AULA 09 : GEOMETRIA PLANA
Ângulo: É a abertura formada por duas semirretas de mesma origem
Tipos de ângulos a) Ângulo reto: o que mede 90º b) Ângulo raso: o que mede 180º c) Ângulo agudo: menor que 90º d) Ângulo obtuso: maior que 90º e menor que 180º e) Ângulo reentrante: maior que 180º e menor que 360º f) Ângulos complementares ( e ): + = 90° g) Ângulos suplementares ( e ): + = 180º h) Ângulos explementares ( e ): – = 180º i) Ângulos replementares ( e ): + = 360º j) Ângulos consecutivos: possuem o mesmo vértice e um lado comum k) Ângulos adjacentes: possuem o mesmo vértice e um lado comum entre eles
r//s//t
r a
c s
b
a c b d
d t
ANOTAÇÕES
Ângulos opostos pelo mesmo vértice:
Teorema de Tales Se duas retas são transversais a um feixe de retas paralelas, os segmentos determinados nas transversais são proporcionais.
=
Ângulos formados por duas paralelas cortadas por uma transversal
s
r
t
u
b
a
c
d
Ângulos correspondentes: a e r; b e s; c e t; d e u. Ângulos alternos internos: a e t; u e b. Ângulos alternos externos: c e r; d e s. Ângulos colaterais internos: a e u; b e t. Ângulos colaterais externos: c e s; d e r.
Observação importante: Nesses oito ângulos, temos: agudo = agudo
obtuso = obtuso
agudo + obtuso = 180º
Bissetriz de um ângulo É uma semirreta com origem no vértice do ângulo e que o divide em dois ângulos de mesma medida
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133
MATEMÁTICA II
Exercícios de sala
Exercícios de casa
01 - (FUVEST) Na figura adiante, as retas r e s são paralelas, o ângulo 1 mede 45° e o ângulo 2 mede 55°. A medida, em graus, do ângulo 3 é: a) 50 b) 55 c) 60 d) 80 e) 100
02 - (UEL) Na figura a seguir, as medidas x, y e z são diretamente proporcionais aos números 5, 20 e 25, respectivamente. O suplemento do ângulo de medida x tem medida igual a a) 144° b) 128° c) 116° d) 82° e) 54°
(QUESÃO_CASA – 01) Na figura seguinte identifique os pares de ângulos:
a) correspondentes b) alternos internos c) alternos externos d) colaterais internos e) colaterais externos f) o.p.v. g) adjacentes (QUESÃO_CASA – 02) Sejam A, B e C respectivamente as medidas do complemento, suplemento e replemento do ângulo de 40°, têm-se a) A = 30°; B = 60°; C = 90° b) A = 30°; B = 45°; C = 60° c) A = 320°; B= 50°; C = 140° d) A = 50°; B = 140°; C = 320° e) A = 140°; B = 50°; C = 320°
(QUESÃO_CASA – 03) Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam ângulos alternos-externos expressos em graus por 13x-8° e 6x+13°. A medida desses ângulos vale: a) 31° b) 3° ou 177° c) 30° e 150° d) 62° e) 93°
03 - (UNIRIO) As retas r1 e r2‚ são paralelas. O valor do ângulo , apresentado na figura a seguir, é: a) 40° b) 45° c) 50° d) 65° e) 130°
(QUESÃO_CASA – 04) Na figura abaixo, está ilustrado o desenho de um portão em forma retangular, onde foram colocadas diagonais
AC e BD , a fim de obter-se maior rigidez para o mesmo.
04 - (UNAERP) As retas r e s são interceptadas pela transversal "t", conforme a figura. O valor de x para que r e s seja, paralelas é: a) 20° b) 26° c) 28° d) 30° e) 35°
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134
Sabendo-se que = 20°, o valor de é: a)70° b)50° c)30° d)60° e)40°
MATEMÁTICA II
AULA 10 : GEOMETRIA PLANA
CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS Dois triângulos são congruentes se, e somente se, seus lados e seus ângulos são ordenadamente congruentes.
