Semana 1 Unidad 1. Aritmética 1.1. Operaciones básicas y propiedades 1.1.1. Operaciones con números reales
Notas de aritmética Es oportuno que recuerdes lo siguiente para comenzar con el estudio de las operaciones básicas y sus propiedades: Tema Números naturales Números enteros Números reales
Números racionales
Números irracionale s
Tabla de clasificación de los números Símbolo Definición Ejemplo Son los números con los que (N) contamos (también se les llama 1, 2, 3, … enteros positivos). Conjunto de todos los números …—3,–2, –1, 0, 1, (Z) naturales con sus opuestos 2,3… (negativos) y el cero. Conjunto compuesto por todos los 3 2√4 (R): números racionales y los 6/3 irracionales. Conjunto formado por todos los números que se pueden escribir en la forma m/n, donde m y n son 5, (Q): enteros, y n es diferente de 0. Los 7/8 = 0.8750, números racionales tienen 1.3 = 4/3 representaciones decimales repetitivas (periódicas). √2 = tienen representaciones no (IQ) 1.41421356…, repetitivas infinitas por ejemplo ∏ = 3.14159265…,
No te desesperes, si tienes dificultades con algunos de estos números. Los matemáticos tardaron más de 2 000 años en descubrir una definición precisa de número, y esto ocurrió apenas el siglo pasado. En realidad, saber cómo se manipulan las variables y constantes correspondientes a los números es de mayor importancia ahora, para nosotros, que el conocimiento de los propios números como objetos. Por otro lado es oportuno mencionar que no todas las
operaciones que se
realizan en ingenierías utilizan números enteros. También las cantidades negativas tienen significado en las leyes físicas.
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Tal vez a alguno de ustedes se le facilite la clasificación de los números con el siguiente diagrama: Enteros
1, 59, 1200…
Primos Números Naturales
Reales 7/8 = 0.8750, 1.3 = 4/3
Racional
Irracional
–38, –2, 0, 1, 1200...
√2 =1.41421356…, ∏ = 3.14159265…,
Otra de las herramientas que se suelen utilizar para ubicar a los números es la representación en la recta numérica, en la cual puede observase que entre número y número hay infinitos de otros números (densidad), para ello dedica un tiempo a revisar el siguiente esquema.
Imagen obtenida de http://www.geolay.com/pagehtm/aritmet01.htm
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NOTA: es importante mencionar que lo símbolos utilizados para representar a los números (R, Q, Z, IQ y N) pueden variar en otros textos, ya que depende del enfoque y el símbolo que utilice el autor, aunque en el transcurso de este curso los expuestos son los símbolos que se utilizaran. Operaciones con números reales Las propiedades de los números reales nos proporcionan las reglas básicas para manipular las variables y constantes correspondientes a los números, las cuales se aplican en el álgebra, las cuales estudiaremos más adelante. En el conjunto de los números reales (R) hay dos operaciones, denotadas por + y • que se denominan suma o adición y multiplicación o producto, respectivamente. Estas operaciones satisfacen los siguientes axiomas: Axioma
Suma o adición
Multiplicación o producto
Conmutativa
El orden de la suma no altera la suma.
El orden de los factores no altera el producto.
a+b=b+a
Asociativa
Elemento único
a•b=b•a
Para todo a, b pertenece a los números R.
Para todo a, b pertenece a los números R.
La suma de varios números no varía sustituyendo varios sumandos por su suma.
El producto de varios números no varía sustituyendo dos o más factores por su producto.
(a + b) + c = a + (b + c)
(a •b) • c = a • (b • c)
Para todo a, b, c pertenece a los números R.
Para todo a, b, c pertenece a los números R.
Existe un elemento único (cero), 0 que pertenece a los números R, tal que:
Existe un elemento único (uno), 1 que pertenece a los números R, (1 ≠ 0) tal que:
a+0=a
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a•1=a
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Distributiva
No aplica
Para multiplicar una suma indicada por un número se multiplica cada sumando por este número y se suman los productos parciales. Para multiplicar una resta indicada por un número se multiplican el minuendo y el sustraendo por este número y se restan los productos parciales. a • (b + c) = a • b + a • c Para todo a, b, c pertenece a los números R.
Continua investigando y leyendo sobre los números reales, te percatarás que después de todo no son tan complicados.
Operaciones con números racionales Te recordamos que los números racionales son un conjunto formado por todos los números que se pueden escribir en la forma:
m m n n Donde m y n son enteros, y n es diferente de 0 (n ≠ 0). Los números racionales tienen representaciones decimales repetitivas (periódicas). En síntesis los números racionales son todos los números posibles de ser expresados como fracción.
