Guía de Estudio para la Asignatura de Matemáticas 3 para IEMS del Gob.CDMX

matemĂĄticas iii GuĂ­a de estudio Modalidad Semi-escolar

La guía de estudio de Matemáticas III, fue editada por la Subdirección de Evaluación y Certificación del IEMS y forma parte de la serie de materiales de apoyo para fortalecer el estudio independiente en la modalidad Semiescolar.

Presentación El curso de Matemáticas III está concebido de modo tal que

descubras, inventes, propongas y discutas los contenidos, y de esta manera modeles para ti un método de razonamiento y de análisis, desarrollando tu creatividad, a la vez que aprendas a explicar tus procesos de pensamiento y argumentes tus conclusiones.

En esta guía de proponemos una serie de ejercicios que te permitan ejercitar tus habilidades en la disposición y las propiedades algebraicas del comportamiento de las rectas. Más adelante, se te presenta ejercicios de la ecuación cuadrática, su tabulación para dibujarla en el plano cartesiano y sus propiedades geométricas y algebraicas, así como este mismo análisis en la función cuadrática. Posteriormente se abordan las secciones cónicas, donde conocerás su definición, construcción, deducción y desarrollo con la idea de encontrar su ecuación o sus elementos. Para finalmente, manejar polinomios y términos algebraicos de amplio uso en las Matemáticas.

Bienvenido, esperamos que disfrutes de este material El autor Gabriel Silva Ramírez

Coordinación y asesoría académica Ana Lilia Arroyo Lemus Revisión Alejandro Montes y Gómez Daza Edición y diseño Ana Lilia Arroyo Lemus DR. 2011 IEMS. Dirección Académica Subdirección de Evaluación y Certificación San Lorenzo 290, Colonia del Valle, C.P. 03100, México, D.F. (En trámite) Distribución gratuita – Prohibida su venta

MATEMÁTICAS iii

Índice 1. La recta

1

2. Sistemas de dos ecuaciones rectilíneas

3

3. Sistemas de tres ecuaciones rectilíneas

6

4. Circunferencia

9

5. Elipse

13

6. Hipérbola

16

7. Parábola

19

8. Exponentes y radicales

22

El estudiante:

1. La recta

Comprenderá e incorporará a su acervo geométrico la imagen, concepción y tratamiento de un par de líneas rectas en el plano cartesiano.

Recuerda que es de gran ayuda dibujar en una hoja de papel con cuadricula los datos o condiciones que se te dan en cada ejercicio. De esta manera te será más fácil visualizar la respuesta correcta.

Cuál es el ángulo de inclinación, con respecto a la horizontal, de las siguientes rectas:

1.

El eje X

a) –45º

4. b) 0º

c) 30º

a) –135º

d) 90º

5.

2.

El eje Y

a) –45º

3. a) 0º

b) 0º

c) 30º

d) 90º

a)

Una recta paralela al eje X b) 45º

c) 135º

Una recta paralela al eje Y

6.

b) 0º

c) 60º

d) 90º

Una recta que pasa por el origen y bisecta al segundo cuadrante.

0 grados

b) 45º

c) 100 º

d) 135º

Una recta que pasa por el origen y bisecta al tercer cuadrante.

d) 90º a) 1

–30º

b) 135º

c) 60º

d) 225º

7. a)

Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los siguientes puntos (–3, 2) y (7, –3). m = –1/2

 i = –27º 26’

b)

m = 1/2

 i = –27º 26’

c)

m = –2

d)

 i = 27º 26’

m=2

 i = –27º 26’

8.

Los vértices de un triángulo son los puntos A(2, –2), B(–1, 4) y C(4, 5). Encontrar la pendiente de cada uno de sus lados.

a)

mAB = 2 mBC = 7/2 mCA = –1/5

9.

Una recta tiene pendiente 3 y pasa por el punto (3, 2). Encontrar la ordenada de los siguientes puntos:

b)

mAB = –2 mBC = 1/5 mCA = 7/2

A (4, ya)

c)

mAB = 7/2 mBC = –1/5 mCA = –2

d)

mAB = –7/2 mBC = 2 mCA = –1/5

B (–2, yb)

a)

A (4, –13) B (–2, 5)

10.

Una recta de pendiente –2 pasa por el punto (2, 7) y por los puntos A y B. Si la ordenada de A es 3 y la abscisa de B es 6, ¿cuál es la abscisa de A y cuál la ordenada de B?

a)

A (4, 3) B (6, –4)

11.

Tres de los vértices de un paralelogramo son (–1, 4), (1, –1) y (6, 1). Si la ordenada del cuarto vértice es 6, ¿cuál es su abscisa?

a)

abscisa = 4

b)

b)

b)

A (4, –5) B (–2, 13)

A (4, –3) B (6, 1)

abscisa = 1

c)

c)

c)

A (4, 5) B (–2,–13)

d)

A (4, –6) B (6, 2)

d)

abscisa = –1

d) 2

A (4, 5) B (–2, 13)

A (4, 3) B (6,–1)

abscisa = –4

El estudiante:

2. Sistemas de dos ecuaciones rectilíneas

Comprenderá el concepto grafico de intersección de rectas y sus posibles variantes (paralelas), y lo puede llevar el método gráfico a métodos algebraicos.

Recuerda que dadas las condiciones sobre algunos elementos de forma tal que se pueden construir dos rectas, estas pueden dibujarse de tres modos diferentes: 1. Se intersectan en un solo punto.

2. Son paralelas, o sea no tienen punto alguno común.

3. Son la misma recta y tendrán los mismos puntos.

12.