TRIÂNGULOS: Polígonos que possuem três ângulos
Classificação: a) Quanto aos lados Eqüilátero (três lados de medidas congruentes) Isósceles (dois lados de medidas congruentes) Escaleno (três lados de medidas diferentes) b)
LAL
a
b
ELEMENTOS IMPORTANTES NUM TRIÂNGULO Altura: é um segmento perpendicular que vai do vértice até a reta suporte do lado oposto. Mediana: é um segmento que vai do vértice até o meio do lado oposto. Bissetriz: é um segmento que vai do vértice, dividindo-o ao meio, até o lado oposto. Mediatriz: é a reta perpendicular a um lado do triângulo, traçada pelo seu ponto médio.
s
c
t
a b c k r s t
r
a
k razão de semelhança
CASOS DE SEMELHANÇA
a
B
AA
LAL
BASE MÉDIA A base média de um triângulo é o segmento da reta que liga os pontos médios de dois lados de um triângulo.
PROPRIEDADE A base média de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e mede a metade deste lado
>> a>b>c Relação entre os ângulos
LLL
e
c
L A Ao
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
LLL
a é o maior lado
c
ALA
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais
Quanto aos ângulos Obtusângulo (um ângulo obtuso) a² > b² + c² Acutângulo (três ângulos agudos) a² < b² + c² Retângulo (um ângulo reto) a² = b² + c²
b
CASOS DE CONGRUÊNCIAS
Relação entre os lados
+ + = 180º
|b – c| < a < b + c
e = + (T.A.E)
|a – c| < b < a + c
PONTOS NOTÁVEIS NO TRIÂNGULO (BICO) a) Baricentro: encontro das medianas Circuncentro: encontro das mediatrizes b) Incentro: encontro das bissetrizes Ortocentro: encontro das alturas
c) d)
OBSERVAÇÕES: a) O INCENTRO é o centro da circunferência inscrita ao triângulo b) O CIRCUNCENTRO é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo c) O BARICENTRO está a 1/3 do lado e 2/3 do vértice d) O ORTOCENTRO do triângulo retângulo coincide com o vértice do ângulo reto
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135
MATEMÁTICA II
Exercícios de sala
Exercícios de casa
01 - Um triângulo tem lados iguais a 10 cm e 17 cm. O maior valor que o terceiro lado poderá assumir, expresso por um número natural, em cm, é: a) 26 b) 14 c) 28 d) 32 e) 14
1)(QUESTÃO_CASA – 01) Calcule o valor dos ângulos agudos de um triângulo retângulo em que a área mede 4 m 2 e a hipotenusa 4m: a) 30° e 60° b) 45°e 45° c) 15º e 75° d) 15° e 60° e) 17º e 73º
02 - O perímetro de um triângulo é 100 cm e um dos lados vale 36 cm. Um triângulo semelhante, cujo lado homólogo ao lado conhecido é de 27 cm, tem por perímetro: a) 63cm b) 72 cm c) 72cm d)
2)(QUESTÃO_CASA – 02) Na figura abaixo BC = 60 cm e AH = 40 cm. O lado do quadrado MNPQ inscrito no triângulo ABC é igual a:
400 cm 3
e) 75 cm
03 - Na figura abaixo a 100° e b = 110°. Quanto mede o ângulo x?
