Grupos by PDLM

El original inglés de esta obra se publíió como el Volumen 16 de la colección PROBLEM SOLVERS a cargo de L. Marder, Profesor Titular de Matemáticas

de la Universidad de Southampton, lnglaterra

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DE PRoBLEMAS

nEsutlTos

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GRffiPffiS

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D.A.R. Wdlace Profesor de Illatemรกticas de la Universidad de Stirling,

lnglยกterta

E D I T O R IAL

tExlco ยก-_

L Iil'I U SA 1978

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Título de la obra en inglés: GROUPS @ 1974, George Allen & Unwin Ltd. Versión española:

HERNAN PEREZ CASTELLANOS Ingeniero lndustrial, Profeso¡ Titular de Matemáticas de la Escuela Superior de lngeniería Mecánica y Eléctrica del Instituto Poütécnico Nacional de México. Revisión:

ALEJANDRO JAVIER DIAZ BARRIGA CASALES M. en C. en Matemáticas. Matemático, lnvestigador de Tiempo Completo y Catedrático de Matemáticas de la Universidad Nacional Autónoma de México. Todos los derechos reselvados:

I978, EDIToRIAL LIMUSA, s.A. Arcos de Belén Núm 75, México 1, D.F. Miemb¡o de la Cáma¡a Nacional de la Industria Editorial, Registro Núm. l2l Prime¡a edición: 1978 Impreso en México (1 5 86)

116{

Contenido

CONJUNTOS, APLICACIONES, RELACIONES

1.1 Conjuntos 1.2 Aplicaciones 1.3 Relaciones de equivalencia

t5 99

2 SEMIGRUPOS, GRUPOS 2.1 Semigrupps 2.2 Introducción a los grupos 2.3 Subgrupos 2.+ Homomorfismos v

3 PRODUCTOS DIRECTOS, 3.1 Productos directos 3.2 Grupcs abelianos

27 27 36 46 58

GRUPOS ABELIANOS

INDICE

73 73

4 SIMETRIA, GEOMETRIA 4.1 Grupos de permutaciones 4.2 Orbitas, estabilizadores 4.3 Grupos de simetría 5 OTRO ESTUDIO SOBRE TEORIA DE 5.1 p-Grupos, subgrupos de Sylow 5.2 Grupos solubles

93 93 IOir

r06

GRUPOS

12il 125 132

Capítulo 1 Conjuntos, aplicaciones, relaciones CONJUNTOS En el lenguaje cotidiano se usan indiscriminadamente las palabras "reunión", "cla-se", "grupot', "conjunto", etc., 1.1

para denotar colecciones de objetos semejantes. Los matemáticos usan únicamente la palabra conjunto con el fin de denotar una coleccióh arbitraria y la palabra etemcnto para un miembro de la colección o conjunto. En este libro, se usarán letras mayúsculas para denotar a los conjuntos y letras minúsculas para denotar a los elementos' Para indicar que el símbolo a es un elemento del conjunto ,4, se escribe a e A y esto se lee como "a es un elemento de A" , Por tanto, si ,4 consiste de los enteros 4, 5, 6, 7, B, se escribe 4 e A y para indicar que z4 consiste de estos números, se usan llaves y se escribe A : {4,5,6,7,8}. En general, si el conjunto.¿4 tiene un número finito z (digamos) de elementos distintos ay, a2, ... t an se escribe

(l.l) A -- {a,a2,...,a,} . Nótese que como sólo interesa la totalidad de los elementos en .r{, el órden de estos elementos en el interior de las llaves no tiene importancia, por tanto, {4,5,6,7,8}

{5,7,4,8,6}

{8,7,6,4,5}

Cualquier subcolección B d,e r elementos (r {ar,ar,...,a,} es de la forma

B: {arr,a¡r,...,a¡,\ 7

> l)

...

(1.2)

del conjunto z{

GRUPOS

a,. son distintos y cada a, es alguno de los a, p^ra algún f (l < ¿ ( n). Una subcolección B de este tipo recibe el nombre de subconjunto de ,4. Los conjuntos {4,5,6,7},{4\, {5,6} son donde los

todos subconjuntos de {4,5,6,7}.

Problema 1.1 El conjunto r4 consiste de los elementos a, b, c, d, (que se supone que son todos distintos). Escríbanse todos los subconjuntos de .r4 que tengan por lo menos un elemento. solución. Primero se observa qrre z4 es un subconjunto de .¿{. Exlsten cuatro subconjuntos de .,4 que tienen tres elementos cada uno' a saber {a,b,c\,{a,b,d\,{a,c,d\,{b,c,d}. Hay seis sutrconjuntos de .,4 que tilnen cloi elementos cada uno, a saber, {a,b},{a,c},{a,d}, elemento cada uno, {b,c}, {b,d\, {r,d\ y cuatro subconjuntos con un EI a saber, {o}, {b}, {t}, {d}. un de subconjunto un Resulta convenienté considerar, como conjunto.r{, el conjunto que consiste de ningún elemento; este conjrrnto ,e llama conjunto uacío y se denota por Q $na letra del alfabeto escandinavo), se dice que los otros subconjuntos de '4 son

no uacíos. Por tanto, el conjunto {1,2,3\ tiene ocho subconjuntos nótese que se hace una {1,2,3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1}, {2}, {3\, @: bttí"á¿ti eitr" "l-elemento 3 (digamos) y el conjunto {3} que 3 únicamente consiste clel elemento

Problema 1.2 Sea ¡1 el conjunto que tiene ¿ elementos distintos a1 , a2 t. , , , er. Probar que z4 tiene exactamente 2r subconjuntos distintos.

Solución. Se tiene ,q : {a, a2,. . ., an}. Cualquier subconjunto no vacío de ,4 que co¡rsiste de r elemetrtos distinto.s (r 2 l) es de la forma {4,, ,eiz,. .,ar.}, donde los ai. son distintos y donde no tiene importancia el orden en que están colocados los c,-. Por tanto, el número de subconjuntos de ¡ elementos es el número de maneras de seleccionar r elementos a partir de ¿ elementos, este número es

el coeficiente binomial

(:)

De aquí que el número total de sub-

CONJUNTOS, APLICACIONES. RELACIOn-ES

conjuntos, incluyendo n

mio, se tiene 1+

/ \

I+fLJ\rf') I

y, por el teorema del bino-

/= [ \ /

tL ln ) : (t +U :1". \r/

Problema 1.3 , á=rtá",", subconjtrntos pueden formarse de las letras de la palabra "matemáticos"?

partir

Solución. Algunas de las letras está,n repetidas y, por tanto, conjunto :4 que consiste de las letras de "matemáticos" es A : {m,a,t,e, i,c,o,s}. Se I'e que á tiene 8 elementos y, por consiguiente, z4 tiene 28 : 256 subconjuntos. E Hasta aquí sólo se han mencionado conjuntos finitos, mientras que muchos de los conjuntos que se encuentran en las matemáticas poseen una infinidad de elementos. Así,, el conjunto Z de todos los enteros e.s infinito y se escribe

{0, +1,

+2,...},

(1.3)

los puntos indican que los enteros se continúan en la manera obvie l'Z'por Zahl (del alemán) - número]. No siempre es posible el uso de los puntos y, con frecuencia, un conjunto se especifica por medio de alguna propiedad P (digamos) : se escribe

{,x :

x tiene la propiedad P}

(1.4)

pará denotar el conjunto que .consiste precisamente de aquellos x que tienen !a propiedad dada P. En esta notación se tiene

: {x:x :0, +1, +2,...}. El conjunto de los enteros pares entre I y 10 inclusive es 2dividead {n:neZ, l(n(10, Problema 1.4 Probar que el conjunto A : {n : n e Z, n2 q Z: {*:xes

finito

un entero}

(1.5)

(1.6)

Solucíón..,4 es el conjunto de los enteros cada uno de los cuales tiene un ctradrado cuando más igual a 9. De donde A : {-3, -2, -1,0,1,2,3) , el cual es finito. tr Si X es un subconjunto de un conjunto Y se escribe X c y y esto se lee "X está contenido en o es igtral a Y,' , de donde X c y si y sólo si x e X irnplica que r € y. X es un subconjunto proltio de

GRT]POS

Y si X Y y X + y. Dos conjuntos X y Y son iguales si y solo = exactamente los mismos elementos; en consecuencia, si tienen X : Y si y sólo si X c Y y Y c X. Si r no es un elemento del conjunto z{ se escribe tc + A y si X no es un subconjunto del conjunto g .¿{ se escribe X * A. Por tanto 3 eZ pero lSZ y {a,i,u}

{a,c,i,o,u} pero {u,b} É {a,e,i,o,u}. Los números de la forma \ (*, , e Z, n # 0)

se llaman

núrnero.s racionalés, denotándose -el conjunto de los números racionales por A ('A' por "quotient" ldel inglés) ), por tanto

.* : {. ,*:::

m,nez, , *

(l'7)

to" elementos de CD, el cual evidentemente Los número, +,?, *,f contíene a Z como un subconjunto propio. Problema

1.5

¿Cuál'es ix : x €

2\?

Solución. Se sabe que ./2 no es un número racional y, por tanse menciona no tiene elementos, en otras palabras

to, el conjunto que

{x:xeQ, x':2\:ñ. Problema 1.6 Sean r4 el conjunto

de los enteros desde I hasta 7 inclusive y B el conjunto de los enteros pares entre 1y 13' Escribir A y B en la notación le la teoría de los conjuntos' Sean X el conjunto de los enteros c nunes tanto a A como aBy Y el conjunto de los enteros que se encuentran en l, o bien, en B. Encontrar X y Y'

Solución. A : {n:nez, I ( n (

: {1,2,3,4,5,6,7} B: {":x:2n, neZ, I <x< : {2,4,6,9, 10, l2},

: {2,4,6\,

13}

{1,2,3,4,5,6,7,8,10,12\'. tr

elementos comunes a dos conjuntos dados A y B se llama intersección de. A y B, se escribe A a B. Evidentemente, A ¡B: B n Ay A ¡A: l. El conjunto de elementos en cualquiera de dos conjuntos dados ,4 y B se llama uníón de z{ y B, se escribe A v B. Evidentemente, A v B : B o A y A v A': A.

El conjunto de

GONJUNTOS, APLICACIONES, REL,{CIONES Sean .,4,

Problema

1.7

AnB:

Sean z{, B conjuntos. Probar que

,{ c B si y sólo sr

Solución.

c B . A partir de las de¡ Xc BnX c B. y A c AwX c BvX.

conjuntos tales que ,4

finiciones se tiene A

Si,,4c8;se

tiene

A =A¡A c A¡B 9 Ay, por tanto,

AaB.Inversamente, si ,4 ¡B: r4. se tiene A: A¡B De modo semejante se puede demostrar que ,4 c B si

AvB: B.

g B.

v sólo si

tr problemal.8 Sean A:{1,3,5,7,9,11\, B:{1,5,8} y C: {12,13}. Escribir AaB, BnC, (AaB)aC, An{BoC), AwB, BwC,

(AvB)vC, Av(BwC).

Solución.AnB : {1,5},BnC : @,{AaB)¡C : ñ : Aa(B¡C), AvB : {1,3,5,7,8,9, I l}, BwC : {1, 5,8, 12,13\, (AvB)vC - {1,3, 5,7,8,9,1l, 12, 13} : Av(BvC\. Se observa que

(,4nB)nC

el conjunto de los elementos comu-

se omiten los paréntesis y este conjunto se escribe como z4nBnC. De manera semejante se escribe AvBvC en lugar nes

A, B,

(.4u8)uC.

Sean .'4, , A2,..., An , conjuntos. La intersccción de estos n conjuntos se define como el conjunto de elementos comunes a todos

los z{¡ y estos

denota por AroAro...n.z4, o

por ¡ O,. La unión j= t

n conjuntos se de'fine como el conjunto de los elementos que en por lo menos uno de los ,4, y se denota por

se encuentran

ArwAru ... uáo o por U 4..J j=t z conjuntos A, A2,. , , , An, pueden considerarse como una familia de conjuntos a los cuales se les asocia un índice por medio del conjunto, {1,2,...,n}, es decir, para cada ie{1,2,...,n} se tiene un conjunto Ar. Tal vez, ésta es una descripción tortuosa para un número finito de conjuntos pero la noción se generaliza hacia el caso de una familia de conjuntos cuvo conjunto de índices es un conjunto arbitrano A (digamos), es decir, para cada ).e A se tiene un con-

GRUPOS

,4.^ de la famili a. La inter.¡ección de los AtQ'e A) se define el conjunto de los elementos comunes a todos los A^yse denota por ) ,1,. En trna forma correspondiente se define la

junto como

peA

unión de los A^(),e A) v se le denota

1.9 Sean ,4r : r,i,a\, An: {m,u,n,d,i}.

Problema

por l) peA

Ar.

A, : {t,r'a'n,s' i,l},A3 : {9, l, o, ¿'Cuáles son .4, aAraAroAo Y ArvA, {s,i,c},

vArvAo?

Solución.

Arr-tAroArnAo : {i},

ArvArvArvAo:

l,m,n,o,r,s,t,u}.

{a,c,d,g,i,

1.10

f)enotpmos por R al conjunto de los números reales y sean A,B,C los strbconjuntos de R dados por A : {*; x € R,

Problema

:xeR, -2 0(x<3), B:{x:xeR, -l(x<2},C:{x ( x ( l). Demostrar que Aa(BvC) : (A¡B)v(A¡C) y que Av(BoC\: (AvB)a(AvC). Solución. Antes de probar los resultados haremos dos observa-

ciones. Primero, la notación 0 ( x ( 3, por convención establecida desde hace mucho tiempo, implica que r es un número real v, por

tanto. sin pérdida de claridad, se escribe

: {*:0(

x < 3},,B :{x:

-l (

(

2},C

: {x: -2(

x ( l}.

hecho, A, B, C son inten'alos cerrados sobre la recta real. La f igrrra 1.1 dehe ayrrdar a comprender el argumento.

Segundo, de

-2

-1

o1 Figura

1.1

CONJUNTOS, ,{PLICACTONES.

REL,\CrON!.S

: .Bu9 ( ({x: _-2( x ( 2}, A¡B : {x:0 ( x ( 2}, A¡C: {x: 0 x 1}. De donde, Aa(BvC): {x:0 ( x ( 2} : (AaB) u (AaC). Tambiénsetiene BaC: {x:-1(x{1}, AwB: {r' -1 < x ( 3}, AwC: {x: -2 ( x ( 3}. Por tanto, Av(BaC): {x:-1( x < 3}: (AvB)a(AvC). tr Se tiene

Puede establecerse que para tres conjuntos cualesquiera A, B, C, las operaciones rr y u están relacionadas por medio de las fórmulas:

An(BvC): (AoB)w(AaC\ Av(BaC): (AvB)o(AvC).

(1.8) (1.e)

Estas fórmulas admiten fáciles generalizaciones. Por consiguiente, se tiene

si B, , 8r,..., B, son n conjuntos.

en1[J a,¡ j=r n

1u(l I j=

: l) {tan,\

(1.10)

B,)

: ),ltva,)

(l.l r)

y para una familia de conjuntos con índices asociados por rnedio dc un conjunto A con B^Q.e z1) como un con.iunto típico de la familia,

1n(U B,) : U ltoB,) UeA tteL Au((j B,) peA

Problema 1.11 Probar

: ){,tvn,).

la fórmula

(1.12) (1.13)

peA

1.8

Solución. Primero se probará que Ao(BvC) e (AaB)v(AoC). Sea xeAa(BvC). EntoncesxeAy xeBvC. Como xeBwC, xeB ó xeC. Si x€.B, entonces xeA y xeB y, por tanto, x e AnB. De acluí que x e (AoB)v(AaC). De modo semejanie, si x e C , se deduce qr¡e x e (AnB)v(AnC) y, en consecr¡encia, sc ha demostrado que.4n(BuC) c. (A^B) v (AnC).Ahora se probará que

(AaB)v (AaC) c An(BvC). Sea y e (AoB)v(AnC). Entonces yeAaB o yeAaC. Si yeAnB entonces yeA y yeB, dedondc, evidentemente,yeA y yeBuC, de aquí que ye,4n(BuC). De modo semejante, si y e AoC, se deduce que .y e Aa(BvC) y, por lo tanto, se ha demostrado que (AaB)v(AoC) c Aa(BvC). tr

GRUPOS

Sean A,X,Y conjuntos tales gue AnX : AaY Probar que X : f. Solución, Supuesto que X c XwA, se tiene, por el Problema 1.7, que Xn(Xu,4): X y q.re Yn(YvA): f. De aquí que Problema

l.l2

y AvX : AvY.

X : Xn(XvA): Xn(YvA)

: (XnY)u(XaA) (porl.8) : (XnY)u(YoA\ : (YnX)u(fn,{) : Y ¡(YvA) (porl.8)

-f.

Estamos acostumbrados a representar los puntos del plano euclidiano como parejas ordenadas (x, y) de los números reales ¡ y y, sien' do importantísimo el orden de 'la pareja ya que, por ejemplo, (5, B) y (8,5) son puntos distintos. En una forma semejante, dados dos conjuntos X y Y, se forma el conjuntq denotado por X x Y, de parejas ordenadas de elementos de la forma (x,y) (xeX,yeY), es decir,

XxY: {(x,y):xeX,

yeYl¡.

(1.14)

El conjunto X x Y se llama producto cartesiano de X y Y (en honor de R. Descartes, matemático y filósofo francés, 1596-1650). Entonces, el plano euclidiano, considerado simplemente como un conjunto de puritos, es el conjunto R x R. A veces, el conjunto de los números complejos, denotado por C, se presenta como un conjunto de parejas ordenadas de números reales (con leyes apropiadas de la adición, etc.) y, por consiguiente. puede escribirse O: RxR. Problema

y YxX.

1.13

Sean

: {1,2} y Y:

Solución Xxy: YxX:

{a,b}. Encontrar XxY

{(1, a), (1, á), (2,a),(2,b)) {(a,l),(a,2),(b, l), (b, 2)}.

Las nociones anteriores se extienden para formar el producto XrxXrx....xXo de los n conjuntos X,X2r...rX.

cartesiano

tomados en orden. De donde.

xie

X., i : 1,2,.,,,n\.

XrxXrx...xXr:

{(x' x2,...,x"): (1.15)

CONJUNTOS, APLICACIONES,

Problema

1.14

(i:1,2,...,n).

RELACTONT,S

Sea X, un conjunto finito que tiene ¡. elementos Probar que XrxXrx...xXn tiene rrr2...tr

elementos.

la n-ada(x* xr,..., xo) existen r, posibilidades para x2 y así sucesivamente. Estas posibilidades son independientes y, por tanto, se llega al resultado. tr Solución. En

.xl , 12 posibilidades para

1.2 APLICACIONES Con frecuencia, en las matemáticas se tiene interés en las maneras de asociar un conjunto con.otro; dado xeR, puede formarse sen ,r y se sabe, por las propiedades de ta función seno que sen x puede ser cualquier número real entre I y + I

inclusive; en términos no demasiado precisos, la función seno asocia

con R alconjunto {y' -l (y(

l}.

Engeneral, seanX y

dos

conjuntos no vacíos, si con cada x e X puede asociarse, por algún medio dado, un elemento determinado de modo único f(x)eY; entonces puede decirse que / es una funcrión o aplicación de X en y. Se usa cualquiera de las dos notaciones que siguen

f:X->Y

(r.16)

xLy

(1.17)

para indicar que X, Y son conjuntos no vacíos y que f es una aplicación de X hacia Y. Se dice que l(x) esla imagen de x bajo l. X recibe el nombre de dominio de I y el subconjunto de Y que consiste de todos los elementos de la forma /(x) se llama ranso de f, o bien, imagen de f. Denotemos la imagen bajo I por Im o por f /(X), por

tanto,

J'6):lmJ' : {y:yeY, y: f'(x)para alguna xeX1,. (l.lg) La función seno tiene el dominio R, aplica a R en R y tiene la a {y'-t (y( l}. Como un ejemplo más, si X: y {p,q,.,s,t} si y: {-1,2,4} entonces se define rrna aplicación J...:.X - )' al hacer l'(p) : -1, í@): -1, .l'G):2, f'(s):2, f'(t):2, aquí f tiene el dominio X e Im f : {-1,2}. imagen igiral

C;RLIPOS

l.tS Sea A : to, b, c), N : {1,2,3,4]. Sea g: A - N definida por S@):2, S(b):3, g(c):3. ¿_Cuál es el dominio y Probloma

el rango de la aplicaciín

Solución. Por la definición de g, el dominio es r{. Evidentemente,

Ims

: {2,31.

tr /(x) está determinada de modo único por r, muchc.i elementos de X pueden ser aplicados en el mismo elemento de Y. Por esta razón, a / se le da en ocasiones el nombre de aplicación muchos a un.o. Nótese qrre, aunque

Ciertas ap'licaciones tienen importantes papeles en otras ramas de las matemáticas así como en la teoría de grupos. Los ejemplos que se usan a continuación con el fin de ilustrar algunos de los conceptos, no han sido tomados necesariamente de la teoría de grupos o inclr¡so de un contexto algebraico. Problema 1.16 Sea X: {x:xeR, 0<*} y J':X -R definida pol J|.x):2xl$+l) (xeX). Probar que lmJ: {y:yeR, 0 ( y < 2)y que si x, ,xzeX y xr * x2 entonces J'!r) * l'k).

Solución. Primero se probará xe

entonces

que

0( x y, por tanto,

lm J' c. {y

o"#:,('-*) -'

:0 ( y < 2}.

Sea

(l.le)

De donde, /'(x) e {y :0 ( y < 2l y, por tanto, Im 7' c {y: 0 ( y < 2\¡. Para probar que Im J' : {y:0 ( y < 2}, se requiere demostrar que para cualquier número real f, 0 < t < 2, puede hallarse un ní¡mero real positivo .s tal que : f.'En otras palabras, "/(s) ¿.existe un número rt:al positivo .r tal que 2s/(s+ l) : ¿ cuando 0 < r < 2? Por:ilgebra simple, s: tlQ-r) y de aquí que s ) 0, de donde se tiene J'ftlQ-t)): f, donde tlQ-t) ) 0. Esto establece

ImJ':{y:0(y<2}. X talc¡s qr¡e Í'(xr) : l'@z). Se desea demostrar que xr : xz. Se tiene 2xrl@r+l): 2xrl$ril) y nuevamente, por simple álgebra, xt : xz. Esto completa la solución. tr Sean X, Y conjuntos no vacíos y Í': X que tal xl Y X, ,x2€ xt + xz implica que /(x, ) + 1'1xr), 1de modo equivalente, J'@r) :

que

Sean .r, ,x2e

T CONJUN-I'OS, APLIC.\CIONES,

;

implica

Problema

1.17

Sea

(lonstruir una invección

entonces f recibe el nombre de apiicación uno a uno. Una áplicación uno a uno también recibe el nombt't: de int,ección o sc dicc que es int'crtit'a.

/'(xr)

que xt:

RELACIONES

xz)

{s. a, b. i, de

{e, tr. c, l, i, d, e, s}'

hacia Y.

Solución. Siempre que se defina f de modo que l1s),1(u), /(b)' l(t), /(o) sean todas diferentes, se tiene una inyección' Como un ejemplo partictrlar', sean i (.) : u, lia) : c, i lb) : e, /(i): s, /(o) : d, entonces

es una

invección.

1.18 SeanY:{y:ye R, 0<y}y /':R'Ydefinida por J$\: x2(xe R). Probal que Iml : Y pero que f no es una Problema

aplicación uno a uno.

real Solución. Sea y € R, y ) 0. Entonces Jy "t un número positivo y, por tanto, J'("Jy): (Jy\' : y, de aquí que lmJ' : ytr f no es uno a uno puesto que /(-l): (-l)' : I : /U). que y supóngase no vacíos qtre X, Y son conjtrntos Clonsidérese /: X - Y es tal que Im/ : Y, entonces se dice que t' aplica a X .¡obrc Y y I recibe el nombre de aplicacíón .tobre. Una aplicación sobre también recibe el nomhre de rupral'ección o se dice que es su

prayectit'a.

Por tanto, si /' : X - Y es una aplicación, f es inyectir.'a si elementos distintos de X tienen imágenes distintas en Y bajo f y f "t strprayecti"'a si todo t'lemento dc I es la imagen de algún elemen-

to de X. Problema l.l9 Sean X : {g, a, l, o, i, s} Constrúyase una supravección de X hacia Y. Solución. Siempre que se defina

can entre

y Y : {s, a, b, i, o}. s, a, b, i, o aparezse tiene una suprayec-

de modo que

/(s), /(a), /(l), l(n), lti), l(r),

ción. Como un ejemplo particrrlar, sean /1g) : s, l(a) : ¿, /(l) : b, l("): i, l(i): o, l(.): o, entonces / es trna suprayección. tr Una aplicación que es tanto una inyección como una suprayección recibe el nombre de bi1'ección y se dice que es biyectit'a; en otras palabras. una aplicación bivectiva es tanto uno a uno como sobre.

GRUPOS

X un conjunto no vacío, la aplicación t* en X definida por x(x e X) se llama aplicación identidad sobre X. La aplicación identidad sobre X deja a los elementos de X fijos, evidentemente ,x Sea

tx :

biyectiva. Nótese que se considera que dos aplicaciones f :X -son igr.rales si y sólo si /(x) : S$) para todo x e X.

Y y g:X -

Problema 1.20 Constrúyase una biyección que f no sea la apiicación identidad sobre

tal que

- R pero

Solución. Con facilidad se encuentran ejemplos de tales biyecciones. Por ejernplo, sea /(x) : x*l(xe R),.,¡f es uno a uno y sobr.e

pero

f*tw. En trigonometría nos

familiarizamos con expresiones ccm() "sen2xtt, "cos ¡ t', etc. Se piensa en formar "sen x " \,, u continuación, elevar al cuadrado el resultado. Esta noción .se pone en un¿r notación funcional o de aplicación corno sigue: defínanse aplicacio-

;[:R--+R y g:R--+R tales que flr) : x2 y glx) : sen. : (senx)2 : /(sen x): fb@)) y se defin.-, una nueva aplicación h:R-R por medio de h(x\:fb@\: nes

Bntonces se tiene sen2x sen2x (x e R).

Más generalmente, sean X, Y, Z tres conjuntos no vacíos v aplicaciones tales que /; Y -Z,g:X - X l)efínase una aplicación /z tal que h: X --+ Z por medio de

f, g

h(x)

: f(s(x)\

(x e X).

(1.20)

á recibe el nombre de aplicación compuesta de g seguida por A mef. nudo la aplicación compuesta se denota por medio de la llamada notación del círculo o, en lá c'al á : I . g es esa aplicación de X hacia Z definida por U "d@)

: .f'fu(x)) (x e x).

como una ayuda de memoria, restrlta de aplicaciones como

útil escribir esta composición

xsYLz donde

la notación significa que primero

nuaciín

I a Y.

(l.2r)

0.22) se aplica g

a X y, a conti-

CoNJUNTOS, APLICACTONES,

RELACIONES

1.21 Sean/, g,hlas aplicacionesdeRhacia R definidas (xeR), h(x):3x (xeR). (xeR), s@):x-l Evaluar J'" g, g " f , J'"h, h" f'. Solución. Sea x e R entonces, por la ecuación 1.21, Problema

por

/'(x):x+l

U'"d@): 1'@$)): f(x-l) : (x-l)+l : @ " fl(x) : sU'$)) : s(x.r l) : (x+ l)- I : (f'"h)(x): f'(h(*)) : f'(3x) : 3x*l (h"/)(x)

h(x¡

l):

3(x+l)

: 3x+3.

Problema 1.22 Sean X,Y,Z conjuntos no vacíos y l',g aplicaciones tales que ./': Y - Z,g: X '-+ Y. Probar (i) que si f',9 son uno a uno entonces lo es f"g y (ii) que si f,g son sobre entonces

lo es

f .g.

Solución Se riene

Xg yI

J',g son uno a uno. Sean x1,x2 tales que U " d&r) : (f " d$). Entonces f'(s$r)\ : l'@(gr)) v, Pot supuesto que f es uno a uno se tiene g(x, ) : S@r). Ya que. g es uno a uno Xt : Xz. Por tanto, J'og es uno a uno. (i)

Supóngase que

Supóngase que J', g son sobre. Sea z e Z' Entonces, supuesto que : z. Como g es sobre, existc es sobre, existe y e Y ta| que

(ii)

f "f(y) xeX tal que g(x) : y. De donde, (J'.il6): fb@)): f'(y): z E y, por tanto, f og es sobre. Problema 1.23 Sean 17 : {n, e, g, ,, e\, ,X : {g, ., i, s}, , Y : {,v, i, o, l, e, t, a} y Z : {a, z, u, l}. Las aplicaciones 91 ,gz,gt con dominios

Y,X,lIl, respectivamente

g3(n): g, g. (e): r,

están definidas por

(g): i, g¡ (.): 9¡ (o): gz (g): v, gz(r): l, g, ¡i) : t, g2\s): a; gr (v): St(i): a, gr(o\: 9r(e): 9r (a): u, 9r (l): Or (t): l. gs

Evaluar, siempre que existan, las aplicaciones siguientes g to gz, 9t, gt" 9t, 92" gz. Verificar que (gr" gr)" g, Y gt"(gz. g3) existen y son iguales. 92"

(;R

P()s

',olución. Se obsen'a qrte se tietre

w\x%y\z ..'

(1.23)

lo tanto, pueden "leerse" las aplica.ciones (llrc existen, es dccir. 1.r ..r: rxcepta gt o gt \' gz" g, . Se tiene -r:)¡

(gr'gr)tc) : 91(\ ): (gr.gr)r.):91(1) : (gr"gr)ri) :9r rt) : (gt"gz)rst : gr(a\:

u I | ,,

(gz"g.)(.t ): gztg) : \' (Qzogr)te): gz\r'): I

@2.9¡)rg): grti\ : (gz"g.)tr') : g2\s): (gz"gt)tol: grts):

^ a.

Apiicando la ecuación l.21 nrrevamente se tiene

l(gt.Qz).9r],n): (gt"gr)(gt, nt): (9r ogr)rst: lgr"(gr'9¡)](n): st(bzo9¡)''r'): g, , i: a v, por

tanto, l@

r" gr)" gz)tn l:

ii."pitiendo este argumento

gr o (gro gr) i n\

dernr¡estra (lue

r) "

t " (g z. g z).

tr Iz,0t

1.24 Sean W, X, Y, Z cuatro conjuntos aplicaciones como sigrren:

Probar

qLre

Problema

no r.acíos v gr,

w\x\y\2.

