …. a(T), b(T), c(T),.... sono funzioni della sola temperatura e sono detti coefficienti viriali. Ricordare (citare Cantelli) che nell’equazione di stato di J.D. van der Waals il coefficiente a/v^2 deriva dal concetto di sfera di influenza. Ogni particella A (centro della sfera di influenza) è assoggettata all’azione delle altre particelle contenute nella sfera e la risultante delle loro azioni su A è nulla. Particelle con una porzione di sfera “tagliata dal recipiente” soggette ad una risultante non nulla, diretta ortogonalmente dalla parete verso l’interno. Si ha una pressione interna che si aggiunge a p. La pressione interna dipende dal numero delle sfere d’azione sia dal numero delle particelle entro le sfere d’azione. Tali grandezze dipendono entrambe dalla densità numerica delle particelle ovvero da n/V. La pressione interna è proporzionale a (n/V)^2, secondo una costante di proporzionalità a. Si ottiene che: pi = a(n/V)^2 la costante a varia da gas a gas.

Capitolo 5 – Sistema chiuso. Non c’è flusso di massa in entrata o in uscita, ovvero attraverso il controllo. Variazione di volume di un sistema chiuso a contorno mobile. Lavoro di variazione di volume. Espansione. Compressione. Si considera una trasformazione quasistatica (lenta) come il caso di un motore reale che ha un pistone

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che si muove a bassa velocità. Pressione del gas = p. volume V. Area della sezione trasversale A. Lavoro elementare δLv = Fds =pA ds = pdV ovvero δLv = pdV integrabile definitamene, con estremi di integrazione 1 e 2 nel seguente formalismo L =∫pdV. L’integrale è calcolabile effettivamente se si conosce la relazione che collega p e V durante la trasformazione. Piano p - V. la linea della trasformazione è p = f(V). L’area sottesa dalla curva tra i punti (V1; p1) e (V2; p2) misura ∫pdV, da intendersi come integrale definito. N.B. Il lavoro di variazione di volume dipende dal percorso seguito per passare da 1 a 2 (ne esistono infiniti) e dagli stati iniziali e finale. Lavoro durante un ciclo. Differenza tra il lavoro compiuto dal sistema (positivo) e il lavoro compiuto sul sistema (negativo). È anche detto lavoro netto. Lavoro in una trasformazione isocora (∆V = 0). Rappresentazione nel piano p – V. Segmento verticale congiungente i punti (p1; V1) e (p2; V2=V1). L∣∆V = 0 = 0. Trasformazione isobara ((∆p = 0). Nel grafico p – V è individuato un segmento orizzontale congiungente gli stati 1 e 2 nei quali varia il volume ma non la pressione. Il lavoro L associato ad una trasformazione isobara Lv∣∆p= 0 = p∆V. Ricordare di usare l’integrale e di portare fuori p = cost.. Trasformazione isoterna ((∆T = 0). Si parte dall’equazione di stato dei gas perfetti. Isoterma nel piano p – V. Curva monotona che congiunge i punti 1 e 2. Orientare il segmento mistilineo. pV = mRTo = C = cost. Uso dell’integrale L =∫pdV con la sostituzione p = C/V N.B. Bisogna ricordare che ∫(1/x)dx = Ln∣x∣ + costante di integrazione. Lv∣∆T = 0 = p1V1 Ln(V2/V1). N.B. Tutte le trasformazioni considerate sono quasistatiche. Trasformazione politropica pV^n = C, n = cost. C = cost.

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Si ricava p(V) = C(V^-n). Sostituendo il valore di p nell’integrale del lavoro Lv si ottiene Lv = (p2V2 - p1V1)/ 1 –n N.B. per n = 1 si ricade nel caso della trasformazione isoterma. Bilancio energetico dei sistemi chiusi. Vedi le relazioni del cap. 3. Calore specifico. Sono date masse identiche di sostanze differenti. Per innalzare la loro temperatura di un grado ci vogliono quantità di calore differenti. Capacità di accumulo di energia (=calore specifico). Da un punto di vista fisico la somministrazione di calore ad una sostanza implica la variazione di temperatura (se non è un contesto bifase). Matematicamente Q = C∆T = cm∆T. Ricordare che C è detta capacità termica mentre c è detto calore specifico. Esiste anche un calore specifico molare, ricordando che una mole contiene n (numero di Avogadro) di atomi/molecole/elettroni, etc, (vedi, Resnick e altri, sesta edizione 18.8). Si distingue il calore specifico a volume costante dal calore specifico a pressione costante. cv è la quantità di energia richiesta per innalzare di un grado centigrado o kelvin la temperatura di una massa unitaria, mantenendone costante il volume. Analogamente si definisce cp. In questo caso a rimare costante è la pressione. Il primo principio della termodinamica in forma differenziale è δeentrante - δeuscente = du da cui si ha cv dT = du, o meglio cv = (∂u /∂T)v ed anche cp = (∂h /∂T)p u, h, cv e cp nei gas perfetti. Ricordare che nei gas perfetti di ha pv = RT e che u =u(T) ovvero che l’energia è funzione solo della temperatura (Joule). Bisogna coordinare l’equazione di stato con la formula dell’entalpia e si ottiene che h = u + RT, deducendosi che h = h(T), ovvero che l’entalpia è funzione della sola temperatura. Analoga unica dipendenza dalla sola temperatura si ha per i calori specifici. du = cv dT e dh = cp dT che sono integrabili per ottenere ∆u e ∆h. In realtà cv e cp non sono costanti per cui si utilizzano valori medi. Per ∆T piccoli si ammette che essi varino linearmente con T. Nel piano cp - T la curva cp(T) è monotona crescente a tasso decrescente.

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Metodi per calcolare ∆u. ∆u = u2 - u1 (tabelle). Metodo dell’integrale. ∆u ≈ cv med ∆T Relazione di Mayer. Differenziando la relazione dell’entalpia specifica si ha: dh = du + RdT = da cui cp dT = cv dT + RdT, da cui, dividendo tutto per dT si ha cp = cv + R, R varia da gas a gas. Se si considera una mole di gas si ha cp mol = cv mol + Ru ove Ru è la costante universale dei gas. Rapporto dei calori specifici k = cp / cv, varia leggermente con la temperatura e per i gas monoatomici(idrogeno) vale 1,667 per i biatomici (ma anche per l’aria) vale 1,4 a temperatura ambiente. u, h, cv e cp nei solidi. cp = cv = c. I calori specifici delle sostanze incomprimibili dipendono elusivamente dalla temperatura T. du = cv dT = c(T)dT, facilmente integrabile definitamente. Variazione di entalpia (bisogna tenere conto che v = cost). Differenziando la relazione dell’entalpia si ha dh = du + vdp che integrata diviene ∆h = ∆u + v∆p ≈ cmed ∆T + v∆p. Nel caso dei solidi v∆p → 0. Nel caso dei liquidi vanno esaminati due distinti casi: trasformazione isobara (∆p = 0) e trasformazione isoterma (∆T = 0).

Capitolo 6 – Volumi di controllo. Il volume è costante ma in esso c’è un flusso di massa attraverso il contorno. Conservazione della massa (in chimica, legge di Lavoisier). Portata massica. Portata massica infinitesima δm’= ρwn dA, m’= dm/dt, wn è la componente normale a dA della velocità. Caso della corona circolare disegnabile in sezione come due cerchi concentrici di raggio R1 e R2. Bisogna introdurre un integrale di superficie m’ = ∫A ρwn dA di scarso interesse ingegneristico. La velocità w non è costante ma massima nella zona centrale e nulla in prossimità delle pareti. Wmed =(1/A) ∫A wn dA Se il flusso è incomprimibile m’ = ρWmedA

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Se il flusso è comprimibile ρè la densità media apparente sulla sezione trasversale, e pertanto la precedente relazione si può considerare accettabile anche se approssimata. Portata volumetrica dV/dt = V’= ∫A wn dA = wmed A, dovuta a Castelli, allievo di Galilei. Relazione di coordinamento delle portate: m’= ρV’ Principio di conservazione della massa nei VC. mentr – musc = ∆mvc (vc sta per volume di controllo). Tale relazione è derivabile rispetto al tempo e si può dire che la portata massica in entrata meno la portata massica in uscita è eguale alla variazione del volume di controllo. Esempio della vasca da bagno. Massa totale nel volume di controllo. È un integrale che si ottiene a partire dalla definizione di densità ρ= dm/dV → ρdV = dm, integrando si ottiene mvc = ∫VC ρdV. Derivando questa eguaglianza rispetto al tempo si ottiene la variazione della massa del VC riferita all’unità di tempo. Bilancio di massa per i processi a flusso stazionario. Sistema a flusso stazionario (il volume di acqua è costante e uguale al volume del contenitore). La quantità in ingresso, misurata in Kg/sec, deve essere eguale alla quantità di massa che esce. Se vi sono più ingressi e più uscite si ha ∑m’entr = ∑ m’uscente. Caso più semplice è quello del flusso stazionario a una corrente m’1 = m’2 → ρ1w1 A1 = ρ2w2 A2. Nel caso di un fluido incomprimibile ρ1 = ρ2 quindi per il caso monocorrente (un ingresso e una uscita) si ha, dividendo membro a membro, w1 A1 = w2 A2. In generale, ricordando che w A è la portata volumica dV/dt = V, si ha ∑V’entr = ∑ V’uscente. N.B. Nel processo a flusso stazionario resta costante dm/dt, mentre può variare dV/dt (la portata volumica in ingresso non necessariamente è eguale alla portata volumica in uscita).

