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Tabla de especificaciones Análisis matemático I

TABLA DE ESPECIFICACIONES CON ENFOQUE DE COMPETENCIAS CARRERA: Licenciatura en Matemáticas NOMBRE DE LA ASIGNATURA: Análisis Matemático I

CUATRIMESTRE: Séptimo

HORAS POR ASIGNATURA: 72 RESPONSABLES METODOLÓGICOS: JUAN ANTONIO GOMEZ AGUILAR ELABORÓ: Leticia Contreras Sandoval

VALIDÓ:

FECHA DE ENTREGA: 12-09-2012

Descripción de la asignatura: El Análisis Matemático, además de tener aplicaciones en otras ramas de las matemáticas, como las ecuaciones diferenciales, la teoría de conjuntos y la probabilidad, tiene aplicaciones en otras ciencias como la física, la química, la biología, la astronomía o la economía; todas éstas, ligadas al establecimiento de leyes generales del comportamiento de la naturaleza y del hombre y a la solución de problemas científicos y tecnológicos muy concretos.

Como en otras ramas de las matemáticas, el Análisis Matemático establece conceptos abstractos, que pueden aplicarse en diferentes esferas del conocimiento. Por lo anterior, esta asignatura exige capacidad de abstracción para lograr un buen entendimiento.

Para el estudio de esta asignatura, es necesario manejar los resultados del cálculo diferencial e integral, de una y de varias variables.

En el Análisis Matemático se desarrollan construcciones cuyos cimientos están representados por axiomas, afirmaciones que aceptamos sin discusión y, con base en se deducen o construyen otras propiedades y resultados a los que llamamos lemas o teoremas cuya validez debe ser demostrada. De éstas propiedades se deducen otras y así sucesivamente, construyendo una red intrincada.

La asignatura se imparte en el séptimo cuatrimestre de la carrera: Licenciatura en Matemáticas.

El curso consta de tres unidades. En la primera se estudia las propiedades básicas de los números reales, de manera especial la completitud de los números reales; los espacios vectoriales y métricos, y las propiedades de la norma y la distancia en espacios métricos. En la segunda unidad se abordan las sucesiones en espacios métricos y las sucesiones de Cauchy, las sucesiones de funciones y las condiciones para la convergencia puntual y la uniforme; así como el estudio de funciones en espacios métricos, la conservación de conjuntos conexos bajo funciones continuas y la generalización del teorema de los valores intermedios.

Tabla de especificaciones Análisis matemático I

La unidad 3 está dedicada la continuidad y la completitud de un espacio métrico y la continuidad y la compacidad. Se aborda el teorema de Heine-Borel, el Teorema del Punto Fijo, el Teorema Baire y el de Arzela-Ascoli; así como sus aplicaciones.

Competencia (s) General(es): Utilizar los conceptos y procedimientos del Análisis Matemático para la resolución de problemas planteados en el ámbito de las Ciencias y en el campo profesional utilizando los resultados del análisis matemático.

Competencias específicas de unidad  Generalizar los conceptos y resultados del cálculo en ℝn, para extenderlos a otros espacios más generales mediante las propiedades de los espacios métricos, las normas, distancias y la topología.  Aplicar las propiedades de sucesiones y funciones en el establecimiento de características topológicas para resolver diversos problemas matemáticos, haciendo uso de la convergencia puntual y uniforme de sucesiones, así como de la continuidad y el teorema de los valores intermedios para funciones continuas en espacios métricos.  Aplicar los teoremas de Heine-Borel, el del Punto Fijo, el de Baire y el Teorema de Arzela-Ascoli en la caracterización de espacios métricos (compactos-completos) y la resolución de problemas del análisis matemático y de otras ramas de las matemáticas, manejando los conceptos de conjuntos compactos, conjuntos densos y la continuidad.

Competencias transversales: Estas competencias son fijas y comunes a todas las carreras, su desarrollo se promueve con las actividades que realiza el estudiante, es necesario tomarlas en cuenta al momento de diseñar estas actividades.