3)(QUESTÃO_CASA – 03) O ângulo x, na figura a seguir, mede: a) 60° b) 80° c) 90° d) 100° e) 120°
04 -(Cesgranrio) Na figura a seguir, AB = 8 cm, BC = 10 cm, AD = 4 cm e o ponto O é o centro da circunferência. O perímetro do triângulo AOC mede, em cm: a) 36 b) 45 c) 48 d) 50 e) 54
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4)(QUESTÃO_CASA – 04) A medida do ângulo ADC inscrito na circunferência de centro O é: a) 125° b) 110° c) 120° d) 100° e) 135°
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MATEMÁTICA II
AULA 11 : GEOMETRIA PLANA
C
QUADRILÁTEROS: Polígonos que possuem quatro lados
QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS a) Trapézio: dois lados paralelos b) Paralelogramo: lados opostos paralelos c) Losango: quatro lados congruentes d) Retângulo: quatro ângulos internos congruentes e) Quadrado: quatro ângulos internos congruentes e quatro lados congruentes
ALGUMAS PROPRIEDADES: a) Em todo paralelogramo os ângulos e os lados opostos são congruentes b) Em todo paralelogramo as diagonais se encontram nos respectivos pontos médios c) Em todo losango as diagonais são perpendiculares e bissetrizes dos ângulos internos d) Em todo retângulo as diagonais são congruentes
a B
b R A
Lei dos senos
c
a b c 2R sen A sen B sen C
Lei dos cossenos
a² = b² + c² – 2bc . cos A b² = a² + c² – 2ac . cos B c² = a² + b² – 2ab . cos C
BASE MÉDIA DE UM TRAPÉZIO É o segmento de reta que liga os pontos médios dos lados não paralelos
LEI DOS SENOS E DOS COSSENOS
ANOTAÇÕES
Propriedade A base média de um trapézio é paralela às bases e tem medida igual a média aritmética das medidas das bases do trapézio
POLÍGONOS É a união de n (n ≥ 3) segmentos de retas consecutivos O polígono recebe o nome de acordo com o número de lados Alguns exemplos: Triângulo (3 lados), quadrilátero (4 lados), pentágono (5 lados), hexágono (6 lados), heptágono (7 lados), octógono (8 lados), eneágono (9 lados), decágono (10 lados), icoságono (20 lados) .
CLASSIFICAÇÃO DOS POLÍGONOS a) Convexo: quando dados dois pontos interiores, o segmento formado por eles está totalmente contido no polígono. b) Côncavo: quando dados dois pontos interiores, o segmento formado por eles não está totalmente contido no polígono. c) Regular: quando for eqüilátero e eqüiângulo OBSERVAÇÃO: Destaca-se num polígono regular o segmento que vai do centro ao meio do lado chamado de APÓTEMA. Em qualquer polígono de n lados, tem-se a) Soma dos ângulos internos: Si = (n – 2).180º b) Soma dos ângulos externos: Se = 360º n . (n 3) d c) Número de diagonais: 2
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137
MATEMÁTICA II
Exercícios de sala
Exercícios de casa 01-(QUESTÃO_CASA – 01) No retângulo abaixo, determine as medidas de x e y indicadas:
01 - Determine a medida dos ângulos indicados: a)
02-(QUESTÃO_CASA – 02) A figura abaixo é um losango.
b)
Determine o valor de x e y, a medida da diagonal diagonal
, da
e o perímetro do triângulo BMC.
02 – No paralelogramo abaixo, determine as medidas de x e y.
03-(QUESTÃO_CASA – 03) Determine a medida de cada ângulo indicado
03 – Determine as medidas dos quatro ângulos do trapézio da figura abaixo:
04-(QUESTÃO_CASA – 04) As medidas dos ângulos internos de um quadrilátero são: x + 17° ; x + 37° ; x + 45° e x + 13°. Determine as medidas desses ângulos.
04 – Sabendo que x é a medida da base maior, y é a medida da base menor, 5,5 cm é a medida da base média de um trapézio e que x - y = 5 cm, determine as medidas de x e y.
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138
MATEMÁTICA II
AULA 12 : GEOMETRIA PLANA
ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA A A Ângulo central
Ângulo inscrito
A
Ângulo de segmento
P
A
C
B
B
= AB
Ângulo excêntrico interior
C
B
A
B
P
AB 2
PA PB
2
B
PA PC . PB
AB 2
ANOTAÇÕES
Ângulo excêntrico exterior
A
C
A D
D
B
C
AB CD 2
AB CD 2
RELAÇÕES MÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA
A
D
B
P
A P
C
B D
PA . PB PC . PD
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C
PB . PA PD . PC
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MATEMÁTICA II
Exercícios de sala
Exercícios de casa
01 - (USP) No triângulo da figura a seguir, a circunferência inscrita tem raio 1 e T é o ponto de tangência.Então o menor lado do triângulo mede:
01-(QUESTÃO_CASA – 01) Na figura,
a) 3. b) 20/7. c) 7/2. d) 9/2. e) 30/7.
AB 7m, AD 6m e DE 4m . Então, BC é igual a: D
a)
24 7
b)
5 m.
c)
12 m.