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Lavoro di pulsione. Lavoro per spingere una massa m dall’esterno all’interno di un VC e/o viceversa. Viene mantenuto un flusso continuo attraverso il VC. F = pA, p = pressione del fluido. La forza deve spostare il proprio punto di applicazione. Lp = Fs = pAs = pV. Lavoro di pulsione riferito all’unità di massa lp = pv detto anche energia di pulsione. Energia totale di una corrente fluida θ= pv + e, ove e è l’energia costituitala u e dall’energia potenziale mg e dall’energia cinetica. Ci si riferisce all’energia per unità di massa. Ma pv + u = h. quindi θ= h + (somma dell’energia di posizione e dell’energia cinetica, riferite all’unità di massa). N.B. L’energia può essere trasportata con un flusso di massa. Tale grandezza vale E = θm. La potenza trasportata si ottiene derivando la precedente relazione, considerando θ come costante. È = m’ θ A volte le formule estese diventano semplici perché è possibile trascurare l’energia cinetica e quella potenziale (o di posizione). Sistemi a flusso stazionario. Un flusso scorre in condizioni stazionarie attraverso un volume di controllo. V, m e E sono costanti nel tempo. Vige il bilancio di massa ∑m’entr = ∑ m’uscente. Nel caso di una corrente m’1 = m’2 → ρ1w1 A1 = ρ2w2 A2. ∆EVC = 0 e rigorosamente dE/dt = 0 da cui Èentrante = Èuscente. Poiché gli scambi energetici avvengono sotto forma di lavoro L e di calore Q la relazione generale è: Q’entr + L’entr + ∑entr m’θ = Q’usc + L’usc + ∑usc m’θ Dispositivi a flusso stazionario. Ugello. La velocità del fluido in uscita è ≫ della velocità di entrata. Nel caso del diffusore la velocità in uscita è ≪ della velocità in entrata. Si hanno grandi variazioni della velocità e quindi grandi variazioni dell’energia cinetica. Turbina e turbocompressore (per aumentare la pressione). Il fluido compie un lavoro contro le pale. L’albero ruota e produce lavoro. Le turbine generano potenza (potenza uscente). Calore ceduto all’ambiente nullo Q’≊ 0. Varia positivamente anche l’energia

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cinetica, ma si considerano perché varia molto di più, la sola variazione di entalpia ∆h >> 0. I turbocompressori richiedono potenza. Valvola di laminazione: attraverso un restringimento della sezione si determina una notevole riduzione della pressione del fluido (restringimento sezione → ∆p << 0 e ∆T << 0). Applicate nella refrigerazione e nel condizionamento dell’aria. Sono considerate adiabatiche ∆q ≊ 0. Non scambiano lavoro. La variazione di energia potenziale è quasi nulla. Si ammette trascurabile anche la variazione dell’energia cinetica. Per le valvole di laminazione la conservazione dell’energia equivale alla conservazione dell’entalpia ∆h = 0. Tali dispositivi sono detti isoentropici. Per essi si ha: energia interna al tempo 1 + energia di pulsione al tempo 1 = energia interna al tempo 2+ energia di pulsione al tempo 2. Nel caso di gas perfetto h =h(T) e pertanto la T deve rimanere costante nel processo di laminazione. Camera di miscelazione (esempio doccia). L’energia totale dei flussi in entrata è eguale all’energia totale dei flussi in uscita. dm/dt = 0 per il sistema. La derivata della massa in entrata eguaglia la derivata temporale della massa in uscita. Scambiatori di calore. Due correnti fluide scambiano calore tra loro senza mescolarsi. Può essere a tubi coassiali. Non si hanno apprezzabili variazioni dell’energia potenziale e di quella cinetica. Non si ha lavoro. In genere sono isolati termicamente.

Capitolo 7 – Secondo principio della termodinamica. Vi sono processi spontanei che avvengono in una direzione (tazza calda che si raffredda, per esempio). La direzionalità opposta non violerebbe la conservazione dell’energia (primo principio) ma il processo inverso non avviene. Le trasformazioni avvengono secondo un certo verso ma non in senso opposto. Una trasformazione avviene se e solo se verifica il primo e il secondo principio della termodinamica (condizioni in serie). Serbatoio (di calore =energia termica). Fornisce o assorbe una quantità finita di calore senza che vari la temperatura.

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Capacità termica = massa per calore specifico. Sorgente (rilascia calore). Pozzo (assorbe calore). Conversione lavoro ⇆ calore. lavoro → calore (facile e completa). Calore → lavoro (non spontanea e mai completa) x joule di calore non diverranno mai x joule di lavoro. Necessità di dispositivi apposti chiamati motori termici. Sorgente (alta T, emette calore Qe) – motore (produce lavoro utile Lu) – Pozzo (a bassa T, riceve un calore Qu). Impianto motore a vapore. Pompa (→ Le) – caldaia (Qe) – Turbina (Lu →) Condensatore (Qu → ). Le quantità sono tutte positive. Lavoro netto utile L u,u = Lu – Le = Qe - Qu. Rendimento termico η= L u,u/ Qe = 1 – (Qu/Qe). I rendimenti termici sono in genere bassi e arrivano a 0,6 per i grandi impianti a vapore. Esistono due enunciati del secondo principio della termodinamica perché esistono due cicli, uno diretto ed uno inverso. Enunciato di Kelvin – Planck. Per ogni apparecchiatura che operi tra due T è impossibile ricevere calore e convertirlo tutto in lavoro. Non esiste un rendimento pari a 1 ( o 100 per cento). Il calore si dirige da T alta a T bassa. Il caso contrario non è spontaneo. Per realizzare un passaggio contro il gradiente occorre usare una macchina frigorifera, operano secondo un ciclo ed usano un refrigerante. Ambiente refrigerato a T1 viene asportata una energia Q1 – viene fornito un lavoro L e,u e nell’ambiente esterno, a temperatura Ts > T1, viene rilasciata una quantità di calore Qs. L’ efficienza frigorifera è data in termini quantitativi dal rapporto tra l’energia asportata Q1 e l’energia fornita Le,u, ma L eu = Qs – Q1. Pompa di calore. Trasferisce calore da T bassa a T più alta con l’obiettivo di mantenere alta la T dell’ambiente. Dato un ambiente freddo a temperatura Ti, viene fornito lavoro. Si ottiene una energia Qs che riscalda l’ambiente a Ts > Ti. Viene definito un coefficiente di prestazione (COPpc) della pompa di calore dato da COPpc = Qs/Lue = Qs/(Qs – Qi) che, in generale, è compreso tra 2 e 3. Esiste una relazione che, per gli stessi Qi e Qs, mette in relazione i COP del frigorifero e della pompa di calore. Essa è: CPOpdc = COPf

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+ 1. Del secondo principio della termodinamica esiste una seconda formulazione, detta di Clausius, per la quale si stabilisce la impossibilità di funzionamento di una macchina ciclica il cui unico afferro sia trasferire una quantità di calore da un corpo a bassa T a uno a più alta T. I due enunciati del II principio sono equivalenti. Trasformazioni reversibili. Una t.rev. può essere ripercorsa in senso inverso. Non vi è scambio netto di energia. Ei(t=0) → E(t=θ) ⊏attraverso infiniti stati, cui corrispondono dati valori energetici⊐ → Ef(t=k) con Ei(t=0)= Ef(t=k). la trasformazione completa dura k unità di tempo. Una trasformazione non reversibile è detta irreversibile. Tipologie di irreversibilità. Attrito. Espansione libera di un gas. Scambio termico. Gradiente con flusso da Tb a Ta che si arresta quando T diviene uniforme (assenza di gradiente termico). Il gradiente non si ripristina. Impossibilità della trasformazione integrale calore → lavoro. N.B. Nelle trasformazioni reversibili non vi sono scambi di calore Q per effetto di un ∆T, né attriti, né effetti dissipativi. Trasformazioni internamente reversibili. Sono quelle che sono prive di irreversibilità all’interno del contorno. Le trasformazioni esternamente reversibili sono quelle che sono prive di irreversibilità all’esterno. Una trasformazione internamente ed esternamente reversibile e assolutamente reversibile. Motore termico. Fornisce un lavoro netto. Il ciclo di Carnot. Esso è caratterizzato (piano p –v) da due isobare e da due adiabatiche. La prima trasformazione è isobara e implica la somministrazione di calore Qs da uno sorgente a un sistema cilindro-pistone. Ts(t) = cost. ex espansione lenta. La T fluttua di un dT ma si mantiene praticamente costante. La seconda trasformazione è adiabatica (∆Q = 0) e la temperatura (ex espansione) scende a Ti < Ts. La terza trasformazione è isoterma, quindi Ti resta costante ed avviene la compressione. La quarta trasformazione è adiabatica e la T varia da Ti a Ts. Il ciclo è graficato nel piano p – v. Il ciclo di Carnot è reversibile. Esiste un ciclo di Carnot inverso. Rendimento del ciclo di Carnot. ηirr < ηrev. Per ogni motore termico operante tra Tb e Ta ηrev = cost.