Encuentra la ecuación o las ecuaciones de las rectas cuyos puntos tienen el mismo valor en su ordenada (valor en y): a)

13.

b)

x = constante

c)

y=x

d)

x = –y

Encuentra la ecuación o las ecuaciones de las rectas cuyos puntos tienen el mismo valor en su abscisa (valor en x): a)

14.

y = constante

y=x

b)

x = –y

c)

x = constante

d)

y = – constante

Jorge compró, en el expendio “El Gran Cafeto”, 3 kilos de café y 5 kilos de azúcar en $290.00 y Aurora compró allí mismo, 4 kilos de café y 9 kilos de azúcar en $410.00. ¿Cuánto cuesta en “El Gran Cafeto” el kilo de café y cuanto el de azúcar? a)

café $75 azúcar $12

b)

café $80 azúcar $10

c)

azúcar $4 café $90

3

d)

café $75 azúcar $12

15.

Un ganadero compró 5 carneros y 7 caballos en $20,000; más tarde, a los mismos precios, compró 3 carneros y 2 caballos en $7,600. ¿Cuánto pagó por cada carnero y cuánto por cada caballo? a)

16.

c)

carnero $1,700 caballo $1,600

d)

carnero $1,200 caballo $2,000

frijoles $8 café $15 azúcar $10

b)

café $20 azúcar $6 frijoles $7

c)

azúcar $4 café $30 frijoles $10

d)

café $20 frijoles $6 azúcar $12

40cm3 al 8% 60cm3 al 15%

b)

50cm3 al 8% 50cm3 al 15%

c)

60cm3 al 8% 40cm3 al 15%

d)

70cm3 al 8% 40cm3 al 15%

Los ángulos interiores de un triángulo guardan entre sí las siguientes relaciones: el ángulo B es el triple de A y el ángulo C es el doble de A. ¿Cuánto mide cada ángulo? a)

19.

carnero $920 caballo $2,200

¿Cuántos cm3 de cada una de dos soluciones de alcohol, una al 8% y otra al 15%, se deben mezclar para obtener 100cm3 de solución al 12.2%? a)

18.

b)

Si 5 kilos de azúcar, 3 de café y 4 de frijoles cuestan $118; 4 de azúcar, 5 de café y 3 de frijoles cuestan $145; y 2 de azúcar 1 de café y 2 de frijoles cuestan $46. Hallar el precio por kilogramo de cada mercancía. a)

17.

carnero $800 caballo $2,300

 A = 60º  B = 90º  C = 30º

b)

 A = 90º  B = 30º  C = 45º

c)

 A = 90º  B = 60º  C = 30º

d)

 A = 30º  B = 90º  C = 60º

El largo de un rectángulo es el doble de su ancho y su perímetro es igual a 72cm. ¿Cuánto mide de largo y cuánto de ancho? a)

largo = 20cm ancho = 16cm

b)

largo = 12cm ancho = 24cm

c)

ancho = 12cm largo = 24cm

4

d)

ancho = 14cm largo = 22cm

20.

Hallar dos ángulos complementarios tales que uno sea triple del otro. a)

21.

 A = 30º  B = 60º

c)

 A = 24º 30’  B = 75º 30’

d)

 A = 90º  B = 30º

 A = 118º 30’  B = 60º 30’

b)

 A = 30º  B = 150º

c)

 A = 144º  B = 36º

d)

 A = 120º  B = 60º

d)

 A = 135º  B = 45º

d)

 A = 15º  B = 65º

Hallar dos ángulos suplementarios tales que uno sea triple del otro. a)

23.

b)

Hallar dos ángulos suplementarios tales que uno sea cuádruplo del otro. a)

22.

 A = 22º 30’  B = 67º 30’

 A = 50º  B = 150º

b)

 A = 60º  B = 120º

c)

 A = 25º  B = 75º

Hallar dos ángulos complementarios tales que uno sea cuádruplo del otro. a)

 A = 18º  B = 72º

b)

 A = 20º  B = 80º

c)

 A = 17º 30’  B = 71º

5

3. Sistemas de tres ecuaciones rectilíneas

El estudiante: Utilizará algunos métodos de solución para sistemas de tres ecuaciones rectilíneas.

Los sistemas de tres o más ecuaciones rectilíneas se construyen con base a las condiciones algebraicas que guardan los elementos que intervienen, principalmente razones entre ellas. La concepción geométrica es un juego más amplio puesto que construye planos que se intersectan en el espacio.

24.

Los ángulos interiores de un triángulo guardan entre sí las siguientes relaciones: el ángulo B es el cuádruple de A y el ángulo C es la suma de A y B. ¿Cuánto mide cada ángulo? a)

25.

b)

 A = 90º  B = 32º  C = 44º

c)

 A = 90º  B = 60º  C = 30º

d)

 A = 18º  B = 72º  C = 90º

El largo de una sala es 5/3 de su ancho y su perímetro es igual a 32m. ¿Cuánto mide de largo y cuánto de ancho? a)

26.

 A = 60º  B = 90º  C = 30º

largo = 20m ancho = 6m

b)

largo = 12m ancho = 4m

c)

ancho = 6m largo = 10m

d)

ancho = 3m largo = 14m

El perímetro de un triángulo es de 27cm; si el lado A es 2m mayor que el lado B, y el lado C es 5m menor que el lado B. ¿Cuánto mide cada uno de los lados? a)

A = 12cm B = 10cm C = 5cm

b)

A = 10cm B = 12cm C = 5cm

c)

A = 13cm B = 9cm C = 5cm 6

d)

A = 14cm B = 10cm C = 3cm

27.

