Matem ti

Modalidad Semiescolar del Sistema de Bachillerato del Gobierno del D. F.

Nociones Preliminares

La Derivada

La Integral

Matemรกticas Autor: Alejandro Montes y Gรณmez Daza

Historia del Cรกlculo

5

ÍNDICE Tema 1.1

Introducción......................................................................................................................1 El límite de una función....................................................................................................1 Propiedades de los límites ...............................................................................................3 Acerca del infinito ............................................................................................................5 A) Límite infinito.................................................................................................................5 B) Límite al infinito .............................................................................................................7 Definición oficial de límite de una función ..................................................................10 Ejercicios ..........................................................................................................................15 Glosario............................................................................................................................16 Ligas externas..................................................................................................................16 Ilustraciones .....................................................................................................................16 Tema 1.2

Continuidad .................................................................................................................... 17 Ejemplos........................................................................................................................... 18 Tipos de discontinuidad ................................................................................................. 19 Ejercicios .......................................................................................................................... 26 Glosario............................................................................................................................ 27 Ligas externas.................................................................................................................. 28 Tema 2.1 Introducción...............................................................................................................................29 La derivada de una función en un punto ...............................................................................32 ¿Que representa la derivada de una función en un punto?................................................33 La tangente como límite de cocientes ...................................................................................37 ¿Cuál de los dos cocientes usar?.............................................................................................38 Más ejemplos .............................................................................................................................39 Observaciones ...........................................................................................................................43 Ejercicios .....................................................................................................................................44 Glosario.......................................................................................................................................44 Ligas externas.............................................................................................................................44 Ilustraciones ................................................................................................................................45 Tema 2.2 Introducción...............................................................................................................................46 La derivada como función .......................................................................................................46 Ejemplos......................................................................................................................................47 Derivadas básicas: Potencias...................................................................................................48

La derivada es lineal .................................................................................................................49 Derivada del producto y del cociente....................................................................................50 Formulario ...................................................................................................................................52 Ejercicios .....................................................................................................................................52 Glosario.......................................................................................................................................53 Ligas externas.............................................................................................................................53 Tema 2.3 Introduccion....................................................................................................................................54 ¿Cuándo no hay derivada?.........................................................................................................54 a) No definida en el punto……………………………………………………... .......................... …55 b) La función escalón (salto)........................................................................................................56 c) El valor absoluto (esquina) ...................................................................................................57 d) Tangente vertical ..................................................................................................................58 Nota: El 0 no tiene la culpa.......................................................................................................60 Derivada de las funciones trigonométricas.............................................................................62 Derivada de la exponencial y del logaritmo natural .............................................................62 Ejemplos......................................................................................................................................62 Regla de la cadena ..................................................................................................................64 Ejemplos (Regla de la cadena)................................................................................................65 Derivada de seno y del coseno ...............................................................................................66 Ejercicios .....................................................................................................................................66 Glosario.......................................................................................................................................67 Ligas externas.............................................................................................................................67 Tema 2.4 Introducción...............................................................................................................................68 Definiciones ................................................................................................................................69 Funciones crecientes y decrecientes ......................................................................................70 Concavidad y segunda derivada .................................................................................... 75 Ejercicios .....................................................................................................................................78 Glosario.......................................................................................................................................79 Ligas externas.............................................................................................................................79 Tema 2.5 Introducción...............................................................................................................................80 Algoritmo para graficar ............................................................................................................81 Ejercicios .....................................................................................................................................89 Ligas externas.............................................................................................................................90 Ilustraciones ................................................................................................................................90 Tema 2.6

Introducción.................................................................................................................... 91

A) Caja con máximo volumen...................................................................................... 92 B) Lata con mínima superficie....................................................................................... 96 C) Punto de una curva más cercano a otro punto ................................................... 98 D) El método de Newton ............................................................................................... 99 D’) Algoritmo del método de Newton ....................................................................... 103 Método de Newton con Excel.................................................................................... 103 Ejercicios ........................................................................................................................ 104 Glosario.......................................................................................................................... 105 Ligas externas................................................................................................................ 105 Ilustraciones ................................................................................................................... 105 Tema 3.1 Introducción (Adivinanza) ......................................................................................................107 Antiderivada: La integral indefinida ......................................................................................108 Ejemplos....................................................................................................................................109 Propiedades de la integral indefinida ...................................................................................110 Ejercicios ...................................................................................................................................112 Glosario.....................................................................................................................................113 Ligas externas...........................................................................................................................114 Tema 3.2 Introducción.............................................................................................................................115 ¿De que tamaño es? ..............................................................................................................115 Sumas inferiores y superiores...................................................................................................121 Partición del intervalo..............................................................................................................121 Ejemplos....................................................................................................................................122 Un par de desigualdades .......................................................................................................124 Método del punto medio y la regla del trapecio.................................................................130 Ejemplo 8) Punto medio ..........................................................................................................131 Ejemplo 9) Regla del trapecio ................................................................................................132 Ejercicios ...................................................................................................................................134 Glosario.....................................................................................................................................134 Ligas externas...........................................................................................................................135 Ilustraciones ..............................................................................................................................136 Tema 3.3 Introducción.............................................................................................................................137 Sumas de Riemann y la integral de Riemann .......................................................................138 Sobre la partición del intervalo [a, b] ....................................................................................139 Sobre la función .......................................................................................................................139 Algunas sumas importantes ....................................................................................................140 Ejemplos....................................................................................................................................140

Ejercicios ...................................................................................................................................145 Glosario.....................................................................................................................................146 Ligas externas...........................................................................................................................146 Ilustraciones ..............................................................................................................................146 Tema 3.4 Introducción.............................................................................................................................147 El Teorema Fundamental del Cálculo ...................................................................................148 Notas.........................................................................................................................................148 Ejemplos....................................................................................................................................149 ¿Qué tan malas fueron nuestras aproximaciones?..............................................................150 Propiedades de la integral definida ......................................................................................152 Ejercicios ...................................................................................................................................153 Glosario.....................................................................................................................................154 Ligas externas...........................................................................................................................154 Ilustraciones ..............................................................................................................................154 Tema 3.5 Introducción.............................................................................................................................155 Integrales trigonométricas y algunas más .............................................................................155 Técnicas de integración .........................................................................................................156 Método de sustitución .................................................................................................................156 Ejemplos....................................................................................................................................156 Integración por partes.............................................................................................................159 Ejemplos....................................................................................................................................159 Ejercicios ...................................................................................................................................161 Glosario.....................................................................................................................................162 Ligas externas...........................................................................................................................162 Ilustraciones ..............................................................................................................................162 Tema 3.6 Introducción.............................................................................................................................163 Área bajo una curva ...............................................................................................................163 Área entre dos curvas .............................................................................................................165 Longitud de una curva............................................................................................................170 Ejercicios ...................................................................................................................................173 Glosario.....................................................................................................................................175 Ligas externas...........................................................................................................................175 Tema 4.1 ¿Cómo empezó el cálculo?...................................................................................................176 El cálculo antes de Cristo........................................................................................................178 Biografía de Pitágoras .............................................................................................................181 Biografía de Arquímedes ........................................................................................................189

Ligas externas...........................................................................................................................194 Ilustraciones ..............................................................................................................................195 Tema 4.2 Introducción.............................................................................................................................197 La edad media: Oreseme y Galileo ......................................................................................197 Precursores del cálculo moderno ..........................................................................................198 Cavalieri y Roberval ................................................................................................................199 Pierre de Fermat.......................................................................................................................200 Huygens y Torricelli ...................................................................................................................200 Blaise Pascal .............................................................................................................................202 Wallis y Barrow..........................................................................................................................204 Biografía de Descartes ............................................................................................................206 Biografía de Fermat .................................................................................................................213 Ligas externas...........................................................................................................................218 Ilustraciones ..............................................................................................................................218 Tema 4.3 Introducción.............................................................................................................................220 Biografía de Isaac Newton .....................................................................................................220 Biografía de Gottfried Wilhelm Leibniz ...................................................................................226 Ilustraciones ..............................................................................................................................230 Tema 4.4 Introducción: El cálculo después del siglo XVII .....................................................................232 Leonard Euler ...........................................................................................................................233 Los Bernoulli ..............................................................................................................................234 Marques de l´Hospital..............................................................................................................236 Brook Taylor ..............................................................................................................................236 George Berkeley ......................................................................................................................238 Joseph Louis Lagrange............................................................................................................239 Joseph Fourier ..........................................................................................................................240 Agustín Louis Cauchy ..............................................................................................................241 Bernhard Riemann ...................................................................................................................242 Pesonajes relacionados con el cálculo diferencial e integral.............................................245 Ligas externas...........................................................................................................................246 Ilustraciones ..............................................................................................................................247

Matemáticas 5

Objetivo I: Nociones preliminares

Tema 1.1: El límite de una función

Propiedades de los límites Límite infinito

El lím ite de una función

OBJETIVO El estudiante recordará la definición de límite de una función; estudiará ejemplos y se preparará para las definiciones de derivada e integral.

El infinito Límite al infinito Definición oficial de límite

Introducción En el curso anterior se estudiaron los temas límite de funciones y continuidad de funciones. El propósito fundamental de esta primera lección es recordar tales definiciones, en particular la de límite, ya que las definiciones de derivada y de integral emplean este importante concepto.

El límite de una función Sea f(x) una función, a y L dos números reales.

Decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a a es L si cada vez que tomemos puntos cercanos a a, entonces los valores f(x) están cerca de L. La notación es lím f ( x) = L x→ a

En términos de conjuntos, la definición dice que si tomamos puntos x próximos al punto a, entonces la imagen f(x) de tales puntos estará cerca de L:

x

f(x )

a

f(x )

L

f(x ’)

x’ a

1

Puntos cerca de a …

caen cerca de

L

De acuerdo. La palabra “cerca” es muy imprecisa. ¿Qué está cerca y qué está lejos? ¿Está cerca la luna? Si no decimos con respecto a qué, no podemos contestar. La “cercandad” es un concepto relativo; al final de esta sección, con ayuda de la función distancia (valor absoluto) haremos precisa la definición de límite.

Como ilustración de la definición anterior tomemos una función, digamos Nos interesa encontrar el límite de f(x) cuando x tiende a 2.

y = 9 – 2x2 y sea a = 2.

Tomamos algunos puntos próximos a 2, anteriores y posteriores, y luego evaluamos para poder postular algún número L como límite: x<2 1.9 1.99 1.999 1.9999

f(x) 1.78 1.0798 1.007998 1.00079998

x>2 2.1 2.01 2.001 2.0001

f(x) 0.18 0.9198 0.991998 0.99919998

Mientras más cerca de 2 estemos, observamos que la imagen está más próxima de 1.

En este caso, ya que la función está definida en x = 2, basta evaluar la función en el punto: f(2) = 9 – 2(2) 2 = 9 – 8 = 1.

Las dos siguientes imágenes muestran la situación; la primera en términos de conjuntos, la segunda, de intervalos.

2

f(x) = 9 - 2x

1.99

1.0798

1

2

0.9198 2.01

Puntos cerca de 2… .

caen cerca de 1

2

1.99

2

2.01

0.9198 1

1.0798

La gráfica de la función cerca del punto x = 2 describe mejor la situación:

y = 9 – 2x2, cerca de x = 2 Concluimos diciendo que lím (9 − 2x 2 ) = 1 x→ 2

Propiedades de los límites Sean f y g dos funciones tales que lím f ( x ) = L ,

lím g ( x) = M

x →a

x →a

1) Unicidad: Si el límite existe, es único.

2) Operaciones: El límite de la suma, resta, multiplicación y división, es igual a la suma, resta, multiplicación y división de los límites, es decir, cuando x tiende a a se tiene:

lím ( f ( x) + g ( x) ) = L + M = lím f ( x) + lím g ( x) x →a

x →a

x→ a

lím ( f ( x) − g ( x) ) = L − M = lím f ( x) − lím g ( x) x →a

x →a

x →a

lím ( f ( x) ⋅ g ( x) ) =

L⋅M =

lím f ( x) ⋅ lím g ( x)

lím ( f ( x) / g ( x) ) =

L/M =

lím f ( x) / lím g ( x)

x→ a

x →a

x →a

x →a

(Por supuesto, M distinto de cero en el último renglón) Como caso particular, si f(x) = k, una función constante, entonces

3

x →a

x →a

lím k =

k

lím (k ⋅ g ( x) ) =

k⋅M =

x →a

x →a

k ⋅ lím g ( x) x →a

lím (k / g ( x) ) = k / M = k / lím g ( x) x →a

x →a

3) Potencias y raíces: si n es entero positivo entonces

lím ( f ( x) ) = L n = n

x→a

lím n f ( x) =

n

x→ a

( lím f ( x))

n

x→a

L = n lím f ( x) x →a

4) Polinomios: Si P(x) es un polinomio y x tiende a a, entonces evaluar el polinomio en el punto a.

lím P(x) = P(a), es decir, basta

5) Trigonométricas: Si t(x) es alguna del las seis funciones trigonométricas y está definida en a, entonces

lim t ( x ) = t ( a ) x→ a

6) Exponencial y el logaritmo natural: si x tiende a a entonces

lím exp( x) = exp(a ) = e a x →a

y si a es > 0 entonces

lím ln x = ln a x →a

7) La propiedad del sándwich (o del emparedado) dice que si tenemos tres funciones tales que

f ( x ) ≤ h( x ) ≤ g ( x ) y además

lím f ( x) =

x → a

lím g ( x) = L ,

x → a

entonces

lím h( x) = L

x → a

4

Pensamos a las funciones f y g como el pan de la torta y h(x) como el jamón, queso, chiles o los ingredientes que le pongamos. Si aplastamos el pan, apachurramos al jamón en medio, por eso su límite es el mismo que el de las tapas.

(Las propiedades anteriores se estudiaron en Matemáticas 4; se recomienda repasar) Acerca del infinito Antes de seguir adelante, recordemos un par de consideraciones relacionadas con los límites y los infinitos. Primero, el infinito no es un número, es un concepto. Tiene sentido hablar de algo que tiende a infinito pero no del infinito como un objeto. Por ejemplo, en el curso anterior, cuando estudiamos sucesiones como {an}, el subíndice ene es un entero positivo que lo hacemos cada vez más grande y por simplicidad decimos que ene tiende a infinito. Como muestra, tomamos el caso de: A) Límite infinito Ejemplo 1) La función f ( x) =

1 tiende a infinito cuando x tiende al entero 2 por la izquierda y a 2− x

menos infinito cuando nos acercamos a 2 por la derecha:

5

El empleo de la palabra infinito en estas expresiones se debe a que si tomamos x < 2 pero muy cerca de 2 entonces f(x) se hace muy grande, de hecho se puede hacer tan grande como podamos imaginar. Por ejemplo, si tomamos

x = 2−

1 1,000,000

y evaluamos la función en x obtenemos

1 1 1   f 2 − = = 1,000,000 = 1 1,000,000  1    2 − 2 −  1,000,000  1,000,000  Si consideramos puntos más y más cercanos a 2, la función los mandará más y más lejos de 0: al infinito.

En esta situación decimos que El límite diverge (a más infinito) o que

El límite no existe

Algunos autores prefieren decir simplemente lím f ( x ) = ∞ , porque es más breve y puede ser x→ a

intuitivamente más claro.

6

¡Cuidado! Si decimos que el límite de una función no existe, entonces NO se quiere decir que el límite sea infinito: Por ejemplo, si hay un escalón o brinco entonces el límite no existe:

El límite en 0 no existe: hay un brinco

B) Límite al infinito Frecuentemente investigamos límites tomando valores de x arbitrariamente grandes, es decir, del estilo lím f (x) , y en caso de que el límite sea un número real, digamos L: lím f ( x) = L , significa x→ ∞

x→ ∞

que mientras más lejos del origen estemos, los valores f(x) se acercan más y más al número L. Consideramos la misma función f(x) como: Ejemplo 2)

lím

x →∞

1 2− x

Si x es grande entonces

1 es pequeño y el límite es 0. Por ejemplo, si pensamos que el entero 2− x

x = 109 es grande, y evaluamos la función en x obtenemos:

1 1 = = −0.000000001 , aproximadamente, o sea, negativo, pero muy pequeño.

2 − x 2 − 10 9

7

En este caso la recta y = 0 es asíntota horizontal, es decir, para valores grandes de x la gráfica de la función se acerca arbitrariamente a 0:

Si x crece 1 / (x-2) tiende a 0 (Recordamos que el número 109 = 1000,000,000 = mil millones, es un millardo) Ejemplo 3) Consideramos la siguiente función y nos interesa investigar la continuidad en a = 2:

 − ( x − 2 )2 − 1 si  g ( x) =  1 si − ( x − 2 )2 + 2 si 

x<2 x=2 x>2

a) La función si está definida en 2: g(2) = 1 b) El límite por la izquierda existe: es – 1 El límite por la derecha existe: es + 2 Sin embargo, como los límites laterales son distintos, el límite de la función no existe y por lo tanto no puede ser continua. En la gráfica se aprecia mejor:

8

Discontinua en 2

si  2x − x + 3 si

Ejemplo 4) La función h(x) no está definida en 1: h( x ) = 

x <1 x >1

En x = 1 los límites laterales son iguales Sin embargo los límites laterales sí existen y además son iguales: 9

lím − h( x ) = 2 = lím + h( x )

x→ 1

x→ 1

así que el límite de la función sí existe, pero no es continua por no estar definida en x = 1.

Podemos construir la función:

h(x) si H (x ) =   2 si

x≠1 x=1

H es idéntica a h, excepto que H sí está definida en x = 1 y sí vale lo apropiado para que sea continua en 1, es decir, H (x) tapa el agujero ocasionado por h minúscula. x = 1 es un ejemplo de lo que se llama discontinuidad removible de h(x), ya que la función se puede definir en x = 1 y con esto la función se convierte en continua.

Nota: H(x) no es igual a h(x) ya que sus dominios son distintos.

Definición oficial de límite de una función Antes de la definición, necesitamos recordar lo que es una vecindad:

Si δ es un número positivo, entonces la vecindad de a de radio δ es el conjunto de puntos x tales que distan de a menos que δ.

Es decir, V(a, δ) = { x | | x – a | < δ } Si x pertenece a V, diremos que es δ-cercano a a

Vecindad del Chavo

En la recta numérica de los números reales, las vecindades de puntos son intervalos abiertos, pero a veces es mejor dibujarlas en 2 dimensiones para tener una mejor idea:

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Vecindad de a con radio δ En los número reales:

a–δ

a

En el plano:

δ

a+δ

a

Definición: El límite de f(x) cuando x tiende a a es el número L si: para cada número positivo ε (épsilon) que se considere, existe un número δ (delta) también mayor que cero, tal que si tomamos cualquier punto que diste de a menos que δ, entonces f(x) dista de L menos que ε

Para tratar de hacer la definición más comprensible la dividimos en varias partes: A) Empezamos con una función definida en puntos cercanos al número a y con otro número L. Dibujaremos la situación como si ocurriera en el plano en vez de la recta. Es un poco más claro de esta manera, es decir, nuestras vecindades serán círculos en vez de intervalos.

f(x) a

L

B) Decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a a es L si para cada vecindad de radio positivo ε que consideremos del número L:

f(x)

ε

a

L 11

C) Existe una vecindad del número a (digamos de radio δ )

δ

f(x)

a

L

D) Con la propiedad de que si tomamos cualquier punto x, delta cercano a a

δ

f(x)

x a

L

E) Entonces la imagen de x bajo f dista de L menos que épsilon:

f(x) x a

f(x) ε L

Para entender el proceso épsilon delta consideremos el siguiente Ejemplo 5) Sea f(x) = 2x. Nos interesa analizar la definición del límite de la función cuando x = 1. Por supuesto el límite es 2, pero supongamos que tomamos una vecindad de 2 en el eje Y de radio épsilon igual a 1 / 5, es decir, la vecindad (1.8, 2,2).

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Vecindad de 2 de radio 1 / 5: (1.8, 2.2) Si x está muy cerca de 1, digamos x = 1.01, ¿cuánto dista f(1.01) de 2? | f(1.01) – 2| = |2.02 – 2| = .02 = 2/100 = 1/50 que sí es menor que 1/5.

Este argumento nos dice que la imagen del intervalo (0.99, 1.01) sí cae dentro del intervalo (1.8, 2.2).

Sin embargo si nos alejamos algo de 1, por ejemplo si tomamos x = 1.5 entonces | f (1.5) – 2| = | 3 – 2 | = 1 que no es menor que 1 / 5. Concluimos que la imagen del intervalo (0.5, 1.5) no cae toda dentro de (1.8, 2.2).

La idea es encontrar una vecindad de 1, la más grande que se pueda pero con la propiedad de que todos los puntos dentro de tal vecindad tengan imágenes 1/5 cercanas a 1.

El argumento puede ser así, empezando por el final. Suponemos que tenemos una x tal que | f (x) – 2 | = | 2x – 2 | < 1/5. ¿Cómo es esta x con respecto a 1? ¿Cuánto dista de 1?

En este caso basta simplificar: | 2x –2 | = 2 | x – 1| y como | 2x –2 | = 2 | x – 1| < 1 / 5 entonces dividiendo entre 2 tenemos | x – 1| < 1/10 Concluimos que si ε = 1 / 5 entonces la delta que funciona es δ =1/10 13

Por último, sólo hay que comprobar nuestro argumento. Para eso tomamos x delta cerca de 1: | x – 1| < δ =1/10 Comparamos f(x) con 2 y simplificamos: | f(x) – 2 | = | 2x – 2 | = 2 | x – 1| pero como | x – 1| < 1 / 10 entonces 2| x – 1| < 2/10 = 1/5 = ε

Si ε = 1/5 entonces δ =1/10

Nota: El número delta depende de épsilon: es decir, si se toma otra épsilon, la delta que resulte no tiene por que ser igual a la anterior.

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Ejercicios

Investiga los siguientes límites 1)

1 x→ 3 x 3

2)

lím x 2 x + 5

4)

lím

3)

lím 3x 3 4

x→ 16

x −1 x→ 2 x 2 + 2 lím

x→ 2

Supóngase que lím f ( x ) = −1 y que x→ a

lím g ( x ) = +1 .

x→ a

Encuentra los siguientes límites cuando x tiende a a: 5) f(x) + g(x) 7) f(x) ⋅ g(x) 9) f(g(x))

6) f(x) – g(x) 8) f(x) / g(x) 10) g(f(x))

Resuelve los siguientes ejercicios:

sen x x →0 3 x

11) lím 14) lím x →0

3sen 3 x x

3sen x x→0 x

x x → 0 sen 3 x

12) lím

15) lím x →0

13) lím

sen 2 x sen 4 x

16) Analiza la siguiente gráfica y determina si es continua en x = –1 y x = +1

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Glosario

Límites laterales: por la izquierda lím − f (x) es cuando nos acercamos al número a solamente por el x→ a

lado izquierdo, es decir, x < a. Análogamente, el límite lateral derecho es

lím f (x) y permite

x→ a +

acercarse sólo por el lado derecho: x > a.

Millardo: Mil millones = 109

Ligas externas (Abril 2009) Ejercicios resueltos sobre límites y continuidad: http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id20.htm Ejercicios resueltos sobre límites: http://148.216.10.84/DIFERENCIAL/ejercicios_de_limites.htm Se puede bajar de la red un graficador gratuito para instalar en cualquier computadora que corra con Windows. Por ejemplo: http://www.mathgv.com/index.html Como muestra, solicité graficar tan(x) y presento lo que obtuve (después de modificar un poco la altura):

Ilustraciones

Vecindad del Chavo: http://www.flickr.com/photos/24059358@N04/2432445887/

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Matemáticas 5

Objetivo I: Nociones preliminares

Tema 1.2: Funciones continuas y discontinuas

Función continua

OBJETIVO El estudiante repasará el concepto de función continuad y definirá lo que significa discontinuidad de una función.

Discontinuidad: Ejemplos No removible

Removible

De s alto

Es encial

Continuidad Recordamos la siguiente definición: Si f(x) es una función definida en una vecindad de a, decimos que f es continua en a si: a) f(x) está definida en a b) lím f (x) existe x→ a

c) lím f ( x) = f (a ) x→ a

Observaciones: (a) Dice que f debe estar definida en a, o sea, f(a) es un valor fijo y bien definido: no hay división entre 0 o algún impedimento similar. (b) El límite cuando x tiende a a debe existir, es decir, los límites laterales, por la izquierda y derecha, deben existir y deben ser iguales: lím − f ( x ) = lím + f ( x ) x→ a

x→ a

(c) El límite debe ser igual al valor de la función en a.

Se extiende la definición de continuidad de la manera natural: una función es continua en un intervalo si lo es en cada uno de los puntos del intervalo.

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Así, una función es continua cuando su gráfica consta de una sola pieza: la podemos recorrer de un lado a otro sin encontrar huecos, agujeros o brincos.

Ejemplos 1) La función f ( x ) =

1 x−2

¿Es continua en el punto 2? Analizamos las tres condiciones de la definición de continuidad: a) ¿Está definida en 2? No lo está. División entre 0. Por este simple hecho ya no puede ser continua.

De cualquier manera examinamos las dos siguientes condiciones b) ¿Existe el límite cuando x tiende a 2? No existe, por ninguno de los dos lados: Al acercarnos a 2 por la izquierda el límite tiende a – ∞ y por la derecha a + ∞. Es decir, los límites laterales no existen.

Esto impide que podamos definir a la función en x = 2 y hacer continua a f(x). c) El tercer caso no aplica, ya que ni existe el límite ni la función está definida en x = 2.

El gran defecto de la función es que no está definida en 2.

Sin embargo la función es continua en cualquier punto, distinto de 2.

La función 1 / (x – 2) no es continua en 2. (Ni siquiera está definida en 2) El ejemplo anterior confirma que si la función no está definida en el punto, entonces simplemente no puede ser continua en ese punto. Para hablar de continuidad es necesario que esté definida en el punto.

En este caso, la recta x = 2 es una asíntota vertical:

18

La recta x = 2 es asíntota vertical

Tipos de discontinuidad Hay varios tipos de discontinuidad de una función: Discontinuidad removible: cuando el límite de la función existe en el punto pero la función no está definida en el punto. En este caso el hueco se puede tapar como veremos en el ejemplo a continuación.

Discontinuidad no–removible: Aquí es imposible tapar el hueco y puede ser por diversas razones: a) Discontinuidad esencial: alguno (o ambos) de los límites laterales no existe o diverge a infinito, como en el ejemplo 1: f ( x ) =

1 x−2

b) Discontinuidad de salto: Los límites laterales existen pero son distintos, como en el ejemplo 2, a continuación: Ejemplo 2) ¿Dónde y por qué es discontinua la siguiente función?

19

Si llamamos f(x) a la función de la gráfica, tenemos que: * En 0 es discontinua porque el límite cuando x tiende a 0 no existe. (Por la izquierda es 2, por la derecha 1). Discontinuidad de salto. No importa cuánto es f(0). * La gráfica muestra que f(1) = 2. En ese punto (1) f es discontinua porque el límite de la función en 1 es distinto al valor de la función en 1: lím f ( x ) = 0 ≠ 2 = f (1) . x→ 1

x = 1 es una discontinuidad removible, ya que la función se puede redefinir en 1 y hacerse continua, es decir, la discontinuidad se puede remover y convertir en continua a la función. f(x) es continua en todos los demás puntos.

1  x

Ejemplo 3) ¿Qué sucede con sen  cuando x tiende a 0?

1  x

Si x tiende a 0, 1/x tiende a infinito así que llamamos z a 1/x, entonces lím sen  = lím sen( z ) . x→ 0

z→ ∞

Pero este último límite no existe ya que la función seno sube y baja infinidad de veces dentro de la franja y = ±1 sin detenerse jamás:

La función sen(z) 20

La gráfica de la función

y = sen

1 x

es interesante: oscila infinitamente mientras x se acerca más y

más a 0:

La función sen(1/x) 0 es una discontinuidad esencial de la función, ya que el límite no existe.

Ejemplo 4) ¿Cuál es el límite siguiente?

sen(x) 0 x

lím

x→

Es interesante ver las gráficas de las funciones y = x y seno cerca del origen:

Las funciones sen(x) y la diagonal y = x

21

Si nos acercamos a una vecindad pequeña de 0, digamos al intervalo [– 0.4, 0.4] vemos:

Sen(x) y la diagonal y = x se confunden Las gráficas son casi iguales. No se sabe cuál es cuál.

Encontramos los valores para algunos puntos cerca de 0: x 1 0.1 0.01 0.001 0.0001

y = sen(x) 0.841471 0.099833 0.01 0.001 0.0001

Pero si el seno de x es muy parecido a x, entonces eso nos anima a afirmar que el cociente senx / x es un número muy cercano a 1. Comprobamos: x 1 0.1 0.01 0.001

y = sen(x) / x 0.841470985 0.998334166 0.999983333 0.999999833

22

0.0001 0.00001 0.000001

0.999999998 1 1

Por supuesto no es una demostración formal, únicamente una justificación.

La gráfica no deja lugar a dudas:

Gráfica de sen(x)/x Sin temor a equivocarnos, afirmamos la siguiente identidad:

sen x =1 0 x

lím

x→

Nota. Es buena idea recordar que el seno de un número pequeño es aproximadamente igual al mismo número. Por ejemplo, sen 0.002 ¿cuánto es aproximadamente? Ver ejercicios

Ejemplo 5) ¿Cuál es el siguiente límite?

sen 3x 0 x

lím

x→

Informalmente, como 3x es pequeño cuando x tiende a cero entonces sen(3x) se parece a 3x y por lo tanto lìm x→ 0

sen 3 x 3 x ≈ =3 x x

Formalmente, cambiamos la variable 3x por u : u = 3x. Despejamos x: x = u/3 y sustituimos:

sen 3 x sen u sen u = =3 x u3 u Si x tiende a 0, la igualdad x = u/3 nos dice que u tiende a 0, pero sabemos que el límite del cociente es 1, así que

lím

x→ 0

sen 3x senu = 3 lím = 3⋅1 = 3 u→ 0 x u 23

Ejemplo 6) Si g(x) tiene la gráfica siguiente, investigar los puntos donde no es continua.

¿Qué tipo de discontinuidades son?

x = -2 es una discontinuidad removible, ya que los límites laterales existen y son iguales x = 0 es otra discontinuidad removible, por la misma razón que en el punto x = -2 x = 1 es una discontinuidad no removible: el límite tiende a menos infinito. Discontinuidad esencial x = 2 es una discontinuidad no removible: los límites laterales existen pero son distintos.

Discontinuidad de salto: Ejemplo 7) Supongamos que tenemos la siguiente situación y deseamos definir la función de manera que sea continua en todos lados. Notamos que no está definida en el intervalo [0, 1]. ¿Cómo la definimos para hacerla continua?

24

La idea más simple es encontrar la recta que pasa por (0,2) y (1,1). Esa recta unirá las piezas separadas y quedará una sola función continua.

Por supuesto, puede ser cualquier curva continua que una a los dos extremos mencionados, es decir, no tiene porque ser recta, por ejemplo, dos cuadráticas que funcionan son:

Ejemplo 8) Un ejemplo conocido del curso anterior es la función mayor entero: si x es un número real, la función mayor entero se define como el mayor entero menor o igual a x; se denota la variable entre paréntesis rectangulares: [ x ].

Lo que hace esta función es quitarle los decimales al número, por ejemplo: [2.5] = 2 , [-1.01] = -2 y [-1] = -1. Para mayor comprensión, en la segunda gráfica se dibuja también la función diagonal y = x:

Mayor entero

Mayor entero junto con y = x

La función mayor entero no es continua en los enteros: las discontinuidades son, por supuesto, de salto.

25

Ejercicios

Investiga los puntos donde las siguientes funciones puedan ser discontinuas: 1) y =

x −1

2) y = 1 − x 2

3) y =

x3 − 1

4) y =

x≤1  x − 1 si  5) f ( x) = 2x − 1 si 1 < x < 2  x + 1 si x≥2  1 (x − 3) si 1 (x + 3) si

7) F(x) = 

cos x x

|x|  si

x≠0

 0

x=0

6) g(x) =  x

si

x≤3 x>3

Indaga la continuidad de las siguientes funciones, donde [x] es la función mayor entero 8) x – [x] 9) x + [x] 10) [x2]

si  2x a − 3 x si

11) Sea g ( x ) = 

x ≤1 x >1

x≤0 2 si  12) Sea h( x) =  x si 0 < x < 1 0 si x ≥1   x2 − 4  13) Sea r ( x ) =  x − 2  2 a) ¿Existe r(2)?

si

x≠2

si

x=2

¿Cómo debe ser a para que g sea continua? Dibuja la gráfica

Investiga los puntos de discontinuidad. Conviene graficar antes.

b) ¿Exíste lím r ( x ) ?

c) ¿Es r continua en 2?

x→2

 x si 0 si

14) Sea Q el conjunto de los números racionales y f la función f ( x ) = 

x∈Q x∉Q

¿Dónde es continua la función f ? Ayuda: ¿Cómo es la gráfica de f?

15) El objeto de este ejercicio es observar lo próximo que está x a sen x, en el caso de que x sea un número pequeño.

El error absoluto se define como el valor absoluto de la diferencia de los números y nos dice cuánto (o qué tan poco) es lo que distan.

El error relativo es el cociente del error absoluto entre el valor real, multiplicado por 100, para tener el porcentaje.

26

Por ejemplo, si decimos que 3 se parece a π ( ~ 3.1415926) entonces Error absoluto = | 3 – π | = 0.1415926 Error relativo = Error absoluto x 100 / π ~ 4.51% Si nos acercamos más a π, vemos como decrecen los errores: Aprox 3 3.1 3.12 3.14 3.1416

Absoluto 0.14159265 0.04159265 0.02159265 0.00159265 7.3464E-06

Relativo 4.51% 1.32% 0.69% 0.05% 0.00023%

Con una calculadora o computadora llena la siguiente tabla: x

Sen x

Error Error Absoluto Relativo

2 1 0.5 0.2 0.02 0.0025 0.0005 -0.02 -0.0039 -0.0007

Glosario

Continuidad: f es continua en a si se cumplen los tres propiedades siguientes: i) f está definida en a ii) lím f(x) cuando x tiende a a, existe iii) Si x → a entonces lím f(x) = f(a) Discontinuidad de una función: punto donde la función no es continua.

Discontinuidad removible: cuando los límites laterales existen y son iguales pero la función no está definida en el punto.

Discontinuidad no-removible: cuando los límites laterales son distintos o cuando alguno no existe.

27

Límites laterales: por la izquierda lím − f (x ) es cuando nos acercamos al número a solamente por el x→ a

lado izquierdo, es decir, x < a. Análogamente, el límite lateral derecho es

lím f (x) y permite

x→ a +

acercarse sólo por el lado derecho: x > a.

Vecindad de un punto: la vecindad de a de radio δ es el conjunto de puntos x, tales que distan de a menos que δ: V(a, δ) = { x | | x – a | < δ }. δ es u número > 0.

Ligas externas

Ejercicios resueltos sobre límites y continuidad: http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id20.htm

28

Matemáticas 5

Objetivo II: La derivada

Tema 2.1 : La derivada en un punto

Derivada de una función en un punto

¿Qué es ?

como límite de secantes

La tangente

¿Qué representa?

como límite de cocientes

Ejemplos

Introducción En la sección anterior recordamos el concepto de límite y éste nos servirá para definir dos importantes temas del cálculo: la derivada y la integral.

En este apartado nos dedicaremos a la derivada de la función en un punto, qué es, cómo se encuentra y para qué sirve.

Ejemplo 1) Supongamos que un cohete miniatura tiene combustible para todo un minuto. Sabemos que los primeros t segundos la altura es de 15 t2 metros Si el cohete tiene velocímetro adaptado,

¿Qué velocidad lleva en segundo t= 10?

29

OBJETIVO El estudiante definirá la derivada de una función en un punto y lo que representa.

La velocidad promedio se obtiene dividiendo la distancia recorrida entre el tiempo efectuado, así que si recorre 15t2 metros en t segundos entonces, al terminar el segundo 10, su velocidad promedio será: distancia / tiempo = 15 x 102 / 10 = 15 x 100 / 10 = 150 metros por segundo.

Pero no nos interesa la velocidad promedio, sino la que lleva exactamente en el segundo 10.

Parece natural tomar velocidades promedio haciendo cada vez más pequeño el intervalo de tiempo.

Sea d(t) = 15t2 la función distancia recorrida en los primeros t segundos. Consideramos el siguiente cociente:

d(10) − d(c) 10 − c El numerador d(10) – d(c) es la distancia recorrida en 10 segundos menos la recorrida en c segundos, mientras que el denominador proporciona la diferencia de tales segundos, por ejemplo, si c = 5 entonces el cociente es: 15(100-25) / (10 - 5) = 3 x 75 = 225 metros por segundo (notación: m/s).

Encontramos los cocientes

d(10) − d(c) para c = 5, 6, 7, 8, 9, 10: 10 − c Segundo Velocidad 5 225 6 240 7 255 8 270 9 285 10 Error

Por supuesto para 10 no se vale, ya que estaríamos dividiendo entre 0; para salvar esta situación lo que hacemos es tomar valores cercanos a 10: Segundo Velocidad 9 285 9.2 288 9.4 291 9.6 294 9.8 297 9.9 298.5 Ninguno de los valores anteriores es la velocidad instantánea, son sólo velocidades promedio en pequeños intervalos de tiempo; para encontrar la velocidad instantánea hay que tomar el límite del cociente cuando c tiende a 10.

Y ya hemos hecho ejercicios de este tipo. Lo que estamos buscando es:

30

lím

c → 10

Simplificamos:

d(10) − d(c) 10 − c

(

)

d (10) − d (c ) 15(10) 2 − 15(c ) 15 10 2 − c 2 15(10 − c )(10 + c ) = = = = 15(10 + c) 10 − c 10 − c 10 − c 10 − c 2

y si c tiende a 10, el límite es 15(10 + 10)= 15(20) = 300, es decir, 300 metros por segundo es la velocidad del proyectil en el segundo 10.

Geométricamente, ¿qué fue lo que se hizo?

Si c es distinto de 10, entonces el cociente

d(10) − d(c) representa la pendiente de la recta (llamada 10 − c

recta secante, o secante simplemente) que pasa por Q(c, d(c)) y P(10, d(10)) como se muestra a continuación:

El cociente (d(10) – d(c)) / (10 – c) es la pendiente de la recta por P y Q Al tomar al número c cada vez más cerca de 10, obtenemos dos situaciones simultáneamente: una geométrica y la otra numérica: 1) Las rectas secante se aproximan a la recta tangente en P. 2) Los números obtenidos en los cocientes se aproximan a la pendiente de la recta tangente en P.

31

Las rectas secante se aproximan a la recta tangente en P La importancia del anterior límite nos lleva a la siguiente definición: La derivada de una función en un punto La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el siguiente límite, suponiendo que existe:

f ' (a ) = lím

h→ 0

f (a + h ) − f (a ) h

Es decir, la derivada de la función es un número real.

En algunos casos la derivada puede no existir; habrá que esperar a la sección 2_3 para estudiar tales detalles.

Si a la suma a + h le llamamos y, entonces el anterior límite se puede escribir como

f ' (a ) = lím

y→ a

f ( y ) − f (a ) y−a

donde también se hizo el cambio h = y – a.

Es decir, los dos siguientes límites son equivalentes: si uno de los dos existe, el otro también, y éstos son iguales:

lím

h→ 0

f (a + h ) − f (a ) f ( y ) − f (a ) = lím , y→ a h y−a 32

También es común usar x en vez de a para tener así:

f ' ( x) = lím

y→ x

f ( y ) − f (x ) f (x + h ) − f (x ) = lím h→ 0 y−x h

¿Que representa la derivada de una función en un punto?

La derivada de una función en P es un número que dice cuál es la pendiente de la recta tangente en el punto P.

La derivada de la función en P es la pendiente de la recta tangente

La recta tangente a una curva en un punto P es la línea que toca la curva sólo en ese punto. Tal recta resulta ser la mejor aproximación lineal a la curva en P; veamos: Ejemplo 2) La recta tangente a coseno en x = π / 4 aparece a continuación:

33

Recta tangente a la función coseno en π/4 Ejemplo 3) Es interesante ver como varían las pendientes a las funciones y = x, x2, x3 en algún punto, digamos x = 1. Empezamos con la primera, la recta y = x. Resulta que tiene como tangente en cualquier punto a ella misma: la derivada de la función es lím

x→ 1

x −1 = lím 1 = 1 y la ecuación de la recta por (1, 1) es y x − 1 x→ 1

= (x – 1) + 1 = x, es decir y = x.

Si encontramos la recta tangente a x2 en el punto x = 1 obtenemos que la pendiente es 2:

(x − 1)(x + 1) = lím x + 1 = 2 y la ecuación de la tangente es y = 2(x – 1)+1, o sea, x 2 − 12 = lím x→ 1 x − 1 x→ 1 x→ 1 x −1 lím

y = 2x – 1

y = x y y = x2 junto con sus tangentes en x = 1 Por último, graficamos las curvas y = x3 y y = x4 y sus rectas tangente:

34

y = x3 y y = x4 junto con sus tangentes en x = 1 ¿Que sucede si dibujamos sólo las rectas tangente? Mientras más grande es el entero n, la recta tangente es más vertical:

Las cuatro rectas tangente mencionadas

La tangente como límite de secantes Sea f una función definida y continua en algún intervalo de los números reales, sea a un punto del intervalo y h un número distinto de 0.

Supongamos que la gráfica de f(x) es como la que sigue, donde además dibujamos los puntos P(a, f(a)) y Q(a + h, f(a + h)) y la recta que los une:

35

Recta secante por P y Q Nos interesa encontrar la recta tangente a la curva en el punto P, la manera en que lo haremos será acercando cada vez más el punto Q al punto P. De esta manera, el límite de las rectas PQ será la tangente en P. A continuación, trazamos tres posiciones de las rectas secantes que unen a los puntos Q con P:

Q se acerca a P

36

Y mientras más nos acercamos a P obtenemos rectas cada vez más cercanas a la tangente, hasta por fin llegar a la ansiada meta:

La recta tangente en P es la posición límite de las secantes El enfoque anterior fue únicamente geométrico, resultando que la recta tangente en el punto P es el límite de las rectas secante PQ, mientras Q se acerca a P. La tangente como límite de cocientes Hagamos tender el punto Q al punto P pero ahora analíticamente, es decir, con fórmulas.

Obtendremos un número: la pendiente de la recta tangente en P. Recordamos que las coordenadas de los puntos P y Q son P(a, f(a)), Q(a + h, f(a + h)) La pendiente de la recta que une a P con Q es:

f (a + h ) − f (a ) f (a + h ) − f (a ) = a+h−a h Acercarnos de Q a P es equivalente a hacer el número h más pequeño es decir, tomar el límite cuando h tiende a 0:

37

Hasta por fin, llegar a la tangente en el punto P:

Tal pendiente debe ser la posición límite de los números

f (a + h ) − f (a ) cuando h tiende a 0, es h

decir, la pendiente de la recta tangente a la curva f(x) en el punto P es:

lím

h→ 0

f (a + h ) − f (a ) h

y se le denota como f ’(a) (f prima en a).

Nota. Por razones históricas, a la fracción anterior se le llama el Cociente de Newton, o cociente de diferencias. ¿Cuál de los dos cocientes usar?

lím

y→ x

f ( y ) − f (x ) y−x

ó

lím

h→ 0

38

f (x + h) − f (x ) h

Puede que dependa mucho de la función. Por ejemplo, en el segundo caso aparece una suma (x + h) y en el primer caso no. Este hecho puede complicar o puede facilitar la situación, así que realmente depende mucho de la función. En los ejemplos 1 y 2 arriba, en ambos se canceló la x y nos quedamos sólo con la h en el primero y con la y en el segundo. La verdad es que no importa cual se use. Si se desarrolla el algoritmo correctamente, el resultado será siempre el mismo, así que depende del gusto personal o de lo que se pida. En los ejercicios de abajo se solicitan ambos cocientes, solamente para practicar.

Más ejemplos: 4) Obtener la derivada de la función y = 15x2 cuando x = 10 usando la siguiente fórmula:

lím

h→ 0

f (x + h ) − f (x ) h

El cociente es

(

)

f (x + h ) − f ( x ) f (10 + h ) − f (10 ) 15(10 + h ) − 15(10 ) 15 10 2 + 20h + h 2 − 10 2 = = = = h h h h 2

(

2

)

15 20h + h 2 = 15(20 + h ) h y si h tiende a 0, el límite es 15(20) = 300 m/s.

5) Obtener la derivada de la función y = 15x2 cuando x = 10 usando: lím

y→ x

El cociente es

(

f ( y ) − f (x ) y−x

)

f ( y ) − f ( x ) f ( y ) − f (10 ) 15 y 2 − 10 2 15( y − 10 )( y + 10 ) = = = = 15( y + 10 ) y−x y − 10 y − 10 y − 10

Si y tiende a 10, el límite es 15(10+10) = 15(20) = 300 m/s.