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Las fracciones, conocidas también como ―quebrados‖, son muy útiles en la vida cotidiana. Por ejemplo, cuando vamos al mercado a veces sólo compramos ½ o ¼ de kilo de algún producto. Esto también sucede en las áreas de ingeniería, donde la relación entre variables no es uno a uno. Un número fraccionario o quebrado es el que expresa una o varias partes iguales de la unidad principal, en la cual una unidad principal es la unidad elegida y unidades secundarias son cada una de las partes iguales en que se divide la unidad principal. Si la unidad se divide en dos partes iguales, estas partes se llaman medios; si se dividen en tres partes iguales, estas partes se llaman tercios; en cuatro partes iguales, cuartos; en cinco partes iguales, quintos, etc. Una fracción consta de dos términos, llamados numerador y denominador: Numerador
m n
Denominador
El denominador indica e cuántas partes iguales se ha dividido la unidad principal, y el numerador, cuántas de esas partes se toman. Así, en la fracción tres cuartos ¾, el denominador 4 indica que la unidad se ha dividido en cuatro partes iguales, y el numerador 3, que se han tomado tres de esas partes iguales. En el quebrado siete novenos 7/9, el denominador 9 indica que la unidad se ha dividido en nueve partes iguales y el numerador 7, que se han tomado siete de esas partes. Toda fracción puede considerarse como el cociente de una división en la cual el numerador representa el dividendo y el denominador el divisor. Dividendo
Numerador
m n
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Denominador
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Así, 2/3 representa el cociente de una división en la cual el numerador 2 es el dividendo y el denominador 3 es el divisor. En efecto, si 2/3 es el cociente de la división de 2 entre3, multiplicando este cociente 2/3 por el divisor 3, debe darnos el dividendo 2 y efectivamente: 2 tercios por 3 = 2 tercios + 2 tercios + 2 tercios = 6 tercios = 2 porque si 3 tercios constituyen una unidad, 6 tercios, que es el doble, formarán dos unidades. Clases de fracciones Fracciones
Fracciones
Concepto
Comunes
Son aquellos cuyo
Fracciones Son aquellas cuyo numerador
denominador no es
propias
es menor que el denominador:
la unidad seguida
2/3, ¾, 5/7.
de ceros, como ¾,
Fracciones Es aquella cuyo numerador es
7/8, 9/13.
impropias
mayor que el denominador: 3/2, 4/3, 7/5.
Fracciones Son aquellas cuyo numerador iguales
Decimales
a es igual al denominador: 6/6,
la unidad
7/7, 8/8.
Son aquellos cuyo
Fracciones
Son aquellas cuyo numerador
denominador es la
propias
es menor que el denominador:
unidad seguida de
2/3, ¾, 5/7.
ceros, como 7/10,
Fracciones
Son aquellas cuyo numerador
9/100, 11/1000.
impropias
es igual al denominador: 6/6, 7/7, 8/8.
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Fracciones iguales la unidad Equivalentes
Son aquellas cuyo numerador
a es igual al denominador: 6/6, 7/7, 8/8.
Son equivalentes si después de amplificar o simplificar los quebrados se obtiene dos fracciones iguales, por ejemplo 2/3 y 4/6.
Mixtas
Es la que consta de entero y quebrado: 1 ½, 5 ¾. Todo número mixto contiene un número exacto de unidades y además una o varias partes iguales de la unidad.
Reducción y simplificación de fracciones
Para convertir un mixto ha quebrado se debe seguir la siguiente regla: Se multiplica el entero por el denominador, al producto se añade el numerador y esta suma se parte por el denominador, por ejemplo: Convertir 5 2/3 en quebrado impropio 5 2/3= 5 x3 +2 = 17
3
3
Simplificar una fracción es convertirla en otra fracción equivalente cuyos términos sean menores. Para simplificar una fracción se dividen sus dos términos sucesivamente por los factores comunes que tengan, por ejemplo: Reducir a su más simple expresión 1350/2550 Primero dividimos 1350 y 2550 por su factor común 10 y obtenemos 135 y 255; dividimos 135 y 255 por su factor común 3 y obtenemos 45 y 85; dividimos 45 y 85 por su factor común 5 y obtenemos 9 y 17. Como 9 y 17 son primos entre sí, la fracción 9/17 es irreducible y es equivalente a 1350/2550 porque no hemos hecho más que dividir los
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dos términos de cada fracción por el mismo número con lo cual el valor de la fracción no se altera (354). 135010/2550 = 1353 /255 = 455/85 = 9/17
Operación
Operaciones con fracciones Procedimiento Ejemplo
Suma
Se
suman
numeradores
los y
esta
suma se parte por el denominador Se
7/9 + 10/9 + 4/9 7/9 + 10/9 + 4/9 = 7 + 10 + 4 = 21 9 9
común.
simplifica
= (simplif.) = 7/3 = 2 1/3
el
resultado y se hallan los enteros si los hay. Resta
Se
restan
numeradores
los y
esta
7/12 – 5/12 7/12 –5/12 = 2/12 = (simplif.) = 1/6
diferencia se parte por el
denominador
común. Se simplifica el resultado y se hallan los enteros si los hay. Multiplicación
Para multiplicar dos o más fracciones se multiplican los
5/7 • 3/4 •17/8 5 • 3 • 17 = 255 = 1 31/224 7 4 8 = 224
numeradores y este producto se parte por el producto de los denominadores. El resultado se simplifica
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y se hallan los enteros si los hay. División
Para dividir dos fracciones se multiplica el dividendo por el divisor invertido. Se
14/55 ÷ 8/35 14 ÷ 8 = 14 • 35 = 7 • 7 = 49 = 1 5 55 35 55 8 11 4 44 44
simplifica el resultado y se hallan los enteros si los hay.
Te recomendamos continuar con el estudio de las operaciones con fracciones.
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