El ángulo interior B de un triángulo es 10° menor que el doble del ángulo A, y el ángulo C es 15° menor que el ángulo B. ¿Cuánto mide cada ángulo? a)

 A = 30º  B = 50º  C = 100º

b)

 A = 75º  B = 45º  C = 60º

c)

 A = 35º  B = 80º  C = 65º

d)

 A = 65º  B = 40º  C = 75º

x=3 y=6 z = –7

c)

x=4 y=5 z=7

d)

x = –2 y=6 z=7

x = –6 y=6 z = 11

c)

x=7 y=0 z = –7

d)

x = 11 y=6 z = –7

x=2 y=6 z = –7

c)

x=2 y=6 z = –7

d)

x=2 y=6 z = –7

Resuelve las siguientes ecuaciones.

3x – 5y + 2z = –22 2x – y + 6z = 32 8x + 3y – 5z = –33

28.

a)

29.

x=2 y = –4 z = –6

b)

x + y + z = 11 x + 2y = 6 2x + 3y = 6 a)

x = –2 y = –8 z = –9

b)

3x – 2y = 23 4y + z = –27 x + 2y + 3z = –8

30.

a)

x=3 y = –7 z=1

b)

7

31.

x + y + z + u = 10 2x – y – 2z + 2u = 2 x – 2y + 3z – u = 2 x + 2y – 4z + 2u = 1

a)

32.

x=2 y = –1 z=4 u=3

b)

x=1 y=2 z=3 u=4

c)

x=2 y=4 z=1 u=3

d)

x = –4 y = –3 z=1 u = –2

x=2 y=6 z = –7

c)

x=2 y=4 z=5

d)

x=2 y=6 z = –7

x = 52 y = –25 z = –62

c)

x = 25 y = 62 z = –43

d)

x = 43 y = –62 z = 25

x + y + z = 11 x – y + 3z = 13 2x + 2y – z = 7

a)

33.

x=2 y=6 z = –7

b)

x + y + z =6 2x + y – z = –1 x + 2y + 3z = –6

a)

x = 43 y = 62 z = –25

b)

8

El estudiante:

4. Circunferencia

Comprenderá los conceptos relacionados con lugares geométricos de la circunferencia en el plano, a través de su caracterización algebraica.

El círculo es la sección cónica más sencilla, pues con saber en dónde está su centro y cuál es la medida de su radio puedes determinar su perímetro, su superficie y cuál es su ecuación, ó bien, teniendo su ecuación encontrar su origen, su radio y otras de sus medidas.

34.

Encuentra la ecuación de la circunferencia que tiene centro en (–4, 1) y radio 3. a) c)

35.

b) d)

x2 + y2 + 8x – 2y = –8 x2 + y2 + 4x + 2y = –8

Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos A(2, 2) y B(–4, 2). Encuentra su ecuación general. a) c)

36.

x2 + y2 – 8x + 2y = 8 x2 + y 2 = 9

x2 + y2 – 2x + 4y = 9 x2 + y2 + 2x – 4y = 4

b) d)

x2 + y2 + 2x + 4y = –4 x2 + y2 = 4

Dada la ecuación de la circunferencia x2 + y2 – 6x + 8y = 11, encuentra su centro y radio. a) c)

C(–4, 3), r = 6 C(4, 3), r = 36

b) d)

C(–3, 3), r = 36 C(3, –4), r = 6

9

37.

Si el diámetro de la pista de un circo mide 14m, encuentra su superficie, perímetro y radio. a)

38.

r = 28m S = 153.94m 2 P = 43.98m

d)

S = 153.94m r = 7m P = 43.98m 2

S = 10.50m 2 r = 5.25m d = 86.66m

b)

d = 10m r = 5m S = 70.55m 2

c)

d = 10.50m S = 86.66m 2 r = 5.25m

d)

S = 86.66m 2 r = 10.50m d = 5.25m

A,B

b)

A,B,C

c)

C, D

d)

B,C

A , C, D

b)

A,B

c)

B,C

d)

A,B,C

Obtén la ecuación general de la circunferencia con radio 5 cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 3x – 2y – 24 = 0, 2x +7y + 9 = 0. a) c)

42.

c)

La ecuación de una circunferencia es x2 + y2 + 2x – 4y = 44. Determina cuáles de los siguientes puntos son interiores y cuáles exteriores: A (2, –5), B (–1 , –1), C (2 , –9), D (8 , 2). a)

41.

P = 153.94m S = 43.98 m 2 r = 7m

La ecuación de una circunferencia es: x2 + y2 – 6x + 8y = 11. ¿Cuáles de estos puntos están dentro de la circunferencia: A (2, –5), B (–1 , –1), C (3 , 3), D (8 , 2)? a)

40.

b)

Si el perímetro de un círculo es 33cm, encuentra su superficie, diámetro y radio. a)

39.

S = 153.94m 2 P = 43.98m r = 7m

12x + 6y + x2 + y2 = –20 x2 + y2 – 6x + 12y = 20

b) d)

x2 – 12x + y2 + 6y + 20 = 0 y2 + x2 – 6y + 12x = 20

Encuentra la ecuación general de la circunferencia que pasa por el punto (7, –7) y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 7x – 9y – 10 = 0, 2x – 5y + 2 = 0. a) c)

x2 + y2 – 8x + 4y = 10 y2 – 4y + x2 – 8x – 10 = 0

b) d)

4x + 8y = x2 + y2 – 10 y2 + x2 – 4y + 8x = 10

10

Encuentra el centro y el radio de la circunferencia que pasa por los puntos:

43.

P1(7, 1), P2(2, 6), P3(–3, 1). a) c)

44.