02 - (PUC) O ângulo x, na figura a seguir, mede:
d)
11 m.
a) 60° b) 80° c) 90° d) 100° e) 120°
e)
11 7
m.
D
B
E
C
cm.
02-(QUESTÃO_CASA – 02) Dada a figura abaixo, calcule x.
03 - (UFES) Nessa figura, BD é um diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo ABC, e os ângulos ABD e AÊD medem, respectivamente, 20° e 85°. Assim sendo, o ângulo CBD mede a) 25° b) 35° c) 30° d) 40°
x
x+2
1
11
03-(QUESTÃO_CASA – 03) Determine o valor de x indicado na figura.
x
4
04 - (Fuvest) A medida do ângulo ADC inscrito na circunferência de centro O é: a) 125° b) 110° c) 120° d) 100° e) 135°
45 04-(QUESTÃO_CASA – 04) (Fuvest-SP) O valor de x na figura é:
a)
20 . 3
x
b)
3 . 5
3
05- Na figura,
C B E D
A
AE
1 , BE 8 cm e ED 6 cm. O comprimento de AC, EC 3
c)
1.
d)
4.
e)
5.
2 10
em cm, é: a)10.
d) 18
b)12.
e) 19
c)16.
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140
MATEMÁTICA II
AULA 13 : GEOMETRIA PLANA
RETÂNGULO
ÀREAS DE FIGURAS PLANAS ÁREA DOS QUADRILÁTEROS ÁREA DO TRIÂNGULO Perímetro (2p) Figura e a área (A) Figura Perímetro e Área , 2p = 2(a + b) 2p = a + b + c b A = ab A abc a p
2
PARALELOGRAMO
h TRIÂNGULO
c 2p = 2(a + b)
b
h
A = ah
a
R
O r
B
ah A 2
b
A p(p a)(p b)(p c )
a
C A=
2p = 4a
A=p.r
A = a²
a QUADRADO
1 bc sen 2
A=
Apótema a
ap
a 2
ab c 4R
ÁREA DO CÍRCULO A = R²
R LOSANGO
a d
2p = 4a
A
D
Dd 2 R
b 2p = b + c + d + B
TRAPÉZIO
c
hd B
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2p = 2R
C
C
B bh A
l
A=
R 2 360º em graus
A=
2
R 2
l = R em radianos
141
MATEMÁTICA II
Exercícios de sala
Exercícios de casa
01 - Um cavalo se encontra preso num cercado de pastagem, cuja forma é um quadrado, com lado medindo 50m. Ele está amarrado a uma corda de 40m que está fixada num dos cantos do quadrado. Considerando = 3,14, calcule a área, em metros quadrados, da região do cercado que o cavalo não conseguirá alcançar, porque está amarrado. a) 1244. b) 1256. c) 1422. d) 1424. e) 1444.
02 - Na figura, ABCD é um quadrado cujo lado mede a. Um dos arcos está contido na circunferência de centro C e raio a, e o outro é uma semicircunferência de centro no ponto médio de BC e de diâmetro a. A área da região hachurada é: a) Um quarto da área do círculo de raio a. b) Um oitavo da área do círculo de raio a. c) O dobro da área do círculo de raio a/2. d) Igual à área do círculo de raio a/2. e) A metade da área do quadrado.