Solución de problemas y toma de Comunicación Gestión de información Pensamiento crítico Trabajo colaborativo Sociales decisiones  Capacidad de  Capacidad de  Capacidad de actuar  Capacidad de trabajo en  Responsabilidad social y  Capacidad creativa. comunicación oral y investigación. ante nuevas equipo. compromiso ciudadano.  Capacidad para tomar escrita. situaciones.  Capacidad de aprender y  Habilidades  Compromiso con la decisiones.  Capacidad de actualizarse  Capacidad crítica y interpersonales. preservación del medio  Capacidad para identificar, comunicación en permanentemente. autocrítica. ambiente.  Capacidad de motivar y platear y resolver problemas. segundo idioma.  Habilidades para buscar,  Capacidad de conducir hacia metas  Compromiso con su medio  Capacidad de organizar y procesar y analizar abstracción, análisis y comunes. social-cultural. planificar el tiempo. información procedente de síntesis.  Capacidad para  Valoración y respeto por la  Capacidad de aplicar los diversas fuentes. formular y gestionar diversidad y la conocimientos en la práctica. proyectos. multiculturalidad.

Tabla de especificaciones Análisis matemático I  Compromiso ético.  Compromiso con la calidad.

Tabla de especificaciones Análisis matemático I

TEMARIO Nota: El número de unidades, temas y subtemas correspondientes a cada unidad, están delimitados por el alcance de la competencia, se deben agregar los campos que sean necesarios para cubrirlos.

Tiempo estimado Unidad Temas(s) Subtema(s) Por unidad Por tema 1.1.1 Supremo e ínfimo propiedades 4 Hrs. 1.1. Resultados fundamentales en ℝ 1.1.2 Propiedad arquimedeana. Existencia de raíz de 2 1.2.1 Cortaduras de Dedekind y sucesiones monótonas 1.2.2 Intervalos Anidados 6 Hrs. 1.2 Teoremas de completitud 1.2.3 Teorema de Bolzano 1.2.4 Sucesiones de Cauchy 1. Espacios 26 Hrs. 1.3.1 Conjuntos finitos e infinitos Vectoriales 4 Hrs. 1.3.Numerabilidad y no numerabilidad 1.3.2 Conjuntos numerables 1.3.3 Colecciones numerables de conjuntos numerables 1.4.1 Producto escalar 1.4.2 Normas.

12 Hrs. 1.4. Espacios vectoriales 1.4.3 Distancias 1.4.4 Topología básica en espacios métricos 2.1.1 Sucesiones convergentes 6 Hrs. 2.1. Sucesiones convergentes 2.1.2 Subsucesiones 2.1.3 Sucesiones de Cauchy 2.2.1 Convergencia puntual 2. Sucesiones y 20 Hrs. 2.2.2 Convergencia uniforme 9 Hrs. Continuidad 2.2. Sucesiones de funciones 2.2.3 Convergencia e integración 2.2.4 Convergencia y derivación 2.3.1 Límite y Continuidad 5 Hrs. 2.3. Funciones continuas 2.3.2 Continuidad y conexidad. El teorema de los valores intermedios 3.1.1 Espacios métricos completos 3.1. Compacidad y completes 6 Hrs. 3.1.2 Teorema de Heine-Borel 3. Compacidad, 3.2.1 La imagen de un compacto bajo una función continua 3.2.

Continuidad y compacidad 26 Hrs. 7 Hrs. completitud y 3.2.2 El Teorema del Punto Fijo para contracciones categorías 3.2.3 Continuidad uniforme y compacidad 3.3.1 Conjuntos densos y densos en ninguna parte 3.3 Teorema de Baire 7 Hrs. 3.3.2 Conjuntos de primera y segunda categoría

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3.4 Teorema de Arzela-Ascoli

Unidad:

3.3.3 El Teorema de Baire 3.4.1 Familias de funciones equicontinuas 3.4.2 El Teorema de Arzela-Ascoli

6 Hrs.

1. Espacios vectoriales Metodología Enseñanza-Evaluación Aprendizaje basado en la resolución de ejercicios y problemas matemáticos

Competencia específica/

Componentes de la competencia

Evaluación del aprendizaje Portafolio de evidencias Portafolio de evidencias

Logros de la competencia/ Nivel taxonómico del logro Interacciones individuales y colaborativas

Tareas

E-portafolio (Ponderación de la evidencia/ Autorreflexión

Contenido declarativo: Generalizar los conceptos y resultados del cálculo en ℝn, para extenderlos a otros espacios más generales mediante las propiedades de los espacios métricos, las normas, distancias y la topología.

Definición :  Teoremas de completitud  Principio de Arquímedes.  Numerabilidad  Espacio métrico y propiedades.  Producto escalar  Normas.  Distancias.  Topología básica en espacios métricos.

Demuestra equivalencias entre teoremas de complitud Utilización (4)

Comprueba si un espacio es un espacio vectorial, un espacio métrico, o si no lo es.