C(2, 1) , r = 3 C(–1, –2) , r = 3

b) d)

C(2, –1) , r = 5 C(–1, 2) , r = 3

C(–3, 4) , r = 10 C(–4, 4) , r = 10

b) d)

C(3, 4) , r = 10 C(–3, –4) , r = 10

b) d)

C(1, 0) , r = 3 C(–2, 1) , r = 3

b) d)

C(–3, 4) , r = 13 C(3, –1) , r = 13

P1(–2, 0), P2(1, 3), P3(4, 0). a) c)

47.

C(–2, –1) , r = 3 C(–2, 1) , r = 3

P1(–7, 4), P2(3, 14), P3(9, 12). a) c)

46.

b) d)

P1(–4, 2), P2(–1, 5), P3(2, 2). a) c)

45.

C(1, 2) , r = 5 C(2, 1) , r = 5

C(0, –1) , r = 5 C(–1, 1) , r = 4

P1(–10, 4), P2(–2, 16), P3(15, 9). a) c)

C(–3, –4) , r = 13 C(3, 4) , r = 13

11

Encuentra la ecuación general de la circunferencia que pasa por los puntos.

48.

(2, –2), (5, 1), (8, –2). a) c)

49.

y2 + x2 – 6x – 8y = 25 x2 + 6x + y2 + 8y = 0

b) d)

6x + 8y = x2 + y2 – 25 y2 – 6x + x2 – 8y = 0

– 2x + 10y = x2 + y2 – 10 x2 + y2 + 8x + 2y = 1

b) d)

y2 + 2y + x2 – 10x + 1 = 0 y2 + x2 – 2y + 10x = 1

b) d)

2x + 6y = x2 + y2 – 90 y2 + x2 = 6y – 2x + 90

b) d)

y2 – 2x + x2 + 4y = 76 y2 + x2 – 4y + 2x + 76 = 0

(–11, 3), (–9, –3), (–7, –5). a) c)

52.

–10x + 4y = x2 + y2 – 20 y2 + x2 + 4y – 10x = 20

(1, 2), (2, –5), (5, 4). a) c)

51.

b) d)

(–2, 4), (3, 9), (6, 8). a) c)

50.

x2 + 4y + y2 – 10x + 20 = 0 x2 + y2 + 4y – 10x = 20

y2 + x2 – 6y + 2x + 90 = 0 x2 + 6x + y2 – 2y = 90

(–8, –2), (1, 7), (10, –2). a) c)

4y – 2x = x2 + y2 – 76 x2 + y2 – 2x + 4y + 76 = 0

12

El estudiante:

5. Elipse

Aprenderá a desarrollar, dados los elementos de una sección cónica, la ecuación canónica en ecuación general de cónicas, así como teniendo una ecuación general de cónicas, encontrar la sección de que se trata, su ecuación canónica y sus elementos a partir de ésta.

El dibujo de las condiciones centro, eje mayor y eje menor de una elipse, te acercará al sitio y forma definitiva. Ayúdate dibujando el “por donde crees” que se halla la elipse.

Encontrar la ecuación general de la siguiente elipse:

53.

Eje mayor 10 // al eje X, eje menor 6 y centro en el origen. a) c)

54.

25x2 + 9y2 = 225 25y2 + 9x2 = 225

b) d)

– 225 = x2 + y2 25y2 + 9x2 = – 225

Eje mayor 8 // al eje Y, eje menor 4 y centro en (1, 1). a) c)

16x2 + 4y2 = 44 + 32x + 8y 16x2 + 4y2 + 32x + 8y = 44

b) d)

44 = 16x2 + 4y2 4y2 + 16x2 + 44 = – 32y + 8x

13

55.

Centro en (1, 5), eje mayor 18 // al eje Y, y eje menor 8. a) c)

56.

b) d)

144 = 16x2 + 81y2 81y2 + 16x2 + 144 = – 160y + 162x

Centro en (4, 2), eje mayor 10 // al eje X, y eje menor 6. a) c)

57.

81x2 + 16y2 + 162x + 160y = 815 81x2 + 16y2 = 815 + 162x + 160y

19 = 9x2 + 25y2 – 72x – 100y 25x2 + 9y2 + 72x + 100y = 19

b) d)

9x2 + 25y2 + 19 = 72x + 100y 9y2 + 25x2 + 19 = – 72y – 110x

Centro en el origen, eje mayor 14 y eje menor 6 // al eje Y. a) c)

49x2 + 9y2 + 441 = 0 49x2 + 9y2 + 441 = 0

b) d)

49x2 + 9y2 – 441 = 0 49y2 + 9x2 + 441 = 0

Encontrar los elementos de la siguiente elipse:

58.

4x2 + 25y2 + 8x + 50y = 71. a) c)

59.

Centro(1, 1) Eje mayor = 25 //eje Y, eje menor = 4 Centro(–1, –1) Eje mayor = 10 // eje X, eje menor = 4

b) d)

Centro(–1, 1) Eje mayor = 4 //eje Y, eje menor = 10 Centro(1, –1) Eje mayor = 10 //eje X, eje menor = 4

16x2 + 4y2 – 8y – 60 = 0. a) c)

Centro(1, 0) Eje mayor = 3 //eje X, eje menor = 6 Centro(1, 1) Eje mayor = 3 //eje Y, eje menor = 2

b) d)

Centro(0, 1) Eje mayor = 8 //eje Y, eje menor = 4 Centro(1, –1) Eje mayor = 16 //eje X, eje menor = 4 14

60.

