Tabla de especificaciones Nombre de la asignatura
TABLA DE ESPECIFICACIONES CON ENFOQUE DE COMPETENCIAS CARRERA: Licenciatura en Matemáticas NOMBRE DE LA ASIGNATURA: Procesos estocásticos
CUATRIMESTRE: Séptimo
HORAS POR ASIGNATURA:72 RESPONSABLES METODOLÓGICOS: Juan Antonio Gómez Aguilar ELABORÓ: Guadalupe Carrasco Licea
VALIDÓ:
FECHA DE ENTREGA:
Descripción de la asignatura: Los procesos estocásticos son una poderosa herramienta para modelar el desarrollo de sistemas cuya evolución en el tiempo o en el espacio, está afectada por el azar, es decir, no es posible predecir con certeza en qué estado se encontrará el sistema en cada instante de observación. Así, un proceso estocástico es una colección infinita de variables aleatorias, todas ellas definidas sobre el mismo espacio de probabilidad. El valor que toma cada una de estas variables puede ser interpretado como el estado en el que se encuentra el sistema en el instante de observación representado por el subíndice de la variable. A través de los procesos estocásticos se puede modelar, por ejemplo, la cantidad de agua que contiene una presa observada al final de cada día, donde el elemento aleatorio que afecta el contenido es la cantidad de agua que llega a la presa por lluvias, heladas o escurrimientos. En otro ejemplo, el valor de cada variable puede ser la cantidad de dinero de la que dispone un jugador después de cada partida de un juego de azar, en el que el jugador tiene una cierta probabilidad de ganar; o bien, el número de mensajes electrónicos que llegan a un receptor en un intervalo de tiempo [0, t]. Las aplicaciones de los procesos estocásticos abarcan campos como el de la ingeniería, la física, las ciencias sociales, las ciencias de la computación, las finanzas y otros. Este curso es una introducción a los procesos estocástico que provee a los estudiantes de los conceptos básicos e inicia el estudio de algunos de los tipos de procesos estocásticos más comunes. El material que se estudia en él puede servir de base para que el estudiante interesado profundice en el estudio de esta rama de las matemáticas. Aun cuando en su desarrollo se estudiarán las demostraciones de los resultados más importantes, se privilegiará un enfoque heurístico que favorezca en los estudiantes el desarrollo de una intuición probabilística. Su estudio requiere los contenidos de las asignaturas Probabilidad 1, Probabilidad 2. Los elementos que se requieran de otras ramas de la matemática, como las ecuaciones en diferencias o la teoría de números, serán presentados detalladamente en el desarrollo del curso.
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Esta asignatura se encuentra en el séptimo cuatrimestre de la licenciatura en matemáticas, en el que se requiere que el alumno analice información de manera cualitativa y cuantitativa para realizar inferencias a través de métodos analíticos y numéricos, además de interpretar los resultados de los análisis de la información para fundamentar la toma de decisiones. En la primera unidad se describen los procesos estocásticos, analizando algunos ejemplos clásicos, y se estudian dos formas de clasificar a estos procesos. La segunda unidad está dedicada al estudio de las Cadenas de Markov a tiempo discreto y la tercera unidad se dedica a un tipo de cadenas de Markov a tiempo continuo: los procesos Poisson.
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Competencia General: Utilizar modelos de procesos estocásticos para resolver problemas acerca de la evolución de un sistema que cambia aleatoriamente en el tiempo o en el espacio, mediante la discriminación de las características de los distintos tipos de procesos. Competencias específicas de unidad: Clasificar procesos estocásticos para determinar las situaciones en donde puede ser utilizado, mediante la identificación de sus principales características. Utilizar la teoría de Cadenas de Markov para resolver problemas acerca de sistemas que pueden ser modelados a través delos mismosprocesos, mediante el análisis de su posible evolución futura. Utilizar los procesos Poisson simples, compuestos y no homogéneos para evaluar situaciones de riesgo que pueden presentarse en cualquier instante de tiempo, mediante la identificación de los componentes de estos procesos. Competencias transversales: Estas competencias son fijas y comunes a todas las carreras, su desarrollo se promueve con las actividades que realiza el estudiante, es necesario tomarlas en cuenta al momento de diseñar estas actividades. Solución de problemas y toma de Comunicación Gestión de información Pensamiento crítico Trabajo colaborativo Sociales decisiones Capacidad de Capacidad de Capacidad de actuar Capacidad de trabajo en Responsabilidad social y Capacidad creativa. comunicación oral y escrita. Capacidad de comunicación en segundo idioma.