Utilización (4)

Actividad 3. El hotel extraordinario Proyecto Describe un plan y estrategia a seguir para resolver dos problemas planteados.

Actividad 1. Propiedades de los números reales.

Aplica las propiedades de los números reales para realizar distintas demostraciones.

Actividad 2. Completitud de los números reales Aplica los teoremas de completitud en la resolución de distintos problemas.

Evidencia de Aprendizaje.

Aplicaciones en espacios vectoriales.

Aplica las propiedades de espacios vectoriales, normas, distancias y conjuntos abiertos y cerrados, en el espacio de sucesiones de números reales que convergen a cero, para resolver diversos problemas matemáticos.

Autoeval uación No ponderab le 6 reactivos

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Contenidos procedimentales  Implicaciones entre teoremas de completitud  Caracterización de conjuntos numerables.  Propiedades del producto escalar  Propiedades de una norma  Propiedades de una métrica.  Caracterización de conjuntos abiertos y cerrados.

Contenidos actitudinales - Liderazgo - Responsabilidad - Apertura al cambio - Trabajo en equipo - Receptividad - Creatividad - Análisis Aspectos contextuales: Sirven como herramienta de apoyo a otras asignaturas.

Demuestra si una función es una norma o no lo es.

Utilización (4)

Actividad 4. Espacios vectoriales, normas, distancias y topología.

Aplica las propiedades de los espacios vectoriales, la norma, la distancia y los conjuntos abiertos en la resolución de diversos problemas matemáticos.

Autorreflexión. Preguntas autorreflexivas.

Tabla de especificaciones Análisis matemático I

Unidad:

Competencia específica/

2. Sucesiones y Continuidad

Componentes de la competencia

Logros de la competencia/ Nivel taxonómico del logro

Metodología Enseñanza-Evaluación Aprendizaje basado en la resolución de ejercicios y problemas matemáticos Evaluación del aprendizaje Portafolio de evidencias Evaluación continua Interacciones individuales y colaborativas

Tareas

E-portafolio (Ponderación de la evidencia/ Autorreflexión

Contenido declarativo: Aplicar las propiedades de sucesiones y funciones continuas en el establecimient o de características topológicas para resolver diversos problemas matemáticos, haciendo uso de la convergencia puntual y uniforme de sucesiones, así como de la continuidad y el teorema de los valores

Definición:  Secesiones convergentes.  Subsucesión, punto límite.  Sucesiones de Cauchy.  Sucesiones de funciones.  Convergencia puntual.  Convergencia uniforme  Funciones continuas  Continuidad y conexidad.

Contenidos procedimentales  Caracterización de sucesiones convergentes.

Determina cuándo una sucesión en un espacio métrico, converge o no.

(Utilización 4)

Determina cuándo la función límite de una sucesión de funciones hereda las características de las funciones que son términos de la sucesión (continuidad, integración, derivación) (Utilización 4)

Resuelve problemas matemáticos aplicando la convergencia, la continuidad y el

Actividad 2. Una Paradoja Ensayo Analiza una sucesión de funciones con un comportamiento que le resultará poco común, para introducirlo al estudio de la convergencia de sucesiones de funciones.

Actividad 1. Sucesiones Aplica las características de los espacios vectoriales, la norma la distancia y las nociones de topología, en el estudio de sucesiones. Y usa los conceptos de sucesiones convergentes, sucesiones acotadas, punto límite y punto de acumulación para resolver diversos problemas.

Actividad 3. Convergencia Aplica la convergencia puntual y uniforme en la demostración de distintos resultados y en la solución de problemas.

Evidencia de aprendizaje.

Aplicaciones de las funciones continuas.

Proyecto A partir de un problema debe aplicar los conocimientos estudiados en la unidad, para responder las diferentes preguntas planteadas.

Autorreflexión. Preguntas autorreflexivas.

Autoeval uación No ponderab le 5 reactivos

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intermedios para funciones continuas en espacios métricos.

 











Caracterización de puntos límite.

Caracterización de punto de acumulación con sucesiones.

Caracterización de sucesiones de Cauchy con sucesiones convergentes.

Análisis de distintos ejemplos de sucesiones de funciones Caracterización de la convergencia puntual y la uniforme.

Contraste entre una y otra.

Condiciones bajo las cuales el límite de una sucesión de funciones es una función continua, integrable y/o derivable.

Caracterización de conjuntos abiertos y cerrados bajo

teorema de los valores intermedios.