9x2 + 25y2 – 18y + 150y + 9 = 0. a) c)

61.

c)

d)

Centro(1, 3) Eje mayor = 5 //eje X, eje menor = 3 Centro(1, –3) Eje mayor = 10 //eje X, eje menor = 6

Centro(2, 2) Eje mayor = 8 //eje Y, eje menor = 4 Centro(2, 0) Eje mayor = 8 //eje X, eje menor = 2

b) d)

Centro(–2, 0) Eje mayor = 8 //eje X, eje menor = 4 Centro( 0, 2) Eje mayor = 8 //eje Y, eje menor = 6

16x2 + 9y2 – 32y – 18y – 119 = 0. a) c)

63.

b)

x2 + 4y2 + 4x = 12. a)

62.

Centro( –1, 3) Eje mayor = 10 //eje Y, eje menor = 6 Centro(–1, –3) Eje mayor = 5 //eje Y, eje menor = 3

Centro(–1, 1) Eje mayor = 8 //eje X, eje menor = 4 Centro(1, 1) Eje mayor = 8 //eje Y, eje menor = 6

b) d)

Centro(1, 1) Eje mayor = 8 //eje Y, eje menor = 4 Centro( 0, –1) Eje mayor = 8 //eje X, eje menor = 6

25x2 + 4y2 – 50y + 16y = 59. a) c)

Centro(–2, –1) Eje mayor = 8 //eje Y, eje menor = 6 Centro(–2, 1) Eje mayor = 10 //eje X, eje menor = 4

b) d)

Centro(1, 2) Eje mayor = 10 //eje Y, eje menor = 6 Centro(1, –2) Eje mayor = 10 //eje X, eje menor = 4

15

El estudiante: Reconocerá los elementos de la hipérbola: Focos, extremos de los ejes conjugado y transverso, centro, asíntotas y las dimensiones de los ejes conjugado, transverso y focal. Y realizará la interpretación de la ecuación ordinaria y graficación de la hipérbola.

6. Hipérbola

Al igual que en la elipse, dibuja aunque no sea la posición definitiva ni la forma definitiva, el origen, el eje conjugado y el eje transverso donde crees se encuentre su localización.

Construye la ecuación general de la siguiente hipérbola con: 64.

Centro en el origen), eje focal // eje X, eje conjugado 6 y eje transverso 2.

65.

a) 9 = x2 – 9y2 b) 9x2 – y2 – 9 = 0 c) 9x2 – y2 + 9 = 0 d) 9y2 – x2 = – 9 Centro en el origen), eje focal // eje X, eje conjugado 8 y eje transverso 6.

66.

a) –16y2 + 9x2 + 144 = 0 b) 144 = –16x2 + 9y2 2 2 c) 9x – 16y + 144 = 0 d) 16x2 – 9y2 = 144 Centro en el origen), eje focal // eje Y, eje transverso 16 y eje conjugado 6. a) c)

67.

576 = 9x2 – 64y2 64y2 – 9x2 + 576 = 0

b) d)

64x2 – 9y2 + 576 = 0 64y2 – 9x2 + 576 = 0

Centro en (–1, 3), eje focal // eje X, semieje focal (o transverso) 4 y semieje conjugado 5. a) c)

– 16y2 + 25x2 + 191 = 150x – 32y 25y2 – 16x2 + 32x + 150y + 191 = 0

b) d)

191 = 25x2 – 16y2 16x2 – 25y2 + 32x + 150y = – 191 16

Encontrar los elementos de la siguiente hipérbola:

68.

4x2 – 25y2 + 8x + 50y – 121 = 0. a)

c)

69.

b)

d)

Centro(1, 1) Eje transverso = 4 //al eje X Eje conjugado = 10 Centro(–1, 1) Eje trasverso = 10 // al eje X Eje conjugado = 4

9x2 – 4y2 – 36x + 32y – 64 = 0. a)

c)

70.

Centro( 1, –1) Eje transverso = 10 // al eje Y Eje conjugado = 4 Centro(–1, 1) Eje transverso = 4 // al eje Y Eje conjugado = 10

Centro(4, 2) Eje transverso = 6 //al eje Y Eje conjugado = 4 Centro(–4, 2) Eje transverso = 4 // al eje X Eje conjugado = 6

b)

d)

Centro(2, 4) Eje transverso = 4 // al eje X Eje conjugado = 6 Centro( 2, –4) Eje transverso = 6 // al eje Y Eje conjugado = 4

– 16x2 + 9y2 + 32x – 36y = 124. a)

c)

Centro(–1, –2) Eje transverso = 6 // al eje Y Eje conjugado = 4 Centro(2, –1) Eje transverso = 6 // al eje X Eje conjugado = 8

b)

d)

Centro(–1, 2) Eje transverso = 6 //al eje X Eje conjugado = 8 Centro(1, 2) Eje transverso = 8 // al eje Y Eje conjugado = 6

17

71.

– 25x2 + 4y2 – 50x – 16y = 109. a)

c)

72.

b)

d)

Centro(–1, –2) Eje transverso = 6 //al eje X Eje conjugado = 4 Centro(1, –2) Eje transverso = 4 // al eje X Eje conjugado = 8

9x2 – y2 – 36x – 2y + 26 = 0. a)

c)

73.

Centro(–2, –1) Eje transverso = 10 // al eje Y Eje conjugado = 6 Centro(–1, 2) Eje transverso = 10 // al eje Y Eje conjugado = 4

Centro(2, –1) Eje trasverso = 2 // al eje X Eje conjugado = 6 Centro(–2, –1) Eje transverso = 6 // al eje Y Eje conjugado = 4

b)

d)

Centro(1, –2) Eje transverso = 4 //al eje X Eje conjugado = 6 Centro(1, 2) Eje transverso = 8 // al eje Y Eje conjugado = 4

– 16x2 + 4y2 – 32x + 24y – 44 = 0. a)

c)

Centro(1, 3) Eje transverso = 4 // al eje X Eje conjugado = 8 Centro(–3, –1) Eje transverso = 4 // al eje Y Eje conjugado = 6

b)

d)

Centro(1, –3) Eje transverso = 8 //al eje X Eje conjugado = 6 Centro(–1, –3) Eje transverso = 8 // al eje Y Eje conjugado = 4

18

El estudiante: Aprenderá a desarrollar, dados los elementos de una parábola, la ecuación canónica en ecuación general de cónicas, así como teniendo una ecuación general de cónicas, encontrar la sección de que se trata, su ecuación canónica y sus elementos a partir de ésta.