Por supuesto, los resultados de los dos ejemplos anteriores son iguales.

6) Obtener la derivada de la función y = 1 / x en x = – 2 Escogemos uno de los cocientes, digamos el de la h, y hay que encontrar el siguiente límite:

lím

h→ 0

f( − 2 + h) − f( − 2) 1 1 1  = lím  −  h → 0 h h−2+h −2

Simplificando el último término:

1 1 +  h−2+h

1  1  2 + ( − 2 + h)  1  h 1  =  =  = 2  h  − 4 + 2h  h  − 4 + 2h  − 4 + 2h 39

y si h tiende a 0, entonces el límite es –1/4 Es decir, la pendiente de la recta tangente en el punto (–2, –1/2 ) es –1/4. A continuación, la gráfica:

La pendiente de la tangente a 1/x en x = –2 es – 1/4

7) ¿Cuál es la pendiente de la tangente a la función g (t ) = t − 4 , en el punto P(5, 1)?

g ( y ) − g (5 ) .

5 y−5

Usaremos ahora la fórmula lím y→

Simplificando el cociente:

g ( y ) − g (5 ) = y−5

y−4 − 5−4 = y−5

y −4 −1 y−5

No podemos evaluar en 5 porque obtenemos la forma indeterminada 0 / 0. Sin embargo el truco para estas ocasiones es multiplicar por el 1, pero 1 escrito como el conjugado entre el conjugado:

y −4 −1 ⋅1 = y−5

y −4 −1 ⋅ y−5

y −4 +1 y −4 −1 y−5 = = = y − 4 + 1 ( y − 5) y − 4 + 1 ( y − 5) y − 4 + 1

(

)

Y si y tiende a 5 encontramos el límite:

lím

y→ 5

1 = y −4 +1

1 1 1 = = 5−4 +1 1+1 2 40

(

)

1 y −4 +1

La pendiente de la tangente en (5, 1) es ½ 8) Encontrar la pendiente de la tangente de la función seno en x = 0 En este caso hay que encontrar el siguiente límite:

lím

x→ 0

senx − sen0 senx = lím x → 0 x−0 x

Este es un límite conocido que justificamos la clase anterior notando lo parecido que son las funciones seno y y = x, para x pequeña. No nos sorprende afirmar que el límite del cociente sea 1:

senx =1 0 x

sen ' 0 = lím x→

sen x y y = x son muy parecidas cerca de 0

41

Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente a sen x en x = 0, es 1.

9) ¿Cuál es la ecuación de la recta tangente a la curva f(x) = x3 – x en el punto x = 0?

Los pasos a seguir son: i) Encontrar la pendiente m de la curva en x = 0. ii) aplicar la ecuación de la recta que pasa por (xo, yo) y que tiene pendiente m, o sea:

y = m ( x − xo ) + y o

Así que empecemos: i) La pendiente de la curva la obtenemos con lím

h→ 0

f (a + h ) − f (a ) , pero haciendo a = 0. h

Simplificamos el cociente:

f (0 + h ) − f (0 ) f (h ) − 0 f (h ) h 3 − h = = = = h2 −1 h h h h

si tomamos el límite cuando h tiende a 0 concluimos:

lím

h→ 0

f (0 + h ) − f (0 ) = lím h 2 − 1 = −1 h→ 0 h

(

)

La pendiente de la curva cuando x = 0 es –1. ii) En la ecuación y = m( x − xo ) + y o sustituimos los valores m = –1, xo= yo = 0, para obtener y = -x Dibujamos la gráfica de la función y de su tangente en (0, 0):

Recta tangente a y = x3 – x en x = 0

42

Observaciones 1) Para encontrar la derivada de f no importa qué cociente se use, ya sea lím

h→ 0

lím

y→ x

f(x + h) − f(x) h

ó

f(y) − f(x) . Utilizaremos indistintamente cualquiera de los dos límites. y−x

2) Frecuentemente se omite la palabra recta y se dice simplemente la tangente. Hay que tener cuidado y no confundir con la función trigonométrica tangente; ésta última se define como el cociente de seno entre coseno y son dos funciones bastante diferentes, empezando porque la primera es recta y la segunda no lo es. Lo mismo ocurre con la palabra secante.

3) Arriba (ejemplo 2), en la gráfica de la función coseno, vemos que la recta tangente cruza la gráfica de la función en otro punto de ésta. Eso no importa, lo que interesa en este caso es lo que sucede en y cerca del punto π / 4.

4) La recta tangente no siempre existe, como veremos más adelante.

5) Hay varias maneras de denotar la derivada de y = f(x): y’, f ’(x), Dxy, Dxf(x),

Hace no mucho tiempo, en vez de h en el cociente

dy d , f(x) dx dx f ( x+h)− f ( x) se usaba ∆x: a ∆x (delta x) se le h

conoce como el incremento en x 6) En la próxima sección veremos que para encontrar la derivada de una función no es necesario calcular los límites y bastará recordar ciertas fórmulas.

7) A manera de recordatorio: Derivada de la función en un punto

¿Qué es?

¿Cómo se obtiene?

Un número ¿Qué representa?

La pendiente de la recta tangente en el punto

Encontrando un límite

43

Ejercicios

1) El cohete mencionado en el ejemplo inicial es bastante veloz. ¿Cuál es su velocidad en kilómetros por hora en el segundo 10?

1’) ¿Cuál es la velocidad del proyectil en el instante t = 30 segundos? Respuesta en m/s y en km/h 2) Sea f(x) = 1 / x. Encuentra

lím

y → −2

f(y) − f( − 2) y compara con el ejemplo 3. y − ( − 2)

Calcula la derivada de la función en el punto a usando la fórmula lím

h→ 0

f (a + h) − f (a ) : h

3) f(x) = x – 2

a=2

4) f(x) = 2 – 3x

a=1

5) f(x) = x2 + 1

a=1

6) f(x) = 1 – x2

a=0

7) f(x) = 1 /(2 –x)

a=3

8) f(x) = 1/(2x – 3)

a=0

9) f(x) = √(2 - x)

a=0

10) f(x) = √(x2 – 1)

a=2

Repite los ejercicios 3 a 10, pero usando la fórmula lím

y→ a

f ( y ) − f (a) y−a

Glosario

Cociente de Newton (o cociente de diferencias):

f (a + h ) − f (a ) f ( y ) − f (x ) o su equivalente: h y−x

Derivada: la derivada de f(x) en a es lím

h→ 0

f (a + h ) − f (a ) (si el límite no existe, entonce h

hay derivada) Ligas externas (Abril 2009) Investiga lo que dice Wikipedia sobre la derivada: http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada 44

s

no

Sobre el cociente de Newton: http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada#Cociente_de_diferencias_de_Newton El problema de la tangente: http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/cursoelsie/derivadafuncion/html/node2.html

Ilustraciones

Proyectil, tomado de: http://www.dkimages.com/discover/previews/797/371148.JPG Abril 2009.

45

Matemáticas 5

(xn)’=nxn–1

Objetivo II: La derivada Tema 2.2 : La derivada como función y sus propiedades

La derivada también es función

Es lineal: (k f + g) ' = k f'+g '

(f / g)' = (gf '- f g') / g2

Propiedades (x n)' = n x n-1

(f g)' = f 'g + f g' (f - g)' = f'-g '

(f + g)' = f'+g '

Introducción Al inicio del tema anterior vimos cómo calcular la velocidad instantánea de cierto proyectil en el segundo 10. Supongamos que se nos pide la velocidad precisa no sólo para 10 segundos sino para 20, 30, 40 y así sucesivamente. ¿Hay una manera sencilla de hacer esto? Más que sencilla, rápida, ya que podríamos encontrar los límites para cada uno de los tiempos, pero sería un trabajo largo y repetitivo.

La idea es usar el álgebra para encontrar la derivada de f(x) = 15x2 en general, y de una vez por todas, encontrar

f ´(x) = lím

h→ 0

OBJETIVO El estudiante notará que la derivada de una función es otra función. Se estudiarán las propiedades de la derivada: derivadas de sumas, productos y cocientes.

f(x + h) − f(x) sin tener que decir exactamente h

quién es x. Es lo que intentaremos a continuación.

La derivada como función Para encontrar la derivada de f(x) = 15 x2, escribimos el cociente

f(x + h) − f(x) 15( x + h ) − 15( x ) = h h 2

2

Desarrollando y simplificando:

(

)

(

)

15 x 2 + 2xh + h 2 − x 2 15 2xh + h 2 15h(2x + h ) = = = = 15(2x + h ) h h h 46

Y si tomamos el límite cuando h tiende a 0, obtenemos f ´(x) = 30x Es decir,

(15x )' 2

= 30 x

Para obtener las velocidades instantáneas en los segundo 10, 20, 30, etcétera, lo único que hacemos es sustituir tales valores en la fórmula de arriba para obtener 300, 600, 900, metros sobre segundo.

Además, queremos hacer notar que: La derivada de una función es otra función En este caso la derivada de la función f(x) = 15 x2 es f ’(x) = 30x.

Nota: Mencionamos anteriormente que da igual qué cociente se use, ya sea lím

h→ 0

lím

y→ x

f(y) − f(x) . Usaremos indistintamente cualquiera de los dos límites. y−x

f(x + h) − f(x) ó h

Ejemplos 1) ¿Cuál es la derivada de 1 / x?

En 0 no tiene derivada ya que ni siquiera está definida ahí, pero en los demás puntos sí tiene.

Evaluamos el cociente:

f ( y ) − f (x ) 1 1 1 1 x− y −1  y − x  −1  −  =   =  = = y−x y − x  y x  y − x  xy  y − x  xy  xy Y si tomamos el límite cuando y tiende a x obtenemos -1/x2, es decir:

−1 1  ' = 2 x  x escrito de otra manera:

(x )' −1

= − x −2

Esta última función, al igual que 1/x, no está definida en x = 0.

2) Derivar g (t ) = t − 4 El dominio de g es el conjunto donde t – 4 es mayor o igual a 0, o sea, donde t es mayor o igual a 4: { t | t ≥ 4 } = intervalo [4, ∞).

Escribimos el cociente de Newton:

g (t + h ) − g (t ) t+h−4 − t−4 = h h el truco es multiplicar por 1, pero 1 escrito como el conjugado de la raíz entre sí mismo:

47

t +h−4 − t −4 t + h − 4 − t − 4 t + h − 4 + t − 4 1 t + h − 4 − (t − 4) ⋅1 = ⋅ = = h h t +h −4+ t −4 h t +h−4 + t −4 1 h 1 = h t +h−4 + t −4 t +h−4 + t −4

Si h tiende a 0 tenemos la derivada:

(

)

t −4 '

=

1 2 t −4

o lo que es lo mismo, pero usando exponentes:

((t − 4 ) )'

1 (t − 4 )−1 2 2

=

12

El dominio de g’(t) es un poco más chico que el de g(t): los números mayores que 4, pero sin el 4: { t | t > 4 } = intervalo abierto (4, ∞) 3) Derivar h(x) = x3 – x El cociente de Newton es:

Simplificando:

=

(

) (

h ( y ) − h( x ) y3 − y − x3 − x = y−x y−x

(

)

) (

)

y 3 − x 3 − ( y − x ) ( y − x ) y 2 + xy + x 2 − ( y − x ) ( y − x ) y 2 + xy + x 2 − 1 = = = y 2 + xy + x 2 − 1 y−x y−x y−x

si y tiende a x obtenemos x2 + x2 + x2 – 1 = 3x2 – 1, es decir,

(x

3

)

−x'

= 3x 2 − 1

Derivadas básicas: Potencias En vez de derivar cada una de x2, x4 o x -1 podemos generalizar y garantizar que

( x n ) ' = nx n−1 para cualquier número real n, incluyendo el 0.

Es sencillo comprobar esta igualdad para algunos casos pero la demostración en general no aparece en este texto y debe buscarse en un libro de cálculo diferencial.

Podemos comprobar la fórmula para algunos exponentes enteros pequeños: Ejemplo 4) (x0)’ = ?

Si n = 0, xn resulta ser la función constante x0 = 1.

El cociente

(x + h)0 − x 0 1 − 1 0 = = = 0 así que ni el límite tuvimos que considerar. h h h

Concluimos diciendo que la derivada de una constate es 0 y la igualdad anterior se cumple:

48

(x 0 )' = 0x 0−1 = 0 El resultado no es de sorprender ya que una función constante se representa como una recta horizontal y, por supuesto, la pendiente en cualquer punto es 0.

Ejemplo 5) Si n = 1, evaluamos el cociente:

(x + h)1 − x1 x + h − x h = = =1 h h h es decir, la fórmula es correcta: (x 1 )' = 1 ⋅ x 1−1 = x 0 = 1 Recordamos que la función y = x es la recta diagonal que pasa por el origen. Acabamos de demostrar que la pendiente de tal recta en cualquier punto es 1:

La pendiente de y = x es 1

El caso n = 2 ya lo estudiamos en el ejemplo del proyectil aunque con un 15 pegado. Si lo omitimos, la demostración es idéntica. El caso n = –1 fue el ejemplo 1 desarrollado renglones arriba. Para no mencionar ejercicios aislados mejor analizamos las propiedades de la derivada: La derivada es lineal Sea k una constante, x, y dos elementos del dominio de L. Si L es tal que cumple con las propiedades: L(k⋅x) = k⋅L(x) L(x + y) = L(x) + L(y) entonces se dice que L es un operador lineal.

49

Resulta que la derivada es lineal: Supongamos que f(x) y g(x) son dos funciones derivables, es decir, con derivada, en algún dominio común, y sea k una constante. Omitiremos la (x) en f(x) y en g(x) para que no estorben.

La derivada de una constante veces una función es igual a la constante veces la derivada de la función (o de otra forma: la derivada de tantas veces una función es igual a tantas veces la derivada de la función): (k⋅f )’ = k⋅( f )’ Dicho de otra manera: A las constantes las podemos remover fuera del paréntesis. En particular estudiamos el ejemplo del proyectil f(x) = 15x2. En este caso: (15⋅x2)´ = 15⋅ (x2)´ = 15⋅2x = 30x Basta conocer la derivada de f para saber la de k⋅f (Como siempre, a⋅b representa el producto de a por b) La derivada de la suma es la suma de las derivadas: (f+g)’=f’+g’ y lo análogo para la resta: (f – g) ’ = f ’ – g ’ Como ejemplo, de las tres propiedades anteriores está la derivada de cualquier polinomio: (ao + a1x1 + a2x2 + … + anxn)’ = a1x0 + 2 a2x1 + … + n anxn-1 Decimos que la derivada es un operador lineal, ya que cumple con las propiedades de remover a las constantes y que distribuye sobre la suma: (k ⋅ f + g) ’ = k ⋅ f ’ + g’ Derivada del producto y del cociente

( f ⋅ g )'

= f '⋅g

+

f ⋅ g'

f  gf ' − fg '   ' = g2 g

(

)(

)

Ejemplo 6) Derivar 7x 4 − 3 2x 3 − 5x Se puede derivar el producto o multiplicar primero y luego derivar.

Usando la derivada del producto tenemos:

((7x

4

)(

))

(

)(

) (

)(

) (

)(

)

− 3 2x 3 − 5x ' = 7x 4 − 3 ' 2x 3 − 5x + 7x 4 − 3 2x 3 − 5x ' =

(

28x 3 2x 3 − 5x + 7x 4 − 3 6x 2 − 5

)

(1)

50

Por otro lado, si multiplicamos los factores:

(7x

4

)(

)

− 3 2x 3 − 5x = 14x 7 − 35x 5 − 6x 3 + 15x

Y si luego derivamos, obtenemos:

98x 6 − 175x 4 − 18x 2 + 15

(2)

¿Son iguales (1) y (2)? Comparar.

7x 4 − 3 2x 3 − 5x

Ejemplo 7) Derivar

Usamos la derivada de un cociente:

(

)(

)

( )

)(

)

 7x 4 − 3  2x 3 − 5x 7x 4 − 3 ' − 7x 4 − 3 2x 3 − 5x '  3  ' = = 2 2x 3 − 5x  2x − 5x 

(2x

3

)(

) (

(

)(

− 5x 28x 3 − 7x 4 − 3 6x 2 − 5

(2x

− 5x

3

)

)

2

Cuando estudiemos la regla de la cadena (Tema 2.3), derivaremos esta misma función, pero como si

(

)(

fuera un producto: 7x 4 − 3 ⋅ 2x 3 − 5x

)

−1

.

Ejemplo 8) Derivar 3 4x −5 Antes de intentar derivar, es conveniente rescribir y usar exponentes y sus propiedades: 3

(

4x −5 = 4x −5

)

13

= 4 1 3 x −5 3

y ahora, tal vez lo más útil sea olvidarnos de la constante y derivar x-5/3 :

(x )' −5 3

=

− 5 − 5 3 −1 − 5 − 8 3 x = x 3 3

el resultado multiplicarlo por la constante:

 − 5  −8 3 − 5 1 3 −8 3 41 3  = 4 x x 3  3  podemos dejarlo así o regresar a las raíces:

conclusión:

− 5 1 3 −8 3 − 5 3 − 8 4 x = 4x 3 3 − 5 3 −8 3 4x −5 ' = 4x 3

(

)

51

Formulario Si f y g son funciones derivables, k una constante y n un número real, entonces xn, k ⋅ f, f + g, f – g, f ⋅ g y f / g también son derivables, y su derivada se obtiene de la siguiente manera:

(xn ) ' (k ⋅ f ) ' ( f ± g )' ( f ⋅ g )'

= n ⋅ x n−1 =k⋅ f' = f ' ± g' = f '⋅g + f ⋅ g '

f g ⋅ f ' − f ⋅ g'   ' = g2 g (Como siempre, en la última formula necesitamos que g sea distinta de 0)

Ejercicios Sea k una constante y f, g funciones 1) Deriva f(x) = 15x2 usando la fórmula siguiente: lím

y→ x

( f + g )' = f ' 3) Usa la fórmula ( f ⋅ g ) ' = f '⋅ g 2) Usa la fórmula

f(y) − f(x) y−x

+ g ' para derivar f + 5 + f ⋅ g ' para derivar 3 ⋅ f

f  gf ' − fg '  ' = para derivar 1 / g g2 g

4) Usa la fórmula 

5) La derivada de π3 no es 3π2 ¿Porqué? ¿Cuánto es?

6) Si f, g, h son funciones derivables, encuentra una fórmula para derivada del producto de las tres funciones: f⋅g⋅h (Ayuda: Sea F = f⋅g. Derivar F⋅h y luego sustituir) Sean f(x) = 6 – 4x3 , g ( x ) =

3x , h(x) =

Deriva las siguientes funciones: 7) f + g + h 10) f / g

3 , 2x + 3x 2 − 2 3

8) f ⋅ g 11) f ⋅ g ⋅h

9) g ⋅ h 12) f 2

Además de contestar, grafica las siguientes cuatro funciones: 13) ¿Tiene la función f(x) = 3 derivada igual a 0 en algún punto?

14) ¿Tiene la función f(x) = 3x derivada igual a 0 en algún punto?

15) ¿Tiene la función f(x) = 3x2 derivada igual a 0 en algún punto?

16) ¿Tiene la función f(x) = 3x3 derivada igual a 0 en algún punto?

52

Glosario Derivable: una funci贸n es derivable si existe su derivada.

Ligas externas (Abril 2009) Propiedades de la derivada: http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad7/u7derprPDF/u7derpr30-40a.pdf La derivada como un operador: http://dcb.fi-c.unam.mx/users/joelg/op.pdf F贸rmulas de derivaci贸n: http://www.biopsychology.org/apuntes/calculo/calculo2.htm#formulas%20derivacion

53

Matemáticas 5

Objetivo II: La derivada Tema 2.3: Más propiedades de la derivada

f '( a) no existe cuando:

Hay un brinco en a f no es tá definida en a

Hay una es quina en a

Introducción ¿Cuándo no existe la derivada? Cuando el límite del cociente de Newton no existe, pero geométricamente ¿qué es lo que sucede? Trataremos de contestar esa pregunta en la primera parte, y en la segunda, se verá la derivada de las funciones trigonométricas. ¿Cuándo no hay derivada?

La derivada de una función f existe en a cuando podemos encontrar el siguiente límite:

lím

h→ 0

La tangente es vertical en a

OBJETIVO El estudiante investigará algunas situaciones de cuándo la derivada no existe.

Reconocerá la derivada de las funciones trigonométricas, exponencial y logaritmo así como la regla de la cadena.

f (a + h) − f (a ) h

Geométricamente, no hay derivada cuando no existe una recta tangente en el punto.

Las razones principales para que no haya derivada son: La función no está definida en el punto Hay un brinco en la gráfica Hay una punta o una esquina La tangente es vertical

Así que no se puede hablar de f(a) La función tiene discontinuidad de salto Es continua pero no hay tangente En tal caso la derivada no existe

En esta última observación el problema es técnico: Hay una tangente pero es vertical, entonces la pendiente es infinita. Eso no se acepta ya que el infinito no es un número.

54

En los siguientes cuatro casos veremos que no existe la derivada en 0 investigando el siguiente límite:

lím

x→ 0

f ( x ) − f (0 ) x

a) No definida en el punto Sea f ( x ) =

x+2 y nos interesa investigar la derivada en x = 0. x

Sin embargo hay un problema: f(0) no está definida División entre 0. Por lo tanto no hay manera de calcular el cociente anterior. La gráfica de la función muestra que no existe una recta tangente al punto f(0) ya que en 0 la función no está definida:

La función no está definida en 0 [Aunque se definiera f(0) , digamos f(0) = 2, entonces

f ( x ) − f (0 ) = x

x+2 −2 x + 2 − 2x 2 − x x = = 2 x x2 x

Notamos que si x tiende a 0, el cociente crece sin final, así que el límite no existe ]

En los siguientes ejemplos, lím

x→ 0

f ( x ) − f (0 ) f (x ) = lím ya que f(0) = 0 x→ 0 x x

55

b) La función escalón (salto)

0 si f (x ) =  1 si

x≤0 x>0

no tiene derivada en 0:

Si x < 0 entonces f(x) / x = 0 / x = 0 Si x > 0 entonces f(x) / x = 1 / x y si x tiende a 0, el límite no existe.

Notamos que para x > 0, x pequeña, 1 / x es muy grande, es decir, la pendiente de las rectas secante crece mucho antes de llegar a 0:

Las rectas secante aumentan su pendiente al acercarse a 0 56

c) El valor absoluto (esquina) No tiene derivada en 0:

La definición del valor absoluto es:

− x si x =  x si

x<0 x≥0

Si x < 0 entonces | x | / x = –x / x = –1, así que el límite por la izquierda es – 1 Si x > 0 entonces | x | / x =

x/x=

1, así que el límite por la derecha es 1

Si el límite existiera debería ser el mismo número, por tanto no hay derivada en x = 0.

De la gráfica es claro que la pendiente cambia de -1 a 1 al pasar de negativo a positivo, pero en 0 no hay tangente.

Con símbolos:

− 1 si x' =   1 si

x<0 x >0

y sin derivada en x = 0

Es decir, la derivada de | x | es una función escalón:

57

Gráfica de la derivada de | x |

d) Tangente vertical La función raíz cúbica no tiene derivada en 0:

Intentamos obtener la derivada en 0 usando el cociente de Newton:

58

(x )' = lím xx

13

13

x→ 0

= lím

x→ 0

1 x2 3

y notamos que le límite no existe cuando x tiende a 0, ya que como el denominador decrece, el cociente crece sin límite.

En este caso la tangente sería una recta vertical, pero con pendiente infinita.

[Para ilustrar la situación, consideremos un punto cercano al origen, digamos P(1/64, (1/64)1/3).

La pendiente de la recta tangente por el origen y por P es 16:

m=

(1 64)1 3 − 0 = 1 64 − 0

1 4 64 = = 16 ; 1 64 4

y la que pasa por el origen y (1 / 1000, (1 / 1000)1/3) es 100: 13 ( 1 1000 ) − 0 m= =

1 1000 − 0

1 10 1000 = = 100 1 1000 10

Es decir, la pendiente de la recta tangente a x1/3 en puntos cercanos a 0 crece sin límite alguno.

Raíz cúbica. Mientras más cerca x de 0, mayor la pendiente

59

Nota: El 0 no tiene la culpa En los ejemplos anteriores no hay recta tangente en 0, pero el 0 no tiene ninguna culpa de lo que le pase a la función. El 0 no tiene nada de especial ni de maligno, sólo sucede que es un lugar cómodo para graficar. Está en el centro de la recta numérica, pudimos evitarlo ya sea trasladando nuestras funciones para que la derivada no existiera en cualquier otro punto que quisiéramos,distinto del 0. Por ejemplo, reubiquemos la situación al número 2 con las siguientes modificaciones a nuestros cuatro ejemplos: a’)

f (x ) =

x x−2

0 si 1 si

b') f ( x ) = 

No definida en x = 2:

x≤2 x>2

Escalón en x = 2:

60

c’) g(x) = | x – 2 |

Valor absoluto, con esquina en x = 2:

d’) h(x) = (x – 2)1/3

Raíz cúbica, con tangente vertical en x = 2:

61

Derivada de las funciones trigonométricas Las seis funciones trigonométricas tienen derivada en todos los puntos de su dominio y son: (sen x)’ = cos x (cos x)’ = – sen x (tan x)’ = sec2 x (cot x)’ = –csc2 x (sec x)’ = sec x tan x (csc x)’ = –csc x cot x

Derivadas trigonométricas

(sen x) ' = cos x

(tan x) ' = sec2 x

(cos x) ' = - s en x

(cot x) ' = - cs c2 x

(csc x) ' = - cs cx cotx

(sec x) ' = secx tanx

(exp x) ' = exp x

(ln x)' = 1 /x

En la parte final aparece la demostración de las derivadas de las funciones seno y coseno.

Derivada de la exponencial y del logaritmo natural Si y = ex es la función exponencial, entonces (ex)’ = ex Es decir, la derivada de la exponencial es la misma exponencial.

Por otro lado, la derivada del logaritmo natural es 1/x, es decir (ln x)’ = 1 / x Ejemplos 1) Derivar x2 tan x. Por ser un producto,

(x

2

)

( )

tan x ' = x 2 ' tan x + x 2 (tan x ) ' = 2 x tan x + x 2 sec 2 x

2) ¿Cuál es la ecuación de la tangente a x2 tanx en el punto x = π/4?

La ecuación de la recta tangente con pendiente m y que pasa por (xo, yo) es y = m( x − xo ) + y 0 . Usando el ejemplo anterior encontramos m:

m = 2 x tan x + x 2 sec 2 x |π 4 = 2

π

π π  π π π  tan π 4 +   sec 2 π 4 = +   2 = + 4 2 4 2 8 4 2

62

2

2

y el punto es (xo, yo) = (π/4, π2/16) La recta es

π π 2  ( x − π 4) + π 2 16 y =  + 2 8 

x2 tanx y su tangente en π/4 3) Ya que cosx secx = cosx / cosx = 1, entonces su derivada debe ser 0. Comprobamos:

(cosxsecx )'

= (cosx )'secx + cosx(secx )' = − senxsecx + cosxsecxtanx = − senx/cosx + (1)tanx = −tanx + tanx = 0

4) Derivar tanx / secx Aunque tanx / secx = senx, para practicar derivamos el cociente y usamos la igualdad sec2 = 1 + tan2

sec x(tan x )'− tan x(sec x)' sec x sec 2 x − tan x sec x tan x  tan x  = =  ' = sec 2 x sec 2 x  sec x  secx(1 + tan 2 x) − secx tan 2 x secx 1 1 = = = = cosx 2 2 sec x sec x secx 1 cosx 5) Derivar senx / x:

 senx   '  x 

=

x(senx )' − senx( x )' x cosx − senx = x2 x2

63

6) ¿Cuál es la ecuación de la tangente a senx / x en el punto x = π?

Del ejercicio anterior, tenemos que la pendiente es

πcosπ − senπ − π − 1 = 2 = π2 π π

Y si x = π entonces senπ / π = 0, es decir, la curva pasa por (π, 0).

La ecuación de la recta es: y = – (x – π) / π = 1 – x/π

Tangente a senx / x cuando x = π Regla de la cadena El ejercicio 12 de la sección 2.2 pide derivar la función f(x) = (6 – 4x3)2.

Una manera de hacerlo es elevar al cuadrado y derivar, sin embargo, hay otro modo que puede simplificar las operaciones. Consiste en notar que f es la composición de dos funciones, la primera es g(x) = 6 – 4x3 y la segunda, la que eleva al cuadrado h(u) = u2:

g x

6 – 4x3 u2

u h

h°g x

64

(6 – 4x3)2

f se puede escribir como la combinación de las funciones g y h: f(x) = (6 – 4x3)2 = h(6 – 4x3) = h ° g(x) Recordamos que la composición de dos funciones h y g se denota por h ° g(x). Quiere decir h aplicado a g: h ° g(x) = h(g(x)) La regla de la cadena dice cómo derivar la composición de dos funciones: (h ° g)’ = h’(g) g’ Aplicando el resultado a nuestro ejemplo: (h°g)’ = h’(g)g’ = (g2)’(6 – 4x3)’ = 2g(x)( – 12x2) = 2(6 – 4x3)( – 12x2) = – 24x2(6 – 4x3)

(1)

comparamos derivando (6 – 4x3)2 = 36 – 48x3 + 16x6: f(x)’ = [ (6 – 4x3)2 ]’ = [ 36 – 48x3 + 16x6] ’ = – 144x2 + 96x5 Notamos que ambos resultados (1) y (2) son iguales.

Ejemplos (Regla de la cadena) 7) Usando la regla de la cadena, derivar

1 2 x − 5x 3

La función es composición de g(x) = 2x3 – 5x con h(x) = 1/x = x– 1 (h ° g)’ = h’(g) g’ = – (g)-2(6x2 – 5) = – (6x2 – 5) / (2x3 – 5x )2 = (5 – 6x2) / (2x3 – 5x )2 8) Derivar y = sen(3x2). La función es composición de f = 3x2 y de seno : y = sen(3x2) = sen(f(x)) Entonces: y’ = sen’(3x2)(3x2)´= cos(3x2)6x = 6x cos(3x2)

9) Derivar

3x 7 − 2 x 3

Escribimos f(x) = 3x7 – 2x3 y g(x) = √x.

Entonces

(

)

3x 7 − 2x 3 = g 3x 7 − 2x 3 = g o f(x) Derivando:

65

(2)

( 3x

7

)

− 2x 3 ' = (g o f(x))' = g'(f(x))f'(x) =

10) Derivar ln(ex)

(ln(e ))' x

1 21x 6 − 6x 2 21x 6 − 6x 2 = 2 f(x) 2 3x7 − 2x 3

(

)

= ln' ( e x )(e x )' =

1 x e =1 ex

No debe sorprender este resultado ya que el logaritmo y la exponencial son inversas una de otra, es decir, ln(ex) = x Derivada de seno y del coseno Para derivar estas funciones se usan las fórmulas de la suma: sen(x + h) = senx cosh + senh cos x cos(x + h) = cosx cosh – senx senh y los dos límites importantes:

senh =1 , 0 h

lím

h→

cosh − 1 =0 0 h

lím

h→

Las derivadas son:

(senx ) '

sen(x + h) − senx senxcosh + senhcosx − senx = lím = h→ 0 h→ 0 h h cosh − 1 senh = senx lím + cosx lím = senx(0) + cosx(1) = cosx h→ 0 h→ 0 h h = lím

cos(x + h) − cosx cosxcosh − senxsenh − cosx = lím = h→ 0 h→ 0 h h cosh − 1 senh = cosx lím − senx lím = cosx(0) − senx(1) = − senx h→ 0 h → 0 h h

(cosx )'

= lím

Como el resto de las funciones trigonométricas están definidas en términos de seno y coseno, se deja como ejercicio el obtener sus derivadas.

Ejercicios

Deriva las siguientes funciones: 1) tan x = sen x / cos x 3) sec x = 1 / cos x

1 + x2 cos x 7) x

5)

2) cot x = cos x / sen x 4) csc x = 1 / sen x 6) 8)

3

(4 − 3x )2 x x −1 2

66

9) ln x 2

10) ln 2 x

Glosario

La derivada de f en a no existe si: * f(a) no está definida * Hay un escalón en a * Hay una esquina en a * La tangente en a es una recta vertical

(Ejemplo: (Ejemplo: (Ejemplo: (Ejemplo:

1/x, en 0) La función escalón, en 0) | x | en 0) x1/3 , en 0)

Ligas externas (Abril 2009) Derivada por la izquierda y por la derecha: http://www.terra.es/personal2/jpb00000/tderivadas.htm Algunos ejemplos donde la derivada no existe: http://books.google.com.mx/books?id=9arm2pJLSCIC&pg=PA182&lpg=PA182&dq=derivada+n o+existe&source=web&ots=fBkf1TOyRg&sig=cjBaQheVhhIfvuY7Z0WMZdPGBS8&hl=es&sa=X &oi=book_result&resnum=10&ct=result#PPA182,M1 Derivadas de funciones trigonométricas: http://bc.inter.edu/facultad/ntoro/derivfunctrigo.htm

67

Matemáticas 5 Objetivo II: La derivada

Tema 2.4: Análisis de funciones (1)

Análisis de funciones

Concavidad y s egunda derivada

Definiciones relevantes

Máximo relativo y absoluto

Funciones crecientes y decrecientes

Punto de inflexión Punto crítico

Continuidad

Mínimo relativo y absoluto

Introducción Conocer la derivada de una función en un intervalo puede ayudar en mucho para saber cómo es el comportamiento de la función.

Podemos saber dónde crece más aprisa y dónde no, también encontrar los puntos donde alcanza su máximo o mínimo y estar al corriente de dónde se curva con mayor pronunciación. A estos detalles le dedicamos esta sección.

Supongamos que tenemos una función f, definida en el intervalo [a, e] y cuya gráfica aparece a continuación. Hay 5 puntos señalados en el eje X, sobre los cuales haremos algunas observaciones: 1) f decrece en el intervalo (a, b) y también en (c, d):

68

Criterio de la segunda derivada

OBJETIVO Conocer qué información nos proporciona la derivada de una función. Nos puede decir varias cosas, entre ellas, dónde crece o decrece, dónde tiene máximo o mínimo y si es que los tiene. Definir lo que es un punto crítico y un punto de inflexión

2) Análogamente, observando la gráfica, es innegable que la función crece en los intervalos (b, c) y (d, e).

3) En x = a la gráfica empieza. Además notamos que el valor de la función en a es el mayor de todos los demás. En este caso f(a) es el máximo absoluto de la función. Pero hay otros máximos: c es máximo relativo, ya que f(c) es máximo pero sólo para puntos cercanos a c. Lo mismo ocurre con el punto final e, es un máximo relativo ya que el valor de la función es mayor que en todos los puntos cercanos, aunque sólo hay puntos a la izquierda de e.

4) ¿Qué sucede con los valores mínimos de la función? Es claro que b es mínimo relativo, mientras que d es mínimo absoluto.

5) La gráfica de la función se curva hacia arriba en el intervalo (a, 0): Notamos que en ese intervalo la gráfica parece como una letra U, y análogamente, en el primer cuadrante, o sea donde x y y son positivas, la gráfica se curva hacia abajo como un símbolo de intersección ∩ o una U de cabeza.

Si no tuviéramos gráfica ¿cómo podríamos saber dónde crece o cuál es el mínimo de la función?

Definiciones Sea f una función definida en un intervalo A y sean x, y dos puntos distintos de A. f es creciente en A si x < y, entonces f(x) ≤ f(y) f es decreciente en A si x < y, entonces f(x) ≥ f(y) b es mínimo relativo de la función, si f(x) ≥ f(b) para toda x cercana a b b es mínimo absoluto de la función, si f(x) ≥ f(b) para toda x en A Análogamente, b es máximo relativo de la función, si f(x) ≤ f(b) para toda x cercana a b b es máximo absoluto de la función, si f(x) ≤ f(b) para toda x en A 69

c es punto crítico de f si f ’(c) = 0

ó si

f ’ no está definida en c

Recordemos: f es continua en a ∈ A si f está definida en a y límite de f(x) cuando x tiende a a existe y es igual a f(a) f es continua en A si lo es en cada uno de sus puntos.

Notas: a) De acuerdo con la definición, la función constante f(x) = k es creciente y también decreciente. Esto da lugar a la siguiente distinción: f es estrictamente creciente si x < y entonces f(x) < f(y). De manera análoga para estrictamente decreciente. Ahora sí, la función constante no es creciente ni decreciente. b) Los puntos donde la función alcance su máximo o su mínimo, se llaman extremos de la función.

Funciones crecientes y decrecientes Si f es creciente, ¿cómo es la pendiente de la recta tangente en sus puntos?

Por ejemplo, supongamos que tenemos una función f(x) definida en algún intervalo y que la gráfica de la función es:

Dibujamos algunas tangentes:

70

y quitamos la función para apreciar mejor los segmentos de línea:

notamos que la pendiente de tales rectas siempre es positiva Esta situación da lugar al siguiente criterio: Sea f continua en un intervalo A y supóngase que f ’ > 0 en A Entonces f es estrictamente creciente Y análogamente: Si f ’ < 0 en A entonces f es estrictamente decreciente Además,

Si f ’ = 0 en todo A, entonces f es una función constante en A

Las dos primeras opciones dicen que si la derivada de f no cambia de signo en un intervalo, entonces ahí crece o decrece, según sea el signo.

¿Y qué pasa cuando f ’(c) = 0 en algún punto c?, es decir, ¿qué sucede en los puntos críticos?

Si la derivada de la función en c es 0 entonces c es un candidato a máximo o mínimo. Aunque puede ser que lo sea, pudiera ser que no.

Ejemplo 1) 0 es punto crítico de y = x2: y’ = 2x = 0 si x = 0, así que 0 es punto crítico y claramente es mínimo (absoluto):

71

0 es mínimo absoluto de y = x2n

Ejemplo 2) Si y = x3 , entonces y’ = 3x2 = 0 en x = 0: Es decir, 0 es punto crítico pero no es ni máximo ni mínimo

0 es punto crítico de x3 sin ser máximo o mínimo

72

Ejemplo 3) ¿Dónde crece y dónde decrece la función x2 + 2x – 1 ?

Derivamos e investigamos el signo: ¿Cuándo la derivada 2x + 2 es positiva?, es decir, ¿dónde 2x + 2 > 0?

2x + 2 > 0 si x > –2 / 2 = –1 o sea, f crece en el intervalo (–1, ∞) Análogamente f, decrece donde 2x + 2 < 0, o sea en el intervalo (–∞, –1). Con símbolos averiguamos el signo de la derivada: –_________–1__________+ A la izquierda de –1 es negativo y a la derecha es positivo, por lo tanto, en el punto crítico –1 la función tiene un mínimo, que confirmamos viendo la gráfica:

Decrece hasta x = –1; después crece Ejemplo 4) ¿Cómo es la gráfica de la función x3 + x – 10?

La derivada es 3x2 + 1. En vista de que x2 es siempre mayor o igual a cero tenemos que 3x2 + 1 es siempre mayor o igual a 1, en particular siempre es positiva: 3x2 + 1 ≥ 1 > 0 Pero eso dice que la función no tiene puntos críticos, además siempre crece en todo su dominio que son los números reales:

73

x3 + x – 10 siempre crece Ejemplo 5) Las funciones seno y coseno crecen y decrecen en distintos intervalos; tomemos por ejemplo el coseno en el intervalo [0, 2π] Derivamos: (cos x)’ = – sen x Puntos críticos: 0, π, 2π Vemos que coseno crece donde – senx es mayor que 0, o sea en (π, 2π) Análogamente, coseno decrece donde – senx es menor que 0, o sea, en (0, π): Analizando el signo de la derivada: –_________π__________+ resultando π mínimo absoluto de la función en el intervalo [0, 2π]

Coseno y su derivada 74

En vista de la periodicidad de la función, tenemos que es creciente en los intervalos de la forma (π + 2πk, 2π + 2πk) y es decreciente en los de la forma (2πk, π +2πk) para cualquier entero k.

Además, en los puntos de la forma 2kπ alcanza el máximo absoluto y el mínimo en los múltiplos impares de π: (2k + 1) π El caso de la función seno es similar.

Ejemplo 6) ¿Dónde crece y dónde decrece la función f ( x) =

1 ? x −4 2

Lo primero que tomamos en cuenta es que la función no está definida en los puntos 2 y – 2.

Una vez considerados, derivamos la función:

(

)

f ' ( x) = ( x 2 − 4) −1 ' = −( x 2 − 4) −2 (2 x ) =

(x

− 2x 2

−4

)

2

El denominador siempre es mayor o igual a cero, así que en su dominio el signo es positivo; sin embargo, el numerador es el que aporta la diferencia: si x < 0 entonces el cociente es positivo, y recordando que no está definida en –2, f crece en (– ∞, –2) U (–2, 0) Análogamente, si x > 0 entonces el cociente es menor que 0 y por tanto decrece en (0, 2) U (2, ∞ ). Vemos la gráfica:

Concavidad y segunda derivada Sea f una función definida y continua en un intervalo, digamos (a, b). Supongamos que las derivadas f ’ y f ’ ’ ambas existen en el intervalo. La segunda derivada de f se interpreta como la variación de la pendiente de la curva sobre el intervalo. Si la segunda derivada es positiva entonces sabemos que f ’, 75

o sea, la pendiente, crece. Pero si la pendiente crece, entonces la curva se dobla hacia arriba, en este caso se dice que es cóncava hacia arriba.

El ejemplo más simple es y = x2: la segunda derivada es 2 > 0, así que se tuerce hacia arriba.

Análogamente, si la segunda derivada es negativa entonces la pendiente decrece y la curva es cóncava hacia abajo.

Un punto de inflexión es donde cambia de concavidad la gráfica de la función. La función puede estar definida en el punto o no estarlo, pero en caso afirmativo entonces, necesariamente f ’ ’ = 0.

En el ejemplo 6, arriba, 2 y –2 son puntos de inflexión de la función y f no está definida en ellos; ver gráfica.

El criterio de la segunda derivada dice: si f ’ ’(c) < 0 entonces c es máximo de la función.

Si f ’(c) = 0 y f ’ ’(c) > 0 entonces c es mínimo de la función Y análogamente, Si f ’(c) = 0 y f ’ ’(c) < 0 entonces c es máximo de la función Ejemplo 7) Para recordar este criterio vale la pena pensar en y = x2: La segunda derivada en 0 es 2 ( > 0 ) y por tanto, 0 es mínimo.

Análogamente, la segunda derivada de –x2 es –2 < 0, así que 0 es máximo de – x2

(x2)” = 2 > 0 entonces 0 es mínimo

(–x2)” = –2 < 0 entonces 0 es máximo

Ejemplo 8) ¿Cómo es la gráfica de la función x3 + 3x2 + 2?

La derivada es 3x2 + 6x = 3x(x + 2) y tenemos dos puntos críticos: 0 y –2 Primero averiguamos el signo de la derivada y para eso es conveniente tomar puntos en cada uno de los siguientes tres intervalos: (–∞ , –2), (–2, 0) y (0, ∞).

Caso 1) Sea x ∈ (–∞ , –2), es decir, x < –2. Pero x < –2 implica que x + 2 < 0, y entonces el signo de 3x(x + 2) es positivo, ya que es producto de dos cantidades negativas. Así, f crece en (–∞ , –2) 76

Caso 2) Sea x ∈ (–2, 0). Es decir, –2 < x < 0.

En este caso el factor 3x es negativo pero el segundo, (x + 2), es positivo, por tanto, el producto tiene signo menos, así que la función decrece en (–2, 0).

Notamos que estos dos casos aseguran que x = –2 es máximo de la función: antes de –2 crece, después de –2 decrece.

Caso 3) Sea ahora x ∈ (0, ∞). Aquí todos los signos factores de 3x(x + 2) son positivos, así que el producto también y la función crece en (0, ∞). De paso, sabemos que 0 es mínimo: decrece en (–2, 0) y luego crece en (0, ∞).

La segunda derivada de f es 6x + 6 = 6(x + 1).

6(x + 1) = 0 sucede sólo cuando x = –1 y resulta punto de inflexión: antes de –1 la segunda derivada es positiva. x < –1 implica x + 1 < 0 implica 6(x + 1) < 0 implica cóncava hacia abajo; análogamente: x > –1 entonces la segunda derivada es positiva, pero esto implica que f es cóncava hacia arriba.

Aunque ya conocemos máximo y mínimo, de cualquier manera aplicamos el criterio de la segunda derivada: f ’ ’(x) = 6(x + 1). f ’ ’(–2) = 6(–2+1) = –6 < 0, asegura que –2 es máximo. f ’ ’(0) = 6(0+1) = +6 > 0, asegura que 0 es mínimo.