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Scala termodinamica della temperatura. Essa è indipendente dalle proprietà delle sostanze. Il rendimento dei motori termici dipende esclusivamente dalle temperature dei serbatoi. ηrev = g(Ts, Ti) oppure Qs/Qi = f (Ts, Ti) dato che ηrev = 1 – (Qi/Qs). Bisogna esplicitare la funzione f (Ts, Ti) con l’uso di tre motori termici reversibili. Disegnare la fig. 7.43 di pag. 255. N.B. Per i cicli reversibili vale la relazione (Qs/Qi)rev = Ts/Ti ove si considerino due serbatoi a temperature Ts e Ti e un motore termico o una macchina frigorifera (reversibili). Scala Kelvin (o delle temperature assolute). Dal principio zero della termodinamica si giunge al concetto di termometro “il terzo corpo”. Un buon termometro deve essere tale da non perturbare in modo apprezzabile la temperatura del corpo in misura. La costruzione del termometro afferisce a particolari proprietà dei corpi, quali la dilatazione volumica. In buona sostanza si ha una proporzione, assegnato un volume Vo alla temperatura di 0 gradi, un volume V(t) alla temperatura t e assegnato V100 alla temperatura di 100 gradi. Si può costruire una scala centigrada. La relazione di proporzionalità vale: t/ ∆t (t,0) = 100/∆t(100,0) da cui si ricava t in funzione delle altre grandezze. ⊏libera interpretazione simbolica del Cantelli, Lezioni di fisica, V edizione, Scione editore, Roma. La dilatazione volumica è ∆V = 3αV∆T, ove α è il coefficiente di dilatazione lineare, che varia da sostanza a sostanza. La relazione di proporzionalità può essere risolta rispetto a ∆V ottenendo V(t) = Vo( 1 + βt), ove β= (V100 – Vo) / 100Vo = coefficiente di dilatazione termica. I termometri necessitano di taratura. I termometri a gas possono essere fatti funzionare a pressione costante o a volume costante. A p = cost si avrebbe V(t) = Vo(1 + αt) ove sperimentalmente in condizioni di rarefazione la costante sperimentale α = 1/273,15 (°C)^-1 è indipendente dalla natura del gas. Se v è costante allora si ha una relazione sperimentale simile del tipo p(t) = po (1 + αt).

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Le relazioni V(t) e p(t) sono dette leggi di Gay Lussac. Per esempio, la prima di esse è scrivibile nella forma V(t) = Vo ((273,15 + t)/ 273,15). Con un cambiamento di scala delle temperature si pone T = 273,15 + t, relazione che collega le due scale termometriche. Introduzione dello zero assoluto To. α = 1/To. V(T)= Vo(T/To)= VoαT e p(T)= po(T/To)= poαT. T indica che si opera con scale assolute. (citare Cantelli). Ultima legge è quella di Boyle pV = cost. per T = cost. Temperatura termodinamica (vedi oltre).

Capitolo 8 – Entropia. Quantificazione del disordine molecolare. Disuguaglianza di Clausius ∮δQ/T ≤ 0. È dato un sistema collegato ad una sorgente di calore alla temperatura assoluta Ts attraverso una macchina ciclica reversibile. Essa riceve dalla sorgente una quantità di calore ∆Qs dalla sorgente e fornisce una quantità ∆Q al sistema la cui temperatura alla superficie di scambio è T(t), producendo un lavoro ∆Lrev mentre il sistema produce il lavoro ∆Lsis (per lo scambio termico). Definizione del sistema combinato. Si considera la conservazione dell’energia ad esso e si ha: δLcomb = δQs – dEcomb. Per la macchina ciclica reversibile si ha: δQs/Ts = δQ/T → δLcomb = Ts(δQs/T) – dEcomb. Per un numero intero di cicli si ha Lcomb = ∮Ts(δQs/T) = Ts ∮(δQs/T) ≤ 0. Lcomb > 0 non è ammesso perché vi sarebbe una violazione del II principio della termodinamica per il quale nessun sistema può produrre lavoro netto se funziona secondo un ciclo e scambia calore con un solo serbatoio termico. Lcomb. Intern.rev = 0. Formulazione matematica dell’entropia (variabile di stato in relazione a trasformazioni internamente reversibili) ds è in questo caso un differenziale esatto. ds = (δQ/T)int.rev.. L’entropia S (entropia totale) è una grandezza estensiva (esiste anche S/m = s), misurata in J/°K. Per una trasformazione internamente reversibile si ha ∆ S = S2 – S1 = ∫(δQ/T)int.rev

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essendo, in genere, rilevanti le variazioni di S, piuttosto che il valore di essa. L’integrale va inteso con riferimento agli stati 1 e 2. Scambio termico isotermo internamente reversibile. Lo scambio termico a T costante (isotermo) è internamente reversibile. Se T è costante l’integrale generale dell’entropia porta a scrivere che ∆ S = S2 – S1 = (1/Tcost)∫(δQ)int.rev = Q/Tcost Q è il calore scambiato durante la trasformazione internamente reversibile. Tale è il caso del serbatoio di calore che cede o assorbe calore indebitamente a T costante. Principio dell’aumento dell’entropia. Vedi le integrazioni estratte dalla lezione del docente. Variazione di entropia per sostanze pure. I valori sono ricavabili da tabelle. Grafico T – s. Nel caso del liquido sottoraffreddato e del vapore surriscaldato si determinano direttamente dalle tabelle. Nel caso della miscela liquido – vapore saturo (sotto la “campana”) vale la relazione binomia per cui s = sliq + xslv La variazione di entropia di una certa massa è data dalla formula: ∆S = m∆s Variazioni di entropia di una sostanza in un contenitore. V(t) = cost..Vi è un refrigerante entro un recipiente. Sistema chiuso. La variazione di entropia è la differenza tra le S finale e iniziale. Al tempo 1 lo stato 1 è caratterizzato da una p1 e da una T1 cui corrispondono s1 e v1. Nello stato 2 la pressione viene abbassata e deve essere v1 = v2. Nello stato finale il refrigerante è una miscela di liquido e di vapore (bifase). Bisogna calcolare il titolo. La variazione di entropia si determina con l’equazione binomia. Relazione di Boltzmann S = kln(p), ove p è la probabilità termodinamica. Terzo principio della termodinamica. L’entropia di una sostanza cristallina pura alla temperatura di 0°K è zero. Il lavoro è una forma di energia organizzata, priva di disordine, quindi non implica variazione di entropia.

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Relazioni T ds. La quantità (δQ/T)int.rev corrisponde ad una variazione infinitesima di entropia per trasformazioni internamente reversibili. Integrandola si ottiene la variazione totale di entropia tra due stati del sistema (1 → 2 → 1) che si conserva in un ciclo, ∆S ciclo tr. rev = 0. Per un sistema chiuso e stazionario la conservazione dell’energia assume la forma: δQ – δL = dU (tenere conto che si tratta di trasformazioni internamente reversibili).δQ = TdS e δL = pdV da cui si ottiene la prima relazione del T ds che è: TdS = dU + pdV (Joule, J) o anche: Tds = du + pdv misurata in Joule/Kg. Tale ultima relazione può essere coordinata con l’equazione dell’entalpia specifica h = u + pv per ottenere Tds = dh – vdp, detta seconda equazione del Tds. Dalle due formule del Tds si ottiene il valore di ds. Le due relazioni contenenti il valore ds possono essere integrate definitamente, tra due stati 1 e 2. Temperatura termodinamica (citare Cantelli). Ok la rarefazione ma diminuendo la T, approssimandosi alla Tcrit (che varia da sostanza a sostanza) si ha lo scostamento del gas dall’idealità. La sostanza poi condensa. T non sarebbe misurabile usando le leggi dei gas perfetti (ll. di Gay Lussac e Boyle, vedi….). La d. di Clausius tra due T consente di ovviare. (Qc/Tc) + (Qf/Tf) = 0 → Tf = Tc (∣Qf∣/∣Qc∣). A tale proposito si sceglie un solido che possa eseguire un ciclo reversibile e si individua una sorgente Sc a T ⊏misurabile con un termometro a gas ⊐ > 4°K. Se misuro le quantità Qc e Qf scambiate dal solido con Sc e Sf si ottiene Tf = Tc (∣Qf∣/∣Qc∣).

