Cuaderno de Prácticas a la Semana2 del Módulo18. Cálculo en Fenómenos Naturales y Procesos Sociales.

Módulo

18

Semana 2

CUADERNO

El movimiento como razón de cambio y la derivada

DE PRÁCTICAS

Y

X

Módulo 13. Variación en procesos sociales Módulo Semana 1 Semana 2 El movimiento como razón de cambio y la derivada

18

Problema 1 El costo en pesos de producir x celulares para una compañía del norte es:

C (x) = 3000 + 10x + 0.05 x2

a) Encuentra la razón de cambio promedio de C con respecto a x, cuando se cambia el nivel de producción: a. De x = 100 a x = 105

b. De x = 100 a x = 101

b) Encuentra la razón de cambio instantáneo de C con respecto a x, cuando x = 100.

Problema 2 Un campesino tiene 2400 metros de malla y desea cercar un campo rectangular que limita con un río recto. No es necesario que cerque el largo del río. ¿Cuáles serán las dimensiones del campo que tendrán el área más grande?

cerca

río

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Respuestas Problema 1. Para encontrar la razón de cambio promedio de C en los valores solicitados, debemos calcular la pendiente tomando dos puntos de C (x).: Esto es:

Y sustituyes las x por los valores correspondientes: De x1 = 100 a x2 = 105

De x = 100 a x = 101

Como se observa, no hay un cambio significativo en el costo al producir de 100 a 105 celulares que producir de 100 a 101 celulares.

Ahora bien, para encontrar la razón de cambio instantáneo de C debemos encontrar la derivada y sustituir el valor x=100: C (x) = 3000 + 10x + 0.05x2 C’ (x) = 10 + 0.10x

C’(100) = 10 + 0.10 (100) = 20

Esto significa que después de fabricar 100 celulares, la cantidad a la cual se incrementa el costo es de 20 pesos por celular.

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Problema 2. Es necesario maximizar el área del rectángulo. Si denotamos a x y a y como el largo y el ancho del campo (en metros), podemos expresar el área en términos de x y y:

y

A = xy

Debemos expresar a A en términos de una sola variable, para ello eliminamos a y y la x expresamos en términos de x. Tomamos en cuenta la información dada de que la longitud total de la cerca es de 2400 m. Así, obtenemos:

A

2x + y = 2400

Despejando la y tenemos:

x

río

y = 2400 − 2x

Sustituyendo en la fórmula del área resulta: A = x (2400 − 2x) = 2400x − 2x²

Así que maximizamos La derivada es:

A (x) = 2400x − 2x²

Hallando los números críticos:

A’ (x) = 2400 − 4x

0 ≤ x ≤ 1200

2400 − 4x = 0 x = 600

Evaluamos la función en este número crítico y en los intervalos: A (0) = 0 A (600) = 720000 A (1200) = 0 Por lo tanto, el valor que maximiza la función es x = 600 En consecuencia, el campo rectangular debe tener 600 metros de largo y 1200 de ancho.

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