(1.24)

(gr"gz)"92: gr"(g2'93)' ,9 ol ución. Sea w e W. Aplíqnese la ecuación .21 1

(l'25) r'arias

r.eccs.

pcr tanto. f@, " g r) ":g¡

] (w)

r(g. (w))) gr{@2"s.)(w)} : {gt.@r"s)\@).

r. s zl b z(r))

l'irrprresto que ü, cs arhitrario, se llega

¡g

al resultado.

f¿icil demostlar qrre si gr. g2, Q3 son tres aplicaciones tales quc va sea (9, " gz)" gt. t¡ bien. gt"(gzog. ) existt.. entonces ambas exisE,s

CoNJUNTOS, APLICACIONES,

REL.\CIONES

ten v. consecuentemente. son iguales. Esta igualdad se expresa ('n la ecuación 1.25. diciendo qrre la composición de las aplicaciones cs a.sociatira.

Problema 1.25 Sean X : {c. o. ffi, P, r, a} y Y : {p, r, e, c, i, o}. Supóngaseque ,f :X "+Y y g:Y -X estándefinidasporf(c):o,

i, lra) : p: c(p):a, g(r) : rr' g{e) : m. glc)- p. g(i): I. s(o) : c' Probar qlle I "J' : tx y

Iro): r. /im):

f"g:

e. l(P)

:c. l(r') :

'r'

Solución. La verificación de que g" ahola debe s('r nrtinario: por ejemplo.

Í' -- Ir v dt qtre

..¡l'o

(g"Í'\,ct:g(f'tc)):g(o)c:tx(c). tl Sean X,Y conirrntos no vacíos y' f',g aplicaciones tales t¡trt' t'ntcn('t's st' y g:Y -X. Si 9'./:lx ) f'"g:t, J':X-Y dict' qur' / l g t.tn a plitarione, int'tt ra'. Problema

1.26 Sean /':X+Y y g:Y+X qrrt' f', g son bivecciont's.

aplicaciotres invcr'-

sas. Probar

Solutión. Sólo se prohani qrre /'es una bivección., la dernostración dc que g es rrna bivección resr¡lta sirnple repetición. Sean x, ,x2e X

srrpóngase

qrre .;f'(x, ) : Í'(xr). Entonces tx(x, )

(9. J')$r)

SU'6r)) r*(.x2): xz.

@" J')@r)

SU'@r)) (

1.26)

v. p()r tanto. f'es rrno a uno. Sea y € Y, se tiene r¡ut' demostrar c¡ue existe x e X tal qtre /'(x) : y. Ahora bien. g(y) e X )'. por tanto. tÁ!) - y. I)e ac¡uí <¡rre. si x:9(y). sc tit'nc J'b$): (f.dj):

f'(x) : y )'. por

consisrriente.

..¡/'

sobre.

Problema 1.27 Sean X, Y conjrrntos no r-acíor \- J : X - Y rrna bivección. Probar qrre existe Q i Y + X tal <1rre J) g son aplic:rcioncs inversas-

Solución. Sea

tal

) e Y. Supuesto que /'es supravt'ctiva, existe x e X : y v. ccnro ;l'es invectiva. x está deterrninado de nrt¡drt Í'(x) por 1'. l)efínase Q:Y + X. haciendo S0): x. Entonccs g es

qrre

írnico

GRUPOS

una aplicación definida d,J'@)

J',g

e(y)

: x,

apropiadamente

(l'"d0) : Jb9):

\'.

(S " J')@\ : f(x) : y. I)e clondr,,

además,

son aplicaciones inversas.

Problema 1.28 Sean A, B, C conjuntos no r.acíos y J' : A --+ B y g : B --+ C aplicaciones. Probar que si go..¡l' es una inyección, entonces f'es una inyección, v si g"f es una supravección. entonces g es una suprayección. Solución. Se tiene

Al.B\C.

(t.21)

go;[ es una inyección. Sea ar,e2e.4 y supóngase : J'@r), se tiene que demostrar que et : e2. Se tiene @"f)(ar): SU'@r)): S(,f(ar)): @"/)@z) y, como go.¡[ es una inyección, se deduce que at: ez. Supóngase que g"J' es una Supóngase que

que f (ar)

Sea c e C, se tiene que demostrar que existe b e B tal que S(b) : c. Supuesto eue p o /' es una suprayección, existe c € ,4 tal que (5. h@) : c. De donde, se hace b : f (a) porque entonces tr c. s(b) sU@D @" f)(a) suprayección.

1.3 RELACIONES DE EQUIVALENCIA Dados dos números reales cualesquiera tt y rz se tiene la relación de "menor que o igual a" entre ellos, dado que r, ( rr, o bien, rz ( rr. Es posible contemplar

otras relaciones en R, así, podría decirse que si sr, sl € R entonces srestá relacionado ccn s2 si y sólo si s, : ns2para algún entero z que depende de s, y s;. Para conveniencia en la notación, introduzcamos un símbolo - que significa ,.está en la relación dada res_ pecto a", así sl - S, si y solo si existe n eZ tal que s1 : ¿s2, se tiene 3 - 1á puesto que 3:2x lj pero no setiene j - 3 ya-que I no es un múltiplo entero de 3.

En lenguaje más preciso, se obtiene una relación, denotada por -,sobre un conjunto ^9 a partir de cualquier subconjunto Z de SxS, haciendo que sr - sz si y sólo si (s, , sr) e T..

CONJUNI'OS, APLICACIONES, Problema

.sobre los números comz2eC) si y sólo si lzrl :lzrl.

1.29 Se define una relación -

plejos C, haciendo que 21 - zz(z* Probar que z - z.(z e C) y que zr 22

RELACIONES

* zr(z,zreA,).

- zr(z1,z2eD) implica

que

Solución. Las conclusiones deseadas son inmediatas, ya que z - z>por definición, ylzrl:ltrl implica que lzrl:ltrl. tr Se dice que una relación - sobre un conjunto S es reflexiua si s - s para todoseS y que es sintétricasi s, - s2 (.s1, sz €S) implica clue s2 r sr.Larelación de desigualdad sobre de R es reflexiva, dado que c ( a(aeR), pero no es simétrtca, ya que b < c(b,ceR) no

implicaquec(b.

Problema 1,30 Se define una relación - sobre los racionales GD, haciendo a-b(a,beQ) siysolo sí a-b ) l. (Demostrarqueno es reflexiva ni simétrica.) Probar que si u, ü, w e GD son tales que

u-0Yu-w¡

u-w. Solución, Es falso que a-a 2 | y, como consecuencia, no se tiene a - a(ce(D). Si a-b ) I entonces es falso que b-a2 | f, por consiguiente, c - b(a,beQ) no implica que b - a. Si. u -.t) y ü - w (u, u, weQ)se tiene u-w:(u-u)+(u-w)21*l ) ly, por tanto, u - w. tr Se dice que una relación - sobre un conjunto S es transitiua si s1'a 52 Y sz - s¡ (sr,s2,s3€S) inrplica sr - s¡. La relación de desigualdad sobre R es transitiva puesto quea ( á y b ( c(a, b, ce R) implica a ( c. Una relación - sobre un conjunto S que es reflexiva, simétrica entonces

y transitiva recibe el nombre de relación de equiualencia.

Problema 1.31 Probar que la relación - definida sobre Q como sigue, es una relación de équivalencia. Pa.ra a, b e @ sea a - b si y sólo si existen m, neZ,m * O,n * 0, tales eue an : bn.

La relación es reflexiva porque ar : aL implica que (a a e La relación es simétrica por definición. Sea ahora Q). b,t, b c(a,be @). Entonces existen m,n,r,sez,m * 0,n I Q, r + 0,s #0 tales que cn : U y b' : c". Entonces I : : (b')' : b" : (c")n : c"' (a^)' a^' (1.28) Solución.

a a

(;RIIPOS

- es transitiva. De aqrrí que, por último, relación de equivalencia. y, por tanto,

es una

problema 1.32 Sea S uri conjunto sobre el cual está definida una relación cie equivalencia -. Para se S defínase 6(s): {x:xe S, s - x). Probar que s€ 6(s) y que si tes entonces G(s):6(t)' o bien, G(s)a€(r) es el vacío.

que s -.s, se tiene se€(s)- En beneficio del argumento, supóngase que G(s)¡C(t) * ñ, se probará qrre 6(s) : G(t). Sea ye6(s)a6(t), entoncess-.1¡ Y ¡-y. Como-esrefleriva. y - s y, por tanto, de f - -y,v -l - s se deduce. por la transitividad,que t-s. SeaweT(s), entonces s-rt. (iomo f -s )' s - lrse tiene f - w y,por consiguiente, w e6(t.De donde.G(s) cg(t) y-, de modo semejante, se pnreba qtre G(t) <- c61t¡' Entcnces tr la concltrsión deseada es inmediata de relación rrna definida crral está el sobre ,S un conjrrnto S¡a equi"'alencia -. El conjr.rnto G(s) : {x ; x e S, s - x} recibe el Solución. Supuesto

nombre de clase de equivalencias que contiene a .r. Una clase de eclui' valencias queda determinada por c¡alquier elemento que P€'rtenece a ella. S es la unión de sLts clases de equivalencias 1', dado qrte dos clases de equivalencias coinciden, o bien. tienen ¡na intersección I'acía. se d.ice que S es la trnión ajena de sus clases de equivaiencias. Pot- supuesto. estas clases de eqrrivalencias dependen de la relación de equivalencia particular. relaciones diferentes normalmente proporcionan clases de eqtrivalencias diferentes.

Problema 1.33 Sea S : {1, 2,3,4,5,6,7,8,9, l0}. Se define una relación - sobre S por medio de a - b(a,be S) si ,v sólo si a-b es divisible entre +. Probar que - es rrna relación de ecluivalt'ncia v determinar las clases de eqrrir-alencias. Solucíón. Evidentemente. d - o (c e S) Porqtre 0 : a-u cs tlivialmente divisible entre {. Si a-b es divisible entre 1 (4, b e S) entonces 1o es b-o y' de aqrrí que a-b implica cltre b-a. Si a-b I' b-c (a, b, c e S) entcnces a-b,b-c son clivisibles entre 4 v. Por consiguiente. d-c es dir.'isible entre 4 \'a qr¡e a-c : (a-b)+(b-c). Las clases de equivaler.rcias son {1,5.9}. 12.6. l0]. i3.71. {4.8 j. tr

coNJUNl-OS, AI'r-r(;,\CllONl.S. lltil. \(;loNl'-s EJERCICIOS

1. Sea A :,{1,2.3,6,7}, tr:{3,4,5,6}, C:{1,2,3,4,6}, D : {3,5,6,7}. Probar que .AuB: CuD :* qrre AaB: CoD. 2. Para cualquier núrnero real /, sea A, : {x: r ( x}. Probar que l) A,: ft r'que O ,q,: ñ. tÉm

t€ú¡

Sean ,4, B,

c-onjuntos. Probar que,4u(BnC)

: (,avB)n(AvC).

+. fDifícil] Sean X, Y,S,T conjuntos tales que XvY : TuS v X¡Y : TnS : @. Prohar que X : Q si v sólo si 7 : (XnS)u

(YnT).

J': R ' R definida por /(x) : x2l$2 +l) (xe R). que /(R) : {y,O < y < l} r'que / no es invectiva.

Sea

Probar

Sean X, Y conjrrntos finitos qrre tienen m, n elementos distintos. respectivamente. Probar que existen n^ aplicaciones distintas de X hacia Y. Si una de estas aplicaciones es ur)a bivección. probar c¡ue m : n ,v que se tienen exactarnente ¡r! bivt.cciones.

7. Sean,4,B,C conjuntosnovacíosv J:A-B y- g:B+C / sea sohre. ( rrno a uno

aplicaciones. Clonstruir un ejemplo en el qrre y'g" I no sea sohrc ni rrno a uno.

Está definida rrna lelación - en Z haciendo e - b(a,beZ) a a-b. Prr;bal que & es un¿r lelación de equiva-

si y sólo si 6 divide lencia.

Está definida rrna relación - en C . haciendo zt - zzQr,zreC) si y sólo si zr-zre R. Probar que - {'s una ¡'elación cle eclrrivak'ncia.

Capítulo 2 Semigrupos, grupos

2.1 SEMIGRUPOS Sea S un conjunto no vacío. Supóngase que se tiene una regla * mediante Ia cual, para cada pareja ordenada (s, , s, ) de elementos de S, puede determinarse un tercer elemento de S, denotado por sr ,* sr. Entonces se dice qrre S es cerrado bajo una Ley de composición * sobre S, o que S es cer¡ado bajo la operacíón *. Así, sobre los números reales R se tienen (al menos) dos leyes de composición, a saber, la multiplicación x y la adición -l , ya que es trivial qut:

si s'sre R

entonces

srxsreR y sr*sreR.

Sea S cerado bajo una lev de composición *. Entonces para cada ordenada (s, , s2 , s. ) de elementos de S es posible asignar dos prodrrc-

tos. Puede determinarse primero s, * s2 y, a continuación, (s, *, s, ) *. s. o bien, por otra parte, puede determinarse primero s, * r. y, deip,,ér, s, x (s, * s. ). Si para todas las elecciones s' s2, s. € S se tiene

(sr*sr)*s.: sr*(srr,s.)

(2,1)

entonces se dice que es una ley asociatita de composición y S recibe el nombre de .semigrupo bajo la ley de composición *.

2.1 Probar. R es un semigrupo bajo la multiplica_ 11r" ción, o también, la adición como la ley de composición. Probleme

. Solución. Puesto que R es cerrado bajo ambas leyes, simplemente tiene que obsenarse que para cualesqrriera ní¡meros ."ut", ,r, rr, r., .)a

=(;RUl'()S

Problema

s. : {s, )-ls¡ :

(s, x.s, )x

s, x (s, x s,

(s,

*(sr*s.

(2.2)

)

Q3)

2.2 Sea X un conjunto no lacio v S el conjunto dc apliX hacia ,\'. Probar c¡rre S es un semignrpo bajo la cornpo-

caciones de

siciórr dt' las aplicaciones.

entonces./':X-X .\ giX +{. Por l:i definición { 1.21) de la composición d" I -".. g, se deduce qu(' .l'.geS. Por el problema 1.24. con W : X : Y : Z, de: la ecLración 1.25 se dedrrce que la composición de las aplicaciones es asoci:rtiva. E Solurión. Sean ./',g€S,

Problema

2"3

Sea S un conjunto no vacío

d € S. Prohar que S t's

un semigrLrpti si se clefine s *t : a (s, f e S). Solución.,! es cerrado baio * r' si s' s2, s3 €S se tiene

(srxs2)*s¡ : 4*s3 : Q : St*4 : Por tanto. S es un semigrupo bajo *.

x(srxs.)'

Este problema demuestra como cualtlrrier conjrrnto no vacío ¡rtrt'dc considerarse. de trna rnanera trivial. corno lrn sernigrrrpc. tr Atrnque este libro se refiere a las leves asociativas de cornposición, no debe imaginarse que las leves no asociativas no son titilt's. o bien, no existen fL¡era de un contr'-\to prrralnente matt'rn¿itico.

2.4 Sea I' el conjrrnto de los vectores geomtl'tlicos triI't'l producto vectori¿rl usual. Probar qrre esta lev es no asociatiVa. denlostrando qrrt' ri Problema

dirnt'nsionales v sea la. lev de composición sobre u, v! w € tr/, entonces

(unv) nw:

un(vnw)

si v sólo si vn(w^u):0. Solucíón. Desarrollando lcs triples prodrr< tos vectolialcs. sc tient' (v n

(u.

w)v-(u.v)w

(2 4)

(u n v) n

(w. u)v-(w.v)u.

(2.s\

SL,IIIGI{UPOS,

Por tanto. los primeros miembros igrrales si

GRIJI'OS

2!)

de las ecrraciones 2.1. r' 2.5

son

v sólo si

v^ (w^u)

(v'u)w-(v.w)u

lo cual evidentemente no es cierto para u, v, w arbitrarios. D Si el semigrupo ,S tiene un número finito de elemt'ntcs. S : {s, , s, ,. . . , s, }, digarnos, la formación de los t?2 elernt'trtos si * '\j puede expresarse en la for¡na de un arreglo:

sr*sr sz * sr

sr*sz

.S. rJ:l S.

.S- {.,S ln

s2 {'s2

sr*s.

.s^

si*sr

s¡*sz

s.tJr< s.

.s.*s tn

s¡*sz

.snJ* s.

snn*s

¿n*.s

(2.6)

donde la anotación en el i-ésimo renglón

elemento

v la

¡-ésima coltrrnna t's cl

s. r, s-.

2.5 Si i : ./- l, escríbase el arreslo para el senrigrupo de cuatro elementos S - {1,i, -1, -i} bajo la multiplicación rtstral' Problema

Solución. El arreglo

es:

-l

I i

-1

-i

-1 -t

-i

r -l

(2.7)

Con el fin de simplificar la notacjón, frecr¡entemente se ornite el símbolo * y se escribe sr s2 , sobrentendiendo la ley de composicirin:

GRUPOS

por supuesto, si surge una segunda ley de composición, entonces debe introducirse un símbolo (en el conjunto de los números reales R se acostumbra omitir el signo de multiplicación pero se conserva el signo para la adición). Por analogía con los números reales, a sr sz se le da el nombre de producto d,e s, y sz y de multiplicación a la ley de composición. Por tanto, la mrrltiplicación es asociativa sobre S si, para s1 , s2, s3 € ,S, (s, s,

)s.

s, (s, s.

(2.8)

Si se usa el símbolo *, a sr*s, se le da el nombre de suma de s, y sz y de adición a la ley de composición. Así entonces, la adición es asociativa sot¡re S si, para sr r s2 , s3 € S, (s,

Problema

2.6

Sea S

la multiplicac.ión:

*s, )+s,

+(sr*s.

(2.e)

el conjunto de cuatro elementos {a,b,c,d} con

a h

ao bh cc dd

cd cd cc dd

(2.r0)

: x}, {x e S:xa : : axl, {x e S: xd a\ y evaluar los productos (ab)(cd), ((ab)c\d,

Determinar los conjuntos siguientes: {x e S: x2 (a(bc))d. S

olución.

: x} : {a,b,c,d} : : ax} : {a,c,d} {xeS:xd:a}:ñ (ab)(cd):ac:c ((ab)c\d: (ac)d: cd: c (a(bc))d : (ac)d. : cd : c. {x e S: x2 {x e S: xa

S[I\IIGRUPOS, GRUPOS

Puede verificarse que S, en el problema 2.6, es un semigrupo y entonces, de hecho, las últimas tres dcsigualdades son ejemplos particulares de un re-sultado general, a saber, que en cualquier semigrupo el producto de cualesquiera n elementos tomados en un orden dado ^S

es independiente de como se evalúe el producto. Así, por ejemplo. considerando posibles productos ordenados de sl , s2 , s3 , s4, ss € ,S, se tiene ((s, s, )s, ) (so s,

)

: :

(sr (s2 (s, so )))s5 (((sr s, )s. )sn )sr.

(2.t1)

Se concluye que pueden omitirse los paréntesis y, en el ejemplo anterior se escribiría s1 s2 s3 so s, . En el caso general, se escribe sr J2... s¡ donde ahora el significado no es ambiguo. Esta noción se extiende hacia el producto ss...s de seS tomado r? \'eces consigo mismo y se escribe S¡:

SS...S.

(2.12)

Entonces, la ley de los exponentes es una consecuencia fácil, a saber

stsn

: st+' (m,n:1,2,...).

Problema 2.7 Sea .S un semigrupo. Sean e, /' e S s,tf :tpa.ra todo s,feS. Probar\uee:f.

(2.13)

tales que es :

Solución. Se observa que, en particular, puede- remplazarse .r por para obtener ef : fy ef: e. Estopro-

I ytpor ¿enloanterior, porciona el resultado. Un semigrupo ,S que

posee

un elemento a tal que es : se :

para todo s e S recibe el nombre d,e monoide. Por lo anterior, el mento a (si existe) es único v se conoce comoidentidad de S. Problema

2.8

s, elo-

Sea .9 rrn monoide con identidad ¿. Sea s e S .v S tales que s's : ss" : e. probar que

supóngase que existen s', s" e J

_J.

Solución.

s' : s'€ : s'(ss") : (s's)s" : es" : s". (Nótese el apoyo decisivo en la asociatividad.)

Si.S es un monoide con identidad e, el elemento único s,€S tal que s's : ss' : e se llama int,erso de r (es posible que s' no exista) .

GRUPOS

Problema 2.9 Sea S el semigrupo multiplicativo de los enteros diferentes de cero. ¿Crráles elementos de S tienen inversos? Solución.

La identidad de S es *1v sólo *l v -l

tienen in-

Versos.

Problema 2.10 Sea S el semigrupc) multiplicativo de los númercs reales diferentes de cero. Probar qrre todo elemento de J tiene trn inverso.

Solución. La identidad es * I y si .c es un número diferente de cero, lis es un número real también diferente de cero v

I)e donde

.r tiene

a l/s

0':'(:) :'

como

inverso.

Un monoide S en el qr.re existe r¡n inverso para cada elemento de S se llama srufol si S es mrrltiplicativo. el inverso de x € S st' denota por x*l. Dos elementos .s, f de un semigrupo S tales que sf : fs se dice que se conmutan; si se conmutan dos elementos cualesquiera de S entonces se dice qrre .S es conmulatiro. Por ejemplo, el conjunto de los enteros Z con la adición como !a lev de composición forma un

grupo conmr¡tativo. Problema

2.11

Probar que el semigrrrpo .9 del Problema 2.6 no

conmutativo. Solución. El semigrrrpo no es conlnLrtativo puesto que

ab:a*b:ba Problema

2.12

Probar

c¡rre

el coniunto S <lc l¿:

tr ''

'rices

( '""^ "''1) (o e R) cos?f \-sen0

bajo la multiplicac.ión matricial colnt'tn. es rrn grtrpo conmtttativo. Solución. Primero debe verificarse qrle S es cerrado bajo la mtrltiplicación. Esto se concluve basándose en la trigonometria elemental. va que

GRUP.S

".rtutt"RuPos' (-,..,: ilr(-:Ti :ri)

: (

cosdcosp-senasenp cosasenp+senacosp\ \-sen acosp-cosasenp -sencsenp+cosacosp/

: (_::ffiíl ::1[;líl)

e R,

(2.14)

la cual es de la forma requerida. La multiplicación de matrices

asociativa v

/l 0\ -l:l / cosO sen0\I l\0 l/ \-sen0 cos0/ es la identidad de .S. Haciendo 0 : -a en la ecuación 2.14, se tiene / cosa sena\/ cos(-a) sen(-a)\_ / cos0 sen \-r.n d cos a/ \ -sen( - a) cos(-a)/- \-sen0 cos s):(t?) : / cos(-a) (2.ts) \-sen(-a)

xt_il(_:::: :::,

de lo cual se infiere que todos los elementos de S tienen inversos en .9. De aquí que ,S es un grupo. Intercambiando c y p en la ecuación 2.14; se ve que S es

Problema

conmutativo.

2.13 Los conjuntos de cuatro elementos S, : {e, , a, , Sr : {ez,a,b2, c,} tienen las leyes de composición*, o

b* c,) y

definidas respectivamente como sigue:

er er br "1

ar br cr

er aL br ct

et br cr er

bt ct el a7

e2 a2 b2

ar br

¿Cuál de estos conjuntos es un grupo?

(2.16\

GRUPOS

Solución. Obsen'emos primero que ambas multiplicaciones son Sl y S, parecen tener las identidades e, y e2, resPec-

cerradas, que

:bt*€t : bt') f que parece que existen los inversos (por ejempl o, Q2o c2 : €2 : cz" az)' Sin embargo' S,

tivarr',:nte (por ejemplo,er*b,

no es un grupo porque la multiplicación no es asociativa. ya que

tiene

bro(ar"cz): bz"€z: b, # er:

a2oc2

- (bz"ar)"c,

Por verificación directa, aunque algo tediosa, puede demostrarse que la multiplicación en S, es asociativa y que, como consecuencia. 51 es

un gn¡po.

Problema 2.14 Sea S un semigrupo. Probar que S es un grupo satisfacen ambas de las condiciones que siguen:

(i) (ii)

existe ¿eS tal que es : para todo f eS, existe

s para todo seS Í'eS tal que f t:

(2.17)

y e.

(2.18)

Solución. Primero se demostrará c¡ue e es la identidad de .S. Sea existe x'€S tal que x'x : e Y, nuevamente por (ii), existe x"eS tal que x"x' : e. Por medio de aplicaciones sucesivas de (i) y de la asociatividad. se tiene

xes ; entonces, por (ii),

1-l),?1,,:','t;) :

x"(ee): x"e : x"(x'x)

(x"x')x

-eX:'' Este resultado, junto con (i), implica que ¿ es la identidad de S -v, por tanto, S es un monoide. Para completar la demostración de qtrt' ,S es un grupo basta con demostrar que x" : x 1', ahora. esto es inmediato a partir del resultado del problema 2.8. tr El problema 2.14 proporciona una definición ntínima convenit'nte para un gn¡po. Nótese que en las condiciones tal como se cnttnciatr, tanto e como ü' están "por la izquierda"; pueden establecerse una pareja semejante de condiciones para que un semigrrrpo sea t¡n srtrpo

"por la derecha".

SENfIGRUPOS, GRUI'OS

Jll

Problema 2.15 Constríryase un semigrupo S que satisfaga las condiciones siguientes:

(i) (ii) (iii )

exista e€S tal que es: s para todo seS, y para todo üeS exista f'€S tal que fú' : €, y S no sea un grupc].

(2.1e\ (2.20) (2.21)

Solución. Se sabe qrre un grupo satisface las condiciones 2.19 y 2.20 pero, por la condición 2.21, se reqLliere explícitamente construir un semigrupo que no sea un grupo. Por lo tanto, nos encaramos con

el frecuente problema de existencia, es decir, en este caso, ¿ existe tal semigrupo? Intentemos construir un ejemplo tan sencillo como sea posible. Esto nos conduce (entre otras posibilidades)

a considerar

el semigrupo de dos elementos S: {e,"f} que tiene la multiplicación

ie _-f--e

ef ef

Es fácil verificar qrre ,S es un semigrupo que satisface las condiciones tr 2.19,2.20 v 2.21. Problema

2.16

Probar eue

Sea

1ln gnrpo

e,x, y e G tales que ax

a!.

Solución. Supuesto que G es un grupo, G tiene una identidad e y existe a-l e G tal que e-le : e. Como ¿ es la identidad, aplicando la ecuación 2.8 se tiene

x: ex: (a-la)x: a-r(ax): a-r(ay): (a-ta)y: y. En la misma forma, a partir d,e xa : yc, puede deducirse que x : y. De donde, pueden "cancelarse" los elementos iguales de ambos miembros

de una

grupo.

ecuación que comprenda

los

elementos

2.17

Sea G un grupo y a,be G. Probar que la ecuación la solución única x : a-tb. Solución. Primero se verificará que a lb satisface la ecuación.

Problema

ax: b

tiene

Esto se concluye a partir de la ecuación 2.8 ya que, si ¿ es la identi-

GRUPOS

G, a(a-rb) - (aa-t)b: eb: b., Es más, si ax : b(x e G\, ax: a(a- lb) y por tanto, por el problema 2,16, x: a-lb. De modo correspondiente, la ecuación la : b tiene la solución única y : ba- r. De donde, en un grupo, cualquier elemento puede dad de

entonces

dividirse enre cualquier otro; esta posibilidad de "división" es una característica de los grupos. EI semigrupo S que consiste de los enteros diferentes de cero bajo la multiplicación, no siempre permite la divi-

sión, no se puede, por ejemplo, resolver 2x : 3 p¿rra un x € S; por otra parte, también es posible "cancelar" en ,S, aunque esto no es posible en todos los semigrupos (ver el problema 2.3). tr Problema

2.18

a,beS,

existen Jc,y€S talesque

,S es

Sea

S un

semigrupo en

el que, para

cualesquiera

ax:b y ya: b. Probarque

un grupo.

Solución. Se apiicará el criterio proporcionado por el problema

aeS. Por hipótesis, existe e€S tal que ea: a. Se desea dernostrar que ¿ satisface la condicíón 2.17 del problema 2.14 pero, en esta etapa del argumento, e podría depender de ¿. Sea s e S. Entonces existe u € S tal que au: s y, por tanto, se tiene ss : {qy\ : (ea)u : ant : s. Además, existe s' e S tal que s's : e. De aqui que, por el problema 2.I1, G es un grupo. tr 2.14. Sea

2.2 INTRODUCCION

A LOS GRUPOS

Recuérdese, de

lo visto

en la sección anterior, que un conjunto no vacío G cerrado bajo una ley asociativa de composición recibe el nombre de grupo si G üene una identidad (único) e tal que todo elemento ,¡r de G tiene un inverso (determinado de modo único) x- 1 con respecto a esta identidad. Por medio de argumentos directos, a veces es posible obtener la ley de composición para un grupo G, si tiene ,rn nú*.ro pequeño de elementos.

Problema

tiene

2.19

Obtener la ley de composición para un grupo G que

(i) l, (ii) 2, (iii) 3, (iv) 4 elemenros.

Solución. (i) Si G solo tiene un elemento, entonces este elemento debe ser la identidad e y se tiene la multiplicación trivial

SEMIGRUPOS, GRUPOS

(2.22)

(ii) Sea G: {e,a}. Ya que a2 eG debe tenerse a2: €, o bien, : erpero a2: a implicaque a : e, de donde a2: e yse tiene (2.23)

(iii) Sea G: {r,o,b}. Se considera ab y se observa que ab * a porque ab : a implica que b : e. De modo semejante, ab * b y, de aquí qrre ab: e. Esto implica que b: o-t y, por tanto, ba: e. De aquí se obtiene el arreglo parcialmente lleno

Ahora bien, se sabe, por el problema 2.16, que cada uno de los reny columnas del arreglo debe contener, al menos,. elementos diferentes de G, de donde finalmente se obtiene

glones

(iv) Sea G: {e,a,b,c}.

Se distinguen dos

casos.

Caso I. Supóngase que existe un elemento cuyo inverso no es igual a sí mismo. En beneficio del argumento, supóngase que ab : e. Entonces bc : € y, de aquí, que ac * e,a o c. De donde, ac: b y, de modo semejante, ca : b. De aquí que

: b(ac): (ba)c: ec:

GRUPOS

Se obtiene el arreglo

(2.26)

el cual se completa para dar

(2.27)

Caso 2, Supóngase ahora que todo elemento tiene inverso igual asímismo. Por tanto a2:b2: c2: e. Entonces ab * e,a ob y, por consiguiente, ab : c. De modo semejante, ba: c. Por medio de un argumento semejante, se tiene ec : ca : b, ac : cb : a, dando

e ab e

ab ec ce ba

c b

(2.28\

Este último grupo se conoce como gn¡po cuatro de Klein (en honor de F. I(lein, matemático alemán, 1849-1925). tr

Aunque las tablas anteriores se han obtenido de una manera formal (sin garantizar estrictamente la existencia de los grupos), se encuentra que se tienen realizaciones concretas de lo anterior, a saber

(i) (ii)

G: {l} G: {1,-l}

SEMIGRUPOS, GRUPOS

(iii) c

{t,=#f,--,;04}

(iv) daso 1: G Casb

{1,i,

-i, -1}

":{(; l),(-; -?),(? á),(-? il empleándose las leyes obvias

de multiplicación.