En x = –1 la función cambia de concavidad 77

Ejemplo 9) Puede suceder que la segunda derivada en c sea 0, pero que c no sea punto de inflección. x4 (llamada también la llanta radial, por su agarre al piso); la segunda derivada en 0 es 0 y no cambia de concavidad.

x4 no cambia de concavidad Ejercicios

Encuentre los puntos críticos de las siguientes funciones: 2) x2 – 2x 1) x2 – 2x + 3 2 3) x – 2x – 6 4) 2x2 + 3x – 1 5) 2x2 + 3x + 1 6) 2x2 + 3x + 1 7) ax2 + bx + c 8) ax2 + bx + c 9) sen x 10) sen x + cos x 3 11) x 12) x6 ¿En que intervalos creen y decrecen las siguientes funciones?

13) x3+ 2 14) x3+ 2x + 2 15) 5x2 + 1 16) 2x2 – 4x + 1 Encuentre el máximo y mínimo de las siguientes funciones: 17) x3+ 2 18) x3+ 2x + 2 19) 5x2 + 1 20) 2x2 – 4x + 1 ¿Cuáles son los puntos de inflexión de las siguientes funciones?

21) tan x 22) sec x 23) sen2 x 24) sen (x2) ¿Cuáles son los puntos de inflexión y las concavidades de las siguientes funciones?

78

25) x + 1/x 27) ax2 + bx + c

26) (x + 1)/x 28) ax3+ bx2 + cx + d

Glosario A continuación, f es una función definida en un intervalo de los números reales, x y y son dos puntos arbitrarios.

Cóncava hacia abajo : f dos veces derivable es cóncava hacia abajo si y sólo si f ’ ’ ≤ 0 Cóncava hacia arriba : f dos veces derivable es cóncava hacia arriba si y sólo si f ’ ’ ≥ 0 Continua en a: f es continua en a si el límite de f(x) cuando x tiende a a existe y es igual a f(a) Continua en un intervalo: f es continua en un intervalo si lo es en cada punto del intervalo Creciente: f es creciente en un intervalo si para cualesquiera x, y tales que x < y, sucede f(x) ≤ f(y) Criterio de la segunda derivada: Si f ’(c) = 0 y f ’ ’(c) > 0 entonces c es mínimo de la función (análogamente, si f ’ ’(c) < 0 ⇒ c es máximo de la función) Decreciente: f es decreciente en un intervalo si para cualesquiera x, y tales que x < y, sucede f(x) ≥ f(y) Estrictamente creciente en un intervalo: f es estrictamente creciente si para cualesquiera x, y tales que x < y, sucede f(x) < f(y) Estrictamente decreciente: f es estrictamente decreciente en un intervalo si para cualesquiera x, y tales que x < y, sucede f(x) > f(y) Extremo de una función: un punto donde la función alcanza un máximo o un mínimo Máximo relativo de la función: b es máximo relativo, si f(x) ≤ f(b) para toda x cercana a b Máximo absoluto de la función: b es mínimo absoluto, si f(x) ≤ f(b) para toda x Mínimo relativo de la función: b es mínimo relativo, si f(x) ≥ f(b) para toda x cercana a b Mínimo absoluto de la función: b es mínimo absoluto, si f(x) ≥ f(b) para toda x Punto crítico: c es punto crítico de f si f ’(c) = 0 o si f ’(c) no está definida Punto de inflexión: c es punto de inflexión de f si en c la función cambia de concavidad Ligas externas (Abril 2009) Gráficas de funciones derivables: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0295-01/ed99-0295-01.html Análisis y representación gráfica de una función derivable: http://usuarios.lycos.es/anruco/resumen%20analisis%20de%20funciones%20y%20teoremas.do c.

Máximos y mínimos y la primera derivada: http://usuarios.lycos.es/calculodiferencial/id56.htm

79

Matemáticas 5

Objetivo II: La derivada Tema 2.5: Análisis de funciones (2)

¿Cómo graficar?

A) Simple vis ta

B) Primera derivada

C) Limites D) Segunda derivada

Ejemplos

Introducción En el curso anterior se empezó a graficar funciones usando ciertos pasos apropiados; en esta sección emplearemos la potente herramienta que es la derivada para poder terminar con nuestro estudio de cómo graficar funciones.

En el curso Matemáticas 4 (3.1) se hizo la siguiente pregunta ¿Cómo se grafica?

Entonces se recomendaba investigar los siguientes cuatro pasos: a) Dominio b) Imagen c) Intersección con los ejes d) Par o impar

OBJETIVO El objeto es proporcionar una serie de pasos para poder construir la gráfica de una función. La base del algoritmo es el correcto uso e interpretación de la 1ª y 2ª derivadas de la función en cuestión. Además se recuerdan los tres mandamientos de las matemáticas.

Con ayuda de la derivada, ampliaremos nuestras posibilidades y graficaremos de manera más eficiente.

Recordamos brevemente lo que se sugirió: a) Dominio: ¿Dónde está definida la función?

Para ello es importante retomar Los tres mandamientos de las matemáticas A) No dividirás entre cero Mucho cuidado cuando un denominador pueda ser cero: pecado mortal.

80

B) No tomarás la raíz cuadrada de números negativos A los números negativos no se les puede sacar raíz cuadrada.

C) No buscarás el logaritmo de números menores o iguales a cero Los logaritmos están definidos sólo en números positivos. b) Imagen. La imagen de la función f es el conjunto de puntos f(x) donde x está en el dominio. A veces hay que encontrar los límites apropiados para poder contestar esta pregunta, así que si a simple vista no se encuentra la imagen, no vale la pena perder demasiado tiempo en ello. c) Intersección con los ejes Intersecta al eje Y en (0, f(0)) y al eje X en donde f(x) = 0 d) Par o impar Una función f es PAR si f(x) = f(–x), IMPAR si g(–x) = –g(x)

Para graficar eficientemente hay que seguir los cuatro pasos: A) Simple vista: Dominio, imagen, intersección con los ejes, par o impar B) Primera derivada: Puntos críticos, intervalos donde crece/decrece (Gratis aparecen los máximos y mínimos) C) Límites: infinitos y al infinito D) Segunda derivada: Concavidades, puntos de inflexión A lo largo de algunos ejemplos veremos detalladamente lo que queremos decir en cada inciso anterior; la idea está representada en el siguiente: Algoritmo para graficar ¿Cómo graficar?

B) Primera derivada

A) Simple vis ta

C) Limites

Puntos críticos Dominio e imagen

Inters ección con los ejes

Si x tiende a + 00, -00 Concavidades

Intervalos donde f crece o decrece

Par o impar

D) Segunda derivada

Si f crece o decrece mucho

Máximos y mínimos

81

Puntos de inflexión

Parece largo y complicado; sin embargo, con un poco de práctica se podrá dominar el bonito arte de la graficación. Veamos el siguiente: Ejemplo 1) Graficar la función f(x) = 1 – x2.

A) Simple vista: Dominio e imagen: El dominio son todos los reales; para conocer la imagen esperaremos a estudiar la derivada y los límites (B y C, abajo).

Intersección ejes: Intersecta al eje Y en (0, 1) y al eje X cuando 1 – x2 = 0, o sea, en las raíces de 1, que son ± 1.

Paridad: En vista que f(–x) = 1 – (– x)2 = 1 – x2 = f(x), sabemos que la función es par. Basta entonces preocuparnos con lo que sucede del lado derecho del plano, o sea para x ≥ 0. Para no perder generalidad, no tomaremos en cuenta la paridad de la función.

B) Primera derivada de f es –2 x. El punto crítico es cuando la derivada es 0, o sea en este caso x = 0 es crítico. Notamos el signo de la derivada.

> 0 si  f (x) = −2x:  < 0 si 

x<0

'

x >0

y nos dice que la función crece en (– ∞, 0) y decrece en (0, ∞), así que x = 0 es máximo de la función.

C) Límites: Si x tiende a + ∞ o a –∞ entonces, como x2 crece mucho; esto implica que f(x) = 1 – x2 diverge a – ∞.

Imagen: La información anterior ayuda a averiguar la imagen de la función: f crece en (–∞, 0) y decrece en (0, ∞), por lo tanto la imagen es el intervalo (–∞, f(0)), recordamos que f(0) = 1 es el valor máximo de la función, tenemos que la imagen es (–∞, 1] D) La segunda derivada de f es –2, y como ese número es negativo, entonces la función es cóncava hacia abajo. No hay puntos de inflexión.

La grafica es:

Gráfica de 1 – x2

82

Trataremos de generalizar el caso de las cuadráticas de lo manera siguiente: Ejemplo 2) Graficar la parábola f(x) = ax2 + bx + c, suponiendo que a > 0.

A) Simple vista: Dominio e imagen: El dominio son todos los reales; para conocer la imagen esperaremos a estudiar la derivada y los límites (B y C, abajo).

Intersección ejes: El eje Y lo intersecta en (0, c) y al eje X en la raíz (si es que existe) de la cuadrática, que se encuentra por la fórmula general.

Si b = 0 entonces f(–x) = a(–x)2 + c = ax2 + c = f(x); es decir, la función es par. Si b no es 0 entonces la función no es par ni impar.

B) Primera derivada de f es 2ax + b y tiene punto crítico en xo = – b / 2a.

2ax + b > 0 si x > – b / 2a, o sea, f crece en (– b / 2a, ∞) y decrece en (– ∞, – b / 2a), pero esto asegura que xo = – b / 2a es mínimo.

C) Límites: Si x tiende a + ∞ o a –∞ entonces f(x) = ax2 + bx + c = x2 (a + b/x + c/x2) diverge a + ∞ o a – ∞, según sea el caso:

(

)

b c   lím ax 2 + bx + c = lím x 2  a + + 2  → ± ∞ x→ ± ∞ x→ ± ∞ x x   Esto sucede porque el límite de lo que está dentro del paréntesis es el número a, y como estamos suponiendo que a es positivo, entonces se va a más o menos infinito, según sea el caso.

Imagen: La información anterior ayuda a averiguar la imagen de la función: Si definimos xo = – b / 2a, entonces f decrece en (–∞, xo), y crece en (xo,∞), por lo tanto, la imagen es el intervalo (f(xo), ∞). Recordamos que xo es el mínimo de la función.

D) La segunda derivada es 2a y como a es positivo entonces la función es cóncava hacia arriba.

No hay puntos de inflexión.

Resumiendo, si f(x) = ax2 + bx + c, donde a > 0, entonces tiene el mínimo en xo = – b / 2a, y la gráfica es una parábola hacia arriba; análogamente, si a < 0 entonces es cóncava hacia abajo y tiene su máximo en xo. En ambos casos el extremo ocurre en xo = –b / 2a

y = ax2 + bx + c, a > 0

a<0

Ejemplo 3) Graficar F(x) = x3 + 2x – 1 A) Simple vista: Dominio e imagen: El dominio son todos los reales, la imagen también. Esto último lo veremos en B, abajo.

83

Intersección ejes: Pasa por (0, –1) e intersecta al eje X cuando x3 + 2x – 1 = 0. No es fácil ver en qué punto exactamente x3 + 2x – 1 = 0, pero como en F(0) < 0 y F(1) = 2 > 0 y la función es continua, a fuerza vale 0 para alguna x entre 0 y 1.

Par o impar: No es par ni es impar: F(– x) = – x3 – 2x – 1 ≠ ± F(x).

B) Primera derivada: F ’ = 3x2 + 2. La derivada es mayor o igual a 2 , en particular positiva así que nunca es 0: F ’ = 3x2 + 2 ≥ 0 + 2 = 2 > 0 Por tanto, no hay puntos críticos y es siempre creciente Como F siempre es creciente entonces su imagen es el intervalo ( – ∞, +∞).

En particular, como siempre crece, no hay máximo ni mínimo.

C) Límites: Cuando x tiende a los infinitos: F(x) = x3 + 2x – 1 = F(x) = x3 (1 + 2/x3 – 1/x3) si x tiende a +∞, lo que está entre paréntesis converge a 1, pero la x cúbica externa hace que la función diverja.

Análogamente si x tiende a menos infinito.

La segunda parte de C no se aplica: no hay puntos finitos donde F crezca o decrezca sin límite.

D) Segunda derivada: La segunda derivada es 6x. El signo es positivo para x > 0 y negativo si x < 0, es decir, es cóncava hacia abajo en (-∞, 0) y hacia arriba en (0, ∞). 0 es punto de inflexión.

Gráfica de x3 + 2x – 1

84

Ejemplo 4) Graficar H ( x ) =

x x −1 2

A) Simple vista: Dominio e imagen: La función no está definida en x = ±1 ya que ahí el denominador es 0.

No es obvio saber cual es la imagen: aún necesitamos más información, que vendrá posteriormente (Ver C, abajo) Intersección ejes: Pasa por el origen y es el único punto donde intersecta ambos ejes.

La función es impar:

H (− x ) =

−x −x = 2 = − H ( x ) esta información nos ayuda, pues sólo 2 (− x ) − 1 x − 1

graficaremos para x positiva; el resto lo obtendremos por simetría.

B) Primera derivada:

(

)

x 2 − 1 (1) − x(2x ) x 2 − 1 − 2x 2 − x2 − 1 x2 + 1  x  H ' (x ) =  2 = = = − ' = 2 2 2 2  x − 1 x2 − 1 x2 − 1 x2 − 1 x2 − 1

(

)

(

)

(

)

(

)

La derivada nunca es 0 así que no hay puntos críticos. Además, la anterior derivada siempre es negativa, así que siempre decrece en su dominio de definición. Por tanto, no hay máximo ni mínimo.

C) Límites

lím H ( x ) = lím

Al infinito: Si x tiende a infinito el límite es 0:

x→ ∞

x→ ∞

x 1 = lím =0 x − 1 x→ ∞ x − 1 x 2

Límites infinitos: (cuando la función crece o decrece mucho).

Cerca de 1, el numerador se acerca a 1 pero el denominador se acerca a 0, así que, el límite cuando x tiende a 1 es alguno de los infinitos. Podemos tomar algunos puntos para ver cuál es el signo de la función, el hecho que la función siempre sea decreciente nos ahorra ese paso: en 0 la función vale 0, al acercarnos a 1 por la izquierda, como la función decrece debemos tener que el límite es – infinito:

lím H ( x ) = lím −

x→ 1−

x→ 1

x →−∞ x −1 2

pero como H siempre decrece entonces si x está cerca de 1 pero x mayor que 1, la gráfica viene de + ∞:

lím + H ( x ) = lím +

x→ 1

x→ 1

x →+∞ x −1 2

La recta x = 1 es asíntota de la función y con la información anterior tenemos la imagen de H: toda la recta real (–∞, ∞) D) Segunda derivada Después de efectuar y simplificar la segunda derivada, tenemos que x = 0 es el único punto de inflexión:

H ( x) " =

(

2x x 2 + 3

(x

2

)

−1

)

3

Por ser impar la función estamos considerando únicamente x ≥ 0. Si x es positivo entonces el numerador también lo es, pero el denominador es negativo para x en (0,1). Entonces la gráfica es cóncava hacia abajo en (0, 1). Pero si x > 1, entonces todo el cociente es positivo y concluimos que la gráfica es cóncava hacia arriba en (1, ∞). De esto deducimos que x = 1 es punto de inflexión ya que ahí (aunque la función no está definida) cambia de concavidad.

Juntando la información graficamos para x ≥ 0:

85

H (x ) =

x para x ≥ 0 x −1 2

Y por ser la función impar, tenemos la siguiente simetría para x < 0:

H (x ) =

x x −1

86

2

Ejemplo 5) Graficar g ( x ) =

x x+1

A) Dominio: Los números donde x + 1 > 0, o sea, el intervalo (–1 , ∞).

La imagen se conocerá después de encontrar los límites.

Intersecta ambos ejes en el origen No se aplica par o impar

x+2  x  ' = 32  x + 1  2( x + 1)

B) Derivada g ( x) ' = 

Punto crítico x = –2. Sin embargo, –2 no está en el dominio de la función, así que no hay puntos críticos en su dominio.

Como x > –1 > –2 entonces x + 2 > 0, así que la derivada siempre es positiva, o sea que g crece siempre.

C) Límites Limite al infinito: si x es grande

x + 1 ≈ x es decir, son muy parecidos, por lo tanto,

x x ≈ = x y concluimos que si x tiende a infinito, g también lo hace. x +1 x Limite infinito: sucede en x = – 1. El numerador se acerca a – 1 pero el denominador a 0, o sea que el límite diverge a – ∞.

Esta información dice que la imagen de g es toda la recta (– ∞, + ∞).

D) Segunda derivada: Al derivar por segunda vez se encuentra que no hay puntos de inflexión y que la derivada es negativa, es decir, la función es cóncava hacia abajo:

Gráfica de

87

x x+1

Ejemplo 6) Graficar h( x) = x +

1 x

A) Dominio: Todos los reales menos el 0.

Rango: después de límites.

Intersección con los ejes: No intersecta al eje Y ya que no está definida en 0.

Tampoco al X: si lo hiciera se tendría

0= x+

1 1 ⇒ − x = ⇒ x 2 = −1 , lo cual es imposible. x x

Función Impar:

h( − x) = − x +

1 1  = − x − = − x + −x x 

1  = −h( x) , es decir, es impar. Basta trabajar solo para x > 0. x

B) Derivada

1 1  h( x) ' =  x +  ' = 1 − 2 x x  Puntos críticos: Es cero cuando x = 1 (y menos –1, pero nos fijamos solamente en x > 0 ya que la función es impar) Así que x = 1 es punto crítico.

Intervalos donde crece y decrece: Es fácil ver que si x está entre 0 y 1 entonces x2 – 1 ≤ 0; análogamente, si x > 1 entonces x2 – 1 ≥ 0, o sea, decrece en (0, 1) y crece en (1, ∞); por tanto, x = 1 es mínimo de la función.

C) Límites:

1  lím h( x) = lím  x +  → ∞ x→ ∞ x  1  Límite infinito: lím + h( x) = lím +  x +  → ∞ x→ 0 x→ 0  x Al infinito: Es fácil ver que

x→ ∞

Rango: Ya que x = 1 es mínimo de la función, entonces la imagen generada por el intervalo (0, ∞) es (h(1), ∞ ) = (2, ∞) D) Segunda derivada: La segunda derivada de h es 2/x3 y no detecta puntos de inflexión. Esta derivada es > 0 en (0, ∞), por tanto, es cóncava hacia arriba en (0, ∞).

Por simetría, h tiene máximo en x = -1 y que es cóncava hacia abajo en (–∞ ,0).

Y el rango de la función es la siguiente unión: (–∞ , –2) U (2, ∞).

88

Gráfica de x +

1 x

Ejercicios

Confirma lo siguiente acerca de la cúbica y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0).

1) Tiene exactamente un punto de inflexión.

2) Siempre tiene al menos una raíz: Existe al menos una z tal que az3 + bz2 + cz + d = 0.

3) Su imagen siempre es ( –∞, ∞).

4) ¿Es posible que el valor mínimo de una función sea mayor que el máximo? Ver ejemplo 5 arriba y comentar.

Encuentra los límites de las siguientes funciones cuando x tiende a más y menos infinito:

2x3 + x 5) 4 x −2

x4 + 2 6) 2x3 − x

7) x4 + 2x3 + 2

8) -x5 +x2 + 25

Encuentra todos los puntos de inflexión de 9) S(x) = sen x

10) y = sec x

¿Cuáles de los siguientes polinomios tienen al menos un mínimo? Explica y grafica 11) x6 + 6x + 4 12) –x5 + 5x + 4 4 3 13) x + 2x + 2 14) x8 + 8x – 5 Grafica las funciones que aparecen en los ejercicios 5, 10, 13 15) # 5 16) # 10 17) # 13

89

Ligas externas (Abril 2009) La gráfica de una función y la segunda derivada: http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/criterio_de_la_segunda_derivada.htm Máximos y mínimos y la segunda derivada: http://www.mitecnologico.com/Main/MaximosYMinimosCriterioDeLaSegundaDerivada Concavidad y puntos de inflexión: http://usuarios.lycos.es/calculodiferencial/id60.htm

Ilustraciones

Caricatura inicial: http://www.math.leidenuniv.nl/~denholla/tintin.jpg

90

Matemáticas 5

Objetivo II: La derivada Tema 2_6: Aplicaciones de la derivada

Introducción Se presentan cuatro aplicaciones de la derivada en distintos ámbitos: el primero nos dice cómo recortar un cartón para construir no una simple caja sino La Caja que encierra el mayor volumen posible. El segundo ejemplo OBJETIVO menciona las dimensiones que debe tener una lata cilíndrica con volumen fijo, pero que use la menor cantidad de material. El Mostrar algunas aplicaciones interesante resultado es que los constructores de latas importantes usando información comerciales no usan las medidas que minimizan el material. ¿Por proporcionada por la derivada. qué? Eso habría que preguntarle al fabricante. La tercera Se menciona el método de aplicación describe un método para encontrar el punto de una Newton para aproximar raíces curva que esté más cerca de algún otro punto fuera de la curva.

Por ultimo, se comenta y se ilustra el famoso método de Newton de ecuaciones y cómo usarlo para encontrar, mejor dicho, para aproximar numéricamente en la hoja de cálculo Excel. raíces o ceros de funciones.

Volum en m áximo

Encontrando raíces

Algoritm o en Exce l

Aplicaciones de la de rivada

Punto más cercano

91

Mate rial mínimo

A) Caja con máximo volumen Supongamos que tenemos un cartón cuadrado de 1 metro de lado y deseamos quitarle 4 esquinas, también cuadradas, para obtener una caja sin tapa superior.

Eso parece simple, pero la pregunta importante es:

¿Dónde debemos cortar para que el volumen de la caja sea el mayor posible?

Sea x el tamaño del lado de los cuadraditos que vamos a cortar.

Si x es pequeño, entonces obtenemos una caja muy plana, como de pizza sin tapa, pero si x es grande, la caja es angosta, como una chimenea rectangular:

Para tener una idea del volumen que buscamos usaremos algunas situaciones conocidas, por ejemplo: 1) Una pizza grande, de 30 centímetros de diámetro, cabe en una caja de dimensiones iguales a: 30 x 30 x 4 = 3,600 cm3 92

2) Una pelota de básquetbol tiene aproximadamente 24 centímetros de diámetro, así que tal pelota cabe en una caja con volumen 24 x 24 x 24:

La caja para la pelota la podemos construir con un cartón cuadrado de 24 x 3 = 72 cm de lado y cortando cuatro esquinas cuadradas de 24 centímetros de lado:

El volumen dentro de la caja es 24 3 =

13,824 cm3.

3) Un metro cúbico = 100 x 100 x 100 cm = 1,000,000 cm3 , es decir, en un metro cúbico caben un millón de centímetros cúbicos. Nuestro cartón generará un volumen mayor que el de la caja de básquet pero menor que el del metro cúbico.

Usaremos centímetros para simplificar los datos, así que el lado del cartón = 100 cm y el lado de la esquina cuadrada mide x cm.

x 100 – 2x

x

100 93 centímetros

Área de la base cuadrada = (100 – 2x)2 Volumen de la caja = Área de la base por altura = (100 – 2x)2 x Simplificando, volumen = 4 x3 – 400 x2 +104 x Los casos extremos son: * No recortar esquinas, es decir, x = 0. El volumen es mínimo, igual a 0. * Recortar 50 centímetros de cada esquina. Entonces no tendríamos caja y el volumen nuevamente sería 0, así que debemos cortar cierta distancia x entre 0 y 50.

Hagamos una tabla y calculemos el volumen suponiendo que la esquina que cortamos tiene de lado algún múltiplo de 5: Volumen (miles de cm3) x (100 – 2x) 2 0 40.5 64 73.5 72 62.5 48 31.5 16 4.5 0

Lado: x cms 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Si dibujamos los puntos en el plano obtenemos:

80 70 60 50 40 30 20 10 0 0

10

20

30

40

50

Notamos que el volumen máximo sucede cuando x vale 15 centímetros; si dibujamos las líneas que unen los puntos, obtenemos la siguiente curva: 94

80 70 60 50 40 30 20 10 0 0

10

20

30

40

50

Lo importante es advertir que el valor máximo de nuestra caja es cuando la pendiente de la tangente sea 0, es decir, cuando la derivada de la función volumen es igual a 0.

La función volumen es V(x) = x (100 – 2x)2 = 4 x3 – 400 x2 + 104 x Derivando obtenemos:

V ’(x) = 12 x2 – 800 x + 104

Igualamos a 0 y despejamos x, usando la fórmula general: V ’(x) = 12 x2 – 800 x + 104 = 0

x=

800 ± 800 2 − 4 ⋅12 ⋅10 4 800 ± 64 ⋅10 4 − 48 ⋅10 4 800 ± 16 ⋅10 4 800 ± 400 = = = 24 24 24 24

dividiendo entre 8 :

x=

100 ± 50 3

Hay dos casos, de acuerdo con el signo: 1) + proporciona 150 / 3 = 50. Si cortamos 50 centímetros de lado, nos quedamos sin caja: x = 50 aporta el mínimo volumen, que es 0.

2) El signo menos conduce a: __ 100 − 50 50 = = 16. 6 3 3

donde la raya arriba del 6 indica que hay una infinidad de seises.

Notamos que 16.66 está cerca de 15 que es el número que habíamos aproximado inicialmente.

Concluimos: el tamaño del lado x que debemos cortar para tener la caja con volumen máximo es x = 16.666 cm. El volumen máximo resulta ser 74,074 cm3, aproximadamente.

95

La derivada es 0 en x = 16.66; ese es su máximo Nota: en esta caja cabe el contenido de poco más de 5 cajas de pelotas de básquet.

16.66

66.66

16.66

Proporciones aproximadas de la caja con mayor volumen

B) Lata con mínima superficie

Se desea construir una lata de aluminio que contenga 360 cm3 de líquido. ¿Qué dimensiones debe tener si queremos usar la mínima cantidad de material?

96

1) Lo primero que necesitamos es encontrar la fórmula de la que queremos obtener el extremo, en este caso el mínimo. Buscamos la función que represente el área de la superficie de un cilindro, pero eso es sencillo: dos tapas más la pared: si el radio es r y la altura h entonces

=

Tenemos dos círculos como tapas más el cuerpo o pared de la lata.

El tamaño de la base del rectángulo es igual al perímetro del círculo o sea 2 π r, así que el área del cuerpo de la lata es 2 π r h.

Juntando las áreas:

Área = 2 tapas + una pared = 2 π r2 + 2 π r h

2) El segundo paso es derivar e igualar a 0. Pero tenemos dos variables: el radio r y la altura h. ¿Con respecto a qué derivamos?

Pensando un poco recordamos que nunca hemos usado la condición de que el volumen debe ser igual a 360 cm3.

Esta fórmula de volumen involucra al radio y la altura, así que podemos despejar alguna y derivar con respecto a la otra variable: Volumen = 360 = π r2 h Despejamos h para obtener h =

360 π r2

3) Sustituimos h en la ecuación por minimizar

Área = 2 π r2 + 2 π r h

Área = A(r) = 2 π r 2 + 2 π r

360 720 = 2π r2 + 2 πr r

4) Derivamos e igualamos a cero:

A' (r) = 4π r − Despejamos r:

es decir, r = 3

720 =0 r2

4π r = 720 720 180 3 r = = 4π π 3

180 que es, aproximadamente 3.855 cm π

97

para obtener

2

5) El valor de h lo encontramos de la fórmula 360 = 2πr h:

360 360 2 ⋅ 180 π 2 3 180 1 3  180  h= 2 = = ⋅ = 2 = 2  23 23 13 πr π π (180 )  π   180  π   π 

13

= 2r

Si el radio es r entonces la altura es h = 2r = diámetro; en nuestro caso r = (120/π)1/3 ~ 3.855 cm y la altura h = 2r ~ 7.710 cm.

Si definimos una Lata Cuadrada como aquella cuyo diámetro es igual a su altura, resulta que las latas que minimizan el material son las latas cuadradas:

Lata cuadrada: minimiza material

Ver ejercicios 1 a 4 al final de esta sección.

C) Punto de una curva más cercano a otro punto Supongamos que deseamos encontrar el punto sobre la curva y = x2 que diste menos de P(0, 1):

¿Qué punto de la curva dista menos de (0, 1)?

98

Un punto de la curva tiene coordenadas (x, y) = (x, x2).

La distancia al cuadrado entre los puntos (x, x2) y (0, 1) es una función en x: D(x) = Dist((x, x2), (0,1)) = x2 + (x2 – 1)2 = x4 – x2 + 1 Derivamos e igualamos a 0: D’(x) = 4x3 – 2x = 2x( 2x2 – 1) = 0 La anterior igualdad es 0 cuando x = 0 o cuando x2 = ½.

Comprobamos las distancias, calculando D en 0 y en 1/√2: D(0) = 1

D(1/√2) = ¼ - ½ + 1 = ¾

Que nos dicen que el mínimo ocurre en 1/√2 y en – 1/√2.

La segunda derivada ayuda: D’’(x) = 12 x2 – 2.

D’’(1 / √2) = 12/2 – 2 = 8 > 0 implica 1/√2 es mínimo.

D’’( 0 ) = – 2 < 0 implica 0 es máximo (local).

Los puntos (± ±1/√ √2, ½) son los más cercanos a (0,1) D) El método de Newton A una de las aplicaciones más interesantes y más gustadas de la derivada se le conoce como el Método de Newton (o Newton-Raphson) y es útil para aproximar raíces de ecuaciones.

Si f(x) es una función, y c un número tal que f(c) = 0, entonces a c se le llama raíz (o cero) de la función. El hecho que f(c) sea 0 quiere decir que la gráfica de la función cruza al eje X en el punto c.

El método de Newton nos ayuda a encontrar numéricamente cuánto es el número c, y sobre todo, si c es irracional, mejor, pues el método descubre rápidamente algunos de sus escondidos decimales.

99

Hemos calculado de distintas maneras cuánto es la raíz de 2, por ejemplo, usamos el método babilónico en la sección 5.1 de Matemáticas 4.

La idea es nuevamente aproximar tal raíz, pero usando derivadas. Para esto emplearemos la función f(x) = x2 – 2. Recordemos su gráfica:

f(x) = x2 – 2 Nuestro objeto es encontrar, con cierta precisión, las cuatro primeras decimales correctas de √2. Nos preocupamos sólo por la raíz positiva, ya que la negativa es la misma, excepto por el signo. La gráfica cerca √2 es la siguiente:

x2 – 2 cerca de x = √2 El truco es tomar un punto cerca de √2, es decir, un punto vecino de la raíz de la función. Escogemos xo = 1, aunque pudimos tomar cualquier x mayor que 0.

100

La pendiente de f(x) en el punto xo = 1 es f ’(1) = 2(1) = 2, y la ecuación de la recta tangente que pasa por el punto (xo, f(xo)) = (1, –1) es y + 1 = 2(x – 1), que simplificando resulta y = 2x – 3:

La recta tangente cruza al eje X cerca de √2 Lo interesante es observar que el punto donde la recta cruza el eje X, está cerca del número √2 que estamos buscando. ¿Dónde cruza la tangente al eje x? es decir, ¿dónde 2x – 3 = 0?

Cruza al eje X en un punto que llamaremos x1 , y es igual a 3/2 (= 1.5).

Encontramos que f(x1) = f(1.5) = (1.5)2 – 2 = 2.25 – 2 = 0.25, que está más cerca de 0 de lo que está f(1).

La idea es tomar la recta que pasa por (x1, f(x1)) = (1.5, f(1.5)) y encontrar el punto donde la recta cruza al eje X. Ese punto, que llamaremos x2, será mejor aproximación de lo que es x1 = 1.5.

Veamos esta situación: La pendiente de la recta tangente sigue siendo 2x, pero en el punto 1.5 es 3, así que la ecuación de la tangente por (x1 , f(x1)) = (1.5, 0.25) es y – 0.25 = 3(x – 1.5), que simplificando es y = 3x – 4.25 ¿Cuándo vale 0? Vale 0 en x2 = 4.25/3 = 17/12 = 1.41666 Esta segunda aproximación proporciona dos decimales correctos y notamos que en la gráfica es difícil discernir entre la raíz y la aproximación:

101

La curva pasa por √2, la tangente por 1.41666 La tercera aproximación, que llamaremos x3, promete mejorar la situación. Ahora queremos la ecuación de la tangente que pasa por (x2, f(x2)) = (17/12, f(17/12)) = (17/12, 1/144).

La pendiente es 2(17/12) = 17/6, así que la recta es y – 1 /144 = 17/6 (x – 17/12), que simplificando: y = (408x – 577) ⁄ 144.

Proporcionando la intersección con el eje X en el punto x3 = 577/408, que con cinco decimales es 1.41421, notando que son idénticas a las primeras cinco decimales de √2.

En la gráfica no se distingue cuál es la curva o cuál es la recta: están encimadas:

La curva y la tangente son casi idénticas en este pequeño intervalo 102

D’) Algoritmo del método de Newton Si se busca alguna raíz de la función f(x) = 0, entonces, 1) Escoger xo apropiado 2) Encontrar x1 = x0 −

f ( x0 ) f ' ( x0 )

x2 = x1 −

f ( x1 ) f ' ( x1 )

3) Encontrar

y así sucesivamente, es decir,

xn = xn−1 −

f ( xn−1 ) , f ' ( xn−1 )

Nota: por apropiado queremos decir cerca de la raíz de la función, es más importante tener cuidado con que la derivada en xo sea distinta de cero. Si fuera 0, la tangente sería horizontal y paralela al eje X. Nunca se encontraría x1 ya que no habría intersección. Además la fórmula 2 nos dice que es pecado mortal: ¡división entre 0!

En vista de lo útil que resulta la hoja de cálculo en situaciones como las de este algoritmo, agregamos lo siguiente: Método de Newton con Excel

1 2 3 4 5 6

A Subíndice 0 1 2 3 4

B xn = B2 - C2/D2 = B3 - C3/D3 = B4 - C4/D4 = B5 - C5/D5

C f(xn) = B2^2 - 2 = B3^2 - 2 = B4^2 - 2 = B5^2 - 2 = B6^2 - 2

D f ' (xn) = 2*B2 = 2*B3 = 2*B4 = 2*B5 = 2*B6

La porción de hoja de cálculo indica: El primer renglón menciona las columnas A a la D. La primera columna dice el renglón en que nos encontramos.

La segunda columna (A) nos indica en qué subíndice de x vamos: desde xo hasta x4.

La columna B dice quiénes son desde xo hasta x4.

La celda importante es B2: Es la única que no tiene fórmula y es en la que usaremos para ensayar distintas elecciones para el valor inicial xo . Lo que escribamos en B2 será el punto inicial xo que escojamos.

En los lugares B3 a B6 hay fórmulas, por ejemplo, en B3 se lee: = B2 – C2/D2.

Lo que Excel hace es escribir en la celda B3 las operaciones B2 – C2/D2, con cualesquiera datos que estén en B2, C2 Y D2.

En la columna C aparece la fórmula para la función x2 – 2, por ejemplo, en C2 dice =B2^2 – 2, y quiere decir, lo que esté en B2, elévalo al cuadrado y réstale 2.

La columna D proporciona la derivada de f(x) es decir, 2x. La celda D2, dice =2*B2, lo que significa que en D2 aparecerá dos veces cualquier cosa que se escriba en B2.

103

Una vez llena nuestra tabla, lo único que hay que hacer es escribir un número en la celda B2.

Por ejemplo, si escribimos 1 en la celda B2, parece lo siguiente:

1 2 3 4 5 6

A Subíndice 0 1 2 3 4

B xn 1 1.5 1.416666667 1.414215686 1.414213562

C f(xn) -1 0.25 0.00694444 6.0073E-06 4.5106E-12

D f ' (xn) 2 3 2.83333333 2.82843137 2.82842712

Las aproximaciones que nos interesan aparecen en la columna B.

Ejercicios

0) Dentro de un metro cúbico cabe el contenido de a) 70 b) más de 70 c) menos de 70

cajas de básquet.

La mayoría de las latas de jugo, refresco y cerveza que se venden en México tiene capacidad de 12 onzas, 360 cm3 aproximadamente. Teniendo esto cuenta, 1) Consigue una de tales latas y compara las dimensiones con las que obtuvimos en la sección B 2) Si el área de la lata que minimiza el material es 100% ¿qué porcentaje tiene una lata de refresco?

3) ¿Por qué no todas las latas no tienen las dimensiones que minimizan el material?

La respuesta puede deberse a la mercadotecnia. Investiga la situación..

4) Recientemente empezaron a vender latas de refresco de con 8 onzas de contenido y las dimensiones de éstas son bastante cercanas a las latas cuadradas.

Encontrar las dimensiones para minimizar la lata de 8 onzas y comparar con las latas existentes

Método de Newton Siguiendo con la función y = x2 – 2, se trata de modificar el punto inicial: En los tres siguientes ejercicios, encontrar las primeras cuatro aproximaciones, es decir, hasta x4 incluida: 5) x0 = 3 6) x0 = 10 7) x0 = -1 (antes de hacer este inciso, adivina la respuesta).

104

Con ayuda de una hoja de cálculo obtener al menos 20 aproximaciones para los siguientes casos: 8) x0 = 100 9) x0 = 0.001 10) Comentar los 5 ejercicios anteriores Usar el argumento de Newton para aproximar las siguientes funciones 11) Si g(x) = x3 – 2, aproxima la raíz cúbica de 2 12) Si h(x) = x5 – 2, aproxima la raíz quinta de 2 13) ¿Cuándo cos x = x ?

Ayuda: aplicar Newton a la resta de las funciones

14) ¿Cuándo Ln x + x = 0?

Glosario

Lata cuadrada: Cilindro cuyo diámetro mide lo mismo que su altura

Ligas externas (Abril 2009) Ejemplos de aplicaciones de la derivada: http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones.htm Aplicaciones de la derivada en la economía: http://usuarios.lycos.es/osegura2003/integrales/costos.htm Sobre el método de Newton: http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Newton

Ilustraciones (Abril 2009) Lata de refresco. Página inicial: http://www.clker.com/cliparts/f/b/1/8/1194986038653716045pop_can_bw.svg.hi.png Caja de pizza: http://www.papermart.com/itemimg/jpg_food/pizza-box.jpg Pelota básquetbol: http://www.istockphoto.com/file_thumbview_approve/308663/2/istockphoto_308663_basketball .jpg Chimenea: http://salvo.co.uk/images/userimgs/28530/37616_1.jpg

105

Lata de refresco, inciso B: http://thumbs.dreamstime.com/thumb_141/1177203569GvAt7n.jpg Lata de 8 onzas: http://images.google.com.mx/imgres?imgurl=http://www.usasoda.com/images/dp8.JPG&imgref url=http://www.usasoda.com/drpepper.htm&usg=__LLTcoBRlc3_PDzpf5PecqPMUHGU=&h=35 3&w=309&sz=30&hl=es&start=86&tbnid=M_kEG9rs7JwAkM:&tbnh=121&tbnw=106&prev=/imag es%3Fq%3D12%2Bvs%2B8%2Boz%2Bsoda%2Bcan%26gbv%3D2%26ndsp%3D20%26hl%3Des %26sa%3DN%26start%3D80

106

Matemáticas 5

∫

Objetivo III: LA INTEGRAL Tema 3.1: La integral indefinida

Antiderivadas

Conocida la derivada, ¿cuál es la función?

Definiciones y notaciones

Integrales trigonom étricas

Propiedades de la integral

Ejemplos

Introducción (Adivinanza) Si f '(x) = 2

entonces

para toda x

OBJETIVO Definir la antiderivada (primitiva o integral indefinida) de una función.

Conocer las definiciones, notación y propiedades, así como las integrales de funciones trigonométricas y exponenciales

f(x) = ?

Supongamos que tenemos una función con la propiedad de que su derivada es siempre igual a 2. ¿Cuál es la función?

107

La derivada nos indica la pendiente de la recta tangente en el punto. Sabemos que la recta y = mx + b es tal que el número m proporciona la pendiente de la recta, así que se nos ocurre como respuesta al acertijo la función f(x) = 2x; comprobamos que f ’(x) = (2x)’ = 2 Sin embargo, no es la única función con esa propiedad, ya que g(x) = 2x – 3 también es tal que su derivada siempre es 2:

Tres funciones con derivada igual 2 Antiderivada: La integral indefinida El proceso de encontrar una función a partir de su derivada se llama Antiderivación o integración indefinida.

Decimos que la función F(x) es una antiderivada de f(x) si sucede que F’(x) = f(x) para toda x en el dominio de f(x) (A F(x) también se le llama Primitiva de f(x)).

La familia de todas las antiderivadas de f(x) se representa con el símbolo:

∫

f ( x ) dx = F ( x ) + C

denominado la integral indefinida de f.

108

Para la adivinanza inicial ¿Qué funciones tienen como derivada al número 2?

Notamos que las funciones 2x – 4, 2x + 2 son primitivas, y en general, la función 2x + C, donde C es una constante arbitraria, incluye a todas las funciones primitivas de 2, ya que la derivada de cualquiera de ellas es la función constante igual a 2. Así :

∫ 2dx = 2x + C Resumiendo:

∫

f ( x)dx = F ( x) + C In te g ra n d o

A n t id e r iv a d a ( o p r im itiv a )

C o n s ta n te d e in t e g r a c ió n

Ejemplos 1)

∫ 6 xdx = 3x

2

+C,

ya que la derivada de 3x2 + C es 6x.

2) Verificar que F ( x) =

1 3 x − 7 x + 100 es antiderivada de f(x) = x2 – 7 3

Derivamos F:

F ' ( x) =

3 2 x −7 3

y obtenemos f:

= x 2 − 7 = f ( x) Comprobando así que F(x) es antiderivada de f(x). De acuerdo con nuestra notación:

∫ (x

2

)

− 7 dx =

1 3 x − 7x + C 3

3) ¿Cómo encontramos una primitiva de 6x5?

Sabemos que la derivada de x6 es 6x5, así que una antiderivada es x6.

Estos ejemplos sugieren la siguiente situación: 4)

n ∫ x dx =

x n +1 +C n+1

109

′  x n +1  n + 1 n   = x = xn  n + 1 n + 1

Comprobamos rápidamente:

Por supuesto el resultado anterior no vale para n = –1. Tal situación particular es:

∫x

−1

dx = ∫

1 dx = ln| x | +C x

o sea, el logaritmo natural del valor absoluto de x.

Propiedades de la integral indefinida La integral es lineal: esta propiedad se la conocemos a la derivada y a los límites; la primera parte de la linealidad dice que la integral de una suma es la suma de las integrales:

∫ ( f (x ) + g (x ))dx = ∫ f (x )dx + ∫ g (x )dx k ∫ f (x )dx = ∫ k f (x )dx La segunda parte dice que las constantes k se comportan como fantasmas, atravesando impunemente los muros de la integral; entran y salen a su libre antojo y sin restricción alguna:

De las dos identidades anteriores concluimos que la integral de una resta es la resta de las integrales:

∫ ( f ( x) − g ( x))dx = ∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx

La justificación es como sigue:

∫ ( f(x) − g(x))dx = ∫ ( f(x) + ( − 1)g(x))dx = ∫ f(x)dx + ∫ ( − 1)g(x)dx = ∫ f ( x)dx + (−1) ∫ g ( x)dx =∫ f ( x)dx −∫ g ( x)dx Más ejemplos:

∫ (4 x − 3 x ) dx En vista que ∫ (4 x − 3 x ) dx = 4 ∫ x 5) Obtener

3

4

3

4

3

dx − 3 ∫ x 4 dx

Podemos integrar cada término y obtener:

=

4 4 3 5 x − x +C 4 5

Simplificando:

x4 −

3 5 x +C 5

y concluimos, sin olvidar la constante: 110

∫ (4 x

3

− 3x 4

) dx = x

4

−

3 5 x +C 5

6) ¿Qué función es primitiva de 4 sen x ?

La pregunta es, ¿que función tiene como derivada a 4 sen x?

El 4 no es problema ya que entra y sale del signo de integral, y lo que recordamos es que la derivada de cos x es – sen x Así que especulamos con g(x) = – 4 cos x y comprobamos: (– 4 cos x)’ = – 4 (cos x)’ = – 4 (– senx) = 4 sen x concluimos:

∫ 4senxdx = 4 ∫ senxdx = −4cosx + C 7)

∫

x 3 + 2x dx = ?

5x 2

Es conveniente escribir el cociente como suma de quebrados:

∫

 x3 x 3 + 2x 2x  1 2  2 + 2 dx = ∫ xdx + ∫ x −1dx dx = 2 ∫ 5x 5x  5 5  5x

1 x2 2 1 2 2 + lnx + C = x + lnx + C 5 2 5 10 5 Pudimos factorizar 1/5 desde el inicio y regresarlo al final. El resultado es el mismo:

∫

x 3 + 2x 1  x 3 2x  1 dx = ∫  2 + 2 dx = 2 5x 5 x x  5

(∫ xdx + 2∫ x dx ) = 51  x2 + 2lnx + C  = 101 x 2

−1





2

+

2 C lnx + 5 5

y como C/5 es constante, la igualamos con C.