investigación. Capacidad de aprender y actualizarse permanentemente. Habilidades para buscar,
ante nuevas situaciones. Capacidad crítica y
Habilidades interpersonales.
autocrítica.
Capacidad de motivar y
Capacidad de
conducir hacia metas
procesar y analizar
abstracción, análisis y
información procedente de
síntesis.
diversas fuentes.
equipo.
comunes. Capacidad para
compromiso ciudadano. Compromiso con la preservación del medio ambiente. Compromiso con su medio social-cultural. Valoración y respeto por la
formular y gestionar
diversidad y la
proyectos.
multiculturalidad. Compromiso ético. Compromiso con la calidad.
Capacidad para tomar decisiones. Capacidad para identificar, platear y resolver problemas. Capacidad de organizar y planificar el tiempo. Capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica.
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TEMARIO Nota: El número de unidades, temas y subtemas correspondientes a cada unidad, están delimitados por el alcance de la competencia, se deben agregar los campos que sean necesarios para cubrirlos. Tiempo estimado Unidad Temas(s) Subtema(s) Por unidad Por tema 1.1.1 Definición de un proceso estocástico 1.1 Descripción de un proceso estocástico 5 Hrs. 1.1.2 Diversos ejemplos 1.2.1 Procesos discretos a tiempo discreto 1. Introducción 1.2 Clasificación de los procesos estocásticos de acuerdo 1.2.2 Procesos discretos a tiempo continuo 5 Hrs. a los procesos al parámetro temporal y el espacio de estados 15 Hrs. 1.2.3 Procesos continuos a tiempo discreto 1.2.4 Procesos continuos a tiempo continuo estocásticos 1.3 Clasificación de los procesos de acuerdo a las 1.3.1 Procesos de incrementos independientes 5 Hrs. 1.3.2 Procesos de Markov características probabilísticas de las variables aleatorias. 1.3.3 Procesos estacionarios 2.1.1 Definición y ejemplos 2.1.2 Matriz de transición y distribución inicial 2.1 Conceptos básicos 7 Hrs. 2.1.3 Otras distribuciones de probabilidad asociadas a una cadena de 2. Cadenas de Markov 2. 2 Comunicación entre estados, recurrencia y 2.2.1 La relación de comunicación y las clases de equivalencia 36 Hrs. Markov a tiempo 20 Hrs. 2.2.2 Estados recurrentes y estados transitorios transitoriedad, periodicidad discreto 2.2.3 Periodicidad 2.3.1 Distribuciones invariantes 2.3 Comportamiento límite 9 Hrs. 2.3.2 El Teorema fundamental de convergencia (Teorema ergódico) 2.3.3 Aplicaciones 3.1 Distribución exponencial y definición del proceso 3.1.1 La distribución exponencial 6 Hrs. 3.1.2 Definición de un proceso Poisson 3. La distribución Poisson 3.1.3 Distribuciones asociadas exponencial y el 3.2.1 Suma de procesos Poisson independientes 3.2 Dos procesos Poisson independientes y 3.2.2 La distribución uniforme y el proceso Poisson condicionado 21 Hrs. procesos Poisson 8 Hrs. 3.2.3 La distribución binomial y el proceso Poisson condicionado condicionalidad 3.2.3 Descomposición de un proceso en dos procesos Poisson independientes 3.3.1 Proceso Poisson compuesto y ejemplos de aplicación 3.3 Generalizaciones del proceso Poisson 7 Hrs. 3.3.2 Proceso Poisson no-homogéneo y ejemplos de aplicación
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Unidad:
1. Introducción a los procesos estocásticos Metodología Enseñanza-Evaluación Aprendizaje basado en la resolución de ejercicios y problemas matemáticos.