2.20

Probar que el conjunto G de matrices no singulares de 2x2 sobre los números racionales Q forma un gruPo que no es conmutativo. Hallar a, b e G tales que (ab)-l # ¡-rb-l. Problema

Solución. No se dice cómo deben multiplicane las matrices, pero se acostumbra suponer que se sobrentiende la multiplicación ordinaria de matrices, siendo asociativa esta multiplicación y la matriz

identidad de Sean x,

2x2 la identidad para G. dos matrices no singulares de 2 x

2 sobre (},

digamos

,,: (;;l x',',), (;:l ';,) ': donde los elementos de las rnatrices son números racionales y donde

xttxzz-xrrxr, * 0, Entonces

!tJzz-!2lp

también es no singular Porque

xrr/rz*xrrlzz) x *," : ( *rr! rt* tz!2, xzJn*xzzlzz/ \xrrlr, *x22l2y v

- (x r r! r, + x rry r r) (x, ] p * x p! 22) : (xttxzz-xrrxp)(!1J72-!2]p) * o.

(x r r/r, + x r ry r r) (x 2 1! 1 2 * x 22! 2)

También,

z e G, digamos

(t"

\trr

zzz/ "'\

GRUPOS

entonces se deduce

que z-1 e G

,-t- :;--;-=L

/tr,

-'tr\.

l_ -

Así, se ha estabrecid es comnutativo basta con observar que si se tiene

"";::';;';;.Jr;';","":'"l"strar

": (l entonces

que G no

l)' o: (: )

"o:('l ).(:'1):0" También se obsen'a que

a-lb-':(;

I')(-; -i) :(-; -';) . (-1

11)

: (ab)-'

Puede generalizarse el problema anterior al caso de las matrices no singulares de n x n. Simplemente se requiere conocer la regla del producto para los determinantes, a saber det(x) det(y) : det(xy).

Problema

2.21

Sean x, y e G, donde G es

un grupo. Probar que

(xy)-t - !-rx-r.

(2.29\

Solución.

(xy)(y-tx-t) - x(yy-r)x-, : xex-r : x.x-7 : De aquí que

(xy)-t - !-rx-t.

Esta regla invertida para la inversa de un prod*cto de dos elementos se extiende hacia la inversa del producto de tres elementos, de donde sí zeG entonces

(xyz)-r: z 'y-'*-1.

(2.30)

Existe una extensión obvia hacia el producto de ¿ elementos

(xrxz...rn)-t : x,-lxJ_lr...xit

(x, e

G, i : 1,2,...,n). (2.31)

SEMIGRUPOS, GRUPOS

Haciendo

Xt: Xz:...:

Xn: x

en la ecuación 2.31, se tiene

(2.32) - (x-t)" (n:1,2,...). Convencionalmente, se hace xo : e y entonces en G se cumple la

(xtr¡-t

ley general de los exponentes (ver la ecuación 2.13), a saber

x^x' : x^+n (mrneZ).

(2.33)

A menudo, a un grupo conmutativo se le da el nombre de grupo abeliano len honor de N. H. Abel, matemático nomego, 1802-1829). Problema 2.22 Sea G un gmpo en el que x2 Probar que G es abeliano. Solución. Para todo x € G, como x2 aquí que, para todo a,b e G, se tiene

: e para todo x e G.

€s se

tiene x- 1 :

: (ab)-' : b-ra-r = ba'

x. Dc

Se dice que un grupo es cíclico si todo elemento es una potencia de algún elemento dado que se dice que genera o que es generador del grupo. Un grupo cíclico necesar*iamente es abeliano.

Problema

2.23

¿Cuáles de los cinco grupos del problema 2.19 son

ciclicos?

Solución.

(i) G es cíclico, un generador es ¿. (ii) G es cíclico, un generador es a pero no ¿. (iii) G es cíclico, un generador es a o á pero no e. (i") G del Caso I es cíclico, un generador es ¿ o eac,

G del Caso 2 no es cíclico.

b pero no

Si G tiene un número finito de elementos, entonces se dice que G tiene orden finito, el número preciso de elementos recibe el nombre de orden de G y se escribe lGl ; en caso contrario se dice que G tiene orden infini¿o. Si xeG y existe n2ltal que xn: e entonces se dice.que ¡ tiene orden finito, de Io contrario.t tiene orden infinito;sí

GRUPOS

n: I entonces x: e y se dice que ¡ tiene orden 1, si i > I y si x^ * e(l < m < n)entonces se dice que * tiene orden ¿. Se cumple,

pero no es enteramente obvio, que x tiene orden finito si y sólo si el (sub)grupo generado por x tiene orden finito. En un grupo finito, todo elemento tiene orden finito pero la inversa es falsa. Problema

2.24

Dar un ejemplo de un grupo en el que todo elemen'

to no identidad tenga orden infinito. Solución. Sea G : {2': r: 0, t1,...} donde se sobrentiende la multiplicación usrral en Q . Es evidente que G es un gruPo y que ningún elemento no identidad tiene orden finito ya que (2')' : I si y sólo sí2'n: l,si y sólo si r:0 , o bien' n:0. tr G es un ejemplo de grupo cíclico infinito. Problema 2.25 Dar un ejemplo de un grupo infinito en el que todo elemento tenga orden finito. Solucién. Sea

( zkn 2k +ir.n ,#:n:0. lcos 3,

1,2....: k:0,

tl.

12..

]

donde se sobrentiende la multiplicación usual de los nírmeros complejor C. Verificar que G es un fTrupo resulta fácil, siendo la única parte no trivial de la veri.icación, demostrar que la multiplicación en G es cerrada y esto se conchrye dado que

(rot'lf *rr.n2k,n\ / zt<'n 2k-n\ 3'' /[totJ#+isen--L 1 \ 3", :

cos

(2k,Tc*

\ 3''

4rI\ +i sen(zk,Tt* 44\ 3^, 3n' 3n, \

cos

l2(3,k,+3"'k")n')*

t--T;ñ;-l

. (213',k,*3''k,)nl :1. t'""1--=, -*

SET,IIGRUPOS. GRUPOS

Evidentemente G es un grupo infinito pero todo elemento de G tiene orden finito porque, por el teorema de De Moivre,

2kn\r' / zt<n : +tsen 3n / ltot t :

cos2kn*isen2kn l.

I)e hecho, G es el grupo de todas las raíces complejas de orden 3n de I (n : 0, l, 2,.. .). tr Problema

2.26

Probar que un e{emento x de un grupo G tiene orden : 1,2,...} consiste de precisamente ¡r elementos.

a si y sólo si {x":s

Si n : I nada hay que probar. Supóngase que x tiene 1, xn (: e) son Entonces los z elementos x; x2,..., f,distintosporque,si x': xu,dondel ( a< u<,4 entonces Solución.

orden n

> l.

xl-u: xvx-u: x'(x')-1 : xu(x")-r - xv-v : xo : e y, como I -< u - u 1 fl, se obtiene una contradicción. Se concluirá que {x":s: 1,2,...} consiste de precisamente n elementos, si puede demostrarse que para cualquier potencia xo de x, se tiene xs e {*,*',...,x"}.Por el algoritmo de la división para los enteros racionales, existen q,r eZ tales qrre a.:nq+r (0(r<n) y de aquí xo

que

: xnQ+': (x¡)a¡r :

€Xt

: x'

de lo cual xo e{x,x2r...,xn}.

Inversamente, supóngase que {x" : s : 1,2,.. .} consiste de precisamente n elementos y que r tiene orden ¡n, Entonces, por la primera parte de la solución, {x":s: 1,2,...} consiste de precisamente rn elementos y, por tanto, m : n. tr Del problema 2.26, se deduce que si G eis un Srupo cíclico generado por r, entonces G es igual al orden de ¡. Problema

2.27

multiplicación:

Sea G el gmpo de seis elementos

{e,a,b,c,d,f}

cot't

GRUPOS

e ab e

a b c

eabcdf abedfc beafcd c f deba dc f aeb fdcbae

(2.34)

Encontrar los órdenes de los elementos de U' Solución. (Nótese que se está suponiendo que el arreglo anterior representa un grupo.) ¿ tiene orden 1.

: b, aJ : ab : e imPlica que a tiene orden 3' b2: a,b3: ab: eimplica que ü tiene orden 3' que t, d, f, tíenen orden 2' c2 : e, d2 : e, f' : " implica

2.28 Supóngase que 4' x pertenecen al grupo G y b : x-lax. Probar que 4 y b tienen el mismo orden'

Problema

sea

Solución, Primero se observa que si n € N entonces

x-ranx

(2.3s)

porque 6n

: (x-tax) : (x- 1cx) (x - t ox).. . (x- 1cx) ra(xx l¡c(xx-1¡...(xx-1)ax - x- x-raeae"'eax

:1-',7; ". Y en consecuencia. se tiene la misma igualdad para n e Z Por tanto, si an : e entonces b : e e inversamente. Se dice que beG es eI coniugado de ae G siempre que .xeG tal Que b: x-rax.

exista

I 'l

SENIIGRUPOS, GRUPOS

Problema 2.29 Probar que la relación "es el conjugado de" es lrna relación de equivalencia sobre el grupo G.

Si ¿ e G entonces ¿ es el conjugado de a porque Si á es el conjugado de ¿ entonces b : x-tax(x e G) y e-rae. a: Solución.

- (xx- l)a(xx-1) : x(x- L ax)x- | : xbx-r : (x- 1)- tb(x- t)

y, por tanto, a es el conjugado de b. Si b es el conjugado de a y c es el conjugado de b entonces existe x,yec tal que b: x-tax,c:

y-tby I, por lo tanto.

rby:y-t(x-rax)y _t - y 'x -t -axy : (xy)- ra(xy).

c:y

De donde, c es el conjugado de ¿. Ahora se ha establecido que la relación es reflexiva, simétrica y transitiva, dando el resultado. tr Ahola hablaremos de elementos conjugados y de clases de equivalencias que son clases de conjugados. Así, la clase de conjugados que.contiene a a es {t-rat:te G}. Se dice que un elemento es autoconjugado o.central si su clase de conjugados solo consiste de él mismo, es decir, a es central si. t-Lat : a (para todo f e G). El conjunto de elementos autoconjugados de G se llama centro Z(G) de G. Problema 2.30 Encontrar las clases de conjugados en el grupo G de del Problema 2.27. Solución.

{e}

{x-rax:x

{x-tcx:x

es una clase de

e G}

{e-

un elemento.

rae, e- L ea,b"- rab,

{a,a,a,b,b,b\ {o,b} | | {e- ce, a- ce, b{c, il,

f, d}

cb,

{r, il,

c- rac, d-

f\.

cc,

ad,

cd,

af}

- 1 cf}

(;RUPOS

4tl

De donde, G tiene las tres clases de conjugados {"}, {o,b}, {c,d,f}.

tr 2.3 SUBGRUPOS Problema 2.31 Sea

H un subconjunto no vacio del grupo G, tal que paratodo x,yeH, setiene xyeH y x-le1L ProbarqueIlesun grupo que tiene la nrisma lev de cornposición que G. Solución. Por hipótesis H es cerrado bajo la multiplicación. Siendo esta multiplicación asociativa en G, evidentemente es asociativa en /1. Sea a€.FI, entonces a-reH y, por tanto., e: aa 1eH. De donde 11 es un monoide en el que todo elemento tiene un inverso, es decir, H es un grupo. H recibe el nombre de.subgmpo de

G; se observa que ¿ también es la identidad de I/. tr Se dice que el grupo G es no triuial si G + {"}.Un grupo no trivial tiene al menos dos subgrupos, a saber, G y {e}, cualquier otro subgrupo recibe el nombre de subgrupo propio. Problema

x-rax: .

un elemento del grupo G y Co@) : {x e G : que a). Probar Co(a) es un subqrupo de G.

2.32

Sea ¿

Solución. Se verificará primero qrre Cn @)

puesto que e € Cn(a). Sean x, y e

Cn(a\

(xy)- | a(xy)

+ ñ.

Esto es evidente

Entonces

: (y-' x- t)a(*y) : y-t(x-rax)y : y-ray :Q

Y (x-

r)-'a(r- t) :

: :

xex- |

x(x- 1ax'ix- | (xx- L¡a(xx- t ¡ eoe

-4.

SL\IIGRTIPOS,

GRIIPOS

De donde xl,x-', Co(a) y, en consecuencia, se concluve que un subgrupo tr Se obsen'a que x-lax: e si y sólo si ax: tca y, por tanto, Co (a) es el conjunto de todos los elementos de G que s? conmutan con ¿. Co(o) se conoce como centrali¿ador de a. Co (c) es

Problema

2.33

Probar que el centro

Z(G\

un subgrupo del gnr-

Solución. Por definición

Z(G): {zeG:z-7az: apara todoaeG}. Así, haciendo x, I e Z(G), se ve que x, y e Cc@) para todo a e G. De aquí que Iy, x-t eCo@) para todo oeG t-, por consigrriente, xl, x-r e Z(G). f)e donde, Z(G) es un subgrupo. tr Implícita en la solución anterior se encuentra Ia relación

z(G):)

c.@).

(2.36\

aeG

Problema

2.34

Encontrar el c.entro del gmpo GI{2,

ces no singulares de 2 x

de las matri_

sobre los números reales.

Solución. supóngase

o* ": (í ,)

al centro de GL(2,R). Entonces z conmuta con todas las matrices no singrrlares de 2 x2 y, por tanto. en particular, z con_

pertenece

muta con

Pero

(;i) (l ) (; ;:,\:(; rX;

GRUPOS

:(; l)(; f) p+ó\ _

(o+y

-\ |

Y, Por tanto, debe tenerse 7

con

Ir o\

\t l/

se tiene P

(2.37)

: 0 y a : 6. Repitiendo el argumento

O. Por tanto

/a 0\

":(o

donde, necesariamente, a, * 0. Pero ahora z es una matríz escalar y, por lo tantor conmuta con todas las matrices (no singulares o no) de 2 x 2. De aquí que el centro de GL(2, R) consiste de todas las rnatrices escalares diferentes de cero. tr GL(2, R) se llama grupo lineal general de las matrices de 2x2. Las matrices no singulares de ¡r x n sobre R forman el grupo lineal general GL(n, R), el centro del cual nuevamente consiste de las matrices escalares diferentes de cero.

Problema

AoB

2.35 Sean z{. y B subgrupos del grupo G. Probar que un subgrupo de G.

AnB I Q porque e e A y B. Sean x, y e AaB. Entonces x, y e Ay, por tanto, xy, x-r e A, de modo semejante, x!, x- 1 e B. Por tanto, xy, x-l e AnB, dando el resultado (Problema 2.31). tr Si ,41, Ar,,..,.án son n subgrtrDos de G, entonces ArnAra .. , AAn es un subgrupo de G. En efecto, si II^(7 e,,{) son subgrupos de G, siendo G, Aalginconjunto de índices, entonces Solución. Primero se observa que

.1.|,F1,

subgrupo de G. Ya se ha caracterizado el centro

z(Gt: ) Problema

2.36

bar que q-LHa

Sea É/

Z(G)

d,e

"r ""

G como

cotal.

un subgrupo del grupo G y sea aeG. Proes un subgrupo de G.

: {a-lha:h e If

SEMIGRUPOS, GRUPOS

Solución, Se ve que a-rHa + @ porque e: a reaea-rila. Sean x, y e a- tHa. Entonces existen r,seH tales que x: i

T-tra,

a-rsQ' Entonces

xy:

(a-rra)(a-rsa)

, : a_1'rlaa ')sa : a-lresa : a- r(rs)a e a- 1Ha X-1 : A-If-rAe a-rHA,

se llama conjugado de H en G. tr Un subgrupo que coincide con todos sus conjugados en G se dice que es autoconjugado o nortnal en G. En un grupo abeliano todo

a-rHa

subgrupo es normal.

Problema

2.37

Probar que

Z(G)

es normal en G.

Solucíón. Sea x e G. Entonces, para Yr

todo

Z(G), x-rzx :

Por tanto,

x- | z1c¡x

: :

{x- zx : z e Z(G)\ {z:zeZ(G)}

z(G).

Problema 2.38 Hallar seis subgrupos en el grupo G dado en el problema2.27. ¿Cuáles son normales y cuál es el centro? Solución, Obviamente, {r} y G son subgrupos pero, desafortunadamente, no existe método muy sistemático para encontrar subgrupos

de un grupo.Por inspección de (2.34), se determinan cuatro subgrupos {e,a,b\, {e,c\, {e,d\, {e,f}. {e,a,b} es normal porque

e-t{e,a,b\e:

{e,a,b\

rba\

- {a- ea, a- | aa, a: {e'a'b\ rbb} b- t {", a,b\b : {b- | eb,b- | ab,b: {e'a'b\ a-

{e, a,b\a

GRUPOS

{e, a,

b}c

a,b\d

{e,

f -'{r,a,b}f

: : : :

: :

{c- ec, c{e,b,a} | {d- ed, d{e,b,a}

ac,

c- | bc}

ad,

d- rbd}

-trlf -'af f-tbf}

{e,b,a}.

Los tres subgrupos de orden 2 son conjugados entre sí, por ejemplo

a- | {e,c}a d- t {e,c}il a- t {e, d\a Para este ejemplo, Z(G)

- {r,o- rca\ : {e,it\ : {e,il- rcd} : {e,f} : {e, a- rda\ : {e,f\.

: {e}.

Problema 2.39 Seal/ un subgrupo de G tal que x-rHx todo x e G. Probar que Éf es normal en G.

Sea y e G, debe demostrarse que y-'Hy : H. entonces, evidentemente, z-rilz H y de aqui que

Solución.

z: ! t

= H : z(z-rHz)z-r c zHz-r : y-rHy c H.

para

Sea

Problema 2.40 Sean ,4 y .B subgrupos normales del grupo G. Probar que z{nB es un grupo normal de G. Solución. Ya se sabe que ánB es un subgrupo de G. Sea x e G, A es normal,

entonces, como

x-t1AaB¡xcx-rAxcA. De modo semejante, De aquí

x-t(AaB)x c

que

x-1(AnB)x Problema

2.41

n-rHn- Hj. neaH.

c A¡8.

Sea 11 un subgrupo del grupo G

Probar

qu. N6(Il)

y Nogt): {neG:

rrn'rrrtgrupo ae"G que contie-

SEMIGRUPOS, GRUPOS

Solución. Como h-IHh: Sean x, y € Na(¿|, entonces (xy)- | H(xy)

H para todo

heH, H q Nc(¡4.

: (y- lx- r[(xy) : y-r1x-rHx)y : y-rHy _H

(x-t)-rH(x-r): xHx-r

: Nc(/t Se llama norrnalizador /l es normal en G.

x(x-rHx)x-r (xx-r)Ir(xx-1).

H en G .Nc(I4: Gsi y sólo si tr

Problema 2.42 Sea G un grupo cíclico finito de orden n. Sea d un divisor de n. Probar que G tiene un subgrupo de orden d.

Si d : I 6 n, nada hay que probar. De donde, supónque I < d < n. Supuesto que G es cíclico de orden n, existe x e G tal que los n elementos de G son precisamente los elementos Solución.

gase

e,x,x2,..., xn-l.

Sea

¿: dm(mez) y H: {**:s:

Otl,...}.

Entonces como Xsmxtm

= ¡(s*r)n

(Xsn)-t : ¡(-s)n deduce que I/ es un subgrupo. Para determinar lHl, se observa que, por el algoritmo de la división, existen q, r e Z tales que se

y, por tanto,

(0<rcd¡

s:dq*r

-sn - -(dq+r)n

(xa^yx,n

(Yn)et'n

--m

de lo cual se deduce que

H: {x-:r:0,1,...,d-l}.

GRUPOS

Es más, los elementos

to,lHl

xm,

x2-,. .., ¡(tt- r\m son distintos. Por tan-

Puede demostrarse que si K es otro strbgrupo tal que lKl : d , entonces K : H. Como se verá, el orden de cualquier subgrupo debe dividir al orden del grupo y, por tanto, puede concluirse que cada subgrupo de un grupo cíclico es cíclico y que existe un subgmpo único para cada diüsor del orden del grupo. tr Problema 2.43 Sea G un grupo que no tiene subgrupos propios. Probar que lcl : l6 p, donde p es un primo.

lcl : I nada hay que probar. Sea lcl > I 1' x e G, e. Entonces fácilmente se demuestra que .lLI : {x': / : 0, t1,...} es un subgrupo de G y, por tanto, G : H. Ahor abien, K : {x2' :t : q +1,...) también es un subgrupo. Si x2 : e, entonces K : {e} y G : {",x} tiene orden 2. Si x2 # e, entonces K + {e} y, por lo tanto, K : G. De donde, x € K )', en consecuencia, existe /o tal que x: x2'o, de lo cual se concluye que x2to-1 : € : de modo que.r )' G tienen orden finito. Por tanto^ G es un grupo cíclico finito. Sea 1.r un divisor primo de n: lcl.Entonces G tiene un subgrupo de orden Solución. Si

tr P y, Wr lo tanto,lGl : n : p. Si X, y son subconjuntos no vacíos de G, entonces XY denota al subconjunto

XY: {xy:xeX,yeY\.

(2.38)

Si Z es un tercer subconjunto no vacío de G, entonces la asociatividad de la ley de composición de los elementos de G implica que

(XY)Z

X(YZ)

(2.39)'

Además, si se tiene la relación de inclusión X c Y , entonces se tiene XZ c XY y ZX c ZY. Si, en particular, X sólo tiene un elemento xo es costumbre omitir las llaves v escribir

.Xy

: roy : {xoy: le y}. De modo semejante, si Y : {-ve} se tiene XY: X{yo}: Xlo: {xyo:xeX}. {xo}y

(2.40)

(2.41)

SEMIGRUPOS,

GRUPOS

Estas definiciones se extienden hacia el producto de cualquier núme-

ro finito de subconjuntos no vacíds de G y son consistentes con la tr definición anterior de que a-lHa: {a-rha:he H}. Problema .FLlú es

2.44

Sean

.F1

subgrupos del grupo

un subgrupo si y sólo si I/N

G. Probar

quc

NH.

ÍIN es un subgrupo. Entonces 11 y N son y, por tanto, por la cerradura de la multipliÉIN. Ahora se desea demostrar que F1N c

Solución. Supóngase que

de HN en l1N, NH c cación subconjuntos

e HN, entonces x-L eHN y, en consecuencia, x-r : hn para algún neN, he F1. De dondex : (hn)-r : n 1ft-leN//. De aquí que HN : NH. Inversamente, si .É1N : NH, sean h(r y hznz e'lementos típicos de l1l/ (h,eH, n,eN; i:1,2). Entonces nrhreNH : IlN y, por tanto, existen hreH, n.e N tales qrle nrh2: hzftt. De aqui que

NI1.

Sea x

se tiene (h

rn r)

r) :

es normal en G, se tiene

r(n rh

r)n,

: hr(hrnr)n, : (hrhr)(nrnr) e f/tf (htn)-t - nr'h;t rNH: HN. De donde FIN es un subgrupo. tr Problema 2,45 Sean Hy N subgrupos del grupo G y N normal en G. Probar que I/N es un subgrupo de G. Solucíón. Supuesto que

Nx: xx-1Nx: xN De aquí que

HN Si

(para todo xeG).

: ru"'" : ,9

"fr

: NH.

un subgrupo del grupo G y si g€G, entonces gegH,

donde

gH y

dice que gH

: {gh:he H}

la clase lateral izquierda de

por g. De modo semejante, g e

ns:

(2.42)

en G determinada

donde

{hs:heH}

(2.43)

GRUPOS

el cual

se llama clase lateral derecha de .F/ en G determinada por g. Harernos la observación de que gH (o Hg) es igual a,F1 si y sólo si

g eH.

2.46 Sean r, y elementos del grupo G y H un subgrupo de G. Probar que las proposiciones siguientes son equivalentes:

Problema

(i) Hx: Hy. (ii) Existe (iii)xy-1eI/. Solución. existe h eH

üe

Il tal que ! :

hx.

(i) implica (ii). Se tiene y e Hy : H* y, por tanto, t^l que y: hx. (ii) implica (iii). Si y: hx(heII)

entonces

*'-' (iii) implica (i). Si xy-

:.J3'r, ; :'"^'!, 1

e .FI entonces

: fH(xy-')ly : : Hlr?-'v)f :

H(xy- t)

: n

y de aquí que

Hl$y-')yf tr

Hx.

Problema 2.47 Probar que la relación definida sobre el grupo G por ¿'r determina la misma clase lateral derecha que y,'(x, y e G) es una relación de equivalencia sobre G.

Solución. Evidentemente Hx : Hx y Hy : Hz implica Hz : de donde la relación es reflexiva y simétrica. La transitividad también es inmediata porque Ha : Hb y Hb : ,FIc implica que

Hy,

Ha: Hc(a,b,ceG).

Como la relación anterior es una relación de equiva.lencia, G es la unión ajena de las clases de equivalencias que son las clases laterales derechas. G tambien es la unión ajena de sus clases later¿les izquierdas. Problema

2.48

Sea

G el grupo del problema 2.27 y H

{e,c}.

Escríbase G como una unión ajena cle las clases laterales derechas de

HenG.

SEIVIIGRUPOS, GRUPOS

Solución. H : He es una de esae clases laterales. Elíjase un a (digamos), no en .Éf, entonces

elemento

¡¡s:

{ea,ca}

: {a,f}.

Elíjase ahora un elemento que no esté en

¡76: Por tanto,

{eb,cb}

HvHa,b

digamos,

{b,d\.

HwHawHb

es una representación de G como Lrna unión ajena de clases laterales derechas.

IJna representación de un grupo como una unión ajena de (o izquierdas) se llama descomposición ¿n

laterales derechas

que

clases

laterales.

Problema

clases

2.49 Sea G un grupp finito y.Ef un subgrupo de G. Probar a lGj y que lcl I lHl es igual al número de clases

l^É11 divide

laterales derechas (o izquierdas) distintas d,e H en G.

que hr g : hzg si v sólo si h, : h, (g e G, se deduce que el número de elementos en cualquier clase lateral derecha es exactamente igual a lI/1. Supóngase que se tienen Solución. Puesto

hrhreH), n

clases laterales derechas distintas. Entonces estas clases laterales derechas son mutuamente ajenas y, por tanto, cada elemento de (? aparece una vez y sólo una vez en su unión. De donde, nlAl : lCl.

De aquí que también los números de clases laterales derechas o izquierdas sean iguales a lGlllHl. Este importante descubrimiento se debe a J.L.Lagrange (mate-

mático francés, ses

1736-1S13).

Si G es finito entonces se escribe lG : Hl para el número de clalaterales izquierdas (o derechas) de l/ en G y entonces se tiene

lcl A lG : I1l se le da el nombre

: lc nllnl. :

e.44)

de índice de .EÍ en G. Si G es infinito, entonces los números de clases laterales izquierdas y derechas de un subgrupo H de G son ambos finitos, o bien, ambos infinitos. Nuevamente se define el índice lG : Hl como el número (posiblemente infinito) de clases laterales derechas distintas.

GRUPOS

Problema 2.50 Sea É/ un subgrupo del grupo G. Probar que Hg gH para todo g e G si y sólo si I/ es un subgrupo normal de G.

Solución. Supóngase que F/ es un subgrupo normal de G. Entpn-

ces, para todo ge G, HS : @S-\(Hd: S@-tnd: gH. Inversamente, si Hg: gH pan todo geG, se tieneg-tHg: S-[@II):

: H

(:g-tg)H

Problema

bar que

y, por tanto,

2.51

.FI es

Sea É/

normal en

un subgrupo del grupo G de índice 2. Pro-

normal en G.

Solución. Se da que F/ tiene precisamente dos clases laterales distintas en G. Ahora bien, si xeG,x f I/ entonces las clases laterales H,xH son distintas y, en cgnsecuencia, G : HvxH, dondeflnx^Fl : ñ. De modo semejante, se tiene G - HvHx, donde H¡Hx: ñ. De donde, por la ecuación 1.8, xH : xHnG : xHa(HvHx) :

(xHaII)v (xHnHx) : xHnHx y, por lo tanto, Hx : xHr¡Hx : xH. De donde, para todo xeG,xS H,xH : Hx. Dado que, trivialmente, yH: H: Hy para todo y€-FI, se tíene zH: Hz para tod.o z e G. Así que I/ es normal en G. tr 2.52 Probar que si el grupo G tiene orden finito entonces el orde¡ de todo elemento de G divide a lGl.

Problema

Solución. Sea x e G y supóngase que ¡ tiene orden d. Entonces .r genera un subgrupo de orden d. De aquí que d divide a lGl (problema 2.49). tr Problema

lizador

2.53

cisamente

Sea ¿ un elemento del grupo G tal que el centra(c) tiene un índice finito n en G. Probar que ¿ tiene pre-

conjugados en G.

Solución. Sean x, , X2,...,xne

G tales que

= Co(a)xrvCo@)xrv ...vCo(a)x,

es una descompgsición en clases laterales

(a) en G.

el resultado, demostrando que los conjugados de a, xrlax, xlLaxr,..., xf tcxn, son distintos y qve a no tLne otro Se establece

SENfIGRUPOS, GRUI'OS

conjugado. Primero se observa que x, rax. : x, Lax, implica que x.rx, taxrx, | : e. y, por tanto, (x,x, t)-Lalxrxr'11 : c. De esto se deduce g.y. ,,*rl' , Co(a) y, ppr consiguiente,' Co(a)x,: Ce@)x¡. Esto implica que i : j y, consecuencia, Ios n conjugados enume"r rados de ¿ son distintos. Segundo, si b es un conjugado de a, entonces b : x-rax(x e G). Ahora bien, ¡ debe pertenecer a alguna clase lateral de Cn(a) en G, supóngase que xe Co@)xo. Entonces x:cxx 1c

e Co@))

y de aquí b

qrre

: x-to* : : :

(cx¡)_ | a(cxo)

x* t(c-'ac)xx xt,

laxx.

En un gnrpo finito, el número de conjugados de un elemento, siendo el índice del centralizador del elemento. divide ar orden der grupo.

2.54 Sean a, x elementos del grupo Probar que Co(b) : x-rCe(a)x.

Problema

G ," b:

x-Lax.

Solución. Sea y e Cn@). Entonces

(x-1yx)-tb(x- tyo)

: (*-ty- t")(r-rax)(x-ryx) : x- t y- l(xx- t)a(xx- t)yx : x-r(y-ray)x ::'*It. -

Por tanto,

,-'Co@)x c. Co(b). por otra parte. a

se tiene

: xbx-t : (r-1)-1b(x-1)

y, For tanto, por el argrrmento anterior. xCo(b)x-

t : (r- t)- tco(b)(x- t) -

De'aquí que Co(b) g x-rCob)x.

co@).