8) ¿Cuál es la integral de x5 ?

A las equis con radicales conviene escribirlas como exponentes y aplicar la regla del exponente:

∫

x 5 dx = ∫ x 5 2 dx =

x 5 2 +1 x7 2 2 +C = + C = x7 2 + C 5 2+1 7 2 7

9) De todas las funciones con derivada igual a 2, ¿Cuál pasa por el punto (1, 1) ?

Sabemos que la familia de funciones con derivada igual a 2 la constituye F(x) = 2x + C. Para conocer cuál de ellas pasa por (1, 1), igualamos y evaluamos: 1 = F(1) = 2(1) + C = 2 + C Despejando, tenemos C = 1 – 2 = – 1. La constante C es – 1 y la respuesta es F(x) = 2x – 1 111

Función con derivada igual a 2 y que pasa por (1, 1)

∫ π dx =

10) Cierto o falso:

π2 +C 2

Por supuesto es falso. ¿Por qué?

11) ¿Cuál es la integral del valor absoluto de x?

Como la definición del valor absoluto depende de su dominio, tenemos que analizar dos casos: a) Si x < 0, | x | = – x así que la integral es – x2 / 2 b) Si x ≥ 0, | x | = + x así que la integral es + x2 / 2

∫ x dx =

La respuesta es:

xx 2

+C

Ejercicios

Calcula las siguientes integrales: 1)

∫ (5 x

3

)

− 4 x 2 + 3 x − 2 dx

2)

112

∫ (− 2e )dt t

3)

∫ (3senu − 2 cos u ) du x3 4 dx 3 x

5)

∫

7)

2u − 3u 2 ∫ u du

9)

∫

x2 − x − 6 dx x+2

4)

∫ (r

6)

∫4

3

8)

∫

1  4r  r −  dr r 

10)

99

)

− r −99 dr

t dt

3t − 6 dt 2 − 2t

∫t

11) La constante perdida. Al sumar dos integrales, obtenemos dos constantes, por ejemplo:

∫ 3x dx + ∫ 2 xdx = x 2

3

+ C1 + x 2 + C 2

Sin embargo, al integrar la suma

∫ (3x

2

)

+ 2 x dx = x 3 + x 2 + C

aparece sólo una constante. ¿Dónde queda la constante perdida?

Glosario

Antiderivada: F es antiderivada de f si F’ = f. A F también se le conoce como Primitiva de f.

Integral indefinida: Si F es antiderivada de f, entonces la integral indefinida de f es la familia de funciones F(x) + C; se denota por

∫

f ( x ) dx = F ( x ) + C

Integral, Componentes de:

∫

f ( x)dx = F ( x) + C

In te g ra n d o

Linealidad de la integral:

A n t id e r iv a d a ( o p r im it iv a )

C o n s ta n te d e in t e g r a c ió n

∫ ( f ( x) + kg ( x)) dx = ∫ f ( x) dx + k ∫ g ( x) dx

f, g y constante k.

Primitiva: Ver antiderivada.

113

para cualesquiera funciones

Ligas externas (Abril 2009) 驴C贸mo entienden la integral indefinida en otros lados?, ver por ejemplo: http://portales.educared.net/wikiEducared/index.php?title=Integral_indefinida Algo de historia de la integral: http://es.wikipedia.org/wiki/Integral Sobre las integrales indefinidas: http://www.scribd.com/doc/437808/Integrales-Indefinidas

114

Matemáticas 5

Objetivo III: LA INTEGRAL Tema 3.2: Áreas y sumas

Aproximando áreas con sumas

¿De que tamaño?

Usando el punto medio

Sumas inferiores y superiores

La regla del trapecio

El promedio Área aproximada Ejemplos

Introducción ¿Cómo encontrar el área bajo una curva? Es lo que investigamos en esta sección. ¿De que tamaño es?

Si necesitamos encontrar el área de un rectángulo o algún triángulo, en general no debemos tener problema pues conocemos las fórmulas apropiadas relacionando bases y alturas.

Sabemos calcular el área de algunas figuras Pero ¿qué sucede si el área no nos es familiar?

115

OBJETIVO Conocer diversos métodos para aproximar el área bajo la curva. Primero se usan las sumas inferiores y superiores, luego el método del punto medio y por último la regla del trapecio.

En el curso anterior (Sección 5.3) nos enfrentamos con el problema de encontrar el área del círculo, la manera en que resolvimos la situación fue aproximarnos al área usando rectángulos interiores y exteriores:

Usaremos la misma idea en este momento. Supongamos que nos urge encontrar el área bajo la curva y = x 2 + 1 para x en el intervalo [0, 3].

¿Cuánto es el área sombrada?

Empezamos dividiendo el intervalo [0, 3] en tres partes del mismo tamaño y nos fijamos en el valor de la función en el extremo derecho de cada intervalo: 116

Para encontrar el área del primer rectángulo evaluamos base por altura, donde la altura es el valor de la función x2 + 1 en el extremo derecho del intervalo, o sea 12 + 1 = 2. La altura del segundo rectángulo es 22 + 1 = 5 y el del tercero es 32 + 1 = 10. Como el tamaño de la base en todos los casos es 1, entonces la suma de las áreas es 2 + 5 + 10 = 17: Este resultado indica que el área que buscamos es menor que 17.

Si deseamos una mejor aproximación podemos dividir el intervalo [0, 3] en seis subintervalos: [0, 1/2], [1/2, 1], [1, 3/2], [3/2, 2], [2, 5/2], [5/2, 3], cada uno de ellos de longitud igual a 1 / 2:

117

El área del primer rectángulo es base por altura, o sea:

(

)

1 2 (1 2 ) + 1 = 1 2 (1 4 + 1) = 1 2 (5 4 ) = 5 8 = 0.625 2

A continuación, evaluamos en el extremo derecho de cada intervalo: ALTURA

ALTURA = 2

TAMAÑO

ÁREA DEL

EVALUADA EN:

n +1

BASE

RECTÁNGULO

0.5

1.25

0.5

0.625

1

2

0.5

1

1.5

3.25

0.5

1.625

2

5

0.5

2.5

2.5

7.25

0.5

3.625

3

10

0.5

5

=

14.375

SUMA TOTAL

La suma que obtenemos es 14.375, mejor aproximación; pero no es aún el área exacta. Para encontrarla hay que tomar una infinidad de subintervalos. Bueno, es imposible tomar una infinidad, pero lo que si podemos hacer es considerar el límite cuando el número n de subintervalos tiende a infinito. Para dividir [0, 3] en ene subintervalos del mismo tamaño tomamos el número 3 / n y empezamos a sumar para obtener:

x0 = 0 < x1 =

3 6 3j 3n < x 2 = < ... < x j = < ... < x n = =3 n n n n

118

El tamaño de la base de cada rectángulo es 3/n y la altura es el valor de la función en el extremo derecho del intervalo, es decir, ( xi )

o sea que el área es

2

2

i2 3 i +1 =   +1 = 9 2 +1 n  n 

 3  9i 2  2 + 1 n n 

La idea es sumar entonces todas las áreas: n

3  9i 2

∑ n  n i =1



2

 n  27i 2 3  + 1 = ∑  3 +  n  i =1  n

Escribiendo como dos sumas: n  27i 2 3  n 27i 2 3 27 n 3 n  3 +  = ∑ 3 + ∑ = 3 ∑ i 2 + ∑ 1 ∑ n  i =1 n n i =1 n i =1 i =1  n i =1 n n

Para la primera adición, tenemos una fórmula: la suma de los primeros ene cuadrados: n

1 + 4 + 9 + 16 + … + n2 =

∑i i =1

2

=

n(n + 1)(2n + 1) 6

Así que la primera suma es

27 n 2 27 n(n + 1)(2n + 1) 27 (n + 1)(2n + 1) 9 2n 2 + 3n + 1 = = ∑ i = n3 n 3 i =1 6 6 n2 2 n2

119

Y la segunda consta en sumar 1 ene veces: 1 + 1 + .. + 1 =

n

∑1 = n

, así que

i =1

3 n 3 1= n = 3 ∑ n i =1 n Así, nuestra suma original se convierte en

 27i 2 3  9  2n 2 + 3n + 1   3 +  =   + 3 ∑ n 2 n2 i =1  n  n

Comprobamos nuestros resultados anteriores: si n = 3 entonces la suma es

 27i 2 3  9  2 ⋅ 3 2 + 3 ⋅ 3 + 1  9  18 + 9 + 1  28  3 +  =   + 3 =  + 3 = 14 + 3 = 17 , +3= ∑ 2 n 2 3 2 9 2  i =1  n  3

coincidiendo con lo que obtuvimos renglones arriba.

Si ahora ensayamos la fórmula con n = 6 y sustituimos tenemos:

9  72 + 18 + 1  9 91 91 +3= + 3 = 11.375 + 3 = 14.375  +3= 2 36 2 36 8  demostrando lo obtenido con anterioridad. ¿Qué sucede si tomamos n = 100? Veamos:

 27i 2 3  9  2 ⋅ 100 2 + 300 + 1  9 20,301  3 +  =   + 3 = = 9.13545 + 3 = 12.13545 ∑ 2 n 2 100 2 10,000 i =1  n  100

Podemos tomar n cada vez más grande, por ejemplo 1000 y sustituir en la fórmula para conseguir

 27i 2 3  9  2 ⋅ 1000 2 + 3000 + 1  9 200,3001  3 +  =   + 3 = = 9.13500 + 3 = 12.135 ∑ 2 n 2 1000 2 1,000,000 i =1  n 

1000

El valor disminuyó un poco.

Simplificamos un poco nuestra suma ya que en un momento tomaremos el límite si n tiende a infinito:

 27i 2 3  9  2n 2 + 3n + 1  9 3 1  27 9  3 +  =   + 3 =  2 + + 2  + 3 = 12 + + ∑ 2 n 2 n 2 n n  2n n 2 i =1  n  n

Si n tiende a infinito los dos últimos sumando tienden a 0, así que obtenemos como respuesta el número 12.

Concluimos:

120

El área bajo la curva y = x2 + 1 para x en el intervalo [0, 3] es 12

El anterior método es realmente milenario, fue usado por Arquímedes y personajes anteriores a él. En el objetivo 4 veremos un poco de historia de la integración y algunos métodos para encontrar áreas.

Otro detalle: en la sección 3.4 estudiaremos una manera mucho más simple para encontrar áreas sin necesidad de dividir en subintervalos, ni tomar sumas ni encontrar límites.

Sumas inferiores y superiores Sea f una función definida en el intervalo [a, b]. Supongamos que es mayor o igual a 0 en el intervalo. ¿Cómo aproximamos el área bajo la función en el intervalo?

Partición del intervalo Sea n un entero positivo, supongamos que deseamos dividir [a, b] en n subintervalos del mismo tamaño. ¿Cómo hacemos?

El intervalo [a, b] mide b – a unidades, y si deseamos dividirlo en n partes, cada una debe medir (b – a) / n unidades. A tal número se le denota por h, es decir, Tamaño del intervalo: h =

b−a n

En vista que empezamos en el extremo izquierdo, o sea en el número a, llamamos xo = a x1 = a + h x2 = a + 2h x3 = a + 3h y así sucesivamente. En particular el término jota, si j está entre 0 y n es: xj = a + j h El último término es

x n = a + nh = a + n

b−a = a+b−a =b n

o sea, el extremo derecho del intervalo original.

Al conjunto de números { xi } se le llama partición del intervalo [a, b]

a=xo

x1

x2

x3

xi

...

xn-1

xn=b

Sea ci un punto en el intervalo [xi , xi+1] El producto de las cifras

f(ci)⋅ h representa el área del rectángulo con base h y altura f(ci):

121

Suponiendo que la función f es creciente, entonces tomando como ci = xi , al extremo izquierdo de cada subintervalo, tenemos que n −1

∑ f (x )h i =0

i

y estas sumas se llaman sumas inferiores de la función, y análogamente, las sumas superiores son n

∑ f (x ) h i =1

i

Algunos autores les llaman sumas interiores y exteriores, respectivamente.

Ejemplos 1) Encontrar las sumas inferiores de la función f(x) = x2 + 1 en el intervalo [0, 3] dando una partición con 3 subintervalos.

La longitud de cada subintervalo es

b−a 3−0 3 = = =1 n 3 3

Como la función es creciente, el mínimo lo toma en el extremo izquierdo de cada subintervalo y la altura es el valor de la función x2 + 1, o sea 02 + 1 = 1. La altura del segundo rectángulo es 12 + 1 = 2 y el del tercero es 22 + 1 = 5. Como el tamaño de la base en todos los casos es 1, entonces la suma de las áreas es 1 + 2 + 5 = 8:

122

ALTURA EVALUADA EN: 0 1 2 SUMA =

n2 + 1 1 2 5 8

Este resultado indica que las sumas inferiores son iguales a 8 unidades.

2) Encontrar las sumas inferiores de la función f(x) = x2 + 1 en el intervalo [0,3] dando una partición 6 subintervalos Dividimos ahora en 6 el intervalo, así que el tamaño de cada subintervalo es Los rectángulos interiores son:

123

b − a 3−0 3 1 = = = n 6 6 2

y calculando la suma de las áreas de los rectángulos tenemos: ALTURA

ALTURA = 2

TAMAÑO

ÁREA DEL

EVALUADA EN:

n +1

BASE

RECTÁNGULO

0

1

0.5

0.5

0.5

1.25

0.5

0.625

1

2

0.5

1

1.5

3.25

0.5

1.625

2

5

0.5

2.5

2.5

7.25

0.5

3.625

=

9.875

SUMA TOTAL Un par de desigualdades

Si tenemos una función continua y no negativa en un intervalo cerrado, y llamamos

124

I = Sumas Inferiores S = Sumas Superiores entonces obtenemos un par de desigualdades interesantes.

La primera, que es lo que hemos estado haciendo: aproximar el área por las sumas inferiores y la superiores: I ≤ Área bajo la curva ≤ S

i)

y la segunda, ya que sabemos que el promedio de dos números está exactamente en medio de los dos, resulta que frecuentemente el promedio es mejor aproximación al área de lo que I o S puedan ser:

I≤

ii)

I+S ≤S 2

3) Encontrar una partición del intervalo [1, 4] en 9 partes iguales.

Sustituimos 9 en vez de n en la fórmula

el punto i es

h=

b − a 4 −1 3 1 = = = n 9 9 3

i xi = a + ih = 1 + , para i desde 0 hasta 9: 3

1

2

3

4

Partición de [1, 4] en 9 partes iguales xo

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

1

4/3

5/3

2

7/3

8/3

3

10/3

11/3

4

4) Calcular las sumas inferiores y superiores de la función 1/x en el intervalo [1, 4] dividiendo el intervalo en tres partes iguales.

Notamos que a diferencia de la anterior, esta función es decreciente.

125

y = 1/x en [1,4] La fórmula del tamaño de cada subintervalo se convierte en h =

b − a 4 −1 3 = = = 1 , así que la n 3 3

partición resulta ser simplemente {1, 2, 3, 4}.

Para las sumas inferiores debemos tomar el extremo derecho de cada intervalo:

Sumas inferiores

126

EXTREMO DERECHO 2 3 4 SUMA =

ALTURA = 1/n 0.5 0.333333333 0.25 1.083333333

Análogamente, las sumas superiores:

Sumas superiores EXTREMO IZQUIERDO 1 2 3 SUMA =

ALTURA = 1/n 1 0.5 0.33333333 1.83333333

Concluimos con las siguientes desigualdades: 1.0833 < Área bajo 1/x < 1.8333 5) ¿Cuál es el promedio de las sumas superiores e inferiores del ejercicio anterior?

El promedio es

I + S 1.0833 + 1.8333 2.9166 = = = 1.4583 2 2 2

En la sección 3.4 encontraremos que el área buscada es ln4, es decir, el logaritmo de 4 que es 1.3862, aproximadamente. Observamos que el promedio es una excelente aproximación, sobre todo comparada con lo obtenido con las sumas inferiores y superiores.

6) Sea f(x) = √x definida en el intervalo [0, 5]. Dividir el intervalo en cinco partes iguales y obtener las sumas inferiores y superiores.

127

La gráfica de la función es la siguiente:

La división de [0, 5] en cinco partes proporciona subintervalos de tamaño h = Nuevamente, los 5 subintervalos tienen las coordenadas enteras, {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

Los rectángulos internos son:

128

b−a 5−0 5 = = = 1. n 5 5

El área de cada rectángulo se obtiene evaluando la función en el extremo izquierdo de cada subintervalo (tomamos sólo dos decimales): EXTREMO ALTURA IZQUIERDO = ÁREA 0 0 1 1 2 1.41 3 1.73 4 2 TOTAL = 6.14 Como cada base mide 1, entonces cada altura es igual al área del rectángulo obtenemos el total de las Sumas Inferiores = 6.14 unidades.

Notamos que el primer rectángulo tiene área 0 ya que su altura es 0.

De manera análoga obtenemos las sumas superiores pero ahora evaluando en los extremos derechos:

La suma de las alturas proporciona: EXTREMO DERECHO 1 2 3 4 5 TOTAL =

ALTURA = ÁREA 1 1.41 1.73 2 2.24 8.38

129

Concluimos conociendo dos valores, entre los que se encuentra el área (a estos valores, uno menor y el otro mayor que el valor del área, se les llama cotas): 6. 14 < área bajo la curva < 8.38 7) ¿Cuál es el promedio de las sumas superiores e inferiores del ejercicio anterior?

El promedio es

I + S 6.14 + 8.38 14.52 = = 7.26 . Veremos en la sección 3.4 que la respuesta = 2 2 2

correcta, con tres decimales, es 7.453. Y notamos, nuevamente, que el promedio es mucho mejor aproximación que cualquiera de las dos sumas.

Método del punto medio y la regla del trapecio Supongamos que tenemos una función ( ≥ 0) definida en un intervalo [a, b], y que deseamos obtener una buena aproximación del área bajo la curva.

Lo primero que se hace es dividir al intervalo en n partes iguales, es decir, contar con una partición del intervalo. Después hay varias opciones: Sumas inferiores y superiores: Es el método mencionado anteriormente: se toma el valor mínimo de la función en el intervalo para obtener las sumas inferiores y de manera análoga, consideraramos el máximo de la función para obtener las sumas superiores.

Si I = Sumas Inferiores y S = Sumas Superiores entonces I ≤ Área bajo la curva ≤ S Hicimos notar: Promedio: El promedio de I con S suele ser una mejor aproximación al resultado que buscamos:

I≤

I+S ≤S 2

Punto medio: en vez de buscar el punto donde la función valga más o valga menos, tomamos el valor de la función en el punto central de cada intervalo; esa será la altura, mientras que la base es el tamaño del subintervalo.

Trapecios: Un trapecio es un cuadrilátero irregular que tiene paralelos solamente dos de sus lados; supongamos que deformamos nuestros rectángulos y permitimos que la tapa superior no sea horizontal y que los extremos de esa tapa sean dos puntos de la curva:

B

b h

El área del trapecio es (b + B) ⋅ h / 2, y en nuestro método las letras b son las alturas en dos puntos consecutivos de la división del intervalo.

130

Ejemplo 8) Punto medio Volviendo a la función 1/x en el intervalo [1, 4], en vez de usar las sumas inferiores o superiores, tomaremos ahora el punto medio de cada intervalo y calcularemos la suma de las áreas de los rectángulos.

Los puntos medio de los subintervalos [1, 2], [2, 3] y [3, 4] son 1.5, 2.5 y 3.5, respectivamente.

Los rectángulos de los cuales queremos su área son:

Obtenemos los números: PUNTO MEDIO 1.5 2.5 3.5 SUMA =

ALTURA = 1/n 0.66666667 0.4 0.28571429 1.35238095

Resultando una excelente aproximación.

(Notar que las esquinas de los rectángulos se salen de la curva, pero se parecen a los huecos que nos faltan para completar el área bajo la curva).

Resumiendo, el método del punto medio consiste en obtener las sumas: n −1

f (co )( x1 − xo ) + f (c1 )( x2 − x1 ) + ... + f (cn−1 )( xn − xn−1 ) = ∑ f (ci )( xi +1 − xi ) i =o

donde ci =

xi + xi+1 , el punto medio del intervalo [ xi , xi+1], 0 ≤ i < n.

2

131

Ejemplo 9) Regla del trapecio Los valores anteriores y sobre todo las gráficas de las funciones nos indican que para obtener una buena aproximación del área buscada, necesitamos muchos más rectángulos deteniendo o acotando nuestras curvas, o tal vez algún otro método. La gráfica de la función raíz cuadrada puede sugerir el uso de otros objetos geométricos en vez de los rectángulos. En este caso, ¿qué tal si usamos trapecios?

Percibimos que ya en el segundo intervalo es difícil distinguir entre la función y la recta, entonces, al menos en los 4 últimos intervalos, la aproximación obtenida por los trapecios, parece excelente.

El área de la superficie de un trapecio es

(b + B ) ⋅ h 2

donde b y B son las bases (alturas en este caso)

y h es la distancia entre las dos paralelas, 1 en este ejemplo. Así que la suma de las áreas de los trapecios es: ALTURA MENOR MAYOR 0 1 1 1.41 1.41 1.73 1.73 2 2 2.24

DISTANCIA 1 1 1 1 1 SUMA=

En el tema 3.4 veremos que el área bajo la curva es relativo es menor al 3 %).

132

ÁREA 0.5 1.21 1.57 1.87 2.12 7.26

2 32 5 que, aproximadamente es 7.4535 (el error 3

Ejemplo 10) Sea f(x) = 1/x definida en el intervalo (0, 1]. No podemos encontrar las sumas superiores ni los trapecios porque la función no está definida en 0, sin embargo si es posible encontrar las sumas inferiores así como el punto medio.

y = 1 / x en [0, 1] Dividimos el intervalo en 10 partes. A continuación, ayudados con una hoja de cálculo, encontramos las sumas inferiores así como el área proporcionada por el punto medio: xi 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

1 / xi

Inferior

10 5 3.33333333 2.5 2 1.66666667 1.42857143 1.25 1.11111111 1 Suma =

1 0.5 0.33333333 0.25 0.2 0.16666667 0.14285714 0.125 0.11111111 0.1 2.92896825

P. Medio 0.05 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55 0.65 0.75 0.85 0.95

1 / xi 20 6.66666667 4 2.85714286 2.22222222 1.81818182 1.53846154 1.33333333 1.17647059 1.05263158

Área 2 0.66666667 0.4 0.28571429 0.22222222 0.18181818 0.15384615 0.13333333 0.11764706 0.10526316 4.26651106

Las sumas inferiores proporcionan 2.928, mientras que el método del punto medio aporta con 4.266, aproximadamente. Una diferencia notable para un área tan pequeña, al menos aparentemente.

En una próxima sección demostraremos que tal el área es infinita.

133

Ejercicios

Llena los espacios de la siguiente tabla, donde la columna n indica la cantidad de subintervalos que debe tener el intervalo. Hay que usar los métodos vistos en la sección, o sea sumas inferiores, superiores, punto medio y trapecios– dibuja la función y completa la tabla.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

Función x 3 x+3 sen x x2 ex ln x 1/x

Intervalo [0, 5] [0, 5] [0, 5] [0, π] [0 ,1] [0 ,1] [1 ,e] [0.2 ,1]

n 5 5 5 5 5 5 5 4

Inferiores

Superiores

P.Medio

Trapecios

Considera la siguiente suma: n −1

f (co )( x1 − xo ) + f (c1 )( x2 − x1 ) + ... + f (cn−1 )( xn − xn−1 ) = ∑ f (ci )( xi +1 − xi )

(*)

i =o

Se trata de llenar los espacios siguientes: 9) El método del punto medio corresponde al caso ci = _____ 10) Si f toma el valor mínimo en cada subintervalo, entonces (*) corresponde a las sumas ___ 11) Si f toma ci como el valor __ ,

entonces la suma corresponde a las sumas Superiores

Glosario

En este glosario hi es el tamaño del subintervalo [xi , xi+1] y los puntos { xi } representan una partición del intervalo [a, b]. Ver abajo definición de partición. n −1

Método del punto medio: Se obtiene con la suma:

∑ f (c ) h i

i =0

i

donde ci es el punto medio del

intervalo [ xi , xi+1], 0 ≤ i ≤ n Partición de un intervalo [a, b]: es una división de [a, b] en subintervalos del tipo a = xo ≤ x1 ≤ x2 ≤ …≤ xn = b n −1

Suma inferior (o interior): suma del estilo

∑ f (x )h sonde i

i =0

subintervalo [ xi , xi+1] 134

i

ci es el mínimo de la función en el

n −1

[ Si f es una función creciente en [a, b] entonces ci = xi y las sumas inferiores son

∑ f (x )h . i

i =0

i

n

Análogamente, si la función es decreciente, la suma es

∑ f (x )h ] i =1

i

i

n −1

Suma superior (o exterior): Suma del estilo

∑ f (x )h sonde i =0

i

i

ci es el máximo de la función en el

subintervalo [ xi , xi+1]. n

[ Si f es una función creciente en [a, b], entonces las sumas superiores son

∑ f (x )h , y si la función i =1

i

i

n −1

es decreciente, la suma es

∑ f (x )h i =0

i

i

]

Ligas externas (Abril 2009) La pantalla siguiente muestra el ejemplo desarrollado al inicio de esta sección: La función es x2 +1, el intervalo es [a, b] = [0, 3] y el intervalo se divide en n = 6 partes, cada una de tamaño 0.5. Escogimos las sumas superiores, es decir, la altura se obtiene evaluando en el extremo derecho del intervalo. El programa dibuja la función y evalúa los datos que introduzcamos. Nota la variedad de alturas que ofrece, así como el número n de intervalos deseados. http://www.cidse.itcr.ac.cr:8080/webMathematica/NewScript/riemann.jsp

Ejemplos de sumas de Riemann: http://matematicas.uis.edu.co/calculo2/sumas.pdf 135

Sobre la integral de Riemann: http://www.dma.fi.upm.es/docencia/primerciclo/calculo/tutoriales/integracion/teoria_integral.ht m Ejercicios resueltos sobre sumas inferiores y superiores: http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/area/practica3/practica3.htm

Ilustraciones

Signo de suma: http://www.escueladelabrujula.com.ar/signo_mas.gif (Abril 2009)

136

Matemáticas 5

Objetivo III: La Integral Tema 3.3: Sumas y la integral de Riemann

n −1

∑ f (c )( x i= o

i

i +1

− xi )

Sumas y la integral de Riemann

n −1

lím

n→

Suma de Riemann

Partición de [a,b]

∞

∑ f (c )(x i

i =o

− x i ) = ∫ f ( x) dx b

i +1

a

La integral de Rieman. (Es un límite)

Sobre la función Algunas sumas importantes Ejemplos

Introducción Dada una función continua en algún intervalo, se definirá lo que es la suma de Riemann de la función, así como la integral de Riemann de la función. Se mencionan detalles de las particiones así como el tipo de funciones que se pueden integrar. Si incluyen algunas sumas que aparecen frecuentemente al calcular la suma de Riemann.

Dada una función continua y positiva en un intervalo cerrado, podemos obtener una aproximación al área bajo la curva aproximando la región por medio de rectángulos, ya sea interiores o exteriores.

137

OBJETIVO Define las sumas de Riemann y de la integral de Riemann; así como las propiedades del intervalo y de la partición. El estudiante conocerá algunos aspectos sobre la función integrando, lo mismo que fórmulas de sumas finitas que aparecen frecuentemente cuando se calcula una suma de Riemann

Sumas interiores

Sumas exteriores

En la sección anterior tratamos de ilustrar el hecho que mientras más dividamos el intervalo, mejor es la aproximación al área bajo una curva. Como es imposible dividir un objeto una infinidad de veces, (nos llevaría una infinidad de tiempo) lo mejor que podemos hacer es tomar el límite cuando el número de subintervalos tiende a infinito. Fue lo que hicimos en el ejemplo inicial de la sección anterior y formalizaremos el proceso en esta sección.

Sumas de Riemann y la integral de Riemann Supongamos que f es una función continua definida y no negativa en el intervalo [a, b].

Dividamos al intervalo en n subintervalos: a = xo < x1 < x2 < …< xn = b y sea ci un punto entre xi y xi+1 : xi ≤ ci ≤ xi+1 El producto: f(ci)⋅( xi+1 – xi ) representa el área del rectángulo con base el intervalo [xi, xi+1] y altura f(ci):

138

a la siguiente suma se le llama la Suma de Riemann, en honor del matemático alemán del mismo apellido (1826-1866; ver Ligas Externas): n −1

f (co )( x1 − xo ) + f (c1 )( x2 − x1 ) + ... + f (cn−1 )( xn − xn−1 ) = ∑ f (ci )( xi +1 − xi ) i =o

Los números ci son arbitrarios y no tiene por que ser mínimo o máximo de la función ni el punto medio del intervalo. n −1

∑ f (c )(x i

i =o

i +1

− xi )

Si existe el límite cuando n tiende a infinito existe, entonces el número obtenido es la Integral de Riemann de la función f(x) y se denota por una S alargada: n −1

lím

n→ ∞

∑ f (c )(x i=o

i

i +1

− xi ) =

∫

b

a

f ( x ) dx

Es decir, la integral es un límite y sabemos que si un límite existe, entonces es único.

Notas Sobre la partición del intervalo [a, b] 1) Es conveniente tomar n > 1, ya que si n = 1 entonces a = xo < x1 = b y la partición no es muy interesante; de hecho a tal partición se le llama trivial.

2) La partición es una división de tipo a = xo ≤ x1 ≤ x2 ≤ …≤ xn = b, sin embargo no tiene caso que haya igualdad, es decir, puede ser que el término xi sea igual al xi+1, por supuesto en la práctica descartamos repeticiones.

3) En la definición de Integral de Riemann, la distancia entre puntos consecutivos de la partición no necesariamente tiene que ser la misma. Sin embargo, en la práctica es conveniente tomar la misma distancia para poder factorizar y simplificar así las operaciones.

Si deseamos dividir al intervalo [a, b] en n pedazos del mismo tamaño, basta tomar

h=

b−a , y de esta manera la partición queda formada por: n xi = a +

b−a i = a + hi n

donde i va de 0 a n 4) La distancia entre puntos consecutivos xi y xi+1, antes se denotaba por delta equis subíndice i:

∆xi = xi+1 − xi y se le llamaba el incremento en x.

Sobre la función 5) No es necesario que f(x) sea mayor que 0. Puede ser negativa en algunos o todos los subintervalos, como la función coseno en [0, π], por ejemplo. Si tal es el caso, la integral podría ser negativa sin embargo no se consideran áreas negativas. Para remediar esta situación, en caso

139

que la función sea negativa, es conveniente tomar el valor absoluto de la función y así no habrá áreas negativas. Ver ejemplo 2, abajo 6) En la definición de las sumas inferiores los puntos ci deben ser el mínimo de la función en cada intervalo; si los ci son el punto medio, entonces obtenemos el método del punto medio. En la definición de la integral de Riemann no se le pide nada a los puntos ci, es decir, son totalmente arbitrarios.

7) Hay funciones que no son integrables en vista que no existe el límite mencionado en la integral de Riemann, no existe. Sin embargo, si la función es continua y el intervalo es cerrado (o sea, la función está definida en los extremos a y b), entonces la integral sí existe.

Algunas sumas importantes Para practicar aplicando el método sugerido por Riemann, es conveniente tener a la mano algunas sumas útiles para estos menesteres: n

∑1 = n

a)

i =1

Es decir, si no hay subíndice i en los términos que se suman, indica que la suma es 1 + 1 + … + 1, n

n veces el número 1:

∑ 1 = 1 + 1 + 1 + ... + 1 = n i =1

n

b)

∑i = i =1

n(n + 1) La suma de los primeros n dígitos. En Matemáticas 4, (sección 5_4) estudiamos 2

esta suma y platicamos de cómo fue que K.F. Gauss la descubrió cuando era apenas un niño.

Las sumas de los primeros n cuadrados y de los primeros n cubos también son conocidas: n

c)

∑i

2

=

i =1

n

d)

∑ i3 = i =1

n(n + 1)(2n + 1) 6

n 2 (n + 1) 2 4

Nota. Si empezamos a sumar desde el contador i = 0, las tres últimas sumas se conservan ya que estaríamos sumando el número 0 y eso no afecta al total, sin embargo, la primera suma n

ya no es n.

¿Cuánto es

∑1

?

i =0

Ejemplos 1) ¿Cuál es la integral de Riemann de la función y = x en el intervalo [1, 4]?

A simple vista notamos que la gráfica es un trapecio, como la función es positiva, entonces la integral es sólo el área bajo la recta. De cualquier manera, como ejercicio, vamos a practicar:

140

Dividimos el intervalo [1, 4] en n partes iguales; cada intervalo medirá

h=

b − a 4 −1 3 = = n n n

La partición del intervalo está dada por xi = a +

b−a 3 i = a + hi = 1 + i n n

Tomaremos el extremo derecho de cada subintervalo para calcular las áreas de los rectángulos, es decir, usaremos las sumas superiores, como ejemplo:

141

Cada rectángulo tiene área base por altura, o sea que es igual a

h⋅f(x i)

3 3 3  3 9 f(xi ) =  1 + i  = + 2 i n n n  n n Entonces la suma del las áreas de los rectángulos es n 3 3 3  n 3 9  f(x ) = 1 + i  =∑  + i   ∑ ∑ i n  i =1  n n 2  i =1 n i =1 n  n

simplificando y factorizando:

9 n 3 9  n 3 n 9 3 n  + 2 i  = ∑ +∑ 2 = ∑ 1 + 2 ∑ i ∑ n  i =1 n i =1 n n i=1 n i =1 i =1  n n

y aplicando las fórmulas a y b de las sumas obtenemos:

3 n 9 1+ 2 ∑ n i =1 n

n

3

9 n(n + 1) 9 n+1 =3+ 2 2 2 n

∑i = n n + n i =1

Esta es la fórmula para encontrar las sumas superiores si deseamos dividir en n subintervalos. Por ejemplo, si n = 100, la suma es 3 + 909/200 = 3 + 4.545 = 7.545 Si n = 10,000 la suma es 3 + 90,009/20,000 = 3 + 4.50045 = 7.50045 Antes de tomar el límite, una simplificación más:

3+

9 n+1 9 = 3 + 1 + 2 n 2

1 9 9 15 9 = + =3+ + n 2 2n 2 2n

Ahora si, tomando el límite, el último sumando tiende a 0 quedando como resultado 15/2 = 7.5. Que ya sabíamos: (base mayor + base menor) x altura sobre 2:

(1 + 4) ⋅ 3 = 15 2

2

4

es decir,

∫ xdx = 1

15 2

Ejemplo 2) Sea S la región bajo la gráfica de g(x) = 3 – x sobre el intervalo [-1, 2]. Calcular el área de S como el límite de una suma.

La gráfica de la región es la siguiente:

142

Los pasos a seguir son: a) Partición del intervalo: Dividimos [-1, 2] en n subintervalos, todos del mismo tamaño h = b) Identificamos el término i de la partición: xi = −1 + hi = −1 +

b−a 2+1 3 = = ; n n n

3i n

c) Evaluamos la función en el término i: La función g calculada en xi proporciona:

3i  3i  g(xi ) = 3 − xi = 3 −  − 1 +  = 4 − n n  d) Encontramos el área del rectángulo i: Base por altura:

h ⋅ g ( xi ) =

3 3  12 9 − i 4 − i = n n  n n2

e) Sumar las áreas de los rectángulos. No importa si obtenemos las sumas exteriores o las interiores.

Por simplicidad, tomaremos los extremos derechos de los subintervalos, es decir, calculamos las sumas interiores: n

 12

∑  n i =1

−

9  12 n 9 i = 1− 2 ∑ 2  n  n i =1 n

n

∑i i =1

Simplificando y recordando la suma de los primeros n enteros obtenemos:

12 9 n(n + 1) 9 n+1 9 9 1 15 9 n− 2 = 12 − = 12 − − = − n n 2 2 n 2 2 n 2 2n f) Tomar el límite. Es fácil ver que si n tiende a infinito, el límite es 15/2, o sea 7.5.

143

2

Conclusión: El área es 7.5. Escrito de otra manera es:

∫ (3 − x )dx = 7.5

−1

Ejemplo 3)

¿Cuál es la integral de Riemann de la función y = x3 en el intervalo [-2, 0]?

dividimos el intervalo [-2, 0] en n partes iguales, cada una de tamaño

h=

b − a 0 − ( −2 ) 2 = = n n n

El término i de la partición es xi = a + hi = −2 +

2 i n

El área de un rectángulo, base por altura es 3

h ⋅ f ( xi ) = h ⋅ xi = 3

1  2 2  16  − 2 + i = − 1 + i n n  n  n 

16  1  Así que la suma de Riemann es ∑ − 1+ i n  n 

3

3

Omitimos los índices en la suma para que no estorben. De cualquier manera usaremos las fórmulas para las sumas mencionadas anteriormente. Después de simplificarla tomaremos el límite cuando n tiende a infinito.

Antes de sumar, desarrollamos un término: 3

16  1  16  3 3 2 1 3 16 48 48 16 + 2 i − 3 i 2 + 4 i3 − 1 + i = − 1+ i − 2 i + 3 i  = − n  n  n  n n n n n n n  144

Y sólo basta sumar, para obtener cuatro sumas:

−∑

16 48 48 16 + ∑ 2 i −∑ 3 i 2 + ∑ 4 i 3 n n n n

Desarrollando calladamente cada suma por separado:

−∑

16 16 16 = − ∑1 = − n = −16 n n n

48 48 n(n + 1) n+1 24 i= 2 = 24 = 24 + 2 ∑ n n 2 n n 2 48 48 48 n(n + 1)(2n + 1) 2n + 3n + 1 24 8 − ∑ 3 i2 = − 3 ∑ i2 = − 3 = −8 = −16 − − 2 n n n 6 n n n2 48

∑n

16 16 ∑ n4 i3 = n4

2

i=

∑ i3 =

16 n 2(n + 1)2 (n + 1)2 1 8 4  = 4 = 4 1 +  = 4 + + 2 4 2 n 4 n n n n  2

Sumando y agrupando los cuatro renglones anteriores:

− 16 + 24 +

24 24 8 8 4 24 − 24 + 8 − 8 + 4 8 4 − 16 − − 2 + 4 + + 2 = −32 + 28 + + = −4 + − 2 2 n n n n n n n n n

Es decir, si dividimos el intervalo [-2, 0] en n partes, entonces la suma de Riemann es igual a

−4+

8 4 − n n2

Por curiosidad, damos algunos valores a n: n= 2 10 50 100 1000 Suma = –1 –3.24 –3.8416 –3.9204 –3.992004 Mientras más grande es n, más cerca de –4 estamos. De hecho, si tomamos el límite cuando n tiende a infinito, el único sobreviviente es el entero – 4:

8 4  lím  − 4 + − 2  = −4 n→∞ n n   0

dicho de otra manera,

∫ x dx = −4 3

−2

Ejercicios

Encuentra el área de la región acotada por el eje X, el intervalo y la función correspondiente, escribiendo el límite de las sumas de Riemann. Graficar.

1) 2)

Función x 3

Intervalo [0, 5] [0, 5] 145

Área

3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

x+3 3x x2 2 x3 4 – x2 (4 – x)2 1 – x3 (1 – x)3

[0, 5] [0, 5] [0, 5] [0, 1] [– 2, 2] [2, 6] [– 1, 1] [0, 1]

Glosario

Suma de Riemann: Suma de la forma siguiente: n −1

f (co )( x1 − xo ) + f (c1 )( x2 − x1 ) + ... + f (cn−1 )( xn − xn−1 ) = ∑ f (ci )( xi +1 − xi ) , i =o

donde los puntos xo ≤ x1 ≤ x2 ≤ …≤ xn forman una partición del intervalo y los puntos ci viven en el intervalo [xi , xi+1], y son arbitrarios Integral de Riemann: Límite de una suma de Riemann: n −1

lím

n→ ∞

∑ i=o

f (ci )( xi +1 − xi ) =

∫

b

a

f ( x ) dx

Ligas externas (Abril 2009) Sobre la integral de Riemann: http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_Riemann Conceptos teóricos sobre la integral Riemann: http://www.dma.fi.upm.es/docencia/primerciclo/calculo/tutoriales/integracion/teoria_integral.ht m#lema_riemann Ejemplos resueltos de sumas de Riemann: http://matematicas.uis.edu.co/calculo2/sumas.pdf La vida de Riemann: http://es.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemann Programa que efectúa sumas de Riemann (aparece también en la sección anterior): http://www.cidse.itcr.ac.cr:8080/webMathematica/NewScript/riemann.jsp Ilustraciones

Sumas de Riemann en la página inicial: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2c/Integral_Riemann_sum.png 146

Matemáticas 5

Objetivo III: La Integral Tema 3.4: Teorema fundamental del cálculo

Teorema fundamental del Cálculo: Si F ’ = f

entonces

b

∫ f ( x ) dx = F (b ) − F ( a ) a

* No importa la primitiva F

a

∫ f ( x)dx = 0

* La integral definida es un número

a

* La indefinida es una función

b

c

b

b

a

∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx

∫ f (x)dx = −∫ f (x)dx

a

a

c

a

b

Introducción En las Matemáticas hay varios Teoremas Fundamentales: De la aritmética: Cualquier entero positivo se puede escribir de manera única como producto de factores primos.

Del álgebra: Cualquier polinomio de grado mayor que 0, tiene al menos una raíz.

Es decir, P ( x ) = a n x n + a n −1 x n −1 + a n − 2 x n − 2 + ... + a 2 x 2 + a1 x + ao se

puede escribir como: P ( x) = ( x − z 0 )Q ( x ) . En este caso z0 es la raíz: P(z0) = 0.

El cálculo también tiene su teorema fundamental y es el que estudiaremos en esta sección.

OBJETIVO Conocer el teorema fundamental del cálculo; las propiedades de la integral definida y desarrollar algunos ejemplos.

El estudiante analizará la función ERROR para saber que tan buenas fueron nuestras aproximaciones numéricas de las secciones anteriores.

Hace un par de secciones empezamos calculando el área bajo la curva y = x2 + 1 en el intervalo [0, 3]. Para eso, dividimos el intervalo en varios subintervalos, construimos y calculamos las áreas de 147

pequeños rectángulos hasta que por fin tomamos el límite cuando el número de pedacitos tiende a ∞.

Denotaremos a tal área por

∫ (x 3

2

0

)

+ 1 dx

Se lee como “la integral de x2 + 1, desde 0 hasta 3” y se llama integral definida, para distinguirla de la indefinida.

El Teorema Fundamental del Cálculo Dice lo siguiente: Sea f(x) una función continua en el intervalo [a, b] y sea F(x) una primitiva de f.

Entonces

∫ f (x ) dx = F (b ) − F (a ) b

a

Volviendo a nuestro ejemplo, ¿cuánto es Sabemos que una primitiva es

∫ (x 3

2

0

)

+ 1 dx ?

x3 F (x ) = +x 3

Y sustituyendo en la fórmula tenemos:

∫ (x 3

0

2

)

+ 1 dx =

33 03 + 3 − − 0 = 32 + 3 = 9 + 3 = 12 3 3

Aquel 12 que tanto trabajo nos costó obtener, aparece inmediatamente con la fórmula anterior.

Notas a) No importa la función primitiva que escojamos para evaluar la fórmula

x3 + x + 8 como primitiva de x2 + 1 y evaluamos: 3 33 03 x 2 + 1 dx = + 3 + 8 − − 0 − 8 = 32 + 3 + 8 − 8 = 9 + 3 = 12 3 3

Por ejemplo si elegimos F ( x ) =

∫( 3

0

)

Los ochos se cancelan y el resultado es 12, nuevamente.

148

b) La integral indefinida es una función mientras que la integral definida, un número.

En la integral definida hay límites de integración, en la otra no.

La

integral indefinida de x2 + 1 es la función F ( x ) =

x3 + x + C mientras que la definida en el 3

intervalo [0, 3] es el número 12.

c) Aparte de que la integral de f es F, la notación

∫ f (x ) dx = F ( x) | b

a

b a

quiere decir que se evalúa F(b)

y se resta F(a), es decir:

∫ f (x ) dx = F ( x) | b

a

b a

= F (b ) − F (a )

d) La letra x es muy popular en las Matemáticas; se usa como incógnita o como la primera coordenada, o sea la coordenada horizontal en el plano cartesiano, es decir, la abscisa. Tal vez por esta razón es que sea común usarla cuando se habla de integrales.

La verdad no importa que letra se use; pudimos escoger cualquier otra letra o símbolo, siempre que no se preste a confusiones, por ejemplo:

∫ f ( x) dx = ∫ f ( y )dy =∫ f ( z ) dz =∫ f (u ) du = ∫ f (t ) dt =∫ f ( Paco) dPaco Lo que es necesario es consistencia, por ejemplo, si se escribe

∫ f (u)dx , se puede entender que

f(u) es constante, pues no aparece x, así que como es constante, simplemente va para afuera: f (u )dx = f (u ) dx = f (u ) x + C .