01-(QUESTÃO_CASA – 01) Na figura seguinte, estão representados um quadrado de lado 4, uma de suas diagonais e uma semicircunferência de raio 2. Então a área da região hachurada é: a) ( /2) + 2 b) + 2 c) + 3 d) + 4 e) 2 + 1
02-(QUESTÃO_CASA – 02) Na figura ao lado, se o diâmetro do círculo mede 8 cm e os raios dos semicírculos medem 2 cm, a área e o perímetro da região hachurada valem, respectivamente,
cm2 e 8 cm 2 16 cm e 8 cm 2 8 cm e 8 cm 2 16 cm e 8 cm 2 16 cm e 8 cm
a) 8
2
b)
2
c) d) e)
03 - (CESGRANRIO) OPQ é um quadrante de círculo, no qual foram traçados semicírculos de diâmetros OP e OQ. Determine o valor da razão das áreas hachuradas, a/b. a) 1/ 2 b) ½ c) /4 d) 1 e) /3
2
2
(QUESTÃO_CASA – 03) Considere C1 e C2 dois círculos de raios iguais a r , de acordo com a figura ao lado. Sabe-se que A e C são os centros de C1 e C2 respectivamente. A área do quadrilátero ABCD é 2 a) r B 3 C1
2
2r 2 3
b)
r2 3 4 d) r 2 2 c)
r2 3
e)
C
A D
C2
2
(QUESTÃO_CASA – 04) Sabendo-se que o triângulo A B C , ao lado, é equilátero de lado 1 cm e que os pontos A , D e E são colineares, onde D é o centro do círculo inscrito neste triângulo, a área da figura hachurada, em cm2, é 04 - (PUC_MG) Na figura, o lado do quadrado ABCD mede uma unidade. O arco BED pertence à circunferência de centro em A e raio unitário; o arco BFD pertence à circunferência de centro em C e raio unitário. A medida da área da região sombreada é: a) - 2 b) ( - 2)/2 c) ( - 2)/3 d) ( - 2)/4 e) 2
a)
12
12 c)
12
4
e)
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3 16
b)
d)
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3 16
3 16
3 16
MATEMÁTICA II
AULA 14 : GEOMETRIA PLANA
ANOTAÇÕES
POLIEDROS São sólidos limitados por polígonos planos que tem dois a dois, um lado em comum. As regiões planas que limitam estes sólidos são as faces do poliedro. As intersecções das faces são as suas arestas e as intersecções das arestas são os seus vértices.
POLIEDROS CONVEXOS Um poliedro é dito convexo quando dados quaisquer dois pontos dele, o segmento que tem como extremidades esses pontos, está contido inteiramente no poliedro. Caso contrário o poliedro é dito não convexo (ou côncavo).
NOMENCLATURA De acordo com o número de faces os poliedros recebem seus nomes. EXEMPLOS: 4 faces(tetraedro), 5 faces(pentaedro), 6 faces(hexaedro), 7 faces(heptaedro), 8 faces(octaedro) e assim por diante.
POLIEDROS REGULARES Um poliedro é dito regular quando todas as suas faces são polígonos regulares congruentes e todos os seus ângulos poliédricos também são congruentes. Existem apenas 5 poliedros regulares (os de Platão) TETRAEDRO (4 faces triangulares) HEXAEDRO (6 faces quadrangulares) OCTAEDRO (8 faces triangulares) DODECAEDRO (12 faces pentagonais) ICOSAEDRO (20 faces triangulares) Nos poliedros convexos convém destacar duas importantes relações:
I. Relação de EULER: V + F = A + 2 Soma dos ângulos das faces: S = (V – 2).360º, onde V é o número de vértices, F é o número de faces, A é o número de arestas e S é a soma dos ângulos das faces
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143
MATEMÁTICA II
Exercícios de sala
Exercícios de casa
01 - (UFPB) A característica de Euler-Poincaré (P) de um poliedro P é definida por (P) = V – A + F, onde V, A e F são, respectivamente, os números de vértices, arestas e faces de P. Sendo assim, a característica de Euler-Poincaré de uma pirâmide de base triangular é: a) –2 b) 0 c) 2 d) –1 e) 1
01-(QUESTÃO_CASA – 01) Um poliedro convexo de onze faces tem seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares. O número de arestas e de vértices do poliedro é, respectivamente, a) 34 e 10 b) 19 e 10 c) 34 e 20 d) 12 e 10 e) 19 e 12
02 - (PUC – PR)Um poliedro convexo é formado por faces quadrangulares e 4 faces triangulares. A soma dos ângulos de todas as faces é igual a 12 retos. Qual o número de arestas desse poliedro? a) 8 b) 6 c) 4 d) 2 e) 1
02-(QUESTÃO_CASA – 02) Um geólogo encontrou, numa de suas explorações, um cristal de rocha no formato de um poliedro, que satisfaz a relação de Euler, de 60 faces triangulares. O número de vértices deste cristal é igual a: a) 35 b) 34 c) 33 d) 32 e) 31 03-(QUESTÃO_CASA – 03) Considere o cubo da figura adiante. Das alternativas a seguir, aquela correspondente a pares de vértices que determinam três retas, duas a duas reversas, é:
03 - (UFC) Um poliedro convexo só tem faces triangulares e quadrangulares. Se ele tem 20 arestas e 10 vértices, então, o número de faces triangulares é: a) 12 b) 11 c) 10 d) 9 e) 8
04 - (Fuvest) O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que esta pirâmide possui a) 33 vértices e 22 arestas. b) 12 vértices e 11 arestas. c) 22 vértices e 11 arestas. d) 11 vértices e 22 arestas. e) 12 vértices e 22 arestas.