GRUPOS

2.4 HOMOMORFISMOS

Problema 2.55 Sean .9 y Z semigrupos con leves de composición denotadas por * y. respectivamente. Sea /:S + T rrna aplicación

tal

que

(2.4s\ /(sr* s, ) : ,f(t, )' "f(s, ) (s, , s, e S). l(S), la imagen de S bajo /, es un semigmpo bajo la ley

Probar que de composición sobre

Solución. Evidentemente, /(S) * ñ. Sean xt,x2e/(S). Entonces, para algunos 11, !2e S, se tiene x, : f(!r), xz : f9r). n" donde

xr',xz Por tanto,

T y, en

l(S)

f(y r).

f(y r* yr) e,f(S)

la ley asociativa de composición en semigrupo. un /(.1) de este tipo se llama hotnomorfi.rmo (del griego

- mismo, rnorphé -

Problema

f(yr) :

es cerrado bajo

consecuencia,

Una aplicación Itomós

forma).

2.56 Sea R el conjunto de los números

rado corno un grupo aditivo

reales conside-

R+ el conjunto de los números reales un grupo multiplicativo. R definida por ,f(x) : logx (x e R+). Probar qrre / es

estrictamente positivos considerado como Sea

/: R* --

un' homomorfismo. Solución. Aplíquense las conocidas propiedades del logaritmo con

el fin de obtener, para x, y € R*,

f(xy) : logxy: logx+logy

: f(x\+f(Y).

Al considerar grupos diferentes que posiblemente son no abelianos, resulta ccnveniente denotar la formación del producto de dos elementos a partir de cualquier grupo dado, simplemente pcr yuxtaposición de los elementos, suprimiendo así, en apariencia, pero no en realidad, alguna refere¡rcia hacia la lev particular de composición. Sean G yH grupos y f :G --+ fI un homomorfismo. v ,F/ tienen las identidades e6 y e", respectivaque mente. Probar /(e6) : €u y qrre /(G) es un subgrupo de H. Problema

2.57

Supónga^se

que G

SEI\ÍIGRUPOS,

GRUI'OS

Solución. Se tiene

f(eo) : f(eoe) : f(e)f(eo) y, por lo tanto, f(eo): e". Además, para xe G, se tiene l'@)f(x-r¡ : f(xx- t) : f(eo) : e" y, de donde,

[/(x)]-' : f(r-') donde, en el primer miembro, el inverso está en H y, en el segundo miembro, el inverso está en G, Se sabe, por el problema 2.55, que l(G) es un semigrupo v que, como e"ef(G), l(G) es un monoidc.

: f(u) (u e G) I, por consiguiente, lf@l-t : f(u-') e f(G).

Sea u e f(G), entonces u

u-t De aquí que

l(G)

un grupo. un homomorfismo "conserva" a la multiplicación

Se observa que

y a los inversos.

2.58 Sean G y I/ grupos con las identidades eo y en. respectivamente. Sea f :G --+ H un homomr¡rfismo y K : {xeG: f(x) : erj. Probar qrre K es un subgrupo ncrmal de G.

Problema

Solución. Sean x, y e

entonces

f(xy) : Í(x)f(y) :

f(x-t): )', Por tanto,

SeaxeKy

eHeH

["f(")]-, : ,i,

: _

es un subgrupo de G.

teG,entonces

f (t- txt)

: .f (t- ,)f (xt) : ["f(4]-'f(xVQ) : lfql_terf(t) : lft)l-'f(t)

:eH y, por consiguiente, de G.

t-rxteK.

De donde,

es rrn srrbgrrrpo normal

GRLIPOS

EI subgrupo K se llama núcleri de f,

2.59 Sean G y H grupos con identidades eo y ea, respectivamente. Sea /: G n H rrn homomorfismo con núcleo K. Sean x, y e G. Probar que /'(x) : f(y) si y sólo si Kx : Ky.

Problema

que f'(x): f(y\. Entonces f(ry-'): f(x)f(y-'):f(x)[/(y)]-' : /'(r)[/(x)]-' - t".De donde, xy-t eK y de aquí que, por el problema 2.16. Kx : Ky. Inversamente, si Kx : Ky, se tiene, por el problema 2.46, que y : kx para algún Solución. Supóngase

fteK

y de aquí que

f(y)

l'kx)

l&\f(x)

eul'@): f'(x).

Puede hacerse una importante deducción

a partir de lo anterior. Entonces a:f'(z) paraalgún zeG.Se afirnra que el subconjunto de elementos de G que se aplican sobre ¿ es precisamente la clase latera.l Kz : {w : w : kz, k e K}. Se concluye

Seaaef(G)=1L

esto dado que

a(teG)

f(kz): f(k)f(z): €He: e y, por otra parte, f(t): : Kz y, por tanto, teKz (problema 2.{6).

implica que Kú

Pfoblema 2.60 Sean R*, C* ios grupos multiplicativos de los números reales diferentes de cero v cornplejos, respectivamente. probar que la aplicación f : C* .- R* dada por f (z) : lzl (z e C,*) es r¡n homomorfisrno v determinar el núcleo de K de /.

Solución. Por medio de rrn resultado estándar en relación con el módrrlo de los nírmeros complejos. se tiene, par^ z*zreC*, .l E

De donde

(z) :

trl : ltrlltrl : f(zr)f(zr).

un homomorfismo v

K:{teC*:/(z):l} : {zeC*:lzl : l}.

SENÍIGRUPOS, GRUPOS

Problema 2.61 Sea G un grupo y supóngase que la aplicación g : G n G dada por g(x) : i(-1 (x e G) es un homomorfismo. Probar

que G es abeliano. Solución. Sean x, y e G. Entonces se tiene

xy : (x- t)- t(y- t)- t : (Y- 1x1x-1) : :

2.62

1)- I

s(y-\s(o-') s0(y-t)-t1n-r¡-1 :.yx.

,l l'

: G --+ 11 un homomorfismo con núcleo K. Sea eo la identidad de G. Protrar que f es uno a uno si y solo siK: {ec}. Problema

Sean G y Ff grupos

Solución. Por definición,

a uno si y sóio si, para todos

es uno

los x, yeG, f(x): J0 implica Que x:y. Supongamos primero que f es uno a uno y iea x e K, se desea demostrar que x: ec. Se tiene Kx : K: Keo y, por tanto (problema 2.59) f (x) : ,f(eo), supuesto que / es uno a unp se deduce

que X : eG. fnversamente, supóngase que K : : /(b), se desea demostrar que a (a) f

{"o} y sean a,b eG tales que

b. Se tiene (problema 2.59)

Kb y, por tanto, {a} : {ec}a : {ro}b : {b}. Se concluye

=c:

á.

Que Si el homomorfismo

-É1

es uno a uno, es decir, si

trivial se dice que f es un monomorfismo (del griego monos - :único). Si el homomorfismo / : G - H es tal que f es sobre, es decir, si/'(G) - H, se dice que es un epintorfisrno (del griego epí - sobre). Un homomorfismo f que es tanto uno a uno como sobre recibe el nombre de isomorlismo (del griego dsos - igual) y se dice que G es isontorf o a H. La aplicación identidad to de G sobre G es un isomorfismo. Si T es un grupo de un eiemento f : {er}, la aplicación h: G -+ T dada por h(x) : er(x e 6) es un homomorfismo, tai homomorfismo es triuial

2.63

Sea G el subgrupc de

subgrupo de GL(2.R) generado i

generado por

0", (_? ;)

lr ¡i

el núcleo

Problema

i y sea ]1 el

prol,ar que existe un

GRI.IPOS

isomorfismo entre G y H, Solución, Evidentemente se tiene

: {i _ l, _i,l}

,:[( t\-ro á)(-á-?)(? -.)'(;

?)l

Los grupos G y H son ambos cíclicos de orden 4 y se afirma que la aplicación g dada por

s(i)

: (-lt)

s(-r): s(r)

(-;-?)

,(-,)

: (? -¿),

: 6t)

es un isomorfismo. Obviamente, la aplicación es uno a uno y sobre y puede verifica¡se que la aplicación es un homomorfismo, por ejemplo,

et(-l)(-tl: rttt: (_l ;)

: Problema

2.64

(-l

-?Xl

-;)

: se'\)sei) tr

Probar que la relación "es isomorfo

es una rela-

ción de equivalencia. Solución.

La relación

es reflexiva, ya que

la aplicación identidad

sobre un grupo G.aplica a G isomorfamente sobre G. Con el fin de establecer que la relación es simétrica, sean G, É1 grupos tales que G es isomorf o a H. Se demostrará que Il es isomorf o a G. Existe un homomorfismo /' : G --+ H tal que / es uno a uno y sobre, y, por el problema 1.27, existe una aplicación inversa g: H --+ G. Se probará que g es un homomorfismo. Sean !1, !2e 11, entonces existen x, x2 e G tales que /(x, ) : y* f (xr) : lz y, además, S(y) : xt, g(Jz) : xz. De aquí que g(y ty) : Slf ('xt)f @r)f : glf @tx, )] : @"f)(xtxz): xtx2: S0)SOz). De donde .É/ es isomorfo a G.

SENIIGRUPOS,

GRUPOS

fácil demostrar que la relación es transitiva y, finalmente, ye que la relación es una relación de equivalencia. Es

conclu-

Problema 2.65 Probar que existen dos grupos no isomorfos de orden 4 pero que cualquier grupo de orden 4 debe ser is,omorfo a uno u otro de estos grupos. Solución. Se sabe, por el problema 2.19(iv), eue existe un gnrpo

cíclico de orden 4 y un grupo no cíclico, el grupo cuatro de Klein.

Estos grupos no son isomorfos ya que, por lo menos, los grupos isomorfos deben tener el mismo número de elementos de cualquier orden dado. También se sabe, a partir de la construcción de estos grupos,

que cualquier otro gupo de orden 4 es isomorfo a uno u otro

de ellos.

Problerna

2.66

el grupo G tiene un subgrupo norpor GIH al conjunto de las clases latérales áe I/ en

Supóngase que

mal Il.Denotemos

G (supuesto que .Ef es normal, toda clase lateral izpuierda es una clase lateral derecha, e inversamente). Defínase una ley de composición * sobre GIH por medio de Hx* Hy

- Hxy

(x,y e

Probar que, con esta ley de composición,

G).

GIH

(2.46) es

un grupo.

Solución. No es inmediatamente obvio que la definición dada de una ley de composición sobre GIH' tenga significado, ya que aparentemente depende de una selección particular x, y de los elementos de las clases laterales Hx, Hy o, lo que es equivalente, la definición dada solo es permisible si, a partir de Hu : Hx y Hu : Hy(u,u e G), puede inferirse que Huts : Hxy; se procederá a establecer esta inferencia. Se tiene u: hx,u: ky para algunos h,keIl (problema 2.a6) y de aquí (problema 2.21) se tiene que

- uD! lx-r - hxkyy-lx-r : hxkx-t. Pero ya que r1I es un subgrupo normal de G, xHx-t - H, por tanto, xkx-teH. De donde, (uu)(xy)-t , H y, consecuentementi, Huu : (uo)(xy)-1

Hxy

(problema 2.46).

Ahora se probará que GIH¡ es un grupo.

GRLIPOS

Eviderrtemente, GIH es cerrado bajo * y esta ley cie composición también es asociativa porque, si x, y, z € G, entonces

(Hx*Hy)*Hz: Hxy*Hz : H(xy)z : Hx(yi) : Hx,x Hyz : Hx * (Hy ,r Hz). La identidad de GIII es la clase lateral H porque, si ¿ es la identidad de G, se tiene

H,*Hx : He*Hx : Hex : Hx (xe G). EI inverso de Hy(yeG) es Hy- t porque HY-t *HY : HY-tY : H": H. tr De donde, por el problema2.l4, GIH es un grupo. * : Comúnmente, en lo anterior se omite y t" escribe Hx,* Hy flxy, donde, por supuesto, Hx : xH y Hy : yH. Si G : U H*^ es una descomposición en clases laterales, siendo

1e^

un conjunto de índices, entonces

y se tiene lclHl :

GIH: {Hx^:AeA}

(2.47)

lc: nl.

Problema 2.67 Sea G un gruPo y fl un subgrupo normal de G. Probar que la aplicación p: G - GIH dada por p(x) : Hx (x e G) es un epimorfismo. Solución. Evidentemente, la aplicación p es sobre y se tiene, para E : P(x)P(Y). Y eG, P(xY) : HxY - HxHY El grupo GIH sellama grupo lactor de G y, a veces, la aplicación p t" ttá*b.u como homomorfismo natural de G sobre G/II' A cada subgrupo normal H de G le corresponde tal epimorfismo e inversa-

mente.

Problema 2.68 El arreglo que sigue da la ley de multiplicación para un grupo G de orden B, llamado grupo d'e los cuaternios. Hallar el centro Z(G) de G y demostrar que GIZ(G) es isomorfo ai grupo cuatro de Klein.

SEMIGRUPOS, GRUPOS

a b c

f g h

eabcdfsh aecbfdhg bcaeghfd cbeahgdf dfhgaebc ldgheacb ghdfcbae hg f dbcea

(2.48)

porque' st Solución. Por inspección, puede determinarse Z(G) otro x e Z(G), entonces Pre- o postmultiplicando por 'r de cualquier equivalente' es que lo o, el mismo resultado "i.trren,á'p.oporciota el tranv x e Z(G) si y .ato si el renglón del arreglo que Pasa Porj -e.s : que Z(G) ve se {e'a\' puesto áe h columnu q.r. p*^. por .r' De aquí de Z(G) Obténgase primero unu d.r"o*potición en clases laterales así posteriormente, denotemos las clases lateraen G y, p-o. "árru"ni, les por medio de letras griegas, asi se tiene

e:{e,a\:Z(G) q: {e,a\b: {b,c} F: {e,a\d: {d,f}

y:{e,o\g:{g,h}.

Entonces se tiene, por ejemplo,

: :

f{e,alblf{e,a}dl {e'a\bd

: {e'a}g :y ay : l{e,a}bfl{r,o}sf : {e,a}bg : {e'a}f : {f,d} _a _P

6fi

cRtrPos

y, continuando de esta manera, se obtiene el arreglo

e d. py a

eq. d.t

vfr

ec üt

Se sabe que este arreglo representa el grupo cuatro de

Klein.

Problema 2.69 Sea G un grupo y I/ un subgrupo de G contenido en el centro de G. Si GIH es cíclico, probar que G es abeliano.

Solución. Prime¡o se observa que H es normal en G. Supuesto que GIH' es cíclico, cada elemento de GIH es una potencia de algun elemento fijo, es decir, existe una clase lateral Hc (c e G) tal que cualquier otra clase lateral es de la forma (Hc). Pero

(Hc)'

: HcHc... :HC

y, por lo tanto,

: l) Hc,. nez

Ahora bien, sean Qu€

hC,

x,yeG.

Entonces existen

¡(C. De aquí que

: : : :

(hc')(kd) h(c'k)C h(kc')C

(hk)(Cc')

: :

(kh)(cc) k(hc)c

: :

(kc")(hc,)

k(Ch)C

h,keH,r,seZ

ta|

SE]\IIGRUPOS, GRUI'OS

Podría habene usado este result¿do en el problema 2.68 porque allí se tuvo un grupo no abeliano G tal que GIZ(G) tuvo orden 4. Hav, salvo isomorfismos, dos grupos de orden 4, el grupo cuatro de Klein y el grupo cíclico, el último de los cuales no podría habene originado por meclip de este problcma. tr Problema

2.70

y 11 grupos y f :G *l/ un epimorfismo K. Plob¿r que .I/ y GIK son isomorfos.

Sean G

que tiene núcleo

Solución Se busca definir una aplicación g:GlK -+

en tal for-

ma que g sea un isomorfismo,

G y Kx : Ky entonces f (x) : lc) (k e K) y en consecuencia, como f (k) /'(y) porque se tiene es la identidad de H, f'(x) : .f&y) : f (t<)f (y) : f (y). Por tanto, se ve que /(x) no depende de .r sino de la clase lateral Kx a la cual pertenece x. Consecuentemente se define, sin ambigüedad, la aplicación g por medio de Primero se obsen'a que si x, y e

s(Kx) : f(x) (x e G). Ahora se requiere verificar que g tiene las 'rropiedades requeridas:

1 ges sobre.sea he-EI. Entonces, como f es sobre, existe:eG tal que f(r) : h y, por tanto, g(Kz) : J'Q) : h. 2 g es uno a uno. Sean c, beG y supóngase que g(Ka):g(Kb\. ' Entonces, como f(a): f(b), f(a- rb) es la identidad de H y, por consiguiente, a- rb e K,lo cual implica que Ko : Kb. 3 g es un homomorfismo. Sean u, u e G. Entonces g(KuKu) : g(Kuu)

: : : Este resultado Problema

2,71

que tiene núcleo

s(Ku)g(Ku).

conoce como primer teorena de isomorfismos.

Sean G y

f(uu) f(u)f(u\

grupos

Probar que

Solución. Se tiene f : G ahora el resultado anterior.

y f' : G --+ 11 un homomorfismo

l(G) y GIK

/(G)

son isomorfos.

como un epimorfismo. Aplíqüese

ri8

GRUPOS

2.72 Sea G un grupo finito y FI un grupo sobre el cual puede aplicarse G por medio de un epimorfismo. Probar que lHl divide

Problema

lGl.

Solución. Considerando a K como el núcleo del epimorfismo, tiene que G/K es isomorfo u H y, por tanto,

.lcl : lKllc :Kl

I¡(llGtKi

: l/<ll¡1l

Se dice que'un grupo no trivial G es símple si G no tiene subgrupos normales propios, de modo equivalente, cualquier epimorfismo de G sobre un grupo no trivial es necesariamente un isomorfismo. Si'G es abeliano y simple, entonces G no tiene subgrupos propios y, en consecuencia, lGl es un primo.

2.73 Sea G un gnrpo y N,H subgrupos de G, siendo N normal en G. Probar que Nn.Fles un subgrupo nprmal de FI.

Problema

Solución. Evidentemente

aeN¡H y x€1L

G, x- rax e N. es normal en

NnIl es un

subgrupo

de H.

Sea

Entonces x-rexaH y, comoNesnormalen De aquí que x rax e N ¡H y, en consecuencia, Nn.Fl

11.

Pioblema 2.74 Sea G un grupo y N,H subgrupos de G, siendo N normal en G. Probar que NfIlN y Hl(NoH) son isomorfos. Solución. Primero se observa que N^F/ es un subgrupo de G y que los grupos t'' rh

fartor NHIN y Hl(NoII) están definidos.

Se tratará ahora de definir un homomorfismo de 11

hacia NHIN,

de tal manera que el homomorfismo sea suprayectivo y que tenga a Nn.FI como núcleo, a continuación, se aplicará el primer teorema de isomorfismo. Supóngase que p: H --+ NHIN está definida por p(h):

I{). Se afirma que p es un epimorfismo. Primero p es un homomorfismo ya que, para hr,hre H,p(hrhz) : Nhr hz : NhrNhz : p(hr)p(hr).. Segundo, p es suprayectiva ya que, si x e NHIN, se tiene x : Nu, donde ¿¡ e NH y, por tanto, u : nk (n e N, ke I{), dando p(k) : Nk : Nnk : Nu. Sea K el núcleo de p. Entonces K es un Nh(he

subgrupo normal de

H y, de hecho, X : {y: y e H,

p(y)

: N} :

SENTIGRUPOS, GRUPOS

{y:yeH, Ny: N} : {y:yeH, y€N}: f ttn¡n

.FInN. Por el primer

tqorema de isomorfismo,Hl(NaII)

son isomorfos. Este resultado se conoce como segundo teorema de isomorfísmos.

EJERCICIOS

1. Sea,S un conjunto no vacío en el que se define una multiplicación * por mcdio de s,N. / : s (s, t e S). Probar que ,S es un sernigrupo. Si ,S es un monoide, probar que ,S consiste de .precisamente un elemento.

2. Sea S el conjunto de las matrices de 2 x 2 sobre Q. Sea m una matriz dada e introdúzcase una multiplicación * en ,S, definiendo s x t : smt (s, t e S), donde debe sobrentenderse la multiplicación ordinaria de matrices en el segundo miembro. Probar que S es un semignrpo y eue, si m es no singular, ,S es un monoide. 3.

Sea .9

0 < 2m <

' (yx -

Sea

un semigrupo finito y s e S. Probar que existen m, n eZ, n. tales que s' : sn. Si r : f-', probar que f2 : /.

G un grupo y x,!,zeG.Probar que t (tr- tr- I : x : x!- x- | yx- | zx(x- 1 zx)- t y- | xy.

t) - | (yx)2 (zyx)-

Probar que el conjunto G de las matrices de

donde

2x2

de la forma

( -c+ib c+id\ \-c+id o-t) c, b, c, d e R, a2 + b2 + cz + d2 + 0, es un grupo bajo la multi-

plicación de matrices.

Sea F/ un subconjunto no vacío del grupo G. Probar que ñf es un subgrupo si y sólo si xy-r e H para todos los x, ye H.

7. 8.

Probar que el grupo del problema 2.6 tiene cinco subgrupos. Probar qrre el grupo del problema 2.27 tiene seis subgrupos.

GRUPOS

9. Sea l/ un subgrupo del grupo G. Supóngase que ?üo 1¡¡¡ : {x xeG,x-LHx: 11) y que C,GI): {x:x e G, x-thx: h paratodo h e H\. Probar que Co (.Iy') es un subgrupo normal del subgrupoNc(¡4. Si lG : Nc (It I es finito e igual a n probar que Il tiene precisamente

n conjugados (ver el problema 2.53).

10. Para el grupo de los cuaternios G dado en el problerna 2.68, pro" ¿ genera un subgrupo .FI de orden 4. y halla.r una descomposición en clases laterales de ñI en G.

bar que

I l. Sea G un grupo cíclico de orden 6 generado por r. Sean F/, K los subgrupos generados por x2, x3 , respectivamente. Probar que l.F1l : 3,

lKl : 2, a

: HK y que I/nK

es trivial.

12. Sea G¿(2, R) el grupo de matrices no singulares de 2 x Probar que las matrices de la forma

2 sobre

el centro

/a x\

[o b)

@b*o)

,f rI

forman un subgrupo f/. Probar que el centro de GL(2, R) y que Í1 es su propio normalizador.

13. Sean N1 , N2 subgrupos normales del grupo G. Probar que N, N, un subgrupo normal de G. Si N, n.l{, es trivial, probar que x1 x2 : xzxr para todos los x, e N, ,xze Nz.

14. Sean H,

subgrupos del grtrpo G, tales que

H c K g G. Pro-

bar que

lG:nl: lc'xllr:ri. 15. Sea

GIH

H un subgrupo normal del grupo G de índice 4. Probar

que

es abeliano.

16. Sea ¿ un elemento del gnrpo G

y T: {x:x eG,x-rax:a

que 7 es un subgrupo de G y que, si Co(a) es el centralizador de ¿ en G, entonces lf :Co@)|,: L 6 2.

x-rax: o-t),Probar

SEN'IGRUPOS, GRUI'OS

17. Sean

!. K.

G,H,K grupos y f,g Probar que

homomorfismostalesque un homomorfismo.

GLH,

lB. Supóngase que la aplicación / sobre el grupo G dada por /(x) xz(xe G) es un homomorfismo. Probar que G es abeliano.

19. Sea N un subgrupo normal del grupo G. Sea x e G. Si ¡ tiene orden finito en G, probar que Nx tiene orden finito en G/N. Considerando Z, demostrar que la implicación inversa es falsa.

20. Sea R el conjunto de los números reales considerado como un grupo aditivo y R* el conjunto de los números reales estrictamente positivos, considerado como un grupo multiplicativo. Sea g: R -- R* definida por g(x) : e' (x e R). Probar que g es un isomorfismo. (Ver el problema 2.56.)

21.

Sean H,

subgnrpos del grupo G, siendo

N normal en G. Pro'

bar que

lanllrnrul

l¡1ll¡rl.

22. Sea Z(G) el centro del grupo G. Sea ¿ un elemento de G tal que x-ra-lxaeZ(G) para todo x e G. Probar que la aplicación f dada

por /(x) : x-ra- rxa es un homomorfismo de G hacia Z(G). Si a É Z(G) probar que f no es trivial.

23. Sea É/ un subgrupo propio del grupo finito no trivial G. Supóngase que f/ tiene n conjugados H: H1,H2....,H,. Probar que el conjunto HrvHrv...vI\ contiene, cuando más, n(ltll-l)+l elementos de G. Deducir que G

# A

Hr.

Capítulo 3 Productos directos, grupos abelianos DIRECToS Esta sección se refiere a un método sencillo por medio del cual pueden construirse grupos a partir de grupos dados. 3.1 PRoDUcToS

Problema sobre

3.1

Sean G,

G x llpor

grupos. Se define una ley de composición

19t,ht)(uz,hr):(gtg2,hrhr) (g,eG, h,eH; ¡:1,2). Piobar que, bajo esta ley de composición,

(3.1)

un grupp.

Solución. Por definición, G x H es cerrado bajo Ia ley de composición. Con el fin de establecer la asociatividad, hágase g,eG,h,e

H (¡:1,2,3) Y entonces

, h r) (g, , hz)f @, , hr): (g , g z , h r hz) @, ,hr) : (b, h r) g r, (h, h r)h r) : 1s, (g, g. ), h | (h 2 \)) :(gt,hr)(grht,hrhr):@r,hr)l@r,hr)(gt,h)].

l(o ,

(3.2)

El elemento identidad de Gx fl es (eo,e"), donde €G, €H son los elementos identidad de G, H respectivamente, El invérso de (g, /r)

(geG,heÉI) es (g-t,h-t). por tanto, GxIl es un grupo. A G x Il, con esta multiplicación ,,componente a componente,', se le da

el nombre de producto directo de G y

GRTIPOS

Problema

3.2

Sean G,

H y /i x G son es abeliano si y sólo si tanto G como

grupos. Probar que G x

isomodos. Demostrar que G x

son abelianos.

Solución. Es una verificación fácil que GxH y 11 x G son isomorfos bajo la aplicación .(g,h) - (h,g). Sean (g, ,hr), @ 2, ft, ) elementos de G x H. Entonces (0, ,hr)

(gyhr): @rg2,hrhr) v, por tanto, (g,hr)(o,hr): brg*h2hr) si y solo si g$z: gzgty hrhr: hzht para todos los gl 92eG,hL, hreH. De donde GxH es abeliano si y sólo si G,fl son abetr

lianos.

3.3 Sea G x H eI producto di¡ecto de los grupos G, f1. G: {tn,er):o eG}, ^F : {(ee,h):he.F/}. Probar que @ es isomorfo a G y que ,F es isomorfo a .I1 .

Problema ,

q h :1

¡l ¡,

) ',

Sean

la aplicación J' : G - fi , dada por (g,er) es biyectiva f@): 1'l también es un homomorfismo porque, si gt, gz e G, se tiene f'(grgr) : @tQ2,e¡1) : (gt,er)(gz,er) : Í @t)f@r). Solución. Evidentemente,

y G son isomorfos y, de modo semejante, lo sonIly.F1-. Conviene haccr notar que G. ^EI- son subgrupos normales de G x H taies que6 x H :GE y Gr¡H es triüal. Tambien se dene que(G x mlc De donde G

es isomorfo

a H y (G x II)IE es isomorfo a

i ll

Problema

XxY

3.4

Sean X, Y grupoe .í.ii.o, de orden 2. Probar que al grupo cuatro de Klein.

es isomorfo

Solución, Supónga-se que

Y tienen Ios generadores x, ), , respec-

tivamente. Entonces

y : {("r, er).(x, "r¡,(e *. !),(x,

y)}.

El grupo cuatro G está dado por el arreglo (2.28), Entonces puede verificarse que la aplicación J : G D - X x y, dada por

J'@):

(ex,er), J'@): (e,¡,t),

cs un isomorfismo.

(U¡

: (x,er), .l'k) :

6,y)

PRODUCTOS DIRECTOS, GRUPOS ABELI,\NOS

3.5

Problema

Sean

7it

X, Y grupos cíclicos de órdenes 2,3,

respec-

tivamente. Encontrar los. órdenes de los elementos de X x y. Solución. Supóngase que X, Y tienen los generadores x, y, respectivamente. Entonces (e*er) tiene el orden l. (x,er) tiene el orden 2. (er.l),(e*,f) tienen él orden 3. (x,y),(x,y') tienen el orden 6. Se observa que X x Y es cíclico. En general, si X, Y son grupos ciclicos finitos de órdenes primos reiativos, entonces X xY tambien es

cíciico.

De dos grupos G, H se ha compuesto un tercer gmpo GxH. Tambien se desea saber cuándo puede descomponerse un gmpo dado G en un producto directo ProbleJa 3.6 Sean I/, .I/, subgrtrpos nornales de un gmpo G, tales que G: HrH, y HroHr: [e], donde ¿ es la identidad de G. Probar que G es isomorfo al producto directo Hrx Hz. Solución. Primero se observa que los elementos

d" 4, se corunuxle H,x2e H

tan con los elementos de FIr. Para ver esto, háganse

entonces

x;t(xr rx, x, ) : (x, 1x, lx, )x, e HraH, Ce

lo cual se deduce que x, txrrxrxr: € e¡ lo que es equivalente, ,x1 x2 se conmutan' ' Ahora se define .l': H.rxHr --+ G por J'@¡,xr) : x1 x2(x1

que e

H,x2e H2).

para

Jr1

J'l& r, xr)

Entonces

H,, y, e HT (r

r)l

un homomorfismo puesto que

r y t, xz

_fl(x = xr]/r

se tiene,

xz!z: xrX2!1t,: J'$r.xr)Í(!r,!r). f es suprayectiva porque, si ge G : HrH, entonces g : gtg2 @re H, gze I/r)y entonces f(gr,g): gtgz: g. Í es inyectiva porque si f (h.h2) : e (hre H*hre f1r) entonces h¡h, : e y, por tanto, hr: hzt * HrrtH, de lo cual se deduce que ft, : hr: e. Si G tiene los subgrupos H, H, con las propiedades anteriores entonces a menudo se dice que G es el producto directo de sus subgrupos H, Hr. tr

GRI-]POS

Por conveniencia , se denotará la identidad de cualquier grupo por ¿. Problema 3.7 Sea G un grupo abeliano de orden 9' Probar que G es cíclico o bien isomorfo'a un producto directo de dos gruPos, cada uno de orden 3.