∫

∫

Ejemplos 1) En la sección 3.2 calculamos de manera aproximada el área bajo y = 1/x en el intervalo [1, 4] dividiéndolo con la siguiente partición: 1 < 2 < 3 < 4

y = 1/x en [1,4] Los resultados que obtuvimos fueron los siguientes. La suma de los rectángulos: Interiores = 1.0833; Exteriores = 1.8333; Punto medio = 1.352 Aplicamos la fórmula para obtener la respuesta, que con seis decimales de aproximación es: 4

1

∫ x dx = ln x |

4 1

= ln 4 − ln 1 = ln 4 ≈ 1.386294

1

149

¿Qué tan malas fueron nuestras aproximaciones?

En el curso anterior se definió lo que es el error relativo de la siguiente manera

Error

relativo =

error absoluto = realidad

aproximación − realidad realidad

donde “realidad” es la respuesta exacta. Se acostumbra multiplicar por 100 para tenerlo en porcentajes.

Traemos a cuenta esta definición para saber qué tan buenas o qué tan malas fueron nuestras aproximaciones. En el renglón Integrando, aparece el resultado correcto, consideramos sólo cuatro decimales. (La respuesta exacta tiene una infinidad de cifras) Número de subintervalos: 3 Método Aproximación Error relativo S. Inferiores 1.0833 21.85% S. Superiores 1.8333 32.25% Punto medio 1.3523 2.45% Integrando 1.3862 0.0% Con sólo 3 subintervalos la peor aproximación la obtuvieron las sumas superiores, después las inferiores y la mejor por mucho fue tomar el punto medio.

Ejemplo 2) Otra aproximación comentada en la sección 3.2 fue la del área bajo la raíz de x entre 0 y 5.

La partición del intervalo que usamos fue 0 < 1< 2 < 3 < 4 < 5 y los resultados obtenidos con dos decimales fueron: Sumas inferiores = 6.14; sumas superiores = 8.38; Regla del Trapecio = 7.26 Veamos qué nos dice la fórmula de la integral: 5

∫ 0

5

x dx = ∫ x1 2 dx = 0

(

)

x3 2 2 3 2 5 2 3 2 2 = x |0| = 5 − 0 = 53 2 ≈ 7.4535 32 3 3 3 150

Analizamos el error relativo. Número de subintervalos: 5

Método Aproximación Error relativo S. Inferiores 6.14 17.62% S. Superiores 8.38 12.43% Regla Trapecio 7.26 2.60% Integrando 7.4535 0.0% Ahora la peor aproximación fue la de las sumas inferiores, mientras que la mejor fue la proporcionada por regla del trapecio.

∫ (− 1 − x )dx ?

2

Ejemplo 3) ¿Cuánto es

2

−1

Una primitiva es – x – x3 /3 así que evaluamos:

x ∫ (− 1 − x )dx = − x − 3 2

3

2

−1

|−21 = −2 −

8  − 1  − 14  4  18 − +1− −   = − = −6 = 3  3  3 3 3

En lo que queremos insistir es que una integral bien puede ser negativa; basta ver la gráfica de la función:

Ejemplo 4) ¿Cuál es el área acotada por la función –1 – x2 y el intervalo [–1, 2]?

De la gráfica anterior vemos que el área acotada por la gráfica y el eje X es +6.

Como la función es negativa en el intervalo, basta integrar el valor absoluto de la función, pero el valor absoluto de la función es 1 + x2

∫ (1 + x )dx = 6 2

Y es fácil comprobar el siguiente resultado:

2

−1

151

Propiedades de la integral definida a

∫ f(x)dx = 0

A)

a

Esta propiedad se puede pensar como: los puntos no dan sombra.

No hay sombra debajo del punto (a, f(a)) b

a

a

b

∫ h( x)dx = −∫ h( x)dx

B)

Si se integra de izquierda a derecha se obtiene el mismo valor que menos la integral de derecha a izquierda C)

b

c

b

a

a

c

∫ g ( x)dx = ∫ g ( x)dx + ∫ g ( x)dx

La identidad se aprecia mejor cuando a < c < b y g es positiva:

152

La igualdad siempre es válida sin importar el orden de a, b, c.

Ejemplo 5) En la sección anterior, después de un largo proceso sumando las áreas de los 2

rectángulos obtuvimos:

∫ (3 − x )dx = 7.5

−1

Usando el teorema fundamental y la propiedad de que la integral de la suma es la suma de las integrales, tenemos 2

2

2

−1

−1

∫ (3 − x )dx = ∫ 3dx − ∫ xdx

−1

2

La primera integral es

2

∫ 3dx = 3 ∫ dx = 3x |

−1

2

∫ xdx =

Y la segunda:

−1

x2 2

2 −1

= 3(2 − (−1)) = 3(3) = 9

−1

2 −1

=

1 (4 − 1) = 3 2 2

Restando la segunda integral de la primera confirmamos el resultado: 2

2

2

−1

−1

−1

∫ (3 − x )dx = ∫ 3dx − ∫ xdx = 9 − 2 = 3

15 = 7.5 2

Ejercicios

∫ (5 x 1

1)

3

)

− 4 x 2 + 3 x − 2 dx

−1

3)

π ∫ (3senu − 2 cos u ) du 0

∫ (− 2e )dt 0

2)

t

−1

∫ (r 1

4)

−1

153

99

)

− r −99 dr

1

5)

∫ 0

10

x3 4 dx 3 x

6)

3

t dt

0

2u − 3u 2 ∫0 u du 5

7)

∫4 4

8)

1  4r  r −  dr r 

∫ 0

−1

x2 − x − 6 9) ∫ dx x+2 −2 2

10)

3t − 6 dt 2 − 2t −2

∫t

Glosario

Error relativo: Error

relativo =

error absoluto = realidad

aproximación − realidad realidad

⋅ 100

Teorema fundamental del cálculo: Si F es una función primitiva de f entonces:

∫ f (x ) dx = F (b ) − F (a ) b

a

Ligas externas (Abril 2009) Sobre la integral definida: http://www.itpuebla.edu.mx/Alumnos/Cursos_Tutoriales/Carlos_Garcia_Franchini/Calculo/Teor %EDa/TeoriaCI4100.htm Sobre el Teorema Fundamental del Cálculo: http://docentes.uacj.mx/sterraza/matematicas_en_movimiento/teorfund/teor_area.html

Ilustraciones

Diagrama del Teorema de Monge, página inicial: http://www.geom.uiuc.edu/%7Ebanchoff/mongepappus/MP1.GIF

154

Matemáticas 5

Objetivo III: La integral Tema 3.5: Fórmulas y técnicas de integración

Fórmulas de integrales

Métodos de integración

OBJETIVO El estudiante conocerá lista de las integrales mas frecuentes así como un par de métodos para integrar: sustitución y por partes

Sustitución Por partes

Introducción En esta sección aparece una tabla de las integrales más comunes y dos métodos para facilitar la integración: Sustitución y por partes.

Integrales trigonométricas y algunas más

∫ sen x dx = −cos x + C ∫ tan x dx = −ln cosx + C ∫ sec x dx = ln | secx + tanx | + C ∫ sec xdx = tan x + C ∫ tanx secx dx = secx + C 2

∫

1 1 − x2

dx = arcsecx + C

2

1

∫ 1+ x

2

x ∫ a dx =

x x ∫ e dx = e + C

 x n +1 n + 1 + C  n ∫ x dx =   lnx + C  

∫ cos x dx = senx + C ∫ cot x dx = ln senx + C ∫ csc x dx = −ln cscx + cotx + C ∫ csc x dx = −cot x + C ∫ cotx cscx dx = −csc x + C dx = arctan x + C

ax +C lna

si n ≠ −1 si n = −1

∫

155

x dx =

xx 2

+C

para a > 0

Basta derivar el lado derecho de cada igualdad y comprobar que es una primitiva del integrando; por ejemplo sec 2 xdx = tan x + C Derivando tanx :

∫

(tan x)’ = (sen x / cos x)’ = (cos x sen’x – senx cos’x ) / cos2 x = (cos2 x + sen2 x) / cos2x = 1 / cos2x = (1 / cosx) 2 = sec2x Técnicas de integración La integral de seno es menos coseno, pero, ¿cuánto es

∫ sen3x dx ?

El siguiente método se llama Sustitución, y para este caso se hace un reemplazo, un cambio de variable: u = 3x Derivando con respecto a x obtenemos du = 3 dx y podemos despejar dx dividiendo entre 3: dx = du / 3 Sustituimos en la integral:

du 1 = senu du 3 3∫

∫ sen3x dx = ∫ senu Ahora sí, conocemos la integral:

1 1 senu du = − cosu + C ∫ 3 3 1 Le regresamos su valor a u = 3x y obtenemos − cos3x + C como resultado: 3 1

∫ sen3x dx = − 3 cos3x + C Método de sustitución Si queremos encontrar

∫ f (g ( x) )g ( x)dx '

entonces, basta sustituir u = g(x), y al derivar se alcanza

du = g’(x) dx, obteniendo:

∫ f (g ( x) )g ( x)dx = ∫ f (u )du '

Ejemplos 1)

∫ 4x

3

x 4 + 55 dx

Notamos que la sustitución u = x4 + 55 es lo apropiado. Ya que: du = 4x3 dx

156

Así que basta sustituir:

∫ 4x

x 4 + 55 dx = ∫ u du

3

Escribimos como exponente y le regresamos su valor a u:

∫u

12

(

2 2 du = u 3 2 = x 4 + 55 3 3

)

32

Concluimos, sin olvidar la constante:

∫ 4x Ejemplo 2)

3

x 4 + 55 dx =

32 2 4 ( x + 55 ) + C 3

senx

∫ cosx dx

La sustitución u = cosx proporciona du = – senx dx, y logramos

senx

∫ cosx dx = ∫

− du = −ln|u| + C = −ln |cosx| + C u

Nota. Haciendo u = senx entonces du = cosx dx pero la sustitución nos lleva a

senx u dx = dx cosx du dx que no nos sirve, ya que deseamos a du en el numerador Ejemplo 3)

∫ secxdx

La solución de está integral es interesante ya que su desarrollo involucra una serie de operaciones algebraicas, fracciones parciales y logaritmos.

secx =

(d ) 1 ( a ) cosx ( b ) cosx ( c ) cosx cosx  1 1  = = = = +   2 2 cosx cos x 1 − sen x (1 + senx )(1 − senx ) 2  1 + senx 1 − senx 

(a) Se multiplica numerador y denominador por cosx (b) sen2x + cos2x = 1, despejando cos2x en el denominador (c) Diferencia de cuadrados (d) fracciones parciales:

1 1 1 1  =  +  (1 + senx )(1 − senx ) 2  1 + senx 1 − senx  y por lo tanto:

cos x 1  cos x cos x  =  +  (1 + senx )(1 − senx ) 2  1 + senx 1 − senx 

157

Juntando la información anterior e integrando: (f) 1  cosx cosx 1 1 + senx  ( e) 1 ( ) sec x dx = dx + dx = ln|1 + senx| − ln|1 − senx| = ln   ∫ ∫ ∫ 2  1 + senx 1 − senx  2 2 1 − senx

(g)

=

1 (1 + senx ) ( h ) 1 (1 + senx ) ( i ) 1 1 + senx ( j ) 1 + senx ( k ) 1 senx ln = ln = ln = ln = ln + = ln|secx + tanx | 2 2 2 1 − sen x 2 2 cosx cosx cosx cosx cos x 2

2

2

(e) Sustituciones u = 1 + sen x y u = 1 – sen x (f) Propiedad del logaritmo (g) Multiplicando por el conjugado del denominador: 1 + senx (h) Identidad sen2x + cos2x = 1 (i) Cociente de cuadrados = cuadrado del cociente (j) Propiedad de logaritmo: el coeficiente sube como exponente y se cancela 2 / 2 = 1 (k) Cociente de una suma: se separan los términos Conclusión:

∫ secxdx = ln secx + tanx + C Nota: Para integrar la secante, algunos autores sugieren cierta sustitución nada natural o convincente: u = secx + tanx

Ejemplo 4)

∫ xcos(x )dx 2

Hacemos u = x2 para obtener du = 2x dx. Dividiendo entre 2: x dx = du / 2 Sustituyendo:

du 1 ∫ xcos(x )dx = ∫ cos(u) 2 = 2 ∫ cosu du 2

Integramos:

1 1 cosu du = senu ∫ 2 2 Escribimos la última expresión en términos de x y agregamos la constante de integración:

1 ∫ xcos(x )dx = 2 sen(x ) + C 2

Ejemplo 5)

∫

2

2 − 3 x dx

No hay mucho de donde escoger, así que ensayamos con u = 2 – 3x du = – 3 dx, o sea dx = – du / 3. Sustituyendo:

1 12  − du  2 − 3x dx = ∫ u 1 2   = − ∫ u du 3  3  1 2 32 2 =− u + C = − u3 2 + C 33 9

∫

Integrando:

Escribimos el resultado en términos de x: 158

∫

2 − 3x dx = −

2 (2 − 3x )3 2 + C 9

Integración por partes Supongamos que tenemos la siguiente integral:

∫ d (uv )

Es decir, se trata de integrar la derivada de un producto. Por el teorema fundamental, esta integral es simplemente la función: d (uv ) = uv , omitimos la constante por un momento. Si derivamos el

∫

integrando, obtenemos que d(u⋅v) = u⋅dv + v⋅du, así que la integral inicial se separa en dos integrales y obtenemos las siguientes igualdades:

uv = ∫ d (uv ) = ∫ (udv + vdu ) = ∫ udv + ∫ vdu

∫ udv = uv − ∫ vdu

Despejando, concluimos que:

A este resultado se le conoce como Integración por partes.

Ejemplo 6)

∫ x cosx dx

La idea es escoger apropiadamente u y dv.

En este caso lo más conveniente es: u = x;

dv = cosx dx

Entonces, derivando la primera igualdad e integrando la segunda llegamos a du = dx;

v = senx

aplicamos la fórmula:

∫ x cosx dx = uv − ∫ vdu = x senx − ∫ senx dx Aparece otra integral, pero más simple, la integral de seno es menos coseno, así que sustituimos y concluimos:

∫ x cosx dx = uv − ∫ vdu = x senx − ∫ senx dx = xsenx + cosx + C Ejemplo 7)

∫ e senx dx x

En este ejemplo no importa qué se tome como u y que como dv.

Usaremos la u como la exponencial: u = ex du = ex dx

dv = senx dx v = -cos x

∫ e senx dx = uv − ∫ vdu = e (− cosx ) − ∫ (− cosx )e dx = −e cosx + ∫ e cosxdx x

x

x

Para encontrar la última integral usamos el método nuevamente: u = ex dv = cosx dx 159

x

x

du = e x dx

∫e

x

v = sen x

cos x dx = uv − ∫ vdu = e x senx − ∫ sene x dx = e x senx − ∫ e x senxdx

y notamos que obtenemos la misma integral con la que empezamos, así que conseguimos la siguiente identidad:

∫ e senx dx = −e cosx + ∫ e cosxdx = −e cosx + e senx − ∫ e senx dx x

x

x

x

x

x

Agrupando las integrales, dividiendo entre 2 y simplificando:

1 1 ∫ e senx dx = 2 (− e cosx + e senx ) + C = 2 e (− cosx + senx ) + C x

Ejemplo 8)

x

x

x

∫ lnx dx

Aunque no lo parezca, a esta función se le puede aplicar el método de integración por partes: u = ln x dv = dx.

Entonces du = 1/x dx v=x Así:

u

dv

x2

e-X

2x

- e-x

2

e-x

0

- e-x

1 ∫ lnx dx = uv − ∫ vdu = xlnx − ∫ x x dx = xlnx − ∫ dx Esta última integral es inmediata así que concluimos:

∫ lnx dx = x lnx − x + C Ejemplo 9)

2 −x ∫ x e dx

Al aplicar una vez el método, quedará una integral con xe-x como integrando y habrá que aplicar nuevamente el método. Si es necesario aplicar el método más de una vez, se recomienda usar el siguiente atajo.

La primera columna corresponde a u; aquí se deriva de renglón a renglón, mientras que la segunda, dv, esa se integra. El resultado final será la suma de los productos unidos por las flechas, con una observación: cada producto llevará un signo, más o menos; estos estarán alternados y se empieza con + ; Así,

(

) (

) (

2 −x 2 −x −x −x ∫ x e dx = + − x e − 2xe + − 2e

Simplificando, tenemos

Ejemplo 10)

∫x e

2 −x

u

)

(

)

dx = −e − x x 2 + 2x + 2 + C

∫ x cosx dx

dv

x3

cosx

3x2

senx

6x

- cosx

6

- senx

0

cosx

3

160

Usamos el atajo mencionado en el ejemplo anterior:

Resultando:

∫ x cosx dx = +(x senx ) − (− 3x cosx ) + (− 6x senx ) − (6 cosx ) + C

Simplificando:

∫ x cosx dx = x senx + 3x cosx − 6x senx − 6 cosx + C

Ejemplo 11)

3

3

3

2

3

2

∫ x( x + 2) dx

Como ejemplo de resultados distintos, obtendremos esta integral de tres maneras diferentes (omitimos las constantes, para que no estorben): a) Directamente:

(

)

2 ∫ x(x + 2) dx = ∫ x + 2x dx =

x3 + x2 3

b) Sustitución u = x + 2:

(

)

2 ∫ x(x + 2) dx = ∫ (u − 2)u du = ∫ u − 2u du =

simplificando, se obtiene:

(x + 2 ) − (x + 2 )2 u3 − u2 = 3 3 3

x3 4 + x2 − 3 3

c) Por partes: u = x + 2, dv = x dx. Implica du = dx y v = x2/2. sustituyendo:

∫ x(x + 2) dx = ∫ u dv = uv − ∫ vdu = simplificando, se obtiene:

x 2(x + 2) x2 x 2(x + 2) x 3 − ∫ dx = − 2 2 2 6

x3 + x2 3

Notamos que a y c son idénticas, pero b no es igual. La diferencia es la constante. Si hubiera límites de integración, el –4/3 desaparece, ya que se suma inicialmente, pero luego se resta. Así que aunque las integrales sean aparentemente distintas el resultado es el mismo, salvo las constantes mencionadas.

Ejercicios

Use el método de sustitución para obtener los siguientes ejercicios:

∫ cscxdx Ayuda: siga los pasos de la integración de la secante (ejemplo 3) 2) ∫ 2tsen(t )dt 3) ∫ x( x + 2 ) dx 1)

3

2

1 4) ∫ dx 5x + 3

y4 5) ∫ dy 1 + y5 161

6) Use integración por partes para obtener

∫ e senx dx , x

haciendo u = senx y dv = ex dx, compare su

respuesta con el ejemplo 7 Resuelva los siguientes ejercicios integrando por partes:

∫ ycos(2y + 1) dy 9) ∫ ze dz 11) ∫ y e dy 13) ∫ x( x + 2 ) dx ver #3, arriba 15) ∫ x ln (2 x ) dx

∫ e cost dt 10) ∫ acos(2a ) da 12) ∫ t t − 1 dt 14) ∫ b lnb db

7)

8)

3z

3 3y

3

t

2

Glosario

Método de sustitución:

∫ f (g ( x) )g ( x)dx = ∫ f (u )du , donde u = g(x)

Integración por partes:

∫ udv = uv − ∫ vdu

'

Ligas externas (Abril 2009) Tabla de integrales: http://www.teicontrols.com/notes/Calculus/IntegrationTables.pdf El paquete Mathematica puede usarse para integrar: http://integrals.wolfram.com/index.jsp Muchos ejercicios resueltos por el método de sustitución: http://www.matematicastyt.cl/Calculo_Integral/Integral_Indefinida/Integracion_por_Sustitucion/ pag1.htm Muchos ejercicios resueltos, integración por partes: http://www.matematicastyt.cl/Calculo_Integral/Integral_Indefinida/Integral_Por_Parte/pag1.htm Ilustraciones

Tabla de integrales: http://mpec.sc.mahidol.ac.th/radok/physmath/mat12/fig523.jpg

162

Matemáticas 5 Objetivo III: La integral

Tema 3.6: Aplicaciones de la integral

Aplicaciones de la integral

Área bajo una curva

Área entre curvas

Longitud de una curva

Ejemp los

Introducción Tal vez la aplicación más importante de la integral es la obtención del área debajo de las curvas; empezaremos con un par de ejemplos de este tipo.

Después se verá cómo obtener el área comprendida entre dos curvas y, por último, la longitud de una curva. Área bajo una curva Si f es una función continua, f ≥ 0 en el intervalo [a, b], entonces el área b

bajo la curva f sobre el intervalo, está dado por

OBJETIVO

El estudiante conocerá algunas aplicaciones inmediatas de la integral.

∫ f ( x) dx a

Ejemplo 1) ¿Cuál es el área acotada por la función f(x) = ex sobre el intervalo [-1, 1]?

163

Por ser continua la función y no negativa, el área es la integral: 1

∫e

x

dx = e x |1−1 = e − e −1 ≅ 2.3504 ,

−1

con cuatro decimales de aproximación.

Preguntas frecuentes sobre áreas son: Ejemplo 2) ¿Cual es el área acotada por la función coseno entre 0 y π?

Si descuidadamente integramos coseno en el intervalo [0, π], obtenemos 0: π

∫ cosxdx = senx|

π 0

= sen π − sen 0 = 0 − 0 = 0

0

Si nos piden área, como es el caso, lo que tenemos que integrar es el valor absoluto de la función:

164

π

∫|cos x|dx , por simetría de la figura, es lo mismo que integrar coseno en el intervalo [0, π/2] y el 0

resultado multiplicarlo por dos: π

π 2

0

0

π 2 ∫|cos x|dx = 2 ∫ cos x dx = 2sen x|0 = 2(sen π 2 − sen 0 ) = 2(1 − 0 ) = 2

Área entre dos curvas Dadas dos funciones f(x) ≤ g(x) definidas e integrables en [a, b], el área comprendida entre las b

gráficas de f y g es

∫ (g ( x) − f ( x))dx : a

Ejemplo 3)) ¿Cual es el área comprendida entre la parábola y = 4 – x2 y la recta y = 1 – x/2 para x en el intervalo [0, 2]?

En la figura aparece sombreada la región cuya área deseamos obtener:

165

Una manera de conseguirla es encontrando primero el área bajo la parábola y después restando el área bajo la recta:

 x ∫ (4 − x )dx − ∫ 1 − 2  dx 2

2

2

0

0

Gráficamente:

Desarrollamos cada integral por separado:

 x  ∫ (4 − x )dx =  4x − 3 | 2

3

2

2 0

=8−

8 16 = 3 3

   x x2  2   1 − dx = x −   ∫0  2   4 |0 = 2 − 1 = 1 16 13 La resta de las integrales proporciona el resultado: −1 = 3 3 0

2

166

Nota: Como la resta de integrales es la integral de la resta, podemos escribir como una sola:

∫( 2

)

2

2

x  x   4 − x dx − ∫ 1 −  dx = ∫  3 + − x 2  dx 2 2  0 0

0

2

Integramos:

 x x 2 x3  2 8 13  2  x dx x 3 + − = + −  |0 = 6 + 1 − = 3 ∫0  2   4 3 3 3 2

Obtenemos el mismo resultado.

Ejemplo 4) Encontrar el área de la región acotada por las funciones y = x3, y = x, x en [-1, 0]

En este caso

x ≤ x3 así que el área se obtiene integrando sobre [–1, 0] la función x3 – x:

∫ (x 0

3

)

− x dx

−1

Desarrollando:

∫ (x 0

−1

3

 x4 x2  1 1  −1 1 − x dx =  − |−01 = 0 −  −  = −  = 2  4 2  4  4  4

)

Ejemplo 5) ¿Cuál es el área entre senx y cosx donde x está entre 0 y π?

Nos fijamos en la gráfica de las funciones para distinguir el área pedida:

167

Las curvas se intersectan en x = π/4. En el intervalo [0, π/4] senx ≤ cosx así que el área π4

deseada es:

∫ (cosx − senx ) dx = (senx + cosx )|

π4 0

0

 2 2  − (0 + 1) = 2 − 1 =  + 2   2

168

Análogamente, en el intervalo [π/4, π] tenemos que cosx ≤ integrando senx – cosx : π

∫ (senx − cosx ) dx = (− cosx − senx )|

π π4

π4

senx, así que el área se obtiene

 2 2  = 1+ 2 = (− ( − 1) − 0 ) −  − − 2   2

Sumando las dos áreas encontradas, obtenemos el resultado:

(

) (

)

2 −1 + 1+ 2 = 2 2

Ejemplo 6) Encontrar el área de la región acotada por la parábola x = y2 , el eje Y y las rectas y = 1, y = 2. La región se observa en la gráfica siguiente:

Notamos que la función inferior no es la misma en el intervalo [0, 1] que en [1, 4], así que necesitamos dos integrales: una para cada intervalo.

La primera integral es

1

1

0

0

∫ (2 − 1) dx = ∫ dx = 1

(No era necesario integrar: la región es sólo una caja

cuadrada de lado 1).

∫ (2 − x ) 4

La segunda integral es

12

1

4

2 16   2 8 4 4    dx =  2x − x 3 2  =  8 −  −  2 −  = − = 3 3   3 3 3 3  1 

Sumando los dos resultados obtenemos: 1 + 4 / 3 = 7 / 3 Nota. Si comparamos las funciones x = y2 con y = x2, en los intervalos apropiados, veremos que las regiones son iguales:

169

x = y2

y = x2

Observamos que basta una sola integral para encontrar el área: 2

2 ∫ y dy = 1

y3 2 8 − 1 7 |1 = = 3 3 3

Longitud de una curva Si f es una función integrable en el intervalo [a, b] entonces, la longitud de la gráfica entre los puntos b

(a, f(a)) y (b, f(b)) es

∫

1 + ( f ' (x)) dx 2

a

Como primera aplicación consideramos el siguiente: Ejemplo 7) ¿Cuál es la longitud del segmento y = 2 x3/2 en [0, 1]? La gráfica es

170

La derivada de la función es y’ = 3 x 1/2 Al cuadrado más uno: y’2 + 1 = 9x + 1 (y así ajustar a la forma propuesta para la longitud de una curva) 1

Aplicando la fórmula, hay que integrar

∫

1 + 9x dx

0

Basta hacer el cambio de variable u = 1 + 9x

para obtener,

du = dx 9

Sustituimos y resolvemos: 1

∫

1 + 9x dx =

0

(

)

1 12 1 2 32 2 u du = u = (1 + 9x )3 2|01 = 2 10 3 2 − 1 ≅ 2.2683 ∫ 9 93 27 27

(

)

2

En general, la Integral de 1 + f ' ( x) no es sencilla de obtener. Para conseguir una respuesta satisfactoria, habrá que a) Usar algún paquete computacional b) Buscar en algunas tablas de integración (ver Ligas Externas) c) Aprender más. En cursos avanzados se estudia la integración de manera más profunda de lo que se ve en este curso, Ilustramos la situación (a) con el: Ejemplo 8) Sea f ( x ) =

x2 , deseamos conocer la longitud de la curva para x entre 0 y 1: 2

171

Derivando: f ' ( x ) =

2x =x ; 2 b

∫

1 + f ' ( x) 2 = 1 + x 2 sustituyendo en la fórmula: 1

1 + ( f ' (x)) dx = ∫ 1 + x 2 dx 2

a

0

1

¿Cómo obtenemos

∫

1 + x 2 dx ?

0

La siguiente pantalla muestra que se escogió la función f(x) = (1+x^2)^0.5 donde el símbolo ^ significa

(

“elevar a la potencia que se indica a continuación”, así f(x) = (1+x^2)^0.5 = 1 + x 2 El intervalo seleccionado es [a, b] = [0, 1] Se escogió el punto medio de cada subintervalo para aproximar la respuesta Se dividió [0, 1] en 50 subintervalos.

La respuesta proporcionada es 1.14778.

Ver abajo Ligas Externas (1)

)

12

.

Une ejemplo adaptado para que el integrando sea sencillo es el siguiente.

Ejemplo 9) Calcular la longitud de la gráfica de la función f(x) = La gráfica es: 172

x3 1 + si x está en [1, 3] 12 x

'

 x3 1  x2 1 Derivamos la función: f ' (x) =  +  = − 2 4 x  12 x 

(

Calculamos 1 + ( f '(x))

2

)

 x4 2 1  x4 1 1  x2 1  = 1 +  − + 4  = + + 4 =  + 2   16 4 x  16 2 x  4 x 

(1 + ( f '(x)) ) 2

Obteniendo

2

2

 x2 1  x2 1 =  + 2  = + 4 x2  4 x 

Así, la longitud de la curva, con cuatro decimales correctos, es 3

∫ 1

 x2 1   x 3 1  3  27 1   1  26 2 13 + 4 17 1 + ( f ' (x)) dx = ∫  + 2  dx =  − | =  −  −  − 1 = + = = ≅ 2.8333...

4 x  6 6  12 x  1  12 3   12  12 3 1 3

2

Ejercicios

Encontrar las áreas acotadas por las funciones mencionadas en la siguiente lista.

Las gráficas de las regiones aparecen al final. Desordenadas.

1) Primer cuadrante, arriba de la recta y = x – 1 y debajo de y = 3 2) Región acotada por y = x3 , y = – x, y = 2 3) y = x / (9 – x2), primer cuadrante, sobre [0, 2] 4) y = x3 , [–1, 1] 5) y = – x3, y = –x 6) x4 , 1 – x4, primer cuadrante

173

7) En la columna “Gráfica” escribe la letra que corresponde a cada ejercicio: Ejercicio Gráfica 1 2 3 4 5 6

A

B

C

D

E

F

Encuentre la longitud de las siguientes curvas en el intervalo indicado 8)

f ( x) =

3 (4 − x ) , donde x está en [0, 4] 4

Comprueba el resultado usando la gráfica junto con el Teorema de Pitágoras

9)

(x y=

2

+2 3

)

32

10) 6y = x3 + 3 / x

en [-1, 1] para x en [1, 2]

(Respuesta = 17/12)

174

Glosario

Área bajo una curva: Si f ≥ 0 es continua en el intervalo [a, b], el área bajo la curva sobre el b

intervalo es

∫ f ( x) dx a

Área entre dos curvas: Dadas dos funciones f(x) ≤ g(x), definida en [a, b], el área comprendida entre b

las gráficas de f y g es

∫ (g ( x) − f ( x))dx a

Longitud de la curva f(x): Si el dominio es el intervalo [a, b], la longitud de f entre los extremos (a, b

f(a)) y (b, f(b)) es

∫

1 + ( f ' (x)) dx 2

a

Ligas externas (Abril 2009) Integración numérica: (Mencionada en 3.2): http://www.cidse.itcr.ac.cr:8080/webMathematica/NewScript/riemann.jsp Integrales impropias, con Mathematica: http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=%281%2Bx%5E2%29&random=false Área entre curvas: teoría y ejercicios: http://docentes.uacj.mx/sterraza/matematicas_en_movimiento/areas/area_dos.html

175

Matemáticas 5

Objetivo IV: Historia del cálculo

Tema 4.1: Los iniciadores: De Tales a Arquímedes

Tales de Mileto Zenón Pitágoras Hipaso Antifonte

Leucipo Dem ócrito

Eudoxo

Euclides

Arquím edes

Introducción: Calculus La palabra cálculo proviene del latín calculus y significa piedra pequeña, como las usadas en los antiguos ábacos empleados por diversos pueblos siglos antes de Cristo, sin embargo, el cálculo al que nos referimos es la rama de las Matemáticas que incluye los conceptos de límite, derivada e integral.

Ábaco con cálculos

176

OBJETIVO El estudiante conocerá un breve panorama de la historia del cálculo:y en particular de los primeros forjadores

¿Cómo empezó el cálculo?

La historia se pierde en el transcurso del tiempo, pero dos situaciones que bien pudieron ser ciertas son las siguientes: Dido y la fundación de Cartago

Dadme el terreno que pueda encerrar con la piel de un toro

Fue lo que pidió Elisa, la ex reina de la ciudad fenicia de Tiro al llegar a la costa norte de África, hoy Túnez. A los lugareños no les pareció gran cosa y aceptaron despreocupadamente.

La sagaz Dido, que significa vagabunda o errante, era el apodo de Elisa, recortó la piel de un toro y creando una tira muy larga y delgada, encerró una gran porción de terreno, empezando por todo un cerro y aún más, y dice la leyenda que se adueñó de casi toda una península donde fundó y reinó lo que fue la poderosa ciudad de Cartago, en 814 a.C. La anécdota data varios siglos antes de Cristo, pero es bastante probable que a muchas personas se les ocurriera estimar, calcular o preguntar ¿cuanto terreno ocupó Dido con la delgada piel de toro?

El círculo muestra la circunferencia que hizo Dido con la piel del toro

Cartago y las rutas comerciales fenicias en el Mediterráneo

Sinhué, el egipcio El año 30, mes tercero de la inundación, día 7, el escriba Amhed dijo a Sinhué, el egipcio: Tendrás que pagarle al Faraón Sesostris, rey del alto y bajo Egipto, la cantidad de 30 sacos de trigo más 7 cocodrilos adultos, vivos, como impuesto, relacionado con el tamaño de tus terrenos cultivables Sinuhé, previendo la situación, había hecho los cálculos suficientes para demostrarle al desconfiado burócrata que la superficie de su terreno era la mitad del tamaño que el año pasado, todo esto debido a la más reciente crecida del Nilo, su terreno cultivable original, se redujo en 50%.

177

Pirámides de Giza

Cocodrilo en el Nilo

Pueden ser ciertas las leyendas de Sinhué y de Elisa, no lo sabemos pero lo que si es que en lo que resta del curso destacaremos a los personajes más importantes en la historia del cálculo, desde antes de Cristo hasta nuestros días.

El cálculo antes de Cristo Históricamente primero fue el cálculo integral y después el diferencial. El integral surgió como un conjunto de sumas para encontrar el área de la superficie de ciertas figuras geométricas, mientras que el cálculo diferencial floreció al buscar pendientes de rectas tangentes en preguntas relacionadas con máximos y mínimos.

El papiro de Moscú es un escrito egipcio del año 1850 a.C. y contiene 25 problemas que ya eran viejos cuando se escribió el documento. En este ejemplo, se encuentra exitosamente el volumen de la sección de una pirámide truncada:

lo que quiere decir que mucho antes de Cristo ya se habían empleado técnicas para encontrar exactamente áreas y volúmenes de distintos cuerpos geométricos.

Tales de Mileto (630-550), el primero y más famoso de los siete sabios griegos visitó Egipto en su juventud durante el reinado del faraón Amasis, y se dice que tuvo como discípulo a Pitágoras. Se le

178

atribuye haber realizado medición de las pirámides mediante las sombras que proyectan. Predijo un eclipse solar, tal vez con ayuda de la astronomía aprendida en Babilonia.

El famoso teorema de Pitágoras (Samos, 582 – 507), no es de él, pero lleva su nombre: La suma de los cuadrados de los catetos, ¿a qué es igual? (*) El resultado era viejo en el tiempo de Pitágoras; sin embargo, a los pitagóricos conocían algunas demostraciones y una de ellas es de Hipaso (Matemáticas 4, 1.2). Aquel impertinente personaje que se aventuró en divulgar la existencia de números que no son racionales.

Aunque no sobrevivió ningún escrito, Pitágoras es presentado como el primer matemático puro. La sociedad o cofradía que dirigió seguía un código de conducta que nos sería muy extraño en nuestros días. (*) Espero que sepan la respuesta sin leerla: Es igual al cuadrado de la hipotenusa.

El griego Eudoxo (o Eudoxio, Siglo IV o V a.C.) empleó el llamado método de exhausión (de exhausto = agotado, falto de algo) en donde implícitamente usa el concepto de límite para calcular áreas y volúmenes; dicho método fue continuado por Arquímedes (287-212). En el curso Matemáticas 4 (5.3) se menciona el procedimiento empleado para concluir que el área (π) del círculo de radio 1 está acotada entre los siguientes números:

3+

10 1 <π < 3+ 71 7

que son, con seis decimales, iguales a: 3.140845 < π ∼ 3.141592 < 3.142857 A grandes rasgos, el método de exhausión para encontrar el área del círculo se puede ejemplificar con el siguiente modelo: 1) Conocemos el área de un triángulo.

2) Mientras más triángulos tomemos, mejor es la aproximación del área del círculo: seis en la figura:

3) El proceso continúa usando tantos triángulos como se desee, encontrando el límite cuando el número de triángulos crece sin límite.

179

Zenón de Elea (450 a.C.) fue de los primeros en introducir problemas que llevaron a considerar magnitudes muy pequeñas. Por ejemplo apuntaba: La inexistencia del movimiento Antes de que un objeto pueda llegar a su destino, tendrá que arribar a la mitad del recorrido; pero antes de llegar a esta mitad, debe alcanzar la mitad de ésta, es decir, a la cuarta parte; pero antes, aún debe recorrer la mitad de esta distancia, y así, eternamente, hasta el infinito. Como el tiempo es finito, el movimiento no existe.

Cuando Diógenes Laercio se enteró de este argumento, salió de su barril y lentamente caminó dándole una vuelta completa, demostrando que el movimiento se hace al andar.

Leucipo, de Mileto (440 a.C.) junto con Demócrito son considerados como los fundadores de la escuela atomista que enseña que las magnitudes están compuestas por pequeñas cantidades de elementos indivisibles.

Antifonte (Atenas, 440 a.C.) afirmaba la posibilidad de la cuadratura del círculo: Dado un círculo, construir un cuadrado que tenga la misma área que el círculo:

Se basaba en los siguientes dos hechos: a) Dado cualquier polígono, siempre se puede construir un cuadrado con la misma área b) Un círculo es el límite de polígonos y la conclusión de Antifonte, obviamente, era que el círculo resulta cuadrable.

Su argumento para el inciso (b) es, nuevamente un ejemplo de lo que es la exhausión:

180

1) Inscribir un cuadrado dentro del círculo 1

2

2) Bisectar cada lado del cuadrado y por tales puntos trazar rectas perpendiculares a los lados hasta que intersecten con el círculo 3) Unir cada nuevo punto del círculo con los dos extremos adyacentes del cuadrado

3

4

4) Obtener así un octágono

Si realizamos el proceso nuevamente, bisectando cada lado del octágono y pasando rectas por los puntos medios hasta que toquen con la circunferencia y uniendo los puntos nuevos con los vértices adyacentes, obtenemos un polígono de 16 lados. Si continuamos con esta técnica, se agotarán los espacios y se obtendrá un polígono que coincide con la circunferencia del círculo. Su argumento fue muy criticado diciendo que es imposible dividir un objeto ilimitadamente.

Euclides (Alejandría, 325-265 a.C.) sintetizó en sus libros los resultados de Eudoxo y los escribió formalmente como proposiciones, que sus predecesores sólo habían descrito descuidadamente.

Biografía de Pitágoras

Pitágoras nace en el 570 a. C. proveniente del Asia menor (Isla de Samos). Al ser desterrado por Polícrates de Samos se trasladó a Crotona, en el sur de Italia. Se le atribuyen varios viajes a oriente, entre otros a Persia, donde conoció al mago Zaratás, es decir, Zoroastro o Zaratustra. De los egipcios heredó la Geometría y el arte de adivinación; de los fenicios aprendió la aritmética y el cálculo; y de los caldeos la investigación de los astros. Además obtuvo una formación y disciplina de los sacerdotes egipcios. Dentro de la comunidad que él fundó (pitagóricos), todas las investigaciones realizadas allí eran atribuidas a Pitágoras.

181

Del Pitagorismo al Neopitagorismo Los pitagóricos se establecieron en una serie de ciudades de la Italia continental y de Sicilia, y luego pasaron también a la Grecia propia. Formaron una liga o secta, y se sometían a una gran cantidad de extrañas normas y prohibiciones; no comían carne ni habas, no podían usar vestido de lana, ni recoger lo que se había caído, tampoco atizar el fuego con un hierro, etc. Resulta difícil comprender el sentido de estas normas, si es que tenían alguno. Algunos comentaristas tardíos como San Hipólito del siglo III, se refieren a esta secta con adeptos que se distinguían entre novicios e iniciados. Los primeros solo podían escuchar y callar (exotéricos y acústicos) mientras que los segundos (esotéricos o matemáticos) hablaban y expresaban sus pensamientos acerca de las cuestiones científicas de las que se ocupaba la escuela.

La liga pitagórica tenía una tendencia contraria a la aristocracia; pero acabó por formar una e intervenir en política. Como consecuencia de esto, se produjo una violenta reacción democrática en Crotona, y los pitagóricos fueron perseguidos, muchos de ellos muertos y sus casas incendiadas. El fundador logró salvarse, y murió, según se dice, poco después. Más tarde alcanzaron los pitagóricos un nuevo florecimiento, llamado el neopitagorismo, llevado a cabo por nuevas mentes que se basaban en conocimientos pitagóricos para aplicaciones modernas.

Doctrina Interesa más el sentido de la liga pitagórica como tal, la cual constituía propiamente una escuela (en griego escuela significa ocio). Esta escuela está definida por un modo de vivir de sus miembros, gentes emigradas, expatriadas; forasteros, en suma. Según el ejemplo de los juegos olímpicos, hablaban los pitagóricos de tres modos de vida: el de los que van a comprar y vender, el de los que corren en el estadio y el de los espectadores que se limitan a ver. Así viven los pitagóricos, forasteros curiosos de la Magna Grecia, como espectadores. Es lo que se llama el bios teoretiós, la vida teorética o contemplativa. La dificultad para esta vida es el cuerpo, con sus necesidades, que sujetan al hombre. Es menester liberarse de esas necesidades. El cuerpo es una tumba (soma sema), dicen los pitagóricos. Hay que superarlo, pero sin perderlo. Para esto es necesario un estado previo del alma, que es el entusiasmo, es decir, endiosamiento. Aquí aparece la conexión con los órficos y sus ritos, fundados en la manía (locura) y en la orgía. La escuela pitagórica utiliza estos ritos y los transforma. Así se llega a una vida suficiente, teorética, no ligada a las necesidades del cuerpo, un modo de vivir divino. El hombre que llega a esto es el sabio, el sophós (parece que la palabra filosofía o amor a la sabiduría, más modesta que sofía, surgió por primera vez de los círculos pitagóricos). El perfecto sophós es al mismo tiempo el perfecto ciudadano; por esto el pitagorismo crea una aristocracia y acaba por intervenir en política. Los pitagóricos seguían una dieta vegetariana a la que llamaban por aquel entonces dieta pitagórica.

Números y figuras geométricas Una visión en conjunto de las contribuciones Matemáticas que se atribuyen a los pitagóricos produce un marcado contraste, siendo las contribuciones más importantes del grupo del tipo geométricas mientras que las contribuciones aritméticas son pobres y escasas. Este hecho resulta un tanto paradójico si se tiene en cuenta la concepción pitagórica de la omnipotencia del número, esencia de todas las cosas.

Esta aparente contradicción se explica como consecuencia del desciframiento de las tablillas cuneiformes de este siglo. Según el matemático y astrónomo Otto Neugebauer (1899 -1990) “lo que se llama pitagórico en la tradición griega debería probablemente ser llamado babilonio”, pues los pitagóricos habrían aprehendido sus conocimientos matemáticos en la aritmética y en el álgebra de los babilonios. Más tarde, imprimieron estos conocimientos en su propio estilo con un carácter

182

específicamente griego, anteponiendo al carácter operativo e instrumental de los babilonios el rigor lógico y la demostración matemática.

Pentagrama: Los pitagóricos usaron este símbolo como un signo secreto para reconocerse unos a otros.

Representa el número cinco, la vida, el poder y la invulnerabilidad

Los pitagóricos hacen el descubrimiento de un tipo de entes, los números y las figuras geométricas que no son corporales, pero que tienen realidad y presentan resistencia al pensamiento; esto hace pensar que no puede identificarse sin más el ser con el ser corporal, lo cual obliga a una decisiva ampliación de la noción del ente. Pero los pitagóricos, arrastrados por su propio descubrimiento, hacen una nueva identificación, esta vez de signo inverso: el ser va a coincidir para ellos con el ser de los objetos matemáticos. Los números y las figuras son la esencia de las cosas; los entes son por imitación de los objetos de la Matemática; en algunos textos afirman que los números son las cosas mismas. La Matemática pitagórica no es una técnica operatoria, sino antes que ello el descubrimiento y construcción de nuevos entes, que son inmutables y eternos, a diferencia de las cosas variables y perecederas. De ahí el misterio de que se rodeaban los hallazgos de la escuela, por ejemplo el descubrimiento de los poliedros regulares. Una tradición refiere que Hipaso de Metaponto fue ahogado durante una travesía o bien naufragó, castigado por los dioses por haber revelado el secreto de la construcción del dodecaedro:

Por otra parte, la aritmética y la geometría está en estrecha relación: El 1 es el punto, el 2 la línea, el 3 la superficie, el 4 el sólido; el número 10, suma de los cuatro primeros, es la famosa tetraktys, el número capital. Se habla geométricamente de números cuadrados y oblongos, planos, cúbicos, etc.