Capitolo 9. Cicli termodinamici. Occorre distinguere i cicli a vapore dai cicli a gas. Cicli a vapore diretti e inversi. Il ciclo ideale di Carnot è il criterio di paragone per gli altri cicli. Il rendimento η= (1 – (Tl/Th)) < 1. il rendimento è funzione delle temperature Tl e Th ovvero η=η(Tl, Th). Cicli di vapore per produrre potenza (refrigerare o riscaldare). Ciclo Rankine. Pompa – caldaia – Turbina – Condensatore. Rappresentazione nel diagramma T-s. Da 1 a 2 compressione isoentropica di una pompa. Da 2 a 3 aggiunta di

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calore a p cost in una caldaia. Il vapore ad alta pressione arriva alla turbina. W’T = 0. Il vapore acqueo a bassa pressione al condensatore e una potenza termica Q’C va nell’ambiente. Vengono trascurate le variazioni di energia cinetica e potenziale. Miglioramento del rendimento del ciclo Rankine con aumento della pressione della caldaia controbilanciato da un minor rendimento della turbina a causa della formazione di goccioline d’acqua sulle pale. Parte sintetizzata dal Sommerton – Potter. Le macchine termiche funzionano secondo un ciclo termodinamico che viene idealizzato considerando solo trasformazioni internamente reversibili. Il rendimento termico ηt = Ln/Qe = ln/qe. Compressione nel pistone. Quella reale è non quasi statica, mentre quella ideale è quasi statica e internamente reversibile con ρ uniforme nel tempo, non ci sono ∆ρ apprezzabili tra le varie parti del fluido interno. In un dato istante t s’ha ρ(x,y,z) = cost. per ogni (x, y, z), ma ovviamente ρ(x, y, z, t) ≠ cost. In casi del genere si trascurano gli attriti con tubazioni isolate termicamente (condizione di adiabaticità). Le variazioni di energia potenziale e cinetica del fluido evolvente sono trascurabili, salvo il caso di ugelli e diffusori. Lavoro netto del ciclo. Si utilizzano due distinti diagrammi: il diagramma p –v e il diagramma T –s. L’area racchiusa dai cicli ideali rappresenta il lavoro netto ln. T –s è utile nell’analisi dei cicli diretti. Somministrazione di calore → entropia crescente. Sottrazione di calore → entropia decrescente. adiabatica → isoentropica. Il ciclo di Carnot, inteso come ciclo di riferimento, è rappresentato nel piano T – s, per confrontare le prestazioni di altri cicli ideali o reali. Il rendimento è pari a 1 – (Ti/Ts), le T sono temperature medie. L’area del rettangolo nel piano T – s misura la quantità di calore scambiata nelle trasformazioni. qe = Ts(s2 – s1) e qu = Ti(s3 – s4) = Ti(s2 – s1), tenendo conto delle trasformazioni isoentropiche. Quindi: ηt = Ln/Qe = ln/qe = 1 – (qu / qe) = 1 – (Ti(s3 – s4) / Ts(s2 – s1)) = = 1 – (Ti/Ts), ovvero ηt = 1 – (Ti/Ts) , indipendentemente dalla sostanza usata come fluido evolvente. Cicli ad aria standard. Il fluido evolvente è aria considerata gas perfetto

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con calore specifico costante, misurato a 25°C. Idealmente la camera di combustione è sostituita da uno scambiatore di calore. Entra aria ed esce aria. Il ciclo Brayton è un ciclo ideale con impianto a turbina a gas, solitamente a circuito aperto. Fisicamente entra aria nel compressore arrivando alla camera di combustione ove entra pure il combustibile. La combustione è isobarica (p = cost.). Il prodotto della combustione arriva alla turbina a pressione atmosferica, quindi con un ∆p. dalla turbina esce il gas di scarico e viene prodotto un lavoro ln. Nel circuito schiuso viene inserito un ulteriore scambiatore di calore e nella rappresentazione si ha un compressore, un primo scambiatore di calore, entro il quale fluisce qe > 0, la turbina che compie un lavoro ln > 0 e un secondo scambiatore di calore dal quale fluisce verso l’esterno una quantità di calore qu. Brayton è schematizzabile come un sistema aperto a flusso stazionario, trascurando le variazioni dell’energia cinetica e di quella potenziale. In relazione all’unità di massa la relazione è q - l = ∆h. qe = q23 = ∆h(2→3)= cp (T3 – T2) qu = - q41 = h4 – h1 = cp (T4 – T1) Da cui si ottiene immediatamente il rendimento del ciclo di Brayton come rapporto ln/qe. Le trasformazioni 1-2 e 3-4 sono isoentropiche e si ha T2/T1 = (p2/p1)^(k-1/k) = (p3/p4)^(k-1/k) = T3/T4. Alternativamente si usa per il ηt, = 1 - 1/β^(k-1/k), β= p2 /p1 detto rapporto monometrico di compressione. Esiste anche un ciclo con rigenerazione. L’aria in uscita a p elevata dal compressore viene riscaldata mediante scambio di calore con i gas combusti ancora caldi in uno scambiatore di calore controcorrente chiamato rigeneratore. Il rendimento termico è in questo caso maggiore perché i gas combusti di scarico non ceduti all’ambiente vengono riutilizzati per preriscaldare l’aria prima che entri nella camera di combustione. I gas escono dalla turbina alla temperatura T4 ed entrano nel rigeneratore. L’aria esce a T5 < T4. Solo idealmente le due T possono essere eguali, palandosi nel caso di specie di rigenerazione totale. qrig = h5 – h2 ma qrigmax =

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h5 – h2 = h4 - h2.Il rendimento è: ε= qrig / qrigmax = h5 – h2 / h4 - h2 = T5 – T2 / T4 T2. Ciclo ideale degli impianti a vapore (Rankine) costituito da quattro trasformazioni internamente reversibili. 1-2

compressione isoentropica

di

una pompa, 2-3

somministrazione di calore a pressione costante in una caldaia, 3-4 espansione isoentropica in una turbina, 4-1 sottrazione di calore a p costante in un condensatore. Pompa – caldaia – turbina – condensatore. Grafico T – s. Le trasformazioni del ciclo sono relative a sistemi aperti a flusso stazionario. q - l = ∆h pompa

q=0

lp,e = h2 – h1 = v∆p ove h1 = hf a p1 v ≈ vliq = vf a p1.

Caldaia

l=0

qe = h3 – h2

Turbina

q=0

lt,u = h3 – h4

Condensatore

l=0

qu = h4 – h1

Rendimento termico Rankine ηt = ln/qe = 1 – (qu/qe) Ove qu è il lavoro utile differenza tra il lavoro utile della turbina e il lavoro della pompa. Esistono metodi per aumentare il rendimento termico del ciclo Rankine. Essi sono a) l’aumento della pressione di condensazione b) l’aumento della T di surriscaldamento del vapore; c) l’aumento della pressione nella caldaia. Ciclo inverso di Carnot. Ciclo inverso a compressione di vapore.

Capitolo 12. Modalità di trasmissione del calore. Trasferimento energetico da un sistema all’altro per effetto di una differenza di temperatura tra due punti (vedi: gradiente). La scienza relativa è la Trasmissione del calore. Esistono differenti modalità di trasmissione del calore. La prima di esse è la conduzione termica, che avviene sia nei solidi (per trasferimento di energia tra le molecole che vibrano attorno a posizioni di equilibrio) che nei liquidi e negli aeriformi (con trasferimento di energia da molecole più

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energetiche a molecole meno energetiche). La conduzione termica si dice stazionaria quando le temperature non variano nel tempo. Parete piana di spessore L con differenza di Temperatura tra le facce pari a ∆T. Sia Q il flusso di calore (in joule) e sia Q’ =dQ/dt la potenza termica. Q’ = λA(∆T/∆x) (in watt). In termini rigorosi si può scrivere dQ/dt = - λA(dT/dx) detta postulato di Fourier per la conduzione. La quantità dT/dx è detta gradiente di temperatura in una dimensione. A (area della piastra) è valutata normalmente alla direzione di Q’=dQ/dt. Lo spessore della parete L = ∆x non ha influenza su A. λ dipende dal materiale usato. La conducibilità termica di un materiale è definita come la potenza termica che si trasmette attraverso uno spessore unitario del materiale per unità di superficie e per differenza di temperatura unitaria. Per i gas la conducibilità termica è proporzionale alla radice quadrata della temperatura assoluta T e inversamente proporzionale alla radice quadrata della massa molare M e indipendente dalla pressione p. I metalli sono ottimi conduttori di calore e di elettricità, mentre i solidi cristallini sono buoni conduttori di calore. Per le leghe metalliche la conducibilità è minore di quelle dei singoli metalli che la costituiscono. La conducibilità termica varia al variare di T, secondo leggi che variano da sostanza a sostanza. Capacità termica = ρcp esprime la capacità di accumulo termico di un materiale. Il parametro α = λ/ρcp è detto diffusività termica, ed esprime il rapporto tra il calore trasmetto per conduzione in relazione al calore accumulato per unità di volume. Ulteriore modalità di trasmissione del calore è costituita dalla conduzione che implica gli effetti combinati della conduzione e del trasporto di materia. La convezione è naturale quando è dovuta a variazioni di densità imputabili a differenze di temperatura, mentre essa è artificiale quando è dovuta all’azione di particolari dispositivi, quali le pompe, o per effetto del vento. La potenza termica trasmessa è: (dQ/dt)conv. = h A(Ts - T∞), ove T∞ è la temperatura misurata in un punto sufficientemente lontano dalla piastra di area A, mentre h non è una proprietà del fluido ma dipendente dalla geometria della superficie, dalla natura del