7. Parábola

Dibuja el eje, el vértice, el foco y la directriz, según los datos del ejercicio que vayas a resolver, eso te ayudará a acercarte a la localización y forma final de la parábola.

Encuentra la ecuación de la parábola: 74.

Eje // eje X, vértice en (2, –3) y parámetro 5.

6y – 20x = x2 + 49 y2 – 20x + 6y + 49 = 0

75.

a) y2 + 6y + 20x + 49 = 0 b) 2 c) y – 20x + 6y = 49 d) Eje // eje X, vértice en (4, –1) y parámetro –1/3.

3y2 + 6y + 4x = 13 y2 + 6y + 20x + 49 = 0

76.

a) 6y – 20x = x2 + 49 b) 2 c) y – 20x + 6y = 49 d) Eje // eje Y, foco en el origen y directriz y = –3. a) c)

77.

x2 + 12y = 0 x2 = 12y

b) d)

y2 + 12x = 3 x2 – 12y = 3

b) d)

x2 + 6x = 12y + 9 x2 + 9 = 6x + 12y

Eje // eje Y, vértice (3, 0) y directriz y = –3. a) c)

y2 + 12y = 6x + 9 x2 + 12y + 6x = 9

19

78.

Eje // eje X, directriz x = 2 y foco (–2, 2). a) c)

79.

x2 + 8x + 4y = 4 y2 + 8x – 4y + 4 = 0

b) d)

y2 – 8x + 4y = 4 y2 – 8x + 4y – 4 = 0

b) d)

x2 – 4x – 16y + 20 = 0 x2 – 4x – 16y = 20

Eje // eje Y, foco (2, 5) y directriz y = –3. a) c)

y2 – 4x – 16y + 20 = 0 x2 + 4x + 16y = 20

Encuentra el vértice y la ecuación de la directriz de la parábola: 80.

y2 – 2x + 2y + 3 = 0. a) c)

81.

b) d)

Vértice(1, –1) Directriz ; x = 1/2 Vértice(1, 1) Directriz ; x = 3/2

y2 = 12x. a) c)

82.

Vértice(–1, 1) Directriz ; x = 2 Vértice(–1, 2) Directriz ; x = 2/3

Vértice(0, 0) Directriz ; x = 3 Vértice(3, 0) Directriz ; x = –3

b) d)

Vértice(3, 0) Directriz ; x = 3 Vértice(0, 0) Directriz ; x = –3

x2 + 12y = 0. a) c)

Vértice(0, 0) Directriz ; y = –3 Vértice(0, 0) Directriz ; y = 3

b) d)

Vértice(1, 0) Directriz ; y = –3 Vértice(0, 1) Directriz ; y = 3 20

83.

x2 + 2y = 0. a) c)

84.

c)

d)

Vértice(0, 0) Directriz ; y = –2 Vértice(0, 0) Directriz ; y = 1/2

Vértice(0, 0) Directriz ; x = –2 Vértice(0, 0) Directriz ; y = 2

b) d)

Vértice(0, 0) Directriz ; x = 2 Vértice(0, 1) Directriz ; y = 2

x2 – 6x + 4y = 7. a) c)

86.

b)

y2 + 8x = 0. a)

85.

Vértice(0, 1) Directriz ; y = 2 Vértice(1, 0) Directriz ; y = 1/2

Vértice(3, 1/2) Directriz ; y = 3/2 Vértice(1/2, 3) Directriz ; y = 2/3

b) d)

Vértice(3, –1/2) Directriz ; y = –3/2 Vértice(–3, –1/2) Directriz ; x = –2

x2 + 2x – 2y + 3 = 0. a) c)

Vértice(-1, 1) Directriz ; y = 1/2 Vértice(2, -3) Directriz ; x = 1/3

b) d)

Vértice(-1, 2) Directriz ; y = –1/2 Vértice(3, –1) Directriz ; x =1

21

El estudiante:

8. Exponentes y radicales

Identificará las leyes de radicales como un derivado de las leyes de exponentes. Y simplificará expresiones con operaciones de suma y resta para radicales; expresiones sencillas que contengan operaciones de multiplicación y división con radicales; y fracciones con radicales utilizando el producto notable de binomios conjugados para radicalizar el denominador.

Debes ser muy cuidadoso con los exponentes de las literales principalmente. Este es un tema que requiere de toda tu atención, porque es una combinación minuciosa de coeficientes y literales con exponentes.

Resuelve las siguientes expresiones con exponentes:

87.

– 50 = a)

88.

0

b)

1

c)

–1

d)

5

b)

15

c)

1

d)

–15

150 = a)

0

22

89.

70 = a)

90.

0

d)

–1

1

b)

0

c)

–1

d)

No está definido

1

b)

2/3

c)

–2/3

d)

0

1/9

b)

–1/9

c)

–1/3

d)

–9

–35

b)

–75

c)

1/75

d)

7/5

1/4

b)

4

c)

–1/4

d)

–4

b)

–1/6

c)

6

d)

1/6

b)

–54•54

c)

54•54

d)

1/58

7–5 = a)

94.

c)

3–2 = a)

93.