183

Hay números místicos, dotados de propiedades especiales. Los pitagóricos establecen una serie de oposiciones, con las que las cualidades guardan una extraña relación: lo ilimitado y lo limitado, lo par y lo impar, lo múltiple y lo uno, etc. El simbolismo de estas ideas resulta problemático y de difícil comprensión.

La escuela pitagórica creó también una teoría matemática de la música. La relación entre las longitudes de las cuerdas y las notas correspondientes fueron aprovechadas para un estudio cuantitativo de lo musical; como las distancias de los planetas corresponden aproximadamente a los intervalos musicales, sé pensó que cada astro da una nota, y todas juntas componen la llamada armonía de las esferas o música celestial, que no oímos por ser constante y sin variaciones.

Inmortalidad del alma Para los pitagóricos la muerte era una necesidad que convenía al devenir (naturaleza) de la vida universal, o como un incomodo bien ante las situaciones de extrema postración humana.

Ante la pregunta, qué es lo que permanece y en donde, en Grecia y en Roma se concebía la muerte como el paso a una segunda existencia, y por tanto no como una extinción definitiva, sino como un cambio de estado que acontece a algo oculto e invencible. Vale resaltar que en Grecia había por así decirlo una religión olímpica y una en donde se creía que después de la muerte había otra vida en donde se encontraba la recompensa al sufrimiento de este mundo. Esta ideología era propia de la gente más pobre y campesina.

Los pitagóricos tenían una concepción de unidad de cuerpo y alma, en donde el alma después de la muerte se separaba del cuerpo, esa separación era la misma muerte. Después de la muerte del individuo el alma, que es una especie de sombra fantasmagórica, peregrinaba a través de todo, con el fin de reencarnar sucesivamente en otros cuerpos. Este es el fundamento de la palingenesia, denominada también metempsicosis o trasmigración del alma. Por esta razón los pitagóricos no rechazaban ningún estilo de vida, puesto que el alma podía transitar por cualquiera de ella.

El alma era considerada la antítesis del cuerpo (negación), era el lado de la perfección humana, lo bueno, lo puro, lo racional, y el cuerpo era todo lo que simbolizaba lo malo o lo corruptible.

El Número como principio de todas las cosas Como dice Aristóteles los pitagóricos se dedicaron a las Matemáticas, fueron los primeros que hicieron progresar este estudio y, habiéndose formado en él pensaron que sus principios eran los de todas las cosas.

"Nutridos de ella (la matemática), creyeron que su principio fuera el de todas las cosas. Ya que los números por su naturaleza son los primeros que se presentan en ella, les pareció observar en los números semejanzas con los seres y con los fenómenos, mucho más que en el fuego, o en la tierra o en el agua y como también veían en los números las determinaciones y las proporciones de las armonías y como, por otra parte, les parecía que toda la naturaleza estaba por lo demás hecha a imagen de los números, y que los números son los primeros en la naturaleza, supusieron que los elementos de los números fuesen los elementos de todos los seres y que el universo entero fuese armonía y número. Y todas las concordancias que podían demostrar en los números y en las armonías con las condiciones y partes del universo y con su ordenación total, las recogieron y coordinaron."

Aristóteles Tenían el entusiasmo propio de los primeros estudiosos de una ciencia en pleno progreso, y les cultivó la importancia del número en el cosmos: todas las cosas son numerables, y muchas las 184

podemos expresar numéricamente. Así la relación entre dos cosas relacionadas se puede expresar por una proporción numérica; el orden existente en una cantidad de sujetos ordenados se puede expresar mediante números, y así sucesivamente. Pero lo que parece que les impresionó más que nada fue el descubrir que los intervalos musicales que hay entre las notas de la lira pueden expresarse numéricamente. Cabe decir que la altura de un sonido depende del número, en cuanto que depende de las longitudes de las cuerdas, y es posible representar los intervalos de la escala con razones numéricas. A partir de esto surge la idea de cantidad, lo cuantitativo como principio y esencia de la realidad, es decir, que lo cualitativo se determina en lo cuantitativo.

Pues bien, lo mismo que la armonía musical depende de un número, se puede pensar que la armonía del universo depende también del número. Los cosmólogos milesios hablan de un conflicto universal de los elementos contrapuestos, y los pitagóricos, gracias a sus investigaciones en el campo de la música, tal vez pensasen solucionar el “conflicto” recurriendo al concepto de número. Según Aristóteles, “como vieron que los atributos y las relaciones de las escalas musicales se podían expresar con números, desde entonces todas las demás cosas les parecieron modeladas en toda su naturaleza según los números, y juzgaron que los números eran lo primero en el conjunto de la naturaleza y que el cielo entero era una escala musical y un número”. Mas lo que uno cree entender de los pitagóricos es que quisieron decir que el carácter verdadero no lo determinaba la apariencia sensible sino que lo establece un componente cuantitativo aritmo–geométrico que esta referido tanto al número (cantidad discreta) como a la magnitud (cantidad continua); o sea, que tal ingrediente matemático afecta la cualidad de las cosas.

Este lenguaje matemático no era usado solo para explicar el mundo, también era usado en las entidades excluidas, las que tenían que ver con las esferas subjetivas, el hombre, la justicia, el arte, la medicina y hasta las estaciones, pues todo esto requería de números, proporción y medida. El lenguaje de la realidad es entonces para los pitagóricos, un logos matemático (razón, armonía y medida).

Anaximandro había hecho derivar todo de lo ilimitado o indeterminado. Pitágoras combinó esta noción con la de límite, que da forma a lo ilimitado. Ejemplo de todo ello es la música (y también la salud, en la que el límite es la templanza, cuyo resultado es una sana armonía). La proporción y la armonía de los sones musicales son expresables aritméticamente. Transfiriendo estas observaciones al mundo en general, los pitagóricos hablaron de la armonía cósmica. Y, no contentos con recalcar la importancia de los números en el universo, fueron más lejos y declararon que las cosas son números.

Evidentemente, tal doctrina no es de fácil comprensión. Se hace duro decir que todas las cosas son números. ¿Qué entendían por ello los pitagóricos? En primer lugar, ¿qué entendían por números o qué es lo que pensaban acerca de los números? Aristóteles nos informa que “los pitagóricos sostenían que los elementos del número son lo par y lo impar, y que, de estos elementos, el primero es ilimitado y el segundo limitado; la unidad, el uno, procede de ambos (pues es a la vez par e impar), y el número procede del uno; y el cielo todo, es números”. Los pitagóricos consideraron los números espacialmente. La unidad es el punto, el dos es la línea, el tres la superficie, el cuatro el volumen.

Decir que todas las cosas son números significaría que “todos los cuerpos constan de puntos o unidades en el espacio, los cuales, cuando se los toma en conjunto, constituyen un número”.

La Tetraktys: el número diez La tetraktys, figura que tenían por sagrada, indica que los pitagóricos consideraban así los números.

Esta figura demuestra que el 10 resulta de sumar 1+2+3+4, o sea, que es la suma de los cuatro primero números enteros. Por ella hacían el juramento transmitido como pitagórico, hecho en nombre de Pitágoras mismo, pero sin nombrarlo, “por quien transmitió a nuestra alma la tetraktys”. La

185

tetraktys es el número perfecto y la clave de la doctrina. Es posible que jugase también un papel en los distintos grados de la metamorfosis del alma.

El diez tiene el sentido de la totalidad, de final, de retorno a la unidad finalizando el ciclo de los nueve primeros números. Para los pitagóricos es la santa tetraktys, el más sagrado de todos los números por simbolizar a la creación universal, fuente y raíz de la eterna naturaleza; y si todo deriva de ella, todo vuelve a ella. Es pues una imagen de la totalidad en movimiento.

La tetraktys forma un triángulo de 10 puntos colocados en cuatro líneas, de la forma siguiente:

Tetraktys: figura triangular consistente en diez puntos colocados en cuatro líneas: uno, dos, tres y cuatro puntos en cada fila.

Símbolo místico que representa el número diez.

La Santa Tetraktys pitagórica 1. La Unidad: Lo Divino, origen de todas las cosas. El ser in manifestado.

2. La Díada: Desdoblamiento del punto, origen de la pareja masculino-femenino. Dualismo interno de todos los seres.

3. La Tríada: Los tres niveles del mundo: celeste, terrestre, infernal, y todas las trinidades.

4. El Cuaternario: los cuatro elementos, tierra, aire, fuego y agua, y con ellos la multiplicidad del universo material.

El anterior conjunto (1, 2, 3,4) conjunto constituye la Década, la totalidad de Universo: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 = 1 + 0 = 1.

Todo es número: el número como explicación de la realidad Además los pitagóricos, concebían los números con un carácter pedagógico, pues como ellos no hay otros que tengan mayor capacidad explicativa. El número tenía un sentido genérico y decisivo en la construcción del cosmos. El comienzo es lo Uno (monas), es indeterminada y de naturaleza divina, semejante al apeiron de Anaximandro. De lo uno limitado (denominado así porque no es aún una dualidad numérica o completa, pues lo uno no es el uno cuantitativo, sino un género supremo), surge la díada indefinida (aoristos duas). Pues de la unión de estos dos surge el uno y el dos numérico, es decir, de lo uno el uno y de lo uno y de la díada indefinida el dos. Por extensión surgen los demás números.

186

Lo uno debemos entenderlo como identidad en tanto la propiedad que tienen las cosas de ser ellas mismas, la díada debemos entenderla como las diferencias pues es en este pensamiento el que liga la identidad con la diferencia, que asume la unidad y la dualidad como los elementos de lo verdadero.

Eurito solía representar los números con piedrecillas, y por este procedimiento, obtenemos los números “cuadrados” y los números “triangulares”.

•

En efecto, si partiendo de la unidad vamos añadiendo sucesivamente los números impares conforme al “gnomon”, obtenemos los números cuadrados: 1 = 12, 1 + 3 = 22 1 + 3 + 5 = 32 1 + 3 + 5 + 7 = 42

•

etcétera

Los números triangulares se obtienen sumando los primeros ene enteros:

Esta costumbre de representar los números o relacionarlos con la geometría ayuda a comprender por qué los pitagóricos consideraban las cosas como números y no sólo como numerables: transferían sus concepciones matemáticas al orden de la realidad material. Por la yuxtaposición de puntos se engendra la línea, la superficie es engendrada por la yuxtaposición de varias líneas y el cuerpo por la combinación de superficies. Puntos, líneas y superficies son las unidades reales que componen todos los cuerpos de la naturaleza, y en este sentido todos los cuerpos deben ser considerados como números. Cada cuerpo material es una expresión del número cuatro, puesto que resulta como un cuarto término de tres clases de elementos constitutivos (puntos, líneas y superficies).

187

Noción de límite y armonía Para los pitagóricos, el cosmos limitado o mundo, está rodeado por el inmenso o ilimitado cosmos (el aire), y aquél lo “inhala”. Los objetos del cosmos limitado, no son, pues pura limitación, sino que tienen mezcla de lo ilimitado. Los pitagóricos al considerar geométricamente los números, los concebían también como productos de lo limitado y lo ilimitado (por estar compuestos de lo par y lo impar). Identificándose el par con lo ilimitado y lo impar con lo limitado. Una explicación complementaria puede verse en el hecho de que los gnómones impares conservan su forma cuadrada fija (limitada), mientras que los pares presentan una forma rectangular siempre cambiante (ilimitada).

Para los Pitagóricos, no sólo la tierra era esférica, sino que no ocupaba el centro del universo. La tierra y los planetas giraban a la vez que el sol en torno al fuego central o “corazón del Cosmos” (identificado con el número uno).

Para ellos la esencia de las cosas era la Armonía de los contrarios lo cual constituía el limite que determina el ser preciso de las cosas en tanto que todo ser lo es dentro de determinados acontecimientos figuradores. La forma, progresión, armonía corporal no son caprichosos sino que son reglas que se ajustan a determinadas medidas proporcionales (armonía), pues el límite es control ante los desmanes, la cordura frente a las pretensiones desmedidas. Así, de esta manera, el límite constituía el equilibrio y la armonía, la fuerza que unía los contrarios.

Crisis del racionalismo numérico El pensamiento pitagórico se levanta sobre una estructura matemático–racional. Lo que no sabían es que desde el mismo ámbito matemático provendría un descubrimiento que pondría en crisis aquellos fundamentos, pues se trataba del descubrimiento de lo irracional, de la raíz cuadrada de dos. Los pitagóricos supieron que el número podía medirlo todo, entendiendo por medir lo que para ellos es expresable en su naturaleza mediante un número entero o razones entre números enteros. Pues esta convicción no era aplicable a la relación entre los lados de un cuadrado y la diagonal, pues los pitagóricos encontraron que en el caso del lado y la diagonal del cuadrado no existe ningún patrón que los mida exactamente a ambos.

Este hallazgo de los pitagóricos tiene una gran incidencia negativa en la escuela, ya que cuestionaba los cimientos de su racionalismo numérico en el cual tenían afianzado su convencimiento de la gran coherencia interior y la solidez de su doctrina, pues encontraron que la relación entre el lado y la diagonal de un cuadrado no se podía someter a la perfección que era el Número, lo cual causó grandes desequilibrios entre los pitagóricos.

188

Biografía de Arquímedes

Muerte de Arquímedes

Nació en 287 A.C. en Siracusa, Sicilia, donde también murió. Considerado como el científico y matemático más importante de la Edad Antigua, y uno de los más grandes de toda la historia. Su padre Fidias fue astrónomo e influyó de forma notable en su educación. En aquella época, Alejandría estaba considerada como el centro de investigación y estudio más importante del mundo conocido.

Arquímedes viajó hasta esta ciudad y estudió con los discípulos de Euclides, lo cual representó una influencia importante en su forma de entender las Matemáticas. El resto de su vida la pasó en Siracusa, dedicado por completo a sus trabajos e investigaciones, con una dedicación y una intensidad tal que... "... se olvidaba de comer y descuidaba su persona, hasta tal punto que, cuando en ocasiones era obligado por la fuerza a bañarse y perfumarse, solía trazar figuras geométricas en las cenizas del fuego y diagramas en los ungüentos de su cuerpo, y estaba embargado por una total preocupación y, en un muy cierto sentido, por una posesión divina de amor y deleite por la ciencia." (Plutarco) Algunos de sus descubrimientos son el tornillo sin fin (después llamado Tornillo de Arquímedes) utilizado para elevar agua, la polea compuesta, el torno, la rueda dentada, el principio de la hidrostática y la ley de la palanca.

189

Durante el asedio de los romanos a la ciudad de Siracusa, construyó máquinas de guerra basadas en palancas, catapultas y un sistema de espejos con el que incendió las naves romanas. "...pero cuando Arquímedes comenzó a maniobrar con sus máquinas, inmediatamente lanzó contra las fuerzas terrestres toda clase de armas arrojadizas y unas masas inmensas de piedras que caían con un ruido y violencia terribles; contra las cuales ninguno pudo resistir, ya que abatían a cuantos les caían a montones, rompiendo toda formación."

(Plutarco)

Aunque todo lo anterior hubiese sido suficiente para hacer de Arquímedes un personaje famoso, sus logros más importantes los consigue en el terreno de las Matemáticas. Fue ésta la ciencia que más le interesó y donde consiguió alcanzar las más altas cumbres. Algunos dicen incluso que su interés por sus descubrimientos más prácticos radica en los principios matemáticos que los mantienen. Él mismo se consideró siempre como un geómetra. Sus trabajos representaron un gran avance, no sólo por los resultados conseguidos, sino por los métodos utilizados, el rigor de sus demostraciones y la solidez de su estructura lógica. Fue precursor de algunos de los descubrimientos de la Matemática moderna, como por ejemplo, el uso que hizo del método de exhausión de Eudoxo para calcular áreas y volúmenes, que desembocó casi 2000 años más tarde en el cálculo integral.

190

"Sus descubrimientos fueron numerosos y admirables; pero se cuenta que le pidió a sus amigos y parientes que, cuando muriera, colocaran sobre su tumba una esfera dentro de un cilindro, inscribiéndola en la proporción del sólido continente respecto al contenido; esto es, la razón 3:2" (Plutarco, Vidas Paralelas)

Mencionamos a continuación, algunas de sus obras más importantes: 1) Sobre el equilibrio de los planos Donde estudia los centros de gravedad de figuras planas y condiciones de equilibrio de la palanca.

2) Sobre la cuadratura de la parábola Demuestra que: "Una sección de parábola excede en un tercio al área del triángulo de igual base que la sección y cuyo vértice es el de la parábola". Dicho de otra forma, la superficie de la sección de parábola es igual a cuatro tercios de la superficie del triángulo inscrito. A partir de este resultado la cuadratura es obvia.

3) El Método (Sobre el método relativo a los teoremas mecánicos) Donde da a conocer las bases en las que se apoyan sus descubrimientos, como son la teoría de las razones y de las proporciones entre magnitudes geométricas y sobre todo el método de exhausión de Eudoxo.

4) Sobre la esfera y el cilindro El resultado principal es que dados un cilindro y una esfera inscrita en él, el volumen de la esfera es dos tercios del volumen del cilindro. Consigue por lo tanto una forma de obtener el volumen de la esfera a partir del volumen del cilindro.

5) Sobre espirales Un estudio bastante complicado y original donde obtiene diversos resultados sobre las espirales. Se cree que el objetivo que se perseguía era resolver alguno de los grandes problemas de la época, como la cuadratura del círculo o la trisección de un ángulo.

6) Sobre los conoides y esferoides Estudio sobre las figuras geométricas que se obtienen al hacer girar las cónicas.

191

7) Sobre los cuerpos flotantes Estudio sobre hidrostática. Se cree que descubrió el principio de la hidrostática cuando estaba bañándose y pensando en el problema que le había propuesto el rey Herón de Siracusa. Éste había encargado una corona de oro a un artesano y sospechaba que habían sustituido parte del oro por plata. Sumergiendo la corona en agua pudo determinar su volumen (el del agua desalojada) y conocido también su peso pudo demostrar que el artesano intentaba engañar al rey. Cuando a Arquímedes se le ocurrió la idea salió rápidamente de la bañera exclamando: ¡Eureka! ¡Eureka! (que en griego significa "Lo encontré").

La corona del rey Herón

“Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo”

8) Sobre la medida del circulo Donde encuentra la fórmula para el área de un círculo y en un prodigio de cálculo e ingenio para aquellos tiempos, consigue hacer una buena aproximación del número π inscribiendo y circunscribiendo polígonos de hasta 96 lados en una circunferencia. La acotación que encontró fue: 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7 9) El Arenario En el que distingue claramente lo infinito de lo muy grande (contando los granos de arena que pueden caber en el Universo) y desarrolla un sistema de numeración con el que se pueden representar tales magnitudes. No olvidemos que el sistema de numeración indo-arábigo no era conocido todavía en la cultura occidental.

Sobre la medida del círculo Los geómetras de la época conocían que la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, era siempre un valor constante (al que actualmente llamamos π). En el libro XII de los Elementos de Euclides, aparece la demostración de que la razón entre el área de un círculo y su diámetro al cuadrado, también es una constante. Arquímedes consiguió demostrar que la constante que aparece en este caso también tiene que ver con el (hoy llamado) número π. El primer paso fue demostrar la siguiente: 192

Proposición: El área de un polígono regular es (P por a) / 2, donde P representa el perímetro y a la apotema del polígono.

La demostración que hizo es la que todos conocemos actualmente, mediante descomposición del polígono en triángulos congruentes.

A partir de este resultado preliminar consigue demostrar otro mucho más importante.

Proposición: El área de cualquier círculo es igual a la de un triángulo rectángulo en el cual uno de los catetos es igual al radio y el otro a la circunferencia del círculo.

A = área del círculo, T = área del triángulo, C = longitud de la circunferencia De este resultado se obtiene un importante corolario. Puesto que C = 2πr y A = C⋅r / 2, tenemos que A = 2πr⋅r/2 = π⋅r2. Es decir, tenemos una fórmula para el área del círculo, y ésta implica de nuevo a π.

No es de extrañar por tanto, que Arquímedes intentará en la última de las proposiciones de este libro, el dar un valor de π lo más aproximado posible. Su procedimiento fue muy ingenioso. Comienza inscribiendo y circunscribiendo un hexágono en una circunferencia cualquiera. Es fácil ver que el perímetro del hexágono inscrito es 6⋅r, y el del circunscrito 4√3 r ~ 6.9282 r (usando el teorema de Pitágoras).

Dividiendo ambas expresiones entre 2⋅r (diámetro) obtenemos que π está comprendido entre 3 y 3.4641. Pero no queda ahí la cosa. Utilizando las dos formulas siguientes:

P2 n =

2 ⋅ p n ⋅ Pn p n + Pn

y

p 2n =

193

p n ⋅ P2 n

donde Pn = perímetro del polígono circunscrito de n lados, pn = perímetro del polígono inscrito de n lados, calcula los perímetros de los polígonos correspondientes de 12, 24, 48 y 96 lados, para obtener al final que, 6336 / 2017 < π < 29376 / 9347 aproximadamente, 3.141298 < π < 3.142826 aunque por motivos de comodidad usa los valores más sencillos de 3 + 10/71 y 3 + 1/7. Sorprende el hecho de que trabajara con valores tan precisos. Para la raíz de 3, por ejemplo, determinó que 265/153 < √3 < 1351/780. Todos estos cálculos son un hecho sin precedentes, de gran dificultad y que nos llenan de admiración. "...la determinación del perímetro del dodecágono requería obtener un valor numérico de la raíz cuadrada de 3. Con nuestras modernas calculadoras y computadoras, esto no significa ningún obstáculo, pero en tiempos de Arquímedes, no sólo eran impensables estos artilugios sino que no existía ni siquiera un buen sistema numérico que facilitara estos cálculos." (William Dunham, "Viaje a través de los genios") No sé si desde entonces o quizás desde antes, el cálculo de π ha ocupado a muchos eruditos, científicos y matemáticos. Los algoritmos de cálculo han mejorado con los siglos y la llegada de los ordenadores ha permitido calcular más cifras y con más rapidez.

A pesar de las órdenes del cónsul Marco Claudio Marcelo de respetar la vida del sabio, durante el asalto, un soldado que le encontró abstraído en la resolución de algún problema, quizá creyendo que los brillantes instrumentos que portaba eran de oro, o irritado porque no contestaba a sus preguntas, le atravesó con su espada causándole la muerte. Otros datos dicen que, haciendo operaciones en la playa, unos soldados romanos pisaron sus cálculos, cosa que acabó en discusión y la muerte por espadazo por parte de los romanos. Se dice que sus últimas palabras fueron "no molestes a mis círculos".

Ligas externas

Más ligas a Biografías: ver Ligas externas, en 4.4 Biografía de Arquímedes: • • •

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/HistoriaMatematica/PALIMPSESTO%20DE%20AR QUIMEDES/EL_PALIMPSESTO_DE_ARQU_MEDES.html http://www.uned.es/geo-1-historia-antiguauniversal/ALEJANDRO%20MAGNO/Alejandria_Museo.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Arquimedes

194

Bibliografía de Pitágoras: • • • • • • • • •

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Sobre el papiro de Moscú: http://mx.images.search.yahoo.com/images/view?back=http%3A%2F%2Fmx.images.search.ya hoo.com%2Fsearch%2Fimages%3Fei%3DUTF8%26p%3Dfrustum%2520of%2520square%2520pyramid%26fr2%3Dtab-web%26fr%3Dslv8msgr&w=192&h=208&imgurl=newton.uor.edu%2FFacultyFolder%2FBeery%2Fmath115%2Fm11 5_activ_pyramid_files%2Fimage002.jpg&rurl=http%3A%2F%2Fnewton.uor.edu%2FFacultyFold er%2FBeery%2Fmath115%2Fm115_activ_pyramid.htm&size=4.3kB&name=image002.jpg&p=fru stum+of+square+pyramid&type=JPG&oid=a5c2a29b0f342c14&no=3&tt=3&sigr=128ckiof6&sigi =12gvatvtq&sigb=13j9kk65e

Ilustraciones

Ábaco moderno: http://www.flickr.com/photos/chascoberta/515396127/ Ábaco griego: http://www.mlahanas.de/Greeks/images/RomanAbacus.jpg

195

Mapa del Mediterráneo e imagen de Cartago: http://www.mmdtkw.org/CNAf002PhoeniciansCarthaginians.html Pirámides de Egipto: http://www.cap.nsw.edu.au/bb_site_intro/specialPlaces/special_places_st2/africa/pyramid3.jpg Cocodrilo en el Nilo: http://www.quanjer.nl/africa/images/misc_06.jpg Pirámide truncada : http://newton.uor.edu/FacultyFolder/Beery/math115/m115_activ_pyramid_files/image002.jpg Busto de Pitágoras: http://es.wikipedia.org/wiki/Pitag%C3%B3ricos Busto de Arquímedes: http://juanlogp.files.wordpress.com/2008/06/arquimedes2.jpg Tornillo de Arquímedes: http://weblatam.com/wp/wp-content/uploads/2007/12/arquimedes.jpg Asedio de Siracusa: http://www.cs.drexel.edu/~crorres/bbc_archive/SiegeScan.jpg Números triangulares: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/33/Números_triangulares.png Arquímedes en la tina: http://centros5.pntic.mec.es/ies.de.bullas/dp/matema/conocer/eureka-arquimedes.jpg Punto de apoyo (Arquímedes): http://util.kitzmiller.net/tn_archimedes.jpg Esfera inscrita en un cilindro: http://www.uned.es/geo-1-historia-antigua-universal/ALEJANDRO%20MAGNO/esferacilindro.jpg Polígono inscrito: http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Arqu%C3%ADmedes_(n%C3%BAmero_pi).png

196

Matemáticas 5

Objetivo IV: Historia del cálculo

Tema 4.2: De la edad media al siglo XVII

Oresme

Kepler

Stevin

Wallis

Roberval

Torricelli

Fermat

Descartes

Galileo

Cavalieri

Huygens

Pascal

Barrow

Introducción En esta segunda sección continuamos recordando a los personajes más importantes de la historia del Cálculo, ahora desde la edad media hasta la primera mitad del siglo XVII, aproximadamente.

La Edad Media: Oreseme y Galileo

OBJETIVO El estudiante reconocerá a los principales contribuyentes del cálculo diferencial e integral, desde la Edad Media hasta mediados del siglo XVII

Los únicos vestigios que tenemos sobre los avances del cálculo en la edad media son los relacionados con medidas y con gráficas. La idea de fragmentar una figura plana en pequeños rectángulos, probablemente estuvo presente en la mente de muchos matemáticos tanto en Oriente como en Occidente, pero no se elaboró teoría alguna digna de comentar.

Tal vez el trabajo sobre longitudes y latitudes hecho por Oresme (1323-1382) dio lugar a lo que ahora llamamos gráfica de una función, paso fundamental para el método de encontrar el área comprendida entre una curva y algunas rectas.

El trabajo de Oreseme se conoció en toda Europa y versiones posteriores continuaron emergiendo durante los siguientes dos siglos e indudablemente motivaron a generaciones posteriores.

Uno de los afortunados en conocer el trabajo de Oresme fue Galileo (1564-1642). En su obra Dos Nuevas Ciencias, (1638) empieza Galileo considerando el Teorema de la velocidad promedio con una demostración y un diagrama muy similares a los hechos por Oresme siglos antes y concluyendo con la fórmula que relaciona la distancia recorrida por los objetos en caída libre y el tiempo empleado en viajarla, receta que hoy expresamos con s = 9.8 t2 / 2 donde s es la distancia en metros y t el 2 tiempo en segundos. (9.8 m/seg es la aceleración debida a la gravedad)

197

Menciona la leyenda que soltó objetos distintos desde la torre de Pisa a fin de desacreditar el punto de vista aristotélico de que los objetos más pesados caen más aprisa que los ligeros.

Oresme

Galileo

Torre de Pisa

Precursores del cálculo moderno Valerio, Stevin y Kepler Como sucede en estos casos, no es posible determinar precisamente a quién darle los créditos como los primeros avances notables, pero mencionaremos al matemático Simón Stevin (1548-1620), de origen flamenco, y al italiano Luca Valerio (1552-1610), quienes encontraron volúmenes y centro de gravedad de objetos sólidos. Son algunos de los precursores del cálculo moderno.

Stevin

Kepler

198

Johannes Kepler (1571-1630), con su trabajo sobre el movimiento planetario encontró que los planetas describen sectores iguales en tiempos iguales.

Tiempo de P1 a P2 = Tiempo de P3 a P4, área A1 = área A2 Por supuesto esto exige el conocimiento de una fórmula para encontrar el área de los sectores de la elipse y Kepler inventó un método que llamó “Suma de las proporciones” que es una manera primitiva de integrar. Kepler consideraba que los sólidos estaban formados por conjuntos infinitos de delgados discos y las sumas de éstos tamaños es lo que después se convirtió en la integración.

Cavalieri y Roberval Los intentos de Kepler para encontrar áreas condujeron a que un discípulo de Galileo, Bonaventura Cavalieri (1598 -1647), desarrollara el método de los indivisibles, título que le pudo ser sugerido por el trabajo de Aristóteles llamado “De las líneas imperceptibles”.

Cavalieri consideraba las superficies hechas de líneas y una línea, de puntos, siendo éstos los últimos elementos posibles en la descomposición de las superficies. Procedió después a encontrar las longitudes, áreas y volúmenes sumando estos objetos “indivisibles”.

Este concepto de magnitud no es aceptable por una mente científica pero forma un paso intuitivo en el desarrollo del método de integración y sin duda estimuló a personajes como Leibniz en basar la teoría en una sólida base científica.

Mientras que Cavalieri trabajaba con sus indivisibles, Gilles de Roberval (1602-1675) seguía una línea muy semejante. Consideraba el área entre una curva y una recta compuesta por una infinidad de pequeños rectángulos, la suma de cuyas áreas es la buscada.

1

Aproximó el valor de

∫x

m

dx para cualquier entero m afirmando correctamente, que es

o

199

1 m+1

Cavalieri

Roberval

Pierre de Fermat El francés Pierre de Fermat (1601-1665) llegó a las mismas conclusiones que Roberval basando su enfoque con el tratamiento original de Arquímedes y generalizando el anterior resultado para los casos en que n es negativo o una fracción. También atacó problemas sobre máximos y mínimos encontrando los puntos donde la tangente es paralela al eje X, es decir, donde es horizontal:

Si la tangente en P es horizontal, entonces P es candidato para máximo o mínimo Gracias a este último trabajo, José Luis Lagrange (1736-1813) llamó a Fermat “El primer inventor del nuevo Cálculo”.

El principio básico para encontrar máximos y mínimos es investigar el comportamiento de la recta tangente y esa búsqueda nos lleva a Pappus (año 300). Oresme, sabía que los extremos (máximo y mínimo) ocurren cuando la altura cambia muy poco. Sin embargo, fue Fermat quien mencionó que se buscan aquellos puntos donde la derivada de la función sea 0. Y fue Fermat quien se lo comunicó a Descartes. También trabajaron con las tangentes los científicos Huygens, Torricelli y Pascal, sin olvidar a los ingleses Wallis y Barrow.

Huygens y Torricelli El gran genio Holandés Christiaan Huygens (1629-1695) tuvo una sosegada pero muy productiva vida. Nació en La Haya y estudió en Leyden. Cuando tenía 22 años publicó un artículo señalando errores cometidos por Saint-Vincent en su intento por demostrar la cuadratura del círculo. Con estas notas se dio a conocer y en 1654 él y su hermano idearon maneras de pulir lentes para telescopio y esto implicó que vieran el cielo y surgieran una serie de preguntas relacionadas con los planetas. Su 200

trabajo en astronomía y la necesidad de llevar con exactitud el paso del tiempo, lo condujo a la invención el reloj de péndulo.

Muchas de las demostraciones en el trabajo de Huygens son impecables y con bastante rigor, sin embargo sus herramientas consisten principalmente en las de la geometría griega.

Cristian Huygens

Torricelli

Huygens y Leibniz se conocieron en Paris en 1672. El primero tuvo una gran influencia en Leibniz y es así que contribuyó aunque sea lateralmente, al satisfactorio desarrollo del cálculo.

Evangelista Torricelli (1608-1647), nació en el norte de Italia y fue discípulo durante el último año de vida de Galileo. Uno de sus trabajos más relevantes consistió en descubrir el principio del barómetro, demostrando la presencia de la presión atmosférica. En lo que al cálculo se refiere, estudió las trayectorias parabólicas descritas por los proyectiles y perfeccionó el método de los indivisibles ideado por Cavalieri.

201

Cavalieri asombró a la comunidad matemática con el siguiente ejemplo: Sea f(x) = 1/x en el intervalo [1, 00):

Si se rota la curva alrededor del eje X se obtiene la llamada trompeta del arcángel Gabriel:

Lo curioso de esta trompeta es que: 1) el área de la superficie es infinita 2) el volumen que encierra es finito Podemos llenarla con menos de un galón de pintura y al hacerlo estaríamos pintando su superficie, sin embargo el área de la superficie es infinita. Es la paradoja. Para más información ver Enlaces, abajo.

Blaise Pascal Pascal (1623-1662) fue un gran matemático y tal vez lo que mejor se conoce de él es el llamado triángulo de Pascal, aunque era ya popular en China y en la India siglos antes de Pascal. El triangulo es el siguiente:

202

La mayor utilidad del triángulo es proporcionar los coeficientes de cualquier potencia de la suma de dos términos, por ejemplo, si escogemos el renglón donde aparecen los números 1, 3, 3, 1 sabemos que son precisamente los coeficientes de (a + b)3 :

(a + b )3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3 Pascal continuó el trabajo empezado por Galileo y Torricelli y escribió sobre la curva cicloide así como cálculos sobre el volumen de distintos sólidos.

Una cicloide es el lugar geométrico generado por un punto de una circunferencia al rodar sobre una línea recta. En 1658 Pascal desafió a la comunidad matemática proponiendo determinar la longitud de un arco de la cicloide. Muchos esfuerzos se hicieron para comprender esta curva y sus propiedades y han permitido desarrollar gran cantidad de aplicaciones industriales.

Pascal

Cicloide

203

Wallis y Barrow Los antecesores de Newton en Inglaterra fueron John Wallis (1616-1703) e Isaac Barrow (16301677). Wallis fue uno de los matemáticos más dotados y hábiles que han existido. Escribió una gran cantidad de textos y artículos de todo tipo de temas y se dice que también diseñó un método acerca de cómo enseñar a los sordo-mudos. En 1649 fue nombrado profesor de Geometría en Oxford y mantuvo ese puesto 54 años, hasta su muerte en 1703.

En su trabajo matemático, Wallis introdujo el tema de las sumas infinitas y con esto preparó el camino a su gran sucesor: Isaac Newton. Fue de los primeros en considerar a las curvas cónicas como ecuaciones de segundo grado y no como simple secciones del cono. En 1655 publicó Arithemtica infinitorum que se mantuvo como un texto básico por muchos años. En este libro, Wallis trabajó los métodos de Descartes y de Cavalieri y también comprobó que la fórmula

1

∫x 0

m

dx =

1 m +1

es

correcta no sólo para enteros positivos sino también para enteros negativos (excepto –1) y para números fraccionarios.

Fue el primero en explicar el significado de los exponentes como cero, negativos y quebrados:

x0

x −3

x3 5

Por si fuera poco, introdujo el símbolo de infinito (∞) como lo conocemos actualmente. Intentó calcular el número π/4 y de aquí π, encontrando el área de un cuadrante del círculo de radio uno, x2 + y2 = 1, lo que es equivalente a evaluar

∫ (1 − x ) 1

0

2

12

dx pero no pudo obtenerla exactamente pues desconocía

la fórmula general del binomio.

Si la contribución más importante al Cálculo por parte de Wallis es la integración, la más importante de Barrow se relaciona con la teoría de las derivadas.

John Wallis

Isaac Barrow

204

Barrow nació en Londres y se cuenta que el pequeño Isaac era tan problemático que su padre pedía a dios que si se llevaba a alguno de sus hijos, que fuera a Issac. Barrow estudió en Cambridge y fue brillante por sus conocimientos relacionados con Grecia clásica.

Alcanzó renombre en áreas tan diversas como Matemáticas, Física, Astronomía y Teología y en 1664 fue el primero en ocupar The Lucasian Chair en Cambridge.

The Lucasian Chair no es una silla sino la posición académica más importante del mundo; la traducción correcta es Cátedra Lucasiana y se le otorga al personaje más destacado en las Matemáticas o en las ciencias. El nombre se debe a Henry Lucas quien en su testamento legó terrenos que producían cierta cantidad de dinero y pidió que se creara una cátedra en su nombre.

Isaac Barrow fue el primero en obtener la cátedra y años después, al aceptar un llamado del rey Carlos II, recomendó que le sucediera en el puesto su joven tocayo y discípulo Isaac Newton. Desde 1980 el astrónomo y físico Stephen Hawking es titula de la cátedra siendo el personaje número 17 en ocuparla.

Stephen Hawking

Pasillo en la Universidad de Cambridge

Uno de los últimos trabajos de Barrow se conoce como el triángulo diferencial y es un método donde se obtiene la tangente PT a una curva como la posición límite de las cuerdas cercanas PQ:

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Barrow nunca mencionó el teorema fundamental del cálculo pero trabajaba hacia él y fue Newton quien, continuando con lo hecho por su mentor, lo pudo enunciar explícitamente.

Terminamos la sección con las biografías de Descartes y de Fermat .

Biografía de Descartes

Nació el 31 de marzo de 1596 en la Haye (ahora llamada Descartes), Francia, y murió el 11 de febrero de 1650, en Estocolmo, Suecia.

Fue educado en el colegio jesuita La Flèche de Anjou. Ingresó a los nueve o diez años y permaneció en la institución hasta 1615. Al parecer, por motivos de salud, se le permitía permanecer en la cama hasta las once de la mañana, una costumbre que Descartes mantendría a lo largo de toda su vida.

En La Flèche estudió fundamentalmente a los clásicos, filosofía y lógica en la tradición aristotélica. En cambio, bajo la influencia de Clavius, del Collegio Romano –donde se formaban los jesuitas–, los centros educativos de esta orden prestaron un especial interés por las Matemáticas de la época. Así pues, bajo la atenta mirada del padre Jean François, entró en contacto con los textos matemáticos de la época.

Sin embargo, según expone en la introducción al “Discours de la Méthode”, las enseñanzas que recibió no le satisfacían, exceptuando las de las Matemáticas porque proporcionaban un conocimiento verdadero. La verdad como garantía del conocimiento es uno de los objetos centrales de Descartes a lo largo de toda su filosofía. Por esta razón pensó que toda forma de pensamiento debería basarse en los mismos principios en los que se basaban las Matemáticas: simplicidad y claridad. Estas bases se hallan expuestas de forma específica en las inacabadas Regulæ ad directionem ingeniï (Reglas para la dirección del espíritu) y en el ya citado Discurso del método.

Los estudios de Derecho los realizó en la Universidad de Poitiers, en donde obtuvo el grado en 1616.

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Ese mismo año se alistó en la escuela militar de Breda. En 1618, cuando estaba estudiando Matemáticas y Mecánica bajo el influjo del científico holandés Isaac Beeckman, se planteó la necesidad de establecer una ciencia unificada que fuese apta y útil para el estudio de la Naturaleza.

Esta concepción de la unidad del conocimiento no le abandonaría jamás. En 1619 se unió al ejército de Baviera.

Entre 1620 y 1628 viajó por Europa. En 1623, hallándose en París, entró en contacto con el padre Marín Mersenne, circunstancia indispensable para poder mantener un nexo vivo y permanente con el resto de eruditos de Europa. Viajó a Italia para conocer a Galileo Galilei, pero la fortuna no le acompañó y nunca llegó a producirse el encuentro.

Cuando en 1628 decidió retirarse de la vida cortesana de París y establecerse definitivamente en un lugar tranquilo, eligió Holanda –los Países Bajos– en los que permaneció los siguientes veinte años.

Fueron años de reflexión, de meditación, de trabajo y de producción. Se ha dicho que Descartes, descontento con las enseñanzas que se impartían en los Centros más prestigiosos basadas en los textos de los filósofos de la Antigüedad, se propuso substituirlas por su nueva visión del conocimiento. Recién acabado de establecerse en Holanda, inició esta tarea con un tratado de filosofía de la naturaleza, Le Monde, ou Traité de la lumière (El Mundo, o Tratado de la luz). Se basaba en las ideas copernicanas, defendidas por Galileo. Pero cuando éste fue condenado por el Santo Oficio de Roma, decidió no publicar su tratado.

A pesar de que nunca perdió el contacto a través de Mersenne, con los pensadores franceses e ingleses, ni tampoco con Beeckmann, en Holanda conoció, entre otros, a Mydorge, Hortensius, Huygens, y Frans van Schooten. Con algunos de ellos se estableció una auténtica amistad. Ellos le instaron para que publicara sus ideas, lo cual Descartes hizo con un tratado sobre ciencia cuya traeducción es: (Discurso del método para razonar correctamente y buscar la verdad en las ciencias, seguido de tres Ensayos, La Dióptrica, Los Meteoros, y la Geometría. Escrito en francés “para que lo pudieran entender hasta las mujeres”, se publicó en Leyden en 1637.

Refiriéndose a este Tratado, dice a Mydorge: En la Dióptrica y los Meteoros he intentado mostrar que mi método es superior que el método vulgar, y con la Geometría lo he demostrado.

Primera edición del “Discours de la Methode” de René Descartes (1637)

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Este texto está íntimamente ligado con el Tratado, no publicado, de la Luz y también con un texto inacabado de juventud, las Regulæ. Con los ensayos pretende ofrecer textos alternativos a los de óptica, astronomía y geometría de los currícula habituales. Además constituyen un ejemplo de la unidad del pensamiento, por lo menos, en lo que se refiere a la ciencia. En la Geometría estudia los óvalos (de Descartes), que, en la óptica, utiliza para hacer lentes, en la Dióptrica da las leyes matemáticas de la reflexión y de la refracción, y en los Meteoros las usa para explicar el porqué del arco iris.

Pero Descartes quería también aportar sus nuevos puntos de vista en los campos de la filosofía, la teología, y la ética. Por esta razón publicó Méditationes de prima philosphia (1641) y Principia Philosophiæ (1644), Les passions de l'âme (1649 ), etc. Los Principia Philosophiæ constan de cuatro partes que versan sobre el conocimiento humano, los principios de las cosas materiales, el mundo visible y la Tierra. En dicho tratado sostiene –en la línea de Galileo– que el estudio del universo debe reducirse a la Matemática a través de una cierta mecánica. Sin embargo, sus presupuestos metafísicos eran muy rígidos –no aceptaba la posibilidad de la “acción a distancia”, ni tampoco la existencia del vacío– y le impidieron darse cuenta de la importancia del fenómeno de la gravedad. En este sentido es paradigmático el ejemplo de su demostración de la ley de la refracción de la Dioptrique, basada más en las “cualidades”, en la línea clásica, de la luz, que en un modelo matemático como el que ofrecería Pierre de Fermat, basado en el principio de la mínima acción: “la luz sigue el camino más breve”. Sin embargo, hemos de afirmar, en honor a la verdad, que su mathesis fue bien acogida por los pensadores de la generación siguiente y halló su síntesis –en el tercer tercio del siglo XVII– en la obra genial de Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz.

En 1647, con ocasión de un viaje a París, Descartes pudo conocer a Blaise Pascal con el cual sostuvo una discusión acerca de la existencia del vacío en la Naturaleza.

En 1649, cuando Descartes era considerado uno de los sabios más notables de Europa, la reina Cristina de Suecia le persuadió para que se instalase en su corte de Estocolmo. Las consultas de la reina a altas horas de la noche y de la madrugada –que quebraban las costumbres de Descartes– junto con el rigor del frío en Suecia en invierno, le llevaron a contraer, a los pocos meses de estancia en Estocolmo, una neumonía que pondría fin a su vida el 11 de febrero de 1650, cuando aún no había cumplido 54 años.

Descartes dejaba una obra importante y sobretodo novedosa. Pero, con la perspectiva del tiempo – sin pretender cuestionar en absoluto su importancia como pensador global y como filósofo de una influencia decisiva en el pensamiento occidental moderno–, podemos afirmar que, de entre todas, la obra que realmente supuso una revolución en la manera de entender la disciplina de la que trataba es La Géométrie. Todavía mantiene, en gran parte, toda su vigencia. Es por esta razón que le dedicaremos un poco más de atención que al resto de sus obras.

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La importancia matemática de “La Geometría” hizo que, poco después de su aparición, se publicara separadamente del Discurso.

