Tabla de Especificaciones

TABLA DE ESPECIFICACIONES DE ASIGNATURA

CARRERA: Licenciatura en Matemática NOMBRE DE LA ASIGNATURA: Geometrías no euclidianas

CUATRIMESTRE: Décimo

HORAS POR ASIGNATURA: 72 RESPONSABLES METODOLÓGICOS: Juan Antonio Gómez Aguilar.

ELABORÓ: Dr. Carlos González Flores

VALIDÓ: Jacqueline Pérez López

FECHA DE ENTREGA: no.

La presente asignatura le proporciona al alumno la capacidad de aplicar las competencias adquiridas en las materias de Geometría, introducción al Pensamiento Matemático, Geometría Analítica y Algebra Lineal I. En esta materia se te brindarán los axiomas de Hilbert que modelan la geometría euclidiana, a partir de estos, presentan los axiomas que modelan la geometría hiperbólica, que es representada en dos modelos que son: el disco de Poincaré y el modelo de Klein-Beltrami.

Se imparte en el décimo cuatrimestre de la licenciatura en Matemáticas y consta de 3 unidades: En la primera unidad se presentan los axiomas de Hilbert para la geometría euclidiana observando que solo son válidos en el plano, este conjunto de axiomas se dividen en 5 secciones que son: los axiomas de incidencia, intermediación, congruencia, continuidad y paralelismo, los de incidencia afirman las existencia de objetos llamados líneas y puntos, los de intermediación establecen relaciones entre puntos colineales y rectas que inciden en un punto, los de congruencia son los que permiten comparar segmentos y ángulos, el de continuidad permite garantizar que las líneas no tienen huecos y el de paralelismo el cual su afirmación o negación permite construir otro tipo de geometrías. En la segunda unidad se presentan una introducción a la geometría hiperbólica, donde se muestran los conceptos de rectas, ángulos, paralelas, perpendiculares, triángulos junto con sus propiedades y contrastando los resultados obtenidos con los clásico dado por Euclides. En la tercera unidad se presenta dos modelos donde son válidos los axiomas de la geometría hiperbólica, que son el disco de Poincaré y el modelo de Klein-Beltrami, también se hace un breve estudio sobre geometría euclidiana necesarios para poder estudiar el concepto de distancia en el disco de Poincaré.

Los contenidos presentados en este curso son fundamentales para los egresados que presenten interés en realizar estudios más profundos en otro tipo de geometrías como la elíptica y la proyectiva, entre otras tantas.

Unidad 1 Axiomas de Hilbert. Esta lista de propiedades se describe las distintas geometrías que posee un espacio. Para ello se mostrará los axiomas de incidencia, e orden, congruencia, paralelos y continuidad.

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TABLA DE ESPECIFICACIONES DE ASIGNATURA Unidad 2. Geometría hiperbólica. Este es el primer ejemplo de geometría no euclidiana. Donde se revisan el teorema de paralelas y perpendiculares, suma de ángulos, triángulo semejantes, Unidad 3. Independencia del postulado de las paralelas. Aquí se muestra la consistencia de una geometría no euclidiana. Tomando como base el quinto postulado de la geometría Euclidiana

Competencia general Utilizar los axiomas de Hilbert para mostrar la consistencia de otras geometrías distintas a la euclidiana mediante la selección de conceptos similares a los utilizados en geometría euclidiana.

Competencias específicas de unidad   

Utilizar los axiomas de Hilbert, para la comprensión de los conceptos fundamentales de la geometría, mediante el planteamiento de problemas.

Analizar la consistencia de la geometría hiperbólica, para la resolución de problemas geométricos, mediante los conceptos de ángulo, triángulo y perpendiculares Aplicar los axiomas de Hilbert para mostrar la independencia de las rectas paralelas por medio de los modelos de Poincaré y Beltrami-Klein.

Competencias transversales Comunicación  Capacidad de comunicación oral y escrita.  Capacidad de comunicación en

Gestión de información  Capacidad de investigación.  Capacidad de aprender y actualizarse permanentemente.

Pensamiento crítico

Trabajo colaborativo

 Capacidad de actuar  Capacidad de trabajo en ante nuevas situaciones. equipo.  Capacidad crítica y  Habilidades autocrítica. interpersonales.  Capacidad de  Capacidad de motivar y

Sociales  Responsabilidad social y compromiso ciudadano.  Compromiso con la preservación del medio ambiente.  Compromiso con su medio social-

Solución de problemas y toma de decisiones  Capacidad creativa.  Capacidad para tomar decisiones.  Capacidad para identificar, platear y

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TABLA DE ESPECIFICACIONES DE ASIGNATURA segundo idioma.