a) (A,D); (C,G); (E,H). b) (A,E); (H,G); (B,F). c) (A,H); (C,F); (F,H). d) (A,E); (B,C); (D,H). e) (A,D); (C,G); (E,F). 04-(QUESTÃO_CASA – 04) Entre todas as retas suportes das arestas de um certo cubo, considere duas, r e s, reversas. Seja t a perpendicular comum a r e a s. Então: a) t é a reta suporte de uma das diagonais de uma das faces do cubo. b) t é a reta suporte de uma das diagonais do cubo. c) t é a reta suporte de uma das arestas do cubo. d) t é a reta que passa pelos pontos médios das arestas contidas em r e s. e) t é a reta perpendicular a duas faces do cubo, por seus pontos médios.
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144
MATEMÁTICA II
AULA 15 : PRISMA
PRISMA Sejam e dois planos paralelos e distintos e ABCDE uma região poligonal contida em . Considere todos os segmentos de reta MN paralelos com M um ponto da superfície poligonal ABCDE e N um ponto de . A reunião de todos os segmentos
MN forma um sólido chamado de PRISMA.
CASOS PARTICULARES DE PRISMAS a) paralelepípedo – É um prisma quadrangular cujas bases são paralelogramos. b) paralelepípedo reto – É um prisma reto cujas bases são paralelogramos. c) paralelepípedo reto-retângulo (ortoedro) – É um prisma reto cujas bases são retângulos. d) romboedro – é um paralelepípedo que possui as doze arestas congruentes entre si. cubo – é um paralelepípedo reto-retângulo que possui todas as arestas congruentes.
ELEMENTOS DE UM PRISMA
DIAGONAL, ÁREA E VOLUME DE UM PARALELEPÍPEDO A diagonal (D), a área total (AT), e o volume (V), de um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões a, b e c são dados por: a2 b2 c 2
D=
AT = 2(ab + ac + bc) V = a . b. c
No caso em que a = b = c, temos um CUBO. Portanto, as fórmulas da diagonal, da área total e do volume são dadas por: D=a 3 Considerando o prisma ao lado, temos: bases – são os polígonos ABCDE e A’B’C’D’E’ (polígonos congruentes). arestas da base – são os segmentos AB, BC, CD, DE, EA, A’B’, B’C’, C’D’, D’E’, E’A’. vértices – A, B, C, D, E, A’, B’, C’, D’, E’. faces laterais (paralelogramos) – são os quadriláteros ABB’A’, BCC’B’, CDD’C’, DEE’D’, EAA’E’. arestas laterais – são os segmentos AA’, BB’, CC’, DD’, EE’. altura do prisma – é a distância entre as bases. área lateral – é a soma das áreas das faces laterais. área total – é a área lateral mais a soma das áreas das bases. volume – é a quantidade de espaço que o prisma ocupa. Observe que os prismas são poliedros que têm duas faces paralelas e congruentes. Essas faces são chamadas de bases, e as demais faces com formato de paralelogramo são chamadas de faces laterais.
V = a³
VOLUME DE UM PRISMA PRINCÍPIO DE CAVALIERE Dados dois sólidos e um plano, se todo plano paralelo ao plano dado interceptar esses sólidos formando secções de mesma área, então os sólidos têm mesmo volume. Usando o princípio de Cavaliere com a equivalência de um paralelepípedo reto-retângulo, temos que o volume de um prisma é dado pelo produto da área da base pela altura. V = Ab.H
ANOTAÇÕES
CLASSIFICAÇÃO a) De acordo com o número de arestas das bases os prismas são denominados triangulares (bases triângulos), quadrangulares (bases quadriláteros), pentagonais (bases pentágonos) e assim por diante. b) Prisma reto é aquele em que as arestas laterais são perpendiculares às bases. c) Prisma oblíquo é aquele em que as arestas laterais são oblíquas às bases. d) Prisma regular é aquele em que as bases são polígonos regulares e é reto.