Los problemas de la geometría griega eran, según la clasificación de Pappus, de tres tipos: planos, sólidos y lineales, según que, para resolverlos, bastasen la regla y el compás, se requiriese además alguna de las secciones cónicas o, en fin, algún tipo de curva que no fuese ninguna de éstas, como la cuadratriz, la espiral de Arquímedes, la concoide, la cisoide, etc. Ahora bien, en la época de Descartes, se dispone de un lenguaje nuevo gracias a las aportaciones de muchos ilustres geómetras, de entre los cuales, en Francia, cabe destacar a François Viète. Este nuevo lenguaje permite expresar ciertas curvas, no ya por medio de una característica geométrica definitoria, sino por medio de una expresión algebraica cerrada que, en el más simple de los casos, es una ecuación polinómica en dos variables.

Con este bagaje, en el Libro I, De los problemas resolubles por medio de rectas y circunferencias, analiza las preguntas que los griegos resolvían con el uso exclusivo de la regla y el compás, observando que, con estos instrumentos, puede sumar, restar, multiplicar, y dividir dos segmentos dados, y obtener un nuevo segmento cuya longitud sea, respectivamente, la suma, diferencia, producto, y cociente de las longitudes de los segmentos dados. Y, además, puede extraer la raíz cuadrada de un segmento dado. En breve, dados dos segmentos de longitudes a y b, se pueden construir los segmentos cuyas longitudes respectivas sean a + b, a - b, ab, a / b y √a. Para ello, sin embargo, Descartes precisa de un segmento unidad al cual referir las longitudes de los restantes segmentos rectilíneos.

Con esta lectura algebraica de la geometría Descartes rompe con dos de los presupuestos epistemológicos de la geometría griega: 1) Todo segmento tiene asignada una longitud --un número--, con independencia del carácter conmensurable o inconmensurable del valor de dicha longitud.

2) El producto de dos o tres segmentos es un segmento y no un rectángulo o un paralelepípedo, con lo que el problema de la dimensión geométrica deja de ser un impedimento para la generalización. Es posible multiplicar más de tres segmentos.

La transcripción algebraica le permite afirmar: Las ecuaciones de segundo grado son resolubles con regla y compás 209

Además demuestra cómo se resuelven geométricamente. Conviene recordar en todo momento que lo que Descartes hace –así lo indica en título del ensayo, Géométrie– es geometría. De ahí la importancia de una construcción geométrica efectiva y completa.

En uno de aquellos momentos de genialidad que le caracterizan, afirma que: Cualquier problema resoluble con regla y compás lleva siempre, a una ecuación de segundo grado Esta afirmación será precisada y demostrada doscientos años más tarde, en 1837, por Jean Pierre Wantzel.

El filósofo era consciente que su método debía ir más allá y resolver problemas que en la geometría griega eran difícilmente resolubles o incluso eran imposibles de resolver. Por esta razón plantea, a modo de colofón del Libro I, el problema de las tres y las cuatro rectas que había sido estudiado por Apolonio y resuelto parcialmente por Pappus. En síntesis, establece: Dadas cuatro rectas, (dos de las cuales pueden ser la misma) el lugar geométrico C de los puntos del plano tales que el producto de las distancias a dos de las rectas es proporcional al producto de las distancias a las otras en una proporción dada, es una cónica

Su éxito es doble ya que, por un lado, puede rescribir el problema en función de las coordenadas x, y del punto C y obtiene una ecuación general de segundo grado en x, y y.

En el Libro II, establece: Toda ecuación de la forma, Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Ex + 2Fy + G = 0 es una cónica y su naturaleza depende del signo del discriminante, ∆ = B2 – 4AC. Se plantea entonces dos cuestiones: 1) ¿Tiene sentido plantear el problema cuando hay más de cuatro rectas?

2) ¿Es posible resolverlo?

La respuesta es afirmativa: No hay limitaciones espaciales y cualquier problema lleva a una ecuación polinómica Entonces plantea y resuelve el más simple de los problemas: El de las cinco rectas, cuatro de las cuales son paralelas y equidistantes y la quinta es perpendicular a todas ellas. Como resultado obtiene la cúbica semiparabólica y3 – 2ay2 – a2y + 2a3 = axy .

Así pues, de lo que se trata es: 1) Caracterizar las ecuaciones polinómicas 2) Ver si las ecuaciones polinómicas corresponden a problemas geométricos Con respecto a la primera pregunta, Descartes decide que las únicas curvas que podemos considerar como geométricas son aquellas que admiten una caracterización algebraica polinómica, aun cuando, para él, esta caracterización sea siempre subsidiaria. Lo importante es que procedan de un problema geométrico en el cual se dé una teoría de la proporción dependiente. Las curvas cuya teoría de la 210

proporción es independiente, las llama mecánicas y las excluye de la Geometría. Esto será criticado muy vehementemente por Leibniz que introducirá las curvas algebraicas –son las cartesianas– y las curvas trascendentes –son las que trascienden el álgebra.

Para Descartes las curvas geométricas deben ser construíbles con algún ingenio que tenga la misma precisión que la regla y el compás. No hay razón alguna, según Descartes, para limitarse a estos dos instrumentos a la hora de resolver problemas geométricos. De ahí los compases que ofrece justo al inicio del Libro II, De la Naturaleza de las curvas. Es curioso observar que, con el segundo de sus compases, se puede construir la cúbica semiparabólica que resuelve el problema de las cinco rectas que acaba de analizar. Además se pueden fabricar curvas de cualquier grado. Sin embargo, no plantea el problema de si toda curva geométrica va asociada a algún tipo de compás que permita construirla.

De ahí la importancia de la segunda cuestión planteada: Toda curva polinómica proviene de un problema geométrico Descartes lo resuelve afirmando que Toda curva geométrica, polinómica, proviene de algún problema de las 2n - 1 o 2n rectas.

Sin embargo, como observaría Newton, esta afirmación es falsa.

A pesar de que la ecuación de una curva sea para Descartes algo subsidiario, el geómetra advierte la importancia que tiene conocer la ecuación de una curva para poder determinar elementos geométricos de la curva, cuales son el centro, el vértice, los ejes, los diámetros, etc. Va mucho más lejos y resuelve “el problema más difícil que podía imaginar”.

Este problema consiste en determinar el ángulo que forman dos curvas. Recordemos toda la discusión de la época escolástica acerca del ángulo de contacto que debía ser más pequeño que cualquier ángulo rectilíneo sin ser nulo, poniendo en tela de juicio la imposibilidad de la existencia de los infinitésimos. El ángulo que forman dos curvas se mide por medio del ángulo que forman las normales de las curvas en el punto de contacto. Es preciso, pues, determinar la normal a una curva en un punto.

Para ello introduce el círculo osculador de una curva, adelantándose a la curvatura de una curva y al radio de curvatura. El círculo osculador a una curva Φ(x,y) = 0, en un punto C de la misma, es aquel círculo que la toca pero no la corta. Es decir, que es tangente a la curva en el punto C. Su radio OC, en donde O es el centro de dicho círculo, nos da la dirección de la normal a la curva en el punto C. Pero, ¿cómo podemos determinar el círculo osculador a la curva Φ (x, y) = 0, en el punto C? La respuesta de Descartes a este problema geométrico, es algebraica. Bastará que el círculo y la curva se corten en un punto doble. Es decir, tenemos la ecuación de la curva y la ecuación de la circunferencia del círculo osculador: Si eliminamos, por ejemplo, y, obtenemos una ecuación polinómica P(x) = 0 que debe tener una raíz doble x = a. Con el método de coeficientes indeterminados (método introducido por Fermat y Descartes simultáneamente) se pueden encontrar los parámetros buscados.

Estos resultados los aplica a la óptica y a la fabricación de lentes e introduce y analiza los famosos óvalos de Descartes.

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Para una comprensión cabal de su exposición hacía falta familiarizarse con el lenguaje del álgebra y con las técnicas de solución de ecuaciones con polinomios. Además, los matemáticos griegos habían planteado y resuelto problemas que no eran planos como la trisección del ángulo y la duplicación del cubo. Por esta razón Descartes ofrece un tercer Libro, De la construcción de los problemas sólidos y más que sólidos, en el cual expone los principios del lenguaje algebraico de los polinomios, entre los cuales incluye la famosa regla de los signos que, según John Wallis, ya era conocida con anterioridad por Thomas Harriot. Nos indica la manera de resolver las ecuaciones cúbicas y las cuárticas, en cuyo caso ofrece un método personal de una gran originalidad: Toda cuártica se puede descomponer como el producto de dos ecuaciones de segundo grado, los coeficientes de las cuales se obtienen, por el método de los coeficientes indeterminados, resolviendo una ecuación cúbica.

Formalmente, dada la cuártica reducida x4 + bx2 + cx + d, hacemos: x4 + bx2 + cx + d = (x2 + αx + β )(x2 – αx + γ ) Entonces basta determinar los números reales α, β, γ, lo cual siempre es posible. Después basta resolver las dos ecuaciones de segundo grado, si ello es posible.

Este método sería el que elegiría Leonhard Euler para resolver una ecuación polinómica en general, pero no podemos garantizar que, para grados superiores, podamos resolver las ecuaciones que permiten determinar los coeficientes de las ecuaciones de segundo grado.

Descartes, además, establece el enunciado del teorema fundamental del álgebra en los siguientes términos: Podemos imaginar que una ecuación polinomial tiene tantas raíces como el grado del polinomio De ahí el nombre de número imaginario que se dio a las raíces no reales de las ecuaciones polinomiales. El primer intento por demostrar este teorema lo debemos a Jean le Rond d'Alembert y data de 1746. Para Descartes, las únicas raíces aceptables son las reales positivas –que llama raíces positivas. Las negativas –que llama falsas– son aceptables porque son las raíces de la ecuación polinómica que se obtiene al sustituir X por –X. Pero fiel a su propósito geométrico, se ve obligado a dar una interpretación geométrica de las ecuaciones cúbicas y cuárticas. Entonces establece que toda cuártica se puede resolver cortando un círculo y una cónica adecuados. Establece con toda claridad la equivalencia que hay entre resolver una cúbica irreducible en el sentido de Gerolamo Cardano –de discriminante negativo– y la trisección del un ángulo, mientras que las cúbicas no irreducibles equivalen a saber cómo duplicar un cubo. Da un método geométrico para trisecar un ángulo cualquiera.

El carácter generalizador de su método lo lleva a preguntarse cómo podemos resolver geométricamente una ecuación polinómica. En realidad, sólo lo hace para las de grado cinco y seis.

La idea consiste en cortar una circunferencia con una curva adecuada –en el caso de las ecuaciones de segundo grado, con una recta; en el de las cúbicas y cuárticas, con una cónica. Pues bien, en el caso de las de grado cinco y seis se puede recurrir a la cúbica semiparabólica que ha obtenido en el caso de las cinco rectas, con lo que su obra se cierra con una unidad que parecía difícil de conseguir.

No es ésta la única aportación que hizo a la Matemática –recordamos que aproximó con regla y compás la longitud de una circunferencia, sus contribuciones en aritmética, su intento por resolver el problema de deBaunne, su aproximación a la fórmula de Euler-Poincaré, las curvas algebraicas que 212

introdujo, como los óvalos, el folio ya varios más. Es sin duda La Geometrié una de las obras más importantes de la primera mitad del siglo XVII y uno de los textos básicos de toda la historia de la Matemática. En ella, Descartes no sólo introduce la geometría analítica o cartesiana sino que pone los cimientos de la geometría algebraica.

Basten los temas expuestos para comprender su profundidad, unidad interna, originalidad y novedad y recúrrase a la bibliografía para una mayor profundización.

Biografía de Fermat

Pierre de Fermat nació cerca de Toulouse, en un pueblo llamado Beaumont-de-Lomagne (entonces parte de la Gasconia y hoy en el departamento de Tarn et Garonne). Vivió en Toulouse y murió también muy cerca, en Castres (Tarn). Durante toda su vida casi no se movió de esa región. Su familia tenía una buena posición económica y social. Su padre era un rico comerciante y su madre pertenecía a una familia de la nobleza local. Tuvo un hermano y dos hermanas. Probablemente se crió en su pueblo natal y fue educado en un cercano monasterio franciscano hasta que ingresó en la Universidad de Toulouse. Sin que se sepa la razón, interrumpió sus estudios en Toulouse y durante unos años vivió en Burdeos, donde contactó con algunos matemáticos que conocían bien la herencia de Vieta: Beaugrand, d’Espagnet, etc. Ahí se formó en el álgebra y el simbolismo de Vieta que tan útiles le serían más adelante. De esos años data su primera producción matemática: la restitución del libro perdido de las Cónicas de Apolonio: Plane Loci y los primeros trabajos sobre máximos y mínimos.

Después de la etapa en Burdeos reingresó en la universidad, esta vez en Orléans, donde obtuvo su título en Leyes hacia 1631, año en que se instala en Toulouse en calidad de consejero del Parlamento de Toulouse. Ese mismo año se casa con una prima lejana, Louise de Long, quién pertenece a la familia de alcurnia de su madre ligada “a la nobleza de su origen”. Fermat añade el “de” a su apellido. El matrimonio Fermat tuvo cinco hijos, dos varones y tres hembras. El hijo mayor, Clément-Samuel heredaría el interés de su progenitor por las matemáticas, aunque no su genialidad.

A Clément-Samuel le debemos la edición y publicación de las obras completas de su padre en 1679.

Su vida transcurre de una manera muy tranquila en Toulouse; profesionalmente va obteniendo promociones de manera que ingresa en la cámara alta del parlamento de Toulouse en 1638 y accede a la corte suprema en 1652. En esa época va regularmente a Castres a ejercer de magistrado.

Castres, en el siglo XVII albergó uno de los tribunales establecidos por el Edicto de Nantes para dar un tratamiento justo a los hugonotes en sus litigios. Estos tribunales tenían un determinado número 213

de magistrados católicos y protestantes. Fermat ocupó en diversas ocasiones una plaza de culto católico. Murió en Castres pocos días después de terminar de juzgar un caso.

En Toulouse reanudó sus contactos con personajes ligados a la Matemática. Uno de los más relevantes para su futuro fue Monsieur de Carcavi, colega suyo en el parlamento y también matemático aficionado. Carcavi se trasladó a Paris en 1636 donde contactó con el Padre Mersenne, el personaje que, mediante su abundante correspondencia haría las veces de centro difusor de la ciencia en la Francia del XVII. Mersenne se interesó inmediatamente en los trabajos de Fermat gracias a la descripción que le hizo Carcavi de éstos y empezó a cartearse con él. Inicialmente el interés de Mersenne se centró en algunos comentarios de Fermat sobre la caída libre, tema en el que objetaba a la descripción de Galileo. Rápidamente Fermat informó a Mersenne sobre su trabajo sobre espirales (motivado por sus estudios sobre caída libre) y sobre su restitución del libro perdido de Apolonio. También en esa época, anuncia a Mersenne que está en posesión de “diversos análisis para diversos problemas tanto numéricos como geométricos para cuya solución el análisis de Vieta es insuficiente.” De hecho, a principios de 1636 había concluido su Introducción a los lugares planos y sólidos, donde mediante el lenguaje algebraico de Vieta estudia las curvas que se pueden expresar mediante ecuaciones de primero y segundo grado y establece que son precisamente la recta y las cónicas. También establece que, en general, una curva tiene una ecuación y que una ecuación algebraica representa siempre una curva. Por esa razón se atribuye a Fermat una cierta prioridad sobre la creación de la Geometría Analítica frente a Descartes que publicó su Geometría en 1637. En el mismo cruce de cartas con Mersenne, Fermat no puede resistir la tentación de incluir un par de problemas sobre máximos y mínimos para que Mersenne los divulgue a modo de desafío entre la comunidad matemática. Fermat dispone de su Método para determinar máximos y mínimos y trazar tangentes a líneas curvas, que le permite resolver este tipo de problemas de manera muy general. Su enfoque se basa en dos hechos, que en lenguaje actual son: 1) En un máximo o mínimo la tangente a la curva es paralela al eje X y en consecuencia el valor de la función en ese punto ha de ser único (con relación a sus vecinos); 2) Los valores cercanos al extremo han de ser alcanzados como mínimo dos veces por la función, poco antes del extremo y un poco después.

Comparando pues el valor de la función en el extremo f(a), con un valor muy cercano f(a + e), donde e es una cantidad muy pequeña, esos valores han de ser prácticamente iguales, se pueden adigualar, en lenguaje de Fermat. De ese proceso de adigualación se obtiene una ecuación que, una vez eliminado el valor e por ser despreciable, permite calcular a. De hecho llega a la ecuación que hoy en día escribimos como f’(x) = 0. Por eso se le considera también precursor del cálculo diferencial aunque su proceso de adigualación está lejos de las ideas de límite que más tarde entraran en escena. Obviamente sólo trata este tipo de problemas en funciones algebraicas.

Los problemas de máximos y mínimos que ha planteado a Mersenne son de tal dificultad que Mersenne pide a Fermat la divulgación de sus métodos. De esta manera los escritos de Fermat sobre el tema, antes mencionados, empiezan a circular estableciendo al mismo tiempo su reputación como matemático de primera fila. Roberval, Mersenne y otros matemáticos de la época le instan a que publique sus resultados, a lo cual se niega. De hecho, en vida sólo publicó un trabajo y hubo que esperar a 1679 en que su hijo mayor publicase su obra. No está clara la razón de su negativa de a publicar. Por un lado se consideraba sólo un aficionado dado que no se dedicaba por entero a la Matemática, y por otro lado, era consciente de que para publicar sus resultados, debería ser mucho más claro y didáctico en sus explicaciones, lo que le acarrearía mucho trabajo adicional y consumiría una parte importante del tiempo que podía dedicar a la investigación.

Aunque su fama crece en Europa, no todo es de color de rosa. A principios de 1637, su amigo Beaugrand le manda una copia del manuscrito (aún no publicado) de la Dióptrica de Descartes.

Enfrascado Fermat en una intensa correspondencia con Roberval y Étienne Pascal (padre de Blaise) 214

sobre métodos de cuadratura y su aplicación a la determinación de centros de gravedad, le presta poca atención hasta que Mersenne, preocupado por la indiscreción de Beaugrand (quien había obtenido la copia de manera poco ortodoxa), le pide que no divulgue a nadie más que a él mismo sus comentarios sobre el trabajo de Descartes.

Contesta a Mersenne de una manera bastante ingenua (no conocía a Descartes ni sabía nada del Discurso del Método ni del mal carácter del filósofo) señalando errores en la deducción de la ley de la reflexión y de la refracción y calificando la obra en general como un simple intento de hallar la verdad “a tientas entre las tinieblas”. Se ofrece incluso para echar una mano en la clarificación de algunos problemas.

Mersenne, consciente de la delicada situación, guardó la carta de Fermat durante unos meses hasta que, ante la insistencia de Descartes para que le comunicase cualquier crítica a la Dióptrica, se la mandó. La reacción de Descartes a la crítica de Fermat fue, al principio paternalista. Fermat ”no había entendido sus métodos”. Mientras tanto, Fermat había obtenido una copia de la Geometría y se apresuró a mandar a Mersenne sus trabajos sobre el tema, para demostrar al menos la independencia de sus descubrimientos. Mersenne, mostrando nuevamente poco tacto, le envía esos trabajos a Descartes quien enfurece y emprende un ataque sin cuartel contra el “aficionado de Toulouse”. La controversia se extiende al método de trazado de tangentes y el método para hallar máximos y mínimos. Después de un sinfín de cartas (aderezadas con el poco tacto de Mersenne), Descartes termina por retar a Fermat a usar su método para trazar las tangentes a una curva de su invención, el folio, con una ecuación implícita de tercer grado x 3 + y 3 = pxy. La respuesta de Fermat con el cálculo de las tangentes al folio obliga a Descartes a admitir que el método de Fermat es superior al suyo y, a regañadientes, le reconoce una cierta talla intelectual aunque le sigue atacando en privado. La irritación que Fermat producía en Descartes queda muy bien reflejada en una frase de este último: “Fermat es gascón. Yo no”. (Gasconia, Gascuña, Provinica al suroeste de Francia).

Durante los últimos años de la década de los 1630 y los primeros de la década de los 40, sigue trabajando en su método de máximos y mínimos aplicándolo a varios problemas diferentes y también intenta generalizar, sin mucho éxito, su geometría analítica a tres dimensiones. Su Isagoge ad locos ad superficiem de 1643 recoge sus ideas al respecto. Del mismo año, 1643, data su famosa carta a Brûlart, donde resumiría de manera bastante clara su método para determinar máximos y mínimos y su cálculo de tangentes.

La década 1645–1655 fue dura para Francia, sacudida por la guerra civil y por una epidemia de plaga que en 1651 estuvo a punto de costarle la vida a Fermat. De hecho fue dado por muerto por algunos de sus colegas. En ese período, produjo poco y mantuvo poca correspondencia. No es hasta 1655 que recupera su ritmo de trabajo. De finales de los años 50 datan algunos de los artículos más importantes, en parte recopilaciones de trabajos anteriores, en parte nuevas ideas. De esa época son su Tratado de cuadraturas y su Tratado sobre rectificación de curvas y su famosa demostración de la ley de refracción basada en su principio del tiempo mínimo, expresado como una ley natural: “la naturaleza siempre actúa por el camino más corto”.

Pero el tema que ha de darle fama universal es la teoría de números. Su interés por los números enteros y sus maravillosas propiedades había empezado en la década de los 30 cuando leyó una traducción de la Aritmética de Diofanto. En el estrecho margen justo al lado del problema 8 del libro II: “Dado un número que sea un cuadrado, descomponerlo como suma de otros dos números cuadrados”, escribió su famosa conjetura: la ecuación x n +y n =z n no tiene soluciones enteras positivas para n>2. En sus propias palabras:

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“Es imposible que un cubo se pueda expresar como una suma de dos cubos o que una potencia cuarta se escriba como una suma de potencias cuartas o, en general, que un número que sea una potencia de grado mayor que dos se pueda descomponer como suma de dos potencias del mismo grado.

He encontrado una demostración verdaderamente maravillosa de este resultado pero este margen es demasiado estrecho para contenerla”.

La creencia actual es que Fermat había demostrado el teorema para n = 4 (y quizás también para n = 3) y creía que podía generalizar su demostración para cualquier valor de n. La demostración del caso n = 4 utilizaba otro gran descubrimiento de Fermat, el método de descenso infinito. Esencialmente el método consiste en demostrar la imposibilidad de una proposición que depende de un entero positivo n, probando que si hubiese algún valor estrictamente positivo que hiciese verdadera la proposición, existiría otro valor también estrictamente positivo que la haría verdadera pero estrictamente inferior al anterior.

El Gran Teorema de Fermat para el caso n = 3 fue demostrado 100 años más tarde por Euler, también con la ayuda del método del descenso infinito. El siglo XIX vio la demostración de algunos casos particulares más a cargo de grandes matemáticos como Lejeune-Dirichlet, Legendre, Lamé y Sophie Germain. No sabremos nunca si Fermat realmente disponía de una demostración maravillosa para cualquier valor de n. Pero en cualquier caso, el reto de demostrar su Gran Teorema había empezado con aquella nota garabateada en el margen de un libro. La aventura terminaría 350 años más tarde cuando, en 1994, Andrew Wiles publica la demostración del Gran Teorema de Fermat. Por el camino habían pasado una legión de matemáticos de todas las categorías y especialidades (sería difícil hallar un matemático que en algún momento de su vida no haya dado alguna vuelta al teorema). Los intentos de demostración aportarían también grandes contribuciones a las Matemáticas (la teoría de ideales de Kummer por citar sólo un ejemplo). Antes de la demostración de Wiles, Gerd Faltings había conseguido (en 1983) un resultado que acotaba totalmente las soluciones de la ecuación de Fermat. Faltings demostró que para cada valor de n, la ecuación x n + y n = z n , tiene, a lo sumo, un número finito de soluciones enteras (de hecho Faltings demostró lo que se conocía como la Conjetura de Mordell sobre curvas algebraicas que implicaba el Gran Teorema de Fermat). La demostración de Wiles, sin embargo, no sigue el camino que había iniciado Faltings sino que da una enorme vuelta. Se basa en la conjetura Taniyama-Shimura (de hecho Wiles se limita a demostrar esta conjetura) que relaciona de manera espectacular dos campos de las Matemáticas completamente alejados el uno del otro: la teoría de formas modulares y las curvas elípticas.

El enorme interés de Fermat por los números enteros era una novedad en la Europa del siglo XVII. Nadie mostraba muchas ganas de perder el tiempo explorando propiedades de números enteros que no tenían ninguna aplicación directa. Sólo un par de problemas clásicos cautivaban la atención de los matemáticos de la época: el estudio de números perfectos (aquellos que son iguales a la suma de sus divisores, exceptuando ellos mismos) y la caracterización de las ternas pitagóricas (tripletas de números enteros (x, y, z) que satisfacen el teorema de Pitágoras x 2 +y 2 = z 2 ). Como consecuencia del interés de Fermat en el primero de esos problemas, descubrió el que se conoce hoy en día como el Pequeño Teorema de Fermat, una verdadera joya en teoría de números. En términos modernos dice que si p es un número primo y a es primo con p, entonces ap ≡ a (mod p).

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No deja de ser paradójico que Fermat sea recordado por su Gran Teorema, en gran parte estéril porque ningún resultado importante se deduce de él, y no por su Pequeño Teorema que es crucial en álgebra y en la teoría de números moderna y sus aplicaciones, como es por ejemplo, la moderna criptografía, base de la seguridad de las transmisiones en Internet.

El segundo problema, la caracterización de las ternas pitagóricas, conduce a Fermat a su interés por las descomposiciones de potencias y problemas como la descomposición de los primos de la forma 4n+1 como suma de dos cuadrados (de manera única), la descomposición de un entero positivo como suma de cuatro cuadrados y la resolución de diferentes ecuaciones diofánticas de segundo grado. La más famosa es la ecuación diofántica conocida como ecuación de Pell o ecuación de PellFermat. Se trata de la ecuación x 2 – Ny 2 = 1, donde N no es un cuadrado perfecto. Excluyendo la solución trivial (1,0), Fermat conjeturó la existencia de infinitas soluciones enteras positivas para cualquier valor de N (no cuadrado perfecto) y retó a los matemáticos europeos a demostrarlo. El problema fue parcialmente solucionado por Wallis y Brouncker mediante el desarrollo en fracción continua de √N. Sería completamente solucionado por Lagrange en 1771. El libro de Barbeau, Edward J., Pell's equation, Springer-Verlag, Nueva York, 2003, es una excelente referencia para este tema.

Fermat es famoso también por los números primos que llevan su nombre, los de la forma 2 2 + 1 . Los primeros números de esta forma: 3, 5, 17, 257, 655537, son primos. El siguiente es ya un número respetable, 4,294,967,297 y no es fácil, usando sólo lápiz y papel, averiguar si es primo o no. De hecho, Fermat no tuvo suficiente paciencia para comprobarlo, pues de otro modo hubiese obtenido (como más tarde hizo Euler) que 4294967297= 641 • 6700417. Sin embargo tuvo la osadía de n

conjeturar que todos los números de la forma 2 2 + 1 eran primos. Esta conjetura le tuvo en jaque toda su vida, ya que en varias ocasiones se lamentó de no haber podido obtener su demostración.

Vale la pena comentar que no se han hallado otros primos de Fermat además de los cinco primeros y aún no se ha demostrado que existan más. n

Sus últimos años aún ven la luz de otra contribución importante: el cálculo de probabilidades. El joven Blaise Pascal, hijo de Étienne con quien Fermat había correspondido a través de Mersenne, le propone un problema sobre la repartición justa de las apuestas si una serie de partidas se interrumpen antes de llegar al final acordado. Concretamente, ¿cómo hay que repartir una apuesta de 64 monedas para el primero de dos jugadores que gane 3 partidas si el juego se interrumpe antes de que nadie haya ganado? (Se supone que ambos jugadores tienen, en cada partida, las mismas oportunidades de ganar). Pascal y Fermat intercambiaron una serie de cartas sobre el tema que puede considerarse como el inicio del moderno cálculo de probabilidades. Los dos llegan al mismo resultado por caminos diferentes: Pascal intuye el resultado mediante una recurrencia, pero se ve obligado a utilizar el cálculo combinatorio y el uso de su Triángulo Aritmético (Triángulo de Pascal) para demostrarlo, mientras que Fermat usa directamente el cálculo combinatorio.

Hacia 1660, su salud empieza a flaquear, tiene que posponer un encuentro con Blaise Pascal quien también se encuentra enfermo (de hecho muere dos años más tarde). Su actividad matemática decae casi completamente y en enero de 1665 muere en la ciudad de Castres donde pocos días antes había asistido a la sesión del tribunal del Edicto.

Eric T. Bell, en sus famosas biografías de matemáticos [Men of Mathematics, Simon and Schuster, Nueva York] calificó a Fermat como el “Príncipe de los amateurs”. Y aunque es cierto que las Matemáticas para Fermat fueron solamente un “hobby”, también es cierto que sus contribuciones fueron de primera categoría y dignas del mejor profesional. Su reticencia a publicar y a explicarse mejor, hicieron que muchas de sus contribuciones fueran poco comprendidas y que algunas pasasen incluso desapercibidas, pero hay que reconocer que, al menos en el campo de la teoría de números, 217

creó problemas nuevos y creó instrumentos nuevos para abordarlos. Este fue su principal legado para la posteridad.

Para conocer más a fondo la apasionante historia del Gran Teorema, son apropiados los libros: Ribenboim, Paulo, Fermat’s last theorem for amateurs, Springer-Verlag, Nueva York, 1999 Singh, S., El enigma de Fermat, Planeta, Barcelona, 1997 Para una historia mucho más técnica, se pueden consultar el artículo Cox, David, “Introduction to Fermat's last theorem”, Amer. Math. Monthly 101 (1994), 3-14 Y Edwards, H.M., Fermat’s Last Theorem. A Genetic Introduction to Algeraic Number Theory.

Springer-Verlag, Nueva York, 1996.

Ligas externas

Biografía de Descartes, basada en: http://divulgamat.ehu.es/weborriak/Historia/MateOspetsuak/Descartes.asp Autor: Josep Pla i Carrera (Universitat de Barcelona) Biografía de Fermat, basada en: http://divulgamat.ehu.es/weborriak/Historia/MateOspetsuak/Fermat2.asp Autor: Pelegrí Viader UPF (Barcelona) Sobre la trompeta de Gabriel:

http://es.wikipedia.org/wiki/Cuerno_de_Gabriel

Ilustraciones

Página inicial: Amanecer: http://esnuestro.com/fondos/source/ficcion/Amanecer.jpg Imagen de: * Oresme: http://www.emis.de/journals/JEHPS/Oresme.gif * Stevin: http://divulgamat.ehu.es/weborriak/Historia/AsiLoHicieron/Stevin/Stevin01.jpg * Kepler : http://www.cs.ucla.edu/~klinger/dorene/Gif/kepler.gif * Cavalieri: http://www.e-um.si/lessons/44/Cavalieri.jpg * Roberval: http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Gilles_personne_de_roberval.jpg * Fermat: http://grandesmatematicos.galeon.com/fermat.jpg * Descartes:http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Frans_Hals__Portret_van_Ren%C3%A9_Descartes.jpg * Huygens : http://www.astrocosmo.cl/biografi/b-c_huygens.htm * Torricelli: http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Libr0367.jpg * Pascal: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/38/Blaise_Pascal.jpeg * Galileo: http://perso.wanadoo.es/ieslaarboledageh/Quijote/galileo.jpg * Mersenne: http://audioonline.free.fr/images/hist_Mersenne.jpg 218

* Wallis: http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:John_Wallis.jpg * Barrow: http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Isaac_Barrow.jpg * Hawking, S. http://espacioteca.files.wordpress.com/2008/10/stephen-hawking.jpg * Elipses de Kepler : http://mx.kalipedia.com/kalipediamedia/penrelcul/media/200707/18/hisfilosofia/20070718klpprcf il_2.Ges.SCO.png Pasillo en la universidad de Cambridge, RU http://www.lucasianchair.org/ Galileo en Pisa: http://images.google.com.mx/imgres?imgurl=https://www.uanarino.edu.co/deans/dpto.fisica/to rre_pisa_galileo%255B1%255D.jpg&imgrefurl=https://www.uanarino.edu.co/deans/dpto.fisica/f sica_i__mecnica.html&usg=__aTsn42lPJcYG5aGZHKiSO3loALo=&h=400&w=275&sz=33&hl=es &start=1&tbnid=f6Hhp8B89kOpOM:&tbnh=124&tbnw=85&prev=/images%3Fq%3DPisa%2BGalil eo%26gbv%3D2%26hl%3Des Dibujo del reloj de Huygens http://www.myreckonings.com/wordpress/Images/Pendulums/HuygensClock.jpg Reloj de péndulo http://www.allamericanwatch.com/members/626101/uploaded/PIERMONT-IIv2.jpg Imagen de la trompeta de Gabriel: http://www.h33.dk/gabriel_stor.jpeg Imagen del triángulo de Pascal: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/24/Tri%C3%A1ngulo_de_Pascal.png

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Matemáticas 5

Objetivo IV: Historia del cálculo Tema 4.3: Leibniz y Newton

Goettfried Leibniz

Isaac Newton

Cálculo diferencial e integral

Introducción Nuevas áreas de investigación en el campo de las Matemáticas se habían abierto en el siglo XVII, sin lugar a dudas el descubrimiento más notable de finales del siglo fue el cálculo, bajo la dirección de Isaac Newton y Gottfried W Leibniz. Con esta poderosa herramienta, la Matemática pasó a un nivel superior y terminó así la historia de las Matemáticas elementales.

En esta sección se cuenta la vida de los dos personajes más importantes para el desarrollo del cálculo moderno.

OBJETIVO Conocerás las biografías de Newton y Leibniz

Biografía de Isaac Newton

Isaac Newton nació en las primeras horas del 25 de diciembre de 1642 (4 de enero de 1643, según el calendario gregoriano) en la pequeña aldea de Woolsthorpe, en el Lincolnshire. Su padre, un pequeño terrateniente, acababa de fallecer a comienzos de octubre, tras haber contraído matrimonio en abril del mismo año con Hannah Ayscough, procedente de una familia en otro tiempo acomodada.

Cuando el pequeño Isaac acababa de cumplir tres años, su madre contrajo un nuevo matrimonio con el reverendo Barnabas Smith, rector de North Witham, lo que tuvo como consecuencia un hecho que influiría decisivamente en el desarrollo del carácter de Newton: Hannah se trasladó a la casa de su nuevo marido y su hijo quedó en Woolsthorpe al cuidado de su abuela materna.

Del odio que ello le hizo concebir contra su madre y el reverendo Smith da buena cuenta el que en una lista de «pecados» de los que se autoinculpó, el número trece fuera el haber deseado incendiarles su casa con ellos dentro. Cuando Newton tenía doce años, su madre, otra vez viuda, regresó a Woolsthorpe, trayendo consigo una sustanciosa herencia que le había legado su segundo marido (y de la que Newton se beneficiaría a la muerte de ella en 1679), además de tres hermanastros para Isaac, dos niñas y un niño.

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La manzana de Newton Un año más tarde Newton fue inscrito en King's School de la cercana población de Grantham. Hay testimonios de que en los años que allí pasó alojado en la casa del farmacéutico, desarrolló su habilidad mecánica que ejercitó en la construcción de diversos mecanismos (el más citado es un reloj de agua) y juguetes (los famosos papalotes, a cuya cola ataba faroles que por las noches asustaban a sus vecinos). También se produjo un importante cambio en su carácter: su inicial indiferencia por los estudios, surgida probablemente de la timidez y el retraimiento, se cambió en feroz espíritu competitivo que le llevó a ser el primero de la clase, a raíz de una pelea con un compañero de la que salió vencedor.

Fue un muchacho “sobrio, silencioso, meditabundo” que prefirió construir utensilios, para que las niñas jugaran con sus muñecas, a compartir las diversiones de los demás muchachos. Según el testimonio de una de sus compañeras infantiles, quien, cuando ya era una anciana, se atribuyó una relación sentimental adolescente con Newton, la única que se le conoce con una mujer.

Cumplidos los dieciséis años, su madre lo hizo regresar a casa para que empezara a ocuparse de los asuntos de sus posesiones. Sin embargo, el joven Isaac no se mostró en absoluto interesado por asumir sus responsabilidades como terrateniente y su madre, aconsejada por el maestro de Newton y por su propio hermano, accedió a que regresara a la escuela para preparar su ingreso en la universidad. Éste se produjo en junio de 1661, cuando Newton fue admitido en el Colegio Trinity de Cambridge, ganando su manutención a cambio de servicios domésticos, pese a que su situación económica no parece que lo exigiera así. Allí empezó a recibir una educación convencional en los principios de la filosofía aristotélica (por aquel entonces, los centros que destacaban en materia de estudios científicos se hallaban en Oxford y Londres), pero en 1663 se despertó su interés por las cuestiones relativas a la investigación experimental de la naturaleza, que estudió por su cuenta.

Fruto de esos esfuerzos independientes fueron sus primeras notas acerca de lo que luego sería su cálculo de fluxiones, estimuladas quizá por algunas de las clases del matemático y teólogo Isaac Barrow; sin embargo, Newton hubo de ser examinado por Barrow en 1664 al aspirar a una beca y no consiguió entonces inspirarle ninguna opinión especialmente favorable.

Al declararse en Londres la gran epidemia de peste de 1665, Cambridge cerró sus puertas y Newton regresó a Woolsthorpe. En marzo de 1666 se reincorporó a Trinity, que de nuevo interrumpió sus actividades en junio al reaparecer la peste, y no reemprendió definitivamente sus estudios hasta abril de 1667. En una carta póstuma, el propio Newton describió los años de 1665 y 1666 como su época más fecunda de invención, durante la cual pensaba en las matemáticas y en la filosofía mucho más que en ningún otro tiempo desde entonces.

El método de fluxiones, la teoría de los colores y las primeras ideas sobre la atracción gravitatoria, relacionadas con la permanencia de la Luna en su órbita en torno a la Tierra, fueron los logros que Newton mencionó como fechados en esos años, y él mismo se encargó de propagar, también hacia el final de su vida, la anécdota que relaciona sus primeros pensamientos sobre la ley de la gravedad con la observación casual de una manzana cayendo de alguno de los frutales de su jardín (Voltaire fue el encargado de propagar en letra impresa la historia, que conocía por una sobrina de Newton).

221

La óptica A su regreso definitivo a Cambridge, Newton fue elegido miembro becario del Colegio Trinity en octubre de 1667, y dos años más tarde sucedió a Barrow en su cátedra. Durante sus primeros años de docencia no parece que las actividades escolares supusieran ninguna carga para él, ya que tanto la complejidad del tema como el sistema docente tutorial favorecían el ausentismo a las clases. Por esa época, Newton redactó sus primeras exposiciones sistemáticas del cálculo infinitesimal que no se publicaron sino hasta más tarde. En 1664 o 1665 había hallado la famosa fórmula para el desarrollo de la potencia de un binomio con un exponente cualquiera, entero o fraccionario, aunque no dio noticia escrita del descubrimiento hasta 1676, en dos cartas dirigidas a Henry Oldenburg, secretario de la Sociedad Real (Royal Society); el teorema lo publicó por vez primera en 1685 John Wallis, el más importante de los matemáticos ingleses inmediatamente anterior a Newton, reconociendo debidamente la prioridad de este último en el hallazgo.

Portada del libro Óptica

El procedimiento seguido por Newton para establecer la fórmula binomial tuvo la virtud de hacerle ver el interés de las series infinitas para el cálculo infinitesimal, legitimando así la intervención de los procesos infinitos en los razonamientos matemáticos y poniendo fin al rechazo tradicional de los mismos impuesto por la matemática griega. La primera exposición sustancial de su método de análisis matemático por medio de series infinitas la escribió Newton en 1669; Barrow conoció e hizo conocer el texto, y Newton recibió presiones encaminadas a que permitiera su publicación, pese a lo cual (o quizá precisamente por ello) el escrito no llegó a imprimirse hasta 1711.

(x + y)n = xn + nxn−1 y + n(n − 1) xn−2 y 2 + n(n − 1)(n − 2) xn−3 y 3 + ...+ nxyn−1 + y n 2

6

Fórmula del binomio para n entero ≥ 0 Tampoco en las aulas divulgó Newton sus resultados matemáticos, que parece haber considerado más como una herramienta para el estudio de la naturaleza que como un tema merecedor de atención en sí; el capítulo de la ciencia que eligió tratar en sus clases fue la óptica, a la que venía dedicando su atención desde que en 1666 tuviera la idea que hubo de llevarle a su descubrimiento de 222

la naturaleza compuesta de la luz. En febrero de 1672 presentó a la Sociedad Real su primera comunicación sobre el tema, pocos días después de que dicha sociedad lo hubiera elegido como uno de sus miembros en reconocimiento de su construcción de un telescopio reflector. La comunicación de Newton aportaba la indiscutible evidencia experimental de que la luz blanca era una mezcla de rayos de diferentes colores, caracterizado cada uno por su distinta refrangibilidad al atravesar un prisma óptico.

Newton consideró, con justicia, que su descubrimiento era el más singular, cuando no el más importante, de los que se han hecho hasta ahora relativos al funcionamiento de la naturaleza. Pero sus consecuencias inmediatas fueron las de marcar el inicio de cuatro años durante los que, como él mismo le escribió a Leibniz en diciembre de 1675, me vi tan acosado por las discusiones suscitadas a raíz de la publicación de mi teoría sobre la luz, que maldije mi imprudencia por apartarme de las considerables ventajas de mi silencio para correr tras una sombra.

El contraste entre la obstinación con que Newton defendió su primacía intelectual allí donde correspondía que le fuese reconocida (admitiendo sólo a regañadientes que otros pudieran habérsele anticipado) y su retraimiento innato que siempre le hizo ver con desconfianza la posibilidad de haberse de mezclar con el común de los mortales, es uno de los rasgos de su biografía que mejor parecen justificar la caracterización de su temperamento como neurótico; un diagnóstico que la existencia de sus traumas infantiles no ha hecho más que abonar, y que ha encontrado su confirmación en otras componentes de su personalidad como la hipocondría o la misoginia.

Los Principia El primero en oponerse a las ideas de Newton en materia de óptica fue Robert Hooke, a quien la Sociedad Real encargó que informara acerca de la teoría presentada por aquél. Hooke defendía una concepción ondulatoria de la luz, frente a las ideas de Newton, precisadas en una nueva comunicación de 1675 que hacían de la luz un fenómeno resultante de la emisión de corpúsculos luminosos por parte de determinados cuerpos. La acritud de la polémica determinó que Newton renunciara a publicar un tratado que contuviera los resultados de sus investigaciones hasta después de la muerte de Hooke y, en efecto, su Opticks no se publicó hasta 1704. Por entonces, la obra máxima de Newton había ya visto la luz.

223

Robert Hooke

Portada de Principia

En 1676 Newton renunció a proseguir la polémica acerca de su teoría de los colores y por unos años, se refugió de nuevo en la intimidad de sus trabajos sobre el cálculo diferencial y en su interés (no por privado, menos intenso) por dos temas aparentemente alejados del mundo sobrio de sus investigaciones sobre la naturaleza: la alquimia y los estudios bíblicos. La afición de Newton por la alquimia estaba en sintonía con su empeño por trascender el mecanicismo de observancia estrictamente cartesiana que todo lo reducía a materia y movimiento y llegar a establecer la presencia efectiva de lo espiritual en las operaciones de la naturaleza.

Newton no concebía el cosmos como la creación de un Dios que se había limitado a legislarlo para luego ausentarse de él, sino como el ámbito donde la voluntad divina habitaba y se hacía presente, imbuyendo en los átomos que integraban el mundo un espíritu que era el mismo para todas las cosas y que hacía posible pensar en la existencia de un único principio general de orden cósmico. Y esa búsqueda de la unidad en la naturaleza por parte de Newton fue paralela a su persecución de la verdad originaria a través de las Sagradas Escrituras, persecución que hizo de él un convencido antitrinitario y que seguramente influyó en sus esfuerzos hasta conseguir la dispensa real de la obligación de recibir las órdenes sagradas para mantener su posición en Trinity.

En 1679 Newton se ausentó de Cambridge durante varios meses con motivo de la muerte de su madre, y a su regreso en el mes de noviembre, recibió una carta de Hooke, por entonces secretario de la Sociedad, en la que éste trataba de que Newton restableciera su contacto con la institución y le sugería la posibilidad de hacerlo comentando las teorías del propio Hooke acerca del movimiento de los planetas. Como resultado, Newton reemprendió una correspondencia sobre el tema que, con el tiempo, habría de desembocar en reclamaciones de prioridad para Hooke en la formulación de la ley de la atracción gravitatoria; por el momento, su efecto fue el de devolverle a Newton su interés por la dinámica y hacerle ver que la trayectoria seguida por un cuerpo que se moviera bajo el efecto de una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de las distancias, tendría forma elíptica (y no sería una espiral, como él creyó en principio, dando pie a ser corregido por Hooke).