–7

(2/3)0 = a)

92.

b)

00 = a)

91.

1

4–1 = a)

1 6–1

95. a)

–6 1 5–8

96. a)

–1/58

23

2 5–3

97. a) 98.

d)

25•10

b)

2

c)

8 –3

d)

1/24

b)

11 –2

c)

3.317

d)

1/112

b)

–1.552

c)

9 –5

d)

1.552

b)

320

c)

39

d)

99

495

b)

75

c)

76

d)

496

5 –2

b)

13

c)

53

d)

52

121/11

– 91/5 = –1/95

35•34 = 920

a) 102.

–2/125

111/2 =

a) 101.

c)

1/83

a) 100.

–125•2

8 1/3 = a)

99.

b)

1/250

72•73 = a) 57 54

103. a)

24

43 45

104. a) 105.

1/4

10/15

b)

25/3

c)

2/35

d)

25/35

– (54/74)

b)

252/492

c)

– 20/28

d)

– 5/74

1/3

b)

–1/3

c)

–3

d)

3

4•31/2

b)

2•31/2

c)

3•21/2

d)

3•31/2

3

b)

4•81/2

c)

8•3

d)

2

b)

9/4

c)

3/16

d)

0.75

b)

3•31/3

c)

3•41/3

d)

2•31/3

(9/16)1/2 = a)

111.

d)

32 1/5 = a)

110.

1/16

181/2 = a)

109.

c)

–271/3 = a)

108.

42

(–5/7)4 = a)

107.

b)

(2/3)5 = a)

106.

4/16

0.50

811/3 = a)

3•21/3

25

112.

2161/3 = a)

113.

2•3

2/9

b)

2/3

c)

4/3

d)

3•31/2

–0.75

b)

0.75

c)

–0.8

d)

0.8

2 y –2

b)

2

c)

–2

d)

No está definido

21/4

b)

4.804

c)

5

d)

18/6

9/42

b)

0.6

c)

0.5

d)

10/43

b)

1.4

c)

11/7

d)

12/7

b)

x2 y5 z7

c)

1/(x2 y5 z7)

d)

–1/(x2 y5 z7)

(121/49)1/2 = a)

119.

d)

(27/125)1/3 = a)

118.

4•3

(59049 1/2 )1/5 = a)

117.

c)

(–641/3 )1/2 = a)

116.

3•5

((–64)•125)1/3 = a)

115.

b)

(4•9)1/2 = a)

114.

2•21/2

12/8

(x2 y5 z7) –1 = a)

–1(x2 y5 z7)

26

120.

(23 a4 b5) –1 = a)

121.

–64 a14 b12 b –3 4a 3 3b 2

122.

a)

1/(8 a4 b5)

c)

–8(a4 b5)

d)

8/(a4 b5)

b)

–2(8 a7 b6)

c)

1/(64 b12 a14)

d)

–1/(64 a14 b12)

b)

12b 5a 3

c)

–(4a 3b5)/3

d)

4ba 3 3

3a –1 b 3 a)

b)

6b 6a 4

c)

–(2a 4 b6)/3

d)

2a 4 3b 6

c)

215/15

d)

220/12

c)

(16•25)/9

d)

(8 2•5)/9

=

5b 4 y 2

(8•25)/9

2

2(b y) 3

245/20

Evalúa: a)

–1

2ab 6 3

Evalúa: a)

=

4a 3 3b 5 2a 3 b –3

123.

125.

b)

(23 a7 b6) –2 = a)

124.

–8/(a4 b5)

b) 3a 3 x 3

, en b = 3, y = –2 ; 225/16

–2

, en a = 2, x = 5 ;

a5x4 b)

(8•5 3)/9

27

Racionaliza las siguientes expresiones: 3 z

126.

3z z

a)

–8 4

127. a)

a)

a)

a)

c)

b)

4

c)

b)

5•7 1/2

c)

35 7

d)

b)

2a 1/2

c)

2•a1/2 a

d)

2a

b)

12 + 4x 1/2

c)

4x + 121/2 9–x

d)

12 + 4x1/2 9–x

d)

–4

d)

–2

5•71/2 7

=

21/2 •a 2 4 3– x

130.

z 1/2 3z

3z 1/2

=

7 1/2 5•7 a 2

129.

3z1/2 z

b)

=

2 5 7

128.

=

=

4x + 121/2 9+x

28

a = 2+ b

131.

a)

2a – ab1/2 4+b

b)

2a + ab 1/2

c)

2a – ab1/2 4–b

d)

a + b1/2 4–b

b)

3a + b 1/2

c)

3a – 3a1/2 a–b

d)

a + b1/2 a2 + b

b)

axy + xyb 1/2

c)

a2xy + xyb1/2

d)

axy – xyb1/2 a2 – b

b)

5 + (a – 1)1/2

c)

5 + (a + 1)1/2

d)

24 + 5a1/2 5–a

3 = a+ b

132.

a)

3a – 3b1/2 a2 – b

xy a– b

133.

a)

=

axy + xyb1/2 a2 – b 24 – a 5– a+1

134.

a)

5 – (a + 1)1/2

=

29

x2 – 4 x+ 4

135.

a)

x–2

4–x 2– x

136.

a)

=

a)

x+2

c)

x2 – 2

d)

x+2 x–4

b)

x+2

c)

2 + x1/2

d)

2+x 2–x

b)

1+u

c)

1 + u1/2 – 8

d)

1 + u – 82 1–u

=

x1/2 – 2

9 – u2 1 – u2 – 8

137.

b)

1 + (u2 – 8)1/2

=

Bibliografía de consulta Material de apoyo para el estudio para la modalidad Semi-Escolar IEMS Matemáticas 3 Autor. Gabriel Silva Ramirez

30

Evaluación Ahora, es momento de verificar tus aprendizajes . Contesta las siguientes preguntas e identifica los temas que requieres revisar con mayor detalle.