Solución.Si G tiene un elemento de orclen 9 entonces G es cíclico' Supóngase qtre G no tiene elemento de orden 9 y sea xec,x + e. EI orden de x clivide a 9 y, por tanto, r tiene orden 3. Sea Il el subgrupo generado por x,H - {e,x,x2}. Sea y€ G, y * H y K el subgrrrpo generado por !, K : {t,y,y'}. Entonces H¡K : {e} porque yéH y si y2e.FI se tendría y: yly:02)'eH,lo cual se falso' De aquí que se tiene (ejercicio 21 del capitulo 2)

lnxl

l¡lKll HaKl: lHllKl

directo de H y K' p es un primo, es p2, donde orden Se observa que un grupo de

f)e donde G

: HK y' por tanto, G es el producto

necesariamente

abeliano.

noción del producto directo de dos gruPos puede extenderse

La al producto directo de un número finito de grupos' De donde, si

G, G r,. . ., G n son n grupos, se forma el producto cartesiano G txG rx' " xG, y se define una ley de composición por : (9, g'r, g, 9'z''''' n g'n) (ü r, 9 r,.'', g,\ (g'r, g'2,''', 9'n) (g¡'9're G, i : 1,2,"',n)' (3'3) g

Las leyes de los grupos se verifican fácil¡nente y se habla

del

producto directo GrxGrx... x G,, siendo la ley de composición como sc especifica. Sea G, el subconjunto de G, xc2x...X Gn que tiene los elementos de G, en el i-ésimo componente y elementos identid¿d en todas las demás posiciones, entonces G, y G, son isomorfos, G, x

Grx...tGn - GrGr...G, y G, n(G, Gr...G,-r G'*r.'.G,) : {¿} (i:1,2,...,n); los subgrupos G*G2,...,Gn generan a G, x Grx... xGn y tienen la propiedad de que el subgrupo generado por cualesquiera n - I de ellos se interseca trivialmente con el grupo restante. También se observa que (G, xGrx...xG,)lG, es isomorfo a GrxGrx...xGi rrG,*, x...xG, (i : 1, 2,...,n).

PRODUCI'OS DIREC'I'OS, GRUPOS

'\BEI,I.\NOS

Inversamente, puede demostrane que si el grupo G tiene los subHr.Hr,...,Hn tales que G: HtHr...H, y H,r-tHrH, ..H,_rH,*, ..Hn: {"} t¿ : 1,2,...,n) entonces G es isomorfo al producto directo HrxHrx...xHn, brevemente se dice

grupos normales

que G es el producto directo de sus subgrupos H*Hr,...,H,. Resulta claro que si G es el producto directo de sus subgrupos 11,, H2,..., Hn entones evidentemente HraHr: {e\ (i + j). Problema

3.8

Dar un ejemplo de un grupo G que tenga tres subI/. tales que G - HrHzHr,t H,rtHr: {e\

grupos normales H*Hz,

(i +

pero, sin embargo, G no sea el producto directo H

rx Hr.

Solución. Sea G el grupo cuatro de Klein y H* Hr, ,F1. los tres subgmpos, cada uno de orden 2, evidentemente G no es ei producto

directo de estos

grupos.

Una caracterización alternativa y útil es que G es el producto directo de sus subgrupos normales H. Hr,. , Hn si y sólo.si para

todo xeG existen los elementos únicos xíeH¡(r:1,2,...,n)tales que x,x.: xjxif + j) y x : xtxz...xn

3.2 GRUPOS ABELIANOS Un grupo G es abeliano si dos elementos cualesquiera de G se conmutan. En un grupo abelia¡ro G se tiene,

para x,

!eG, (xy)n

: x'y'

0, + 1,.. .).

(3.4)

3.9 Sea G un grupo abeliano. Probar que J : G + G dada por Í'(x): x2(xe G) es un homomorfismo y que si G es un grupo finito de orden impar, f es un isomorfismo. Problema

Solución. f'(xy): (-xy)': t'),': tanto,

es r¡n homomorfismo.

J6)J0 (x. yeG) y,

por

Si G tiene el orden impar d, se escribe

* I (c e Z) y, en consecuencia, si u e G, u : udu : #*t : (u'*r)z : Jfu'*r) demostrando así que f ei zuprayectiva. Ahora puede asegurarse que f es inyectiva, porque una aplicación suprayectiva de un conjunto d

finito

sobre sí .mismo necesariamente es inyectiva; alternativamente,

(;RtrPOs

al núcleo de f, entonces f2 como G tiene orden impar. f : e.

si ¿ e G pertenece

y, por consiguientc.

3.10 Sea G un grupo abeliano y n L¡n entero positi','o. Probar que {x : x e G, x' : e\i es un subgrupo de G.

Problema

ll I'r

Solución. Sean -x, l'€ G tales que x¡ : f : e. Entr:nces (-x.y)' : xnf:€€-e,(x-1f-(x')-1: e. De donde, el subconjrrnto de G qlre consiste de los elementos de órdenes que dividen a

deG.

t: t i

rl'

lr '! J

{

* t, ,t

il I

tr positivo.

de las z-ésimas potencias de los elementos de G es un subgnrpo de G.

I t

un subgrupo

Solución. Supuesto que se tiene, para todos los x, yeG, xn_l"' : (xy)', (x')-1 : (r-t)', se deduce que el subconjunto de G que consiste

l¡

ilt {

3.11 Sea G un grupo abeliano ,v rz un entero que {z: z : xn, x e G} es un subgnrpo de G.

Problema

Probar

Problema 3.12 Sea I el subconjunto del grupo abeliano G que consiste de todos los elementos de ordcn finito. Probar que 7 es un subgrupo de G y que GIT no tiene elementos no triviales de orden

finito.

'solución.

Obviamente,T+ ñ ya que ee I Sean x,yeT. En) I tales que x' : yn : ey, por tanto. (xy)" : x^ny^' : (x-)'$r')n : ee : e. De donde 7' es un subgn.rpo. Se desea demostrar ahora que si zT (z e G) tiene orden finito, entonces zT:T o bien, de manera equivalente. zeT Supóngase que (zT)d:T(d>l). Entonces lf :@f)d:f ¡ por tanto, zd : teT. Por hipótesis. existe c(c ) l) tal que f': e y esto implica que z"d : Q\' : t' : e , a partir de lo cual se deduce que tonces existenm)n

zeT.

En cualquier grupo,

sea abeliano o no, frecuentemente se dice que elemento de orden finito es un elemento de torsión o periódico; de

lo contrario se dice que el elemento es libre d,e torsión. Si todos los elementos de un grupo son periódicos, el grupo recibe el nombre de periódico; si no hay elementos no triviales de orden finito, se t1:ce qtre el grupo es líbre de torsión. Cualquier grupo finito es periódico,

PRODUCTOS DIRECTOS, GRUPOS

ABELI^{NOS

el grupo cíclico infinito es libre de torsión. En un grupo G, los elementos de torsión forman un subgrupo de torsión.

abeliano

llamado subgrupo

3,13

Sea G el grupo cíclico infinito generado por r. Sea *r2a13ob*42";a,b,cez\. Probar que Y es el subgrupo cíclico de G generado por x6. Problema

Y : {y,y :

Solución. Sea É/ el subgrupo de G generado por x6. Entonces - (x6)24+sD*'" e H y, por tanto, Y = H. Ppr otra parte, por el algoritmo euclidiano usual para el máximo común diüsor, x72o+3ob+42c

existen ao, bo, co tales que

l2ao-t

30bo

42co

por ejemplo,eo: -2,br: l,co:0, o bien, ao :2,bo: -4. De donde x6 : tl2oo+30ao+42coe Y y, por tantó, ¡I

aquíqueY:H.

5,co: c y De tr

3.14 Sean x, , x2,.,., xu elementos del grupp abeliano G. Sea H: {t:z: x"r'x|...x7, cíeZ:i:1,2,..., n}. Probar que Jll es un subgrupo de G que contiene a {x*xr,. . ., xn }. Problema

Solución. La primera aseveración se deduce inmediatamente partir de la conmutatividad de G, puesto que

$\'rT ...x";)(xdr'xf ...*i\ -

xc;+drru+ttz

...

rcn+d,

(x"r'x?...x:\-1 :*-ct*-cz...x;"".

El resto es obvio. Se observa que cualquier subgrupo de G que contenga a{x,x, ..., xn) necesariamente contiene a H; por lo tanto, É1 es el menor de tales subgrupos. Se dice que los elementos X1,x2,..., xn generen aHyqueH esgenerado de modofinito: si n:f seregresau la noción previa de generador de un grupo cíclico. Si ¡1 : G entonces se dice que G es generado de modo finito, de donde, G es generado de modo finito si y sólo si G tiene un subconjunto {x. X2,...,xn} tal que todo elemento de G sea expresable como 4t42...x:", para

GRTII'OS

a1,a2,...,an€2. apropíados. Cualquier grupo abeliano finito es generado de modo finito. tr Se dice que un grupo abeliano G tiene vna base linita sí existen xi€G (i:1,2,...,n) tales que xl ,x2,...,xn generan a G y tales que,xi'-r:'.... xi" = s implica que Problema

3.15

x?,

(l : 1,2,...,n).

Sea G el producto directo de dos subgrupos cíclicos.

Probar que G tiene una base de dos elementos.

solución. Por hipótesis, G tiene los subgrupos normales cíclicos H2tales que G : HrH, y HroHr: {"}. Supóngase que los x, generan a los 11. (i : 1,2). Entonces

Ht,

x\'xir: s,

-si ua2-^ n2 -8.

S€ tiene

{z : z

x1,x12:

a,areZ}

xi' - x;" eíra?ry, por tanto, xlr :

Obviamente, este resultado se extiende hacia el producto directo de cualquier número finito de grupos cíclicos.

3.16 Sea G el producto directo de los subgrupos cíclicos infinitos generados por a, á, respectivamente. Sean c : aab5, d :

Problema

a2b3 y 11

el subgrupo generado.por

d. Probar que ÉI es un sub-

grupo propio de G que tiene a {c,d} como Solución. Supóngase que se tiene Entonces Q4ñ+2nb5m+3' t

l¡

hase.

c^d : e para

(aabs)^(a2b3)n

c^dn

algunos m,n.

Y, por tZnto, como {a,b} es una base de G, a4^+zn : b5^*3, : e. Pero a, b generan grupos cíclicos infinitos y, por tanto, debe tenerse 4m + 2n:0,5m * 3n:0, de lo cual se ded.rce que *: Í:0 y de aquí 9ue ct : il : e. por tanto, {a, brl es una base de .F1. Si.FI : Gentonces, en particular, aeH y, por tanto, para algu_ nos r, S, Se tendría

lo cual implica que a : (a4b5)'(a2b3) : a4t+2sbst+3s 4rt2s - l, 5r+3s : 0.

PRODUCTOS DIRECTOS, GRUPOS Estas ecuaciones

ABELIANOS

no tienen soluciones entera.t y, en consecuencia,

tiene una contradicción. De donde H + G. Se observa que .F/ es el producto directo de los subgrupos cíclicos

tr infinitos generados pot c, ¿1. Se dice que un grupo G es un grupo abeliano libre generado de modo finito si G es el producto directo de un número finito de subgrupos cíclicos infinitos. De manera equivalente, un grupo abeliano libre generado de modo finito G tiene una base finita {x,xr,...,xn} 1,2,....,n), una base de G tal que x!': e implica que a,:0(i: de este tipo recibe el nombre de base l¿'á¡¿: evidentemente, un grupo abeliano libre es libre de torsión. Problema 3.17 Sea G el producto directo de tres subgrupos cíclicos infinitos A,B,C generados por a,b,c respectivamente. Sean M,N,P los grupos cíclicos generados por a2b3c, ab-acz, a-tc-r, respectivamente. Probar qtre M, N, P son grupos cíclicos infinitos tales que

M xNxP.

Solución. Primero conviene hacer notar que, como G -- A x B x C, todo elemento de G es expresable de ¡nodo único como aubuc- para u, u, w (u, u, w e Z). apropiados. Con el fin de demostra¡ Que G : M x N x P, se tiene que demostrar que cada uno de esos elementos

de G es expresable como (a2b3cY @b-ac2Y

@-r"-r¡z - o2x1!-z

63x-4v ,x+2v-z

para & y, zez. apropiados (es decir, que G : MNP) y, además' que esta expresión es única (es decir; queMnNP -- N¡MP -P¡MN : {"}). Sin embargo, todo elernento de G ptrede ser expresado así. porque las ecuaciones lineales

2xly-z : 3x-4Y : x'l2Y-z :

u 1¡

(3.s)

admiten una solución única con coeficientes enteros. a saber

x:4u-u-4w ! : 3u-o-3w z : l0u- 3u- I lw.

(3.6)

GRUPoS

De aquí que G

: Mxlüxp.

Puede demostrarse que si G es un qnrpo abeliano libre senerado de modo finito con base libre {x,xr,...,xn},,.si {yr,!2,...,/.} ". un subconjrrnto de C. donde

!¡ : x\txi',...xon'n li : entonces

2,...,*)

{!1,12,...,},^} también es un¿l base libre de G si y sólo

: n y Ia matriz (a,r) de los índices

tienc detcrminante igual a * l. De donde, el número-de elementos en cualquier baser iibre es independiente de la base elegida; este número recibe el nombre de rango de G; un erupo abeliar.té lib." de ranso ¿ es isomorfo al producto directo de n grupos cíclicos infinitos v dos r¡¡1¡p6s abelianos libres son isomorfos si v sólo si tienen el mismo rango. El rango de un grupo abeliano libre gcneraclo de moclo finito es análogo a la dimensión de un espacio de crimensión finita 'ectorial sobre R. No obstante. nótese qrre un crupo cíclico infinito y todos sus subgrupos no trit'iales tienen el mismo rango, 1, rnientras qrre los subespacios propios de rrn espacio

necesal'iamente tienen rrna 'ectorial dimensión inferior a la del espacio completo. En el problema que sigue se da una propiedad importante v característica de los gnrpos abelianos libres. tr

3.18 Sea F un gnrpo abeliano libre de ranso rz que tiene aX : {x,xr,...,xn}como una base libre. Sea G un grupo abeliano y f i X + G una aplicación. Probar que I "se extiende,' hacia, un homomorfismo g..F+e. Problema

Solución. Lo que se está tratando cle hacer es definir un homomorfismo.g sobre F que coincida con la aplicación / sobre X, entonces se dice que g es una extensión de l. Por tanto, se desea tener g(x-) : f'(xr)(i: 1,2,..., n) v si g debe ser un homomorfismo. cle necesidad. debe definirse

g(xi,x\,

.xi")

: :

¡g1*))', . . .ls$)]"^ U(x, )f"' l1'$r)1". .. [./(x, )]'". ¡91", )J,'

Ahora bien, como todo elemento de F es rcpresentable cle modo único en la forma xi,*i,...xi,,g, de hecho, g esta bien clefinida como r¡na. aplicación. Pero g también es un homomorfismo. va que

I'RODUC-I-OS DIRECTOS, GRUPOS

,\BELI.\NOS

sl@i'*i'... xi")(xl'xó;. . xi'')l : g(xot' * b rxt'* t' .. . 4,,*rJ : [/(x,)J"' + b'lJ (x )f"' +". . . [./'(x")]'"*'" : 1[/'(-x, )J"' [ ¡ 1r r))"' . U (x,)]'i (U'(x, )lo' U (xr)1". . . ["f("")]u"

: g(x?x'j..."*:")g(xbr'xb2'...x1").

(3.g)

Incidentalmente, se ve por qué se dice que F es "libre" y qrre tiene una basr¡ "libre": la aplicación i ptrede elegirse como se

desee.

3.19 Sea G un gn¡po abeliano generado por{r, ,t2,. ., rn). Sea F un grupo abeliano libre de rango,r. Prohar qrre prrede

Problema aplicarse

epimóriicamente sobre G.

Solución. Por hipótesis. F tiene una base lihre X : {x' x2,...,x,} (digamos). Defínase J': X - G por /'(x,) : t¡(í: 1,2,...,n). Entonces f se extiende a un homomorfismo g:F - G v g es srtpravectiva. ,va que todo elemento de G tiene la forma fr'fr'...1": g(xi'xit...

xi,").

3.20 Sea F el grupo abeliano libre con base libre {x, y, z}. H el subgrupo de F generado pol' {*',r-ty,ytt\. Prohar que

Problema Sea

FlHes cíclico de orden

Solución. Sea G el grupo cíclico de orden 6 con generador f. Se aplicará É' epimórficamente sobre G de tal manera que H sea el i:rlcleo. Primero se define f', {r,y,z} - G por /'(x) : t3, J'(y): t3, f (t) : f-1. Entonces f se extiende hacia un epimorfismo, el cual tambiérr se denotará por /, de i'sobre G. Sea K el núcleo de /: tienr que demostrarse que 11 : K. Sea ue.F1. Entonces. para a,b.c,

apropiados se tiene u

(*')o

(x-ty)'(yzt) :

*2o-brP+ct3c

y, por tanto. como ú tiene orden 6. J'

(u)

: : :

lJ'1x¡1'"

-o

["f(y)]'

lf'Q))"

t¡rc ftt¡za-a (rr¡a+" 1¿-

(t6)'

GRIIPOS

fI c K.

De aquí que para m, n, p e

Inversamente. si u e

se tiene u

x^y'zp

apropiados v

: f (u): ["f(x)].lf

Esto implica que 6 divide a

donde

m-ln-q

{.ri.f,lf @fo

Qr^ (tt¡¡-n

¡3m+3n-P.

3m*3n-p

y, por tanto. p

m+n-e:2r(reZ).

es par, disamos

3q (q e Z), Consecuerr-

temente, se tiene

: :

x^ynzp

(x2)'(x-

y2r-n+erntSq y)n - s(yz3)s

eH. De donde, K c H. Ahora se aplica el primer teorema de isomorfislnr¡ (problema 2.70) para concluir que F/K es isomorfo a. G. Esto establece el resultado. Problema 3.21 Sea K un subgrupo de un grupo abeliano tal que @/( es un grupo abeliano libre generado de modo finito. Probar r¡rre existe un subgrupo F de G tal que F es isomorfo a GIK y G : KxF.

lr t'-

Solución. Supóngase que GIK tiene a {x, K,xrK,. .., xnK} como uná base libre. Entonces) como se dice, se "levanta" esta, base lible hacía G, haciendo a F el subgrupo de G generado por {x, ,x2, " . .,x,}. Se probará primero que G : FK. Sea x e G, entonces. para alqrrn.ri

xK : lo cual implica

t K)o,

z KY, . . . (*,KY"

(ror'

. xi")

qrre

xor'xt'...xX"k

donde k e K. De donde, G : FK. Ahora se demostrará. que FnK es trivial. Sea aeFnK, entonces, para algunos b, br,..., b,eZ, u: xblxb2'...x1^" y, portanto, K: uK: (xrK)b'(xrK)u'...(rr"k)0". Dado que UrK,rrK,...,x,K) es una base libre, se tiene b', : br: ... : bn : 0 y' por tanto, u : e. De donde FnK es trivial. Ahora se tiene G : F xK y de aquí que F es isomorfo a GlK.

PRODUCTOS DIRECTOS, GRUPOS ABELIANOS

aseveración

no se cumple necesariamente si GIK no es un

grupo libre. Problema

H y GIH

3.22

Sea 11 un subgrupo del grupo abeliano G tal que son generados de modo infinito. Prpbar que G es generado

de modo finito. Solución. Sea H generado por x' X2,...,x^ y GIH generado por Hlr, Hyr,..., Hl,. Se afirma que G es generado por x' x2,...,X^, !t, 12,..., !n. Sea w e G. Por hipótesis, existen bt, b2,.'., b,eZ tales que

Hw Y' Por

tanto,

(Hy r)r,(Hy r)0, . .. (H y,)r"

fr,fr,

.fr.h

donde he 11. Puesto que ft eIl, existen a1, a2,..., a^e Z tales que

h: xi,t...xii

y, por tanto, w

lo cual

establece

: l'

f^,... ¿n f"x1,x2r... | ¿

. L¿Z

xo^ m

el resultado.

.La conclusión anterior es verdadera sin la hipótesis de que G sea conmutativo, siendo necesaria sólo una ligera modificación de la solución

anterior. 3.23

Sea G un gn¡po abeliano libre generado de modo 11 un subgrupo de G. Probar que I/ puede ser generado de

Problema

finito y

modo finito. Solución. Si G es generado por un elemento, entonces G es cíclico

y, por lo tanto, también lo es l/. Razonemos por indución m¿temática. Supóngase que G es generado por r? (>1) elementos x1,x2, . .., xn Y que un grupo abeliano generado Por menos de ¿ elementos lienc la plopicdad de que todos sus subgrupos son generados de modo iinito. Sca K el strbgrupo de G generado por x1 ,X2,...,x¡-r.Por la hipótesis de inducción, todos los subgrupos de K son generados de modo finito. Si K : G, entonces H es generado de modo finito como

GRUPOS

8ri

un subgrupo de K. Supóngase que K + G. Entonces GIK es cíclico, siendo generado por Kxn, y, de donde, el subgrupo HKIK de GIK es ciclico. Por el segundo teorema de isomorfismo (problema 2.74), Hl@aK) es ciclico. Ahora bien, .FInK, siendo un subgrupo de K, es generado de modo finito y de aquí que (problema 3.22) H es generado de modo finito. tr Problema 3;24 Sea Z el subgnrpo de torsión de un grupo abeliano generado de modo finito. Probar que Z es finito.

Solución. Por el problema 3.23,

es generado de modo

finito por

t1,t2,..., ú, (digamos) donde, por hipótesis existe r, tal que fli: e (i: 1,2,..., q). Esto implica que todo elemento de ?' es expresable como t"r't"2'" ' f donde 0

(

z¡

{

(i : l,

..., q).Se deduce que T

finito.

3.25 Sea p un primo. Sea G un grupo abeliano y Go el subconjunto de G que consiste de todos los elementos cuyos órdenes son potencias de p. Probar qrre Go es trn subgrupo de G. Si Go es finito, demostrar que lGol es rrna potencia de p.

Problema

1Q, potque e: epo eGo. xp^: yp": e Para algn-rnos m,n. T)e

.Solución. Se observa primero que G,

Sean

x,yecp.

Entonces

aquí que

(xy)o^'"

*o^t^

yr^'" : (xq\e"o,"),^ :

@-t¡0^: (xe-)-r :

e. De donde, Go es un subgrupo. ahora Go un srrbgrupo finito. Sea xe Go,x * e y H el subgrupo generado por x. Supóngase que r tiene orden p', entonces H tiene orden p' (ver cl problema 2.26). Considérese GlH. El conjunto de los elementos de GIH qrre tienen órdenes los cuales son potencias de p, fácilmente se \,e qrre están en GrlH. Esta observación proporciona un medio para un argumento de inducción. Si ¡1 : Gy, por tantd y si'H c, "r,tán.", lGrl ¿ ""i"n.", lc,lHl. lc"l se tiene la hipótesis de indtrcción de que la aseveración es verdadera

Sea

PRODUCTOS DIRECTOS, GRUPOS

ABELI.{NOS

para GelH. De donde, supóngase qelGolHI: entonces,

lGol

lcelHl,,Hl:

p"p,

I]7

para algún s y,

p,*".

Esto completa el argumento de inducción. A Go, sea finito o no, se le conoce como p-subgrupo de Sylow de G (en honor de L. Sylow, matemático noruego l832-1918). Se observa que cualquier subgrupo de G que consiste sólo de elementos cuyos órdenes son potencias de p está necesariamente contenido en Gr. Si G, es finito, el orden de tal subgrupo es una potencia de p. tr Problema 3.26 Probar que un grupo abeliano finito G tiene un subgrupo de Sylow no trivial para cada primo que divida a lGl y que G es el producto de esos subgrupos de Sylow. Solucíón. De paso se hará la observación de que si p es un primo que no divide a lGl entonccs el p-subgrupp de Sylow Go es simple-

mente {e}.

Sea lcl : pot'pZ'...pi', la factorización de lcl en el producto de los primos distintos p1, p2,. . . , pn. Para facilidad en la notación, sea G, el p,-subgrupo de Sylow determinado por p;(i:1,2,...,n). Se sabe que lG,les una potencia d" p, y que divide a lGl. De donde, lc,l : pf' , donde b,4 a,(i : 1,2,...,n). Se desea dernostrar rlue lG,l : pi'(i: 1,2,...,n) y que G : Gtxc2x ...xGn. Se empleariin argumentos aritrnéticos. Sean los enteros 4, definidos por pi'q,: lCl t¿ : 1,2,..., n). Como pi' y {, son primos relativos se tiene, por el algoritmo de la división en Z, que existen c,, d, e

tales que

c,Pi'*d,q,: | (i: 1,2,...,n). También se tiene gue 4r, e2,...,4n tienen el máximo común divisor 1 y, por tanto, nuevamente por el algoritmo de la división, existen fp f 2,..-,f',e Z tales que

l\ e, + frqrt ... t J^q, : l.

que G,r'tGrGr...G,-, G,*r. ..G, : {r\. Sea x€ G,nG1 Gr...G,_, G,*r...Gn.. Entonces x : xi : Xtx2...xi-r Probemos ahora

GRUPOS

xi+ l ...

cia

xn, donde xreGr(J: 1,2,...,n).Puesto que xja Ia poten'

P?i es

- 1,2,...,n)

se deduce gue

(xrxr..,x¡_r y de aquí que

Para probar que G

: -

x¡+

1...xrft

(x a la potencia c,pi'*d,e,) (x a la potencia p4t¡c1ret¡at

: GrGr...Gn ,, v-v -

.,-fr

toma

qtl-f zqz+...+-f

yeG y entonces

"q"

(f ')r'(f'Y z . . . 1ra,,¡r ". Pero (¡ra' a la potencia P?): ylcl : € Y, por tanto, f'eGr(i:1,2, ...,n). De donde !eGtGr...G, y G: GrGr...Gn. Ahora se ha establecido que G: GrxGrx...xGn. Ahora queda claro inmediatamente que lG, I : Pf', puesto que f,,,

ü,...

f" : cl : I

,'i

.or:

rllcrl... I c"l Pbr'fzt "'Pl" I

btf:1,2,...,n).

Problema

3.27

¿Cuáles son los órdenes de los subgrupos de Sylow

de un grupo abeliano de orden 2352? I lr

: los órdenes L6,3,+9.

Solucion, Dado que 2352

tienen

x3x72,

los subgrupos de Sylow

Los grupos abelianos generados de modo finito surg"en en varios contextos algebraicos y topológicos; se conoce la estructt¡ra y la caracterización de tales subgrupos. Si G es un.grupo abeliano generado de modo finito entonces G es isomorfo a TxF, donde I es el subgrupo de torsión de G y F es un grupo abeliang libre generado de modo finito isomorfo a GlT. (Ya se sabe que G determina a T y que GIT es libre de torsión generado de modo finito; se está afirmando un poco más, a saber, que los conceptps de grupo abeliano libre y de grupo abeliano libre de torsión coinciden púa los grupos abelianos

PRODUCTOS DIRECI'OS, cRUPOS ABIll.L\NOS

finito -ver el problema 3.21.) Además, G deter.mina el rango de F y T, es el producto directo de sr.rs srrb¡;rupos de Sylow no triviales,- cada los cuales es el producto áirecto 'no de de los grupos cíclicos de orden igtral a la potencia de un primo, el número y los órdenes de los cuales son únicos. En otras palabras, un grupo abeliano generado de modo finito G es isom<¡rfo a un producto directo de la forma generados de modo

Co,tr

t Cortr.*...

x Cr-s. x F, x F

rx...x

(3.e)

1onl" Corr, es un grupo cíclico de orden plrA:1,2,...,m), no siendo pr'. p2,..., p^ necesaria¡nente primos di.stintos y donde F, es un gn¡po cíclico infinito (f : 1,2,...,n).Si G también es ison¡orfo a (3.10) r, C oro rx.. . " C o^,on, x F I x F rx... X F,, entonces m' : m, n' : n y, con una renumeración posible de los subgrupos, Co,or rt isomorfo CrrrjQ : l, 2,...,m). C

oro

Problema

3.28 Hallar

todos los grupos abelianos de órdenes

solución. Estrictamente, debería incorporarse la frase .,salvo isomorfismos" en lo anterior, ya qr¡e crxiste trna infinidad de grupos de orden 4. Comúnmente, se omite la frase, s.brt:entcndióndose q'e queda implícita. Se tiene 4:22 :2x2 y, por tanto, (salvo isomorfisrno) exis_ ten dos grupos abelianos de orden 4, siendo r¡no cíclico de orden 22 y el otro el producto directo de dos grupos cíclicos de órdenes 2. Se tiene 6:2x3 y, por tanto, /salvo isomorfisnr,o) sólo hay un grupo abeliano de orden 6, siencro éste el prodrrcto directo de r¡n grupo cíclico de orden 2 y un grupo cíclico de orden 3. C] Problema

3.29

Encontrar todos los g.rpos abelianos de orden

72.

Solución. Sea C. un grupo cíclico de orden r. Como j2: gx9. c'alquier g.rpo ublliuno de estt, orden es de un. dt: los tipos si-

guientes:

CrxCn, C, x C. x C, Cox Crx C* Cox C rxC, x C., CrxCrx CrxCn, Cr.x Crx Crx Crx

Cr. tr

(;Rtrl'()s

3.30 Sea G un grupo abcliano libre generado de modo finito y ^F/ un subgrupo no trivial de G. probar que H también es un grupo abeliano libre gt:nerado dc modo finito.

Problema

Solucíón. Srrpuesto t4ue .fl es un subgnrpo de G, H es libre de y generado de modo finito ( problema 11.23 ). por una ob-

torsión

serv'ación antr:rior, 11 es abeliano

libre.

't Lt

,l 'l

Problema 3.31 I)ar un ejemplo de un grupo abelian() que gent'rado de modo finito.

sea

,t I

Solución. El grrrpo

dt,. la.s

('s

raíces 3n- de

dado en el problema 2.25

un srupo de torsión pero no finito y, por tanto, no puede ser generado de moilo finito lproblcma 3.24). tr Con frecuencia, particularment(: cn las aplicaciones, un grupo abeliano aparece en notación aditiva. En un grrrpo abeliano ,{ de este tipo, la ley de composición <:s la adició¡t. El elemento identidad para esta ley de composición es el cero de la adición, O, y el inverso de xe,4 se denota por -x. Por ejemplo, f con la adición como composición es un s.rpo aditi'o. Es posible enrrnciar en otra forma las nocionr:s dc los g.rpos abelianos en notación aditi'a. El subgrupo de torsión dt: .r4 r:s T : {r..xeA, mx:O,meZ,m * 0}. Cual_ r¡uirrr srr¡po cíclico infinito es isomorfo uZ y, por tanto, un gnrpo abcliano Iibrc g.nerado dc modo finit, r's la .ruma dirccta de ,n nrimuro finito dc <:opias isomorfas de Z. Problema 3.32 Sea ¿ un entero positir;o y, K" el conjunto de los enteros divisibles entro n. Probar que K, es un srrb.qrvpo d,e Z y clrr.. Vf K, es un .qrupo cíclico de orden t.

Solución. Se tiene grupo pucsto (llre

K, : {x : x :

/t!, y € Z} 1.

es un sub-

nyr+ny2: n(y1+yz) -(nyr): n(-!tl. l,as clascs latt'rak's de K, en Z son precisamente Kr. Kn+ l. K,+2. K,+(n- 1), dondc K,+r : {u:u : k+r,k e K}. ño .* difi.ii .'".