AT = 6a²
OBSERVAÇÃO: Se um prisma é reto, as faces laterais são retangulares e se é oblíquo, as faces laterais são paralelogramos.
SECÇÃO DE UM PRISMA A secção de um prisma é a intersecção do prisma com um plano que intersecta todas as arestas laterais. SECÇÃO TRANSVERSAL - É a região poligonal obtida pela intersecção do prisma com um plano paralelo às bases. SECÇÃO RETA – É a região poligonal obtida pela interseção do prisma com um plano perpendicular às arestas laterais.
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145
MATEMÁTICA II
Exercícios de sala
Exercícios de casa
01 - No cubo da figura a seguir, as arestas medem 4cm. Quanto mede a diagonal AB ? a) 4
3
cm
b) 2
3
cm
c) 4
2 cm 2 cm
01-(QUESTÃO_CASA – 01) Considere uma cruz formada por 6 cubos idênticos e justapostos, como na figura abaixo. Sabendo-se que a área total da cruz é de 416cm 2, pode-se afirmar que o volume de cada cubo é igual a: a) 16 cm3 b) 64 cm3 c) 69 cm3 d) 26 cm3
d) 2 e) 2 cm
02 - (UFPB – 2001) A figura ao lado mostra a planificação de um cubo. Sabendo-se que
A B 68 cm , pode-se concluir que o 02-(QUESTÃO_CASA – 02) Se a soma das medidas de todas as arestas de um cubo é 60cm, então o volume desse cubo, em centímetros cúbicos, é: a) 125. b) 100. c) 75. d) 60. e) 25.
volume do cubo em cm3 é a) 8 b) 36 c) 64 d) 27 e) 48 03 - (UFPB – 99) Os algarismos “1” e “9” que compõem o número 1999, desenhado abaixo, foram confeccionados emendandose pequenos cubos de madeira de aresta 0,10 m. Determine o volume total, em m 3 , da madeira utilizada na confecção do número 1999.
03-(QUESTÃO_CASA – 03) Se a diagonal de uma face de um cubo
2 , então o volume desse cubo é:
mede 5 a) 600 b) 625. c) 225. d) 125.
3.
e) 100
3.
04-(QUESTÃO_CASA – 04) O volume de uma caixa cúbica é 216 litros. A medida de sua diagonal, em centímetros, é 04 - (UFPB – 97) A diagonal de um cubo mede 12 cm. Qual o volume desse cubo? ANOTAÇÕES
a) 0,8 b) 6 c) 60
3
d) 60
3
e) 900
B
3 A
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Área total – é a soma das áreas das bases com a área lateral AT = AL + 2.Ab
AULA 16 : CILINDRO
CILINDRO Sejam dois planos paralelos e , e um segmento de reta MN, com M e N . Considere, também, um círculo C de centro 0 e raio r, C . A reunião de todos os segmentos de reta, paralelos e congruentes ao segmento MN, tendo uma extremidade em C e outra em , formam um sólido chamado CILINDRO CIRCULAR.
Volume – pelo princípio de CAVALIERE, temos que o volume é dado pelo produto da área da base pela altura. V = Ab.h = r
ANOTAÇÕES
ELEMENTOS DO CILINDRO
N
r
O’
g
h
r M
O
C
Na figura, temos: base círculo de centro O e raio r e círculo de centro O’ e raio r. eixo é a reta que contém os centros das bases. altura (h) é a distância entre os planos e . geratriz (g) são os segmentos paralelos aos eixos e cujas extremidades são pontos das circunferências das bases.