 Habilidades para buscar, procesar y analizar información procedente de diversas fuentes.

abstracción, análisis y síntesis.

conducir hacia metas comunes.  Capacidad para formular y gestionar proyectos.

cultural.  Valoración y respeto por la diversidad y la multiculturalidad.  Compromiso ético.  Compromiso con la calidad.

resolver problemas.  Capacidad de organizar y planificar el tiempo.  Capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica.

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TABLA DE ESPECIFICACIONES DE ASIGNATURA TEMARIO Unidad

Temas 1.1. Axiomas de intermediación.

1.2. Axiomas de congruencia.

1. Axiomas de Hilbert

1.3. Axiomas de continuidad.

Subtemas

Tiempo estimado (en horas) Por unidad Por tema

1.1.1. Una motivación.

1.1.2. Los axiomas de intermediación.

1.1.3. Consecuencia de los axiomas de intermediación 1.2.1.

1.2.2.

1.3.1.

1.3.2.

Congruencia de segmentos.

Congruencia de ángulos.

Una motivación.

Axioma de Dedekind.

5

20

5 5

1.4. Axiomas de paralelismo.

2.1. Suma de ángulos.

2.2. Triángulos semejantes.

2. Geometría hiperbólica:

2.3. Paralelas y perpendiculares.

2.1.1.

2.1.2.

2.2.1.

2.2.2.

2.3.1.

2.3.2.

Axioma hiperbólico. Ángulos internos de un triángulo.

El postulado de Wallis.

Congruencia de triángulos.

Paralelas que admiten una perpendicular común.

Limitación de rayos paralelos.

7 7 28 7

2.4. Clasificación de las paralelas.

7

3.1. Modelo de Beltrami-Klein.

6

3.2. Modelo de Poincaré.

3. Independencia del postulado de las paralelas:

5

6 24

3.3. Perpendicularidad en el modelo de Beltrami-Klein.

3.4. Inversión en círculos en el modelo de Poincaré.

6

3.4.1. Algunos resultados de geometría euclidiana.

3.4.2. Longitud de Poincaré.

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TABLA DE ESPECIFICACIONES DE ASIGNATURA Unidad:

Competencia específica/ Nivel taxonómico

Utilizar los axiomas de Hilbert, para la comprensión de los conceptos fundamentales de la geometría, mediante el planteamiento de problemas.

Utilización (4)

1. Axiomas de Hilbert

Componentes de la competencia

Contenido declarativo:  Axiomas de Hilbert o Axioma de intermediación. o Propiedades de congruencia o Definición de continuidad. o Concepto de paralela.

Contenidos procedimentales  Demostración de propiedades a partir de definiciones básicas.

Contenidos actitudinales:  Ética  Capacidad de análisis  Actitud propositiva  Paciencia  Organización  Administración de tiempo  Interés por el ámbito de la investigación Aspectos contextuales: 

Logros de la competencia/ Nivel taxonómico del logro

1.

Identificar los axiomas de Hilbert Comprensión (2)

Resolver problemas a través de los axiomas de Hilbert Utilización (4)

Metodología Enseñanza-Evaluación Aprendizaje basado en la resolución de problemas (ABP) Evaluación del aprendizaje Desempeños y productos que evidencien el dominio de los logros Evaluación continua E-portafolio Interacciones (Ponderación de la individuales y Tareas evidencia/ colaborativas Autorreflexión Actividad 1. El quinto Actividad 2. Axiomas de Evidencia de postulado de Euclides. división y congruencia. aprendizaje. Solución de A partir de una serie de Resolver los ejercicios problemas aplicando los preguntas relacionadas aplicando propiedades axiomas de Hilbert con quinto postulado de obtenidas de los axiomas El estudiante aplicará los Euclides, subir una de división y congruencia axiomas de Hilbert en la aportación al foro y solución de problemas participar en la Logros 1.1 y 1.2 geométricos. discusión.

Logros 2.1 Porcentaje: 30% Actividad 3. Axiomas de continuidad y paralelismo Resolver los ejercicios aplicando propiedades obtenidas de los axiomas de continuidad y paralelismo Logros 1.3 y 1.4

Autoevaluación No ponderable Quizz de 10 preguntas

Identificar los axiomas de Hilbert.