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moto e dalla velocità del fluido. Ulteriore modalità di trasferimento dell’energia con la modalità calore è l’irraggiamento, che avviene sotto forma di emissione di fotoni per salti quantici degli elettroni orbitanti. Avviene anche nel vuoto alla velocità c della luce. Vale la relazione E = hf e la relazione λf = c. Tutti i corpi al si sopra di 0°K emettono radiazione. La massima quantità di essa, riferita all’area unitaria, misurata quindi in watt/m^2, è data dalla relazione seguente: Q’corpo nero = σT^4. Se il corpo è non nero, esso emette una quantità di radiazione inferiore. La formula generale è la seguente: Q’= σA(T^4)ε, ove σ è la costante di Stefan – Boltzmann, mentre ε è il coefficiente di emissività. Esso assume valore 1 per il caso del corpo nero ed in generale è un numero compreso tra 0 e 1. Se è data una superficie essa in genere viene irraggiata e irraggia al contempo, quindi determinando il ∆ delle potenze si determina la potenza termica netta trasmessa per irraggiamento. La relazione matematica corrispondente è data da: Q’netta = σA(Tsup^4 – Tcircostante^4)ε Questo vale se si considera il tutto nel vuoto. Se l’irraggiamento avviene con la presenza di un gas le cose si complicano perché bisogna tenere conto della componente di potenza termica che si associa alla conduzione e eventualmente alla convezione. Gli effetti combinati dell’irraggiamento e della convezione sono espressi matematicamente dalla seguente relazione: Q’ = hcomb A(Ts T∞) N.B. La potenza termica assorbita è un’aliquota Q’assorbita = αQ’incidente, ove α ∈ (0; 1). In genere la trasmissione del calore avviene secondo modalità simultanee in uno stesso mezzo. Nei solidi opachi per conduzione, mentre nei solidi cristallini avviene per conduzione e irraggiamento. Nei solidi non si ha convezione. Nel vuoto si ha il solo irraggiamento.

Capitolo 13. La conduzione in regime stazionario in direzione normale alla superficie con non significativa trasmissione di calore in altre direzioni. La temperatura della

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parete dipende da una sola dimensione, per esempio la x e si avrà: T =T(x). Per effetto della conservazione della potenza si può dire che la potenza termica entrante – la potenza termica uscente esprime la potenza termica accumulata nella parete, indicabile formalmente come QÈ – Qu’ = dEparete/dt. Se la conduzione è stazionaria la quantità dEparete/dt = 0. Si ottiene la Fourier che vale (dQ/dt)cond parete = - λA dT/dx. dT/dx < 0. Nel grafico T - x la funzione T(x) è affine decrescente. Ponendo (dQ/dt)cond parete = Q’ e applicando il metodo della separazione delle variabili si ottiene: (dQ/dt)cond parete = Q’ = λA (T1 – T2)/L. L’analogia elettrica. In fisica si utilizza la relazione V =Ri detta legge di Ohm, ove V è la ddp ai capi di un resistore di resistenza R. In trasmissione del calore ∆T assume ad un ruolo analogo alla caduta di potenziale ∆V ai morsetti del resistore lineare tempo invariante. Viene introdotto il concetto di resistenza termica, o resistenza conduttiva, dipendete dalla geometria del sistema e dalle caratteristiche termiche del mezzo. La relazione che collega la potenza (nell’analogia l’equivalente di una corrente) alla resistenza termica della parete (Rparete) p la seguente: (dQ/dt)cond parete = ∆T/ Rparete. Ma vi è anche una seconda relazione (qualcosa di simile, nell’analogia, alla seconda legge di Ohm) che collega la resistenza della parete alle dimensioni e al materiale. Essa è Rparete = L/λA. Convezione da superficie solida a fluido. La nota relazione di Newton (dQ/dt)conv. = h A(Ts - T∞) diviene Q’conv. = (Ts - T∞)/Rconv ove Rconv = 1/hA. Questa ultima relazione è importante perché se h → ∞ allora Rconv → 0 e Ts - T∞ ≃ 0. Caso della parete circondata da un gas. Vanno presi in considerazione gli effetti della radiazione e si ha Q’= εσA(Tsup^4 – Tambinente^4) = hirr A(Tsup - T ambiente) = (Tsup - T ambiente) /Rirr con Rirr = 1/ hirr A. Rirr è detta resistenza termica all’irraggiamento o resistenza radiativa.

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N.B. Se una superficie esposta all’aria ambientale è soggetta simultaneamente a convezione e irraggiamento la trasmissione di calore si determina per somma (o differenza) delle Q’ di convezione e di irraggiamento, ovvero Q’ = Q’ conv + Q’irr.. Le due resistenze Rconv e Rrad sono in parallelo in quanto sono in parallelo, ma quando Tamb ≃ T∞ l’effetto radioattivo può essere valutato sostituendo nella relazione della resistenza convettiva h comb = hconv + hirr.. Rete di resistenze termiche. Sistema costituito da fluido – parete – fluido Se il flusso è stazionario la potenza convettiva verso la parete eguaglia la potenza termica conduttiva attraverso la parete eguale pure alla potenza termica convettiva dalla parete. Si usano le formule ordinarie di Newton e di Fourier, poi ancora Newton, ricordando che i fluidi hanno h non necessariamente eguali (pedici 1 e 2). Con passaggi algebrici si ottiene Q’ = (T∞1 - T∞2)/Rtot. ove (T∞1, T∞2) e Rtot sono rispettivamente le temperature in punti sufficientemente lontani dalle superfici della parete e la resistenza termica totale (che nell’analogia elettrica è una resistenza equivalente ad una serie di tre resistenze). Condizione termica in cilindri e sfere. Nella conduttura cilindrica e nelle sfere la T del tubo dipende dalla direzione radiale r, ovvero T =T(r). Nel caso del cilindro la sezione è una corona circolare di raggi R1 ed R2, con temperatura interna T1 e temperatura esterna T2. Si applica Fourier Q’cond.cil = - λA(dT/dr), ove A è l’area della superficie laterale del cilindro di lunghezza L. A = 2πrL. Si separano le variabili ricordando che Q’ =dQ/dt e si integra. Q’ = cost. quindi Q’ = T1 – T2/Rcil, ove Rcil è la resistenza termica del cilindro. Superfici alettate. La trasmissione del calore avviene applicando la legge di Newton Q’conv = hA (Ts - T∞). Alette → aumento dell’area, quindi di Q’, utilizzate quindi per aumentare lo scambio termico. L’equazione dell’aletta si ottiene considerando un elemento di volume e introdotta una retta orientata (ascissa). Sia l’elemento di volume

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nella posizione x, abbia esso spessore ∆x. Nell’elemento di volume entra Q’cond, x ed esce Q’cond, x + ∆x. Da tale volumetto esce Q’conv. L’altra dimensione si indica con p. Si giunge all’equazione differenziale che governa la trasmissione del calore nelle alette. θ(x) = C1 exp(mx) + C2 exp(-mx) θ(0) = Tb - T∞

Capitolo 15 – Convezione forzata. È richiesta la presenza di un fluido in movimento. Parti di fluido a diverse T vengono a contatto e quindi si hanno flussi conduttivi. La potenza termica trasmessa è maggiore che nella conduzione, maggiore velocità del fluido, implicando maggiore flusso termico. La potenza termica trasmessa è dalla legge di Newton per il raffreddamento, già citata. Alla superficie di contatto il moto e nullo (condizione di scorrimento nulla). Il rallentamento dei vari strati è dovuto alle forze viscose tra stati di fluido. Viene definita una resistenza superficiale, intesa come forza esercitata dal fluido sulla superficie nella direzione del moto. Considerato un sistema x – y si ha che al suolo si ha una potenza termica di conduzione pura data da: q’conv = q’conv = - λfluido ∂T/∂y∣ y = 0 , misurato in Watt/m^2. ∂T/∂y∣ y = 0 è detto gradiente all’interfaccia solido/fluido. Coordinando si ottiene h (coefficiente di scambio termico convettivo). Fluido in movimento → convezione → q’conv. = h∆T Fluido in quiete → conduzione → q’cond. = λ∆T/L Il rapporto tra i q’ è detto Nusselt (Nu). Nu = 1 conduzione pura. Al crescere di Nu cresce il ruolo della convezione. Regione di moto viscoso. Strati fluidi in moto relativo sviluppano forze di attrito che tendono a rallentare gli strati più veloci. La viscosità è dovuta a collisioni di molecole gassose o alla coesione intermolecolare nei liquidi. In tali casi si parla di flussi viscosi.