Cuando cinco años más tarde Edmund Halley, quien por entonces había ya observado el cometa que luego llevó su nombre, visitó a Newton en Cambridge y le preguntó cuál sería la órbita de un planeta si la gravedad disminuyese con el cuadrado de la distancia, su respuesta fue inmediata: una elipse.

Maravillado por la rapidez con que Newton consideraba resuelto un asunto en cuyo esclarecimiento andaban compitiendo desde hacía varios meses Hooke y el propio Halley, éste inquirió cómo podía conocer Newton la forma de la curva y obtuvo una contestación tajante: “La he calculado”. La distancia que iba entre el atisbo de una verdad y su demostración por el cálculo marcaba la diferencia 224

fundamental entre Hooke y Newton, a la par que iluminaba sobre el sentido que este último daría a su insistente afirmación de «no fingir hipótesis».

Sin embargo, en aquel día del verano de 1684 Newton no pudo encontrar sus cálculos para mostrárselos a Halley, y éste tuvo que conformarse con la promesa de que le serían enviados una vez rehechos. La reconstrucción, empero, chocó con un obstáculo: demostrar que la fuerza de atracción entre dos esferas es igual a la que existiría si las masas de cada una de ellas estuviesen concentradas en los centros respectivos. Newton resolvió ese problema en febrero de 1685, tras comprobar la validez de su ley de la atracción gravitatoria mediante su aplicación al caso de la Luna; la idea, nacida veinte años antes, quedó confirmada entonces merced a la medición precisa del radio de la Tierra realizada por el astrónomo francés Jean Picard.

El camino quedaba abierto para reunir todos los resultados en un tratado sobre la ciencia del movimiento: los Philosophiae naturalis principia mathematica (Principios matemáticos de la filosofía natural). La intervención de Halley en la publicación de la obra no se limitó a la de haber sabido convencer a su autor de consentir en ella, algo ya muy meritorio tratándose de Newton; Halley supo capear el temporal de la polémica con Hooke, se encargó de que el manuscrito fuese presentado en abril de 1686 ante la Sociedad Real y de que ésta asumiera su edición, para acabar pagando personalmente con los gastos de la impresión, terminada en julio de 1687.

De Cambridge a Londres Los Principia contenían la primera exposición impresa del cálculo infinitesimal creado por Newton, aunque éste prefirió que, en general, la obra presentara los fundamentos de la física y la astronomía formulados en el lenguaje sintético de la geometría. Newton no fue el primero en servirse de aquel tipo de cálculo; de hecho, la primera edición de su obra contenía el reconocimiento de que Leibniz estaba en posesión de un método análogo. Sin embargo, la disputa de prioridades en que se enzarzaron los partidarios de uno y otro determinó que Newton suprimiera la referencia a Leibniz en la tercera edición de 1726. El detonante de la polémica (orquestada por el propio Newton entre bastidores) lo constituyó la insinuación de que Leibniz podía haber cometido plagio, expresada en 1699 por Nicolas Fatio de Duillier, un matemático suizo admirador de Newton, con el que mantuvo una íntima amistad de 1689 a 1693.

Ese año Newton atravesó por una crisis paranoica de la que se ha tratado de dar diversas explicaciones, entre las que no ha faltado, desde luego, la consistente en atribuirla a la ruptura de su relación con el joven Fatio, relación que, por otra parte, no parece que llevara a Newton a traspasar las férreas barreras de su código moral puritano. Los contemporáneos de Newton popularizaron la improbable explicación de su trastorno como consecuencia de que algunos de sus manuscritos resultaran destruidos en un incendio; más recientemente se ha hablado de una lenta y progresiva intoxicación derivada de sus experimentos alquímicos con mercurio y plomo. Por fin, no pueden olvidarse como causa plausible de la depresión las dificultades que Newton encontró para conseguir un reconocimiento público más allá del estricto ámbito de la ciencia, reconocimiento que su soberbia exigía y cuya ausencia no podía interpretar sino como resultado de una conspiración de la historia.

Pese a la dificultad de su lectura, los Principia le habían hecho famoso en la comunidad científica y Newton había formado parte en 1687 de la comisión que la Universidad de Cambridge envió a Londres para oponerse a las medidas de catolización del rey Jacobo II. Aunque quizá su intervención se debió más a su condición de laico que a su fama, ello le valió ser elegido por la universidad como representante suyo en el parlamento formado como consecuencia del desembarco de Guillermo de Orange y el exilio de Jacobo II a finales de 1688.

Su actividad parlamentaria, que duró hasta febrero de 1690, se desarrolló en estrecha colaboración con Charles Montagut, más tarde lord Halifax, a quien había conocido pocos años antes como alumno en Cambridge y que fue el encargado de dar cumplimiento a los deseos de Newton de 225

cambiar su retiro académico en Cambridge por la vida pública en Londres. Montagut fue nombrado canciller de la hacienda real en abril de 1694; cuando su ley de reacuñación fue aprobada en 1695, le otorgó a Newton el cargo de inspector de la Casa de la Moneda, siendo ascendido al de director en 1699. Lord Halifax acabó por convertirse en el amante de la sobrina de Newton, aunque los cargos obtenidos por éste, pese a las acusaciones lanzadas por Voltaire, no tuvieron que ver con el asunto.

A fines de 1701 Newton fue elegido de nuevo miembro del parlamento como representante de su universidad, pero poco después renunció definitivamente a su cátedra y a su condición de miembro del colegio Trinity, confirmando así un alejamiento de la actividad científica que se remontaba, de hecho, a su llegada a Londres. En 1703, tras la muerte de Hooke y una vez que el final de la reacuñación había devuelto la tranquilidad de una sinecura a la dirección de la Casa de la Moneda, Newton fue elegido presidente de la Sociedad Real, cargo que conservó hasta su muerte. En 1705 se le otorgó el título de Sir. Pese a su hipocondría, alimentada desde la infancia por su condición de niño prematuro, Newton gozó de buena salud hasta los últimos años de su vida; a principios de 1722 una afección renal lo tuvo seriamente enfermo durante varios meses y en 1724 se produjo un nuevo cólico nefrítico. En los primeros días de marzo de 1727 el alojamiento de otro cálculo en la vejiga marcó el comienzo de su agonía: Newton murió en la madrugada del 20 de marzo, tras haberse negado a recibir los auxilios finales de la Iglesia, consecuente con su aborrecimiento del dogma de la Trinidad.

Se le enterró en la Abadía de Westminster.

Basado en: http://www.biografiasyvidas.com/biografia/n/newton.htm Britannica Great Books, libro 34

Biografía de Gottfried Wilhelm Leibniz

Nace en Leipzig en 1646 y muere en Hannover en 1716.

Su padre fue jurista y profesor de moral en la universidad de Leipzig, ciudad donde nació Gottfried, quien, aunque nunca fue muy fervoroso, abogó toda su vida por la reunificación de las iglesias, a pesar de que tanto su familia como su entorno fueran luteranos. Aquella posición, el irenismo, como se llamaba en su época, tenía connotaciones políticas tanto como religiosas, pues pretendía asimismo la unificación de los 350 estados en los que estaba dividida Alemania. Precisamente, una

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de las características más originales de Leibniz es su propósito de sintetizar y conciliar las opiniones y concepciones más opuestas en todos los ámbitos del pensamiento.

Su padre murió cuando Leibniz tenía sólo 6 años y le quedó en herencia la amplia biblioteca privada, de la que se sirvió libremente, de forma que fue en gran medida autodidacta, hasta el punto de que a los ocho años ya leía en latín a Tito Livio. Siempre fue más aficionado a la lectura y el pensamiento que a las actividades físicas. El latín fue una de sus lenguas favoritas así como el francés, y en ellas dos están redactados casi todos sus escritos filosóficos o científicos. También abogó por el desarrollo de la lengua alemana.

Desde sus primeros escritos manifiesta su interés por las Matemáticas y por la aplicación de las mismas al conocimiento en todos los niveles. Su Dissertatio de Arte Combinatoria, editada en 1666, aparece como consecuencia de sus estudios en la universidad de Leipzig en las áreas de Filosofía, Historia, Matemáticas y Derecho, y en ese escrito se encuentran buena parte de sus ideas fundamentales sobre combinatoria y algunas de sus reglas básicas o método de investigación científica, que él llamó el Arte de Inventar.

Tras rechazar un puesto de profesor en la universidad de Altdorf comenzó a viajar y a buscar una posición en la carrera jurídica y política, que en 1668 le ofrecerá el ministro de Maguncia, Christian von Boineburg. Gracias a él se trasladará a París, en principio con una misión diplomática, pero de hecho la etapa que pasó en esa ciudad fue una de las más fructíferas de su carrera como matemático y de su formación intelectual en general. En París estuvo casi cuatro años y la muerte de Boineburg en 1673 supuso un golpe para su situación económica, lo que le obligó a regresar a Hannover.

En París conoció los manuscritos de Descartes, Roberval, Pascal y también trabó relación con Huygens, que le introdujo en el mundo de las Matemáticas que entonces estaban de moda entre los grandes de la época. De ese modo descubrió su cálculo de las diferencias, la cuadratura aritmética, se inició en el cálculo de probabilidades y se relacionó con cuanto personaje de calidad se puso a su alcance. Construyó su propia Máquina Aritmética que, a diferencia de la de Pascal, no sólo sumaba y restaba sino que además dividía, multiplicaba e incluso extraía raíces cuadradas.

Intentó por todos los medios que le admitieran como miembro de la Academia de Ciencias francesa, pero al no ser católico se encontró con muchos impedimentos. En esta etapa entabla también relaciones con los científicos británicos y fue admitido como miembro de la Sociedad Real Inglesa.

Todos sus esfuerzos para permanecer en París fueron en vano y se vio obligado a aceptar un empleo como bibliotecario de la Casa de Hannover, con el encargo de escribir asimismo la historia de la familia.

A partir de 1700 su situación económica y social mejora bastante pues es nombrado presidente de la Academia de Ciencias de Brandemburgo, puesto subvencionado con 600 táleros al año, la antigua moneda alemana, a la vez que veía hacerse realidad uno de sus sueños, la constitución en todos los países de sociedades científicas que pudieran llevar a cabo conjuntamente grandes proyectos, para los que él mismo aportaba un buen número de sugerencias: Característica Universal, Lengua Racional, experimentos químicos y médicos, inventos técnicos, etc. Además en esos años llega a ser consejero del Emperador de Austria y del Zar de Rusia. De hecho a partir de entonces su situación económica siguió siendo desahogada hasta su muerte.

Su forma de trabajar era también muy peculiar: leía muchísimo y sobre todo escribía sin parar; de hecho, pensaba escribiendo y aunque sus publicaciones son escasas, el volumen de manuscritos que dejó a su muerte es enorme y su publicación está en la actualidad muy lejos de completarse, a pesar de los esfuerzos conjuntos de innumerables especialistas.

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No obstante, su relación privilegiada con la casa de Hannover se rompe en 1705 con la muerte de su protectora la princesa Sofía Carlota y las intrigas de la corte comienzan a jugar en su contra de forma que sus relaciones internacionales, su polémica con los discípulos ingleses de Newton y sus viajes fuera de Hannover van minando su posición y cuando el duque Jorge es nombrado en 1714 rey de Inglaterra, lejos de llevarle con él como uno de los hombres más prestigiosos de Europa, le ordena permanecer en Hannover y continuar escribiendo la historia de la familia. En 1716 su salud empeora rápidamente muriendo el 13 de noviembre.

Tras su muerte la injusticia cometida con él por la corte de Hannover continuó, pues guardaron sus escritos en los Archivos, impidiendo la difusión de sus ideas durante casi todo el siglo XVIII. A los cincuenta años de su muerte se levantó el veto y se comenzaron a publicar sus escritos y su correspondencia, con enormes dificultades debido a la gran variedad de los temas, su profunda interrelación y su enorme volumen.

En el campo de las Matemáticas, los estudios juveniles de Leibniz estuvieron dedicados sobre todo a la Aritmética: combinatoria, propiedades de los números, triángulo de Pascal, etc. Y sus primeras aportaciones también son en ese campo: fórmulas de análisis combinatorio, descubrimiento de los determinantes, estudio de la suma de series, etc. Uno de sus hallazgos es el valor de /4 con la siguiente igualdad:

π 1 1 1 1 1 = 1 − + − + − + ... donde aparece no sólo π si no todos los números 4 3 5 7 9 11

impares.

También estudia el triángulo armónico y sus propiedades: El Triangulo armónico es un arreglo de fracciones siendo las diagonales externas los recíprocos del número del renglón en que se encuentran, y las celdas internas representan el valor absoluto del valor de la celda de arriba menos la de la izquierda: Renglón: 1 2 3

1 1/2

1/4

5 6

1/6

1/3

4

1/6

1/12 1/20

1/5 1/30

1/2 1/3 1/12 1/30

1/60

1/4 1/20

1/60

1/5 1/30

1/6

A partir de su estancia en París y su relación con Huygens estudiará los Elementos de Euclides y la Geometría de Descartes, al que criticará en muchas ocasiones, entre otras cosas por excluir de su geometría algunas curvas como las que tienen exponentes funcionales.

También se interesa por el cálculo de probabilidades, que en sus primeros escritos sobre derecho había mencionado como uno de los instrumentos más útiles para la investigación de lo casual. Como subraya Belaval, uno de los grandes especialistas en Leibniz, ya había tenido la idea de un alfabeto de los pensamientos humanos meditando sobre Aristóteles, había desarrollado la idea con Bacon (las formas de primera clase semejantes a las letras del alfabeto), con Weigel y Hobbes (pensar, es 228

calcular), con Buteo (las cadenas de combinaciones), con Cardano (la lógica de lo probable), Raimond Llull es entonces reeditado en toda Europa y Kircher acaba de publicar su texto Polygraphia nova et universales ex combinatoria detecta (1663). Como colofón a sus estudios de derecho, Leibniz había presentado en julio de 1665, la tesis o Disputatio Juridica De Conditionibus y en agosto una Disputatio Posterior, donde sostiene que las demostraciones o pruebas en derecho tendrían que tener un rigor matemático y proponiendo, en el caso de los juicios hipotéticos, el cálculo de probabilidades y el cálculo de los juicios, a pesar de que sus conocimientos matemáticos entonces no eran suficientes para realizarlos por sí mismo. Por fin, en marzo de 1666, sostiene la Disputatio Aritmética de Complexionibus, que formará parte de su Arte Combinatoria que como hemos dicho, publicó ese mismo año, a los 20 años de edad. La tesis de este escrito es que nuestros conceptos están compuestos de ideas simples, cuyo número no puede ser muy grande, como sucede con las letras del alfabeto o con los factores primos.

Estas ideas simples o primitivas constituyen los términos de primer orden (1. el punto; 2. el espacio; 3. “situado entre”; 9. la parte; 10. el todo; 14. el número; 15. la pluralidad, etc.). Combinándolas dos a dos se obtienen los com2natio, términos de segundo orden, por ejemplo el número de las partes es la cantidad. Combinándolas de tres en tres tenemos las com3natio, por ejemplo el espacio tomado en un todo (2, 3, 10) es el intervalo y así sucesivamente. Recíprocamente, separando un término en sus factores primos, se pueden resolver problemas. De este modo la combinatoria se podría aplicar, como señala Leibniz a la lógica, la aritmética, la astronomía, la química, la medicina, la acústica, la jurisprudencia, etc. A pesar de estos trabajos, el grado de doctor se le niega en Brunswick a las jóvenes promociones, de manera que Leibniz se graduará finalmente en Altdorf el 15 de noviembre de 1666 con su trabajo De Casibus Perplexis in Jure, en el que desarrolla estas ideas aplicadas al derecho.

Pero Leibniz es conocido mundialmente sobre todo como inventor del Cálculo Diferencial, aunque ese descubrimiento se vio en su tiempo empañado por la injusta acusación de plagio por parte de algunos discípulos de Newton, acusación en la que se implicó el propio Newton. Hoy todos los estudiosos saben que ambos desarrollaron paralelamente el cálculo sin plagiarse. De hecho, la visión de Newton es más bien física, como lo atestigua su título de cálculo de fluxiones, mientras que la visión de Leibniz es sobre todo matemática.

Leibniz ya había desarrollado los principales aspectos del cálculo infinitesimal hacia 1676, al final de su estancia en París, y publicará en 1684 su primer artículo sobre el tema, en las Acta Eruditorum: “Nova methodus pro maximis et minimis”, donde proponía un método nuevo para calcular las tangentes a una curva y también los máximos y mínimos de la misma. Allí define lo que llama differentia o diferencial y lo escribe ya con la notación que perdurará: dx. También establece las reglas principales de cálculo con diferenciales, adición, sustracción, multiplicación y división, aunque sin dar las demostraciones. Y en cuanto al comportamiento local de las curvas, define la concavidad, convexidad y puntos de inflexión, lo que le lleva a definir las diferencias de segundo grado, que llama differentiae differentiarum. Su método, como él mismo señala, resulta superior a los existentes en esos momentos, no es geométrico, sino una forma de calcular con símbolos.

En junio de 1686 Leibniz publica un segundo artículo en Acta Eruditorum, con el título “De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum” donde trataba el problema inverso de las tangentes y el cálculo de las cuadraturas mediante su nuevo método, y mostraba que la diferenciación y la integración son operaciones recíprocas, introduciendo el símbolo ∑ para la summation, pues el término integral no se emplea por primera vez hasta 1690, gracias a Jacques Bernoulli.

No obstante, estos logros no tendrán demasiada acogida y pasarán inadvertidos hasta 1690, cuando Bernoulli publica en las Acta Eruditorum un artículo en el que se emplea el nuevo cálculo para resolver el problema de la curva isócrona. Los hermanos Bernoulli continuaron desarrollando el nuevo 229

cálculo y será Jean quien en 1691 se lo enseñará al Marqués de l’Hospital, que publicaría el primer tratado sobre cálculo diferencial en 1696. Como l’Hospital diría: “Debo hacer aquí justicia (como la ha hecho el señor Leibnitz, en el Journal des Sçavans de agosto 1694) que el sabio Sir Isaac Newton descubrió igualmente algo como el Calculus Differentialis, que aparece en su excelente Principia, publicado primero en el año 1687, que depende casi totalmente del uso del mencionado Calculus. Pero el método del señor Leibnitz es mucho más fácil y expeditivo gracias a la notación que utiliza, por no mencionar la maravillosa asistencia que presta en muchas ocasiones”.

Efectivamente, la simbología matemática que ahora utilizamos es en buena parte debida a Leibniz: diferenciales primeras y segundas, integral, infinitesimales, etc. Introduce el término de función y señala que integral y derivada son dos operaciones inversas. Introduce el sistema binario de numeración, de incontables aplicaciones posteriores, y tantos otros avances que ahora vamos descubriendo al descifrar sus manuscritos inéditos.

Autora: Mary Sol de Mora Basado en : http://divulgamat.ehu.es/weborriak/Historia/MateOspetsuak/Leibniz.asp

Ligas externas

La NASA explica las tres leyes de Newton (en Inglés) http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/newton.html

Ilustraciones

Imagen de Newton, página inicial: http://cascooscuro.files.wordpress.com/2007/08/sir_isaac_newton_1643-1727.jpg

Newton y la manzana: http://csmh.pbworks.com/f/1188431334/Isaac%20Newton%20apple.JPG Niño con papalote: http://lhs.lexingtonma.org/Teachers/Cordero/images/KITE6~1.GIF Portada de Opticks: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/50/461px-Newton-opticks.jpg Descomposición de la luz:

230

http://imagecache5.art.com/p/LRG/17/1740/GRJ3D00Z/guillon-newton-uses-a-prism-todecompose-light.jpg Portada de Principia: http://www.library.usyd.edu.au/libraries/rare/modernity/images/newton3-1.jpg Imagen de Robert Hooke: http://redescepalcala.org/olivaryescuela/divulgacion/3_Feria_Sevilla/Proyecto/RobertHooke.jpg Imagen de Leibniz: http://unfaroeneldesierto.files.wordpress.com/2008/04/300pxgottfried_wilhelm_von_leibniz1.jpg

231

Matemáticas 5 Objetivo IV: Historia del cálculo Tema 4.4: El cálculo moderno

Berkeley

Euler

Riemann

(1 707 -8 3)

l'Hospital

Lagrange

OBJETIVO

Lebesgue Henstock (+ 2 007 )

Familia Bernoulli

d'Alambert

Conocerá algunos pasajes de la historia del cálculo, desde el siglo XVIII hasta el presente

Haar Taylor

Cauchy

Resumen Durante gran parte del siglo XVIII se exploró el nuevo y poderoso método del cálculo; durante el siglo XIX el esfuerzo se concentró en establecer en bases sólidas y lógicas del enorme pero tambaleante superestructura erigida el siglo anterior, y a partir del siglo XX se han generalizado las ganancias obtenidas y desde entonces, muchos matemáticos tratan de investigar problemas aún más profundos.

Introducción: El cálculo después del siglo XVII El cálculo, asociado con la geometría analítica fue la mejor herramienta descubierta en el siglo XVII, ya que con su ayuda se pudo atacar problemas de la Física, Matemática y Astronomía imposibles de resolver anteriormente.

Las bastas aplicaciones atrajeron a que el grueso de los matemáticos de la época publicara gran cantidad de artículos sin fijarse demasiado en la débil plataforma de la materia.

Justificaban los métodos empleados ya que funcionaban aceptablemente bien y no fue sino hasta que el siglo XVIII terminaba, después de que una gran acumulación de situaciones absurdas y de horribles contradicciones, cuando los matemáticos sintieron la necesidad de examinar lógica y rigurosamente la base de sus trabajos.

232

El proceso fue largo y difícil y hacerlo les llevo 100 años aproximadamente: el siglo XIX. La idea de lo que es una función tuvo que revisarse y muchas nociones como límite, continuidad, diferenciabilidad e integrabilidad tuvieron que refinarse cuidadosa y claramente.

Desde los inicio del siglo XX se dedicó a tales actividades. Esta tarea condujo al descubrimiento y estudio de nuevos conceptos o de generalizaciones, como el caso de lo que es espacio, dimensión, convergencia, para nombrar sólo algunos, tuvieron que ser trabajados. Tales nociones soportaron una gran cantidad de generalizaciones y fue necesario alcanzar grandes alturas en la abstracción.

Sin embargo algunos de estos procesos dieron lugar a un nuevo conjunto de situaciones paradójicas.

El estudio abstracto de lo que son los conjuntos se ha ensanchado y profundizado en muchas ramas de la Matemática pero al mismo tiempo, revelado algunas molestas paradojas que parecen estar en la parte más profunda de la Matemática, y aquí es donde aparentemente estamos ahora, iniciado en el siglo XXI.

En las siguientes páginas platicaremos de algunos de los personajes más destacados en la moderna y apasionante historia del cálculo

Leonard Euler

Timbre postal suizo: 300 años del natalicio de Euler En el siglo XVIII fue cuando se consolidaron los descubrimientos del siglo anterior, siendo Leonard Euler (1707-1783) la figura dominante en este período. Euler es el matemático más prolífico de todos los tiempos; sus trabajos equivalen a 75 libros completos de material importante. El alcance y creatividad de sus contribuciones en todas las ramas de la Matemática pura y aplicada permiten que se le inserte en la pequeña lista de los gigantes de la Matemática, junto con Arquímedes, Newton y Gauss.

La carrera profesional de Euler se desarrolló principalmente en las academias de San Petersburgo y en Berlín. Euler nació y realizo sus primeros estudios en Basilea, Suiza, donde se graduó de la universidad a los quince años de edad. Su padre era un clérigo que habría preferido que su hijo 233

estudiara teología pero el joven aprendió matemáticas de Johann Bernoulli y es donde encontró su verdadera vocación.

El trabajo de Euler representa un buen ejemplo de cómo se manipulaba la Matemática en el siglo XVIII. Por ejemplo aplicando el teorema del binomio al cociente

1 = (1 − 2) −1 se obtiene que 1− 2

-1 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … lo cual es imposible, pero no dejaba de ser sorprendente pues aplicaban resultados conocidos y probados pero solo para algunas situaciones específicas.

Algunas de las contribuciones de Euler tienen que ver con la notación:

f(x) Notación de función e

Base de los logaritmos naturales

∑

Notación de suma

i

La raíz cuadrada de -1

También es famoso por la fórmula

e ix = cos x + i sen x la cual, si tomamos x = π y agrupando, se convierte en

e iπ + 1 = 0 una relación que involucra a los cinco números más importantes en las Matemáticas: 0, 1, e, π, i Los Bernoulli Una de las familias más distinguidas en las matemáticas y en las ciencias es la familia Suiza de los Bernoulli, quienes desde el siglo XVII produjeron varios científicos notables. Los registros empiezan con los hermanos Jacob (1654-1705) y Johann (1667-1748). Estos hombres abandonaron sus intereses vocacionales iniciales y se convirtieron en matemáticos cuando los artículos de Leibniz empezaron a aparecer. Fueron de los primeros en sorprenderse debido al gran poder del cálculo y en aplicarlo en gran variedad de problemas.

Desde 1687 hasta su muerte, Jacob ocupó la dirección matemática en la universidad de Basilea. En 1697, Johann fue profesor en la universidad de Groningen (Holanda) y ocupó el puesto de su hermano al morir éste en 1705. Ambos hermanos, a veces acérrimos rivales, mantuvieron un constante intercambio de ideas con Leibniz y entre si.

234

Jacob Bernoulli

Johann Bernoulli

Johann tuvo tres hijos: Nicolaus II, Daniel y Johann II, todos ellos reconocidos científicos del siglo XVIII. Daniel fue el más famoso de los tres hermanos quien se desempeño en la probabilidad, astronomía, física e hidrodinámica.

Otro Bernoulli del siglo XVIII fue Nicolaus I, sobrino de ambos Jacob y Johann. Ocupó el puesto que alguna vez tuvo Galileo en la universidad italiana de Padua.

Johann II tuvo dos hijos, de los cuales Johann III a los 19 años de edad fue invitado como profesor de matemáticas en la academia de Berlín.

235

Marques de l´Hospital

Entre 1691 y 1692 Johann Bernoulli escribió dos pequeños tratados sobre el cálculo diferencial e integral; al poco tiempo, siendo tutor del joven Marques de l´Hospital (1661-1704) fue que a cambio de su salario por darle clase, le cedió los manuscritos y el derecho de usarlos como quisiera. El resultado fue la publicación en 1696 el primer libro de texto de cálculo: Análisis de lo infinitamente pequeño para el entendimiento de las curvas. Actualmente se recuerda este libro por el resultado conocido como la “Regla de l’Hospital” para formas indeterminadas: Si f(x) y g(x) son dos funciones diferenciables tales que f(a) = g(a) = 0, entonces

lím

x→ a

f ( x) f ' ( x) = lím g ( x) x→ a g ' ( x )

siempre y cuando el segundo límite exista.

El libro de l’Hospital fue el primer texto de cálculo, pero los dos tomos de Euler Introductio in analysis infinitorum de 1748 crearon un nuevo tópico en las Matemáticas: el análisis, para situarse a la par con la geometría y con el álgebra. En estos libros se encuentran por primera vez el concepto de función así como algunos procesos infinitos, tales como las sumas infinitas, o sea, las series. En esta misma obra aparece por primera vez el tratado sistemático de los logaritmos como exponentes y de las funciones trigonométricas como razones y proporciones en vez de cómo segmentos de líneas.

Brook Taylor La serie de Taylor fue publicada por el discípulo de Newton, Brook Taylor en el año 1715. En lenguaje moderno, este resultado dice que, dada una función f(x) de una variable (con suficientes derivadas), se puede aproximar por polinomios de la siguiente manera:

f ( x ) = f (a ) + f ' (a )( x − a ) +

(n −1) f ' ' (a ) (x − a )2 + f ' '' (a ) (x − a )3 + .. + f (a ) (x − a )n−1 + Rn 2!

3! (n − 1)!

donde Rn es el residuo después de ene términos. Los primeros ene términos constituyen un polinomio que aproxima a la función f(x) alrededor del punto a.

236

Brook Taylor 1685 -1731

Por ejemplo, si f(x) = cos x y si a = 0 entonces las primeras aproximaciones polinomiales son T0 (x) = cos 0 = 1 T2(x) = cos 0 + cos’ 0 (x – 0) + cos’’0 (x – 0)2 / 2 = 1 – x2 / 2 T4(x) = 1 – x2 / 2 + x4 / 24 (las derivadas impares de coseno se anulan en 0) Observamos en las gráficas siguientes lo parecido que son los polinomios T2 y T4 a la función coseno, cerca de 0:

T2 (abajo de coseno)

T4 (arriba de coseno)

Mientras mayor sea el entero n, mejor es la aproximación del polinomio Tn a la función, y de hecho el límite cuando n tiende a infinito la suma obtenida es exactamente la función coseno:

( − 1) n x 2n (2n)! n=0 ∞

cos x = ∑

237

Así, el cálculo entraba en el siglo XVIII estorbado por algunas fallas en las bases lógicas. Estas incertidumbres, que persistieron todo el siglo, poco hicieron para impedir el rápido desarrollo de las actuales herramientas estándar del cálculo diferencial. Durante este período se consideró a la integración simplemente como el proceso inverso de derivar, así que el cálculo integral fue apreciado como un tema solamente secundario.

George Berkeley

Una ataque dirigido a las inconsistencias del cálculo en sus primeros años, fue presentado en un ensayo escrito en 1734 por el Obispo George Berkeley, título puede traducirse como El Analista, o un discurso dirigido a un matemático infiel El matemático infiel era astrónomo Edmund Halley, discípulo de Newton.

El objeto de Berkeley era cuestionar la firmeza de las bases de las Matemáticas en el trabajo de Newton, atacando principalmente las llamadas Fluxiones (nombre dado por Newton a la derivada); además critica a los seguidores de Newton y de Leibniz por usar métodos que “ni siquiera ellos entienden” El primer paso hacia la solución de las dificultades de Newton lo dio el francés Jean d’Alembert (1717-1783) expresando: Leibniz se sintió apenado por las objeciones en contra de las cantidades infinitamente pequeñas. Por otro lado, aun cuando el trabajo de Newton acerca del cálculo de las fluxiones es exacto e iluminante, nos otorga solamente un imperfecto reflejo de sus pensamientos.

El cálculo consiste en determinar algebraicamente el limite de ciertas razones o proporciones

238

Es decir, d’Alambert hace notar que la derivada es un límite, el que hoy escribiríamos como

dy ∆y = lím ∆ x → 0 dx ∆x

d’Alambert Aunque aún hacia falta una buena definición de límite, la cual llegaría en el siglo siguiente: el XIX.

Joseph Louis Lagrange

En 1797 el francés Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813) presentó un sólido trabajo (Teoría de las funciones analíticas) tratando de eliminar las referencias a las diferenciales, infinitesimales y conceptos de límites. El enfoque de Lagrange se basa en la expansión en series de potencia de las funciones. Si reemplazamos x por x + i entonces, “por la teoría de las series”, dice, se obtiene: f(x + i) = f(x) + pi + q i2 + r i3 + …

239

donde p, q, r son nuevas funciones de x obtenidas de la función original f(x).

Al primer coeficiente de i, o sea a p(x), Lagrange le llama f ’(x) y dice que es la primera función obtenida (o derivada) de f(x).

Esta función f ’(x) resulta ser efectivamente la que conocemos hoy como la primera derivada de f y es el origen histórico de la notación f ’ como la derivada de f.

Argumentos similares le condujeron al resultado siguiente:

f (x + i ) = f (x ) + f ' (x ) i +

f ' ' ( x ) 2 f ' '' ( x ) 3 i + ... i + 2!

3!

O sea, a la serie de Taylor de la función.

Lagrange concluye diciendo que sólo se necesita un poquito del cálculo diferencial para reconocer que la las funciones obtenidas f ’, f ’’, f ’’’ coinciden con las derivadas de la función original f(x).

(Cauchy hizo notar que no todas las funciones admiten desarrollo en serie de potencia con el ejemplo

f ( x) = e −1 x ) 2

El intento de Lagrange de expulsar del cálculo cualquier traza de infinitesimales y de límites fue infructuoso, sin embargo su libro incluye valiosas contribuciones, entre otras el llamado Residuo de Lagrange para la serie de Taylor.

Joseph Fourier

240

El célebre libro Teoría analítica del calor, publicado por Joseph Fourier en 1822 aborda el método de las series trigonométricas iniciado por Euler y Bernoulli y que habían aplicado a casos especiales en sus trabajos acerca de cuerdas vibrantes.

Fourier se enfoca a la transmisión del calor y una versión sencilla de uno de sus resultados es el siguiente teorema (demostrado años después por Dirichlet): Si f es una función definida y acotada en (– π, π) entonces la serie

a0 ∞ + ∑ (a n cos nx + bn sen nx ) 2 n =1 converge a f(x), donde a n =

1

π

π

∫ f ( x) cos nx dx

y bn =

−π

1

π

π

∫ f ( x) sen nx dx .

−π

La serie de Fourier tiene aplicaciones en el análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales y compresión de datos.

Bernard Bolzano

Una formulación precisa del concepto de continuidad de una función apareció en un folleto en Praga, publicado privadamente por el profesor y sacerdote Bernard Bolzano (1781-1848). La definición de Bolzano es equivalente a la siguiente: f(x) es continua en un intervalo, si para cada x sucede:

lím f ( x + ω ) = f ( x )

ω →0

El folleto de Bolzano no tuvo la circulación suficiente y en su libro Curso Sobre el Análisis, Cauchy en 1821 casi duplicó la definición de continuidad.

Agustín Louis Cauchy (1789-1857) fue la figura dominante de la primera mitad del siglo XIX y se le considera el fundador del rigor en las Matemáticas modernas. Su definición de límite se puede escribir como sigue:

Si valores consecutivos se acercan indefinidamente a un valor fijo, difiriendo de éste tan poco como se quiera, a este último valor fijo se le llama

241

el límite de todos los demás

Se nota la semejanza o el origen de la definición que nosotros estudiamos en este curso.

En lo que a integración se refiere, Cauchy hizo notar la necesidad de dar una definición general de lo que es la integral y demostrar la existencia de la integral de una amplia clase de funciones para así tener bases para poder discutir algunas integrales particulares y sus propiedades.

En 1823 publicó su definición de integral y poco después Riemann fue quien la completó y la veremos a continuación.

Bernhard Riemann (1826 1866)

Escribió Riemann: ¿Qué es lo que se entiende con Su réplica inmediata fue la siguiente: 242

∫

b

a

f ( x)dx ?

Para contestar la pregunta, tomamos una sucesión de valores x1, x2,..., xn-1 todos ellos entre a y b y ordenados por tamaño.

Por brevedad, renombramos como sigue: δ1 = x1 – a, δ2 = x2 – x1,..., δn = xn – xn-1 y llamaremos εi a pequeños números positivos.

Entonces, el valor de la suma S = δ1 f(a + ε1δ1) + δ2 f(x1 + ε2δ2) + δ3 f(x2 + ε3δ3) + ... + δn f(xn-1 + εnδn) dependerá de la elección de los intervalos δi y de las cantidades εi.

Si es que la suma tiene la propiedad de que no importa cómo se escojan las δi y las εi y tiende a un límite A fijo mientras que las delta se hacen infinitamente pequeñas, entonces, a este valor se le llama

∫

b

a

f ( x)dx

Lo que hace Riemann es a) Dividir el intervalo [a, b] en ene subintervalos [ x i-1, x i ], i = 1, 2,..., n __

b) Tomar el punto

xi = xi−1 + ε iδ i en cada subintervalo [ x i-1, x i ],

y definir la integral como

∫

b

a

n

__

f ( x)dx = lím ∑ f ( xi )( xi − xi −1 ) δ→ 0

i =1

donde δ representa la mayor de las longitudes δi de los subintervalos [ x i-1, x i ], Es la definición que usamos en el texto y que se emplea actualmente.

Lebesgue, Henri (1875 1941)

243

Intrigado por algunos problemas que involucran a la integral de Riemann, Lebesgue, generalizando las ideas de longitud y de área, desarrolló una nueva integral, que lleva su nombre. Sabemos que cualquier función acotada y continua se puede integrar en el sentido de Riemann. Estas funciones también pueden integrarse con la definición de Lebesgue y además resulta que las integrales coinciden, es decir, el valor de una integral es igual al de la otra. Sin embargo, es por eso la importancia de Lebesgue, hay muchas funciones que se pueden Lebesgue_integrar pero no Riemann_integrar.

Tal vez el ejemplo más simple es el siguiente: Sea H(x) la función definida en el intervalo [0, 1], que distingue a los números racionales de los irracionales. Si Q denota a los números racionales entonces la definición de H es:

1 si H(x) =  0 si

x∈Q x∉Q

Si usamos la definición de la integral de Riemann, esta función no se puede integrar.

(La razón es que las sumas superiores siempre valdrán uno mientras que las inferiores 0 implicando que el límite de las sumas de Riemann no existe) Sin embargo la función sí es integrable con la definición de Lebesgue. Por cierto, su integral (de Lebesgue) es 0.

El futuro La integral de Lebesgue no fue la primera ni es la última ya que una serie de integrales han aparecido, cada vez más potentes que involucran a las anteriores. Por ejemplo, en 1957 Ralph Henstock introdujo una integral que es aún más general e incluye ambas integrales de Riemann y de Lebesgue. Y nadie duda que aún nuevas definiciones puedan aparecer en los próximos años. Por qué no. Ver bibliografía abajo.

244

Pesonajes relacionados con el cálculo diferencial e integral Índice cronológico Tales de Mileto Pitágoras de Samos Hipaso de Metaponto Zenón de Elea Antifonte de Atenas Demócrito Bryson de Heráclea Leucipo de Mileto Diógenes, Laercio Eudoxo de Cnidos Euclides Pappus Arquímedes Oresme, Nicolas Stevin, Simon Valerio, Luca Galileo Galilei Kepler, Johannes Mersenne, Marin Descartes, Rene Cavalieri, Bonaventura Fermat, Pierre de Roberval, Gilles de Torricelli, Evangelista Wallis, John Pascal, Blas Huygens, Christian Barrow, Isaac Newton, Isaac Leibniz, Goettfried Bernoulli, Jaques l'Hospital, Guillaime Bernoulli, Johann Berkeley, George Taylor, Brook Euler, Leonhard d'Alambert, Jean Lagrange, Joseph Fourier, J Baptiste Joseph Bolzano, Bernard Cauchy, Agustín Riemann, Bernhard Lebesgue, Henri Hawking, Stephen

624 548 582 507 ~ 520 490 430 480 411 460 370 450 390 450 370 413 327 390 337 300 265 290 350 287 212 1323 1382 1548 1620 1552 1610 1564 1642 1571 1630 1588 1648 1596 1650 1598 1647 1601 1665 1602 1675 1608 1647 1616 1703 1623 1662 1629 1695 1630 1677 1643 1727 1646 1716 1654 1705 1661 1704 1667 1748 1685 1753 1685 1731 1707 1783 1717 1783 1736 1813

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38

http://es.wikipedia.org/wiki/Tales_de_Mileto http://es.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1goras http://es.wikipedia.org/wiki/Hipaso_de_Metaponto http://es.wikipedia.org/wiki/Zen%C3%B3n_de_Elea http://es.wikipedia.org/wiki/Antifonte http://es.wikipedia.org/wiki/Democrito http://www.answers.com/topic/bryson-of-heraclea-1 http://es.wikipedia.org/wiki/Leucipo_de_Mileto http://es.wikipedia.org/wiki/Diogenes_Laercio http://es.wikipedia.org/wiki/Eudoxo http://es.wikipedia.org/wiki/Euclides http://es.wikipedia.org/wiki/Pappus_de_Alejandr%C3%ADa http://es.wikipedia.org/wiki/Arquimedes http://en.wikipedia.org/wiki/Oresme http://es.wikipedia.org/wiki/Simon_Stevin http://www.ucm.es/BUCM/foa/exposiciones/mat2006/08.html http://es.wikipedia.org/wiki/Galileo http://es.wikipedia.org/wiki/Kepler http://es.wikipedia.org/wiki/Marin_Mersenne http://es.wikipedia.org/wiki/Des_Cartes http://es.wikipedia.org/wiki/Bonaventura_Cavalieri http://es.wikipedia.org/wiki/Fermat http://www.biografiasyvidas.com/biografia/r/roberval.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Torricelli http://es.wikipedia.org/wiki/John_Wallis http://es.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal http://es.wikipedia.org/wiki/Christiaan_Huygens http://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Barrow http://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton http://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibniz http://es.wikipedia.org/wiki/Bernoulli http://es.wikipedia.org/wiki/L%27hopital http://es.wikipedia.org/wiki/Johann_Bernoulli http://es.wikipedia.org/wiki/Bishop_Berkeley http://es.wikipedia.org/wiki/Brook_Taylor http://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler http://es.wikipedia.org/wiki/D'Alembert http://es.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_de_Lagrange

1768 1830 1781 1848 1789 1857 1826 1866 1875 1941 1942

39 40 41 42 43 44

http://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourier http://www.mat.usach.cl/histmat/html/bolz.html http://es.wikipedia.org/wiki/Augustin_Louis_Cauchy http://www.mat.usach.cl/histmat/html/riem.html http://es.wikipedia.org/wiki/Henri_Lebesgue http://es.wikipedia.org/wiki/Stephen_Hawking

245

Ejercicio

Si apareciera en el periódico el siguiente anuncio:

Aeroméxico México - Acapulco

$5,000

$5

Viaje redondo

Viaje redondo

Avión diseñado con la integral de Riemann

(Avión diseñado con la integral de Lebesgue)

¿Qué escogerías?

Por la diferencia de precios, se infiere que el avión diseñado con la integral de Lebesque no es muy confiable que digamos. ¿Que tan cierto es esto? Una pregunta análoga es la atribuida al matemático Richard Hamming.

Algunos profesionales aseguran lo siguiente: Para términos prácticos, cualquiera de las dos integrales funciona adecuadamente; lo que sucede es que la de Lebesgue generaliza a la de Riemann y abarca una cantidad mayor de funciones.

Dos matemáticos comentan el problema de los aviones, en: http://www.emis.de/journals/NNJ/DavIns-HM.html#anchor47282

(en inglés)

Ligas externas

Riemann-Stieltjes, una extensión de la integral de Riemann.

La integral de Lebesgue-Stieltjes, desarrollada por Johann Radon, que generaliza las integrales de Riemann-Stieltjes y de Lebesgue.

La integral de Daniell, que incluye la integral de Lebesgue y la integral de

246

Lebesgue-Stieltjes sin tener que depender de ninguna medida.

La integral de Henstock-Kurzwe, definida de forma variada por Arnaud Denjoy, Oskar Perron, y Jaroslav Kurzweil, y desarrollada por Ralph Henstock.

La integral de Darboux, que es equivalente a la integral de Riemann.

La integral de Haar, que es la integral de Lebesgue con la medida de Haar.

Ilustraciones

Portada el libro Calculus for dummies: http://www.dummies.com/store/product/Calculus-For-Dummies.productCd-0764524984.html Imágenes de: Euler, Leonard. Timbre postal : http://www.post.ch/en/ph_euler_big.jpg Bernoulli, johann: http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Johann_Bernoulli.jpg Bernoulli Jacob: http://people.ece.cornell.edu/tlfine/photos/bernoulli/Bernoulli_Jacob_4.jpg Cauchy, Agustin L: http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Augustin_Louis_Cauchy.JPG l’Hospital, marques de http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Guillaume_de_l%27H%C3%B4pital.jpg Taylor, Brook : http://www.s9.com/images/portraits/29733_Taylor-Brook.jpg Berkeley, George: http://www.fisicanet.com.ar/biografias/cientificos/b/img/berkeley.jpg d’Alembert, Jean: http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Jean_d%27Alembert.jpeg Lagrange, Joseph Louis : http://www.mlahanas.de/Physics/Bios/images/JosephLouisLagrange.jpg Árbol de la familia Bernoulli: http://www.daviddarling.info/images/Bernoulli_family.gif Fourier http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Joseph_Fourier.jpg Bernard Bolzano : http://campusvirtual.unex.es/cala/epistemowikia/images/thumb/a/ab/Bolzano.JPG/180pxBolzano.JPG Bernhard Riemann: http://content.answers.com/main/content/img/scitech/HSgeorgf.jpg (Oct 2008) Lebesgue, Henri: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Lebesgue_2.jpeg/250pxLebesgue_2.jpeg

Referencias: Edwards, CH. The historical development of the calculus. Springer-Verlag 1979 Eves, Howard. Transition to the twentieth century.

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Reading for Calculus, Vol 5 MAA notes vol 31

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Gobierno del Distrito Federal Secretaría de Educación Instituto de Educación Media Superior Material de Apoyo al estudio de la Modalidad Semiescolar Matemáticas 5 Autor: Alejandro Montes y Gómez Daza Revisor: Gabriel Silva Ramírez

Corrección de estilo: René Chargoy Guajardo

México, D.F. Julio de 2009

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