Competencia específica/
Componentes de la competencia
Logros de la competencia/ Nivel taxonómico del logro Interacciones individuales y colaborativas
Contenido declarativo: Clasificar procesos estocásticos para determinar en qué situaciones puede ser usado mediante la identificación de sus principales características. Análisis (3)
1. Definición de proceso estocástico. 2. Elementos de un proceso estocástico: Espacio de estados. Parámetro temporal. 3. Relaciones probabilísticas entre las variables aleatorias que forman un proceso aleatorio. Contenidos procedimentales
1. Identificar los elementos de un proceso estocástico. Comprensión (2) 2. Clasificar los procesos estocásticos de acuerdo al espacio de estados y al parámetro temporal. Análisis (3) 3. Clasificar los procesos estocásticos de acuerdo con algunas de las características probabilísticas de las variables aleatorias que los componen. Análisis (3)
Actividad 3.Aplicación de los procesos estocásticos En el foro, se plantearán tres ejemplos de aplicación de los procesos estocásticos en distintos contextos, especificando el tipo de proceso que se usaría de acuerdo al espacio de estados y al parámetro temporal. Logro 2.
Evaluación del aprendizaje Portafolios de evidencias 40 % Evaluación continua E-portafolio (Ponderación de la Tareas evidencia/ Autorreflexión Actividad 1. Conceptos básicos Ejercicio de relación de columnas con conceptos y sus respectivas definiciones. Logro 1. Actividad 2. Clasificación de procesos estocásticos. Identificar el tipo de procesos estocásticos de un listado. Logro 2. Actividad 4. procesos estocásticos Lista de reactivos de opción
Evidencia de aprendizaje. Construcción de procesos estocásticos. El estudiante representa la situación por medio de procesos. Presentar sistemas aleatorios a través de un proceso estocástico.
Autoevaluaci ón .
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1. Identificación de los elementos de un proceso estocástico. 2. Clasificación de procesos estocásticos.
Contenidos actitudinales
Proactivo Asertivo Colaborativo Creativo Crítico
Aspectos contextuales: Determinación de estrategias en juegos de azar, identificación de situaciones problemáticas en el flujo de información en telecomunicaciones, evolución de poblaciones en botánica
múltiple relativos al logro 3.
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Unidad:
2. Cadenas de Markov a tiempo discreto Metodología Enseñanza-Evaluación Aprendizaje basado en la resolución de ejercicios y problemas matemáticos.
Competencia específica/
Componentes de la competencia
Logros de la competencia/ Nivel taxonómico del logro Interacciones individuales y colaborativas
Contenido declarativo: Utilizar la teoría de Cadenas de Markov para resolver problemas acerca de sistemas que pueden ser modeladas mediante este tipo de procesos estocásticos, analizando su posible evolución futura. Utilización (4)
1. Definición de cadena de Markov. 2. Distribución inicial y matriz de transición. 3. Clases de comunicación en el espacio de estados. 4. Teorema fundamental de convergencia. Contenidos procedimentales Identificación de las clases de comunicación de una cadena. Clasificación de las clases de acuerdo a la recurrencia y al periodo.
1. Identificar la distribución inicial y la matriz de transición de una cadena de Markov. Comprensión (2) 2. Clasificar las clases de estados de acuerdo con la recurrencia y periodicidad de sus elementos. Análisis (3) 3. Determinar en ejemplos concretos si se cumplen las hipótesis del Teorema fundamental de convergencia para evaluar la distribución límite. utilización (4)
Actividad 2. Proceso Markov Discusión en el foro acerca de un caso concreto de proceso no markoviano que puede ser transformado en cadena de Markov. Logro 1
Evaluación del aprendizaje Portafolios de evidencias 40 % Evaluación continua E-portafolio (Ponderación de la Tareas evidencia/ Autorreflexión Actividad 1. Elemento de una cadena de Markov.