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Quando questi effetti sono trascurabili si parla di regioni di flusso non viscoso. La comprimibilità di un flusso è esprimibile dalla variazione della densità, risultando incomprimibile una fluido in moto relativo la cui densità sia costante nel tempo. Un flusso è detto laminare quando si hanno strati “regolari” mentre è turbolento quando è caotico per effetto di alte velocità che fluttuano. Esiste anche un regime detto di transizione. Il flusso è forzato quando il fluido si muove per effetto di forze dovute ad organi esterni, altrimenti è detto naturale. Il moto è stazionario quando in un certo punto una grandezza che lo caratterizza è costante. g = g(xo, t) = cost, ove g è una grandezza che caratterizza il moto (velocità) o il fluido (pressione, etc), xo è il vettore delle coordinate del punto (dato), vera per ogni t, ovvero dg/dt∣x = xo = 0. Il caso polare è non stazionario o variabile. Il moto è uniforme quando le sue caratteristiche non variano in relazione alla posizione. La relazione pertinente è: g = g(x, t) = cost vera per ogni x e per ogni t. Quando il flusso oscilla attorno ad un valore medio stazionario si parla di moto periodico. Lo strato di fluido a contatto con la piastra tende a trascinarla con se esercitando una forza di attrito. Lo strato più veloce tende a trascinare con se il più lento. Lo sforzo di taglio è: τ= μ(∂u/∂y)∣ y = 0 ed è una misura l’attrito per unità di area. La costante di proporzionalità è detta viscosità dinamica del fluido. La relazione descritta è vera per i fluidi newtoniani. La viscosità è una misura della resistenza alla deformazione, per i liquidi diminuisce con T, mentre per i gas aumenta al crescere di T (temperatura). Strato limite di T. Sia w = velocità del fluido indisturbato. Lo strato limite si ha quando la velocità del fluido varia da zero (all’interfaccia con la superficie) fino a 0.99w. Sia T∞ la temperatura del fluido e sia Ts la temperatura della piastra piana. Si realizza l’equilibrio termico e il primo strato del fluido avrà temperatura Ts, realizzandosi un profilo di temperature che vanno da Ts a T∞.

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Capitolo 18. (coordinato con le lezioni 28 -29 – 32) Irraggiamento. L’agitazione termica degli atomi delle molecole determina l’emissione di radiazione elettromagnetica quando il corpo è a temperatura superiore allo zero assoluto, con una contestuale diminuzione di energia interna. Tale radiazione può essere assorbita da altri corpi, potendo emissione e assorbimento essere contestuali, dovendo sempre tenere presente la regola del gradiente (E da C1 a C2 se e solo se T1< T2), anche nel vuoto a velocità c (della luce). La propagazione del calore per irraggiamento può essere descritta in termini di onde elettromagnetiche risultando c = λν. Poiché c è costante lunghezza d’onda e frequenza sono inversamente proporzionali. Viviamo immersi nei campi elettromagnetici (solare, per esempio). La produzione di onde elettromagnetiche avviene anche tramite antenne. I vettori H e E sono ortogonali alla direzione di propagazione delle onde. Le onde elettromagnetiche possono essere pensate anche come particelle, dette fotoni, di energia E = hν ove h è la costante di Planck. Spettro elettromagnetico. La radiazione viene classificata tenendo conto della lunghezza d’onda o della frequenza di oscillazione. Radiazione gamma, radiazione x, radiazione termica λ∊ (1/10 , 100) μm (=10^- 6 metri). La radiazione solare contiene parte dell’infrarosso, il visibile e parte dell’ultravioletto. Le radiazioni vengono distinte in ionizzanti (dall’ultravioletto ai raggi γ) e non ionizzanti (le rimanenti parti dello spettro). Viene poi definito il potere totale emissivo di irraggiamento. Nei gas l’irraggiamento è un fenomeno volumetrico in quanto l’emissione, l’assorbimento e la trasmissione dell’energia termica interessano l’intero volume, mentre nei solidi e nei liquidi si tratta di un fenomeno puramente superficiale. Viene definito nello spazio a tre dimensioni un sistema di coordinate sferiche, ogni punto (x, y, z) di R3 è definito dalla terna (r, ψ,θ). ove la prima coordinata è la distanza dall’origine

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(0, 0, 0), le ulteriori coordinate, sono entrambe angolari, trattandosi si angoli che vengono misurati a partire dall’asse x e dall’asse z. L’area infinitesima dA è vista dall’osservatore che la determina come dA(cosθ), ove θè l’angolo tra la direzione visuale e la normale n. Viene poi definito lo steradiante, unità di misura degli angoli solidi e l’angolo solido. Viene definito un modello ideale detto corpo nero, quale riferimento standard dotato delle proprietà di assorbimento perfetto, di radiatore ideale, e di emettitore diffuso. Tale concetto ha una approssimazione fisica costituita da una grande cavità con una piccola apertura, avente una superficie interna isoterma a T cost. Relazione di Planck Iλ, n , e (λ, T) = Distribuzione di Planck Emissione di banda. L’energia emessa dai corpi reali è sempre inferiore a quella di corpo nero, dipendendo da λ ma differendo dalla distribuzione di Planck. L’emissività viene definita come il rapporto tra la radiazione emessa da una superficie reale e quella emessa dal corpo nero alla stessa temperatura. Divengono rilevanti le proprietà radiative dei corpi. Infatti sul corpo arriva una energia G, una quantità ρG viene riflessa (ρ è detto coefficiente di riflessione), una quantità αG viene assorbita (α è detto coefficiente di trasmissione), una ulteriore quantità viene trasmessa, essa è τG e τ è detto coefficiente di trasmissione. Vale la relazione α + ρ +τ = 1, diretta conseguenza della conservazione dell’energia ⊏infatti G è eguale alla somma della quantità assorbita, di quella trasmessa e di quella riflessa. Dividendo tutto per G si ottiene la relazione data. τ = 0 è il caso del corpo opaco. Il colore degli oggetti fisici è dovuto all’assorbimento e alla riflessione delle radiazioni. Viene analizzato il fenomeno della riflessione, per il quale il concetto di rugosità va valutato in relazione a λ. Per h > 2λ si ha il fenomeno della riflessione diffusa. Per h < (1/10)λ si ha il fenomeno della riflessione speculare (legge di Snell, θinc = θrifl (rispetto

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alla normale)). Il comportamento reale è sempre un comportamento intermedio tra i due casi opposti considerati. Legge di Kirchkoff. Scambio termico radiativo. q’1⇌ 2 = (Q’1⇌ 2 )/A = hi (T1 – T2) ove hi è la conduttanza unitaria per irraggiamento. Radiazione solare. Si ha diverso comportamento all’assorbimento e alla riflessione della radiazione da parte di uno stesso corpo, al variare di λ. Al riguardo si parla di superfici selettive. Esempio tipico è il vetro, opaco all’infrarosso e in relazione al quale si ha l’effetto serra. Anche per l’atmosfera si può parlare di effetto serra con ipotizzate conseguenze in relazione ai cambiamenti climatici. Il Sole irradia energia. La costante solare Gs = 1353 watt/m^2. di immediata interpretazione. Esistono fenomeni di attenuazione per assorbimento (dovuto, per esempio, all’ozono), e per dispersione e riflessione (causata da molecole, polvere, etc).

Integrazioni Lezione 1 – Ricordare che il volume di controllo deve essere fisso rispetto ad una terna inerziale. Per la pressione ricordare che esistono due unità di misura particolarmente importanti quali il pascal e il bar. 1 bar = 10^5 pascal. Per le trasformazioni cicliche se si considerano grandezze di stato si ha ∮dx = 0 , ∫dx = Δx dx = Mdx + Ndz. Ognuna delle proprietà degli integrali esatti implica le altre due. Calore e lavoro non sono integrali esatti. Lezione 2 – Termodinamica degli stati – metodologia di calcolo delle proprietà dei sistemi in differenti stati termodinamici. Non tutte le proprietà sono indipendenti. Le rimanenti possono essere calcolate attraverso le equazioni di stato. Un sistema fisico può essere costituito da due fasi separate da una superficie di confine.

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Lezione 4 – Proprietà dei gasi ideali: molecole di volume trascurabile, urti perfettamente elastici, forze attrattive e repulsive inesistenti, assenza di forme di attrito. Lezione 6 – Il lavoro nei processi non reversibili non può essere calcolato all’uopo utilizzando l’integrale definito noto ∫pdV. Nel caso di espansione il lavoro è positivo e nel caso della irreversibilità si ha Lirr < Lrev = ∫pdV. Nel caso della compressione il lavoro è negativo perché fatto contro (o sul) sistema. Nel qual caso operando con grandezze negative si ha ∣ Lirr∣ > ∣Lrev∣. Lavoro di pulsione. La turbina, organo espansore entro un VC, compie un lavoro utile l’12. Bisogna definire il lavoro utile l12 = ∫pdV = l’12 - (pv)1 + (pv)2 ove l’12 è il lavoro della turbina mentre - (pv)1 e (pv)2 sono rispettivamente i lavori di immissione (negativo) e di emissione (positivo). Il lavoro utile della turbina vale l’12 = - ∫v dp In termini infinitesimali si ha dl’= -v dp, da cui dl’/dp = - v. Bisogna considerare il caso della trasformazione isocora (a volume costante). l’12 = - ∫v dp = - v ∫dp = - v (p2 – p1) = v(p1 – p2). l’12 > 0 è il caso della turbina, mentre l’12 < 0 è il caso della pompa. Lezione 9. Pompa ideale assorbe lavoro dall’esterno e innalza la pressione del fluido. Per essa il lavoro per unità di massa vale l12 = - ∫v dp = - v ∫dp = - v (p2 – p1) L’integrale deve intendersi come integrale definito. Lezione 24. Nella convezione c’è trasporto macroscopico di energia per effetto di un moto in genere traslatorio di materia (per esempio aria). Lo scambio termico complessivo è dovuto al sommarsi di due effetti: trasporto di energia interna a livello molecolare e trasporto di energia dovuto al moto della massa di fluido Nella convezione forzata il moto del fluido è causato da agenti esterni (ventilatori, pompe, agenti atmosferici). Mentre nella convezione naturale o libera, che avviene in assenza di agenti esterni, si generano nel fluido moti convettivi dovuti a differenze di