1. Realiza la siguiente operación y simplifica el resultado: 4a + 1 2a

+

7. Encuentra la directriz de la parábola: y2 – 2x + 2y + 3 = 0.

2a – 1 2a

8. La ecuación general de la elipse con centro en (2, –3), eje mayor 8 y paralelo al eje X, y con eje menor 6 es:

2. Simplifica el siguiente cociente de polinomios: 9. Dada la ecuación x2 – 8x + 15 = 0, encuentra sus raíces.

9b5

6b3

– 3b2

3. La superficie total de las caras de un cubo mide 54 cm2, encuentra la medida de su lado.

10. Construye la ecuación general de la hipérbola con centro en (–1, 3), eje focal // eje X, semieje focal (o transverso) 4 y semieje conjugado 5.

4. Un ganadero compró 5 carneros y 7 caballos en $20,000; más tarde, a los mismos precios, compró 3 carneros y 2 caballos en $7,600. ¿Cuánto pagó por cada carnero y cuánto por cada caballo?

11. El polinomio A que cumple con la igualdad es: A a2 – b2

5. El kilo de galleta simple cuesta $10 y el kilo de galleta con relleno $25. ¿Cuántos kilos de cada tipo de galleta se necesitan para que 9 kilos tengan un precio de $20 por kilo?

=

a+b b2 – a2

12. ¿Para qué valores se cumple la desigualdad 5x + 4  3(x – 2)?

6. Completa la expresión m2 + 8m y factorízalo como un binomio al cuadrado.

13. Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos A(2, 2) y B(–4, 2). Encuentra su ecuación general.

31

Respuestas a la evaluación 1.

2.

4a + 1 2a

2a – 1 2a

+

9b5 – 6b3 3b2

=

4a + 1 + 2a – 1 2a

=

3b2(3b3 – 2b) 3b2

=

=

6a 2a

=

3.

3b3 – 2b.

3.

6caras = 54cm2

cara = 54cm2/6 = 9cm2

lado = (9cm2 )1/2 lado = 3cm.

4.

5b + 7c = 20000 3b + 2c = 7600

–10b – 14c = –40000 21b + 14c = 53200

3(1200) + 2c = 7600 3600 + 2c = 7600

11b = 13200 b = 13200/11 = 1200

2c = 7600 – 3600 = 4000 c = 4000/2 = 2000

$1,200 por carnero y $2,000 por caballo.

5.

10s + 25r = 180 s+ r =9 s=9–r

10(9 – r) + 25r = 180 90 – 10r + 25r = 180

s+6=9 s=9–6=3

15r = 90 r = 90/15 = 6 3 kilos de galleta simple y 6 kilos de gallete rellena.

6.

7.

binomio

trinomio cuadrado

binomio al cuadrado

m2 + 8m

m2 – 8m + 16

(m – 4)2

y2 – 2x + 2y + 3 = 0 y2 + 2y = 2x – 3

y2 + 2y + 1 = 2x – 3 + 1 y2 + 2y + 1 = 2x – 2 (y + 1)2 = 2(x – 1) ;

parámetro = ½

Vértice (1, –1), directriz x = ½ .

32

8. (x – 2)2 42

+

(y + 3)2 32

(x – 2)2 16

+

(y + 3)2 9

9(x – 2)2

+

16(y + 3)2

1

9(x – 2)2 + 16(y + 3)2 = 144 9(x2 – 4x + 4) + 16(y2 + 6y + 9)= 144

=

1

9x2 – 36x + 36 + 16y2 + 96y + 144= 144 9x2 – 36x + 16y2 + 96y = 144 – 36 – 144

=

16 x 9

9x2 + 16y2 – 36x + 96y = – 36. ECUACIÓN GENERAL

=

9. x2 – 8x + 15 = 0

(x – 3)(x – 5) = 0

r1 = 3, r2 = 5.

10. (x + 1)2 42

–

(y – 3)2 52

(x + 1)2 16

–

(y – 3)2 25

25(x + 1)2

–

16(y – 3)2

1

25(x + 1)2 – 16(y – 3)2 = 400 25(x2 + 2x + 1) – 16(y2 – 6y + 9)= 400

=

1

25x2 + 50x + 25 – 16y2 + 96y – 144= 400 25x2 + 50x – 16y2 + 96y = 400 – 25 + 144

=

16 x 25

25x2 – 16y2 + 50x + 96y = 519.

=

11.

A a2 – b2

=

a+b b2 – a2

x

a2 – b2 a+b a3 – ab2 a2b – b3 3 a + a2b – ab2 – b3

b2 – a2

–a–b a3 + a2b – ab2 – b3 a3 – ab2 2 ab – b3 2 ab – b3 0

El polinomio es: – a – b.

12.

13.

5x + 4  3(x – 2)

5x + 4  3x – 6 5x – 3x  – 6 – 4 2x  – 10 x –5

centro, Punto medio(–1, 2) radio = d(Pm,A) = ((2 + 1)2 + (2 – 2)2)1/2 = = ((3)2 + (0)2)1/2 = 91/2 = 3

Para x mayor o igual a – 5.

(x + 1)2 + (y – 2)2 = 32 ) x2 + 2x + 1 + y2 – 4y + 4 = 9 x2 + y2 + 2x – 4y = 9 – 1 – 4 x2 + y2 + 2x – 4y = 4. ECUACIÓN GENERAL

33