Evidencia de aprendizaje. Análisis y predicción
Identificar el espacio de estados, la distribución inicial y la matriz de transición de un listado de situaciones que pueden modelarse usando cadenas de Markov.
Resolución de problemas. Logros 1, 2 y 3.
Autoevaluaci ón No ponderable
Utilizar la cadena de Markov para hacer análisis y predicción de situaciones concretas.
Logro 1. Actividad 3. Estados de cadena de Markov Lista de ejercicios y problemas de respuesta abierta acerca de la recurrencia o transitoriedad de los estados de cadenas de Markov. Logro 2. Actividad 4. Lista de
.
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Análisis que permita determinar si existe una distribución límite.
ejercicios y problemas de respuesta abierta acerca de la determinación de la distribuciones límite de una cadena de Markov. Logro 3.
Contenidos actitudinales Proactivo Asertivo Colaborativo Creativo Crítico Aspectos contextuales: Determinación de estrategias en sistemas de producción con demanda aleatoria. Predicciones en áreas de seguros, determinación de situaciones problemáticas en el flujo de información en telecomunicaciones, evolución de poblaciones en botánica.
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Unidad:
3. La distribución exponencial y el proceso Poisson Metodología Enseñanza-Evaluación Aprendizaje basado en la resolución de ejercicios y problemas matemáticos.
Competencia específica/
Componentes de la competencia
Logros de la competencia/ Nivel taxonómico del logro Interacciones individuales y colaborativas
Utilizar los procesos Poisson simples, compuestos y no homogéneos para evaluar situaciones de riesgo que pueden presentarse en cualquier instante de tiempo, mediante la identificación de las componentes de estos procesos.
Contenido declarativo: 1. Definición de la distribución exponencial. 2. Definición de un proceso Poisson. 3. La relación entre el proceso Poisson y otras distribuciones de probabilidad. 4. Extensión del proceso Poisson al caso no-homogéneo y al proceso compuesto Contenidos procedimentales
3. Clasificar los procesos Poisson en simples, compuestos y nohomogéneos. Análisis (3)
Autoevaluaci ón No ponderable
Actividad 1.identificación de parámetros.
1. Identificar las distribuciones asociadas a un proceso Poisson. Comprensión (2) 2. Resolver problemas mediante el análisis de un proceso Poisson. Utilización (4)
Evaluación del aprendizaje Portafolios de evidencias 40 % Evaluación continua E-portafolio (Ponderación de la Tareas evidencia/ Autorreflexión
Actividad 2. Investigar cuáles son las cadenas de nacimiento y muerte y escribir en un wiki sus características y tres ejemplos de situaciones en las que se usen este tipo de cadenas. Logro 2.
Presentar un mutireactivo al estudiante para que identifique los parámetros de las distribuciones. Logro 1. Actividad 3. Análisis de procesos Poisson. Lista de ejercicios y problemas sobre proceso Poisson simple. Logro 2 Actividad 4. Generalizaciones del
Evidencia de aprendizaje. Resolución de problemas sobre el análisis de Poisson. Logros 1, 2 y 3.
Reactivos de opción múltiple acerca de los logros 1, 2 y 3.
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Análisis (3)
1. Identificar los tiempos entre ocurrencias, los tiempos de ocurrencia y la tasa de un proceso Poisson. 2. Calcular la probabilidad de ocurrencia de un evento en el marco de un proceso Poisson. 3. Determinar en qué condiciones se puede aplicar un proceso Poisson compuesto y uno nohomgéneo. Contenidos actitudinales Proactivo Asertivo Colaborativo Creativo Crítico Aspectos contextuales: Teoría de colas en servidores con unifila, evaluación de ingresos y gastos futuros en distintos tipos de seguros evolución de poblaciones.
proceso Poisson. Lista de ejercicios y problemas sobre aplicaciones de los procesos Poisson compuestos y nohomogeneo. Logro 3.