PRODUC'IOS DIRE(;1'()S, (;RtrP()S .\RF-t,1.\N()s

que K¡+l (de hecho, cualquier clasc latt'ral Kn+s. donde.r y n son primos relativos) genera a ZlK,. Se usa la notación Zn por Zf K,, entonces Z, es el grrr¡xr cíclico típico de orden n. tr

3.33 Sean B, C subgnrpos del gnrpo abeliano aditito ,4. Probar que Bf C es un subgrupo de ,r{.

Problema

Solución.

Setiene B+C : {x:x:

b+c, beB, ceC\,

éstt:

el menor subgntpo que contiene a B y C. tr En lugar del prodrrcto directo (finito) de los gnrpos, ahora se tiene Ia suma directa, denotada @, de los rrnrpos. l)e donde Zr2e)ZLz es isomorfo a la suma directa de dos ,qnrpos cíclicos, cada uno isrrmorfo a Zrr. Todo grupo ah'liano aditivo generado dtr modo finito es

,¿{

es isomorfo a Z

o,t

r@Z

o,t

r@. . .@Z r,^spZ@Z@.

(3.1l)

.@Z

donde aparecen z "copias" de Z y donde p1,p2,,..,p^ no son nccesariamente primos distintos. esta desc()mposición de I es rinica salvo iso¡norfis¡nos. Problema

3.34

Encontrar todos los subgrupos abelianos de ordt'n 675.

: 33 x 52 se tienc, salvo isorn<)r'fisr¡to. Zzle)L2s, Z27e)Zse)Zs

'Solución. Como 675

Zse)Zt@L2s, zr@23@ 3Ef^zzs,

Zs@Zt@Zs@Zs

z3@z3(f^23@zs@zs. tr

EJERCICIOS

l. Sea G un grupo cíclico de orden mn, donde ,n,n son ('nteros cuyo mírximo_ común divisor t's l. Prob¿rr <¡rre G tiene los strbsrrrpos l, B, dondelll: v t¡ut: G es isomorfo ¿t AxB. ^,lnl:,

Sea 11, un subgrupo del g.up,t

es un subgnrpo de GrxGr.

Gt$

:1,2).

Su¡lónga-se

Probar que

HrxH,

que Gi es el grtrpo ciclico

GRUPOS

de orden 4 generado por xi (i : l, 2). Probar que 11 : {(x?, xi): m : es un subgrupo de GrxG2 pero no es de la forma HrxH, para H, I/, cualesquiera.

0,1,2,3\

Sean G, yII, grupos y f'r,: G, ' 11. r¡n homomorfismo con núcleo Probar que 1, 2). la aplicación I definida por

K, (i :

f'(gpgr) : es

homomorfismo

fr@r)) @,e G,,i : con núcleo KrxKr. U'r@r),

1,2)

+. Sean N' N, subgrupos norrnales del grupo G. Probar que la aplicación ¡ * (xN, , xN2 ) es un homomorfismo de G hacia GIN ,x GIN , con núcleo N, nNr. finito generado por x* x2,..t, xn donde x, tiene el orden n,(i:1,2,..., n). Probar que lGl divide an, fl2...n,.

Sea G el grupo abeliano

6. Sea G el grupo abeliano libre de rango 2 que tiene a {a,b\ (a,beG) como base. Sea c : asbg,d: a2br. Probar que {c,d} también es una base libre de G.

G el grupo abcliano (aditivo) libre con base libre {a,b,c}. el subgrupo generado por 3a, l5b,7c. Probar que É/ es abeliano libre y que GIH es la suma directa de tres grupos cíclicos de órdenes 3,15,7. Sea

Sea .É/

Escribir el arreglo que dé la lev de composicifn (aditiva) en Zu. Encontrar los inversos de 2+2u,5+26.

Verificar <7ue Zru es isomorfo a Zn@Zn.

10. Probar gue Zzoa+s es la suma directa de strs srrbgrupos de Svlow

de órdenes 121 v

'169

Capítulo

Simetria, geometría

4.1 GRUPOS DE PERMUTACIONES Problema 4.1 . Sea X un conjunto no vacío V S(X) el conjunto dc biyecciones de X sobre de X. Probar que S(X) es un gruPo baio la composición de las aplicaciones.

Solución. Por el problema 1.22, si l, S, sn biyecciones, entonces tambíén es una biyección. La composición de las aplicaci,ones es asociativa (problema 1.24). La aplicación identidad r" cs trivialmente una biyección y (problema 1.27) la inversa de una biyección también es una biyección. De aquí que S(X) es un gruPo' Con frecuencia, una aplicación uno a uno de un conjunto no vacío X sobre sí mismo recibe el nombre de perrnutación de X. Se ha demostrado que el conjuntp S(X) de todas las permutaciones de X es un grupo; este grupo se llama grupo sirnétrico sobre X' Cualquier subgrupo de S(X) recibe el ngmbre de grupo de permutaciones. En beneficio de la brevedad en la notación, comúnmente se omitu el o de /'" g al escribir el producto de las permutacipnes / y g. E IJn caso importante que debe considerarse surge cttando X es

!'" g

finito

4.2 Sea X un conjunto finito de r¿ elementos. Proh'rr que el orden áel grupo simétrico sobre ,t cs r!. Problema

GRUPOS

Solución. Sea X : {"r,x2,...,x,}. Sea peS(X). Entonces p(xr) puede ser cualquiera de los ¿ elementos x¡, x2,. .., xn j supónga.re que p(x, ) : x¡,. Supuesto que 2 es uno a uno y sobre. entonces p(x, ) puede ser cualquiera de los n-l elementos x1 , x2,.:., xí,_t, xi,*1, ..., x,; supóngase que p(x, ) : x¡,. Entonces p(x¡ ) puede ser cualquiera de los z-2 elementos obtenidos al omitir xir, xí, de xr, x2, ...,x,. I)e donde, se tienen z elecciones para p(xr),n-l elecciones

I I

para p(xr), n-2 elecciones para p(xr) y así sucesivamente, dando n-(k- l) elecciones para p(x*). De donde. en total, existen n(n-ll ...2"1 elecciones para p y esto establece el resultado. tr Sea X finito y supóngase que X : {x' x2,...,xn}. Entonces, para una permrrtación dada f de X. a r.'eces resr¡lta conveniente escribir

, : (ri;,)

;:,)

,.*)

(4.1)

donde la notación indica que p:x,-p(x¡)(i:1,2,...,n). Si se está considerando abstractamente algún grupo de permutaciones, es común representar las permutaciones como si fueran sobre los símbolos \,2,..., /l yr por tanto, una permtrtación r sobre {1,2,...,n} se escribc como

lt 2 ... n\ : l.rttl 42) 4d)'

(4.2)

En este casq se escribe S, puru denotar al grupg simétrico de todas las permutaciones sobre los sírnbolos 1,2, ..., n; nótese que, en este caso, no importa el orden natural de los símbolos. La permutación se So dada pors(l) : 2,s(2) : 4,s(3) : 3, s(4) : I pr¡ede denotarse en cualc¡uit ra dc las formas sigrrientes como

':(:i I i):(i :i Si /eSo

estir dadq por

i):(i

r(l) :4,t(2):

t:lolt234\ 3l

i:i):,

3, t(3)

(4.3)

: l,t(4) - 2. es decir.

SIMEf'RIA, G.EOMtr'TRIA

el producto fs está dado por

rE243 Z\+J*Z (4.4)

:$¡4r q\tLq el cual se escribe de manera sucinta como

":(l i i )(: i:

l) :(3

: i lxl i: (l i"I

t (45)

El lector debe notar que, en algunos otros libros de texto. va a encontrar otra convención de multiplicación. P¡oblema 4.3

t.u":(1

2?,:li) 234s6

7\.

b:(r 67l \3 Encontrar

a-r y verificar que a-rba

s 42)

Solución. Fácilmente pucdr: r'erificarse que

6 7 3 5 I 2\_/l z 3 4 s o o_,:(4 " :\r 2 3 4 s o z/:\o j 4 l 5 2

z\ 3)'

Se tiene

2 3 4 s ó 7\/l 2 3 4 s 7\ ro:(t '"-\3 6 7 r 5 + z)\+ 6 7 3 5 6t 2)

:(l

i::; Í

GRUPOS

y de aquí

que

u,u,:(L?,i i

;t)(l It234s6z\ ii:l:,)

:(o t t 3 5 i ,¡*u'

Nótese que la inversa de la pbrmutaciÍn a es la permutación que

"deshace" el efecto de ¿. De donde, en general, si

-o : donde P(i)

i¡

(i :

1.2,

..,n),

o-' P¡oblema

4.4

(. '.t2 \tr

i) ln/

(4.6)

se tiene

(i '; ::: l)

Escríbanse los elementos

tr $.7)

S. y encuéntrense

sus

órdenes.

Solución.

üene seis elementos,

a saber.

(t : i),(i 3 ),(l ? ), (l ?),(l (l (l

;) :)

la permutación identid"a

pero

(]\ ; i)ü '

(j I i) ,t"'" et orden 3 porque

; i) :(t ?:).(i::)

(j 3 )(; 3 i)(; ; ¡

:i)

):(l ::)

SINTE

De modo

,"-.jurt",

TRIA, GEOIIEf'RI.\

ciones restantes tienen el orden

Problema

4.5

,t.""

(j ? i)

Probarque S.

el orden 3 y las tres permuta-

isomorfoalgrupo del problema2.27.

Solución Es rrna verificación de rutina que la aplicación isomorfismo, donde

,(,): ,(.)

(l :

i),

¡\ :lzlt zt 3),

r¿ es

(t I ), ,(r) : (l ? ) ,(d:(l 'ri), ,.n:(l :)

"("):

Una permtrtación no trivial p de {1,2,...,n\ recibe el nombre (l < r ( n) si p tiene la forma

de ciclo de longitud r

: (', i2 ', \i, i3

i, i,*1 ir+z i, j,*t jr+z

La permutación identidad la notación se abrevia P

donde se sobreentiende

se llarna

{,) jJ

(4.g) t¡

ciclo de longitud I. Comúnmente,

Gt i2 ... i,)

que p(ir) :

iz,

qrre los símbolos restantes no son movidos

(4.e)

p\z) : ir, ...,p(i,) : il por p. Así,

(: i'. : : 2'- l):t' \18546273/

se escribe

8 3 5 6)

(4.10)

Sin embargo, nótese que como esta notación no indica los simbolos

que no se han movido, debe inferine su existencia y número a partir del contexto particular, así, por ejemplo, el ciclo (1 2 3) podria

*' (i 3 i)' " b'"., (i i t, i ;)

te, la permutación identidad se denota por

con'encionarmen-

C;RI.]POS

Problema

4.6 En Sr, verificar

que

(2 s 4)(3 6 7 5 l)(3 I 4):(l 2 s)(4 6 7) : (4 6 7)(l 2

s).

Solución. Pueden evaluarse directamente los productos, si sencillamente se verifica con cuidado lo que sucede a un símbolo dado. Así, el p?oducto

(254)(36751)(314) se obtiene

a partir de

l-+4--+4--+2 2--+2--+2--+5

3+l--+3--+3 4--+3--+6--+6

5--+5--+l--+l 6-6---+7---+7 y, por

tanto,

(254)(367sr)(3

'-+

--+

tq:(: ? 1 2 I i

Con más facilidad se establece que

(t2s)(467):(467)(trr:(t

?i 2I

Se obscrva que no existe símbolo movido por ambos

y que

i')

(l 25),(467\

estos ciclos se conmutan. En general, se dice que dos ciclos r e S¡ son ajenos si ningún símbolo movido por p es movido por

p, r, e

inversamente.

Problema

4.7

Probar que ciclos ajenos de

Solución. Sean

(itir... j,)

s,f

ciclos ajenos de Sn. Sea

donde, como

r y , son

se cpnmutan.

s: (irir...i"), t:

ajenos,

{i,i2,...,i,}^ür ,j2,...,j,} : ñ.

SINÍETRIA,

Ya que u+u < n, seaw restantes.

GEOMETRIA

: n-u-t) y kr, k2,..., k*, los símbolos

: i, y entonces (s¿)(i"): s(t(j")) : s(i.): L*, (ts)(i,): r(s(i")) : t(io*r): io*t'

Por conveniencia, hágase í¡+1

De modo semejante, (s¿)G)

trivialmente,

(s|(k")

(rs)(7¡)

(ls)(k

De aquí que se ha establecido que st Problema

4.8

: ts.

Expresar la permutación

lr 2 3 4 5 6 7 8 \z 8 s I 3 e 6 4

ll como

9\ 1)

un producto de ciclos ajenos.

Solución.

(: i 1s :r :3 92',6 4i . \2 8

l:(1 7)

284)(3 s)(6s7)

Puede demostrarse que cada permrrtación es un producto de ciclos

ajenos. Un ciclo de longitud 2 se llama transposición. Problema

4.9

Expresar

P:l

2 3 4 5 6 7 8\I

\: 4 s 6 l 2 8

como un producto de transposiciones.

Solución. Primero se escribe de ciclos ajenos. Entonces

la permutación como un

(l 3 s)(24 6)(7 8).

producto

I(X)

GRT]POS

Entonces es inrnediato

y, por tanto

3 s)

quer

(l s)(l 3), (246): (26)(24)

p -- (r 5)(l 3)(2 6)(2 4)(7 8). Puede demostrarse que toda permutación es rrn producto de tra

n sposi c i o n es.

Problema

4.10 En Sr, evaluar el producto (54)(l 2)(l

5)(24).

Solución. Se tiene

l-l+5-5-4 2-4-4-4--+5 3--+3--+3--+3+3 rl ,I ir

'll

;i 'l út

:l i;l

4-2-2-|--+| 5-5*l--+2+2 es decir, (54)(l 2lt s)(24): (t. : : i :) '\4s3 t2/

Así como se permutan los símbolos xr) x2,..., xn o, lo qtre es eqtrivalente, se permutan los subíndices de los símbolos, también se ptreden considerar las permutaciones de polinomios en estos símbolos, imaginadas como conmutación de indeterminadas. Así si s :

/t23\ (, ¡ ;) (s/')

v J'@t;x21x3): *l*tr+xlxsrx', el

(x,,x2,X3) debe

ser

xf;

,,xi

polinomio

r, + x],,rx"trrrxSr.r

xlxi

xlx8rxl

En general. si /(xr,x2....,xn) es un polinornio en las n indeterminadas x, ,x2,...,xn (sobre Z, Q,R, etc., como sea el caso), entonces (s/)(xr ,X2,...,xn)debe ser el polinomio qrre se obtiene rernplazando xr Por Xstl¡'X2 por Xqu¡'"',Xn Por X"(n). Problema

4.11 sea r

/l 2 7 4\

':lo

2 3 4\

r 2l ':(,, t 4 3l

SI]\IEf'RI,{, GEOIIETRIA Sea

I0t

/(x, ,x2,x3,x¿) : xrxlxl*2-*t +xl + sxlxlxl. (s/')(x' x2,...,xn) y ftf)@t,x2,...,xn).

Evaluar S

olución.

: xoxzrxlx!- xl + xl + sxf,xlx't : x3rx2x3x+-xf +xl +Sxlxlxf, (tfi (x, x 2, ., x, ) : x rxlxsox! - x) + + 5 xlx2oxg3 : x2rxzx!x3o-x)+xsn+5xlx\xl tr Problema 4.12 Sean /(x, ,x2,x3) : *1 +xtr+*tr, g(xt,xz,x¡ ) : (s/)

(x.

x2,

-..,

)

xso

xrx2+x2x3+x3xl y h(xt,x2,x3) : (xr-xr)(xr-x. )(xr-x.).

Probar que, para todose Sr,(s/)(x' X2,x3) : f(xt,x21x3),sg(xt, xr,x3) : g(xt,x2tx7) y (s/r)(x' x2tx3) : *h(xp x2,x.).

,x2,x3): xlr,+x3,r,+"3,r,. Supues,,*x31zr*xl¡,: x!+xl*x] como se requiere. l)e modo semejante, (sg)(xt ,x,x3) : q(xt,x2, x3 ). Una permutación de' x1 , x2 , x3 Permrrta ir los factores xt-xz, xr-x¡, x2-x3 con posibles cambios de signo. De donde Solución. Se tiene (s/)(x,

to qrre.r es una permutación de 1,2,3, se tiene xl

(slr)(x,,x2,x3¡

: +h(xt,x2,x3).

Un polinomio /'(x, ,x2,...,xn) tal que (s/') (xt ,x2,.,.,xn): J'(x, xr,. . . , xn) para todas las permutaciones s e Sn se llama .

simétrico. Dado que toda permutación es un producto de transposiciones, es equivalente decir qtre / (x, , x2,. . . , xr) es simétrico si y sólo si (sl)(x, ,X2,...,xn): J'(x*xr,.'.,xn) para todas las t¡ansposiciones s € Sn . LIn polinomio h(x' x2,. . ., x, ) tal que (sh) (x' x2 ' ...,xn): -h(xt,x2,'..,xr) para todas las transposicioncs seSn se llama anti.simétrico. Es equivalente decir que /(x, ,x2,...,{n) cs antisimétrico si y sólo si (s/') (x' x2,...,xn): (-l)'"/'(xt ,x2,.'.,xn\ para toda s e S, donde ¿ : * I si .i es ttn producto de un número impar de transposiciones y 6 : 2 si s es el producto de un número

par de transposiciones.

4.13 Sca h(x,xr.x3 ) : (xr-xz)(x, -x¡)(xr-x3 ). que .4, : {s : se53, (sh)(x,,X2,x3) : h(x*x¡,,x3)} es un Probar subgrupo normal de S. de índice 2. Problema

IO2

GRTII'OS

Solución, Puede verificarse directamente que

,.:{(l ::),(:; ),(l ? )\ lo cual prueba el Problema 4.14 n

(*,-x¡)

i.j=l i<j

resultado.

Sea

h(x' x2,...,x,) el polinomio

: (xrxr) (x, - *. ).

.(x,

- x, ) x(xr_xr¡...(xr_x,) x (xr-, -x, ).

(4.11)

Si I es una transposición de Sn probar que

(th\(x*x2,...,

)

: -h(x¡x2,...,

y deducir que A,: {s: se S", (slr)(x, ,x2,...,x,) es un subgrupo normal de S, de índice 2.

Soluci,ón. Sea ¿

que

a<b.

transposición

xn)

: h(x,x2,...,"")}

(ab), donde puede

Determinemos el efecto de ¿ sobre

h(x,xr,...,xn),

suponerse

considerando

el efecto de f sobre un factor típico x,-xr. Si tanto i como j no son a o b, entonces x¡-xj queda inalterado por l. Supóngase que i, o bien, j es a o b pero no ocurren a y b simultáneamente. Entonces h(xr,...,xn) tiene la pareja de factores xí-xo y x¡-xa Q < a), I i.,

Xo-xiY xi-xr@ < í < b)y xo-xi y xa-x¡(b < i): en cada caso, el producto de los dos factores de la pareja no es alterado por f. El factor restante que debe considerarse es xo - xb y éste es alterado en el signo por ¿. De donde, por último. (fh) (xl ,x2,...,X,): -h(xr,x2,...,xn).,

Es fácil demostrar, por el problema 2.31, que .4n es un suberupo. se probará que iS" : A,l:2. Sea c : (l 2), entonces (ch)(x, x2,...;x,): - h(xr,xr,...,xn). Sea s e Sn. Entonces (sh)(xr,x2,..., xn ) : - h(x r, X2 ;. . . ;rn ) o bien,(sh)(x r, x, ¡. . . ; xt):- /r(xr, x2,.. ., x n);. En el primer caso s e A, y en el segundo caso

Ahora

((c-

ls)h)(x'

x2,. . ..xn

)

: :

((cs)h(x' x2,. (c(sh))

,xn))

(x' xz,..., xn)

SINfETRIA, GEOIIETRIA

103

: (c(- h(x. x2,..., xn))) : -(ch)(x,x2,..., x, ) : h(xt,X2,...,xn.) y, por tanto, c- rs e An, o bien s e cAn. De aquí que Sn : AnvcAn y esto establece el resultado. Una permutación s tal que (sft)(x1, x2,...,x): h(xr,xr,...,x) se llama permutación par, de lo contrario, r recibe el nombre de permutación impar. .4n es el conjunto de todas las permutacioncs pares y se llama grupo alternante sobre n símbolos' /n tiene el orden {nl y consiste precisamente de esas Permutaciones expresables como tr productos de números pares de transposiciones' Problema

4.15

Escribir los elementos de An

cuatro de orden

Solución.En notación de ciclos,

y probar que existen

4 2), (2 3 4), (2 4 3), (1 3 4),

4 3),

tiene (1)' (1 2 3I (1 3 2), (l

2) (3 4),

2 4), 3) (2 4\, (l 4) (2 3), de hecho, estos elementos,

los cuales los últimos tres tienen ordén 2. De junto con (1 ) forman un subgrtrpo normal de ,4o isomorfo al grupo

cuatro de Klein.

4.16 Sea G Lrn gruPo v 11 un subgrupo de índice n' Sea G : gtHvgrHv...vg,H una descomposición en clases laterales' Para cada S a G, sea p(g) la permutación de las clases laterales Problema

t H, gz

H,..., gnH dada p(d

Porl

: (ri',i,

,i:i

9,H\ ss. H ).

Probar que p es un homomorfismo de G hacia el grupo simétrico Sn sobre los símbolos g, H, g rH, . . . , gnH y que p tiene el núcleo K, donde

rHg

I t r ngrHg; a... og^Hgn

Solución. Primero se obsen'a que p(g) es verdaderamente una permutación ya que, primero, gg,H es una clase lateral y, segundo,

(;RUPOS

I04

: gg¡H si y sólo si ¡ : -i. Con el homomorfismo, sean x, ye G, entonces

gg¡H

p(xyt

: :

fin de probar qu(: p es un

(.r!n',X ,rí:X ... ,,ir:i,) ( ySrH WzH yg,H\( SrH grH F/ xt7zH xyg,a \rrr, )\ys, a WzH

: p(x)p(y). También K : {xeG :p(x) : ¿} : {xe G : xg,H : g¡H, i : 1,2,...,n\ : {x e G: g, txg,H : H, i -- 1,2,...,n} : {xe G :g, txg,eH, i : 1,2,...,n\ : {f . G:xeQ¡HO¡ 1, i: 1,2,...,n\

S,H\ ys,H

)

O s,Hs,'.

- i= I

Si G es un grupo finito y si H es trivial, entonces K también es trivial y entonces G se aplica monomórficamente en un gmpo dc permutaciones S,(n: lcl) soltre los elementos de G co¡no sírnbolos. Este resultado se conocer con)o teorema de Ca1'lev (en honor dt' A. Cayley, matemático inglés.

l8r)l-1895).

En lo anterior se ve que p(G), como un subgrupo dt' Sn, es rrn grtrpb de permutaciones sobre {grH,gr¡f,....gnH}. Restrlta conveniente decir qtre G "actúa" como un grupo de pennutaciones sobrc 'I I

'rgrH,grH,...,gnH\¡.Más generalll"rente, si X es rrn conjunto no vacío. entonces se dice que un gnrpo C actúa tomo un grupo /et pe:rmutarion¿s sobre X si existe un homomorfismo p:G - S(X). Pata geG,

xeX

se define

s$): pkt)G). siendo p(G)

la permutación inducida por

g e G.

Problema 4.17 Sea G rrn glupo y H trn subgrtrpo dtr índice n. Probar que H contiene un suberupo normal K de G tal que lC:Kl < n! Solucíón, Por el problema anterior, G se aplica homomórficament.: por medio de p sobre p(g), el cual es un strbgrupo de S,, el gnrpo

stML-I'Rt,\, (;t_otil..'r RI \

t0¡

simétrico sobre las clases laterales de H en G. (lonsidcrando. como antes, a K conto el nricleo dr: p, rntonces K c H y GIK cs isornr¡rf.r a p(G).Pero lp(G)l < lS"l : 14! y esto prueba cl rt'.srrltado. tr

4.2 ORBITAS, ESTABILIZADORES St'a G un grrrpo qu(' actíra como un grupo de permutaciones dc rrn conjunto no vacío ,Y, entonces para c.ada g e G,la aplicación x + g(x) (x e X) es una bivección.

4.18 Sea G un gnrpo dc pennutaciones sobrc un conjrrntcr no vacío X. I)efínase una relación - sobre X por ¡nedio de x - I (x, "y e X) si y sólo si x : .l'(y) para algun:r ./ e G. Pr.obar (lu(, - r's

Problema

r¡na relación de equivalenci:r sobrr. ,\'.

Solución. St' tiene X - x (xe X) puesto que .x : lr(x) . dondt' l" es la pennutación idcntidad sobr't. ,\'. Si x - -y (x, y € X). r'ntont'er x: S0*) paraalsrrna geG y poltanro,c()nro, t(,x) : g-'(g(.1,)) : S-t(l(y): tx!):.f, se tient' y - x. Si x - -t ) )'- z (-x, -l', ze X) entonces x:50),y:h(z)(g,h. G) r'serit'nc x -z,ya que x g(y) : S(h(z)): @h\(z\. l)e donde. & es una rt.lación de et¡uivak'nci:r. Las clases de c<¡rrivalencias st' llarnan órbitas. G(x)

: {y:y:s(x), s€Gl.

la órbita dcterrninada ¡ror. x e X.

siend<r

(4.t2)

Se dice que rrn grupo G de petruutacit¡nt's sobrc un t:onjunto actúa transitit:amcnt¿, sobre X o r¡rrt,es un grup() de permutat,iones tran.titiua.r sobn' X. si para alcr'rn -x e X, G(r) : X. Si G actria transitivarrrente sobrt' l entonces. dt' ht,clro, para toclo y € X,G(y) : X Nótesc qre estr' uso dt' la palahra "transiti'o'' cs distint¡r al aplicacl. al discrrtir las .elacit¡nes de eqrri'alent'ia , r't,r' t,l pr.brerrra r.liO r. ras

obsen ¿ciones

siutren ) .

4.19 se¿ G'un snlpo d(' lx'luluta('i.rrt,s sobrt, un c()n.iunto v xe X. Pmbar t¡ue lL1 -- ,,g,f.l e G. g(x) : x) t,s trn subsrrrpo

Problema

tlut' le

de G.

GRTIPOS

I ()Éi

Solución. Evidentemente. l" e 11 1' si g,h e H. se tiene (gh)(x) : x, de s(h(x)) s@): x y- g '(") s-'(s(")) @-'il (x) aquí que É1 es un subgrupo de G. A {g : g e G, s6) : x} se le da el nombre de ettabilizador de

: ¡"x:

x, denotado Estabo(x). Problema

4.20

Sea G un grupo de permutaciones sobre un conjunto

finito X y x e X. Probar que el número de elementos en G(x) precisamente iG: Estaho(x)1.

Solución. El lector debe comparar este problema con el problema 2.53. Sea lG: Estabo(-x)l : n. Entonces. para c, c2,..., cne G apropiados se tiene

:crEstabo(x)uc, Estabo(x)u...ucn

Se desea demostrar quecr(x),

Estabo(x).

cr(x),..., c,(x)son z elementos distintos

X v que G(x) : {c,(x), cr(x),...,c,(x)}. Primero. si para algunos c;1(c;(x)) : i, j se tiene c,(x) : cr(x), entonces (c, 1c,)(x) :

c;l(cr(x)) : (c,1c,)(x) : x y, por tanto.c, lc,eEstabo(x). Esto implica por el problema 2.46. que c, Estabo(x):ci Estabo(x) v, por tanto, i:j. Segundo. si geG entonces, para algún k(l ( k ( tt) v algún be Estaho(x), se tiene g: ctb ;- ésto implica que g(x) : (c* b) (-x)

Nótese

(b(x))

(x).

que si X : G y si se define la acción de G en G

por

S(x): g-'xg (xe G), entonces G es un grupo de permutaciones sobre G, siendo las órbitas las clases de conjugados. En este caso, Estabo (x) es el centraliz,ador Co(x) de ¡ en G y se obtiene el conocido resultad'r de que el número de elementos en la clase de conjugados que contiene a

* "s lG: Co(x)1.

4.3 GRUPOS

DE SIMETRTA Algunos grupos surgen geométri-

camente como grupos de simetría de figuras regulares planas y solidas.

Si A,B,C son los r'értices de un triángulo equilátero con centroidc rotación en sentido contrario al movimiento de las rnanecillas del reloj alrededor de O en un r'rngulo de ]n en el plano dei triángulo mueve a los r'értices de acuerdo con la permutación

@. rrna

SIIIET'RI,\, GEOTIIi-fRI,\

lA (r ':

c 9) Al', ," crral puede representarse diagramáticarnentc

como en la figura

4.1

De modo semejante, una reflexión respecto L mueve a los r'értices de acuerdo con la permutacién

la recta AO

(:"t

como en la Íigura 4.2. En ambos casos, sólo la denominación de los r'értices muestra que el triángulo se ha movido, correspondiendo cada movimiento a una simetría del triángulo e inversamente. El conjun(o de todos esos movirnientos del triángulo, siendo la ley de composición el acto de realizar un movimiento después der otro. es un gnrpo. el llarnado grupo de simetrías del triánllulo equilátcro.

A F'icura

Problema

-1.l

4.21 En lo anterior, probar que ús : s2l y dar una ts el grupo dt' simetrias det triiin-

interpretación geornétrica. ¡.Curil

gulo equilátero?

Solución. Puede verificarsc que, como pennutaciones,

B c):,,,. ,,:(1 \cBA/ Se tiene que /s es una ¡otación en srntido contrario al rnovi¡nicnto de las manecillas del reloj airededor de O, en un ángulo de 21n, seguida por una reflcxión respecto a un eje fijo en la posición inicial

(;Rtll,()s

t'l propio A a la posición previa dtr /l'

dt' lO.

Habit'ndost' trxx iclo

lA B

C\ cs una rr.flt,xión ;)

(;

;

f(,spect()

rrrr t.ie

lijo e. Ia pc,sicrón

reflt'xión r('sl)c('to ¡ lrn ejc en la posición inicial dt o1 segrricla f)or rrrla rotaciírn en st'ntido contrat'i() al moUirnicrrto dt las ¡nanccillas clt'l Itlo.i en un :ingttlo d< !n. Gcométricainicial dt' BO.

/¿"

rncntt'. fs. I

s2t ('s rrna

B c\ '

\c B

. s2f s,,ll A1) 1

trn()

\' ('l lttistno lttlrvitllitnto dt'l

trihngrrlo.