CLASSIFICAÇÃO ( I ) CILINDRO RETO: é aquele em que as geratrizes são perpendiculares às bases. Neste caso, a altura tem a mesma medida da geratriz. ( II ) CILINDRO OBLÍQUO: é aquele em que as geratrizes não são perpendiculares às bases. ( III ) CILINDRO TRUNCADO: é aquele em que as bases não são paralelas
SECÇÃO MERIDIANA É a figura geométrica formada pela intersecção do cilindro com o plano que contém seu eixo. A área da secção meridiana é a área do retângulo de base 2r e altura h. A = 2rh
SECÇÃO TRANVERSAL É a figura geométrica formada pela intersecção do cilindro com o plano paralelo as bases. A secção transversal é um círculo congruente às bases.
CILINDRO EQUILÁTERO É o cilindro cuja secção meridiana é um quadrado.
ÁREAS E VOLUME Área da base – é a área do círculo de raio r Ab = r² Área lateral – é a área do paralelogramo de base 2r e altura h AL = 2rh
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Exercícios de sala 01 - (Cesgranrio) Um recipiente com a forma de um cilindro reto, cujo diâmetro da base mede 40 cm e altura 100/ cm, armazena um certo líquido, que ocupa 40% de sua capacidade. O volume do líquido contido nesse recipiente é, em litros, aproximadamente, igual a: a) 16 b) 18 c) 20 d) 30 e) 40
02 - (UFRS) Um pedaço de cano de 30 cm de comprimento e 10cm de diâmetro interno encontra-se na posição vertical e possui a base inferior vedada. Colocando-se dois litros de água em seu interior, e água. a) ultrapassa o meio do cano. b) transborda. c) não chega ao meio do cano. d) enche o cano até a borda. e) atinge exatamente o meio do cano.
03 - (UFPB – 2003) Depois de desistir de retirar a pipa do poste, João foi jogar futebol no quintal da casa. Ao chutar a bola com muita força, fez com que a mesma caísse num reservatório de água com a forma de um cilindro circular reto, cujo diâmetro é de 96 cm. Maria percebeu que exatamente a metade da bola ficou submersa, o que elevou o nível da água do reservatório em 0,5 cm (ver desenho). O raio dessa bola é: a)10 cm b) 12 cm c) 14 cm d)11 cm e) 13 cm
Exercícios de casa 01-(QUESTÃO_CASA – 01) Um líquido que ocupa uma altura de 10cm num determinado recipiente cilíndrico será transferido para outro recipiente, também cilíndrico, com diâmetro 2 vezes maior que o primeiro. Qual será a altura ocupada pelo líquido nesse segundo recipiente? a) 1,5 cm b) 2 cm c) 2,5 cm d) 4,5 cm e) 5 cm
02-(QUESTÃO_CASA – 02) Qual das propostas a seguir pode ser utilizada para duplicar o volume de um cilindro modificando seu raio da base e sua altura? a) Duplicar o raio e manter a altura. b) Aumentar a altura em 50% e manter o raio. c) Aumentar o raio em 50% e manter a altura. d) Duplicar o raio e reduzir a altura à metade. e) Duplicar a altura e reduzir o raio à metade.
03-(QUESTÃO_CASA – 03) Um tanque para depósito de combustível tem a forma cilíndrica de dimensões: 10m de altura e 12m de diâmetro. Periodicamente é feita a conservação do mesmo, pintando-se sua superfície lateral externa. Sabe-se que com uma lata de tinta pintam-se 14m2 da superfície. Nessas condições, é verdade que a menor quantidade de latas que será necessária para a pintura da superfície lateral do tanque é: a) 14 b) 23 c) 27 d) 34 e) 54
04-(QUESTÃO_CASA – 04) Um contêiner, na forma de um cilindro circular reto, tem altura igual a 3m e área total (área da superfície lateral mais áreas da base e da tampa) igual a 20m2. Calcule, em metros, o raio da base deste contêiner.
ANOTAÇÕES 04 - (UFPB – 2002) O Sr. Martins foi encarregado de pintar a lateral de uma caixa d’água cilíndrica, com 6 m de raio e altura de 10 m. Devido ao mau tempo, conseguiu, apenas, pintar a parte sombreada mostrada na figura ao lado. Assim sendo, desse trabalho ele executou somente: a)
5%
b) 15% c)
25%
d) 10% e)
20%
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