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densità causate da differenze di temperatura. Si consideri un fluido che scorre lungo una superficie solida avente temperatura differente. Il ΔT causa un flusso termico, valutabile con la legge di NEWTON, (vedi sopra) e hc “non” è una proprietà del mezzo, ma rappresenta soltanto il rapporto tra il flusso termico convettivo e il ΔT tra superficie solida e fluido. I fluidi in moto sono soggetti, oltre che alle forze di pressione, gravità ed inerzia, anche a forze di tipo viscoso, parlandosi, al riguardo di viscosità. Le forze viscose sono azioni tangenziali (ovvero, giacenti nel piano su cui agiscono) che si sviluppano quando un fluido ha una velocità relativa rispetto alle parete. I fluidi in moto sono soggetti, oltre che alle forze di pressione, gravità ed inerzia, anche a forze di tipo viscoso. Gli sforzi tangenziali si trasmettono a tutto il fluido creando un profilo di velocità. Dai moti relativi entro il fluido e da una proprietà specifica chiamata viscosità dinamica. Viene definita una grandezza detta sforzo di taglio = forza di attrito / area della parete. Di norma lo sforzo di taglio è proporzionale al gradiente di velocità. Nei liquidi è indipendente dalla pressione, aumenta al diminuire di T. Nei gas è indipendente dalla pressione (solo in prima approssimazione), ma aumenta con T. Coefficiente di attrito.

Acustica Lezione n. 36. Acustica applicata. Benessere acustico. Impatto acustico sul territorio. Inquinamento acustico (in crescita per addensamento di sorgenti di rumore e nuove tecniche edilizie). Suono. Sorgente sonora → perturbazione di carattere oscillatorio→ propagazione in un mezzo elastico (in genere aria) → ∆p e ∆ρ → compressione e rarefazione percepite dall’orecchio umano. È quindi un fenomeno ondulatorio dovuto alla successione continua di stati di compressione e di rarefazione di un mezzo elastico quale l’aria. Nei gas e nei liquidi il suono è costituito da onde longitudinali, mentre nei solidi è costituito da onde trasversali. Esistono onde simili, ma di particolari λ non

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percepite dall’orecchio umano, quali gli infrasuoni e gli ultrasuoni. Rumore → disturbo alla percezione umana (concentrazione, etc.). Relativamente alle onde acustiche, sia assegnata una direzione x di propagazione dell’onda. L’equazione dell’onda è: x(τ) = A sin (ωτ + ψ). Ampiezza. Pulsazione. Periodo. Fase. Valore efficace A/√2 (tale relazione è sempre verificata nel caso di onde sinusoidali. Derivando rispetto a τ(= tempo) la x(τ) si ottiene la velocità di oscillazione u(τ). Se c è la velocità di propagazione vale la relazione c = λυ. La velocità c varia al variare del corpo elastico e con relazioni matematiche diverse a seconda della fase (solida, liquida, gas perfetto). Viene quindi definito il campo sonoro da intendersi come la regione dello spazio entro la quale è presente un insieme di onde sonore. Viene definita la pressione sonora ∆P = P – Po, ove P è la pressione misurata in presenza del fenomeno sonoro e Po è la pressione misurata in sua assenza. Essa si misura in pascal. Vale la relazione: ∆P/Po ≪ 1. Il ∆p implica un ∆ρ. Si parte dalla relazione ∆p (x, τ) = Pm sin (ωτ – kx), ove k = ω/c = 2π/λ = numero di onde. Se la perturbazione è sinusoidale esiste un Peff = Pm/ √2. Viene definita una ulteriore grandezza detta densità di energia sonora D = (1/2)ρ(ω^2)A^2 = 2(n^2)ρof^A^2, ove ρo è la densità del mezzo di trasmissione. D è indipendente dalla direzione di propagazione. L’intensità acustica J è il flusso di potenza sonora che incide su una superficie unitaria ortogonale alla direzione di propagazione delle onde. J = cD. La grandezza cρo è detta resistenza acustica del mezzo. Oltre alle onde piane esistono le onde sferiche, originate da una sfera pulsante di raggio r, variabile nel tempo. Si ammette, per le onde sferiche, una propagazione da una sorgente puntiforme, quando la sorgente è posta a sufficiente distanza dall’osservatore. Per esse J = W/4πR^2. Il campo sonoro è individuato dalla presenza di onde sonore. Si ha un campo sonoro libero (pura astrazione) quando sono presenti solo onde direttamente irradiate dal corpo emittente. Ove si abbiano invece fenomeni di riflessione, interferenza e diffrazione si ha il campo

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riverberato. Se la densità di energia sonora è costante nello spazio confinato si ha il campo sonoro diffuso, che è una pura astrazione.

Onde – parte integrativa tratta dal Resnick. Capp. 17 e 18. Onde meccaniche (leggi di Newton). Onde elettromagnetiche. Onde di materia. Onde trasversali. Onde longitudinali. Il discrimen è costituito dallo spostamento dell’elemento oscillante rispetto alla direzione di propagazione dell’onda. Equazione dell’onda sinusoidale trasversale (è il caso del suono nell’aria). y(x, t) = Ymax sin (kx – wt). Ampiezza. L’argomento del seno è detto fase dell’onda. Lunghezza d’onda. Porre t = 0 nell’equazione dell’onda. I punti x’ e x’ + λ sono tali che hanno medesima ordinata. kλ= 2π. Da ciò esce la formula del numero d’onda angolare. Il numero d’onda è τ = k /2π. Periodo T. la pulsazione o frequenza angolare w = 2π/T. frequenza (=numero completo di cicli di oscillazione). Introduzione della costante di fase y(x, t) = Ymax sin (kx – wt + φ). La quantità kx – wt è costante e tale relazione è derivabile rispetto al tempo dx/dt = v = ω/k. L’onda acustica come onda longitudinale. Sorgente puntiforme. Raggio. Fronte d’onda. Figura 17.2. Velocità del suono (dipendenza dal mezzo elastico). Una variazione di pressione ∆p determina una variazione di volume ∆V/V. Definizione del modulo di compressibilità B = - ( ∆p / (∆V/V)) > 0 perché le variazioni di pressione e di volume sono discordi. Lo spostamento è una funzione sinusoidale ma può essere utilizzato cos. Si hanno due relazioni fondamentali: s(x, t) = smax cos(kx – ωt) ove smax è l’ampiezza dello spostamento. La variazione di pressione per un’onda acustica in moto sono date dalla relazione ∆p(x, t) = ∆pmax sin(kx – ωt) ove ∆pmax rappresenta la ampiezza di pressione, massimo scostamento dalla pressione standard (atmosferica, di norma). Tale ∆ è molto minore di p. Intensità = potenza media/area.

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L’ampiezza dello spostamento percepibile va da 10^-5 a 10^-11 (in m.). L’intensità di un suono varia con il quadrato della sua ampiezza, pertanto l’orecchio umano è adattabile ad una enorme gamma di intensità. Per comodità si utilizza una scala logaritmica e il livello sonoro è definito come β= log (I/Io). L’unità di misura usata è il bel, ma spesso si usa il sottomultipli ovvero il decibel. Io è l’intensità standard di riferimento (= 10^-12, in W/m^2). Β = x significa una intensità 10^x volte superiore a quella di base.

I fenomeni di diffusione avvengono quando le dimensioni degli oggetti sono dell’ordine di grandezza della lunghezza d’onda. L’onda può essere monofrequenziale o polifrequenziale (più frequenze contemporaneamente). I suoni non sono quasi mai puri ma sono caratterizzati da uno spettro, quello continuo è detto a banda larga. Banda di ottava: intervallo di frequenze che stanno tra loro come 1:2. banda di 1/n di ottava quando le frequenze stanno tra loro come 1:n. Bisogna specificare almeno uno dei due valori di f. Esistono (ISO) bande normalizzate in cui sono assegnati i valori di centro banda. Per n = 3 si ottengono le bande di terzo di ottava normalizzate.

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LE MIE RICERCHE 1

Ho deciso di introdurre anche questo breve speech che scrissi recentemente in inglese. Nella fase espansiva dell’Universo mi ha colpito che le distanze reciproche tra i corpi del sistema solare si mantengono sostanzialmente costanti.

CLASSICAL GRAVITATIONAL EQUILIBRIUM

In general if You consider n massive corps in classical gravitational equilibrium We can consider the following square matrix it have đ?‘›2 elements. đ?›żđ?‘–đ?‘˜ = 0 when and only when i = k.

ji

1

2

1

0

đ??š2,1 =

3

4

5

6

7

8

‌‌

n-1

N

- đ??š1,2 2 3 4

đ??š1,2

0 0 0

5

0

6 7 8 ‌‌ n-1 N

0 0 0 0 0 0

Generally We have đ??šđ?‘–,đ?‘— = - đ??šđ?‘— ,đ?‘– ≠0 when j ≠i. To consider gravitational equilibrium condition We can write ∑(đ?‘–,đ?‘—) đ??šđ?‘–,đ?‘— = 0 when we consider i ≠j and for i = 1 to n and for j = i +1 to n.