(lacla sirnetr'ía dt'l triringttlo es ttna l'ota<:ién alrededor de O en un mírltiplo dr' ]-z . o bit'n. ('s lrna rcflt'xión rcspecto a uno de los tres t'jcs ,4O, BO <r'CO, v cada siurttria t's tlna permrrtación de A,B,C' Invt'r'sanrtnte. t'ada pt'rmtrtación dt' A,B,C proporci,ona una simetlia

clcl tr-iiingrrlr) \', p()t.tant6.

t'l e¡rp6

Fiur¡ra

clt: sirrletrías

del triángulo es el

-1.2

errrpo dt' todas las [)('r'rnutaci()nes sohlt' A, B, C \'. ('n ('()nse('tlencia' es i5onrolfo a S.. tr Algunas dt: las not:rcir;ncs ant(rrior('s puede n hacr-'rse más precisas. El plano r:uclicliano R2 t:s r:l producto cart(-'siano R x R con la iclca rrsrral dc clistancia, t:s dt:cir. si P,Q son puntos de R2 con cgror<lt'naclas (xp,!e),(xn,lq), rt:spt'ctivatnrfntc'. qr-rt: los scpara. se tiene

d(P,

."/[(r"

y si d(P,Q)

a)' + (y r- y d'f.

la distancia

(4.13)

xtt'I'Rl,\,

Gl..oxr r.-r'R L\

Una aplicaciín J : R2 * R2, tal que f conserva la distancia entre dos puntos cualt'sqtriera, recibe el nornbre de í.romctría (del griego metron - medida); de donde /:R2 * ffi2 es una isomt:tría si v sólo si d(J'@),fQ)) : d(P,Q) para todos los P, Q e R2. Puede demosrarse que rlna isornetría / es tanto lrno a uno tro¡no sobrc y qrre / queda determinada completamente por srr acción sobre los r'értices dt: cualquier trii'rng^rrlo dado. Por otra partt:. si / t's rrna aplicación uno a uno, que conserva l:r distancia. de crralquier con.junto de tres puntos no colineales en R2, entonc(,s prrede dern<lstrarsr) qut: / se extiendt: de modo único hacia rrna isomt'tría de R2. ()orno ejt'mplos de isonretrías de ff. s,. tienen las apliczrciones 9o.6, ro, ú cladas por 9,. r,(x, l) :

b/g,

(x -f a, Y -l b)

(x cos fl +y sen r(x,

(x,

o¿,

- y)

-x

sen d

cos fl)

(4.t4)

(x, y e R)

siendo go.a un desplazalniento uniforrne, r¿ una rota(:ión alrt'clt,dor del orig;en O en un ¿insulo d v f una rcflexión rcspccto t:l eje x. Sc dice que rrna isometría / es trna translormacíón dc .¡imetría () una .Eímetría

dc trna figrrra plana F si l'(F) : F.

Problema 4.22 Probar qrre el conjunto 7' <ie isorrrt'trías dr: R2 os rrn grupo de pt'rrnuta.cioncs sobre R xR y qrrc cl r:onjrrnto dt' silnctrías dc una fistrra plana F forrna rrn subgrrrpo S(.F) de ?.

Soluci.ón. Sean f, puesto quc,

para

P, Q

isornetrías. Entonces e R2, se tienc

d(Uil e),Us)

(0)

: d(J beD, f@(@)) : d(se)'s(Q)) :

v, como f 1.27

/i7 rs una isonretría

d(P,Q)

('s una bivección. existe rrrra aplicación isonrt'tría J)r¡esto (lu('

v J'- I t's rrna d(f

-'(p),f -'Q))

: : :

d(fu -'e)),f(f -'Q))) d((Jl

-'te¡.111 ')(0))

d(P.Qt.

;l-1

iprohlt'rrra

GRUPOS

, I

un grupo y ahora es inmediato que S(F) es un S(f) : Estab, (F). A S(fl se le da el nombre de grupo de simetrías de F. Para en' contrar S(F) cuando F tiene al menos tres puntos no colineales, basta,

De donde

subgrupo, )'a que

con base en la observación anterior, considerar todas las aplicaciones que conservan la distancia (conservan la forma) de F hacia F, dado que cada una dg esas aplicaciones se extiende de modo único hacia n una isometría de R2. Problema

4.23

Sea

F un triángulo

isósceles

pero no

equilátero.

Encontrar S(F).

F un triángulo con vértices AC v AB '.t tlC (ver la f igura 4.3).

Solución. Sea

A, B,

C en el qut:

Figura 4.3

La írnica simetría no trivial es una reflexión respecto al eje AO'' donde O es el centroide. I)e donde, S(F) es el grupo cíclico de .tr orden 2. Problema

4.24

Sea

C un círculo. Hallar S(C).

Solución. Por conveniencia, supóngase que el centro de C es el origen O y que el radio de C es l.

SIME'I'RIA, GEONIT,'I'RI.\

Si se considera C como si fuera una rueda sólida en un plano horizontal con un eje vertical que pasa por O, se observ.a que cualquier simetría de C es un giro alrededor del eje, o bien, es un .qiro alrededor del eje seguido por un eiro de la nreda de arriba hacia abajo. l)icho en forma más precisa, cualquier simetria es una rotación alrededor de O, o bien, es una rotación alrededor de O seeuida por una rc'flexión en un diámetro. Sea rd una rotación alrededor dt: O en t¡n írngulo a y tp una reflexión respecto a un diámetro que forma un ringulo B con el eje coordenado Ox. l)onotado un punto típico sobre la circrrnferencia de C por Pe. donde 0 es el ringulo polar, se tiene

Po: Pe*z^ (n :

+1,...)

la figura 4.4. ro(Pr): Pr*o

y, a partir del diagrama de

tp(Ps)

(4.1s)

se deduce que

: Prp-r.

(4.16)

Fi.gura 4.4

srrbgrupo R(C)

de S(C) que consiste de las rotaciones

subgrupo abcliano, ya que ttfp : to+p :

lf*":

ffft.

il2

(; Rt.rP()s

En t'fec'to. si R+ clenota al grrrpo aditivo de los nrimeros reales y si 2nZ <'s cl suberrr¡ro cle R+ c¡rrt'consiste de tndos lns múltiplos enteros clr' 2n, ('ntorl('('s la aplicación ft : R(C) - R+ l2nZ. dada por h(r,) : z+2nZ t's rrr¡ iso¡nor[isr¡ro: en particrrlar', se obsen'a quc t' ti('n(' <rldcn finito si v sólo si a t's de la forma 2xq. d<tnde q € Q. Altola sc afilrna <lrre R(C) t's un srrbsrupo normal de S(C) dc índict' 2 r' st' r'stabk'r'(' ('st() dt'nrostrando que S(C) : R(C)uf.R(C). Sea / e S(C) v strprinease rlrre ./ t' R(C). Por las obscrvaciones antt'-

fur" para algunos ángrrlos u, B. Pero, como (trr,)(Ps) : tr(r,(Pr)) : tp(P6*) : Prr,-u-o: t6(P6¡"-2p) : (tnr,_r)(Pu) rirrrcs,

_--

qut'/: turc: tord_-z, e foR(r) v, p()r' tant(), sc dedrrce qu.: : R(C)ut,rR(C): vcomí'tricamcnt(', csta riltim¿r ccuación implica <1trc tod:r rcllr.xión f, r's r.l ¡rrodrrcto dt' rrna rotación apropiada y la rcflt'xión fn. (lorno R(Cl) t's rrn subgrtrpo de S(C) de índice 2, re

s(' ti(rrre

S(C)

dt'drrct'<1rrt' R(C) t's un srrbsrrrpo normal de S(C) (problema 2.51). Fls ¡lr'rs. se, obst.r'r'¿r t¡ut, si 27 : 2B -u enton(:es tttr"'-.= t.t y, po¡'

tant(), s('r'onclr¡t'r'(l!r(.t()da simctria rrn;r

rtflt'xión.

dr'(,'r's r¡na rotación. o

bien,

Problema 4.25 (lon la notación <k:l ¡rroblem¿r anterior, probar t,.trut" : r; | \' tlal rtna inter¡rrt'taciírn gt'ométrica.

que

..Solurión. St' obst'tr'a <¡ue ff t : f" -t ,1,t" ,lt : , ,. l)e donde (t; tror") (P0) : (r; tr,.)ft,(Po)) -- (r;tr)(Pr" u): r,Q.o(P2" : t,(P2"rB-): Pzt q2r-r,t et: Pu u: r-o(P,): 6re') \'. po| ttnto. s(' 1i(.nr. l,- | r¡, - rB (it'orrri'tlicaru('nt(,. r¡n¿l rt'flexión r(.spe(:to a lrna recta que forrna ttn ringtrlo a ('on t'l cjt'x. sr,grriclo p()r una rotación err rrn ángulo B ¡1))

v scgrri<l¡ lx)t'ur);l lcflt'rión tts[)('('t() a lrna l'('(t:r <¡ut.folrna rrn iingulo a (()n t'l t'.jc x t's t'<¡uivak'nt(' a llna rota<'irin cn rrn :inerrlo -8. El

Probl'ma

4.26 Entontr':u r,l elupo rlt' si¡nctria.s S(L") d(' un

polí-

gono ¡r.grrlar Ln tlc rr laclo.. i

I t

St¡lurión. Por convtnicncia. grrrctk. sr¡p()n('r's(, que

r'stri

nsc ri

t'n rrn <'ílrrrlo (,'r'on ('(.ntr() (0,0) I radio I r,<¡rre los vrirtices de L,

SINIETRIA, GEOIIETRI,\

I r3

en los puntos P' donde 0 : 2knln (k : 0' 1,.", n-l).Se ilustra la situación general por medio de un pentágono

se encuentran

regular (f igura

-tr.5

Figura 4.5

Toda simetrí a de Ln se extiende hacia una isometría de R2, lo cual proporciona, a su vez, una simetría de C pero, por otra Parte' no inversamente, ya que sólo pueden llevarse a cabo giros en ángulos que sean múltiplos de 2nln. I)e donde. si R(L") denota al subgrupo de S(L" ) que consiste de las rotaciones, entonces R(L, ) es un gruPo cíclico de ordcn n generado POr tznln. La reflexión úo es una simetría de L, y r. deduce. como ert el problema anterior! que S(L,) : R(L")uroR(L,). Se dice que el erupo S(Ln) es generado Pot t2nt,, fo con las relacionc.r (rznh) : t",, tf : t"^, tltrrn,nto : rzr)n, siendo tr^ la simetría identidad sobre Ln. EI urrrpo S({) se llama grupo diédrico de orden 2n. Abstractamente, ttn grupo G es generado por un subconjunto 19t,92,...,g^| de G, si G es el menor subgrupo de G que contiene al subconjunto. I)e modo un tanto impreciso, se dice que un conjunto

il4

GRUPOS

de ecuaciones en los generadores gt,gz,...,g^ es un conjunto de relaciones, si toda ecuación en G que comprende a gt,gz,...,g^es una consecuencia del conjunto de relaciones. De donde, el grupo

diédrico abstracto Dn es el grupo generado por a, b con las rela: erb2 : e,b-rab: a- 1. E , Si, ahora se pasa a considerar las isometrías en el espacio euclidiano R3, se tienen extensiones apropiadas de las ideas y resultados anteriores; puede demostrarse que una isometría de R3 queda determinada de modo único por el efecto de la isometría sobre lps cuatro vértices de cualquier tetraedro. En R3, el desplazamiento uniforme go,r., está dado por ciones cn

go,b.,(x,!,2)

: (x+a,y +b,z +c)

(x,y,z e

R).

Una rotación r@ es un isometría para la cual existe una línea dc puntos que se mantienen fijos bajo la isometría; para una rptación no identidad, esta recta es única y se llama eje de rotación, todos los puntos que no están sobre la recta fija se giran en un ángulo dado que recibe el nombre d,e ángulo de rotación. Si el eje de rotación pasa por el origen O, entonces este eje se interseca con la superficie de la esfera, con centro en o y radio l, en dos puntos llamados polos;los polos son los únicos puntos de la superficie de ra esfera oue no se mueven en la rotación. No obstante, nótese qr.re dos rotaciones distintas pueden tener los mismos polos, siendo diferentes unicamente los ángulos de las rotaciones. Problema 4.27 Sea G un grupo de rotaciones cuyos ejes pasan por el origen O. Sea P un polo de rotación no identidad r de G y geG. Probar que Q: Se) es un polo de la rotación grg-1.

Solución. Primero se obsen'a que como las distancias se conservan

bajo las rotaciones, Q es un punto de la esfera con centro en O y radio l. Ahora bíen, grg-1no es la rotación identidad y (grg-\ (e) :

@r)(s- '(0)) : @r)(P): s((P)) : s(e): e. De donde, como O fijo por grg-,,Q un polo d,e grg- t. E "s IJna consecuencia inmediata de este restrltado es que un gnlpo G de rotaciones actúa como un grupo de permutaciones sobre el conjunto de los polos de las rotaciones en G. queda

SI}f Ef

RI,\, GEOIIETRI,\

I lir

Además de las isometrías de ios desplazamientos uniformes y las rotaciones en R3, tambien se tienen reflexiones en los planos, la reflexión I dada por t(x, y, z)

(x, y,

es la reflexión en el plano z : 0. En la discusión que sigue nos restringiremos principalmente al grupo de las simetrías rotacionales de un poliedro regular N; este grupo se denota por S^(N) y, por supuesto, es un subgrupo del grupo completo de simetrías, S(N), de N. Problema

4.28

Sea

Z un tetraedro

s(r).

regular i f igura 4.6). Encontrar

Solución. Se sabe qtre Z tiene cuatro caras, siendo cada una un triángulo equilatero, y puede suponerse que T está inscri(o en la esfera con centro en O y radio l; entonces O es el centroide de Z. Supóngase que T tiene los vértices A,B,C,D. Entonces S(O e. un grupo de permutacir¡nes sobre A, B, C, D.

Figura {.6

T. Puede girarse T ajredepara obtener las simetrías de

Considérense dos simetrías obr.ias de

dor del eje AO en los ángulos ln.

¡16

cRUpOS

T; de donde las permutaciones /'4 B c D\. (A B c

\rcDB/\/DB

pertenecen a S(T). En la notación de ciclos, (BCD),(BDC) e S(?). Sí U, V son los puntos medios de AB, CD, respectivamente, entonces (JV pasa por O y es un eje de la simetria rotacional de Z. En este caso se tiene

Ia p.,r'-'u,".;a,

i ?) :

UBJTC Dt

Por medio de argumentos semejantes, se \.e que S(T) contiene a las perrnutaciones (A C D), (A D C), (A B D), (A D B), (A B C:\, (A C B), (A C)(B D), (A D) (B C). Es más, no exisren otras simerrías

no triviales de I. rotacionales o de otro tipo, v, por tanto. se concluve que S(7, es el grupo alternante de orden 12 sobre,4, B,C,D.

veces

Problema

a S(O

4.29

Sea

le da el nombre de grupo

teiraédricc.

B un cubo. Encontrar los

érdenes de S^(B) y

S(B) respectivamente.

Solución. Supóngase que I está inscrito en la esfera de radio I y centro en O. Para facili<iad en la notación, nr¡meremos los vértices del cubo como 1,2,3,+,5,6,7,8 (figura 4.7). Se calculará lS^(B)1, contando los ejes de rotación posibles de B.

Se tiene simetria rotacional alrededor de un eje que una los puntos medios de parejas de lados opuestos. en ángulos de fn, n, )r, 2n. Por ejemplo, la rotación, en la f igura 4.7, alrededor del eje que une a los puntos medios de los lados 1,2.3,4, y 5,6,7.8 en rrn ángulo de jn queda representada por la permrrtación

234s67

(: 34t678

9):,t .\,

234t(s6i8t.

SINÍETRIA,

GEOTÍ

ETRI,{

¡t7

Figura 4.7

Hay tres ejes de este tipo, cada uno con tres rotaciones no identidad y por tanto, hay en total nue'e de esas rotaciones no identidad. Se tiene simetría rotacional alrededor de un eje que una vértices en ángr.rlos fo,tn,2n.Por ejemplo, la rotación en la figura fp-ues1os, 4.8, alrededor del eje que une 2 y B en un ángulo de ln q"eda representada por

la permutación

(t234s67 \621s734

Figura

,1.8

:,t

63)(4s7).

GRUPOS

Existen cuatro ejes de este tipo, cada uno con dos rotaciones no identidad y, por tanto, hay en total ocho de esas rotaciones no identidad. Finalmente, se tiene simetría rotacional alrededor de un eje que una los puntos medios de lados opuestos diagonalmente, en ángulos d.e n,2n. Por ejemplo, la rotac.ión, en la f igura 4.9, alrededor dcl eje que une los puntos medios de 1,2 v 7,8 en un ángulo de n queda representada por la perrnutación

(1 234s6

J) :

\zrs634

2) (35) (4 6) (7 8).

Figura {.9

Hay seis ejes de este tipo. cada trno con una rotación no identidacl. dando seis de esas rotaciones no idtntidad. Se deduce que

ls*(B)l

:9+8+6+t:24.

El cubo también es sinrétrico respecto a rrna reflexión en un plano por 1i paralelo a un lado del cubo. De donde, si el plano es paralelo a l.2.ll. {. la reflexión qtreda representada por que pase

lt 2 3 4 s 6 i

(ts 6 7 8 I 2 3 +) --tr5t(26t(37)(48)' Existen tres de esas reflexiones pero puedt denrostrarse v el lector puede verificarlo experimentalmente coll r¡n nrodelo de un cubo, c¡ue

SITIETRI,{,

GEOJ\IETRI.\

toda simetría del cubo es una rotación. o bien, una rotación seguida por la reflexión particular (l 5) (2 6) (3 7)(4 S). De aquí que lStBll : 2lsR(B)l 48. La figura sólida C cuyos seis vértices son los centroides de las caras del cubo B es un octaedro regular, una figura de ocho lados

cpn caras equiláteras. Toda simetria de C es una simetría de .B e inversamente. En consecuencia el erupo S^(B) de las simetrías rotacionales del cubo a veces recibe el nombre de grupo octaádrico. Puede demos' trarse que S*(B) es isomorfo al grupo sirr,étrico So. tr El problema que sigue es por completo un ejercicio sobre teoría elemental de los números y puede omitirse en una primera lectura.

Problema 4.30 Sea N un entero estrictamente positivo enteros positivos que dividen a N tales que 2 ( n, nu

( lú. Supónga.se c¡ue

ny, tt2,...;n¡

( n, (... {

: É,('-;) {'-#) Probar que lo siguiente agota las posibilidades: t._1

k:3 k:3 k:3 k:3

nt:nz:N ,.:rllú nt:nz:2, N : 12 nt:2, nz: nz:3, N :24 nz:4, nz:3, nr:2, lú:60. n¡:5, nz:3, nt:2,

Solución. Una rápida verificación nos muestra que las posibilidades enumer¿rdas satisfacen las condiciones dadas. Se tiene que demostrar que estas posibilidades son exhattstivas.

sik: l. sc tiene t <z(t -:) : \N/KL se

tiene z > z(r-il

,i,

r-]

l"cual

es falso.

Si k>

('-;) " -('-+) " r(, -:) , ,

lo cual es falso. De donde. debe ter¡erse

k:2,3.

r20

(;,RLIPOS

Supóngase ahora que

: 2. Entonces ll2 nr'n, N'

Si nz<N setienenr(nr<N y!+!r'.1, fltfrzN

contradicción. De clonde nz : N ),, en consecuencia. Supóngase que k : 3. Entonces

lucualesuna

Ír :

llt2 I *ñ' ,* rr* rr: Si n, >- 3, supuesto que nt ( n, ( n, ( N, se tiene 2 | I I

'*""T+J+t:l )r, por tanto.

flt : 2 v de aqtri que

l-l

nr.'n.-!-2 2' N' Si

nr:2,

entonces

: |N. Si nr 2 4, se tiene ll > __!_: I I _I_ 12

-I_ 2 4'4'n"r'n,

lo cual

es falso. De

2'N

donde flz':3 v se tiene

I _l_2 ;; - 6-ñ'

I | Se deduce con facilidad (lue,43

< 61'. por tanto. nt:3,4,5,

N:12,24,60; respectir-amente' ,

dando

4.31 Encontrar los órdenes de todos los grupos finitm de las rotaciones cuvos ejes pasan por un punto fijo. Problema

Solución. Sea el punto fijo el origen O : C el grupo que tiene N. G es un grupo de permutaciones sobre los polos de las

orden

stlt¡.'t'RI.\, (;t_otll._'t'Rt.\

t2l

rotaciones no iden_tidad (problema 1.27). Cada po[o pertencc(, a una

órbita bajo G y puede s.pon.r's. qrr. t'xisten i órbitas. sca p. rrn polo de la iésirna órbita G(p,), (,ntonces l¿r i-ési¡na órt,ita G1p,) iit.ne

iG:

Estabc(P¡)l

p"l,x (t : i, 2,..., k)

iproblerna J.20r.

l)t.

donclt,

tienen I. 'C' Estabo({), polos. ¡rero lo que se requit,rt,t,s idcar

r" -¿,.a" ie contar los polos (lr. tolne en consideración el he<.h. de que un polo dado prrede ser t'l polo de nr/rs cle una rotación crt: G. Se procede corno sigue. Sea.y el conjrrnto dc las parejas ordenaclas de la forma(r,P). donde r es.na. rotación n. icrentida.d en G v p cs un polo de ¡. Aho.a bien. cada una dt' las ly'- I r'tacicxrt,s n. identidad tiene 2 polos distintos v. p()r tanto. X consistc de 2(lü_1) parejas ordenadas. Per. se ticne rrn método alternatir.o. rnris c.rnplicado cle contar los elementos de x. El nr'rmero de rot¿rciones no idt,nticlad qrrt: tienen a P corno rrn polo es el nírnre^r de rotaciones no iclenticlad que fijan a P. el último nírrnero es lEs¡rbo1p)l -1. lfe dondt.. t.l núrnero de parejas ordenadas (r,P) par.a las t.tralt,s p e G(p,)es o.I",,

Estab,c (P)l

- ll

Pero para r.rralquiel PeG(P,) st,riene C(p) : C(p,)1. Estabo(p)l : lEstabo(P,)l lproblenra .1.20). l)t. clonde. el nrirner.o dc pan.ja's or.clenadas (r,P) para las crrales p e G({) es

L", tlEtabo({)l-

peG(pi) "

I)e aquí qLre. haciendo Estabc(p,) de pare.jas ordenadas en .{ es

Estarr(4,)lI Estabo(p,)l- il.

n¡

(i: 1.2,...,

. t,l

núrnrt,ro

é¡v (P ) -(n,-ll ,I, lo ' Estab )l| Estab6({)l- ll : ,?, n, Por

"¿ ('-il

lo tanto. se tiene

"('-il : 2(¡{- l)

t22

C;RUPOS

bien.

tl- (,-il: ,('

Por el problema.-1.110. k:2,3. Si k:2r entoncrs r?, : nz : l{ !' existen dos órbitas. cada una ('on un polo: en otra.s palablas. todas las rotaciont's no identidad tienen l.os misnros polos. Si k : 3 . entonces existt'n varias posibilidades: si n, : frz:2,nr: lN. hal lt órbitas que tit'nen. iN,iN,2 polos. rt,s¡rectivamente. t si r?r :2,n2:3,

N : 12,24 ó60. Ya st'han dado los errrpo de rotaciones 12 t 21, son r.l tetraí'drico

se tit'nc

v el octaédrico, rt:spectivarnentt ( no habiend() ()tros grupos dl rotaciones dc t'stos órdenr.s). Ha)'un snrpo ck: rotaciones de orden 60. el llarnado lrufo it'o.raódrictt: r'ste grupo es cl grupo dr las simetrías r<¡tacionalt's del icosaedro regular. la cual ('s una figura regr-rlar de veinte caras t'tluiLiteras. El clodecat'dro rt'gular'. una figura dt: doct: caras pentasonales regul:lrus. se obtient' a partil' dt'l icosacdro regrrlar'. tornando como r'értices los ce¡rtrcidcs dt' las caras del icosaedro 1, por <:onsigrrit'nte, el dodt'caeclro t¿rnbión tit'ne al grtrpo icosa.í:drico corno su gnrpo de simetrías rotacionales. Prrt'de dcmr)strarse r¡rre cl grupo icosaédrico es isomorfo al ,gnrpo alternantt' .4r. tr

E.IERCTCIOS

l. prnbar rlue et c:entralizador. dc la p",,,,l,,,u.ian s4 tiene

2. dr:

cl orclen 8.

(j i

t^ 1)

Probar quc Ia pernrutacién (l 2 3)(2 4 l)(3 4 5)(2 4 6) el ¡rrodrrcto de una transposición 1' rrn ciclo de longitud 4.

Su es

:1. El polinomio rcal /(x, 1x21X3) tiene grado 2 r' cs sirnritrict, sobrc S.. Probar que /(x, ,x2,x3) tient' la forrna a*b(xr+x2 +x3 )+ c(.xrxr* xrxr+x3x1 )+d1xl+x]+x!) para (.onstante: a,b, c, d e R apropiadas.

sl ili._-I'Rt.\. (;1.()\tF.'t'R r \

t23

Sea G un grupo de permutaciones sobre rrn conjuntcl X y y nna órbita bajo G. Prohal q.e G actúa c.mo .n g.rrlr() de pt'rmrrtaci.'cs

transitivas sohre

5. un

\'.

El grupo simétrico S, actúa

sobr.e el ¡xrlinonrio p $Jnrpo de permutaciones. Probar que Estabob) ,'*

: x1*xl

conro

isorn.r.f, al pr.duc.to directo Cx S¡, donde C' es rrn grupo t.íclico de orclt,n 2 t S¡ es el grrrpo sirnt<trico dt' ordt'n G.

Probar qrre

crradrado. es isornorfo:r¡ *t-,tU,r

t'l grup. de sir¡retrias de rrn rect¿ingul., qrre ,r(, sca dc Klein. I)crnostrar quc t,l grup(l cuatro de Klein t,s gt,nr,r.aelo lrl)stl-a('talll(,nt(, p()r ¿. ó t.on las rt'laciont's a2

ba.

7. Prol¡ar qrre el gnr¡.xr clt,sirrrt'rrias S(U) rlt. rrn cuarlratlo [/ ticnt, los gt'neradort:s ¿. D con las relaciones e4 : €, b2 : e, b-\ab : b-r. Probar r¡ue g(U) tit'nt' el orden B r. qtrc cl contr.o dc S(U) tit.nt, orden 2. 8.

Sea G un grupo finito de rot¿rciones. teniendo todas las rotaciones no identidad el misrno eje, Probar <1uc existe un :ingulo B mínimo, diferenter dr: cero, tal tluc toda rotación cs (]n un án6nrlo que es un múltiplo entcro de g. I)t.ducir tlue G es cíclico.

Considerado corno ur)a fi!¡r¡ra en R3 , sea L, el polígono rcgular de n la,dos con r'órtices en los r¡ puntos qrre tit'nen las t:oordt:nadas polares cilíndricas (r,0,2), donde r l, 0:2knln, z:0 (k:0, 1,..., n-1). Probar que cl grrrpo de=sirnetrías de las rotaciones ten R3; de .L, es el grupo clií'drico D, dt' orclt'n 2n. l)ernosrrar qrre los 2nr2 polos dc' las rotaciones t'at'. en tr.s órbitas. las crales tstri¡r dadas corno si,utre: si n cs irnpar las órbitas son

{(r,0,2):r : 1, 0 :2knln, z :0: k : 0,1,...,n} {(r,0,2);r : l, 0 : n*2knln, z : 0, k : 0,1,...,n}

{(r,0.2):r:0, 0:0, y si n es par las órbitas

z: +l]

son

{(r,0,2):r: l, 0 :2knln. z:0: k:0,1,...,n-l} {(r,0,2):r : l, 0 : (2k+1lnln, z :0: k : 0,1,...,n_l} {(r,0,2);r:0, g:0. z: +t].

Capítulo

Otro estudio sobre teoría de grupos 5.1 p-GRUPOS, SUBGRUPOS DE SYLOW Empecernos con un problema que amplía nuestro trabajo inicial sobrc homomorfismos.

Problema 5.1 Scan G, Il grupos y f :G --+ É1 un cpimorfismo con núcleo K. Sea N un subsrupo dc .F/. Probar que t'xiste rrn subgrupo itnico M de G que contiene a K tal que /(M) : N. Si N ts nonnal en Il probar que M cs normal en G.

Sea M: {r:xeG, /(x)el{}. Entonces M es rr¡r x, !€ M, sc tiene f(xy):f(x)f(y)e N y' f(x- t): ["f(x)]-leN. Por definición. K c M y si L cs un subgrrrpo de G tal qtre f(L) = N , entonces Lc M: de dondt' M es r'rnico. Supór)gase que N es non¡ral en Solucíón.

subgrupo dc G ya qr¡e, para

f (s-'mg)

M es nonnal

f@-')f(m)f(d

H. Entonces, para m e M, g e G, lf@l-'f (df @) e N )', por tantr,.

en G. En el caso particular r.n el r¡rre H

GIK y<¡rre/es t'l horno¡norfis-

mo,natural ,f(x) : Kx(xeG),seveclrieM: {x: xeG, KxeN}: l(". l)e donde'se. tiene t:l resultado t:onveniente de <1ue N : ..U,. K¡e

MlK, o bien

en otras palabras crrllqrricr srrburupo N dt' G/K puedt MfK para un srrbsrr¡po (rinico) M dt. G.. tr El problema qrre sigrre es un resultado útil para ..contar" para los grupos finitos. escribirse como

t2r

l:{i

(;¡{LIl'OS

Problema

5.2

...,6,aquellas

Sea G un grupo finito con centro Z(G). Sean G1,62, clases de conjrruados dr.'G qlre contienen a dos o más

elementos de G. Sea xíeGil'Cc(x;) el centralizador de I, 2,..., r). Probar qrre

lcl

lz(G)l+

x, en G(i:

lG: Co(x,)1.

(5.1)

Solución. Como la conjugación es una relación de equivalencra problema 2.29) , G es la unión ajena de sus clases de equi'"'alencias. P<:ro Z(G) es precisamente el conjunto de los elementos autoconju¡

gados de

G v, por tanto,

G: Z(G)v6rug2v...vG,

es una rrnión

ajena. I)e ac¡uí que lproblema 2.53). se tiene

lcl:

lz(c)l+

I lc: c"

1x¡

5.3 Sea G un gnrpo de orden p" (a ) l) donde p es un primo. Probar que el centro Z(G) de G es no trivial. Problema

Solución. En la notación del problema anterior, se tiene p" r

: lcl:

lzqc¡l+ .I. lc , co (",)l.como lG : co (x¡)l di'ide a p" y lG: co(x,)l > 1, setiiá.,. lC: Co(x,)l : poi,, cionde a, > 1(i: 1,2,...,r). De donde, evidcntemente, p divide a I lC,Co(*,)l y, ppr tanto, p divicle

a lz(Cl.Esto

Problema

5.4

establer:,,

a."r''"=á.iór,.