(Utilización 4)

Actividad 4. Continuidad Aplica la continuidad de funciones en la resolución de distintos problemas matemáticos.

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funciones continuas.  Teorema de los valores intermedios.

Contenidos actitudinales - Liderazgo - Responsabilidad - Apertura al cambio - Trabajo en equipo - Receptividad - Creatividad - Análisis.

Aspectos contextuales: 

Sirve para la práctica en la investigación de distintas ramas de las matemáticas y otras ciencias.

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Unidad:

Competencia específica/

3. Compacidad, completitud y categorías

Componentes de la competencia

Logros de la competencia/ Nivel taxonómico del logro

Metodología Enseñanza-Evaluación Aprendizaje basado en la resolución de ejercicios y problemas matemáticos Evaluación del aprendizaje Portafolio de evidencias Evaluación continua Interacciones individuales y colaborativas

Aplicar los teoremas de Haine-BorelLebesgue, el de Heine, el del punto fijo, el de categorías de Baire y el teorema de Arzela-Ascoli en la caracterización de espacios métricos (compactoscompletos) y la resolución de problemas del análisis matemático y de otras ramas de las matemáticas, manejando los conceptos de conjuntos compactos,

Contenido declarativo: Definición:  Cubierta abierta y subcubierta.  Conjuntos compactos.  Espacio métrico completo.  Teorema de Heine-Borel  Imagen directa de conjuntos compactos bajo funciones continuas.  Contracción.  Punto fijo  Continuidad uniforme.  Conjuntos densos y densos en ninguna parte.  Conjuntos de primera categoría.

 Determina si un espacio es completo aplicando las propiedades de las sucesiones de Cauchy y las funciones continuas.

(Utilización 4)  Determina propiedades de un espacio a partir de las características de las funciones continuas sobre conjuntos compactos.

(Utilización 4)  Aplica el teorema del Punto Fijo en la solución de problemas de otras ramas de las matemáticas.

(Utilización 4)

Tareas

Actividad 2. Compacidad Caracteriza espacios métricos a partir de las propiedades de compacidad.

Actividad 3. Continuidad, Actividad 1.Un poco de historia compacidad y Ensayo completitud.

Describe el tipo de problemas Resuelve diversos que motivaron el proceso de problemas aplicando las definir con precisión y propiedades de las demostrar con rigor los sucesiones de Cauchy, la conceptos que van del cálculo compacidad y diferencial e integral al continuidad, el teorema análisis matemático. de Heine-Boresl y el teorema del punto fijo.

Actividad 4. Teorema de baire y Arzela -Ascoli Resuelve problemas diversos utilizando las nociones conjunto denso y denso en ninguna parte, así como el

E-portafolio (Ponderación de la evidencia/ Autorreflexión

Evidencia de Aprendizaje.

Aplicación de los Teoremas Proyecto Analiza, desglosa y resuelve tres problemas, en los que deberá ir aplicando los distintos teoremas estudiados en la unidad para responder las distintas preguntas planteadas en cada problema.

Autorreflexión. Preguntas autorreflexivas.

Autoeval uación No ponderab le 5 reactivos

Tabla de especificaciones Análisis matemático I

conjuntos densos y la continuidad.

 Funciones acotadas puntual y uniformemente.  Familia de funciones equicontinuas.

Contenidos procedimentales:  Análisis de ejemplos de cubiertas abiertas y subcubiertas.  Caracterización de conjuntos compactos.  Se demuestra que distintos espacios son completos.  Demostración de resultados preliminares al Teorema de Heine-Borel  Características de funciones continuas sobre conjuntos compactos.  Teorema del punto fijo para contracciones.  Teorema. Una función continua en un conjunto

 Aplica el teorema de Baire y el de ArzelaAscoli en la resolución de problemas propios del Análisis Matemático, y de otras ramas de las matemáticas.

(Utilización 4)

teorema de Baire.

Resuelve problemas del Análisis Matemático y de otras ramas de las matemáticas, haciendo uso de las características de las familias de funciones equicontinuas y aplicando el Teorema de Arzela-Ascoli.

Tabla de especificaciones Análisis matemático I

compacto, es uniformemente continua.  Teorema de Baire.  Teorema de Arzela-Ascoli.

Contenidos actitudinales - Liderazgo - Responsabilidad - Apertura al cambio - Trabajo en equipo - Receptividad - Creatividad - Análisis.

Aspectos contextuales: Sirve para la práctica en la investigación de distintas ramas de las matemáticas y otras ciencias.