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(i, j) ∈ A cartesian B, with A = (1, 2,‌.., n) and B = (i+1, ‌‌., n-1). To study equilibrium condition We can consider only triangular inferior matrix without Kronecker’s đ?‘›2

symbol đ?›żđ?‘–,đ?‘— = 0 when i = j. Then to study equilibrium We can consider only ( 2 – n) |radiali| forces From ∑(đ?‘–,đ?‘—) đ??šđ?‘–,đ?‘— = 0 we have immediately →=→ đ?‘…

0

For example when we consider three corps, We can write this condition of equilibrium: đ??š1,2 + đ??š1,3 + đ??š2,3 = 0 ⇒ đ??š1,2 + đ??š1,3 = đ??š3,2 . In fact đ??š1,2 + đ??š1,3 = - đ??š2,3 and generally đ??šđ?‘–,đ?‘— = - đ??šđ?‘— ,đ?‘– ≠0 when j ≠i, as I have just noted. Is the solution simple? If We consider the case We have only three massive corps We observe đ??š1,2 + đ??š1,3 = - đ??š2,3 is true when for đ??š1,2 > 0 and for đ??š1,3 > 0 We have - đ??š2,3 > 0 and then đ??š2,3 < 0. We have a conventional way to define it. In fact I I would like to introduce a |postulato|. đ??šđ?‘–,đ?‘— > 0 for đ?‘€đ?‘– ≼ đ?‘€đ?‘— đ??šđ?‘–,đ?‘— < 0 for đ?‘€đ?‘– < đ?‘€đ?‘— đ??šđ?‘–,đ?‘— + đ??šđ?‘—,đ?‘– = 0 (or symmetrically) with a |vincoli| considerated. For example We can consider a gravitational system with three massive corps 1, 2, 3 whose masses are đ?‘€1 , đ?‘€2 and đ?‘€3 .

đ?‘€1 đ?‘€1

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0

đ?‘€2

đ?‘€3

đ?‘€2

APPUNTI MATEMATICI Patrizio Gravano 0

đ?‘€3

0

To describe equilibrium condition I have to consider the case đ?‘€1 > đ?‘€2 < đ?‘€3 ⇒ đ?‘€3 < đ?‘€1 In this simply case We have đ??š1,2 > 0 and đ??š1,3 > 0 but đ??š2,3 < 0. The index i into đ?‘€đ?‘– is not in relationship with euclidean distance d(.., ‌). We cannot write, for example, d (1, 3) > d (1, 2).

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LE MIE RICERCHE 2 MOLTIPLICATORE BINARIO Ho deciso di formalizzare un moltiplicatore binario che ha in output il risultato della moltiplicazione di due numeri binari costituiti da due bit. Ăˆ noto che la regola formale della moltiplicazione binaria è simile alla moltiplicazione tra due numeri in base 10. La moltiplicazione in base 2 può essere formalizzata come segue: (đ?‘Žđ?‘?)2 * (đ?‘?đ?‘‘)2 ove a, b, c, d sono variabili che possono assumere solo ed esclusivamente i valori 0 oppure 1. Lo sviluppo di (đ?‘Žđ?‘?)2 * (đ?‘?đ?‘‘)2 è quello solito, ovvero ab * cd --------------da + db ca + cb ----------------------------ca + (da + cb) + bd

(bd) definisce il less significant bit, che vale 1 quando b = d = 1. (da + cb) definisce la somma aritmetica e quindi un blocco full hadder con ingresso di riporto identicamente eguale a 0. Per esso si hanno due uscite s e đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘˘đ?‘Ą . s definisce il secondo bit. Il terzo ed eventualmente il quanto bit eguale a 1 (overflow) si hanno introducendo in cascata un secondo full hadder i

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cui ingressi sono ca e đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘˘đ?‘Ą (riporto del primo full hadder). Il secondo full hadder ha due uscite: đ?‘ 2 e đ?‘&#x;2,đ?‘œđ?‘˘đ?‘Ą . Se si ragiona per livelli è possibile dire che al livello zero (ingressi) si hanno quattro ingressi: a, b, c , d. Il secondo livello è costituito da quattro porte And, la sola porta di ingressi bd definisce un output per l’operazione di prodotto binario e definisce il bit meno significativo. Le porte da e bc hanno uscite che definiscono gli ingressi del full hadder che costituisce elemento del livello 2. La somma đ?‘†1 costituisce la seconda uscita definitiva, individuando il bit contiguo a quello meno significativo. Il riporto đ?‘…1 di detto full hadder è ingresso, unitamente al risultato logico end della porta di ingressi a et c del full hadder che ha come output đ?‘†2 e đ?‘&#x;2,đ?‘œđ?‘˘đ?‘Ą . Detti bit sono uscite che definiscono il risultato della moltiplicazione binaria su due bit. In particolare quando vale 1 il bit đ?‘&#x;2,đ?‘œđ?‘˘đ?‘Ą risulta essere il piĂš significativo. Non è agevole in questo formato fare disegnini di circuiti logici. In ogni caso è possibile “guidareâ€? chi lo volesse disegnare, all’uopo ricordando che dagli ingressi a, b, c, d è possibile collegare detti segnali alle porte logiche AND di ingressi rispettivamente (c,a), (d,a) , (b,c) e (b, d). Gli output delle porte di ingessi (d,a) e (b,c) sono ingressi del primo full hadder. Questo full hadder ha due uscite, una somma ed un riporto detto riporto è input del secondo full hadder il cui ulteriore ingresso è il risultato di c and a. Le due uscite si esso sono i due ulteriori bit di risultato.

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SUL PIANO STATISTICO GLI INDICI STATITICI 1. Indici di variabilitĂ Ăˆ possibile avere distinte distribuzioni, anche molto diverse tra loro, aventi eguale media, moda e mediana. Occorre partire dal concetto campo di variazione, o range, definito come l’intervallo di ampiezza R = đ?‘Ľđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ - đ?‘Ľđ?‘šđ?‘–đ?‘› , ove i pedici max e min denotano, rispettivamente, i valori massimo e minimo degli elementi dell’insieme che si esamina. Data una media M di una data distribuzione viene definito scostamento quadratico medio 2 ∑đ?‘˜ đ?‘–=1(đ?‘Ľđ?‘– – đ?‘€)

il valore Ďƒ = √

đ?‘˜

2 ∑đ?‘˜ đ?‘–=1(đ?‘Ľđ?‘– – đ?‘€) đ?‘›đ?‘–

oppure, in termini ponderati, Ďƒ = √

đ?‘

.

La grandezza đ?œŽ 2 è detta varianza.

2. Indici di forma Bisogna partire dal concetto di simmetria. Una assegnata variabile statistica X è detta simmetrica se “le sue modalitĂ e le relative frequenze si distribuiscono in maniera simmetrica rispetto ad un valore datoâ€?. Altrimenti la X è detta asimmetrica. Nel caso delle distribuzioni asimmetriche si distingue una asimmetria positiva da una asimmetria negativa. Limitandosi alle distribuzioni unimodali si ha: a) nel caso delle asimmetrie positive si ha đ?‘€đ?‘œ < đ?‘€đ?‘’ < M; b) nel caso delle asimmetrie negative si ha M < đ?‘€đ?‘’ < đ?‘€0 .

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Nel caso di distribuzioni unimodali è poi noto che si ammette (đ?‘€0 - M) ≃ 3(M - đ?‘€đ?‘’ ) quando l’asimmetria è moderata. L’asimmetria è quantificabile mediante indici. In genere, se riferiti ad una distribuzione simmetrica, essi valgono 0. Esistono diversi indici ma quelli piĂš noti sono quelli proposti da Pearson, per le serie e per le distribuzioni. Essi sono, rispettivamente, i seguenti:

Îł=

Îł=

3 ∑đ?‘˜ đ?‘–=1(đ?‘Ľđ?‘– − đ?‘€)

đ?‘˜đ?œŽ3

3 ∑đ?‘˜ đ?‘–=1(đ?‘Ľđ?‘– − đ?‘€) đ?‘›đ?‘–

đ?‘ đ?œŽ3

Se Îł ≠0 la distribuzione è sicuramente asimmetrica. Se Îł = 0 non necessariamente la distribuzione e simmetrica. Può capitare il caso Îł = 0 nel caso di distribuzioni altamente asimmetriche.

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Proprietà letteraria e intellettuale Nell’elaborare il presente documento ho inevitabilmente attinto a fonti. Esse sono indicate nel testo, di volta in volta. Per quanto attiene alle “figure” – utilissimo supporto – queste sono state estratte da Internet nella presunzione che quanti le hanno collocate ne avessero titolo. In questo caso non mi è stato possibile citare la fonte. Preciso che questo elaborato non ha fini di lucro.

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pubblicazione a cura di Pascal McLee

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