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TABLA DE ESPECIFICACIONES DE ASIGNATURA Unidad:

Competencia específica/nivel taxonómico

Analizar la consistencia de la geometría hiperbólica, para la resolución de problemas geométricos, mediante los conceptos de ángulo, triángulo y perpendiculares Utilización (4)

2. Geometría hiperbólica

Componentes de la competencia

Contenido declarativo:  Ángulos  Triángulos.  Paralelas.  Perpendiculares Contenidos procedimentales:  

Suma de ángulos.

Criterios de semejanza de triángulos.  Clasificación de las paralelas Contenidos actitudinales:       

Ética Capacidad de análisis Actitud propositiva Paciencia Organización Administración de tiempo Interés por el ámbito de la investigación Aspectos contextuales: 

Logros de la competencia/ Nivel taxonómico del logro

1.- Analizar la suma se ángulos en la geometría hiperbólica.

Utilización (4) 2.- Analizar los criterios de congruencia de triángulos en la geometría hiperbólica.

Utilización (4) 3.- Analizar la clasificación de las rectas paralelas en la geometría hiperbólica.

Utilización (4)

Metodología Enseñanza-Evaluación Aprendizaje basado en la resolución de problemas (ABP) Evaluación del aprendizaje Desempeños y productos que evidencien el dominio de los logros Evaluación continua E-portafolio Interacciones (Ponderación de la individuales y Tareas evidencia/ colaborativas Autorreflexión Actividad 1. Postulado Actividad 2. Suma de Evidencia de de las paralelas ángulos y triángulos aprendizaje. Geometría semejantes hiperbólica A partir de una serie de Resolver los ejercicios El estudiante aplicará los preguntas relacionadas aplicando propiedades conceptos con la geometría obtenidas a partir de los fundamentales de hiperbólica, subir una conceptos de ángulos y geometría hiperbólica en aportación al foro y triángulos la solución de problemas participar en la Logros 1 y 2 geométricos. discusión.

Logro 2 y 3 Logros 1 Actividad 3. Paralelas y perpendiculares Porcentaje: 40% Resolver los ejercicios aplicando propiedades obtenidas a partir de los conceptos paralelas y perpendiculares Logro 2 y 3

Autoevaluación No ponderable Quizz de 10 preguntas

Cálculo de la serie de Fourier

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TABLA DE ESPECIFICACIONES DE ASIGNATURA Unidad:

Competencia específica/nivel taxonómico

3. Independencia del postulado de las paralelas

Componentes de la competencia

Contenido declarativo:  Modelos de Poincaré.  Modelos de Beltrami-Klein.

Contenidos procedimentales:

Aplicar los axiomas de Hilbert para mostrar la independencia de las rectas paralelas por medios de los modelos de Poincaré y Beltrami-Klein.

(Aplicación, 4)



Perpendicularidad en el modelo de Beltrami-Klein  Propiedades euclidianas de la inversión de círculos.

Contenidos actitudinales:  Ética  Capacidad de análisis  Actitud propositiva  Paciencia  Organización  Administración de tiempo  Interés por el ámbito de la investigación Aspectos contextuales: Consistencia de geometrías sin el axioma de las paralelas.

Logros de la competencia/ Nivel taxonómico del logro

1. Aplicar otros modelos geométricos consistentes.

Utilización (4) 2. Identificar las características propias que tienen los modelos Beltrami-Klein y de Poincaré.

Análisis (3)

Metodología Enseñanza-Evaluación Aprendizaje basado en la resolución de problemas (ABP) Evaluación del aprendizaje Desempeños y productos que evidencien el dominio de los logros Evaluación continua E-portafolio Interacciones (Ponderación de la individuales y Tareas evidencia/ colaborativas Autorreflexión Actividad 1. Métodos Actividad 2.

Evidencia de de solución aplicados Problemario. modelos aprendizaje. (foro) de Beltrami, Klein y Independencia del A partir de una serie de Poincaré postulado de las preguntas relacionadas Resolver los ejercicios paralelas con los modelos de relacionados con los El estudiante utilizará los Beltrami-Klein y de modelos de Beltramimodelos Beltrami-Klein y Poincaré.

Klein y de Poincaré de Poincaré en la Logros 1 y 2 Logros 1 y 2 resolución de problemas geométricos.

Actividad 3. .

Logro 1 y 2 Perpendiculares e inversión de círculos Porcentaje: 30% Resolver los ejercicios aplicando propiedades obtenidas a partir de los conceptos de perpendicular e inversión de círculos Logros 1 y 2

Autoevaluación No ponderable Quizz de 10 preguntas

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