Probar que un erupo G de orden p2, donde

tr p

es un

primo. es abeliano. Solución. lVer el problema 3.7) Como el centro Z(G) de G tiene p o p2, se requiere demostrar que lZlC)l : p2. Supóngase que lZlC)l : p. Entonceslclz(G)l: p y, por tanto, GIZ(G) es cíclico, siendo generado por cualquier clase lateral excepto el propio Z(G). I)e aquí que (problema2.69) G cs abcliano y esto contradice la suposición dc que lZlC¡l : p. De donde G es abeliano. Conviene obnen'ar qrre los grupos de orden p3 no son necesariamentt: abclianos; hablando en términos generales, la complejidad

orden

de la estructura del grupo se incrementa mucho con la

p"dep.

potencia

OTRO ES'I'UDIO SOI}RI., -I'I-ORI.\ D!- (;RI,JI'OS

Problema 5.5 Probar que existen dos grupos no abelianos no isomorfos de orden 8. Solución, Ya se ha encontrado el grupo de los cuaternios (proble-

ma 2.68) y el gnrpo diédrico Do (problema 1.26, éjercicio 7 del capítulo .1). En Ia notación del problerna 2.6g, el grupo de los cuaternios es generadcl por b, d, con las relaciones b4 : e, d.2 : b2, d- rbd : b- t y se obsen'a qrre existe exactamente un elt:mento de orden 2, a saber q : b2. En la notación del c,jercicio 7 del capítulo 4, el grtrpo diédrico Do es generado por a, b con las relacione .;-e4 : e,bz : e,b-rab: a-r v se obsena que existen dos clementos de orden 2, a saber a2,b. Las observaciones sobre los órdenes de los elementos establecen que los grupos no son isomorfos, Se observa que los grupos son semejantes; si G denota a cualquiera de los dos grupos, entonces G tiene un centro Z(G)de orden 2 y GIZ(G) es iso¡norfo al grupo cuatro de Klein. En general, no es un

problema flrcil determinar si dos grupos. aparentemente .semejantes., son isomorfos o

no.

5.6 Sea G un gnrpo de orden p" (a >-l), donde un primo. Probar que G tiene un subgrupo normal cle índice p. Problema

solución. El resultado es trivialmente verdadero si a : 1, ya que el srrbgrupo que consiste de la identidad tiene índice p ern G. Supóngase que a ) 1, se emplea un argumengo de inducción, tomando como hipótesis que el resultado es vcrdadero para cualquier grupo de orden po,b < a. Se sabe que G tiene un centro no trivial Z(G) (problema 5.3). Sea xeZ(G),x * e. Entonces ,r flenera un grupo cíclico de orden que divide a f y, por tanto, rrna potencia upropiudu de x genera un srrbgrrrpo cíclico K de orden p lproblema i.42). I)ado que K q Z(G), K es norrnal en G y considérese GlK. por la hipótesis tomada, G/K contiene un subgrupo normal N tal quc . lC¡X:¡fl : p. Por el probtcrna 5.1, N : U¡X para algún subgrupo norrnal M de G ,"-, entonces,

ut:# :

É ffi ##,:tctx

MtKt:tctx,Nt

p (5.2)

(;R

l2ti

l'()S

Problema 5.7 Sea G un grupo de orden p"m , donde p es un primo que no divide a ¡n. ftrobar que G tiene un subgrupo cle orden po. Solución. Primero conviene obst:n'ar rlue si G es abeliano. el resultado va lo conor:r'ffros (problema 11.26). Srrpóngase que G es no abeliano, hírga"se la hipótcsis de inducción de t¡ue la aseveración es verd¿rdt'ra para todos ios grupos cle ordert estrictamt'nt(. menor (lll(' el de G. En la notación del prohlerna 5.2. st' tit'ne p"m: lcl : t

lz9)l+

I=p ic,co(r,)l.Si

divide

lG:co(xr)l (i

t,2,...,

divide a lZ(:C)l ,r,por tanto, Z(G) tiene un p-subgrupo ()omo Q es un strbSvlou' de Q dt' orclen pb idigamos). donde b ( c. Por la hipótesis po-bm. existe grupo central de G, G7Q ; lclll: orden establcr:ida, GIQ tiene trn strbgrtrpo de ,a-b ,- puede considestrbgt'uPo dc G {prot's un rars(r qtte estt: subgnlp<t et PfQ. don<lc P : po. Si, ahora, p no pb p'-o blenra,5.1). Entonces lpl:lppllgl:

*r,to.,.",

diride a lC: Co(x,)l

U: : Pero p"m co(x*)1. lC:

2,..., r) t'xiste f tal qtre ¡ no divide a

lCc(xft)llC : Co(xo)l v. pol tanto. p" diridt' C6(xr) tit'nt'rttt .lGl "'infiert'que subgrtrpo de <rrden p". Ahora se ha completado t'l argtttnento cL'

lColxo)1. I)ado qrrelco(ru)l

indr¡cción.

l)e acuerdo con las definiciones dadas para los grrrpos abelian<'ts. G de orden po. donde lCl : p'^ )' 1l nf) dir-ide a m, rt:cibe el nombrt: de lt-.suburulto de S1'lou' de G. Un grupo en t'l un "srrbgrrrpo de

qrre todos sus elemt:ntos tienen órdenes los cuales son potencias de trn prirn<r dado se llama p-gru pr¡, de e'ste restrltado se declrrce qtte tln gnrpo finito es un fr-c'rrpo si v sólo si el orclen dr'l grrrprt ('s rrnA protencia

dt'

y'.

Problema 5.8 Encontrar los órdenes de ttn r¡nrpo de orden I l)6+ Br)fl, Solución. \'a que 1 064 800 tienen órdenes 32. 25. 1331.

Probl.ma

5.9

25 x 52

de los x

stths¡nt¡los

113. los strb{t'rrp.s

Svlrtrt

de Sylow

Encontrar los tres 2-strbempcts dt' Svlos' dt' $o.

t29

OTRO ESTUDIO SOBRE TEORIA DE GRUPOS

y So tienen un subgrupo normal 11 de orden 4, a, {(1),(1 2)(3 4),(13)(24),(14)(23)\. H tiene índice 2 en

Solución. Ao saber

.El:

P2, P3 , donde P, : HwH(L4).Es bastante fácit verific¿r que P1, P2, P3 son subgrupos de orden 8 : 23. Puede demostrarse que no hav otros 2-subgrupos de Svlorv de

cada uno de los tres 2-subgnrpos de Svlorv P'

HvH(L2),Pz: HwH(L3),

54'

Problema 5.10 Sea P un p-subgrupo normal de Svlow clel enrpo finito G y Q un p-subgrupo de G. Probar que 0 c P.

Solución. Supuesto que

de G (prpbl ema 2.45)

es normal en G, PQ es un subgrupo

lp¡l:

: l".'lllLl9l

VllO: (PnQ)l

ejercicio

2l del capítulo 2). Si PnQes un subgrupo propio de Q, eitonces lp :1rng¡l - pb donde b > l. Entonces lPOl : lplf v, Por otra parte,lfg¡ aiviae u lcl y la máxima potencia de / que divide a lcles lPl.De donde PnQ no es un subgrupo propio de Q y, por tanto, Q : P¡Q. o, lo que es equivalente, Q c P (problema 1'7) tr Prcblema 5.11 Sea P un p-subgrupp de Sylow del grupo finito G yNo(P)el normalizador de P en G. Sea Q un p-subgrupo de No(P).

ProbarqueQgP. Solucíón. Por hipótesis, P es un subgrupo normal de No(P) y, en

por el problema anterior, Q P. = Se observa que si, en particular, P es un subgrupo normal de Sylow de un grupo finito G, entonces P es el único f-subgrupp de Sylow de G. Un grupo finito, para el cual todos sus subgrupos son normales, recibe el nombre de nilpotent"; un grupo finito nilpotente es el producto directo de sus subgrupos de Sylow. Cualquier grupo consecuencia,

abeliano es nilpotente. Problema

5.12

Sea G un grupo finito y

Kp K2,..., K,n

un subgrupo de G.

Sean

de G que forman una clase de conjugados. Si, para h € H,se define h(K,) : h-rKih (i : I,2, ..., n), Probar que r1I es un grupo de permutaciones sobre {Kr,K2, subgrupos distintos

GRT'POS

I 3{)

...,Kn). Si, además, bajo la acción de l/, existen * órbitas y si los suberupos se numeran de tal forma queKr, Kr,..., Ku prtenezcan a órbitas distintas, quedando los K, subgrupos restantes distribuidos de manera diversa en las órbitas, probar que k

: I

lIl:Estaho(K,)l

(5.3)

Solución. Con el fin de confirmar que H actúa como un grupo de permutaciones sobre {Kr,Kr,...,K,}, se ot}serva que h-lK,/r es un conjugado de K, y, por tanto, pertenece a {Kr, Kr,..., K,} y que h-tK,h : h-lKjh si y sólo si i :.i Por el problema 4.20, k

n: \ la: Estau"1r,¡1.

¡li"l ,"rrlltuao se usa para establecer un importante y atractivo resultado referente a los subgrupos de Sylow de un gmpo finito. Problema 5.13 Sea G un grupo f P1, P2,..., P, n p-subgrupos de Sylow distintos de G tales que {P,P'.,...,P,} es una clase de conjugados de G. Probar que p divide a n-Iy deducir que G no tiene otros p-subgrupos de Sylow. Solución. Sea P un p-subgrupo de Sylorv de G. Entonces puede considerarse a P como si actuara, como en el problema 5.12, como un grupo de permutacione.s sobre {Pr, Pr,...,P,}. En la notación del problema 5.12 y con una renumeración adecuada se tiene k

n: I

(5.4) lr,Ertat"(r,)1. Pero Estab"(PJ:{x:x e P, x- tP,x : p,} y, por tanto, p : Estabr(p) si y solo si x-lP,x : P, para todo x ep Esto irnplica qtre p : Estab"(P,)si y sólo si P esun subsrupo del normaliz.ador No(p,) cle p, en G. De donde P:Estab"(p,) si y sólo si p c Nc(p,) p, lo que es equivalente (problerna 5.ll),P : pt. La conclusión es que Estab"(p,) es un subgmpo propio de P a menos que p, : p. Supong¿unos que ahora se elige P: P' entonces lp:Estab"(p1)l :1y p divide a (r Se infiere p divid'e a n-1. > que 1). lP:Estab"(P,)l Si G tiene p-subgrupos de Sylow que no sean pr, p2,..., pn, supongamos por lo tanto que P es otro p-subgrupo de Sylow. En este caso, se tiene que p divide a lp: Estab r(p,)l (r :1,2,..., k) y, p9r

O-I'RO [,S-I'I.}DIO SoI}RE 'I'T-ORI.\ DI.]

(;RI.II)()S

I3I

tanto, p divide a r¿. Como ya se ha demostrado que p divide a n- l, sc tiene rrna contradicción \'. en conseclrencia, debe ser falso suponer clrre G tiene subgrupos dc Sylow que no sean pr, pr,...,p,. Puede reenunciarse el resultado para decir que los p-subgrupos de S1'low de un grupo linito G son todos conjugados y que su número es de la forma 1 lrp para algún entero r (> 0) donde, necesariamente,

l+rp

divide

2,s3). Problema

a lGl

(ver

ejercicio

9 del capítulo 2,

problema

5.14 Probar que un grupo de orden 45 es abeliano.

Solución. Puesto que 45

x5, G tiene un

3-subgrupo de

Sylow 11 de orden 9 y un S-subgrupo de Sylpw de orden 5. Supóngase que ^FI tiene z conjugados. Entonces n : 1+3r (r 2 0) y n divide a

45 y, por tantor se concluye fácilmente que, como los factores de 45 son 1, 3. 5, 9, l-5, 45, n : 1 y de arluí que H es nornal en G. De modo semejante, K es normal en G. Se tiene G : HK ya que lAf l : lAf

lHnfl :

lF1ll¡rl :45 (ejercicio 2l del capítulo 2) y, por ranro, G es isomorfo al producto directo H x K. Pero É1 es abeliano (problema 5.4) y K es cíclico y, en consecuencia, G es abeliano. (problema 3.2). tr Se darán dos problemas más qrre ilustran algunas de las técnicas usadas al manejar los subgrupos de Sylow.

Problema 5.15 Sea G un grupo finito y P un p-subgrupo de Sylow de G. Sea lüo(P) el normalizador de P en G y 11 un subgrupo de G tal que NG(P) g H. Si ¡{c (H) es el normalizador de 11 en G, pro-

barqueH:NcW).

(H).

Sea r e l{o (H), entonces es un subgrupo de ,F/. Se sabe que P es un p-subrrupo de Sylow de G y de aquí que también es un p-subgrupo de Sylow de cualquier subgrupo de G que contenga a P. De donde P y, por inferencia, también x- lPx son p-subgrupos de Sylow de H. Pero, por el problema 5.13 aplicado a H,existe heH tal que P h- 11x-lp,x¡ft : (,xft) lp(.rft).

Solución. Trivialmente , H

,t-lPx - r tHr:H. De donde -x-lPx

por tanto, como No(P) ¡úc (H) : H. Y,

De aquí que x/reNo(p) xhh- I eH. De donde

c H. se ticne -x :

t32

GRUPOS

5.16 Sea G un grupo finito y p un p-subgrupo de Sylow de G. Si N es un subgrupo normal de G, probar que Nñp es un

Problema

p-su,bgrupo de Sylow de N.

Solución. Supuesto que P es un p-subgrupo de Sylow de los gruy G, puede escribirse lp¡f l lflmrm, donde fr7, fl2 son enteros no divisibles entre p. Entonces (ejercicio 21

: lpl^r,lel :

pos PN

del capítulo

t¡st

+fl : Otili* : lrnNln,.

De aqul que PnN, siendo un p-subgmpo de posible es un p-subgmpo de Sylow de N.

5.2 GRUPOS SOLUBLES

ruIiza

el problema

(s.s)

de orden máximo

Empecemos con un resultado que gene-

3.14.

5.17 Sea X un conjunto no vacío de un grupo G. Sea el subconjunto de G que consiste de todos los elementos de la forma {'xi'..,4f , donde xre X,e¡: 11 (i : 1, 2,...,m;m : 1,2,...). Probar que Il es un subgrupo de G que contiene a X.

Problema

X c H. Si x\'xf . . .x? y y\'y* .. .yl.' !¡eX,a¡: ll,bj: *1) entonces x1'xi' " ' x?f" y2' " 'ü e H 2.3 1, ({'xi' ... xi;f 1 : x^"^x^\- | ...xrot e H.

Solución. Eviclentemente,

sgn elementos típicoa de y, por la ecuación

^Ff (x,,

De aquí que (problema 2.31), FI es un subgrupo de G. Conviene hacer notar que cualquier subgrupo de G que contiene a x debe contener a los productos e inversos de los eiementos de

X y, por tantq

contiene a H. Entonces I/ es el meqor subgrupo de G que contiene a x y, por tanto es la intersección de todos los subgrupos de G que contienen a X. Se dice que II es el subgrupo generado por X.

P-roblema 5.18 ¿Cuál es el subgrupo de So generado por (3 4), (1 2 3))?

X : {(lZ)

OTRO ESTUDIO SOBRE TEORI.A. DE

GRTTPOS

t33

Solución. Dado que (1 2)(3 4) y (1 2 3) son permutaciones Pares, X y el subgrupo generado por X es un subconjunto de An. Por otta parte, X genera a /n porque se tiene

(t 4)(2 3) : (1 3)(2 4)

: (1 4 3) :

(r32\

(124): (23 4)

(1 2 3) (1 2) (3

4)(r 2

23)(t 4)(2 3)(1 2 3)-r '(123)(1 23), (1 34) : lt23)(1 2)(34) (1 3 4)(1 3 4), (r 42) : (r2 3)(l 4)(2 3) (1 42\(t42), (243): (12 3)(1 3)(24) (1

: (243)(243\.

Probleme 5.19 Sea G un grupo y G' el subgrupo generado por todos los elementos de la forma x-ry-t*y(*,y€G).Probar que G' es un subgrupo normal de G y que GIG' es abeliano.

Solución. Sean z ec',geG. Para probar que G' es normal en G se tiene que demostrar que g-Lzg eG'. Perq por la definición de t r(z- t)-'g(t- t), 3', g-'(z- t¡- rgQ- \ . G'y, por tanto, g- zg : ge G'. De donde, Gt es normal en G. Sean ahora x, y e G. Entonces (xG')(yG')

: x!G' : xy[(y- lx- lyx)G'] : (xyy-Lx-Lyx)G' -

y, por tanto,GfG' es abeliano. IJn elemento de la forma *- t y- try (", y e

yxG'

G) se lil,ama

(yG')(xG')

conmutador

y G'recibe el nombre de (primer) conrnutador o (primer) (suD)grupo deriuado de G. Se observa que G' es trivial si y sólo si G es abeliano. Puede repetirse el proceso de formar grupos derivados. G", el segundo grupo deriuado de G, se genera por medio de los conmutadores de los elementos en G' y el n-ésímo grupo deriuado G@l se define como (@{n- tr¡'. Si para algún r, G(') es trivial, entonces se dice que G es soluble. Puede demostrarse que todos los grupos de órdenes menores que o iguales a 60 son solubles, excepto el grupo alternante ,4, (grupo icosaédrico) ; se ha demostrado que todos los grupos finitos de orden impar son solubles (de hecho ,4, es simple problema 2.72). tr

-ver

cRtrl,os

t3-l

Problema 5.20 Sea G un .qrupo un strbgn-rpo normal de G tal G'gH.

Solución. Sean x,

y, por tanto,

ye G.

ry lxyH :

: :

Supuesto que

GIH

es abeliano, se tiene

(x- 1H)(1,- 1r¡)("xr¡)(y¡¡)

(xH)-'0n)-

1(xr¡)

0¡¡) 1(x¡00r¡)-'(),H) (xH)-

x-'y-t*y e H.

Se infiere que

con grupo derivado G'. Sea H un que GIH es abeliano. Probar quc

De donde G'

es la intersección de todos los suberupos normales

de G cuyos grupos factores son abelianos. Problema

5.21

Solución.

Encontrar el trupo derivado

subgrupo

S', del S..

1. : [tl),(l 2 3),(1 3 2)] es normal y

grupo factor S3i,4. es cíclico de orden 2. De donde (problema 5.20) Sl, - 1.. Pero I Arl:3 y, por tanio S'. : At, o bien S. : l(1)).

Como

es no abeliano, Si*

: ¡ -.

5.22 Sea G un ¡l-grtrpo de orden p3 con centro Z(C) y errrpo derivado G'. Si G es no abeliano, probar ryre Z(G): G' y que

Problema

lztc)l:

Solución. Se sabe qt,e lZ(G¡l supuesto que G es no abeliano,l

) p

ZG)l :

(problerna p o p2.Si

5.ll) y, por

lZ(C)l :

tanlo,

p2 sc tienc

lClZtCll : p y, de donde, GIZ(G) es cíclico. Esto irnplica qe G

abeliano (prr-rblema 2.69). De aquí qrre lZtC¡l: p y, r'n consccuencia,lC¡Z1C)l: p'. Por el problenra 5.+, GIZ(G) t's abt'liano v. clt' donde G' c Z(G). Suprrt.sto quelZ(G)l : p,G' : Z(G\, o bien. G' : [e] y, por hipótesis, esta úrltirna alternatir.a no es posiblt'. tr Problema

5.23 Plobar quc un /r-glrrpo l'inito

Solución. Sea G un glupo y' cle or.clt'n p" (a

ttn suberupo norrnal

de oldcn

po-l

cs soltrblt'.

1). Entonces G tienc

(ploblcn-ra 5.6). l)aclo qrrc

O'I'RO [,S-I'LIDIO SOBRL'I'EORI.\ I)E C;RLII'OS

GIH es cíclico, G' c H. Ahora bien, razónese por inducción y supóngasc que la aseveración es cir.rta para los p-grupos de órdenes pb (b < c). Entonccs, cn particlar, É1 es soluble y, por consiguiente, existe n tal que el n-i'simo erupo derir.ado de H, es trivial. Pero G'c H implica"t't, que f":(G,),= H, y G,,,:(G,,)'=(H,),: H,,, y así srrccsivamente. I)c doncle, 6(a+ l) ¡s tririal v dt' aclrrí c¡rre G cs soh¡ble. Esto conrpleta la indtrcción. tr Problema 5.24 Sea GL(2, R) r.l gt.upo lineal gcneral dc las matriccs no sinsulart's de 2 x 2 sobrt' R v SL(2. R) cl grupo lineal especial de las matrices dt 2x2 , r.a<la una con cl dt'terminante 1. Prol-rar.

que SL(2. R) t's cl cru¡ro dclivada dc GL(2.

R).

Solución. Sc aplicarri el restrltaclo de <¡ue

entonces dg¡(¡y)

y son matrict:s de

det(x)det(y). Esta relación afirma que la aplicación x' det(x)(x e GL(2,R)) es trn homomorfismo de GL(2. R) hacia R*, el grrrpo rnrrltiplicativo cle los números reales diferentes de cero. El nricleo dc este homornorfismo t,s prt'cisamente SL(2, R) cl cual, por lo tanto, es un subsruoo normal Ct GL(2,R). Es mrls, como R* es abeiiano, IGL(2, R)]' c SL(2, R) (problema 5.20). I'a parte difícil dcl arsumento es demostrar que SL(2. R) c IGL\2, R)]' o, lo r¡rre es eqrrir.alente, par¿r demostrar que toda matriz de 2 x 2 de determinante I t's rrn prodLrcto de conmutadores. Considórense algunas matriccs "simples" clc rk'tcrminante l, a saber t4

(;;)(l ?)(; ?,,) (rsfeR ,+0,

(5.6)

Entonces. los sigrrit'ntes c¿ilcrrlos con matrices demrrestran que. realidad, estas matlic('s son conmrrtadores.

(, ;X¿ )(; ;X; ): (¿ ;)

:(l ) (l ¿X,:, i)(? ¿)( ll: _::;,):(, (; )(r )(; !x ;

?,)

136

GRUPOS

Pero las matrices

de (5.6) también

/a b\ \. ¿)rSfp,R)

entonces

generan

SL(2,R)

ya que. si

a,b,c,deR v ad-bc: I y sic#0,

tiene

(:t

=(¿

("-,'v)(j

ysic:0setiene

)(;

(d-|t)

(; i):(;'l)(á '':) De donde, S¿(2, R) es generado por conmutadores S¿(2, R) c. IGL(2,R)]'. Esto completa el argumento

por

tanto.

EJERCICIOS

l. Sean G,H grupos y f :G *.ÉI un epimorfismo. Si M es un sub_ grupo norrnal de G, probar que (M)es un subgrupo normal de H. f 2. Sea G-un p-grupo no trivial y H nnsubgrupo propio de G. probar que F/ está contenido de manera propia err r,r rrormalizad,or G. 3.

Probar que, salvo el isomorfismo, existen exactamente cinco gru-

pos de orden 8.

Probar que los grupos de los cuaternios tienen ambos tres subgmpos de orden 4.

y diédrico de orden

5. En la notación del problema 5.12, probar que Estab"(K,): Ifniy'o(K,), donde No(K,) es el normalizador en G de K,. 6.

Usar el argumento del problema 5.13 para demostrar que si e es un p-subgrupo de un grupo finito G, entonces existe un p_ruUg.irpo de Sylow P de G tal que e p.

L-

OTRO ESTUDIO SOBRE TEORIA DE GRUI'OS

t37

7. Sea G un grupo finito y K, y P un subgrupo normal y un p-subgrupo de Sylow de G, respectivamente. Probar g.;c PKIK es un p-subgrupo de Sylorv"de GIK y que G : KNc(PnK). (Ver el problerna 5.16. )

G, grupos con grupos derivados G'i(i : GrxGrtiene el grupo derivado G'rxG'r. Sean

2). Probar que

Sea G un grupo y G' y K el grupo derivado y un subgrupo normal de G, respectivamente. Probar que G'KIK es el grupo derivado de G/K. Deducir que cualquier imagen homomorfa de un grupp soluble es soluble. Demostrar que un subgrupo de un grupo soluble es soluble.

10. Sea G un grupo y K un subgrupo normal de G tal que son solubles. Probar que G es soluble.

K y GIK

11. Probar que un grupo finito no trivial es soluble si y solo si todo subgrupo de orden estrictamente mayor que 1 tiene un subgrupo nor-

mal de Ăndice primo.

INDICE

Cettralizador, 47 Centro, 45 Cero de la adición, 90

Abel. N. I{.,4l Abeliano, grupo,4l, 77

Ciclo,97

Adición, 27,:\0,90

Ciclos ajenos, 98 Cíclico, grupo, 42 Clase de conjugados, 45 Clasc de cquivalencia, 24 Clase lateral (derccha), 54

Alternante, grupo, 103 Angulo de rotación, I l4 Aplicación(es), l5 domini<¡ de una, l5 en, l5

idcntidad,

Clase lateral (izquierda), 53

Conjtrgados, subgrupos, 49 Conjunto dc relacioncs, I 14

imagen de una, l5 inycctiva, I 7 invcrsa, 2 I muchos a uno, l6 nota('ión dcl <'írculo dc las, rango de una, 'l 5

Conjunto(s).

clcmento dc un, 7 intersc<'t:iónde, l0-

Itt

unoaunr¡, l7

unión dc, l0 vat'ío, ll

(lonnrutador. 1 33 (lonmtrtativo, grupo, il2, 77

(lnul('rn¡()n('s. grul)() cle los. {i4

Ilase. 80 Ii¿se finita, 80

llasc librc,

no vacío,8, 16 subt'on.iunto dt: ¡¡, 3 srrbcon.junto pro¡.rio dc utr, 9 unión itjcna rlc, !{

sobre, I 7 supraye('tiva, I 7 A¡rlicación biyectiva, I [i Aplicación c'ompucsta, l8 Aplicacióñ muchos a uno, l6 Autoconjugado, strbgrupo, 49

clase de equivalencias de, 24

l)t'rct'ha, r:lasc l;rtt'ral, 54

l)crivado (sub) grupo, 1 33 I)cscartcs, R., l4

Biycr:ción, I tl C)

(l f nútlcros t ortr I4 'rlt'.j.rs). Caylev, r\., 104

f)cs<'omposir'i<in de <:lascs latcralcs, 1f

I)itirlrir'<¡, gru¡lo, I l3

I)r¡minio. I5 t.r9

INDICE

140

GL(2. IR). GL(n. IR), 47-48,

135-136

Eje de rotación, 114

icosáedrico, 122

Elemento, 7 Elemento autoconjugado, 45 Elemento central, 45 Elemento de torsión, 78 Elemento identidad,31 Elemento inverso, 31 Elemento libre de torsión, 78 Elemento periódico, 78 Elementos conjugados, 44, 45

libre de torsión, nilpotente, 129

Elementos conmutables, 32

Elemento(s) generador(es)

r32

, 41, 79,

l5 Epimorfismo, 6l En, áplicación,

Especial lineal, grupo, 135-136 Estabilizador, 1 06

Extensión, 82 F

Factor o cociente, grupo, 64 Función (ver aplicación), 15

octaédrico, I 19 orden de un, 42 p-grupo, 86-87, 125-126 p-subgrupo de Sylow de un, 87, 128

producto directo, 73,

que actúa como grupo de permu-

tación, 105 rango de un, 82

simétrico, 93 simple, 68 soluble, 133 suma directa, 90

tetraedro,116 trivial, 36 Grupo abeliano libre finitamente generado,8l Grupo cuatro de Klein, 38 Grupo de permutaciones, 93, 105 Grupo de simetrías del triángulo

equilátero,107 G

Generador, 41, L32 General lineal, grupo, 48-49, 13b

Grupo finitamente generado, 79 Grupo periódico, 78 H

Grupo,32

abeliano, 41, 78 Homomorfismo, S8 abeliano libre generado de modo Homomorfismo natural, 64

finito,8l

Homomorfismo trivial,

alternante,103 centro de un, 45 cíclico, 42 clase lateral de un, 53-54 conmutativo, 32, 77 cuaternión, 64 cuatro de Klein, 38 de simetría, 106, I l0 diédrico, grupo, I 13 especial lineal, 1 35-l 3ti

factor, 64 generado de modo general lineal,47

finito, 79 -48. 135-136

f\-

I Icosaédrico, grupo,

Identidad, aplicación, 18 Imagen, 15

Indice de un subgrupo,56 Intersección de conjuntos, 10-1f Intersección de subgrupos, 48-50 Inversa, aplicación, 21 Inyección, I 7 Inyectiva, aplicación, I 7 IR(números reales), l2

t4t

INDICE Isometría, 109 Isomorfismo, 61 Izquierda, clase lateral, 53

K Klein, F., 38 L Lagrange,J. L.,55 Ley asociativa,2l,28 Ley cerrada de composición, 27 Ley de composición, 27 Libre de torsión, grupo, 78

Permutación inducida, 104 Permutación impar, 103 Permutación par, 103 Permutación transitiva, I 05 Polinomio antisimétrico, I 0 I Polinomio simétrico, 101 Polo, 1 14 Primer teorerna de isomorfismo,6T Producto, 30 Producto dtrecto, 7 3, 7 5

a Q (números racionales), 10 R

M Rango, 15,82 Relación de equivalencia, 23 Relación reflexiva, 23 Relación simétrica, 23

Monoide,.3l Monomorfismo, 61

Multiplicación,

, 3O

Relación transitiva, 23

N S

Nilpotente, grupo, 129

No trivial, subgrupo, 46 No vacío, conjunto,8, 16 Normal, subgrupo, 49

Normalizador,5l Notación del círculo,

Subgrupo(s),46 autoconjugado, 49 centralizador, 47 conjugado, 49

Núcleo, 60 Números racionales, 10 Números reales, 12

conmutador, 133 de Sylow, 87 ,128 derivado, 133 índice de un, 55 intersección de, 48, 50 no trivial, 46

normal,49 Octaédrico, grupo, 119

Orbita, 105

Orden, 4l-42 Orden finito,4l Orden infinito, 4l P

normalizador, Sl núcleo, 60 producto directo de, 7 3, 7 7 segundo derivado, 133 suma directa de, 90 Segundo grupo derivado, 133 Segundo teorema de isomorfismo, 69

p-grupo, 85-86, 125 -128 p-subgrupo, de Sylow, 87,128 Permutación, 93

Semigrupo,2T Semigrupo conmutativo, 32 Simetría. 109

INDICE

142 Simetrías, grupo dc, I Simétrico, grupo, 93 Simple, grupo, 68 Sobre, aplicación, l7

Subconjunto, 8 Subconjunto propio, 9 Subgrupos de conrnutadores, 133 Suma directa, 90 Suprayección, I 7 Suprayectiva, aplicación, I 7 Sylow, L., 87 Sylow, subgrupo de,87, 128

Tetraédrico, grupo, I l6 Torsión, subgrupo de, 79 Transformación de simetría. 109 Transposición, 99 'I'rivial, grupo,36 U

Unión ajena,24 Unión de conjuntos,

V Vacío, conjunto, 8

Teorema de Cayley, 104

'Ieorema(s) de isomorfismo, 67,

z (cnteros),.9

)

ESTA OBRA SE TERMINO DE IMPRIMIR EI.

DIA

DE ENERO DE I97E, EN TOS TALTERES DE LITOGRAMA, S. A, ptNO 285, r^EXTCO 4, D. F. I.A EDICION CONSTA DE 3,OOO EJEMPIARES Y SOBRANTES PARA REPOSICION. KE-505-100

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